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Apostila de Bioestatística – Experimentação Página 1 de 15

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE ALAGOAS – UNEAL

Campus II – Santana do Ipanema

CURSO: Zootecnia

DISCIPLINA: Bioestatística

Professor: Wellyngton Chaves Monteiro da Silva

EXPERIMENTAÇÃO

É um modo de comprovar uma hipótese a partir de uma observação. É a aplicação dos procedimentos

estatísticos para o teste de uma hipótese específica.

Alguns conceitos básicos são necessários:

Experimento ou ensaio – é um trabalho planejado e realizado com o propósito de comparar os efeitos

de dois ou mais tratamentos sobre qualquer atributo de plantas, animais, minerais etc.

Variáveis – são classificadas em dois tipos:

1) Variável independente (fatores) – são aquelas variáveis que explicam a variável dependente, cujos

efeitos queremos medir: método de ensino, grupo sanguíneo, dosagem de uma droga, variedade,

época de plantio, época de colheita, raça de bovino, tipo de ração etc.

2) Variável dependente (variável resposta) – mede o fenômeno que se estuda e que se quer estudar:

nota dos alunos, nível de açúcar no sangue, quantidade de cobaias vivas, produção, altura da planta,

número de insetos, peso da cria, ganho de peso, etc.

Portanto, fatores são as variáveis independentes que desejamos estudar. Elas influenciam no

resultado das variáveis dependentes, mas não são por elas influenciadas.

Tratamentos – são os níveis ou combinação dos níveis dos fatores. Indica o que está em comparação.

Exemplos:

- Níveis do fator ‘grupo sanguíneo’: A, B e O.

Portanto, temos um fator (grupo sanguíneo) com três níveis de tratamento.

- Níveis do fator ‘raça de suíno’: Duroc, Landrace, Large White e Wessex.

Portanto, temos um fator (raça de suíno) com quatro níveis de tratamento.

- Níveis dos fatores ‘raça de suíno’ e ‘sexo’; raça de suíno: Duroc, Landrace e Wessex; sexo: macho e

fêmea.

Portanto, temos dois fatores (‘raça de suíno’ e ‘sexo’), com três níveis para ‘raça de suíno’ e dois

níveis para ‘sexo’. Neste caso, os tratamentos são seis, que resultam da combinação dos níveis dos

fatores envolvidos (3 raças x 2 sexos): Duroc macho, Duroc fêmea, Landrace macho, Landrace fêmea,

Wessex macho, Wessex fêmea.

Unidade experimental (também conhecida como parcela) – é a área ou número de indivíduos em que

ou onde aplicamos o tratamento. Designa a unidade pesquisada. Exemplos:

- Sala de aula um grupo de 30 estudantes.

- Laboratório uma placa de Petri; um tubo de ensaio.

- Feijão, amendoim, milho, arroz, soja, etc. 20 a 40 m2.

- Café, laranja, limão, caju, cajá, manga, etc. 1 a 4 covas.

- Aves 10 a 15 pintos.

- Bovino 1 animal.

- Suínos 1 a 3 animais.

Observação: quando necessário, a área útil corresponde a da parcela menos a bordadura.

Repetição – é o número de vezes que o tratamento aparece no experimento. Usualmente temos de 4 a

10 repetições. Mas quanto mais homogêneo é o material experimental, menor é o número necessário de

repetições.

Princípios básicos da experimentação

Existem três princípios básicos importantes e que são inerentes a todos os delineamentos experimentais:

a) Repetição: A repetição significa que um tratamento é repetido duas ou mais vezes. Sua função é permitir

que se faça estimativa do erro experimental e do efeito dos tratamentos. Sem repetição não se pode ter uma

estimativa do erro experimental. O número de repetições necessárias depende da magnitude das diferenças

que se deseja detectar e da variabilidade dos dados a serem obtidos.

b) Casualização (randomização): A casualização é a aplicação dos tratamentos às unidades experimentais de

modo que todas as unidades tenham igual chance de receber um determinado tratamento, o que pode ser

conseguido facilmente através de sorteio na disposição dos tratamentos nas parcelas. Sua função é assegurar

estimativas não tendenciosas do erro experimental e do efeito dos tratamentos, ou seja, este princípio evita

que um determinado tratamento seja sistematicamente favorecido ou desfavorecido nas sucessivas

repetições de um experimento.

c) Controle Local: Este princípio de experimentação permite que se imponham restrições na casualização a

fim de se reduzir o erro experimental. Ocorre quando utilizamos a formação de blocos (área física, operador,

professor, laboratorista, período etc.) que contém todos os tratamentos.


Delineamentos

Chama-se delineamento experimental, o modo de se dispor as parcelas no experimento. E dentre os

diversos tipos, os mais comumente utilizados são:

a) Delineamento inteiramente casualizado;

b) Delineamento em blocos ao acaso;

c) Delineamento em quadrado latino.

