UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFaculdade de Engenharia Mecânica

SIDNEI ANDRÉ DOS SANTOS

Método dos Elementos de ContornoAplicado à Viscoelasticidade

Quase-estática em Materiais Inhomogêneos

CAMPINAS2016

SIDNEI ANDRÉ DOS SANTOS

Método dos Elementos de ContornoAplicado à Viscoelasticidade

Quase-estática em Materiais Inhomogêneos

Dissertação de Mestrado apresentada à Faculdade deEngenharia Mecânica da Universidade Estadual deCampinas como parte dos requisitos exigidos paraobtenção do título de Mestre em Engenharia Mecâ-nica, na Área de Mecânica dos Sólidos e Projeto Me-cânico.

Orientador: Prof. Dr. Carlos Henrique Daros

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃOFINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELOALUNO SIDNEI ANDRÉ DOS SANTOS, E ORI-ENTADO PELO PROF. DR. CARLOS HENRIQUEDAROS.

...............................................................ASSINATURA DO(A) ORIENTADOR(A)

CAMPINAS2016

Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): CAPES, 33003017

Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca da Área de Engenharia e ArquiteturaLuciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129

Santos, Sidnei André dos, 1987- Sa59m SanMétodo dos elementos de contorno aplicado à viscoelasticidade quase-

estática em materiais inhomogêneos / Sidnei André dos Santos. – Campinas,SP : [s.n.], 2016.

SanOrientador: Carlos Henrique Daros. SanDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade

de Engenharia Mecânica.

San1. Viscoelasticidade. 2. Métodos de elementos de contorno. 3. Materiais

inhomogeneos. 4. Métodos numéricos. 5. Análise numérica. I. Daros, CarlosHenrique,1971-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade deEngenharia Mecânica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Boundary element method applied to quasi-static viscoelasticity ininhomogeneous materialsPalavras-chave em inglês:ViscoelasticityBoundary element methodsInhomogeneous materialsNumerical methodsNumerical analysisÁrea de concentração: Mecânica dos Sólidos e Projeto MecânicoTitulação: Mestre em Engenharia MecânicaBanca examinadora:Carlos Henrique Daros [Orientador]Leandro Palermo JúniorPaulo Roberto RibeiroData de defesa: 18-08-2016Programa de Pós-Graduação: Engenharia Mecânica

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

DEPARTAMENTO DE MECÂNICA COMPUTACIONAL

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO ACADÊMICO

Método dos Elementos de ContornoAplicado à Viscoelasticidade

Quase-estática em Materiais InhomogêneosAutor: Sidnei André dos Santos

Orientador: Prof. Dr. Carlos Henrique Daros

A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Dissertação:

Prof. Dr. Carlos Henrique DarosDMC/FEM/UNICAMP

Prof. Dr. Leandro Palermo JúniorFEC/UNICAMP

Prof. Dr. Paulo Robero RibeiroFEM/UNICAMP

A Ata de defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vidaacadêmica do aluno.

Campinas, 18 de agosto de 2016.

Dedicatória

Dedico esse trabalho à toda minha família, em especial a minha mãe, Maria Delmina dosSantos.

Dedico também esse trabalho ao meu orientador, Prof. Dr. Carlos Henrique Daros.

Agradecimentos

À Deus, por me proporcionar um caminho desafiador e cheio de beleza.

À minha mãe, Maria Delmina dos Santos, pelo apoio incondicional e motivação em tudo naminha vida.

Ao meu orientador, Prof. Dr. Carlos Henrique Daros, por todo ensinamento passado e apoiodurante todo o projeto.

À minha família, pelo apoio incondicional e motivação.

Aos amigos e companheiros, pelo apoio e momentos de descontração.

À CAPES, que pelo suporte financeiro tornou possível a realização desse trabalho.

Há em tudo um limite que é perigosotranspor, porque, uma vez transposto, jánão há processo de voltar-se atrás.

Fiódor Dostoiévski

Resumo

O trabalho proposto refere-se ao estudo do comportamento viscoelástico quase-estático emmateriais gradualmente funcionais, utilizando como ferramenta de análise o método doselementos de contorno para o desenvolvimento de simulações numéricas. A viscoelasticidadeé um campo abrangente e de relevante importância na engenharia, sobretudo nas áreasestruturais de materiais compósitos e poliméricos. Neste estudo trabalha-se com formulaçõesdo método dos elementos de contorno para os modelos sólidos viscoelásticos de Kelvin-Voigt eBoltzmann. Essa formulação é desenvolvida através das relações constitutivas diferenciais paraviscoelasticidade quase-estática linear, podendo-se assim evitar o uso de funções de relaxação.A metodologia utilizada para meio homogêneo necessita apenas da solução fundamental deKelvin da elasticidade isotrópica. Entretanto, a metodologia utilizada para o meio inhomogêneoa ser analisado necessita de uma função de Green para materiais elásticos exponencialmenteinhomogêneos. Ambos os casos são formulados com as constantes materiais prescritas comofunções explícitas do tempo nos núcleos das integrais de contorno. As formulações sãovalidadas comparando-se os resultados numéricos com as soluções analíticas e simulações emsoftware comercial de elementos finitos. Um código em ambiente de programação Matlab© foidesenvolvido para a implementação numérica do problema em questão.

Palavras-chave: Viscoelasticidade quase-estática; MEC; Modelo de Boltzmann; Modelo deKelvin; Materiais Gradualmente Funcionais.

Abstract

The present work dwells on the quasi-static behavior of functionally graded viscoelastic solidsvia the Boundary Element Method (BEM). Viscoelasticity is a wide subject, which is relevantto several engineering applications, specially within the realm of composites and polymericmaterials. A BEM formulation is implemented for the Kelvin-Voigt and Boltzmann materialmodels. The formulation makes use of differential constitutive relations for quasi-static linearviscoelasticity, avoiding the use of relaxation functions. For the homogeneous case it is onlynecessary to apply Kelvin’s fundamental solution for elastostatics. However, for the specialcase of exponentially graded inhomogeneity, one needs a special Green’s function. Both casesare formulated with material constants given explicitly as functions of time in the boundaryintegral kernels. The formulations are validated applaying analytical solutions and numericalresults from a commercial Finite Element (FE) code. A Matlab© code was developed to studythe problem in question.

Keywords: Quasi-static viscoelasticity; BEM; Boltzmann model; Kelvin moldel; Functionallygraded materials.

Lista de Ilustrações

1.1 Exemplos de aplicação de materiais viscoelásticos. . . . . . . . . . . . . . . . 191.2 Exemplos de aplicação de materiais gradualmente funcionais. . . . . . . . . . . 203.1 Modelo conceitual da viscoelasticidade Fonte: Poppov, Introduction to Solid

Mechanics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Teste de compressão hidrostática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 Teste de tração uniaxial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4 Teste de cisalhamento transversal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5 Escoamento de fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.6 Estado de cisalhamento simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.7 Analogia entre os comportamentos elásticos da mola e do quadrado sob cisa-

lhamento puro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.8 Analogia entre os comportamentos de fluxo viscoso de um amortecedor e do

quadrado sob cisalhamento puro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.9 Modelo viscoelástico de Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.10 Modelo viscoelástico de Kelvin-Voigt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.11 Modelo viscoelástico de Boltzmann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.12 Representação gráfica da função Heaviside. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.13 Representação gráfica da deformação sob o teste de fluência. . . . . . . . . . . 443.14 Representação gráfica da tensão sob teste de relaxação. . . . . . . . . . . . . . 463.15 Histórico de tensões aplicadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.16 Histórico de tensão arbitrária. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.1 Exemplos de diferentes tipos de microestruturas gradualmente funcionais,

ABOUDI et al. (1999). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2 Exemplo de MGF composto por YSZ-NiCr, LI et al. (2003). . . . . . . . . . . 525.1 Corpo bidimensional discretizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2 Elemento quadrático contínuo de três nós. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.1 Modelo de disco para análise (EPT). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.2 Deslocamento radial na parede interna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.3 Deslocamento radial na parede externa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.4 Deslocamento radial no ponto interno A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.5 Tensões viscoelástica, elástica e viscosa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.6 Modelo de cilindro vazado para análise (EPD). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.7 Deslocamento radial na parede interna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.8 Deslocamento radial na parede externa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.9 Deslocamento radial no ponto interno A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.10 Tensões viscoelástica, elástica e viscosa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.11 Barra de material inhomogêneo tracionada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.12 Modelo da barra desenvolvido no Ansys©. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.13 Malha de elementos de contorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.14 Malha de elementos finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.15 Região de análise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.16 Deslocamento na direção 𝑥 nos nós do contorno inferior. . . . . . . . . . . . . 957.17 Deslocamento na direção 𝑥 nos pontos da linha de simetria. . . . . . . . . . . . 957.18 Deslocamento na direção 𝑥 nos nós do contorno inferior. . . . . . . . . . . . . 967.19 Deslocamento na direção 𝑥 nos pontos internos da linha de simetria. . . . . . . 967.20 Deslocamento na direção 𝑦 nos nós do contorno inferior. . . . . . . . . . . . . 977.21 Membrana bidimensionalmente gradada submetida a tração. . . . . . . . . . . 987.22 Modelo de análise no MEF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.23 Malha de elementos de contorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.24 Malha de elementos finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.25 Regiões de análise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.26 Deslocamento nos nós do contorno inferior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.27 Deslocamento nos nós do contorno superior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.28 Deslocamento nos pontos da linha de simetria horizontal. . . . . . . . . . . . . 1017.29 Deslocamento nos pontos da linha de simetria vertical. . . . . . . . . . . . . . 1027.30 Deslocamento na direção 𝑥 no ponto 𝑃1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.31 Deslocamento na direção 𝑥 no ponto 𝑃2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.32 Deslocamento na direção 𝑥 no ponto 𝑃1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.33 Deslocamento na direção 𝑥 no ponto 𝑃2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.34 Deslocamento na direção 𝑥 nos nós do contorno inferior. . . . . . . . . . . . . 1067.35 Deslocamento na direção 𝑥 no ponto 𝑃4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.36 Deslocamento na direção 𝑥 no ponto 𝑃2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.37 Deslocamento na direção 𝑥 nos nós do contorno inferior. . . . . . . . . . . . . 1087.38 Deslocamento na direção 𝑥 nos nós do contorno superior. . . . . . . . . . . . . 1087.39 Deslocamento nos nós do contorno inferior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.40 Deslocamento nos nós do contorno superior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.41 Comportamento ao longo do eixo 𝑥 - Ponto fonte (0, 0). . . . . . . . . . . . . . 1107.42 Comportamento ao longo do eixo 𝑦 - Ponto fonte (0, 0). . . . . . . . . . . . . . 1117.43 Comportamento ao longo do eixo 𝑥 - Ponto fonte (0.5, 0.5). . . . . . . . . . . . 1127.44 Comportamento ao longo do eixo 𝑦 - Ponto fonte (0.5, 0.5). . . . . . . . . . . . 1137.45 Comportamento de 𝑢* para |𝑟| → ∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.46 Comportamento de 𝑝* para |𝑟| → ∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Lista de Tabelas

6.1 Avaliação da Função de Green Aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.1 Propriedades de análise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.2 Deslocamento elástico em função do número de elementos utilizados. . . . . . 857.3 Deslocamento elástico em função do número de elementos utilizados. . . . . . 887.4 Resultados de solução inhomogênea x solução homogênea (EPD) . . . . . . . . 927.5 Resultados de solução inhomogênea x solução homogênea (EPT) . . . . . . . . 927.6 Deslocamentos em função dos coeficientes 𝛽1, 𝛽2 e 𝜈 . . . . . . . . . . . . . . 103

Lista de Abreviaturas e Siglas

Matrizes e Vetores

𝑢(𝑡) - Vetor de deslocamentos em função do tempo(𝑡) - Vetor de taxa de deslocamentos em função do tempo𝑝(𝑡) - Vetor tração em função do tempo(𝑡) - Vetor taxa de tração em função do tempo𝑏(𝑡) - Vetor força de corpo em função do tempo𝑢𝑖 𝑣𝑖𝑇 - Vetor transposto dos componentes de deslocamento 𝑢 e 𝑣

[𝐻] - Matriz de "influência"da aproximação linear do deslocamento[𝐺] - Matriz de "influência"da aproximação linear de tração[𝜎] , [𝜎]𝑒 , [𝜎]𝑣 - Matrizes de tensões viscoelástica, elástica e viscosa

Letras Latinas

𝐸 - Módulo de elasticidade𝐺 - Módulo de cisalhamento transversal𝑖,𝑗,𝑘 - Posições nas malhas nas direções x e y𝑖,𝑒 - Posições interna e externa da geometria𝑠 - Número de iteração|𝐽 | - Determinante do Jacobiano𝑟 - Vetor das posições entre ponte fonte e ponto campo𝑒,𝑣𝑒, 𝑣𝑖 - Índices que representam elástico, viscoelástico e viscoso𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 - Tensor das propriedades elásticas do material𝐾𝑖𝑗𝑘𝑙 - Tensor das propriedades viscosas do fluido𝐽 - Momento polar de inércia𝑇 - Momento torsor𝑐 - Raio da seção transversal𝑆𝑖𝑗 - Tensor tensão desviatória𝐾 - Módulo de expansão volumétrica𝑝0 - Pressão hidrostática𝑛𝑖 - Vetor normal𝑡𝑛𝑖 - Vetor tração𝐷𝑝𝑞 - Tensor taxa de deformação𝑃,𝑄,𝑀,𝑁,ℒ - Operadores diferenciais lineares𝑡 - Tempo𝑏𝑖 - Força de corpo𝑢, 𝑣 - Deslocamentos em 𝑥 e 𝑦, respectivamente𝑢*𝑘𝑖, 𝑝

*𝑘𝑖 - Tensores soluções fundamentais para deslocamento e tra-

ção𝑖 - Número imaginário𝐺 - Função de Green aproximada𝐵𝑖𝑗 - Tensor taxa de deformação desviatória𝑅𝑖 - Raio interno do disco e cilindro𝑅𝑒 - Raio externo do disco e cilindro𝑅𝐴 - Raio do ponto interno do disco e cilindro𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, 𝑃4 - Pontos das análises𝑈𝑃𝑎.𝐼 , 𝑈𝑃𝑎.𝐸, 𝑈𝑃𝑜.𝐼 - Deslocamento na parede interna, externa e no ponto in-

terno𝐿 - Comprimento da barra, membranaℎ - Altura da barra, membrana𝐻 - Função de Heaviside

Letras Gregas

Ω - DomínioΓ - Contorno𝜉 - Coordenada local em [-1,1]𝜉1, 𝜉2 - Coordenadas da transformada de Fourier𝜑𝑖, 𝜑𝑗 - Funções de interpolação𝛽 - Vetor dos coeficientes de inhomogeneidade𝜂 - Coeficiente de viscosidade𝛾 - Coeficiente de viscosidade𝛽1, 𝛽2 - Coeficiente de inhomogeneidade nas direções x e y, res-

pectivamente𝜎𝑖𝑗 - Tensor tensão𝑖𝑗 - Tensor taxa de deformação𝜅 - Propriedade mecânica do material𝜆, 𝜇 - Constantes de Lamé𝜆0, 𝜇0 - Constantes de Lamé no ponto de gradação 0𝜀 - Deformação𝜈 - Coeficiente de Poisson𝛿 - Delta de Kronecker𝜏 - Tensão de cisalhamento𝜂𝑖𝑗 - Tensor deformação desviatória𝜕 - Derivada parcial𝛾12 - Deformação cisalhante12 - Taxa de deformação cisalhante - Extensão no amortecedor𝜎0 - Tensão constante𝛾0 - Deformação constante

Siglas

MEC - Método dos Elementos de ContornoMEF - Método dos Elementos FinitosEPD - Estado Plano de DeformaçãoEPT - Estado Plano de TensãoMGF - Material Gradualmente FuncionalMVGFs - Materiais Viscoelásticos Gradualmente FuncionaisFFT - Fast Fourier Transform

YSZ - Yittria Stabilized Zirconia

BEM - Boundary Element Method

FE - Finite Element

Outras Notações

1D - Unidimensional2D - Bidimensional

Sumário

1 Introdução 191.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2 Revisão Bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Objetivos e Roteiro da Dissertação 242.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Roteiro da Dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Viscoelasticidade 263.1 Equações Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.1 Equações Constitutiva para o Comportamento Elástico . . . . . . . . . 273.1.2 Equações Constitutivas para o Fluxo Viscoso . . . . . . . . . . . . . . 323.1.3 Equações Constitutivas Viscoelásticas na Forma de Operadores Dife-

renciais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Modelos Viscoelásticos Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2.1 Modelo Viscoelástico de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.2 Modelo Viscoelástico de Kelvin-Voigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.3 Modelo Viscoelástico de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Fluência e Relaxação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.4 Princípio da Superposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5 Princípio da Correspondência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Elasticidade Inhomogênea 524.1 Formulação Elástica para Materiais Exponencialmente Inhomogêneos . . . . . 53

5 Método dos Elementos de Contorno Aplicado à Viscoelasticidade 575.1 Formulação de Elementos de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1.1 Equaçoes Integrais para o Modelo de Kelvin-Voigt . . . . . . . . . . . 585.1.2 Equações Integrais para o Modelo de Boltzmann . . . . . . . . . . . . 62

5.2 Discretização Numérica dos Elementos de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . 655.2.1 Elemento Isoparamétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2.2 Discretização das Equações Integrais Viscoelásticas para o Modelo de

Kelvin-Voigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.2.3 Discretização das Equações Integrais Viscoelásticas para o Modelo de

Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.3 Integração no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.3.1 Integração no Tempo das Equações Integrais Viscoelásticas para o Mo-delo de Kelvin-Voigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.3.2 Integração no Tempo das Equações Integrais Viscoelásticas para o Mo-delo de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6 MEC Aplicado à Elasticidade e Viscoelasticidade Inhomogênea 726.1 Solução Fundamental para Meios Inhomogêneos . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.1.1 Desenvolvimento da Parte não Singular de G . . . . . . . . . . . . . . 726.1.2 Solução Numérica das Integrais Simples de Fourier . . . . . . . . . . . 796.1.3 Avaliação da Função G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2 Aplicação do MEC ao Meio Inhomogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.2.1 Inhomogêneo Elástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.2.2 Inhomogêneo Viscoelástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7 Resultados 847.1 Análise Viscoelástica Homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.1.1 Deslocamentos no Disco (EPT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.1.2 Deslocamentos no Cilindro (EPD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.2 Análise Elástica Inhomogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.2.1 Análise Comparativa de Deslocamentos em Meios Homogêneos e Inho-

mogêneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.2.2 Análise de uma Barra de Material Inhomogêneo . . . . . . . . . . . . . 937.2.3 Análise de uma Membrana de Material Inhomogêneo . . . . . . . . . . 97

7.3 Análise Viscoelástica Inhomogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.3.1 Análise de uma Barra de Material Inhomogêneo . . . . . . . . . . . . . 1047.3.2 Análise de uma Membrana de Material Inhomogêneo . . . . . . . . . . 106

7.4 Análise da Aproximação da Função de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.4.1 Análise dos Comportamentos dos Tensores Soluções Fundamentais u*

𝑖𝑗

e p*𝑖𝑗 para |r| → ∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8 Conclusões 1168.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1168.2 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Referências Bibliográficas 118

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1 Introdução

1.1 Motivação

A análise estrutural utilizando métodos numéricos tem se tornado extremamente impor-tante nos mais variados campos da engenheira, tendo como um dos principais fatores o altonível dos resultados fornecidos através dos mais variados métodos existentes. Outro fator im-portante para o aumento progressivo do uso de métodos numéricos é o advento da computaçãosofisticada, que possibilita a avaliação diversificada com intervalo de tempo relativamente curto.

Dentre os métodos de simulação numérica, o método dos elementos de contorno (MEC)tem se destacado como uma importante técnica matemática para simulação computacional. OMEC apresenta melhor desempenho em termos de convergência de resultados na maioria doscasos, principalmente em análises de concentração de tensões, comparado a outros métodoscomo por exemplo o método dos elementos finitos (MEF). Uma das grandes características dométodo dos elementos de contorno é que este exige a discretização apenas da superfície oucontorno do domínio a ser analisado, o que tende a minimizar o custo computacional.

Devido à versatilidade apresentada pelo MEC, este tem encontrado consideráveis aplica-ções para solucionar diversos problemas de engenharia, como por exemplo contatos mecânicos,elastoplasticidade, elastodinâmica, mecânica da fratura, geomecânica e viscoelasticidade.

Materiais viscoelásticos contemplam uma das linhas de pesquisa que tem sido alvo deestudos matemáticos para aplicação do MEC, como exemplo, tem-se os materiais poliméricos ecompósitos. Esse tipo de material por sua vez apresenta resposta de deformação e tensão depen-dentes do tempo. Devido à complexidade de modelos viscoelásticos, os quais incluem tempocomo variável, soluções analíticas exatas estão disponíveis somente para poucos problemas.

Estes materiais possuem atualmente uma vasta aplicação em diversas áreas da engenharia,sendo utilizados desde implantes médicos, estruturas para absorção de impactos na construçãocivil, e até como combustível sólido para o setor aeroespacial. A Fig. (1.1) apresenta algumasaplicações dos materiais viscoelásticos.

(a) Absorvedor de choque paraponte ferroviária

(b) Disco lombar (Crédito: Journal of MedicalDevices Volume 5|Issue 1)

Figura 1.1: Exemplos de aplicação de materiais viscoelásticos.

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Outra importante linha de pesquisa refere-se aos chamados "materiais artificialmenteconstruídos". Materiais que apresentam diferentes propriedades mecânicas, térmicas ou quí-micas têm sido combinados para formar um único componente que atenda às solicitações en-contradas nos problemas reais. Um conceito inovador de material surgiu em 1984 no Japão,com o desenvolvimento da tecnologia aeroespacial, e é denominado material gradualmente fun-cional (MGF). Este constitui uma classe de materiais compósitos avançados, com propriedadesvariando ao longo das dimensões. Alguns MGFs são também viscoelásticos, e são então deno-minados MVGFs ("Materiais Viscoelásticos Gradualmente Funcionais"). Tais materiais são oobjetivo central desta dissertação.

MGFs são aplicados onde as condições de operação são severas, por exemplo em com-ponentes de motores de foguetes na indústria aeroespacial, em implantes ortodônticos e orto-pédicos na medicina, em equipamentos de proteção pessoal no setor de defesa, em coberturasatuando como barreiras térmicas para pás de turbinas a gás etc.. São apresentadas na Fig. (1.2)aplicações dos MGFs.

(a) Prótese de cabeça femoral (b) Placa de blindagem

(c) Turbina a gás (d) Foguete

Figura 1.2: Exemplos de aplicação de materiais gradualmente funcionais.

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1.2 Revisão Bibliográfica

A revisão da literatura sobre as áreas que envolvem essa dissertação limitam-se aos traba-lhos mais relevantes e que influenciaram de forma direta nesse estudo.

O termo viscoelasticidade é designado a materiais que apresentam comportamento tantolíquido quanto sólido quando sujeitos a algum tipo de carregamento. Há relativamente um pe-queno número de textos que tratam exclusivamente da viscoelasticidade. Um dos primeirostextos a apresentar uma introdução à teoria da viscoelasticidade deve-se a FLÜGGE (1967).Um trabalho envolvendo avaliação das propriedades de materiais viscoelásticos não-linearesencontra-se em SCHAPERY (1969). Estudos sobre o comportamento reológico dos materiaissão apresentados em MARKOVITZ (1977). A monografia de CHRISTENSEN (1982) pode sercitada como um texto avançado na teoria da viscoelasticidade linear e não-linear. Uma teoriageral da viscoelasticidade voltada para fluidos encontra-se no livro de BIRD et al. (1987). Entreos livros mais recentes que tratam da viscoelasticidade teórica e experimental pode-se citar amonografia de LAKES (1999).

Citando-se ASHRAFI e FARID (2010), o Método dos Elementos de Contorno para a vis-coelasticidade linear possui duas formulações básicas. A primeira formulação clássica refere-se ao uso do princípio da correspondência elástica viscoelástica. Soluções viscoelásticas sãogeralmente obtidas invertendo a transformação das correspondentes soluções elásticas associ-adas. Para resolução de problemas, as equações viscoelásticas são transformadas em equiva-lentes elásticas através das transformadas de Laplace. Para se recuperar o comportamento dotempo aplicam-se inversões numéricas. Tal formulação apresenta dificuldades quando os parâ-metros viscosos são variáveis no tempo ou quando condições complexas de contorno ao longodo tempo são aplicadas. A segunda formulação segue a metologia aplicada para os casos vis-coplásticos SIMO e HUGHES (1998). Em tal formulação utilizam-se esquemas incrementaisquase-estáticos, onde o comportamento temporal da solução é recuperado através do relaxa-mento da tensão.

Possivelmente um dos primeiros trabalhos do MEC aplicado a materiais viscoelásticos,usando a correspondência elástica viscoelástica, deve-se a RIZZO e SHIPPY (1971). Outrosartigos envolvendo o caso quase-estático viscoelástico (i.e. sem termos inerciais) podem sercitados como em TANAKA (1987), SIM e KWAK (1988) e CARINI et al. (1991). Aplicaçõesviscoelásticas dinâmicas podem ser encontradas e.g. em KOBAYASHI e KAWAKAMI (1985).

Para respostas numéricas viscoelásticas, um processo de marcha no tempo foi incorporadono método numérico. SCHINIKAWA e MITSUI (1993) apresentaram um método combinadoentre MEC/MEF para analisar problemas viscoelásticos usando marcha no tempo. Formulaçõesdo MEC para problemas viscoelásticos 3D sujeitos a força de corpo foram apresentadas porPAN et al. (1997).

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Para respostas transientes, uma dificuldade encontrada no MEC é a ausência de soluçõesfundamentais viscoelásticas transientes para o caso geral. Dessa forma, o uso de transformaçõesintegrais torna-se vital. Para um melhor desempenho da inversão numérica, várias alternativasforam propostas, como e.g. em SCHANZ (1999) com o uso de regra de quadraturas para asintegrais de convolução.

Um interessante trabalho na descrição dos modelos viscoelásticos de Kelvin e Boltzmannpara o MEC deve-se a MESQUITA e CODA (2007a) e MESQUITA e CODA (2007b). Nessetrabalho foi usado uma metodologia baseada nas relações constitutivas diferenciais para visco-elasticidade. sendo notado que é possível considerar parâmetros viscosos, não proporcionais aotensor elástico e além disso evita-se o uso de células internas de integração do domínio.

Para materiais homogêneos e anisotrópicos, os resultados alcançados via o MEC são bas-tante difundidos. Entretanto, quando os materiais passam a ser considerados inhomogêneos oMEC aplicado à viscoelasticidade encontra-se em pleno desenvolvimento. O maior desafio emmodelar-se materiais inhomogêneos é a dificuldade em se obter soluções fundamentais que se-jam capazes de reproduzir a inhomogeneidade.

Materiais inhomogêneos têm grande aplicação na engenharia. Dentre estes destaca-se oconceito de Materiais Gradualmente Funcionais (MGF), que foi originado no Japão durante oprojeto de um veículo espacial em 1984, MIYAMOTO et al. (1999). MGFs são materiais ondeas propriedades elásticas e térmicas variam espacialmente. Um exemplo de MGF é a misturaAlumina-Níquel. A Alumina é um material cerâmico, altamente resistente à temperatura, porémfrágil. Já o Níquel é um metal, resistente a esforços mecânicos, porém sensível a temperatura.MGFs são também encontrados na natureza, como nos ossos, dentes, bambus etc., KNOPPERSet al. (2005).

MGFs podem ser divididos em dois grupos, finos e espessos. MGFs finos têm seçõesrelativamente finas ou coberturas superficiais finas, enquanto MGFs espessos são volumes demateriais que requerem processos intensivos de trabalho RASHEEDAT et al. (2012). Introdu-ções sobre MGFs podem ser encontradas nos artigos de HIRAI (1996) e PAULINO et al. (2003)e nos livros de SURESH e MORTENSEN (1998) e MIYAMOTO et al. (1999). Devido às suascaracterísticas especiais e potenciais de aplicação, os MGFs têm chamado atenção de muitospesquisadores.

Para o estudo de MGFs via MEC é necessário a obtenção de soluções fundamentais (oufunções de Green), as quais reproduzam a inhomogeneidade do meio. Nesse contexto, MARTINet al. (2002) obtiveram uma função de Green para meios elásticos gradualmente exponenciaisem três dimensões. Um trabalho similar para duas dimensões foi obtido por CHAN et al. (2004).Outros trabalhos envolvendo funções de Green para materiais gradualmente funcionais podemser encontrados em GRAY et al. (2003) e SUTRADHAR et al. (2008).

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Alguns trabalhos importantes envolvendo a aplicação de métodos matemáticos em meiosinhomogênos são aqui citados. PINDERA e DUNN (1997) utilizaram o MEF para avaliar ateoria de alta ordem em MGFs. DIVO e KASSAB (1998) e GRAY et al. (2003) utilizaramequações integrais de contorno para problemas de condução de calor. KIM e PAULINO (2002)estudaram fatores de intensidade de tensões em MGFs usando o MEF e CRIADO et al. (2007)utilizaram o MEC para analisar sólidos elásticos constituídos por MGF em três dimensões.

Devido à aplicação principalmente em operações sob condições severas, MGFs podemexibir um comportamento dependente do tempo de acordo com MUKHERJEE e PAULINO(2003), o que caracteriza comportamento viscoelástico. Os primeiros trabalhos computacionaisenvolvendo comportamento termoviscoelástico de MGFs foram desenvolvidos usando o MEF,MAHMOUD et al. (2011). Uma formulação em elementos finitos para análise viscoelástica deMGFs baseada no princípio da correspondência foi elaborada por DAVE et al. (2011). Recen-temente, ASHRAFI et al. (2013) desenvolveram um trabalho aplicando o MEC a problemasviscoelásticos e termoviscoelásticos quase-estáticos para MGFs. Nota-se que poucos trabalhospodem ser encontrados na literatura para aplicação do MEC em análise de problemas elásticose linear viscoelásticos em MGFs.

