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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCOPROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

EXPLORANDO A INCERTEZA NO MODELO DE

INSUMO-PRODUTO: APLICAÇÕES PARA O BRASIL 2000/2005

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA À UFPE

PARA OBTENÇÃO DE GRAU DE MESTRE

POR

FELIPE FERNANDO PEREIRA DE SOUZA

ORIENTADOR: PROF. FRANCISCO DE SOUSA RAMOS, DOCTEUR

RECIFE, JULHO / 2010

S729e Souza, Felipe Fernando Pereira de.

Explorando a incerteza no modelo de insumo-produto: aplicações

para o Brasil 2000/2005 / Felipe Fernando Pereira de Souza.

- Recife: O Autor, 2010.

x, 52f., il : grafs., tabs.

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Pernambuco.

CTG. Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção, 2010.

Orientador: Prof. Dr: Francisco de Sousa Ramos

Inclui bibliografia, Anexo e Apêndice

1. Engenharia de Produção. 2. Modelo insumo-produto.

3. Multiplicadores. 4. Incerteza. I. Título.

658.5 CDD (22.ed.) UFPE/BCTG/2010-147

“Esta dissertação é dedicada à minha mãe, Telma (inmemoriam).”

ii

AGRADECIMENTOS

Ao término desta etapa, sou grato a muitas pessoas. Neste curto espaço, quero agradecer a:

• aos meus pais, irmãos e família;

• aos professores Isaac Xavier Jr., Luciano Lins, Adiel Teixeira, Danielle Morais e espe-

cialmente a Francisco Ramos;

• aos meus amigos Felippe, Eduardo, Humberto, Raquel, Elaine, Suzana e Isis;

• a Juliane, Bárbara e Salete;

• ao CNPq, pelo apoio financeiro.

iii

RESUMO

O modelo insumo-produto constitui-se num instrumento importante na avaliação dos efeitos

diretos e indiretos de políticas econômicas. Com base em uma teoria geral da produção, ele

descreve o fluxo circular de renda entre os diversos setores produtivos da economia. Tal modelo

tem sido utilizado nos mais diversos estudos de economia aplicada: mensuração do consumo de

energia, poluição ambiental, políticas regionais, etc. A obtenção da base de dados que serve à

construção dos coeficientes técnicos é complexa, incorporando uma aleatoriedade na forma de

erros nos coeficientes, com o consequente impacto nos resultados. Entretanto, tais coeficientes

são geralmente tratados com precisão infinita. Diferentemente dos estudos realizados no Brasil,

este trabalho explora a inserção da incerteza no modelo, considerando os coeficientes técnicos

como variáveis aleatórias. Como aplicação, os multiplicadores de produção, valor adicionado,

emprego e renda para a economia brasileira nos anos de 2000 e 2005 são apresentados de forma

não usual, com seus respectivos intervalos de confiança.

PALAVRAS-CHAVE: modelo insumo-produto, multiplicadores, incerteza.

iv

ABSTRACT

The input-output model is an important tool in evaluation of direct and indirect effects of eco-

nomic policies. Based on a general theory of production, it describes the circular flow of income

among the various productive sectors of the economy. This model have been used in several

studies of applied economics: measurement of energy consumption, environmental pollution,

regional policies, etc. The data base obtaining process, that serves the construction of the coeffi-

cients, is technically complex, incorporating a randomness in the form of errors in coefficients,

with a consequent impact on results. However, such coefficients are usually treated with infinite

precision. Unlike studies done in Brazil, this work explores the role of uncertainty in the model,

considering the technical coefficients as random variables. As an application, the output, in-

come, employment and value-added multipliers for the Brazilian economy in 2000 and 2005

are presented in unusual way, with its respective confidence intervals.

KEYWORDS: input-output model, multipliers, uncertainty.

v

SUMÁRIO

DEDICATÓRIA ii

AGRADECIMENTOS iii

RESUMO iv

ABSTRACT v

LISTA DE FIGURAS viii

LISTA DE TABELAS ix

LISTA DE ABREVIATURAS x

1 INTRODUÇÃO 1

1.1 Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 O modelo de insumo-produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1.1 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Justificativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Objetivo Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.2 Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Organização da dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Ferramentas de suporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 ANÁLISE DE INSUMO-PRODUTO 6

2.1 Interdependência Econômica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Tabela de Transações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Formulação matemática do modelo de insumo-produto . . . . . . . . . . . . . 10

vi

2.3.1 O modelo puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1.1 Tecnologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.2 O modelo em valor monetário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.2.1 Modelo Fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.2.2 Multiplicadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 A INCERTEZA NO MODELO INSUMO-PRODUTO 21

3.1 Considerando a incerteza nos coeficientes

técnicos diretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Razões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.2 Revisão da literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.2.1 Quadro de resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 RESULTADOS 34

4.1 Matrizes brasileiras de insumo-produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2 Multiplicadores: modelo tradicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3 Multiplicadores: modelo estocástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3.1 Exemplo: inclusão de uma medida de variabilidade na decisão . . . . . 42

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS 44

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 45

ANEXO A 49

APÊNDICE A 51

vii

LISTA DE FIGURAS

2.1 Visão simplificada das Relações na Cadeia de Suprimentos. . . . . . . . . . . . 7

2.2 Modelo completo de economia aberta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Isoquantas da função de produção do tipo Leontief. . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.1 Matriz dos coeficientes técnicos para o Brasil 2000. . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 Matriz dos coeficientes técnicos para o Brasil 2005. . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Multiplicadores de impacto normalizados para o Brasil 2000. . . . . . . . . . . 38

4.4 Multiplicadores de impacto normalizados para o Brasil 2005. . . . . . . . . . . 38

viii

LISTA DE TABELAS

1.1 Multiplicadores de produção, renda, valor adicionado e emprego. . . . . . . . . 2

2.1 Modelo de uma Tabela de Transações (aberto). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Tabela de Transações de uma economia simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Modelo de uma Tabela de Transações (fechado). . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Resumo das fórmulas de cálculo dos multiplicadores. . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1 Resumo dos trabalhos desenvolvidos sobre a incerteza no modelo insumo-produto. 33

4.1 Numeração das 12 atividades/setores da economia brasileira. . . . . . . . . . . 34

4.2 Multiplicadores simples de produção, valor adicionado, renda e emprego para o

Brasil em 2000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3 Multiplicadores simples de produção, valor adicionado, renda e emprego para o

Brasil em 2005. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4 Intervalos de confiança dos multiplicadores para o Brasil em 2000. . . . . . . . 40

4.5 Intervalos de confiança dos multiplicadores para o Brasil em 2005. . . . . . . . 41

4.6 Novo ranking dos multiplicadores de produção para o Brasil 2005. . . . . . . . 42

ix

LISTA DE ABREVIATURAS

CGE Computable General Equilibrium - Equilíbrio Geral Computável

DM Durbin’s Method

IBGE Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística

IIOA International Input-Output Association

OLS Ordinary Least Squares

TSLS Two-stage least squares

WBM Wald-Bartlett Method

x

Capítulo 1 Introdução

1 INTRODUÇÃO

1.1 Apresentação

A Economia contemporânea faz largo uso de modelos matemáticos. Pode-se conceituar um

modelo matemático como sendo um conjunto de variáveis relacionadas entre si através de

equações matemáticas que descrevem um fenômeno específico. Segundo Dornbusch et al [1, p.

13]: “Os modelos são representações simplificadas do mundo real. Um bom modelo explica

precisamente os comportamentos que são mais importantes para nós e omite detalhes relativa-

mente irrelevantes.”

Os modelos econômicos podem ser classificados quanto a presença de dois componentes

importantes: (i) tempo e (ii) incerteza. O primeiro componente, quando presente, caracteriza-o

como um modelo dinâmico em oposição à classificação de modelo estático, quando este com-

ponente está ausente. A presença do segundo componente determina o aspecto probabilístico

ou determinístico do modelo, quando, respectivamente, o componente incerteza está presente

ou ausente.

O que determina a qualidade de um modelo é sua capacidade de explicar adequadamente a

realidade e responder às perguntas que foram formuladas pelo investigador. No entanto, espera-

se que modelos que possuam aspectos probabilísticos e/ou dinâmicos consigam abraçar uma

área maior da realidade e com isso responder a um conjunto maior de questionamentos. Ou

seja, de maneira geral, a presença de aspectos probabilísticos e/ou dinâmicos tornam um modelo

econômico mais completo.

1.1.1 O modelo de insumo-produto

A análise de insumo-produto se insere dentro da abordagem econômica matemática chamada

de Equilíbrio Geral, todavia, com preços fixos. Esta abordagem tenta descrever uma economia

como um sistema fechado e interrelacionado, onde variáveis endógenas (por exemplo, quanti-

dades e preços) são determinadas através da resolução simultânea de um conjunto de equações.

Mais especificamente, o modelo de insumo-produto é um modelo de Equilíbrio Geral Com-

putável (CGE - Computable General Equilibrium) por fazer uso de dados econômicos.

1


Historicamente, a idéia inicial de representar a economia de uma forma sistêmica é atribuida

a François Quesnay, quando da publicação de seu livro Tableau Économique [2] em 1758. Mas

a formulação esquemática dos fluxos financeiros e físicos de uma economia contida no trabalho

de Quesnay só veio receber uma roupagem matemática a partir do artigo original de Leontief

[3] em 1936. A partir daí, uma série de desenvolvimentos tanto no âmbito da formulação

matemática quanto na organização e produção de dados que alimentassem o modelo foram

realizados ao longo de todo o século XX.

Divide-se a economia em n setores (ou atividades) econômicos dependentes uns dos outros

e considera-se a demanda final (em valores monetários) por produtos como sendo um elemento

exógeno ao sistema. Sendo assim, é possível encontrar o ponto de equilíbrio, determinando

quanto cada setor deve produzir para satisfazer todas as demandas setorizadas:

x = (I−A)−1f

onde I é a matriz identidade de dimensão n, A a matriz dos coeficientes técnicos, f o vetor

(n× 1) composto pela demanda final agregada para cada setor e x o vetor (n× 1) de produção

total. A análise dos multiplicadores permite determinar, por exemplo, a quantidade de emprego,

renda, valor adicionado e produção (output) quando ocorrem pertubações nos componentes da

demanda final. Um resumo dos multiplicadores é dado na tabela 1.1 , onde i′, hR′, w′ e va′ são

vetores linha apropriados.

Tabela 1.1: Multiplicadores de produção, renda, valor adicionado e emprego.

Multiplicador ExpressãoProdução i′(I−A)−1

Renda hR′(I−A)−1

Emprego w′(I−A)−1

Valor Adicionado va′(I−A)−1

1.1.1.1 Aplicações

A aplicação do modelo de insumo-produto mostrou-se bem sucedida e difundiu-se entre o

meio acadêmico, orgãos governamentais de planejamento e desenvolvimento econômico, e até

mesmo entre analistas da iniciativa privada. Em 1988 foi fundada a Associação Internacional

de Insumo-Produto [4] (International Input-Output Association-IIOA), uma entidade sem fins

2


lucrativos, cujo objetivo é a expansão do conhecimento da análise de insumo-produto. Novas

técnicas sempre surgem e são incorporadas ao modelo base. Dentre as inúmeras aplicações

estão, por exemplo: (i ) avaliação dos efeitos multiplicativos na economia quando ocorrem mu-

danças na demanda de certo setor, (ii ) previsão de resposta produtiva das atividades econômicas

no curto prazo, (iii ) instrumento de apoio a decisão para políticas públicas de desenvolvimento,

(iv) análises de exeqüibilidade, ou seja, a questão da possibilidade de alcançar metas agregadas

de produção, emprego e renda estudando-se os gargalos do sistema econômico quando se de-

seja alcançar certos níveis de desenvolvimento em dado intervalo de tempo, (v) estudo do papel

da energia como insumo para os setores econômicos, (vi ) definição de políticas de combate e

controle da poluição, etc.

A análise de insumo-produto é comumente aplicada na sua forma estática e ausente de qual-

quer tipo de incerteza. Embora as versões que incluam os componentes de tempo ou incerteza

tenham sido formuladas e estudadas, são muito pouco frequentes na literatura especializada

quando comparadas com a grande quantidade de trabalhos produzidos. O modelo dinâmico não

será tratado neste trabalho, pois o que se propõe é explorar a inserção da incerteza no modelo.