O delineamento experimental diz respeito diretamente à maneira como os tratamentos devem ser

aplicados, as observações devem ser feitas e os dados coletados e analisados.

O objetivo do delineamento é controlar as fontes de variação que afetam os dados, assegurar ao

pesquisador que elas sejam relevantes para a sua hipótese e que sejam obtidas da forma mais econômica

possível.

DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO

É o mais simples de todos os delineamentos experimentais, sendo considerado o delineamento

estatístico básico, onde os demais seriam modificações deste. Este tipo de delineamento leva em consideração

apenas os princípios da repetição e da casualização, o que faz com que os tratamentos sejam distribuídos nas

parcelas de forma totalmente aleatória. Para tal, espera-se que o ambiente onde os experimentos serão

conduzidos seja o mais uniforme possível, como nos ensaios de laboratório, casa-de-vegetação, viveiro, estábulo,

entre outros. Nestes locais as condições ambientais podem ser facilmente controladas pelo pesquisador.

Em um ensaio, cada tratamento deve ser aplicado a pelo menos duas parcelas, ou seja, deve haver

repetição, que é um dos preceitos básicos da experimentação. Assim, por exemplo, em um ensaio onde temos 4

tratamentos, que poderiam ser 4 procedimentos laboratoriais ou 4 variedades de milho para forragem, e que

vamos designar por A, B, C e D; neste caso, podemos ter 6 ou mais repetições, sendo que pelo menos devemos

ter duas. Se no experimento citado tivermos 6 repetições, então disporemos de 24 parcelas (4 tratamentos x 6

repetições).

Além da repetição, devemos proceder à casualização, ou seja, devemos realizar um sorteio para

proporcionar condições de igualdade na distribuição desses tratamentos nas parcelas, sem privilegiar nenhum em

detrimento de outro. Assim, para efeito meramente didático, consideremos que temos um ensaio com 4

procedimentos laboratoriais (ou 4 variedades de milho para forragem) com 2 repetições, e que ao sortear os

tratamentos eles ficaram assim distribuídos:

C B D B D A C A

Temos então um experimento no delineamento inteiramente casualizado, pois a casualização foi feita

sem nenhuma restrição.

DELINEAMENTO EM BLOCOS CASUALIZADOS

O delineamento em blocos casualizados leva em consideração os três princípios básicos da

experimentação: a repetição, a casualização e o controle local. Em virtude disso, constitui-se no delineamento

estatístico mais utilizado na pesquisa agronômica, aliado à sua simplicidade, flexibilidade e alta precisão.

Nos ensaios da área agropecuária, geralmente existe algum elemento que produz efeito sobre os

resultados dos tratamentos. Quando esse efeito é conhecido e controlável, efetuamos o controle local,

subdividindo o material experimental em blocos homogêneos, para eliminar esse efeito da comparação entre os

tratamentos. Esses blocos devem conter todos os tratamentos, distribuídos de forma aleatória, podendo ser: área

física, período, operador, máquina, local, entre outros. Nos experimentos zootécnicos, por exemplo, cada bloco

seria composto por animais de características semelhantes, como animais de mesma raça, mesma idade, mesmo

peso, entre outras.

Entretanto, embora cada bloco deva ser o mais uniforme possível, eles poderão diferir bastante uns dos

outros. No caso de um experimento em que testamos o desenvolvimento de suínos em uma creche, alimentados

com três rações diferentes, podemos considerar como um bloco, um dos lados que recebe a ação direta do sol, e

o outro bloco seria o lado que não recebe a ação direta do sol. Cada bloco seria, portanto, dividido em três para

receber, cada um, uma das três rações citadas. As parcelas, neste caso, poderiam ser as baias, ou mesmo um certo

número de animais (4 animais, por exemplo). Suponhamos que a distribuição aleatória das parcelas tenha ficado

assim distribuída:

BLOCO 1: A C B

BLOCO 2: B C A

Temos então um experimento no delineamento em blocos ao acaso, pois a casualização foi feita com as

restrições estabelecidas pelo local.


Outro exemplo, bastante típico, é o dos julgadores de animais de exposição, onde julgador=bloco.

Entre os julgadores, ou seja, entre os blocos, devem existir diferenças marcantes, mas dentro dos blocos isso não

pode ocorrer, os efeitos devem ser homogêneos.

Pelo exposto, pode-se ter como bloco uma faixa de terra, um período de tempo, uma faixa de idade, uma

sala de aula, um professor em sala de aula, entre outros exemplos.

DELINEAMENTO EM QUADRADO LATINO

O delineamento em quadrado latino leva em consideração os três princípios básicos da experimentação:

a repetição, a casualização e o controle local.

Exige que o número de tratamentos seja igual ao número de repetições, o que limita o número de

tratamentos, já que um grande número desses, ocasionaria um número excessivo de repetições.