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2 Objetivos e Roteiro da Dissertação

Nesse capítulo são apresentados os objetivos gerais dessa dissertação assim como umroteiro com as descrições de cada capítulo.

2.1 Objetivos

Este trabalho tem como principal objetivo a aplicação do método dos elementos de con-torno para análise quase-estática da viscoelasticidade linear para meios homogêneos e inhomo-gêneos.

Como resultado da dissertação são desenvolvidos códigos computacionais em linguagemde programação Matlab®, baseados no método dos elementos de contorno, para análise dedeformações em certos meios viscoelásticos lineares, homogêneos e inhomogêneos. Os progra-mas elaborados são usados na simulação de resposta quase-estática bidimensional de materiaisviscoelásticos inhomogêneos. A inhomogeneidade tratada considera os parâmetros materiaisde Lamé variando exponencialmente em duas direções e o coeficiente de Poisson constante.A inhomogeneidade aqui tratada é altamente relevante para o estudo dos chamados materiaisgradualmente funcionais.

Para o desenvolvimento desses códigos foram utilizados como ponto de partida códigosde elementos de contorno apresentados em BREBBIA e DOMINGUEZ (1989) para o casoelástico homogêneo 2D disponíveis em Matlab®.

2.2 Roteiro da Dissertação

Para o desenvolvimento dessa dissertação o seguinte roteiro é seguido: No capítulo 1 éfeita a introdução resumida aos métodos numéricos, viscoelasticidade e materiais gradualmentefuncionais (MGFs). Igualmente, são apresentados alguns exemplos de aplicações desses mate-riais na engenharia. Ainda no capítulo 1 é apresentada uma revisão bibliográfica envolvendoviscoelasticidade, MGFs e suas aplicações em análises via métodos numéricos, principalmenteutilizando o MEC. No Capítulo 2 apresentam-se os objetivos gerais do trabalho. No capítulo 3há uma breve revisão teórica sobre a viscoelasticidade linear, onde são apresentadas as princi-pais formulações e os modelos viscoelásticos de Kelvin-Voigt e Boltzmann, os quais são usadosnesses trabalho. No capítulo 4, um estudo matemático do comportamento de MGFs é realizado.No capitulo 5 é apresentada a formulação do MEC aplicado à viscoelasticidade linear em meioshomogêneos. Para aplicação do MEC em materiais inhomogêneos elásticos e viscoelásticos asformulações são apresentados no capítulo 6. Os resultados para as análises de deformações e

25

tensões viscoelásticas homogêneas e deformações elásticas e viscoelásticas inhomogêneas sãomostradas no capítulo 7. Por fim, no capítulo 8 é apresentada uma conclusão geral dos resulta-dos obtidos e estudos realizados, assim como propostas para trabalhos futuros.

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3 Viscoelasticidade

Materiais viscoelásticos são aqueles para os quais a relação tensão e deformação dependedo tempo. Materiais viscoelásticos lineares são aqueles para os quais há uma relação linear entretensão e deformação em qualquer instante de tempo analisado, dessa forma a viscoelasticidadelinear é a teoria que estuda e descreve esse comportamento em tais materiais idealizados.

De maneira conceitual, um material viscoelástico pode ter seu comportamento aproxi-mado pelo comportamento combinado de elementos mecânicos como molas (elásticos) e amor-tecedores (viscosos), como representado pela Fig. (3.1).

l

E

1

l

1

. dtd /

(a) Mola hookeana e amortecedor newtoniano.

0

(b) Modelo de dois elementos de Kelvin-Voigt.

Figura 3.1: Modelo conceitual da viscoelasticidade Fonte: Poppov, Introduction to Solid Me-chanics.

A viscoelasticidade linear é uma aproximação razoável para o comportamento depen-dente do tempo em polímeros, metais e cerâmicos sob condições de temperaturas e pressõesrelativamente baixas.

3.1 Equações Constitutivas

Uma característica importante na elasticidade é a capacidade do material armazenar ener-gia mecânica ao ser deformado por um carregamento e liberar essa energia logo após o car-regamento ser removido. Essa característica não está associada a fluidos, uma vez que essesdissipam energia continuamente, sem armazená-la. De um modo geral, o comportamento vis-coelástico pode ser visto como uma escala de variação de comportamento, onde em uma extre-midade há fluxo viscoso e na outra há deformação elástica e entre essas extremidades havendouma combinação do comportamento elástico e viscoso MASE e MASE (1999). Dessa forma, asequações constitutivas para o comportamento viscoelástico incorporam deformação elástica e

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fluxo viscoso como casos especiais, porém gerando resposta para a combinação dos dois com-portamentos simultaneamente. Essas equações envolvem além das tensões e deformações, suasrazões diferenciais em relação ao tempo. Fisicamente, as equações constitutivas definem váriosmateriais viscoelásticos idealizados, os quais servem como modelos para o comportamento dosmateriais reais.

3.1.1 Equações Constitutiva para o Comportamento Elástico

Para definição das equações constitutivas para o comportamento elástico linear é neces-sário a utilização dos fundamentos da elasticidade disponíveis em CHEN e SALEEB (1994) eque são apresentados ao longo dessa subseção.

𝜎𝑖𝑗 = 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝜀𝑘𝑙 (3.1)

Onde 𝜎𝑖𝑗 representa o tensor tensão, 𝜀𝑘𝑙 representa o tensor deformação e o termo 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙

representa o tensor de quarta ordem das propriedades elásticas do material. Em geral, um tensorisotrópico é definido como aquele em que seus componentes são invariáveis devido à trans-formação ortogonal de um sistema de coordenadas para outro. Um tensor isotrópico de quartaordem pode ter sua forma apresentada em termos de deltas de Kronecker (𝛿𝑖𝑗).

Devido à simetria dos tensores tensão e deformação, o tensor 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 possui as seguintessimetrias

𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝐶𝑖𝑗𝑙𝑘 = 𝐶𝑗𝑖𝑘𝑙 = 𝐶𝑗𝑖𝑙𝑘. (3.2)

Podendo ser definido, no caso especial isotrópico, da seguinte maneira:

𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝜆𝛿𝑖𝑗𝛿𝑘𝑙 + 𝛽𝛿𝑖𝑘𝛿𝑗𝑙 + 𝛾𝛿𝑖𝑙𝛿𝑗𝑘. (3.3)

Fazendo uma transformação de variável 𝛽 = 𝜇 + 𝛼 e 𝛾 = 𝜇− 𝛼, tem-se

𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝜆𝛿𝑖𝑗𝛿𝑘𝑙 + 𝜇(𝛿𝑖𝑘𝛿𝑗𝑙 + 𝛿𝑖𝑙𝛿𝑗𝑘) + 𝛼(𝛿𝑖𝑘𝛿𝑗𝑙 − 𝛿𝑖𝑙𝛿𝑗𝑘). (3.4)

Usando as simetrias da Eq.(3.2), nota-se que 𝛼 = 0, assim resultando em

𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝜆𝛿𝑖𝑗𝛿𝑘𝑙 + 𝜇(𝛿𝑖𝑘𝛿𝑗𝑙 + 𝛿𝑖𝑙𝛿𝑗𝑘), (3.5)

onde 𝜆 e 𝜇 são as constantes de Lamé, e são definidas como:

28

𝜆 =𝐸𝜈

(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈), 𝜇 =

𝐸

2(1 + 𝜈). (3.6)

Inserindo a definição do tensor elástico Eq.(3.5) na Eq.(3.1), tem-se

𝜎𝑖𝑗 = [𝜆𝛿𝑖𝑗𝛿𝑘𝑙 + 𝜇(𝛿𝑖𝑘𝛿𝑗𝑙 + 𝛿𝑖𝑙𝛿𝑗𝑘)]𝜀𝑘𝑙. (3.7)

Através da propriedade de 𝛿𝑖𝑗 , a Eq. (3.7) pode ser reduzida

𝜎𝑖𝑗 = 𝜆𝛿𝑖𝑗𝜀𝑘𝑘 + 2𝜇𝜀𝑖𝑗. (3.8)

Que corresponde à lei de Hook para o comportamento elástico isotrópico.

As constantes 𝜆 e 𝜇, como definidas pela Eq. (3.6), são determinadas de maneira expe-rimental com teste de compressão hidrostática, teste de tração uniaxial e teste de cisalhamentosimples.

Pelo teste de compressão hidrostática determina-se o módulo de expansão volumétrica(𝐾) da seguinte forma:

P

P

P

kk

P

K

Figura 3.2: Teste de compressão hidrostática.

De acordo com a Fig. ( 3.2) 𝐾 é obtido pela razão

𝐾 =−𝑝Δ𝑉𝑉

≈ − 𝑝

𝜀𝑘𝑘. (3.9)

Sendo Δ𝑉𝑉

a variação relativa do volume do corpo sólido e Δ𝑉𝑉

= 𝜀𝑘𝑘, dessa forma pode-mos reescrever a Eq. (3.9) e obter uma deformação infinitesimal:

29

𝜀𝑘𝑘 = − 𝑝

𝐾. (3.10)

Como só há cargas de compressão então 𝜎11 = 𝜎22 = 𝜎33 = −𝑝 e 𝜎𝑖𝑗 = 0 𝑖 = 𝑗.Fazendo 𝑖 = 𝑗 na Eq. (3.8), e usando a propriedade de 𝛿𝑖𝑖 = 3, temos

𝜀𝑘𝑘 =𝜎𝑘𝑘

3𝜆 + 2𝜇. (3.11)

Inserindo a deformação infinitesimal obtida na Eq. (3.10) e a relação 𝜎𝑘𝑘 = −𝑝 na Eq.(3.11), tem-se o módulo de expansão volumétrica em função de 𝜆 e 𝜇.

𝐾 =3𝜆 + 2𝜇

3. (3.12)

Das relações entre deformação infinitesimal e módulo de expansão volumétrico nota-seque para 𝜀𝑘𝑘 = 0 tem-se 𝐾 → ∞, o que define um sólido incompressível.

O teste de tração uniaxial fornece o módulo de elasticidade ou módulo de Young domaterial (𝐸) através da seguinte relação:

F F

E

11

11

22

33

11

1111

11

Figura 3.3: Teste de tração uniaxial.

𝐸 =𝜎11

𝜀11(3.13)

No teste de tração uniaxial representado pela Fig. (3.3) tem-se a seguinte relação 𝜎22 =

𝜎33 = 0 e 𝜎𝑖𝑗 = 0 𝑖 = 𝑗. Pode-se determinar também através desse teste o coeficiente dePoisson como a razão entre as deformações

𝜈 = −𝜀22𝜀11

= −𝜀33𝜀11

. (3.14)

30

Inserindo a relação apresentada pela Eq.(3.11) na Eq.(3.8) e colocando-se em função de𝜀𝑖𝑗 tem-se a seguinte relação para deformação:

𝜀𝑖𝑗 =𝜎𝑖𝑗

2𝜇− 𝜆𝜎𝑘𝑘𝛿𝑖𝑗

2𝜇(3𝜆 + 2𝜇). (3.15)

Para deformação na direção axial 𝜀11 temos

𝜀11 =𝜎11

2𝜇− 𝜆𝜎11

2𝜇(3𝜆 + 2𝜇). (3.16)

Com a Eq.(3.16) e usando a relação Eq.(3.13), define-se 𝐸 em função de 𝜆 e 𝜇

𝐸 =𝜇(3𝜆 + 2𝜇)

(𝜆 + 𝜇). (3.17)

Para se obter o coeficiente de Poisson em função de 𝜆 e 𝜇 usa-se a relação da Eq. (3.15)para os termos 𝜀22 e 𝜀33, obtendo-se

𝜀22 = 𝜀33 = − 𝜆𝜎11

2𝜇(3𝜆 + 2𝜇). (3.18)

Assim, usando as Eqs.(3.18) e (3.16) na Eq.(3.14), obtém-se

𝜈 =𝜆

2(𝜆 + 𝜇). (3.19)

Com o teste de cisalhamento simples obtém-se o módulo de cisalhamento transversal pelaseguinte relação:

12

T

c

12

12

G

12

12

Figura 3.4: Teste de cisalhamento transversal.

31

𝐺 =𝜎12

𝛾12. (3.20)

Como apresentado na Fig. (3.4) o teste de cisalhamento simples apresenta as seguintescaracterísticas 𝜎11 = 𝜎22 = 𝜎33 = 0 e 𝜎12 é obtido por:

𝜎12 = 𝜏 =𝑇𝑐

𝐽. (3.21)

Onde 𝑇 é o momento torsor que age sobre o corpo de prova, 𝑐 o raio da seção transversale 𝐽 o momento polar de inércia. Para se determinar o módulo de cisalhamento 𝐺 em função de𝜇 utiliza-se a Eq.(3.15) com 𝜀12

𝜀12 =𝜎12

2𝜇. (3.22)

Aplicando-se a Eq.(3.22) na Eq.(3.20) e usando a relação 𝛾12 = 2𝜀12, tem-se que 𝐺 = 𝜇.

Pode-se ainda decompor o tensor tensão 𝜎𝑖𝑗 como:

𝜎𝑖𝑗 = 𝑆𝑖𝑗 +𝜎𝑘𝑘

3𝛿𝑖𝑗. (3.23)

Onde o termo 𝑆𝑖𝑗 é o tensor desviador e está associado com a distorção de forma, podendoser isolado na Eq.(3.23) para ficar da forma seguinte:

𝑆𝑖𝑗 = 𝜎𝑖𝑗 −𝜎𝑘𝑘

3𝛿𝑖𝑗. (3.24)

Utilizando-se as Eqs.(3.10), (3.11) e ( 3.12) na Eq. (3.24) com 𝑆𝑖𝑖 temos que

𝜎𝑖𝑖 = 3𝐾𝜀𝑘𝑘, (3.25)

que representa a parte hidrostática do tensor tensão e está relacionado com a variação do volume.

Da mesma maneira decompõe-se o tensor deformação 𝜀𝑖𝑗

𝜀𝑖𝑗 = 𝜂𝑖𝑗 +𝜀𝑘𝑘3𝛿𝑖𝑗. (3.26)

Onde o termo 𝜂𝑖𝑗 é o tensor deformação desviatória, que pode ser isolado na Eq.(3.26)tornando-se

32

𝜂𝑖𝑗 = 𝜀𝑖𝑗 −𝜀𝑘𝑘3𝛿𝑖𝑗. (3.27)

Introduzindo-se a Eq. (3.26) na Eq. (3.8) obtemos o tensor tensão 𝜎𝑖𝑗 em função do mó-dulo de cisalhamento transversal 𝐺 e do módulo de expansão volumétrica 𝐾,

𝜎𝑖𝑗 = 2𝐺𝜂𝑖𝑗 + 𝐾𝜀𝑘𝑘𝛿𝑖𝑗. (3.28)

Onde a parte desviatória das tensão é representada em função de 𝐺

𝑆𝑖𝑗 = 2𝐺𝜂𝑖𝑗. (3.29)

Assim as Eqs. (3.25) e (3.29) formam as equações constitutivas para o comportamentoelástico.

3.1.2 Equações Constitutivas para o Fluxo Viscoso

Uma característica dos fluidos em geral é que quando submetidos a uma tensão cisalhantesofrem uma deformação contínua, portanto não são capazes de suportar o cisalhamento quandoem repouso. Assim, um vetor tensão em um elemento infinitesimal na superfície de um fluidoem repouso é proporcional ao vetor normal daquele elemento. Essa relação é apresentada porMASE e MASE (1999) e é escrita a seguir.

𝑡𝑖 = 𝜎𝑖𝑗𝑛𝑗 = −𝑝0𝑛𝑖. (3.30)

Onde o termo 𝑝0 é a pressão hidrostática.

Utilizando-se as propriedades de 𝛿𝑖𝑗 pode-se reescrever a Eq. (3.30) da seguinte forma:

𝜎𝑖𝑗 = −𝑝0𝛿𝑖𝑗. (3.31)

Essa equação mostra que para um fluido em repouso a tensão é compressiva em qual-quer parte e toda direção é uma direção de tensão principal, assim podemos escrever a pressãohidrostática para 𝜎𝑘𝑘 como:

𝑝0 = −𝜎𝑘𝑘

3. (3.32)

33

Para um fluido em movimento existe uma resistência ao movimento.

Figura 3.5: Escoamento de fluido.

Como representado na Fig. (3.5), a placa superior está sendo movida, enquanto a placainferior permanece parada, nota-se a resistência ao longo da lâmina de fluido quando uma tensãocisalhante 𝜏 é introduzida, e ao mesmo tempo é perceptível a deformação contínua devido a essatensão. A Eq. (3.31) pode ser reescrita levando em consideração o movimento e a resistência dofluido ao cisalhamento.

𝜎𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 𝜏𝑖𝑗. (3.33)

Onde 𝜏𝑖𝑗 é o tensor tensão viscosa e o termo 𝑝 é a pressão hidrodinâmica do fluido emmovimento. A pressão 𝑝 pode ser determinada em função de 𝜎𝑘𝑘.

𝑝 = −1

3(𝜎𝑘𝑘 − 𝜏𝑘𝑘). (3.34)

Percebe-se da Eq. (3.34) que 𝑝 não é a média da tensão normal como 𝑝0, porém quando ofluido está em repouso 𝑝 = 𝑝0.

O tensor tensão viscosa 𝜏𝑖𝑗 é uma função linear do tensor taxa de deformação para fluidosNewtonianos, uma vez que ele só existe quando o fluido está em movimento. Essa relação podeser representada como se segue:

𝜏𝑖𝑗 = 𝐾𝑖𝑗𝑝𝑞𝐷𝑝𝑞. (3.35)

O termo 𝐾𝑖𝑗𝑝𝑞 reflete as propriedades viscosas do fluido e é um tensor isotrópico, umavez que através de análise experimental é verificado que todo fluido é isotrópico MASE eMASE, 1999. Este termo pode ser definido de maneira similar à Eq. (3.4). 𝐷𝑝𝑞 é o tensor taxade deformação, que é definido como

𝐷𝑖𝑗 =1

2(𝑣𝑖,𝑗 + 𝑣𝑗,𝑖), (3.36)

34

ou também pode ser definido como 𝐷𝑖𝑗 ≈ 𝑖𝑗 para pequenos gradientes de deslocamento.

Assim, para um fluido Newtoniano homogêneo tem-se a seguinte equação constitutiva:

𝜎𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 𝜆*𝛿𝑖𝑗𝐷𝑘𝑘 + 2𝜇*𝐷𝑖𝑗. (3.37)

Onde 𝜆* e 𝜇* são coeficientes viscosos. Multiplicando-se a Eq. (3.37) por 𝛿𝑖𝑗 , temos

𝜎𝑖𝑖 = −3𝑝 + 3𝜆*𝐷𝑖𝑖 + 2𝜇*𝐷𝑖𝑖, (3.38)

de onde pode-se tirar que

𝐾* =1

3(3𝜆* + 2𝜇*), (3.39)

que é conhecido como coeficiente de expansão volumétrica da viscosidade.

Pode-se introduzir um tensor de tensão desviatória, similar ao definido pela Eq. (3.24),assim como um tensor para taxa de deformação desviatória, o qual pode ser definido

𝛽𝑖𝑗 = 𝐷𝑖𝑗 −1

3𝛿𝑖𝑗𝐷𝑘𝑘, (3.40)

na Eq. (3.37), obtendo-se

𝑆𝑖𝑗 +1

3𝛿𝑖𝑗𝜎𝑘𝑘 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 +

1

3𝛿𝑖𝑗(3𝜆

* + 2𝜇*)𝐷𝑘𝑘 + 2𝜇*𝛽𝑖𝑗. (3.41)

Se introduzirmos a Eq. (3.38) na Eq. (3.41), teremos

𝑆𝑖𝑗 = 2𝜇*𝛽𝑖𝑗, (3.42)

Essa equação relaciona o efeito cisalhante do movimento com a tensão desviatória.

Pode-se reescrever a Eq. (3.38) em termos do coeficiente de expansão volumétrica daviscosidade (𝐾*) como

𝜎𝑖𝑖 = −3(𝑝−𝐾*𝐷𝑖𝑖). (3.43)

Assim, temos o par de equações constitutivas para fluxo viscoso formado pelas Eqs. (3.42)e (3.43).

35

3.1.3 Equações Constitutivas Viscoelásticas na Forma de Operadores Diferen-ciais Lineares

Para a formulação dos operadores lineares diferenciais para o comportamento viscoelás-tico, os pares das equações constitutivas para o comportamento elástico (Eqs. (3.25) e (3.29))e para o comportamento do fluido (Eqs. (3.42) e (3.43)), escritas nas suas formas desviatória ehidrostática para meio isotrópico, são utilizadas como parâmetros fundamentais.

Assumindo-se que a pressão hidrodinâmica (𝑝) é pequena o suficiente em relação aosdemais termos na Eq. (3.43), podemos desconsiderá-la. Também assumindo-se pequenos gra-dientes de deslocamento para viscoelasticidade linear as relações 𝑖𝑖 ≈ 𝐷𝑖𝑖 e 𝑖𝑗 ≈ 𝛽𝑖𝑗 sãoaceitáveis. Assim, de acordo com MASE e MASE (1999) podemos reescrever as equações parao fluxo viscoso da seguinte maneira:

𝑆𝑖𝑗 = 2𝜇*𝑖𝑗. (3.44)

𝜎𝑖𝑖 = 3𝐾*𝑖𝑖. (3.45)

Fazendo uma comparação das Eqs (3.44) e (3.45) com as equações constitutivas para ocomportamento elástico, Eqs. (3.25) e (3.29), percebe-se que há semelhança nas formas dasprimeiras equações com as segundas, podendo ser observado que as diferenças encontram-seapenas nas constantes físicas e no fato das primeiras serem escritas em função das taxas dedeformação. Dessa forma, pode-se generalizar os dois conjuntos de equações substituindo-se asconstantes físicas (𝐺,𝐾, 𝜇*, 𝐾*) por operadores diferencias lineares.

𝑃𝑆𝑖𝑗 = 2𝑄𝜂𝑖𝑗 𝑀𝜎𝑖𝑖 = 3𝑁𝜂𝑖𝑖. (3.46)

Onde os operadores diferencias lineares são da forma:

𝑃 =𝑁∑𝑖=0

𝑝𝑖𝜕𝑖

𝜕𝑡𝑖𝑀 =

𝑁∑𝑖=0

𝑚𝑖𝜕𝑖

𝜕𝑡𝑖(3.47)

𝑄 =𝑀∑𝑖=0

𝑞𝑖𝜕𝑖

𝜕𝑡𝑖𝑁 =

𝑀∑𝑖=0

𝑛𝑖𝜕𝑖

𝜕𝑡𝑖(3.48)

Onde 𝑝𝑖, 𝑚𝑖, 𝑛𝑖 e 𝑞𝑖 são coeficientes que representam as propriedades viscoelásticas e nãosão necessariamente constantes. Outro conceito importante sobre 𝑃, 𝑄 e 𝑀, 𝑁 é queestes especificam de forma separada as respostas desviatórias e volumétricas, respectivamente.

36

Verifica-se que para 𝑃 = 1, 𝑄 = 𝐺, 𝑀 = 1, 𝑁 = 𝐾 os componentes da Eq. (3.46)recuperam o comportamento elástico, enquanto para 𝑃 = 1, 𝑄 = 𝜇*𝜕/𝜕𝑡, 𝑀 = 1,𝑁 = 𝐾*𝜕/𝜕𝑡 recuperam o comportamento para fluxo viscoso. Tendo como evidência expe-rimental que praticamente todos materiais de engenharia se comportam de maneira elástica nadilatação assume-se de modo geral que as equações constitutivas para o comportamento viscoe-lástico linear em forma de operadores lineares diferenciais para meio isotrópico, de acordo comMASE e MASE, 1999, podem ser escritas como se segue:

𝑃𝑆𝑖𝑗 = 2𝑄𝜂𝑖𝑗. (3.49)

𝜎𝑖𝑖 = 3𝐾𝜀𝑖𝑖. (3.50)

3.2 Modelos Viscoelásticos Lineares

Basicamente, os conceitos viscoelásticos podem ser descritos no estado unidimensionalde tensão. Como foi visto na seção anterior, a resposta do comportamento viscoelástico estáassociada diretamente com a parte desviatória da tensão, utiliza-se então o estado de cisalha-mento simples, ou puro cisalhamento, da tensão como apresentado pela Fig. (3.6) para escrevera teoria fundamental dos modelos viscoelásticos unidimensionais.

12

12

12

Figura 3.6: Estado de cisalhamento simples.

Considerando-se cisalhamento puro de acordo com a Fig. (3.6) e tomando-se como base aEq. (3.49), pode-se reescrevê-la usando as relações 𝑆12 = 𝜎12 e 𝜂12 = 𝜀12 e o seguinte conceitoda elasticidade 𝛾12 = 2𝜀12, assim tem-se:

𝑃𝜎12 = 𝑄𝛾12. (3.51)

Para uma resposta elástica linear do elemento quadrado sob cisalhamento puro, os opera-dores na Eq. (3.51) são da forma 𝑃 = 1 e 𝑄 = 𝐺, onde se chega a

37

𝜎12 = 𝐺𝛾12. (3.52)

Esta equação tem forma semelhante à apresentada pela equação de uma mola mecânicalinear devido a uma força aplicada às suas extremidades, onde

𝐹 = 𝑘𝛿, (3.53)

sendo 𝑘 a constante da mola e 𝛿 a deformação causada. Percebe-se através da Fig. (3.7) umaanalogia do comportamento elástico da mola com o comportamento elástico do quadrado sobcisalhamento.

12

12

G

F

k

F F

k 12

12

Figura 3.7: Analogia entre os comportamentos elásticos da mola e do quadrado sob cisalha-mento puro.

Em se tratando do comportamento de fluxo viscoso como resposta, a Eq. (3.51) pode serreescrita com 𝑃 = 1 e 𝑄 = 𝜂𝜕/𝜕𝑡, por questão de conveniência e para atender a literaturasobre viscoelasticidade escreve-se 𝜇* = 𝜂, obtendo-se assim

𝜎12 = 𝜂12 (3.54)

Assim como a analogia anterior entre os comportamentos elásticos do quadrado sob cisa-lhamento e o elemento mecânico de mola sob carregamento nas extremidades, há uma analogiaentre os comportamentos do fluxo viscoso no elemento quadrado sob cisalhamento puro e oelemento mecânico amortecedor com carregamento aplicado em uma das extremidades. A Eq.(3.55) descreve o comportamento de fluxo viscoso de um amortecedor.

𝐹 = 𝜂. (3.55)

38

O termo representa a taxa de extensão no amortecedor. A Fig. (3.8) representa grafica-mente a analogia entre os dois comportamentos.

12

12

F

F F

12

12

.

.

Figura 3.8: Analogia entre os comportamentos de fluxo viscoso de um amortecedor e do qua-drado sob cisalhamento puro.

Com base na analogia apresentada entre comportamentos elásticos e a analogia entre flu-xos viscosos, são construídos modelos viscoelásticos constituídos por esses dois elementos me-cânicos, mola e amortecedor.

3.2.1 Modelo Viscoelástico de Maxwell

A representação mais simples de um modelo viscoelástico, consiste em conectar umamola em série com um amortecedor, como representado pela Fig. (3.9), o qual é conhecidocomo modelo viscoelástico de Maxwell.

E

Figura 3.9: Modelo viscoelástico de Maxwell.

Por conveniência utiliza-se o termo 𝐸 para representar o módulo elástico na mola e 𝜀12

para deformação, assim como sua taxa em relação ao tempo por 12 no amortecedor.

A deformação total no modelo viscoelástico é a soma das deformações de todos elementosmecânicos.

𝜀12 = 𝜀𝑚 + 𝜀𝑎. (3.56)

39

Onde os índices 𝑚 e 𝑎 referem-se as deformações na mola e amortecedor, respectiva-mente. A relação descrita na Eq. (3.56) também é válida para taxa de deformação

12 = 𝑚 + 𝑎. (3.57)

Assim, levando em consideração a Eq. (3.52) escreve-se a taxa de deformação para oelemento de mola.

𝑚 =12

𝐸. (3.58)

E a taxa de deformação para o amortecedor pode ser obtida da Eq. (3.54).

𝑎 =𝜎12

𝜂. (3.59)

Substituindo-se as Eqs. (3.59) e (3.58) na Eq. (3.57), tem-se:

𝐸12 = 12 +𝐸

𝜂𝜎12. (3.60)

Pode-se representar a Eq. (3.60) na forma de derivadas parciais.

𝜕𝑡 +𝐸

𝜂𝜎12 = 𝐸𝜕𝑡𝜀12. (3.61)

3.2.2 Modelo Viscoelástico de Kelvin-Voigt

Outro modelo viscoelástico que pode ser representado de maneira simples é compostopor um elemento de mola em paralelo a um amortecedor, o qual é conhecido como modeloviscoelástico de Kelvin-Voigt. O modelo de Kelvin-Voigt, como descrito, é representado pelaFig. (3.10).

E

Figura 3.10: Modelo viscoelástico de Kelvin-Voigt.

40

Uma aproximação razoável para a viscoelasticidade é estender os modelos unidimensi-onais sob o efeito tensão/deformação para o caso multidimensional com 𝜎𝑖𝑗 e 𝜀𝑖𝑗 . A partir darepresentação do modelo na Fig. (3.10), pode-se definir:

𝜀𝑖𝑗 = 𝜀𝑒𝑖𝑗 = 𝜀𝑣𝑖𝑗. (3.62)

Estabelecendo que a deformação total nesse modelo 𝜀𝑖𝑗 é igual a deformação elástica 𝜀𝑒𝑖𝑗

e igual a deformação viscosa 𝜀𝑣𝑖𝑗 .

