UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO Centro de Tecnologia e Ciências

Instituto de Física Armando Dias Tavares

Erika Dias Cabral

Estudos de propriedades elétricas e magnéticas em nanoestruturas

de GaMnAs de uso em spintrônica

Rio de Janeiro 2009

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Erika Dias Cabral

Orientador: Prof. Dr. Ivan C. da Cunha Lima

Tese apresentada como requisito parcial para a obtenção do grau de doutor, ao Programa de Pós-Graduação em Física da Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Área de concentração: Física da Matéria Condensada.

Estudos de propriedades elétricas e magnéticas em nanoestruturas de GaMnAs de uso em spintrônica

Rio de Janeiro 2009

CATALOGAÇÃO NA FONTE

UERJ/REDE SIRIUS/CTC-D

C117 Cabral, Erika Dias. Estudos de propriedades elétricas e magnéticas em

nanoestruturas de GaMnAs de uso em spintrônica/ Erika Dias Cabral. – 2009.

60 f. : il. Orientador : Ivan C. da Cunha Lima Tese (doutorado) – Universidade do Estado do Rio de

Janeiro, Instituto de Física Armando Dias Tavares. 1. Matéria Condensada – Teses. 2.Monte Carlo, Método

de - Teses. I. Lima, Ivan C da Cunha. II. Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto de Física. III. Título.

CDU 538.9

Autorizo, apenas para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta tese.

_____________________________________ _________________________ Assinatura Data

Erika Dias Cabral

Estudos de propriedades elétricas e magnéticas em nanoestruturas de

GaMnAs de uso em spintrônica Tese apresentada, como requisito parcial

para obtenção do título de Doutor, ao Programa de Pós-Graduação em Física, da Universidade do Estado do Rio de Janeiro.

Aprovada em 16 de abril de 2009. Banca examinadora: _________________________________________________ Prof. Dr. Ivan c. da Cunha Lima (Orientador) Instituto de Física Armando Dias Tavares da UERJ ________________________________________________ Prof. Dr. Antônio Ferreira da Silva Universidade Federal da Bahia _________________________________________________ Profª. Drª. Mirian Enriqueta Bracco Instituto de física Armando Dias Tavares - UERJ _________________________________________________ Profª. Drª. Yara Galvão Gobato Universidade Federal de São Carlos ________________________________________________ Prof. Dr. Nilson Antunes de Oliveira Instituto de Física Armando Dias Tavares da UERJ

DEDI Rio de Janeiro

2009

DEDICATÓRIA Dedico esse trabalho à minha família, por todo ensinamento, carinho e apoio proporcionado a

mim.

AGRADECIMENTOS

Gostaria de aqui agradecer a todos que contribuíram direta ou mesmo indiretamente em meu

trabalho e em minha formação. Sem deixar de agradecer a Deus por me fazer chegar até aqui

mesmo com todos os obstáculos em meus caminhos.

Agradeço aos meus pais, Lucia Helena e Célio, por todo apoio que contribuiu de forma

fundamental para que eu concluísse mais uma etapa acadêmica. Obrigada por me darem sempre

ótimos exemplos, força e determinação.

Ao meu irmão, Alan que infelizmente não verá essa minha vitória mas tenho certeza que estaria

muito feliz por mim.

Ao meu noivo Daniel, por todo o amor, ajuda e apoio, e mesmo tendo que nos afastar por um ano

inteiro sempre esteve me ajudando a alcançar meus objetivos. A minha sobrinha Allana que com

apenas um sorriso fez com que eu seguisse em frente mesmo depois de tudo.

Agradeço ao meu orientador, Prof. Ivan da Cunha Lima, por pela orientação, pela paciência em

minhas dificuldades e limitações estando sempre disposto a me ajudar. A todo apoio que me deu

em todos os momentos tornando-se mais que um orientador mas também um amigo. Obrigada

por todo incentivo e por acreditar em mim.

Não posso de deixar de agradecer ao Prof. Marco Boselli, que me apresentou a carreira de

pesquisa, como orientador de iniciação científica e presente agora em todos os momentos do meu

doutorado como um colaborador.

Agradeço também ao meu co-orientador, Prof. Igor Zutic da SUNY Buffalo (State University of

New York) e seu grupo de pesquisa, pelo acolhimento e ajuda em toda minha estadia em Buffalo.

À todos professores do Instituto de Física da UERJ que contribuíram para minha formação.

Agradeço ao Programa de Pós-Graduação em Física da Universidade do Estado do Rio de Janeiro

- UERJ pela oportunidade de realizar este trabalho.

Aos coordenadores Profs. Marcelo Chiapparini, Henrique de Oliveira e Rudinei de Oliveira

Ramos. Também aos secretários Rogério e Laurimar por toda ajuda.

Agradeço à CAPES e ao CNPq pelo apoio financeiro.

Agradeço a todos meus amigos e meus familiares que participaram deste importante momento em

minha vida.

RESUMO

CABRAL, Erika Dias. Estudos de propriedades elétrica e magnética em camadas de GaMnAs para uso em spintrônica. 2009. 60f. Tese (doutorado em física) – Instituto Armando Dias Tavares, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2009.

Um estudo da interação entre desordem e polarização de spin no GaMnAs ajuda a compreender a natureza dos estados, estendidos ou localizados, bem como as consequências para as transições observadas sobre as propriedades de transporte e às mudanças na ordem magnética de momentos magnéticos localizados em sítios de Mn. Este estudo pressupõe a ocorrência de uma banda impureza com baixas concentrações de Mn, que merge na banda valência no caso de concentrações mais elevadas. A abordagem teórica, baseada em um formalismo de espalhamento múltiplo auto-consistente, através do cálculo da função de Green para buracos determina-se a função densidade espectral no nível de Fermi. A escolha de uma figura de mérito, com base na largura e sobre a posição do máximo da função densidade espectral no espaço recíproco, leva a um diagrama de fase que determina o caráter metálicos ou não metálicos da amostra. Também é possível identificar a mobility edge, e como consequência, a densidade efetiva de portadores livre. Uma amostra é definida pelo par de parâmetros independentes, a concentração de Mn e a densidade buraco. As melhores amostras, aquelas com os maiores valores de mérito, tem uma relação entre a densidade de buracos estendidos e a concentração de Mn aproximadamente de 0.3, muito próximo do raio de 10-25% observada entre as amostras reais produzidos com a mais alta temperatura de transição. Além disso, a relação entre essas concentrações de Mn correspondente as transições metal-não-metal e não-metal-metal que é de aproximadamente 2.4, muito próximo do valor 2.1 da amostras reais. Uma interpretação da ocorrência de ferromagnetismo com alta temperatura de transição em GaMnAs é dada como uma consequência da interação entre o mecanismo de interação assistido por estados localizados e interações indiretas assistida pelo estdos buraco estendidos. Portadores mediando magnetismo em semicondutores mostram diferenças importantes e potencialmente úteis a diferenças de magnetismo em metais tais como o luz- ou voltagem elétrica -controlando ferromagnetismo. Motivado por experiências reportadas em poços quânticos de GaAs com uma dopagem delta de Mn com altas temperaturas Currier (temperatura de transição) mais elevadas do que em bulk de (Ga, Mn)As, nós exploramos teoricamente a viabilidade do campo elétrico controlar ferromagnetismo em poços quânticos. Nós calculamos auto-consistentemente a interação de troca indireta em Mn-Mn íons e aplicamos a simulação Monte Carlo para encontrar transição temperatura Tc. A nossa abordagem permite-nos estudar sistematicamente os efeitos de confinamento quântico e da posição da camada magnética de Mn e Tc, que vai além da aproximação do campo médio. Nós comparamos nossos resultados com os resultados experimentais e sugerimos caminho para o melhor controle do ferromagnetismo. Palavras-chaves: Estados localizados e estendidos. Densidade espectral. Transição metal-não metal-metal. Camada digital. Monte Carlo

ABSTRACT

A study of the interplay between disorder and spin polarization in the diluted magnetic semiconductor GaMnAs helps to understand the character of states, extended or localized. This study assumes the occurrence of an impurity band which merges into the valence band at higher concentrations. The theoretical approach, based on a self-consistent multiple scattering formalism, determines the spectral density function at the Fermi level from the calculation of the hole's Green's functions. A choice of a figure of merit, based on the width and on the position of the maximum of the spectral density function in the reciprocal space, leads to a phase diagram determining the metallic or non-metallic character of the sample. It is also possible to identify mobility edges and, in consequence, the density of effectively free carriers. A model sample is defined by the pair of independent parameters, Mn concentration and hole density. The best samples, those with the highest figures of merit, have a ratio between the extended hole density and the Mn concentration near 0.3, very close to ratio of 10-30% observed among the real samples produced with the highest transition temperatures. Also, the ratio between those Mn concentrations corresponding to the metal-to-non-metal and non-metal-to-metal transitions is approximately 2.4, very close to the value 2.1 inferred from the real samples. An interpretation of the occurrence of high transition temperature ferromagnetism in GaM-nAs is given as a consequence of the interplay between interaction mechanism assisted by localized states and indirect interactions assisted by extended hole states. Carrier mediated magnetism in semiconductors show important and potentially useful differences from magnetism in metals, such as light- or bias-controlled ferromagnetism. Motivated by experiments reporting higher Currier temperatures in GaAs quantum wells with Mn-delta doping than the ones observed in bulk (Ga,Mn)As, we explore theoretically the feasibility of bias-controlled ferromagnetism these systems. We calculate self-consistently indirect Mn-Mn exchange interaction, and apply Monte Carlo approach to find transition temperature Tc. Our approach allows us to systematically study the e®ects of quantum confinement and the position of Mn layer on magnetic ordering and Tc, beyond mean field approximation. We compare our findings with the experimental results and suggest paths toward improving the control of ferromagnetism.

Keywords: Localized and extended states. Spectral density. Metal-to-non-metal-to-metal. Transition. Delta doping. Monte Carlo.

LISTA DE FIGURAS

1.1 Resistividade em função da temperatura para seis amostras de GaMnAs com um intervalo de Mn de 1.5-7.1%. De acordo com a Ref. [12]...........................................

3

2.1 Diagrama de primeira ordem........................................................................................

11

2.2 Diagrama de segunda ordem para o caso onde i ≠ j...................................................

12

2.3 Diagrama de segunda ordem para o caso onde i = j.....................................................

12

2.4 Aproximação de Born auto-consistente - diagramas não cruzados..............................

13

2.5 Diagrama do gerador retardado....................................................................................

15

2.6 Diagramas de auto-energia, com a aproximação do espalhamento múltiplo...............

16

2.7 Densidade de estados para o espalhamento múltiplo: Amostra Si dopado com P. De acordo com a Ref.[63]..................................................................................................

18

2.8 Largura da banda de impureza para Silício. Depois I. C. da Cunha Lima, M. A. Boselli and A. Ghazali, não publicado.........................................................................

19

2.9 Borda de banda de impureza com N = Ni para Silício. Depois de I. C. da Cunha Lima, M. A. Boselli and A. Ghazali, não publicado....................................................

20

3.1 Densidade de estados (DOS) como função de energia e concentração de impureza para GaAs com espalhamento Coulomb. A concentração de buracos é ns = 5X1011 cm-2. Depois E. D. Cabral, A. Ghazali, M. A. Boselli, I. C. da Cunha Lima, não publicado...............................................................................................................

23

3.2 (a)Densidade de estados (DOS) em unidades arbitrárias para uma típica amostra com uma banda de impureza destacada. (b) Função densidade espectral para dois valores de energia, E1 no meio da banda de impureza, E2 dentro da banda de valência. Dados são mostrados em unidades arbitrárias, mais para fim de usar a mesma escala, multiplicamos a FDS para E1 por um fator de 50. De acordo com Ref. [53] ......................................................................................................................

25

3.3 Esquema usado para calcular a FDS para um gás spin polarizado. No centro, representado pelo 0, os valores ns = 5 X 1012cm-2

e Ni = 1 X 1013cm-2. A coluna que inclui pares a,b,c, e d, para maiores e menores valores de Ni, a linha inclui pares e, f,g e h, para maiores e menores valores de ns. De acordo com Ref. [54].....................

26

3.4 FDS das amostras tendo Ni = 1 X 1013 cm-2

e mudando ns. Curva 1 corresponde tanto spin alinhado quanto anti-alinhado no nível de Fermi com magnetização zero, curvas 2 e 3 a spin anti-alinhado e alinhado com um splitting de 50 meV, 4 e 5 idem para 100 meV, e 6 e 7 para 150 meV. De acordo com Ref.[54].........................

27

3.5 O mesmo como acima tendo ns = 5 X 1012

cm-2 e mudando Ni. De acordo com Ref.

[54]...............................................................................................................................

28

3.6 Densidade de estados (DOS) para ni = 1.2 X 1013cm-2 e ns = 6.5 X 1012cm-2. De

acordo com Ref.[55].....................................................................................................

29

3.7 Função densidade espectral (FDS) para ni = 1.2 X 1013cm-2 e ns = 6.5 X 1012cm-2.

Curvas (a), (b) e (d) corresponde a FDS para energias 0.18Ry* acima, e 0.38Ry* e 0.43Ry* abaixo da mobility edge, respectivamente. Curva (c) mostra a FDS assumindo ser a mobility edge. De acordo com Ref.[55].............................................

30

3.8 Figura de mérito, como descrita pela Eq. 3.8. De acordo com Ref.[55]......................

31

3.9 FDS dos estados de spins alinhados e anti-alinhados perto da borda da ilha e no centro. Depois de E. Dias Cabral, M. A. Boselli, A. T. da Cunha Lima and I. C. da Cunha Lima, não publicada..........................................................................................

32

3.10 Densidade de cargas efetiva estendida spin polarizado, como descrito pela Eq. 3.9. De acordo Ref.[55].......................................................................................................

32

4.1 Modelo da estrutura usada no presente cálculo: Uma camada magnética dentro do poço quântico de GaAs................................................................................................

34

4.2 Esquema para a simulação Monte Carlo......................................................................

41

5.1 Densidade de carga ρ (z) como função da largura do poço quântico para o SMD no centro. Depois E. Dias Cabral et al., aparecer .............................................................

44

5.2 Densidade de carga ρ (z) como função da largura do poço quântico para o SMD fora do centro do poço quântico...................................................................................

44

5.3 Diferença relativa da integral de troca em função do campo elétrico para o SMD no centro do poço..............................................................................................................

45

5.4 Esquema para entender o comportamento do Jij ..........................................................

46

5.5 Diferença relativa da integral de troca em função do campo elétrico para o SMD fora do centro do poço..................................................................................................

46

5.6 Magnetização como função da temperatura para o SMD no centro............................

47

5.7 Magnetização como função da temperatura para o SMD fora do centro do poço....... 47

5.8 Magnetização como função da temperatura para o SMD fora do centro do poço com conteúdo de Mn x = 25%......................................................................................

48

LISTA DE TABELAS

1.1 Parâmetros das amostras. Os valores da temperatura de Currie Tc foram determinados por dados de SQUID. De acordo com a Ref. [12] ...........................................................................3

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO................................................................................................................

1

2 FORMALISMO DO ESPALHAMENTO MÚLTIPLO .............................................

8

2.1 Disordem ..........................................................................................................................

8

2.2 Aproximação de Born auto-consistente (ABAC) .........................................................

12

2.3 Espalhamento múltiplo ..................................................................................................

13

2.4 Descrição numérica ........................................................................................................

18

3 DISORDEM E SPIN-POLARIZADO ..........................................................................

22

3.1 Caráter dos estados no nível de Fermi em GaMnAs ...................................................

22

3.2 Diagrama de fase .............................................................................................................

27

4 TROCA INDIRETA COM POLARIZAÇÃO DE SPIN E SIMULAÇÃO MONTE CARLO ............................................................................................................................

33

4.1 Estrutura Eletrônica .......................................................................................................

33

4.2 Interação tipo RKKY .....................................................................................................

38

4.3 Simulação Monte Carlo ..................................................................................................

40

5 DOPAGEM DELTA DE Mn MODULADA POR UM CAMPO ELÉTRICO .........

43

6 CONCLUSÃO .................................................................................................................

49

A APÊNDICE .....................................................................................................................

51

REFERÊNCIAS .............................................................................................................. 55

Capıtulo 1

INTRODUCAO

Da iluminacao ao motor eletrico, a manipulacao do eletron modificou tremendamenteo nosso dia-a-dia nos ultimos cem anos. Importantes avancos foram obtidos com basena exploracao de uma de suas propriedades: a carga eletrica. No recente esforco deminiaturizacao dos dispositivos eletricos, passou-se a usar a corrente eletrica, o fluxoda carga do eletron, como um mecanismo de geracao, transmissao e reconhecimento deinformacao. Os chamados ”chips”se constituem num numero enorme de circuitos concen-trados numa pequenıssima area. Mas a carga nao e a unica caracterıstica importante doeletron. Alem dela, ele possui um momento magnetico (spin) - de um modo simples, umima - uma importante manifestacao da Relatividade em nosso cotidiano. A capacidadeatual de miniaturizacao, na escala nanometrica, e as tecnicas recentes de producao deexcelentes nanoestruturas semicondutoras, abriram novas perspectivas para a utilizacaodesse momento de dipolo magnetico do eletron. E a cada dia novos avancos sao feitos noconhecimento das propriedades dos materiais e dos dispositivos em relacao a esse graude liberdade, o que levou a comunidade cientıfica a cunhar o nome de uma nova areade pesquisa cientıfica e desenvolvimento tecnologico, a Spintronica [1, 2], interdisciplinarentre a Fısica e a Eletronica.