O controle local é mais eficiente que o do delineamento em blocos casualizados, já que controla duas

fontes de variabilidade, controlando a heterogeneidade do ambiente tanto na horizontal quanto na vertical.

A casualização é feita de tal forma que cada tratamento aparece apenas uma única vez em cada linha e

em cada coluna.

Como exemplo, poderíamos desejar aplicar o efeito de um determinado concentrado a três raças de

suínos (colunas), onde temos animais com três idades diferentes (linhas).


A ANÁLISE DOS DADOS

1. Estrutura para análise estatística de um Delineamento Inteiramente Casualizado

Consideremos um ensaio no delineamento inteiramente ao acaso, com I tratamentos e J repetições.

Tratamentos Repetições

1 2 ... J

1 y11 y12 ... y1J

2 y21 y22 ... y2J

3 y31 y22 ... y3J

... ... ... ... ...

I yI1 yI2 ... yIJ

O modelo matemático para esse ensaio é:

etmy ijiij

onde,

yij

= é o valor observado na parcela que recebeu o tratamento i (i=1,2,...,I) na repetição j (j=1,2,...,J).

m = é a média geral do ensaio.

t i = é o efeito do tratamento i.

eij = é o erro experimental, onde )σ,0(Ne2

ij

Estimativas dos efeitos do modelo:

IJ

G

IJ

y

mij

ij

mmm

J

Tm

J

y

t iij

ij

i

tmye iijij

Vamos completar a tabela com os totais, as médias e os efeitos dos tratamentos:


Total Médias Efeitos 1 2 ... J

1 y11 y12 ... y1J T1 m1 t1

2 y21 y22 ... y2J T2 m2 t2

3 y31 y22 ... y3J T3 m3 t3

... ... ... ... ... ... ... ...

I yI1 yI2 ... yIJ TI mI tI

G m

Onde,

j

j11 yT j

j22 yT j

IjI yT

J

Tm

11

J

Tm

22

J

Tm

II

mmt 11 mmt 22 mmt II


Análise da Variância (ANAVA)

Tabela da ANAVA

Causas de variação GL SQ QM F

Tratamentos I – 1 SQT QMT QMT/QMR

Resíduo I(J – 1) SQR QMR

Total IJ – 1 SQTotal

Onde,

a) IJ

GC

2

(onde C = correção) b) CySQTotalij

2

ij c) CT

J

1SQT

i

2i

d) SQTSQTotalSQR e) 1I

SQTQMT

f)

)1J(I

SQRQMR

g) QMR

QMTF (teste F: para verificar se existem diferenças significativas entre os tratamentos testados).

Assim, para o teste F, se todos os tratamentos são iguais, temos:

H0: t...tt I21

Regra de decisão:

FF GL)]1J(I),1I[(TAB.CALC , rejeitamos H0.

A lógica dos testes estatísticos

O teste estatístico dá ao pesquisador condições de fazer inferência. Com base nos resultados da amostra

analisada, o teste estabelece, com um determinado nível de significância, se existem diferenças significativas

entre as populações existentes. O nível de significância dá a ideia de que é muito provável que um resultado,

similar ao que foi obtido na amostra, teria sido obtido se toda a população tivesse sido estudada.

O resultado apresentado pelo teste estatístico está sempre associado a algum tipo de erro. Por exemplo,

o pesquisador pode concluir que as médias dos tratamentos estudados são diferentes, embora isso,

verdadeiramente, não exista na população. Esse erro pode ser o resultado da flutuação amostral, em que uma

amostra pode apresentar uma diferença entre médias que não existe na população. O nível de significância de um

teste é justamente a probabilidade dessa ocorrência.

E quando utilizamos um teste estatístico, na verdade estamos testando duas hipóteses a respeito da

população. Uma primeira hipótese testada é a hipótese da nulidade, que indica a ausência de efeito de

tratamentos, ou ainda, que as diferenças existentes entre as médias dos tratamentos testados não são

significativas, ou seja:

H0: as médias são iguais.

A segunda hipótese, chamada de hipótese alternativa, que indica a presença de efeito de tratamentos, ou

ainda, que existem diferenças significativas entre as médias dos tratamentos testados. Ou seja:

H1: as médias são diferentes.

O nível de significância de um teste é a probabilidade de o pesquisador cometer erro, afirmando que

existem diferenças entre as médias dos tratamentos de um ensaio, quando na verdade não existem essas

diferenças. Essa probabilidade é indicada pela letra grega α (alfa). O nível de significância consiste, portanto, na

probabilidade de se rejeitar H0 quando na verdade ela é verdadeira.

O pesquisador define, no planejamento, o nível de significância do ensaio. Quando escolhemos o nível

de significância de 5%, indicamos os seus resultados com um asterisco, e quando o nível é de 1%, indicamos

com dois asteriscos.