Já para tensão tem-se:

𝜎𝑖𝑗 = 𝜎𝑒𝑖𝑗 + 𝜎𝑣

𝑖𝑗. (3.63)

Onde a tensão total 𝜎𝑖𝑗 é igual soma das tensões elástica 𝜎𝑒𝑖𝑗 e viscosa 𝜎𝑣

𝑖𝑗 . Pode-se escreveras equações da tensão elástica em função das deformações.

𝜎𝑒𝑖𝑗 = 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝜀

𝑒𝑘𝑙. (3.64)

Onde o termo 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 é o tensor elástico material de quarta ordem apresentado na Eq. (3.5)que pode ser reescrito aqui

𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝜆𝛿𝑖𝑗𝛿𝑘𝑙 + 𝜇(𝛿𝑖𝑘𝛿𝑗𝑙 + 𝛿𝑖𝑙𝛿𝑗𝑘). (3.65)

De maneira análoga, podem-se escrever as equações da tensão viscosa.

𝜎𝑣𝑖𝑗 = 𝜂𝑖𝑗𝑘𝑙

𝑣𝑘𝑙. (3.66)

Nessa equação o termo 𝜂𝑖𝑗𝑘𝑙 representa os parâmetros constitutivos viscosos. O qual tam-bém pode ser escrito em função das constantes de Lamé de maneira análoga a apresentada pelaEq. (3.65).

𝜂𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝛾𝜆𝜆𝛿𝑖𝑗𝛿𝑘𝑙 + 𝛾𝜇𝜇(𝛿𝑖𝑘𝛿𝑗𝑙 + 𝛿𝑖𝑙𝛿𝑗𝑘). (3.67)

Os coeficientes viscosos 𝛾𝜆 e 𝛾𝜇 podem variar ao longo do tempo e podem ser identi-ficados dos resultados de teste de tensão uniaxial e teste de cisalhamento, respectivamente deacordo com FLÜGGE, 1967. Outro fator a se notar é que 𝛾𝜆 não é necessariamente igual a 𝛾𝜇,portanto o tensor de parâmetro viscoso não é proporcional ao tensor de propriedades elásticasdo material.

41

Inserindo-se as Eqs. (3.64) e (3.66) na Eq. (3.63) tem-se:

𝜎𝑖𝑗 = 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝜀𝑘𝑙 + 𝜂𝑖𝑗𝑘𝑙𝑘𝑙. (3.68)

Que representa a equação constitutiva geral para o modelo de Kelvin-Voigt.

Nessa dissertação os coeficientes viscosos são considerados iguais para simplificar a re-solução dos problemas estudados como sugerido por MESQUITA e CODA (2007a). Assim𝛾𝜆 = 𝛾𝜇 = 𝛾, e inserindo esse conceito na Eq. (3.68), podemos reescrevê-la da seguinte forma.

𝜎𝑖𝑗 = 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝜀𝑘𝑙 + 𝛾𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑘𝑙. (3.69)

3.2.3 Modelo Viscoelástico de Boltzmann

Há também um outro modelo que é muito utilizado, envolvendo três parâmetros, ou seja,uma combinação de um elemento de mola em paralelo a um amortecedor e essa combinaçãoconectada em série a um outro elemento de mola. Essa configuração é conhecida como modeloviscoelástico de Boltzamnn, o qual é representado pela Fig. (3.11).

veE

eE

Figura 3.11: Modelo viscoelástico de Boltzmann.

Percebe-se que esse modelo é formado por uma combinação em série do modelo deKelvin-Voigt e uma mola elástica, o que reproduz um comportamento elástico instantâneo eviscoelástico para um material específico.

Da Fig. (3.11) nota-se que a deformação total é devido a atuação das deformações naspartes viscoelástica 𝜀𝑣𝑒𝑘𝑙 e elástica 𝜀𝑒𝑘𝑙, sendo assim pode-se escrever que:

𝜀𝑘𝑙 = 𝜀𝑒𝑘𝑙 + 𝜀𝑣𝑒𝑘𝑙 . (3.70)

Já para as tensões, nota-se que em um arranjo em série, as componentes das tensões total𝜎𝑖𝑗 , viscoelástica 𝜎𝑣𝑒

𝑖𝑗 e elástica 𝜎𝑒𝑖𝑗 são iguais.

42

𝜎𝑖𝑗 = 𝜎𝑣𝑒𝑖𝑗 = 𝜎𝑒

𝑖𝑗. (3.71)

Como a parte viscoelástica é representada pelo modelo de Kelvin-Voigt, sabe-se que:

𝜎𝑣𝑒𝑖𝑗 = 𝜎𝑣

𝑖𝑗 + 𝜎𝑒𝑖𝑗 (3.72)

Para representação da relação constitutiva para o modelo unidimensional pode-se usar osseguintes passos:

𝜀12 =𝜎12

𝐸𝑣𝑒 + 𝜂𝜕𝑡+

𝜎12

𝐸𝑒

, (3.73)

onde 𝜕𝑡 é a derivada parcial relacionada ao tempo. Rearranjando-se os termos em função de 𝜎12

tem-se:

𝜎12 =𝐸𝑣𝑒𝐸𝑒

(𝐸𝑣𝑒 + 𝐸𝑒)𝜀12 +

𝜂𝐸𝑒

(𝐸𝑣𝑒 + 𝐸𝑒)12 −

𝜂

(𝐸𝑣𝑒 + 𝐸𝑒)12. (3.74)

Com as equações apresentadas, pode-se formular a relação diferencial constitutiva vis-coelástica geral para o modelo de Boltzmann, porém, para se obter essa relação de maneiracompleta é necessário expandir os conceitos apresentados até aqui.

A parte elástica, constituída por um elemento de mola no modelo viscoelástico de Boltz-mann, é governado pela lei de Hooke.

𝜎𝑒𝑖𝑗 = 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝜀

𝑒𝑘𝑙 = 𝐸𝑒𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝜀

𝑒𝑘𝑙, (3.75)

onde o termo 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 é um valor adimensional definido pela seguinte relação:

𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 =𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙

𝐸𝑒

. (3.76)

Da mesma forma pode-se escrever para a parte elástica da tensão viscoelástica de Kelvin.

𝜎𝑒𝑙𝑖𝑗 = 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝜀

𝑣𝑒𝑘𝑙 = 𝐸𝑣𝑒𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝜀

𝑣𝑒𝑘𝑙 . (3.77)

Inserindo o conceito de que 𝛾𝜆 = 𝛾𝜇 = 𝛾 faz-se de maneira similar o mesmo para a parteviscosa de tensão viscoelástica de Kelvin.

𝜎𝑣𝑖𝑗 = 𝜂𝑖𝑗𝑘𝑙

𝑣𝑒𝑘𝑙 = 𝐸𝑣𝑒𝜂𝑖𝑗𝑘𝑙

𝑣𝑒𝑘𝑙 = 𝛾𝐸𝑣𝑒𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙

𝑣𝑒𝑘𝑙 . (3.78)

43

Utilizando-se os conceitos das Eqs. (3.75), (3.77) e (3.78) na Eq. (3.70) temos uma relaçãoconstitutiva viscoelástica geral para o modelo de Boltzmann como proposto por MESQUITA eCODA (2007a) e apresentado a seguir.

𝜎𝑖𝑗 =𝐸𝑣𝑒𝐸𝑒

(𝐸𝑣𝑒 + 𝐸𝑒)𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝜀𝑘𝑙 +

𝛾𝐸𝑣𝑒𝐸𝑒

(𝐸𝑣𝑒 + 𝐸𝑒)𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝑘𝑙 −

𝛾𝐸𝑣𝑒

(𝐸𝑣𝑒 + 𝐸𝑒)𝑖𝑗. (3.79)

3.3 Fluência e Relaxação

Para uma análise mais realista do comportamento viscoelástico em materiais são reali-zados testes experimentais. Esses experimentos consistem por exemplo do teste de fluência, noqual um material é submetido, instantaneamente, a uma tensão constante (𝜎0) e mantido sob essatensão enquanto a deformação cisalhante é medida em função do tempo. Tem-se como respostauma deformação dependente do tempo ou uma fluência do material. Outro experimento é oteste de relaxação, onde uma deformação cisalhante (𝛾0) é imposta instantaneamente e mantidaenquanto se mede a tensão resultante em função do tempo. Verifica-se neste caso uma funçãodecrescente da tensão em relação ao tempo, ou um relaxamento da tensão.

Esses testes podem ser descritos usando a função de Heaviside, uma vez que ocorre apli-cação instantânea de carregamento. Essa função pode ser representada pela Fig. (3.12).

t 1tt

)( 1ttH

1

Figura 3.12: Representação gráfica da função Heaviside.

A representação matemática da Fig. (3.12) é da forma

𝐻(𝑡− 𝑡1)

1, 𝑡 > 𝑡1

0, 𝑡 ≤ 𝑡1.(3.80)

Considerando-se a fluência, a tensão viscoelástica é da seguinte forma:

44

𝜎12 = 𝜎0𝐻(𝑡− 𝑡1). (3.81)

A representação gráfica do comportamento da deformação sob o teste de fluência podeser visto na Fig. (3.13).

t

12

Recuperação elástica

Figura 3.13: Representação gráfica da deformação sob o teste de fluência.

Nota-se da Fig. (3.13) que após a remoção do carregamento aplicado ocorre uma recupe-ração elástica do material, que é dependente do tempo.

Para um carregamento aplicado no tempo 𝑡 = 0, a Eq. (3.81) passa a ser:

𝜎12 = 𝜎0𝐻(𝑡). (3.82)

Avaliando essa equação no modelo de Kelvin-Voigt tem-se:

𝜎0𝐻(𝑡) = 𝐸𝜀12 + 𝜂 ˙𝜀12. (3.83)

Rearranjando-se a Eq. (3.83) para taxa de deformação e deformação, podemos escrever

˙𝜀12(𝑡) +1

𝜏𝜀12(𝑡) =

𝜎0

𝐸𝜏𝐻(𝑡). (3.84)

Onde 𝜏 = 𝜂/𝐸, que representa o tempo de retardamento.

Utilizando a convolução para integrar a Eq. (3.84) obtém-se

𝜀12(𝑡) = 𝜎0(1 − 𝑒−𝑡/𝜏 )𝐻(𝑡)

𝐸. (3.85)

45

Da Eq. (3.85) pode-se notar que para 𝑡 → ∞ a convergência da deformação resulta em𝜀12 = 𝜎0/𝐸. Outra condição é que quando 𝑡 = 0 a taxa de deformação será 12 = 𝜎0/𝜂, quepermanecendo nessa razão o tempo total de fluência será 𝑡 = 𝜏 .

A Eq. (3.85) pode ser reescrita de uma maneira generalizada para representar a fluênciaviscoelástica

𝜀12(𝑡) = 𝐽(𝑡)𝜎0𝐻(𝑡). (3.86)

Sendo 𝐽(𝑡) a função de fluência viscoelástica, que para o modelo de Kelvin-Voigt é re-presentada por:

𝐽(𝑡) =1 − 𝑒−𝑡/𝜏

𝐸. (3.87)

Para modelos viscoelásticos generalizados a função de fluência total é a soma das funçõesde fluência das unidades conectadas sem série. Assim, para um modelo de Kelvin generalizado,ou seja, com várias combinações em série do modelo de Kelvin, pode-se escrever a função defluência total como:

𝐽(𝑡) =𝑁∑𝑖=1

𝐽𝑖(1 − 𝑒−𝑡/𝜏 ). (3.88)

Para a avaliação da fluência no modelo viscoelástico de Maxwell, utiliza-se o mesmoprocesso, que resulta em uma equação diferencial para a taxa de deformação da seguinte forma:

12 = 𝜎0𝛿(𝑡)

𝐸+ 𝜎0

𝐻(𝑡)

𝜂. (3.89)

Onde o termo 𝛿(𝑡) é a derivada da função Heaviside e representa a função delta de Dirac,que é definida matematicamente como

𝛿(𝑡− 𝑡1) =𝑑𝐻(𝑡− 𝑡1)

𝑑𝑡= 0, para 𝑡 = 𝑡1 e

∫ +𝑡1

−𝑡1

𝛿(𝑡− 𝑡1)𝑑𝑡 = 1. (3.90)

Portanto, integrando-se a Eq. (3.89) produz-se a fluência viscoelástica para o modelo deMaxwell

𝜀12 =𝜎0

𝐸

(1 +

𝑡

𝜏

)𝐻(𝑡), (3.91)

46

onde a função de fluência viscoelástica para o modelo de Maxwell é

𝐽(𝑡) =1

𝐸

(1 +

𝑡

𝜏

). (3.92)

Para o teste de relaxação, a tensão comporta-se de acordo com a representação gráfica daFig. (3.14).

t

12

Tensão de relaxação

Figura 3.14: Representação gráfica da tensão sob teste de relaxação.

Matematicamente, o processo é semelhante ao usado para o teste de fluência. Aplicando-se uma deformação cisalhante 𝜀0 no tempo 𝑡 = 0, temos

𝜀12 = 𝜀0𝐻(𝑡). (3.93)

Assim, inserindo-se essa equação na equação constitutiva viscoelástica de Kelvin-Voigt,onde a taxa de deformação é escrita como:

12 = 𝜀0𝛿(𝑡), (3.94)

resulta em:

𝜎12(𝑡) = 𝜀0[𝐸𝐻(𝑡) + 𝜂𝛿(𝑡)]. (3.95)

Devido à presença da função delta de Dirac na equação de relaxação para o comporta-mento viscoelástico para o modelo de Kelvin-Voigt, Eq. (3.95), constata-se que é necessáriauma tensão infinita no tempo 𝑡 = 0 para se obter uma deformação instantânea.

Para análise de relaxação utilizando-se o modelo viscoelástico de Maxwell introduz-se aEq. (3.93) na equação constitutiva viscoelástica, o que resulta em

47

𝜎12(𝑡) = 𝜀0𝐸𝑒−𝑡/𝜏𝐻(𝑡). (3.96)

Dessa equação nota-se que a taxa de decaimento da tensão 𝜎12 para o tempo 𝑡 = 0 é−𝜀0𝐸/𝜏 e que mantida nesse valor terá um tempo total de relaxação 𝑡 = 𝜏 .

De maneira análoga à fluência, tem-se a função de relaxação, que de uma forma geral éexpressa pela forma:

𝜎12(𝑡) = 𝐺(𝑡)𝜀0𝐻(𝑡), (3.97)

sendo para o modelo de Maxwell:

𝐺(𝑡) = 𝐸𝑒−𝑡/𝜏 , (3.98)

e para um modelo generalizado a função total de relaxação é a soma das funções derelaxação parciais de cada elemento.

Como existem vários outros modelos viscoelásticos na teoria de viscoelasticidade, cadaum apresenta uma função de fluência e relaxação diferente.

3.4 Princípio da Superposição

O princípio da superposição para viscoelasticidade para a viscoelasticidade linear esta-belece, assim como na elasticidade, que a deformação total resultante da aplicação de umasequência de carregamentos de tensões é igual à soma das deformações causadas pelos carrega-mentos de tensões individuais, o mesmo conceito é estendido para a tensão total. Uma maneirade exemplificar o princípio da superposição é através da resposta de um material submetido aum conjunto de carregamento de tensões, o histórico das tensões, às quais o material é subme-tido, pode ser representado pela Fig. (3.15).

48

t

12

1

2

0

1t 2t

Figura 3.15: Histórico de tensões aplicadas.

Considerando-se um material com uma função de fluência qualquer 𝐽(𝑡), pode-se obter adeformação resultante como:

𝜀12 = ∆𝜎0𝐽(𝑡) + ∆𝜎1𝐽(𝑡− 𝑡1) + ∆𝜎2𝐽(𝑡− 𝑡2) =2∑

𝑖=0

∆𝜎𝑖𝐽(𝑡− 𝑡𝑖) (3.99)

Pode-se generalizar o conceito anterior para uma tensão arbitrária considerando um con-junto infinito de carregamentos infinitesimais de tensões, como representado pela Fig. (3.16).

t

12

0

12d

dt

Figura 3.16: Histórico de tensão arbitrária.

Levando-se em consideração essa generalização e sabendo-se que a equação constitutivado material sob tensão constante a partir do tempo 𝑡 = 0 é definida como

𝜀(𝑡) = 𝜎0𝐽(𝑡), (3.100)

pode-se escrever a deformação resultante de uma forma geral da seguinte forma:

𝜀𝑖𝑗(𝑡) =

∫ 𝑡

−∞𝐽(𝑡− 𝑡

′)

[𝑑𝜎𝑘𝑙(𝑡

′)

𝑑𝑡′

]𝑑𝑡

′. (3.101)

49

Essa equação é chamada de integral hereditária, uma vez que fornece o estado de defor-mação do material em função do tempo levando-se em consideração todo o histórico de tensõessofrido pelo material desde o tempo 𝑡 = −∞. Novamente, esse conceito por se estendido paraas tensões.

𝜎𝑖𝑗(𝑡) =

∫ 𝑡

−∞𝐺𝑖𝑗𝑘𝑙(𝑡− 𝑡

′)𝑑𝜀𝑘𝑙(𝑡

′)

𝑑𝑡′𝑑𝑡

′, (3.102)

onde o tensor material de quarta ordem 𝐺𝑖𝑗𝑘𝑙(𝑡) atende às seguintes restrições:

𝐺𝑖𝑗𝑘𝑙(𝑡) = 0 para −∞ < 𝑡 < 0, (3.103)

𝐺𝑖𝑗𝑘𝑙(𝑡) = 𝐺𝑗𝑖𝑘𝑙(𝑡) = 𝐺𝑖𝑗𝑙𝑘(𝑡). (3.104)

A representação mais geral de 𝐺𝑖𝑗𝑘𝑙(𝑡) para um tensor isotrópico de acordo com CHRIS-TENSEN (1982) é:

𝐺𝑖𝑗𝑘𝑙(𝑡) = −1

3[𝐶2(𝑡) − 𝐶1(𝑡)]𝛿𝑖𝑗𝛿𝑘𝑙 +

1

2𝐶2(𝑡)(𝛿𝑖𝑘𝛿𝑗𝑙 + 𝛿𝑖𝑙𝛿𝑗𝑘), (3.105)

onde 𝐶1(𝑡) e 𝐶2(𝑡) são funções de relaxamento independentes. Os tensores tensão e deformaçãopodem ser decompostos, como na elasticidade, em suas parcelas hidrostáticas e desviatórias.Denotam-se aqui 𝑆𝑖𝑗 e 𝑒𝑖𝑗 como as parcelas desviatórias da tensão e deformação respectiva-mente. Assim

𝑆𝑖𝑗 = 𝜎𝑖𝑗 −1

3𝛿𝑖𝑗𝜎𝑘𝑘, com 𝑆𝑖𝑖 = 0 (3.106)

𝑒𝑖𝑗 = 𝜀𝑖𝑗 −1

3𝛿𝑖𝑗𝜀𝑘𝑘, com 𝑒𝑖𝑖 = 0. (3.107)

Dessa forma as equações constitutivas Eq. (3.102) reduzem-se a

𝑆𝑖𝑗(𝑡) =

∫ 𝑡

−∞𝐶1(𝑡− 𝑡

′)𝑑𝑒𝑖𝑗(𝑡

′)

𝑑𝑡′𝑑𝑡

′(3.108)

𝜎𝑘𝑘(𝑡) =

∫ 𝑡

−∞𝐶2(𝑡− 𝑡

′)𝑑𝜀𝑘𝑘(𝑡

′)

𝑑𝑡′𝑑𝑡

′(3.109)

Esta é uma outra forma de se escrever as equações constitutivas da viscoelasticidade. Os opera-dores diferencias não são a única forma para se obter as equações constitutivas na viscoelasti-cidade.

50

3.5 Princípio da Correspondência

O número de problemas na viscoelasticidade que pode ser solucionado pela integraçãodireta como apresentado nas seções anteriores é bastante limitado. Para situações envolvendocampos de tensões gerais ou corpos com geometrias mais complexas, o princípio da corres-pondência pode ser mais vantajoso. Esta metodologia baseia-se na analogia entre as equaçõesbásicas de um problema associado na elasticidade e aqueles com as equações modificadas pelatransformada de Laplace em problemas viscoelásticos. Em problemas elásticos sob carrega-mentos constantes, as tensões, deformações e deslocamentos são independentes do tempo, en-tretanto, nos problemas viscoelásticos associados, embora o carregamento seja constante, ousofrendo uma pequena variação em função do tempo, as equações governantes são dependentesdo tempo e assim podem ser submetidas à transformação de Laplace MASE e MASE (1999).De uma maneira geral, pode-se definir a transformada de Laplace de uma função arbitráriacontínua e dependente do tempo, usando a tensão (𝜎𝑖𝑗(𝑥,𝑡)) por exemplo, da seguinte forma:

𝑖𝑗(𝑥,𝑠) =

∫ ∞

0

𝜎𝑖𝑗(𝑥,𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 (3.110)

na qual 𝑠 é a variável de transformação e o termo sobrescrito com barra indica a transformadade Laplace da função.

As transformadas de Laplace das derivadas de uma função são essenciais.∫ ∞

0

𝑑𝜎𝑖𝑗(𝑥,𝑡)

𝑑𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = −𝜎𝑖𝑗(𝑥,0) + 𝑠𝑖𝑗(𝑥,𝑠), (3.111)

∫ ∞

0

𝑑2𝜎𝑖𝑗(𝑥,𝑡)

𝑑𝑡2𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = −𝜕𝜎𝑖𝑗(𝑥,0)

𝜕𝑡− 𝑠𝜎𝑖𝑗(𝑥) + 𝑠2𝑖𝑗(𝑥,𝑠). (3.112)

O termo 𝜎𝑖𝑗(𝑥) é o valor da função no tempo 𝑡 = 0.

De acordo com o princípio da correspondência, se a solução de um problema viscoelás-tico é conhecida na elasticidade, a equação viscoelástica, que descreve o comportamento desseproblema, pode ser transformada em uma equação pseudo-elástica através da transformada deLaplace e após solucionar o problema transformado, uma inversão numérica pode ser usadapara recuperar o comportamento no domínio do tempo.

Como exemplo tem-se as equações constitutivas da elasticidade Eq. (3.25) e (3.28), quesão reescritas aqui

𝑆𝑖𝑗(𝑥) = 2𝐺𝜂𝑖𝑗(𝑥), (3.113)

𝜎𝑖𝑖(𝑥) = 3𝐾𝜀𝑖𝑖(𝑥). (3.114)

51

A transformada de Laplace das equações da viscoelasticidade associadas são

𝑃 (𝑠)𝑆𝑖𝑗(𝑥,𝑠) = 2(𝑠)𝜂𝑖𝑗(𝑥,𝑠) (3.115)

𝑖𝑖(𝑥,𝑠) = 3𝐾𝜀𝑖𝑖(𝑥,𝑠) (3.116)

Onde os termos sobrescritos com barra são termos transformados, e 𝑃 (𝑠) e (𝑠) sãopolinômios na variável de transformação 𝑠. A analogia é completamente notada entre os doisconjuntos de equações se a razão entre os termos (𝑠)/𝑃 (𝑠) for equivalente a 𝐺. Podendo-seassim estabelecer que se a solução de um problema na elasticidade é conhecido, a transformadade Laplace da solução do problema viscoelástico associado é construída substituindo-se a razão(𝑠)/𝑃 (𝑠) do operador polinomial transformado no lugar do módulo de cisalhamento 𝐺 MASEe MASE (1999).

52

4 Elasticidade Inhomogênea

Materiais inhomogêneos com grande aplicação são os chamados materiais gradualmentefuncionais (MGFs), que são materiais compósitos onde a concentração, forma e orientaçãodas fases constituintes variam em uma ou mais direções otimizando sua funcionalidade. Asvariáveis mais típicas relacionadas com a gradação nesses materiais são frações de volume eformas das inclusões, orientação, diâmetro, distribuição das camadas ou composição químicadas fibras, variação em porosidade, etc.. Representações microestruturais de MGFs podem servistas na Fig. (4.1).

Matriz metálica

Inclusão cerâmica

(b) Microestrutura gradualmente discreta.

Matriz cerâmica

Inclusão

Fase 1

Inclusão

Fase 2

(c) Microestrutura gradualmente multifásica.

Fase cerâmica

Região de Transição

(a) Microestrutura gradualmente contínua.

T Quente

Frio T

Fase metálica

Figura 4.1: Exemplos de diferentes tipos de microestruturas gradualmente funcionais, ABOUDIet al. (1999).

A Fig. (4.2) ilustra um material gradualmente funcional composto por YSZ-NiCr, emdiferentes concentrações de YSZ.

Figura 4.2: Exemplo de MGF composto por YSZ-NiCr, LI et al. (2003).

53

4.1 Formulação Elástica para Materiais Exponencialmente Inhomogêneos

Com o objetivo de se verificar o comportamento elástico em materiais innhomogêneostorna-se necessário o estudo matemático de equações que descrevam tais materiais.

No presente trabalho estuda-se um tipo específico de inhomogeneidade, com grande rele-vência para os MGFs.

Para se formular o comportamento do material gradualmente funcional (MGF) para o casoisotrópico em questão, assume-se que o coeficiente de Poisson é constante no meio inhomogê-neo, e os módulos de Lamé do material são exponencialmente graduais CHAN et al., 2004. Emmuitas aplicações para materiais inhomogêneos a assunção do coeficiente de Poisson constanteé bastante realista de acordo com ERDOGAN (1995).

𝜇(𝑥) = 𝜇(𝑥,𝑦) = 𝜇0𝑒2(𝛽1𝑥+𝛽2𝑦) = 𝜇0𝑒

2𝛽·𝑥, (4.1)

𝜆(𝑥) = 𝜆0𝑒2𝛽·𝑥. (4.2)

Onde 𝜇0, 𝜆0 e 𝛽=(𝛽1,𝛽2) são constantes materiais e os termos em negritos são vetores.

Inicia-se escrevendo as equações gerais de equilíbrio em um corpo utilizando-se notaçãoindicial .

𝜎𝑖𝑗,𝑗 + 𝑏𝑖 = 0. (4.3)

A Eq. (4.3) pode ser reescrita em termos das componentes de deslocamento para se obtera forma geral da equação de Navier para o caso anisotrópico.

[𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙(𝑥)𝑢𝑙,𝑘],𝑗 + 𝑏𝑖 = 0, (4.4)

para o caso isotrópico

𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙(𝑥) = 𝜆(𝑥)𝛿𝑖𝑗𝛿𝑘𝑙 + 𝜇(𝑥)(𝛿𝑖𝑘𝛿𝑗𝑙 + 𝛿𝑖𝑙𝛿𝑗𝑘), (4.5)

onde a inhomogeneidade é assumida como as Eqs. (4.1) e (4.2). Sustituindo a Eq. (4.5) na Eq.(4.4) e assumindo ausência de força de corpo, tem-se:

[𝜆(𝑥)𝛿𝑖𝑗𝛿𝑘𝑙𝑢𝑙,𝑘 + 𝜇(𝑥)(𝛿𝑖𝑘𝛿𝑗𝑙 + 𝛿𝑖𝑙𝛿𝑗𝑘)𝑢𝑙,𝑘],𝑗 = 0. (4.6)

54

Podemos reescrever a Eq. (4.6) da seguinte forma:

𝜇(𝑥)𝑢𝑖,𝑗𝑗 + [𝜆(𝑥) + 𝜇(𝑥)]𝑢𝑘.𝑘𝑖 + (𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢𝑗,𝑖)𝜇(𝑥),𝑗 + 𝑢𝑘,𝑘𝜆(𝑥),𝑖 = 0. (4.7)

Usando notação tensorial, podemos reescrever a Eq. (4.7).

𝜇(𝑥)∇2𝑢 + [𝜆(𝑥) + 𝜇(𝑥)]∇∇ · 𝑢 + (∇𝑢 + ∇𝑢𝑇 )∇𝜇(𝑥) + (∇ · 𝑢)∇𝜆(𝑥) = 0. (4.8)

Se considerarmos um problema bidimensional e assumindo 𝑢1=𝑢𝑥=𝑢 e 𝑢2=𝑢𝑦=𝑣 na Eq.(4.7) e a expandindo para cada valor de 𝑖, tem-se:

Para 𝑖 = 1

𝜇(𝑥)

(𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2

)+ [𝜆(𝑥) + 𝜇(𝑥)]

(𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑣

𝜕𝑦𝜕𝑥

)+

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝜇(𝑥)

𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝜇(𝑥)

𝜕𝑦

+𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝜇(𝑥)

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜕𝜇(𝑥)

𝜕𝑦+

(𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦

)𝜕𝜆(𝑥)

𝜕𝑥= 0,

(4.9)

Para 𝑖 = 2

𝜇(𝑥)

(𝜕2𝑣

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑣

𝜕𝑦2

)+ [𝜆(𝑥) + 𝜇(𝑥)]

(𝜕2𝑣

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑥𝜕𝑦

)+

𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜕𝜇(𝑥)

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦

𝜕𝜇(𝑥)

𝜕𝑦

+𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝜇(𝑥)

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦

𝜕𝜇(𝑥)

𝜕𝑦+

(𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦

)𝜕𝜆(𝑥)

𝜕𝑦= 0.

(4.10)

Por simplificação, pode-se assumir a seguinte razão:

𝜆(𝑥)

𝜇(𝑥)=

𝜆0

𝜇0

=3 − 𝜅

𝜅− 1, (4.11)

que é constante, uma vez que essa razão depende do coeficiente de Poisson 𝜈, que também éassumido constante. A constante 𝜅 pode ser considerada de duas maneiras:

Para estado plano de deformação 𝜅 = 3 − 4𝜈 e para estado plano de tensão 𝜅 = (3 −𝜈)/(1 + 𝜈).