A possibilidade do uso de corrente com polarizacao de spin abre novas perspecti-vas de aplicacao. Dispositivos tais como filtros de spin, diodos de spin, e dispositivosopto-eletronicos ja podem ser imaginados atuando de modo eficiente [3]. Isto traraenormes benefıcios em areas crıticas, nas quais o limite plausıvel de desenvolvimentoja fora aparentemente atingido, abrindo espacos para avancos em aplicaces como MRAM(Magnetic Random Access Memory), dentre outros, e ate mesmo o uso de nanoestruturasem computacao quantica.

Os primeiros avancos obtidos nessa revolucionaria area de pesquisa se deram em dis-positivos metalicos, baseados na injecao de spins vindos de uma camada metalica fer-romagnetica para uma camada metalica nao magnetica [4, 5, 6]. As ultimas decadasviram um grande esforco cientıfico e tecnologico nesses dispositivos. No entanto, re-sultados realmente inovadores seriam obtidos se dispositivos semelhantes baseados emsemicondutores fossem desenvolvidos. Isto porque seria imaginavel a incorporacao dospin simultaneamente a eletronica e a opto-eletronica. Deste modo, os recentes avancosna fabricacao de dispositivos semicondutores incorporando camadas ferromagneticas, ca-madas nao-magneticas intrınsecas e dopadas, assim como os recentes resultados envol-vendo a injecao de spins em semicondutores, a deteccao desses spins, e a determinacaode suas propriedades de coerencia [3, 7, 8, 9], chamam cada vez mais a atencao da co-munidade cientıfica, tecnologica e industrial. Essencial para a existencia das importantes

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propriedades observadas nesses nanodispositivos semicondutores e o fato de que o spin doeletron se preserve em distancias comparaveis (e mesmo superiores) as escalas associadasao dispositivo. Tempos de relaxacao de spin no arseneto de galio, GaAs, sao medidos daordem de centenas de nanosegundos, e comprimentos de coerencia da ordem de variosmıcrons [10, 11]. Interessante nesse problema e notar, como mostra o conhecimento jaadquirido em amostras volumetricas, que o tempo de relaxacao de spin esta relacionadoao livre caminho medio de espalhamento mesmo quando este e elastico, por meio doacoplamento spin-orbita.

Entre os semicondutores com aplicacoes em electronica e optoelectronica, GaAs e emlarga escala o mais importante. Suas ligas com outros compostos III-V, por exemploGaAlAs, InGaAs, etc, sao, provavelmente, a mais estudada e seu crescimento em het-eroetrutura o mais controlado. Portanto, quando as amostras de boa qualidade GaMnAsforam produzidos, isso representou um verdadeiro avanco na ciencia de semicondutorese na tecnologia. Ga1−xMnxAs e um membro da classe de semicondutores magneticosdiluıdos (SMD), descrito por A1−xMxB, onde M epresenta um elemento magnetico, A eB sao elementos nao magneticos. Tornou-se um material muito importante, porque ho-mogeneas ou quase homogenea amostras foram produzidas mais de dez anos atras porMatsukura et al [12] no intervalo de concentracao ate 7% de Ga substituto percentuais.Gracas ao controle tecnico da MBE (molecular beam epitaxial) a baixas temperaturas,as amostras foram produzidas previnindo a formacao de aglomerados de MnAs. Comoum SMD baseados em GaAs, as possibilidades de aplicacao imediata deste material otransformou em um constituinte de dispositivos spintronicos.

Mn em GaAs e uma impureza aceitadora, e ao mesmo tempo, tem um momentosmagneticos localizado devido ao orbital 3d sendo ocupado por apenas cinco eletrons -assim, com um momento 5h/2. Entre as amostras de Matsukura, o ferromagnetismo temsido observado em torno de x = 0.05, com temperaturas de transicao, que actualmente saoobtidos quase 170K, apos recozimento [13]. De acordo com a Ref. [12] em baixas concen-tracoes de Mn o material e um isolante paramagnetico. Como o aumeto da concentracaoocorre uma transicao para ferromagnetismo, mas a amostra continua a ser um isolante.Entao torna-se um ferromagnetico metalico em concentracoes proximas 2.5%, sendo ob-servado tambem um consideravel aumento da temperatura de transicao. Aumentandoainda mais a concentracao de Mn existe mais uma transicao, agora a partir de um metalpara um nao-metal, como indicado na Tabela 1.1. Essas transicoes ocorrem, entao, paraconcentracoes de impurezas muito elevadas, da ordem de 1 ×1020−21cm3, em comparacaocom o transicoes em doadores rasos ocorrendo em Si e GaAs, perto de 1 ×1018cm3.

Entre as amostras descritas na Ref. [12], aquelas com x '0,05 tem mostrado concen-tracao de buracos livres, perto de 1− 2× 1020cm−3, obtida atraves de medicoes de efeitoHall. Esta e uma fracao (10-30 %) do total da concentracao de Mn, o que normalmente eexplicado como sendo devido a presenca de anti-sıtios de As e Mn intersticial, mas aindae uma questao controversa.

A dependencia da resistividade com a temperatura para estas amostras historicas emostrada na Fig. 1.1. Vemos que as amostras #1 e #2 tem um comportamento tıpico demateriais nao metalicos, o transporte que ocorre provavelmente devido a uma variacao domecanismo de hopping [14], com a resistividade decaindo com a temperatura. As amostrs#3 e #4 mostra uma resistividade residual independente da calda da temperatura pertoda temperatura de transicao onde pode ser observado um pequeno salto. Amostra #5 e#6 mostram um comportamento misto, mas sao certamente nao-metalicas.

Como um material volumetricos, no entanto, e o SMD GaMnN esperado de ter a

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Sample No.1 No.2 No.3 No.4 No.5 No.6x 0.015 0.022 0.035 0.043 0.053 0,071

Conduction Non-metal Non-metal Metal Metal Non-metal Non-metalMagnetism Para Ferro Ferro Ferro Ferro Ferro

TC(K) - 5 60 70 55 35

Tabela 1.1: Parametros das amostras. Os valores da temperatura de Currie Tc foramdeterminados por dados de SQUID. De acordo com a Ref. [12].

mais alta temperatura de transicao [15]. Resultados experimentais dao a temperatura detransicao de 940K, muito mais elevado que os 300K obtido pela teoria do campo medio[16]. Isso pode representar um enorme passo a frente, fazendo o GaMnAs um candidatodispositivos que usam corrente polarizada a temperatura ambiente [17]. Infelizmente, essatemperaturas de transicao nao foram confirmada por outros autores, e as dificuldadesrelativas ao processo de controle do crescimento representa uma importante desvantagem.Um grande esforco tem sido feito tambem em varias nanoestruturas, em especial emmulticamadas e super-redes de GaAs/(In, Ga, Mn).

Figura 1.1: Resistividade em funcao da temperatura para seis amostras de GaMnAs comum intervalo de Mn de 1.5-7.1%. De acordo com a Ref. [12].

Os problemas envolvidos nesta nova area de pesquisa se relacionam com questoes anti-gas da Fısica da Materia Condensada. No final da decada de 70 e inıcio de 80 deu-se um

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grande passo na compreensao do comportamento de sistemas eletronicos bidimensionais[18]. De um lado, amostras cada vez com melhor qualidade eram produzidas, seja deMOSFET de silıcio dopado com fosforo, seja, alguns anos a frente, heterostruturas deGaAlAs/GaAs com dopagem tipo n ou p moduladas. De outro, grandes avancos teoricosforam obtidos, partindo do trabalho da chamada ”gangue dos quatro” (parodiando oquadro polıtico da epoca na China) formada por Abrahams, Anderson, Licciardello eRamakrishna [19] sobre interacao do gas de eletrons num sistema 2D, e seguindo com ostrabalhos teoricos do grupo de Leningrado na antiga Uniao Sovietica, formado, dentre out-ros, por Aronov, Altshuller e Khmelnitskii [20], explicando o comportamento logarıtmicoda resistencia atraves da chamada localizacao fraca. Parecia bem determinado, na epoca,que na ausencia de um campo magnetico, nao haveria estados estendidos em duas di-mensoes. A busca de respostas a essa questao levou a descoberta por von Klitzing [21]do Efeito Hall Quantico, posteriormente chamado de Inteiro (EHQI) [22], que lhe deu oPremio Nobel. A explicacao do EHQI evidenciou a necessidade da existencia de dissipacaono processo de transporte a fim de que os patamares caracterısticos (e independentes daamostra usada) fossem observados na componente transversal da resistividade. Desdeentao o tema da localizacao em sistemas bidimensionais sob acao de um campo magneticoforte vem sendo revisitado com frequencia [23, 24, 25]. E com mais frequencia nos ultimosanos. Sabe-se que um campo magnetico forte aplicado perpendicularmente num gas deeletrons bidimensional gera os conhecidos nıveis de Landau. Desordem causada por diver-sos fatores (principalmente espalhamentos por impurezas) dao uma largura a esses nıveis,e argumenta-se que os estados ”laterais” nessa banda sao localizados, enquanto estados”centrais” sao estendidos. O papel da interacao entre os eletrons e, no entanto, crucial,pois leva ao aparecimento de faixas proibidas de energia no interior das bandas de Landau,causando patamares para fatores de preenchimento fracionarios dos nıveis, observados porStormer, Tsu e Gossard [26]. Esses patamares sao conhecidos como Efeito Hall QuanticoFracionario (EHQF), que deu ha alguns anos o Nobel de Fısica a Stormer e Tsu. Evi-dentemente, uma vez que o transporte de eletrons com polarizacao de spin e um temaessencial para a Spintronica, interessa conhecer detalhadamente o relacionamento entre ograu de liberdade de spin (e seus mecanismos de relaxacao) com o fato de estados seremestendidos ou localizados quando os eletrons se submetem a um campo magnetico. Noentanto, tem que guardar que, enquanto um campo magnetico externo no nıveis Landaumuda o operador de energia cinetica atraves da contribuicao do vetor potencial para ooperador momento, no caso que tratamos aqui a interacao magnetica vem da interacaoentre o spin do eletron e do momento do dipolo magnetico dos atomos de Mn.

Na linha de pesquisa de SMD o grupo de colaboradores do qual participo tem dado,nos ultimos quinze anos, importantes contribuicoes. Foi desse grupo o primeiro trabalhocientıfico prevendo teoricamente a possibilidade de, controlando-se a concentracao deportadores livres e a concentracao de impurezas magneticas, obter-se uma ordem ferro-magnetica num poco quantico de GaAs dopado com Mn [27]. Isso ocorreu varios anosantes que essas amostras pudessem ser produzidas. Um trabalho pioneiro foi tambem aprevisao teorica do controle do ferromagnetismo nessas nanoestruturas atraves da aplicacaode um campo eletrico [28], hoje utilizado no controle da temperatura de transicao de dis-positivos de GaMnAs. Nos ultimos anos este grupo fez uma extensa pesquisa nessessistemas, propondo um mecanismo de interacao com base numa troca indireta via porta-dores spin-polarizados [29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38] atraves de simulacoes MonteCarlo dependente de temperatura. Uma revisao dos trabalhos recentes em nanoestru-turas de SMD esta publicada em capıtulo de livro [39]. O grupo tambem, atraves de

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calculos sofisticados de estrutura eletronica com base num modelo de Luttinger-Kohn k.pauto-consistente adaptado a nanoestruturas, a um estudo sistematico de modelagem demulticamadas de SMD a fim de obtermos uma maximizacao na polarizacao de spin dosportadores [40, 41, 42, 43, 44].

Avancos significativos [45, 1] foram alcancados na compreensao de fenomenos comorelaxamento de spin [10] e difuao de spin [46], recombinacao com emissao de luz polar-izada [7], etc principalmente em GaAs, InGas, e suas ligas. Ferromagnetismo em camadasde GaMn As quase-bidimensional com concentracao de Mn da ordem de , 5% tambemtem sido observado, embora com uma menor temperatura de transicao. Em vez de seremdescartadas, elas tem sido estudadas para a importancia de ter uma camada de spin po-larizado no interior de uma nanoestrutura semicondutora [47, 36]. Isso preve carga despin polarizado a ser injetada em camadas nao-magneticas, sem a necessidade de cam-pos magneticos externos fortes. Portanto, a introducao de uma camada ferromagneticosde GaMnAs no interior uma nanoestrutura semicondutora representa uma verdadeira in-ovacao na nanotecnologia spintronica. Representa tambem a realizacao do acoplamento decargas spin-polarizada e fotons, abrindo uma grande janela para combinar da spintronicae Fotonica.

A busca por boas amostras contendo uma metalica e ferromagneticas camada de GaM-nAs com temperaturas de transicao mais alta possıvel ainda persiste. Para atingir estameta, e necessario entender a origem do ferromagnetismo nessas amostras, o que foi expli-cado como saindo de diferentes mecanismos competentes ou contraditorios. Experiemntosem GaMnAs mostraram que a transicao de temperaturas mais elevadas foram observadaspara as mais altas concentracoes de buracos. Isto sugere caragas mediando magnetismo eo modelo RKKY [48] foi invocado para explicar o comportamento magnetico [12]. Poste-riormente, o uso de uma aproximaca com perturbacao de segunda ordem foi questionadae algumas alternativas de mecanismo de carga mediadora tais como o modelo Zenner [49]eram utilizados, ou novas aproximacoes propostas, como na Ref. [50], para explicar osresultados observados. A aplicacao de todos estes modelos era restrita aos estados es-tendidos (fase metalica). A importancia da inclusao dos efeitos de indiretas interacoesatraves de cargas de spin-polarizado com densidades nao homogenea dentro nanoestru-turas SMD foi apontado por varios trabalhos deste grupo, como ja mencionado. Noentanto, nao somente fases metalicas apresentando ordem ferromagneticos, algumas fasesisolante tambem mostram ferromagnetismo, como observado em Ref. [12], embora commenor Tc. Neste caso, o magnetismo tem sido associados aos portadores localizados aoredor do ıons magneticos, o chamado modelo magnetico polaron [51, 52].

Nenhum destes modelos tratados ambos localizados e estendidos co-existentes em difer-entes energias, nem qualquer tipo de efeitos de desordem tem sido levado em conta ex-plicitamente. Mas a interacao de disordem (homogenea ou quase homogena distribuicaodos ıons de Mn na estrutura, em oposicao a formacao aglomerados) e a existencia de por-tadores spin-polarizados, em estados estendidos e localizados, e fundamental para explicaras propriedades de transporte e magneticas deste modelo.

Recentemente, foi dada atencao para a ocorrencia de banda de impureza e a naturezados estados proximo ao nıvel de Fermi em ligas de GaMnAs magneticamente ordenadas[53, 54, 55]. Uma busca recente sobre as propriedades opticas e de transporte em amostrasde GaMnAs ao longo de uma vasta gama de concentracoes [56, 57] identificando a ex-istencia da banda de impureza e explorando a natureza dos estados proximo ao nıvelFermi [58]. Esta tese apresenta uma extensa e qualitativa discursao sobre banda de im-pureza, incluindo uma discussao das peculiaridades aparecendo em semicondutores dopa-

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dos. A existencia de uma banda de impureza tambem e confirmada por recentes medidasmostrando tambem a presenca de localizacao fraca [59, 60]. A natureza dos buracos emGaMnAs determina a interacao indireta [61, 40] dentre os ıons magneticos representandoum importante mecanismo influenciando a temperatura de transicao em amostras mag-neticamente ordenadas. A presenca de desordem em regime com baixa dopem foi tambemabordada na Ref. [62].

