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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ - UNIOESTE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO (NÍVEL MESTRADO) FELIPE JOSÉ REZENDE DE CARVALHO INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO DE COMPUTADORES POR MEIO DE UMA TAREFA DE MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA FOZ DO IGUAÇU – PR 2018
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ - UNIOESTE
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO (NÍVEL MESTRADO)
FELIPE JOSÉ REZENDE DE CARVALHO
INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO DE COMPUTADORES POR MEIO DE UMA TAREFA DE MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
FOZ DO IGUAÇU – PR 2018
FELIPE JOSÉ REZENDE DE CARVALHO
INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO DE COMPUTADORES POR MEIO DE UMA TAREFA DE MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu em Ensino, nível Mestrado, da UNIOESTE, Campus Foz do Iguaçu – PR para obtenção do título de Mestre em Ensino. Linha de pesquisa: Ensino de Ciências e Matemática Orientador: Prof. Dr. Tiago Emanuel Klüber
FOZ DO IGUAÇU – PR
2018
AGRADECIMENTOS
Após essa longa jornada de trabalho é importante demonstrar gratidão
àqueles que, mesmo indiretamente, contribuíram para a realização desse sonho.
Assim, gostaria de registrar meu carinhoso agradecimento aos meus familiares que
sempre torceram por mim, especialmente aos meus pais e irmã. Saibam que suas
simples palavras de incentivo muito favoreceram para que eu chegasse aqui.
Agradeço também à Bruna, minha esposa. Muito obrigado pelo incentivo e,
principalmente, por sua compreensão nos muitos momentos de ausência.
Certamente nada disso teria sido possível sem seu constante apoio e carinho.
Aos professores colegas do grupo de pesquisa, muito obrigado pelas
discussões que sempre ensejaram boas reflexões. Aproveito para registrar um
especial agradecimento aos professores Silvio Martins, Carla Tambarussi e Elhane
Carraro pelas várias leituras, críticas e sugestões que fizeram sobre meus textos e
essa dissertação. Certamente ajudaram muito a melhorar a qualidade do trabalho e
me proporcionaram mais tranquilidade ao longo dessa caminhada.
À professora Gabriele Mutti, deixo meu profundo agradecimento. Gabi, muito
obrigado pelas infindáveis conversas e apoio, especialmente nos momentos em que
os afazeres pareciam maiores do que poderia suportar. Suas contribuições foram
essenciais para concluir esse trabalho.
Agradeço também a todos os colegas do mestrado. Compartilhar nossas
angústias e conquistas certamente facilitaram essa caminhada. Registro um especial
agradecimento à professora Luani pelo apoio incondicional e amizade, muito
obrigado.
Aos grandes amigos e amigas do IFPR Campus Capanema – Lucas, Lelo,
Cléber, Elize, Leocádia, Dani, Marcos, muito obrigado pelo constante incentivo e
apoio nessa jornada de estudos.
Ao professor e orientador Tiago Emanuel Klüber. Professor, obrigado por
acreditar que poderíamos chegar aqui. Todos os seus ensinamentos e orientações
me oportunizaram um crescimento e amadurecimento ímpar.
Aos meus colegas de departamento do Colégio de Aplicação da Universidade
Federal de Juiz de Fora. Obrigado por me apoiarem e me substituírem nos
momentos em que precisei estar ausente devido aos compromissos da pós-
graduação. Registro um especial agradecimento ao meu amigo, professor Leonardo
José da Silva, por todo seu apoio no desenvolvimento dessa pesquisa, incentivo e
ensinamentos.
Agradeço também à Universidade Federal de Juiz de Fora pelo apoio
financeiro no último semestre do curso.
Por fim, agradeço a Deus, pois sem Ele nada seria possível.
Ensinar não é transferir conhecimento, mas criar as possibilidades para a sua própria produção ou a sua construção.
Paulo Freire
LISTA DE FIGURAS Figura 1: Vídeo inserido no Atlas.ti para análise .............................................................. 31
Figura 2: Trecho do vídeo selecionado para criar uma unidade de significado .......... 32
Figura 3: Exemplo de criação de unidade de significado ................................................ 32
Figura 4: A situação inicial e a situação final na Modelagem Matemática ................... 41
Figura 5: Fases da Modelagem Matemática ..................................................................... 42
Figura 6: Utilização do Google Mapas ............................................................................... 57
Figura 7: Blockly Games ....................................................................................................... 59
Figura 8: Tela inicial do Scratch - Versão 2 ....................................................................... 60
Figura 9: Código da solução de uma das equipes ........................................................... 61
Figura 10: Gatinho no formato 1 ......................................................................................... 62
Figura 11: Gatinho no formato 2 ......................................................................................... 62
Figura 12: Código do programa para simular caminhada do gatinho ........................... 62
Figura 13: Alguns operadores matemáticos do Scratch ................................................. 63
Figura 14: Menu variáveis com X, Y, Z criados pelos alunos ......................................... 63
Figura 15: Solução de uma das equipes para o cálculo da média aritmética de dois
valores ..................................................................................................................................... 64
Figura 16: Momentos da execução do programa que calcula média aritmética de
dois números .......................................................................................................................... 65
Figura 17: Esboço inicial da tarefa - Equipe 1 .................................................................. 66
Figura 18: Semáforos no quarto encontro da Equipe 1 ................................................... 67
Figura 19: Esboço inicial do semáforo - Equipe 2 ............................................................ 68
Figura 20: Janelas abertas lado a lado para desenhar o cruzamento - Equipe 2....... 69
Figura 21: Cruzamento de ruas com os semáforos - Equipe 2..................................... 69
Figura 22: Esboço do cruzamento de ruas - Equipe 3 .................................................... 70
Figura 23: Cruzamento com semáforos - Equipe 3 ......................................................... 70
Figura 24: Cruzamento de ruas com os semáforos - Equipe 3 ...................................... 71
Figura 25: Semáforos iniciais - Equipe 4 ........................................................................... 73
Figura 26: Cruzamento com semáforos - Equipe 4 ......................................................... 73
Figura 27: Apresentação final do semáforo - Equipe 1 ................................................... 75
Figura 28: Trecho do código de programação do projeto final - Equipe 1 ................... 75
Figura 29: Código para a mudança no valor da variável de um dos semáforos -
Equipe 2 .................................................................................................................................. 77
Figura 30: Comparação do valor da variável para mudança na cor do semáforo -
Equipe 2 .................................................................................................................................. 77
Figura 31: Código de programação do semáforo - equipe 3 .......................................... 79
Figura 32: Código de programação do semáforo - Equipe 4 ......................................... 80
Figura 33: Exemplo de codificação das unidades de significado .................................. 84
Figura 34: Alunos discutem sobre cruzamento de ruas visualizando-o pelo street
view .......................................................................................................................................... 87
Figura 35: Ciclo de ações no contexto de programação de computadores ................. 99
Figura 36: Momento do jogo em que alunos discutiam sobre o plano cartesiano .... 103
Figura 37: Programa do Scratch "traduzido" para Matemática lógica proposicional 106
LISTA DE QUADROS Quadro 1: Tarefas do processo de Modelagem ............................................................... 40
Quadro 2: Caracterização da nossa tarefa enquanto tarefa de Modelagem ............... 81
Quadro 3: Exemplos de unidades de significado que compõem a categoria aberta
"Sobre os debates, discussões e falas ocorridas entre alunos e entre alunos e
professores no desenvolvimento da tarefa" ...................................................................... 87
Quadro 4: Exemplos de unidades de significado que compõem a categoria aberta
"Sobre as ações dos alunos no contexto da tarefa de Modelagem" ............................. 97
Quadro 5: Exemplos de unidades de significado que compõem a categoria aberta
"Sobre as relações com a matemática escolar que emergiram no desenvolvimento
da tarefa de Modelagem" ................................................................................................... 103
Quadro 6: Exemplos de unidades de significado que compõem a categoria aberta "
Sobre os modos que os alunos viram o projeto " ........................................................... 108
LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS CNMEM Conferência Nacional sobre Modelagem na Educação Matemática
EPREM Encontro Paranaense de Educação Matemática
MM Modelagem Matemática
PC Pensamento Computacional
TD Tecnologia Digital
TDIC Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação
TIC Tecnologias da Informação e Comunicação
UFJF Universidade Federal de Juiz de Fora
UFOP Universidade Federal de Ouro Preto
UNIOESTE Universidade Estadual do Oeste do Paraná
UNIPAC Universidade Presidente Antônio Carlos
RESUMO A Modelagem Matemática é uma tendência da Educação Matemática que valoriza, entre outras coisas, o trabalho exploratório por parte dos alunos sobre temáticas ligadas ao cotidiano, possibilitando um trabalho interdisciplinar e conjunto com outras tendências, oportunizando a construção de conhecimentos de maneira dinâmica. Nosso interesse está na região de inquérito que diz respeito à associação da Modelagem Matemática e as Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação, mais especificamente no que tange às possibilidades e desafios de aliar a programação de computadores a uma tarefa de Modelagem Matemática. Movidos por esse interesse, estabelecemos a interrogação: O que se revela de uma tarefa de Modelagem Matemática, no ambiente de programação de computadores, desenvolvida por estudantes da Educação Básica? Buscamos compreender o que se mostra quando desenvolvemos uma tarefa de Modelagem Matemática aliada à programação de computadores, quais são as possibilidades e os desafios que emergem dessa associação. Essa interrogação guiou toda a pesquisa, conduzida por uma abordagem qualitativa segundo uma visão fenomenológica. Buscando dar conta de nossa interrogação, construímos uma tarefa de Modelagem Matemática que foi desenvolvida por estudantes da Educação Básica de uma escola pública do interior do estado de Minas Gerais, por meio de programação em blocos, utilizando para isso o software Scratch. O desenvolvimento dessa tarefa foi registrado por gravação de vídeos que foram assistidos diversas vezes de tal modo que pudéssemos, à luz da nossa interrogação de pesquisa, destacar trechos relevantes que convergiam para nossa interrogação, e, a partir deles, construir nossas unidades de significado. Após a construção dessas unidades, a partir de repetidas leituras, estabelecemos convergências, que culminaram em quatro categorias, a saber: C1: Sobre os debates, discussões e falas entre alunos e entre alunos e professores no desenvolvimento da tarefa; C2: Sobre as ações dos alunos no contexto da tarefa de Modelagem; C3: Sobre as relações com a matemática escolar que emergiram no desenvolvimento da tarefa de Modelagem; C4: Sobre os modos que os alunos viram o projeto. Essas categorias, interpretadas hermeneuticamente, permitiram observar, dentre outras coisas, que a tarefa de Modelagem norteou o desenvolvimento do pensamento computacional por meio de uma atividade de programação de computadores, potencializando as discussões e reflexões sobre o contexto envolvido pela tarefa, abrindo espaço para aprender-com-outro, em um ambiente dialógico e dinâmico construído pela sinergia da Modelagem com a programação de computadores. Palavras-chave: Tendência em Educação Matemática. Modelagem Matemática. Programação de Computadores. Pensamento Computacional.
ABSTRACT Mathematical Modeling is a trend of Mathematics Education that values, among other things, the exploratory work by the students on themes linked to daily life.It creates the possibility of a an interdisciplinary work together with other tendencies, allowing the construction of knowledge in a dynamic way. Our interest is in the area of inquiry that concerns the association of Mathematical Modeling and Digital Technologies of Information and Communication, specifically regarding the possibilities and challenges of allying computer programming to a Mathematical Modeling task. Moved by this interest, we establish the question: What is revealed of a task of Mathematical Modeling, in the environment of computer programming, developed by students of Basic Education? We seek to understand what is shown when we develop a Mathematical Modeling task allied to computer programming and what the possibilities and the challenges are which emerge from this association. This question guided all research, conducted by a qualitative approach according to a phenomenological view. In order to account for our questioning, we constructed a task of Mathematical Modeling that was developed by students of Basic Education of a public school in the interior of the state of Minas Gerais, through programming in blocks, using Scratch software. The development of this task was recorded by filming videos that were watched several times in such a way that, in the light of our research question, we could highlight relevant passages that converged to our question, and, from them, build our units of meaning. After the construction of these units, from repeated readings, we established convergences, which culminated in four categories, namely: C1: On the debates, discussions and talks between students and between students and teachers in the development of the task; C2: On the actions of the students in the context of the Modeling task; C3: On relationships with school mathematics that emerged in the development of the Modeling task; C4: On the ways students viewed the project. These categories, interpreted hermeneutically, allowed us to observe, among other things, that the task of Modeling guided the development of computational thinking through a computer programming activity, strengthening the discussions and reflections on the context involved by the task, opening space to learn-with-another, in a dialogic and dynamic environment built by the synergy of Modeling with computer programming. Key words: Trend in Mathematics Education. Mathematical Modeling. Computer programming. Computational thinking.
RESUMEN
El Modelado Matemático es una tendencia de la Educación Matemática que valora, entre otras cosas, el trabajo exploratorio por parte de los alumnos sobre temáticas relacionadas al cotidiano, posibilitando un trabajo interdisciplinar y conjunto con otras tendencias, dando oportunidad a la construcción de conocimientos de manera dinámica. Nuestro interés está en la región de investigaciones en lo que toca a la asociación del Modelado Matemático y las Tecnologías Digitales de la Información y Comunicación, más específicamente en lo relacionado a las posibilidades y retos de unir la programación de ordenadores a una tarea de Modelado Matemático. Movidos por ese interés, establecemos la pregunta: ¿Qué se revela de una tarea de Modelado Matemático, en el ambiente de programación de ordenadores, desarrollada por estudiantes de la Educación Básica? Buscamos comprender qué se enseña cuando desarrollamos una tarea de Modelado Matemático junto a la programación de ordenadores, cuáles son las posibilidades y los retos que emergen de esa asociación. Esa cuestión ha guiado toda la investigación, conducida por un abordaje cualitativo según una visión fenomenológica. Buscando dar cuenta de nuestra pregunta, construimos una tarea de Modelado Matemático que fue desarrollada por estudiantes de la Educación Básica de una escuela pública del interior del estado de Minas Gerais, por medio de programación en bloques, utilizando para ello el software Scratch. El desarrollo de esa tarea ha sido registrado por grabación de videos que han sido asistidos diversas veces de tal modo que pudiéramos, a la luz de nuestra cuestión de investigación, destacar trechos relevantes que convergían para nuestra pregunta, y, a partir de ellos, construir nuestras unidades de significado. Tras la construcción de esas unidades, a partir de repetidas lecturas, hemos establecido convergencias, que han culminado en cuatro categorías, a saber: C1: Sobre los debates, discusiones y tertulias entre alumnos y entre alumnos y profesores en el desarrollo de la tarea; C2: Sobre las acciones de los alumnos en el contexto de la tarea de Modelado; C3: Sobre las relaciones con la matemática escolar que emergieron en el desarrollo de la tarea de Modelado; C4: Sobre los modos que los alumnos han visto el proyecto. Esas categorías, interpretadas hermenéuticamente, permitieron observar, entre otras cosas, que la tarea de Modelado orientado el desarrollo del pensamiento computacional a través de una actividad de programación de ordenadores, potenciando las discusiones y reflexiones sobre el contexto implicado en la tarea, abriendo espacio para aprender-con-otro, en un ambiente dialógico y dinámico construido por la sinergia del Modelado con la programación de ordenadores.
Palabras clave: Tendencia en Educación Matemática. Modelado Matemático. Programación de Ordenadores. Pensamiento Computacional.
SUMÁRIO
1 PREÂMBULO ......................................................................................................... 17
1.1 Da minha formação às primeiras impressões sobre a Modelagem Matemática e a decisão sobre a pesquisa .................................................................... 17
1.2 Introdução ................................................................................................................. 20
2 NOSSA POSTURA DE PESQUISA, A INTERROGAÇÃO E OS PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS .................................................................. 24
2.1 Sobre a nossa postura diante da pesquisa ......................................................... 24
2.2 Sobre a nossa interrogação de pesquisa ............................................................ 27
2.3 Sobre o procedimento para a coleta e análise dos dados ............................... 29
3 MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ............................ 34
3.1 Algumas concepções de Modelagem Matemática ............................................ 36
3.1.1 Concepção de Malheiros ................................................................................ 37
3.1.2 Concepção de Barbosa .................................................................................. 38
3.1.3 Concepção de Almeida ................................................................................... 41
3.1.4 Concepção de Dalla Vecchia ......................................................................... 43
3.2 Modelagem e Tecnologias ..................................................................................... 46
4 A TAREFA DE MODELAGEM MATEMÁTICA ....................................................... 52
4.1 Primeiro encontro: 27/03/2017 .............................................................................. 55
4.2 Segundo encontro: 28/03/2017............................................................................. 59
4.3 Terceiro e quarto encontros: 29 e 30/03/2017 ................................................... 65
4.4 Quinto encontro: 03/04/2017 ................................................................................. 74
4.5 Quadro síntese da tarefa de Modelagem Matemática ...................................... 81
5 DESCRIÇÃO E INTERPRETAÇÃO DAS CATEGORIAS ....................................... 83
5.1 C1 - Sobre os debates, discussões e falas entre alunos e entre alunos e professores no desenvolvimento da tarefa .................................................................... 85
5.1.1 Descrição .......................................................................................................... 85
5.1.2 Interpretação ..................................................................................................... 88
5.2 C2 - Sobre as ações dos alunos no contexto da tarefa de Modelagem ........ 96
5.2.1 Descrição .......................................................................................................... 96
5.2.2 Interpretação ..................................................................................................... 97
5.3 C3 - Sobre as relações com a matemática escolar que emergiram no desenvolvimento da tarefa de Modelagem .................................................................. 102
5.3.1 Descrição ........................................................................................................ 102
5.3.2 Interpretação ................................................................................................... 104
5.4 C4 - Sobre os modos que os alunos viram o projeto ...................................... 107
5.4.1 Descrição ........................................................................................................ 107
5.4.2 Interpretação ................................................................................................... 108
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................. 112
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 116
APÊNDICE A – Categorias abertas e as unidades de significado que as compõem ................................................................................................................................ 127
ANEXO A – Parecer consubstanciado do CEP ....................................................... 131
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1 PREÂMBULO
Apresentamos nesse capítulo introdutório algumas informações a respeito da
trajetória acadêmica que estimulou o desenvolvimento dessa pesquisa, além de
informações gerais sobre a temática abordada no estudo, a fim de situar o leitor
sobre nosso trabalho.
1.1 Da minha1 formação às primeiras impressões sobre a Modelagem Matemática e a decisão sobre a pesquisa
Em 2005, na Universidade Presidente Antônio Carlos - UNIPAC, iniciei minha
licenciatura em Matemática na cidade de Barbacena, interior do estado de Minas
Gerais, concluindo-a em meados de 2008. Durante esse percurso, em 2006, o
Instituto Federal dessa mesma cidade iniciou sua primeira turma do curso superior
de Tecnologias em Sistemas para Internet. Ingressei também nesse curso,
estudando concomitantemente durante algum tempo, Matemática e Tecnologias em
Sistemas para Internet, o que só foi possível porque os cursos funcionavam em
turnos distintos, noturno e diurno, respectivamente. Conclui, no final do ano de 2010,
minha segunda graduação.
Minha trajetória profissional enquanto docente de Matemática iniciou em
2009, e desde então não deixei essa carreira. Trabalhei em cursos técnicos
subsequentes de uma escola particular; Ensino Fundamental e Médio de outra
escola particular e também em escolas públicas, municipal, estadual e federal.
Paralelamente a isso, durante algum tempo, trabalhei na área de Informática,
atuando como técnico de manutenção de computadores e também desenvolvendo
softwares de automação. Essas profissões, porém, não me atraíam tanto quanto a
docência de Matemática. Decidi, então, me dedicar exclusivamente à educação.
Minha formação dupla sempre me instigou a tentar maneiras de articular as
tecnologias às aulas de matemática. Pensando nisso, no ano de 2011, iniciei a
especialização lato sensu em Educação Matemática Comparada, pela Universidade
Aberta do Brasil, fazendo uma pesquisa sobre a utilização da Informática nas aulas
1 Especificamente nessa parte inicial da dissertação optei por utilizar os verbos em primeira pessoa do singular
por se tratar de um ponto de vista particular.
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de Matemática, concluindo-a em 2013.
No Mestrado Profissional em Educação Matemática da Universidade Federal
de Ouro Preto - UFOP, no ano de 2014, tive a oportunidade de cursar, na forma de
disciplina isolada, Ambientes Educacionais Informatizados. Nessa ocasião, tive
acesso a textos e discussões que oportunizaram reflexões sobre algumas
possibilidades de utilização da Informática no contexto educacional. Nesse ambiente
de discussões, conheci, dentre outros, o software de programação Scratch2, que
será introduzido ao longo desta dissertação. Desenvolvi um trabalho para conclusão
da disciplina utilizando-o, vislumbrando nele uma oportunidade de ensinar
Matemática de forma lúdica e criativa.
Trilhando novos caminhos profissionais, tive a oportunidade de me mudar
para uma cidade do interior do Paraná no início do ano de 2015, local em que segui
lecionando Matemática para a Educação Básica em uma Instituição Federal de
Ensino. Durante esse ano de trabalho, desenvolvi um projeto de ensino intitulado
“Desenvolvendo o raciocínio lógico através da criação de jogos no software Scratch”.
Mais detalhes dos frutos desse projeto estão disponíveis em Carvalho (2016) e em
Carvalho, Perucci e Schmitt (2016).
No início do ano de 2016, ingressei como aluno regular no Programa de Pós-
Graduação stricto sensu em Ensino, nível mestrado, na Universidade Estadual do
Oeste do Paraná – UNIOESTE, Campus Foz do Iguaçu.
Tão logo ingressei nessa Pós-Graduação, fui convidado por colegas a
participar do projeto de extensão de formação de professores em Modelagem
Matemática3, coordenado pelo professor e orientador Dr. Tiago Emanuel Klüber.
Essa formação acontecia desde 2015 em encontros quinzenais em duas escolas
estaduais na cidade de Foz do Iguaçu – PR4. Tive a oportunidade de participar de
sete encontros do grupo no primeiro semestre do ano de 2016. Infelizmente não
pude continuar a participar dos encontros do grupo, pois, mais uma vez, trilhando
2 O software de programação Scratch é um projeto gratuito do Lifelong Kindergarten Group do MIT Media Lab.
Mais informações sobre essa plataforma de programação estão disponíveis em <https://scratch.mit.edu>.
Acessado em 9 de ago. de 2017. 3 No decorrer do texto será utilizado, a fim de minimizar repetições, o termo “Modelagem” ou a abreviação
“MM”, para referência à Modelagem Matemática no contexto da Educação Matemática. 4 É importante destacar que essa formação em Modelagem Matemática acontece também em uma escola estadual
no município de Francisco Beltrão - PR e também no de Tupãssi - PR. Esse projeto de extensão faz parte de um
projeto maior de pesquisa intitulado “Formação de Professores em Modelagem Matemática na Educação
Matemática: compreensões e desvelamentos”. Mais informações sobre esse projeto podem ser encontradas em
Martins (2016) e Mutti (2016).
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novos caminhos profissionais, retornei ao estado de Minas Gerais, agora para a
cidade de Juiz de Fora, onde continuo lecionando Matemática para alunos da
Educação Básica, no Colégio de Aplicação da Universidade Federal de Juiz de Fora
(UFJF).
A partir dessa participação na formação em Modelagem Matemática, comecei
a ter outra visão sobre essa área. A princípio, imaginava Modelagem Matemática
como algo difícil e fora do alcance de aulas para o Ensino Básico. O termo “modelo
matemático” soava para mim como uma tradução em símbolos e terminologias
específicas da área de Matemática de situações complexas que eram resolvidas a
partir de anos a fio de dedicação e estudos de grandes matemáticos.
Após minha pequena vivência com o grupo de formação em modelagem, a
partir das discussões, comecei a observar que a Modelagem Matemática, entendida
como uma alternativa pedagógica (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2016) ou
estratégia pedagógica (MALHEIROS, 2014) para o ensino, era algo já intrínseco em
minhas concepções de aulas “diferentes”, que fugiam do padrão tradicional de
ensino que, até aquele momento, eu ainda não reconhecia como Modelagem na
Educação Matemática.
Compreendi que a Modelagem Matemática no contexto educacional
transcende os cálculos e resoluções dos problemas, trazendo à tona discussões e
reflexões de situações cotidianas que estão em nosso entorno e que, à primeira
vista, nada aparentam de “precisar da matemática”. Essas reflexões em sala de aula
podem oportunizar aos discentes perceberem-se inseridos em um contexto
matemático dinâmico, enxergando mais sentido nos conteúdos trabalhados.
Mesmo ainda estando um pouco inseguro sobre a utilização da Modelagem
Matemática em sala de aula, comecei a desenvolver algumas atividades com os
estudantes. Inicialmente, trabalhei com as mesmas atividades desenvolvidas no
grupo de formação. Vivenciando essas experiências, comecei a ter um pouco mais
de segurança e a criar outras tarefas de modelagem, utilizando-as em minhas
práticas de sala de aula.
Escrevi um relato de uma de minhas experiências com Modelagem
Matemática, publicado no XIV Encontro Paranaense de Educação Matemática – XIV
EPREM, em setembro do ano de 2017 (CARVALHO, 2017), abordando uma tarefa
que desenvolvi sobre o custo de se refazer a pintura da parte interna de uma casa.
Com essas vivências, leituras e discussões mais constantes sobre a
20
Modelagem Matemática no contexto educacional, mais segurança, e ao mesmo
tempo inquietações sobre sua utilização no ensino, foram surgindo. Assim, fui
observando que poderia, de alguma maneira, articular a Modelagem Matemática
com a programação de computadores, olhando para o ensino de Matemática nesse
contexto.
Tendo esse novo olhar para a Modelagem Matemática e meu foco de estudos
direcionado, decidi voltar meus olhares a uma tarefa de Modelagem Matemática em
um ambiente de programação de computadores, utilizando para isso o software
Scratch. Todo o processo de estudo e análise do fenômeno5 será detalhado ao
longo da dissertação.
1.2 Introdução
No contexto da Educação Matemática, pesquisas sobre a utilização da
Modelagem Matemática em sala de aula começam a acontecer por volta dos anos
1980 (BIEMBENGUT, 2009; BURAK, 2004; KLÜBER, 2012). Desde então, diversas
pesquisas já se debruçaram a investigar essa temática. Malheiros (2004) olhou para
a produção dos estudantes no ambiente de Modelagem, Barbosa (2001) para a
formação de professores em Modelagem, Martins (2016) olhou para o sentido que
os participantes atribuem ao grupo de formação continuada em Modelagem, Dalla
Vecchia (2012) para a Modelagem Matemática na realidade do mundo cibernético,
Mutti (2016) olhou para a prática de sala de aula dos professores que estão
inseridos no contexto de uma formação continuada em Modelagem.
Convergências entre a Modelagem Matemática e outras tendências6 em
Educação Matemática7 já foram, e ainda são, estudadas. Klüber (2007) estudou
aproximações entre a Modelagem Matemática e a Etnomatemática; Malheiros
5 Destacamos que, para a fenomenologia, fenômeno é entendido como aquilo que se mostra (BICUDO;
BAUMANN; MOCROSKY, 2011). No decorrer do texto, nosso fenômeno – tarefa de Modelagem Matemática –
será melhor detalhado. 6 Conforme Klüber (2012, p. 33), entendemos tendência “como um movimento efetivo daquilo que tem
permanecido enquanto e como alguns modos de se pensar e fazer Educação Matemática”. 7 Compreendemos as tendências em Educação Matemática como “o surgimento de propostas alternativas para a
ação pedagógica do ensino matemático” (ZORZAN, 2007, p.79), como uma maneira de superar algumas
dificuldades do movimento da Matemática Moderna e, contemporaneamente, como forma de construir uma
escola mais conectada com as novas necessidades que se abrem no mundo moderno. É nesse sentido que
verificamos a pertinência para uma maior valorização do uso das tecnologias digitais, além de uma participação
mais efetiva do aluno na construção de seu conhecimento.
21
(2011) apresentou pontos de convergência entre o trabalho com projetos e
Modelagem; Diniz (2007) olhou para os papéis atribuídos às tecnologias no
desenvolvimento da Modelagem; Barbosa (2001) tangencia pontos de conexão da
Modelagem Matemática com a Educação Matemática Crítica, em alusão à
Skovsmose (2000).