55

Reescrevendo Eq. (4.11), de modo a isolar o termo 𝜆(𝑥), obtém-se a seguinte expressão:

𝜆(𝑥) =3 − 𝜅

𝜅− 1𝜇(𝑥). (4.12)

Derivando-se a Eq. (4.1) em relação a 𝑥 e 𝑦, tem-se respectivamente:

𝜕𝜇(𝑥)

𝜕𝑥= 2𝛽1𝜇(𝑥) e

𝜕𝜇(𝑥)

𝜕𝑦= 2𝛽2𝜇(𝑥). (4.13)

Inserindo-se os resultados das Eqs. (4.12) e (4.13) nas Eqs. (4.9) e (4.10) tem-se:

𝜇(𝑥)

(𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2

)+ 𝜇(𝑥)

[3 − 𝜅

𝜅− 1+ 1

](𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑣

𝜕𝑦𝜕𝑥

)+

𝜕𝑢

𝜕𝑥2𝛽1𝜇(𝑥) +

𝜕𝑢

𝜕𝑦2𝛽2𝜇(𝑥)

+𝜕𝑢

𝜕𝑥2𝛽1𝜇(𝑥) +

𝜕𝑣

𝜕𝑥2𝛽2𝜇(𝑥) +

(𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦

)2𝛽1

3 − 𝜅

𝜅− 1𝜇(𝑥) = 0,

(4.14)

e

𝜇(𝑥)

(𝜕2𝑣

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑣

𝜕𝑦2

)+ 𝜇(𝑥)

[3 − 𝜅

𝜅− 1+ 1

](𝜕2𝑣

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑥𝜕𝑦

)+

𝜕𝑣

𝜕𝑥2𝛽1𝜇(𝑥) +

𝜕𝑣

𝜕𝑦2𝛽2𝜇(𝑥)

+𝜕𝑢

𝜕𝑦2𝛽1𝜇(𝑥) +

𝜕𝑣

𝜕𝑦2𝛽2𝜇(𝑥) +

(𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦

)2𝛽2

3 − 𝜅

𝜅− 1𝜇(𝑥) = 0

.

(4.15)

Agrupando-se separadamente os termos com derivadas de primeira e segunda ordem nasEqs. (4.14) e (4.15), podemos reescrevê-las como:

𝜇(𝑥)

𝑘 − 1

[(𝜅 + 1)

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+ (𝜅− 1)

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2+ 2

𝜕2𝑣

𝜕𝑥𝜕𝑦

]+

+2𝜇(𝑥)

𝜅− 1

[𝛽1(𝜅 + 1)

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝛽2(𝜅− 1)

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝛽2(𝜅− 1)

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝛽1(3 − 𝜅)

𝜕𝑣

𝜕𝑦

]= 0,

(4.16)

56

𝜇(𝑥)

𝜅− 1

[2𝜕2𝑢

𝜕𝑥𝜕𝑦+ (𝜅− 1)

𝜕2𝑣

𝜕𝑥2+ (𝜅 + 1)

𝜕2𝑣

𝜕𝑦2

]+

+2𝜇(𝑥)

𝜅− 1

[𝛽2(3 − 𝜅)

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝛽1(𝜅− 1)

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝛽1(𝜅− 1)

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝛽2(𝜅 + 1)

𝜕𝑣

𝜕𝑦

]= 0.

. (4.17)

Juntando-se as Eqs (4.16) e (4.17) em uma única forma matricial, tem-se:

𝜇(𝑥)

𝜅− 1

[(𝜅 + 1) 𝜕2

𝜕𝑥2 + (𝜅− 1) 𝜕2

𝜕𝑦22 𝜕2

𝜕𝑥𝜕𝑦

2 𝜕2

𝜕𝑥𝜕𝑦(𝜅− 1) 𝜕2

𝜕𝑥2 + (𝜅 + 1) 𝜕2

𝜕𝑦2

][𝑢

𝑣

]+

+2𝜇(𝑥)

𝜅− 1

[𝛽1(𝜅 + 1) 𝜕

𝜕𝑥+ 𝛽2(𝜅− 1) 𝜕

𝜕𝑦𝛽2(𝜅− 1) 𝜕

𝜕𝑥+ 𝛽1(3 − 𝜅) 𝜕

𝜕𝑦

𝛽2(3 − 𝜅) 𝜕𝜕𝑥

+ 𝛽1(𝜅− 1) 𝜕𝜕𝑦

𝛽1(𝜅− 1) 𝜕𝜕𝑥

+ 𝛽2(𝜅 + 1) 𝜕𝜕𝑦

][𝑢

𝑣

]= 0. (4.18)

Podemos reduzir a Eq. (4.18) como um sistema de equações diferenciais parciais comoproposto por KONDA e ERDOGAN (1994) e apresentado a seguir:

ℒ

[𝑢

𝑣

]= (ℒ0 + ℒ𝑔)

[𝑢

𝑣

]= 0. (4.19)

Onde ℒ é o operador diferencial linear, ℒ0 é o operador diferencial para materiais homogêneose ℒ𝑔 é o operador diferencial para parte a gradativa que está escrita em função dos coeficientesde inhomogeneidade (𝛽1 e 𝛽2).

Nota-se das Eqs. (4.18) e (4.19) que se levarmos os coeficientes 𝛽1 e 𝛽2 a 0, então osistema de equações diferenciais parciais Eq. (4.19) transforma-se nas equações de Navier-Cauchy para materiais elásticos homogêneos.

57

5 Método dos Elementos de Contorno Aplicado à Viscoelastici-dade

A técnica utilizada para solucionar problemas utilizando o MEC consiste em transfor-mar as equações diferenciais que descrevem o sistema em equações integrais relacionadas aosvalores no contorno e sua solução. Discretiza-se então o contorno do problema envolvido emelementos, que são chamados de elementos de contorno, onde a geometria e as variáveis desco-nhecidas são aproximadas por funções de interpolação.

5.1 Formulação de Elementos de Contorno

A metodologia do MEC apresentada aqui, para a viscoelasticidade linear e homogênea, ébaseada nos seguintes trabalhos MESQUITA e CODA (2007a) e MESQUITA e CODA (2007b).

O método dos elementos de contorno é baseado em equações integrais de contorno. Hádiferentes métodos pelos quais podem-se obter as equações integrais do MEC aplicado à vis-coelasticidade linear. O mais utilizado na literatura é o método dos resíduos ponderados, que éaplicado sobre as equações diferenciais de equilíbrio da elasto-estática, representadas pela Eq.(5.1).

𝜎𝑖𝑗,𝑗 + 𝑏𝑖 = 0 (5.1)

O método dos resíduos ponderados minimiza os erros numéricos envolvidos na Eq. (5.1)devido a aproximação da função considerada. Para este processo, uma função ponderadora es-pecífica é adotada. Para o desenvolvimento desse trabalho a solução fundamental de Kelvinpara um corpo elástico infinito é adotada como função ponderadora. Dessa forma a Eq. (5.1) éponderada sobre um domínio Ω considerado.

∫Ω

(𝜎𝑖𝑗,𝑗 + 𝑏𝑖)𝑢*𝑘𝑖𝑑Ω = 0. (5.2)

O termo 𝑢*𝑘𝑖 representa a solução de Kelvin para o deslocamento, que é descrita como a solução

de um problema elástico com as mesmas propriedades materiais do corpo sob consideração, mascorrespondendo a um domínio infinito carregado com uma carga pontual unitária concentrada(BREBBIA e DOMINGUEZ (1989)).

Usando o teorema da divergência no primeiro termo da Eq. (5.2) pode-se reescrevê-la emtermos de integrais de contorno e domínio.

58

∮Γ

𝜎𝑖𝑗𝑢*𝑘𝑖𝑛𝑗𝑑Γ −

∫Ω

𝜎𝑖𝑗𝑢*𝑘𝑖,𝑗𝑑Ω +

∫Ω

𝑏𝑖𝑢*𝑘𝑖𝑑Ω = 0. (5.3)

Nessa equação Γ é o contorno do corpo analisado e 𝑛𝑗 é seu vetor normal. A transforma-ção de tensão de Cauchy, apresentada na Eq. (5.4) pode ser usada para reescrever a Eq. (5.3) emtermos das componentes de tração.

𝜎𝑖𝑗𝑛𝑗 = 𝑝𝑖. (5.4)

Além disso, devido à simetria do tensor deformação, a relação apresentada na Eq. (5.5)também pode ser usada na Eq. (5.3) para deixá-la em termos das componentes de deformação.

1

2(𝑢*

𝑘𝑖,𝑗 + 𝑢*𝑘𝑗,𝑖)𝜎𝑖𝑗 =

1

2(𝑢*

𝑘𝑗,𝑖 + 𝑢*𝑘𝑖,𝑗)𝜎𝑖𝑗 = 𝜀*𝑘𝑖𝑗𝜎𝑖𝑗. (5.5)

temos

∮Γ

𝑝𝑖𝑢*𝑘𝑖𝑑Γ −

∫Ω

𝜎𝑖𝑗𝜀*𝑘𝑖𝑗𝑑Ω +

∫Ω

𝑏𝑖𝑢*𝑘𝑖𝑑Ω = 0. (5.6)

A Eq. (5.6) é o ponto inicial para o desenvolvimento das formulações de elementos decontorno aplicado à viscoelasticidade linear.

5.1.1 Equaçoes Integrais para o Modelo de Kelvin-Voigt

Como mencionado na seção anterior, a Eq (5.6) é o ponto de partida para o desenvolvi-mento das equações integrais para viscoelasticidade. O segundo termo dessa equação está emfunção das componentes da tensão 𝜎𝑖𝑗 , e é através dessas componentes que podemos inserir aequação constitutiva do modelo viscoelástico de Kelvin-Voigt (Eq. (3.69)). Após a substituição,tem-se:

∮Γ

𝑝𝑖𝑢*𝑘𝑖𝑑Γ −

∫Ω

𝜀*𝑘𝑖𝑗𝐶𝑖𝑗𝑙𝑚𝜀𝑙𝑚𝑑Ω −∫Ω

𝜀*𝑘𝑖𝑗𝛾𝐶𝑖𝑗𝑙𝑚𝑙𝑚𝑑Ω +

∫Ω

𝑏𝑖𝑢*𝑘𝑖𝑑Ω = 0. (5.7)

Onde 𝐶𝑖𝑗𝑙𝑚 é o tensor de quarta ordem das propriedades elásticas do material definidopela Eq. (3.5). É importante notar que o segundo termo dessa equação está relacionado com aparte elástica e o terceiro termo está relacionado com a parte viscosa, lembrando-se tambémque nesse trabalho os coeficientes viscosos são assumidos iguais (𝛾𝜆 = 𝛾𝜇 = 𝛾). Torna-se

59

fundamental incluir alguns conceitos de elasticidade, que envolvem a relação cinemática parapequenas deformações, como escrito a seguir:

𝜀𝑖𝑗 =1

2(𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢𝑗,𝑖), (5.8)

sendo a derivada da Eq. (5.8) em relação ao tempo definida como a relação cinemática para ataxa de deformação, como segue

𝑖𝑗 =1

2(𝑖,𝑗 + 𝑗,𝑖), (5.9)

e considerando-se as simetrias dos tensores tensão e deformação, as relações cinemáticas e otensor de propriedades elásticas do material 𝐶𝑖𝑗𝑙𝑚, é possível se obter:

𝜀*𝑘𝑖𝑗𝐶𝑖𝑗𝑙𝑚𝜀𝑙𝑚 = 𝜎*𝑘𝑙𝑚𝜀𝑙𝑚 = 𝜎*

𝑘𝑙𝑚𝑢𝑙,𝑚 = 𝜎*𝑘𝑖𝑗𝑢𝑖,𝑗, (5.10)

𝜀*𝑘𝑖𝑗𝛾𝐶𝑖𝑗𝑙𝑚𝑙𝑚 = 𝛾𝜎*𝑘𝑙𝑚𝑙𝑚 = 𝛾𝜎*

𝑘𝑙𝑚𝑙,𝑚 = 𝛾𝜎*𝑘𝑖𝑗𝑖,𝑗. (5.11)

Introduzindo-se esses conceitos na Eq. (5.7) teremos uma equação integral em termos dascomponentes de tensões.

∮Γ

𝑝𝑖𝑢*𝑘𝑖𝑑Γ −

∫Ω

𝜎*𝑘𝑖𝑗𝑢𝑖,𝑗𝑑Ω − 𝛾

∫Ω

𝜎*𝑘𝑖𝑗𝑖,𝑗𝑑Ω +

∫Ω

𝑏𝑖𝑢*𝑘𝑖𝑑Ω = 0. (5.12)

Integrando-se por partes o segundo e terceiro termos da Eq. (5.12), resultando em

∮Γ

𝑝𝑖𝑢*𝑘𝑖𝑑Γ −

∮Γ

𝜎*𝑘𝑖𝑗𝑛𝑗𝑢𝑖𝑑Γ +

∫Ω

𝜎*𝑘𝑖𝑗,𝑗𝑢𝑖𝑑Ω − 𝛾

∮Γ

𝜎*𝑘𝑖𝑗𝑛𝑗𝑖𝑑Γ + 𝛾

∫Ω

𝜎*𝑘𝑖𝑗,𝑗𝑖𝑑Ω

+

∫Ω

𝑏𝑖𝑢*𝑘𝑖𝑑Ω = 0. (5.13)

Recordando-se aqui que a carga concentrada no problema de Kelvin foi assumida comoforça de corpo. Usando a função delta de Dirac para representar essa força de corpo, tem-se achamada equação de equilíbrio fundamental, como definida a seguir

𝜎*𝑘𝑖𝑗,𝑗 = −𝛿(𝑥,)𝛿𝑘𝑖. (5.14)

Onde 𝛿(𝑥,) é a função delta de Dirac, é o ponto fonte e 𝑥 é o ponto campo. A seleção

60

da função delta de Dirac pode ser usada para determinar a contribuição das integrais de volumedo terceiro e quinto termo da Eq. (5.13) e a transformação de tensão de Cauchy também podeser usada novamente sob a forma

𝜎*𝑘𝑖𝑗𝑛𝑗 = 𝑝*𝑘𝑖, (5.15)

para reescrever o segundo e quarto temo da Eq. (5.13) em função das componentes de tração. Oque resulta em

𝐶𝑘𝑖𝑢𝑖() + 𝛾𝐶𝑘𝑖𝑖() =

∮Γ

𝑝𝑖𝑢*𝑘𝑖𝑑Γ −

∮Γ

𝑢𝑖𝑝*𝑘𝑖𝑑Γ − 𝛾

∮Γ

𝑖𝑝*𝑘𝑖𝑑Γ +

∫Ω

𝑏𝑖𝑢*𝑘𝑖𝑑Ω. (5.16)

O termo 𝐶𝑘𝑖 é chamado de termo livre e depende da suavidade do contorno sendo omesmo usado para descrever as formulações da elastostática, onde leva-se em conta a locali-zação do ponto fonte () em relação ao contorno Γ. Na Eq. (5.16) há um termo que envolveintegração de domínio, o qual pode ser algumas vezes transformado para que se tenha somenteequações integrais de contorno. Esse termo de domínio é constituído por uma força de corpo𝑏𝑖 e pode ser transformado em uma integral de contorno equivalente utilizando um métodochamado de método de integração radial, há outros métodos para o tratamento dessa integral.Dessa forma, assumindo-se a força de corpo 𝑏𝑖 constante, a transformação pode ser realizada daseguinte maneira

∫Ω

𝑢*𝑘𝑖𝑏𝑖𝑑Ω = 𝑏𝑖

∫Ω

𝑢*𝑘𝑖𝑑Ω = 𝑏𝑖

∫𝜃

∫𝑟

𝑢*𝑘𝑖𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 = 𝑏𝑖

∫Γ

∫𝑟

𝑢*𝑘𝑖𝑟𝑑𝑟

1

𝑟

𝜕𝑟

𝜕𝑛𝑑Γ = 𝑏𝑖

∮Γ

𝐵*𝑘𝑖𝑑Γ.

(5.17)

O termo 𝐵*𝑘𝑖 para a solução fundamental de Kelvin é definido como:

𝐵*𝑘𝑖 =

𝑟

16𝜋𝐺(1 − 𝜈)

[(4𝜈 − 3)

(ln𝑟 − 1

2

)𝛿𝑘𝑖 + 𝑟,𝑘𝑟,𝑖

]𝜕𝑟

𝜕𝑛. (5.18)

Com o processo de transformação de domínio, podemos reescrever a Eq. (5.16) com todosos termos a serem integrados exclusivamente no contorno.

𝐶𝑘𝑖𝑢𝑖() + 𝛾𝐶𝑘𝑖𝑖() =

∮Γ

𝑝𝑖𝑢*𝑘𝑖𝑑Γ −

∮Γ

𝑢𝑖𝑝*𝑘𝑖𝑑Γ − 𝛾

∮Γ

𝑖𝑝*𝑘𝑖𝑑Γ +

∮Γ

𝐵*𝑘𝑖𝑑Γ. (5.19)

Essa é a formulação geral de elementos de contorno para o modelo viscoelástico de Kelvin-Voigt. Para se trabalhar com essa formulação nos pontos do contorno ou nos pontos internos

61

é necessária a obtenção do termo 𝐶𝑘𝑖. Quando o carregamento unitário é aplicado nos pontosinternos 𝐶𝑘𝑖 = 𝛿𝑘𝑖, para os pontos do contorno 𝐶𝑘𝑖=1/2 quando o contorno é suave, porém namaioria dos problemas há regiões do contorno que não apresentam suavidade, principalmentenos cantos, o que dificulta o cálculo explícito desse termo devido à singularidade da soluçãofundamental. Assim, para solucionar esse problema, utiliza-se o conceito de movimento decorpo rígido, o qual evita o cálculo explícito desse termo.

A solução fundamental utilizada na Eq. (5.19) pode ser encontrada de uma maneira deta-lhada em BREBBIA e DOMINGUEZ (1989). Para o caso bidimensional a solução fundamentalde Kelvin para deslocamento em meios elásticos é definida como

𝑢*𝑘𝑖 =

1

8𝜋𝜇(1 − 𝜈)

[(3 − 4𝜈)ln

1

𝑟𝛿𝑘𝑖 + 𝑟,𝑘𝑟,𝑖

], (5.20)

e para tração no contorno Γ

𝑝*𝑘𝑖 = − 1

4𝜋(1 − 𝜈)𝑟

[𝜕𝑟

𝜕𝑛[(1 − 2𝜈)𝛿𝑘𝑖 + 2𝑟,𝑘𝑟,𝑖] − (1 − 2𝜈)(𝑛𝑘𝑟,𝑖 − 𝑛𝑖𝑟,𝑘)

]. (5.21)

Pode-se verificar que as soluções fundamentais fornecidas pelas Eqs. (5.20) e (5.21) estão noestado plano de deformação (EPD). Para trabalhar no estado plano de tensão (EPT) deve-sereescrever o coeficiente de Poisson como 𝜈

′= 𝜈/(1 + 𝜈).

Para o meio isotrópico, as tensões internas podem ser calculadas derivando-se os deslo-camentos nos pontos internos e obtendo-se assim as deformações, as quais são inseridas nasrelações tensão-deformação-taxa de deformação (Eq. ( 3.69)). Dessa forma, usando-se as rela-ções cinemáticas definidas pelas Eqs. (5.8) e (5.9) na derivada da Eq. ( 5.19) e para 𝐶𝑘𝑖 = 𝛿𝑘𝑖,tem-se a equação integral de contorno para deformação.

𝜀𝑘𝑒() + 𝛾𝑘𝑒() =

∮Γ

𝜀*𝑘𝑖𝑒𝑝𝑖𝑑Γ −∮Γ

𝑃 *𝑘𝑖𝑒𝑢𝑖𝑑Γ − 𝛾

∮Γ

𝑃 *𝑘𝑖𝑒𝑖𝑑Γ + 𝑏𝑖

∮Γ

*𝑘𝑖𝑒𝑑Γ. (5.22)

Aplicando-se essa equação na Eq. (3.69) resulta na forma integral de contorno para as tensõesnos pontos internos.

𝜎𝑗𝑘() =

∮Γ

𝐷𝑖𝑗𝑘𝑝𝑖𝑑Γ −∮Γ

𝑆𝑖𝑗𝑘𝑢𝑖𝑑Γ − 𝛾

∮Γ

𝑆𝑖𝑗𝑘𝑖𝑑Γ + 𝑏𝑖

∮Γ

*𝑖𝑗𝑘𝑑Γ, (5.23)

o núcleo da última integral é definido como *𝑖𝑗𝑘 = 𝐷𝑖𝑗𝑘𝑟

𝜕𝑟𝜕𝑛

. Os termos fundamentais 𝐷𝑖𝑗𝑘 e𝑆𝑖𝑗𝑘 para problemas bidimensionais são

𝐷𝑖𝑗𝑘 =1

4𝜋(1 − 𝜈)𝑟[(1 − 2𝜈)(𝛿𝑖𝑗𝑟,𝑘 + 𝛿𝑖𝑘𝑟,𝑗 − 𝛿𝑗𝑘𝑟,𝑖) + 2𝑟,𝑗𝑟,𝑘𝑟,𝑖], (5.24)

62

𝑆𝑖𝑗𝑘 =2𝜇

4𝜋(1 − 𝜈)𝑟2

2𝜕𝑟

𝜕𝑛[(1 − 2𝜈)𝛿𝑗𝑘𝑟,𝑖 + 𝜈(𝛿𝑗𝑖𝑟,𝑘 + 𝛿𝑘𝑖𝑟,𝑗) − 4𝑟,𝑗𝑟,𝑘𝑟,𝑖]+

2𝜈(𝑛𝑗𝑟,𝑘𝑟,𝑖 + 𝑛𝑘𝑟,𝑗𝑟,𝑖) + (1 − 2𝜈)(2𝑛𝑖𝑟,𝑗𝑟,𝑘 + 𝑛𝑘𝛿𝑗𝑖 + 𝑛𝑗𝛿𝑘𝑖) − (1 − 4𝜈)𝑛𝑖𝛿𝑗𝑘

. (5.25)

A Eq. (5.23) fornece a tensão total para o modelo viscoelástico de Kelvin-Voigt, porémpodem-se obter as tensões das partes elástica e viscosa que compõem o modelo de maneira se-parada. Usando-se a relação apresentada pela Eq. (3.69) tem-se que a derivada da parte elásticaem relação ao tempo é

𝑒𝑖𝑗 = 𝐶𝑖𝑗𝑙𝑚, (5.26)

e sabendo-se que a parte viscosa é definida por

𝜎𝑣𝑖𝑗 = 𝛾𝐶𝑖𝑗𝑙𝑚, (5.27)

percebe-se a semelhança na forma das duas relações, assim pode-se escrever 𝜎𝑣𝑖𝑗 = 𝛾𝑒

𝑖𝑗 einserindo-se essa definição na Eq. (3.69) obtém-se a seguinte equação diferencial ordinária:

𝛾𝑒𝑖𝑗 + 𝜎𝑒

𝑖𝑗 − 𝜎𝑖𝑗 = 0. (5.28)

A Eq. (5.28) é solucionada numericamente por uma aproximação no tempo, como serávisto mais a frente.

5.1.2 Equações Integrais para o Modelo de Boltzmann

Para a formulação de elementos de contorno considerando o modelo viscoelástico deBoltzmann, o desenvolvimento é similar ao utilizado na formulação para o modelo de Kelvin-Voigt. Dessa maneira inicia-se inserindo a relação constitutiva viscoelástica obtida através daEq. (3.79) no segundo termo da Eq. (5.6) resultando em:∮

Γ

𝑢*𝑘𝑖𝑝𝑖𝑑Γ − 𝐸𝑒𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

∫Ω

𝜀*𝑘𝑖𝑗𝐶𝑖𝑗𝑙𝑚𝜀𝑙𝑚𝑑Ω − 𝛾𝐸𝑒𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

∫Ω

*𝑘𝑖𝑗𝐶𝑖𝑗𝑙𝑚𝑙𝑚𝑑Ω+

𝛾𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

∫Ω

𝜀*𝑘𝑖𝑗𝑖𝑗𝑑Ω +

∫Ω

𝑢*𝑘𝑖𝑏𝑖𝑑Ω = 0. (5.29)

63

Utilizando-se as relações cinemáticas apresentadas nas Eqs. (5.8) e (5.9) e os conceitos a seguir,

𝜀*𝑘𝑖𝑗𝐸𝑒𝐶𝑖𝑗𝑙𝑚𝜀𝑙𝑚 = 𝜎*𝑘𝑙𝑚𝜀𝑙𝑚 = 𝜎*

𝑘𝑙𝑚𝑢𝑙,𝑚 = 𝜎*𝑘𝑖𝑗𝑢𝑖,𝑗, (5.30)

𝜀*𝑘𝑖𝑗𝐸𝑒𝐶𝑖𝑗𝑙𝑚𝑙𝑚 = 𝜎*𝑘𝑙𝑚𝑙𝑚 = 𝜎*

𝑘𝑙𝑚𝑙,𝑚 = 𝜎*𝑘𝑖𝑗𝑖,𝑗, (5.31)

𝜀*𝑘𝑖𝑗𝑖𝑗 = 𝑢*𝑘𝑖,𝑗𝑖𝑗, (5.32)

e os introduzindo na Eq. (5.29), o que resulta em uma equação integral com o segundo e terceirotermo em função do tensor de terceira ordem 𝜎𝑘𝑖𝑗 , como segue∮

Γ

𝑢*𝑘𝑖𝑝𝑖𝑑Γ − 𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

∫Ω

𝜎*𝑘𝑖𝑗𝑢𝑖,𝑗𝑑Ω − 𝛾𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

∫Ω

𝜎*𝑘𝑖𝑗𝑖,𝑗𝑑Ω +

𝛾𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

∫Ω

𝑢*𝑘𝑖,𝑗𝑖𝑗𝑑Ω

+

∫Ω

𝑢*𝑘𝑖𝑏𝑖𝑑Ω = 0. (5.33)

Com o objetivo de iniciar o processo de transformação das integrais de domínio em in-tegrais de contorno, integra-se por partes o segundo, terceiro e quarto termos da Eq. (5.33),obtendo-se∮

Γ

𝑢*𝑘𝑖𝑝𝑖𝑑Γ − 𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

[∮Γ

𝜎*𝑘𝑖𝑗𝑛𝑗𝑢𝑖𝑑Γ −

∫Ω

𝜎*𝑘𝑖𝑗,𝑗𝑢𝑖𝑑Ω

]−

𝛾𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

[∮Γ

𝜎*𝑘𝑖𝑗𝑛𝑗𝑖𝑑Γ −

∫Ω

𝜎*𝑘𝑖𝑗,𝑗𝑖𝑑Ω

]+

𝛾𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

[∮Γ

𝑢*𝑘𝑖𝑖𝑗𝑛𝑗𝑑Γ −

∫Ω

𝑢*𝑘𝑖𝑖𝑗,𝑗𝑑Ω

]+

∫Ω

𝑢*𝑘𝑖𝑏𝑖𝑑Ω = 0. (5.34)

Usando a equação diferencial fundamental de equilíbrio (Eq. (5.14)) e a equação diferen-cial de equilíbrio para um problema real (𝑖𝑗,𝑗 = −𝑖), pode-se reescrever a Eq. (5.34) como

𝐶𝑘𝑖𝑢𝑖() =𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑣𝑒

∮Γ

𝑢*𝑘𝑖𝑝𝑖𝑑Γ −

∮Γ

𝑝*𝑘𝑖𝑢𝑖𝑑Γ − 𝛾

∮Γ

𝑝*𝑘𝑖𝑖𝑑Γ − 𝛾𝐶𝑘𝑖𝑖()

+ 𝛾

[∮Γ

𝑢*𝑘𝑖𝑖𝑑Γ +

∫Ω

𝑢*𝑘𝑖𝑖𝑑Ω

]+

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑣𝑒

∫Ω

𝑢*𝑘𝑖𝑏𝑖𝑑Ω. (5.35)

Essa é equação geral das integrais de contorno aplicada ao modelo viscoelástico de Boltzmann.O termo 𝐶𝑘𝑖 é o mesmo usado para descrever as equações do modelo de Kelvin-Voigt. A força

64

de corpo 𝑏𝑖 é assumida constante, portanto não é variável com o tempo, tendo-se nesse caso𝑖 = 0, o que resulta na anulação da quinta integral da Eq. (5.35). Para colocar a equação com-pletamente em termos de integrais de contorno, utiliza-se novamente o método da integraçãoradial para transformar a integral de domínio restante, resultando em

𝐶𝑘𝑖𝑢𝑖() =𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑣𝑒

∮Γ

𝑢*𝑘𝑖𝑝𝑖𝑑Γ −

∮Γ

𝑝*𝑘𝑖𝑢𝑖𝑑Γ − 𝛾

∮Γ

𝑝*𝑘𝑖𝑖𝑑Γ − 𝛾𝐶𝑘𝑖𝑖()

+ 𝛾

∮Γ

𝑢*𝑘𝑖𝑖𝑑Γ +

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑣𝑒

𝑏𝑖

∮Γ

𝐵*𝑘𝑖𝑑Γ. (5.36)

Como é de interesse obter os resultados internos, assim como foi feito para equaçõesintegrais viscoelástica de Kelvin, descreve-se aqui as equações para quando o carregamentounitário é colocado internamente ao contorno. Assim para o deslocamento tem-se

𝑢𝑘() =𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑣𝑒

∮Γ

𝑢*𝑘𝑖𝑝𝑖𝑑Γ −

∮Γ

𝑝*𝑘𝑖𝑢𝑖𝑑Γ − 𝛾

∮Γ

𝑝*𝑘𝑖𝑖𝑑Γ − 𝛾𝑘()

+ 𝛾

∮Γ

𝑢*𝑘𝑖𝑖𝑑Γ +

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑣𝑒

𝑏𝑖

∮Γ

𝐵*𝑘𝑖𝑑Γ. (5.37)

Da mesma forma utilizada anteriormente para caso do modelo de Kelvin-Voigt, para es-crever as equações de tensões é necessário obter as deformações nos pontos internos a partir daderivada da Eq. (5.37). Dessa forma, utilizando a deformação obtida e as Eqs. (5.8) e (5.9) narelação constitutiva viscoelástica para o modelo de Boltzmann (Eq. (3.79)), resulta em

𝜎𝑗𝑘() =

∮Γ

𝐷𝑖𝑗𝑘𝑝𝑖𝑑Γ− 𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

∮Γ

𝑆𝑖𝑗𝑘𝑢𝑖𝑑Γ− 𝛾𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

∮Γ

𝑆𝑖𝑗𝑘𝑖𝑑Γ− 𝛾𝐸𝑒𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

𝐶𝑖𝑗𝑚𝑒𝑚𝑒()

+𝛾𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

∮Γ

𝐷𝑖𝑗𝑘𝑖𝑑Γ + 𝑏𝑖

∮Γ

𝑖𝑗𝑘Γ +𝛾𝐸𝑒𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

𝐶𝑖𝑗𝑚𝑒𝑚𝑒() − 𝛾𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

𝑗𝑘(). (5.38)

Percebe-se da Eq. (5.38) que o quarto e oitavo termo do lado direito da igualdade se cancelam,podendo ser reescrita como

𝜎𝑗𝑘() =

∮Γ

𝐷𝑖𝑗𝑘𝑝𝑖𝑑Γ− 𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

∮Γ

𝑆𝑖𝑗𝑘𝑢𝑖𝑑Γ− 𝛾𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

∮Γ

𝑆𝑖𝑗𝑘𝑖𝑑Γ+𝛾𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

∮Γ

𝐷𝑖𝑗𝑘𝑖𝑑Γ

+ 𝑏𝑖

∮Γ

𝑖𝑗𝑘Γ − 𝛾𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

𝑗𝑘(). (5.39)

65

A Eq. (5.39) representa a equação integral para tensão total do modelo viscoelástico de Boltz-mann. As soluções fundamentais 𝐵𝑘𝑖, 𝐷𝑖𝑗𝑘 e 𝑆𝑖𝑗𝑘 são as mesmas definidas pelas Eqs (5.18) e(5.24) e (5.25) respectivamente. Com a finalidade de se obter a tensão elástica da parte visco-elástica (constituída por uma mola em paralelo a um amortecedor) no modelo de Boltzmann eusando a relação definida na Eq. (3.71), pode-se escrever de maneira similar a usada no caso domodelo de Kelvin-Voigt, resultando em

𝛾𝑒𝑖𝑗 + 𝜎𝑒

𝑖𝑗 − 𝜎𝑖𝑗 = 0. (5.40)

A Eq. (5.40) pode ser solucionada através do mesmo processo numérico com aproximação notempo, que será visto mais a frente.

