UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO

INSTITUTO POLITÉCNICO

Graduação em Engenharia Mecânica

Disciplina: Mecânica dos Materiais 1 – 5º Período

Professor: Dr. Damiano da Silva Militão.

Tema de aula 5: Torção

SEQUÊNCIA DE ABORDAGENS:

• 5.1 Deformação por Torção de um Eixo Circular• 5.2 Fórmula da Torção• 5.3 Transmissão de Potência• 5.4 Ângulo de Torção• 5.5 Elementos Estaticamente Indeterminados Carregados com Torque• À titulo de Curiosidade;• (1)-Ponto de tensão cisalhante máxima e ângulo de torção em alguns eixos sólidos não

circulares comuns na engenharia.• (2)- Tensão de cisalhamento média em tubos de paredes finas com seções transversais

fechadas.

• 5.6 Concentração de Tensão “Não é conhecer muito, mas o que é útil, que torna um homem sábio.”THOMAS FULLER, M.D.

Objetivos:

• Discutir efeitos de esforços torcionais em elemento linear longo circular.• Determinar a distribuição de tensão e o ângulo de torção internos em regime linear-elástico e

inelástico.• Discutir eixos e tubos estaticamente indeterminados e concentrações de tensão.

5.1-Deformação por torção de um eixo circular

Torque é o momento que tende a torcero membro em torno de seu eixo longitudinal.

Para rotações pequenas o comprimento total do eixo longitudinal e do raio não mudam .

Imaginando uma extremidade fixa, veremos a linha radial girando um ângulo de torção φ(x) ao longo de x.

Isolaremos um elemento de comprimento Δx à distância ρ ao longo da linha de raio c;

A face anterior e posterior do elemento sofrem respectivamente as rotações φ(x) e φ(x)+Δφ .

Essa diferença causa a deformação por cisalhamento γ mostrada.Lembrando que; radiano=arco/raio;Vemos no elemento que: Δφ =BD/ ρ e γ =BD/ ΔxLogo BD = Δφ ρ = γ ΔxFazendo Δφ->dφ e Δx->dx evidenciamos a deformação por cisalhamento γ ;

Vemos que o ângulo φ(x) varia de forma linear ao longo de x, (ângulo entre os planos ilustrados), ou seja dφ/dx = cte, então: γ = ρ cte (γ é função linear de ρ, e portanto será máxima em ρ=c)Concluíndo:

A integral à direita é o momento de inércia polar da área, (J), assim são respect. as fórmulas do cisalhamento máximo e variável com o raio, devido à torção.Obs: Pela propriedade complementar do cisalhamento, o torque T desenvolve tb uma tensão cisalhante paralelamente ao eixo longitudinal na face do elemento :Podendo causar falhas do tipo:Tensão de Torção Máxima Absoluta:Quando o eixo sofrer variação de raio (c) ou uma série de torques externos adicionais ao longo do eixo, devemos pelo método das seções avaliar em qual seção

τ=Tc/J será máximo.

Pela lei de Hooke τ=G γ , portanto τmax=G γmax, Substituindo γ e γmax em temos ; Ou seja, a tensão de cisalhamento também varia linearmente em ρ;

Portanto um elemento dA estará sujeito a uma forçadF= τ dA, e sujeito a um torque dT= ρ dF;Integrando podemos obter o torque total na seçãoem função de τmax :

5.2-Fórmula da Torção

e

Principais Momentos de inércia polar de áreas de seção circulares(J) :a) Eixo sólido: consideraremos um elemento de área logo:

a) Eixo Tubular (raio externo Ce, e raio interno Ci):Determinamos J ,simplesmente subtraindo Je (do raio externo Ce), de Ji (do raio interno Ci).

Exemplo:O eixo maciço de raio c é submetido ao torque T . Determinar T’, como fração de T resistida pelo material da região externa do eixo, entre c/2 e c.Sol: dT = ρ dF, logo uma fração de torque será dado porSelecionando uma faixa branca na região;substituindo deveremos integrar:

Lembrando que

Então substituindo τmax em T’relacionaremos T’ e T (total):

Fazer:

Exmpl:

Sol: Da esquerda para direita vemos 4 regiões de torques ctes,traçamos um diag. mostrando os torques internos nas seções destas regiões:

Vamos analisar onde a Cis. é máximo através da fórmula:

Na região onde torque é 8,5kN.m, (c) e o J são maiores:

Onde o torque é 5kN.m, (c) e o J são menores :

portanto nesta região menor está o cisalhamento máximo.