1.2 Justificativa

Os coeficientes técnicos são geralmente tratados como tendo uma precisão infinita, muito em-

bora a obtenção da base de dados e a construção destes coeficientes seja uma tarefa complexa,

onde a aleatoriedade na forma de erros está presente. Disto resulta que os multiplicadores, cal-

culados a partir de operações não-lineares dos coeficientes, deveriam ser também apresentados

com uma medida de incerteza associada a dado valor numérico.

O caráter estático e determinístico do modelo inicial básico tem sido bastante utilizado em

detrimento de trabalhos que façam uso da incorporação da dinâmica e da incerteza. Para se ter

um ideia, dos 261 trabalhos publicados na XVII International Input-Output Conference real-

izada no ano de 2009 pela IIOA, apenas 3 trabalhos estavam relacionados a questão dinâmica

e 1 ao aspecto estocástico. Disto conclui-se que, mesmo mundialmente, os erros presentes nos

multiplicadores não são levados em conta quando decisões em planejamento econômico são

tomadas com o suporte do modelo de insumo-produto. O presente trabalho é, pois, pertinente.

3


1.3 Objetivos

1.3.1 Objetivo Geral

Investigar e explorar a inserção da incerteza no modelo de insumo-produto, bem como, através

da utilização de dados para a economia brasileira nos anos de 2000 e 2005, apresentar os mul-

tiplicadores com seus respectivos intervalos de confiança.

1.3.2 Objetivos Específicos

Com o intuito de alcançar o objetivo geral, os objetivos específicos seguintes se fazem necessários:

• Estudar a formulação básica do modelo;

• Revisar a literatura sobre o modelo de insumo-produto com caráter estocástico;

• Utilizar o modelo de insumo-produto para calcular os multiplicadores para a economia

brasileira em 2000 e 2005.

• Visualizar e descrever as matrizes brasileiras de coeficientes técnicos em 2000 e 2005;

• Calcular os multiplicadores para a economia brasileira em 2000 e 2005 considerando a

incerteza como um aspecto presente no modelo.

1.4 Organização da dissertação

Afora este primeiro capítulo introdutório, esta dissertação está organizada da seguinte maneira:

Capítulo 2: A formulação básica do modelo de insumo-produto é apresentada;

Capítulo 3: Faz-se uma revisão da literatura quando o componente de incerteza está presente

no modelo;

Capítulo 4: Neste capítulo é realizada uma análise da economia brasileira através do cômputo

dos multiplicadores de produção, renda, valor adicionado e emprego, a partir dos dados

disponibilizados pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). Os principais

resultados deste trabalho são apresentados. Os multiplicadores calculados para o Brasil

são recalculados de forma a incorporar intervalos de confiança para cada um deles;

4


Capítulo 5: Neste último capítulo, faz-se um sumário das principais contribuições desta dis-

sertação, assim como comentários sobre as principais limitações e a necessidade de con-

tinuação de pesquisas nesta área.

1.5 Ferramentas de suporte

Nesta dissertação, duas ferramentas de suporte foram utilizadas: os cálculos, bem como gráficos

e figuras foram feitos em MATLAB e a edição de textos em LATEX.

5

Capítulo 2 Análise de Insumo-Produto

2 ANÁLISE DE INSUMO-PRODUTO

O modelo de insumo-produto é um modelo de equilíbrio geral aplicado baseado na idéia de

interdependência econômica. A partir de uma tabela de transações e de um ferramental analítico

matemático, procura-se caracterizar o comportamento do sistema econômico através da análise

das interrelações entre os diversos setores e indústrias de uma economia. Dessa forma, pode-

se avaliar como o sistema reage a mudanças causadas por fatores externos, capturar os efeitos

advindos de mudanças de produção e consumo em determinado setor ou indústria, determinar

níveis de produção, etc.

2.1 Interdependência Econômica

No mundo contemporâneo, a produção e consumo de bens e serviços apresenta uma intrincada

rede de relações entre diversos agentes econômicos. Uma evidência disso é, por exemplo, a

crescente importância dada pelas empresas à Gestão da Cadeia de Suprimentos como uma

forma de melhorar a integração e sincronização de suas atividades produtivas para com seus

fornecedores e clientes. A figura 2.1 mostra de forma simplificada as relações numa cadeia de

suprimentos do ponto de vista de uma empresa base. Esta possui fornecedores de insumos Fk

em três níveis (k = 1,2,3), fonecedores de serviços FS e clientes Ck em dois níveis. Torna-se

muito difícil, até mesmo para uma única empresa, representar todos os agentes em todos os

níveis da sua cadeia de suprimentos. Por essa razão, faz-se o uso da agregação como forma de

viabilizar o estudo de sistemas de maior complexidade. Poderia-se, por exemplo, representar as

relações na cadeia de suprimentos da figura 2.1 de uma forma mais agregada, considerando-se

apenas o primeiro nível de clientes e fornecedores. Assim também acontece com frequência

na Economia, quando do estudo de sistemas econômicos. O nível de agregação a ser usado

depende tão somente dos recursos (dados, pessoal, etc) disponíveis, do tempo concedido à

análise e dos seus objetivos. Em tese, quanto maior for a desagregação, mais rica é a análise do

sistema. Entretanto, os custos associados aumentam consideravelmente. Constitui-se assim um

trade-off importante, que deve ser ponderado pelo analista.

Caminhando-se no sentido de aumento da agregação, pode-se considerar como sistema toda

a economia nacional, regional ou estadual. Segundo Rossetti [6], quando se lida com o sistema

ecônomico de todo um país, a Macroeconomia classifica quatro principais grupos de agentes

6


Companhia Base

C1 C1C1

C2 C2 C2C2

FS

FS

FS FS

FS

FS

F1 F1F1F1F1F1

F2 F2 F2

F3

F3

Fonte: Moreira [5, p. 428]

Figura 2.1: Visão simplificada das Relações na Cadeia de Suprimentos.

econômicos:

• Unidades Familiares: representa todos os indivíduos que participam dos resultados da

produção processada na forma de aquisição de bens e serviços;

• Empresas: engloba todas a unidades produtivas que atendem às necessidades de consumo

e acumulação da sociedade;

• Governo: entidade de coordenação central e prestação de bens e serviços, cuja receita

é adquirida a partir do sistema de tributação nacional, que arrecada compulsoriamente

impostos das empresas e famílias;

• Resto do mundo: conjunto de empresas, governos e famílias que não se situam em ter-

ritório nacional e que mantem com os agentes nacionais fluxos de trocas de bens, serviços

e pagamentos monetários.

A partir desse nível de agregação, pode-se representar toda a economia nacional de uma

forma esquemática onde os fluxos de pagamentos, bens e serviços sejam mostrados. A figura

2.2 mostra um modelo completo de economia aberta.

7


Empresas UnidadesFamiliares

Governo

Fluxo deexportações

Transfe-rênciasenviadas

tes no país

Pagamentospor serviçosprestados

Recebimentospor serviçosprestados

Transfe-rências re-cebidas porresidentesno país

Fluxo deimportações

Resto do Mundo(Unidades familiares, empresas e

governos de outros países)

por residen-

Fonte: Rossetti [6, p. 57]

Figura 2.2: Modelo completo de economia aberta.

2.2 Tabela de Transações

É possível obter um nível de agregação intermediário entre os esquemas das figuras 2.1 e 2.2 de

maneira que se possa estudar as relações intersetoriais. A formulação básica do modelo [7–11]

parte da elaboração de uma tabela de transações intersetoriais, interindustriais ou entre ativi-

dades econômicas, a depender do grau de agregação desejado (o sentido de maior agregação

é o seguinte: empresa → indústria → atividade econômica → setor econômico). No âmbito

nacional, a tabela de transações é uma ferramenta contábel do Sistema de Contas Nacionais

(SCN). No Brasil, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) [12] é o orgão fed-

eral responsável pelo SCN e tem a atribuição de coordenar a coleta, organização e publicação

dos dados referentes à economia, provendo assim estatísticas ecônomicas fundamentais para a

análise e entendimento do sistema econômico nacional.

A tabela 2.1 é um exemplo genérico de uma tabela de transações. As entradas da tabela

representam a quantia monetária (em bilhões de Reais, por exemplo) realizada nas transações

entre dois componentes da tabela. Do lado esquerdo estão localizados dois setores (a palavra

8


Tabela 2.1: Modelo de uma Tabela de Transações (aberto).

Insumo/produto Ativ

idad

e1

Ativ

idad

e2

Ativ

idad

e3

Ativ

idad

en

Exp

orta

ções

Con

sum

o

Inve

stim

ento

Gov

erno

PBT

Atividade 1 z11 z12 z13 z1n e1 c1 i1 g1 x1Atividade 2 z21 z22 z23 z2n e2 c2 i2 g2 x2Atividade 3 z31 z32 z33 z3n e3 c3 i3 g3 x3Atividade n zn1 zn2 zn3 znn en cn in gn xnImportações m1 m2 m3 mn

Valor adicionado v1 v2 v3 vnDBT y1 y2 y3 yn

setor aqui é usada sem conexão alguma com o conceito de setor econômico):

• Setor de Processamento: composto pelas atividades econômicas Ai (i = 1, ...,n), contém

as atividades produtoras de bens e serviços. Este é o setor de processamentos visto do

ponto de vista da produção;

• Setor de Pagamentos: composto pela linhas de importações de países estrangeiros e valor

adicionado (salários, juros, aluguéis, lucros, contribuições sociais, impostos, subsídios).

Da mesma forma, na parte superior, dois setores estão representados:

• Setor de Processamento: composto pelas atividades A j ( j = 1, ...,n), contém as atividades

consumidoras de bens e serviços. Este é o setor de processamentos visto do ponto de vista

do consumo;

• Setor Demanda Final: composto pela colunas de exportações, consumo das famílias,

investimentos e compras governamentais.

A tabela é construida de maneira que zi j (i = 1, ...,n; j = 1, ...,n) representa a quantidade

monetária de insumos consumida pela atividade j adivinda da atividade i ou, fazendo-se uma

leitura inversa: a quantidade monetária de produtos da atividade i destinada a atividade j.

Define-se fi como a demanda final agregada, ou seja:

fi = ei + ci + ii +gi (2.1)

9


Dessa forma o Produto Bruto Total (PBT) xi, da atividade i, pode ser escrito como:

xi =n

∑j=1

zi j + fi (2.2)

De forma análoga, define-se o pagamento final agregado como sendo:

d j = m j + v j (2.3)

e dessa forma o Desembolso Bruto Total (DBT) y j, da atividade j, pode ser escrito como:

y j =n

∑i=1

zi j +d j (2.4)

Uma identidade fundamental no sistema de entradas e saídas de Leontief é aquela que diz que

os Desembolsos Brutos Totais são iguais aos Produtos Brutos Totais para cada atividade, isto é,

xi = y j para i = j.

2.3 Formulação matemática do modelo de insumo-produto

2.3.1 O modelo puro

Considere uma economia simples composta de três setores i, i = 1,2,3 (para mais detalhes, ver

Dorfman et al. [13, cap. 9 e 10] e Hansen [14, cap. 14]). Cada setor produz apenas um único

produto nas quantidades Qi (medidas em alguma unidade física), tem como fornecedores de

insumos os outros setores e faz proveito também do trabalho de seus empregados, represen-

tados por q0 j (número de empregados) ( j = 1,2,3). O consumo de cada produto feito pelas

famílias dos empregados é dado por Fi. Poderia-se então construir a tabela 2.2 de transações em

quantidades físicas.

Tabela 2.2: Tabela de Transações de uma economia simples.