Nas ultimas decadas, desordem em semicondutores dopados tem sido extensivamenteestudada. Em concentracoes de impureza muito baixas, por exemplo, impurezas rasasagem como nucleos de hidrogenio atraindo buracos ou eletrons. Portanto, em amostrasvolumetricas, a energia de ligacao para ambas as partıculas equivale a 1 Ry∗, o Rydbergefetivo dependendo da massa efetiva (m∗) e da funcao dieletrica do semicondutor (κ):

Ry∗ =h2

2m∗ma∗20

, (1.1)

com o raio de Bohr efetivo dado por

a∗0 =4πε0κh2

m∗me2. (1.2)

Para o GaAs 1Ry∗ = 55.3 meV e a∗0 = 21A.Em um sistema puramente bidimensional a energia de ligacao torna-se 4 Ry∗. Com o

aumento da concentracao de impureza, surge uma banda finita, a banda de impurezatorna-se mais larga e avanca (para tras) na energia, na direcao da borda da bandaconducao (valencia) para impurezas doadoras (aceitadoras). Ao mesmo tempo, umacauda do proximo banda de [63] - conducao ou valencia - aparece. Para altas concen-tracoes, a banda de impureza funde na cauda formando uma unica banda, inicialmente,muito pronunciada. Espera-se que acima de uma certa concentracao a natureza dos es-tados no nıvel Fermi passa por uma mudanca, a partir de um estado localizado para umestado estendido, o material passa por uma transicao nao-metal-metal. A energia do nıvelFermi em que esta transicao ocorre, correspondente a passagem subita de uma fase de altaresistividade para uma baixa resistividade que e chamada de mobility edge. Muito temsido feito sobre a existencia da mobility edge: se o nıvel Fermi pudesse ser controlado porum meio externo, quer injetando ou drenando portadores a partir da amostra, a transicaonao-metal-metal poderia ocorrer quando o nıvel Fermi atravessa de baixo para cima amobility edge.

Esta tese e dividida em duas partes. Primeiro nos abordamos o problema da in-teracao de desordem e de polarizacao de spin no GaMnAs, com o objetivo de explicara relacao entre o carater metalico ou nao-metalico e ferromagnetica ou paramagneticodas seis amostras descritas na Tabela 1.1 e Fig. 1.1 com intrigante comportamento daresistividade. Estudamos especificamente o papel da banda de impureza. Em seguida,usamos a aproximacao de espalhamento multiplo com spin polarizado, que obteve a bandade impureza para spin polarizado [53], a cauda da banda de portadores livres, e a emercaoentre elas. Explorando um vasto leque de concentracoes de Mn e de buracos e um grandenumero de amostras foram identificados tanto a transicao nao-metal-metal quanto metal-nao-metal [54], que foram observados experimentalmente em amostras ferromagneticasquando a concentracao de Mn era aumentada. As melhores amostras ”metalicas” emnosso calculo - na verdade metais sujo- tem uma densidade de buracos como uma pe-quena fracao - cerca de 30% - da concentracao de Mn, em boa concordancia com osresultados experimentais. Temos tambem identificado a mobility edge para as transicoes

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observadas. Estes resultados foram fornecidos pela identificacao de uma figura de meritopara medir o carater dos estados a uma dada energia [55], conforme descrito no Capıtulo3.

Na segunda parte, estudamos a fase ferromagnetica em sistemas desordenado com Mndopagem delta sob campo eletrico aplicado. Nosso objetivo era de conduzir a transicao detemperatura sob a acao do campo eletrico. A escolha da dopagem delta e fundamental afim de observar os efeitos do campo eletrico sobre a transicao de temperatura. Primeiro, epossıvel obter uma mudanca do pico da densidade de portadores cruzando toda a camadamagnetica atraves da aplicacao de um campo eletrico mansuravel, se esta mudanca forpequena. Para uma camada espessa um enorme campo eletrico seria necessario para obteresse efeito. Outro fato interessante e que, para uma dopagem delta uma concentracao deMn muito mais elevada pode ser utilizada durante o processo de crescimento atingindovalores de ate 30%, como podemos ver na Ref [64]. Comecamos pela obtencao da estruturaeletronica, entao calculamos a interacao indireta de troca tipo RKKY com polarizacao despin. Com este resultado fomos capazes de utilizar a simulacao Monte Carlo para obtera magnetizacao do sistema, de acordo com o metodo de Capıtulo. 4.

7

Capıtulo 2

FORMALISMO DOESPALHAMENTO MULTIPLO

2.1 Disordem

Desordem em solidos influencia as suas propriedades macroscopicas, sejam elas elotricas,magneticas, mecanicas, opticas ou mesmo termica. No caso presente, impurezas de Mnadicionadas ao GaAs quebram a simetria do cristal, e centros de espalhamento de eletronsou buracos contribuem para o hamiltoniano. O sistema deixa de ter uma perfeita simetriade translacao e rotacao, e nos nao podemos mais fazer uso do teorema de Bloch. A possıvelmudanca subita do comportamento dos eletrons, a partir de um carater estendido (Bloch)para um localizado (Wannier) induzida pela desordem, conhecido como localizacao An-derson [65, 66], tem sido amplamente estudada, tanto em amostras metalicas quanto emimpurezas induzindo a transicao nao-metal-metal em semicondutores dopados.

Durante o processo de crescimento que, para efeitos da aplicacao da spintronica usa-seMBE(molecular beam epitaxy), os centros espalhadores podem ser assumidos estar dis-tribuıdos aleatoriamente. Se o numero de impurezas e muito menor do que o numerode sıtios que podem conter essas impurezas - um caso “altamente diluıdo” - e muitoimprovavel que estas impurezas se juntam para formar aglomerados. Neste caso, as im-purezas sao independentes umas das outras, no limite de baixa diluicao. Para uma maiorconcentracao, a probabilidade de formacao destes aglomerados aumenta, e uma tecnica decrescimento devidamente controlada e necessario para obter uma distribuicao uniforme.No regime de alta concentracao a transicao Anderson e susceptıvel de ocorrer. Enquantoum deve esperar para observar a transicao no intervalo de concentracao da ordem 1018cm−3

em regulares semicondutores dopado, no caso do Ga1−xMnxAs, amostras metalicas saoobtidas, como ja foi discutido, com concentracoes de Mn no intervalo de 1020−21cm−3.

Em uma amostra macroscopica dopada o numero de impurezas e extremamente ele-vado. Como consequencia, a flutuacao dos valores medidos entre propriedades macroscopicassemelhantes amostras sao insignificantes. A amostra e dita ser auto-mediada. NesteCapıtulo, discutimos a forma como a media configurational de impurezas pode ser perfor-mada com a funcao de Green, dependendo do regime de concentracao, levar para o caculodas propriedades macroscopicas compatıveis com a amostra auto-mediada.

Vamos tomar N impurezas num volume Ω. Dividimos Ω em M celas de volume ∆rM ,muito pequenas, de modo que a distancia media entre impurezas seja:

n−1/di = (Ω/N)1/d, (2.1)

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e muito maior que as dimensoes das celas. A probabilidade de termos duas ou maisimpurezas numa mesma cela e insignificante. Admitindo nao haver correlacao entre asprobabilidades de ocupacao dos sıtios, temos:

P(r1...rN) =N∏

j=1

P(rj), (2.2)

onde P(rj) e a densidade de probabilidade de termos uma impureza ocupando a celaidentificada pela posicao rj. O caso totalmente aleatorio consiste em admitir que todosos sıtios sao igualmente provaveis e neste caso a densidade de probabilidade de ocupacaode uma cela no sıtio e:

P(r) =1

Ω. (2.3)

Uma medida de uma propriedade macroscopica F , em uma amostra auto-mediadacorresponde ao calculo da media configuracional da observavel F (r1, r2, ...rN) para todasas possıveis ocupacoes, ou especıficas configuracoes de impurezas:

< F >≡∫ N∏

j=1

drjF (r1, r2, ...rN)P(r1, r2, ...rN), (2.4)

< F >=∫ N∏

j=1

(drj

Ω)F (r1, ...rN). (2.5)

Assumindo a contribuı cao de cada impureza no sıtio ri para o potencial na posicao xcomo Vimp(x− ri), o potencial na posicao se torna

V (x) =N∑

i=1

Vimp(x− ri). (2.6)

A densidade de distribuicao de impurezas e dada por:

ρimp(x) =N∑

i=1

δ(x− ri). (2.7)

A funcao delta representa a densidade de probabilidade de encontrar a impureza em ri.Note que

∫

Ωρimp(x)dx = N. (2.8)

Tambem

V (x) =∫

dx′Vimp(x′)ρimp(x− x′). (2.9)

Tomando a transformada de Fourier,

ρimp(q) ≡ 1

Ω

∫dxe−iq·xρimp(x), (2.10)

nos obtemos:

ρimp(q) =1

Ω

N∑

i=1

e−iq·ri . (2.11)9

Assim, a transformada de Fourier

V (q) ≡ 1

Ω

∫dxe−iq·xV (x) (2.12)

pode ser escrita como

V (q) = Vimp(q)N∑

i=1

e−iq·ri , (2.13)

com

Vimp(q) =1

Ω

∫dxe−iq·xVimp. (2.14)

Nos descrevemos o sistema com um hamiltoaniano de partıcula livre incluindo o es-palhamento causado pelas impurezas.

H =∑

i

p2i

2m∗ +∑

i

U(xi) (2.15)

Escrevendo este hamiltoniano em segunda quantizacao, nos temos:

H =∑p

εpa†pap +

∑q

U(q)∑p

a†p+qap. (2.16)

O proximo passo e calcular a funcao de Green retardada para a dada configuracao deimpureza, definida por:

GR(p, t;p′, t′) = −i⟨0|T [ap(t)a†p′(t

′)]|0⟩

, (2.17)

onde o potencial V (x) e causada por impurezas N localizadas em sıtios r1, r2...rN . Umavez obtendo a funcao de Green para uma dada configuracao de impurezas, nos procedemospara o calculo da media configuracional.

Usando o teorema de Wick [67], a funcao de Green pode ser expandida em termos deum hamilntoniano nao perturbado, o valor esperado sendo calculado no vacuo de eletronslivres (represented by 0 < ... >):

G(p,p′, t− t′) = −i0〈T [ap(t)a†p′(t′)e−i

∫ t

0dt H1(t)]〉. (2.18)

Na expansao acima nos tomamos apenas os diagramas conectados topologicamente difer-entes. Operadores sao escritos na figura de interacao, a†p′(t

′), por exemplo.O termo de primeira ordem e:

GR1 (p,p′; E) = GR

0 (p; E) < p|V |p′ > GR0 (p′; E), (2.19)

GR1 (p,p′; E) = GR

0 (p; E)Vimp(p− p′)GR0 (p′; E)

1

Ω

N∑

i=1

e−i/h(p−p′)·Ri . (2.20)

Para performar a media configuracional em GR1 , nos notamos que

<N∑

i=1

ei/h(p−p′)·Ri >=N∑

i=1

1

Ω

∫

Ωd3Rie

i/h(p−p′)·Ri =1

Ω

N∑

i=1

δp,p′ = Nδp,p′ , (2.21)

10

e sabemos que NΩ

= ni, nos temos

< GR1 (p,p′; E) >= niVimp(p = 0)[GR

0 (p; E)]2δp,p′ . (2.22)

Nos podemos ver o diagrama correspondente na Fig.2.1. Note que niVimp(p = 0) e umaconstante. Que pode ser eliminada pela adicao de −niVimp(0) ao hamiltoniano. Nospodemos, entao, desprezar todos os diagramas que pertence a esta famılia.

Figura 2.1: Diagrama de primeira ordem.

Seguindo os mesmos passos nos podemos proceder a media configuracional [68] dotermo de segunda ordem:

< GR2 (p,p′; E) >= GR

0 (p; E)∑

p′′Vimp(p− p′)GR

0 (p′′; E)Vimp(p′′ − p′)×

×GR0 (p′; E)

1

Ω2<

N∑

i=1

N∑

j=1

e−(p−p′′)·Rie−(p′′−p′)·Rj > . (2.23)

Dois casos devem ser analizados. Caso 1: i 6= j. Aqui,

N∑

i=1

N−1∑

j 6=i

1

Ω

∫d3Rie

−i(p−p′′)·Ri1

Ω

∫d3Rje

−i(p′′−p)·Rj =

=1

Ω2N(N − 1)δp,p′′δp′′,p′ =

1

Ω2N(N − 1)δp,p′δp′′,p. (2.24)

Tomando N(N−1)Ω2 → n2

i , onde nos assumimos N grande o suficiente,

< GR2 (p,p′; E) >i 6=j= δp,p′n

2i [Vimp(0)]2[GR

0 (p; E)]3. (2.25)

Essa contribuicao para a expansao sao descritas por Fig.2.2Igualmente a descricao anterior, incluımos a constante −niVimp(0) ao hamiltoniano,

esse termo e eliminado tambem. O caso interessante e o caso 2: i = j. Aqui,

1

Ω<

N∑

i=1

e−(p−p′)·Ri >=ni

Ωδp,p′ , (2.26)

< GR2 (p,p′; E) >i=j= niδp,p′ [G

R0 (p; E)]2

1

Ω

∑

p′′|Vimp(p− p′′)|2GR

0 (p′′; E). (2.27)

O termo de segunda ordem corresponde ao diagrama na Fig.2.3:11

Figura 2.2: Diagrama de segunda ordem para o caso onde i 6= j.

Figura 2.3: Diagrama de segunda ordem para o caso onde i = j.

Podemos ir a ordens superiores. Teremos dois tipos diferentes de diagramas: diagramasirredutıveis e redutıveis, na definicao usual [67]. Se tomarmos a soma de todas as insercoesirredutıvel obtemos a auto-energia ΣR(p,E) e a media configuracional da funcao (que estana diagonal p, como uma consequencia de tornar o espaco homogeneo apos o processo deobter a media) pode ser escrita em termos da equacao de Dyson:

< GR(; E) >= GR0 (p; E) + GR

0 (p; E)ΣR(p,E) < GR(p;E) > . (2.28)

2.2 Aproximacao de Born auto-consistente (ABAC)

A aproximacao de Born consiste em desprezar todas as insercoes irredutıveis e consideraros espalhamentos duplos pela mesma impureza. Por tanto, nos ficamos com Fig. 2.4representando o unico diagrama de auto-energia que aparece na aproximacao de Born[69]:

A expressao analıtica descrevendo o diagrama e:

ΣR(p, E) = ni

∫ dp′

(2πh)3|Vimp(p− p′)|2GR(p′, E), (2.29)

que e uma expressao implıcita desde o propagador e, por sua vez, especificadas em termosde sua auto-energia. Substituindo na Eq.2.29 a funcao de Green com a media configura-cional nao perturbado GR

0 (p)′, E), obtemos:

ΣR0 (p, E) = −i

h

2τ(E,p)+ <ΣR

0 (p, E) (2.30)

12

Figura 2.4: Aproximacao de Born auto-consistente - diagramas nao cruzados.

onde τ(E,p) e o tempo de relaxacao,

h

τ(E,p)= 2πniN0(E)

∫ dp

4π|Vimp(p− pEp′)|2, (2.31)

pE =√

2mE, e a parte real da auto-energia e o valor principal de Cauchy:

<ΣR0 = niP

∫ ∞

0dεp′N(εp′)

1

E − εp′

∫ dp

4π|Vimp(p =

√2mεp′p′)|2. (2.32)

Entao, o propagador geral medio de impureza e:

GR(E,p) =1

E − εp′ −<ΣR0 (p, E) + ih/2τ(E,p)

(2.33)

A ABAC e valida se a seguinte relacao for obedecida:

p3F Vimp(p = 0) << h3EF (2.34)

2.3 Espalhamento Multiplo

O espalhamento multiplo deve ser usado quando a concentracao de impureza e muito altapara manter a Eq. 2.34. Essa aproximacao consiste em considerar as insercoes de auto-energia que correspondem varios espalhamantos por uma mesma impureza. Embora amelhoria do metodo Klauder [70] realizada por Ghazali Serre que podem ser encontradosnas suas publicacoes [63], entendemos que uma breve descricao deste metodo e util paracompreender os presentes resultados e conclusoes.

