SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

PRODUÇÃO DIDÁTICO - PEDAGÓGICA

MARGARETH PANGONI VEJAN

OS FRACTAIS EM UM LABORATÓRIO DE ENSINO

DE MATEMÁTICA

MARINGÁ – PR.

2008

MARGARETH PANGONI VEJAN

UNIDADE DIDÁTICA

Desenvolvido por meio do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, na área de Matemática, com o tema de intervenção – Os fractais em um Laboratório de Ensino de Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Valdeni Soliani Franco

MARINGÁ– PR.

2008

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS ------------------------------------------------------------------------ 04

LISTA DE TABELAS ------------------------------------------------------------------------ 05

1 INTRODUÇÃO ----------------------------------------------------------------------------- 06

1.1 Origem dos Fractais -------------------------------------------------------------------- 07

1.2 Definição dos Fractais ---------------------------------------------------------------- 08

1.3 Teoria do Caos -------------------------------------------------------------------------- 10

2 ATIVIDADES ------------------------------------------------------------------------------- 11

CONCLUSÃO --------------------------------------------------------------------------------- 27

REFERÊNCIAS ------------------------------------------------------------------------------ 28

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1 - Conjunto de Mandelbrot ------------------------------------ 08

FIGURA 2 - Imagem de uma samambaia com propriedades

fractais --------------------------------------------------------------------------- 09

FIGURA 3 - Triângulo de Sierspinski ------------------------------------ 09

FIGURA 4 - Comparação entre a dimensão Euclidiana e a

dimensão fractal --------------------------------------------------------------- 10

FIGURA 5 – Conjunto Julia ------------------------------------------------ 10

FIGURA 6 - Bloco quadrado de madeira ------------------------------- 15

FIGURA 7 - Fractal Triminó ------------------------------------------------ 15

FIGURA 8 - Fractal Heptaminó -------------------------------------------- 16

FIGURA 9 - Fractal Pentaminó -------------------------------------------- 17

FIGURA 10 - Triângulo de Sierspinski ----------------------------------- 19

FIGURA 11 - Triângulo aritmético de Pascal -------------------------- 19

FIGURA 12 - Triângulo de Pascal ---------------------------------------- 20

FIGURA 13 - 1° Passo para construção do Cartão Degraus

Centrais ------------------------------------------------------------------------- 21

LISTA DE TABELAS

TABELA 1 - Etapa x Número de triângulos ---------------------------- 14

TABELA 2 - Iteração x Número de paralelepípedos novos -------- 25

TABELA 3 - Volume dos Novos paralelepípedos em cada

interação e volume total para o Cartão Degraus Centrais ---------- 26

OS FRACTAIS EM UM LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA

INTRODUÇÃO

Um dos maiores desafios atuais dos educadores matemáticos está em

encontrar métodos e processos para tornar suas aulas mais agradáveis e

interessantes e assim permitir aos alunos o acesso aos conhecimentos, dando-

lhes condições para explorarem a realidade, de tal maneira que possam

participar e interferir de maneira positiva na sociedade em que vivem.

Diante disso, é necessário repensarmos as nossas práticas

pedagógicas, atualizarmos nossos conhecimentos, renovar nossas

metodologias, fazendo assim com que a escola se torne um lugar realmente de

aprendizagem, onde o aluno se sinta motivado para adquirir o conhecimento.

Vivemos numa sociedade que está em constante mudanças e

transformações, exigindo profissionais críticos, criativos, com capacidade de

pensar, de aprender, de trabalhar em equipe e de se conhecer como pessoa.

Sendo assim, a escola não pode ficar alheia a tudo isto, tanto ela como nós

professores precisamos acompanhar essas mudanças.

O ensino da Geometria é uma das preocupações desses educadores,

visto ser um conteúdo de suma importância, de acordo com as Diretrizes

Curriculares da Rede Pública de Educação do Estado do Paraná. Mas as

pesquisas mostram que as práticas pedagógicas nas escolas ainda

negligenciam este estudo. São muitas as dificuldades encontradas por alunos e

professores no processo ensino/aprendizagem da geometria, seja ela a

Euclidiana ou a Não-Euclidiana, e, por isso, esse conteúdo na maioria das

vezes fica em segundo plano, visto de maneira superficial e fragmentado.