5.2 Discretização Numérica dos Elementos de Contorno

Com o objetivo de solucionar as equações integrais de contorno para os deslocamentose tensões obtidas na seção anterior assumindo os modelos viscoelásticos de Kelvin-Voigt eBoltzmann, o contorno é discretizado ou subdivido em 𝑁𝑒 número de elementos, sobre os quaisas variáveis de deslocamento e trações são escritas em termos de seus 𝑁 pontos nodais. Umcorpo discretizado pode ser visualizado na Fig. (5.1).

Nós Elementos

x

y

Figura 5.1: Corpo bidimensional discretizado.

5.2.1 Elemento Isoparamétrico

Em muitas formulações do MEC, a representação da geometria e das variáveis desconhe-cidas é feita com as mesmas funções de forma. Neste caso, os elementos utilizados no MEC

66

recebem o nome de elementos isoparamétricos. Assim, as variáveis utilizadas nas formulaçõesdas integrais de contorno da seção anterior, como posições dos nós 𝑥𝑖, os deslocamentos des-conhecidos 𝑢𝑖, as taxas de deslocamentos desconhecidos 𝑖 e as trações desconhecidas 𝑝𝑖 sãoaproximadas pelas funções de interpolação, como segue:

𝑥𝑖(𝜉) =𝑛∑

𝑗=1

𝜑𝑗(𝜉)𝑥𝑗𝑖 𝑢𝑖(𝜉) =

𝑛∑𝑗=1

𝜑𝑗(𝜉)𝑢𝑗𝑖 ,

𝑖(𝜉) =𝑛∑𝑗

𝜑𝑗(𝜉)𝑗𝑖 𝑝𝑖(𝜉) =

𝑛∑𝑗=1

𝜑𝑗(𝜉)𝑝𝑗𝑖 .

(5.41)

Onde 𝜑𝑗 são as funções de interpolação, 𝜉 é a coordenada adimensional ao longo do elemento(−1 ≤ 𝜉 ≤ 1), 𝑗 é a identificação do nó sobre o elemento, 𝑛 é o número de nós que o elementocontém e 𝑖 é a direção sobre a qual a variável atua.

Nessa dissertação são usados elementos quadráticos contínuos que contêm três nós paradiscretização dos modelos estudados. Umas da vantagens desse elemento é poder discretizarapropriadamente contornos curvos. As funções de interpolação de ordem quadrática que repre-sentam esses elementos são escritas a seguir:

𝜑1 =1

2𝜉(𝜉 − 1) 𝜑2 = (1 − 𝜉2) 𝜑3 =

1

2𝜉(1 + 𝜉). (5.42)

Uma representação esquemática do elemento quadrático pode ser vista na Fig. (5.2).

1

2

3

x

y

1 2 3

-1 0 +1

Figura 5.2: Elemento quadrático contínuo de três nós.

Para integração sobre os elementos é necessário transformar as integrais para o sistemahomogêneo de coordenadas 𝜉, utilizando-se para isso o Jacobiano, que é descrito abaixo:

|𝐽 | =𝑑Γ

𝑑𝜉=

(𝑑𝑥

𝑑𝜉

)2

+

(𝑑𝑦

𝑑𝜉

)21/2

. (5.43)

67

5.2.2 Discretização das Equações Integrais Viscoelásticas para o Modelo deKelvin-Voigt

Como mostrado anteriormente, o primeiro passo para a discretização é subdividir o con-torno em 𝑁𝑒 elementos, dessa forma podemos reescrever as Eqs. (5.19) e (5.23), da seguinteforma:

𝐶𝑘𝑖𝑢𝑖() + 𝛾𝐶𝑘𝑖𝑖() =𝑁𝑒∑𝑙=1

∮Γ𝑙

𝑝𝛼𝑖 𝜑𝛼𝑢*

𝑘𝑖𝑑Γ𝑙 −𝑁𝑒∑𝑙=1

∮Γ𝑙

𝑢𝛼𝑖 𝜑

𝛼𝑝*𝑘𝑖𝑑Γ𝑙

−𝑁𝑒∑𝑙=1

𝛾

∮Γ𝑙

𝛼𝑖 𝜑

𝛼𝑝*𝑘𝑖𝑑Γ𝑙 +𝑁𝑒∑𝑙=1

𝑏𝑖

∮Γ𝑙

𝐵*𝑘𝑖𝑑Γ𝑙, (5.44)

𝜎𝑗𝑘() =𝑁𝑒∑𝑙=1

∮Γ𝑙

𝐷𝑖𝑗𝑘𝜑𝛼𝑝𝛼𝑖 𝑑Γ𝑙 −

𝑁𝑒∑𝑙=1

∮Γ𝑙

𝑆𝑖𝑗𝑘𝜑𝛼𝑢𝛼

𝑖 𝑑Γ𝑙 −𝑁𝑒∑𝑙=1

𝛾

∮Γ𝑙

𝑆𝑖𝑗𝑘𝜑𝛼𝛼

𝑖 𝑑Γ𝑙

+𝑁𝑒∑𝑙=1

𝑏𝑖

∮Γ𝑙

*𝑖𝑗𝑘𝑑Γ𝑙, (5.45)

onde o índice 𝛼 representa os nós sobre cada elemento. Tem-se assim a formulação de elementosde contorno discretizadas para o modelo viscoelástico de Kevin-Voigt.

A Eq. (5.44) é escrita para cada ponto nodal do contorno, dessa forma um sistema linearde equações algébricas é obtido. Tendo aplicado as condições de contorno, o sistema pode serresolvido para obter todos os valores desconhecidos, gerando assim uma solução aproximadados valores no contorno. Estabelecidas todas as relações para cada ponto fonte em relação a to-dos os pontos campos torna-se conveniente reescrever as Eqs (5.44) e (5.45) na forma matricialgeneralizada. Assim tem-se

[𝐻]𝑢(𝑡) + 𝛾[𝐻](𝑡) = [𝐺]𝑝(𝑡) + [𝐵]𝑏(𝑡), (5.46)

[𝜎(𝑡)] = []𝑝(𝑡) − []𝑢(𝑡) − 𝛾[](𝑡) + []𝑏(𝑡). (5.47)

Nessas equações, 𝑡 representa o tempo.

68

5.2.3 Discretização das Equações Integrais Viscoelásticas para o Modelo deBoltzmann

Para se obter a discretização das equações integrais viscoelásticas para o modelo de Boltz-mann, utiliza-se o mesmo desenvolvimento para o caso de Kelvin-Voigt. Assim, tendo subdividoo contorno em 𝑁𝑒 elementos, pode-se reescrever as equações integrais de deslocamentos Eq.(5.37) e tensões Eq. (5.39) da seguinte forma:

𝑢𝑘() =𝑁𝑒∑𝑙=1

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑣𝑒

∮Γ𝑙

𝑢*𝑘𝑖𝜑

𝛼𝑝𝛼𝑖 𝑑Γ𝑙−𝑁𝑒∑𝑙=1

∮Γ𝑙

𝑝*𝑘𝑖𝜑𝛼𝑢𝛼

𝑖 𝑑Γ𝑙−𝑁𝑒∑𝑙=1

𝛾

∮Γ𝑙

𝑝*𝑘𝑖𝜑𝛼𝛼

𝑖 𝑑Γ𝑙−𝛾𝑘()

+𝑁𝑒∑𝑙=1

𝛾

∮Γ𝑙

𝑢*𝑘𝑖𝜑

𝛼𝛼𝑖 𝑑Γ𝑙 +𝑁𝑒∑𝑙=1

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑣𝑒

𝑏𝑖

∮Γ𝑙

𝐵*𝑘𝑖𝑑Γ𝑙, (5.48)

𝜎𝑗𝑘() =𝑁𝑒∑𝑙=1

∮Γ𝑙

𝐷𝑖𝑗𝑘𝜑𝛼𝑝𝛼𝑖 𝑑Γ𝑙−

𝑁𝑒∑𝑙=1

𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

∮Γ𝑙

𝑆𝑖𝑗𝑘𝜑𝛼𝑢𝛼

𝑖 𝑑Γ𝑙−𝑁𝑒∑𝑙=1

𝛾𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

∮Γ𝑙

𝑆𝑖𝑗𝑘𝜑𝛼𝛼

𝑖 𝑑Γ𝑙

+𝑁𝑒∑𝑙=1

𝛾𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

∮Γ𝑙

𝐷𝑖𝑗𝑘𝜑𝛼𝛼𝑖 𝑑Γ𝑙 +

𝑁𝑒∑𝑙=1

𝑏𝑖

∮Γ𝑙

𝑖𝑗𝑘Γ𝑙 −𝛾𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

𝑗𝑘(). (5.49)

Sendo portanto a formulação de elementos de contorno para o modelo viscoelástico de Boltz-mann. Com a introdução das condições de contorno e estabelecido as relações entre cada pontofonte com todos os pontos campos, pode reescrever as Eqs (5.48) e (5.49) na forma matricial,resultando em

[𝐻]𝑢(𝑡) =𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑣𝑒

[𝐺]𝑝(𝑡) − 𝛾[𝐻](𝑡) + 𝛾[𝐺](𝑡) +𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑣𝑒

[𝐵]𝑏(𝑡), (5.50)

[𝜎(𝑡)] = []𝑝(𝑡) − 𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

[]𝑢(𝑡) − 𝛾𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

[](𝑡) +𝛾𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

[](𝑡)

+ []𝑏(𝑡) − 𝛾𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

[(𝑡)], (5.51)

onde 𝑡 representa o tempo.

69

5.3 Integração no Tempo

Para solucionar as equações diferenciais nas formas matriciais apresentadas na seção an-terior utilizou-se a integração no tempo através de um processo de marcha no tempo. A opçãode utilizar esse tipo de integração deve-se ao fato se tratar de um processo quase-estático linear,o qual considera as seguintes aproximações:

𝑠+1 =𝑢𝑠+1 − 𝑢𝑠

∆𝑡𝑠+1 =

𝑝𝑠+1 − 𝑝𝑠∆𝑡

,

𝑠+1 =𝜎𝑠+1 − 𝜎𝑠

∆𝑡𝑒𝑠+1 =

𝜎𝑒𝑠+1 − 𝜎𝑒

𝑠

∆𝑡.

(5.52)

Essas aproximações são utilizadas como meio de avanço no tempo, onde 𝑠 + 1 representa oinstante de tempo atual e ∆𝑡 o passo de tempo adotado.

5.3.1 Integração no Tempo das Equações Integrais Viscoelásticas para o Mo-delo de Kelvin-Voigt

Para solucionar as equações matriciais assumindo o modelo viscoelástico de Kelvin-Voigt, Eqs. (5.46) e (5.47), utilizam-se a primeira e a quarta expressão da Eq. (5.52),substituindo-se a primeira expressão na Eq. (5.46) resulta em

[]𝑢𝑠+1 = [𝐺]𝑝𝑠+1 + 𝐹𝑠, (5.53)

onde[] =

(1 +

𝛾

∆𝑡

)[𝐻], (5.54)

e o vetor 𝐹𝑠 é dado por

𝐹𝑠 = [𝐵]𝑏𝑠+1 +𝛾

∆𝑡[𝐻]𝑢𝑠. (5.55)

Tendo os valores iniciais conhecidos através da introdução das condições de contorno no do-mínio do tempo, que são intercambiadas entre as colunas das matrizes [] e [𝐺], o sistema deEqs. (5.53) é solucionado para o instante atual, resultando em valores que são utilizados no pró-ximo passo de tempo. Para calcular o estado de tensão viscoelástica total, usa-se a Eq. (5.47) naseguinte forma:

[𝜎]𝑠+1 = []𝑝𝑠+1 − []𝑢𝑠+1 − 𝛾[]𝑠+1 + []𝑏𝑠+1. (5.56)

Através do comportamento elástico linear assumido pela quarta expressão da Eq. (5.52)podemos obter a tensão elástica de forma separada utilizando a Eq. (5.28). Assim resulta

70

[𝜎]𝑒𝑠+1 =

([𝜎]𝑠+1 + 𝛾

Δ𝑡[𝜎]𝑒𝑠)(

1 + 𝛾Δ𝑡

) . (5.57)

Usando a relação apresentada na Eq. ( 3.63), pode-se encontrar de forma separada a tensãoviscosa presente no modelo de Kelvin-Voit, como apresentado a seguir:

[𝜎]𝑣𝑠+1 = [𝜎]𝑠+1 − [𝜎]𝑒𝑠+1. (5.58)

5.3.2 Integração no Tempo das Equações Integrais Viscoelásticas para o Mo-delo de Boltzmann

Para solucionar as equações matriciais assumindo o modelo viscoelástico de Boltzmann,Eqs. (5.50) e (5.51), utilizam-se as expressões da Eq. (5.52), substituindo a primeira expressãona Eq. (5.50) resulta em

[]𝑢𝑠+1 = []𝑝𝑠+1 + 𝐹𝑠, (5.59)

onde [] é o mesmo utilizado anteriormente na eq. ( 5.54) e

[] =

(𝛾

∆𝑡+

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑣𝑒

)[𝐺], (5.60)

e o vetor 𝐹𝑠 é dado por

𝐹𝑠 =𝛾

∆𝑡[𝐻]𝑢𝑠 −

𝛾

∆𝑡[𝐺]𝑝𝑠 +

𝐸𝑒 + 𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑣𝑒

[𝐵]𝑏𝑠+1. (5.61)

Novamente tendo os valores iniciais conhecidos através da introdução das condições de con-torno no domínio do tempo, porém dessa vez os valores inciais levam em consideração a defor-mação instantânea da parte elástica no modelo de Boltzmann, assim o sistema de Eqs. (5.59) ésolucionado para o instante atual, resultando em valores que são utilizados no próximo passode tempo.

Para calcular o estado de tensão viscoelástica total, usa-se a Eq. (5.51) na seguinte forma:

[𝜎]𝑠+1 =[1 + 𝛾𝐸𝑣𝑒

Δ𝑡(𝐸𝑒+𝐸𝑣𝑒)

]−1 [[]𝑝𝑠+1 − 𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒+𝐸𝑣𝑒[]𝑢𝑠+1 − 𝛾𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒+𝐸𝑣𝑒[]𝑠+1

]+[1 + 𝛾𝐸𝑣𝑒

Δ𝑡(𝐸𝑒+𝐸𝑣𝑒)

]−1 [𝛾𝐸𝑣𝑒

𝐸𝑒+𝐸𝑣𝑒[]𝑠+1 + []𝑏𝑠+1 + 𝛾𝐸𝑣𝑒

Δ𝑡(𝐸𝑒+𝐸𝑣𝑒)[𝜎]𝑠

]. (5.62)

Da mesma forma que usada anteriormente, podemos obter as tensões elástica e viscosa deforma separada, utilizando a Eq. (5.40) resulta em

71

[𝜎]𝑒𝑠+1 =

([𝜎]𝑠+1 + 𝛾

Δ𝑡[𝜎]𝑒𝑠)(

1 + 𝛾Δ𝑡

) , (5.63)

para tensão elástica do componente viscoelástico do modelo de Boltzmann e usando a Eq. (3.72)tem-se

[𝜎]𝑣𝑠+1 = [𝜎]𝑠+1 − [𝜎]𝑒𝑠+1, (5.64)

que é a tensão viscosa do componente viscoelástico do modelo de Boltzmann.

72

6 MEC Aplicado à Elasticidade e Viscoelasticidade Inhomogênea

Neste capítulo serão apresentadas somente os principais elementos das formulações doMEC aplicados à elasticidade e viscoelasticidade inhomogênea em duas dimensões, uma vezque o desenvolvimento dessas formulações é o mesmo usado para o caso homogêneo. Tendocomo única diferença entre os dois casos a inclusão da solução fundamental para meios inho-mogêneos, a qual apresenta poucos trabalhos relacionados na literatura. Portanto o enfoqueprincipal desse capítulo trata da obtenção dessa solução fundamental.

6.1 Solução Fundamental para Meios Inhomogêneos

CHAN et al. (2004) baseando-se no trabalho elaborado por MARTIN et al. (2002) so-bre funções de Green para materiais elásticos exponencialmente gradativos em três dimensões,obtiveram uma solução semelhante para duas dimensões como apresentada pela Eq. (6.1)

𝐺(𝑥,) ≈ 𝑒−𝛽·(𝑥+)[𝐺𝑠(|𝛽||𝑟|) + 𝐺𝑛𝑠(𝑥,)], (6.1)

onde 𝐺𝑠 e 𝐺𝑛𝑠 são os termos singular e não singular respectivamente, |𝛽| =√𝛽21 + 𝛽2

2 e |𝑟| =

|𝑥−|. A parte singular, 𝐺𝑠, contém as funções modificadas de Bessel 𝐾0(|𝛽||𝑟|) e 𝐾1(|𝛽||𝑟|).Note-se que a Eq. (6.1) obtida por CHAN et al. (2004) é uma solução fundamental (ou funçãode Green) aproximada (o que será demonstrado adiante). Esta solução procura reproduzir asingularidade no ponto fonte e o decaimento para zero no infinito. Obtem-se uma decomposiçãoem uma função 𝐺𝑠, singular na fonte e com decaimento a zero no infinito, e uma função 𝐺𝑛𝑠

que não é singular e que também decai a zero no infinito. Assim obtém-se de forma aproximadaa solução de um carga concentrada ao se substituir 𝐺(𝑥,) no operador ℒ, apresentado nocapítulo 4, de maneira semelhante à solução de Kelvin para o meio homogêneo. O uso dasfunções de Bessel é consistente com vários operadores diferenciais já conhecidos para materiaisgradativos, como por exemplo no caso da equação escalar, que governa o campo de temperaturaem materias exponencialmente gradativos.

6.1.1 Desenvolvimento da Parte não Singular de G

Para formular de uma maneira geral a solução fundamental apresentada pela Eq. (6.1),partimos das equações diferenciais parciais definidas nas Eqs. (4.18) ou (4.19). A função deGreen é obtida solucionando essas equações diferenciais parciais no plano 𝑥 = (𝑥,𝑦) sob umaforça concentrada atuando em um ponto = (,𝑦). A função de Green para o deslocamento noplano tem a seguinte forma:

73

𝐺 =

[𝑢1 𝑢2

𝑣1 𝑣2.

](6.2)

Os componentes da solução de Green aproximada 𝑢𝑖 e 𝑣𝑖 satisfazem

𝐸𝑞1

𝐸𝑞2

= ℒ

[𝑢1

𝑣1

]≈ −𝑒−2𝛽·𝑥

[𝛿(𝑥− )

0

],

𝐸𝑞3

𝐸𝑞4

= ℒ

[𝑢2

𝑣2

]≈ −𝑒−2𝛽·𝑥

[0

𝛿(𝑥− )

],

(6.3)

onde 𝛿(𝑥) refere-se a função delta de Dirac. Para materiais homogêneos, tem-se que 𝛽1 = 𝛽2 =

0, logo a Eq. ( 6.3) perde o termo gradativo (𝑒2𝛽·𝑥) com ℒ = ℒ0 e as componentes 𝑢𝑖 e 𝑣𝑖

tornam-se a solução de Kelvin.

Para solucionar as equações apresentadas na Eq. (6.3) é utilizado o método da transfor-mada de Fourier, o qual transforma as equações diferenciais ordinárias em equações algébricasordinárias. Após solução do problema essas equações são transformadas de maneira inversa.Assim podem-se usar as seguintes equações

ℱ(𝑓)(𝜉1,𝜉2) = 𝑓(𝜉) =

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞𝑓(𝑥,𝑦)𝑒𝑖(𝑥 𝜉1+𝑦 𝜉2)𝑑𝑥𝑑𝑦, (6.4)

onde 𝑓(𝜉) é a transformada de Fourier de uma função 𝑓(𝑥,𝑦) no sistema de coordenadas (𝜉) ea transformada inversa de Fourier da função 𝑓(𝜉) é definida como

ℱ−1(𝑓)(𝑥,𝑦) = 𝑓(𝑥) =1

4𝜋2

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞𝑓(𝜉1,𝜉2)𝑒

−𝑖(𝑥 𝜉1+𝑦 𝜉2)𝑑𝜉1𝑑𝜉2. (6.5)

Usando a Eq. (6.4) para transformar a Eq. (6.3) obtém-se:

𝜇0

([(𝜅+1𝜅−1

)𝜉21 + 𝜉22

2𝜉1𝜉2𝜅−1

2𝜉1𝜉2𝜅−1

𝜉21 +(𝜅+1𝜅−1

)𝜉22

]+ 2𝑖

[𝛽1

𝜅+1𝜅−1

𝜉1 + 𝛽2𝜉2 𝛽2𝜉1 + 𝛽13−𝜅𝜅−1

𝜉2

𝛽23−𝜅𝜅−1

𝜉1 + 𝛽1𝜉2 𝛽1𝜉1 + 𝛽2𝜅+1𝜅−1

𝜉2

])[1

𝑣1

]

= 𝑒−2𝛽

[𝑒𝑖𝜉

0

], (6.6)

74

e

𝜇0

([(𝜅+1𝜅−1

)𝜉21 + 𝜉22

2𝜉1𝜉2𝜅−1

2𝜉1𝜉2𝜅−1

𝜉21 +(𝜅+1𝜅−1

)𝜉22

]+ 2𝑖

[𝛽1

𝜅+1𝜅−1

𝜉1 + 𝛽2𝜉2 𝛽2𝜉1 + 𝛽13−𝜅𝜅−1

𝜉2

𝛽23−𝜅𝜅−1

𝜉1 + 𝛽1𝜉2 𝛽1𝜉1 + 𝛽2𝜅+1𝜅−1

𝜉2

])[2

𝑣2

]

= 𝑒−2𝛽

[0

𝑒𝑖𝜉

]. (6.7)

Com os resultados dos termos 1, 𝑣1, 2 e 𝑣2 obtidos através da transformada de Fourierpodem-se desenvolver as soluções para 𝑢1, 𝑣1, 𝑢2 e 𝑣2 usando a transformada inversa de Fourier,como apresentada na Eq. (6.5), nas Eqs (6.6) e (6.7). Dessa maneira e com uma extensa álgebra,que pode ser vista em CHAN et al. (2004), encontra-se uma aproximação do tensor de Green.Como ilustração tem-se o desenvolvimento para o termo 𝑢1(𝑥,):

𝑢1(𝑥,) =𝑒−𝛽·(𝑥+)

4𝜋2𝜇0(𝜅 + 1)

×∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

(𝜅− 1)(𝜉21 + 𝛽21) + (𝜅 + 1)(𝜉22 + 𝛽2

2)

∆𝑒−𝑖𝜉·(𝑥−)𝑑𝜉1𝑑𝜉2, (6.8)

onde

∆ = (|𝜉|2 + |𝛽|2)2 +4(3 − 𝜅)

𝜅 + 1(𝛽2𝜉1 − 𝛽1𝜉2)

2, |𝜉|2 = 𝜉21 + 𝜉22 , |𝛽|2 = 𝛽21 + 𝛽2

2 . (6.9)

GRAY et al. (2003) sugerem que a fração no integrando da Eq. (6.8) seja decomposta daseguinte forma

(𝜅− 1)(𝜉21 + 𝛽21) + (𝜅 + 1)(𝜉22 + 𝛽2

2)

∆= 𝑈 𝑠

1 + 𝑈𝑛𝑠1 , (6.10)

onde o termo singular 𝑈 𝑠1 é definido por

𝑈 𝑠1 =

(𝜅− 1)(𝜉21 + 𝛽21) + (𝑘 + 1)(𝜉22 + 𝛽2

2)

(|𝜉|2 + |𝛽|2)2, (6.11)

podendo-se assim isolar o termo 𝑈𝑛𝑠1 na Eq. (6.10) e obter o termo não singular como

𝑈𝑛𝑠1 =

(𝜅− 1)(𝜉21 + 𝛽21) + (𝜅 + 1)(𝜉22 + 𝛽2

2)

∆− (𝜅− 1)(𝜉21 + 𝛽2

1) + (𝜅 + 1)(𝜉22 + 𝛽22)

(|𝜉|2 + |𝛽|2)2. (6.12)

75

Utilizando-se várias integrais analíticas fornecidas por CHAN et al. (2004), como por exemplo

1

𝜋

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

𝜉21 + 𝜉22(|𝜉|2 + |𝛽|2)2

𝑒−𝑖𝜉·𝑟𝑑𝜉1𝑑𝜉2 = 2𝐾0(|𝛽||𝑟|) − |𝛽||𝑟||𝐾1(|𝛽||𝑟|), (6.13)

chega-se ao seguinte resultado analítico para a parte singular

1

𝜋

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞𝑈 𝑠1 (𝜉1,𝜉2)𝑒

−𝑖𝜉·𝑟𝑑𝜉1𝑑𝜉2 = 2𝜅𝐾0(|𝛽||𝑟|) − 𝜅|𝛽||𝑟||𝐾1(|𝛽||𝑟|)

+ |𝛽|(𝑥1 − 1)2 − (𝑥2 − 2)

2

|𝑟|𝐾1(|𝛽||𝑟|) +

(𝜅− 1)𝛽21 + (𝜅 + 1)𝛽2√𝛽21 + 𝛽2

2

|𝑟|𝐾1(|𝛽||𝑟|), (6.14)

correspondendo ao termo 𝑢𝑠1(𝑥,) da Eq. (6.8). O termo 𝑟 = (𝑟1,𝑟2) corresponde a (𝑥 − ).

Pode-se notar que quando |𝑟| → 0 a função de Bessel apresenta a singularidade logarítmicadesejada.