Insumos/Produtos Setor 1 Setor 2 Setor 3 Consumo final Saída TotalSetor 1 q11 q12 q13 F1 Q1Setor 2 q21 q22 q23 F2 Q2Setor 3 q31 q32 q33 F3 Q3

Empregados q01 q02 q03

10


Suponha que cada setor utilize proporções fixas de insumos e mão-de-obra para produzir

uma certa quantidade de output Qi. Então pode-se escrever:

ti j =qi j

Q j= constante (2.5)

As seguintes identidades são válidas:

Qi =3

∑j=1

qi j +Fi i = 1,2,3 (2.6)

Substituindo-se (2.5) em (2.6), reorganizando os termos e escrevendo o sistema de equações

lineares por extenso, obtem-se:

(1− t11)Q1− t12Q2− t13Q3 = F1

−t21Q1 +(1− t22)Q2− t23Q3 = F2

−t31Q1− t32Q2 +(1− t33)Q3 = F3

(2.7)

Escrevendo-se o sistema (2.7) na forma matricial:(1− t11) −t12 −t13

−t21 (1− t22) −t23

−t31 −t32 (1− t33)

︸︷︷︸

(I−T)

Q1

Q2

Q3

︸︷︷︸

Q

=

F1

F2

F3

︸︷︷︸

F

(2.8)

Dado o vetor F de consumo final é possível obter-se o vetor Q de quantidades produzidas por

cada setor, satisfazendo assim o consumo final bem como o consumo intermediário entre os

setores. Para isto, multiplica-se ambos os lados da equação (2.8) por (I−T)−1, onde I é a

matriz identidade de ordem 3. Tem-se então a solução:

Q = (I−T)−1F (2.9)

Uma particularidade do sistema apresentado nesta sub-seção é que 0≤ ti j < 1 (por definição),

assim uma condição necessária e suficiente para que uma cesta de consumo final F≥ 0 possa ser

produzida (Q ≥ 0) é que todos os menores principais de (I−T) sejam estritamente positivos.

Estas condições são chamadas de condições de Hawkins e Simon. Para o caso 3×3 apresentado

11


as condições de Hawkins e Simon seriam:

(menores principais de 1a ordem)

|1− t11|> 0 |1− t22|> 0 |1− t33|> 0 (2.10)

(menores principais de 2a ordem)∣∣∣∣∣∣1− t22 −t23

−t32 1− t33

∣∣∣∣∣∣> 0

∣∣∣∣∣∣1− t11 −t13

−t31 1− t33

∣∣∣∣∣∣> 0

∣∣∣∣∣∣1− t11 −t12

−t21 1− t22

∣∣∣∣∣∣> 0 (2.11)

(menor principal de 3a ordem)∣∣∣∣∣∣∣∣∣(1− t11) −t12 −t13

−t21 (1− t22) −t23

−t31 −t32 (1− t33)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣> 0 (2.12)

Existe uma outra forma de se conseguir chegar à solução descrita em (2.9). O sistema (2.7)

é equivalente (possui a mesma solução) ao seguinte problema de programação linear [13, p.

228]:

minQ1,Q2,Q3

Rt01Q1 +Rt02Q2 +Rt03Q3

s.a : (1− t11)Q1− t12Q2− t13Q3 ≥ F1

−t21Q1 +(1− t22)Q2− t23Q3 ≥ F2

−t31Q1− t32)Q2 +(1− t33)Q3 ≥ F3

(2.13)

onde R é o salário pago ao empregado. Ou seja, para se produzir a cesta Q, a sociedade resolve

o problema de minimizar o custo total (somatório dos salários pagos) sujeito às restrições que a

tecnologia impõe.

2.3.1.1 Tecnologia

Poderia-se definir tecnologia, no contexto da produção de bens e serviços, simplesmente como

uma combinação ou conjunto de máquinas, equipamentos, técnicas e conhecimento capaz de

produzir a partir de uma certa quantidade de insumos determinada quantidade de output em um

intervalo específico de tempo.

Na Microeconomia, especificamente na Teoria da Produção, a tecnologia usada por uma

12


firma pode ser representada através da sua função de produção, esta relaciona o nível máximo

de produção possível de ser atingido dado as quantidades dos insumos (inputs) disponíveis. No

caso dos setores descritos no exemplo acima pode-se escrever que:

Q j = f (q1 j,q2 j,q3 j,q0 j) (2.14)

onde f (·) define a forma da função. A hipótese de proporções fixas feita em (2.5) é representada

quando se escolhe f (·) como sendo uma função que escolhe o valor mínimo entre os valores

qi j/ti j para i = 1,2,3 (não considerando a contribuição de q0 j). Ou seja,

Q j = min(

q1 j

t1 j,q2 j

t2 j,q3 j

t3 j

)(2.15)

Esta forma da função de produção é conhecida como função de produção de Leontief e possui

as seguintes propriedades [15, cap. 1]:

1. A tecnologia representada é monotônica, convexa e regular;

2. Admite a não substituição entre quaisquer pares de insumos;

3. Apresenta retornos constantes de escala. Ou seja, ganhos de escala não são considerados.

A figura 2.3 exibe uma representação gráfica da função de produção de Leontief através das

isoquantas em duas dimensões.

q1 j

inclinação =t2 jt1 j

q2 j

Q j = 1

Q j = 2

Figura 2.3: Isoquantas da função de produção do tipo Leontief.

Na teoria de insumo-produto, a tecnologia do sistema é totalmente definida pela matriz

13


tecnológica

T =

t11 t12 t13

t21 t22 t23

t31 t32 t33

(2.16)

onde os ti j são nomeados de coeficientes técnicos diretos, construídos neste caso a partir de

relações entre quantidades físicas. No entanto, a construção de matrizes de insumo-produto é

realizada com base numa tabela de transações, onde cada entrada é medida em valores mon-

etários, como na seção seguinte.

2.3.2 O modelo em valor monetário

Dada a evidente impossibilidade de tratar um sistema econômico complexo com o modelo

insumo-produto em quantidades físicas, as tabelas de transações intersetoriais são computadas

em valores monetários. Mas, assim como no modelo puro, as seguintes hipóteses são consider-

adas [7, p. 277 (adaptado)]:

• Homogeneidade: parte-se do princípio de que cada produto, ou grupo de produtos, é

fornecido por uma única atividade i (i = 1,2, ...,n). Ou seja, faz-se uma partição do

conjunto de atividades segundo seus produtos.

• Proporcionalidade: os valores monetários dos insumos consumidos por cada atividade

são função linear do nível (também em valor monetário) de produção dessa atividade.

Reescrevendo a definição (2.5) em termos dos valores monetários, tem-se que o coeficiente

técnico direto é

ai j =zi j

x j(2.17)

A Função de Produção de Leontief em (2.15) é também reescrita como:

x j = min(

z1 j

a1 j,

z2 j

a2 j, ...,

zn j

an j

)(2.18)

14


Combinando (2.2) e (2.17) e expandindo o sistema, chega-se ao sistema de Leontief :

(1−a11) −a12 · · · −a1i · · · −a1n

−a21 +(1−a22) · · · −a2i · · · −a2n...

... . . . ... . . . ...

−ai1 −ai2 · · · +(1−aii) · · · −ain...

... . . . ... . . . ...

−an1 −an2 · · · −ani · · · +(1−ann)

︸︷︷︸

(I−A)

x1

x2...

xi...

xn

︸︷︷︸

x

=

f1

f2...

fi...

fn

︸︷︷︸

f

(2.19)

A interdependência econômica entre as atividades faz com que existam efeitos diretos e indire-

tos causados pela variação de uma variável exógena ao sistema, como, por exemplo, a demanda

final f. A solução do sistema de Leontief (2.19) é dada por:

x = (I−A)−1︸︷︷︸L

f (2.20)

onde I é a matriz identidade de dimensões (n×n), A (n×n) é a matriz dos coeficientes técnicos,

L = (I−A)−1 (n×n) é a matriz inversa de Leontief, f o vetor (n×1) composto pela demanda

final agregada para cada atividade e x é o vetor (n×1) de produção total.

O resultado final é que o nível de produção de cada indústria pode ser determinado a partir

de mudanças na demanda final. Este nível de produção contabiliza os efeitos diretos e indiretos

causados pelas relações de interdependência entre as atividades. Isto fica bastante evidente

quando se observa a solução (2.20) explicitamente como segue:

xi = li1 f1 + li2 f2 + · · ·+ li j f j + · · ·+ lin fn i = 1,2, ...,n (2.21)

onde li j são os elementos da matriz de Leontief L. O nível de produção na atividade i depende

linearmente daquilo que é requerido não só em i ( fi) como também em todas outras atividades,

indicadas por −i ( f−i). Note-se que li j = ∂xi/∂ f j, isto é, li j é a taxa de variação em xi quando

ocorre uma mudança em f j.

15


2.3.2.1 Modelo Fechado

Na análise de insumo-produto apresentada até aqui, foi considerada a forma do modelo aberto,

isto é, o setor famílias faz parte da demanda final bem como do setor de pagamentos, tratando-

se assim de um elemento exógeno ao setor de processamento. Uma outra forma de conceber o

sistema é aquela que insere a linha e a coluna referente a famílias para dentro do setor de pro-

cessamento, tornando famílias um elemento endógeno ao sistema. Sendo assim, o modelo será

capaz de considerar não apenas os efeitos diretos e indiretos, mas também os efeitos induzidos

pelo consumo das famílias. A tabela 2.3 mostra a forma esquemática da tabela de transações

para o caso do modelo fechado.

Tabela 2.3: Modelo de uma Tabela de Transações (fechado).

Insumo/produto Ativ

idad

e1

Ativ

idad

e2

Ativ

idad

e3

Ativ

idad

en

Fam

ílias

Exp

orta

ções

Inve

stim

ento

Gov

erno

PBT

Atividade 1 z11 z12 z13 z1n z1,n+1 e1 i1 g1 x1Atividade 2 z21 z22 z23 z2n z2,n+1 e2 i2 g1 x2Atividade 3 z31 z32 z33 z3n z3,n+1 e3 i3 g1 x3Atividade n zn1 zn2 zn3 znn zn,n+1 en in g1 xn

Famílias zn+1,1 zn+1,2 zn+1,3 zn+1,n zn+1,n+1 en+1 in+1 gn+1 xn+1Importações m1 m2 m3 mn mn+1

Valor adicionado v∗1 v∗2 v∗3 v∗n v∗n+1DBT x1 x2 x3 xn xn+1

A nova matriz de coeficientes técnicos de dimensões (n+1×n+1) é denotada por:

A =

A hC

hR′ h

(2.22)

onde hC é o vetor (n× 1) dos coeficientes zi,n+1/xn+1 representando a parcela da demanda

final que é devida as famílias; hR′ o vetor linha (1× n) dos coeficientes an+1, j = zn+1, j/x j

representando a parcela do setor de pagamentos que cabe aos salários pagos às famílias; h o

escalar zn+1,n+1/xn+1 como sendo o coeficiente que define a transferência entre as famílias.

Identifica-se por x o vetor de produção total para as n+ 1 atividades e por f o vetor demanda

16


final, retirada a parcela de consumo das famílias ci:

x =

x1...

xn

xn+1

=

x

xn+1

f =

f ∗1...

f ∗n

f ∗n+1

=

f∗

f ∗n+1

(2.23)

De maneira semelhante, a solução do sistema de Leontief, considerando o modelo fechado com

respeito as famílias é dada por:

x = (I− A)−1f = Lf (2.24)

Ou a solução (2.24) pode ser reescrita como:

xi = li1 f ∗1 + li2 f ∗2 + · · ·+ li j f ∗j + · · ·+ li,n+1 f ∗n+1 i = 1,2, ...,n+1 (2.25)

sendo válidas as mesmas interpretações anteriores da solução (2.21).

2.3.2.2 Multiplicadores

O conceito multiplicador é uma das principais ferramentas de análise oferecidas pelo modelo

insumo-produto. Seu objetivo é quantificar o impacto causado em certas variáveis (produção

total, renda, valor adicionado, empregos, etc) pelo aumento de uma unidade no consumo fi-

nal de determinada atividade. Este impacto advém da combinação de três efeitos, a saber: (i)

efeitos diretos pelo próprio aumento da demanda naquela atividade, (ii) efeitos indiretos oriun-

dos da interdependência entre as atividades econômicas e (iii) efeitos induzidos quando se trata

famílias como uma atividade. Existem basicamente dois tipos de multiplicadores, são eles:

- Multiplicadores Simples: consideram apenas os efeitos diretos e indiretos decorrentes de

uma variação unitária da demanda final da atividade j na variável investigada. O modelo

aberto é a base para o cálculo desse tipo de multiplicador;

- Multiplicadores Totais: leva em conta os efeitos diretos, indiretos e induzidos pelo con-

sumo das famílias que são decorrentes de uma variação unitária da demanda final da

atividade j. O modelo fechado é a base para o cálculo desse tipo de multiplicador.

