Universidade Federal de Campina Grande Centro de Ciências e Tecnologia

Unidade Acadêmica de Física

1º Relatório PIBIC

Período: Setembro de 2008 à Fevereiro de 2009

Projeto: Resolução numérica da equação de Schrödinger

——————————————— Christian Eike Precker

(Orientando)

——————————————— Prof. Dr. Rômulo Rodrigues da Silva

(Orientador)

Campina Grande — 27 de fevereiro 2009 —

1

Conteúdo

1 - Resumo do plano inicial --------------------------------------------------------------------- 3

2 - Resumo das atividades desenvolvidas no período --------------------------------------- 3

3 - Detalhamento dos progressos realizados -------------------------------------------------- 4

A – Equações diferenciais -------------------------------------------------------------- 4

B – Equação de Schöringer unidimensional independente do tempo ------------ 6

C – Integração numérica ---------------------------------------------------------------- 8

4 - Plano de Trabalho e etapas seguintes ------------------------------------------------------ 13

5 – Anexos ----------------------------------------------------------------------------------------- 15

2

Lista de Figuras

3.1 – Modelo da sublimação da naftalina ------------------------------------------ 5

3.2 – Potencial numa caixa unidimensional ---------------------------------------- 6

3.3 – Modelo de integração numérica via retângulos ----------------------------- 9

3.4 – Modelo de integração numérica via trapézios ------------------------------- 10

3.5 – Modelo de integração numérica via Simpson -------------------------------- 11

3.6 – Raízes do polinômio de Legendre de grau 3 --------------------------------- 12

3

Capítulo 1

Resumo do plano inicial

A equação de Schrödinger independente do tempo (ES) é um dos principais pilares da

mecânica quântica. A solução da ES permite conhecer o espectro de energia do sistema, que

possui aplicações em várias áreas da física. Na física atômica, as linhas espectrais medidas pela

emissão da luz pelo hidrogênio só é explicada pela ES. Uma aplicação moderna reside no estudo

do espectro dos hádrons exóticos. Os hádrons são todas as partículas formadas por quarks e

fazem parte dessa categoria os bárions e os mésons. Os bárions mais famosos são o nêutron e o

próton. E o méson mais famoso é o méson-, que foi descoberto pelo físico brasileiro Cesar

Lattes. Os hádrons exóticos podem ser interpretados como sistemas moleculares constituídos a

base de hádrons e interagem através de uma interação efetiva inspirada da cromodinâmica

quântica (QCD). Essa interação nos conduz a um potencial que não permite um tratamento

analítico da ES.

Os métodos usados atualmente na solução da ES são: método de Numerov [1], métodos

variacionais [2], perturbação artificial [3]. Todos esses métodos possuem em comum a

necessidade de construir um programa de computador. Destacamos o uso do software Maple [4],

que possui uma linguagem de programação ideal para implementar os métodos de solução da ES.

Capítulo 2

Resumo das atividades desenvolvidas no período

No primeiro semestre nos dedicamos ao estudo da mecânica quântica e do software

Maple [4]. Introdutoriamente apresentei diversos exemplos de equações diferenciais resolvidas

no Boas [5]. Em seguida começamos a estudar técnicas de integração numérica, onde recebi

aulas do orientador, complementando-as com [6], onde em nossas reuniões semanais discutimos

as técnicas de integração numérica: método do retângulo, método do trapézio, método de

Simpson e o método de Gauss-Legendre. Em paralelo construímos as respectivas rotinas de

integração no Maple [4] (ver anexos).

Paralelamente fiz o sexto período do meu curso de bacharelado em física, onde passei em

todas as disciplinas.

4

Capítulo 3

Detalhamento dos progressos realizados

A – Equações diferenciais

Iniciaremos essa seção com a revisão de equações diferenciais lineares ordinárias. O

primeiro passo foi resolver equações diferenciais do capítulo 8 do Boas [5].

1. Soluções particulares de equações diferenciais

Um exemplo clássico da física foi achar a distância que um objeto cai a partir do repouso

em t segundos sob a força gravitacional.

Da 2a lei de Newton temos

2

2

d xm mg

dt ,

cujo método é

dxv

dt

e reduz a equação de 2a ordem para 1

a ordem

0 0

' '

v t

v

dvg dv gdt

dt

0v gt v .