Nos usamos o mesmo hamiltoniano de partıcula livre incluindo o espalhamento multiplopelo sistema de impureza para uma espacıfica configuracao como mostrada acima. Deagora em diante nos vamos omitir o til para reperenstar os operadores na figura de in-teracao. Definimos um propagador nao diagonal (gerador):

F (p,p′; t) = −i〈0|T [ap(t)a†p′(0)|0〉, (2.35)

13

os elementos diagonais geram a funcao de Green de partıcula livre. Entao,

F (p,p′; t) = −iθ(t)〈0|ap(t)a†p′(0)|0〉+ iθ(−t)〈0|a†p′(0)ap(t)|0〉. (2.36)

A equacao de movimento para F (p,p′; t) torna-se:

∂

∂tF (p,p′; t) = −iδ(t)〈0|ap(0+)a†p′(0)|0〉 − iδ(t)〈0|a†p′(0+)ap′(0

−)|0〉+ 2nd term

∂

∂tF (p,p′; t) = −iδ(t)〈0|T [ap(0+)a†p′(0)]|0〉+ iδ(t)〈0|T [a†p(0−)ap′(0)]|0〉+ 2nd term

∂

∂tF (p,p′; t) = δ(t)[F (p,p′; 0+)− F (p,p′; 0−)] + 2nd term (2.37)

onde

2nd term = −i〈0|T [∂

∂tap(t)a†p′(0)]|0〉. (2.38)

Mais uma vez:∂

∂tap(t) =

1

i[ap(t), H], (2.39)

e temos:

i∂

∂tF (p,p′; t) = iδ(t)F (p,p′; 0+)− F (p,p′; 0−) − i〈0|T [[ap(t), H]a†p′(0)]|0〉. (2.40)

Agora, uma vez que[ap, H] = εpap +

∑q

U(q)ap+q, (2.41)

eF (p,p′; 0+)− F (p,p′; 0−) = −i〈0|apa†p′ + a†p′ap|0〉 = −iδp,p′ (2.42)

a equacao de movimento torna-se:

(i∂

∂t− εk)F (p,p′; t) = δ(t)δp,p′ +

∑q

UqF (p + q,p′; t). (2.43)

Na aproximacao de ordem zero:

(i∂

∂t− εk)F

0(p,p′; t) = δ(t)δp,p′ , (2.44)

eF 0(p,p′; t) = δp,p′G

0(p, t). (2.45)

Note que, em ordem zero, G0(p, t) = G0R(p, t), isto e, a ordenacao temporal e a funcao

de Green retardada sao a mesma. Fazendo a transformada de Fourier

G0(p, E) =1

E − εp + iη, (2.46)

F (p,p′; E) =∫ ∞

−∞F (p,p′; t)ei(E+iη)tdt, (2.47)14

Figura 2.5: Diagrama do gerador retardado.

nos obtemos a equacao de Dyson para o gerador:

F (p,p′; E) = δp,p′G0(p, E) + G0(p, E)

∑q

UqF (p + q,p′; E). (2.48)

Diagramaticamente, essa equacao pode ser escrita como na Fig.2.5:Resolvendo interativamente a Eq.(2.48), temos:

F n(p,p′; E) = δp,p′G0(p, E)

∑q

U(q− p)Fn−1(q,p′), (2.49)

ou,

F (p,p′; E) = δp,p′G0(p, E) + G0(p; E)U(p− p′)G0(p′; E)+

G0(p; E)U(p− p1)G0(p1; E)U(p1 − p′)G0(p′; E)... (2.50)

Fazendo uso do fato que

G(p; E) = F (p,p; E), (2.51)

temos:

G(p, E) = F (p,p; E) = G0(p; E) + G0(p : E)U(0)G0(p; E)+

G0(p; E)U(p− p1)G0(p1, E)U(p1 − p)G0(p; E)... (2.52)

ou,

G(p, E) = F (p,p; E) = G0(p; E) + G0(p : E)U(0)G0(p; E)+

15

G0(p; E)U(q)G0(p + q, E)U(−q)G0(p; E)... (2.53)

A relacao acima expressa a conservacao em cada termo. Isso pode ser escrito de formacompacta usando a auto-energia:

G(p; E) = G0(p; E) + Σ(p; E)G(p, E). (2.54)

A aproximacao de espalhamento multiplo consiste em selecionar apartir das auto-energias apenas os termos descritos pela expansao diagramatica na Fig.2.6.

Figura 2.6: Diagramas de auto-energia, com a aproximacao do espalhamento multiplo.

Σei(p; E) =1

(2π)d

∫ddq1v(q1)G

0(p + q1)v(−q1)+

1

(2π)2d

∫ddq1

∫ddq2v(q1)G

0(p + q1)v(q2 − q1)G0(p + q2)v(−q2) + ... (2.55)

Nao temos a energia no argumento do propagador, uma vez que a energia e conservadano processo de espalhamento, considerados aqui elasticos. Agora, e conveniente introduzira funcao vertice por sua propria equacao de Dyson:

K(k,q; E) =1

(2π)d

∫ddq1v(q1 − q)G0(k + q1)×

×[Nv(−q1) + K(k,q1; E)]. (2.56)

Portanto,

K(k,q; E) =1

(2π)d

∫ddq1v(q1 − q)G0(k + q1)Nv(−q1)+

1

(2π)d

∫ddq1

∫ddq2v(q1 − q)G0(k + q1)v(q2 − q1)G

0(k + q2)Nv(−q2) + ... (2.57)

Entao

Σei(k; E) = K(k,q = 0; E). (2.58)

Diagramas de ordem superior sao incluıdos se nao mudarmos a funcao de Green naoperturbada pela media de impureza:

16

K(k,q; E) =1

(2π)d

∫ddq′v(q′ − q)G(k + q′)×

×[Nv(−q′) + K(k,q′; E)]. (2.59)

Neste ponto, vale a pena realizar a mudanca de variaveis, proposta por Serre e Ghazali(de oura maneira este desenvolvimento e praticamente inutil):

k + q′ → q′1k + q → q1

(2.60)

Com essa mudanca a Eq.(2.59) se torna:

K(k,q1 − q; E) =1

(2π)d

∫ddq′1v(q1 − q′1)G(q′1)×

×[Nv(k− q′1) + K(k,q′1 − k; E)]. (2.61)

Em seguida definimos a funcao vertice K1(k,q1−k; E), que obedece a seguinte equacaode Dyson:

K1(k,q1; E) =1

(2π)d

∫ddq′1v(q1 − q′1)G(q′1)

×[Nv(k− q′1) + K1(k,q′1; E)]. (2.62)

Visto que Σei(k; E) = K(k,q = 0; E), temos:

Σei(k; E) = K1(k,k; E), (2.63)

onde vemos que, agora, Σei(k; E) torna-se o termo correspondente a linha diagonal k,linha k da matriz K1 calculada na energia E. Para tornar este formalismo operacional,mais uma mudanca e necessaria. Em seguida, definimos a funcao U :

U(k,q; E) = K1(k,q; E) + Nv(k− q). (2.64)

Neste caso, a Eq.(2.62) torna-se:

U(k,q; E) = Nv(k− q)+

+1

(2π)2

∫ddq′1v(q′ − q)G(q′)U(k,q′; E). (2.65)

Com isso temos a equacao de matrix linearizada:

[I − vG]U = Nv, (2.66)

onde o sinal til e utilizado para identificar uma matriz. Portanto, o problema e reduzidoa uma simples equacao de matriz linear do tipo A · X = B, onde B = Nv e uma matrizfixada, enquanto que A = [I − Gv], e X = U mudancas em cada iteracao no processoauto-consistente.

17

Nos comecamos com uma funcao de Green de partıcula livre, e obtemos U . Emseguida, com as Eqs.(2.63) e (2.64), calculamos a auto-energia eletron-impureza, a funcaopara a proxima iteracao, e assim por diante.

Com a funcao de Green nos calculamos a densidade de estados (DOS)

Nσ(E) = − 1

2π

∑

k

Im [Gσ(k, E)] , (2.67)

e a funcao densidade espactral (FDS),

Aσ(k, E) = − 1

2πIm [Gσ(k, E)] , (2.68)

onde G sigma(k), E) e a funcao de Green para energia E e vetor de ondak, para umapolarizacao de spin σ. A parte imaginaria e denotado por Im. Em extremos limites diluıdode impurezas rasas doadoras em sistemas 3D nao magneticos a DOS aborda a forma deuma funcao delta-centrado em um −1Ry∗, e a DOS de uma partıcula livre comecandona borda da banda de conducao, tomado como o zero da escala da energia. Como aconcentracao impureza aumenta, uma largura da banda aparece na banda de impureza,juntamente com um deslocamento na direcao da parte inferior da banda conducao, aomesmo tempo que um rabo DOS e criado. Para maiores e de maior concentracao deimpureza a banda de impureza se move mais para a DOS de partıcula livre com as suascaudas, cada vez mais largo e mais largo, finalmente, imerge uma para a outra comomostra a Fig. 2.7.

Figura 2.7: Densidade de estados para o espalhamento multiplo: Amostra Si dopado comP . De acordo com a Ref.[63].

Em sistemas 2D um comportamento similar ocorre, mas em regimes extremamentediluıdos geram uma banda de impureza em −4Ry∗, e uma funcao step para a banda deconducao. Para altas concentracoes os resultados sao mostrados na Fig. 2.8 e Fig.2.9.

2.4 Descricao Numerica

Neste momento, discutiremos alguns detalhes numericos, que sao fundamentais para sechegar a uma rapida convergencia resolvendo auto-consistentemente a Eq. 2.66. Vale a

18

Figura 2.8: Largura da banda de umpureza para Silıcio. Depois I. C. da Cunha Lima, M.A. Boselli and A. Ghazali, nao publicado.

pena mencionar que, na sua forma atual, adaptada pelo nosso grupo, o codigo tem 2.149linhas de comando. E interessante fazer uso da unidade atomica efetiva, pois a energiae escrita em Ry∗ (Rydberg efetivo) e no inverso do comprimento de onda o raio de Bohrefetivo, k = a0q

−1.A equacao matricial de U ,

U(~k, ~q; E) = niv(|~k − ~q|) +1

(2π)2

∫d2q′v(|~q′ − ~q|)G(~q′; E)U(~k, ~q′; E), (2.69)

se torna

U(~k, ~q; E) = niv(|~k − ~q|) +a−2

0

(2π)2

∫ 2π

0dθ′

∫ ∞

0dq′q′v(|~q′ − ~q|)G(~q′; E)U(~k, ~q′; E) (2.70)

Definindo∆q′ =

√q2 + q′2 − 2qq′ cos θ′,

U(~k, ~q; E) = niv(|~k − ~q|) +a−2

0

(2π)2

∫ 2π

0dθ′

∫ ∞

0dq′q′v(∆q′)G(~q′; E)U(~k, ~q′; E) (2.71)

19

Figura 2.9: Borda de banda de impureza com N = Ni para Silıcio. Depois de I. C. daCunha Lima, M. A. Boselli and A. Ghazali, nao publicado.

Em seguida, nos performamos a discretizacao, ou “matriz continuidade”, pela utilizacaoda quadratura de Gauss ao inves de intergal:

U(~k, ~q; E) = niv(|~k − ~q|) +a−2

0

(2π)2

∑

θ′ω(θ′)

∑

q′q′ω(q′)v(∆q′)G(~q′; E)U(~k, ~q′; E) (2.72)

ou

∑

θ′

∑

q′[δq′, qδθ′, θ − a−2

0

(2π)2ω(θ′)q′ω(q′)v(∆q′)G(~q′; E)]U(~k, ~q′; E) = niv(|~k − ~q|). (2.73)

Eq. 2.73 e usada para definir matrizes A e B:

∑

q′, θ′A(q, θ, q′, θ′; E)U(q′, θ′;~k, E) = B(q, θ;~k)) (2.74)

Portanto, nos conduzimos a equacao de matriz linearizada,

AX = B, (2.75)

onde A e uma matriz quadrada, X e B sao matrizes coluna. A matriz B e constante.Essas matrizes sao infinitas, portanto devem ser truncadas, de alguma forma. O tamanhoadequado para atingir uma boa precisao e questao de experiencia.

O programa resolve a Eq. (2.74) e obtem a auto-energia com a media de impurezadevido ao espalhamento pelas impurezas:

Σe−i(~k, E) ≡ K1(~k,~k; E) (2.76)20

isto e,Σe−i(~k,E) ≡ U(~k,~k; E)−Niv(0), (2.77)

A media do propagador de partıcula livre e obtido por

G(~k, E) = [E − εk − Σ(~k,E)]−1, (2.78)

estabilizando o processo de interacao, desde que a matriz U(~k,~k′; E) depende de G(~k, E)A ideia geral e:

1. Uma energia complexa E + iE ′ e considerada, para evitar divergencias.

2. O processo interativo comeca com a auto-energia de uma “partıcula livre”, isto e,<Σ(~k, E + iE ′) = =Σ(~k, E + iE ′) = 0, ou G0(~k, E + iE ′) = [E − k2 − εxc − iE ′].

3. Para uma fixada E + iE ′ o programa escolhe um apropriado numeros de pontos kno intervalo 0 < k < kmax. A forma que esse numero de pontos e determinado euma questao fundamental para o calculo, utilizando os valores maximos e mınimosda funcao densidade espectral para o valor especıfico da energia complexo.

4. Matrizes A e B sao calculados para um especıfico k, e E+ iE ′. Escolhendo a direcaopara ~k (a media de impurezas faz todas as direcoes iguais) implica na especificacao

dos vetores ~q e ~q′ por suas intensidades q q′, e com angulos ~k, θ e θ′.

5. Somatorios em q′ e θ′ sao feitas usando quadratura gaussiana.

6. A equacao matricial A.X = B e resolvida. Uma vez que U e obtido, Σ e A(~k, E+iE ′)sao calculados.

7. Conhecendo A(~k, E + iE ′) o programa determina em novo conjunto de pontos paraa proxima interacao. Essa e uma parte muito sensıvel do programa.

8. Depois do criterio de convergencia ser satisfeito, k e mudado para o proximo valor.

9. Uma vez que a convergencia e obtida para todos k′s, E ′ e diminuıda e o processo erecomecado. O programa guarda os valores convergidos da auto-energia a da FDS.

10. O valor de Σ(E, E ′ = 0, k) e obtido pela extrapolacao de cada ponto.

11. A densidade de estados e obitda para a dada energia (parte real) baseada na ex-trapolacao Σ(E, E ′ = 0, k).

12. A densidade de estados obtida para cada E ′ sao extrapoladas para E ′ = 0.

13. A diferenca maxima entre a densidade de estados obtidos em ambos os sentidos everificada com um criterio de precisao. Se for aceita, a iteracao e concluıda para aenergia.

14. Em seguida essa energia e incrementada.

21

Capıtulo 3

DISORDEM ESPIN-POLARIZADO

3.1 Caracter dos estados no nıvel de Fermi em GaM-

nAs

O caso do GaMnAs e muito mais complicado que as impurezas rasas nao magnetica emsemicondutores [63]. Mn nao pode se considerado como um aceitador raso, uma unicaimpureza com energia de ligacao do buraco pesado perto de 110 meV. A ordem magnetica,quando existente, afeta a polarizacao do sistema de buracos no DMS. Em outras palavras,quando a aproximacao disordem classica e aplicada neste material nao podemos obter,levando em conta apenas o espalhamento Coulomb, o limite de unica impureza em regimede extremamente baixo de concentracao. Alem disso, com o aumento da concentracao, otratamento de desordem com funcao de Green de espaco real usual nao sera capaz de darconta de blindar os centros atrativos, aı incluıdo a interacao magnetica.

Em uma escala macroscopica de disordem pode ser tratada, de um ponto de vistateorico, pelo calculo da propriedade em que nos estamos interessados para uma especıficaconfiguracao aleatoria de impurezas, e entao tomando uma media sobre todas as con-figuracoes possıveis. A escolha natural para problemas relacionados as propriedades detransportes deve ser o calculo da resistividade media ou condutividade, dependendo daforma da propriedade que e medida. Contudo, esses calculos envolvem a funcao correlacaode muitos corpos que sao, em muitos casos, impossıvel de obter. Nesta tese nos fizemosuma opcao diferente. Nos incluımos a polarizacao de spin no calculo de espalhamentosmultiplo atraves da magnetizacao media de dipolos magneticos de sıtios de Mn, e foiintroduzida uma figura de merito para identificar uma amostra, como metalicas ou naometalicas, em vez de calcular diretamente a resistividade. Esta e a questao central desteCapıtulo.

O calculo autoconsistente e performado para um gas bidimensional de buracos dedensidade ns submetida ao espalhamento Coulomb por um sistema de impurezas nega-tivemente ionizadas de concentracao Ni, a para a polarizacao de spin devido uma mediade magnetizacao, como descrita na Secao 2.3. Estes dois dados ns e Ni, sao consideradoscom parametros independentes. Isso e importante no presente contexto, uma vez quee conhecido a densidade de portadores livres em amostras ferromagneticas de GaMnAsque e apenas uma fracao da concentracao de Mn, a razao para isso continua sendo aindauma controversa na literatura. A massa efetiva e a constante dieletrica sao assumidas

22

como mh = 0.62 (buraco pesado) e κ0 = 12.35. Para baixas concentracoes de impurezas,independetemente da densidade de buracos, podemos ver uma banda de impureza desta-cada da banda de conducao onde uma cauda comeca aparecer. Tambem confirmamos queem muito baixas concntracoes e Ni = ns, desprezando todas as interacoes magneticas,a largura da banda de impurezas tende a zero e torna-se centrada em −4Ry∗, o bemconhecido estado 1s de unica impureza bidimensional, como esperado.

Nos comecamos nossos calculos com funcao de Green de partıcula livre nao polarizadoG0

σ(p, E) para resolver a equacao de Dyson para a media configuracional [68] Gσ(p, E):

Gσ(p, E) = G0σ(p, E) + G0

σ(p, E)Σσ(p, E)Gσ(p, E), (3.1)

onde Σσ(p, E) e a media configuracional da ”self-energy”que inclui todos as interacoesconsideradas em nosso modelo [69].

Entao, nos calculamos a densidade de estados como funcao da concentracao de im-pureza e portadores. Podemos observar na Fig.3.1 como a banda de impureza e a bandade conducao/valencia se comportam, na ausencia de magnetizacao. A banda de impurezafunde na banda de valencia para alta concentrcao de centros espalhadores.

10

-1-2

-3-4

050100

150

200

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

DO

S(a

.u.)

Energy(Ry*)

ni (10 10cm -2)

Figura 3.1: Densidade de estados (DOS) como funcao de energia e concentracao deimpureza para GaAs com espalhamento Coulomb. A concentracao de buracos e ns =5× 1011cm−2. Depois E. D. Cabral, A. Ghazali, M. A. Boselli, I. C. da Cunha Lima, naopublicado.