17


A seguir, são descritas as formas de cálculo de quatro multiplicadores: multiplicadores de pro-

dução, renda, emprego e valor adicionado.

Multiplicadores de Produção (Output Multipliers): soma dos valores incrementais da produção

em cada atividade quando do aumento unitário da demanda final para a atividade j. Caso a

demanda final da atividade A1 aumente em uma unidade, teria-se:

∆x(1) = L∆f(1) = L

1

0...

0

=

l11

l21...

ln1

(2.26)

Isto para o caso j = 1. Então, por definição, o multiplicador de produção simples da atividade

j é dado por:

m(o) j = i′∆x( j) =n

∑i=1

li j (2.27)

onde i′ é o vetor linha com entradas unitárias de dimensão n. Por exemplo, se houver um

choque de demanda na economia de tal forma que apenas a demanda da atividade A3 aumente

em 1 milhão de Reais com as outras demandas permanecendo inalteradas, o multiplicador m(o)3

fornecerá a soma (em milhões de Reais) dos novos valores de produção total x j para que esta

nova demanda seja atendida. De forma semelhante, quando se deseja considerar o efeito-renda

induzido a partir do uso do modelo fechado, tem-se o multiplicador de produção total:

m(o) j =n+1

∑i=1

li j (2.28)

Caso se deseje comparar este com o multiplicador simples, deve-se usar a forma truncada do

multiplicador total m[o(t)] j = ∑ni=1 li j. Assim, apenas os efeitos nas n atividades originais do

modelo aberto são considerados.

Multiplicadores de Renda (Income Multipliers): soma em todas atividades da renda adicional

gerada pelo incremento unitário na demanda final da atividade j. O multiplicador de renda

18


simples, fazendo famílias como um elemento exógeno, é calculado como segue:

m(h) j =n

∑i=1

an+1,ili j (2.29)

O multiplicador total, fazendo famílias como um elemento endógeno, é:

m(h) j =n+1

∑i=1

an+1,ili j = ln+1, j (2.30)

Assim como no caso dos multiplicadores de produção, o multiplicador de renda truncado seria

calculado como m[h(t)] j = ∑ni=1 an+1,ili j.

Na literatura são considerados ainda dois tipos de multiplicadores de renda: Tipo I e Tipo II.

Os multiplicadores de renda tipo I e II surgem a partir da liberdade de escolha com relação ao

que se considera como o efeito inicial da nova demanda final. Nos cálculos dos multiplicadores

de renda descritos aqui o efeito inicial foi considerado como sendo a unidade $1. Ao se definir

agora o efeito inicial como sendo o elemento an+1, j, obtém-se os chamados multiplicadores de

renda tipo I e tipo II da seguinte forma:

m(h)Ij =

∑ni=1 an+1,ili j

an+1, j(2.31)

e

m(h)IIj =

∑n+1i=1 an+1,ili j

an+1, j=

ln+1, j

an+1, j(2.32)

Note-se que o termo tipo I está relacionado ao termo simples, enquanto que o termo tipo II ao

termo total. Entretanto, estes não serão utilizados neste trabalho.

Multiplicadores de Emprego (Employment Multipliers): medem o total de emprego adicional

gerado na economia quando do choque unitário na demanda final da atividade j. Para seu cál-

culo é necessário dispor do vetor linha w′ = (w1,w2, ...,wi, ...,wn) composto pelos coeficientes

que representam o número de trabalhadores por valor unitário da produção para cada atividade

econômica. O multiplicador de emprego simples é:

m(e) j =n

∑i=1

wili j (2.33)

19


E o multiplicador de emprego total é dado por:

m(e) j =n+1

∑i=1

wili j (2.34)

Para os multiplicadores de emprego valem, assim como nos multiplicadores anteriores, as for-

mas truncadas e dos tipos I e II analogamente.

Multiplicadores de Valor Adicionado (Value-Added Multipliers): medem o incremento total de

valor adicionado na economia que decorre do choque unitário na demanda final da atividade j.

Seu cálculo é conduzido com o auxílio do vetor linha va′ = v′x−1 composto pelos coeficientes

v j/x j do valor adicionado para cada atividade j. O multiplicador de Valor Adicionado Simples

é escrito de forma equivalente como:

m(va) j =n

∑i=1

vaili j (2.35)

Novamente, o multiplicador de Valor Adicionado Total é:

m(va) j =n+1

∑i=1

va∗i li j (2.36)

onde va∗i = v∗i /xi (coeficiente de valor adicionado descontando-se o coeficiente das famílias

an+1, j).

Os multiplicadores expostos acima podem ser resumidos e reescritos a partir de operações

matriciais simples como as listadas a seguir:

Tabela 2.4: Resumo das fórmulas de cálculo dos multiplicadores.

Multiplicador Simples TotalProdução i′L i′LRenda hR

′L hR′L

Emprego w′L w′LValor Adicionado va′L (va∗)′L

Note-se que a forma i′L representa como resultado um vetor linha com n entradas, cada uma

representando o multiplicador de produção simples para cada atividade. O mesmo vale para os

demais multiplicadores.

20

Capítulo 3 A incerteza no modelo insumo-produto

3 A INCERTEZA NO MODELO INSUMO-PRODUTO

Este capítulo faz uma revisão da literatura considerando os principais trabalhos como aque-

les que mais agregam para o desenvolvimento dos objetivos desta dissertação. Uma revisão

semelhante e mais abrangente, porém até 1989, pode ser encontrada em Miller et al [16, cap

15]. Todavia, são raros os livros de insumo-produto que possuem texto referente à abordagem

estocástica. Exceção feita, por exemplo, a ten Raa [17, cap 14].

3.1 Considerando a incerteza nos coeficientes

técnicos diretos

3.1.1 Razões

Os coeficientes técnicos diretos são função da tecnologia usada e do nível de preços relativos

na economia, ou seja:

ai j = f (tecnologia,nível de preços relativos) (3.1)

Portanto, existem basicamente dois motivos para se pensar em inserir a incerteza no modelo de

insumo-produto. São eles:

1. Erros nos coeficientes: as metodologias de construção de matrizes de insumo-produto

envolvem hipóteses simplificadoras e uma vasta base de dados originais [18]. No en-

tanto, usualmente as matrizes de insumo-produto são publicadas sem a definição de onde

os erros associados aos coeficientes técnicos diretos estão localizados. Os coeficientes

técnicos diretos são apresentados como tendo uma precisão infinita.

2. Variação dos coeficientes ao longo do tempo: variações nos preços relativos e mudanças

tecnológicas (quantidades transacionadas entre as atividades) fazem com que ocorram

variações nos valores dos coeficientes técnicos diretos.

Todos os artigos revistos nesta seção têm questões fundamentais relacionadas, direta ou indi-

retamente, a um ou ambos motivos descritos acima. Diferem no problema específico proposto

e na abordagem para resolvê-lo. Outra observação é que no capítulo anterior foi adotada a

21


notação utilizada em Miller & Blair [10] por ser um livro recente, completo e amplamente con-

sultado. Neste capítulo serão usadas as notações contidas em cada um dos trabalhos citados,

cabendo assim ao leitor fazer a correta associação com a notação precedente.

3.1.2 Revisão da literatura

O trabalho pioneiro é o de Evans [19] em 1954. A principal questão que Evans se propunha a

responder era a da propagação de erros através dos cálculos para o cômputo da matriz inversa de

Leontief. Para isso, ele primeiramente assume que os erros contidos na matriz de coeficientes

técnicos diretos são não aleatórios e aditivos, ou seja,

A∗ = A+D (3.2)

onde A representa a “verdadeira"matriz de coeficientes técnicos e D é a matriz de erros associ-

ada a A. Além disso, considera que D é nula, a exceção de uma linha genérica i, isto é,

D =

0 · · · · · · · · · 0...

...

di1 · · · di2 · · · din...

...

0 · · · · · · · · · 0

(3.3)

Assim, pode-se chegar a uma expressão explícita para o erro em cada entrada da matriz inversa

de Leontief, B = (I−A)−1:

b∗jk−b jk = b ji ∑r

dirbrk/(1−∑r

dirbri) (3.4)

A partir de mais algumas considerações, Evans conclui que os erros eventualmente presentes

são não apenas não cumulativos mas também apresentam um efeito compensatório. Dessa

forma, os erros de arredondamento presentes não precisariam mais serem tratados como um

problema na área de insumo-produto. Esta seria mais uma característica positiva do modelo: a

capacidade de minimizar efeitos indesejáveis provenientes de erros nos dados que o servem de

base.

Fazendo-se uso de uma série de aproximações, Babbar [20] deduz analiticamente a dis-

22


tribuição de probabilidade para a solução para um sistema do tipo:

(B+b)X = (Q+ ε) (3.5)

onde B é uma matriz não-singular m×m de constantes conhecidas, b é uma matriz m×m de

erros aleatórios, Q é um vetor coluna de constantes conhecidas de dimensão m e ε é um vetor

coluna de erros aleatórios de dimensão m. Note-se que o sistema (3.5) é semelhante ao sistema

de Leontief quando b→ 0 e ε → 0. A partir da distribuição encontrada,

f (xk)dxk =1√2π

[βσ2k −∂kσBk]+ xk[∂kσ2

B−βσBk]

[σ2k −2σBkxk +σ2

Bx2k ]

3/2 × e−1/2[(xkβ−∂k)2/σ2

k−2σBkxk+σ2Bx2

k ]×dxk

(3.6)

onde β , σ2k , ∂k, σBk e σB são parâmetros advindos da formulação do problema, Babbar constrói

intervalos de confiança para a solução, faz uma aplicação no contexto da análise de insumo-

produto e ressalta a importância que uma abordagem probabilística tem nos problemas de pro-

gramação linear e em particular na análise de relações inter-industriais. Para ele, existe uma

considerável vantagem em tratar os coeficientes de insumo-produto com uma certa flexibili-

dade, permitindo que pequenas variações aconteçam em torno dos valores médios.

Briggs [21] examina a questão da incerteza no modelo de insumo-produto de uma outra

perspectiva. Trata do problema de estimar de forma eficiente os coeficientes técnicos a partir

de uma série de observações. Y denota a matriz de transações de ordem n e l′ o vetor de inputs

primários não inclusos na matriz de transações (isto é, o modelo é aberto). Escreve-se:

y′ = i′

Y

· · ·

l′

(3.7)

e

B = Yy−1 (3.8)

onde i′ é o vetor de unidades de ordem n+1, y a matriz diagonal formada por y′ e B a matriz de

coeficientes técnicos diretos. Dois modelos são considerados. No primeiro, assume-se B fixa e

Y uma matriz aleatória:

Y = By+E (3.9)

23


onde E é uma matriz aleatória que assume valores segundo uma distribuição normal de média

zero. No segundo modelo, a aleatoriedade de Y é atribuida à aleatoriedade em B:

Y = B∗y = (B+E)y (3.10)

Dois métodos de estimação são utilizados por Briggs, a saber: (i) mínimos quadrados e (ii)

máxima verossimilhança. Sobre certas circunstâncias o método dos mínimos quadrados apre-

senta maior viés e subestimação. Além disso os resultados obtidos pelos dois métodos diferem

mais quanto maior for o grau de interdependência e maior for a importância relativa da variação

residual nos modelos.

Dois artigos escritos por Quandt e publicados em 1958 e 1959 vieram adicionar novas for-

mas de se tratar a incerteza nos coeficientes técnicos. No primeiro [22], com relação aos valores

esperados de matrizes aleatórias, os seguintes teoremas são enunciados:

Teorema 1 Dada uma matriz P com elementos independentemente distribuidos, o valor esper-

ado de P, E(P), é a matriz formada pelos valores esperados de cada um dos elementos.

Teorema 2 Sejam P e Q duas matrizes para as quais P+Q está definida. Então E(P+Q) =

E(P)+E(Q).

Teorema 3 Se C é uma matriz constante, E(C)=C.

Teorema 4 Se K é uma constante escalar e P uma matriz, E(KP) = KE(P).