Esses estudos mostram que são possíveis as aproximações entre a
Modelagem Matemática e demais tendências em Educação Matemática. Nesse
sentido, por meio de uma revisão de literatura, Malheiros (2012) observa que,
mesmo já tendo sido percorrido um longo caminho de pesquisas em Modelagem, é
preciso aprofundar ainda mais os estudos para conhecer melhor as aproximações
da Modelagem com as outras tendências, assim, apontamos que nosso interesse no
desenvolvimento da presente pesquisa se deu na articulação das tendências:
Modelagem Matemática e as Tecnologias Digitais de Informação e Comunicação
(TDIC), mais especificamente, no desenvolvimento de uma tarefa de Modelagem
Matemática em um contexto de programação de computadores.
Milani, Kato e Cardoso (2015), por meio de uma revisão bibliográfica de
pesquisas stricto sensu sobre as produções em Modelagem com ênfase nas TDIC,
observaram que ainda há poucas pesquisas que tratam dessa temática na
Educação Básica, e, por meio de sua revisão, apontam um cenário favorável à
utilização das tecnologias no contexto da Modelagem. No cenário internacional,
Greefrath8 (2011 apud MEYER; CALDEIRA; MALHEIROS, 2013, p. 123) aponta que
“é necessário que mais pesquisas que envolvam a Modelagem e as TIC sejam
realizadas, para que se possa compreender melhor as relações entre essas duas
tendências no processo de aprendizagem de Matemática”.
A partir das vivências com a Modelagem Matemática no âmbito do grupo de
pesquisa, e também com as leituras, se delineava uma especial vontade de articular
essa tendência às tecnologias que, conforme já explicitamos, fazia parte de nossa
formação. Assim sendo, aliando nosso interesse pessoal pela Modelagem
Matemática e TDIC, compreendemos que o trabalho conjunto com essas duas
tendências em Educação Matemática torna-se uma interessante região de inquérito
8 GREEFRATH, G. Using Technologies: New possibilities of teaching and learning modelling – overview. In:
KAISER, G.; BLUM, W.; FERRI, R. B.; STILLMAN, G. Trends in teaching and learning of Mathematical
Modelling (Ed.). London, New York: Springer, 2011.
22
para pesquisas, e é para a articulação dessas tendências que voltamos nossos
olhares.
O primeiro desafio interposto ao iniciar nossa pós-graduação foi a elaboração
de um questionamento que direcionasse nossa pesquisa. A partir de constantes
reflexões, observamos que ela já estava posta em termos de inquietações que
diziam respeito a atividades de Modelagem Matemática juntamente com a utilização
das tecnologias digitais, porém, era preciso expressá-la em uma frase de modo a
articular tais tendências.
O gosto pelo desenvolvimento de atividades dinâmicas no contexto da sala de
aula fortaleceu a vontade em desenvolver uma tarefa de Modelagem Matemática
com estudantes da Educação Básica, utilizando a programação de computadores,
sendo assim, após reflexões e discussões com o orientador e colegas do grupo de
pesquisa, formulamos nossa interrogação que norteou todo o trabalho: O que se
revela de uma tarefa de Modelagem Matemática, no contexto de programação de
computadores, desenvolvida por estudantes da Educação Básica? Mais detalhes
sobre nossa interrogação de pesquisa serão apresentados na seção seguinte.
Vemos na Modelagem um terreno fértil para o desenvolvimento de uma
Matemática crítica ao relacionar a problemática da tarefa em estudo ao cotidiano dos
estudantes, potencializando a compreensão do papel social da Matemática
(BARBOSA, 2004), além de concordarmos com Penteado e Skovsmose (2008, p.
47) que “o acesso aos computadores pode proporcionar aos alunos a abertura de
novas oportunidades de participação na vida democrática da sociedade”, afinal,
mesmo que desejável, o acesso às tecnologias ainda não tem sentido para todos.
Dessa maneira, pudemos proporcionar um acesso mais profundo às tecnologias,
visto que muitos navegam na internet, se comunicam e jogam virtualmente, porém,
poucos sabem, por exemplo, construir seus próprios jogos ou animações (RESNICK,
2009). Para além da tecnologia, pudemos ainda fomentar o desenvolvimento do
raciocínio crítico por meio da Modelagem Matemática.
Os dados produzidos para a presente pesquisa emergiram de uma Ágora9
com duração de 10h, durante uma semana. Apontamos, porém, que devido ao
processo de gravação concomitante dos vídeos, produzimos um total de 24h de
9 Trata-se de um “minicurso” oferecido no período contrário às aulas regulares na escola em que se deu a
coleta/produção dos dados. Na seção dedicada à descrição da tarefa de Modelagem Matemática, detalharemos
melhor a Ágora.
23
dados. Os pormenores do desenvolvimento da tarefa de Modelagem serão
apresentados no Capítulo 4 da dissertação, já os detalhes da coleta de dados, serão
apresentados na Seção 2.3 do segundo capítulo.
No Capítulo 2 apresentamos os procedimentos metodológicos que adotamos
no desenvolvimento da pesquisa. Já no terceiro capítulo apresentamos a
Modelagem Matemática bem como algumas concepções dessa tendência segundo
diversos autores. No quarto capítulo apresentamos a tarefa de Modelagem
Matemática que desenvolvemos. Já no Capítulo 5 apresentamos as descrições das
categorias abertas, bem como suas interpretações e, por fim, algumas
considerações finais e perspectivas de pesquisa.
24
2 NOSSA POSTURA DE PESQUISA, A INTERROGAÇÃO E OS PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Apresentaremos nesse capítulo a postura de pesquisa que assumimos
durante nossa trajetória, às voltas de nossa inquietação, bem como a interrogação
que norteou nossa pesquisa e os procedimentos que utilizamos para tal.
2.1 Sobre a nossa postura diante da pesquisa
Importa-nos, inicialmente, explicitar algumas diferenças existentes em
pesquisas de cunho qualitativo e quantitativo para apontarmos a opção por nós
adotada.
Segundo Garnica (1997, p. 111), uma pesquisa qualitativa consiste em
uma trajetória circular em torno do que se deseja compreender, não se preocupando única e/ou aprioristicamente com princípios, leis e generalizações, mas voltando o olhar à qualidade, aos elementos que sejam significativos para o observador-investigador.
Já as pesquisas de cunho quantitativo, segundo Bicudo (2013), tendem a
valer-se do rigor objetivo e sistemático, marcado pela neutralidade do pesquisador.
O quantitativo tem a ver com o objetivo passível de ser mensurável. Ele carrega consigo as noções próprias ao paradigma positivista, que destaca pontos importantes para a produção da ciência, a razão, a objetividade, o método, a definição de conceitos, a construção de instrumentos para garantir a objetividade da pesquisa (BICUDO, 2013, p. 115).
Assim, padrões, regras determinadas de maneira a realizar testes precisos,
normalmente de fundo matemático, são preconizadas pela pesquisa quantitativa
(GARNICA, 1997). Dessa forma, entendemos que para a análise e observação de
estudantes diante de uma tarefa de MM, aliada à programação de computadores, uma
análise quantitativa seria insuficiente para descrever as nuances do processo de
ensino e de aprendizagem envolvidas nessa proposta, pois os dados desse tipo de
pesquisa não são essencialmente mensuráveis.
Nesse sentido, a pesquisa qualitativa pode proporcionar uma melhor
compreensão do processo de ensino e aprendizagem de Matemática, descrições e
análises das ações e falas dos envolvidos, tornando-se a maneira mais consistente
para observarmos as manifestações de nosso fenômeno, visto que a modificação é
25
uma constante quando se trata de uma pesquisa que envolve processos de ensino e
aprendizagem em um contexto escolar. Destarte, concordamos com Tremblay
(2008) ao dizer que dados quantitativos por vezes são insuficientes para descrever
as peculiaridades concernentes ao indivíduo metamórfico e cognoscente.
A pesquisa qualitativa prioriza relatos de experiência, entrevistas com sujeitos,
questionários com respostas abertas, para que seja possível dar-se conta de dados
sensíveis, atingindo o aspecto humano da pesquisa, desprendendo-se de
quantificadores e cálculos (BICUDO, 2013). Não queremos dizer com isso que uma
pesquisa quantitativa seja inválida, apenas entendemos que ela se mostra limitada do
ponto de vista do fenômeno que ora interrogamos – uma tarefa de Modelagem no
contexto de programação de computadores.
Dessa maneira, deixamos claro que para o desenvolvimento de nossa
pesquisa, devido à nossa inquietação estar no âmbito educacional, optamos por
trabalhar com uma pesquisa qualitativa sob uma visão fenomenológica. Assim, é
importante destacarmos a diferença nodal existente entre uma pesquisa de cunho
qualitativo e aquela qualitativa com a postura fenomenológica.
O ponto que aproxima ambas está no qualitativo e em muitos recursos utilizados para investigar; está em muitos aspectos presentes na descrição da realidade, está no olhar em perspectiva. O que as diferencia é a pedra angular da Fenomenologia: a intencionalidade e a atitude dela decorrente que não é mais natural (BICUDO, 2013, p. 120).
Essa intencionalidade, para a fenomenologia, é a “essência da consciência,
ou seja, sua característica peculiar” (BICUDO, 2013, p. 120). Dessa maneira, ao nos
voltarmos a um objeto, nos dirigimos a ele com intencionalidade e enlaçamo-lo pela
consciência.
Ao efetuar esse movimento de voltar-se para..., de estender-se a..., ela, a consciência, já enlaça o objeto de suas vivências e, com isso, esse objeto é sempre intencional. É nisso que se encontra o âmago da diferença entre a atitude natural e a atitude fenomenológica (BICUDO, 2012, p. 121).
Para a fenomenologia, entendida “como reflexão sobre um fenômeno” (BELO,
2006, p. 18), todo objeto é fruto da consciência, concluindo que a “coisa” é dada pela
percepção a partir do enlace de um objeto. A pesquisa fenomenológica preconiza o
discurso espontâneo, evidenciando o mundo percebido, sendo esse estruturado a
partir de uma rede de significados históricos e sociais.
26
A postura fenomenológica, conforme Bicudo (2000), preconiza um trabalho
com aquilo que se apresenta de forma significativa, manifesto e percebido por meio
da linguagem. Essa postura “não se contenta com o conhecimento natural, o
diretamente dado e apoucadamente questionado, pedindo por uma clarificação dos
conceitos fundamentais, da realidade última das coisas do mundo, buscando
transcender a ingenuidade” (GARNICA, 1997, p. 113). Dessa maneira, ao nos
valermos da fenomenologia como postura investigativa, assumimos um rigor diante
do fenômeno investigado.
A fenomenologia é uma ciência
rigorosa por não conter nenhuma afirmação que não esteja absolutamente fundamentada ou plenamente justificada, sendo que tal fundamentação ou justificação não pode ser pautada em pressuposições aceitas como se fossem dadas: tudo deve ser intensamente investigado (GARNICA, 1997, p. 118).
A atitude fenomenológica é sempre intencional e sustenta os modos de agir
do ser (KLÜBER; BURAK, 2008). Ela se distingue da atitude natural, uma vez que
[...] a atitude natural é dirigida às coisas (geradehin), abstraindo os modos subjetivos de doação que necessariamente permeiam a experiência das coisas. Na atitude fenomenológica, ao contrário, o interesse não se dirige às coisas, mas aos múltiplos ‘modos subjetivos’ nos quais ela se manifesta, aos ‘modos de manifestação que permanecem não temáticos na atitude natural. O especificamente fenomenológico se estabelece, portanto, na correlação entre os vividos e os modos de doação dos objetos, não na correlação entre vivido e objeto (MOURA, 1989, p. 201-202).
Ao assumirmos que nos dirigimos "aos modos de manifestação" do
fenômeno, isso revela que nos voltamos àquilo que se mostra, ou seja, não
estabelecemos categorias ou objetivos prévios. Dessa forma, ao invés de um
objetivo, no sentido convencional, a pesquisa foi norteada por uma interrogação,
pois conforme Garnica (1997, p. 114),
fenômenos nunca são compreendidos sem que sejam inicialmente interrogados [...] O questionamento põe-nos frente ao manifesto, em atitude de abertura ao que se mostra, na intenção de conhecer, própria da consciência.
A partir dessa intenção de compreender o que se revela de uma tarefa de
Modelagem Matemática no contexto de programação de computadores, é que nos
27
voltamos a esse fenômeno, guiados pela interrogação: o que se revela de uma
tarefa de Modelagem Matemática, no contexto de programação de computadores,
desenvolvida por estudantes da Educação Básica? Essa interrogação indicou os
caminhos que deveriam ser percorridos, apontando procedimentos para a
construção e análise dos dados, até convergir em suas interpretações.
Essas interpretações no contexto da
investigação fenomenológica visa(m) transcender a descrição, pois busca pelos invariantes presentes no fenômeno focado. Trata a descrição a partir de uma hermenêutica, que permite compreender a essência e a transcendência do objeto intencional (KLÜBER, 2007, p. 25, inserção nossa).
Essa compreensão do fenômeno de pesquisa só é possível por meio de um
movimento de suspensão de nossos juízos prévios sobre aquilo que é dado em
nossa percepção. Assim,
o olhar fenomenológico, voltado para a coisa-mesma, permite suspender qualquer julgamento, dá um passo atrás, sendo este olhar denominado epoché, ou redução transcendental em um primeiro nível (KLÜBER; BURAK, 2008, p. 97).
Tendo nossas impressões iniciais suspensas, voltamo-nos ao que se mostra
do fenômeno, buscando, por meio da hermenêutica, sua essência. Segundo Bicudo
(2006, p. 112), interpretar o fenômeno hermeneuticamente, significa privilegiar “os
significados social e historicamente atribuído às manifestações do que, uma vez foi
compreendido na percepção, mas que não se materializou nas palavras”.
A seguir, explicitamos o sentido de nossa interrogação de pesquisa que
permitiu a concepção de nossa tarefa de Modelagem Matemática, a qual os
estudantes, por meio da programação de computadores, desenvolveram.
2.2 Sobre a nossa interrogação de pesquisa
Conforme mencionamos, para o desenvolvimento de nossa pesquisa,
assumimos uma postura fenomenológica, assim, destacamos que a interrogação
diretriz da investigação é de suma importância.
Na abordagem fenomenológica de pesquisa, a explicitação da interrogação é um dos pontos mais importantes da investigação, uma vez que ela (a interrogação) que dá a direção a ser seguida para que, interrogando de
28
forma permanente, se possa compreender mais e melhor o fenômeno focado (KLÜBER; BURAK, 2012, p. 890).
Após reflexões e discussões no grupo de pesquisa10 e com o orientador,
elaboramos a interrogação: O que se revela de uma tarefa de Modelagem
Matemática, no contexto de programação de computadores, desenvolvida por
estudantes da Educação Básica?
Fenomenologicamente, o que essa interrogação pode interrogar? Quais as
possibilidades que se abrem com essa interrogação? Ao levantarmos tais
questionamentos, vemo-nos arremessados em um espaço de incertezas que pairam
diante de nós.
Diversos autores desenvolveram estudos sobre a Modelagem Matemática em
contextos escolares, tanto na Educação Básica quanto na Superior, como Almeida,
Silva e Vertuan (2016); Araújo e Lima (2015); Borssoi e Ameida (2015); Burak (1987,
1992, 2004); Burak e Klüber (2011); Canedo e Kisteman (2015); Lorin e Almeida
(2015). De modo geral, esses autores puderam observar a eficácia da MM em “fazer
matemática” de forma dinâmica, ressignificando e construindo conteúdos
curriculares da Matemática a partir de situações cotidianas dos estudantes, por
vezes proporcionando maior engajamento nas tarefas desenvolvidas e, quem sabe,
produzindo um aprendizado mais significativo dessa disciplina, além de
mentalidades mais críticas em relação à sociedade na qual estão inseridos.
Na mesma direção de desenvolver uma perspectiva crítica, Papert (1985),
afirma que também a programação de computadores pode auxiliar as crianças a
desenvolverem um raciocínio mais reflexivo e crítico à medida que “ensinam” o
computador a desenvolver determinadas tarefas. As experiências de Papert (1985)
estão baseadas, principalmente, na linguagem de programação LOGO por ele
idealizada na década de 1960. O funcionamento básico dessa linguagem consiste
em “ensinar” uma tartaruga a percorrer caminhos na tela do computador,
oportunizando a aplicação de conceitos matemáticos, principalmente de geometria.
Ao pensar no desenvolvimento de uma tarefa de MM no contexto de
programação de computadores, novas dificuldades, assim como possibilidades se
mostram presentes. Ao inserir a programação de computadores como pano de fundo
10
Grupo formado pelo professor Tiago Emanuel Klüber e seus orientados com objetivo de estudar as tendências
em Educação Matemática, focando principalmente a Modelagem Matemática. Mais informações sobre o grupo
de pesquisa estão disponíveis em <dgp.cnpq.br/dgp/espelholinha/3510816978984593524011>. Acessado em 18
jun. 2018.
29
para a resolução de uma tarefa de Modelagem Matemática, o que se revela? O fato
de se criar/desenvolver um modelo matemático em um ambiente de programação
pode potencializar o envolvimento dos alunos na tarefa de Modelagem? A
manipulação do computador, pode servir ao aluno em interesses divergentes em
detrimento da tarefa de MM?
Ao efetuarmos uma breve reflexão sobre nossa interrogação de pesquisa,
essas são algumas das preocupações que nos ocorrem, porém, muitas outras
inquietações podem surgir no desenrolar dos trabalhos, afinal, o fenômeno
pesquisado, assim como quem o interroga, está em constante movimento, não tendo
características estanques. As pessoas mudam a todo instante, estamos sempre nos
reinventando, assim, não estamos “prontos” e acabados
[…] se concebermos que somos à medida que nos tornamos, fazendo, acontecendo. Isso significa que o “é” não se deixa aprisionar no instante do seu acontecimento; que não é estático; que sempre traz consigo o que antecipa em termos de possibilidades de acontecer e o que realizou em acontecimentos pretéritos e retidos na lembrança e em suas expressões sociais, históricas e culturais. Em uma palavra: ele é, sendo (BICUDO, 2011, p. 13).
Com um olhar atento ao modo de ser/comportar do fenômeno que ora
interrogamos, pretendemos aprofundar compreensões sobre as inquietações que se
mostram momentaneamente a nós e às novas inquietações que poderão ser nela
analisadas ou, quem sabe, ensejar estudos futuros tocando essa mesma temática
sob outras perspectivas. Apontamos a seguir os passos dados para produzirmos os
dados da pesquisa.
2.3 Sobre o procedimento para a coleta e análise dos dados
Um ponto crucial de qualquer pesquisa acadêmica está na coleta de seus
dados. A fim de evitar discrepâncias nos dados, procuramos produzi-los de maneira
a garantir, ao máximo, a manifestação espontânea dos envolvidos, em busca de um
maior rigor e qualidade (ANDRE, 2001) para nossa pesquisa. Essa manifestação
espontânea oportuniza uma expressão dos envolvidos de maneira livre, conferindo
maior credibilidade aos dados. Para tanto, diante do fenômeno que interrogamos,
valemo-nos da gravação de vídeo da movimentação ocorrida no interior da sala de
30
aula, além da gravação, também em vídeo, das ações dos estudantes no
computador, utilizando o recurso de ScreenCast11.
Para as gravações da movimentação da sala de aula, de maneira que fosse
possível captar tanto o professor/pesquisador quanto os alunos, utilizamos uma
câmera digital posicionada no fundo da sala, de forma que em seu campo de visão
figurassem todos os grupos de alunos e também boa parte da sala de aula. Essa
câmera permitiu a gravação das orientações dadas aos participantes da Ágora, além
de suas movimentações pela sala.
Além dessa câmera, utilizamos webcams nos computadores dos alunos com
microfone integrado, e, com auxílio do software ScreenCastify, pudemos gravar boa
parte das ações dos alunos no computador, além de suas conversas.
O software ScreenCastify é uma extensão que pode ser instalada no
navegador de internet Google Chrome e que permite a gravação concomitante da
tela do computador (toda movimentação do mouse, janelas, etc) com as imagens e
sons captados pela WebCam e seu microfone. Dessa forma, pudemos observar o
que os alunos fizeram em seus computadores, juntamente com suas falas e
expressões em cada momento. Utilizamos a versão gratuita do referido software que
permite a gravação de vídeos de até dez minutos, portanto, a cada lapso dessa
magnitude, a gravação era reiniciada, gerando vários vídeos.
Procedendo dessa forma de gravação, pudemos produzir um total de 24h de
vídeos. Destacamos que foram obtidas gravações simultâneas de duas perspectivas
(da sala de aula como um todo, a partir da câmera no fundo da sala, e das equipes
individualmente, a partir das WebCams nos computadores).
Os vídeos foram analisados com o auxílio do software Atlas.ti12, que consiste
em um recurso que pode auxiliar o pesquisador a analisar os materiais coletados13,
no nosso caso, 24h de vídeos. “O software Atlas.t.i foi idealizado exclusivamente
para a análise de qualitativos em grande quantidade” (KLÜBER, 2014, p. 11), assim,
concordamos com Klüber (2014, p. 20) de que ao utilizarmos esse recurso como
apoio à análise dos dados, “economiza-se tempo com questões de ordem técnica e
11
Recurso que permite a gravação em vídeo de toda movimentação ocorrida na tela de um computador. 12
Destacamos que o software Atlas.ti é proprietário e, portanto, para o desenvolvimento da presente pesquisa,
uma licença de estudante foi adquirida. Utilizamos a versão 8 desse software. 13
Atlas.ti é um software que facilita a análise de dados qualitativos. Mais informações disponíveis em
<http://atlasti.com/>. Acessado em 18 jun. 2018.
31
pode-se aumentar o tempo de reflexão”14.
A fim de ilustrar a utilização do software Atlas.ti para análise dos vídeos,
apresentamos, na Figura 1, a imagem de um vídeo nele inserido.
Figura 1: Vídeo inserido no Atlas.ti para análise
Fonte: A pesquisa
Os vídeos por nós produzidos/coletados e analisados sob a luz da pergunta
norteadora da pesquisa, permitiu que destacássemos as unidades de significado,
que "são os invariantes que fazem sentido para o pesquisador a partir da pergunta
formulada" (KLÜBER; BURAK, 2008, p. 98).
Assim, essas unidades de significado
são recortes julgados significativos pelo pesquisador, dentre os vários pontos aos quais a descrição pode levá-lo. Para que as unidades significativas possam ser recortadas, o pesquisador lê os depoimentos à luz de sua interrogação, por meio da qual pretende ver o fenômeno, que é olhado de uma dentre as várias perspectivas possíveis (GARNICA, 1997, p. 116-117).
Ou, conforme apontado por Martins e Bicudo (1989, p. 99)
[...] é impossível analisar um texto inteiro simultaneamente, torna-se necessário dividi-lo em unidades. (...) as unidades de significado são
14
Foge ao escopo do trabalho discutir o software Atlas.ti. Mais informações sobre ele podem ser obtidas em
Walter e Bach (2015) e Klüber (2014).
32
discriminações espontaneamente percebidas nas descrições dos sujeitos quando o pesquisador assume uma atitude psicológica e a certeza de que o texto é um exemplo do fenômeno pesquisado. (...) As unidades de significado (...) também não estão prontas no texto. Existem somente em relação à atitude, disposição e perspectiva do pesquisador.
Ressaltamos que não nos valemos da transcrição dos vídeos, assim,
inserimos no software e analisamos diretamente os vídeos que produzimos. O
processo de destaque dessas unidades de significado, por meio do Atlas.ti, consiste
em selecionar um trecho do vídeo e, em relação a ele, criar a unidade de significado,
conforme ilustramos por meio da Figura 2.
Figura 2: Trecho do vídeo selecionado para criar uma unidade de significado
Fonte: A pesquisa
Após selecionado o trecho desejado, cria-se uma “quotation” clicando sobre o
botão “aspas”, como na Figura 2. Feito isso, basta inserir a unidade de significado
referente ao trecho destacado, conforme ilustramos na Figura 3.
Figura 3: Exemplo de criação de unidade de significado
Fonte: A pesquisa
33
Para a análise dos vídeos, inserimo-los diretamente no software Atlas.ti e os
assistimos, de maneira repetida, indo e vindo, sempre à luz de nossa interrogação,
no intuito de “desvelar os sentidos [neles] expressos” (KLÜBER; BURAK, 2012, p.
892, inserção nossa).
A partir dos destaques dessas unidades de significado, sua leitura e
observação cuidadosa e repetida, estabelecemos convergências e, assim,
engendramos categorias que podem ser compreendidas como “núcleos de sentidos
e significados mais abrangentes” (BICUDO; KLÜBER, 2013, p. 36). Destaca-se que
essas categorias foram minuciosamente descritas, pois, conforme Klüber et. al.,
(2016) essa descrição abre o caminho para uma interpretação hermenêutica que
permite ao pesquisador ir além da primeira impressão, além de uma simples
descrição do fenômeno, ensejando alcançar a essência do objeto intencional,
explicitando compreensões para além de sua manifestação.
Explicitados os detalhes metodológicos dos modos como procedemos,
passamos, no Capítulo 3, a apresentar a Modelagem Matemática no contexto da
Educação Matemática, bem como algumas concepções para diferentes autores
além de articulações com as TDIC.
34
3 MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
A Modelagem Matemática no contexto da Educação Matemática é
relativamente nova, com cerca de 40 anos (BIEMBENGUT, 2009). Sua utilização no
ensino pode possibilitar maior engajamento dos estudantes pelas atividades
propostas, oportunizando discussões para além da própria Matemática,
ressignificando e oportunizando a construção de conteúdos matemáticos pelos
estudantes (ALMEIDA, SILVA, VERTUAN, 2016; BURAK, 1987; 1992; 2004;
ARAÚJO; LIMA, 2015; BORSSOI; ALMEIDA, 2015; CANEDO; KISTEMAN, 2015;
LORIN; ALMEIDA, 2015; BURAK; KLÜBER, 2011).
Dentre as tendências em Educação Matemática, estão a Resolução de
Problemas; a História da Matemática; a Modelagem Matemática; a Etnomatemática;
as TDIC; e outras. A Modelagem Matemática, para nós, é de grande importância,
pois converge com nossas concepções no processo de ensino. Conforme Klüber
(2007, p. 12), a Modelagem no contexto da Educação Matemática procura “conferir
maior significado ao ensino e à aprendizagem da Matemática”, e é para essa
tendência em Educação Matemática que voltamos nossa atenção, nesse momento.
A Modelagem oportuniza o estabelecimento de uma relação com o cotidiano
dos alunos. Conforme Malheiros (2004, p. 82), “através da matemática os alunos
podem entender, descobrir ou encontrar explicações para fatos da realidade em que
vivem”, permitindo uma leitura e compreensão de seu mundo-vida (BICUDO, 2011),
por meio da Matemática.
Dessa maneira, é possível ver a Matemática de uma forma menos rígida,
determinada e estanque como, normalmente, é apresentada na escola, pois
Se conseguirmos identificar de que maneira podemos conhecer a Matemática, quando acreditamos que ela pode ser um conhecimento que vive entre nós, na sociedade, teremos dado um grande passo para romper o determinismo e a imutabilidade tão presente na matemática escolar (CALDEIRA, 2009, p. 35).
Assim, ao trabalhar com a Modelagem Matemática no contexto escolar com
situações que estejam ligadas ao cotidiano do estudante, possivelmente a
Matemática faça mais sentido para ele. É nessa linha de pensamento que Barbosa
(2004) diz não se interessar por situações que não sejam reais. Para ele, importa um
trabalho com situações não fictícias, pois preconiza um desenvolvimento crítico do
35
aluno.
Araújo e Barbosa (2005) relatam uma atividade em que estudantes, já com o
conteúdo matemático definido que gostariam de abordar, criaram uma situação
ideal, no contexto de uma semirrealidade (SKOVSMOSE, 2000), utilizando
conhecimentos de seu cotidiano. Para tais autores, essa utilização de uma situação
no contexto da semirrealidade, mesmo divergindo daquilo que haviam proposto, “é
possível que [...] tenha relação com a forma pela qual os alunos interpretam a tarefa
proposta” (ARAÚJO; BARBOSA, 2005, p. 3). Nesse contexto, mesmo não utilizando
dados reais, os alunos aceitaram o convite (SKOVSMOSE, 2000) de pesquisarem
por meio da Matemática.
Um fator que julgamos importante a ser destacado é em relação ao
envolvimento dos alunos com a atividade, sua aparente motivação. Essa é uma das
justificativas para a utilização da Modelagem Matemática em sala de aula
(BIEMBENGUT, 2012). Nessa mesma direção, Burak e Klüber (2013) destacam que
o interesse para se fazer algo está intrínseco a fatos que são benéficos ou
vantajosos; que nos inquieta ou causa transtorno e, por isso, queremos resolver.