Para obter o termo não singular 𝑢𝑛𝑠1 (𝑥,) pode-se expressar a integral dupla de Fourier da

Eq. (6.12) em uma combinação linear de integrais simples de Fourier, usando integração de con-torno no plano complexo para integrar uma das variáveis 𝜉1, enquanto a outra 𝜉2 é considerada.Para simplificar a exposição dos resultados assume-se 𝛽2 = 0. Assim temos

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

−𝜂𝛽21𝜉

22 [(𝜅− 1)(𝜉21 + 𝛽2

1) + (𝑘 + 1)𝜉22 ]

[(𝜉21 + 𝜉22 + 𝛽21)2 + 𝜂𝛽2

1𝜉22 ](𝜉21 + 𝜉22 + 𝛽2

1)2𝑒−𝑖𝜉·𝑟𝑑𝜉1𝑑𝜉2, (6.15)

onde 𝜂 = 4(3−𝜅)/(𝜅+1). Através de uma análise simples nota-se que a fração contém 3 poloslocalizados no plano médio superior, esses polos são definidos usando o método de Euler parasolução de equações de quarto grau, obtendo dois polos simples

𝑝1 =1

2

√2(𝒫 + 𝑖𝒬), 𝑝2 =

1

2

√2(𝑖𝒬−𝒫),

e um polo de segunda ordem,

𝑝3 = 𝑖√𝜉22 + 𝛽2

1 ,

onde os termos 𝒫 e 𝒬 são definidos por

𝒫 =

√√(𝜉22 + 𝛽2

1)2 + 𝜂𝛽21𝜉

22 − 𝜉22 − 𝛽2

1 , (6.16)

e

𝒬 =

√√(𝜉22 + 𝛽2

1)2 + 𝜂𝛽21𝜉

22 + 𝜉22 + 𝛽2

1 . (6.17)

Como foi comentado antes, o numerador da Eq. (6.15) é formado por uma combinaçãolinear dos termos 𝜉22 , 𝜉21𝜉

22 e 𝜉42 , os quais podem ser integrados separadamente para se obter os

resíduos através da integração no plano complexo para a variável 𝜉1. Integrando-se esses termos

76

separadamente tem-se

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

𝜉22𝑒−𝑖𝜉·𝑟

[(𝜉21 + 𝜉22 + 𝛽21)2 + 𝜂𝛽2

1𝜉22 ](𝜉21 + 𝜉22 + 𝛽2

1)2𝑑𝜉1𝑑𝜉2

= − 𝜋

2𝜂𝛽21

∫ ∞

−∞

[√2𝑒

√2𝑟1𝒬/2[𝒫 cos(1

2

√2𝑟1𝒫) −𝒬 sin(1

2

√2𝑟1𝒫)]

√𝜂|𝛽1||𝜉2|

√(𝜉22 + 𝛽2

1)2 + 𝜂𝛽21𝜉

22

+𝑒𝑟1

√𝜉22+𝛽2

1 [𝑟1(𝜉22 + 𝛽2

1) −√𝜉22 + 𝛽2

1 ]

(𝜉22 + 𝛽21)2

]𝑒−𝑖𝑟2𝜉2𝑑𝜉2, (6.18)

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

𝜉42𝑒−𝑖𝜉·𝑟

[(𝜉21 + 𝜉22 + 𝛽21)2 + 𝜂𝛽2

1𝜉22 ](𝜉21 + 𝜉22 + 𝛽2

1)2𝑑𝜉1𝑑𝜉2

= − 𝜋

2𝜂𝛽21

∫ ∞

−∞

[√2|𝜉2|𝑒

√2𝑟1𝒬/2[𝒫 cos(1

2

√2𝑟1𝒫) −𝒬 sin(1

2

√2𝑟1𝒫)]

√𝜂|𝛽1|

√(𝜉22 + 𝛽2

1)2 + 𝜂𝛽21𝜉

22

+𝜉22𝑒

𝑟1√

𝜉22+𝛽21 [𝑟1(𝜉

22 + 𝛽2

1) −√𝜉22 + 𝛽2

1 ]

(𝜉22 + 𝛽21)2

]𝑒−𝑖𝑟2𝜉2𝑑𝜉2, (6.19)

e ∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

𝜉21𝜉22𝑒

−𝑖𝜉·𝑟

[(𝜉21 + 𝜉22 + 𝛽21)2 + 𝜂𝛽2

1𝜉22 ](𝜉21 + 𝜉22 + 𝛽2

1)2𝑑𝜉1𝑑𝜉2

= − 𝜋

𝜂𝛽21

∫ ∞

−∞

[√2𝑒

√2𝑟1𝒬/2[𝒫 cos(1

2

√2𝑟1𝒫) + 𝒬 sin(1

2

√2𝑟1𝒫)]

2√𝜂|𝛽1||𝜉2|

− 𝑒𝑟1√

𝜉22+𝛽21 [𝑟1(𝜉

22 + 𝛽2

1) +√𝜉22 + 𝛽2

1 ]

2(𝜉22 + 𝛽21)2

]𝑒−𝑖𝑟2𝜉2𝑑𝜉2. (6.20)

Estas integrais de Fourier na variável 𝜉2 podem ser solucionadas de maneira numérica por al-gorítimo específico, como será visto mais adiante. A mesma metodologia pode ser aplicada aotermo 𝑣2 do tensor de Green. Assim como 𝑢1 o termo 𝑣2 é também singular.

O termo 𝑣1 da solução aproximada de Green não apresenta singularidade, desta forma não

77

é necessária a decomposição em parte singular e não singular.

Usando a transformada de Fourier inversa na Eq. (6.6), obtém-se a aproximação para otermo 𝑣1 do tensor de Green, como segue:

𝑣1(𝑥,) =𝑒−𝛽·(𝑥+)

2𝜋2𝜇0(𝑘 + 1)

×∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

𝑖(2 − 𝑘)(𝛽2𝜉1 − 𝛽1𝜉2) − (𝜉1𝜉2 + 𝛽1𝛽2)

∆𝑒−𝑖𝜉·𝑟𝑑𝜉1𝑑𝜉2, (6.21)

o termo ∆ é o mesmo definido na Eq. (6.9).

Para obtermos o termo 𝑣1, a fração do integrando da Eq. (6.21) é subdivida em duas partes,𝑉 01 e 𝑉 𝑛𝑠

1 , com a finalidade de melhorar a performance numérica e permitir o desenvolvimentoda derivada segunda desse termo. O termo 𝑉 0

1 é definido como:

𝑉 01 =

𝑖(2 − 𝜅)(𝛽2𝜉1 − 𝛽1𝜉2) − (𝜉1𝜉2 + 𝛽1𝛽2)

(|𝜉|2 + |𝛽|2)2, (6.22)

e o termo 𝑉 𝑛𝑠1 pode ser definido como:

𝑉 𝑛𝑠1 =

𝑖(2 − 𝜅)(𝛽2𝜉1 − 𝛽1𝜉2) − (𝜉1𝜉2 + 𝛽1𝛽2)

∆

− 𝑖(2 − 𝜅)(𝛽2𝜉1 − 𝛽1𝜉2) − (𝜉1𝜉2 + 𝛽1𝛽2)

(|𝜉|2 + |𝛽|2)2. (6.23)

O termo 𝑉 01 é integrado utilizando-se algumas integrais analíticas disponíveis em CHAN et al.

(2004), obtendo-se a seguinte equação:

1

𝜋

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞𝑉 01 𝑒

−𝑖𝜉·𝑟𝑑𝜉1𝑑𝜉2

= (2 − 𝜅)(𝛽2

𝑟1|𝑟|

− 𝛽1𝑟2|𝑟|

)|𝑟|𝐾0(|𝛽||𝑟|) +

(𝑟1𝑟2|𝑟|2

|𝛽| − 𝛽1𝛽2

|𝛽|

)|𝑟|𝐾1(|𝛽||𝑟|). (6.24)

Para integrar o termo 𝑉 𝑛𝑠1 , é utilizado o processo de integração de contorno no plano complexo

visto anteriormente para o termo 𝑈𝑛𝑠1 , onde a integral dupla de Fourier é reduzida em uma

combinação linear de integrais simples de Fourier. Assim, escrevendo o termo 𝑉 𝑛𝑠1 em uma

única fração temos:

𝑉 𝑛𝑠1 =

−𝜂(𝛽2𝜉1 − 𝛽1𝜉2)2[𝑖(2 − 𝜅)(𝛽2𝜉1 − 𝛽1𝜉2) − (𝜉1𝜉2 + 𝛽1𝛽2)]

∆(|𝜉|2 + |𝛽|2)2. (6.25)

78

Assumindo a seguinte mudança de variáveis:

𝜉1 =𝛽1

|𝛽|𝑠1 −

𝛽2

|𝛽|𝑠2 𝜉2 =

𝛽2

|𝛽|𝑠1 +

𝛽1

|𝛽|𝑠2 (6.26)

A Eq. (6.25) é então reescrita:

𝑉 𝑛𝑠1 =

−𝜂|𝛽|2𝑠22[−𝑖(2 − 𝜅)|𝛽|𝑠2 − 𝛽1𝛽2|𝛽|−2𝑠21 − (𝛽21 − 𝛽2

2)|𝛽|−2𝑠1𝑠2 + 𝛽1𝛽2|𝛽|−2𝑠22 − 𝛽1𝛽2]

[(𝑠21 + 𝑠22 + |𝛽|2)2 + 𝜂|𝛽|2𝑠22](𝑠21 + 𝑠22 + |𝛽|2)2.

(6.27)

Com o objetivo de ilustrar o termo 𝑣𝑛𝑠1 , uma simplificação dos cálculos é obtida assumindo-se𝛽2 = 0, assim temos:

𝑣𝑛𝑠1 =

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞𝑉 𝑛𝑠1 𝑒−𝑖𝑠·𝑟𝑑𝑠1𝑑𝑠2. (6.28)

De maneira análoga ao caso anterior, a integral dupla de Fourier é reduzida a um conjunto deintegrais simples de Fourier através da integração dos termos separados, 𝑠32𝑒𝑠

21𝑠

22, na variável 𝑠1

e fixando 𝑠2 . As integrais duplas dos termos separados são apresentadas a seguir:

−𝑖𝜂(2 − 𝜅)|𝛽1|3

𝜋

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

𝑠32𝑒−𝑖𝑠·𝑟

[(𝑠21 + 𝑠22 + 𝛽21)2 + 𝜂𝛽2

1𝑠22](𝑠

21 + 𝑠22 + 𝛽2

1)2𝑑𝑠1𝑑𝑠2

=𝑖(2 − 𝜅)|𝛽1

2

∫ ∞

−∞

[sgn(𝑠2)

√2𝑒

√2𝑟1𝒬/2[𝒫 cos(1

2

√2𝑟1𝒫) −𝒬 sin(1

2

√2𝑟1𝒫)]

√𝜂|𝛽1|

√(𝑠22 + 𝛽2

1)2 + 𝜂𝛽21𝑠

22

+𝑠2𝑒

𝑟1√

𝑠22+𝛽21 [𝑟1(𝑠

22 + 𝛽2

1) −√𝑠22 + 𝛽2

1 ]

(𝑠22 + 𝛽21)2

]𝑒−𝑖𝑟2𝑠2𝑑𝑠2, (6.29)

𝜂𝛽21

𝜋

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

𝑠21𝑠22𝑒

−𝑖𝑠·𝑟

[(𝑠21 + 𝑠22 + 𝛽21)2 + 𝜂𝛽2

1𝑠22](𝑠

21 + 𝑠22 + 𝛽2

1)2𝑑𝑠1𝑑𝑠2

= 𝑖

∫ ∞

−∞

[𝑒√2𝑟1𝒬/2 sin(1

2

√2𝑟1𝒫)

sgn(𝑠2)√𝜂|𝛽1|

− 𝑠2𝑒𝑟1√

𝑠22+𝛽21𝑟1√𝑠22 + 𝛽2

1

2(𝑠22 + 𝛽21)

]𝑒−𝑖𝑟2𝑠2𝑑𝑠2. (6.30)

79

O termo sgn(𝑠2) representa a função sinal, sendo definida por

sgn(𝑠2) =

⎧⎨⎩1, 𝑠2 > 0

−1, 𝑠2 < 0.

Os termos 𝑣2 e 𝑢2 são obtidos pelo mesmo processo da transformada inversa de Fourierutilizado para obter os termos 𝑢1 e 𝑣1, respectivamente. De maneira análoga à solução fun-damental de Kelvin da elasticidade homogênea para o deslocamento, os termos 𝑢1 e 𝑣2 sãosingulares e 𝑣1 e 𝑢2 são não singulares.

6.1.2 Solução Numérica das Integrais Simples de Fourier

Ao utilizar a função de Green aproximada para análise no MEC, torna-se necessário aimplementação numérica das integrais simples de Fourier contidas nos termos 𝑢1, 𝑣1, 𝑢2 e𝑣2. Assim CHAN et al. (2004) propõem o uso do algorítimo FFT (Fast Fourier Transform)(BRIGHAM (1974)) como método de solução. O algorítimo é definido como:

Dada uma integral de Fourier simples

𝐻(𝑟) =

∫ ∞

0

ℎ(𝜉)𝑒−𝑖𝜉𝑟𝑑𝜉 (6.31)

aproxima-se numericamente essa equação por uma versão discreta

𝐻

(2𝜋𝑘

𝐿

)≈

𝑁−1∑𝑛=0

ℎ

(𝑛𝐿

𝑁

)𝑒−𝑖2𝜋𝑛𝑘/𝑁 𝐿

𝑁, 𝑘 = 1,2, · · · ,𝑁. (6.32)

onde [0,𝐿] é um intervalo de truncagem apropriado e 𝑁 é o número de valores amostrais conse-cutivos. Na prática escolhe-se 𝑁 como uma potência de 2, o que reduz a custo computacionalde 𝑂(𝑁2) a 𝑂(𝑁 log2𝑁) de acordo com COOLEY e TUKEY (1965).

6.1.3 Avaliação da Função G

Com a finalidade de demonstrar que o tensor contendo as soluções 𝑢1, 𝑣1, 𝑢2 e 𝑣2 é umaaproximação da função de Green, ou seja, a Eq. (6.3) não é atendida de forma exata, ilustram-se análises das soluções obtidas considerando o caso quando 𝜅 = 3, o qual corresponde aocaso especial com 𝜈 = 0. Assim, avaliando o termo 𝑢1, nota-se que a Eq. (6.9) torna-se ∆ =

(|𝜉|2 + |𝛽|2)2, resultando em 𝑢1 = 𝑈 𝑠1 , o que elimina a parte não singular que é obtida por

solução numérica. Igualmente, assumindo-se 𝜅 = 3, o termo 𝑣1 pode ser obtido analiticamente,

80

sem integrações numéricas.

𝑢1(𝑥,) =𝑒−𝛽(𝑥+)

16𝜋𝜇0

[6𝐾0(|𝛽||𝑟|) − 3|𝛽||𝑟||𝐾1(|𝛽||𝑟|)

+ |𝛽|(𝑥1 − 1)2 − (𝑥2 − 2)

2

|𝑟|𝐾1(|𝛽||𝑟|) +

2𝛽21 + 4𝛽2

2√𝛽21 + 𝛽2

2

|𝑟|𝐾1(|𝛽||𝑟|)

], (6.33)

𝑣1(𝑥,) =𝑒−𝛽(𝑥+)

8𝜋𝜇0

[−(𝛽2

𝑥1 − 1

|𝑟|− 𝛽1

𝑥2 − 2

|𝑟|

)|𝑟|𝐾0(|𝛽||𝑟|)+

((𝑥1 − 1)

|𝑟|(𝑥2 − 2)

|𝑟||𝛽| − 𝛽1𝛽2

|𝛽|

)|𝑟|𝐾1(|𝛽||𝑟|)

], (6.34)

𝑢2(𝑥,) =𝑒−𝛽(𝑥+)

8𝜋𝜇0

[(𝛽2

𝑥1 − 1

|𝑟|− 𝛽1

𝑥2 − 2

|𝑟|

)|𝑟|𝐾0(|𝛽||𝑟|)+

((𝑥1 − 1)

|𝑟|(𝑥2 − 2)

|𝑟||𝛽| − 𝛽1𝛽2

|𝛽|

)|𝑟|𝐾1(|𝛽||𝑟|)

], (6.35)

𝑣2(𝑥,) =𝑒−𝛽(𝑥+)

16𝜋𝜇0

[6𝐾0(|𝛽||𝑟|) − 3|𝛽||𝑟||𝐾1(|𝛽||𝑟|)

+ |𝛽|(𝑥2 − 2)2 − (𝑥1 − 1)

2

|𝑟|𝐾1(|𝛽||𝑟|) +

2𝛽21 + 4𝛽2

2√𝛽21 + 𝛽2

2

|𝑟|𝐾1(|𝛽||𝑟|)

], (6.36)

Introduzindo-se 𝑢1, 𝑣1, 𝑢2 e 𝑣2 na Eq. ( 6.3), onde ℒ = ℒ0 + ℒ𝑔 sáo definidos pela Eq. ( 4.18),e por simplificação assumindo 𝛽2 = 0 e ponto fonte na origem ( = 0), tem-se:

𝐸𝑞1(𝑥,) = 𝑒−𝑥1𝛽1𝛽21 [−|𝑟|(|𝑟|2 − 𝑥1𝑥

22𝛽1)𝐾0(|𝑟||𝛽|)+

(−𝑥31 + 𝑥1𝑥

22 + 𝑥2

1𝑥22𝛽1 + 𝑥4

2𝛽1)𝐾1(|𝑟||𝛽|)]/(4𝜋|𝑟|3), (6.37)

81

𝐸𝑞2(𝑥,) = 𝑒−𝑥1𝛽1𝑥2𝛽21 [𝑥2

2𝛽1𝐾0(|𝑟||𝛽|) − (5𝑥21 + 3𝑥2

2)𝐾1(|𝑟||𝛽|)]/(4𝜋|𝑟|3),(6.38)

𝐸𝑞3(𝑥,) = 𝑒−𝑥1𝛽1𝑥2𝛽21 [𝑥2

2𝛽1𝐾0(|𝑟||𝛽|) + (𝑥21 + 3𝑥2

2)𝐾1(|𝑟||𝛽|)]/(4𝜋|𝑟|3),(6.39)

𝐸𝑞4(𝑥,) = 𝑒−𝑥1𝛽1𝛽21 [−|𝑟|(|𝑟|2 + 𝑥1𝑥

22𝛽1)𝐾0(|𝑟||𝛽|)+

(𝑥31 − 𝑥1𝑥

22 + 𝑥2

1𝑥22𝛽1 + 𝑥4

2𝛽1)𝐾1(|𝑟||𝛽|)]/(4𝜋|𝑟|3). (6.40)

Uma avaliação numérica é desenvolvida para se ter uma amplitude do erro envolvido,como pode ser visto na Tabela 6.1.

Tabela 6.1: Avaliação da Função de Green Aproximada

𝜇0 𝛽1 𝑥1 𝑥2 𝐸𝑞1 𝐸𝑞2 𝐸𝑞3 𝐸𝑞4

94500 1 1 1 0.0030036 -0.0225157 0.0165085 -0.003997394500 0.1 1 1 -0.0010771 -0.0139542 0.0070898 -0.0012274

Nota-se numericamente que a Eq. (6.3), para 𝑟 > 0, não é atendida. Portanto, pode-seinferir que a função 𝐺 obtida corresponde a uma aproximação da função de Green. A fun-ção de Green é aproximada, uma vez que não atende identicamente o operador homogêneo,ℒ𝑢𝑖 𝑣𝑖𝑇 = 0, para 𝑟 = 0.

6.2 Aplicação do MEC ao Meio Inhomogêneo

O desenvolvimento da formulação do MEC aplicada a meios elásticos inhomogêneos é omesmo utilizado para os meios elásticos homogêneos apresentado em (BREBBIA e DOMIN-GUEZ (1989)).

6.2.1 Inhomogêneo Elástico

Para o desenvolvimento das equações integrais de contorno em meios elásticos inhomo-gêneos tem-se como ponto de partida as equações diferenciais de equilíbrio da elasto-estática,definidas pela Eq. (5.1), onde é reescrita na forma de componentes de deslocamentos, resultando

82

na equação de Navier para o caso isotrópico inhomogêne, como segue:

[𝜆(𝑥)𝛿𝑖𝑗𝑢𝑘,𝑘 + 𝜇(𝑥)(𝑢𝑗,𝑖 + 𝑢𝑖,𝑗)],𝑗 + 𝑏𝑖 = 0. (6.41)

Usando o método dos resíduos ponderados para minimizar o erro envolvido e adotando comofunção ponderadora 𝑢*

𝑖 , que corresponde a solução fundamental de Kelvin para meios elásticos,tem-se ∫

Ω

[𝜆(𝑥)𝛿𝑖𝑗𝑢𝑘,𝑘 + 𝜇(𝑥)(𝑢𝑗,𝑖 + 𝑢𝑖,𝑗)],𝑗 + 𝑏𝑖𝑢*𝑖 𝑑Ω = 0. (6.42)

Usando o teorema de Green no primeiro termo, resulta em∮Γ

[𝜆(𝑥)𝛿𝑖𝑗𝑢𝑘,𝑘 + 𝜇(𝑥)(𝑢𝑗,𝑖 + 𝑢𝑖,𝑗)]𝑛𝑗𝑢*𝑖 𝑑Γ −

∫Ω

[𝜆(𝑥)𝛿𝑖𝑗𝑢𝑘,𝑘 + 𝜇(𝑥)(𝑢𝑗,𝑖 + 𝑢𝑖,𝑗)]𝑢*𝑖,𝑗𝑑Ω

+

∫Ω

𝑏𝑖𝑢*𝑖 𝑑Ω = 0. (6.43)

Sabendo-se que,𝜆(𝑥)𝛿𝑖𝑗𝑢𝑘,𝑘 + 𝜇(𝑥)(𝑢𝑗,𝑖 + 𝑢𝑖,𝑗) = 𝜎𝑖𝑗, (6.44)

assim como as relações 𝜎𝑖𝑗𝑛𝑗 = 𝑝𝑖 e 𝜎𝑖𝑗𝑢*𝑖,𝑗 = 𝜎𝑖𝑗𝜀

*𝑖𝑗 , pode-se reescrever a Eq. ( 6.43) como∮

Γ

𝑝𝑖𝑢*𝑖 𝑑Γ −

∫Ω

[𝜆(𝑥)𝛿𝑖𝑗𝑢𝑘,𝑘 + 𝜇(𝑥)(𝑢𝑗,𝑖 + 𝑢𝑖,𝑗)]𝜀*𝑖𝑗𝑑Ω +

∫Ω

𝑏𝑖𝑢*𝑖 𝑑Ω = 0. (6.45)

Integrando-se por partes o segundo termo da Eq. (6.45)∫Ω

[𝜆(𝑥)𝛿𝑖𝑗𝑢*𝑘,𝑘 + 𝜇(𝑥)(𝑢*

𝑗,𝑖 + 𝑢*𝑖,𝑗)],𝑗𝑢𝑖𝑑Ω +

∫Ω

𝑏𝑖𝑢*𝑖 𝑑Ω = −

∮Γ

𝑝𝑖𝑢*𝑖 𝑑Γ +

∮Γ

𝑝*𝑖𝑢𝑖𝑑Γ. (6.46)

Note-se que para obter a Eq. (6.46) usou-se o teorema recíproco de Betti, onde a relação 𝜎𝑖𝑗𝜀*𝑖𝑗 =

𝜎*𝑖𝑗𝜀𝑖𝑗 também é válida para o caso anisotrópico linear inhomogêneo. Assim, para uma carga

concentrada aplicada em um ponto,tem-se:∫Ω

[𝜆(𝑥)𝛿𝑖𝑗𝑢*𝑘,𝑘+𝜇(𝑥)(𝑢*

𝑗𝑚,𝑖+𝑢*𝑖𝑚,𝑗)],𝑗𝑢𝑖𝑑Ω = −

∫Ω

𝛿𝑚𝑖𝛿(𝑥−)𝑢𝑖(𝑥)𝑑Ω = −𝑢𝑚(). (6.47)

Inserindo-se a Eq. ( 6.47) na Eq. ( 6.46), resulta em:

𝑢𝑚() +

∮Γ

𝑝*𝑚𝑖(𝑥.)𝑢𝑖(𝑥)𝑑Γ =

∮Γ

𝑢*𝑚𝑖(𝑥,)𝑝𝑖(𝑥)𝑑Γ +

∫Ω

𝑢*𝑚𝑖(𝑥,)𝑏𝑖(𝑥)𝑑Ω. (6.48)

Esta equação representa a identidade Somigliana, a qual fornece os valores dos deslo-camentos em qualquer ponto interno em termos dos valores do contorno, 𝑢𝑖 e 𝑝𝑖, da força decorpo, 𝑏𝑖 e da solução fundamental. Essa equação é válida para qualquer ponto onde a força éaplicada.

83

A equação integral para os nós do contorno é escrita da seguinte maneira:

𝐶𝑚𝑖𝑢𝑚() +

∮Γ

𝑝*𝑚𝑖(𝑥.)𝑢𝑖(𝑥)𝑑Γ =

∮Γ

𝑢*𝑚𝑖(𝑥,)𝑝𝑖(𝑥)𝑑Γ +

∫Ω

𝑢*𝑚𝑖(𝑥,)𝑏𝑖(𝑥)𝑑Ω, (6.49)

onde 𝐶𝑚𝑖 é o termo livre e é o mesmo usado para o caso homogêneo.

Nas Eqs. (6.48) e (6.49) os termos 𝑢*11, 𝑢

*21, 𝑢*

12 e 𝑢*22 referem-se aos termos 𝑢1, 𝑣1, 𝑢2 e 𝑣2

do tensor função de Green aproximada definida anteriormente. O tensor solução fundamentalde tração, 𝑝*𝑚𝑖, é obtido através da transformação de tensão de Cauchy em termos das derivadasda solução fundamental para o deslocamento, podendo ser escrito como:

𝑝*𝑚𝑖[𝜆(𝑥)𝛿𝑖𝑗𝑢*𝑘,𝑘 + 𝜇(𝑥)(𝑢*

𝑗𝑚,𝑖 + 𝑢*𝑖𝑚,𝑗)]𝑛𝑗. (6.50)

Usando as Eqs. ( 4.1) e ( 4.11), a Eq. ( 6.50) é reescrita de uma maneira geral como:

𝑝*𝑚𝑖 = 𝜇0𝑒2𝛽·𝑥

[3 − 𝜅

𝜅− 1𝑢*𝑘𝑚,𝑘𝑛𝑖 + (𝑢*

𝑖𝑚,𝑗 + 𝑢*𝑗𝑚,𝑖)𝑛𝑗

]. (6.51)

Aplicando o processo de discretização do contorno e utilizando o elemento quadráticocontínuo isoparamétrico de três nós apresentado no capítulo 5, podemos escrever a Eq. (6.49)na sua forma discretizada da seguinte maneira:

𝐶𝑚𝑖𝑢𝑖() =𝑁𝑒∑𝑙=1

∫Γ𝑙

𝑝𝛼𝑖 𝜑𝛼𝑢*

𝑚𝑖𝑑Γ𝑙 −𝑁𝑒∑𝑙=1

∫Γ𝑙

𝑢𝛼𝑖 𝜑

𝛼𝑝*𝑚𝑖𝑑Γ𝑙 +

∫Ω

𝑢*𝑚𝑖(𝑥,)𝑏𝑖(𝑥)𝑑Ω. (6.52)

A partir dessa equação, e levando em consideração a contribuição de todos os nós, monta-se o sistema linear de equações, que colocado na forma matricial pode-se obter as variáveisdesconhecidas.

6.2.2 Inhomogêneo Viscoelástico

O desenvolvimento da formulação do MEC aplicado a meios inhomogêneos viscoelásti-cos é exatamente o mesmo utilizado para o meio homogêneo mostrado no capítulo 5, alterando-se apenas os tensores soluções fundamentais de deslocamento e tração definidos ao longo docapítulo 6.

84

7 Resultados

Neste capítulo são apresentados os resultados das análises numéricas desenvolvidasutilizando-se o MEC. As análises foram realizadas baseando-se na metodologia estudada parameios homogêneos e inhomogêneos com a finalidade de avaliar acuracidade e estabilidade.Os resultados aqui obtidos são comparados com soluções analíticas, quando possível, ou comelementos finitos, utilizando-se o software comercial Ansys©.

7.1 Análise Viscoelástica Homogênea

Um primeiro estudo foi realizado para o caso viscoelástico linear em meio homogêneo,tendo como objetivo principal a validação do programa desenvolvido em Matlab. Nesse estudosão analisados casos de componentes estruturais, disco e cilindro vazados, com carregamentode pressão aplicado na parede interna.

A solução analítica para deslocamento radial viscoelástico considerando os modelos deKelvin-Voigt e Boltzmann é descrita pela Eq (7.1) quando EPT (Estado Plano de Tensão) éassumido. A solução analítica elástica pode ser recuperada para 𝑡 → ∞.

𝑢𝑣𝑒(𝑅) =

[𝑅𝑐2(1 − 𝜈) − 𝑐1

𝑅(1 + 𝜈)

][1

𝐸+

1

𝐸𝑣𝑒

(1 − 𝑒−𝑡𝛾 )

]. (7.1)

As constantes 𝑐1 e 𝑐2 são dependentes dos carregamentos de pressão na parede interna 𝑃𝑖 eexterna 𝑃𝑒.

𝑐1 =𝑅2

𝑖𝑅2𝑒(𝑃𝑒 − 𝑃𝑖)

𝑅2𝑒 −𝑅2

𝑖

, 𝑐2 =𝑃𝑖𝑅

2𝑖 − 𝑃𝑒𝑅

2𝑒

𝑅2𝑒 −𝑅2

𝑖

. (7.2)

Nesse estudo é aplicado pressão apenas na parede interna, portanto 𝑃𝑒 = 0. Para o modelo deKelvin não há o módulo de elasticidade instantânea 𝐸.

7.1.1 Deslocamentos no Disco (EPT)

Para verificar as respostas do programa no estado plano de tensão, optou-se por analisarum disco, que corresponde a uma geometria bastante comum em componentes de engenharia.Devido à simetria apresentada pelo problema, torna-se adequado analisar apenas 1/4 do discocom a finalidade de diminuir o custo computacional (ver Fig. (7.1)).

85

Y

X Z

(a) Modelo de disco

x

y

A

Ri

Re

P

(b) Representação da geometria a seranalisada

Figura 7.1: Modelo de disco para análise (EPT).

