UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

COMO RESOLVER UM QUADRADO MÁGICO DE ORDEM N

Catarina Maria Tataccioli - 195603 AM091 - Atividades de Matemática I

Prof. Dr. Ricardo Miranda Martins

CAMPINAS

2020

Introdução

O presente trabalho, apresentado à disciplina AM091 - Atividades de Matemática I,

do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica da UNICAMP, tem como

objetivo apresentar uma breve história sobre os quadrados mágicos, bem como um pouco da

matemática por trás dos mesmos. Entretanto, a maior parte deste trabalho é dedicada a

apresentar técnicas de resolução de um quadrado mágico de ordem n - tendo em vista que são

estratégias diferentes se n é um número par ou ímpar - de modo mais lúdico possível.

A disciplina AM091 foi criada no primeiro semestre de 2020 em decorrência da

pandemia mundial de COVID-19, quandos escolas, faculdades, e comércios em geral tiveram

que ser fechados e o mundo entrar em quarentena. O mesmo ocorreu em 1665 quando a

Grande Praga de Londres, mais conhecida como peste bubônica, atingiu a Inglaterra e, na

tentativa de conter o avanço da epidemia, governos, escolas e pequenos comércios foram

fechados.

Quadrado mágico

Imagine uma tabela quadrada com um certo número n de linhas e colunas, preenchida

com números naturais que não se repetem e que a soma dos algarismos de cada linha, cada

coluna e das diagonais é sempre o mesmo valor. Imaginou?! Pois bem, esse é um quadrado

mágico, e o resultado da soma é chamado de constante mágica.

O número n é chamado de ordem e indica quantas linhas e colunas o quadrado tem.

Um quadrado de ordem 3, por exemplo, possui três linhas e três colunas.

Figura 1: Quadrado mágico de ordem 3 e constante mágica 15

História do quadrado mágico

Ainda que a origem do quadrado mágico não

seja precisa, há relatos de que tenha surgido da China e

da Índia.

Conta-se que cerca de 2200 a.c., o

imperador-engenheiro Yu, o Grande, estava observando

o rio Amarelo quando avistou uma tartaruga sagrada e

que em seu casco estava representado nós que podiam

ser transformados nos números de 1 a 9 e que somavam

15 em todas as direções. O símbolo que atualmente é conhecido pelo nome de Lo shu recebeu

esse nome pois na época acreditava-se que esses tipos de quadrado tivessem poderes, sendo

muitas vezes gravados em metais ou pedra e usados como amuletos ou talismãs e

acreditava-se que quem possuísse um quadrado mágico teria sorte e felicidade para toda a

vida.

Durante o século XV os quadrados mágicos foram ficando conhecidos e se

propagando, até chegar à Europa. Relacionados com alquimia e astrologia eram gravados em

placas de prata e usados como amuleto contra a peste.

Ainda hoje os quadrados mágicos servem de amuleto

no Tibete, na Índia e em grande parte do sudeste da

Ásia.

Existem muitas crenças sobre os quadrados

mágicos: acredita-se que o símbolo reúne os

princípios básicos que formam o universo Yin e Yang,

onde os números pares simbolizam o princípio

feminino, Yin, e os números ímpares simbolizam o

princípio masculino, Yang. O número 5 representa a

Terra e ao seu redor estão distribuídos os quatro elementos

principais, a água 1 e 6, o fogo 2 e 7, a madeira 3 e 8 e os metais 4 e 9.

O físico e teologista alemão Heinrich Cornelius Agrippa escreveu “De Occulta

Philosophia”, onde falava de quadrados mágicos de ordem 3 até à ordem 9, associando cada

ordem à um planeta, atribuindo, assim, um significado astronômico a esses quadrados que

representavam simbolicamente os sete planetas conhecidos por Cornelius, incluindo o Sol e a

Lua (Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter, Saturno, o Sol e a Lua)

Também há registros do quadrado mágico na arte: Albrecht Dürer, famoso artista e

matemático alemão, apresentou pela primeira vez na Europa, em 1514, uma gravura de nome

"Melancolia" que, representado no canto superior direito da gravura, pode-se ver um

quadrado mágico de ordem 4x4 e constante mágica 34.