EXEMPLO: Consideremos o caso em que temos 4 tratamentos e 5 repetições.


Total Médias Efeitos 1 2 3 4 5

A 10,8 10,1 9,6 8,3 11,4 50,2 10,04 0,03

B 14,7 12,2 11,9 15,0 14,3 68,1 13,62 3,61

C 10,6 7,9 8,9 12,0 10,4 49,8 9,96 –0,05

D 6,7 4,8 7,9 6,9 5,8 32,1 6,42 –3,59

200,2 10,01 0,00

Informações básicas: m = 10,01 I = 4 J = 5 IJ = 20

Cálculo auxiliar para a Tabela da Análise da Variância:

C = 20

2,2002

= 2.004,002

SQTotal = 2.163,42 – 2.004,002 = 159,418

SQT = 002,004.21,668.10x5

1 =129,618

SQR = 159,418 – 129,618 = 29,8

F = 863,1

206,43 = 23,2

Portanto, com esses resultados, podemos construir o Quadro da Análise de Variância para o ensaio em questão:


Tratamentos 3 129,61 43,206 23,2**

Resíduo 16 29,800 1,863

Total 19 159,418

Para aplicar a regra de decisão, necessitamos encontrar o F tabelado, com (I – 1) graus de liberdade de

tratamentos e I(J – 1) graus de liberdade do resíduo, a 1% e a 5% (preferencialmente). Assim, temos:

F[3;16] a 1% (5,29) e a 5% (3,24).

Conclusão:

Os tratamentos diferem entre si ao nível de 1% de probabilidade de erro.

Precisão do ensaio:

CV(%) = m

s.100 =

01,10

8625,1100

m

QMR100 = 13,63

Observação:

O coeficiente de variação dá uma idéia de precisão do ensaio e da variabilidade nos resultados dos tratamentos. E

é usual a seguinte classificação:

CV Variabilidade Precisão

< 10 Baixa Alta

10-20 Média Média

20-30 Alta Baixa

>30 Muito alta Muito baixa

Portanto, pelo resultado apresentado (13,63%), podemos classificá-lo como de média precisão.


CONTEÚDO COMPLEMENTAR

Procedimentos de comparação entre médias (PCM)

Teste de Tukey

O teste de Tukey é um procedimento de comparação de duas médias de tratamentos. Consiste em:

a) Estabelecer as hipóteses:

0mmH 'ii0 vs mmH 'ii1

b) Obter a Diferença Mínima Significativa (DMS):

J

QMRqDMS

onde,

q é o valor tabelado para I tratamentos e gl do resíduo.

c) Obter as estimativas dos contrastes de médias:

mm 'ii

d) Aplicar a regra de decisão:

dms|mm| 'ii rejeitamos H0.

EXEMPLO:

Do exemplo anterior, temos:

Tratamentos Médias

A 10,04 QMR = 1,863

B 13,62 glRES. = 16 Portanto:

C 9,96 J = 5 q(4, 16)

D 6,42 I = 4

Assim, temos que: 17,35

863,119,5DMS %)1( 47,2

5

863,105,4DMS %)5(

D C A B

B 7,20** 3,66** 3,58** – A 3,62** 0,08ns – – C 3,54** – – – D – – – –

Conclusões:

- O tratamento B difere dos tratamentos D, C e A, a 1% de probabilidade de erro.

- O tratamento A difere de D a 1% de probabilidade, e não difere do tratamento C.

- O tratamento C difere do tratamento D a 1% de probabilidade de erro.

NOTAÇÃO

Para os testes de comparação de médias, é usual a seguinte notação:

Tratamentos Médias*

B 13,62 a

A 10,04 b

C 9,96 b

D 6,42 c * Médias seguidas de mesma letra não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5% (ou 1%, se for o caso).

1% = 5,19

5% = 4,05


Teste de Dunnett

É um teste apropriado para comparar médias de tratamentos de um ensaio com a média da testemunha.

Consiste em:

a) Estabelecer as hipóteses:

mmH ti0 vs mmH ti1

b) Obter a DMS através de:

J

QMR2tD d

onde,

td é o valor tabelado para o teste bilateral de Dunnett, com (I – 1) médias e gl do resíduo.

c) Obter as estimativas dos contrastes das médias com a testemunha:

mm ti

d) Aplicar a regra de decisão:

D|mm| ti rejeitamos H0.

EXEMPLO:

Ainda do exemplo anterior, e considerando que o tratamento C tenha sido a testemunha, temos:

Tratamentos Médias

A 10,04

B 13,62

C 9,96

D 6,42

QMR = 1,863

glRES. = 16 Portanto: td(3, 16)

J = 5

I – 1 = 3

Assim, temos que: 94,25

863,1x241,3D %)1( 27,2

5

863,1x263,2D %)5(

mA mB mD

mC 0,08ns 3,66** -3,54**

Conclusões:

- A testemunha difere dos tratamentos B e D a 1% de probabilidade de erro, e não difere do tratamento A.