As propriedades mecânicas, as dimensões geométricas e o incremento no tempo são apre-sentados na Tabela 7.1

Tabela 7.1: Propriedades de análise

Propriedades Mecânicas Propriedades Geométricas Carregamento

𝐸 [𝑀𝑃𝑎] 𝐸𝑣𝑒 [𝑀𝑃𝑎] 𝜈 𝛾 [𝑑𝑖𝑎] 𝑅𝑖 [𝑚] 𝑅𝑒 [𝑚] 𝑅𝐴 [𝑚] 𝑃𝑖𝐻(𝑡) [𝑀𝑃𝑎]

12,75 4,90 0,4 10 0,254 0,508 0,375 0,49

Incremento no Tempo

∆𝑡𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 [𝑑𝑖𝑎] ∆𝑡 [𝑑𝑖𝑎]

150 1

Onde 𝐸 é o módulo de elasticidade instantânea para o modelo de Boltzmann, 𝐸𝑣𝑒 é omódulo viscoelástico, 𝜈 é o coeficiente de Poisson, 𝛾 é o coeficiente de viscosidade, 𝑅𝑖 é o raiointerno, 𝑅𝑒 é o raio externo, 𝑅𝐴 é o raio até o ponto interno 𝐴, 𝑃𝑖𝐻(𝑡) é a pressão interna,sendo 𝐻(𝑡) a função de Heaviside, ∆𝑡𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 é o tempo total para convergência dos resultadosviscoelásticos e ∆𝑡 é o passo utilizado no processo de marcha no tempo. Com a finalidade deverificar a convergência dos resultados em função do número de elementos, primeiramente érealizada uma análise elástica no ponto interno A, como pode ser visto na Tabela 7.2.

Tabela 7.2: Deslocamento elástico em função do número de elementos utilizados.

𝑢𝐴[𝑚] EPT

Mod. 1 Mod. 2 Mod. 3 Analítico

0.0389 0.0395 0.0396 0.0396

86

Onde Mod.1, Mod.2 e Mod.3 referem-se aos modelos com 4, 8 e 12 elementos, respecti-vamente. Através dos resultados da Tabela.7.2, percebe-se que o modelo com 12 elementos qua-dráticos é suficiente para obter resultados com alto grau de acuracidade, dessa forma, utiliza-seesse modelo para as análises viscoelásticas.

As análises viscoelásticas são realizadas considerando-se os modelos viscoelásticos deKelvin-Voigt e Boltzmann. Com o objetivo de se comparar o comportamento viscoelástico dosdois modelos, os resultados para cada região de análise são apresentados juntos.

Parede interna:

0 50 100 1500

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Des

loca

men

to [m

]

Tempo [Dia]

(Analítico Viscoelástico)(MEC Viscoelástico)(Analítico Elástico)(MEC Elástico)

(a) Modelo de Kelvin

0 50 100 1500.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Des

loca

men

to [m

]

Tempo [Dia]

(Analítico Viscoelástico)(MEC Viscoelástico)(Analítico Elástico)(MEC Elástico)

(b) Modelo de Boltzmann

Figura 7.2: Deslocamento radial na parede interna.

Parede externa:

0 50 100 1500

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

Des

loca

men

to [m

]

Tempo [Dia]

(Analítico Viscoelástico)(MEC Viscoelástico)(Analítico Elástico)(MEC Elástico)

(a) Modelo de Kelvin

0 50 100 1500.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

Des

loca

men

to [m

]

Tempo [Dia]

(Analítico Viscoelástico)(MEC Viscoelástico)(Analítico Elástico)(MEC Elástico)

(b) Modelo de Boltzmann

Figura 7.3: Deslocamento radial na parede externa.

Ponto interno:

87

0 50 100 1500

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045D

eslo

cam

ento

[m]

Tempo [Dia]

(Analítico Viscoelástico)(MEC Viscoelástico)(Analítico Elástico)(MEC Elástico)

(a) Modelo de Kelvin

0 50 100 1500

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Des

loca

men

to [m

]

Tempo [Dia]

(Analítico Viscoelástico)(MEC Viscoelástico)(Analítico Elástico)(MEC Elástico)

(b) Modelo de Boltzmann

Figura 7.4: Deslocamento radial no ponto interno A.

A fim de se verificar o comportamento das tensões sob o efeito viscoelástico no pontointerno A, são realizadas análises assumindo-se coeficiente de Poisson, 𝜈 = 0.4. As soluçõesanalíticas para as tensões radiais elástica, viscosa e viscoelástica são descritas de forma separadapelas Eqs. (7.3), (7.4) e (7.5), respectivamente.

𝜎𝑅𝑒 =

[𝑃𝑖𝑅

2𝑖

𝑅2𝑒 −𝑅2

𝑖

− 𝑃𝑖𝑅2𝑖𝑅

2𝑒

(𝑅2𝑒 −𝑅2

𝑖 )𝑅2

](1 − 𝑒−

𝑡𝛾 ), (7.3)

𝜎𝑅𝑣 =

[𝑃𝑖𝑅

2𝑖

𝑅2𝑒 −𝑅2

𝑖

− 𝑃𝑖𝑅2𝑖𝑅

2𝑒

(𝑅2𝑒 −𝑅2

𝑖 )𝑅2

](𝑒−

𝑡𝛾 ), (7.4)

𝜎𝑅𝑣𝑒 = 𝜎𝑅

𝑒 + 𝜎𝑅𝑣. (7.5)

A Fig. (7.5) apresenta as tensões viscoelástica total, elástica e viscosa.

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

5

Tempo [Dia]

Ten

são

[N/m

²]

Tensão Total (Analítica)Tensão Total (MEC)Tensão Viscosa (Analítica)Tensão Viscosa (MEC)Tensão Elástica (Analítica)Tensão Elástica (MEC)

(a) Modelo de Kelvin

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

5

Tempo [Dia]

Ten

são

[N/m

²]

Tensão Total (Analítica)Tensão Total (MEC)Tensão Viscosa (Analítica)Tensão Viscosa (MEC)Tensão Elástica (Analítica)Tensão Elástica (MEC)

(b) Modelo de Boltzmann

Figura 7.5: Tensões viscoelástica, elástica e viscosa.

88

7.1.2 Deslocamentos no Cilindro (EPD)

O modelo considerado para análise EPD é representado pela Fig. (7.6) e possui as propri-edades de análise apresentadas na Tabela 7.1. A solução analítica considerando o caso EPD éapresentada pela Eq.(7.6)

𝑢𝑣𝑒(𝑅) =

[𝑅𝑐2(1 − 2𝜈)(1 + 𝜈) − 𝑐1

𝑅(1 + 𝜈)

][1

𝐸+

1

𝐸𝑣𝑒

(1 − 𝑒−𝑡𝛾 )

]. (7.6)

Onde 𝑐1 e 𝑐2 são os mesmos usados considerando o caso EPT.

De forma semelhante ao caso anterior, é feita uma análise elástica para avaliação do nú-mero de elementos necessário para se obter resultados satisfatório (ver Tabela 7.3).

Y

X Z

(a) Modelo de cilindro vazado

x

y

A

Ri

Re

P

(b) Representação da geometria a ser anali-sada

Figura 7.6: Modelo de cilindro vazado para análise (EPD).

Tabela 7.3: Deslocamento elástico em função do número de elementos utilizados.

𝑢𝐴[𝑚] EPD

Mod. 1 Mod. 2 Mod. 3 Analítico

0.0348 0.0355 0.0356 0.0356

Novamente o modelo com 12 elementos foi satisfatório, sendo portanto esse o modelousado nas análises viscoelásticas. As figuras a seguir apresentam os deslocamentos viscoelásti-cos para o caso EPD.

Parede interma:

89

0 50 100 1500

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

Des

loca

men

to [m

]

Tempo [Dia]

(Analítico Viscoelástico)(MEC Viscoelástico)(Analítico Elástico)(MEC Elástico)

(a) Modelo de Kelvin

0 50 100 1500.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Des

loca

men

to [m

]

Tempo [Dia]

(Analítico Viscoelástico)(MEC Viscoelástico)(Analítico Elástico)(MEC Elástico)

(b) Modelo de Boltzmann

Figura 7.7: Deslocamento radial na parede interna.

Parede externa:

0 50 100 1500

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

Des

loca

men

to [m

]

Tempo [Dia]

(Analítico Viscoelástico)(MEC Viscoelástico)(Analítico Elástico)(MEC Elástico)

(a) Modelo de Kelvin

0 50 100 1500.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

Des

loca

men

to [m

]

Tempo [Dia]

(Analítico Viscoelástico)(MEC Viscoelástico)(Analítico Elástico)(MEC Elástico)

(b) Modelo de Boltzmann

Figura 7.8: Deslocamento radial na parede externa.

Ponto inteno A:

90

0 50 100 1500

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04D

eslo

cam

ento

[m]

Tempo [Dia]

(Analítico Viscoelástico)(MEC Viscoelástico)(Analítico Elástico)(MEC Elástico)

(a) Modelo de Kelvin

0 50 100 1500.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

Des

loca

men

to [m

]

Tempo [Dia]

(Analítico Viscoelástico)(MEC Viscoelástico)(Analítico Elástico)(MEC Elástico)

(b) Modelo de Boltzmann

Figura 7.9: Deslocamento radial no ponto interno A.

Os resultados de tensões para o caso EPD são obtidos de maneira semelhante ao casoEPT. As tensões analíticas são obtidas pelas Eqs. (7.3), (7.4) e (7.5).

Tensões no ponto interno A:

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

5

Tempo [Dia]

Ten

são

[N/m

²]

Tensão Total (Analítica)Tensão Total (MEC)Tensão Viscosa (Analítica)Tensão Viscosa (MEC)Tensão Elástica (Analítica)Tensão Elástica (MEC)

(a) Modelo de Kelvin

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

5

Tempo [Dia]

Ten

são

[N/m

²]

Tensão Total (Analítica)Tensão Total (MEC)Tensão Viscosa (Analítica)Tensão Viscosa (MEC)Tensão Elástica (Analítica)Tensão Elástica (MEC)

(b) Modelo de Boltzmann

Figura 7.10: Tensões viscoelástica, elástica e viscosa.

Nota-se que os resultados das tensões para os modelos viscoelásticos de Kelvin-Voigte Boltzmann são iguais, tanto no caso EPT quanto EPD. Essa igualdade se deve ao fato dastensões elásticas (no elemento de mola) e viscoelástica (no conjunto de elementos em paraleloformado por uma mola e um amortecedor) serem iguais no modelo de Boltzmann, e tambémdevido ao conjunto de elementos em paralelo no modelo de Boltzmann representar o modeloviscoelástico de Kelvin-Voigt.

91

7.2 Análise Elástica Inhomogênea

Tendo como objetivo a validação da metodologia do MEC aplicado a meios inhomo-gêneos, uma série de análises numéricas é desenvolvida. Inicialmente, são realizadas análiseselásticas com soluções assintóticas para meios inhomogêneos, sendo os resultados compara-dos com soluções para meios homogêneos. Em seguida, análises unidimensionais para meiosinhomogêneos em uma barra são realizadas. Também são desenvolvidas análises bidimensio-nais em uma membrana quadrada. Por fim, análises viscoelásticas bidimensionais para meiosinhomogêneos são apresentadas.

7.2.1 Análise Comparativa de Deslocamentos em Meios Homogêneos e Inho-mogêneos

Na primeira análise para o estudo do MEC aplicado a meios inhomogêneos utiliza-secomo problemas a serem verificados, o disco apresentado pela Fig. (7.1) e o cilindro apresen-tado pela Fig. (7.6), que são discretizados com 12 elementos. Para essas análises, a soluçãoconsiderando meios inhomogêneos (𝐺(𝑥,)) é utilizada com o objetivo de se comparar e veri-ficar a estabilidade dos resultados fornecidos com a solução fundamental de Kelvin para o meiohomogêneo. Essa comparação de resultados é feita quando 𝛽 → 0 na solução inhomogênea(𝐺(𝑥,)). Nas Tabelas 7.4 e 7.5 é possível avaliar, considerando-se os casos EPD e EPT, res-pectivamente, os desvios nos resultados dos deslocamentos obtidos na parede interna (𝑈𝑃𝑎.𝐼.),parede externa (𝑈𝑃𝑎.𝐸.) e ponto interno A (𝑈𝑃𝑜.𝐼.) entre as soluções inhomogênea e homogênea.

92

Tabela 7.4: Resultados de solução inhomogênea x solução homogênea (EPD)

𝛽1 = 10−5 𝛽2 = 0

𝑈𝑃𝑎.𝐼. [𝑚] 𝑈𝑃𝑎.𝐸. [𝑚] 𝑈𝑃𝑜.𝐼. [𝑚]

Sol. Inhomogênea 0.049808 0.028465 0.035649Sol. Homogênea 0.049821 0.028469 0.035657Divergência [%] 0.026 0.014 0.022

𝛽1 = 10−6 𝛽2 = 0

𝑈𝑃𝑎.𝐼. [𝑚] 𝑈𝑃𝑎.𝐸. [𝑚] 𝑈𝑃𝑜.𝐼. [𝑚]

Sol. Inhomogênea 0.049539 0.028266 0.035450Sol. Homogênea 0.049821 0.028469 0.035657Divergência [%] 0.566 0.713 0.580

𝛽1 = 10−6 𝛽2 = 10−6

𝑈𝑃𝑎.𝐼. [𝑚] 𝑈𝑃𝑎.𝐸. [𝑚] 𝑈𝑃𝑜.𝐼. [𝑚]

Sol. Inhomogênea 0.049896 0.028523 0.035560Sol. Homogênea 0.049821 0.028469 0.035657Divergência [%] 0.150 0.190 0.272

Tabela 7.5: Resultados de solução inhomogênea x solução homogênea (EPT)

𝛽1 = 10−5 𝛽2 = 0

𝑈𝑃𝑎.𝐼. [𝑚] 𝑈𝑃𝑎.𝐸. [𝑚] 𝑈𝑃𝑜.𝐼. [𝑚]

Sol. Inhomogênea 0.052578 0.033935 0.039704Sol. Homogênea 0.052527 0.033879 0.039649Divergência [%] 0.097 0.165 0.139

𝛽1 = 10−6 𝛽2 = 0

𝑈𝑃𝑎.𝐼. [𝑚] 𝑈𝑃𝑎.𝐸. [𝑚] 𝑈𝑃𝑜.𝐼. [𝑚]

Sol. Inhomogênea 0.052083 0.033524 0.039251Sol. Homogênea 0.052527 0.033879 0.039649Divergência [%] 0.845 1.048 1.003

𝛽1 = 10−6 𝛽2 = 10−6

𝑈𝑃𝑎.𝐼. [𝑚] 𝑈𝑃𝑎.𝐸. [𝑚] 𝑈𝑃𝑜.𝐼. [𝑚]

Sol. Inhomogênea 0.052996 0.034258 0.039768Sol. Homogênea 0.052527 0.033879 0.039649Divergência [%] 0.893 1.119 0.300

Pode-se verificar uma proximidade bastante razoável entre os resultados das soluções.

93

7.2.2 Análise de uma Barra de Material Inhomogêneo

Para verificarmos o comportamento elástico em meios inhomogêneos, desenvolveu-se ini-cialmente uma análise unidimensional no estado plano de tensão (EPT), considerando-se umabarra fixada em uma extremidade e com carregamento aplicado na outra, de acordo com a Fig.(7.11). Nessa barra o módulo de elasticidade varia exponencialmente de modo a aumentar seuvalor ao longo do eixo x, partindo de um valor 𝐸0 na extremidade fixada. Para esse caso, ocoeficiente 𝛽1 é variado enquanto o valor do coeficiente 𝛽2 permanece constante e igual a 0(𝛽2 = 0) e o coeficiente de Poisson 𝜈 = 0.

x

y

L

h

P

Figura 7.11: Barra de material inhomogêneo tracionada.

Onde 𝑃 = 10 · 106𝑁/𝑚2, 𝐸0 = 3𝐺𝑃𝑎, 𝐿 = 10𝑚 e ℎ = 1𝑚.

Podem-se obter analiticamente os deslocamentos na barra para o caso unidimensionalatravés da seguinte equação:

𝑢(𝑥) =𝑃

4𝜇0𝛽1

(1 − 𝑒−2𝛽1𝑥). (7.7)

Para auxiliar na comparação dos resultados, principalmente para casos onde 𝜈 = 0, aná-lises utilizando-se o software de elementos finitos Ansys© foram desenvolvidas. Para a simula-ção no MEF, a aproximação inhomogênea da variação exponencial do módulo de elasticidadeao longo da barra, considerando a comparação com resultados analíticos, é obtida dividindo-sea barra em 20 áreas, cada uma com um módulo de elasticidade diferente calculado de acordocom a relação 𝐸(𝑥) = 𝐸0𝑒

2𝛽1𝑥. A Fig. (7.12) apresenta do modelo da barra subdivida em 20áreas.

Figura 7.12: Modelo da barra desenvolvido no Ansys©.

94

Dessa forma os resultados obtidos pelo MEC são comparados com os resultados obtidosde forma analítica e numérica através do MEF. Para discretização desse modelo no MEC foramutilizados 18 elementos quadráticos contínuos e 36 nós, como pode ser visualizado na Fig.(7.13).

Figura 7.13: Malha de elementos de contorno.

Para discretização desse modelo no MEF foram utilizados 300 elementos quadrilateraisPlane183 e 1031 nós. Esse tipo de elemento realiza análises nos estados planos de tensão ede deformação e contém 8 nós cada, tendo cada nó 2 graus de liberdade. A utilização desseelemento deve-se a busca pela melhor interpolação dos deslocamentos. A Fig. (7.14) apresentaa malha de elementos finitos desenvolvida.

Figura 7.14: Malha de elementos finitos.

As análises são consideradas ao longo do eixo 𝑥 nos nós do contorno inferior e nos pontosinternos situados na linha de simetria da barra, como mostrado na Fig. (7.15).

x

y Contorno inferior

Linha de simetria

1P2P

P

Figura 7.15: Região de análise.

Os resultados de deslocamentos na direção 𝑥 para o caso unidimensional podem ser visu-alizados através das Figs. (7.16) e (7.17).

95

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.005

0.01

0.015

Comprimento − X[m]

Des

loca

men

to −

UX

[m]

beta1=0.1(MEC)beta1=0.1 (MEF)beta1=0.1 (Analítico)beta1=0.2 (MEC)beta1=0.2 (MEF)beta1=0.2 (Analítico)beta1=0.3 (MEC)beta1=0.3 (MEF)beta1=0.3 (Analítico)

Figura 7.16: Deslocamento na direção 𝑥 nos nós do contorno inferior.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.005

0.01

0.015

Comprimento − X[m]

Des

loca

men

to −

UX

[m]

beta1=0.1(MEC)beta1=0.1 (MEF)beta1=0.1 (Analítico)beta1=0.2 (MEC)beta1=0.2 (MEF)beta1=0.2 (Analítico)beta1=0.3 (MEC)beta1=0.3 (MEF)beta1=0.3 (Analítico)

Figura 7.17: Deslocamento na direção 𝑥 nos pontos da linha de simetria.

Um estudo bidimensional dos deslocamentos também é realizado com a finalidade dese verificar a influência do coeficiente 𝛽1. O desenvolvimento das análises é análogo ao casoanterior, porém aqui é assumido 𝜈 = 0.3, abandonando-se assim o caso unidimensional obtidoatravés da teoria técnica da resistência dos materiais. Nesse caso a comparação dos resultadosatravés do MEC é feita utilizando o MEF. As Figs. (7.18) e (7.19) apresentam os deslocamentosna direção 𝑥.

96

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.005

0.01

0.015

Comprimento − X[m]

Des

loca

men

to −

UX

[m]

beta1=0.1 (MEC)beta1=0.1 (MEF)beta1=0.2 (MEC)beta1=0.2 (MEF)beta1=0.3 (MEC)beta1=0.3 (MEF)

Figura 7.18: Deslocamento na direção 𝑥 nos nós do contorno inferior.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.005

0.01

0.015

Comprimento − X[m]

Des

loca

men

to −

UX

[m]

beta1=0.1 (MEC)beta1=0.1 (MEF)beta1=0.2 (MEC)beta1=0.2 (MEF)beta1=0.3 (MEC)beta1=0.3 (MEF)

Figura 7.19: Deslocamento na direção 𝑥 nos pontos internos da linha de simetria.

A Fig. (7.20) mostra o resultados dos deslocamentos na direção 𝑦 ao longo dos nós nocontorno inferior.

97

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5x 10

−4

Comprimento − X[m]

Des

loca

men

to −

UY

[m]

beta1=0.1 (MEC)beta1=0.1 (MEF)beta1=0.2 (MEC)beta1=0.2 (MEF)beta1=0.3 (MEC)beta1=0.3 (MEF)

Figura 7.20: Deslocamento na direção 𝑦 nos nós do contorno inferior.

7.2.3 Análise de uma Membrana de Material Inhomogêneo

Nesse tópico o comportamento inhomogêneo será tratado de maneira mais geral, sendoconsiderado a influência dos coeficientes 𝛽1 e 𝛽2 ao longo das dimensões do corpo. A análise édesenvolvida a partir de um modelo de uma membrana com o módulo de elasticidade bidimen-sionalmente gradado de acordo com a relação 𝐸(𝑥) = 𝐸0𝑒

2(𝛽1𝑥+𝛽2𝑦). O módulo de elasticidadeparte de um valor inicial 𝐸0 no vértice inferior do lado esquerdo da membrana e aumento aolongo dos eixo 𝑥 e 𝑦. A membrana é fixada em uma de suas extremidades e submetida a umcarregamento de tração na outra extremidade, como pode ser visto pela Fig. (7.21).

98

h

L

P

X

Y

Figura 7.21: Membrana bidimensionalmente gradada submetida a tração.

Onde 𝐿 = 1𝑚, ℎ = 1𝑚, 𝑃 = 20𝑀𝑃𝑎 e 𝐸0 = 4𝐺𝑃𝑎. Para avaliação dos resulta-dos, são desenvolvidas análises no MEF utilizando um modelo considerando a aproximaçãoda distribuição inhomogênea sobre a membrana. Essa aproximação foi obtida com um modeloconstituído de 400 áreas, cada uma com um valor médio do módulo de elasticidade calculadono ponto central de cada área. A Fig. (7.22) apresenta o modelo da membrana com as áreascontendo diferentes módulos de elasticidade.

Figura 7.22: Modelo de análise no MEF.

As análises são realizadas no estado plano de tensão. Para discretização desse modelo noMEC foram utilizados 20 elementos quadráticos contínuos e 40 nós, como pode ser observadona Fig. (7.23).

99

Figura 7.23: Malha de elementos de contorno.

Para discretização através do MEF foram utilizados 1600 elementos quadrilateraisPlane183 e 4961 nós. A Fig. (7.24) apresenta a malha de elementos finitos.

Figura 7.24: Malha de elementos finitos.

Os resultados de deslocamentos nas direções 𝑥 e 𝑦 são obtidos nas seguintes regiões: Nósdo contorno inferior, nós do contorno superior, pontos da linha de simetria horizontal e pontosda linha de simetria vertical de acordo com a Fig. (7.25).

100

Contorno inferior

Contorno superior

Linha de simetria

horizontal

Linha de simetria

vertical

x

y

1P

1P

2P

3P

4PP

Figura 7.25: Regiões de análise.

Os resultados das análises para o caso onde os coeficientes de gradação são 𝛽1 = 0.1 e𝛽2 = 0.3 e coeficiente de Poisson 𝜈 = 0.3 estão apresentados nas figuras a seguir:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

−3

X [m]

Des

loca

men

to U

X[m

]

BETA1=0.1 BETA2=0.3 (MEF)BETA1=0.1 BETA2=0.3 (MEC)

(a) Deslocamento na direção 𝑥

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8x 10

−3

X [m]

Des

loca

men

to U

Y[m

]

BETA1=0.1 BETA2=0.3 (MEF)BETA1=0.1 BETA2=0.3 (MEC)

(b) Deslocamento na direção 𝑦

Figura 7.26: Deslocamento nos nós do contorno inferior.

101

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

−3

X [m]

Des

loca

men

to U

X[m

]

BETA1=0.1 BETA2=0.3 (MEF)BETA1=0.1 BETA2=0.3 (MEC)

(a) Deslocamento na direção 𝑥

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

−3

X [m]

Des

loca

men

to U

Y[m

]

BETA1=0.1 BETA2=0.3 (MEF)BETA1=0.1 BETA2=0.3 (MEC)

(b) Deslocamento na direção 𝑦

Figura 7.27: Deslocamento nos nós do contorno superior.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

−3

X [m]

Des

loca

men

to U

X[m

]

BETA1=0.1 BETA2=0.3 (MEF)BETA1=0.1 BETA2=0.3 (MEC)

(a) Deslocamento na direção 𝑥

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2

0

2

4

6

8

10

12x 10

−4

X [m]

Des

loca

men

to U

Y[m

]

BETA1=0.1 BETA2=0.3 (MEF)BETA1=0.1 BETA2=0.3 (MEC)

(b) Deslocamento na direção 𝑦

Figura 7.28: Deslocamento nos pontos da linha de simetria horizontal.

102

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4x 10

−3

Y [m]

Des

loca

men

to U

X[m

]

BETA1=0.1 BETA2=0.3 (MEF)BETA1=0.1 BETA2=0.3 (MEC)

(a) Deslocamento na direção 𝑥

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−4

−2

0

2

4

6

8

10x 10

−4

Y [m]

Des

loca

men

to U

Y[m

]

BETA1=0.1 BETA2=0.3 (MEF)BETA1=0.1 BETA2=0.3 (MEC)

(b) Deslocamento na direção 𝑦

Figura 7.29: Deslocamento nos pontos da linha de simetria vertical.

A Tabela 7.6 mostra a influência das variações dos coeficientes 𝛽1, 𝛽2 e Poisson (𝜈) nosdeslocamentos de alguns pontos da membrana.

103

Tabela 7.6: Deslocamentos em função dos coeficientes 𝛽1, 𝛽2 e 𝜈

𝛽1 = 0.1 𝛽2 = 0.2 𝜈 = 0.3

MEC MEF Divergência [%]

𝑈𝑋𝑃1 [𝑚] 0.0044032 0.0047356 7.02𝑈𝑌𝑃1 [𝑚] 0.0012887 0.0015425 16.45𝑈𝑋𝑃2 [𝑚] 0.0018727 0.0018764 0.20𝑈𝑌𝑃2 [𝑚] 0.0001402 0.0002009 30.21𝑈𝑋𝑃3 [𝑚] 0.0030131 0.0031843 5.38𝑈𝑌𝑃3 [𝑚] 0.0001429 0.0001284 11.29

𝛽1 = 0.2 𝛽2 = 0.1 𝜈 = 0.3

MEC MEF Divergência [%]

𝑈𝑋𝑃1 [𝑚] 0.0040111 0.0042910 6.52𝑈𝑌𝑃1 [𝑚] 0.0008664 0.0010611 18.35𝑈𝑋𝑃2 [𝑚] 0.0019698 0.0019730 0.16𝑈𝑌𝑃2 [𝑚] 0.0000747 0.0001074 34.45𝑈𝑋𝑃3 [𝑚] 0.0033330 0.0035193 5.29𝑈𝑌𝑃3 [𝑚] -0.0001481 -0.0002060 28.11

𝛽1 = 0.1 𝛽2 = 0.3 𝜈 = 0.4

MEC MEF Divergência [%]

𝑈𝑋𝑃1 [𝑚] 0.0043736 0.0046481 5.90𝑈𝑌𝑃1 [𝑚] 0.0018678 0.0019621 4.81𝑈𝑋𝑃2 [𝑚] 0.0016941 0.0016664 1.66𝑈𝑌𝑃2 [𝑚] 0.0004369 0.0002708 61.34𝑈𝑋𝑃3 [𝑚] 0.0022082 0.0024708 10.63𝑈𝑌𝑃3 [𝑚] 0.0008545 0.0003858 121.49

Onde 𝑃1, 𝑃2 e 𝑃3 são os pontos analisados, e estão localizados de acordo com a Fig.(7.25).

7.3 Análise Viscoelástica Inhomogênea

Nessa seção serão apresentados os resultados de estudos viscoelásticos desenvolvidospara materiais inhomogêneos. As análises são realizadas assumindo os modelos viscoelásticosde Kevin-Voigt e Boltzmann.

104

7.3.1 Análise de uma Barra de Material Inhomogêneo

Um primeiro estudo é desenvolvido considerando o caso unidimensional de uma barratracionada em uma extremidade e fixada na outra, de acordo com a Fig. (7.11). Nesse estudoas dimensões da barra são 𝐿 = 0,8𝑚 e ℎ = 0,1𝑚, as propriedades mecânicas são 𝐸0 =

22,5757𝐺𝑃𝑎, 𝐸𝑣𝑒 = 11𝐺𝑃𝑎, 𝛾 = 45.454545 𝑑𝑖𝑎𝑠 e 𝜈 = 0, com tempo total de convergênciados resultados ∆𝑡𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 450 𝑑𝑖𝑎𝑠 e incremento no tempo de ∆𝑡 = 1 𝑑𝑖𝑎, sendo submetidaa um carregamento 𝑃 = 𝑃𝐻(𝑡) = 5𝑀𝑃𝑎, onde 𝐻(𝑡) representa a função de Heaviside. Ocoeficiente 𝛽1 é variado enquanto 𝛽2 = 0.

Para o caso unidimensional é possível obter analiticamente os deslocamentos através daequação:

𝑢(𝑥,𝑡) =𝑃

4𝜇0𝛽1

(1 − 𝑒−2𝛽1𝑥)(1 − 𝑒−𝑡𝛾 ). (7.8)

Nota-se que o deslocamento elástico é recuperado quando 𝑡 → ∞, equivalente a Eq.(7.7).

Sabendo-se que os resultados viscoelásticos convergem para os resultados elásticos,utiliza-se como parâmetro de comparação os resultados de análises elásticas desenvolvidas noMEF, principalmente para o caso bidimensional. O modelo utilizado para essa análise no MECfoi discretizado com 12 elementos quadráticos. As figuras a seguir mostram os resultados dedeslocamentos para o caso unidimensional nos pontos 𝑃1 e 𝑃2 de acordo com a Fig. (7.15).