A concentracao de impureza em que a banda impureza funde na banda de valencia,entretanto, nao pode se considerada como a concentracao crıtica para a transicao nometal-metal. Um profundo entendimento deste problema pode ser atingido pela analiseda funcao densidade espectral(FDS),

A(k, E) = − 1

πIm[G(p, E)] (3.2)

em uma dada energia como funcao do vetor de onda. Entao, nos observamos a tıpicaforma correspondendo aos estados estendidos e localizados, como descrito na seguintediscussao.

23

Uma partıcula livre, tendo energia perfeitamente determinada pelo vetor de onda,E(k) = h2k2/2m tem sua FDS em uma dada energia E como uma funcao delta navariavel k centrada em k =

√2m∗E/h. Quando espalhadores aleatorios sao incluıdos,

uma largura e introduzida, a FDS torna-se mais largo com a desordem. Em outro ex-tremo, uma partıcul localizada, por exemplo, um eletron ligado a uma impureza em umregime altamente diluıdo, tem uma FDS com forma de sino com o maximo em k = 0.Portanto, conhecendo a FDS no nıvel de Fermi podemos falar sobre o carater, estendidoou localizado, e infere o comportamento como metalico ou nao metalico do nosso simplesmodelo. Este e o raciocınio utilizado aqui, a partir do ponto de vista de um propagadorde uma unica partıcula, a questao sobre o carater do estado - estendido ou localizado -aponta para a comparacao da FDS das partıculas em uma dada energia, com uma funcaocom forma de sino ou uma funcao delta.

A dificuldade em proceder de acordo com a linha acima reside no fato de que, a fim deobter a funcao de Green no regime altamente concentrado de GaMnAs (embora continuea ser chamado de semicondutores magneticos diluıdos) uma equacao integral, a equacaode Dyson, deve ser resolvida de forma autoconsistente. O metodo desenvolvido por Serree Ghazali [63] contorna as dificuldades numericas, e podemos obter com alta precisao a”self-energy”, a DOS e a FDS. Com este ultimo, podemos dizer sobre a natureza dosestados efetivamente contribuindo para a conducao, que depende se o spin e dependenteda mobility edge se encontra abaixo ou acima do nıvel Fermi.

Portanto, a forma da FDS para uma dada energia e usada como um criterio para aidentificacao de um estado na energia E sendo estendido ou localizado. Por exemplo, sea energia e profundamente dentro da banda de conducao/valenica a FDS plotada comofuncao do vetor de onda k mostra um, a distribuicao muito afiada em um dado k, enquantoum estado profundamente dentro da banda de impureza aparece com uma Lorentzianalargada centrada em k = 0. Isso e esquematicamente mostrado na Figs.3.2. Na esquerda,(a) mostra a densidade de estados caracterıstica de um sistema com ns = 2× 1012 cm−2

e Ni = 5 × 1011 cm−2 (curva no regime de concentracao intermediario), com uma bemdefinida banda de impureza e a banda de valencia com uma cauda. Na direita (b) mostraa FDS obtida para dois valores de energias indicado em (a). A energia E1 se situa nomeio da banda de impureza, enquanto E2 se situa dentro da banda de valencia.

A interacao de um gas de buracos com o momento magnetico na posicao do Mn podeser modelado com potencial tipo Hubbard,

Vsp−d(~r) = −I∑

i

~Si · ~s(~r)δ(~r − ~Ri), (3.3)

onde o spin localizado do ıon de Mn ~Si na posicao ~Ri e tratado como variaveis classicas, e~s(~r) e o operador de spin dos portadores na posicao ~r; I e a interacao sp− d. Assumindouma distribuicao contınua de dipolos magneticos, podemos ter:

∑

i

→ c∫

d3Ri, (3.4)

entao,

Vsp−d(~r) = −cI

V

∫d3RiSi · ~s(~r)δ(~r − ~Ri) (3.5)

Em baixas temperaturas (comparadas com temperaturas de transicao) desprezamos flu-tuacoes dos momentos magneticos nas impurezas - que de outro modo produz espal-hamento spin-flip - e assume Si = 5h〈M〉/2, onde 〈M〉 e a magnetizacao normalizada

24

-2 -1 0 10.0

0.5

1.0

1.5

2.0(a)

E2

E1

(b)E1(x 50)

E2

Den

sity

of

stat

es (

a. u

.)

Energy (Ry*)0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0

2

4

6

8

k (1/a0*)

ns= 2x1012cm-2

Ni= 5x1011cm-2

Spe

ctra

l Den

sity

Fun

ctio

n (a

. u.)

Figura 3.2: (a)Densidade de estados (DOS) em unidades arbitrarias para uma tıpicaamostra com uma banda de impureza destacada. (b) Funcao densidade espectral paradois valores de energia, E1 no meio da banda de impureza, E2 dentro da banda de valencia.Dados sao mostrados em unidades arbritrarias, mais para fim de usar a mesma escala,multiplicamos a FDS para E1 por um fator de 50. De acordo com Ref. [53]

(0 ≤ 〈M〉 ≤ 1). Assumindo, no que diz respeito a interacao magnetica local, uma dis-tribuicao homogenea dos momentos magneticos localizados com uma densidade dada pelaconcentracao de Mn, obtemos um potencial magnetico efetivo,

Vmag = −x

2N0β〈M〉σ (3.6)

onde N0βx = Ic, σ = ±1, x e o fator de dopagem de Mn, e N0β e o potencial de troca paraburacos, N0β = −1.2eV , de acordo com Ref. [12]. Se x = 0.05, Vmag introduz um tipo de

Zeeman splitting de 150 meV para amostra completamente ordenadas magneticamente. Eimportante enfatizar o fato de que o sppliting em duas bandas, uma com spins alinhadoscom a media magnetizacao (que sobe em energia) e os outros com spins anti-alinhados(que cai em energia), nao e realmente um Zeeman splitting, uma vez que nao resultada interac ao do spin com um campo magnetico externo, mas ela sai de uma mediaconfigurational realizada na interacao sp-d do potencial local tipo Hubbard. Calculamoso nıvel Fermi e a FDS para cada polarizacao de spin (alinhado e anti-alinhado com amagnetizacao media) correspondente ao Zeeman splitting 50, 100 e 150 MeV.

Nossos calculos contem uma vasta gama de Ni e ns. Os valores ns = 5× 1012 cm−2 eNi = 1× 1013cm−2 para uma fina camada correspondente aproximadamente a valores emque a transicao nao-metal-metal foi observada experimentalmente ja ter ocorrido, comx = 0.05 e uma concnetracao de portadores de 1020−21 cm−3 em uma camada epitax-ial. Como reportado em [53], um comportamento metalico e observado, com a maioriados buracos spin polarizado (spins anti-alinhados com a magnetizacao media) mostrandoum tıpico comportamento metalico mesmo para uma magnetizacao relativamente fraca.Conforme aumenta o splitting, a FDS no nıvel de Fermi para spins anti-alinhados torna-se nıtida, enquanto que para spins alinhados espalha-se no espaco de k, com o maximoaproximadamente em k = 0.

25

Comecando com ns = 5×1012cm−2 e Ni = 1×1013cm−2, representado pelo modelo “0”mostrado no esquema da Fig. 3.3, nos procedemos para explorar outras concentracoesna vizinhaca calculando DOS spin polarizados e FDS. Por exemplo, nos fixamos Ni =1× 1013cm−2 e estudamos a natureza dos estados de spins polarizados para varios valoresde magnetizacao nas amostras do modelo ‘a”, “b”, “c” and “d”, com ns = 3; 4; 6 e7× 1012cm−2, respectivamente. Alternativamente, fixamos ns = 5× 1012cm−2 no modelode amostras “e”, “f”, “g” e “h” , com Ni = 0.8; 0.9; 2 e 3× 1013cm−2. Os resultados saomostrados na Fig.3.4, para Ni fixo, e na Fig. 3.5 para ns fixo.

Figura 3.3: Esquema usado para calcular a FDS para um gas spin polarizado. No centro,representado pelo 0, os valores ns = 5 × 1012cm−2 e Ni = 1 × 1013cm−2. A coluna queinclui pares a,b,c, e d, para maiores e menores valores de Ni, a linha inclui pares e, f,g eh, para maiores e menores valores de ns. De acordo com Ref. [54].

Fixando a concentracao de Mn Ni, e aumentando a densidade de portadores ns, ob-servamos o carater dos spins dos portadores anti-alinhados para abordar uma naturezatipo estendida com o aumento da magnetizacao media. Isso corresponde a passar poruma transicao nao metal-metal. Para baixo ns os estados sao localozado para ambas ori-entacoes de spin. Os picos que comecam a aparecer na FDS de spin anti-alinhado quandoaumentamos ns torna-se mais nıtida com o aumento do Zeeman splitting, resultando noaumento da magnetizacao media de Mn.

Por outro lado, fixando ns, como aumentamos a concentracao de Mn, chegamos a umafamılia de amostras que, nao importa a magnetizacao, ambas polarizacoes de spin mostraum carater localizado. Podemos dizer que podemos alcancar a situacao correspondente atransicao metal-nao-metal.

26

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

k(1/a0*)

Spec

tral

Den

sity

Fun

ctio

n (a

.u.) n

s=3x1012cm-2

ni=1x1013cm-2

12

3

4

5

6

7

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

k(1/a0*)

ns=4x1012cm-2

ni=1x1013cm-2

12

3

4

5

6

7

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

ns=5x1012cm-2

ni=1x1013cm-2

k(1/a0*)

Spec

tral

Den

sity

Fun

ciot

n (a

.u.)

12

3

4

5

6

7

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

ns=6x1012cm-2

ni=1x1013cm-2

k(1/a0*)

Spe

ctra

l Den

sity

Fun

ctio

n (a

.u.)

1

2

3

4

5

6

7

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

ns=7x1012cm-2

ni=1x1013cm-2

7

65

4

3

21

k(1/a0*)

Figura 3.4: FDS das amostras tendo Ni = 1 × 1013 cm−2 e mudando ns. Curva 1corresponde tanto spin alinhado quanto anit-alinhado no nıvel de Fermi com magnetizacaozero, curvas 2 e 3 a spin anti-alinhado e alinhado com um splitting de 50 meV, 4 e 5 idempara 100 meV, e 6 e 7 para 150 meV. De acordo com Ref.[54].

3.2 Diagrama de fase

Estendendo nossos calculos para um numero muito maior de amostras modelo, tornounecessario a definicao de uma figura de merito para classificar as amostras como metalicaou nao metalica automaticamente. Inspirado na Fig. 3.2 definimos um parametroD(ni, ns, E, σ) como a razao

D(ni, ns, E, ↓) =k0

∆↓(E), (3.7)

onde k0 e o vetor de onda em que a FDS para uma dada energia alcanca o valor maximo, e∆↓(E) e a largura da FDS para spin anti-alinhado para essa energia. O maior D(ni, ns, E, ↓) e o mais “condutor”, ou estado e menos localizado. Nos nao precisamos nos preocu-par com estados de spins alinhados, uma vez que todos os casos calculados eram todos

27

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

Spec

tral

Den

sity

Fun

ctio

n (a

.u.)

k(1/a0*)

ns=5x1012cm-2

ni=8x1012cm-2

1

2

3

4

5

6

7

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5n

s=5x1012cm-2

ni=9x1012cm-2

k(1/a0*)

12

3

4

5

6

7

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

ns=5x1012cm-2

ni=1x1013cm-2

k(1/a0*)

Sep

ctra

l Den

sity

Fun

ctio

n (a

.u.)

12

3

4

5

6

7

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

ns=5x1012cm-2

ni=2x1013cm-2

k(1/a0*)

Spe

ctra

l Den

sity

Fun

ctio

n (a

.u.)

12

3

4

5

6

7

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

ns=5x1012cm-2

ns=2x1013cm-2

k(1/a0*)

1 23

4

5

6

7

Figura 3.5: O mesmo como acima tendo ns = 5 × 1012 cm−2 e mudando Ni. De acordocom Ref. [54].

completamente localizados. Nossa figura de merito para classificar quanto a amostra emetalica, e difinida como

D∗(ni, ns) =D(ni, ns, EF , ↓)

maxD(ni, ns, EF , ↓) , (3.8)

onde maxD(ni, ns, EF , ↓) se refere ao valor mais alto obtido dentro da nossas amostras,i.e., alem de ajustar ni e ns usados para caracterizar nossas amostras. Os nıveis de Fermi,obviamente muda de amostra para amostra.

Um calculo da DOS para um sistema completamente ordenado, 〈M〉 = 1, amostracom ni = 1.2 × 1013cm−2 e ns = 6.5 × 1012cm−2 e mostrado na Fig.3.6. Usando nossoparametro D(ni, ns, E, ↓) para energias E indo da energia mais baixa para o nıvel deFermi EF , podemos identificar algo como uma mobility edge, µ↓.

Curvas (a), (b) e (d) na Fig.3.7 corresponde a FDS para as energias 0.18Ry* acima,e 0.38Ry* e 0.43Ry* abaixo da mobility edge, respectivamente. Curva (c) mostra a FDSadotada ser a mobility edge, identificada como a energia em que a forma da curva muda

28

-4 -2 0 20.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

aligned

DO

S (

1/R

y*a*

02 )

Energy ( Ry* )

anti-aligned

µ

Figura 3.6: Densidade de estados (DOS) para ni = 1.2×1013cm−2 e ns = 6.5× 1012cm−2.De acordo com Ref.[55].

de repente de um tipo para outro. Neste caso se situa na regiao da banda anti-alinhadaonde ja teria fundido totalmente na banda de velencia. Esta amostra representa a melhorfigura de merito obtida. Observamos que o gas de buracos e totalmente spin polarizada,isto e, nos temos um tipo de amostra semi-metalicas. Isto e por que nao existe buracosestendidos com spin alinhado com a magnetizacao media.

A figura 3.8 mostra um plot em duas dimensoes (2D) da figura de merito em um amplointervalo de ni e ns com uma escala de cor anexada. Assumimos em todos casos 〈M〉 = 1.Isto nem sempre e possıvel, uma vez que algumas amostras pode apresentar canted phase,onde os dipolos magneticos sao parcialmente alinhados, 〈M〉 < 1 aparece como um faseestavel em T = 0. Neste caso o Zeeman splitting desloca o nıvel de Fermi para umaposicao em que os estados com spin anti-alinhados com a magnetizacao media nao sao“bons” estados estendidos. Simulacao Monte Carlo tem mostrado que essas amostrastem baixa temperatura de transicao e, em princıpio nao sao objetos de grande interesse[36]. Por essa razao, mostramos apenas o carater dos estados resultado de um completoalinhamento do dipolo magnetico localizado.

E notavel a formacao de uma “ilha” de amostras metalicas na vizinhaca de ni =1.2 × 1013cm−2 e ns = 6.5 × 1011cm−2. Atravessando a regiao da esquerda para direitapercorremos as duas transicoes que tem sido observado experimentalmente. Primeiro,uma transicao nao-metal-metal, na borda correspondente a ni = 7. × 1012cm−2 e ns =6.× 1011cm−3. Mantendo ns constante e aumentando ni entramos na regiao, comecandoperto de ni = 8. × 1012cm−2 e finalizando em ni = 1.3 × 1013cm−2, onde a figura demerito atinge o valor maximo, indicado na figura pela linha reta preta. Deixamos estailha e entramos na regiao onde a figura de merito deminui muito rapido, depois de ni =1.6 × 1013cm−2, que e claramente associado a transicao metal-nao-metal ocorrendo emamostras ferromagneticas com altas concentracoes de Mn. Alem disso, observamos que,dividindo a parte superior e inferior ni correspondendo as transic oes metal-nao-metal anao-metal-metal, respectivamente, nos obtivemos um fator dde 2.4. A razao equivalenteutilizando uma media de pontos da amostra entra amostras #5 e #6, e amostras #2 e#3 respectivamente, na Ref.[12] e 2.1.

Vale a pena ressaltar um aspecto importante na ilha mencionada acima. Mantendo arazao ns/ni em uma faixa atravessando a ilha, sempre atravessaremos as duas transicoes.

29

0.0 0.5 1.0 1.50.0

0.5

1.0

1.5

d

c

b

a

SD

F (

a.u.

)

k ( 1/a*0 )

Figura 3.7: Funcao densidade espectral (FDS) para ni = 1.2 × 1013cm−2 e ns = 6.5 ×1012cm−2. Curvas (a), (b) e (d) corresponde a FDS para energias 0.18Ry* acima, e0.38Ry* e 0.43Ry* abaixo da mobility edge, respectivamente. Curva (c) mostra a FDSassumindo ser a mobility edge. De acordo com Ref.[55].