1% = 3,41

5% = 2,63



2. Estrutura para análise estatística de um Delineamento em Blocos Casualizados

Consideremos um ensaio no delineamento em blocos ao acaso, com I tratamentos e J repetições.


1 2 ... J

1 y11 y12 ... y1J

2 y21 y22 ... y2J

3 y31 y22 ... y3J

... ... ... ... ...

I yI1 yI2 ... yIJ


ebtmy ijjiij

onde,

yij

= é o valor observado na parcela que recebeu o tratamento i (i=1,2,...,I) na repetição j (j=1,2,...,J).



b j = é o efeito do bloco j.

eij = é o erro experimental, onde )σ,0(Ne2

ij

i = 1, 2, ..., I onde I é o número de tratamentos.

j = 1, 2, ..., J onde J é o número de blocos.

IJ = número de parcelas do ensaio.

Estimativas dos efeitos do modelo:

IJ

G

IJ

y

mij

ij

mmm

J

Tm

J

y

t iij

ij

i

mmmI

Bm

I

y

b jii

ij

j

btmye jiijij

Análise de Variância (ANAVA)

Quadro da ANAVA


Blocos J – 1 SQB QMB QMB/QMR


Resíduo (I – 1).(J – 1) SQR QMR

Total IJ – 1 SQTotal

Onde,


a) IJ

GC

2

(onde C = correção) b) CySQTotalij

2

ij

c) CBI

1SQB

j

2j = CB...BB

I

1 2J

22

21

d) CTJ

1SQT

i

2i = CT...TT

J

1 2J

22

21

e) SQTSQBSQTotalSQR

f) 1J

SQBQMB

g)

1I

SQTQMT

h)

)1I)(1J(

SQRQMR

i) QMR

QMBFB

j) QMR

QMTFT

H0: b1 = b2 = ... = bJ = 0 vs H1: não H0.

Rejeitamos H0 se FCALC > FTAB (g.l. B, g.l. R)

H0: t1 = t2 = ... = tI = 0 vs H1: não H0.

Rejeitamos H0 se FCALC > FTAB (g.l. T, g.l. R)


EXEMPLO: Considere um ensaio onde temos 6 tratamentos, sendo um deles uma testemunha, e com 4

repetições.


Total Médias 1 2 3 4

A 10,4 9,1 8,7 11,2 39,4 9,9

B 14,1 13,2 15,5 13,0 55,8 14,0

C 5,8 6,7 7,3 5,6 25,4 6,4

D 12,1 13,9 10,8 10,7 47,5 11,9

E 14,8 15,8 15,3 13,9 59,8 15,0

F (testemunha) 9,9 7,8 8,7 8,0 34,4 8,6

Total 67,1 66,5 66,3 62,4 262,3 10,9

Informações básicas: m = 10,9 I = 6 J = 4 IJ = 24

Cálculo auxiliar para a tabela da ANAVA:

C = 24

3,2622

= 2.866,7204

SQTotal = 3.102,8500 – 2.866,7204 = 236,1296

SQB = 7204,866.21100,214.17x6

1 =2,2979

SQT = 7204,866.28100,326.12x4

1 =214,9821

SQR = 236,1296 – 2,2979 – 214,9821 = 18,8496

F = 863,1

206,43 = 23,2

Portanto, com esses resultados, podemos construir o Quadro da Análise de Variância para o ensaio em questão:


Blocos 3 2,2979 0,7660 0,61ns

Tratamentos 5 214,9821 42,9964 34,22**

Resíduo 15 18,8496 1,2566

Total 23 159,418

Para aplicar a regra de decisão, necessitamos encontrar o F tabelado:

a) Para Blocos, temos F com (J – 1) graus de liberdade de tratamentos e (I – 1).(J – 1) graus de liberdade do

resíduo, a 1% e a 5% (preferencialmente). Assim, temos:

F[3;15] a 1% (5,42) e a 5% (3,29).

b) Para Tratamentos, temos F com (I – 1) graus de liberdade de tratamentos e (I – 1).(J – 1) graus de liberdade do

resíduo, a 1% e a 5% (preferencialmente). Assim, temos:

F[5;15] a 1% (4,56) e a 5% (2,90).

Conclusão:

Os tratamentos diferem entre si ao nível de 1% de probabilidade de erro, enquanto que não existem diferenças

significativas entre blocos.



3. Estrutura para análise estatística de um Delineamento em Quadrado Latino

Consideremos um ensaio no delineamento em quadrado latino, com I tratamentos.

Linhas Colunas

Totais de Linhas 1 2 ... J

1 y11 y12 ... Y1J L1

2 y21 y22 ... Y2J L2

3 y31 y22 ... Y3J L3

... ... ... ... ... ...