Teorema 5 Sejam P e Q duas matrizes para as quais o produto PQ é definido. Se P e Q são

independentemente distribuidas, E(PQ) = E(P)E(Q).

Teorema 6 Seja T a matriz “verdadeira” e TX = Y. Seja o sistema observado dado por

PX = Y, tal que E(P) = T. Então a esperança da solução do sistema probabilístico PX = Y

não é geralmente igual a solução do sistema verdadeiro.

Este último, quando aplicado ao sistema de Leontief, estabelece que o valor esperado da solução

do sistema de Leontief com coeficientes aleatórios não é necessariamente igual a solução do

sistema “verdadeiro”. Além disso, Quandt explora os coeficientes ai j como variáveis aleatórias

e encontra analiticamente a esperança, variância e covariâncias dos elementos da matriz inversa

de Leontief para o sistema em duas dimensões. Considerando que (a) os erros nos coeficientes

24


são independentemente distribuidos, (b) os erros têm média zero e (c) as funções de densidade

dos erros são simétricas, obtêm-se:

E[(I−A−H)−1] =

b11

[1+K + R

D2 − b22b11DE(h2

22)]

b12

[1+K + R

D2 +b21

b12DE(h212)]

b21

[1+K + R

D2 +b12

b21DE(h221)]

b22

[1+K + R

D2 − b11b22DE(h2

11)]

(3.11)

onde H é a matriz de erros, bi j os elementos de (I−A)−1, D = |I−A|, K = b211E(h2

11) +

b222E(h2

22)+ b221E(h2

12)+ b212E(h2

21) e R = E(h211)E(h

222)+E(h2

12)E(h222). A variância do ele-

mento b11 da matriz (I−A−H)−1 e a covariância de b11 e b12, por exemplo, são dadas por:

var(b11) = b211

[K +

RD2 +

E(h222)

b211D2 −

2b22

b11DE(h2

22)

](3.12)

e

covar(b11,b12) = b11b12

[K +

RD2 −

b22

b11DE(h2

22)+b21

b12DE(h2

12)

](3.13)

Quandt termina este primeiro artigo fazendo um exemplo numérico no qual calcula a solução

do sistema de Leontief X′ = (x1,x2) através de quatro maneiras distintas, a saber:

1. Valores exatos obtidos calculando-se a solução exata;

2. Aproximação baseada na matriz da equação (3.11);

3. Solução a partir de uma matriz inversa média, calculada atráves do sorteio de 50 matrizes

A segundo a distribuição de erros associada;

4. Solução a partir do cálculo das médias e variâncias para as soluções dos 50 sistemas

(matrizes) sortiados seguindo a distribuição dos erros considerada;

Conclui que as aproximações analíticas são razoavelmente boas, que é plausível assumir a con-

sistência das soluções e que, de forma geral, a solução não possui um estimador sem viés.

O segundo artigo de Quandt [23] tem o objetivo de estudar experimentos computacionais

onde matrizes aleatórias com os coeficientes técnicos diretos (matrizes A) são geradas segundo

a distribuição de probabilidade dos erros. Neste ponto, é interessante notar que realizar experi-

mentos computacionais na década de 1950 exigia um grande esforço, dada a indisponibilidade

de softwares e máquinas como as dos dias de hoje. Assim como no artigo anterior, assume-se

que o vetor de demanda final é conhecido com certeza, ou seja, não está sujeito a erros. A

25


partir de cada matriz de ordem três gerada no processo, a inversa de Leontief é obtida, a solução

X = (I−A)−1Y é calculada e assim momentos das ditribuições dos elementos da inversa e da

solução podem ser analisados. Alguns detalhes dos experimentos são os seguintes: (i) foram

consideradas onze distribuições discretas para os erros; (ii) para cada distribuição 100 matrizes

aleatórias foram geradas; (iii) a matriz perturbada pelos erros foi a matriz (I−A); (iv) as dis-

tribuições dos erros foram especificadas de tal forma que ai j + ei j ≥ 0 e ∑i(ai j + ei j) < 1, isto

garante que o determinante |I−A−E| 6= 0, ou seja, nenhum sistema singular é gerado no pro-

cesso. As duas principais conclusões feitas por Quandt foram que a assimetria da distribuição

dos erros tende a ser transmitida para a solução do sistema e que esta solução pode ser ade-

quadamente descrita como uma distribuição do tipo lognormal.

Depois de uma década de relativa escassez de trabalhos que envolvessem a incerteza, em

1973, Park [24] investiga a propagação de erros dos coeficientes técnicos para os multipli-

cadores. O estudo é realizado de forma analítica, assumindo erros aditivos e não aleatórios nos

seguinte elementos: matriz de coeficientes técnicos diretos (A), vetor de coeficientes de em-

prego (h′), vetor de coeficientes de consumo das famílias (k) e o coeficiente escalar de consumo

entre as famílias (a). Segue-se então que:

A = A∗+E

h′ = h∗′+u′

k = k∗+ s

a = a∗+ t

(3.14)

onde os elementos com asterisco representam os valores “verdadeiros” e os termos adicionais

denotam os erros. Park mostra que o componente de erro na expressão final dos multiplicadores

pode ser separado do valor “verdadeiro” do multiplicador (o valor calculado quando os erros

não estão presentes). Este componente de erro total pode ser escrito pela adição de duas parce-

las. A primeira parcela é um vetor de erro obtido quando os erros estão presentes apenas nos

coeficientes técnicos e a segunda parcela é um vetor de erro associado à presença de erros tanto

na matriz A quanto nos vetores do setor famílias. Outro achado é que os multiplicadores tipo

II são múltiplos dos multiplicadores tipo I e seus erros também são relacionados pela mesma

constante multiplicadora.

Logo após o trabalho de Park, um resultado importante é encontrado por Simonovits [25] e

26


enunciado a seguir na forma de teorema.

Teorema (Simonovits) 7 Se os elementos da matriz A são aleatórios, independentes e simetri-

camente distribuidos, então o valor esperado da inversa de Leontief é subestimado pela inversa

de Leontief do valor esperado de A:

E[(I−A)−1]≥ (I−E[A])−1 (3.15)

A igualdade é válida se, e somente se, todos os elementos de A forem determinísticos. O

teorema naturalmente estimula a exploração do comportamento estocástico dos multiplicadores

e isto será mostrado mais adiante. Antes, porém, mais alguns estudos serão descritos.

Assim como fez Briggs [21], Gerking [26] ataca o problema de estimar os coeficientes

técnicos com a ajuda de quatro métodos de regressão, a saber: Mínimos quadrados ordinários

(OLS), método de Wald-Bartlett (WBM), método de Durbin (DM) e Mínimos quadrados em

dois estágios (TSLS). Com o uso de dados, cada destes métodos de regressão é aplicado à

equação:

Zi j(r) = αi jX j(r)+θi j(r) (3.16)

onde Zi j representa o valor de bens transferidos do setor i para o setor j, X j é o valor total

de produção do setor j, αi j é o coeficiente técnico e θi j o erro que é assumido ser idêntico e

igualmente distribuido com média zero para todo r (index referente a r-ésima firma do setor j).

As aplicações sugerem que existem diferenças consideráveis em relação à eficiência dos quatro

estimadores. Em termos gerais, os métodos OSL e TSLS têm erros padrões menores que os

métodos WBM e DM. O autor ainda sugere que o estimador em forma de razão (αi j = Zi j/X j)

seja substituído por uma técnica de regressão e que o grau de incerteza observado num dado

coeficiente técnico seja medido pelo erro padrão do estimador escolhido.

Hanseman & Gustafson [27] criticam e reformulam o trabalho de Gerking, argumentando

que o conjunto de equações simultâneas no modelo está mal especificada. Assim, o uso de

TSLS não seria mais necessário. Mais dois trabalhos merecem destaque na segunda metade dos

anos setenta.

Bullard & Sebald [28] investigam meios de avaliar e mitigar os efeitos da incerteza nos co-

eficientes técnicos. Os principais objetivos eram quantificar a incerteza na solução do modelo e

identificar os coeficientes que são a causa dessa incerteza. O primeiro resultado é uma desigual-

27


dade relacionada a questão de estabelecer um teto (bounds), em termos do determinante, para

os erros na matriz de Leontief associados aos erros na matriz de coeficientes técnicos diretos:

∣∣[I− (A+∆A)]−1− [I−A]−1∣∣

|[I−A]−1| ≤M |∆A||I−A|

1−M |∆A||I−A|

(3.17)

desde que∣∣[I−A]−1

∣∣ · |∆A| < 1 e onde M = |I−A| ·∣∣[I−A]−1

∣∣. Este tipo de resultado da

equação (3.17) era especialmente últil quando não se dispunha de recursos computacionais

como os dos dias de hoje. O segundo resultado trata de um método para identificação dos

coeficientes mais importantes, no sentido de alterar significativamente a saída de uma função

importância (importance function) g da forma:

J = g[(I−A)−1,Y] (3.18)

onde J pode ser um escalar, um vetor ou uma matriz de ordem menor ou igual a de (I−A)−1.

Dado uma pertubação de erro ∆A, pode-se avaliar a importância de ai j com respeito a J a partir

da seguinte expressão:

∑m

∑n

φmn (3.19)

onde:

φmn =

ν = ∆Jmnτ

se τ ≥ 1

0 caso contrário(3.20)

e τ é o limite de importância. Deste modo um ranking dos elementos mais importantes de A

pode ser obtido. Os autores fazem também aplicações destes resultados e terminam por concluir

que criar uma ordem por importância relativa dos coeficientes técnicos fornece informação

para (i) estabelecer prioridades na aquisição de dados usados na atualização dos coeficientes,

(ii) construir tabelas de insumo-produto mais acuradas e (iii) identificar tecnologias em que

pequenas mudanças têm grande impacto nos objetivos das políticas adotadas.

Goicoechea & Hansen [29] apresentam um modelo-insumo produto onde os coeficientes

técnicos e a demanda final são variáveis aleatórias que seguem uma distribuição exponencial

com função densidade de probabilidade do tipo:

f (ai j) = λi je−λi jai j (3.21)

28


onde λi j = 1/E(a˜i j). O caso em que existem apenas dois setores na economia é tratado no

trabalho. O sistema de Leontief é escrito como:

Prob[(a˜11−1)x1 +a˜12x2 +a˜13 ≤ 0] = 1−α1

Prob[a˜21x1 +(a˜22−1)x2 +a˜23 ≤ 0] = 1−α2

(3.22)

onde a˜11, a˜12, a˜21 e a˜22 são os coeficientes técnicos aleatórios segundo (3.21) e, da mesma

forma, a˜13 e a˜23 são os componentes da demanda final (apesar da notação, não são “coefi-

cientes”). Assim, αi define a probabilidade (1−αi) de que a demanda intersetorial (a˜i1x1 +

a˜i2x2) mais a demanda final (a˜i3) seja menor ou igual à quantidade produzida pelo setor i (xi).

Para encontrar a solução do sistema (3.22) os autores, a partir de desenvolvimentos analíticos,

encontram o sistema equivalente determinístico não linear e resolvem para x1 e x2 numeri-

camente com o método de Newton-Raphson. Os resultados mostram que, quanto maior αi

(α1 = α2), menor serão x1 e x2. Na aplicação numérica, tem-se que para α1 = α2 = 0.4 a

solução tem o mesmo valor que a solução encontrada no sistema de Leontief tradicional (de-

terminístico). O exemplo mostra que a incerteza de não satisfazer a demanda é reduzida ao se

exigir níveis maiores de produção para cada setor.

Em 1982, Wibe [30] ressalta que os coeficientes fornecidos por tabelas de insumo-produto

são “médias industriais” (industrial averages), no sentido de que dentro de um setor ou indústria

é considerada uma grande quantidade e diversidade de empresas. Isto implica que empresas de

um mesmo setor reagem de forma diferente a variações na demanda final. Dado este fato,

Wibe estuda a questão da distribuição dos coeficientes técnicos a partir de uma grande base de

dados elaborada pelo Escritório Central de Estatística da Suécia (Sweden´s Central Bureau of

Statistics) em 1979. Os resultados do estudo mostraram que existe uma grande dispersão entre

os coeficientes técnicos das empresas (ou fábricas) dentro de uma mesma indústria e empresas

com coeficientes de emprego pequenos possuem também pequenos coeficientes de insumos

intermediários.