Esses autores compreendem que a Modelagem Matemática pode
[…] favorecer o desenvolvimento, no estudante, de uma atitude investigativa, na medida em que busca coletar, selecionar e organizar os dados obtidos. O desenvolvimento dessa atitude passa a se constituir em valor formativo que acompanhará o estudante, não somente no período de sua trajetória escolar, mas ao longo de toda sua vida (BURAK, KLÜBER, 2013, p. 38).
Esse valor formativo, compreendemos como uma leitura crítica do mundo, ou
seja, por meio da Matemática o estudante poderá ser capaz de compreender aquilo
que está à sua volta, sendo a Modelagem um importante fomentador desse
desenvolvimento crítico e reflexivo no estudante (ARAÚJO, 2009; BARBOSA, 2001,
2004).
Araújo (2009) ressalta que trabalhar com Modelagem em um contexto de
Educação Matemática Crítica, é promover a participação dos estudantes, de
maneira crítica, em discussões políticas, econômicas, ambientais, tendo como
ferramental tecnológico a Matemática. Em suas palavras,
preocupo-me com uma educação matemática dos estudantes que não vise apenas instrumentá-los matematicamente, mas que também proporcione
36
sua atuação crítica na sociedade, por meio desse conhecimento matemático, o que pode trazer contribuições para sua emancipação como cidadãos (ARAÚJO, 2009, p. 66).
Na mesma direção de Araújo, Barbosa (2001a) também apresenta uma
preocupação com a articulação da Matemática com o cotidiano do estudante, no
sentido de proporcionar-lhe uma lente crítica à sociedade em que está inserido.
Dessa maneira, compreende a Modelagem como uma oportunidade de investigação
e exploração do meio em que vive, como um meio para questionar a realidade em
que está inserido. Assim, acredita que a “Modelagem possui o potencial de gerar
algum nível de crítica” (BARBOSA, 2001a, p. 4).
Em meio a essa diversidade de possibilidades da Modelagem é que, no
contexto da educação brasileira, diversos autores já se ocuparam com estudos e
pesquisas, e ainda o fazem, em relação a essa tendência em Educação Matemática.
Um diferencial da Modelagem Matemática é a inexistência de uma maneira
rígida para sua condução em sala de aula. Há pontos convergentes em concepções
de autores quanto à Modelagem, enquanto há outros divergentes. É nesse sentido
que enumeramos, a seguir, a concepção de Modelagem para quatro autores,
ordenando-os alfabeticamente. Julgamos importante tal feito para situar o leitor das
diferentes concepções de Modelagem Matemática existentes, proporcionando e
facilitando nossas reflexões ao longo do texto.
Destacamos que os autores elencados não são considerados por nós melhores
ou piores que os demais que não possuem esse destaque em nossa dissertação.
Selecionamos tais pesquisadores por fazermos coro em algumas nuances de suas
concepções de Modelagem Matemática no contexto da Educação Matemática, sem
assumirmos uma única concepção dessa tendência (CARVALHO, 2017), e ainda por
se relacionarem, de alguma forma, com a pesquisa que desenvolvemos. Esse é um
fator importante para nós, visto que fundamenta, além de nossa pesquisa, a tarefa
de Modelagem que desenvolvemos para a produção/coleta dos dados.
3.1 Algumas concepções de Modelagem Matemática
Ressaltamos, segundo nosso entendimento, pontos mais relevantes para cada
autor que apresentaremos. Acrescentamos que, os autores que eles serão
apresentados, em sua concepção de Modelagem, apresentam convergências,
37
principalmente: com a pedagogia de projetos; educação crítica; Modelagem na
Educação Básica e, por fim, Modelagem no mundo cibernético. Demais
pesquisadores da área serão trazidos à tona para discussões na medida em que
julgarmos pertinente.
3.1.1 Concepção de Malheiros A Modelagem Matemática para essa autora é vista como uma estratégia
pedagógica na qual os alunos investigam, por meio da Matemática, temáticas de seu
interesse. Para Malheiros (2014, p. 2), a Modelagem Matemática
pode ser vista como caminho para o “fazer” Matemática em sala de aula, pois a partir de observações da realidade e de questionamentos, discussões e investigações, os estudantes escolhem um tema de seu interesse e, ao fazerem Modelagem, se deparam com problemas que podem modificar as ações na sala de aula, além da forma como se compreende o mundo.
A autora vê a Modelagem Matemática como uma possível forma de melhorar
a habilidade de pensamento, crescimento crítico e reflexivo dos estudantes, pois os
estimula a pensar, questionar e investigar determinados assuntos por meio da
Matemática (MALHEIROS, 2014). Esse possível desenvolvimento da habilidade
reflexiva nos estudantes, proporcionado pela Modelagem Matemática, aproxima-a
da Educação Matemática Crítica, uma vez que, conforme Malheiros (2012, p. 871),
“não há uma única resposta ao problema investigado, ou, então, existem muitos
caminhos para que se chegue até ela”. Essa diversidade de caminhos para a
resolução dos problemas, sem que se tenha um “gabarito” para aquilo que se
propõe, fomenta reflexões, podendo desenvolver o pensamento crítico nos
estudantes.
Malheiros (2011) destaca que, ao dar mais voz ao estudante, a Modelagem
Matemática se assemelha ao desenvolvimento de projetos. Um projeto consiste em
ações futuras, não no sentido de fazer previsões, mas de ações que serão
realizadas no futuro (MALHEIROS, 2011). Assim, Malheiros (2008, p. 65) considera
que tal semelhança ocorre quando o tema eleito para a investigação surge do interesse dos alunos ou quando este é definido a partir de uma negociação pedagógica na qual os estudantes têm voz, são ouvidos e, conseqüentemente (SIC), seus interesses também prevalecem. Neste contexto, considero que são elaborados, então, projetos de Modelagem.
38
Para Malheiros (2004), ao planejarem e projetarem sobre temáticas que são
de seu interesse, os alunos se mostram mais engajados na construção do próprio
conhecimento, utilizando conteúdos matemáticos que passam a fazer mais sentido
para eles.
Em resumo, podemos entender a concepção de Modelagem Matemática para
Malheiros (2004, 2008) como uma estratégia pedagógica para explorar, por meio da
Matemática, assuntos que sejam de interesse dos estudantes, sendo que nesse
processo, o professor atua como mediador15.
3.1.2 Concepção de Barbosa Para esse autor, a “modelagem [oportuniza a construção de] um ambiente de
aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio
da matemática, situações oriundas de outras áreas da realidade” (2001a, p. 6,
inserção nossa) ou ainda pode favorecer “um ambiente de aprendizagem no qual os
alunos são convidados a problematizar e investigar, por meio da matemática,
situações com referência na realidade” (2004, p. 75). Ao dizer da Modelagem
oportunizar a construção de um ambiente de aprendizagem, o autor sugere uma
distinção entre a Modelagem Matemática no contexto educacional do contexto da
Matemática Aplicada. Para ele, é preciso se considerar a Modelagem Matemática
enquanto campo de pesquisa no contexto da Educação Matemática e não enquanto
uma simples “importação” da Matemática Aplicada.
Para esse viés educacional, Barbosa (2001, 2001a) aponta que o modelo
matemático propriamente dito, como o da Matemática Aplicada (expressão com
simbologias matemáticas), não é necessário acontecer a fim de caracterizar uma
tarefa de Modelagem Matemática. Para ele, o importante está no processo de
investigação que se dá pelos estudantes, o que revela que a preocupação primeira
da Modelagem no contexto da Educação Matemática não está na construção de um
modelo matemático, mas nos caminhos percorridos em sua busca, ou nas
investigações matemáticas que acontecem em torno de uma temática. Para ele, o
“modelo matemático [é] qualquer representação matemática da situação em estudo”
(BARBOSA, 2007, p. 161, inserção nossa).
Essa visão do autor fica clara quando comenta que muito se discute, na
literatura, sobre a Modelagem Matemática e o porquê de sua utilização no contexto
15
Entendemos como professor mediador aquele que orienta os alunos durante os trabalhos.
39
escolar. Dentre os motivos dessa utilização, Barbosa (2004, p. 73), aludindo a Blum
(1995), destaca cinco: “motivação, facilitação da aprendizagem, preparação para
utilizar a matemática em diferentes áreas, desenvolvimento de habilidades gerais de
exploração e compreensão do papel sócio-cultural da matemática”. Dentre eles,
Barbosa (2004, p. 73) enfatiza o último, alegando que pode possibilitar a formação
de sujeitos críticos, capazes de compreender como a Matemática é utilizada nos
debates sociais, rompendo com “a ideologia da certeza e colocar lentes críticas
sobre as aplicações da matemática”. Conforme o autor, desenvolver essa visão
crítica, até mesmo sobre a própria Matemática, é importante, pois, para ele, “a
construção e o uso de modelos matemáticos não são neutros, mas servem a
interesses determinados, seja implícita ou explicitamente” (2001, p. 19), destarte,
julga importante conhecer quem cria os modelos, com quais objetivos e também a
quem servem, justificando assim a importância de desenvolver um olhar crítico por
meio da Modelagem Matemática em um contexto educacional.
Barbosa (2004) ao dar maior ênfase ao motivo sócio-cultural da Matemática
para a utilização da Modelagem Matemática no contexto escolar, não sugere que os
demais aspectos presentes na literatura possuam pouca importância, mas, para ele,
os demais são guiados por esse. Nesse sentido, Barbosa (2004, p. 74) destaca que
“o ambiente de Modelagem está associado à problematização e investigação”, o que
potencializa a habilidade de o estudante enxergar a Matemática sob um viés mais
crítico e reflexivo.
Para dizer dessa visão mais crítica e social que preconiza na Modelagem
Matemática, Kaiser-Messmer16 (1991 apud BARBOSA, 2001a, p. 3) aponta que há
duas visões predominantes nas discussões sobre a Modelagem Matemática, “a
pragmática e a científica”. A primeira sustenta uma argumentação de que o currículo
de Matemática deve ser organizado pensando-se na aplicação desses conteúdos
nas áreas não-matemáticas. Já a segunda, preocupa-se com os aspectos internos à
própria Matemática. Dessa maneira, Barbosa (2001a, p. 3) afirma que “o foco
permanece […] na matemática e sua capacidade de resolver problemas de outras
áreas”. Em complemento a essas visões, e ressaltando a importância que dá ao
desenvolvimento de uma visão crítica por meio da Modelagem Matemática, Barbosa
16
KAISER-MESSMER, G. Application-orientated mathematics teaching: a survey of the theoretical debate. In:
NISS, M., BLUM, W., HUNTLEY, I. (ed.). Teaching of mathematical modelling and applications.
Chichester: Ellis Horwood, 1991. p. 83-92.
40
(2001a, p. 4) sugere uma visão sócio-crítica para a Modelagem, afirmando que ela
pode ser considerada
como oportunidades para explorar os papéis que a matemática desenvolve na sociedade contemporânea. Nem matemática nem Modelagem são ‘fins’, mas sim ‘meios’ para questionar a realidade vivida. Isso não significa que os alunos possam desenvolver complexas análises sobre a matemática no mundo social, mas que Modelagem possui o potencial de gerar algum nível de crítica.
Nesse sentido, aludindo a Skovsmose (2000), Barbosa (2001a) afirma que no
ambiente de Modelagem Matemática o aluno é convidado a investigar um tema por
meio da Matemática, emergindo nesse ambiente, indagações e discussões.
Detalhando um pouco mais sua concepção sobre Modelagem Matemática,
Barbosa (2004, p. 5) aponta uma diferenciação em três casos sobre a tarefa do
professor e do aluno no ambiente de Modelagem, conforme apresentamos no
Quadro 1.
Quadro 1: Tarefas do processo de Modelagem
Caso 1 Caso 2 Caso 3
Formulação do problema Professor Professor Professor / aluno
Simplificação Professor Professor / aluno Professor / aluno
Coleta de dados Professor Professor / aluno Professor / aluno
Solução Professor / aluno Professor / aluno Professor / aluno
Fonte: Barbosa (2004, p. 5)
Com essa distinção em casos, Barbosa (2004) quer sugerir que é possível
trabalhar com a Modelagem Matemática sob diferentes perspectivas, desde projetos
mais curtos como em projetos mais longos. Em suas palavras, Barbosa (2004, p. 4)
diz que
os três casos ilustram a flexibilidade da Modelagem nos diversos contextos escolares. Em certos períodos, a ênfase pode ser projetos pequenos de investigação, como no caso 1; em outros, pode ser projetos mais longos, como os casos 2 e 3. Mas, seja como for, quero sublinhar a perspectiva crítica nessas atividades e a consideração de situações, de fato, ‘reais’ como subjacentes a eles.
De maneira geral, percebemos que o autor enxerga a Modelagem Matemática
em um contexto educacional como uma possibilidade para a construção de um
41
ambiente de investigação, por meio da Matemática, de temáticas ligadas à
realidade, preconizando um desenvolvimento crítico e reflexivo nos estudantes, com
intuito de possibilitá-los uma visão mais crítica da sociedade em que vivemos.
3.1.3 Concepção de Almeida17
Para Almeida, Silva e Vertuan (2016, p. 17), a Modelagem Matemática no
contexto da Educação Matemática é uma “alternativa pedagógica na qual fazemos
uma abordagem, por meio da Matemática, de uma situação-problema não
essencialmente Matemática”.
Dessa maneira, o processo de Modelagem Matemática parte de uma
problemática, que seria a situação inicial, e, através de alguns procedimentos,
caminha em direção a uma situação final (ALMEIDA; VERTUAN, 2011), que seria a
solução para essa problemática, normalmente desencadeada pelo modelo
matemático. A Figura 4 apresenta esquematicamente o entendimento da
Modelagem Matemática para tais autores.
Figura 4: A situação inicial e a situação final na Modelagem Matemática
Fonte: Almeida, Silva e Vertuan (2016, p. 12)
Nesse contexto, há um entendimento de que o problema seria uma situação
inicial na qual não se tem ainda um esquema para resolvê-lo. Já para o modelo
matemático, há um entendimento de que ele seja
um sistema conceitual, descritivo ou explicativo, expresso por meio de uma linguagem ou uma estrutura matemática e que tem por finalidade descrever ou explicar o comportamento de outro sistema, podendo mesmo permitir a realização de previsões sobre este outro sistema (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN; 2016, p. 13).
Assim, concluem que o modelo matemático representa de forma simples a
17
Julgamos importante destacar que, em sua maioria, os textos da referida autora são publicados em parceria
com outros autores, portanto, compreendemos que essa concepção de Modelagem representa um grupo.
Modelagem Matemática
procedimentos Situação inicial
(problemática)
Situação final
(solução para a problemática)
42
realidade, sob o ponto de vista de quem a investiga.
Para que ocorra a “passagem” da situação inicial até o modelo matemático,
conforme apresentado na Figura 4, a autora sugere a existência de procedimentos
que, conforme nomeado por Almeida, Silva e Vertuan (2016, p. 15), são as “fases da
Modelagem Matemática”. Descrevemos a seguir essas fases e o que elas
representam para os autores.
Inteiração: trata-se do momento de reconhecimento da situação que será
investigada. Há nessa fase uma exploração da temática, tanto em termos
quantitativos quanto em termos qualitativos. Conforme Almeida, Silva e Vertuan
(2016, p. 15), essa fase conduzirá a “formulação do problema e a definição de metas
para sua resolução”.
Matematização: Essa fase é marcada pela transformação da situação inicial,
que normalmente se apresenta em uma linguagem natural, em uma linguagem
matemática. É nesse momento que acontecem algumas simplificações do fenômeno
em estudo, evidenciando “o problema matemático a ser resolvido” (ALMEIDA;
SILVA; VERTUAN, 2016, p. 16).
Resolução: É nesse momento em que há a construção do modelo para a
representação/solução do problema. Esse modelo pode permitir alguma previsão a
respeito do problema em questão.
Interpretação de resultados e validação: Nessa fase acontece um momento
de análise do modelo construído. Uma reflexão é feita sobre a validade do modelo
para a situação abordada, ensejando, por vezes, o ato de ir e vir, retomando o
problema e reanalisando a solução.
Esquematicamente e de maneira sucinta, como um detalhamento daquilo que
foi apresentado na Figura 4, os autores ilustram essas fases de passagem da
situação inicial à final, conforme apresentamos por meio da Figura 5.
Figura 5: Fases da Modelagem Matemática
Fonte: Almeida, Silva e Vertuan (2016, p. 15)
INTEIRAÇÃO MATEMATIZAÇÃO RESOLUÇÃO INTERPRETAÇÃO DE
RESULTADOS E VALIDAÇÃO
Situação inicial
(problemática) Situação final
(solução para a
situação inicial)
43
Para a autora, a MM possibilita abarcar situações fora da Matemática,
tangenciando a cotidianidade (ALMEIDA; VERTUAN, 2011), sendo assim, a
modelagem “nesta perspectiva pode ser percebida como elemento integrador entre
a realidade e o conteúdo matemático a ser ensinado” (ALMEIDA; SILVA, 2010, p.
222).
Importa-nos, ainda, apontar que na concepção de Almeida, a inserção da
Modelagem Matemática em sala de aula deve se dar paulatinamente, para que os
estudantes ganhem aos poucos mais autonomia sobre o processo. Dessa maneira,
Almeida, Silva e Vertuan (2016, p. 26) apontam três momentos para esse contato
dos alunos com a modelagem.
Em um primeiro momento, o professor coloca os alunos em contato com uma situação-problema, juntamente com os dados e informações necessárias. A investigação do problema, a dedução, a análise e a utilização de um modelo matemático são acompanhados pelo professor[…] […] em um segundo momento, uma situação-problema é sugerida pelo professor aos alunos, e estes, divididos em grupos, complementam a coleta de informações para a investigação da situação e realizam a definição de variáveis e a formulação de hipóteses simplificadoras[…] […] no terceiro momento, os alunos, distribuídos em grupos, são responsáveis pela condução de uma atividade de modelagem, cabendo a eles a identificação de uma situação-problema, a coleta e análise dos dados[…]
Esse contato gradual com a modelagem, marcados pelos distintos momentos,
para a autora, permite que os estudantes se tornem mais habituados à investigação
e mais autônomos diante do processo de Modelagem Matemática.
3.1.4 Concepção de Dalla Vecchia
A concepção de Modelagem Matemática para esse autor diverge em alguns
pontos dos demais por nós enunciados, principalmente no que tange o problema, a
realidade e o modelo matemático, pois, em suas pesquisas, aborda a Modelagem
Matemática sob o olhar tecnológico, mostrando as potencialidades e articulações
com as TDIC.
A Modelagem Matemática, mesmo divergindo em alguns pontos de acordo
com concepções de distintos autores, sempre faz referência à realidade. Esse é um
ponto de grande importância para ele, pois traz discussões sobre o que seria essa
realidade no contexto do mundo cibernético.
Dalla Vecchia e Maltempi (2012a, p. 41), observam que a realidade mundana
44
não pode ser separada do homem, concluindo que “pode ser entendida como
realidade vivida, que ocorre na espacialidade e temporalidade do mundo-vida
constituindo-se no campo natural onde são lançados todos os pensamentos, ações
e percepções de cada sujeito”. Já a realidade no mundo virtual, mais
especificamente no ciberespaço, conforme Bicudo e Rosa18 (2010, p. 28 apud
DALLA VECCHIA, MALTEMPI 2012a, p. 45), “[...] é virtual, por já ter sua base nas
ciências, notadamente na matemática”. Dessa maneira, Dalla Vecchia e Maltempi
(2012b, p. 980) concluem que “[...] a realidade do ciberespaço pode ser vista como
abarcada pela realidade no sentido de vivida na dimensão do humano, e, o que a
diferencia da realidade física, são as percepções de tempo e de espaço”. Em suma,
compreende que “a realidade abrange dimensões qualitativamente diferentes da
realidade física clássica como, por exemplo, a realidade do mundo cibernético”
(DALLA VECCHIA; MALTEMPI, 2012c, p. 10).
Ao compreender que a realidade no mundo virtual é abarcada pela realidade
mundana, novas possibilidades de compreensão surgem, possibilitando uma nova
perspectiva de se abordar a Modelagem Matemática. Dalla Vecchia e Maltempi
(2012b) compreendem que já existe uma relação consolidada entre a Modelagem
Matemática e as TDIC e que, assim, muitas das situações consideradas problemas e
que estão na sala de aula tradicional, com as TDIC, poderão deixar de sê-lo.
Nesse contexto, um termo muito abordado quando se faz referência às TDIC
é “virtual”. Dalla Vecchia e Maltempi (2012b) abordam-no apontando ser uma das
formas que um fenômeno pode se mostrar. Além de virtual, um fenômeno também
pode ser atual, possível ou real. A partir de uma base ilustrativa nas quatro causas
de Aristóteles, material, formal, eficiente e final, Dalla Vecchia e Maltempi (2012b, p.
970) fazem uma analogia à Modelagem Matemática, discutindo no âmbito filosófico
que “o virtual não busca sua essência nas tecnologias, como comumente é
considerado, mas, sim, na ideia de problema”, dessa maneira, o conceito de virtual
se opõe ao de atual, que seria, resumidamente, a solução do problema. Essa
atualização, segundo Dalla Vecchia e Maltempi (2012b, p. 971), não se trata de uma
simples solução de um problema, mas enseja algo novo, pois “há a necessidade de
interpretar, improvisar e resolver um problema”.
Dalla Vecchia e Maltempi (2012c, p. 10) compreendem o “problema como um
18
BICUDO, Maria Aparecida Viggiani; ROSA, M. Realidade e Cibermundo: horizontes filosóficos e
educacionais antevistos. Canoas: Editora da ULBRA, 2010.
45
conjunto de condições não atuais e indeterminadas que dizem respeito a uma dada
situação e que gera um campo de conflitos que vai assumindo um caráter mais ou
menos estável, à medida que vai sendo determinado”, portanto, não veem um
problema como algo estanque e acabado, mas que vai se remodelando e se
mostrando à medida que vai sendo determinado.
Outro ponto muito discutido no âmbito da Modelagem Matemática na
Educação Matemática é o modelo matemático. Sobre esse ponto, no contexto de
programação de computadores, Dalla Vecchia e Maltempi (2014) entendem que o
código criado pelo usuário do programa trata-se de um modelo matemático que só
faz sentido no âmbito da realidade do mundo cibernético. Em suas palavras, esse
modelo matemático se mostra como
um tipo de modelo que se diferencia daqueles que comumente são utilizados em uma linguagem matemática formal e que somente se configura como tal no contexto abrangido pelo mundo cibernético, onde encontra sustentabilidade e potência para se atualizar. Devido a essas particularidades, entendemos ser coerente tratá-lo, em termos simbólicos, como um modelo matemático/tecnológico (DALLA VECCHIA; MALTEMPI, 2014. p. 10 grifo dos autores).
Nesse contexto tecnológico/informático, Dalla Vecchia e Maltempi (2014)
entendem o processo de Modelagem Matemática como dinâmico, não podendo ter
etapas pré-determinadas, pois se mostram apenas ao longo do processo.
Resumidamente, é possível compreender que a Modelagem Matemática no
contexto da Educação Matemática, para Rodrigo Dalla Vecchia, trata-se de um
processo dinâmico e também pedagógico para se construir um modelo matemático,
entendendo que um problema nunca estará acabado, pois vai sendo reconstruído
durante o processo de resolução, sendo que esse problema pode estar em qualquer
dimensão abarcada pela realidade, entendendo a realidade do mundo cibernético
como uma possibilidade (DALLA VECCHIA, 2012; DALLA VECCHIA; MALTEMPI,
2012b, 2012c; DALLA VECCHIA; MALTEMPI; WEINGARTEN, 2013; DALLA
VECCHIA; MALTEMPI, 2014).
Ao apresentarmos as concepções de tais autores, entendemos de maneira
resumida a Modelagem Matemática como uma atividade ligada à pesquisa, estudo,
entendimento, problematização e resolução de situações ligadas à realidade,
mundana ou no contexto cibernético, que pode levar o estudante a refletir, não só
matematicamente, mas por meio da Matemática, sobre tais situações, permitindo,
46
muitas vezes, a tomada de decisões.
Desse modo, entendemos ser relevante apresentarmos, na próxima seção,
algumas relações entre a Modelagem Matemática e as Tecnologias Digitais, visto
que essa é nossa região de inquérito.
3.2 Modelagem e Tecnologias
Ao interrogarmos uma tarefa de Modelagem Matemática no contexto de
programação de computadores, nos vemos obrigados a abordar ambas. Nesse
sentido, voltamos nosso olhar para possíveis aproximações entre a MM e as TDIC e,
portanto, passamos, nesse momento, a tecer algumas discussões acerca das
tecnologias, buscando por convergências com a Modelagem Matemática.
A incorporação dos equipamentos tecnológicos no cotidiano das pessoas tem
reconfigurado a vida contemporânea. Silva (2008) aponta para uma reorganização,
inclusive, dos ambientes residenciais. Conforme discute, há uma tendência de
diminuição dos espaços que eram destinados a conversas com os amigos (sala de
estar) e uma maior valorização de espaços que permitam conexões virtuais. O autor
aponta que “não raro, os quartos dos filhos, e também dos pais, são equipados com
televisões, vídeos, telefones e computadores, espacialidade perfeita para se
deslocar sem sair do lugar, espaço da inércia” (SILVA, 2008, p. 25).
Mover-se sem sair do lugar nos remete a Borba, Silva e Gadanidis (2015), que
apresentam nossa atual vivência da quarta fase19 das tecnologias, em que temos
acesso à internet, que oportuniza visualizar uma infinidade de informações de
maneira simples, contando com redes virtuais de comunicação.
Lévy (2010) define essa comunicação rápida por meio da rede mundial de
computadores como sendo uma parte do ciberespaço. Para ele, esse
19
Borba, Silva e Gadanidis (2015, p.18) apontam que a primeira fase das tecnologias ocorreu nos anos 1980,
marcada principalmente pela utilização da linguagem LOGO, idealizada por Papert (1985). Nessa fase, as
terminologias “tecnologias informáticas” começaram a ser mais utilizadas. A segunda fase, por volta dos anos
1990, foi marcada pela popularização dos computadores pessoais e também com a utilização de softwares de
geometria dinâmica. Já a terceira fase, iniciada por volta de 1999, surge com o “advento da internet” (BORBA;
SILVA; GADANIDIS, 2015, p.31). A interação via emails, chats e fóruns de discussão ganham força e o termo
Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC) vem à tona. A quarta fase, conforme os autores, que surgiu em
meados de 2004, é a que estamos vivendo agora, com o advento da internet rápida. É nessa fase que o termo
Tecnologia Digital (TD) se populariza, contando com tecnologias como tablets, notebooks e smartphones.
47
ciberespaço é o novo meio de comunicação que surge da interconexão mundial dos computadores. O termo especifica não apenas a infraestrutura material da comunicação digital, mas também o universo oceânico de informações que ela abriga, assim como os seres humanos que navegam e alimentam esse universo (LÉVY, 2010, p. 17).
Dessa maneira, acreditamos que o excesso de informação a que estamos
expostos, a facilidade de comunicação e interação com qualquer parte do mundo,
enseja uma mudança na sala de aula. Monereo e Pozo (2010) destacam que, na
verdade, a mudança já está na sala de aula, na cabeça da maioria dos estudantes,
porém, mesmo com a presença dessa mudança já nos alunos, é preciso, conforme
Lévy (2010), que os ensinemos, e também aprendamos, a lidar com o novo, é
preciso que saber “navegar” nesse dilúvio de informações.
Indo de encontro a esse excesso de velocidade proporcionada pela rede de
computadores, conforme Papert (1994), está a escola, que necessita de mudanças e
que poucas são as ocorridas até então. Por meio de uma alegoria, Papert (1994, p.