Um fato interessante sobre essa obra é que o número 34 não aparece somente na soma

das linhas, colunas e diagonais como se espera de um quadrado mágico, mas em outras

ordens também:

Figura 5: Dividindo o quadrado em outros quatro quadrados, a soma dos números de cada um é 34 e a soma dos quatro números

centrais é 34

Figura 6: A soma dos extremos do quadrado é 34

Figura 7: A soma dos números entre os extremos é 34

Figura 8: A soma dos números que formam um “círculo” ao redor dos números centrais é 34

Também é possível observar o número 1514 no quadrado mágico presente na obra de

Albrecht Dürer, ano em que a obra foi criada.

Muitos acreditavam que no quadrado mágico de Dürer havia uma certa dose de

misticismo. Os astrólogos consideravam estes quadrados como amuletos protetores,

principalmente contra a melancolia.

Um pouco da matemática do jogo

Matematicamente um quadrado mágico é uma matriz quadrada nxn cujos elementos,

que variam de 1 a n² sem repetições, formam um arranjo de modo que a soma de cada linha,

cada coluna e das diagonais principal e secundária é sempre uma constante.

Por exemplo, em um quadrado de ordem 3 dispomos de números de 1 a 9 para

preencher as células de modo que, em qualquer direção, a soma de 3 números seja sempre a

mesma.

Nesse caso precisamos saber quantos arranjos de três números podemos formar

dispondo desses 9 números, ou seja:

04A39 = 9!

(9−3)! = 6!9! = 5

A ordem dos números não é importante para a soma, mas é importante no quadrado

mágico, pois um número no lugar errado faz com que a soma das linhas, colunas ou diagonais

já não seja a constante mágica. Por isso calculamos uma combinação dos 9 números, 3 a 3:

4C39 = 9!

(9−3)!3! = 9!6!3! = 8

Se desconsiderarmos a permutação entre linhas e colunas - que totalizam um total de

12 possibilidades - teremos 72 possibilidades de montar um quadrado mágico de ordem 3.

Quanto maior a ordem, maiores as possibilidades e, como consequência, maior a

dificuldade.

Quadrados mágicos que são formados por uma sequência de números naturais que se

inicia com o número 1 são chamados de elementares, mas existem os quadrados mágicos não

elementares também, que são formados por uma sequência de números cujo primeiro termo é

diferente de 1, por exemplo a sequência dos números que irão formar o quadrado mágico

pode iniciar-se a partir do 12. Falaremos um pouco sobre estes mais adiante.

Solução matemática.

O processo de criação de um quadrado mágico do início, ou seja, quando nenhum

número está fixado, será dividido em duas partes: quadrados mágicos de ordem ímpar e

quadrados mágicos de ordem par.

Quadrados mágicos de ordem ímpar

Antes de começarmos de fato a resolver um quadrado mágico precisamos saber o

valor da constante mágica para não nos limitarmos a várias tentativas e erros, ou seja,

precisamos saber qual o valor da soma dos números de cada linha, coluna e diagonais.

Primeiramente vamos considerar um quadrado mágico de ordem 3 totalmente em

branco. Lá no começo do texto foi apresentado esse mesmo quadrado mágico e vimos que a

constante mágica é 15, mas como podemos descobrir qual será a constante mágica em um

quadrado mágico qualquer?

Bom, no nosso exemplo o quadrado mágico é de ordem 3, então ele será preenchido

com a sequência de números de 1 a 9. Sendo assim, se somarmos os números de 1 a 9

estaremos somando todos os números que compõem o quadrado mágico. Esse é exatamente

esse o primeiro passo para resolver um quadrado mágico seja ele de ordem ímpar ou par:

saber qual é a soma de todas os números que o preenchem.

Somar número por número pode ser um processo longo e exaustivo dependendo da

ordem do quadrado mágico, mas existe uma fórmula para somar todos esses termos de um 1

modo mais rápido, que é dada por:

1 Essa fórmula é conhecida como soma de Gauss, e muito usada em progressões aritméticas.

S = 2n (n+1)

Onde n é a quantidade de números da sequência. Nesse caso n = 9 pois dispomos dos

números de 1 a 9 para preencher o quadrado.

Então, substituindo n por 25 na fórmula ali em cima concluímos que a soma é

5S = 29 (9+1) = 4

Encontramos a soma de todos os números que irão preencher o quadrado mágico, mas

ainda precisamos encontrar a soma de cada linha, cada coluna e das diagonais. Como são 3

linhas e 3 colunas, ou seja, a ordem do quadrado mágico, ao dividirmos o valor da soma total

por 3, teremos a soma de cada linha e cada coluna, e as diagonais sairão como consequência!