Em um trabalho mais detalhado que o primeiro [27], novamente Hanseman [31] revisa e

critica o trabalho de Gerking [26] e procura avaliar o desempenho dos estimadores dos coe-

ficientes técnicos através dos métodos de estimador de razão (αi j = Ztoti j /X tot

j ), OLS, WBM,

DM e TSLS para o caso de pequenas amostras através do uso de simulações computacionais

(Monte Carlo study). As conclusões são: (i) geralmente o melhor estimador é o OLS, à exceção

29


do caso onde há grande heterocedasticidade, onde o estimador de razão é melhor, porém sua

distribuição amostral é desconhecida e, assim, intervalos de confiança não podem ser construí-

dos, (ii) TSLS é o único estimador consistente e (iii) OLS deve ser usado em amostras muito

pequenas, enquanto que TSLS deve ser o estimador usado quando o tamanho da amostra cresce.

Garhart [32] investiga, através de simulações, o papel da estrutura de erros adotada para

os coeficientes técnicos e para os coeficientes de compras regionais (Regional Purchase Co-

efficient-RPC). Um RPC é definido como a fração da demanda total por um produto em uma

determinada área que é atendida por produtores daquela área. Para tanto, considera dois tipos

de estruturas de erros:

Erro Multiplicativo: um número aleatório é sorteado segundo uma distribuição normal com

média igual a unidade e desvio padrão igual à metade da porcentagem de erro considerada

(10%, 20%, 30% ou 40%). Este número é então multiplicado pelo coeficiente técnico.

Erro aditivo: um número é sorteado segundo uma distribuição normal de média zero e adi-

cionado ao coeficiente técnico.

Os erros multiplicativos são maiores quanto maiores forem os coeficientes, enquanto os erros

de estrutura aditiva são independentes da magnitude dos coeficientes. Fazendo uso de uma

combinação das duas estruturas de erros, Garhart chega à conclusão de que simulações experi-

mentais em modelos de insumo-produto regionais são sensíveis a estrutura de erro utilizada, e

assim, desmente a proposição corrente na época de que os RPCs são mais importantes do que

os coeficientes técnicos em relação à contribuição à acurácia dos multiplicadores.

A estrutura de erros e seus impactos nas propriedades do valor esperado da inversa de Leon-

tief são estudados no trabalho de Lahiri & Satchell [33] em 1986. Os autores começam por

fazer uma breve discussão sobre como se define e são entedidos os conceitos de subestimação

(underestimation) e superestimação (overestimation). Para eles existe uma subestimação ou

superestimação no elemento (i, j) da inversa de Leontief se E(qi j)− qi j é menor ou maior

que zero, respectivamente (esta definição é o oposto da usada por Simonovits [25] e é igual

à definição usada por Evans [19] e Quandt [22, 23]). Tal discussão somente tem relevância

quando se considera o contexto teórico da interpretação estocástica dos coeficientes e do que se

considera os valores “verdadeiros” e “observados” (Lahiri & Satchell [33] consideram a esper-

ança dos coeficientes como o valor verdadeiro e os coeficientes mais a parcela de erro como os

valores observados).

30


A primeira tentativa de determinar explicitamente intervalos de confiança para os multipli-

cadores foi a de West [34]. Através de aproximações analíticas, os resultados abaixo foram

alcançados pelo autor. O primeiro deles é a função densidade de probabilidade do desvio (devi-

ation) y˜, (E[mi˜ ]−mi = E[y˜]), para o k-ésimo multiplicador:

f (y)k =A+By√

2π[A+2By+Cy2]1.5exp{−1

2y2

A+2By+Cy2} (3.23)

em que A=∑ni, j(b jkmiσi j)

2, B=∑ni, j b jkmib jiσ

2i j e C =∑

ni, j(b jiσi j)

2 e onde σi j é o desvio padrão

de a˜i j, bi j é o elemento da inversa de Leontief e mi é o multiplicador observado (tradicional).

Dessa forma, a média e a variância do desvio y˜ podem ser aproximadas por:

E(y˜)k∼=

n

∑i, j

b jkmib jiσ2i j

(1−7b2jiσ

2i j)

3/7 (3.24)

V (y˜)k∼=

n

∑i, j(b jkmiσi j)

2[1+5916

(b jiσi j)2]128/59 (3.25)

e o intervalo de confiança de (1−α)% para o “verdadeiro” multiplicador, E[mi˜ ], é dado por:

mi− zα/2A/(√

A+ zα/2B)≤ E[mi˜ ]≤ mi + zα/2A/(√

A− zα/2B) (3.26)

West faz aplicações com dados reais e conclui que os multiplicadores são viesados positiva-

mente (E(y˜)> 0) e consistentes.

Estes resultados (equações (3.24), (3.25) e (3.26)) foram criticados por ten Raa & Steel [35]

e Kop Jansen [36]. Segundo Kop Jansen [36], as críticas são baseadas no fato de que West

assume a hipótese de que os coeficientes técnicos são distribuidos segundo uma Normal, isto é,

a˜i j ∼N(ai j,σ2i j). Isso implicaria em coeficientes técnicos negativos com probabilidade não-nula

e também em matrizes A com raio espectral maior que a unidade, o que é equivalente a se ter a

matriz de Leontief com elementos negativos (as condições de Hawkins-Simon são equivalentes

a A ≥ 0 e λ (A) < 1, onde λ (A) é o raio espectral da matriz A; o raio espectral de uma matriz

é definido como o valor máximo do módulo dos auto-valores da matriz). O próprio Kop Jansen

deriva sua fórmula fechada para o desvio e apresenta-a como [36]:

E[mk˜]−mk =n

∑i, j

l jkmil jiσ2i j (3.27)

31


Além disso, conduz simulações de Monte Carlo (com distribições de a˜i j simétricas, mas não

gaussianas) e conclui que (i) os resultados obtididos para a esperança dos multiplicadores são

muito semelhantes, quer se use a fórmula de West, Kop Jansen ou simulação de Monte Carlo,

já que o raio espectral da matriz A utilizada é relativamente baixo e os desvios padrões são

pequenos quando comparados com os coeficientes técnicos; (ii) apesar da fórmula de West levar

a intervalos de confiança maiores que os do método de Monte Carlo, ainda assim parece ser uma

boa aproximação. Esta última suspeita é confirmada por ten Raa & Steel [35] que consideram a

hipótese de que os coeficientes técnicos são distribuidos segundo uma Beta no intervalo [0,1].

Mais uma vez, simulações são realizadas e comparadas com o intervalo de confiança de West

(3.26), os autores concluem a favor da boa aproximação conseguida quando pequenos desvios

padrões são utilizados (≈ 0,0050).

Trabalhos mais recentes buscam inserir a incerteza não mais nos coeficientes técnicos e sim

em um conjunto de informações contábeis que servem de base para a construção desses coefi-

cientes: as tabelas de transações intersetoriais ou tabelas de usos e recursos [37–39]. Roland-

Holst [37] parte do princípio que há incerteza nos elementos da matriz de transações, isto é,

trata-os como variáveis aleatórias gaussianas com médias e variâncias conhecidas. Aborda o

problema através de simulações de Monte Carlo, faz testes de hipóteses para concluir que os

estimadores dos multiplicadores não apresentam viés. Numa abordagem analítica, Dietzen-

bacher [38] também considera a tabela de transações como a fonte inicial de incerteza e tem o

resultado de que, sob certas condições, a média ponderada em qualquer linha da matriz de Leon-

tief possui viés nulo e, sob condições mais rigorosas, a média ponderada dos erros estocásticos é

zero, tanto para linhas quanto para colunas. E, por último, considerando a presença da incerteza

nas matrizes de absorção e produção (use and make matrices), ten Raa & Rueda-Cantuche [39]

propõem uma metodologia baseada em um modelo de regressão linear para encontrar multipli-

cadores de emprego e produção consistentes e não-viesados.

Apesar desses estudos mais recentes sugerirem a inserção da incerteza numa etapa de trata-

mentos de dados anterior ao cálculo dos coeficientes técnicos, pode-se encontrar trabalhos ainda

mais recentes (ver, por exemplo, Beynon e Munday [40]), onde a forma original de inserir a in-

certeza nos coeficientes técnicos é escolhida. Esta escolha é, também, fortemente condicionada

ao tipo de dados que se tem em mãos.

32


3.1.2.1 Quadro de resumo

O quadro 3.1 faz uma breve compilação da literatura revisada neste capítulo:

Quadro 3.1: Resumo dos trabalhos desenvolvidos sobre a incerteza no modelo insumo-produto.

Ano Autor Conteúdo1954 Evans [19] Propagação de erros nos cálculos da inversa. Erros aditivos e não aleatórios.

Conclui que os erros são não cumulativos e compensatórios.1955 Babbar [20] Encontra soluções analíticas aproximadas para um sistema linear

com componentes estocásticos.1957 Briggs [21] Problema de estimar eficientemente os coeficientes técnicos.

Compara métodos: mínimos quadrados e máxima verossimilhança.1958 Quandt [22] Encontra soluções analíticas aproximadas para n = 2, faz simulações numéricas

e computacionais. Soluções consistentes e com viés.1959 Quandt [23] Faz simulações computacionais. Conclui que a assimetria dos erros é transmitida

a solução. Solução tem distribuição lognormal.1973 Park [24] Investiga, analiticamente, a propagação dos erros nos coeficientes para

os multiplicadores. Considera erros aditivos e não aleatórios.1975 Simonovits [25] Coeficientes estocásticos, independentes e simétricos.

Teorema: E[(I−A)−1]≥ (I−E[A])−1

1976 Gerking [26] Problema de estimar eficientemente os coeficientes técnicos.Compara métodos: OLS, WBM, DM e TSLS.

1977 Bullard & Quantificar a incerteza na solução e identificar os coeficientes que são as causas.Sebald [28] Cria Ranking dos coeficientes.

1978 Goicoechea & Consideram distribuição exponencial para coeficientes e demanda final.Hansen [29] Resolvem o caso n = 2

1982 Wibe [30] Dado que os coeficientes de um dado setor são médias, estuda adistribuição dos coeficientes técnicos dentro de um mesmo setor.

1982 Hanseman [31] Revisa e critica o trabalho de Gerking [26]. Faz simulações para pequenasamostras e avalia o desempenho dos estimadores: razão, OLS, WBM, DM, TSLS.

1985 Garhart [32] Conduz experimentos usando erros aditivos e multiplicativos. Desmente que os RPCscontribuem mais para a acurácia dos multiplicadores que os coeficientes técnicos.

1986 Lahiri & Discutem o significado de subestimação e superestimação.Satchell [33] Generalizam vários resultados, dentre eles o teorema de Simonovits.

1986 West [34] Deriva analiticamente a função densidade de probabilidade do desvio dosmultiplicadores e seus intervalos de confiança (assimétricos e positivamente enviesados).

1989 Roland-Holst [37] Considera a incerteza na tabela de transações, faz simulações e testes dehipóteses para concluir que os estimadores dos multiplicadores não apresentam viés.

1994 Kop Jansen [36] Critica os resultados de West, deriva sua fórmula para os desvios nos multiplicadorese faz simulações de Monte Carlo comparando com seus resultados e de West.

1994 ten Raa Critica os resultados de West e considera os coeficientes distribuidos segundo uma Beta.& Steel [35] Faz simulações e conclui que os resultados de West são boas aproximações.

1995 Dietzenbacher [38] Considera a incerteza na tabela de transações e encontra tanto subestimaçãoquanto superestimação nos elementos da inversa de Leontief

2007 ten Raa & Considera a incerteza nas matrizes de absorção e produção. Através de regressãoRueda-Cantuche [39] linear encontra multiplicadores consistentes e não-viesados.

2008 Beynon Trata da identificação de setores-chave da economia& Munday [40] usando o modelo de insumo-produto estocástico.

33

Capítulo 4 Resultados

4 RESULTADOS

Este capítulo traz o cômputo dos multiplicadores para a economia brasileira em dois perío-

dos: para o ano de 2000 e 2005. Considera-se tanto o modelo insumo-produto tradicional,

quanto o estocástico.