De modo análogo, a equação será reduzida. Como dx

vdt

, temos que

0

0 0

0

'

x t

x

dxgt v dx gt v dt

dt ,

obtém-se assim a solução geral do problema

2

0 0

1

2x gt v t x .

2. Equações separáveis

As equações separáveis são do tipo

5

( )dy

f xdx

,

cujo método é

0 0

' ( ') '

y x

y x

dy f x dx

Efetuando a integração de cada lado da equação vamos obter a sua solução

0

0'

x

x

y x f x dx y

Como exemplo, vamos achar a solução geral de uma bolinha de naftalina que sofre uma

sublimação com uma taxa proporcional a sua superfície exposta ao ar. Inicialmente vamos

construir a equação diferencial que fornece o comportamento do raio da naftalina com o tempo.

3.1 – Modelo da sublimação da naftalina

A taxa de sublimação, quer dizer a perda de massa de naftalina por segundo, pode ser escrita

como

dmA

dt

m, massa da bolinha de naftalina;

A, área da superfície da esfera no tempo t.

A área de superfície da esfera é

24A r

r, raio da esfera no tempo t.

Como o raio da naftalina decresce

24dm

A rdt

(1)

, constante de proporcionalidade.

Por outro lado, temos

6

24dm dV dr

rdt dt dt

(2)

V, volume da esfera no tempo t;

, densidade da naftalina.

e comparando (1) com (2) temos finalmente a equação de movimento

dr

dt

, (3)

onde β é uma constante. Aplicando em (3) o método de equações separáveis, temos

r t C ,

onde C é uma constante de integração.

B – Equação de Schrödinger unidimensional independente do tempo:

Após resolver diversas equações diferenciais, entramos na mecânica quântica através do

problema de uma partícula numa caixa unidimensional, onde queremos encontrar a solução geral

da função de onda (x). A Fig. 3.2 mostra o potencial da caixa.

V(x)

E

x

-L 0 L

3.2 – Potencial em uma caixa unidimensional

A equação de Schrödinger unidimensional independente do tempo é dada por:

22

22

d xV x x E x

m dx

, (4)

onde

m, massa da partícula;

ћ, constante reduzida de Planck;

(x), função de onda estacionária independente do tempo que queremos obter

(autofunções);

E, energia da partícula (autovalor).

7

Como o potencial no interior da caixa é zero, e a equação de Schrödinger simplifica-se nesta

região para

22

22

d xE x

m dx

. (5)

Podemos reescrever a Eq. (5) da seguinte forma

2

2

2

( )( ) 0

d xx

dx

, (6)

onde

2

2

2mE

Com o ansatz:

( ) Pxx e ,

P = constante,

obtemos

2

2

20

PxPxd e

edx

2 2 0Px PxP e e

2 2 0Pxe P

2 2P

ou

P i (7)

Então, temos as soluções linearmente independentes

1( ) i xx e

e

2( ) .i xx e

Onde a solução é uma superposição dessas soluções

8

1 2 .i x i xx A B Ae Be

Essa equação também pode ser reescrita na forma

1 2cos sinx C x C x ,

usando a fórmula de Euler. Na mecânica quântica a função de onda deve ser contínua, logo na

fronteira

i) 0L

1 2cos sin 0C L C L (8)

ii) 0L

1 2cos sin 0C L C L . (9)

Podemos reescrever a equação (9) como

1 2cos sin 0C L C L . (9a)

Fazendo (8) + (9a):

1 12 cos 0 cos 0, 0.C L L C

e (8) – (9a):

2 22 sin 0 sin 0, 0.C L L C

C – Integração numérica

Com o objetivo de resolver equações diferenciais não lineares, passamos a trabalhar com

técnicas de integração numérica, que consiste em aproximar uma integral numa função F(x)

0

' '

x

x

f x dx F x (10)

A primeira regra de integração estudada foi a do retângulo. Este método consiste em

inserir retângulos de largura ε sob a curva a ser integrada, como mostra a figura 3.3:

9

3.3 – Modelo de integração numérica via retângulos

Através da Fig. 3.3 é fácil ver que a área sob a curva f(x) pode ser aproximada por

0

0

N

i

F x f i x

, (11)

O número de retângulos N é obtido por

0N x x

0 1

x xN

x0, valor inicial do intervalo de integração;

x, valor final do intervalo de integração;

ε, largura do retângulo;

Onde os pontos xi são dados por

0ix x i .