Alem disso, exceto para canais extreitos na regiao, as linhas irao sempre cruzar um pontode maximo da figura de merito, isto e, a amostra com melhor qualidade do ponto de vistametalico. De acordo com as conclusoes baseada nas amostras mostradas na Ref.[47], elassao esperadas terem altas temperaturas de transicao

Outra regiao onde aparecem boas amostras metalicas e na parte superior do ladoesquerdo da nossa figura. Entretanto, exite uma regiao onde ni e baixo e ns alto, comocomparado com ni. Isto e provavelmente uma regiao difıcil de ser atingida, do ponto devista de preparacao das amostras, que seria a dopagem delta.

Tambem e notavel que o lado direito do grafico mostra que todos os estados localizados.Esta e uma regiao com grande desordem, o que corresponde a alta concentracao de Mn.Aglomerados nao sao permitidos em nosso modelo, mas e provavel que ocorra uma altaconcentracao em tal regiao.

Por uma questao de exaustividade plotamos a Fig.3.9 a FDS para estados de spinalinhados e anti-alinhados em alguns pontos caraterısticos na borda da ilha bem como nocentro. Particularmente, o ultimo ponto observamos o claro carater de estados estendidode buraco spin polarizado. Vale a pena mencionar que uma simulacao Monte Carlousando uma troca indireta spin polarizado usando interacao tipo RKKY demonstram aimportancia de ter portadores livres fortemente spin polarizados mediando a interacao,em fim de obter altas temperaturas de transicao [36].

Em seguida, discutimos a questao da razao entre densidade de carga spin polarizado ea concentracao de Mn. Uma vez que a mobility edge e encontrada, obtemos a densidade deportadores estendidos para cada amostra metalica. Os resultados aparecem na Fig.3.10,onde mostramos a razao n∗s/ns como uma funcao de ni e ns, com

n∗s =

∫ EFµ↓ dEN↓(E)

ns

. (3.9)

Aqui dizemos que medidas de efeito Hall e, de fato, de n∗s. Observe que, embora a Fig. 3.10indica quanto o total de buracos e estendidos, isso nao fala sobre quao bom e esse carater

30

!" !" #$" " %!" $" &$"

Figura 3.8: Figura de merito, como descrita pela Eq. 3.8. De acordo com Ref.[55].

estendido. Esta e a razao pela qual Fig.3.10 nao reproduz perfeitamente a Fig.3.8. Porem,ainda sim podemos ver, denovo, uma pequena ilha na mesma regiao do que a da Fig.3.8,mostrando que temos cerca de 66% do total dos buracos estendidos. Desde que essa ilhacorresponda a fracao ns/ni ≈ 0.5, isso quer dizer que a “melhor amostra” corresponde aaproximadamente, a densidade de buracos, medida por meios do efeito Hall, sendo 30%da concentracao de Mn, que reproduz muito bem as observacoes experimentais, levandoem conta a limitacao do nosso modelo teorico.

Podmeos nos estender a discussao acima, incluir a influencia da magnetizacao mediana FDS de estados de spins anti-alinhados, ou, em outra palavras, o efeito na carga “livre”efetiva de spin polarizado, e como uma retro alimentcao, a influencia desta densidade decargas livres spin polarizadas em 〈M〉. No caso a mudanca em 〈M〉 e provida por umcampo magnetico externo, o resultado do aumento de ns reforca o valor da magnetizacaoatrave do mecanismo de troca indireta. Em algumas amostras nao e excluıdo que essebalanco pode resultar em uma fase magnetica remanescente.

31

!!" #$% !!" $% ! !!" &'% !!"% ! ! !!" ($% !!" '% ! !!" )'% !# " ! ! ! * +,- ./ 0 * . 1,2 * +, - . / 03 4 5 * +, - . / 0 * . 1, 2 * +,- ./ 05

* +,- ./ 0 * . 1, 2 * +,- ./ 03 4 5 * +, - ./ 0 * . 1,2 * +, - ./ 0

5 * +, - . / 0 * . 1,2 * +, - . / 05

Figura 3.9: FDS dos estaods de spins alinhados e anti-alinhados perto da borda da ilhae no centro. Depois de E. Dias Cabral, M. A. Boselli, A. T. da Cunha Lima and I. C. daCunha Lima, nao publicada.

!" !" #$" " %!" $" &$"

Figura 3.10: Densidade de cargas efetiva estendida spin polarizado, como descrito pelaEq. 3.9. De acordo Ref.[55].

32

Capıtulo 4

TROCA INDIRETA COMPOLARIZACAO DE SPIN ESIMULACAO MONTE CARLO

Neste Capıtulo descrevemos o formalismo usado para estudar a ordem magnetica de umacamada digital (dopagem delta) de GaMnAs dentro de um poco quantico submetido aum campo eletrico aplicado na direcao de crescimento da amostra. Este e um importanteproblema, como discutido em detalhes no Capıtulo 5, uma vez que haja o interesse namodulacao da temperatura de transicao de uma camada de semicondutor ferromagneticopela intensidade do campo eletrico, como sugerido pela primeira vez por Gonzaga Filho etal [28]. No que se segue, nos descrevemos a forma como obtivemos a estrutura eletronica,a interacao de troca indireta com spin polarizado, tipo RKKY, e simulacao de MonteCarlo.

4.1 Estrutura Eletronica

Nosso modelo e um poco quantico com largura L, com uma fina camada magnetica deGaMnAs, para os quais um campo eletrico aplicado na direcao de crescimento, comomostrado na Fig. 4.1. Obtemos a estrutura electronica com spin-polarizado para umabanda de buracos (buracos pesados), tendo em conta a sua interacao com impurezasmagneticas. O Hamiltoniano utilizado para o nosso modelo e:

H = HK + UH + Umag + Uext (4.1)

onde HK e a energia cinetica, UH e o potencial de Hartree, Umag e o potencial magneticoe Uext e o potencial devido ao campo eletrico.

Nos tomamos uma funcao como base para representar nossos estados:

Ψn,~k||(~r) =

√2

Lei~k||·~ρ sin(knz) (4.2)

onde ρ = (x, y), com os coeficientes de expansao An. Em seguida obtivemos os elementosde matriz para cada termo do hamiltoniano nessas bases.

Energia Cinetica:

33

Figura 4.1: Modelo da estrutura usada no presente calculo: Uma camada magneticadentro do poco quantico de GaAs.

HKm,n;~k||,~k′||

= (2π)2δ2(~k|| − ~k′||)

[h2(k||)2

2m∗ +h2(kn)2

2m∗ − E

]δm,n (4.3)

Potencial Magnetico: Assumimos a interacao magnetica entre um buraco em ~r)

com spin ~s(~r) e momento de dipolo classico ~S(~Ri) a ser descrita por um potencial localtipo Kondo:

Umag(~r) = −I∑

i

~s(~r) · ~S(~Ri)δ(~r − ~Ri). (4.4)

O elemento de matriz e:

Hmag

m,n;~k||,~k′||=

∫d2ρ

2

L

∫dze−i~k||·~ρ sin(kmz)×

(−I)∑

i

~s(~r) · ~S(~Ri)δ(~r − ~Ri)e−i~k||·~ρ′ sin(knz). (4.5)

Resolvendo a integral nas variaveis ~ρ e z, obtemos:

Hmag

m,n;~k||,~k′||= −I

2

L

∑

i

~s(~Ri) · ~S(~Ri)e−i(~k||−~k′||)·~ρi sin(kmzi) sin(knzi) (4.6)

Em seguida, desprezamos todas as flutuacoes na direcao dos dipolos magneticos, isto e,~S(~Ri) = 〈 ~M〉,

Hmag

m,n;~k||,~k′||= −I

σ

2< M >

2

L

∑

i

e−i(~k||−~k′||)·~ρi sin(kmzi) sin(knzi). (4.7)

Neste ponto passamos o somatorio para uma integral e discretizamos o auto-vetor ~k||:34

Hmag

m,n;~k||,~k′||= −I

σ

2< M > cδ~k||,~k′||

∑

j

F jDMS(m,n). (4.8)

Como usual definimos N0βx = Ic, onde N0 e a densidade do ction, β a energia de trocae x e a quantidade de manganes. A funcao F j

DMS(m,n) e definida como:

F jDMS(m,n) =

2

L

∫dz sin(kmz) sin(knz), (4.9)

a integral sendo realizada entre os limites especıfico da camada j contendo o SMD. Por-tanto,

Hmag

m,n;~k||,~k′||= −N0βx

σ

2< M >

∑

j

F jDMS(m,n). (4.10)

Este elemento matriz e o mesmo devido a um poco ou uma barreira (dependendo dovalor de σ e o sinal de N0β) na camada SMD. Isso introduz um levantamento diferenteda degeneracao de spin para cada subband. Se o SMD ocupada todo o poco quantico,este potencial seria a mesma para todas as sub-bandas, o que corresponde a um splittingZeeman.

Potencial de Hartree : Aqui levamos em conta as interacoes buraco-buraco e buraco-impureza. A aproximacao Hartree consiste na interacao Coulomb escrita como:

UH =e2

4πε0

∫d3r ′ ρ(~r ′)

|~r − ~r ′| (4.11)

ondeρ(~r) = ρ+(~r) + ρ−(~r), (4.12)

o primeiro termo no lado direito e a densidade de buraco e o segundo e a denisdadenegativa de ıon assumida como uniforme dentro da camada SMD. O calculo e baseado naequacao de Poisson:

∇2UH = − ρ

κε0

(4.13)

Na verdade UH depende somente da coordenada z:

UH(~r) = UH(z) (4.14)

ρ(~r) = ρ(z) (4.15)

Expandimos:

UH(z) =∑p

Up sin(kpz) (4.16)

ρ(z) =∑p

ρp sin(kpz) (4.17)

Portanto:

∂2UH(z)

∂z2= − 1

κε0

ρ(z) (4.18)35

Entao,

Up =L2

p2π2κε0

ρp (4.19)

onde κε0 = ε. Entao,

Up =ρp

k2pε

(4.20)

O elemento de metriz e,

HHm,n = (2π)2

∑p

ρp

εk2p

∫ L

0dz sin(kmz) sin(knz) sin(kpz) (4.21)

O resultado da integral e:

∫dzL

0 sin(kmz) sin(knz) sin(kpz) = −L

2

4

π

[1− (−1)m+n+p]mnp

[p2 − (m + n)2][p2 − (m− n)2](4.22)

Entao, o termo de Hartree torna-se:

HHm,n = (2π)2

∑p

ρp

εk2p

L

2

[− 4

π

[1− (−1)m+n+p]mnp

[p2 − (m + n)2][p2 − (m− n)2]

](4.23)

A contribuicao dos ıons negativos e simples. Para buracos a densidade de carga e dadapor:

ρ+(z) = e∑os

|Ψ(~r)|2 (4.24)

onde os se refere a estados ocupados. Trocando o somatorio sobre os em uma integral,

∑os

→∫

dεN (E), (4.25)

onde N (E) e a densidade de estados. Entao temos

ρ+(z) =em∗mh

2πh2

∑s,σ

(EF − Esσ)θ(EF − Esσ)×

∑

r,t

sin(krz) sin(ktz)

√2

L

2

(4.26)

onde s e o indıce de subbanda, σ e o spin. Entao,

ρ+p =

2

L

∫ L

0ρ+(z) sin(kpz)dz (4.27)

Portanto

ρ+p =

em∗

Lπh

∑s,σ

∑

r,t

(EF − Es,σ)θ(EF − Es,σ)×[− 4

π

[1− (−1)p+r+t]prt

[p2 − (r + t)2][p2 − (r − t)2]

]A∗s

r Ast (4.28)

36

Campo eletrico: O campo eletrico aplicado na direcao do crescimento quebra asimetria do poco:

Uext = −E0zz (4.29)

O elemento de matriz:

Hextm,n;~k||~k′||

= (2π)2δ2(~k|| − ~k′||)∫ L

0Uext(z) sin(kmz) sin(knz)dz (4.30)

Tomando a transformada de Fourier:Entao

Hextm,n;~k||~k′||

=∑q

(2π)2δ2(~k|| − ~k′||)Uq

∫ L

0sin(kqz) sin(kmz) sin(knz)dz (4.31)

O coeficiente Uq e:

Uq =2

L

∫ L

0Uext(z) sin(kqz)dz (4.32)

Uq = −2E0

L

∫ L

0z sin(kqz)dz (4.33)

Finalmente,

Hextm,n;~k||~k′||

=∑q

(2π2)δ2(~k|| − ~k′||)

(−2E0

kq

)

[[1− (−1)m+n+q]mnq

[q2 − (m + n)2][q2 − (m− n)2]

](4.34)

37

4.2 Interacao tipo RKKY

O RKKY (Ruderman-Kittel-Kasuya-Yosida) e um mecanismo indireto produzindo umainteracao entra dois ıons magneticos mediados por portadores livres. Usamos um mecan-ismo tipo RKKY para descrever a interacao entre dois ıons magneticos de Mn mediadopor um gas de buracos formado nas camadas. Este gas de buraco pode ser polarizadapelo ıon magnetico se existir uma ordem magnetica. O potencial interacao entre o gasde buraco e o momento magnetico localizado, como descrito anteriormente, e dado pelotermo de interacao tipo Kondo [30]:

Hex = −I∑

i

~Si~s(~r)δ(~r − ~Ri), (4.35)

onde spin localizado do ıon de Mn ~Si na posicao ~Ri podera ser tratado como variavelclassica, e s(~r) e o operador de spin do portador na posicao ~r, I e a interacao sp-d. SeΨσ(~r) e Ψ†

σ(~r) descreve o operador de campo de fermions para o spin σ, entao

sz =1

2

[Ψ†↑(~r)Ψ↑(~r)− Ψ†

↓(~r)Ψ↓(~r)], (4.36)

s+ = sx + isy = Ψ†↑(~r)Ψ↓(~r), (4.37)

s− = sx − isy = Ψ†↓(~r)Ψ↑(~r). (4.38)

Em termos dos operadores de campo, o termo de troca (Kondo) no hamiltoniano e

Hex = −I

2

∑

i

Szi

[Ψ†↑(~ri)Ψ↑(~ri)− Ψ†

↓(~ri)Ψ↓(~ri)]

+S+i Ψ†

↓(~ri)Ψ↑(~ri) + S−i Ψ†↑(~ri)Ψ↓(~ri) (4.39)

Consideramos buracos em uma heterostrutura semicondutora. Desprezando o espal-hamento pelas impurezas, os buracos na aproximacao de massa efectiva sao partıculaslivres no plano (x, y), ou seja, no plano paralelo a interface da camada. Os seus oper-adores de campo na aproximacao de funcao envelope, pode ser escrito como:

Ψσ =1√A

∑

n,k

ei~k·~ρφn,σ(z)ησcn,~k,σ, (4.40)

onde A e a normalizacao da area, ~k e o vetor de onda no plano (x, y), n e o ındice desubbanda, ησ e o tensor de spin para a polarizacao σ, φn,σ(z) e a funcao envelope quedescreve o movimento dos fermions na direcao z, e cn,~k,σ e o operador de aniquilacao de

fermions para o estado (n,~k, σ) · ~ρ que representa um vetor no plano (x, y).O interacao indireta RKKY e um tratamento perturbativo de segunda ordem. Ele da

dois termos para a correlacao com o estado ligado de energia do sistema formado peloconjunto de momentos localizados (classico) e o gas de Fermi. O primeiro termo e o termoda auto-energia, que corrige o sıtio de energia. O segundo termo e a interacao entre osmomentos magneticos localizados pela interacao RKKY, possibilitando a interacao a serescrito como um hamiltoniano de Heisenberg:

38

δE(2) = −∑

i,j

Jij~Si · ~Sj (4.41)

A aboradagem do RKKY pode ser estender aos estados de buracos spin-polarizado.Isso vai alem da segunda ordem perturbativa. Nesse caso o simples produto escalar spin-spin nao e obtido, como na eq. 4.41, uma vez que a polarizacao de spin do sistemade buracos quebra a simetria rotacional, que estabelece uma direcao preferencial. Naperturbacao de segunda ordem, a correcao para a energia que e bilinear no dipolo do ıonmagnetico e obtido a partir de:

δE(2) = − ∑

t′,F ′

〈F, t|Hex|F ′, t′〉 〈F ′, t′|Hex|F, t〉E0

F ′,t′ − E0F,t

(4.42)

Aqui o estado |F, t〉 e entendido como o produto direto do estado do sistema de mo-mentos classicos localizados e o gas de spin-polarizado. Substituindo Eq.4.39 na Eq.4.42obtemos, apos um intenso calculo, o hamiltoniano efetivo que inclui explicitamente ostermos de spin-flip:

Heff = −∑

i,j

(C↑↑ij + C↓↓

ij )Szi S

zj + (C↑↓

ij + C↓↑ij )(Sx

i Sxj + Sy

i Syj ) +

i[(C↓↑

ij − C↑↓ij )Sx

i Syj − (C↓↑

ij − C↑↓ij )Sy

i Sxj

], (4.43)

onde Sαi e a componente α = (x, y, z) do momento magnetico do ıon. Cσσ′

ij e o acoplamentoRKKY, agora dependendo da polarizacao de spin do gas de buracos. Detalhes sao dadosno Apendice A.

