UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCOCENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICAPÓS-GRADUAÇÃO. DOUTORADO EM ENERGIA.

ALVARO ANTONIO OCHOA VILLA

AANÁLISENÁLISE DDIMENSIONALIMENSIONAL EE SSEMELHANÇAEMELHANÇA

Análise Dimensional e Semelhança ØEquações com maior complexidade e de soluções difíceis

deveriam ser utilizadas para representar os fenômenos deforma completa;ØAlternativa a essas soluções complexas: basear-se em

resultados experimentais;ØA história do desenvolvimento da mecânica dos fluidos

sempre dependeu, em grande parte, dos resultadosexperimentais (escoamentos reais tem solução analíticacomplexa);ØMétodo: o escoamento real (complexo) é aproximado por um

modelo matemático mais simples, o qual leva à solução;

Análise Dimensional e Semelhança ØO trabalho experimental em laboratório é demorado e caro.

Portanto, o objetivo é obter o máximo de informações com ummínimo de experiências, ou seja, minimizar os experimentosrealizados em laboratório;ØA análise dimensional permite a correlação de dados para a

apresentação sucinta do fenômeno estudado, usando o menornúmero possível de gráficos;ØA análise dimensional também é necessária e utilizada em

estudos de semelhança dinâmica.

à É necessário o conhecimento das dimensões e unidades das

Grandezas Físicas

Os fenômenos em Mecânica dos Fluidos dependem de Os fenômenos em Mecânica dos Fluidos dependem de maneira complexa dos parâmetros maneira complexa dos parâmetros geométricosgeométricos e de e de

escoamentoescoamento

Análise Dimensional e Semelhança

Análise DimensionalüAs unidades são expressas utilizando apenas quatro grandezas básicas ou categorias fundamentais:

-- massa[M];massa[M];-- comprimento[L];comprimento[L];-- tempo[T] etempo[T] e-- temperatura[temperatura[θθ]]

üAs quatro grandezas básicas representam as dimensõesprimárias que podem ser usadas para representar qualqueroutra grandeza;

Análise DimensionalØ É um meio para simplificação de um problema físico

empregando a homogeneidade dimensional para reduzir onúmero das variáveis de análise;

A análise dimensional é particularmente útil para:ØApresentar e interpretar dados experimentais;Ø Resolver problemas difíceis de estudar com solução analítica;Ø Estabelecer a importância relativa de um determinadofenômeno;ØModelagem física.

Grandeza Símbolo DimensãoGeometria Área A L2

Volume V L3

Cinemática Velocidade U LT-1

Velocidade Angular ω T-1

Vazão Q L3T-1

Fluxo de massa m MT-1

Dinâmica Força F MLT-2

Torque T ML2T-2

Energia E ML2T-2

Potência P ML2T-3

Pressão p ML-1T-2

Propriedades dos Fluidos

Densidade ρ ML-3

Viscosidade µ ML-1T-1

Viscosidade Cinemática v L2T-1

Tensão superficial σ MT-2

Condutividade Térmica k MLT-3θ

Calor Específico Cp,Cv L2T-2 θ-1

l Dimensões de Grandezas Derivadas:

Análise Dimensional

[ ][ ][ ][ ] 1..Re 11

13

=== −−

−−

TMLLLTMLVD

x µρ

Ø Uma grandeza ou grupo de grandezas físicas tem uma dimensão que é representada por uma relação das grandezas primárias;Ø Se esta relação é unitária, o grupo é denominado adimensional, isto é, sem dimensão;Ø Um exemplo de grupo adimensional é o número de Reynolds:

Análise Dimensional

Ø Como o número de grupos adimensionais érelativamente menor que o número de variáveis físicas, háuma grande redução de esforço experimental paraestabelecer a relação entre algumas variáveis;

ØA relação entre dois números adimensionais é dada poruma função entre eles com uma única curva relacionando-os;

Ø Pode-se afirmar que os grupos adimensionais produzemmelhor aproximação do fenômeno do que as própriasvariáveis;

Semelhança

Ø Restringindo as condições dos experimentos é possível obterdados de diferentes condições geométricas mas que levam aomesmo ponto na curva;