Como podemos notar, quanto menor for a largura dos retângulos, melhor será nosso

resultado. Utilizando o Maple [4], construímos um programa que resolve a soma da equação (11)

para qualquer função f(x) (ver anexo I).

O segundo método de integração numérica foi o método dos trapézios, onde para calcular

a área sob a curva, usam-se trapézios, como mostra a figura 3.4.

10

3.4 – Modelo de integração numérica via trapézios

De forma mais intuitiva, a área do trapézio pode ser obtida através da soma da área de um

retângulo com um triângulo retângulo, que fica da seguinte forma:

A área do retângulo + área do triângulo

0 0 0 0

1

2A x x f x x x f x f x

0 0

1

2A x x f x f x

Então, para integrarmos sob a curva com trapézios temos a seguinte função:

0

N

i

i

F x A

,

onde

1

1

2i i iA f x f x .

Portanto,

1 1 0

0 1 12 2

N N N

i i i N i

i i i

F x f x f x f x f x f x f x

1

0

12

N

i

i

F x f x f x f N

(12)

Note que, se 0f N f x , nossa função recai na F(x) obtida pela regra do retângulo.

Utilizando o Maple [4], construímos um programa que resolve integrais através do

método estudado acima (ver anexo II).

11

O terceiro método de integração estudado foi o de Simpson, que consiste em aproximar o

valor da integral por uma parábola P(x), como é fácil ver na figura 3.4.

3.4 – Modelo de integração numérica via Simpson

Onde foi obtida a seguinte fórmula

2 1

0 2

13

n

n i i

i

F x f x f x f x

, (13)

onde

2N n

e a oscilação da equação de Simpson

1

3 1i

i

.

Também criamos no Maple [4] um programa com este método de integração (ver anexo

III).

O quarto e ultimo método de integração numérica até então estudado foi o método de

Gauss-Legendre, que é um caso particular do método de Gauss. O método de Gauss parte da

suposição que podemos escrever uma função g(x) em duas partes

g x x x ,

onde x é uma função de peso e N x um polinômio de grau máximo N. Então pelo

método de Gauss temos

1

b N

i i

ia

x x dx x

(15)

Como o método estudado foi o de Gauss-Legendre [7], o intervalo fica entre [-1,1] onde o

peso 1x . Assim, temos para Gauss-Legendre

12

1

11

N

N i i

i

g x dx x

, (16)

onde ix representa os zeros dos polinômios de Legendre. Esses polinômios podem ser obtidos

através da fórmula de Rodrigues

211

2 !

n n

n n n

dP x x

n dx

.

Como podemos ver, a maior dificuldade deste método consiste em obter os zeros do polinômio

de Legendre e os pesos i . Por exemplo, vamos encontrar os zeros de

33

15 3

2P x x x .

Temos três zeros, sendo eles 0,7746 , 0 e 0,7746 como podemos ver facilmente na Fig. 3.5.

3.5 – Raízes do polinômio de Legendre de grau 3

Os pesos i são obtidos através da construção do polinômio de Lagrange, que possui

uma propriedade de delta de Kronecker

,j N i ijl x ,

onde foi obtida a seguinte fórmula

1

,

1

' ' 'i j N Nl x x dx

.

Fizemos no Maple [4] um programa que calcula ix e i além de usar o método para

resolver integrais (ver anexo IV).

13

Capítulo 4

Plano de trabalho e etapas seguintes

Pretendemos fechar a parte dos métodos de solução de equações diferenciais com o

estudo do método de Runge-Kutta, que é um importante ingrediente para nos concentrar no

estudo da equação de Schrödinger numericamente (ESN). Iremos construir o algoritmo para a

resolução numérica da ESN e testar para alguns potenciais, onde a solução analítica é conhecida,

como o potencial do oscilador harmônico, potencial gravitacional e o átomo de hidrogênio.

Finalizando essa etapa, iremos escrever um artigo e submetê-lo a um periódico

especializado.