9) ilustra a forma arcaica da escola, sugerindo que imaginemos
um grupo de viajantes do tempo de um século anterior, entre eles um grupo de cirurgiões e outro de professores primários, cada qual ansioso para ver o quanto as coisas mudaram em sua profissão a cem anos ou mais no futuro. Imagine o espanto de os cirurgiões entrando numa sala de operações de um hospital moderno. Embora pudessem entender que algum tipo de operação estava ocorrendo e pudessem até mesmo ser capazes de adivinhar o órgão-alvo, na maioria dos casos seriam incapazes de imaginar o que o cirurgião estava tentando fazer ou qual a finalidade dos muitos aparelhos estranhos que ele e sua equipe cirúrgica estavam utilizando. Os rituais de anti-sepsia e anestesia, os aparelhos eletrônicos com seus sinais de alarme e orientação e até mesmo as intensas luzes, tão familiares às plateias de televisão, seriam completamente estranhos para eles. Os professores viajantes do tempo responderiam de uma forma muito diferente a uma sala de aula de primeiro grau moderna. Eles poderiam sentir-se intrigados com relação a alguns poucos objetos estranhos. Poderiam perceber que algumas técnicas-padrão mudaram – e provavelmente discordariam entre si quanto a se as mudanças que observaram foram para melhor ou para pior – mas perceberiam plenamente a finalidade da maior parte do que se estava tentando fazer e poderiam, com bastante facilidade, assumir a classe.
Apesar de essa citação ser razoavelmente antiga, consideramo-la pertinente,
visto que diante dos inúmeros avanços das TD e do potencial tecnológico que temos
à disposição atualmente, consideramos sua efetiva incorporação nas salas de aula
ainda tímida.
No sentido de fomentar a utilização das tecnologias digitais no contexto da sala
de aula, as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006) apontam
48
para um cenário positivo de desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático dos
estudantes por meio de softwares educacionais.
Assim, Brasil (2006, p. 88), destaca que
[...] há programas de computador (softwares) nos quais os alunos podem explorar e construir diferentes conceitos matemáticos [...] que provocam, de forma muito natural, o processo que caracteriza o “pensar matematicamente”, ou seja, os alunos fazem experimentos, testam hipóteses, esboçam conjecturas, criam estratégias para resolver problemas.
Dentre esses software educacionais, Brasil (2006) destaca a utilização da
linguagem de programação LOGO, em que o usuário deve “ensinar” uma tartaruga
virtual a executar tarefas (PAPERT, 1985, 1994).
O desenvolvimento da linguagem de programação LOGO por Papert (1985) foi
pautada em uma concepção construcionista20. Sua principal ideia é que a criança
consiga expressar seus conhecimentos por meio do computador, ou seja, há uma
inversão da visão instrucionista (semelhante ao paradigma tradicional de ensino) em
que o computador seria visto como “aquele que ensina” a criança, seja através de
um game educativo, seja através de textos. Para o autor, a ideia é que a criança
possa criar modelos computacionais para resolver determinados problemas, ou seja,
a criança, como ser cognoscente e indivíduo pensante, “ensina” o computador, um
mero objeto executor de atividades programáveis, a executar as tarefas, e não o
inverso. Para ele, esse formato de aprendizagem pode ser mais eficaz do que
aquele tradicionalmente utilizado nas salas de aula contemporâneas, em que a
passividade do aluno é predominante.
Pesquisas que valorizam a construção de artefatos tecnológicos pelas crianças
e jovens têm sido desenvolvidas. Oro et al. (2015) apresentam o projeto intitulado
“Escola de Hackers” que objetiva o aprendizado de programação de computadores
pelas crianças, por meio do software Scratch21. Os autores afirmam que nesse
processo, os jovens aprendizes desenvolvem seu raciocínio lógico-matemático de
20
Construcionismo é um termo cunhado por Papert (1985, 1994) para representar a ideia de que a criança,
mediada pelo computador, seja capaz de construir seu próprio conhecimento, por meio do desenvolvimento de
projetos que sejam de seu interesse. Seria uma perspectiva oposta ao instrucionismo, ou seja, menos instrução e
mais construção. Nesse sentido, a ideia do construcionismo “é ensinar de forma a produzir a maior aprendizagem
a partir do mínimo de ensino”(PAPERT, 1994, p.125). 21
Scratch trata-se de um software de programação visual em que os códigos não são digitados, mas sim
“montados” no formato de blocos. Mais detalhes serão apresentados no Capítulo 4.
49
maneira mais lúdica e menos forçosa, pois nessa programação visual se trabalha
com a matemática implícita nos códigos, o que pode transformar o aprendizado da
Matemática formal da escola. Dalla Vecchia (2012) detalha a Matemática implícita
nos códigos do referido software, indicando possíveis explorações e utilizações
dessa matemática da programação de computadores por meio do desenvolvimento
de jogos.
Nesse mesmo viés, Carvalho (2016) aponta para um cenário positivo de
desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático dos estudantes que desenvolvem
programas e animações no Scratch.
Para além da programação de computadores, Morais (2000, p. 17) destaca
que, para proporcionar uma escola atual e tecnológica “não basta apenas levar os
modernos equipamentos para a escola”, mas mudar a postura frente a esses
recursos e utilizá-los de maneira mais livre a explorá-los da melhor forma possível.
Fato esse reforçado por Frant e Castro (2009) que afirmam que apenas a inserção
dessas tecnologias no contexto da sala de aula não enseja uma melhoria na
qualidade do ensino.
Entendemos que é nesse sentido que Borba, Silva e Gadanidis (2015) dizem
de não domesticar as tecnologias, tornando-as apenas como uma maneira de
digitalizar os meios tradicionalmente utilizados, mas utilizar tais recursos de forma
que os estudantes possam explorá-los mais livremente, oportunizando novas
aprendizagens.
Nessa mesma linha, Carneiro e Passos (2014, p. 103) dizem que “esses
recursos podem continuar camuflando práticas convencionais”, assim, utilizar as
tecnologias apenas como recursos para digitalizar os meios tradicionais de ensino
cerceia as infinitas possibilidades de aprendizagem que as tecnologias podem
proporcionar.
É nesse sentido mais exploratório das tecnologias que Carneiro e Passos
(2004, p. 108) comentam da importância de sua utilização como meios para auxiliar
na formação do cidadão, possibilitando-o a “simular uma situação que pode levar o
estudante a refletir sobre aspectos sociais, entre outros”.
Segundo Borba e Penteado (2012), esse caráter exploratório que pode ser
proporcionado pela tecnologia vai ao encontro de outras tendências em Educação
Matemática, como por exemplo, a Modelagem Matemática. Conforme destacam, “a
sinergia é imensa entre uma proposta que enfatiza a pesquisa por parte dos alunos
50
e uma mídia que facilita tal empreitada” (BORBA; PENTEADO, 2012, p. 46).
Essa aproximação entre as tecnologias digitais e a Modelagem Matemática, foi
por nós observada nos anais da nona edição da Conferência Nacional sobre
Modelagem na Educação Matemática (CNMEM)22, que ocorreu no ano de 2015.
Voltamos nosso olhar para as publicações em busca dos modos que as tecnologias
digitais se apresentam no contexto da Modelagem Matemática.
A Tabela 1 mostra os movimentos que efetuamos para fazermos essa análise
dos artigos publicados, bem como os quantitativos emergidos em cada um desses
movimentos.
Tabela 1: Presença das tecnologias digitais nos trabalhos de Modelagem Matemática
Modalidade do texto
Total de textos
no evento
1º movimento: busca nos
títulos, resumos e palavras-
chave
2º movimento:
busca no texto
Total de textos
emergidos
Percentual em
relação ao total
Comunicação científica 37 5 3 8 22%
Relato de Experiência 22 3 3 6 27%
Pôster 8 2 1 3 38%
TOTAL 67 10 7 17 25%
Fonte: (CARVALHO; KLÜBER, 2017, p. 4)
Dentre os trabalhos publicados (Comunicações Científicas, Relatos de
Experiência e Pôsteres), 67 textos no total, conforme ilustrado na Tabela 1, cerca de
um quarto deles mostraram, de alguma maneira, a utilização das tecnologias digitais
nas tarefas de Modelagem, assim, é possível observar que há uma forte presença
dessas tecnologias no contexto da Modelagem.
Consideramos esse valor expressivo, corroborando o que Araújo (2003, p. 2)
diz ao se referir a uma tarefa de MM desenvolvida por estudantes, que “parece
haver, então, uma incorporação natural, de computadores e/ou calculadoras, para a
abordagem da situação real, quando se desenvolve algum trabalho de modelagem
matemática” e ratificando ainda uma possível sinergia existente entre tais
tendências, conforme citamos anteriormente, segundo Borba e Penteado (2012).
22
A Conferência Nacional sobre Modelagem na Educação Matemática ocorre bienalmente, desde 1999. Seu
objetivo é reunir pesquisadores na área de Modelagem Matemática, fomentando o debate sobre essa tendência
em Educação Matemática. A décima edição desse evento (X CNMEM) aconteceu em 2017, na cidade de
Maringá – PR. Mais informações em <https://uem2017.wixsite.com/xcnmem>. Acessado em 18 jun. 2018.
51
Resnick (2016) destaca que
As tecnologias podem auxiliar no processo de aprendizado tanto quanto o papel já ajudou. Serão úteis se usadas de maneira apropriada. Creio que existem três frentes em que os novos recursos técnicos são relevantes: no acesso à informação, na comunicação (entendida como troca de conhecimento) e como meio para que as pessoas exerçam sua criatividade. Infelizmente, a maior parte do aparato moderno se limita a fazer coisas velhas de forma diferente. Com frequência, as pessoas pensam na educação como o repasse de informações para o estudante. Esquecem-se de que as mais importantes experiências ocorrem quando o aluno está ativamente engajado em projetar, criar e experimentar. Só aproveitaremos o potencial dos computadores quando pararmos de pensar neles como espécies de televisores e começarmos a enxergá-los como pincéis. Ou seja, como meios para a expressão criativa.
Frant e Castro (2009) e Frant (2011) defendem uma visão da tecnologia como
prótese. Segundo essa visão, prótese está além de suprimir uma falta, mas
oportuniza uma modificação na maneira de compreensão do mundo. “Por exemplo,
é difícil dizer exatamente onde termina o tato para um cego: na sua mão ou na
bengala? Neste caso fica mais claro entender que a bengala não é apenas um
objeto auxiliar da visão, mas um artefato que modifica a percepção de quem o usa”
(FRANT, 2011, p. 217). Assim sendo, pensar se a utilização da tecnologia faz o
aluno aprender mais ou menos do que sem ela, perde o sentido. As tecnologias
empregadas no ensino, na verdade, abalam o ontológico das propostas. A maneira
de seu desenvolvimento é outra, novas possibilidades se abrem, novas habilidades
são ensejadas, novas discussões são empregadas. É nesse sentido que Bairral
(2015) destaca que as investigações com tecnologias digitais devem procurar
avançar além da análise epistemológica desses recursos digitais.
Assim, procurando explorar os computadores como um recurso ímpar para a
produção de tecnologia, transcendendo a visão de meros consumidores desses
recursos, nos valemos da programação de computadores para possibilitar aos
alunos a construção de artefatos (PAPERT, 1985, 1994). Para tanto, construímos
uma tarefa de Modelagem Matemática que ensejasse, ao mesmo tempo, a
exploração de uma situação cotidiana de nossos estudantes aplicada à
programação de computadores.
No próximo capítulo apresentamos detalhadamente essa tarefa de Modelagem,
como se deu seu desenvolvimento, bem como o detalhamento dos encontros.
52
4 A TAREFA DE MODELAGEM MATEMÁTICA
Nesse capítulo apresentaremos de maneira detalhada como se deu o
desenvolvimento de nossa tarefa de Modelagem Matemática, pois é ela que oferece
contexto para nossa análise. A tarefa de Modelagem, em si, não é nosso foco, mas
sim o seu sentido, ou seja, o que ela revela ao ser desenvolvida em um contexto de
programação de computadores. Por isso, no momento da análise, colocamo-la entre
parênteses, em busca de sua essência.
Julgamos importante a descrição detalhada da tarefa de Modelagem para
proporcionar ao leitor um entendimento de todo o processo de seu desenvolvimento
para a produção/coleta dos dados, proporcionando compreensão do contexto do
desenvolvimento de nosso trabalho. Apontamos que em alguns momentos fizemos a
transcrição de diálogos ocorridos no desenrolar da tarefa23.
Conforme mencionamos, os dados produzidos para o presente texto foram
obtidos em uma Ágora. Trata-se de um projeto desenvolvido desde alguns anos na
escola24 onde se deu a coleta, em que os professores desenvolvem, no contra turno
das atividades regulares, espaços diferenciados com os alunos, buscando promover
aulas diferentes das tradicionalmente praticadas no dia a dia, que fomentem o
desenvolvimento intelectual dos alunos de uma forma mais lúdica e dinâmica,
procurando um rompimento com as práticas tradicionais25.
Destacamos que na Ágora que oferecemos, além do autor da presente
dissertação, outro professor de Matemática da escola em que se deu a coleta de
dados, se fez presente. Para fins textuais, nos momentos em que formos nos referir
ao autor do presente texto, tratá-lo-emos como pesquisador; ao nos referirmos ao
outro professor que auxiliou na aplicação da Ágora, tratá-lo-emos como professor.
Essas atividades funcionam como minicursos, com duração de 10h,
distribuídas ao longo de uma semana, a critério do organizador. Todos os
estudantes do Ensino Médio, para serem promovidos de ano escolar, precisam
participar de, no mínimo, três Ágoras no ano. Destaca-se que a supramencionada
23
Essas transcrições, a fim de diferenciá-las do texto, foram recuadas em 4 cm, como quando fazemos citações
diretas de mais de três linhas. 24
Colégio de aplicação da Universidade Federal de Juiz de Fora. O processo de ingresso dos alunos nessa
instituição se dá por meio de sorteio público. Os alunos que participaram dessa pesquisa são alunos do Ensino
Médio, especificamente do 1º e 2º ano. 25
Utilizamos o termo “práticas tradicionais” nos referindo a aulas expositivas, pautadas em explicação do
conteúdo pelo professor, seguida de exercícios de fixação.
53
escola divide seu ano escolar em três trimestres, sendo que a mesma Ágora,
normalmente, é oferecida uma vez por trimestre, oportunizando que mais alunos
participem dessa ação da escola. Dessa maneira, ressaltamos que os dados
utilizados para nossa pesquisa, se refere à primeira das três turmas que
participaram dessa Ágora ao longo do ano de 2017.
Conforme regulamentado pela instituição escolar em que se deu a
produção/coleta dos dados dessa pesquisa, as Ágoras
a) São disciplinas de curta duração, oferecidas pelos professores, de caráter obrigatório, com discussões de temas transversais ou outros temas que julguem relevantes, utilizando metodologias alternativas. b) Cada aluno deverá fazer, obrigatoriamente, três Ágoras, uma por trimestre, durante o ano letivo, podendo fazer mais de uma, por trimestre, caso haja vaga. [...] d) A carga horária será de 2 aulas, por dia, durante uma semana, totalizando 10h/aulas. [...] f) As matrículas acontecerão no início de cada trimestre, por opção do aluno e de acordo com as vagas oferecidas. g) A avaliação da Ágora será feita por frequência, participação e/ou por trabalhos, sendo atribuídos os conceitos “A” apto, ou “I” inapto ao final de cada trimestre. [...] k) Ao final das Ágoras, os alunos serão certificados pela escola, desde que tenham o conceito A. l) Poderão ser matriculados de 10 a 20 alunos em cada Ágora. (AGENDA ESCOLAR, 2017, p. 29-30)
A temática das Ágoras é escolhida pelo corpo docente que esteja interessado
em oferecer tais atividades. Na época em que se deu essa produção/coleta,
estavam sendo oferecidas vinte e duas Ágoras trimestralmente, com temáticas
diversas (filosofia, robótica, teologia, programação de computadores, reações
químicas, capoeira, teatro, etc.). Uma semana antes do início das Ágoras aconteceu
uma pequena mostra, na qual os alunos tiveram a possibilidade de conhecer um
pouco sobre o que seria oferecido e, de acordo com seu interesse, fizeram a
inscrição naquelas que gostariam de participar. Essa inscrição é feita diretamente
com a coordenação do Ensino Médio e, após esse momento, a listagem dos alunos
participantes de cada uma das Ágoras é repassada aos docentes. O professor que
organiza uma Ágora estipula o limite de alunos que dela participará, além de poder
restringir, se for o caso, para qual nível educacional ela será destinada.
No âmbito desse contexto educacional, oferecemos a Ágora intitulada
“Introdução à programação de computadores com o software Scratch”, destinada a
qualquer aluno interessado do primeiro, segundo ou terceiro ano do Ensino Médio,
54
sendo doze alunos o número máximo de participantes. Conforme relatado pela
direção do Ensino Médio, uma quantia acima de doze alunos manifestou interesse
em participar dessa Ágora. Esses alunos interessados foram distribuídos, a critério
da coordenação, ao longo do ano para o preenchimento das três turmas.
Julgamos de grande importância apontar o fato de os estudantes escolherem
as Ágoras que irão participar, pois, mesmo tendo um caráter obrigatório da escola,
eles, de alguma forma, se identificaram com a temática da Ágora, indicando que
minimamente possuíam curiosidade sobre o assunto abordado.
Nossa Ágora aconteceu na sala de informática da escola. A proposta era de
que os doze participantes fossem divididos em quatro equipes de três alunos,
considerando a literatura de Modelagem Matemática (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN,
2016; ARAÚJO, 2009; BARBOSA, 2001a; BASSANEZI, 2002; BURAK, 2004;
MALHEIROS, 2011; OREY; ROSA, 2007) que preconiza o trabalho em grupo,
oportunizando discussões e interações que, de maneira individual, não seriam
possíveis.
Quando os alunos trabalham juntos com o mesmo objetivo e produzem um produto ou solução final comum, têm a possibilidade de discutir os méritos das diferentes estratégias para resolver um mesmo problema e isso pode contribuir significativamente para a aprendizagem dos conceitos envolvidos (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2016, p. 33).
Dessa forma, quatro máquinas desse laboratório foram previamente
configuradas, contando com uma câmera WebCam com microfone integrado, o
software Scratch, acesso ilimitado à internet e o software ScreenCastify, conforme
explicitado na Seção 2.3.
A fim de melhor organizar o detalhamento de nossa tarefa de Modelagem,
dividimos o capítulo em 6 seções, sendo as 5 primeiras destinadas a detalhar cada
um dos encontros e a última a apresentar uma síntese da tarefa. Destacamos que
nos três últimos encontros, apresentamos, separadamente, as ações executadas por
cada uma das equipes participantes da Ágora, oportunizando uma melhor
visualização ao leitor do que se passou no ambiente em que se deu a coleta dos
dados.
55
4.1 Primeiro encontro: 27/03/2017 Logo no início do primeiro encontro, pedimos aos alunos que ocupassem as
cadeiras dos computadores previamente selecionados em trios. Estavam presentes
nesse dia, dos doze inscritos, apenas oito, portanto, os alunos formaram duas
equipes com três participantes e uma equipe com dois.
Após a acomodação das equipes, demos início, por meio de uma breve
apresentação do formato que havíamos pensado a Ágora, dizendo que iriam se
deparar com um desafio que deveriam resolver por meio de programação de
computadores.
Para o desenvolvimento da tarefa, assumimos uma postura construcionista.
Com essa postura, transferimos aos alunos a maior parcela de responsabilidade na
construção de seu conhecimento, pois compreendemos que “o desenvolvimento
cognitivo é um processo ativo de construção e reconstrução das estruturas mentais”
(MALTEMPI, 2012, p.288), ou seja, supomos que “as crianças farão melhor
descobrindo [...] por si mesmas o conhecimento específico de que precisam”
(PAPERT, 1994, p.125), dessa maneira, acreditamos que podemos “ensinar de
forma a produzir a maior aprendizagem a partir do mínimo de ensino” (PAPERT,
1994, p.125).
No contexto dessa teoria, destacam-se cinco dimensões, quais sejam:
1. Dimensão pragmática: refere-se à sensação que o aprendiz tem de estar aprendendo algo que pode ser utilizado de imediato, e não em um futuro distante. [...] 2. Dimensão sintônica: ao contrário do aprendizado dissociado, normalmente praticado em salas de aula tradicionais, a construção de projetos contextualizados e em sintonia com o que o aprendiz considera importante fortalece a relação aprendiz-projeto, aumentando as chances de que o conceito trabalhado seja realmente aprendido. [...] 3. Dimensão sintática: diz respeito à possibilidade de o aprendiz facilmente acessar os elementos básicos que compõem o ambiente de aprendizagem e progredir na manipulação destes elementos de acordo com a sua necessidade e desenvolvimento cognitivo. [...] 4. Dimensão semântica: refere-se à importância de o aprendiz manipular elementos que carregam significados que fazem sentido para ele, em vez de formalismos e símbolos. [...] 5. Dimensão social: aborda a integração da atividade com as relações pessoais e com a cultura do ambiente no qual ele se encontra. O ideal é criar ambientes de aprendizagem que utilizem materiais valorizados culturalmente. Nesse sentido, a programação de computadores e o domínio da tecnologia em geral representam bons materiais a serem aproveitados, uma vez que são bem valorizados na sociedade atual. [...] (MALTEMPI, 2012, p. 290-291)
Assim sendo, preconizando pelo construcionismo e com o objetivo de
observar o que se mostra de uma tarefa de Modelagem Matemática em um contexto
56
de programação de computadores, problematizamos a temática geral da Ágora: o
trânsito26. Discutimos um pouco sobre as dificuldades que existem quando o número
de veículos e pedestres nas ruas cresce muito. Apresentamos dois vídeos sobre
essa temática, sendo que, em um deles, um engenheiro de trânsito27 apresentava o
quão complexo é a tarefa de se “prever” a movimentação no trânsito de veículos e
pedestres. Em outro vídeo28, foi apresentada uma reportagem sobre o
funcionamento de uma central de controle de semáforos em uma cidade de Minas
Gerais.
A partir desses primeiros vídeos, discutimos a questão do trânsito
especificamente na cidade de Juiz de Fora, Minas Gerais. Como se trata de uma
cidade com aproximadamente 600 mil habitantes29, o fluxo de veículos,
principalmente na parte central da cidade, torna-se cada vez mais caótico.
Apresentamos, então, um vídeo30, recorte de um jornal televisivo, em que um
telespectador, morador da cidade de Juiz de Fora, fazia uma reclamação a respeito
de um cruzamento em seu bairro, dizendo que ocorriam muitos acidentes nesse
local devido à falta de um semáforo.
Após toda essa contextualização, apresentamos o seguinte questionamento
aos alunos: Pensando na implementação de um semáforo no cruzamento entre as
ruas X e Y da cidade de Juiz de Fora, com o auxílio do software Scratch, como
podemos programá-lo levando em consideração o tempo necessário para a
travessia de pedestres? Após esse questionamento, os alunos iniciaram uma
discussão, entre eles, sobre a temática. Sugerimos que pensassem em cruzamentos
que eles julgavam que necessitavam de semáforos para melhoria da segurança
naquele local.
Enquanto discutiam sobre o assunto, eles utilizavam um recurso do site de
buscas Google, que permite visualizar os mapas das ruas, tentando encontrar um
26
A temática “trânsito” foi escolhida pelos professores que conduziram a Ágora, porém, os demais momentos de
desenvolvimento da tarefa de Modelagem teve a participação dos estudantes. Dessa forma, nossa tarefa de
Modelagem se aproximou do Caso 2 proposto por Barbosa (2001). Essa temática foi escolhida a partir de um
projeto paralelo de construção de um semáforo físico, utilizando LED’s e placa microcontroladora Arduino.
Visualizou-se uma possibilidade de construção de “semáforos virtuais” por meio da programação no software
Scratch, e, por isso, essa proposta foi levada aos alunos participantes da Ágora por meio de uma tarefa de
Modelagem Matemática. 27
Vídeo disponível em <https://www.youtube.com/watch?v=vCJHLYN7MSM>. Acesso em 18 jun. 2018. 28
Vídeo disponível em <https://www.youtube.com/watch?v=DpG8su4Iejw>. Acesso em 18 jun. 2018. 29
Informações disponíveis em <https://cidades.ibge.gov.br/brasil/mg/juiz-de-fora/panorama>. Acesso em 18 jun.
2018. 30
Vídeo disponível em <http://g1.globo.com/mg/zona-da-mata/mgtv-1edicao/videos/v/vc-no-mgtv-morador-
reclama-de-falta-de-semaforo-em-juiz-de-fora/4324071/>. Acesso em 18 jun. 2018.
57
possível cruzamento para solucionar o problema. Destacamos que nesse momento
os estudantes procuravam por ruas que faziam parte dos locais por eles percorridos
diariamente.
Na Figura 6, ilustramos um dos momentos em que os estudantes estavam
procurando por um cruzamento para o desenvolvimento da tarefa proposta.
Ressaltamos que essa imagem foi retirada de um dos vídeos gravados durante o
desenvolvimento do trabalho pelos alunos.
Figura 6: Utilização do Google Mapas
Fonte: A pesquisa
A Figura 6 mostra uma visão, via satélite, da região da escola, que fica na rua
Visconde de Mauá (canto inferir esquerdo da ilustração), corroborando que os
alunos estavam discutindo a tarefa levando em consideração cruzamentos de ruas
que fossem de seu cotidiano.
Após alguns minutos com essa pesquisa, os alunos foram indagados sobre o
conhecimento que tinham de programação de computadores e se conheciam o
Scratch, software que utilizaríamos para o desenvolvimento do trabalho. Um aluno
se manifestou dizendo que já havia desenvolvido site utilizando a linguagem de
58
programação PHP, mas nunca havia mexido com o Scratch. Os demais nunca
haviam trabalhado com qualquer tipo de linguagem de programação e também não
conheciam o referido software.
Nesse momento, para que os alunos tivessem um pequeno contato com a
lógica de programação, apresentamos a eles os jogos, desenvolvidos pela empresa
Google, Blockly Games31. Esses jogos foram criados com intuito de estimular o
conhecimento da lógica de programação de maneira lúdica e intuitiva. Neles, não é
necessário se preocupar com os códigos que devem ser digitados para se alcançar
as metas, pois todos os comandos são encaixados como peças de quebra cabeça,
devendo seus usuários apenas pensar quais os caminhos devem tomar para atingir
o objetivo de cada nível.
Esse formato de condução de tarefa, normalmente é chamado de
gamificação. Conforme Lorenzoni (2016), utilizar elementos dos jogos, tais como
desafio a ser alcançado, diferentes níveis de dificuldade, criatividade para a
resolução de problemas, podem estimular os estudantes a se envolverem mais com
a proposta. Foi nesse sentido que utilizamos os jogos Blockly Games, mesmo
sabendo que poderíamos utilizar outros softwares, acreditando que, por se tratar de
jogos, os alunos poderiam desenvolver as habilidades básicas de lógica de
programação de maneira mais lúdica. Assim sendo, deixamos que os alunos,
livremente, manipulassem os jogos e fossem avançando em suas etapas e,
consequentemente, no entendimento da lógica de programação que é exigido para
cada nível do jogo.
A Figura 7, que apresentamos a seguir, ilustra o nível 4 do jogo Labirinto que
os estudantes utilizaram para o desenvolvimento da lógica de programação. O
objetivo desse jogo é conduzir o personagem (bonequinho amarelo) até o alvo de
destino (ponto vermelho), passando pelo caminho traçado. Para tanto, é necessário
que se monte uma sequência de comandos para que o personagem alcance seu
destino.
31
Disponível em <https://blockly-games.appspot.com/?lang=pt-br>. Acessado em 18 jun. 2018.
59
Figura 7: Blockly Games
Fonte: A pesquisa
Optamos por utilizar esses jogos como introdutórios da lógica de
programação por serem “uma série de jogos educativos que ensinam programação.
É projetado para crianças que não tiveram experiência prévia com a programação
de computadores”32 (tradução nossa). Como esses jogos são manipulados por meio
de montagem de blocos, semelhante ao software Scratch, entendemos que os
estudantes teriam mais conforto para, posteriormente, manipulá-lo. Ademais, de
maneira mais lúdica e descontraída, tiveram seu primeiro contato com a lógica de
programação por meio de alguns jogos que foram desenvolvidos para essa
finalidade.
4.2 Segundo encontro: 28/03/2017
No segundo encontro, além dos oito alunos que estiveram presentes no
primeiro, outros dois participantes se fizeram presentes, formando uma quarta
equipe. No intuito de situá-los sobre as discussões ocorridas no primeiro encontro,
fizemos uma breve explanação do que foi dito e disponibilizamos, para toda a turma,
cerca de 10 minutos para retomarem os jogos Blockly Games.
Após esse primeiro contato com a lógica de programação por meio desses
jogos, iniciamos a manipulação do software Scratch. Para que os alunos pudessem
ambientar-se com o programa, fomos lançando pequenos desafios, aumentando
gradativamente a dificuldade para que pudessem ir buscando novas estratégias e
32
Disponível em <https://blockly-games.appspot.com/about?lang=pt>. Acessado em 18 jun. 2018.