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4501

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5x 10

−4

Tempo [Dia]

Des

loca

men

to U

X [m

]

BETA1=0.1 (Analítico) − ViscoelásticoBETA1=0.1 (MEC) − ViscoelásticoBETA1=0.1 (MEF) − ElásticoBETA1=0.2 (Analítico) − ViscoelásticoBETA1=0.2 (MEC) − ViscoelásticoBETA1=0.2 (MEF) − ElásticoBETA1=0.3 (Analítico) − ViscoelásticoBETA1=0.3 (MEC) − ViscoelásticoBETA1=0.3 (MEF) − Elástico

(a) Modelo de Boltzmann

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

−4

Tempo [Dia]

Des

loca

men

to U

X [m

]

BETA1=0.1 (Analítico) − ViscoelásticoBETA1=0.1 (MEC) − ViscoelásticoBETA1=0.1 (MEF) − ElásticoBETA1=0.2 (Analítico) − ViscoelásticoBETA1=0.2 (MEC) − ViscoelásticoBETA1=0.2 (MEF) − ElásticoBETA1=0.3 (Analítico) − ViscoelásticoBETA1=0.3 (MEC) − ViscoelásticoBETA1=0.3 (MEF) − Elástico

(b) Modelo de Kelvin-Voigt

Figura 7.30: Deslocamento na direção 𝑥 no ponto 𝑃1.

105

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

−4

Tempo [Dia]

Des

loca

men

to U

X [m

]

BETA1=0.1 (Analítico) − ViscoelásticoBETA1=0.1 (MEC) − ViscoelásticoBETA1=0.1 (MEF) − ElásticoBETA1=0.2 (Analítico) − ViscoelásticoBETA1=0.2 (MEC) − ViscoelásticoBETA1=0.2 (MEF) − ElásticoBETA1=0.3 (Analítico) − ViscoelásticoBETA1=0.3 (MEC) − ViscoelásticoBETA1=0.3 (MEF) − Elástico

(a) Modelo de Boltzmann

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8x 10

−4

Tempo [Dia]

Des

loca

men

to U

X [m

]

BETA1=0.1 (Analítico) − ViscoelásticoBETA1=0.1 (MEC) − ViscoelásticoBETA1=0.1 (MEF) − ElásticoBETA1=0.2 (Analítico) − ViscoelásticoBETA1=0.2 (MEC) − ViscoelásticoBETA1=0.2 (MEF) − ElásticoBETA1=0.3 (Analítico) − ViscoelásticoBETA1=0.3 (MEC) − ViscoelásticoBETA1=0.3 (MEF) − Elástico

(b) Modelo de Kelvin-Voigt

Figura 7.31: Deslocamento na direção 𝑥 no ponto 𝑃2.

Com a finalidade de se verificar a estabilidade do programa, abandona-se o caso unidi-mensional e realizam-se análises considerando o coeficiente de Poisson 𝜈 = 0.3, 𝛽1 = 0.3 e𝛽2 = 0. Os resultados são avaliados nos pontos 𝑃1 do contorno e 𝑃2 na parte interna. Tambémsão obtidos resultados de deslocamento viscoelástico nos nós ao longo dos nós do contorno infe-rior para instantes diferentes de tempo, sendo os resultados confrontando com os deslocamentoselásticos obtido através do MEF.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4501

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5x 10

−4

Tempo [Dia]

Des

loca

men

to U

X [m

]

MEC ViscoelásticoMEF Elástico

(a) Modelo de Boltzmann

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500

1

2

x 10−4

Tempo [Dia]

Des

loca

men

to U

X [m

]

MEC ViscoelásticoMEF Elástico

(b) Modelo de Kelvin-Voigt

Figura 7.32: Deslocamento na direção 𝑥 no ponto 𝑃1.

106

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

x 10−4

Tempo [Dia]

Des

loca

men

to U

X [m

]

MEC ViscoelásticoMEF Elástico

(a) Modelo de Boltzmann

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8x 10

−4

Tempo [Dia]

Des

loca

men

to U

X [m

]

MEC ViscoelásticoMEF Elástico

(b) Modelo de Kelvin-Voigt

Figura 7.33: Deslocamento na direção 𝑥 no ponto 𝑃2.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5x 10

−4

X [m]

Des

loca

men

to U

X [m

]

t=1 dia (MEC)t=10 dias (MEC)t=50 dias (MEC)t=100 dias (MEC)t=450 dias (MEC)Elástico (MEF)

(a) Modelo de Boltzmann

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

1

2

x 10−4

X [m]

Des

loca

men

to U

X [m

]

t=1 dia (MEC)t=10 dias (MEC)t=50 dias (MEC)t=100 dias (MEC)t=450 dias (MEC)Elástico (MEF)

(b) Modelo de Kelvin-Voigt

Figura 7.34: Deslocamento na direção 𝑥 nos nós do contorno inferior.

7.3.2 Análise de uma Membrana de Material Inhomogêneo

Para se verificar o comportamento viscoelástico da variação inhomogênea bidimensionalsão realizadas análises de uma membrana de material inhomogêneo, onde os coeficientes 𝛽1,𝛽2 e 𝜈 são diferentes de zero. O modelo proposto para as análises é o mesmo utilizado no casoelástico, como apresentado pela Figura 7.21. Os resultados dos deslocamentos apresentados nasfiguras a seguir para os pontos 𝑃2 e 𝑃4 foram obtidos para o caso quando 𝛽1 = 0.1, 𝛽2 = 0.3,

107

𝜈 = 0.3, 𝛾 = 10 𝑑𝑖𝑎𝑠 e módulo de elasticidade instantânea 𝐸 = 9𝐺𝑃𝑎, utilizando como dadosde marcha no tempo ∆𝑡 = 1 𝑑𝑖𝑎 e ∆𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 90 𝑑𝑖𝑎𝑠. Também são apresentados os desloca-mentos viscoelásticoss nos nós do contornos inferior e superior para determinados instantes detempo. As regiões de análise são de acordo com a Fig. (7.25).

0 10 20 30 40 50 60 70 80 901.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

−3

Tempo [Dia]

Des

loca

men

to U

X [m

]

MEC ViscoelásticoMEF Elástico

(a) Modelo de Boltzmann

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

−3

Tempo [Dia]

Des

loca

men

to U

X [m

]

MEC ViscoelásticoMEF Elástico

(b) Modelo de Kelvin-Voigt

Figura 7.35: Deslocamento na direção 𝑥 no ponto 𝑃4.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8x 10

−3

Tempo [Dia]

Des

loca

men

to U

X [m

]

MEC ViscoelásticoMEF Elástico

(a) Modelo de Boltzmann

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8x 10

−3

Tempo [Dia]

Des

loca

men

to U

X [m

]

MEC ViscoelásticoMEF Elástico

(b) Modelo de Kelvin-Voigt

Figura 7.36: Deslocamento na direção 𝑥 no ponto 𝑃2.

108

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

7x 10

−3

X [m]

Des

loca

men

to U

X [m

]

t=1 dia (MEC)t=5 dias (MEC)t=10 dias (MEC)t=20 dias (MEC)t=90 dias (MEC)Elástico (MEF)

(a) Modelo de Boltzmann

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

−3

X [m]

Des

loca

men

to U

X [m

]

t=1 dia (MEC)t=5 dias (MEC)t=10 dias (MEC)t=20 dias (MEC)t=90 dias (MEC)Elástico (MEF)

(b) Modelo de Kelvin-Voigt

Figura 7.37: Deslocamento na direção 𝑥 nos nós do contorno inferior.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4x 10

−3

X [m]

Des

loca

men

to U

X [m

]

t=1 dia (MEC)t=5 dias (MEC)t=10 dias (MEC)t=20 dias (MEC)t=90 dias (MEC)Elástico (MEF)

(a) Modelo de Boltzmann

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

−3

X [m]

Des

loca

men

to U

X [m

]

t=1 dia (MEC)t=5 dias (MEC)t=10 dias (MEC)t=20 dias (MEC)t=90 dias (MEC)Elástico (MEF)

(b) Modelo de Kelvin-Voigt

Figura 7.38: Deslocamento na direção 𝑥 nos nós do contorno superior.

7.4 Análise da Aproximação da Função de Green

Essa seção apresenta as análises sobre o efeito da aproximação da função de Green nosresultados das seções anteriores. Para verificar o comportamento da solução fundamental é uti-lizado o conjunto de equações apresentado pelas Eqs. (6.37), (6.38), (6.39) e (6.40), assimpode-se verificar se as condições estabelecidas pelas Eqs. (6.3) são satisfeitas. Para o desen-volvimento das análises são assumidas a geometria e propriedades mecânicas do modelo da

109

membrana utilizado na seção anterior e apresentado pela Fig.(7.21). São verificados os casosonde houve maior e menor índice de erros, os quais correspondem respectivamente a 𝛽1 = 0.1,𝛽2 = 0.1 e 𝛽1 = 0.1, 𝛽2 = 0.3. Os dois casos são analisados no estado plano de tensão e usandocoeficiente de Poisson 𝜈 = 0.3. As Figs. (7.39) e (7.40) apresentam resultados comparativosentre os dois casos para os deslocamentos elásticos nos nós dos contornos inferior e superior,respectivamente.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

−3

X [m]

Des

loca

men

to U

X[m

]

BETA1=0.1 BETA2=0.1 (MEF)BETA1=0.1 BETA2=0.1 (MEC)BETA1=0.1 BETA2=0.3 (MEF)BETA1=0.1 BETA2=0.3 (MEC)

(a) Deslocamento na direção 𝑥

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18x 10

−4

X [m]

Des

loca

men

to U

Y[m

]

BETA1=0.1 BETA2=0.1 (MEF)BETA1=0.1 BETA2=0.1 (MEC)BETA1=0.1 BETA2=0.3 (MEF)BETA1=0.1 BETA2=0.3 (MEC)

(b) Deslocamento na direção 𝑦

Figura 7.39: Deslocamento nos nós do contorno inferior.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5x 10

−3

X [m]

Des

loca

men

to U

X[m

]

BETA1=0.1 BETA2=0.1 (MEF)BETA1=0.1 BETA2=0.1 (MEC)BETA1=0.1 BETA2=0.3 (MEF)BETA1=0.1 BETA2=0.3 (MEC)

(a) Deslocamento na direção 𝑥

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−6

−4

−2

0

2

4

6x 10

−4

X [m]

Des

loca

men

to U

Y[m

]

BETA1=0.1 BETA2=0.1 (MEF)BETA1=0.1 BETA2=0.1 (MEC)BETA1=0.1 BETA2=0.3 (MEF)BETA1=0.1 BETA2=0.3 (MEC)

(b) Deslocamento na direção 𝑦

Figura 7.40: Deslocamento nos nós do contorno superior.

As análises são realizadas colocando-se o ponto fonte na origem do sistema de coordenas,

110

que corresponde ao vértice inferior esquerdo, e no centro do modelo apresentado na Fig. (7.25),que em coordenadas correspondem respectivamente a (0,0) e (0.5, 0.5). As figuras a seguirapresentam os resultados obtidos.

Condição 1: Ponto fonte em (0, 0) e pontos campo ao longo do eixo 𝑥.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.015

−0.01

−0.005

0

X [m]

Apr

oxim

ação

de

−ex

p(−

2Bet

a.x)

delta

(x−

x*)

Beta1=0.1 Beta2=0.1Beta1=0.1 Beta2=0.3

(a) 𝐸𝑞1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

X [m]

Apr

oxim

ação

Eq

Hom

ogên

ea

Beta1=0.1 Beta2=0.1Beta1=0.1 Beta2=0.3

(b) 𝐸𝑞2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.1

−0.09

−0.08

−0.07

−0.06

−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

X [m]

Apr

oxim

ação

Eq

Hom

ogên

ea

Beta1=0.1 Beta2=0.1Beta1=0.1 Beta2=0.3

(c) 𝐸𝑞3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.005

0.01

0.015

X [m]

Apr

oxim

ação

de

−ex

p(−

2Bet

a.x)

delta

(x−

x*)

Beta1=0.1 Beta2=0.1Beta1=0.1 Beta2=0.3

(d) 𝐸𝑞4

Figura 7.41: Comportamento ao longo do eixo 𝑥 - Ponto fonte (0, 0).

Condição 2: Ponto fonte em (0, 0) e pontos campo ao longo do eixo 𝑦.

111

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

X [m]

Apr

oxim

ação

de

−ex

p(−

2Bet

a.x)

delta

(x−

x*)

Beta1=0.1 Beta2=0.1Beta1=0.1 Beta2=0.3

(a) 𝐸𝑞1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.035

−0.03

−0.025

−0.02

−0.015

−0.01

−0.005

0

Y [m]

Apr

oxim

ação

Eq

Hom

ogên

ea

Beta1=0.1 Beta2=0.1Beta1=0.1 Beta2=0.3

(b) 𝐸𝑞2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

Y [m]

Apr

oxim

ação

Eq

Hom

ogên

ea

Beta1=0.1 Beta2=0.1Beta1=0.1 Beta2=0.3

(c) 𝐸𝑞3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.045

−0.04

−0.035

−0.03

−0.025

−0.02

−0.015

−0.01

−0.005

0

X [m]

Apr

oxim

ação

de

−ex

p(−

2Bet

a.x)

delta

(x−

x*)

Beta1=0.1 Beta2=0.1Beta1=0.1 Beta2=0.3

(d) 𝐸𝑞4

Figura 7.42: Comportamento ao longo do eixo 𝑦 - Ponto fonte (0, 0).

Condição 3: Ponto fonte em (0.5, 0.5) e pontos campo ao longo do eixo 𝑥.

112

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

X [m]

Apr

oxim

ação

de

−ex

p(−

2Bet

a.x)

delta

(x−

x*)

Beta1=0.1 Beta2=0.1Beta1=0.1 Beta2=0.3

(a) 𝐸𝑞1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

X [m]

Apr

oxim

ação

Eq

Hom

ogên

ea

Beta1=0.1 Beta2=0.1Beta1=0.1 Beta2=0.3

(b) 𝐸𝑞2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

X [m]

Apr

oxim

ação

Eq

Hom

ogên

ea

Beta1=0.1 Beta2=0.1Beta1=0.1 Beta2=0.3

(c) 𝐸𝑞3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

X [m]

Apr

oxim

ação

de

−ex

p(−

2Bet

a.x)

delta

(x−

x*)

Beta1=0.1 Beta2=0.1Beta1=0.1 Beta2=0.3

(d) 𝐸𝑞4

Figura 7.43: Comportamento ao longo do eixo 𝑥 - Ponto fonte (0.5, 0.5).

Condição 4: Ponto fonte em (0.5, 0.5) e pontos campo ao longo do eixo 𝑦.

113

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

X [m]

Apr

oxim

ação

de

−ex

p(−

2Bet

a.x)

delta

(x−

x*)

Beta1=0.1 Beta2=0.1Beta1=0.1 Beta2=0.3

(a) 𝐸𝑞1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

Y [m]

Apr

oxim

ação

Eq

Hom

ogên

ea

Beta1=0.1 Beta2=0.1Beta1=0.1 Beta2=0.3

(b) 𝐸𝑞2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

Y [m]

Apr

oxim

ação

Eq

Hom

ogên

ea

Beta1=0.1 Beta2=0.1Beta1=0.1 Beta2=0.3

(c) 𝐸𝑞3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

X [m]

Apr

oxim

ação

de

−ex

p(−

2Bet

a.x)

delta

(x−

x*)

Beta1=0.1 Beta2=0.1Beta1=0.1 Beta2=0.3

(d) 𝐸𝑞4

Figura 7.44: Comportamento ao longo do eixo 𝑦 - Ponto fonte (0.5, 0.5).

Os resultados sugerem que para o caso, considerando 𝛽1 = 0.1 e 𝛽2 = 0.3, nos termosseguintes termos, 𝐸𝑞1 e 𝐸𝑞4, o gradiente da função numérica é mais acentuado perto da sin-gularidade, sugerindo uma aproximação melhor da função delta de Dirac. Note que para ostermos, 𝐸𝑞2 e 𝐸𝑞3, os níveis de desvio em relação ao zero esperado da solução homogêneaℒ𝑢𝑖 𝑣𝑖𝑇 = 0 também refletem a singularidade da aproximação utilizada. De uma maneirageral, os melhores resultados foram obtidos com os gradientes mais intensos para as 4 equaçõespróximas ao ponto de singularidade.

114

7.4.1 Análise dos Comportamentos dos Tensores Soluções Fundamentais u*𝑖𝑗

e p*𝑖𝑗 para |r| → ∞.

Com o objetivo de analisar os comportamentos dos deslocamentos e das trações em meioinhomogêneo para |𝑟| → ∞, são ilustradas as curvas dos tensores 𝑢*

𝑖𝑗 (Eq. (6.1)) e 𝑝*𝑖𝑗 (Eq.(6.51)), considerando o caso especial com Poisson 𝜈 = 0.0. Para essa análise, colocou-se oponto fonte em (0.0, 0.0) e pontos campo ao longo do eixo 𝑥, tendo-se assim cossenos diretores𝑛𝑥 = 1 e 𝑛𝑦 = 0. Os coeficientes de inhomogeneidade para essa análise são 𝛽1 = 0.1 e𝛽2 = 0.1. As Figs. (7.45) e (7.46) apresentam os resultados para 𝑢*

𝑖𝑗 e 𝑝*𝑖𝑗 , respectivamente.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

−10

X [m]

U1*

(a) 𝑢*1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0x 10

−11

X [m]

U2*

(b) 𝑢*2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2x 10

−12

X [m]

U3*

(c) 𝑢*3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4x 10

−10

X [m]

U4*

(d) 𝑢*4

Figura 7.45: Comportamento de 𝑢* para |𝑟| → ∞.

115

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

X [m]

P1*

(a) 𝑝*1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

X [m]

P2*

(b) 𝑝*2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.07

−0.06

−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

X [m]

P3*

(c) 𝑝*3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.9

−0.8

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

X [m]

P4*

(d) 𝑝*4

Figura 7.46: Comportamento de 𝑝* para |𝑟| → ∞.

Os resultados apresentados equivalem a 𝑢*1 = 𝑢*

11, 𝑢*2 = 𝑢*

21, 𝑢*3 = 𝑢*

12, 𝑢*4 = 𝑢*

22,𝑝*1 = 𝑝*11, 𝑝

*2 = 𝑝*21, 𝑝3 = 𝑝*12, 𝑝

*4 = 𝑝*22. Através dos resultados verificam-se que 𝑢*

𝑖𝑗 e 𝑝*𝑖𝑗

decaem exponencialmente a zero quando |𝑟| → ∞, e as componentes 𝑢1 e 𝑢4 apresentamsingularidade quando |𝑟| → 0 .

116

8 Conclusões

8.1 Conclusões

A metodologia utilizada para se trabalhar com análise viscoelástica utilizando o MECnessa dissertação possui como um de seus pontos fortes a simplicidade e robustez da imple-mentação do avanço no tempo. Pode-se notar através dos problemas numéricos bidimensionaisanalisados utilizando o MEC para meio homogêneo, considerando tanto o Modelo de Kelvinquanto o Modelo de Boltzmann, que os resultados obtidos convergem fortemente para os re-sultados obtidos através das soluções analíticas. Para confirmar a estabilidade da formulação,as análises foram realizadas no estado plano de tensão, representado por um disco vazado, eno estado plano de deformação, representado por um cilindro vazado, as quais apresentaramresultados com alto grau de acuracidade.

Para a parte homogênea, somente integrais de contorno foram utilizadas e também foiconsiderado ausência de força de corpo. Outro ponto importante dessa metodologia é a resolu-ção de problemas viscoelásticos por simples aproximações das variáveis no domínio do tempo,resultando em um processo de marcha no tempo. Nesse processo, a cada passo de tempo umsistema linear é solucionado, gerando condições iniciais para o próximo passo.

Para se trabalhar com problemas viscoelásticos em materiais inhomogêneos utilizou-se aformulação apresentada por CHAN et al. (2004), onde é extraída através da técnica de trans-formada de Fourier uma solução de Green aproximada. Foi demonstrado numericamente queessa função não atende de maneira exata as condições homogêneas do operador diferencial as-sociado, porém fisicamente pode-se assumir como sendo uma boa aproximação, pois apresentaa singularidade desejada quando |𝑟| → 0 e decai quando |𝑟| → ∞. Dessa forma foi possíveltrabalhar com essa função aplicada ao MEC para avaliar numericamente problemas elásticos eviscoelásticos. Nota-se que também foi assumida ausência de força de corpo na formulação doMEC para análise elástica e viscoelástica em meio inhomogêneo.

Os resultados obtidos através do MEC para os problemas numéricos elásticos e visco-elásticos 1D e 2D estudados foram confrontados com soluções analíticas, quando possível,e com análises no software de elementos finitos Ansys©. Foi possível constatar um grau deacuracidade bastante razoável nos resultados, levando em consideração a variação dos coefici-entes de inhomogeneidade 𝛽1 e 𝛽2. Especialmente os casos com inhomogeneidade em apenasuma direção são muito próximos aos resultados esperados. Notou-se uma influência de ma-neira proporcional na variação dos resultados devido a relação (|𝑟||𝛽|) utilizada nas funções deBessel. Também é demonstrado de forma gráfica a divergência dos resultados, principalmentepara os problemas bidimensionais na direção 𝑦, variando-se os coeficientes 𝛽1 e 𝛽2 na funçãoaproximada utilizada. Embora sejam obtidas divergências nos resultados do MEC em algumascondições, as mesmas não invalidam a formulação utilizada, uma vez que as variações não

117

ultrapassam a ordem de grandeza dos resultados analíticos e dos obtidos através do MEF.

8.2 Trabalhos Futuros

O presente trabalho limitou-se a apenas à geometrias com um contorno. Entretanto a me-todologia pode ser facilmente extendida para o caso de multi-contornos. Pode-se assim expandiro trabalho para casos de geometrias mais complexas, como por exemplo componentes estrutu-rais feitos com MVGFs com vazios internos. Nesse estudo também limitou-se ao desenvolvi-mento das formulações do MEC para deslocamentos no meio inhomogêneo. A metodologiapode igualmente ser estendida para o estudo das tensões internas em MVGFs via o MEC. Outrotrabalho de grande relevância a ser proposto é a utilização do MEC aplicado à elasticidade eviscoelasticidade em materiais inhomogêneos em três dimensões.

118

Referências Bibliográficas

ABOUDI, J.; PINDERA, M.J. e ARNOLD, S.M. Higher-order theory for functionally gradedmaterials. Composites: Part B, v. 30, 777–832, 1999.

ASHRAFI, H. e FARID, M. A general boundary element formulation for the analysis of visco-elastic problems. Int. J. Eng., v. 23, 149–163, 2010.

ASHRAFI, H.; SHARIYAT, M. e ASEMI, K. A time-domain boundary element method for qua-sistatic thermoviscoelastic behavior modeling of functionally graded materials. Int. J. Mech.Des., v. 9, 295–307, 2013.

BIRD, R.B.; ARMSTRONG, R.C. e HASSAGER, O. Dynamics of Polymeric Liquids. JohnWiley and Sons, New York, USA, 1987.

BREBBIA, C.A. e DOMINGUEZ, J. Boundary Elements An Introductory Course.McGraw-Hill, New York, USA, 1989.

BRIGHAM, E.O. The Fast Fourier Transform. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1974.

CARINI, A.; DILIGENTI, M. e MAIER, G. Boundary integral equation analysis in linearviscoelasticity variational and saddle point formulations. Comp. Mech., v. 8, 87–98, 1991.

CHAN, Y.; GRAY, L.J.; KAPLAN, T. e PAULINO, G.H. Green’s function for two-dimensionalexponentially graded elastic medium. Proc. R. Soc., v. 460, 1689–1706, 2004.

CHEN, W. e SALEEB, A.F. Constitutive Equations for Engineering Materials. Elsevier,Amsterdam, 1994.

CHRISTENSEN, R.M. Theory of Viscoelasticity. Academic Press, New York, 1982.

COOLEY, J.W. e TUKEY, J.W. An algorithm for the machine calculation of complex fourierseires. Math. Comp., v. 19, 297–301, 1965.

119

CRIADO, R.; ORTIZ, J.E. e MANTIC, V. Boundary elements analysis of three-dimensionalexponentially graded isotropic elastic solids. Comp. Model. Eng. Sci., v. 22, 151–164, 2007.

DAVE, E.V.; PAULINO, G.H. e BUTTLAR, W.G. Viscoelasticity functionally graded finiteelement method using correspondence principle. ASCE J. Mater. Civil Eng., v. 23, 39–48,2011.

DIVO, E. e KASSAB, A.J. Generalized boundary integral equation for heat conduction in non-homogeneous media: recent developments on the sifting property. Engrg. Analy. BoundaryElements, v. 22, 221–234, 1998.

ERDOGAN, F. Fracture mechanics of functionally graded materials. Composites, v. 5, 753–770, 1995.

FLÜGGE, W. Viscoelasticity. Blaisdell Pub. Co, USA, 1967.

GRAY, L.J.; KAPLAN, T.; RICHARDSON, J.D. e PAULINO, G.H. Green‘s function andboundary integral analysis for exponentially graded materials: heat condction. J. Appl. Mech.,v. 40, 543–1549, 2003.

HIRAI, T. Functionally graded materials. Materials Science and Technology, v. 17B, 292–341, 1996.

KIM, J.H. e PAULINO, G.H. Finite element evaluation of mixed-mode stress intensity factorsin functionally graded materials. I. J. Num. Meth. in Engineering, v. 53, 1903–1935, 2002.

KNOPPERS, R.J.; GUNNINK, W.; VAN DEN HOUT, J. e VAN VLIET, W. The reality offunctionally graded material products. TNO Science and Industry, pp. 38–43, 2005.

KOBAYASHI, S. e KAWAKAMI, T. Application of be-fe combined method to analysis ofdunamic interactions between structures and viscoelastic soil. Boundary Elements VII, v. 1,6–12, 1985.

KONDA, N. e ERDOGAN, F. The mixed mode crkack problem in a nonhomogeneous elasticmedium. Engng. Fract. Mech, v. 47, 533–545, 1994.

120

LAKES, R.S. Viscoelastic Solids. CRC Press, Boca Raton, F.L., USA, 1999.

LI, J.Q.; ZENG, X.R.; TANG, J.N. e XIAO, P. Frabrication and thermal properties of a ysz-nicr joint with an interlayer of ysz-nicr functionally graded material. Journal of EuropeanCeramica Society, v. 23, 1847–1853, 2003.

MAHMOUD, F.F.; EL-SHAFEI, A.G. e ATTIA, M.A. Analysis of thermoviscoelastic friction-less contact of layered bodies. Finite Elemente Analy. Des., v. 47, 307–318, 2011.

MARKOVITZ, H. Boltzmann and the beginnings of linear viscoelasticity. Transactions of theSociety of Rheology, v. 21, 381–398, 1977.

MARTIN, P.A.; RICHARDSON, J.D.; GRAY, L.J. e BERGER, J. On green‘s function for athree-dimensional exponentially-graded elastic solid. Proc. Royal Society, v. 458, 1931–1947,2002.

MASE, G.T. e MASE, G.E. Continuum Mechanics for Engineers. CRC Press, Boca Raton,USA, 1999.

MESQUITA, A.D. e CODA, H. A boundary element methodolgy for viscoelastic analysis: Parti with cells. Applied Mathematical Modeling, v. 31, 1149–1170, 2007a.

MESQUITA, A.D. e CODA, H. A boundary element methodolgy for viscoelastic analysis: Partii without cells. Applied Mathematical Modeling, v. 31, 1171–1185, 2007b.

MIYAMOTO, Y.; KAYSSER, W. e RABIN, B. Functionally Graded Materials: Design,Processing and Applications. Kluwer Academic Press, Boston, 1999.

MUKHERJEE, S. e PAULINO, G.H. The elastic-viscoelastic correspondence principle forfunctionally graded materials. Appl. Mech, v. 70, 359–363, 2003.

PAN, E.; SASSOLAS, C.; AMADEI, B. e PFEFFER, W.T. A 3-d boundary element formulationof viscoelastic media with gravity. Computational Mechanics, v. 19, 308–316, 1997.

PAULINO, G.H.; SUTRADHAR, A. e GRAY, L.J. Boundary element methods for functionally

121

graded materials. Transactions on Modeling and Simulation, v. 34, 137–146, 2003.

PINDERA, M.J. e DUNN, P. Evaluation of the higher-order theory for functionally gradedmaterials via the finite element method. Composites, v. 28, 109–116, 1997.

RASHEEDAT, M.M.; ESTHER, T.A. e MUKUL, S. SISA, P. Functionally graded materials:an overview. Proceedings of the World Congress of Engineering, v. 3, 2012.

RIZZO, F. e SHIPPY, D.J. An application of the correspondence principle of linear viscoelas-ticity theory. SIAM J. Appl. Math., v. 21, 321–330, 1971.

SCHANZ, M. A boundary element formulation in time domain for viscoelastic solids. Comm.Num. Meth. Eng., v. 15, 799–809, 1999.

SCHAPERY, R.A. On the characterization of nonlienar viscoelastic materials. Polymer En-ginnering and Science, v. 9, 295–310, 1969.

SCHINIKAWA, T. e MITSUI, Y. Application of boundary element method to geotechnicalanalysis. Computers and Structures, v. 47, 179–187, 1993.

SIM, W.J. e KWAK, B.M. Linear viscoelastic analysis in time domain by boundary elementmethod. Comp. and Struct., v. 29, 531–539, 1988.

SIMO, J. e HUGHES, T. Computational Inelasticity. Springer-Verlag, Berlin, Germany, 1998.

SURESH, S. e MORTENSEN, A. Fundamentals of Functionally Graded Materials. Instituteof Materials IOM Communications, London, 1998.

SUTRADHAR, A.; PAULINO, G.H. e GRAY, L.J. Symmetric galerkin boundary elementmethod. Springer, 2008.

TANAKA, M. New integral equation approach to viscoelastic problems. Topics in BoundaryEleement Research, v. 3, 25–35, 1987.