K yK1 yK2 ... yKJ LK

Totais de colunas C1 C2 ... CI G

Exemplo com 5 tratamentos (A, B, C, D e E):

Linhas Colunas

Totais de Linhas 1 2 3 4

1 XD XB XA XC L1

2 XB XD XC XA L2

3 XA XC XB XD L3

4 XC XA XD XB L4

Totais de colunas C1 C2 C3 C4 G


elbtmy ijkkjiijk

onde,

yijk

= é o valor observado k-ésima linha e j-ésima coluna do i-ésimo tratamento.



b j = é o efeito da coluna j.

lk = é o efeito da linha k.

eijk = é o erro experimental, onde )σ,0(Ne2

ijk

i = 1, 2, ..., I onde I é o número de tratamentos.

j = 1, 2, ..., J onde J é o número de blocos.

IJ = número de parcelas do ensaio.


Análise de Variância (ANAVA)

Quadro da ANAVA



Linhas I – 1 SQL –

Colunas I – 1 SQC –

Resíduo (I – 1).(I – 2) SQR QMR

Total I² – 1 SQTotal

Onde,

a) ²I

GC

2

(onde C = correção) b) CySQTotalijk

2

ijk

c) CLI

1SQL

k

2k = CL...LL

I

1 2k

22

21

d) CCI

1SQC

j

2j = CC...CC

I

1 2J

22

21

e) CTI

1SQT

i

2i = CT...TT

I

1 2I

22

21

f) )SQCSQLSQT(SQTotalSQR

g) 1I

SQTQMT

h)

)2I).(1I(

SQRQMR

i) QMR

QMTFT

EXEMPLO:

Ver exemplo do livro Estatística experimental aplicada à agronomia, do Prof. Paulo Vanderlei Ferreira, da

página 180 a 184.

H0: t1 = t2 = ... = tJ = 0 vs H1: não H0.

Rejeitamos H0 se FCALC > FTAB (g.l. T, g.l. R)


REFERÊNCIAS

BANZATTO, David Ariovaldo & KRONKA, Sérgio do Nascimento. Experimentação Agrícola. Jaboticabal,

Funep, 1992.

FERREIRA, Daniel Furtado. Estatística básica. Lavras-MG, 1996. 118p. (apostila).

FERREIRA, Paulo Vanderlei. Estatística experimental aplicada à agronomia. 3.ed., Maceió, Edufal, 2000.

422p.

GOMES, Frederico Pimentel. Iniciação à estatística. 6.ed. rev. e ampl., São Paulo, Nobel, 1978. 211p.

NUNES, Raimundo de Pontes. Métodos para a pesquisa agronômica. Fortaleza, UFC, 1998. 564p.

VIEIRA, Sônia. Introdução à Bioestatística. 2ª ed., Campos, Rio de Janeiro, 1981.

VIEIRA, Sônia. Estatística Experimental. 2ª ed., Atlas, São Paulo, 1999.

Apostila de Bioestatística – Experimentação

ANEXOS

(Tabelas)

Tabela 1 - Valores críticos da distribuição F de Fisher ao nível de 5% de probabilidade para o caso de F > 1. V1 = número de graus de liberdade de tratamentos. V2 = número de graus de liberdade do resíduo.

V1

V2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

20

30

40

50

60

120

1 161,5 200 216 224,6 230,2 234 237 239 241 242 243 243,9 244,7 245,4 246 248 250 251 252 252 253

2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 19,40 19,41 19,42 19,42 19,43 19,45 19,46 19,47 19,48 19,48 19,49

3 10,13 9,55 9,27 9,11 9,01 8,94 8,88 8,84 8,81 8,78 8,76 8,74 8,72 8,71 8,69 8,65 8,60 8,57 8,55 8,54 8,49

4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,94 5,91 5,89 5,87 5,86 5,80 5,75 5,72 5,70 5,69 5,66

5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,70 4,68 4,66 4,64 4,62 4,56 4,50 4,46 4,45 4,43 4,40

6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,03 4,00 3,98 3,96 3,94 3,87 3,81 3,77 3,75 3,74 3,70

7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,60 3,57 3,55 3,53 3,51 3,44 3,38 3,34 3,32 3,30 3,27

8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,31 3,28 3,26 3,24 3,22 3,15 3,08 3,04 3,02 3,01 2,97

9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,10 3,07 3,05 3,03 3,01 2,94 2,86 2,83 2,80 2,79 2,75

10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,94 2,91 2,89 2,86 2,85 2,77 2,70 2,66 2,64 2,62 2,58

11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 2,82 2,79 2,76 2,74 2,72 2,65 2,57 2,53 2,51 2,49 2,45

12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,72 2,69 2,66 2,64 2,62 2,54 2,47 2,43 2,40 2,38 2,34

13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 2,63 2,60 2,58 2,55 2,53 2,46 2,38 2,34 2,31 2,30 2,25