60
conhecendo melhor o programa.
Na Figura 8, apresentamos a tela inicial do software de programação Scratch
que foi utilizado para o desenvolvimento da tarefa de Modelagem pelos estudantes.
Podemos observar a tela em três grandes partes, sendo a parte da esquerda
(onde contém a imagem do gatinho) o palco. É nessa região que acontece a
animação construída, ou seja, é o local em que se vê o resultado da programação.
Na parte central da ilustração estão os blocos de comandos que podem ser
utilizados para a construção do programa. Esses blocos são montados, como peças
de quebra cabeça, utilizando o recurso de arrastar. Esses comandos são arrastados
para a região cinza, a terceira parte da tela que aparece do lado direito da ilustração.
Figura 8: Tela inicial do Scratch - Versão 2
Fonte: A pesquisa
Destacamos que o processo de programação por meio do software Scratch
pode ser mais intuitivo aos iniciantes em programação, visto que
o código é elaborado na forma de blocos de montar tal como peças de quebra-cabeça, exigindo [do desenvolvedor] apenas raciocínio e criatividade para alcançar o objetivo desejado, sendo dispensado o conhecimento aprofundado de linguagem de programação (CARVALHO, 2016, p. 4, inserção nossa).
Como um primeiro desafio para que os estudantes começassem a conhecer
melhor o Scratch, pedimos que fizessem o personagem que se apresenta na tela
inicial (um gatinho, conforme podemos observar na Figura 8) se movimentasse, indo
61
de um lado para o outro, independente do usuário.
Apesar de ser uma tarefa aparentemente simples, como os estudantes
estavam ainda iniciando a manipulação do referido software, houve muitas
discussões até que eles encontrassem soluções para essa movimentação. Na
Figura 9 ilustramos a solução dada por uma das equipes a esse desafio.
Figura 9: Código da solução de uma das equipes
Fonte: A pesquisa
O software, nesse caso, executa o comando de maneira linear, sendo
interpretado da seguinte maneira: inicia sua execução quando a bandeira verde for
clicada. Quando isso acontecer, ele fica executando o bloco de comandos, que está
dentro do laço sempre, de forma infinita, ou seja, o personagem ficará movendo-se
200 passos, depois aguardando 1 segundo e, sempre que ele tocar na borda
(chegar no “final da tela”) ele retorna para o outro lado. Dessa maneira o
personagem atende ao desafio inicial de ficar indo de um lado ao outro na tela do
computador.
A solução apresentada move o personagem na tela, porém, a impressão que
se tem é de que o personagem está “flutuando”, se arrastando na tela, além de ele
estar retornando de cabeça para baixo. Um integrante de um dos grupos fala sobre
o fato de o personagem retornar de cabeça para baixo ao pesquisador:
Aluno1: Professor, o nosso anda de cabeça para baixo, mas vai de um lado para o outro.
Outro aluno ainda acrescenta, questionando:
Aluno 2: Não dá pra fazer uma animação para ele não ficar arrastando na tela?
62
Aproveitando o envolvimento dos estudantes com essa tarefa, desafiamo-los
a aperfeiçoarem seu código, tentando fazer com que o movimento do personagem
simulasse uma caminhada (isso fez com que eles buscassem novos comandos que
o Scratch disponibiliza, além das diferentes formas, fantasias, que cada objeto
possui). Para atender a esse novo desafio, os estudantes, após manipulações e
interações com o programa, encontraram e utilizaram o recurso de “mudança de
fantasia” do personagem. Trata-se de um recurso de mudar a forma que o
personagem se apresenta. A Figura 10 e a Figura 11 ilustram o personagem gatinho
(que os estudantes estavam manipulando nesse desafio) em dois formatos
(fantasias) diferentes.
Figura 10: Gatinho no formato 1
Fonte: A pesquisa
Figura 11: Gatinho no formato 2
Fonte: A pesquisa
Para simular a “caminhada” do personagem pela tela, os estudantes
utilizaram o recurso de alternar entre as formas de apresentação do personagem,
conforme o código que apresentamos na Figura 12.
Figura 12: Código do programa para simular caminhada do gatinho
Fonte: A pesquisa
63
Como acréscimo ao código apresentado na Figura 9, os estudantes utilizaram
o comando “mude o estilo de rotação para esquerda-direita”, para que o gatinho não
retornasse de cabeça para baixo ao tocar no final da tela, além do comando “mude
para a fantasia” para que o personagem alternasse entre as formas que se
apresenta, simulando assim a caminhada.
Finalizada essa primeira atividade, e considerando o conhecimento inicial da
manipulação do software, solicitamos que os alunos construíssem um programa que
fosse capaz de calcular a média aritmética entre dois números digitados pelo
usuário, ou seja, o programa deveria “perguntar” ao usuário os números e retornar
sua média aritmética.
Esse novo desafio oportunizou que os estudantes explorassem outros
comandos de programação disponíveis no Scratch, como variáveis e operadores
matemáticos, conforme ilustrado na Figura 13 e Figura 14.
Figura 13: Alguns operadores matemáticos do Scratch
Fonte: A pesquisa
Figura 14: Menu variáveis com X, Y, Z criados pelos alunos
Fonte: A pesquisa
Esses operadores matemáticos são utilizados juntamente com outros
comandos, oportunizando que se construa, por exemplo, a soma entre valores e sua
64
divisão para o cálculo da média. Já as variáveis (no exemplo X, Y e Z que foram
criadas pelos alunos) servem como um pequeno espaço na memória para
armazenar informações. Nesse caso, essas variáveis foram utilizadas para
armazenar os valores digitados pelo usuário do programa (variáveis X e Y) e para
armazenar o resultado da média (variável Z).
Na Figura 15 apresentamos a solução para esse desafio de uma das equipes.
Ressaltamos que para alcançarem essa solução foram necessários quase trinta
minutos de exploração do software, pesquisas e mediações do professor e
pesquisador.
Figura 15: Solução de uma das equipes para o cálculo da média aritmética de dois valores
Fonte: A pesquisa
A solução apresentada pelo grupo inicia perguntando ao usuário um valor
para a variável Y (comando pergunte) e armazenando seu valor (comando mude Y
para resposta). O mesmo procedimento é feito para a variável X e, por fim, é
armazenada na variável Z a média entre esses valores inseridos pelo usuário para,
na sequência, apresentar o resultado da média entre os números X e Y por meio do
comando “diga”.
Na Figura 16 apresentamos uma sequência de momentos da execução do
programa que calculava a média aritmética de dois números inseridos pelo usuário.
65
Figura 16: Momentos da execução do programa que calcula média aritmética de dois números
Fonte: A pesquisa
Acrescentamos que apenas o personagem “coqueiro” possuía a programação
para o cálculo da média, conforme apresentamos na Figura 15. Os demais
personagens, inseridos pelos alunos, estavam apenas “compondo” a interface do
programa.
4.3 Terceiro e quarto encontros: 29 e 30/03/2017
No terceiro encontro os alunos se dedicaram, exclusivamente, ao
desenvolvimento da simulação do semáforo para o cruzamento de ruas por eles
selecionado. Cada uma das equipes adotou uma estratégia diferente para iniciar o
desenvolvimento do trabalho.
Já o quarto encontro foi dedicado ao fechamento dos projetos, visto que o
quinto encontro foi destinado à apresentação dos trabalhos, na forma de plenária, a
todos os participantes da Ágora. Assim, no intuito de dar maior fluidez na leitura,
detalhamos na sequência, em separado, como procederam cada uma das equipes
nesses dias de trabalho.
Terceiro encontro da Equipe 1: Para iniciar seu trabalho essa equipe
retornou ao mapa da cidade, por meio do site Google Mapas, e voltaram a discutir
sobre o cruzamento que iriam trabalhar por cerca de 30 minutos para, só então,
iniciar o trabalho no Scratch.
Ao retornarem ao Scratch, os alunos se dedicaram a atividades como
desenhar carrinhos ou ficar movimentando-os pela tela, por um longo tempo. Um
dos colegas pediu que aquele que estava manipulando o computador parasse de
desenhar, porém, só iniciaram o trabalho específico do semáforo após 30 min de
distração com os desenhos.
66
Ao pensarem especificamente no semáforo, iniciaram fazendo um desenho,
semelhante a um semáforo, conforme ilustramos na Figura 17.
Figura 17: Esboço inicial da tarefa - Equipe 1
Fonte: A pesquisa
Os alunos solicitaram ajuda do pesquisador sobre como “fazer as luzes
acenderem e apagarem”. Ele sugeriu a utilização do comando “Envie mensagem”
que permite a comunicação entre objetos. Essa sugestão foi feita para que os
semáforos pudessem se comunicar, ou seja, um semáforo “avisa” quando ficar
vermelho ao outro para que o outro possa mudar seu estado de fechado para aberto
e assim sucessivamente.
Essa sugestão do pesquisador aos alunos se deu no final do encontro e o
projeto ficou iniciado apenas conforme a ilustração que apresentamos na Figura 17.
Quarto encontro da Equipe 1: Logo no início do quarto encontro essa
equipe se debruçou na tarefa de fazer o semáforo “acender as luzes”. Na sequência,
retomaram a discussão sobre o cruzamento que iriam trabalhar e observaram a
necessidade de aumentar a quantidade de semáforos (a princípio estavam utilizando
apenas um). Aumentaram para cinco a quantidade de semáforos e começaram a
trabalhar em sua programação. A Figura 18 ilustra os cinco semáforos criados por
essa equipe.
67
Figura 18: Semáforos no quarto encontro da Equipe 1
Fonte: A pesquisa
Ao trabalharem na programação dos semáforos, a equipe sempre retornava
ao Google Mapas, observando o cruzamento que haviam escolhido trabalhar e
avaliando sua programação.
Ficaram durante todo o encontro trabalhando nessa tarefa e finalizaram esse
dia apenas nessa programação, sem ter o cruzamento de ruas desenhado no
Scratch, tendo apresentado seu projeto dessa forma33.
Terceiro encontro da Equipe 2: Essa equipe iniciou diretamente o trabalho
no Scratch, desenhando um semáforo para testar maneiras para fazê-lo “acender e
apagar” as luzes.
Assim como a Equipe 1, eles construíram o semáforo de maneira que cada
uma de suas luzes fosse um objeto. Isso permitiu que testassem estratégias como
desaparecer e aparecer objetos e também testaram o recurso de “Enviar
mensagem”.
Houve muita discussão entre os integrantes do grupo durante essa
construção. Os alunos enfrentaram dificuldades para conseguir sincronizar o tempo
entre as luzes dos semáforos. Muitas vezes duas luzes ficavam acesas ao mesmo
tempo, conforme pode ser observado na Figura 19.
33
Projeto final da Ágora apresentado pela Equipe 1 disponível em
<https://scratch.mit.edu/projects/218108816/>. Acessado em 18 jun. 2018.
68
Figura 19: Esboço inicial do semáforo - Equipe 2
Fonte: A pesquisa
Após diversas tentativas e algumas mediações do professor e do
pesquisador, a Equipe 2 conseguiu fazer com que as luzes do semáforo alternassem
corretamente de acordo com o tempo por eles programado.
Quarto encontro da Equipe 2: Durante os primeiros 20 minutos do quarto
encontro, a Equipe 2 se dedicou a aperfeiçoar o funcionamento de apenas um
semáforo. Após esse tempo, duplicaram o semáforo e passaram a trabalhar de
maneira a sincronizá-los.
Quando conseguiram essa sincronia, os alunos retornaram para o Google
Mapas em busca do cruzamento de ruas que iriam utilizar. Ao encontrarem o
cruzamento, os alunos abriram o programa Paint© ao lado do Google Mapas de
maneira que fosse possível visualizar as duas telas simultaneamente e, então,
desenharam o cruzamento, tentando fazer uma cópia conforme visualizavam o
mapa. A Figura 20 ilustra esse momento.
69
Figura 20: Janelas abertas lado a lado para desenhar o cruzamento - Equipe 2
Fonte: A pesquisa
Ao finalizarem o desenho, os alunos inseriram ainda o nome das ruas e
também pequenas setas para indicar o sentido do fluxo do trânsito. Feito isso,
colocaram a imagem por eles construída no Scratch como plano de fundo dos
semáforos.
Por fim, ajustaram o tamanho e posicionamento dos semáforos no
cruzamento por eles desenhado, finalizando assim o trabalho. Ilustramos na Figura
21 o resultado final da Equipe 234.
Figura 21: Cruzamento de ruas com os semáforos - Equipe 2
Fonte: A pesquisa
Terceiro encontro da Equipe 3: A terceira equipe iniciou esse encontro
diretamente no software Scratch, desenhando um cruzamento de ruas genérico,
34
Projeto final da Ágora apresentado pela Equipe 2 disponível em
<https://scratch.mit.edu/projects/218108949/>. Acessado em 18 jun. 2018.
70
apontando por setas o sentido do trânsito, conforme ilustramos na Figura 22.
Figura 22: Esboço do cruzamento de ruas - Equipe 3
Fonte: A pesquisa
Logo após terem construído o cruzamento de ruas, os alunos iniciaram uma
pesquisa na internet por imagens de semáforos para inserirem em seu programa e
assim o fizeram, porém, não conseguiram ajustar conforme gostariam e deixaram
essa ideia de lado. Como alternativa, optaram por utilizar um semáforo com apenas
uma luz de maneira que ela mudasse de cor. Na Figura 23 ilustramos o cruzamento,
da Equipe 3, já com os semáforos.
Figura 23: Cruzamento com semáforos - Equipe 3
Fonte: A pesquisa
71
Após discussões e debates, utilizando também a estratégia de “Enviar
mensagem”, os alunos conseguiram fazer os semáforos funcionarem conforme eles
gostariam. Ao apresentarem o que haviam feito ao pesquisador, esse os questionou
sobre como calcularam o tempo de cada luz e se era suficiente para a travessia dos
pedestres. Esse questionamento se deu logo no final do encontro e essa discussão
foi retomada no dia seguinte.
Quarto encontro da Equipe 3: Os alunos retomaram o projeto refazendo
testes nos semáforos. A princípio, haviam utilizado um cruzamento genérico por eles
desenhado. Por meio do Google Mapas, buscaram o cruzamento real que haviam
pensado e inseriram no Scratch uma foto dele, conforme apresentado na Figura 24.
Figura 24: Cruzamento de ruas com os semáforos - Equipe 3
Fonte: A pesquisa
Após esse momento, o pesquisador retomou com eles o questionamento feito
no último encontro sobre o tempo necessário para a travessia dos pedestres. Os
alunos disseram que o tempo que haviam deixado era suficiente para uma pessoa
atravessar. O professor e o pesquisador aproveitaram essa oportunidade para
questioná-los como eles poderiam ter essa certeza.
72
Os alunos partiram para uma nova pesquisa no Google sobre a velocidade
que uma pessoa, em média, caminha e concluíram que são cerca de 100 metros a
cada minuto. Assim, de acordo com a largura das ruas do cruzamento que
selecionaram (cerca de 5 metros), concluíram que em torno de 4 segundos seriam
suficientes, porém, levando em conta pessoas idosas, utilizaram 10 segundos para a
travessia dos pedestres.
Após essa conclusão, ajustaram os tempos de seus semáforos, encerrando
assim35 os trabalhos para esse encontro.
Terceiro encontro da Equipe 4: A quarta equipe iniciou o trabalho voltando
ao site do Google Mapas para buscar o cruzamento sobre o qual iriam trabalhar.
Destacamos que essa equipe, composta por dois alunos, estava ausente no primeiro
encontro. Por esse motivo, foi dada aos alunos uma breve explicação do que havia
se passado no primeiro encontro, contextualizando novamente a Ágora e a proposta
de se implementar um semáforo em um cruzamento de ruas por eles selecionado.
Foi apresentada a esses alunos a reclamação de um morador, recorte de um
jornal televisivo36, sobre a falta de semáforo em um cruzamento de ruas na cidade
de Juiz de Fora no intuito de sugerir que os alunos trabalhassem com essas ruas,
visto que estavam em dúvida sobre o local que iriam utilizar, porém, os alunos não
aceitaram a sugestão e seguiram pesquisando outros locais.
Por cerca de 20 minutos seguiram nessa busca e utilizaram uma fotografia do
mapa para inserir no Scratch, porém, a princípio, não estavam conseguindo fazer a
inserção da imagem no programa. Desistiram dessa estratégia e, diretamente no
Scratch, desenharam um cruzamento genérico. Feito o cruzamento, os alunos
ficaram desenhando vários “pedestres” e tentando simular sua caminhada. Nesse
momento houve uma intervenção do pesquisador, sugerindo que pensassem,
primeiramente, na lógica do semáforo e depois, caso tivessem tempo, retornassem à
simulação dos pedestres nas ruas.
Os alunos passaram a pesquisar imagens de semáforos no Google e as
inseriram no Scratch, porém, apresentaram dificuldades em trabalhar na lógica de
alterar suas cores e, então, optaram por desenhar os semáforos diretamente no
35
Projeto final da Ágora apresentado pela Equipe 3 disponível em
<https://scratch.mit.edu/projects/218109103/>. Acessado em 18 jun. 2018. 36
O vídeo apresentado a esses alunos foi o mesmo exibido aos demais colegas anteriormente, no dia em que
estavam ausentes.
73
Scratch, chegando ao resultado que apresentamos na Figura 25.
Figura 25: Semáforos iniciais - Equipe 4
Fonte: A pesquisa
Com algumas mediações do pesquisador, a equipe conseguiu fazer com que
os semáforos “conversassem”, acendendo e apagando as luzes de acordo com o
tempo por eles programado.
Quarto encontro da Equipe 4: No quarto encontro essa equipe se dedicou a
encontrar o cruzamento que iriam utilizar. Buscaram uma imagem no Google Mapas
do local por eles escolhido, inseriram os semáforos e ajustaram sua sincronia. A
Figura 26 ilustra o resultado final37 alcançado pela equipe.
Figura 26: Cruzamento com semáforos - Equipe 4
Fonte: A pesquisa
37
Projeto final da Ágora apresentado pela Equipe 4 disponível em
<https://scratch.mit.edu/projects/218109212/>. Acessado em 18 jun. 2018.
74
4.4 Quinto encontro: 03/04/2017
O quinto encontro, a princípio, aconteceria na sexta-feira, dia 31/03/2017,
porém, devido a alguns contratempos, não houve atividade na escola nesse dia e,
portanto, se deu na segunda-feira subsequente, dia 03/04/2017.
Esse quinto e último encontro foi destinado a apresentação das equipes para
todos os participantes. Para tanto, os alunos expuseram seus projetos por meio de
uma TV de 42’ conectada a um computador existente na sala em que aconteceu a
Ágora. Além da apresentação do trabalho, solicitamos que os estudantes emitissem
opiniões sobre o que acharam da Ágora, apontassem críticas e sugestões.
Na sequência, descrevemos a apresentação das equipes, detalhando
algumas falas dos alunos sobre o desenvolvimento do projeto bem como sobre a
Ágora como um todo.
Equipe 1: Os alunos iniciaram dizendo que acharam a Ágora interessante por
ter sido algo mais prático, além de ser algo novo e diferente do que conheciam.
Disseram também que tiveram certa dificuldade até aprenderem a manipular o
programa. Apresentamos na sequência algumas falas dos estudantes sobre isso.
Aluno 1: Eu gostei pra caramba da Ágora, nunca tinha mexido num programa desse tipo, só sabia que tinha, mas nunca tinha usado. A faculdade que eu quero fazer é Engenharia Mecatrônica, então isso vai ser bem útil, e..., tipo..., a parte mais difícil que eu achei foi realmente aprender a usar o programa, mas depois que adaptou ficou tranquilo. (SIC) Aluno 2: Ah, eu achei interessante por que eu nunca tinha mexido nisso [...] (SIC) Aluno 3: Oh, eu gostei, achei bem dinâmico, achei que ia ser mais chatinha, mas num foi não, superou minhas expectativas [...] (SIC)
Para apresentarem, os alunos abriram, simultaneamente, a animação dos
semáforos feita no Scratch e o cruzamento de ruas por meio do Google Mapas, visto
que não conseguiram inserir o desenho das ruas no Scratch. Ilustramos na Figura
27 como se deu a apresentação dessa equipe.
75
Figura 27: Apresentação final do semáforo - Equipe 1
Fonte: A pesquisa
No final da apresentação, como nenhum dos colegas fez questionamentos, o
pesquisador perguntou à equipe como eles programaram para que os semáforos
ficassem sincronizados (os dois da esquerda e os três da direita). Os alunos
explicaram que utilizaram o recurso de mudança de fantasia e o comando para
receber mensagem, além de um objeto oculto para coordenar essa sincronia. Na
Figura 28 apresentamos um trecho do código dos alunos e, na sequência, a
transcrição da explicação do aluno.
Figura 28: Trecho do código de programação do projeto final - Equipe 1
Fonte: A pesquisa
76
Aluno 1: Tipo... Mudança de fantasia e o enviar e receber mensagem, só isso, mais nada [...]. E tem esse bichinho aqui [apontando para o objeto oculto] que coordena o semáforo 1 e 2, que tá, escondidinho (SIC – inserção nossa).
Após essa resposta, o professor questionou ao grupo sobre o que eles
sugeririam para que a Ágora pudesse ficar melhor. Apontamos na sequência o
diálogo ocorrido a partir dessa pergunta.
Aluno 1: Tipo... Quando a gente começou a mexer no Scratch, vocês já lançaram desafios pra gente. Acho que se vocês tivessem dado uma introduzida pequena no programa, como é que usava, já ia dar uma facilitada. (SIC) Aluno 2: É, eu acho que essa parte do [...] Scratch, eu acho que essa parte, eu também compartilho da mesma opinião que ele, eu acho que devia ter dado uma ajudinha a mais. (SIC) Professor: Vocês foram mais cegos, muito cegos. (SIC) Aluno 2: [...] se tivesse pegado como faz, é isso, mais ou menos assim, aí a gente já tinha... (SIC)
Em linhas gerais, os alunos sinalizaram positivamente em relação à Ágora,
dizendo que acharam interessante o trabalho de programação de computadores,
apontando, porém, que sentiram dificuldades, inicialmente, ao manipularem o
software Scratch por não ter tido uma introdução prévia de seu funcionamento.
Equipe 2: Os alunos iniciaram se apresentando e, em seguida, um dos
integrantes disse que esperava que a Ágora fosse exigir mais raciocínio e empenho
do que foi necessário. A seguir apresentamos a transcrição de algumas falas.
Aluno 1: A gente... gostou muito dessa Ágora. A gente recomendaria pros colega, tudo, por que é bem divertido de fazer e, pelo menos no meu caso vai me ajudar, por que eu quero fazer Ciências da Computação também. (SIC) Aluno 2: É... Eu gostei bastante da Ágora... Mas eu achei que ela ia, assim, rachar mais a nossa cuca. Assim, o... último exercício do... daqueles, jogos, rachou nossa cuca. O sinal também rachou nossa cuca (risadas). Só que, assim, achei que ia ter mais ainda. Só que eu gostei bastante também. (SIC)
Na apresentação do projeto, os alunos disseram que, a princípio, tentaram
utilizar o recurso de enviar mensagem, porém, não conseguiram utilizá-lo. Criaram
então a estratégia de utilizar variáveis, alterando seus valores para 1, 2 ou 3 de
acordo com a cor que o semáforo deveria ficar (verde, amarelo ou vermelho). De
acordo com o valor que a variável assumia, era feita uma comparação para que ele
77
mudasse de cor. A seguir, por meio da Figura 29 e da Figura 30, ilustramos o trecho
do código que é possível observar a mudança nos valores da variável Y,
responsável por um semáforo, bem como o trecho em que ocorre a comparação
desses valores para se efetuar a mudança na cor do semáforo.
Figura 29: Código para a mudança no valor
da variável de um dos semáforos - Equipe 2
Fonte: A pesquisa
Figura 30: Comparação do valor da variável
para mudança na cor do semáforo - Equipe 2
Fonte: A pesquisa
No momento final da apresentação, a equipe destacou que a maior
dificuldade encontrada foi na parte de sincronizar os tempos do semáforo. Havia
momentos que, por exemplo, os dois semáforos ficavam amarelos.
Equipe 3: Para iniciar a apresentação, os alunos disseram que gostaram da
Ágora, acharam interessante o processo de programação. Destacamos que um dos
integrantes já havia tido contato com programação, mas que não conhecia o
Scratch. A seguir, apresentamos sua fala quando comenta sobre a Ágora.
Aluno 1: Não, então, é... Não, achei a Ágora legal assim, é... Eu gosto de informática, e tal, eu já tinha mexido com programação antes, mas não tem nada a ver com isso daí..., por que isso daí, é diferente, ah, sei lá, achei da horinha, e... é..., daí talvez tem alguma coisa, tipo, tem até relação com a faculdade que eu vou fazer que é de Ciências da Computação, envolve programação e aquilo ali [se referindo ao Scratch] é... uma coisa que facilita a programação (SIC – inserção nossa).
Na sequência, os integrantes da Equipe 3 executaram seu programa e foram
78
“narrando” o funcionamento do semáforo, apontando os momentos e locais em que
os pedestres poderiam atravessar. Durante a apresentação, o professor pergunta ao
grupo como estão ajustados os tempos das luzes. O Aluno 1 diz do tempo de
amarelo de um dos semáforos, conforme transcrevemos a seguir.
Aluno 1: fica amarelo por 4 segundos, que é o tempo que a pessoa que já começou a atravessar a rua tem pra terminar de atravessar.
Aproveitando essa fala do Aluno 1, o pesquisador os questiona sobre como
pensaram os tempos das luzes dos semáforos. Transcrevemos na sequência a
resposta dada pelos alunos.
Aluno 1: [...] o sinal amarelo tava aqui um segundo e meio. Aí o [pesquisador] fez um questionamento pra gente se dava tempo de quem acabou de começar a atravessar a rua terminar de atravessar, e tal. Aí, a gente pesquisou assim, nas intranets aí né, aí... a gente viu que uma pessoa anda cerca de 100 metros por minuto, aí a gente dividiu e deu... [aluno 2 o interrompe e complementa] (SIC – inserção nossa) Aluno 2: aí a gente veio aqui na calculadora [o aluno abre a calculadora nesse momento] ... aí bota 100 dividido por 60... [...] 1,66 metros por segundo, assim... (SIC – inserção nossa) Aluno 1: e a rua tem uma largura de 8 metros, aí... [...] 8 dividido por...demoraria cerca de 5 segundos pra atravessar a rua, que é tempo que o sinal fica amarelo, que é o tempo suficiente para pessoa atravessar a rua. Aí é por isso que o amarelo, a gente teve que aumentar o tempo (SIC).
Finalizada a apresentação do trabalho, o professor questiona aos alunos
sobre o que acharam mais difícil para o desenvolvimento do projeto. Um dos
integrantes disse que sentiu mais dificuldade em entender o funcionamento do
Scratch.
Após essa resposta, um dos colegas da turma que assistia à apresentação os
questionou sobre como eles montaram o script de programação dos semáforos.
Nesse momento eles exibiram o código que desenvolveram e disseram que
utilizaram o recurso de “enviar mensagem”. A Figura 31 apresentada a seguir, ilustra
o código de programação que foi desenvolvido por essa equipe.
79
Figura 31: Código de programação do semáforo - equipe 3
Fonte: A pesquisa
Equipe 4: Os alunos iniciaram falando sobre suas impressões sobre a Ágora.
O Aluno 2, de maneira sucinta, disse que achou a Ágora interessante. Já o Aluno 1
se expressou com mais detalhes, conforme transcrevemos a seguir.
Aluno 1: Então, tipo, eu... Essa Ágora vai me ajudar bastante por que eu pretendo trabalhar com programação, tipo... Eu pretendo fazer a faculdade de Sistemas de Informação... Muito a ver com isso. Eu gosto bastante dessas coisas de mexer com animação e, tipo, eu... gostei bastante da Ágora, eu acho que vai me ajudar muito. É isso (SIC).
Logo após essas primeiras falas dos alunos, o pesquisador aproveitou a
oportunidade para questioná-los se teriam sugestões de melhoras para a Ágora. De
maneira geral, apontaram que uma melhor instrumentalização sobre o Scratch seria
importante. Apontamos a seguir as falas dos alunos.
Aluno 2: A parte de introduzir... a gente até tava comentando ali, a parte da introdução é essencial. A gente precisa realmente introduzir por que a gente fica extremamente cego (SIC). Aluno 1: Ainda mais que a gente não veio no primeiro dia (SIC). Aluno 2: Ainda mais que a gente não veio no primeiro dia, a gente ficou mais perdido ainda. Mas a gente conseguiu recuperar bastante, a gente terminou... (SIC).