Encontramos na natureza diversas formas geométricas, as quais são

difíceis de serem descritas pela Geometria tradicional Euclidiana. Suas formas

apresentam uma maior complexidade, que necessita de uma nova linguagem

para descrevê-las, modelá-las e interpretá-las, para isso hoje utiliza-se, a

Geometria da Natureza ou Geometria dos Fractais.

Partindo do pressuposto que os fractais estão presentes

7

em nosso cotidiano ou na natureza, tivemos curiosidade em aperfeiçoar nossos

conhecimentos referente a esta teoria, motivo pelo qual nos estimulou a realizar esta

pesquisa e aplicá-la em sala de aula, mais especificamente em uma 8ª Série do

Ensino Fundamental utilizando um Laboratório de Ensino de Matemática e

trabalhando com materiais manipuláveis, na medida que for possível.

Esta unidade didática explora a geometria dos fractais, suas propriedades e

características a partir da construção de cartões fractais tridimensionais, destacando

aspectos fundamentais da geometria euclidiana, e também outras atividades para

serem trabalhadas com materiais manipuláveis no Laboratório de Ensino de

Matemática.

Acreditamos que, por ser um trabalho diferente, possa motivar e envolver os

alunos para sair da “rotina” que tornam as aulas de matemática chatas e cansativas,

segundo depoimento dos próprios alunos.

1.1 Origem dos Fractais

A idéia de fractais teve a sua origem no trabalho de alguns cientistas entre

1857 e 1913. Esse trabalho deu a conhecer alguns objetos catalogados como

“monstros” que se supunha não terem grande valor científico. Tais objetos acabaram

por adquirir um estatuto de dignidade matemática, constituindo hoje uma área

importante de investigação matemática.

Em 1872, Karl Weierstrass encontrou o exemplo de uma função com

propriedade de ser contínua em todo seu domínio, mas em nenhuma parte

diferenciável. O gráfico desta função é chamado atualmente de fractal. Em 1904,

Helge Von Kock, não satisfeito com a definição muito abstrata e analítica de

Weierstrass, deu uma definição mais geométrica de uma função similar, atualmente

conhecida como kock snowflake (ou floco de neve de Koch), que é o resultado de

infinitas adições de triângulos ao perímetro de um triângulo inicial. Cada vez que

novos triângulos são adicionados, o perímetro aumenta, e como conseqüência se

aproxima do infinito, dessa maneira o fractal abrange uma área finita dentro de um

perímetro infinito.

Houve também muitos outros trabalhos relacionados a estas figuras, mas

esta geometria só conseguiu se desenvolver plenamente a partir da década de 60,

com o auxílio da computação.

8

Esses objetos foram construídos para mostrar que existiam objetos

matemáticos interessantes além das curvas e superfícies regulares da geometria

tradicional.

Foram vários os tipos de Fractais descobertos desde os anos 80, cada um

tinha uma equação que gerava uma série de números complexos. Talvez a mais

famosa imagem fractal seja a chamada ‘Conjunto de Mandelbrot’ em honra a seu

descobridor.

1.2 Definição de Fractais

Diferentes definições de Fractais surgiram com o aperfeiçoamento de sua

teoria. A noção que serve de fio condutor foi introduzida por Benoilt Mandelbrot por

meio do neologismo “Fractal”, que surgiu do adjetivo latino fractus, que significa

“irregular” ou “quebrado”, conforme já foi mencionado anteriormente. Uma primeira

definição matemática dada pelo próprio Mandelbrot diz: “Um conjunto é dito Fractal

se a dimensão Hausdorff-Besicovitch deste conjunto for maior do que sua dimensão

topológica”. É claro que essa definição recebeu críticas e também não satisfazia ao

próprio Mandelbrot.

Segundo K.J. Falconer, autor de duas obras importantes sobre fractais (1985

e 1990), sugeriu a definição de fractal por caracterização: Um conjunto é fractal se

possuir alguma forma de auto-similaridade ainda que aproximada, onde a sua

Os fractais deram origem a um novo ramo

da matemática, muitas vezes chamada como a

Geometria da Natureza. O termo fractal foi utilizado

pela primeira vez em 1967 por Benoit Mandelbrot

considerado o pai dos fractais. Mandelbrot quando

estava preparando sua primeira obra importante

sobre fractais para publicação em livro, sentiu

necessidade de encontrar um nome para sua

geometria. Começou então, a consultar um

dicionário de latim do seu filho, onde encontrou o

adjetivo fractus, do verbo frangere, que significa

quebar. Criou se então o termo fractal.