14

Bibliografia

[1] Juan-Luis Domenech-Garret, Miguel-Angel Sanchis-Lozano; arXiv: 0805.2704.

[2] Ali Mostafazadeh; J. Math. Phys. 42,3372-3389, (2001).

[3] Omar Mustafa, Maen Odeh; Eur. Phys. J.B 15, 143, (2000).

[4] http://www.maplesoft.com.

[5] Mary L. Boas, Mathematical Methods in the Physycal Sciences, Courier Companies, Inc, Second Edition (1983)

[6] William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery, Numerical Recipes in fortran 77,

The art of Scientific Computing, second edition (1997).

[7] hpttp://de.wikipedia.org/wiki/Gauß-Quadratur

15

5 – Anexos

Nesta secção, foi escolhida uma função ao acaso para ser resolvida numericamente

através dos métodos de integração estudados. A função escolhida foi

2 1

sin ln 16

1 11 1 sin 1

6 6

xx x e x

f x

x x

,

no intervalo [-1,1]. Então, temos

1

1

0,05063169819f x

Anexo I

> # algoritmo da regra do retângulo:

> e:=0.01:

> s[0]:=0:

> N:=round((xf-x0)/e);

> for i from 0 to N do;

> x[i]:=x0+ i*e:

> s[i+1]:=e*f(x[i])+ s[i];

> od:

> s[N+1];

Anexo II

> # algoritmo da regra do trapézio:

> e:=0.01:

> s[1]:=0:

> N:=round((xf-x0)/e);

> for i from 1 to N-1 do;

> x[i]:=x0+ i*e:

> s[i+1]:=e*f(x[i])+ s[i];

> od:

> evalf(s[N] +(e/2)*(f(x0)+ f(x0+ N*e)));

:= N 200

-0.05204743663

:= N 200

-0.05064264415

16

Anexo III

> # algoritmo da regra de Simpson:

> e:=0.01:

> s[1]:=0:

> N:=round((xf-x0)/(2*e));

> for i from 1 to 2*N-1 do;

> x[i]:= x0 + i*e:

> w[i]:= 3 + (-1)^(i+1):

> s[i+1]:=w[i]*(e/3)*f(x[i])+ s[i];

> od:

> evalf(s[2*N] + (e/3)*(f(x0) + f(x0 + 2*N*e)));

Anexo IV

> #A equação de Legendre é dada por:

>

> (1 - x^2)*Diff(y,x) - 2*x*Diff(y,x) + l*(l+1)*y = 0;

>

> #Temos para a fórmula de recorrência dos polinômios de Legendre:

>

> P[n+1](x) = ((2*n + 1)/(n + 1))*x*P[n](x) - (n/(n+1))*P[n-1](x);

> P[0](x) := 1;

> N:=32:

> for n from 0 to N+1 do:

> P[n+1](x) := ((2*n + 1)/(n + 1))*x*P[n](x) - (n/(n+1))*P[n-1](x):

> end do:

> #Gráfico do polinômio de Legendre de grau "N" escolhido abaixo:

> plot(P[N](x),x=-1..1);

:= N 100

-0.05063169902

( )1 x2

xy 2 x

xy l ( )l 1 y 0

( )Pn 1

x ( )2 n 1 x ( )P

nx

n 1

n ( )Pn 1

x

n 1

:= ( )P0

x 1

17

> #Raízes do polinômio escolhido acima:

> R:=[evalf(fsolve(P[N](x)=0,x=-1000..1000),18)];

> nops(R);

> # Agora é possível construir os polinômios de l[j][N] Lagrange pelo programa;

> for j from 1 to N do;

> B[j][1]:=1:

> M[j][1]:=1:

> od:

>

> for k from 1 to N do

>

> for i from 1 to N do

> if (i<>k) then

> B[k][i+1]:=evalf(B[k][i]*(R[k]-R[i]),50);

> else

> B[k][i+1]:=evalf(B[k][i],50);

> fi;

> od;

> od;