Sendo assim:

5345 = 1

Esse é o processo para encontrar a constante mágica! Ele vale para qualquer quadrado

mágico e é essencial para a resolução do mesmo.

Agora precisamos encaixar os números de 1 a 9 nas linhas e colunas que satisfazem

essa condição. Mas como fazemos isso?

A técnica que será mostrada a seguir é uma técnica descoberta por de La Loubére em

1687 que consiste em preencher um quadrado mágico de ordem n, com n ímpar, através de

dois movimentos: ↑ →

● 1º passo: fixamos o número 1 na célula central da primeira linha e a partir do número

1 fixado iremos utilizar o movimento para colocar os próximos números da ↑ →

sequência.

● 2º passo: O primeiro movimento é de subir uma célula e deslizar para a direita e

colocar o número 2, mas ao realizar esse movimento estaremos fora dos limites do

quadrado, (figura 10), então apenas deslizamos para a célula da direita e colocamos o

próximo número, no caso o 2, na última linha e na mesma coluna para onde

deslizamos inicialmente (figura 11)

● 3º passo: prosseguimos de modo análogo ao 2º passo. Novamente o próximo número

da sequência, no caso o 3 , estará fora dos limites do quadrado (figura 12), então

permanecemos na mesma linha, porém deslocamos o número para a primeira coluna

(figura 13)

● 4º passo: Note que se continuarmos seguindo esses mesmos movimentos, algum

momento números deverão ser colocados em células já ocupadas. Nesse caso apenas

colocamos o número abaixo do seu antecessor, como é o exemplo do 4. O mesmo

acontece quando um número não se encaixa em nenhuma linha e nenhuma coluna, ou

seja, faça parte da diagonal.

● 5º passo: Continuamos o procedimento de subir uma célula e deslocar-se para a direita

e completamos o quadrado! Se você verificar verá que a soma de cada linha, cada

coluna e das diagonais é sempre 15.

Usando essa mesma técnica podemos construir um quadrado mágico de ordem 5, 7, 9

e assim por diante, desde que seja de ordem ímpar.

Quadrado mágico de ordem par

Dividiremos a solução de um quadrado mágico de ordem par em duas partes: quando

a ordem do quadrado é múltipla de 4 e quando não é.

Começando com um quadrado mágico de ordem 4. Nesse caso ele será preenchido

com números de 1 a 16 sem que nenhum número se repita.

O procedimento para encontrar a constante mágica é o mesmo de um quadrado

mágico de ordem ímpar. Somando todos os termos do quadrado mágico temos:

36S = 216 (16+1) = 1

Como são 4 linhas e 4 colunas, ou seja, a ordem do quadrado mágico, dividimos o

valor da soma total por quatro, e encontramos a soma de cada linha, cada coluna, e das

diagonais. Logo:

44136 = 3

Descobrimos que a constante mágica de um quadrado mágico de ordem 4 será sempre

34, agora basta encaixarmos os números de 1 a 16 nas linhas e colunas que satisfazem essa

condição.

A técnica para completar quadrados mágicos de ordem 4 ou de ordem múltipla de 4

está relacionada com as diagonais.

● 1º passo: Completamos o quadrado com os números de 1 a 16 em sequência, no caso

do quadrado de ordem 4, e destacamos as diagonais.

● 2ª passo: trocamos a posição dos números opostos nas diagonais, ou seja, trocam-se as

posições entre os números 1 e 16 e entre os números 6 e 11 na diagonal verde. De

modo análogo, na diagonal rosa, trocam-se as posições entre os números 13 e 4 e

entre 10 e 7.

2

Para quadrados mágicos de ordem múltipla de 4 fazemos o mesmo

procedimento, invertendo os opostos das diagonais, mas nesse caso subdividimos o

quadrado em outros quadrados de ordem 4, ou ao meio, e realizamos o processo de

inverter as diagonais. No exemplo abaixo um quadrado de ordem 8 foi dividido em 4

quadrados de ordem 4 e preenchido com números de 1 a 64 em sequência. Vale

lembrar que a constante mágica nesse caso é 260.

2 Perceba que se permutarmos as duas colunas centrais a soma não se altera, e teremos o quadrado mágico da obra “Melancolia” de Dürer.