Figura 1 Conjunto de Mandelbrot www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99

/icm14/mandelbrot.jpg

9

dimensão seja maior que a dimensão topológica, e que este conjunto possa ser

expresso por meio de um procedimento recursivo ou interativo.

Nota-se que este conceito de fractal ainda tem muito a desejar,

principalmente se queremos uma definição mais formal. Entretanto, essa dificuldade

não deve ser obstáculo na Educação, podemos passar para o aluno uma

conceituação mais simples e de fácil compreensão e entendimento. Para definirmos

os fractais de uma maneira simples, basta observarmos uma propriedade especial

que possuem que pode ser considerada característica, conhecida como auto-

similaridade, ou seja, os fractais possuem uma cópia de si própria, em cada uma de

suas partes. Segue que suas partes lhes são semelhantes.

As principais propriedades que caracterizam os fractais são:

� A auto-similaridade: Um fractal costuma apresentar cópias aproximadas

de si mesmo em seu interior. Um pedaço é similar ao todo. Visto em

diferentes escalas a imagem de um fractal parece similar.

Auto-semelhança aproximada auto-semelhança exata

Fig. 2 Samambaia www.educ.fc.ul.pt/.../icm43/imagens/fractnat.gif

Fig. 3 Triângulo de Sierspinski www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm14/solres4.gif

� A complexidade infinita: É uma propriedade dos fractais que significa que

nunca conseguiremos representá-la completamente, pois a quantidade de

detalhes é infinita.

� A dimensão dos fractais: Ao contrário do que acontece na geometria

euclidiana, não é necessariamente uma quantidade inteira, e sim uma

quantidade fracionária. A dimensão de um fractal representa o grau de

ocupação deste no espaço, que tem a ver com o seu grau de irregularidade.

10

Embora não aparentem, os fractais podem ser encontrados em todo o

universo natural e em quase toda ciência, desde os aspectos das nuvens,

montanhas, árvores, brócolis, couve-flor, relâmpagos, até a distribuição das

galáxias, assim como na arte e na matemática.

É importante ressaltar que hoje a aplicação do conceito de fractal em

problemas reais, se estende por um vasto campo interdisciplinar como: Biologia,

Geografia, Medicina, Música, Economia, Indústria Cinematográfica, Análise de

Imagens por Satélite, Meteorologia, Geologia e outros.

Para os biólogos, ajuda a compreender o crescimento das plantas. Para os

médicos dá uma nova visão da anatomia interna do corpo. Para os físicos, possibilita

o estudo de superfícies confusas. Enfim não faltam exemplos. Um dos mais belos e,

sem dúvida o mais colorido é o uso dos fractais na arte. Quando os computadores

são alimentados com equações eles criam magníficos desenhos abstratos.

1.3 Teoria do Caos

A Teoria do Caos é relativamente

recente, sua investigação teve início nos

anos 60 e é considerada a terceira grande

revelação deste século nas ciências

físicas.

Sabemos que a Geometria

Euclidiana estuda as formas regulares

Fig. 4 Comparação entre a Dimensão Euclidiana e a Dimensão Fractal http://www.insite.com.br/fractarte/artigos.php

Figura 5 - Conjunto Julia ocw.upm.es/.../ffb129cfaaff6d14985de92d6d1ba654

11

que quase sempre são feitas pelo homem, já a geometria fractal estuda padrões

regulares e organizados dentro de uma certa irregularidade, muito encontrada na

natureza.

Com isto, podemos dizer que a Geometria Fractal por explicar coisas de

estruturas quebradas, estranhas e infinitamente complexas, está intimamente ligada

à Teoria do Caos, que busca padrões organizados de comportamento dentro de um

sistema aparentemente aleatório. Na Mitologia grega, Caos era o estado não-

organizado, ou o Nada, de onde todas as coisas surgiam. Mas não era apenas um

simples vácuo e sim o estado de escuridão e nebulosidade infinita.