Fazer:

5.3-Transmissão de potência O trabalho (W) transmitido por um eixo em rotação é igual ao Torque (T) multiplicado pelo ângulo de rotação (dθ).W=T.dθLogo como Potência (P) =W/dt;P=T.dθ/dt aqui dθ/dt =ω (veloc. Angular) e V= ωr,Logo: P=Tω ou P=Tv/r Unidades e conversões: (1 hp = 550 pés • lb/s ) (1cv=735w) e (1hp=1.014cv) Exmp: Sol:

Do enunciado; PA=PB

logo TAVA/rA=TBVB/rB

A correia faz VA=VB , Logo TA/rA=TB/rB

TA/2=TB/4 TB=2TA TA é obtido por PA=TA ωA

Lembrando de passar a potência para (pés • lb/s ):

Então TB=2TA =

O raio do eixo serálimitado pelo cis.:

Fazer:

Suponha um eixo de seção transversal circular, que pode variar gradualmente ao longo de seu comprimento.Então a fórmula do torque será:

Imaginando comportamentoelástico:Que substituído dará a def. por cis.

Faremos como em 5.1,retirando a ‘fatia” de espessura dx:Aqui radiano=arco/raio; então: arco=dφ ρ = γ dx

Igualando as 2 expressões de def. cis:A integração em todo L nos dará o Ângulo de Torção para o eixo inteiro:Atenção:

Então, no caso de torque e área ctes: Essa equação é usada para obter experimentalmente o valor de G numa maquina de rotaçãoquando as outras variáveis são conhecidas. :

5.4-Ângulo de torção

Se o eixo estiver sujeito a diversos torques diferentes,

Se ao longo do eixo estiver sujeito a diversos torques diferentes,Convenção de sinais para torque e ângulo de torção: Positivo se o dedo se afastar do corpo na extremidade considerada.

Exemplo;

Sol:Fazemos 3 seções entre os torques aplicados, obtemos seu valor na seção, e pela regra da mãodireita seu sinal .O ângulo é obtido com o mesmo sinal do torque aplicando a fórmula de φ;

5.5-Elementos estaticamente indeterminados carregados com torqueOcorre quando as equações de equilíbrio dos MOMENTOS em relação ao eixo de rotação não for suficiente para obter os torques: Ex: Haverão os torques nos apoios (TA e TB) :

As eq. de equil. dos momentos em torno de x fornecem:TA e TB são indeterminados.Precisamos de equação de compatibilidade dada pelo ângulo de torção nulo entre A e B:Logo: assim é a eq. de compat. que completa o sistema.

Exemplo;

Sol: A eq. de eql dos momentos em x será:E as de compatibilidade: Resolvendo o sistema teremos: τmax estará em BC:

À título de curiosidade:1-Ponto de tensão cisalhante máxima e ângulo de torção em alguns eixos sólidos não circulares comuns na engenharia:

Com uma análise complexa (aqui suprimida , mas apreciávelna bibliografia base) teremos;

onde;

Importante citar que o fluxo de cisalhamento, é constante em qq pt da seção.

(portanto a maior tensão de cisalhamento ocorre onde a espessura é menor).

À título de curiosidade:2- Tensão de cisalhamento média em tubos de paredes finas com seções

transversais fechadas.

No caso das curvas de concordância;

T é obtido pelo método das seções, na longitude (x) c é o raio do eixo menor.K é obtido graficamente.

5.6-Concentração de tensãoOcorrem em mudanças bruscas de seção transversal tais como; O fator de concentração de tensão K é um multiplicador experimentalmente obtido em função da geometria.

Ps: Concentração Máx. no pt preto

Rasgos de chaveta;

Acoplamentos:

Curvas de concordância:

Exemplo: Os elementos estão unidos por um filete de solda de raio r = 4 mm. Determinar a tensão de cisalhamento máxima no eixo se T = 10 N • m.

Sol:O cis. máx. é dado por:

Com as dimensões obtemos K na tabela;

Pelo método das seções vemos queo torque será T/2 na região da solda,Logo;

Fazer: O aço usado no eixo tem tensão de cisalhamento admissível de 8 MPa. Supondo que os elementos estejam unidos por um filete de solda de raio r = 2,25 mm, determinar o torque máximo T que pode ser aplicado.

MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO!

– Bibliografia:

– R. C. Hibbeler – Resistência dos materiais – 5º Edição.