Após o apontamento dos estudantes sobre a necessidade de receberem uma
80
instrução inicial sobre o software que iriam utilizar, o professor explicou aos alunos
que essa foi uma estratégia previamente planejada. O pesquisador complementou a
fala, dizendo que isso foi proposital, no intuito de verificar o quão longe os alunos
podem chegar por si mesmos, apenas com pequenas mediações, pesquisando e
aprendendo sozinhos para concluírem o projeto.
Feito esses esclarecimentos, os estudantes executaram o projeto e
“narraram” o funcionamento dos semáforos. No final da apresentação, o pesquisador
solicitou aos alunos que exibissem o código que eles desenvolveram. Eles
explicaram o código, dizendo que só utilizaram uma repetição para que o semáforo
mudasse de fantasia (uma fantasia para cada cor da luz do sinal) e, à medida que
ele mudava de fantasia, enviava mensagem avisando a mudança.
A Figura 32 ilustra o trecho do código explicado pelos estudantes durante a
apresentação.
Figura 32: Código de programação do semáforo - Equipe 4
Fonte: A pesquisa
No final da apresentação, um dos colegas faz uma brincadeira, dizendo que
iria nessa rua e ficaria o dia todo atravessando lá. Nesse momento, o Aluno 2 faz um
comentário sobre o fato de passar no cruzamento que estavam trabalhando na
Ágora.
Aluno 2: É legal a gente passar nas ruas e lembrar da Ágora, lembrar da gente imaginando o sinal lá... (SIC)
81
Depois desse comentário, o pesquisador questiona ao grupo sobre como eles
haviam calculado o tempo que eles utilizaram para as luzes dos semáforos. Os
alunos então respondem, em tom de brincadeira e descontração:
Aluno 1: A gente tirou de uma outra rua que a gente ficou um tempão lá parado esperando... [...] Sabe no Apogeu [...] então, a gente ficou ali um tempão perto da reitoria [risadas]. A gente ficou lá, mais ou menos, só pra ver como funcionava o tempo todo (SIC – inserção nossa). Aluno 2: Mais ou menos o tempo, a distância das ruas (SIC). Aluno 1: Só pra ver mais ou menos como funciona o tempo normal (SIC). Colega que assistia: Que safados... (SIC). Aluno 2: Safado não, ué. A gente pesquisou. Pesquisa de campo (SIC). Aluno 1: É, uai, a gente pesquisou. A gente pesquisou (SIC).
Feitos tais apontamentos, os alunos encerram a apresentação ressaltando
que não copiaram exatamente o tempo dos semáforos do cruzamento que ficaram
observando, mas que se embasaram nele para programar seus semáforos.
4.5 Quadro síntese da tarefa de Modelagem Matemática
No intuito de sintetizar toda a resolução de nossa tarefa de Modelagem
Matemática, bem como caracterizá-la como tal, apresentamos um quadro síntese
juntamente com o que a literatura sobre Modelagem Matemática diz dessas ações.
Quadro 2: Caracterização da nossa tarefa enquanto tarefa de Modelagem38
Característica da nossa tarefa de Modelagem / Resolução da tarefa
Literatura de Modelagem Matemática
Tema a ser investigado (trânsito) foi disparado pelo professor e as demais informações, quantitativas e qualitativas necessárias à investigação, foram levantadas pelos estudantes por meio de pesquisas e discussões.
Barbosa (2001, p. 39) caracteriza tarefas de Modelagem Matemática em três casos. Nossa investigação se aproxima do caso 2 em que “o professor traz para a sala de aula um problema não-matemático [...]. Os alunos devem coletar as informações qualitativas e quantitativas necessárias para resolver o problema; ao professor coube formular e apresentar o problema”.
A temática geral da tarefa (trânsito) e a simulação de um semáforo em um cruzamento de ruas selecionado pelos alunos apontam a relação com o cotidiano/realidade, visto que todos estudaram cruzamentos pelos quais transitavam diariamente.
A Modelagem Matemática no contexto da Educação Matemática aborda temas, não necessariamente matemáticos, que se relacionem com a realidade (ALMEIDA, SILVA, VERTUAN, 2016; ARAÚJO, 2003, 2009; BARBOSA, 2001a; BASSANEZI, 2002; BIEMBENGUT, 2009; BURAK, 1992, 2004;
38
Estamos considerando como tarefa de Modelagem não só a situação desencadeadora, mas também as
atividades ocorridas durante sua resolução. Por isso, no quadro, aparecem as características concernentes à
tarefa, além das ações dos alunos durante sua resolução.
82
CALDEIRA, 2009; MALHEIROS, 2011; OREY, ROSA, 2007; SILVA, KATO, 2012).
Os alunos trabalharam em grupos para o desenvolvimento da tarefa de Modelagem Matemática.
A investigação em grupo possibilita mais discussões entre os estudantes, proporcionando que apresentem seus pontos de vista e opiniões sobre a temática em debate (ALMEIDA, SILVA, VERTUAN, 2016; ARAÚJO, 2009; BARBOSA, 2001a; BASSANEZI, 2002; BURAK, 2004; MALHEIROS, 2011; OREY, ROSA, 2007).
Durante a tarefa, sempre que os estudantes tinham dúvidas sobre a pesquisa e/ou desenvolvimento do trabalho, o professor/pesquisador atuou enquanto um mediador, incentivando os alunos a pesquisarem na internet sobre suas dúvidas, debaterem com os colegas, questionando-os sobre o trabalho.
No contexto da Modelagem Matemática o papel central do processo de ensino e aprendizagem sai do professor para o aluno, ou seja, nesse meio o professor se torna mediador do processo, enquanto os alunos se tornam ativos na construção do seu conhecimento (ALMEIDA, SILVA, 2010; ALMEIDA, SILVA, VERTUAN, 2016; BARBOSA, 2001; BURAK, 1992, 2010; MALHEIROS, 2004, 2008; )
Os alunos, por meio do software de programação Scratch, criaram uma representação (modelo) para a situação inicial proposta.
O processo de investigação matemática não necessariamente exige a construção de um modelo matemático (BARBOSA, 2001). Considera-se que a representação da situação em estudo, não necessariamente matemática, constitui-se um modelo (BURAK, 1992; KLÜBER, 2007), mesmo que essa representação seja computacional (códigos de um programa) (DALLA VECCHIA; MALTEMPI, 2014).
Aspecto investigativo vivenciado não só pelos alunos, mas também pelos professores durante todo o processo de resolução da tarefa de Modelagem proposta por meio de uma questão que possibilitava diferentes modos de resolução.
Em aulas com Modelagem Matemática, tanto professor quanto alunos migram de situações expositivas para outras que são essencialmente investigativas (ALMEIDA; VERTUAN, 2014).
Fonte: A pesquisa
83
5 DESCRIÇÃO E INTERPRETAÇÃO DAS CATEGORIAS
Conforme mencionamos no capítulo de metodologia, assistimos aos vídeos
das aulas repetidas vezes, de maneira atenta e intencional, à luz de nossa
interrogação de pesquisa: O que se revela de uma tarefa de Modelagem
Matemática, em um contexto de programação de computadores, desenvolvida por
estudantes da Educação Básica? Os momentos que se mostraram relevantes à
nossa interrogação foram destacados, constituindo-se em unidades de significado
(MARTINS; BICUDO, 1989).
Conforme já apresentamos no Capítulo 2, as unidades de significado
são recortes julgados significativos pelo pesquisador, dentre os vários pontos aos quais a descrição pode levá-lo. Para que as unidades significativas possam ser recortadas, o pesquisador lê os depoimentos à luz de sua interrogação, por meio da qual pretende ver o fenômeno, que é olhado de uma dentre as várias perspectivas possíveis (GARNICA, 1997, p. 116-117).
Assim, essas unidades de significado "são os invariantes que fazem sentido
para o pesquisador a partir da pergunta formulada" (KLÜBER; BURAK, 2008, p. 98).
Após a construção de todas as nossas unidades de significado (693 no total),
por meio de leituras atentas e repetidas, em busca daquilo “que é comum ao
compreendido em cada uma das experiências” (BICUDO, 2010, p. 33) vividas no
âmbito do desenvolvimento de nossa tarefa de Modelagem, estabelecemos as
convergências que emergiram das unidades, abrindo então categorias (BICUDO,
1994). Essas categorias abertas se constituem em núcleos de ideia que dizem sobre
todas as unidades de significado que as compõem.
Reiteramos que, após reflexões, convergimos para quatro núcleos de ideias,
que geraram as categorias: C1: Sobre os debates, discussões e falas entre alunos e
entre alunos e professores no desenvolvimento da tarefa; C2: Sobre as ações dos
alunos no contexto da tarefa de Modelagem; C3: Sobre as relações com a
matemática escolar que emergiram no desenvolvimento da tarefa de Modelagem;
C4: Sobre os modos que os alunos viram o projeto.
Cada uma dessas categorias é composta de várias unidades de significado,
conforme a que ilustramos por meio da Figura 33. Essa unidade de significado,
84
referente à primeira categoria, é apresentada a fim de facilitar o entendimento do
leitor em relação à codificação dessas unidades.
Figura 33: Exemplo de codificação das unidades de significado
Fonte: A pesquisa
A codificação inicial “96:23” indica que essa unidade de significado é a 23ª do
documento primário de número 96. O restante da codificação “0:34:58 – 0:35:17”
indica, respectivamente, o tempo, inicial e final do vídeo (documento primário) de
número 96 que foi destacado para a construção dessa unidade. Ressaltamos ainda
que, ao final da descrição de cada uma das categorias, apresentaremos um
pequeno quadro com algumas unidades de significado, a fim de exemplificar a
formação da categoria em questão. É importante frisar que são apenas ilustrações
das unidades, visto que emergiram, no total, 693 unidades de significado e, portanto,
ficaria demasiadamente extensa a apresentação textual de todas essas unidades.
No apêndice A encontra-se um quadro que apresenta, na íntegra, todas as
unidades de significado pertencentes a cada uma das quatro categorias abertas.
Esse quadro sintetiza todas as unidades de significado, permitindo por meio dos
códigos dessas unidades, recuperar, caso se faça necessário, o excerto no
documento original. Destacamos que os códigos das unidades de significado foram
separados pelo símbolo de ponto e vírgula.
A fim de facilitar a leitura e compreensão, apresentaremos a interpretação de
cada categoria logo após sua descrição. A interpretação das categorias é o
momento em que buscamos ir além do visto, hermeneuticamente, por meio de uma
reflexão dirigida aos aspectos essenciais que emergiram das categorias, procurando
transcender as descrições, focando os invariantes do fenômeno ora interrogado.
Para interpretarmos, nos voltamos sempre à nossa pergunta diretriz da
pesquisa, refletindo e buscando por seu significado, sempre olhando, não só para
85
ela, mas para todo o contexto em que ela foi elaborada (BICUDO, 1993).
A seguir, damos início às descrições das categorias abertas seguidas de suas
interpretações, buscando focar o fenômeno interrogado, a fim de argumentar sobre
“o que se revela de uma tarefa de Modelagem Matemática, em um contexto de
programação de computadores, desenvolvida por estudantes da Educação Básica”.
5.1 C1 - Sobre os debates, discussões e falas entre alunos e entre alunos e professores no desenvolvimento da tarefa
5.1.1 Descrição
A categoria aberta "Sobre os debates, discussões e falas entre alunos e entre
alunos e professores no desenvolvimento da tarefa" apresenta os diversos tipos de
interação, cooperação e discussão ocorridos no desenvolvimento da tarefa de
Modelagem, sejam entre os próprios alunos, seja entre alunos e professores.
As unidades convergentes que permitiram estabelecer essa categoria
apontaram para cinco aspectos que a compõe, sendo eles: 1) discussões que
apresentam o professor como referência39 para os alunos e como referência para
condução da tarefa; 2) cooperação entre alunos no desenrolar da tarefa; 3) debates
e discussões entre alunos e entre alunos e professores; 4) discussões em que a
tarefa se relaciona com o cotidiano; e 5) diferentes estratégias utilizadas pelos
alunos para discutir/avançar na tarefa.
Em relação ao primeiro aspecto, emerge a existência de uma dependência
dos alunos em relação ao professor. Há uma constante necessidade de os alunos
chamarem o professor, seja para tirar algum tipo de dúvida, seja para mostrar o que
estão fazendo. Nesse sentido, o professor, para os alunos, é a referência que os
autoriza a abrir site de busca na internet ou diz o que e como devem fazer.
Ainda sobre o primeiro aspecto da presente categoria, durante a tarefa de
Modelagem, foi necessária a contextualização do trabalho pelo professor, além de
um constante questionamento aos alunos sobre a programação de computadores e
a incitação para avançarem no desenvolvimento do trabalho.
39
Utilizamos esse termo “referência” no intuito de dizer que o aluno vê o professor como um suporte; como
alguém que tenha condições de ajudá-lo nos momentos de dificuldade.
86
O trabalho cooperativo entre os alunos, segundo aspecto dessa categoria,
também se mostrou constante, conforme apontam as unidades. Momentos em que,
por exemplo, um integrante da equipe explicava para os demais colegas as
estratégias utilizadas na tarefa, foram recorrentes. Outro aspecto que se mostrou
nas unidades de significado diz respeito à interação entre as diferentes equipes.
Muitas vezes os alunos se deslocavam, espontaneamente, até outra equipe para
ajudar os colegas, ver as estratégias que utilizaram e debater sobre o trabalho.
O debate sobre o trabalho entre os alunos, ou entre alunos e professores,
compõe o terceiro aspecto que se mostrou como parte integrante dessa categoria. A
interação se fez presente durante boa parte do desenvolvimento da tarefa.
Discussões sobre o tempo para cada luz do semáforo, sobre como organizar as
cores das luzes dos semáforos, sobre o trânsito/fluxo de veículos e ainda sobre os
jogos de lógica de programação aconteceram com frequência.
Muitas discussões ocorridas no desenvolvimento da tarefa de Modelagem
transcenderam a programação dos computadores, tangenciando a realidade vivida
pelos estudantes, compondo, assim, o quarto aspecto da presente categoria. No
momento de discussões sobre a implementação do semáforo, as unidades apontam
que os alunos utilizaram cruzamento próximo de suas casas ou próximo ao
restaurante universitário, local frequentado diariamente por eles. As unidades
mostraram que, fora da escola, quando os alunos passavam pelos cruzamentos
selecionados para o desenvolvimento do trabalho, lembravam daquilo que estava
sendo desenvolvido no âmbito escolar. Segundo as unidades, ao perceberem o
quão complexo é um trânsito, os alunos disseram imaginar como seria programar os
semáforos de grandes centros, como Rio de Janeiro e São Paulo.
As unidades que figuram a presente categoria apontam também para o quinto
aspecto que a compõe, dizendo respeito às discussões ocorridas no
desenvolvimento da tarefa, por meio da utilização de diferentes recursos. Os alunos
utilizaram deles em vários momentos do trabalho. Lápis e papel para desenhar
cruzamento; Google Mapas e street view para "caminhar" pelas ruas da cidade
virtualmente; pesquisas na internet sobre diversos assuntos com a utilização de
recursos para capturar imagem da tela; calculadora do computador; programa para
edição/manipulação de imagens; e até mesmo a colocação de janelas lado a lado na
tela do computador para fazer o desenho de um cruzamento.
87
Apresentamos na Figura 34 uma ilustração que mostra um momento em que
os alunos, utilizando um recurso do Google (street view), discutem sobre um
possível cruzamento para o desenvolvimento da tarefa de Modelagem.
Figura 34: Alunos discutem sobre cruzamento de ruas visualizando-o pelo street view
Fonte: A pesquisa
Ressaltamos que, na Figura 34, propositalmente, os rostos dos alunos foram
ocultados para preservá-los.
Explicitadas as descrições da primeira categoria, apresentamos, a seguir, o
Quadro 3 que contém alguns exemplos de unidades de significado que a compõem.
Na primeira coluna há a transcrição do trecho do vídeo em questão. Na segunda
coluna há a unidade de significado por nós construída, seguida do código, entre
parênteses, dessa unidade.
Quadro 3: Exemplos de unidades de significado que compõem a categoria aberta "Sobre os debates,
discussões e falas ocorridas entre alunos e entre alunos e professores no desenvolvimento da tarefa"
Transcrição da(s) fala(s) Unidade de significado
Professor: “E tá muito rápido essa alternância entre um e outro, tá ficando muito fora da realidade. Será que não tem um comando que manda esperar um pouquinho, entre um e outro?”
Professor sugere que alunos ajustem caminhada do personagem para que ela se aproxime mais da realidade vivida mundanamente (84:4 7:49 - 8:01)
Pesquisador: “E tem um monte de comandinhos, vários bloquinhos aí que é a mesma coisa que a gente tava usando lá. Olha aí em movimentos, vai clicando aí pra vocês verem. Movimento, aparência, dá uma olhadinha aí. Percebam que são bem parecidos, não são iguais, mas são bem parecidos com os joguinhos que a gente tava jogando lá, o Blockly
Pesquisador sugere que alunos vejam os comandos disponíveis no Scratch (42:4 7:13 - 7:40)
88
Games”
Pesquisador: “A gente não pode perder nosso foco, né. Nosso objetivo é criar um programa, uma simulação, utilizando aí o Scratch, pra poder resolver o problema do semáforo de determinado cruzamento, certo?”
Pesquisador relembra o foco da tarefa de modelagem (42:3 6:04 - 6:20)
Aluno: “Aí professor, aqui, esse aqui que eu tava falando, óh, esse aqui óh. A lá, vem aqui, aqui, aí tem o dessa rua aqui e dessa ruazinha aqui, óh”
Aluno chama pesquisador para ver o cruzamento que pensou (46:5 5:11 - 5:22)
Aluno 1: “É isso. Cê entendeu?” Aluno 2: “Não.” Aluno 1: “Porque, tipo assim, aqui ele tá..., na..., no grau zero, aí tipo, ele vai seguir reto. Aí quando ele pega minhoca e vai, tipo, se não tem minhoca, aí ele vai seguir reto e vai fazer isso se não tiver, ele vai seguir reto até aqui, aí se tiver, ele vai virar pro ângulo de noventa, sacou”
Um dos alunos soluciona etapa do jogo e explica ao colega a estratégia utilizada (63:2 2:30 – 2:59)
Aluno 1: “O... cruzamento ali do Manoel Honório que aquela, em frente aquela... aquela... aquela ponte, direto no... no Manoel Honório ali. Nossa, aquilo ali é danado pra dar acidente. Aí tem uma rua assim, e vem uma aqui assim.” Aluno 2: “Nossa Senhora!” Aluno 1: “Sinal muito mó mal feito, porque, às vezes libera aqui, o outro que tá vindo aqui não vê [estalo feito com as mãos] ” Aluno 2: “Bate!” Aluno 1: “O ônibus ali adora botar uns carros pra dentro do rio!”
Colega que está assistindo apresentação comenta sobre um cruzamento em que ocorre muito acidente devido ao mau planejamento do semáforo (102:28 27:25 - 27:53)
Aluno 1: “Aqui, óh” Aluno 2: “Ah, esse sim hem?!” Aluno 1: “Esse aqui que eu to te falando, óh” Aluno 2: “Ahan” Aluno 3: “Ah tá.” Aluno 1: “Tem sinal nenhum aqui, véi” Aluno 1: “Aí fessor, esse aqui que eu tava falando, oh. Esse aqui óh”
Auxiliados pelo google mapas, alunos procuram outro cruzamento de ruas para desenvolver o trabalho (46:2 4:59 - 5:16)
Fonte: A pesquisa
5.1.2 Interpretação
Conforme destacamos na descrição, a presente categoria se subdivide em
cinco aspectos, quais sejam: 1) discussões que apresentam o professor enquanto
referência para os alunos na condução da tarefa; 2) cooperação entre alunos no
desenrolar da tarefa; 3) debates e discussões entre alunos e entre alunos e
professores; 4) discussões em que a tarefa se relaciona com o cotidiano; e 5)
diferentes estratégias utilizadas pelos alunos para discutir/avançar na tarefa. Para a
interpretação, optamos por construir um texto único que abordasse todos esses
aspectos, pois eles podem ser vistos, segundo nossa leitura de Sokolowski (2004),
como momentos e não partes dessa categoria. Esse autor destaca que momentos
não podem ser considerados como independentes do todo, já as partes podem ser
independentes, ou seja, tomando os aspectos que compõem a presente categoria
89
como momentos (SOKOLOWSKI, 2004), não podemos analisá-los em separado,
pois eles se complementam e interpenetram, construindo um sentido único para a
categoria.
Portanto, o texto da presente seção não contém uma ordem ou linearidade
entre os aspectos, mas os articula de maneira conjunta, estruturando o que se
revela da categoria “sobre os debates, discussões e falas entre alunos e entre
alunos e professores no desenvolvimento da tarefa”.
Ao questionarmos o que se revela de uma tarefa de Modelagem Matemática
no contexto de programação de computadores, observamos que essa interrogação,
se dirige, antes de tudo, à tarefa de Modelagem que foi inserida em um contexto de
programação como um veículo, uma possibilidade à programação ou ao
desenvolvimento do Pensamento Computacional (PC)40.
Nesse âmbito, as unidades de significado, muitas vezes, evidenciam que os
alunos buscaram pelos professores, solicitando auxílio com o Scratch ou os
perguntando se poderiam acessar sites. Os professores, atuando como mediadores,
procuraram dar suporte aos alunos no sentido de proporcionar-lhes meios para
avançarem. Esse suporte foi no sentido de auxiliá-los com o software de
programação que utilizavam, indicando o funcionamento de alguns comandos,
sugerindo caminhos que poderiam tomar na programação ou os indagando sobre o
porquê utilizavam determinados códigos ou tempos para programar o acionamento
das luzes do semáforo. Esse suporte oferecido pelos professores durante o
desenvolvimento da atividade proposta atuou como um estímulo à resolução da
tarefa de Modelagem, evitando o desânimo dos alunos diante das dificuldades, além
de ter-lhes forçado a refletir um pouco mais sobre a tarefa que desenvolviam.
Esse tipo de visão do aluno em relação aos professores pode estar ligado ao
ensino tradicional, no qual o professor é sempre a autoridade em sala, sendo ele
quem aponta os caminhos a serem seguidos pelos estudantes. Fiorentini (1995)
destaca que no ensino tradicional (assentado na tendência formalista clássica que
surgiu por volta dos anos 1930), há uma valorização da memorização. Os conteúdos
matemáticos, por exemplo, são vistos como prontos e acabados, e assim, compete
ao professor simplesmente apresentar os objetos matemáticos aos alunos. Essas
40
O pensamento computacional, conforme Wing (2016), trata-se de uma habilidade de aplicar conceitos da
Ciência da Computação em outras áreas. Segundo a autora, o “pensamento computacional envolve a resolução
de problemas, projeção de sistemas, e compreensão do comportamento humano, através da extração de conceitos
fundamentais da ciência da computação” (WING, 2016, p.2).
90
aulas tradicionais, em que há uma apresentação, pelo professor, dos objetos
matemáticos e aos alunos competem fazer exercícios e memorizá-los, Skovsmose
(2000) diz que estão pautadas no paradigma do exercício. Elas normalmente são
baseadas no livro didático e, conforme afirma Skovsmose (2000, p.66) “a premissa
central do paradigma do exercício é que existe uma, e somente uma, resposta
correcta (SIC)”.
Por meio de uma revisão de literatura de publicações ocorridas de 1983 a
1994, Hoff (1996, p. 76) explicita que o modelo pedagógico ainda predominante na
sala de aula é o ensino tradicional, no qual a
matemática veiculada e trabalhada em sala de aula é a de um conhecimento pronto e formalizado; de verdades definitivas, infalíveis e imutáveis, como se fosse um saber neutro desde sempre existente, e não uma produção cultural. Trata-se de uma visão de produto, estática [...]
Diante do exposto, e considerando que poucas foram as mudanças ocorridas
no contexto da sala de aula, mais de vinte anos depois, parece haver uma cultura do
ensino tradicional já instaurada na escola, cultura essa em que os alunos esperam
pelos encaminhamentos ditados pelo professor, que incluem o “o quê” e o “como”
fazer. Desse modo, as ações dos alunos acabam ficando limitadas ao cumprimento
dos encaminhamentos ditados pelo professor, sem que tenham oportunidade de agir
de maneira autônoma. Tal fato ficou evidenciado ao propormos a tarefa de
Modelagem no contexto de programação e, por se tratar de uma tarefa
essencialmente investigativa, os alunos pareciam não saber o que fazer e
necessitavam de apoio dos professores para que pudessem avançar na
investigação. Assim, a tarefa de Modelagem desenvolvida no contexto de
programação de computadores revelou, dentre outras coisas, que parece estar
arraigado nos alunos, e possivelmente também nos professores, a cultura do ensino
tradicional, visto que a proposta acabou indo de encontro à tradição escolar vigente,
forçando um rompimento com ela, ao menos no âmbito da proposta desenvolvida.
Além disso, o que emerge das unidades de significado pertencentes a essa
categoria, também revela que as interações dos alunos com os professores, no
ambiente de desenvolvimento da tarefa de Modelagem Matemática, em um
momento ulterior, parecem ir além do ensino tradicional, pois os alunos, em grande
medida, discutiam entre si sobre o trabalho, pesquisavam na internet,
91
argumentavam e apresentavam seus desenvolvimentos aos colegas e professores.
Em outras palavras, parece haver uma abertura, também, por parte dos próprios
alunos a uma mudança de atitude relacionada à aprendizagem, ou seja, eles não
são receptáculos de conteúdos, pois se posicionam como protagonistas nessa
situação de ensino, dando abertura e envolvendo-se na atividade. Esse deixar se
envolver pode trazer para os participantes da tarefa muitas aprendizagens, entre
elas, a compreensão do próprio contexto.
Outro fator que pode ser evidenciado quando se pretende dar visibilidade às
distintas ações dos alunos é que eles perceberam que na atividade de Modelagem
não havia uma resposta única ao que se propunha, como no ensino tradicional, mas
diversos caminhos os quais poderiam tomar.
Pode-se ressaltar, ainda, que a compreensão, por parte dos alunos, de que
pode haver mais do que uma resposta correta para a atividade, tenha ocorrido,
também, pela postura do professor. No contexto de Modelagem Matemática na
Educação Matemática, e também no contexto das Tecnologias Digitais, a atitude do
professor é uma atitude de orientação, mediação, diferente do que acontece no
ensino tradicional. Conforme afirmou Fiorentini (1995), o professor que vê a
Matemática como uma ciência em construção, dinâmica, terá também, uma atitude
diferenciada frente ao ensino, se utilizando de ações reflexivas, de situações-
problema e atividades que sejam mais significativas ao aluno.
Esse aspecto, sobre a atitude do professor, é evidenciado na relação
professor/aluno descrita nessa categoria, a qual relata diálogos entre os professores
e os alunos e entre os alunos, em outras palavras, os estudantes tinham liberdade
para fazer perguntas aos professores, pois havia uma abertura ao diálogo que fazia
com que os alunos se sentissem à vontade.
Essa atitude do professor, relacionada à sua concepção de Matemática como
ciência dinâmica e fruto das construções humanas (FIORENTINI, 1995) aproxima o
contexto de programação de computadores e a Modelagem Matemática na
Educação Matemática. No contexto de programação, não há uma resposta correta,
um código exato, mas há programas que funcionam ou não funcionam, ou seja, que
atendem às expectativas do programador ou não (PAPERT, 1994). De maneira
semelhante, em Modelagem Matemática no contexto da Educação Matemática,
pode haver diferentes respostas para um mesmo problema, respostas elaboradas a
partir das vivências dos alunos e do que eles conseguiram elaborar durante a
92
atividade. No entanto, a preocupação principal não está no produto final, ou seja, no
modelo matemático, mas no processo de sua construção, nas discussões e debates
que permeiam todo o processo investigativo (BARBOSA, 2001; 2001a).
Assim, a resolução da tarefa de Modelagem parece ter dado uma conotação
específica ao contexto de programação de computadores ou desenvolvimento do
pensamento computacional. Em geral, muito dos ambientes de ensino da lógica de
programação de computadores estão pautados no formato tradicional de ensino, em
que o professor apresenta um conteúdo por meio de um pseudo-código seguido de
exemplo e exercícios (NOBRE; MENEZES, 2002). “Esta disciplina tem um dos
maiores índices de reprovação em todas as instituições de ensino brasileiras”
(PEREIRA JÚNIOR; RAPKIEWICZ, 2004, p. 1), o que nos leva a inferir que esses
ambientes de ensino não são nutridos por características de diálogo, interação e
trocas de experiências. Nesse sentido, a tarefa proposta se revela, ainda que de
modo preliminar, como uma maneira de romper com a ideia de que a programação
ocorre por meio do isolamento e da individualidade. A tarefa se revelou promissora
porque instaurou um ambiente de aprendizagem pautado na investigação e na
crítica, tanto dos discentes quanto dos docentes.