Agora, dentro de cada quadrado destacamos as diagonais:

De como análogo ao quadrado de ordem 4 trocamos as posições dos números opostos

das diagonais principal e secundária. Por exemplo, começando com a diagonal rosa, trocamos

de posição o 8 com o 57, o 15 com o 50, o 22 com o 43 e o 29 com o 36. E no caso da

diagonal verde, trocamos o 1 com o 64, o 10 com o 55, o 19 com o 46 e o 28 com o 37.

Se pudéssemos conectar as duas diagonais menores rosa, destacadas na figura x,

poderíamos ver que elas formam na verdade uma única diagonal, cujos elementos são: 25, 18,

11, 4, 61, 54, 47, 40, o mesmo acontece com as duas diagonais menores verdes: 33, 42, 51,

60, 5 14, 23, 32.

Sendo assim, podemos trocar as posições do mesmo modo que fizemos anteriormente:

para a diagonal rosa trocamos o 4 com o 61, o 11 com o 54, o 18 com o 47 e o 25 com o 40.

Para a diagonal verde, trocamos: o 5 com o 60, o 14 com o 51, o 23 com o 42 e o 32 com o

33.

A construção de quadrados mágicos de ordem par não múltiplos de 4, que são da

forma 4m+2, onde m é um número natural (como 6, 10, 14, 18, etc.), parece ser mais

complicada, mas assim que você entende o processo se torna fácil. Usaremos um pouco das

duas técnicas apresentadas anteriormente: o movimento de subir e deslocar uma célula para a

direita e a troca de posições.

Vamos considerar um quadrado mágico de ordem 6 e cuja constante mágica é 111. 3

Nesse caso, temos 6 = 4m + 2 ⇒ m = 1.

● 1º passo: dividimos o quadrado ao meio na horizontal e na vertical, assim teremos 4

quadrados de ordem 3. Cada quadrado será preenchido como se fosse um único

quadrado de ordem ímpar na ordem mostrada na figura 24

3 Esse resultado vem da fórmula apresentada nas páginas anteriores.

● 2º passo: começamos a preencher cada quadrado utilizando o método mostrado nas

páginas anteriores: subimos uma célula e deslocamos para a direita. O primeiro

quadrado será preenchido com números de 1 a 9, isso significa que o segundo

quadrado será preenchido com números de 10 a 18, o terceiro com números de 19 a

27 e o quarto com números de 28 a 36. O processo de preenchimento de cada

quadrado será sempre o mesmo: fixamos o primeiro número na célula central da

primeira coluna e vamos colocando os próximos números da sequência. Por exemplo,

no segundo quadrado fixamos o número 10, já que no primeiro quadrado foram

utilizados os números de 1 a 9.

Se somarmos os termos das linhas e das colunas podemos perceber que somente a

soma das colunas é 111 e a soma das linhas não (figura 26). Porém, se alterarmos a ordem

dos termos nas colunas ainda teremos a mesma soma, mas esse processo fará com que a soma

das linhas também seja 111. Para a troca de posição utilizaremos um tipo de “pirâmide” que

depende daquele m que mencionado na página anterior e que está relacionado com a ordem

do quadrado mágico.

Num quadrado de ordem 6, m = 1, então a troca de posição dos termos será na

primeira coluna da esquerda e em um termo da segunda coluna apenas.

● 3º passo: Selecionamos a primeira coluna de cada quadrado do lado esquerdo sem os

termos centrais de cada um deles e o termo central da segunda coluna em cada

quadrado, como na figura 26, e no primeiro e no quarto quadrados iremos trocar a

posição de células correspondentes, ou seja, trocamos o 8 com o 35, 4 com 35 e 5 com

32. Ao realizarmos tal troca, a soma de cada linha, cada coluna e das diagonais passa

a ser 111, a constante mágica.

Essa técnica é válida para qualquer quadrado mágico de ordem par que não seja

múltiplo de 4. A diferença será apenas na inversão dos números de células correspondentes.

Como um quadrado de ordem par e não múltiplo de 4 é da forma 4m+2, dependemos

de m para definir quantas colunas serão alteradas. Após dividir o quadrado ao meio

verticalmente, as colunas alteradas na esquerda será m e na direita m-1, por esse motivo a

coluna da direita não é alterada em um quadrado mágico de ordem 6, pois

se m=1 ⇒ m-1=0.

O exemplo abaixo mostra um quadrado mágico de ordem 10. Note que nesse caso

m = 2, então na parte esquerda iremos alterar 2 colunas e na da direita 1, pois 2-1 = 1.

Quadrados mágicos não elementares

Quadrados mágicos não elementares são, basicamente, quadrados mágicos

elementares em que foi somado um número a cada um de seus termos.