Atualmente com o desenvolvimento da matemática e ciência a Teoria do

Caos surgiu com o objetivo de compreender e dar respostas as formas e

irregularidades da natureza. Sistemas de comportamento caótico são encontrados

em muitos campos da ciência e engenharia e são estudados, pois muitas vezes são

achados padrões que mostram uma estrutura ordenada no sistema. Porém,

compreendendo o comportamento caótico, muitas vezes é possível entender como o

sistema se comportará como um todo ao longo do tempo.

“O Caos não tem estátua nem figura e não pode ser imaginado; é um espaço

que só pode ser conhecido pelas coisas que nele existem, e ele contém o universo

infinito”. (Frances A. Yates)

ATIVIDADES

Essa unidade didática se propõe a apresentar algumas atividades para

serem desenvolvidas tanto na sala de aula como em um Laboratório de Ensino de

Matemática (LEM), com materiais manipuláveis sobre o ensino da Geometria-Não

Euclidiana, mas especificamente os Fractais.

2.1 Atividade 01

Uma prática interessante, já que os fractais estão muito ligados a natureza,

seria que o professor levasse os alunos para observar um jardim, ou uma paisagem

natural para que eles mesmos identifiquem as formas fractais naturais na qual eles

convivem no dia-a-dia sem perceber.

12

Esta atividade se torna útil e interessante a medida que o aluno possa

perceber que a matemática não é uma disciplina isolada, e que está relacionada

com a Biologia e para que os alunos passem a observar e valorizar mais a natureza

ao invés de degradá-la e também para que a matemática não seja vista como

números e contas sem aplicações.

2.2 Atividade 02

A Geometria Fractal

A idéia de se explorar a Geometria Fractal deve-se ao fato de observar que

a Geometria freqüentemente é mostrada de uma forma não natural, já que não é

capaz de descrever as formas encontradas na natureza, como as montanhas, as

nuvens, os litorais. A percepção de tais formas levou matemáticos a estudá-las sob

os aspectos que Euclides não alcançou, tornando-se assim, um estudo das “formas

sem formas”.

Foi aceitando este desafio que Benoit Mandelbrot compreendeu e

desenvolveu esta Geometria da Natureza e planejou o seu uso em diversos

números de aplicações. A partir desta teoria, descreveu vários dos irregulares e

fragmentados modelos que encontramos a nossa volta por meio da família de

formas, a qual chamou de fractais.

Entre o final do século passado e o início do atual, matemáticos como

Cantor, Helge Von Koch, Gaston Julia e Pierre Fatou experimentaram o que hoje é

considerado como fractal clássico, a origem do que chamamos de Geometria

Fractal- a Geometria da Natureza. Rejeitados pela comunidade matemática como

“patologicamente diferente de qualquer coisa encontrada na natureza e

monstruoso”, entre os anos 60 e 70, Mandelbrot e outros matemáticos revisaram

esta teoria utilizando-se de uma nova e poderosa ferramenta: o computador.

O texto acima fala dos fractais, tema que vem conquistando estudiosos e

curiosos em todo mundo.

a) O texto destaca alguns nomes importantes para os estudos sobre

Geometria Fractal, entre eles: Cantor, Helge Von Koch, Gaston Julia e

Pierre Fatou. Faça pesquisas em livros, revistas ou na internet e busque

a imagem dos fractais que possui o nome dos estudiosos acima.

13

b) Observe as imagens e responda qual é a principal característica dos

fractais.

2.3 Atividade 03

Construindo fractais

Como você pode perceber, os fractais estão mais presentes em nossa vida

do que imaginávamos.

Nesta atividade, iremos construir um fractal, vamos utilizar uma régua, papel

quadriculado e lápis de cor.

� Usando o papel quadriculado, construa um triângulo eqüilátero.

� Marque o ponto médio em cada um de seus lados.

� Construa segmentos unindo esses pontos médios.

� Quantos triângulos você possui agora?

� Pinte os três triângulos (do exterior) de uma mesma cor. Não pinte o triângulo

central.

� Para cada triângulo colorido, marque o ponto médio em cada um de seus

lados e construa segmentos unindo esses pontos médios.

� E agora, quantos triângulos você possui?

Pense e responda:

a) Qual o nome do fractal que você acabou de construir?

b) Registre na tabela abaixo o número de triângulos em cada etapa da

construção.

14

Tabela 1: Etapa x Número de triângulos

Etapa Número de triângulos

0

1

2

3

4

5

2.4 Atividade 04

Os alunos desenvolveram em grupo no Laboratório de Ensino de

Matemática (LEM) algumas atividades com a construção de fractais com

manipulação de materiais concretos.

