UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICA E MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA Exame de Seleção – Segundo Semestre 2011

Nome do Candidato: __________________________________________________

Instruções: A prova consta de 20 (vinte) questões, sendo que o candidato deve escolher entre as opções A ou B de mesma numeração, totalizando 10 (dez) questões a serem respondidas. Os respectivos cálculos devem ser apresentados exclusivamente nos espaços destinados a cada questão escolhida (frente e verso), de maneira objetiva, sem rasuras. ATENÇÃO: Não serão aceitas respostas sem uma justificativa coerente das alternativas assinaladas. Em caso do candidato responder as opções A e B de uma mesma numeração, será considerada apenas a opção A.

1A) Três partículas estão confinadas numa dada região do espaço. As partículas 1 e 2 são férmions idênticos e a partícula 3 é de uma espécie diferente das outras duas. Sabe-se que as partículas 1 e 2 ocupam estados cuja autofunções são )2cos( xAA �� � e )cos( xBB �� � . É sabido também que a terceira partícula ocupa um estado cuja autofunção é

)2cos( xAA �� � . Considerando que as três partículas são não interagentes, determine o

valor da função de onda total do sistema quando a partícula 1 está na posição 21 �x , a

partícula 2 está na posição 12 �x e a partícula 3 está na posição 5.03 �x . As autofunções

A� e B� estão normalizadas sendo A e B suas constantes de normalização.

a) 2

2 2

123

BA��

b) 2

2

123

BA��

c) 2

2

123

AB��

d) 2

22

123

BA��

e)Nenhuma das anteriores.

1B) Um sistema físico de massa unitária está num estado normalizado )()()( 21 xbxax �� ��� . Sendo que )(1 x� e )(2 x� são autofunções normalizadas da

energia do sistema com autovalores 21 �E e 42 �E respectivamente. Sabemos que

)(3)( 11 xxp �� � e que )(2)( 22 xxp �� � onde p é o operador momento linear. Determine os possíveis valores reais de a de tal maneira que o valor esperado da energia potencial do sistema representado por )(x� seja zero.

a) 2

1��a

b) 3

2��a

c) 3

2��a

d) 5

3��a

e) nenhuma das anteriores.

2A) Uma cavidade esférica contém 1010 fótons, e o comprimento de onda dos fótons é de 1000 nanômetros. O momento linear de um elétron livre é tal que ele pode cruzar a cavidade em 1211 1010 �� � segundos e sua energia cinética é de 1810� joules com incerteza correspondente. Calcule a probabilidade desse elétron, ao cruzar a cavidade, absorver um fóton.

a) 1

b) 101

c) �10

1

d) �100

1

e) Nenhuma das anteriores.

2B) Dado que a autofunção que descreve uma partícula é o harmônico esférico

����

�� 122

1

1,3 )1)(cos5)((6421

),( esenY ����

����� calcule o valor esperado de 22

yx LL � para esta

partícula.

a) 22

1

64

212 ��

��

���

�

b) 2

6421

����

���

c) 221� d) 211� e) nenhuma das anteriores

3 A) Responda se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. (Você deve escrever uma pequena justificativa para cada item. Itens sem justificativa ou com justificativa errada serão desconsiderados.)

( ) Apenas sistemas de partículas de spin 21

devem ter sua função de onda total

antisimétrica por permutação de pares. ( ) A radiação de fundo em micro-ondas tem sua origem na aniquilação de pósitrons nas regiões centrais da galáxia. ( ) Um corpo em movimento retilíneo uniforme pode ter momento angular diferente de zero. ( ) Todas as quatro forças fundamentais da natureza atuam de maneira esfericamente simétrica. ( ) Para que ocorra condensação de Bose-Einstein é imprescindível que o momento angular hiperfino do átomos ou moléculas em questão seja inteiro.

3 B) Responda se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. (Você deve escrever uma pequena justificativa para cada item. Itens sem justificativa ou com justificativa errada serão desconsiderados.) ( ) O momento angular de spin tem origem na rotação do elétron sobre seu próprio eixo. ( ) Conforme a segunda lei de Newton, sempre que a força resultante que atua sobre um corpo for constante, a aceleração resultante será constante. ( ) Segundo a lei de Lenz, a corrente induzida numa espira devido a variação do fluxo magnético no interior da espira é tal que tende a amplificar esta variação. ( ) As forças de van der Walls são responsáveis pela formação de um sólido iônico. ( ) Usando apenas o conhecimento plenamente estabelecido das leis da física na atualidade, é impossível prever corretamente a velocidade orbital de uma estrela situada na periferia de uma galáxia.