Ø Isto é, experimentos de diferentes escalas apresentam osmesmos valores para os grupos adimensionais a elespertinentes;

Ø Nessas condições os experimentos apresentam semelhançadinâmica;

IMPORTÂNCIA

Ø Problemas em Engenharia (principalmente na áreade Térmica e Fluidos) dificilmente são resolvidosaplicando-se exclusivamente análise teórica;

ØUtilizam-se com freqüência estudos experimentais;

ØO trabalho experimental, geralmente, é feito com opróprio equipamento ou com réplicas exatas;

ØPorém, a maior parte das aplicações em Engenhariasão realizadas utilizando-se modelos em escala.

SEMELHANÇA

• Semelhança é, em geral, uma indicação de que doisfenômenos têm um mesmo comportamento;

• Por exemplo: é possível afirmar que há semelhança entreum edifício e sua maquete (semelhança geométrica)

• Na Mecânica dos Fluidos o termo semelhança indica arelação entre dois escoamentos de diferentes dimensões,mas com semelhança geométrica entre seus contornos;

SEMELHANÇAØ Geralmente o escoamento de maiores dimensões édenominado escala natural ou protótipo;

Ø O escoamento de menor escala é denominado de modelo;

Modelo reduzido do Brennand Plaza, no Recife, ensaiado no

túnel de vento. Medidas de pressões devidas ao vento nasuperfície externa do edifício.

Escala do modelo: 1/285

VANTAGENS

Ø Utilização de Modelos em escala:ØVantagens econômicas (tempo e dinheiro);ØPodem ser utilizados fluidos diferentes dos fluidos

de trabalho;ØOs resultados podem ser extrapolados;ØPodem ser utilizados modelos reduzidos ou

expandidos (dependendo da conveniência);

VANTAGENSPara realizar o estudo de comparação de semelhançaentre o modelo e a realidade, é necessário que osconjuntos sejam fisicamente semelhantes;

SEMELHANÇA FÍSICA envolve uma variedade de tipos de semelhança:

üüSemelhança GeométricaSemelhança GeométricaüüSemelhança CinemáticaSemelhança CinemáticaüüSemelhança DinâmicaSemelhança Dinâmica

SemelhançaSemelhança GeométricaGeométricaØSemelhança de forma;

ØA propriedade característica dos sistemasgeometricamente semelhantes é que a razão entrequalquer comprimento no modelo e o seucomprimento correspondente é constante;

ØEsta razão é conhecida como fator de escala;

Semelhança Semelhança CinemáticaCinemáticaØ Quando dois fluxos de diferentes escalas geométricas tem o mesmo formato de linhas de corrente;

Ø É a semelhança do movimento;

Semelhança Semelhança DinâmicaDinâmica

Ø É a semelhança das forças;Ø Dois sistemas são dinamicamente semelhantes quando os valores absolutos das forças, em pontos equivalentes dos dois sistemas, estão numa razão fixa;

v Forças devido à diferenças de Pressão;v Forças resultantes da ação da viscosidade;v Forças devido à tensão superficial;v Forças elásticas;v Forças de inércia;v Forças devido à atração gravitacional.

Semelhança DinâmicaSemelhança Dinâmica

Ensaios em túneis aero e Hidrodinâmico;� Escoamento em condutos;� Estruturas hidráulicas livres;� Resistência ao avanço de embarcações;�Máquinas hidráulicas;

Exemplos de estudos em modelosExemplos de estudos em modelos

ØSão extremamente importantes na correlação dedados experimentais;

ØEm razão das múltiplas aplicações dos gruposadimensionais nos estudos de modelos e aplicaçõesde semelhança dinâmica, vários grupos foramcriados nas diversas áreas que compõem osFenômenos de Transporte

Grupo adimensionaisGrupo adimensionais

vNúmero de Reynolds;vNúmero de Froude;vNúmero de Euler;vNúmero de Mach;vNúmero de Weber;vNúmero de Nusselt;vNúmero de Prandtl;

Grupo adimensionaisGrupo adimensionais

µρVL

L =Re

Número de Reynolds:§ Relação entre Forças de Inércia e Forças Viscosas;