14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 2,57 2,53 2,51 2,48 2,46 2,39 2,31 2,27 2,24 2,22 2,18

15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,51 2,48 2,45 2,42 2,40 2,33 2,25 2,20 2,18 2,16 2,11

16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,46 2,42 2,40 2,37 2,35 2,28 2,19 2,15 2,12 2,11 2,06

17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 2,41 2,38 2,35 2,33 2,31 2,23 2,15 2,10 2,08 2,06 2,01

18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 2,37 2,34 2,31 2,29 2,27 2,19 2,11 2,06 2,04 2,02 1,97

19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 2,34 2,31 2,28 2,26 2,23 2,16 2,07 2,03 2,00 1,98 1,93

20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,31 2,28 2,25 2,22 2,20 2,12 2,04 1,99 1,97 1,95 1,90

21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 2,28 2,25 2,22 2,20 2,18 2,10 2,01 1,96 1,94 1,92 1,87

22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 2,26 2,23 2,20 2,17 2,15 2,07 1,98 1,94 1,91 1,89 1,84

23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27 2,24 2,20 2,18 2,15 2,13 2,05 1,96 1,91 1,88 1,86 1,81

24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 2,22 2,18 2,15 2,13 2,11 2,03 1,94 1,89 1,86 1,84 1,79

25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 2,20 2,16 2,14 2,11 2,09 2,01 1,92 1,87 1,84 1,82 1,77

26 4,23 3,37 2,97 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 2,18 2,15 2,12 2,09 2,07 1,99 1,90 1,85 1,82 1,80 1,75

27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 2,20 2,17 2,13 2,10 2,08 2,06 1,97 1,88 1,84 1,81 1,79 1,73

28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,19 2,15 2,12 2,09 2,06 2,04 1,96 1,87 1,82 1,79 1,77 1,71

29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 2,18 2,14 2,10 2,08 2,05 2,03 1,94 1,85 1,81 1,77 1,75 1,70

30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 2,13 2,09 2,06 2,04 2,01 1,93 1,84 1,79 1,76 1,74 1,68

40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 2,04 2,00 1,97 1,95 1,92 1,84 1,74 1,69 1,66 1,64 1,58

50 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,20 2,13 2,07 2,03 1,99 1,95 1,92 1,89 1,87 1,78 1,69 1,63 1,60 1,58 1,51

60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 1,95 1,92 1,89 1,86 1,84 1,75 1,65 1,59 1,56 1,53 1,47

120 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,18 2,09 2,02 1,96 1,91 1,87 1,83 1,80 1,78 1,75 1,66 1,55 1,50 1,46 1,43 1,35

240 3,88 3,03 2,64 2,41 2,25 2,14 2,05 1,98 1,92 1,87 1,83 1,79 1,76 1,73 1,71 1,61 1,51 1,44 1,40 1,37 1,29

480 3,86 3,01 2,62 2,39 2,23 2,12 2,03 1,96 1,90 1,85 1,81 1,77 1,74 1,71 1,69 1,59 1,48 1,42 1,38 1,35 1,26

960 3,85 3,01 2,61 2,38 2,22 2,11 2,02 1,95 1,89 1,84 1,80 1,76 1,73 1,70 1,68 1,58 1,47 1,41 1,36 1,33 1,24

Transcrição da tabela gerada pelo software ‘GERATAB.EXE’, desenvolvido pelo Prof. Daniel Furtado Ferreira, do Departamento de Ciências Exatas da Universidade Federal de Lavras.

Tabela 2 - Valores críticos da distribuição F de Fisher ao nível de 1% de probabilidade para o caso de F > 1. V1 = número de graus de liberdade de tratamentos. V2 = número de graus de liberdade do resíduo.

V1

V2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

20

30

40

50

60

120

1 4052 4999 5403 5625 5764 5859 5928 5981 6022 6056 6083 6106 6126 6143 6157 6209 6261 6287 6303 6313 6339

2 98,50 99,01 99,05 99,24 99,30 99,33 99,36 99,37 99,39 99,40 99,41 99,42 99,42 99,43 99,43 99,45 99,47 99,47 99,48 99,48 99,49

3 34,12 30,74 29,34 28,60 28,11 27,77 27,52 27,32 27,16 27,03 26,92 26,82 26,74 26,67 26,60 26,34 26,02 25,79 25,60 25,43 24,62

4 21,20 18,00 16,68 15,98 15,52 15,21 14,97 14,80 14,66 14,55 14,45 14,37 14,31 14,25 14,20 14,02 13,84 13,74 13,69 13,65 13,56

5 16,26 13,28 12,05 11,39 10,96 10,67 10,45 10,29 10,15 10,05 9,96 9,88 9,82 9,77 9,72 9,55 9,37 9,28 9,22 9,19 9,08

6 13,75 10,92 9,77 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,79 7,72 7,66 7,60 7,56 7,40 7,23 7,14 7,09 7,06 6,97