4A) Um sistema de partículas de spin ½ está aprisionado num poço de potencial infinito de comprimento L=2. Existem N partículas não interagentes no poço. Determine qual é a energia de Fermi do sistema. Considere 1�� e 1�m . A) Zero.

B) 22

4N

�

C) 22

32N

�

D) 22

8N

�

E) Nenhuma das anteriores.

4B) Em um triângulo, o comprimento próprio de seus lados mede a. Encontre o perímetro p desse triângulo em um referencial que se move com velocidade relativística, v=0,6 c ao longo de uma de suas bissetrizes, onde c é a velocidade da luz no vácuo. a) p = 2,4 a b) p = 2,5 a c) p = 2,7 a d) p = 3,75 a e) nenhuma das anteriores.

5A) Dois capacitores de ar, idênticos, são conectados em série e a combinação é mantida a uma diferença de potencial de 50V . Uma placa de vidro de constante dielétrica 5 e espessura igual a um quinto da separação de ar entre as placas é introduzida em um dos capacitores. Calcule a diferença de potencial neste capacitor. Despreze efeitos de borda.

5B) Duas placas condutoras paralelas acham-se separadas pela distância d e mantidas a uma diferença de potencial �� . Uma chapa dielétrica de constante K e de espessura uniforme t<d, é inserida entre as placas. Determine os vetores E e D no dielétrico e também no vácuo entre as placas. Determine a polarização do dielétrico. Despreze efeitos de borda.

6A ) Uma carga q é transferida para a superfície de uma bolha de sabão inicialmente descarregada de raio 0R . Devido à repulsão eletrostática o raio da bolha aumenta para um valor R . Mostre que,

2 2 2 20 0 0 0

32( )

3q p RR R RR R� �� � � ,

onde p é a pressão atmosférica.

6B) a) Duas cascas condutoras concêntricas tem seu espaço interno preenchido por um material de constante dielétrica � . A casca interna tem raio 0R e a externa raio R .

Sabendo que a rigidez dielétrica do material é 410 /V m e que 03R R� , com 0 15R � cm, calcule a diferença de potencial máxima que podemos estabelecer entre as cascas condutoras. b) Se o material estiver preenchendo o espaço entre duas cascas cilíndricas, com a mesma relação entre os raios interno e externo mostre que a diferença de potencial máxima neste caso será 3

2 ln 3 vezes maior que a diferença de potencial máxima que podemos estabelecer com a geometria esférica. Explique esta diferença, ou seja, porque a geometria cilíndrica permite estabelecer uma diferença de potencial máxima maior que a geometria esférica.

7A ) A resistência às fugas de um cabo isolante de borracha é medida da seguinte maneira: um comprimento L do cabo isolado é imerso numa solução de água e sal, uma diferença de potencial é aplicada entre o condutor interno e a solução e a corrente resultante é medida. Num caso particular 3 metros de cabo estão imersos em uma solução e aplicando-se 60 kV medindo-se uma corrente de 6 pA. Sabendo que a espessura do isolante é o dobro da do

condutor central, mostre que a resistividade do isolante é 166x10 .

ln 3m

�� . Despreze efeitos

de borda.

7B) Dois ímãs em forma de toróides são colocados em um cilindro disposto na vertical, sendo um colocado na base. Os ímãs são colocados com as faces de modo que o superior fique em equilíbrio em uma altura h. a) Admita que os ímãs possam ser descritos como dois dipolos magnéticos de iguais momentos de dipolo dip�

�, com massas im iguais e que a

altura de equilíbrio h seja medida. Calcule dip� e dê o resultado numérico para 10h � cm e

50im � gramas. b) O ímã superior é posto a oscilar. Calcule a freqüência para pequenas oscilações em torno do equilíbrio. Com os dados acima mostre que a freqüência é

102

f Hz�� �

� � . Use 210 /g m s� .

8A) Considere um objeto de massa m=6 kg em queda no ar sob a ação de uma força de arrasto F, que aumenta linearmente com a velocidade, F = bv, e tem sentido oposto a ela. Encontre o deslocamento desse objeto após 3 segundos, considerando que para t = 0 sua velocidade era 12 m/s (no sentido da queda). Considere 210 /g m s� e b = 2 kg/s. a) 42 m b) 56 m c) 81 m d) 164 m e) nenhuma das anteriores.