O material necessário mais adequado para as atividades que serão

desenvolvidas a seguir poderá ser um conjunto de aproximadamente 250 peças

quadradas, de madeira( com pequena espessura),conforme a figura abaixo:

Figura 6- bloco quadrado

Sugestão: Pode ser usado o material dourado.

15

ATIVIDADE 4.A - Fractal Triminó

Fig.7.1-nível 1 Fig.7.2-nível 2 Fig.7.3-nível 3

Construção:

1. Considere o triminó não-reto, construído por 3 quadrados (Fig.7.1), que serão

fractal em nível 1.

2. O aluno deverá substituir cada peça quadrada por um triminó L (Fig.7.2), teremos

assim o Fractal em nível 2.

3. Novamente o aluno deverá trocar cada quadrado por um triminó (Fig.7.3), obtendo

assim o Fractal ao nível 3.

Exploração: Observe que no Nível 1 foram usadas 3 peças:no Nível 2: 3 x 3= 9

peças;no Nível 3: 3 x 32 = 27 peças

Agora é sua vez:

Fig.7.4- nível 4

16

- Construa o Fractal Triminó ao Nível 4 observando a figura 7.4.

- Quantas peças foram usadas?

- Para construir um Fractal Triminó ao Nível 5, quantas peças serão necessárias?

- E para construir um Fractal Triminó ao Nível n?

- Agora você e capaz de descobrir que conteúdo da matemática está relacionado

com esta atividade?

- Qual o perímetro em cada nível, considerando a medida de cada peça conforme a

fig. 6 ?

ATIVIDADE 4.B - Fractal Heptaminó em H

Construção

1. Considere um quadrado e substitua-o por um H ( de 7 peças quadradas) para

obter o gerador (Fig.8.1)

2. Para obter o nível 2 (Fig.8.2), basta substituir cada quadrado pelo próprio H da

Fig.8.1.

Fig.8.1-nível 1 Fig.8.2-nível 2 Fig.8.3-nível 3

17

3. O nível 3 (Fig. 8.3) será obtido substituindo cada quadrado do nível 2 pelo 1,

conforme figura 8.3.( por utilizar muitas peças, pode ser feito uma ou duas figuras

na sala)

Exploração:

- Você observou que no Nível 1 foram usadas 7 peças, no Nível 2: 72 = 49 peças,

Nível 3 : 73 = 343 peças , e o Nível 4 teriam quantas peças?

-Qual o perímetro no nível 1 e no nível 2? (não esqueça que o lado de cada peça

mede 2,5 cm).

-Descubra a área das figuras em cada nível?

- O que acontece com o valor da área e do perímetro a medida que o nível

aumenta?

ATIVIDADE 4.C - Fractal Pentaminó em T

Fig. 9.1-nível 1

Fig.9.2-nível 2 fig.9.3-nível 3

Construção:

1. Usando 5 peças construa um T conforme (fig.9.1), este será o Nível 1

18

2. Observe a Fig.9.2 e substitua os quadrados pelo gerador da (Fig.9.1), formando

um T.

3. Continue e encontrará o Nível 3,conforme Fig.9.3.

Resolva:

- Quantas peças foram usadas em cada Nível?

Nível 1 ....peças Nível 2..........peças Nível 3 .........peças .

- Quantas peças seriam necessárias para construir a figura no nível 4 ?

-Encontre a área em cada nível, considerando as medidas de cada peça como a

fig.6 (lado 2,5cm).

- Calcule o perímetro de cada figura.

- O que acontece com o valor da área e do perímetro a medida que o nível

aumenta?

- Que fórmula poderia usar para encontrar a quantidade de peças que seriam

necessárias no nível n desta atividade?

3.5 Atividade 05

Relação entre o Triângulo de Sierpinski e o Triângulo de Pascal.

O importante desta atividade é observar como estes dois triângulos estão

intimamente ligados, apesar de que aparentemente nada parece que os relaciona,

visto que um deles é um “amontoado” de números e o outro contém no seu interior

um padrão geométrico.

Objetivos:

19

- Que no final da atividade o aluno possa visualizar a relação entre os dois

triângulos, identificando os padrões do triângulo de Sierpinski no Triângulo de

Pascal.