>

> for k from 1 to N do

>

R -0.997263861849481564 -0.985611511545268335 -0.964762255587506431, , ,[ :=

-0.934906075937739689 -0.896321155766052124 -0.849367613732569970, , ,

-0.794483795967942407 -0.732182118740289680 -0.663044266930215201, , ,

-0.587715757240762329 -0.506899908932229390 -0.421351276130635345, , ,

-0.331868602282127650 -0.239287362252137075 -0.144471961582796493, , ,

-0.0483076656877383162 0.0483076656877383162 0.144471961582796493, , ,

0.239287362252137075 0.331868602282127650 0.421351276130635345, , ,

0.506899908932229390 0.587715757240762329 0.663044266930215201, , ,

0.732182118740289680 0.794483795967942407 0.849367613732569970, , ,

0.896321155766052124 0.934906075937739689 0.964762255587506431, , ,

0.985611511545268335 0.997263861849481564, ]

32

18

> for i from 1 to N do

>

> if (i<>k) then

> M[k][i+1]:=evalf(M[k][i]*(x-R[i]),50);

> else

> M[k][i+1]:=evalf(M[k][i],50);

> fi;

>

> od;

>

> od;

> x := 'x':

> for j from 1 to N do

> l[j][N] := unapply((M[j][N+1])/(B[j][N+1]),x);

> od:

>

> #Cálculo de um peso típico de Gauss-Legendre;

> for j from 1 to N do

> w[j]:=evalf(int(1*l[j][N](x),x=-1..1),18);

> od:

> W:=[seq(w[i],i=1..N)]:

>

> R;

> W;

-0.997263861849481564 -0.985611511545268335 -0.964762255587506431, , ,[

-0.934906075937739689 -0.896321155766052124 -0.849367613732569970, , ,

-0.794483795967942407 -0.732182118740289680 -0.663044266930215201, , ,

-0.587715757240762329 -0.506899908932229390 -0.421351276130635345, , ,

-0.331868602282127650 -0.239287362252137075 -0.144471961582796493, , ,

-0.0483076656877383162 0.0483076656877383162 0.144471961582796493, , ,

0.239287362252137075 0.331868602282127650 0.421351276130635345, , ,

0.506899908932229390 0.587715757240762329 0.663044266930215201, , ,

0.732182118740289680 0.794483795967942407 0.849367613732569970, , ,

0.896321155766052124 0.934906075937739689 0.964762255587506431, , ,

0.985611511545268335 0.997263861849481564, ]

0.00701861001093276180 0.0162743947248428931 0.0253920653172589539, , ,[

0.0342738629167828644 0.0428358980267205113 0.0509980592705083611, , ,

0.0586840934718077322 0.0658222227677928909 0.0723457941000825033, , ,

0.0781938957738581541 0.0833119242391618598 0.0876520929926910662, , ,

0.0911738786913028896 0.0938443991235288587 0.0956387201167498487, , ,

0.0965400885256660776 0.0965400885256660776 0.0956387201167498487, , ,

0.0938443991235288587 0.0911738786913028896 0.0876520929926910662, , ,

0.0833119242391618598 0.0781938957738581541 0.0723457941000825033, , ,

0.0658222227677928909 0.0586840934718077322 0.0509980592705083611, , ,

0.0428358980267205113 0.0342738629167828644 0.0253920653172589539, , ,

0.0162743947248428931 0.00701861001093276180, ]

19

> # Teoria de Gauss-Legendre

> # Na teoria, temos:

> Int(f(x), x=-1..1) = Sum(Wl[i]*f(Rl[i]));

>

>

> #Onde

> f:=x->x^2*sin(x)*exp(x)*ln(1-x/6)/(1+(1-x/6)*sin((1-x/6)));

> # por Gauss-Legendre;

>

> sum(W[ii]*f(R[ii]),ii=1..nops(R));

Comparação dos resultados obtidos

Valor exato Retângulo Trapézio Simpson Gauss-Legendre

-0,05063169819 -0,05204743663 -0,05064264415 -0,05063169902 -0,05063169820

Erro relativo 22,796 10 42,162 10 81,639 10 101,975 10

O erro relativo foi calculado da seguinte forma

valor exato valor obtidoE

valor exato

.

d

-1

1

( )f x x Wl33

( )f Rl33

:= f x

x2 ( )sin x ex

ln 1

1

6x

1

1

1

6x

sin 1

1

6x

-0.05063169820