O termo de intra subbanda n′ = n, resulta em:

Cσσ′ij =

(J

2A

)2 ∑n

m∗

4πh2 (k(n)F )2|φn(zi)|2|φn(zj)|2×

[J0(k

(n)F Rij)N0(K

(n)F Rij) + J1(k

(n)F )N1(k

(n)F Rij)

](4.44)

O termo de inter subbanda e dado pela expressao A.32 para n′ 6= n. Podemos escrevercomo funcao da transformada de Fourier da funcao Lindhard A.6.

Cµνij = −∑

n∈µ

∑

n′∈ν

(J

2A

)2

φ∗n′(zi)φn(zi)φ∗n(zj)φn′(zj)χ

n,n′(~Rij), (4.45)

onde a soma em n e n′ sao restritas as suas subbandas com a adequada polarizacao despin. A intra subbanda no espaco real da funcao de Lindhard χn,n(~Rij),

χn,n(~Rij) =m∗A2

4πh2 (k(n))2

F

[J0(k

(n)F Rij)N0(K

(n)F Rij) + J1(k

(n)F )N1(k

(n)F Rij)

](4.46)

onde m∗ e a massa efetiva e k(n)F se refere ao vetor de onda de Fermi da subbanda n.

O termo inter subbanda nao pode ser expresso de forma fechada. Ele deve ser obtidonumericamente pela integral:

χn,n′(~Rij) = −∫ ∞

0dqqF n,n′(q)J0(qRij), (4.47)39

onde

F n,n′(q) =A2m∗

8π2h2

(1− ∆n′n

q2

)×

1−

√√√√√1− 2k

(n)F q

q2 + ∆n′n

2

θ(q2 + ∆n′n − 2qk

(n)F

) θ(εn′−EF

), (4.48)

com ∆n′n = 2m∗(En′ − En)/h2.

4.3 Simulacao Monte Carlo

A ideia do metodo Monte Carlo e aproximar a media do ensamble de um sistema dedistribuicao a uma probabilidade de distribuicao. O primeiro passo para iniciar a sim-ulacao Monte Carlo e definir uma grade de pontos no espaco, no nosso caso uma rede fcc(face cubic center). Um gerador de numeros aleatorio da um numero entre 0 e 1, que eusado para definir a posicao aleatoria dos ıons de Mn na rede e tambem a componente dovetor dipolo magnetico. Para posicao dos ıons este numero e aceito quando e inferior aoconteudo Mn x. Depois disso, que a ocupacao dos Ni ıons estiver concluıda, a composicaodos ıons, ou seja, o n’umero de Mn dividido pelo numero de sıtios de Ga disponıveis naamostra e muito perto de x. Para o caso das direcoes dos spins, os numeros aleatoriossao utilizados como coordenadas esfericas determinando a orientacao do dipolo magneticopara um determinado sıtio ocupado. Em seguida para essa configuracao inicial, a energiado sistema pode ser minimizada utilizando o algoritmo de Metropolis.

O algoritmo Metropolis e uma versao particular do metodo de Monte Carlo, que eencarregado de encontrar o estado de equilıbrio de um sistema fısico a uma determinadatemperatura. A partir da configuracao inicial, cada etapa do algoritmo gera uma novaconfiguracao. A configuracao alcancada na primeira etapa e tomada como ponto departida para a segunda etapa, e assim por diante. Mas a nova configuracao gerada em cadaetapa pode ou nao ser aceita, em funcao da diferenca de energia entre as configuracoesinicial e final. Da mecanica estatıstica, sabemos que para um sistema descrito pelascondicoes acima referidas, a distribuicao de probabilidade para o estado 1 e dada peladistribuicao de Boltzmann:

PB(E1) =exp[−E1/kBT ]∑2 exp[−E2/kBT ]

, (4.49)

onde PB(E1) e a probabilidade de encontrar o sistema em um estado de energia E1 , kB

e a constante de Boltzmann, T e a temperatura e a soma em 2 e uma soma de todos osestados possıveis para o sistema. O algoritmo de Metropolis pode ser descrito como oseguinte procedimento:

1. A configuracao inicial do sistema e no estado 1, a partir do qual percorremos umpasso de Monte Carlo em uma configuracao 2.

2. Se E2 ≤ E1 o movimento e aceito, e o processo pula para o ıtem 4. De outro modocontinua no ıtem 3.

3. O gerador de numero aleatorios da um numero 0 ≤ r ≤ 1. Se r ≤ exp[−(E1 −E2)/kBT ] a transicao e aceita, de outra maneira retorna ao ıtem 1.

40

4. As variaveis macrosopicas sao calculadas e salvas.

5. Finalmente, apos um numero de loops realizado, a media das variaveis macroscopicassao calculadas para a configuracao final (assumido como um equilıbrio termico).A confirmacao do equilıbrio termico para esta configuracao final pode ser obtidaatraves de um truque numerico. Consiste em gerar uma amostra ferromagneticoscom temperatura inicial inferior a Tc mas suficientemente grande e iniciar o processoa partir deste ponto. Se as curvas (M × T ) nao sao afetados comparando com osresultados obtidos com a amostra inicialmente paramagnetica o equilıbrio e dadocomo garantido.

A simulacao Monte Carlo e explicado no esquema da Fig.4.2. Nos utilizamos metodoMonte Carlo, a fim de determinar a possıvel ocorrencia da ordem magnetica em um pocoquantico dopado com uma camada muito fina de tres monocamadas de Mn e com umcampo eletrico aplicado. Estas estruturas serao chamados a partir de agora um deltadopagem. Nos exploramos os efeitos do confinamento quantico em conjunto da ordenacaomagnetica e sugerimos abordagens experimentais para otimizar a temperatura Curie.

Figura 4.2: Esquema para a simulacao Monte Carlo.

Consideramos spins classicos ~S)i, representando os momentos magneticos localizadosdos ıons de Mn, sendo distribuıdos aleatoriamente nos sıtios dos cations com uma concen-tracao x. Eles sao assumidos interagir atraves do hamiltoniano de troca RKKY definidopela Eq.4.35. A interacao de troca RKKY e assumida estar em um efetivo raio de corte Rc,que e definido de acordo com o comprimento de coerencia do buraco. Nos consideramos

41

uma caixa finita, cujo eixo e paralelo a direcao [100]. Suas dimensoes sao Lx = Ly e Lz

(definido pelo numero de monocamadas na dopagem delta), com condicoes de contornono plano (x, y).

A orientacao inicial de spins e estabelecida aleatoriamente na caixa. Numa determi-nada temperatura, a energia do sistema devido as interacoes RKKY e calculada, bemcomo o estado de equilıbrio para uma determinada temperatura e procurado por mu-dar a orientacao individual de spin, de acordo com o algorıtmo de Metropolis [71]. Umprocesso de lento resfriamento gradual e realizado, a partir de temperaturas acima datemperatura de transicao Tc, e garantindo que seja atingido o equilıbrio termico em cadatemperatura. Cada vez que a magnetizacao aumenta de 0, 1 os valores tabulados de< M > os termos da interacao de troca sao substituıdos por aqueles correspondentes anova referente < M >. Estas interacoes de troca foram calculados a partir dos estadosde buracos estados (auto-funcao, auto-valores e vetores de onda de Fermi), resultado deum calculo auto-consistentes descritos na Secao ??, para esta espcıfica media termica damagnetizacao < M >. Em seguida, o resultado da configuraca de spins o para o ıonde Mn e tido como configuracao inicial para o proximo passo em uma temperatura maisbaixa. O procedimento de Monte Carlo adotado aqui leva em conta as alteracoes na po-larizacao do gas de buracos devido a presenca da ordem estabelecida entre os momentosmagneticos localizados nos ıons de Mn. Foram utilizados 14.000 passos de Monte Carlopara assegurar que o equilıbrio poderia ser alcancado, e apos 4000 passos adicionais para ocalculo das medias termodinamicas. A estrutura eletronica auto-consistente do sistema deburaco, bem como o estado de equilıbrio termico dos momentos magneticos de Mn estaoagora acoplado. Uma vez que o sistema de spin e considerado suficientemente grande,esperamos apenas pequenas efeitos de tamanho. Os valores obtidos de Tc sao encontradospor calculo direto do pico da susceptibilidade magnetica, quando disponıvel.

42

Capıtulo 5

DOPAGEM DELTA DE MnMODULADA POR UM CAMPOELETRICO

Recentemente, a modulacao do ferromagnetismo em uma camada GaMnAs atraves daaplicacao de um campo eletrico vem sendo realizada em heteroestruturas semicondutores[72, 64]. Esta possibilidade foi explorada teoricamente, anos atras, por L. G. Ferreira etal, Ref. [28], em uma estrutura constituıda por um SMD em um poco quantico duplo.Estes autores exploraram o efeito do campo eletrico sobre as energias e as funcoes deonda de um poco quantico com sub-bandas, e, em consequencia, sobre a troca indiretaentre duas impurezas magneticas em heteroestruturas. Intrigantes resultados tem sidorevelados pelas ultimas experiencias: o ferromagnetismo em pocos quanticos de GaAsmagneticamente dopado (dopado com Mn) poderiam persistir em temperaturas mais ele-vadas substancialmente [64] que na maior parte dos materiais volumetricos (cerca de 250K vs 170 K). A aplicacao de um campo eletrico poderia melhorar os resultados ainda mais.O objetivo do presente calculo, portanto, e tentar otimizar a temperatura de transicao,tais estruturas SMD mediante a aplicacao de uma tensao transversal. Neste sentido algunstrabalhos teoricos [73, 74] foram realizados, utilizando aproximacao de campo medio, masnao mostrando valores numericos para a temperatura de transicao. Eles apenas mostramque a temperatura depende do campo eletrico aplicado. Para uma interessante amostracom dopagem delta estamos em um regime de concentracao elevada, o conteudo de Mnsobre este caso, pode ser muito superior a 5%.

O nosso modelo consiste em aplicar uma tensao eletrica no interior de um poco quanticoinfinito do qual uma camada digital de GaMnAs e crescida, simulando uma dopagem delta.Esta camada delta e assumida conter tres monocamadas. Uma dopagem usando Berılio(impureza aceitadora nao-magnetica), juntamente com Mn preve uma maior concentracaode buraco para mediar a troca indireta entre os ıons magneticos. A estrutura eletronicafoi obtida auto-consistentemente de acordo com o metodo descrito na Secao 4.1, e a trocaindireta calculada segundo o metodo descrito na Secao 4.2 com um raio de corte Rc = 5MLbaseado na Ref. [36].

Dois diferentes casos foram analisados: primeiramente, consideremos uma camadadigital de Mn no centro do poco quantico, o segundo caso, essa camada foi deslocada docentro.

No primeiro caso, o campo eletrico muda a densidade de carga, e sempre remove osportadores da camada magnetica, como mostrado na Fig. 5.1, diminuindo ligeiramente a

43

0

2e-05

4e-05

6e-05

-30 -20 -10 0 10 20 30

Cha

rge

Den

sity

ρ(z

)

Position[A]

L60d8 Mn=0.5L x=10% ph=8.5x1012cm-2

E=0E=0.7mV/A

Figura 5.1: Densidade de carga ρ(z) como funcao da largura do poco quantico para oSMD no centro. Depois E. Dias Cabral et al, aparecer

temperatura de transicao. O calculo foi realizado em um poco quantico com uma larguraL = 60A, a camada magnetica com largura d = 8A, o a densidade de buracos por unidadede area e de ph = 8.5×1012cm−2, o conteudo de manganes e x = 10% e a concentracao deimpureza e Ni = 1019cm−3. No entanto, estes valores nao foram suficientes para alterarsubstancialmente o mesmo com a ordem ferromagnetica com o campo eletrico aplicadoE = 0.7mV/A.

0

2e-05

4e-05

6e-05

-30 -20 -10 0 10 20 30

Cha

rge

Den

sity

ρ(z

)

Position[A]

L60d8 Mn=0.7L x=10% ph=8.5x1012cm-2

E=0E=0.3mV/A

E=-0.3mV/A

Figura 5.2: Densidade de carga ρ(z) como funcao da largura do poco quantico para oSMD fora do centro do poco quantico.

Com uma camada digital colocada fora de centro, como na Fig. 5.2, somos capazesde aumentar ou diminuir a densidade de buraco na camada do SMD. Isto e conseguidoatraves da aplicacao do campo eletrico para a direita ou para a esquerda. Como resultado,

44

o potencial de troca e modulado pelo campo eletrico e, entao, a temperatura de transicaotambem.

Para quantificar a influencia do campo eletrico sobre a troca indireta, foi utilizadauma diferenca relativa da interacao de troca,

∆J =Jij(E)− Jij(0)

Jij(0), (5.1)

onde Jij(0) e a interacao de troca sem campo eletrico.

-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

-2 0 2 4 6

L60d8 Mn=0.5L x=10% ph=2x1013cm-2

Left MLCenterMLRight ML

Figura 5.3: Diferenca relativa da integral de troca em funcao do campo eletrico para oSMD no centro do poco.

A Fig. 5.3 mostra a dependencia de ∆J em relacao ao campo eletrico. A tendenciageral e de reduzir a interacao de troca quando o campo eletrico aumenta (negativo ∆J).Para campos eletricos pequenos a densidade de carga na monocamada da direita aumentade modo que ∆J torna-se positivo (linha azul). Um aumento adicional da tensao removeos portadores da monocamada da direita.

Nos podemos usar o esquema mostrado na Fig. 5.4 para explicar a forma como osresultados foram obtidos. A camada de SMD e colocado no centro com tres monocamadas,direita (linha vermelha), centro (linha verde) e esquerda (linha azul). Campo eletrico zerocorresponde a linha rosa, E > 0 corresponde a linha azul claro, e E < 0 corresponde alinha preta. Nos exageramos na intensidade do campo para melhor visualizacao. Quandoum campo eletrico positivo e aplicado, podemos ver que existe uma grande diminuicao namagnitude da funcao de onda para a monocamada da esquerda. Para a monocamada nocentro ha tambem uma diminuicao da magnitude da funcao de onda, mas nao tao grandecomo a camada do lado esquerda. A magnitude aumenta para a monocamada da direita.Por razoes de simetria, no presente caso, em que a camada magnetica esta no centro dopoco quantico, exatamente o oposto acontece com o campo eletrico com sinal negativo.

A diferenca relativa das integrais de troca para uma camada magnetica fora do centrodo poco na Fig. 5.5, mostram um efeito oposto, quando comparada ao caso anterior, deacordo com a aplicacao do campo eletrico. A densidade de carga aumenta ou diminuina regiao da camada magnetica para todas as monocamadas. Por conseguinte, para o

45

-1

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1

-3 -2 -1 0 1 2 3

Scheme to wave function

E=0E>0E<0

Figura 5.4: Esquema para entender o compotamento do Jij

-0.08

-0.04

0

0.04

0.08

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

∆J

Electric Field E [meV/nm]

L60d8 Mn=0.7L x=10% ph=8.5x1012cm-2

Left MLCenterMLRight ML

Figura 5.5: Diferenca relativa da integral de troca em funcao do campo eletrico para oSMD fora do centro do poco.

campo eletrico positivo, a amplitude da funcao de onda sempre cresce na regiao das tresmonocamadas, e diminui para um campo eletrico negativo. Neste ponto, e intuitivo dizerque os portadores mediam o ferromagnetismo pelo aumento da interacao indireta de troca.

A Fig. 5.6 mostra o resultado da magnetizacao normalizada em funcao da temperaturapara a concentracao de Mn x = 10%, concentracao de buracos ph = 8.5 × 1012cm−2 etamanho da caixa e de Lx = Ly = 150 monocamadas para uma camada magnetica nocentro do poco quantico. A linha vermelha corresponde ao sistema sem campo eletrico eda linha verde para um campo eletrico aplicado de E = 0.7mV/A. Pode-se observar quea temperatura de transicao Tc, neste caso, varia muito pouco com o campo eletrico. Istoe devido a reducao de portadores na regiao da camada magnetica. Portanto, podemos

46

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 10 20 30 40 50

Nor

mal

ized

Mag

netiz

atio

n <

M>

Temperature[K]

L60d8 Mn=0.5L x=10% ph=8.5x1012cm-2 Rc=5[a/2]

E=0E=0.7meV/A

Figura 5.6: Magnetizacao como funcao da temperatura para o SMD no centro.

dizer que, para o caso da camada magnetica no centro do poco quantico, um forte campoeletrico e necessario a fim de observar uma grande variacao da temperatura de transicao.

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50

Nor

mal

ized

Mag

netiz

atio

n <

M>

Temperature[K]

L60d8 Mn=0.7L x=10% ph=8.5x1012cm-2 LxLyLz=(150x150x3)ML

E=0E=0.3 mV/A

E=-0.3 mV/A

Figura 5.7: Magnetizacao como funcao da temperatura para o SMD fora do centro dopoco.