Nesse caso, dispomos de n² números para dispor em n² células, entretanto a sequência

de números não começa com 1.

Para resolver problemas de Quadrados Mágicos não elementares basta construir um

Quadrado Mágico elementar - depois disso somar elemento por elemento a diferença entre o

menor valor do Quadrado Mágico pretendido com 1.

Por exemplo, podemos montar um quadrado mágico de ordem 4 com números de 12 a

28. Claro que, ao dispormos de outra sequência, a constante mágica também será outra.

Para construir um quadrado de ordem 4 com a sequência de números de 12 a 28,

montamos o quadrado de ordem 4 com os números de 1 a 16 e somamos 11 a cada termo, que

é a diferença entre o menor valor dos números disponíveis com 1 (12 - 1 = 11).

Quadrado mágico de ordem 3 e o jogo da velha

Se você conhece o jogo da velha pode perceber que há uma certa semelhança com um

quadrado mágico de ordem 3. Não consegue imaginar? Vamos ilustrar a situação: no jogo da

velha você precisa preencher uma tabela 3x3 com X e O. O objetivo do jogo é ser o primeiro

a formar, uma linha, coluna ou diagonal somente com X ou O e impedir o oponente de

conseguir fazer o mesmo.

Já no quadrado mágico de ordem 3 precisamos preencher linhas, colunas e diagonais

de modo que cada uma delas some 15. Existem 8 maneiras de somar números de 1 a 9 de

modo que a soma seja 15:

1 + 5 + 9 = 15 2 + 4 + 9 = 15 2 + 6 + 7 = 15 3 + 5 + 7 = 15

1 + 6 + 8 = 15 1 + 5 + 8 = 15 3 + 4 + 8 = 15 4 + 5 + 6 = 15

Tentar impedir que o oponente forme uma tripla no jogo da velha seria equivalente a

tentar impedi-lo de somar 15 no quadrado mágico!

Se na próxima jogada do jogo da velha a bolinha não for colocada na coluna do meio

da primeira linha, ela será preenchida com X, formando uma tripla. Equivalentemente, se o

jogador do quadrado mágico permitir que seja colocado o número 1 na coluna do meio da

primeira linha a soma será 15.

A estratégia para vencer ou pelo menos empatar o jogo da velha é imaginá-lo como

um quadrado mágico de ordem 3 e tentar ser o primeiro a somar 15 em uma das colunas,

linhas ou diagonais e impedir que seu oponente o faça primeiro.

Se o primeiro jogador, geralmente X,

preencher três cantos suas chances de vencer ou

empatar são maiores, já que terá três

possibilidades de colocar mais um X e formar uma

tripla, pois a bolinha teve menos jogadas e

independente da posição colocada, que podem ser

colocadas em duas células amarelas para impedir a

tripla, X ainda está em vantagem.

Neste trabalho foram apresentadas três maneiras de construir quadrados mágicos do

zero, ou seja, sem nenhum número, mas será que é possível resolver quadrados mágicos onde

já existem alguns números fixos? A resposta é sim, porém, quanto maior for a ordem do

quadrado mágico, mais difícil é esse processo, já que as possibilidade de soma são cada vez

maiores.

Você pode acessar o jogo do quadrado mágico de ordem 4, elementar ou não, e o jogo

da velha, através dos QR Codes abaixo, ou através dos links. Para utilizar o QR Code basta 4

abrir a câmera do seu celular e apontar para a imagem que você será redirecionado para o site

dos Clubes de Matemática da OBMEP - Quadrado mágico ou para o Jogo da velha do

Google.

4Quadrado mágico: http://clubes.obmep.org.br/blog/jogo-quadrado-magico/ Jogo da velha: https://www.google.com/search?q=jogo+da+velha&source=lmns&bih=657&biw=1349&hl=pt-BR&sa=X&ved=2ahUKEwjD-a3o_PLqAhXDCbkGHacnAFoQ_AUoAHoECAEQAA

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Atividade do PIBID. Quadrados mágicos - Atividade dos bolsistas do

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TV Escola. Matemática em toda parte | Artes - Quadrado Mágico. Youtube, 30 de out. de

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Matema SamPa. Quadrado Mágico de ordem ímpar (5×5) Resolução do exercício

proposto. Youtube, 15 de dez. de 2017. Disponível em:

<https://www.youtube.com/watch?v=h5AnXn2ERkg>