No contexto da programação foi potencializada a noção de aprender-com,
seja com o colega, seja com o professor. Esse é um dos aspectos mais importantes
que emergiram da incorporação da tarefa no ambiente de programação, haja vista
que, por suas próprias características, abre espaço para aprender-com-outro. Desse
modo, alguns diálogos ocorridos no âmbito do desenvolvimento da tarefa permitem
uma extrapolação da situação estudada, fomentando a imaginação e a reflexão
sobre situações mais amplas, articuladas àquela situação local estudada.
A tarefa de Modelagem e a programação de computadores atuaram como um
desafio e, à medida que avançavam, os alunos chamavam constantemente, não só
os professores, mas também os outros colegas para mostrar-lhes o que estavam
fazendo, interagindo e avançando no trabalho, denotando interesse pela tarefa
desenvolvida, revelando um envolvimento coletivo dos alunos e professores,
favorecendo uma relação dinâmica propiciada pela atividade proposta e que dá
sentido ao que está sendo ensinado e ao que está sendo aprendido. Assim,
apontamos para um cenário favorável à investigação e construção de
conhecimentos, o qual foi oportunizado pelo trabalho conjunto da tarefa de
Modelagem com a programação de computadores, potencializando uma abertura
93
para aprender-com-outro.
Esse constante “mostrar aos professores e aos colegas o que fizeram” pode
estar ligado a um sentimento de satisfação dos alunos por avançarem no desafio
proposto. Esse ponto merece um importante destaque, visto que em uma aula
tradicional, esse sentimento dificilmente surge, quando, por exemplo, os alunos
resolvem uma lista de exercícios e, quando emerge, atinge apenas uma pequena
parcela. Essa empolgação dos alunos com cada movimento novo que faziam no
Scratch, com cada momento em que se aproximavam da solução da tarefa, revela
que aceitaram o convite (SKOVSMOSE, 2000) para investigar sobre a proposta
trazida pela tarefa de Modelagem. Não queremos com isso dizer que não haja
alunos que se envolvam e se sintam atraídos a resolverem listas de exercícios,
assim como não queremos afirmar que todos os alunos se envolveram de modo
homogêneo na resolução da tarefa de Modelagem, porém, ao menos para o grupo
em análise, observamos a ocorrência de momentos dialógicos e profícuos que,
possivelmente, potencializaram o aprendizado dentro desse contexto.
Subjacentes à tarefa de Modelagem Matemática estavam o fator lúdico
oportunizado pelo Scratch, bem como o fator desafiador da tarefa de Modelagem
com a programação de computadores. Destacamos nesse ponto uma sinergia41
entre a programação no Scratch e a tarefa de Modelagem proposta. É possível que
a tarefa tenha atuado como um norte, ou seja, trazendo uma direção, um foco, ao
que se propunha programar, porém, solicitando os recursos de modo indireto,
invertendo a lógica do ensino de códigos e sintaxe antes de programar. Os códigos
de programação do Scratch foram sendo aprendidos de acordo com a necessidade
de sua utilização, ocasionada pela tarefa de Modelagem. Já a programação de
computadores parece ter atuado como um fator lúdico e desafiador, visto que os
alunos não tinham conhecimento sobre programação, porém, se interessavam pela
temática. Esse fator foi evidenciado pelas demonstrações de satisfação e alegria dos
alunos nos momentos em que conseguiam transpor cada desafio que enfrentavam.
Dessa forma, vemos a Modelagem potencializando a programação de
computadores, e vice versa.
Conforme dissemos, esse ambiente de resolução de um problema trazido
pela tarefa de Modelagem proporcionou uma maior aproximação/interação dos
41
Utilizamos esse termo para denotar uma cooperação, uma ação combinada de diferentes fatores
(ABBAGNANO, 1998, p. 903).
94
alunos com o professor e também entre os alunos. A tarefa de Modelagem, no
formato de um desafio que deveriam transpor por meio da programação no software
Scratch, parece ter construído um ambiente investigativo que se aproximou do que
Skovsmose (2000) chamou de cenário para investigação.
Essa proximidade entre professores e alunos pode ser atribuída ao problema
que foi proposto pela tarefa de Modelagem, pois, nesse contexto, nem alunos e nem
professores tinham um “gabarito” para ele, sendo assim, encontravam-se em uma
situação equiparável, mais próxima, ou seja, alunos e professores estavam
buscando a solução de um problema, até então, desconhecida. Malheiros (2004)
aponta, por exemplo, que o problema, no contexto da Modelagem Matemática, é o
fator que proporciona a investigação por parte dos alunos. Almeida, Silva e Vertuan
(2016) apontam o problema como sendo a situação inicial, para a qual ainda não se
tem a solução, já Romanatto (2012, p.301), diz que um problema matemático, fora
do contexto da Modelagem, é “uma situação que demanda a realização de uma
sequência de ações ou operações para obter um resultado. Portanto, a solução não
está disponível de início, mas é possível construí-la”. Dessa maneira, ao propormos
a tarefa de Modelagem com o problema para a construção de um programa no
Scratch que fosse capaz de simular os semáforos de um cruzamento de ruas,
observamos que os alunos se sentiram desafiados a resolverem o problema,
conforme Endruweit e Bieger (2017) comentaram, oportunizando discussões e
debates.
A construção de uma simulação para o problema proposto no Scratch atuou
como um fator motivador para a investigação, uma vez que os alunos não possuíam
conhecimento do software e, assim, investigaram e compreenderam seu
funcionamento, aplicando estratégias na construção do programa. Essas ações
oportunizaram o esboço de uma apropriação e uso do PC pelos alunos por meio da
programação de computadores. Esse aspecto merece destaque visto que, após o
desenvolvimento da tarefa de Modelagem, o que realmente fica para o aluno é a
ideia do pensamento computacional, a construção de um algoritmo para resolver um
problema, que está muito além do simples conhecimento de alguns códigos do
Scratch.
Destaca-se que, conforme Wing (2014), trabalhar o PC, não necessariamente
está atrelado à utilização de tecnologias digitais ou programação de computadores.
Porém, conforme ressaltam Costa, Campos e Guerrero (2016, p.1060) “o PC está
95
diretamente relacionado com abstração, decomposição de problemas e estratégias
algorítmicas que permitem a organização de soluções usando recursos
computacionais”. A partir da tarefa de Modelagem, os alunos puderam avaliar o
problema proposto, abstrair, decompor em partes menores e, por meio da
programação de computadores, resolvê-lo. A tarefa de Modelagem Matemática
evocou, pelo problema proposto, vários elementos necessários ao desenvolvimento
do PC, culminando em uma introdução à programação de computadores. A
resolução da tarefa pode ter oportunizado uma aprendizagem, não só da linguagem
de programação utilizada, mas também de conteúdos matemáticos subjacentes a
ela, e também aqueles comumente trabalhados em sala de aula. Adensaremos a
discussão a esse respeito na categoria exclusiva (C3), porém, destacamos que o
envolvimento dos alunos com a tarefa de Modelagem e com a programação de
computadores pode ter atribuído significados mais amplos à Matemática utilizada
para essa resolução, como por exemplo, o desenvolvimento do pensamento lógico
para estruturar a resolução de um problema.
Como já destacamos, a tarefa de Modelagem (apresentada como um
problema a ser transposto) aliada à programação de computadores (apresentada
como um desafio inovador no contexto educacional para aqueles estudantes) criou
um ambiente investigativo e desafiador que oportunizou engajamento dos alunos,
desafiando-os e proporcionando uma abertura ao diálogo e discussões. O fato de os
estudantes discutirem sobre questões do cotidiano para procederem à programação
estava pré-concebido na proposição da tarefa, porém, o fato de eles efetuarem uma
releitura e se engajarem na resolução, por meio de diferentes estratégias, evidencia
que, ao menos para este grupo de alunos, a tarefa cumpriu os seus objetivos,
subsidiando a aprendizagem simultânea de comportamentos investigativos pautados
na resolução de problemas. Dessa perspectiva, os pressupostos da tarefa
contribuíram para criar uma estratégia de aprendizagem de conceitos básicos de
programação de computadores, ainda que mereça novas investigações e
aprofundamentos.
96
5.2 C2 - Sobre as ações dos alunos no contexto da tarefa de Modelagem
5.2.1 Descrição
A categoria aberta "Sobre as ações dos alunos no contexto da tarefa de
Modelagem" discorre sobre as diferentes ações desses sujeitos, ocorridas durante o
desenvolvimento da tarefa de Modelagem, nos momentos de programação de
computadores.
As unidades mostram um constante ir e vir dos alunos nos códigos por eles
desenvolvidos. A partir do feedback instantâneo, os alunos verificavam se o
resultado alcançado era satisfatório e, caso não fosse, em sua maioria, retomavam o
código fazendo ajustes e, novamente, executando o programa.
As unidades de significado apresentam momentos em que os alunos fazem
modificações nos programas e os executam para “ver o que acontece”. Por meio
dessas experimentações, conforme apresentado nas unidades, os alunos, em
alguns momentos, compreendem o funcionamento do programa ou código por eles
inserido.
Ademais, as unidades de significado da presente categoria apresentam
momentos em que os alunos enfrentaram embaraços para a manipulação do
software quando não conheciam o funcionamento de comandos disponíveis,
elucidando momentos em que eles dizem ter vontade de desistir de algumas etapas
dos jogos introdutórios da lógica de programação devido à dificuldade enfrentada.
Outro ponto evidenciado pelas unidades diz respeito à dificuldade de
comunicação entre os alunos. Houve momentos em que o aluno que estava
manipulando o computador não ouviu as sugestões dos outros pares da equipe,
evidenciando falta de comunicação, acarretando em uma maior demanda de tempo
para o avanço das atividades propostas e até mesmo certo desânimo dos colegas.
Por fim, as unidades dessa categoria também evidenciaram momentos em
que alunos não se envolveram com a proposta, fazendo outras tarefas, por exemplo,
manipulando um cubo mágico, criando desenhos aleatórios no computador,
brincando no software de programação sem objetivo de avançar na tarefa, ou
executando atividades na internet que não tinham ligação direta com a proposta da
tarefa.
97
Explicitadas as descrições da categoria, apresentamos a seguir o Quadro 4
que contém algumas unidades que a compõem, nos mesmos moldes que utilizamos
na categoria anterior.
Quadro 4: Exemplos de unidades de significado que compõem a categoria aberta "Sobre as ações
dos alunos no contexto da tarefa de Modelagem"
Transcrição da(s) fala(s) Unidade de significado
Aluno 1: “Aqui eu vou por...” Aluno 2: “Não, cê tem que trocar só esse aqui, senão num dá certo. Isso daqui já tá certo, cê tem que trocar só esse dois aí”
Aluno afirma que vai testar algo. Colega o explica como proceder para não errar (77:3 4:35 - 4:44)
Aluno 1: “Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove, dez, onze, doze, treze, quatorze. Quatorze segundo pra atravessar. Aluno 2: “Quatorze e um pouquinho” Aluno 1: “Quatorze dá, quatorze dá” Aluno 2: [inaudível] Aluno 1: “Acho que deu então. Deu, deu, deu... Ué? Ahn? Quê?” Aluno 2: “Ahn? Não, bugou”
Os alunos contam os segundos necessários, testam o programa e ele não funciona (29:1 1:24 - 1:56)
Aluno 1: “Ué” Aluno 2: “Ué. Deve ter sido... ah, que tem que, virar à esquerda”
Alunos verificam erro nos códigos do jogo ao executá-lo (62:1 2:54 - 3:00)
Aluno 1: “Muda de cor... isso. Muda de cor... Muda de cor de novo... Mais uma vez... Pronto!” Aluno 2: “Esse daqui tem que esperar um cadim mais”
Alunos testam semáforos e verificam necessidade de ajustar seu tempo (55:2 4:20 - 4:34)
Aluno 1: “Ah” Aluno 2: “Eu não sei como controlar isso”
Após novo erro, aluno diz não saber como ajustar semáforos (56:5 4:28 - 4:37)
Aluno 1: “[palavrão] não véi, o verde é embaixo mesmo” Aluno 2: “Eu sei, véi. Eu só... Eu só tenho que ver o que tem que fazer agora. Vai, tá bom” Aluno 1: “Preocupado com o design. Vamo, sai dessa [palavrão] aí. Vai em script. Não, script” Aluno 2: “Calma aí, Gabriel. Pelo amor de Deus” Aluno 1: “João...” Aluno 3: “Meu Deus!” Aluno 2: “Dá só um... pichação nesse negócio aqui” Aluno 1: “Manda limpar” Aluno 2: “Ah, véi. Brigado”
Alunos entram em discordância. Um está preocupado com estética e outro com a lógica de programação (52:1 0:10 - 0:41)
Fonte: A pesquisa
5.2.2 Interpretação
Conforme descrevemos, essa categoria diz respeito às ações dos alunos no
contexto da tarefa. “Produzir, causar, agir, criar, destruir, iniciar, continuar, terminar,
etc. são significados que inscrevem-se nesse significado genérico de ação”
98
(ABBAGNANO, 1998, p. 8). Sendo assim, destacamos diversas ações dos alunos
ocorridas no âmbito do desenvolvimento da tarefa de Modelagem que, antes de
tudo, foram determinadas pela própria tarefa.
As unidades evidenciam um constante “ir e vir” nos códigos de programação,
ou seja, os alunos construíam um código, executavam-no e verificavam seu
funcionamento, retornando ou não, à programação para ajustá-la, segundo o
resultado obtido.
Esse constante ir e vir no código de programação ilustra a preocupação dos
alunos com o processo de construção e compreensão da simulação que estavam
desenvolvendo, oportunizando maior conhecimento dos conteúdos subjacentes a
ele. Tal fato pode ser compreendido como o ciclo de ações e espiral de
aprendizagem proposto por Valente (2005). A seguir, apresentamos uma pequena
incursão em sua teoria para que possamos fazer nossas ponderações.
O autor destaca que, principalmente no contexto da programação de
computadores, há um ciclo de ações (descrição, execução, reflexão e depuração)
que oportuniza a construção do conhecimento. “Essas ações criam oportunidades
de construção de conhecimento e, à medida que o ciclo se repete, cria
conhecimentos, formando o que foi denominado de ‘espiral de aprendizagem’”
(VALENTE, 2005, p. 17).
Em um contexto de programação de computadores, conforme Valente (2005),
o ciclo de ações acontece na medida em que o aluno descreve, por meio de uma
linguagem de programação, um problema e, o computador, por sua vez, executa
esse código. A partir do retorno dado pelo computador, o aluno reflete sobre o
resultado apresentado e, caso julgue necessário, depura o programa, ou seja,
melhora o código, faz ajustes, recomeçando todo o ciclo. É nesse contexto que a
espiral de aprendizagem acontece, visto que o aluno descreve no computador o que
está pensando, que, por sua vez, processa e dá o retorno a ele, que reordena seus
pensamentos e o código do programa até que alcance o resultado desejado. O autor
ilustra esse ciclo de ações por meio de uma imagem conforme apresentamos na
Figura 35.
É importante ressaltar que, conforme Valente (2005, p. 50), esse ciclo não é
exclusivo à programação de computadores, mas pode também “servir de base para
a análise dos softwares usados na educação”.
99
Figura 35: Ciclo de ações no contexto de programação de computadores
Fonte: Scherer e Fernandes (2014, p. 148)
Optamos por apresentar esse ciclo proposto por Valente visto que elucida
alguns dos aspectos evidenciados pelas unidades de significado da presente
categoria (ações de experimentações, reflexões e compreensões ocorridas no
âmbito da programação de computadores). No desenvolvimento de nossa tarefa de
Modelagem, ficou evidenciado que essas ações nem sempre acontecem
espontaneamente, visto que os alunos apresentaram dificuldades para expressar
por meio dos códigos aquilo que gostariam que seu programa fizesse. Em muitos
momentos uma orientação aos alunos pelo professor/pesquisador foi necessária
para que eles não desanimassem do trabalho, reforçando o importante papel que
exerce no processo de construção de conhecimento dos alunos. Tal fato revela que
o não conhecimento pleno do software em utilização, no caso de nossa tarefa, o
Scratch, pode atuar como um empecilho, pois, às vezes, os alunos conseguiam
expressar por meio de palavras o que queriam fazer, mas não sabiam como colocar
em prática pelo software.
Um fator que merece destaque nesse contexto é o erro. Pensemos, por
exemplo, em nossa formação básica. Em grande medida, as produções que
fazíamos como alunos (listas de exercícios, provas) eram (e muitas vezes ainda
acontecem assim) corrigidas de forma praticamente binária, ou seja, está certo ou
errado. Com o retorno do trabalho produzido por meio de uma nota, verificávamos o
quanto do que foi feito estava certo ou errado. Retomar o trabalho, verificar os erros,
e até os acertos, avaliá-los, discutir com o professor, refazer por meio de outras
estratégias são ocorrências raras, ainda mais se considerarmos um aluno que já
atingiu a média necessária à aprovação.
No cenário que foi desenvolvida a tarefa de Modelagem, isto é, no contexto
100
de programação de computadores, o erro pode ser compreendido de outro modo.
Conforme evidenciaram as unidades de significado, o erro é visto pelo aluno, em sua
maioria, de forma menos negativa. Esse erro não está acompanhado de uma nota
baixa ou com um risco de caneta vermelha no papel, mas como uma mensagem na
tela do computador ou como um “não funcionamento” do programa conforme se
esperava. Ao ter essa constatação, em sua maioria, os alunos discutiam e
retomavam o código, fazendo ajustes e exclamando que haviam entendido seu
funcionamento. Ressaltamos que, conforme já apresentamos anteriormente, a
orientação pelo professor/pesquisador se fez necessária para o avanço dos alunos.
Essa ação de retomar o código para tentar avançar na tarefa, desenvolvida por
alguns dos alunos revela que, ao menos para esse contexto de programação, o erro
foi assumido não como um problema ou empecilho intransponível, mas como
obstáculo a ser superado. Essa ação favorecida tanto pela tarefa de modelagem
quanto pelas características da programação, indica uma mudança comunicacional
mediada pelas tecnologias. A avaliação não é algo do professor, mas do próprio
sujeito que busca alcançar um objetivo.
Essa visão sobre o erro é também assumida por Bachellard quando diz sobre
a gênese do saber que, conforme destaca, o erro passa a ser visto de uma maneira
positiva, como uma superação necessária ao avanço (LOPES, 1996).
Valente (2005) diz da importância do erro que ocorre no contexto da
programação de computadores. Mesmo se referindo à linguagem de programação
LOGO, acreditamos que essa importância também valha para o Scratch, visto que
nessa linguagem visual, assim como no LOGO, é necessário que os alunos
expressem seus pensamentos por meio de códigos de programação. Em suas
palavras, o autor ressalta que
é importante entender que a programação [...] possibilita muito mais do que a representação formal de conhecimento. Na verdade, o conhecimento ou as “idéias” expressas podem ser “executadas” pelo computador à medida que o programa é executado pela máquina, produzindo um resultado. É justamente este resultado que, quando confrontado com a idéia original, possibilita ao aprendiz rever seus conceitos e com isto aprimorá-los ou construir novos conhecimentos. Com isso, o erro passa a ser uma importante fonte de aprendizagem (VALENTE, 2005, p. 46-47).
Assim sendo, o erro se torna um importante aspecto na construção do
conhecimento na medida que
101
é apresentado como uma discrepância entre a idéia que o aprendiz tem sobre como resolver o problema e a descrição dessa idéia em termos de programa, que pode ser executado pela máquina. O erro aparece quando ele compara a intenção original com a atual implementação, em termos do programa fornecido ao computador. Se o programa não produz o resultado esperado, significa que ele está conceitualmente errado (VALENTE, 2005, p. 47).
Nesse formato, o erro aponta que algo não está de acordo com aquilo que o
aluno havia imaginado, muitas vezes instigando sua reflexão e a depuração do
programa. É nesse contexto que Papert (1994) ressalta que a dicotomia erro-acerto
pode ser vista sob outra perspectiva, entendendo que não há um programa que
esteja certo ou errado, mas há aqueles que funcionam ou não funcionam, ou
podemos acrescentar que há aqueles que atendem ou não às expectativas do
próprio aluno, pois, em grande medida, a cobrança parte dele mesmo que se sente
desafiado a, cada vez mais, se superar.
Desse modo, revela-se que, no desenvolvimento da tarefa de Modelagem no
contexto de programação de computadores, quando o aluno aceita o convite para
participar da investigação a que se propõe (SKOVSMOSE, 2000), e com ela se
envolve, os erros ocorridos durante o processo assumem uma conotação diferente
da tradicionalmente assumida, ou seja, ele pode ser visto de uma maneira positiva,
tornando-se um obstáculo a ser transposto, oportunizando um avanço no
desenvolvimento do aluno. Desse modo, a tarefa parece impor uma necessidade de
auto avaliação dos resultados, sem depender apenas do professor.
Além do já exposto, conforme evidenciam as unidades de significado, ações
de “dispersão” dos alunos no contexto do desenvolvimento da tarefa também foram
evidenciadas. Momentos em que os alunos estiveram “brincando” com um cubo
mágico ou simplesmente navegando em sites que não diziam respeito à tarefa de
Modelagem aconteceram. Uma das coisas que se evidencia é que, mesmo sendo
alunos que se inscreveram por um interesse primário na Ágora, eles apresentaram,
em alguma medida, momentos em que preocupações com outras coisas se
sobressaíram à tarefa.
Sob um ponto de vista, podemos avaliar tal “desinteresse” como sendo
próprio da dinâmica proposta pela Ágora, visto que se diferencia do contexto
tradicional de ensino, especialmente por não existir uma avaliação escrita e formal,
como rotineiramente os alunos vivenciam. Desse modo, eles se sentiam mais “livres”
102
e menos pressionados, trabalhando no desenvolvimento da tarefa em seu tempo,
despreocupados, por exemplo, em auferir pontos para aprovação.
Por outro lado, podemos observar essas ações de dispersão como sendo
uma limitação da tarefa, não só dessa, mas também de outras, em lidar com as
idiossincrasias do humano, dos alunos. Em certos momentos, por exemplo, era de
mais interesse para alguns dos alunos “brincarem” com o cubo mágico ao invés de
trabalharem na tarefa. Já em outros momentos, enquanto os que brincaram com o
cubo estavam trabalhando na tarefa, outros estavam navegando em sites que não
diziam da tarefa, conversando sobre outras coisas.
Nesse formato, não vemos esses momentos de dispersão sob uma ótica
negativa, pelo contrário. Tal fato revela que a tarefa foi assumida pelos alunos de
uma forma menos coercitiva, visto que tinham liberdade durante o trabalho.
5.3 C3 - Sobre as relações com a matemática escolar que emergiram no desenvolvimento da tarefa de Modelagem
5.3.1 Descrição
A categoria aberta "Sobre as relações com a matemática escolar que
emergiram no desenvolvimento da tarefa de Modelagem" diz respeito à Matemática
que é normalmente trabalhada no contexto da sala de aula, que emergiu no âmbito
do desenvolvimento da tarefa de Modelagem Matemática.
Durante a introdução da lógica de programação de computadores, por meio
dos Blockly Games, conforme apontam as unidades que compõem essa categoria,
em alguns momentos os alunos fizeram a correspondência dos ângulos que
deveriam inserir no jogo para traçar a rota do personagem com o ciclo
trigonométrico. Em outros momentos, nesses mesmos jogos, os alunos precisaram
retomar os conhecimentos sobre plano cartesiano, observando, por exemplo, que
para movimentar o personagem do jogo verticalmente, era necessário manter fixa a
coordenada X.
A Figura 36 apresenta o momento do jogo em que os estudantes, após
verificarem um erro por meio da execução, estavam discutindo sobre manter a
coordenada X fixa para que o pássaro subisse verticalmente.
103
Figura 36: Momento do jogo em que alunos discutiam sobre o plano cartesiano
Fonte: A pesquisa
Da mesma maneira, segundo apontam as unidades, os alunos precisaram
observar as coordenadas cartesianas de objetos para utilizarem bloco de comandos
para a tomada de decisão. Essa tomada de decisão se deu de acordo com as
coordenadas dos objetos, ou seja, quando X era menor que determinado valor, se
executava determinada ação, quando Y era maior que determinado valor, se
executava outra ação, e assim por diante. Esses blocos de comparação de valores
das coordenas X e Y podem também ser observados na Figura 36.
No contexto do Scratch, nos desafios iniciais apresentados aos alunos com
objetivo de ambientá-los com o software, a utilização de operações matemáticas
básicas foi necessária, além do cálculo de média aritmética de valores e, também, o
trabalho com conceitos que envolvem plano cartesiano. O Quadro 5 traz
transcrições das falas juntamente com as unidades por nós construídas.
Quadro 5: Exemplos de unidades de significado que compõem a categoria aberta "Sobre as relações com a matemática escolar que emergiram no desenvolvimento da tarefa de Modelagem"
Transcrição da(s) fala(s) Unidade de significado
Aluno 1: “Se o x for maior que” Aluno 2: “40” Aluno 1: “40, ele vem pra cá. É... Não. É, isso mesmo, né?” Aluno 2: “É”
Alunos discutem uma tomada de decisão a partir do plano cartesiano (10:3 5:29 - 5:43)
Aluno 1: “Ele vai ir na direção pra cima, que é esse daqui”
Aluno verifica que coordena X fica constante quando objeto se movimenta verticalmente (64:3
104
Aluno 2: “Mas aí vai continuar no 80 sempre. Não vai mudar.”
2:36 - 2:47)
Aluno 1: “[...] porque ele é correspondente a família, é correspondente no primeiro quadrante, né véi” Aluno 2: “É... Matemática... [inaudível]”
Aluno faz correspondência da etapa do jogo com trigonometria do ciclo (9:6 8:17 - 8:27)
Fonte: A pesquisa
5.3.2 Interpretação
A Matemática, tal como vem sendo apresentada no contexto da sala de aula,
surgiu em pequena medida durante a resolução da tarefa de Modelagem por meio
da programação de computadores, porém, conceitos matemáticos estiveram
presentes durante todo o processo de resolução da tarefa. À medida que os alunos
avançavam, se fazia necessário a utilização do ferramental matemático, tal como a
retomada de plano cartesiano para movimentar personagens verticalmente ou
posicionar objetos na tela.
A formalização matemática não se fez presente durante o desenvolvimento da
tarefa, pois, da forma e no contexto em que ela foi inserida, os conteúdos
matemáticos foram explorados pelos alunos de maneira informal. Tal fato,
possivelmente, está relacionado à tarefa de Modelagem Matemática proposta. A
investigação ensejou a utilização da Matemática, porém, o fim não estava nela
mesma, ou seja, a proposta não era a construção de algo que necessitasse de um
formalismo com símbolos matemáticos, mas o desenvolvimento de um programa no
computador capaz de atender às necessidades propostas pela tarefa de
Modelagem. De nenhuma forma queremos com isso invalidar a tarefa ou dizer que
ela não seja uma tarefa de Modelagem Matemática, mas enfatizar que a Matemática
que se revelou dessa tarefa no contexto da programação de computadores estava
além daquela habitualmente trabalhada em sala de aula, visto que, para a sua
resolução, competências de fundo matemático estiveram subjacentes a todo
processo.
Nossa vivência escolar contemporânea nos conduz a pensar na Matemática
como sendo cálculos, símbolos, expressões e formalismos, porém, há indícios de
que as “concepções sobre formas e números remontam à pré-história,
provavelmente ao período conhecido como Paleolítico, ou mesmo antes” (ALMEIDA,
2013, p.23). Algumas necessidades sociais podem ter fortemente contribuído para o
105
desenvolvimento da Matemática, visto que “o conceito de número surgiu,
possivelmente, da necessidade de estimar quantidades, sejam elas de alimentos, de
animais ou de pessoas” (MIORIM, 1998, p. 6). Sendo estes aspectos que demarcam
os primórdios da Matemática, faria sentido “ser Matemática” apenas expressões com
simbologias formais que hoje comumente são exploradas no contexto escolar?