8B) Uma partícula move-se em um poço de potencial dado por

� � � �44

220

8 xa

xaVxV

���

�

Onde a e 0V são constantes. A frequência de pequenas oscilações em torno de um de seus pontos de equilíbrio estável é: a) Não há equilíbrio estável.

b)

� �2

12

0

2ma

V��

c)

� �2

12

0

3ma

V��

d)

� �2

12

0

4ma

V��

e) nenhuma das anteriores.

9A) Um oscilador não amortecido de massa m e frequência própria 0� move-se sob a ação

de uma força externa � �tsenFF �0� , partindo da posição de equilíbrio com velocidade

inicial nula. Ache o deslocamento � �tx considerando que 2/0�� � .

a) � � � ���

���

���

�

���

�� tsent

senm

Ftx 0

020

0

2

4�

��

b) � � � ���

���

���

�

���

�� tsent

senm

Ftx 0

020

0

22

2�

��

c) � � � ���

���

���

�

���

�� tsent

senm

Ftx 0

020

0

22

2�

��

d) � � � ���

���

���

�

���

�� tsent

senm

Ftx 0

020

0

22

3

2�

��

e) nenhuma das anteriores.

9B) A figura mostra um par de discos maciços uniformes, cada qual com massa M e raio R

( 221 MRICM � ). Eles estão montados numa haste uniforme, de comprimento d=2R e massa

2M

m � ( 2121 MdICM � ). Considere o conjunto sobre uma mesa de ar horizontal, podendo

deslocar-se sobre ela com atrito desprezível. Transmite-se um impulso instantâneo P�

a um dos discos como mostrado na figura. Calcule a velocidade angular de rotação final do sistema em relação ao seu centro de massa.

a) MR

P

3314

��

b) MR

P

5512

��

c) MR

P

31

��

d) MR

P

127

��

e) nenhuma das anteriores.

10A) Encontre o valor aproximado do trabalho mínimo que deve ser realizado sobre uma espaçonave de 2000 kg para levá-la da superfície da terra até a superfície da lua. Dados os raios e massas:

mRTerra610.38,6� , mRLua

610.74,1� , kgM Terra2410.97,5� , kgM Lua

2210.35,7� .

Distância Terra-Lua m810.84,3� . a) kJ810.8,1 b) kJ610.8,1 c) kJ610.5,1 d) kJ810.3,1 e) nenhuma das anteriores.

10B) Uma bola de basquete (de massa M) e uma bola de tênis (de massa m) são abandonadas do repouso a uma altura h do solo, conforme mostrado na figura. Os centros das duas bolas estão alinhados verticalmente, e não há contato entre as bolas na situação inicial. Ao atingir o chão, a bola de basquete ricocheteia elasticamente e logo em seguida, colide elasticamente com a bola de tênis. Calcule a altura máxima que a bola de tênis atingirá após a colisão. Considere m<<M. Despreze qualquer influência do ar, assim como as dimensões das duas bolas frente à altura h. a) y = 9 h b) y = 6 h c) y = 2 h d) y = h e) nenhuma das anteriores.

Formulário:

.D nds q��� �

.E dl�� � ����

J gE�� �

0D E P�� �� � �

12

U ds��� � dU pdV� �

03 5

3( . )[ ]

4

r rB

r r

� � ��

� � �� � � ��

0 1 2 1 212 3 5

. ( . )( . )[ 3 ]

4

r rU

r r

� � � � ��

� �� � � � � �

���

���� p

c

Ep

�,�

Fr���

��� � � ����

I 21

���

����

m

k�

�hE � ),()1(),( ,2

,2 ���� mlml YllYL �� �

�h

p �

φi=L

φ(φ(θ

θ(θi=L

φ(φ(θ

θ(θi=L

z

y

x

��

�

���

����

���

���

�

���

����

���

���

�

�

�

�

))sencot)cos

)cos)cot)sen

),(),( ,, ���� mlmlz mYYL ��

2

1

2

2

2

1 ���

����

��

���

c

v

xc

vt

t

2

1

2

2

1 ���

����

��

���

c

v

vtxx

yy ��

zz ��

2211 /10.67,6 kgNmG ��

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