4.1 Matrizes brasileiras de insumo-produto

A fonte de dados é o documento Contas Nacionais [41], produzido pelo IBGE [12]. Nele são

apresentadas matrizes de insumo-produto, ou seja, matrizes de coeficientes técnicos, agregadas

em 12 setores (ver tabela 4.1). Além das matrizes, são disponibilizadas as quantias monetárias,

por setor, de salários pagos às famílias, valor adicionado e produção total, bem como quatidades

de empregados. Encontram-se reproduzidas no Anexo A as duas matrizes e no Apêndice A os

coeficientes de renda, valor adicionado e emprego (calculados segundo o modelo).

Tabela 4.1: Numeração das 12 atividades/setores da economia brasileira.

Representação AtividadesA1 AgropecuáriaA2 Indústria extrativa mineralA3 Indústria de transformaçãoA4 Produção e distribuição de eletricidade, gás e águaA5 ConstruçãoA6 ComércioA7 Transporte, armazenagem e correioA8 Serviços de informaçãoA9 Intermediação financeira, seguros e previdência complementarA10 Atividades imobiliárias e aluguelA11 Outros serviçosA12 Administração, saúde e educação públicas

Para se ter uma rápida visualização da magnitude dos coeficientes técnicos, as figuras 4.1 e

4.2 foram construídas. O esquema de cores revela, por exemplo, que na matriz de 2000 tem-se

0 < ai j < 0,3, enquanto que, em 2005, 0 < ai j < 0,35. Em ambos os anos, o maior coeficiente

é o a33 e grande parte dos coeficientes estão abaixo do valor 0,05.

34


Atividades consumidoras

Ativ

idad

es p

rodu

tora

s

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

A11

A12

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Fonte: Elaboração própria.

Figura 4.1: Matriz dos coeficientes técnicos para o Brasil 2000.

Atividades consumidoras

Ativ

idad

es p

rodu

tora

s

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

A11

A12

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3


Figura 4.2: Matriz dos coeficientes técnicos para o Brasil 2005.

35


4.2 Multiplicadores: modelo tradicional

Os cálculos dos multiplicadores no modelo tradicional são bastante simples, já que não se con-

sidera incerteza alguma nos coeficientes técnicos, nem nos coeficientes de valor adicionado,

emprego e renda. Como foi visto no capítulo 2, os multiplicadores de produção são calculados

a partir da soma da coluna da matriz de Leontief referente àquele setor; quando se pondera

essa soma pelos coeficientes de valor adicionado, renda e emprego, obtêm-se os respectivos

multiplicadores.

A tabela 4.2 mostra os multiplicadores para a economia brasileira no ano de 2000. Para cada

multiplicador, tem-se uma ordenação do maior para o menor (coluna Rank). Assim, o modelo

de insumo-produto é, essencialmente, um modelo de decisão. Por exemplo, caso se desejasse

estimular a demanda, de determinado setor da economia brasileira no ano 2000, com o intuito

de gerar a maior quantidade de empregos, o setor escolhido deveria ser Agropecuária (A1), com

220.045 empregos totais gerados, a cada 1 bilhão de Reais de aumento na demanda final por

esta atividade econômica; caso o objetivo fosse gerar a maior quantidade de renda, por toda a

economia, o setor escolhido seria Administração, saúde e educação públicas (A12), com uma

renda total de R$ 540.000.000,00 a cada 1 bilhão de aumento na demanda final por este setor

(não é o objetivo principal deste trabalho realizar esse tipo de análise de forma mais detalhada).

Tabela 4.2: Multiplicadores simples de produção, valor adicionado, renda e emprego para oBrasil em 2000.

Atividade Produção Rank Valor adi. Rank Renda Rank Emprego RankA1 1,67 8 0,89 4 0,31 5 220.045 1A2 1,82 2 0,85 6 0,21 9 33.838 9A3 2,12 1 0,76 8 0,27 7 64.040 5A4 1,73 5 0,88 5 0,23 8 21.933 11A5 1,80 3 0,84 7 0,23 8 75.918 4A6 1,42 11 0,92 2 0,30 6 95.508 2A7 1,74 4 0,88 5 0,32 4 63.924 6A8 1,70 6 0,89 4 0,27 7 44.000 8A9 1,68 7 0,90 3 0,39 2 29.688 10A10 1,08 12 0,99 1 0,03 10 7.491 12A11 1,66 9 0,88 5 0,37 3 95.471 3A12 1,50 10 0,92 2 0,54 1 52.498 7


No caso do ano 2005, a tabela 4.3 exibe os multiplicadores. Os setores Agropecuária (A1) e

Administração, saúde e educação públicas (A12) são novamente líderes na geração de emprego

36


e renda, respectivamente. A atividade Indústria de transformação (A3) é aquela que gerou o

maior valor monetário de produção em 2005, com um total de R$ 2.220.000.000,00 para um

aumento de 1 bilhão de Reais nesta atividade. Em se tratando do Valor Adicionado (salários, ju-

ros, impostos, etc), os setores Administração, saúde e educação públicas (A12) e Intermediação

financeira, seguros e previdência complementar (A9) ficam empatados na terceira colocação,

com valor de multiplicador calculado em 0,91.

Tabela 4.3: Multiplicadores simples de produção, valor adicionado, renda e emprego para oBrasil em 2005.

Atividade Produção Rank Valor adi. Rank Renda Rank Emprego RankA1 1,82 4 0,87 6 0,30 4 121.092 1A2 1,92 2 0,84 7 0,20 9 20.659 9A3 2,22 1 0,76 9 0,26 6 38.831 6A4 1,74 5 0,89 4 0,18 10 13.532 11A5 1,74 5 0,83 8 0,24 8 50.840 4A6 1,44 10 0,92 2 0,31 3 60.355 3A7 1,86 3 0,87 6 0,30 4 39.632 5A8 1,70 6 0,88 5 0,25 7 25.941 8A9 1,49 9 0,91 3 0,29 5 14.638 10A10 1,09 11 0,99 1 0,04 11 5.603 12A11 1,67 7 0,87 6 0,38 2 65.884 2A12 1,52 8 0,91 3 0,52 1 32.861 7


É comum e interessante representar os multiplicadores de forma normalizada (para cada

tipo de multiplicador, divide-se todos pelo valor médio), num gráfico em coordenadas polares.

Esta representação permite comparar, rapidamente, as magnitudes dos multiplicadores de cada

setor em relação a todos os outros daquele mesmo tipo (produção, emprego, renda e valor

adicionado). As figuras 4.3 e 4.4 mostram esse tipo de representação.

Do que foi visto nesta seção, percebe-se, claramente, que cada tipo de multiplicador é um

critério de decisão. Cabe ao decisor estabeler qual (ou quais) critérios devem ter prioridade(s)

e assim a decisão de em que setor se deve estimular a demanda, pode ser tomada.

Na seção seguinte, os multiplicadores para o Brasil, nos anos de 2000 e 2005, são com-

putados, levando-se em conta agora a existência de erros (incerteza) na medida dos coeficientes

técnicos. Os intervalos de confiança para cada medida dos multiplicadores são mostrados e

discute-se, a partir de um exemplo, como levar em conta a variabilidade dos multiplicadores no

processo de tomada de decisão.

37


1

2

3

4

A1

A7

A2

A8

A3

A9

A4

A10

A5

A11

A6 A12

Emprego Renda Valor Adicionado Produção


Figura 4.3: Multiplicadores de impacto normalizados para o Brasil 2000.

1

2

3

A1

A7

A2

A8

A3

A9

A4

A10

A5

A11

A6 A12

Emprego Valor Adicionado Renda Produção


Figura 4.4: Multiplicadores de impacto normalizados para o Brasil 2005.

38


4.3 Multiplicadores: modelo estocástico

Para calcular os intervalos de confiança e valores esperados dos multiplicadores de produção,

valor adicionado, renda e emprego, usando as fórmulas de West (3.24) e (3.26), três condições

precisam ser respeitadas:

1. A primeira é que o nível de agregação econômica considerado seja elevado [35, 36].

As matrizes brasileiras estão agregadas em 12 atividades econômicas, sendo assim, esta

condição é respeitada;

2. A segunda condição diz respeito ao raio espectral da matriz de coeficientes técnicos.

Novamente, Kop Jansen [36] argumenta que os raios espectrais devam ser relativamente

baixos (0,695 foi o valor do raio espectral da matriz por ele utilizada). O raio espectral

de A2000 é 0,4553 e o de A2005 é 0,4793. Então, esta condição também é satisfeita;

3. A terceira e última condição é a de que os desvios padrões dos coeficientes técnicos

sejam pequenos, quando comparados com os próprios coeficientes [35, 36]. Como não

existem estimadores para estes desvios, opta-se aqui por considera-los como sendo 20%

dos coeficientes, isto é, σi j = 0,2×ai j, para qualquer i, j = 1..12.

Como foi dito anteriormente, estas condições garantem a boa aproximação das fórmulas

(3.24) e (3.26) em relação aos resultados alcançados via simulação computacional. Em resumo,

a interpretação do cálculo pode ser entendida de três maneiras:

• Os coeficientes seguem uma distribuição normal a˜i j ∼N(ai j,σ2i j). É a interpretação origi-

nal de West [34], de onde foram derivadas analiticamente as fórmulas de cálculo fechadas

(3.24) e (3.26) e, como foi visto no capítulo 3, esta interpretação é bastante criticada;

• Os coeficientes seguem a seguinte distribuição uniforme e simétrica:

p(a˜i j) =

1/2√

3σi j para ai j−√

3σi j ≤ a˜i j ≤ ai j +√

3σi j

0 caso contrário(4.1)

Segundo Kop Jansen [36], as fórmulas de West são boas aproximações de simulações

númericas que considerem esta distribuição dos coeficientes;

39


• Os coeficientes seguem uma distribuição Beta com parâmetros p e q [35] (ambos maiores

que a unidade para garantir que a distribuição seja unimodal):

pi j = ai j

(ai j−a2

i j

σi j−1

)e qi j = (1−ai j)

(ai j−a2

i j

σi j−1

)(4.2)

Como visto, nas simulações realizadas por ten Raa & Steel [35], as fórmulas de West também

são boas aproximações quando este tipo de distribuição é considerada.

As tabelas 4.4 e 4.5 mostram todos os multiplicadores com seus respectivos intervalos de

confiança. Já que se trata de um alto nível de agregação (12 setores), e para manter a simplici-

dade, todos os resultados, exceto os multiplicadores de emprego, foram arredondados para duas

casas decimais. Escolheu-se α de maneira a se obter intervalos de confiança (IC) de 95% de

confiança. Os valores “observados” (modelo insumo-produto tradicional), calculados na seção

anterior, são reproduzidos novamente para fins de comparação com os valores “esperados”.

Tabela 4.4: Intervalos de confiança dos multiplicadores para o Brasil em 2000.

Atividade Valor Obs. Valor Esp. IC 95% Valor Obs. Valor Esp. IC 95%(Produção) (Valor Adi.)