- Seja capaz de usar os critérios de divisibilidade de um número por 2, 3, 4, 5 e 10.

- Relacionar a simetria do padrão numérico do Triângulo de Pascal com as simetrias

patentes nos padrões geométricos encontrados a partir de um padrão numérico.

Triângulo de Sierpinski

O triângulo de Sierpinski é um fractal cuja principal característica é não

perder a sua definição inicial à medida que é ampliado. Observe esta característica

na figura abaixo. Esse triângulo foi criado pelo matemático polonês Waclaw

Sierpinski em 1915.

Para construção desse triângulo, partimos de um triângulo eqüilátero. Em

seguida unem-se os pontos médios de cada lado do triângulo, formando 4 triângulos

cujos lados estão ligados. Elimina-se o triângulo que está no centro. A recursão

resume-se em repetir indefinidamente o procedimento anterior em relação a cada

um dos triângulos obtidos.

Triângulo de Sierpinski

Figura10-Triângulo de Sierpinski

www.inf.ufsc.br/~visao/2000/fractais/image02

4.jpg

Triângulo aritmético de Pascal

Figura 11- Triângulo aritmético de Pascal

Fonte:Descobrindo a Geometria Fractal para

sala de aula

Qual a relação do Triângulo de Sierpinski com o Triângulo de Pascal?

20

Construção:

1. Construir o Triângulo de Pascal com pelo menos 8 ou 16 linhas( pode usar a

malha de triângulos equiláteros ou hexágonos).

2. Colorir em preto as casas correspondentes aos números ímpares.

3. Que observas?

4. Será que outros padrões numéricos geram também padrões geométricos?

Comentário: Realmente o Triângulo de Pascal se transforma no Triângulo de

Sierpinski,como podemos visualizar na figura abaixo, mas esta não é a única

configuração interessante que podemos obter com o Triângulo de Pascal.

Figura 12-Triângulo de Pascal

www.educ.fc.ul.pt/.../icm48/images/s1img676.gif

Sugestões:

a) Construa o Triângulo de Pascal (use a malha triangular) e pinte os números

divisores de 2? O que acontece?

b) Agora construa um outro Triângulo de Pascal e pinte os números que são

múltiplos de 4? Continua formando um fractal?

c) Experimente construir o fractal múltiplo de 5 em um outro Triângulo de Pascal.

Comentário: Pensamos que esses fractais podem motivar os alunos durante as

aulas de matemática, devido aos belos visuais, integrando a matemática com a arte.

Sugerimos, portanto, a realização de atividades educacionais de construção de

outros fractais por múltiplos no Triângulo de Pascal.

21

3.6 Atividade 06

Construindo o cartão Degraus Centrais

A atividade de construção de cartões fractais tridimensionais é uma forma

interessante e motivadora de apresentar a geometria dos fractais para os alunos de

Ensino Fundamental, pois é uma atividade que envolve o raciocínio e a

concentração do aluno.

Os cartões resultam de uma seqüência de cortes (linhas cheias) e

dobraduras (linhas pontilhadas).

Figura 13: Planificação do cartão Degraus Centrais

[URIBE, 2004, p.19].

1. Pegue uma folha de tamanho A4.

2. Dobre a folha a meio, ao longo de sua altura, como mostra a figura 14.

22

Figura 14: Dobradura inicial (Passo 2). Imagens da autora

3. Com a folha dobrada ao meio, faça dois cortes verticais simétricos a uma

distância x

4 das extremidades da folha, de altura 2a , como mostra a figura

15. Observe que : a = 2 x x

4 =x

2

4. Dobre o retângulo formado para cima, fazendo um vinco na dobra.

Figura 15: Passo 3 –

x

23

Figura 16: Passo 4.

5. Volte o retângulo dobrado para a posição inicial e puxe o centro da figura em

relevo. Podemos dizer que esta é a primeira geração do cartão fractal.

Figura 17: Primeira geração do cartão

fractal

6.Dobre a folha novamente, conforme a figura 16, pois as gerações seguintes

serão obtidas seguindo os mesmos passos de 3 a 5, porém em uma escala

menor, apenas na região dobrada. A segunda geração do cartão fractal é obtida

com o corte mostrado na figura 18.