Garcia (2007, p. 179) afirma que a “Matemática pode ser vista como um corpo
de conhecimentos, uma coleção de técnicas e métodos, o produto da atividade
humana, e mesmo como sendo uma atividade em si, a atividade de resolver
problemas”.
Sob essa visão, a Matemática pode ser considerada em construção, em
movimento, que não está pronta. Pensar apenas em fórmulas e resolução de
atividades que estejam descontextualizadas, sob nosso ponto de vista, é um
empobrecimento do potencial exploratório que pode se dar no contexto da
Matemática. É preciso levar em conta o contexto social e histórico, o envolvimento
com as pessoas, seus propósitos, pois, conforme Garcia (2007), a Matemática pode
ser vista como uma produção cultural e construção social.
Com isso, queremos ressaltar que no contexto do desenvolvimento da tarefa
de Modelagem revelaram-se “muitas matemáticas” que estão além das expressões
que normalmente trabalhamos em sala de aula. Os alunos discutiam estratégias
para resolver determinadas partes do problema sendo necessária a tomada de
decisões; contavam os segundos para verificar a sincronia das luzes dos semáforos;
caminhavam pela sala enquanto um colega marcava o tempo para decidirem
quantos segundos colocariam para travessia de pedestres; utilizaram a geometria
para construção de desenhos no computador. Essas atitudes e discussões dos
alunos, apesar de não terem sido expressamente escritas ou registradas com
simbologias matemáticas, possuem um fundo com lógica matemática.
Tal fato se mostra em acordo com a proposta da Base Nacional Comum
Curricular para o Ensino Médio, que prevê o desenvolvimento de diferentes
competências nos alunos, tais como utilizar as tecnologias para se expressar, além
de desenvolver estratégias para resolução de problemas (BRASIL, 2017).
Para além do já expressado, destacamos que a própria linguagem de
programação utilizada no Scratch possui uma base notadamente matemática
(DALLA VECCHIA, 2012). Esse autor faz essa afirmação ao relacionar os códigos
do Scratch com a Matemática lógica proposicional. De maneira semelhante ao
106
apresentado pelo autor em sua tese de doutoramento, ilustramos na Figura 37 uma
correspondência entre o código de programação para fazer a movimentação do
“gatinho” na tela, já apresentado na Figura 9, com a Matemática lógica
proposicional.
Ressaltamos que as proposições são relacionadas pelo conectivo condicional,
sendo que “a Condicional, também conhecida como Implicação, é uma operação
entre proposições caracterizada pelo símbolo ‘→’. Dadas duas proposições
quaisquer, p e q, a operação p → q pode ser lida como ‘se p então q’” (DALLA
VECCHIA, 2012, p. 186).
Figura 37: Programa do Scratch "traduzido" para Matemática lógica proposicional
Fonte: A pesquisa
Assim sendo, o código ilustrado na Figura 37, poderia ser lido como “Se a
bandeira verde for clicada (p) então mova 200 passos, espere 1 segundo e, se tocar
na borda, volte (q)” ou simplesmente como “se p então q”.
Dessa forma, ao estarem trabalhando com a programação de computadores
por meio do Scratch, no intuito de resolverem a tarefa de Modelagem proposta, os
alunos estavam o tempo todo lidando com o pensamento Matemático,
desenvolvendo habilidades como o raciocínio lógico, redução de um problema maior
em outros menores e abstrações (LIFELONG KINDERGARTEN GROUP, 2006).
Portanto, a resolução da tarefa de Modelagem por meio da programação de
computadores abordou, não só alguns conteúdos matemáticos escolares, como já
mencionados, mas tangenciou também habilidades de fundo matemático que
estiveram subjacentes ao processo de programação de computadores. Isso revela
que a tarefa não se restringe somente aos conceitos matemáticos normalmente
trabalhados em sala, mas envolve aspectos mais amplos, como por exemplo,
107
tomada de decisões, circunspecção do problema para, heuristicamente, resolvê-lo,
possibilitando o desenvolvimento do PC.
Assim sendo, revela-se que a programação de computadores junto à
Modelagem Matemática oportunizou uma abertura a “novas matemáticas” ou novos
olhares para a Matemática, que, possivelmente, não seriam abordadas somente no
desenvolvimento de uma tarefa de Modelagem ou em qualquer contexto de
programação, mas no encontro sinergético de ambas.
A programação de computadores potencializou a tarefa de Modelagem,
abrindo novas explorações e abrangências pouco prováveis para meios não digitais,
como por exemplo a construção de uma simulação para o assunto em debate; em
contrapartida, a tarefa de Modelagem trouxe ao contexto de programação de
computadores discussões e debates que transcenderam-na, abrangendo o cotidiano
dos alunos, preocupações com o trânsito e reflexões sobre outros contextos
vivenciados para além daquele abordado pela tarefa.
5.4 C4 - Sobre os modos que os alunos viram o projeto
5.4.1 Descrição
A categoria aberta "Sobre os modos que os alunos viram o projeto" diz
respeito àquilo que manifestaram no contexto da própria tarefa desenvolvida. Os
comentários dos alunos que compõem essa categoria não aconteceram somente no
momento em que eles apresentaram seu trabalho para os demais colegas, mas
também em momentos de conversas informais entre eles ou até mesmo no final dos
encontros em comentários com os professores42.
As unidades apontaram diversos elogios feitos pelos alunos em relação ao
projeto, dizendo que essa foi a melhor Ágora que já participaram e que gostaram
muito devido a seu caráter prático. Elogios aconteceram também em relação ao
Scratch utilizado na Ágora e à metodologia adotada em seu desenvolvimento.
42
Destacamos que esses “momentos informais” foram registrados pela câmera principal, que estava no fundo da
sala. Essa câmera era ligada minutos antes do início dos encontros e, ao final do encontro, até que a sala fosse
organizada para ser fechada, ela continuava a gravar. Esses momentos (antes do início do encontro e após seu
término) é que chamamos de momentos informais.
108
Houve também, conforme evidenciado pelas unidades, críticas em relação ao
projeto. Um aluno destacou que esperava ter encontrado mais desafios na Ágora;
houve também crítica em relação ao software Scratch, principalmente em relação ao
seu recurso de edição de imagens e, também, crítica em relação à maneira com que
a Ágora foi desenvolvida, argumentando que caso tivesse havido uma introdução
prévia do software de programação, o desenvolvimento do projeto teria sido mais
fácil. Sobre esse último tópico, há opinião contrária, conforme apresentado pelas
unidades. Um aluno disse que caso tivesse acontecido uma apresentação prévia do
programa, a Ágora teria sido chata.
Outro comentário evidenciado pelas unidades diz respeito ao interesse de
alguns alunos em continuarem estudando a programação de computadores. As
unidades apresentam falas dos alunos nas quais eles dizem que irão instalar o
Scratch em seus computadores pessoais, utilizando o celular para tirar foto do
código por eles construído para darem sequência a seus programas em casa.
O Quadro 6 traz transcrições das falas com suas unidades de significado
correspondentes.
Quadro 6: Exemplos de unidades de significado que compõem a categoria aberta " Sobre os modos
que os alunos viram o projeto "
Transcrição da(s) fala(s) Unidade de significado
Aluno 1: “[Pesquisador], acho que essa vai ser a melhor Ágora que eu [...inaudível]” Pesquisador: “É cara, que bom que você está gostando.”
Após encontro aluno diz a pesquisador que esta é a melhor Ágora que já fez (99:14 39:15 - 39:23)
Aluno 1: “Tira foto disso, por favor” Aluno 2: “[risadas] Eu vou gravar isso” Aluno 1: “Eu quero baixar esse aplicativo, sério.” Aluno 2: “Eu vou te mandar a foto”
Aluno pede colega para fotografar código e diz que quer baixar Scratch (86:8 8:28 - 8:39)
Aluno 1: “Tipo... Quando a gente começou a mexer no Scratch, vocês já lançaram desafios pra gente. Acho que se vocês tivessem dado uma introduzida pequena no programa como é que usava, já ia dar uma facilitada.”
Aluno diz que se tivesse havido uma introdução à utilização do software Scratch antes dos desafios iniciais, teria sido mais fácil (102:18 20:19 - 20:31)
Aluno 1: “É, eu gostei. Eu achei... achei muito dinâmico. Achei que ia ser mais chatinha, mas num foi não. Superou minhas expectativas. ”
Aluno diz que gostou muito da Ágora, que superou suas expectativas (102:14 13:14 - 13:25)
Fonte: A pesquisa
5.4.2 Interpretação
Quando descrevemos os modos que os alunos viram o projeto, estamos,
antes de tudo, olhando para como os alunos viram a tarefa de Modelagem no
109
contexto de programação de computadores e também como viram o processo de
sua condução.
Em um primeiro momento, conforme as unidades de significado evidenciaram,
os alunos viram essa proposta como “diferente” do que normalmente fazem. Não
queremos apontar essa diferença apenas como sendo um trabalho feito fora de sala
de aula utilizando computador, mas que a maneira com que a proposta foi conduzida
ensejou nos alunos uma mudança de atitude diante do trabalho, pois precisaram ser
mais ativos, realizando pesquisas e buscando meios para avançarem de maneira
autônoma.
Esse caminhar fora da rotina escolar tradicional ocasionou comentários
elogiando e criticando o trabalho. Algumas críticas remetem ao ensino tradicional,
que pode ser visto como uma zona de conforto também para o aluno, visto que ele
espera pelas instruções do que se deve fazer. A tarefa de modelagem proposta, em
um primeiro momento, rompeu com esse costume dos alunos de um ensino mais
instrucionista e menos investigativo, causando estranhamento e desconforto.
Durante o desenvolvimento da tarefa eles não receberam instruções de como
deveriam resolver os problemas que se interpunham, mas eram apenas auxiliados
pelo professor/pesquisador para que pudessem, segundo suas particularidades,
avançar no trabalho. Assis, Silva e Bairral (2016) destacam a importância de o
professor instigar o aluno por meio de questionamentos para fomentar seu
envolvimento com o trabalho. Os autores fazem essa afirmação a partir de uma
atividade desenvolvida com auxílio de um software interativo por meio de dispositivo
com tela sensível ao toque, porém, acreditamos que tal feitio valha para qualquer
atividade, representando o importante papel do professor como mediador no
processo de construção do conhecimento pelo aluno.
Assim, revelou-se que a maneira com que a tarefa foi conduzida rompeu com
o modo habitualmente vivenciado pelos alunos no desenvolvimento de tarefas em
sua rotina escolar. Esse rompimento, para alguns, pode ter soado como um
desconforto, culminando em críticas, conforme ilustramos anteriormente, porém, não
foi unânime. A esse mesmo respeito outros alunos teceram elogios, dizendo que
gostaram dos desafios e de terem que pesquisar e “aprender sozinhos”. Portanto,
mesmo a tarefa sendo promissora, não foi unânime entre os estudantes, mas,
independente de os alunos a terem apreciado, se surpreenderam com ela.
Quando dizemos que com o desenvolvimento da tarefa houve um rompimento
110
com o modo habitualmente vivenciado pelos alunos em sala de aula, apontamos que
foi construído um ambiente de aprendizagem diferente do cotidianamente vivenciado
por eles. Esse ambiente construído pela tarefa de Modelagem e a programação de
computadores fez emergir comentários elogiando-o e criticando-o, revelando que, de
certo modo, os alunos notaram que algo não acontecia conforme estavam
acostumados.
Em alguma medida, esse ambiente construído pode ter se aproximado do que
Skovsmose (2000) chamou de cenário para investigação, visto que os alunos eram o
tempo todo instigados e questionados sobre o porquê e como haviam feito seus
programas no Scratch. Podemos destacar, por exemplo, momentos em que o
pesquisador questionava aos alunos perguntando o que aconteceria se o tempo de
luz verde para um dos semáforos fosse alterado. Em resposta a esse
questionamento (representando que haviam aceitado o convite (SKOSMOSE,
2000)), os alunos, muitas vezes, se sentiam incomodados, testavam essa hipótese
no programa e refletiam sobre o que haviam feito.
De certo modo, revela-se que a tarefa de Modelagem se aproximou de um
cenário investigativo (SKOVSMOSE, 2000) a partir dos questionamentos do
professor/pesquisador, que atuou como um mediador no processo de aprendizagem
do aluno, revelando, mais uma vez, a importância do suporte e orientação do
professor no processo de ensino e de aprendizagem. Assim sendo, “o professor,
assim como os alunos, ao utilizar modelagem matemática migra de uma situação de
aulas expositivas seguidas de exercícios para situações que são essencialmente
investigativas” (ALMEIDA; VERTUAN, 2014, p. 14).
Esse contexto investigativo proporcionado pela Modelagem que se aproximou
do cenário investigativo sugerido por Skovsmose (2000) pode ter abalado o
cotidianamente vivenciado pelos alunos, despertando neles um desconforto que
culminou em críticas e elogios.
Por outro lado, conforme evidenciam as unidades, elogios foram tecidos sobre
o projeto. Falas apontando que essa foi uma das melhores Ágoras que já fizeram,
momentos de empolgação dizendo que continuariam trabalhando com o Scratch em
casa, pois haviam gostado, de certo modo, revelam que esses elogios estão
conectados ao sucesso obtido com a solução do problema, com a satisfação em
terem conseguido avançar em algo inovador, ao menos para o grupo analisado.
Esses diferentes modos pelos quais eles viram a tarefa expressam a visão
111
ingênua dos sujeitos envolvidos, porém, é uma visão nutrida pelo planejamento da
tarefa e pelo modo como ela ocorreu. O encadeamento dado e o engajamento dos
próprios estudantes indicam que as suas expectativas, sejam positivas ou negativas,
foram afetadas. Em última instância, afetar essas expectativas revela que a tarefa se
diferenciou da rotina empregada nas aulas e possivelmente nas Ágoras. Não se
podem atribuir apenas à tarefa essas reações, mas também à condução docente e
ao modo como foram organizadas e gerenciadas as ações.
Desse modo, revela-se que as críticas e os elogios ocorridos no ambiente do
desenvolvimento da tarefa de Modelagem foram direcionados à própria tarefa ou à
sua condução.
112
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Quando nos propusemos a interrogar uma tarefa de Modelagem Matemática
no contexto de programação de computadores, nos vimos diante de incertezas
sobre o que poderia emergir desse trabalho. A partir de nossa interrogação de
pesquisa: O que se revela de uma tarefa de Modelagem Matemática, no contexto de
programação de computadores, desenvolvida por estudantes da Educação Básica?
muitas unidades de significado emergiram e, por meio de convergências, abriram-se
quatro categorias que, em linhas gerais, diziam sobre: discussões e interações entre
alunos e professores e também entre alunos; diversas ações dos alunos no contexto
da programação de computadores; a Matemática envolvida no processo de
resolução da tarefa de Modelagem; os modos como os alunos viram a tarefa.
Pelo próprio modo com que a tarefa foi conduzida e a pergunta norteadora da
pesquisa foi efetuada, é possível observar que as tecnologias digitais perpassaram
por todas as categorias, remodelando, não só a forma de resolução da tarefa de
Modelagem, mas a própria tarefa. A tecnologia “permite ao estudante e ao professor
um fazer diferente, não necessariamente melhor nem mais rápido, mas diferente”
(FRANT; CASTRO, 2009, p. 35).
Por esse formato, a presença do computador durante todo o processo de
resolução da tarefa de Modelagem a reconfigurou, visto que, para seu
desenvolvimento, era preciso construir uma simulação por meio da programação de
computadores, algo novo para os alunos até aquele momento. Por outro lado, a
tarefa de Modelagem oportunizou um ambiente de programação mais dialógico e
rico, à medida que estimulou o debate e as discussões entre os alunos e entre os
alunos e professores.
A programação de computadores, por si só, estimularia os alunos a
debaterem e discutirem suas ideias com tamanha profundidade, conforme ficou
evidenciado em nossa experiência? Ter um objetivo a ser alcançado – a simulação
de semáforos de um cruzamento de ruas selecionado pelos alunos – possivelmente
atuou como um estímulo a mais para as interações. Essas interações, sem dúvida,
foram de grande importância para a aprendizagem e aprofundamento, não só da
noção de programação de computadores, mas também sobre o quão complexo é o
trânsito, as variáveis que o envolvem. Bairral (2015, p. 494) ressalta que “A
interação é um elemento potencializador e pode contribuir para o amadurecimento e
113
o desenvolvimento da reflexão em um ambiente de aprendizagem. O
posicionamento dos envolvidos deve favorecer a construção não linear e constante
de uma ideia em aprofundamento”.
Ressaltamos que a programação de computadores se sobressaiu durante o
desenvolvimento da tarefa de Modelagem em detrimento da abordagem de
conteúdos matemáticos escolares. Não que isso invalide nossa tarefa, até porque
nosso objetivo não era a abordagem de conteúdos matemáticos em específico, mas
permite uma abertura para inferirmos que, caso se queira abordar determinados
conteúdos, talvez seja necessário direcionar mais a tarefa para que, durante sua
resolução, tais assuntos sejam tangenciados, ou ainda estar mais atento ao que
emerge no desenvolvimento da tarefa, visto que “novas matemáticas” podem ser
necessárias para se superar o problema. Talvez seja nesse sentido que Almeida,
Silva e Vertuan (2016, p. 31) destaquem que “a Matemática requerida nas aulas com
modelagem e computador pode ser diferente daquela usada na ausência desses
elementos”. Em nosso caso, conforme apresentamos na interpretação da terceira
categoria, emergiram “muitas matemáticas” durante o desenvolvimento da tarefa de
Modelagem que transcenderam a matemática escolar, enriquecendo a proposta e
abrindo possibilidades para o desenvolvimento do Pensamento Computacional.
Assim sendo, mesmo que não tenha sido unânime dentre os participantes,
observamos que a atividade desenvolvida foi aceita pelos alunos, apontando para
um cenário positivo do trabalho associativo e colaborativo entre a programação de
computadores e a MM, visto que os alunos se envolveram na dinâmica e
conseguiram construir a simulação dos semáforos para o cruzamento selecionado.
Com tal feito, exploraram, além de alguns conceitos de Matemática trabalhados
tradicionalmente no currículo escolar, a Matemática subjacente à programação de
computadores, oportunizando o desenvolvimento de outras habilidades como
construtores de tecnologia.
Sobre o desenvolvido, ressaltamos uma das principais contribuições que
nosso trabalho pode trazer à comunidade: obervamos a construção de um cenário
que pode ser visto sob duas perspectivas. Podemos vislumbrar um cenário de
programação de computadores dialógico, nutrido e potencializado pela problemática
trazida pela tarefa de Modelagem Matemática. Sob outra perspectiva, temos um
cenário investigativo de uma tarefa de Modelagem Matemática potencializado pela
construção de um artefato tecnológico por meio da programação de computadores.
114
Desse modo, ressaltamos a sinergia ocorrida entre Modelagem e programação de
computadores, visto que se retroalimentaram e potencializaram o trabalho conjunto,
oportunizando um ambiente mais colaborativo, rico em discussões e debates.
Reafirmamos, assim, que o desenvolvimento de uma tarefa de Modelagem
em um contexto de programação de computadores pode ser visto como mais uma
potencial maneira de desenvolver nos alunos habilidades necessárias ao cidadão
contemporâneo. Porque ensinamos o que ensinamos nas escolas aos alunos? Aulas
de química, física, português, matemática etc. O objetivo fim dessas aulas não está
em ensinar aos alunos “regras” específicas de cada disciplina, fórmulas, conceitos.
Em última instância, o que queremos é formar um cidadão crítico, que pense, que
tenha competências necessárias para ter uma vida melhor. Avançar no pensamento
matemático por meio da programação de computadores, conforme propusemos,
pode ser mais um meio para desenvolver habilidades dessa natureza nos alunos.
Não queremos, com isso, ingenuamente, dizer que se esse trabalho for
reproduzido terá o mesmo resultado, ou que ele seja a solução dos problemas
educacionais. Ele pode, sim, inspirar colegas de profissão e também futuros
professores, porém, é preciso levar em conta o contexto no qual ele foi
desenvolvido. A Ágora aconteceu no contraturno das atividades regulares, sendo
que esse trabalho é contabilizado na carga horária do professor que a desenvolve,
além de ser de cunho obrigatório a participação dos alunos em alguma Ágora para
sua promoção de ano escolar.
Futuras investigações, em outros contextos, poderiam dar sequência ao
presente trabalho, confrontando e complementando as discussões aqui tecidas. A
proposta que desenvolvemos valeu-se de uma tarefa de Modelagem Matemática
mais fechada, em que o professor construiu a proposta e a levou aos alunos para
desenvolvê-la por meio da programação de computadores com Scratch. E se a
tarefa de Modelagem fosse mais aberta, construída pelos próprios alunos, quais os
resultados que se revelariam? E se essa mesma atividade fosse aplicada a outros
grupos de alunos, em cursos que tivessem a duração de mais de 10h, o que se
revelaria? Esse pode ser um caminho para dar sequência ao trabalho que fizemos.
Outra possibilidade de continuação dessa investigação poderia se voltar mais
à linha do desenvolvimento do Pensamento Computacional, que, conforme já
evidenciamos, se revelou no âmbito da tarefa proposta, no contexto dialógico
fomentado pela tarefa de Modelagem. Ao invés de “somente” programar o resultado
115
de uma tarefa de Modelagem no Scratch, o que se revelaria se os alunos
precisassem construir algo físico, utilizando componentes eletrônicos se valendo da
robótica? Quais as matemáticas estariam envolvidas nesse contexto? E o
Pensamento Computacional, seria também estimulado nessa perspectiva?
Finalizamos nosso trabalho apontando que nossa pesquisa não é estanque,
muito pelo contrário, é apenas mais uma possibilidade de se trabalhar sob uma
perspectiva construcionista com as tecnologias, valendo-se da Modelagem
Matemática. Outras pesquisas, conforme as que sugerimos anteriormente, poderiam
dar sequência a esse diálogo, construindo novos meios para ampliar o debate
acerca do fazer Matemática mediada pelas tecnologias digitais da informação e
comunicação.
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APÊNDICE A – Categorias abertas e as unidades de significado que as compõem
Categoria Código das unidades que compõem a categoria
C1: Sobre os debates, discussões e falas entre alunos e entre alunos e professores no desenvolvimento da tarefa
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C2: Sobre as ações dos alunos no contexto da tarefa de Modelagem
5:4 8:16 - 8:53; 5:5 9:40 - 10:00; 6:2 1:35 - 1:55; 6:3 2:15 - 2:54; 6:4 5:47 - 6:39; 6:5 8:06 - 8:29; 6:6 9:12 - 9:38; 7:3 2:36 - 2:56; 7:6 4:54 - 5:20; 7:7 6:18 - 6:30; 8:1 0:40 - 0:50; 8:3 3:41 - 3:58; 8:4 5:54 - 6:03; 9:1 0:50 - 1:04; 9:2 1:41 - 1:55; 9:5 4:33 - 4:47; 10:4 9:35 - 9:45; 11:1 3:11 - 3:24; 11:6 8:09 - 8:20; 14:2 3:34 - 3:42; 15:3 3:22 - 3:50; 15:5 6:14 - 7:02; 15:6 7:38 - 8:42; 16:1 0:37 - 0:54; 16:2 4:10 - 4:28; 16:6 9:48 - 10:00; 17:1 1:52 - 2:29; 18:7 6:35 - 6:50; 18:8 8:14 - 8:31; 19:1 0:08 - 0:36; 19:3 2:34 - 2:48; 19:4 3:34 - 3:44; 19:8 9:20 - 9:28; 20:4 2:47 - 10:00; 21:1 3:36 - 3:50; 21:5 8:38 - 8:45; 23:4 5:29 - 5:45; 23:5 8:05 - 8:24; 23:6 9:53 - 10:00; 24:1 0:45 - 0:55; 24:2 1:35 - 1:55; 25:1 1:07 - 1:29; 25:2 1:59 - 3:00; 27:2 2:38 - 3:10; 27:4 8:39 - 9:09; 28:1 0:16 - 1:10; 28:3 4:00 - 4:13; 28:4 4:29 - 4:40; 28:5 4:48 - 5:09; 29:1 1:24 - 1:56; 29:2 3:29 - 3:50; 30:1 1:34 - 2:40; 36:1 2:09 - 2:49; 37:1 2:28 - 2:36; 38:2 4:22 - 4:28; 38:3 0:54 - 1:07; 39:1 2:09 - 2:18; 41:1 3:50 - 4:20; 41:2 6:20 - 6:36; 44:2 2:40 - 3:30; 52:3 6:16 - 7:07; 53:1 0:03 - 1:08; 54:4 4:51 - 5:37; 54:6 7:21 - 7:53; 54:7 8:19 - 8:35; 54:8 9:14 - 9:39; 55:2 4:20 - 4:34; 55:4 7:59 - 8:25; 55:5 9:44 - 9:59; 56:1 0:12 - 1:12; 56:2 1:29 - 1:55; 56:3 3:40 - 3:51; 56:4 4:04 - 4:14; 56:6 8:24 - 8:54; 62:1 2:54 - 3:00; 63:3 4:26 - 4:54; 63:5 7:59 - 8:48; 64:2 1:37 - 1:50; 64:4 5:14 - 7:00; 64:5 9:09 - 9:17; 65:1 0:31 - 0:38; 65:3 7:13 - 7:29; 67:2 4:23 - 4:47; 69:4 5:48 - 6:10; 74:4 8:41 - 10:00; 75:3 1:51 - 2:01; 75:5 6:27 - 6:32; 75:6 7:29 - 8:50; 76:4 4:00 - 4:18; 76:5 5:15 - 6:40; 77:2 1:53 - 2:08; 77:3 4:35 - 4:44; 78:1 2:19 - 2:48; 78:2 3:28 - 4:31; 80:3 8:43 - 9:14; 83:5 7:46 - 8:01 ; 86:4 5:03 - 5:15; 86:5 6:11 - 6:28; 86:7 8:19 - 8:26; 92:5 8:01 - 8:19; 93:3 6:17 - 6:26; 94:4 7:34 - 7:46; 98:17 0:35:27 - 0:35:50; 100:6 14:26 - 14:33; 17:4 4:40 - 5:35; 30:4 6:29 - 7:29; 36:2 6:22 - 6:35; 36:4 8:39 - 8:59; 37:3 3:28 - 3:41; 37:4 9:34 - 10:00; 39:2 3:41 - 3:48; 39:3 7:52 - 8:01; 42:6 8:22 - 9:36; 43:2 2:51 - 3:02; 43:3 8:14 - 8:26; 52:1 0:10 - 0:41; 53:5 8:00 - 8:08; 55:1 0:36 - 4:09; 56:5 4:28 - 4:37; 57:1 9:49 - 10:00; 60:5 8:45 - 9:20; 64:1 0:29 - 0:55; 68:2 6:08 - 6:20; 89:6 7:51 - 8:01; 89:7 8:34 - 9:49; 90:5 5:35 - 5:46; 90:6 6:03 - 6:15; 91:1 4:32 - 4:42; 96:16 0:26:04 - 0:27:41; 96:35 0:50:37 - 0:50:48; 97:3 4:28 - 5:19; 98:7
130
17:25 - 17:29; 98:8 9:15 - 9:41; 98:18 0:40:04 - 0:40:48; 102:11 8:25 - 8:57; 102:33 0:31:30 - 0:31:44; 102:35 0:33:31 - 0:33:47
C3: Sobre as relações com a matemática escolar que emergiram no desenvolvimento da tarefa de Modelagem
9:6 8:17 - 8:27; 10:3 5:29 - 5:43; 52:4 8:48 - 10:00; 63:4 5:34 - 5:55; 64:3 2:36 - 2:47; 75:1 0:32 - 0:42
C4: Sobre os modos como os alunos viram o projeto 7:1 0:00 - 0:09; 40:3 7:39 - 7:50; 53:5 8:00 - 8:08; 74:1 3:09 - 3:17;
80:2 6:00 - 6:28; 86:8 8:28 - 8:39; 87:3 3:55 - 4:11; 99:14 0:39:15 - 0:39:23; 102:3 3:25 - 3:50; 102:4 3:52 - 4:05; 102:13 11:59 - 12:06; 102:14 13:14 - 13:25; 102:17 19:08 - 19:36; 102:18 0:20:19 - 0:20:31; 102:19 0:20:41 - 0:20:46; 102:20 0:21:38 - 0:21:53; 102:21 0:22:24 - 0:22:30; 102:31 0:29:58 - 0:30:01; 102:32 0:30:02 - 0:30:26; 102:34 0:32:51 - 0:32:58; 102:42 0:40:47 - 0:41:55
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ANEXO A – Parecer consubstanciado do CEP
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