A1 1,67 1,68 [1,48 ; 1,90] 0,89 0,90 [0,82 ; 0,98]A2 1,82 1,83 [1,67 ; 2,01] 0,85 0,85 [0,78 ; 0,92]A3 2,12 2,13 [1,78 ; 2,60] 0,76 0,78 [0,63 ; 0,94]A4 1,73 1,73 [1,52 ; 2,00] 0,88 0,89 [0,78 ; 1,02]A5 1,80 1,80 [1,57 ; 2,06] 0,84 0,84 [0,76 ; 0,94]A6 1,42 1,42 [1,35 ; 1,50] 0,92 0,92 [0,89 ; 0,96]A7 1,74 1,74 [1,57 ; 1,94] 0,88 0,89 [0,81 ; 0,97]A8 1,70 1,70 [1,55 ; 1,87] 0,89 0,89 [0,81 ; 0,97]A9 1,68 1,68 [1,53 ; 1,86] 0,90 0,90 [0,82 ; 0,99]A10 1,08 1,08 [1,06 ; 1,09] 0,99 0,99 [0,98 ; 1,00]A11 1,66 1,66 [1,52 ; 1,83] 0,88 0,88 [0,82 ; 0,95]A12 1,50 1,50 [1,42 ; 1,60] 0,92 0,92 [0,88 ; 0,97]

(Renda) (Emprego)A1 0,31 0,31 [0,28 ; 0,34] 220.045 220.268 [210.396 ; 231.395]A2 0,21 0,21 [0,19 ; 0,24] 33.838 33.965 [28.434 ; 40.207]A3 0,27 0,28 [0,23 ; 0,34] 64.040 64.643 [50.008 ; 82.688]A4 0,23 0,23 [0,20 ; 0,26] 21.933 22.087 [18.048 ; 27.000]A5 0,23 0,23 [0,20 ; 0,27] 75.918 76.090 [68.349 ; 84.792]A6 0,30 0,30 [0,29 ; 0,32] 95.508 95.559 [92.561 ; 98.836]A7 0,32 0,32 [0,29 ; 0,35] 63.924 64.065 [57.523 ; 71.389]A8 0,27 0,27 [0,25 ; 0,30] 44.000 44.108 [37.572 ; 51.248]A9 0,39 0,39 [0,35 ; 0,42] 29.688 29.791 [24.472 ; 35.689]A10 0,03 0,03 [0,03 ; 0,03] 7.490 7.500 [6.781 ; 8.268]A11 0,37 0,37 [0,34 ; 0,39] 95.471 95.602 [90.250 ; 101.690]A12 0,54 0,54 [0,52 ; 0,56] 52.498 52.556 [49.374 ; 56.059]


40


Tabela 4.5: Intervalos de confiança dos multiplicadores para o Brasil em 2005.

Atividade Valor Obs. Valor Esp. IC 95% Valor Obs. Valor Esp. IC 95%(Produção) (Valor Adi.)

A1 1,82 1,83 [1,58 ; 2,13] 0,87 0,88 [0,79 ; 0,99]A2 1,92 1,92 [1,74 ; 2,14] 0,84 0,84 [0,77 ; 0,92]A3 2,22 2,24 [1,84 ; 2,78] 0,76 0,78 [0,62 ; 0,96]A4 1,74 1,75 [1,55 ; 1,99] 0,89 0,90 [0,79 ; 1,01]A5 1,74 1,75 [1,51 ; 2,02] 0,83 0,84 [0,75 ; 0,93]A6 1,44 1,44 [1,36 ; 1,53] 0,92 0,92 [0,88 ; 0,96]A7 1,86 1,87 [1,63 ; 2,14] 0,87 0,88 [0,79 ; 0,97]A8 1,70 1,71 [1,55 ; 1,89] 0,88 0,88 [0,80 ; 0,97]A9 1,49 1,49 [1,39 ; 1,61] 0,91 0,91 [0,86 ; 0,97]A10 1,09 1,09 [1,07 ; 1,11] 0,99 0,99 [0,98 ; 1,00]A11 1,67 1,67 [1,52 ; 1,85] 0,87 0,87 [0,81 ; 0,94]A12 1,52 1,53 [1,44 ; 1,63] 0,91 0,91 [0,87 ; 0,96]

(Renda) (Emprego)A1 0,30 0,30 [0,27 ; 0,34] 121.092 121.274 [114.787 ; 128.782]A2 0,20 0,20 [0,17 ; 0,23] 20.659 20.760 [17.067 ; 25.015]A3 0,26 0,26 [0,21 ; 0,33] 38.831 39.270 [30.133 ; 50.898]A4 0,18 0,18 [0,16 ; 0,21] 13.532 13.623 [11.178 ; 16.590]A5 0,24 0,24 [0,21 ; 0,27] 50.840 50.957 [46.429 ; 56.137]A6 0,31 0,31 [0,30 ; 0,33] 60.355 60.398 [58.357 ; 62.673]A7 0,30 0,30 [0,27 ; 0,34] 39.632 39.766 [35.052 ; 45.225]A8 0,25 0,25 [0,22 ; 0,28] 25.941 26.029 [22.472 ; 30.083]A9 0,29 0,29 [0,27 ; 0,31] 14.638 14.679 [12.352 ; 17.235]A10 0,04 0,04 [0,03 ; 0,04] 5.603 5.610 [5.057 ; 6.202]A11 0,38 0,38 [0,36 ; 0,41] 65.884 65.976 [62.720 ; 69.741]A12 0,52 0,52 [0,50 ; 0,54] 32.861 32.908 [30.706 ; 35.324]


Nota-se o desvio positivo, ou seja, o valor esperado do multiplicador é maior ou igual ao valor

observado. Entretanto esta diferença é mínima em ambas tabelas.

O ganho, para a análise de insumo-produto, vem da nova informação que é agora disponi-

bilizada: uma medida de variabilidade associada a cada multiplicador, ou seja, seu respectivo

intervalo de confiança. Por exemplo, em 2005, caso a demanda final por produtos do setor de

Indústria extrativa e mineral (A2) for estimulada e aumentar em 1 bilhão de Reais, espera-se

que, com 95% de confiança, o número de empregos gerados esteja entre 17.067 e 25.015.

Certos multiplicadores têm IC com limites mais largos que outros. Isto significa que existem

incertezas diferenciadas associadas aos valores esperados de cada multiplicador. Matematica-

mente, isto decorre do arranjo, em A, de diferentes valores dos coeficientes técnicos, afetando

cada multiplicador de forma diferenciada no proceso de cálculo. Economicamente, estas difer-

enças nos ICs implicam em uma maior ou menor segurança quanto ao efeito gerado na econo-

mia quando do estímulo a demanda de determinado setor. Considerando-se apenas um tipo de

41


multiplicador por vez, o analista deve agora lidar não mais com apenas 1 critério de escolha

(valor esperado ou observado), o critério associado ao “risco” de tal medida surge naturalmente

como mais um critério de decisão. Esta ideia será um pouco mais detalhada na seção a seguir.

4.3.1 Exemplo: inclusão de uma medida de variabilidade na decisão

A apresentação dos multiplicadores com seus respectivos intervalos de confiança torna a apli-

cação do modelo de insumo-produto mais condizente com a incerteza presente na economia.

A mensuração da incerteza nos multiplicadores permite que os analistas criem novas regras

de decisão, como, por exemplo, ordenar os setores baseado não apenas no valor observado ou

valor esperado, mas definir a nova ordenação de acordo, por exemplo, com o critério E[mi˜ ]−di,

onde di é a diferença entre o limite superior e o limite inferior do intervalo de confiança para o

multiplicador do setor i. Dessa forma, o novo critério reflete a característica, indesejável para

o decisor, de se ter uma maior incerteza na valoração do multiplicador, preferindo-se uma pon-

deração entre valor esperado e variabilidade. Este caso é ilustrado com os resultados da tabela

4.6. Deve-se notar a alteração da ordenação causada pela inclusão da medida de variabilidade

no processo decisório. A atividade Indústria extrativa mineral (A2) passa da segunda para a

primeira colocação; um salto ainda maior é dado pela atividade Serviços de informação (A8)

que passa de sexto para segundo colocado e a atividade Transporte, armazenagem e correio

(A7) se mantém na posição de número três.

Tabela 4.6: Novo ranking dos multiplicadores de produção para o Brasil 2005.

Atividade Valor esperado E[mi˜ ]−di RankA1 1,83 1,28 7A2 1,92 1,52 1A3 2,24 1,30 6A4 1,75 1,31 5A5 1,75 1,24 9A6 1,44 1,27 8A7 1,27 1,36 3A8 1,71 1,37 2A9 1,49 1,27 8A10 1,09 1,05 10A11 1,67 1,34 4A12 1,53 1,34 4


42


O mesmo pode acontecer aos outros tipos de multiplicadores (renda, emprego e valor adi-

cionado). Desde que hipóteses ou avaliações sobre os trade-offs do decisor sejam estabelecidas,

outros critérios podem ser construídos e novas ordenações encontradas.

43

Capítulo 5 Considerações finais

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

O modelo insumo-produto constitui-se num instrumento importante na previsão e avaliação

de políticas econômicas. A obtenção da base de dados para tal modelo é complexa, incorpo-

rando uma aleatoriedade na construção dos coeficientes utilizados, com o consequente impacto

nos resultados. Diferentemtente dos trabalhos realizados no Brasil, esta dissertação explorou

a inserção da incerteza no modelo, considerando os coeficientes técnicos (ai j) como variáveis

aleatórias. Assim, uma medida de imprecisão foi incorporada e suas implicações foram discuti-

das a partir da obtenção dos intervalos de confiança para os multiplicadores de produção, valor

adicionado, renda e emprego para o Brasil nos anos de 2000 e 2005.

Esta forma, considerada não usual, de apresentação dos multiplicadores traz consigo uma

melhor representação da realidade do sistema econômico nacional. Do ponto de vista técnico,

permite ser mais rigoroso, já que os erros de medida nos coeficientes são levados em conta;

do ponto de vista decisório, permite que novas regras de decisão que incluam uma medida de

incerteza nos valores dos multiplicadores sejam criadas e exploradas.

Amplia-se assim a maneira de lidar com o processo decisório em planejamento econômico,

já que a utilização dos multiplicadores criados a partir do modelo de insumo-produto estocás-

tico não é difundida no Brasil. Espera-se estimular o debate sobre o uso do modelo de insumo-

produto estocástico e incorporar o elemento incerteza no processo de tomada de decisão fornecido

pelo modelo.

Entretanto, algumas limitações estão presentes e servem como motivação para o desenvolvi-

mento de novos trabalhos. Listam-se, a seguir, os seguintes pontos:

• Um problema ainda em aberto é como incluir padrões de incerteza maiores, ou seja,

desvios padrões mais elevados;

• Como estimar uma matriz de desvios para os coeficientes?

• Inserir a incerteza na versão dinâmica do modelo.

44

Referências Bibliográficas

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48

ANEXO A MIP Brasil 2000/2005

ANEXO A: MIP Brasil 2000/2005

Matriz dos coeficientes técnicos diretos Brasil - 2000. Fonte: IBGE [41]

A1 A2 A3 A4 A5 A6A1 0,083885 0,001871 0,080464 0,000709 0,003181 0,000558A2 0,006170 0,048819 0,037044 0,008977 0,013586 0,000102A3 0,189737 0,135207 0,299383 0,053444 0,245885 0,043689A4 0,005365 0,031912 0,023544 0,243832 0,006369 0,016304A5 0,000010 0,009611 0,001716 0,000135 0,037045 0,000621A6 0,032000 0,023431 0,043904 0,011457 0,047210 0,020611A7 0,023553 0,089667 0,035680 0,010173 0,014771 0,037510A8 0,002308 0,023204 0,011038 0,013478 0,001883 0,013125A9 0,008610 0,025761 0,024735 0,016007 0,007915 0,022079A10 0,000472 0,006404 0,003324 0,004647 0,007904 0,033948A11 0,002345 0,052186 0,027074 0,046498 0,029790 0,059648A12 0,001077 0,003467 0,002371 0,005316 0,001622 0,002317


49

ANEXO A MIP Brasil 2000/2005

Matriz dos coeficientes técnicos diretos Brasil - 2005. Fonte: IBGE [41]




50

Apêndice A Coeficientes de Valor adicionado, salários e empregos

APÊNDICE A: COEFICIENTES DE VALOR

ADICIONADO, SALÁRIOS E EMPREGOS PARA O

BRASIL 2000/2005

Coeficientes de Valor adicionado, salários e empregos para o Brasil - 2000.Fonte: Elaboração própria.

A1 A2 A3 A4 A5 A6Valor adi. 0,597748 0,463416 0,274893 0,520637 0,500200 0,700990Salários 0,202661 0,081086 0,104522 0,117050 0,117018 0,232448

Empregos (×10−3) 0,183905 0,006718 0,014834 0,005127 0,047300 0,080510


Empregos (×10−3) 0,035009 0,017832 0,007560 0,004514 0,071046 0,035287

Coeficientes de Valor adicionado, salários e empregos para o Brasil - 2005.Fonte: Elaboração própria.


Empregos (×10−3) 0,097598 0,002579 0,008880 0,002808 0,035026 0,050273


Empregos (×10−3) 0,020957 0,011107 0,004614 0,003228 0,051061 0,021486

51

Apêndice A Coeficientes de Valor adicionado, salários e empregos

Os coeficientes de Valor adicionado, Salários e Empregos foram calculados pelo autor com

base nos dados publicados pelo IBGE [41].


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