Figura 18: Passo 6

24

7. Dobre o retângulo para cima, fazendo um vinco na dobra.

Figura 19: Passo 7

8.Volte o retângulo dobrado para a posição inicial e puxe a figura em relevo. Neste

momento, temos a primeira e a segunda geração do cartão fractal.

Figura 20: Primeira e segunda geração do cartão fractal. 9. Para obter mais gerações, repita esse processo enquanto for possível realizar os

cortes e as dobraduras no papel, sempre usando a regra de corte estabelecida no

passo 3. Por fim, desdobre todos os recortes e puxe as figuras em relevo. A figura

21 mostra um cartão de quatro gerações obtido pelo processo descrito.

25

Figura 21: Cartão fractal Degraus Centrais-Imagens da autora

Podemos observar que o cartão da figura 21 possui estruturas auto-similares,

também é possível observar que as formas geométricas resultantes dos cortes e

dobraduras são paralelepípedos.

Durante a construção percebemos que, a cada novo corte e dobradura,

obtemos novos paralelepípedos. Se chamarmos de iteração zero, a primeira

geração do cartão, quantos paralelepípedos novos surgem a cada interação?

Podemos explorar a construção do cartão construindo a tabela 2.

Tabela 2: Iteração X Número de paralelepípedos novos

Iteração Número de paralelepípedos novos

0 1

1

2

3

4

... ...

n

Observe que a cada iteração, o número de novos paralelepípedos dobra,

porém, em escala menor. Com isso podemos concluir que o processo de construção

26

dos paralelepípedos em cada iteração é descrito pela lei de potência 2n

, onde n=

0,1,2,3.... é o número das iterações. Identificamos que a cada nova iteração temos

um paralelepípedo cercado por dois novos paralelepípedos. Este valor será

denominado fator multiplicador.

Podemos incrementar nossa tabela explorando o volume de cada

paralelepípedo gerado em diferentes iterações (Figura 22). Na primeira geração, o

volume do paralelepípedo construído será : a x a/2 x a/2 = a3

/4

A tabela 3 mostra o cálculo dos volumes dos paralelepípedos obtidos nas

diferentes iterações, assim como volume total. Nesse caso, a lei de potência dos

volumes produz equações de maior complexidade, onde não será possível

trabalharmos nesta unidade, pois se trata de conteúdo do ensino médio.

Portanto, podemos pedir para os alunos calcularem o volume do novo

paralelepípedo que aparece em cada iteração,como mostra a tabela abaixo e no

final da atividade, pedir para que calculem também o volume total.

Tabela 3: Volume dos novos paralelepípedos em cada iteração e volume total

para o cartão Degraus Centrais

Iteraçã

o

Volume do novo

paralelepípedo

Volume total

(Soma dos volumes de todos os

paralelepípedos)

Figura 22: Paralelepípedo obtido na primeira

iteração.

27

0

20

332

2242 ×

×

a=

a=a

a

a3

4

1

2

... ... ...

n

Observe também que o cartão possui auto-similaridade, ou seja, ele mantém

a mesma forma e estrutura sob uma transformação de escala e complexidade

infinita. Se fosse possível continuar infinitamente o processo de corte e dobradura,

nunca obteríamos o “cartão Final”, pois a lei que define o processo de construção

poderá continuar a ser aplicada infinitamente.

CONCLUSÃO

Este estudo mostra que existem objetos e fenômenos importantes à serem

trabalhados além daqueles que conhecemos na geometria Euclidiana.

Mostra se dessa forma, que os fractais, este novo ramo da matemática,

fornecem uma nova maneira de ver o mundo e sua geometria vem cada vez mais

sendo explorada pelos pesquisadores, devido à variedade de aplicações, na

Biologia, na Medicina, na Economia, na Arte, entre outras.

Por ser um tema atual e amplo, a exploração da geometria dos fractais por

meio de materiais manipuláveis, permite tornar as aulas de matemática um espaço

propício para aprendizagem, unindo aspectos lúdicos com a abordagem de

conceitos matemáticos.

É importante ressaltar que apesar das inúmeras aplicações e utilidades, os

fractais têm um longo caminho pela frente. Faltam muitas ferramentas e vários

problemas continuam sem solução.

28

Vivemos num mundo em que a ciência revela novos mistérios a cada dia, e

para cada descoberta descortinam-se novos e inesperados horizontes, gerando

mais e mais interrogações.

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REFERÊNCIAS

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