Os resultados da simulacao Monte Carlo para a camada magnetica para fora do centrosao mostrados na Fig. 5.7 para a magnetizacao normalizada. A linha vermelha corre-sponde a um campo eletrico E = 0, a linha verde para E = 0.3mV/A, e a linha azul paraE = −0.3mV/A. Neste ponto, torna-se evidente o controle da temperatura de transicaoTc pelo campo eletrico. Vemos que uma forte influencia do campo eletrico na temperaturade transicao e observada para uma estrutura assimetrica com muito maior intensidade doque em uma estrutura simetrica. Contudo, os resultados aqui apresentados apresentamTc muito inferior ao que foi encontrado experimentalmente.

47

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 20 40 60 80 100

Nor

mal

ized

Mag

netiz

atio

n <

M>

Temperature[K]

L60d8 Mn=0.7L x=25% ph=8.5x1013cm-2

12/12/2008 5:30PM

E=0E=0.3

E=-0.3

Figura 5.8: Magnetizacao como funcao da temperatura para o SMD fora do centro dopoco com conteudo de Mn x = 25%.

Diferentes parametros foram usados para obter uma maior temperatura de transicaoTc. Na Fig. 5.8 usamos as mesmas dimensoes do poco e a mesma concentracao de buracos,mas com um conteudo manganes de x = 25%. Infelizmente, com essa escolha, as curvasde magnetizacao para o campo eletrico E = 0 e E = −0.3mV/Anao alcancam a media demagnetizacao < M >= 1. Isto e devido ao fato de nem todos os spins estarem alinhadosna amostra, no que e conhecido como canted spin fase, que tem sido na realidade observadaem GaMnAs.

Outro ponto importante e o aparecimento de dois degraus na curva da magnetizacao.Esta forma e porque usamos uma camada megnetica muito fina com uma alta concentracaode ıons de Mn. Em seguida, a magnetizacao do sistema acontece muito rapido.

A discussao acima diz respeito apenas a resultados preliminares, e ainda nao forampublicados. Atualmente estamos pesquisando a melhor regiao para os parametros, e, aomesmo tempo, estamos explorando uma questao fundamental sobre os sistemas magneticosde baixa dimensionalidade. Um “teorema ’ bem conhecido [75] afirmando a impossibili-dade da existencia de ferromagnetismo em sistemas bidimensional. Esta declaracao naodiz respeito apenas ao mecanismo indireto, mas todo o tipo de sistema que pode ser repre-sentado pelo hamiltoniano de Heisenberg. De fato, o “ teorema”sai de uma aproximacaode um contınuo, e onde nao esta presente anisotropia. O nosso modelo de troca indiretatem uma anisotropia intrınseca, alem de nao assumir uma aproximacao de um contınuo,mas trata desordem atraves da simulacao Monte Carlo. Em qualquer caso, a crıtica maisdura para o “teorema” e o fato de que camadas digitais ferromagneticas de GaMnAspertence ao mundo real.

48

Capıtulo 6

CONCLUSAO

A presente tese trata dois problemas aparentemente diferentes GaMnAs em nanoestru-turas. O primeiro diz respeito a uma desordem estrutural em um sistema de spin-polarizado, e pudemos mostrar a observacao de fenomenos de transporte apenas estu-dando a natureza dos estados dos buracos, assumindo um ferromagnetismo existentes.A segunda parte da tese, diz respeito a modulacao da transicao de temperatura de umacamada digital de GaMnAs por um campo eletrico transversal.

Nosso primeiro calculo mostra que o emaranhado de desordem e polarizacao de spinleva a existencia de uma regiao em que uma transicao nao-metal-metal ocorre com o au-mento da concentracao de Mn, acima de um certo limiar, uma vez que a situacao e talque uma fase ordem magnetica existe com a baixa concentracao do Mn como ponto departida. Manter uma faixa na qual existe uma boa relacao entre o Mn e a concentracaode buracos, teremos necessariamente atravessar uma ilha de amostras metalicas e chegara uma outra passagem, desta vez em um estado nao-metalico. O mecanismo de interacaoproporcionando os portadores spin polarizado e o mesmo por toda a jornada, o potencialtipo Hubbard. As transicoes sao determinadas exclusivamente pela posicao relativa aonıvel de Fermi e a mobility edge, ambos sao dependente da amostra. Por isso, podemosexplicar as transicoes associadas a ordem magnetica observada em GaMnAs desde dequando as seis historica amostras foram produzidas. O metodo e utilizado, em princıpio,aplicavel apenas para finas camadas de GaMnAs, e tem dado resultados numericos, porexemplo, a relacao entre os portadores “livre” e as concentracoes de ıons magneticos queestao muito perto dos resultados experimentais em camadas de GaMnAs, especialmenteem comparacao as melhores amostras em Ref. [12]. Alem disso, uma comparacao en-tre essas amostras e os nossos calculos mostram muito bom acordo para as razoes daconcentracao do Mn nas duas transicoes.

Acreditamos que estes calculos trazem luz a origem do ferromagnetismo em amostrasde GaMnAs. Em baixas concentracoes de Mn - por isso queremos dizer amostras ferro-magneticas nao-metalicas - a ordem magnetico e fornecida pelos estados de buraco local-izados, sendo a temperatura de transicao, em consequencia, bastante baixa. O mecanismoprovendo a ordem magnetica nao e, certamente, relacionados com os portadores livre, maspode ser causado pela formacao de magneto-polaron. Ao aumentar a concentracao de Mn,a media de magnetizacao que e determinada por aqueles mecanismo prersistente de es-tados localizados, mas assim que passar por uma transicao nao-metal-metal os estadosestendidos entram em jogo. Eles agora contribuem para a ordem magnetica atraves deuma troca indireta, a transicao de temperatura aumenta a medida que escolhe uma faixa“boa”para chegar a regiao das melhores amostras na ilha metalica. A melhor amostra

49

corresponde a maior temperatura de transicao. Mantendo a concentracao de Mn cada vezmaior e seguindo a pista, deixamos a regiaao das melhores amostras e percorremos para atransicao metal-para-nao-metal. Este e o fim da troca indireta mediada pelos portadoresestendidos. A temperatura de transicao diminui. Nos nao fizemos nenhuma utilizacao deum mecanismo especıfico para a interacao entre momentos magneticos de Mn assistido porestados localizados. Nos apenas presumimos que, por alguns meios, a interacao produzuma ordem ferromagneticos. Entao, uma vez que passamos a transicao nao-metal-metala interacao indireta entra em jogo. Para que essa interacao assuma que quanto maior ocarater metalico dos nossos estados de spin-polarizados no nıvel de Fermi, o melhor quecontribuam para reforcar a interacao ferromagnetica.

Nosso segundo problema mostra um campo electrico controlando a interacao de trocaentre os ıons de Mn em uma estrutura digital de semicondutores magneticos diluıdos. Umcampo eletrico aplicado muda a distribuicao espacial da densidade de carga e modificaa interacao de troca indireta Jij, porque a interacao e mediada pelos portadores do sis-tema. Essas alteracoes afetam diretamente a ordem ferromagnetica. Estes resultados nospermitem mostrar a existencia de ferromagnetismo em estruturas de GaAs com dopagemdelta e ainda ver um aumento na temperatura de transicao como uma funcao do campoeletrico, como observado experimentalmente.

50

Apendice A

APPENDIX

Os termos de troca, que para polarizacao de spin incluem as contribuicao de ”spin-flip”,pode ser derivado diretamente da Eq. 4.42, usando Hex da Eq. 4.39. Procedendo destaforma estamos levando simplesmente em:

Cσσ′ij =

∑

n(σ)

∑

n′(σ′)

∑

~k~k′

(J

2A

)2 1

εn′,~k′ − εn,~k

exp[i(~k′ − ~k) · (~Rj − ~Ri)

]×

φ∗n′(σ)′(zi)φn(σ)(zi)φ∗n(σ)′(zj)φn′(σ)′(zj)θ(EF − εn~k)θ(εn′~k′ − EF ) (A.1)

Nos podemo simplificar a expressao acima para eliminar a soma sobre ~k e ~k′. Vamoschamar ~k′ = ~k + ~q

Cσσ′ij =

(J

2A

)2 ∑

n(σ)

∑

n′(σ′)

∑

~k~q

φ∗n′(σ)′(zi)φn(σ)(zi)φ∗n(σ)(zj)φn′(σ)′(zj)×

(1

2

)θ(EF − εn~k)− θ(εn′~k′ − EF )

εn′,~k+~q − εn,~k

exp[−~q · ~Rij

](A.2)

onde usamos as seguintes propriedades:

θ(EF − εa)θ(εb − EF ) = θ(EF − εa)− θ(EF − εa)θ(EF − εb)

θ(EF − εb)θ(εa − EF ) = θ(EF − εb)− θ(EF − εb)θ(EF − εa)

Entao

θ(EF − εa)θ(εb − EF )− θ(EF − εb)θ(εa − EF ) = θ(EF − εa)− θ(EF − εb) (A.3)

assim

∑

nn′

∑

~k~k′

θ(EF − εn~k)θ(εn′~k′ − EF )

εn′,~k′ − εn,~k

=∑

nn′

∑

~k~k′

θ(EF − εn~k)− θ(EF − εn′~k′)

εn′,~k′ − εn,~k

(1

2

)(A.4)

Desde

χn(σ)n′(σ′)(~q) =∑

~k

θ(EF − εn~k)− θ(εn′~k′ − EF )

εn′,~k+~q − εn,~k

(A.5)

51

A expressao acima e conhecida como funcao Lindhard [67, 76], e a transformada deFourrier no espaco real:

χn(σ),n′(σ′)(~Rij) =∑

~q

exp[−i~q · ~Rij

]χn(σ),n′(σ′)(~q) (A.6)

Voltando ao termo de spin flip:

Cσσ′ij =

(J

2A

)2 ∑

n(σ)

∑

n′(σ′)

∑

~k~q

φ∗n′(σ)′(zi)φn(σ)(zi)φ∗n(σ)(zj)φn′(σ)′(zj)e

−~q·~Rijχnn′(~q) (A.7)

Agora podemos escrever ε → εn + ε~k and ~k′ = ~k + ~q Usando ∆n′n ≡ εn′ − εn e aexpressao de χnn′(~q) torna-se:

χn′(σ′)n(σ)(~q) =∑

~k

θ(EF − εn~k)− θ(EF − εn′~k+~q)

ε~k+~q − ε~k + ∆n′(σ′)−n(σ)

(A.8)

Se associarmos o ındice de subbanda n para a polarizacao σ e n′ para σ′ nos podemossimplificarmos a notacao. n′(σ′) → n′ e n(σ) → n. Entao

χnn′(~q) =∑

~k

θ(EF − εn~k)− θ(EF − εn′~k+~q)

ε~k+~q − ε~k + ∆n′n(A.9)

χnn′(~q) =∑

~k

θ(EF − εn~k)

ε~k+~q − ε~k + ∆n′n−∑

~k

θ(EF − εn′~k+~q)

ε~k+~q − ε~k + ∆n′n(A.10)

Trocando n(σ) ↔ n′(σ′)

φ∗n′(zi)φn(zi)φ∗n(zj)φn′(zj) → φ∗n(zi)φn′(zi)φ

∗n′(zj)φn(zj) (A.11)

isso nao afeta as funcoes de onda. Entao ~k + ~q = ~k

(1

2

) ∑

nn′

∑

~k~q

θ(EF − εn~k)

ε~k+~q − ε~k + ∆n′n−∑

~k

(1

2

) ∑

nn′

∑

~k~q

θ(EF − εn′~k+~q)

ε~k+~q − ε~k + ∆n′n

∑

nn′

∑

~q~k

θ(EF − εn~k)

2

[1

ε~k+~q − ε~k + ∆n′n+

1

ε~k−~q + ∆n′n

](A.12)

∑

nn′

∑

~q~k

θ(EF − εn~k)

2

2

(h2q2

2m∗ + ∆n′n

)(

h2

2m∗ q2 + h2

m∗~k · ~q + ∆n′n

) (h2

2m∗ q2 − h2

m∗~k · ~q + ∆n′n

) (A.13)

∑

nn′

∑

~q~k

θ(EF − εn~k)

h2

2m∗ (q2 + ∆n′n)

(h2

2m∗

)2(q2 + ∆n′n)2 − (2~k · ~q)2

(A.14)

∑

nn′

∑

~q~k

θ(EF − εn~k)2m∗

h2

(q2 + ∆n′n)

(q2 + ∆n′n)− (2~k · ~q) (A.15)

aqui ∆n′n = 2m∗h2 ∆n′n. Agora, definindo

52

h2

2m∗ F (~q) ≡ ∑

k

θ(EF = εn~k)(q2 + ∆n′n)

(q2 + ∆n′n)− (2~k · ~q) (A.16)

Passando a soma sobre ~k em integral,

∑

~k

→(

1

2π

)2 ∫ ∞

0dkk

∫ 2π

0dφ (A.17)

h2

2m∗ F (q) =(

1

2π

)2 ∫ kF (n)

0dkk

∫ 2π

0dφ

(q2 + ∆n′n)

(q2 + ∆n′n)− 4k2q2 cos2 φ(A.18)

De θ(EF − εn~k) nos temos EF − εn~k ≥ 0 ⇒ EF − εn − h2k2

2m∗h2k2

2m∗ ¿ EF − εn

⇒ k(n)F =

√2m∗

h2 (EF − εn) (A.19)

Resolvendo a integral: para p2 < S2 a integral e zero.

∫ π/2

0

dφ

p2 − S2 cos2 φ=

π

2

1

p(p2 − S2)1/2→ π

2θ

[(q2 + ∆n′n)2 − 4k2q2

](A.20)

Entao,

h2

2m∗ F (q) =(

1

2π

)2 ∫ k(n)F

0dkk

π

2

4θ[(q2 + ∆n′n)2 − 4k2q2

](q2 + ∆n′n)

[(q2 + ∆n′n)2 − 4k2q2

]1/2(q2 + ∆n′n)

(A.21)

h2

2m∗ F (q) =1

2π

∫ k(n)F

0dkk

θ[(q2 + ∆n′n)2 − 4k2q2

]

[(q2 + ∆n′n)2 − 4k2q2

]1/2(A.22)

h2

2m∗ F (q) =1

2π

∫ k(n)F

0dkk

1[(q2 + ∆n′n)2 − 4k2q2

]1/2(A.23)

Fazendo k2 = x → 2kdk = dx

h2

2m∗ F (q) =1

4π

∫ (k(n)F )2

0dx

1[(q2 + ∆n′n)2 − 4xq2

]1/2(A.24)

Mas (q2 + ∆n′n)2 − 4xq2 = y ⇒ d(4xq2)dy

= 4q2

x = 0 ⇒ y = [(q2 + ∆n′n)2]

x = (knF )2 ⇒ y = [q2 + ∆n′n − 4k2

F q2]

Voltando a integral:

h2

2m∗ F (q) =1

16π

∫ (q2+∆n′n)2

(q2+∆n′n−4k2F q2)

(dy

y1/2

)(A.25)

53

h2

2m∗ F (q) =q2 + ∆n′n

8πq2

1−

√√√√√1− 2k

(n)F q

q2 + ∆n′n

2 (A.26)

Para ∆n′n > k2F If ∆n′n < K2

F → θ[(q2 + ∆n′n)2 − 4k2q2] Combinando os resultados nostemos:

h2

2m∗ F (q) =q2 + ∆n′n

8πq2

1−

√√√√√1− 2k

(n)F q

q2 + ∆n′n

2

θ

(q2 + ∆n′n

q− 2kF

) (A.27)

Agora

Cσσ′ij =

(J

2A

)2 ∑

n′(σ′)n(σ)

φ∗n′(σ′)(zi)φn(σ)(zi)φ∗n(σ)(zj)φn′(σ′)(zj)

∑

~q

e−i~q·~Rij×

q2 + ∆n′(σ′)n(σ)

8πq2

1−

√√√√√1− 2k

[n(σ)]F q

q2 + ∆n′(σ)n(σ)

2

θ

(q2 + ∆n′(σ′)n(σ)

q− 2kF

) (A.28)

ou

Cσσ′ij =

(J

2A

)2 ∑

n′(σ′)n(σ)

φ∗n′(σ′)(zi)φn(σ)(zi)φ∗n(σ)(zj)φn′(σ′)(zj)

∑

~q

e−i~q·~Rij Fn′(σ′)n(σ)(q)

(A.29)

Agora, o utimo a fazer e resolver a soma em ~q,∑

~q →(

12π

)2 ∫d2q

(1

2π

)2 ∫d2qe−i~q·~Rij Fn′n(q) =

2

(2π)2

∫ ∞

0qdqFn′n(q)

∫ π

0dθe−iqRij cos θ (A.30)

=1

2π

∫ infty

0qdqFn′n(q)J0(qRij) (A.31)

Portanto

Cσσ′ij =

(J

2A

)2 ∑

n′(σ′)n(σ)

1

2πφ∗n′(σ′)(zi)φn(σ)(zi)φ

∗n(σ)(zj)φn′(σ′)(zj)×

∫ ∞

0dqqFn′n(q)J0(qRij) (A.32)

54

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