7 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 6,54 6,47 6,41 6,36 6,31 6,16 5,99 5,91 5,86 5,83 5,74

8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 5,73 5,67 5,61 5,56 5,52 5,36 5,20 5,12 5,07 5,03 4,95

9 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 5,18 5,11 5,05 5,01 4,96 4,81 4,65 4,57 4,52 4,48 4,40

10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 4,77 4,71 4,65 4,60 4,56 4,41 4,25 4,17 4,12 4,08 4,00

11 9,65 7,21 6,21 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 4,46 4,40 4,34 4,29 4,25 4,10 3,94 3,86 3,81 3,78 3,69

12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 4,22 4,16 4,10 4,05 4,01 3,86 3,70 3,62 3,57 3,54 3,45

13 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 4,02 3,96 3,91 3,86 3,82 3,66 3,51 3,43 3,38 3,34 3,25

14 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 3,86 3,80 3,75 3,70 3,66 3,51 3,35 3,27 3,22 3,18 3,09

15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 3,73 3,67 3,61 3,56 3,52 3,37 3,21 3,13 3,08 3,05 2,96

16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 3,62 3,55 3,50 3,45 3,41 3,26 3,10 3,02 2,97 2,93 2,84

17 8,40 6,11 5,18 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 3,52 3,46 3,40 3,35 3,31 3,16 3,00 2,92 2,87 2,83 2,75

18 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3,51 3,43 3,37 3,32 3,27 3,23 3,08 2,92 2,84 2,78 2,75 2,66

19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43 3,36 3,30 3,24 3,19 3,15 3,00 2,84 2,76 2,71 2,67 2,58

20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 3,29 3,23 3,18 3,13 3,09 2,94 2,78 2,69 2,64 2,61 2,52

21 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,40 3,31 3,24 3,17 3,12 3,07 3,03 2,88 2,72 2,64 2,58 2,55 2,46

22 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,26 3,18 3,12 3,07 3,02 2,98 2,83 2,67 2,58 2,53 2,50 2,40

23 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,30 3,21 3,14 3,07 3,02 2,97 2,93 2,78 2,62 2,54 2,48 2,45 2,35

24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 3,17 3,09 3,03 2,98 2,93 2,89 2,74 2,58 2,49 2,44 2,40 2,31

25 7,77 5,57 4,67 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22 3,13 3,06 2,99 2,94 2,89 2,85 2,70 2,54 2,45 2,40 2,36 2,27

26 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18 3,09 3,02 2,96 2,90 2,86 2,81 2,66 2,50 2,42 2,36 2,33 2,23

27 7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,39 3,26 3,15 3,06 2,99 2,93 2,87 2,82 2,78 2,63 2,47 2,38 2,33 2,29 2,20

28 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12 3,03 2,96 2,90 2,84 2,79 2,75 2,60 2,44 2,35 2,30 2,26 2,17

29 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,20 3,09 3,00 2,93 2,87 2,81 2,77 2,73 2,57 2,41 2,33 2,27 2,23 2,14

30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98 2,91 2,84 2,79 2,74 2,70 2,55 2,39 2,30 2,25 2,21 2,11

40 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2,80 2,73 2,66 2,61 2,56 2,52 2,37 2,20 2,11 2,06 2,02 1,92

50 7,17 5,06 4,20 3,72 3,41 3,19 3,02 2,89 2,78 2,70 2,63 2,56 2,51 2,46 2,42 2,27 2,10 2,01 1,95 1,91 1,80

60 7,08 4,98 4,12 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2,63 2,56 2,50 2,44 2,39 2,35 2,20 2,03 1,94 1,88 1,84 1,73

120 6,85 4,79 3,95 3,48 3,17 2,96 2,79 2,66 2,56 2,47 2,40 2,34 2,28 2,23 2,19 2,03 1,86 1,76 1,70 1,66 1,53

240 6,74 4,69 3,86 3,40 3,09 2,88 2,71 2,59 2,48 2,40 2,32 2,26 2,20 2,16 2,11 1,96 1,78 1,68 1,61 1,57 1,43

480 6,69 4,65 3,82 3,36 3,06 2,84 2,68 2,55 2,44 2,36 2,28 2,22 2,17 2,12 2,08 1,92 1,74 1,63 1,57 1,52 1,38

960 6,66 4,63 3,80 3,34 3,04 2,82 2,66 2,53 2,43 2,34 2,27 2,20 2,15 2,10 2,06 1,90 1,72 1,61 1,55 1,50 1,35

Transcrição da tabela gerada pelo software ‘GERATAB.EXE’, desenvolvido pelo Prof. Daniel Furtado Ferreira, do Departamento de Ciências Exatas da Universidade Federal de Lavras.

Teste de Tukey (1%)

Teste de Tukey (5%)

Teste de Dunnett (1% e 5%)

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