§ Um número de Reynolds “crítico” diferencia os regimes de escoamento laminar e turbulento em condutos na camada limite ou ao redor de corpos submersos;

Grupo adimensionaisGrupo adimensionais

gLVFr =

Número de Froude:ØRelação entre Forças de Inércia e Peso (forças de

gravidade);

ØAplica-se aos fenômenos que envolvem a superfície livre do fluido;

ØÉ útil nos cálculos de ressalto hidráulico, no projeto de estruturas hidráulicas e no projeto de navios;

Grupo adimensionaisGrupo adimensionais

2VpEu

ρ=

Número de Euler:�Relação entre Forças de Pressão e as Forças de

Inércia;

�Tem extensa aplicação nos estudos das máquinas hidráulicas e nos estudos aerodinâmicos

Grupo adimensionaisGrupo adimensionais

CVMa =

�Número de Mach:�Relação entre Forças de Inércia e Forças Elásticas;�É uma medida da relação entre a energia cinética do

escoamento e a energia interna do fluido;�É o parâmetro mais importante quando as

velocidades são próximas ou superiores à do som;

Grupo adimensionaisGrupo adimensionais

σρLVWe =

�Número de Weber:�Relação entre Forças de Inércia e Forças de Tensão

Superficial;�É importante no estudo das interfaces gás-líquido ou

líquido-líquido e também onde essas interfaces estão em contato com um contorno sólido;

Grupos Adimensionais

KhLNu =

Número de Nusselt:�Relação entre fluxo de calor por convecção e o fluxo

de calor por condução no próprio fluido;

�É um dos principais grupos adimensionais nos estudos de transmissão de calor por convecção

Grupos Adimensionais

αυ

=Pr

Número de Prandtl:�Relação entre a difusão de quantidade de

movimento e difusão de quantidade de calor;

�É outro grupo adimensional importante nos estudos de transmissão de calor por convecção;

Grupos Adimensionais

Teorema de Buckingham ou dos π

“Enunciado da relação entre uma função expressa em termosde parâmetros dimensionais e uma função correlata expressaem termos de parâmetros adimensionais”

Teorema de Buckingham ou dos π1º PASSO:Determinar o número de grandezas que influenciam ofenômeno - nn=5

2º PASSO:Escrevemos a equação dimensional de cada uma dasgrandezas.[F] = F[V] = L x T-1

[ρ] = F x L-4 x T2

[µ] = F x L-2 x T[D] = L

3º PASSO:Determinamos o número de grandezas fundamentais envolvidas nofenômeno - K.K = 3

4º PASSO:Determinamos o número de números adimensionais quecaracterizam o fenômeno – m.m = n - K ∴ m = 2

Teorema de Buckingham ou dos π

5º PASSO:Estabelecemos a base dos números adimensionais.

Definição de base; É um conjunto de K variáveisindependentes comuns aos adimensionais a seremdeterminados, com exceção dos seus expoentes.

Variáveis independentes; São aquelas que apresentam assuas equações dimensionais diferentes entre si de pelo menosuma grandeza fundamental.

Para o exemplo, temos:F, V, ρ, D ou F, V, µ, D como variáveis independentes.ρ e µ como variáveis dependentes

Teorema de Buckingham ou dos π

6º PASSO : Escrevemos os números adimensionais, multiplicando a baseadotada por cada uma das variáveis que restaram na funçãocaracterística após a sua retirada.

π1 = ρα1 . Vα2 . Dα3 . F π2 = ργ1 . Vγ2 . Dγ3 . µ

Para obtermos os expoentes da base, substituímos cada uma dasvariáveis por sua respectiva equação dimensional, inclusive onúmero adimensional.Finalmente verifica-se que os grupos se encontrem semdimensão, ou seja, dimensão igual 1.

Teorema de Buckingham ou dos π

ExemplosExemplos

Figura 1

Para assegurar a semelhança dinâmica!!!

As condições do teste com o modelo devem reproduzir este Número de Reynolds:

Esta velocidade é baixa o suficiente para desprezar os efeitos decompressibilidade. Nestas condições, os escoamentos de modelo eprotótipo são dinamicamente semelhantes. Portanto,