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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA EQUAÇÃO GENERALIZADA DE LATTICE BOLTZMANN LUIZ ADOLFO HEGELE JÚNIOR Florianópolis – SC 2003
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
EQUAÇÃO GENERALIZADA DE
LATTICE BOLTZMANN
LUIZ ADOLFO HEGELE JÚNIOR
Florianópolis – SC
2003
2
LUIZ ADOLFO HEGELE JÚNIOR
EQUAÇÃO GENERALIZADA DE
LATTICE BOLTZMANN
* Monografia do trabalho realizado no
Laboratório de Meios Porosos e Propriedades Termofísicas no
período de 03/2000 a 12/2001.
Orientador: Paulo Cesar Philippi
Florianópolis
03/2003
3
AGRADECIMENTOS
A Paulo Cesar Philippi pela orientação.
Aos amigos e colegas de laboratório, especialmente a Luís Orlando
Emerich dos Santos, Paulo César Facin, Rodrigo Surmas, Fabiano Gilberto Wolf,
Carlos Enrique Pico Ortiz, Walter Félix Cardoso Neto e André Duarte Bueno, pelas
discussões e momentos de descontração.
Aos meus pais.
A tia Guísela.
Aos “Esponjas da Produção”.
A ANP, pelo suporte financeiro.
4
EQUIPE TÉCNICA
Paulo Cesar Philippi – Professor
Luís Orlando Emerich dos Santos – Pesquisador
André Duarte Bueno – Pesquisador
Paulo César Facin – Doutorando
Fabiano Gilberto Wolf – Doutorando
Carlos Enrique Pico Ortiz – Doutorando
Rodrigo Surmas – Estagiário de Engenharia de Produção
Walter Félix Cardoso Neto – Administrador de rede
Luiz Adolfo Hegele Júnior – Estagiário de Engenharia de Produção
5
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS vi
LISTA DE TABELAS vii
LISTA DE SÍMBOLOS viii
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO 1
1.1 – LOCAL DO ESTÁGIO 1
1.2 – OBJETIVO GERAL 1
1.3 – OBJETIVOS ESPECÍFICOS 2
CAPÍTULO 2 – MODELOS DE LATTICE BOLTZMANN 3
2.1 – EQUAÇÃO GENERALIZADA DE LATTICE BOLTZMANN 3
2.1.1 – CONJUNTO ORTOGONAL DE VETORES 6
CAPÍTULO 3 – MODELO ATÉRMICO (D2Q9) 8
3.1 – CONJUNTO DE VETORES LINEARMENTE INDEPENDENTES
(D2Q9) 8
3.2 – CONJUNTO ORTOGONAL DE VETORES (D2Q9) 10
3.3 – EXPANSÃO DE CHAPMAN-ENSKOG (D2Q9) 12
3.1 – PRIMEIRA ORDEM DE KNUDSEN (D2Q9) 13
3.2 – SEGUNDA ORDEM DE KNUDSEN (D2Q9) 15
3.3 – SOMA DAS DUAS ORDENS DE KNUDSEN 15
3.4 – OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES MACROSCÓPICAS 16
CAPÍTULO 4 – MODELO TÉRMICO (D2Q17) 19
4.1 – ESCOLHA DA REDE 19
4.2 – CONJUNTO DE VETORES LINEARMENTE INDEPENDENTES
(D2Q17) 19
4.3 – CONJUNTO ORTOGONAL DE VETORES (D2Q17) 20
6
4.4 – DETERMINAÇÃO A PRIORI DOS MOMENTOS DE EQUILÍBRIO 21
4.5 – EXPANSÃO DE CHAPMAN-ENSKOG (D2Q17) 22
4.5.1 – PRIMEIRA ORDEM DE KNUDSEN (D2Q17) 22
4.5.2 – SEGUNDA ORDEM DE KNUDSEN (D2Q17) 24
4.6 – RESULTADOS PRELIMINARES 24
4.7 – CONCLUSÕES DO MODELO D2Q17 26
CAPÍTULO 5 – CONCLUSÕES 27
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 28
ANEXO A 31
ANEXO B 35
ANEXO C 38
7
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 – Da escala mesoscópica para a escala macroscópica 3
Figura 3.1 – Rede D2Q9, retirado de [14] 8
Figura 3.2 – Comparação de estabilidade entre o método dos momentos e o método
BGK 17
Figura 4.1. – Comparação entre GLBE D2Q17 e Chen et al., variando-se a energia 25
Figura 4.2. – Apuração do menor valor de para vários níveis de energia e
configurações 25
iN
8
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1. – Relação de ordens dos momentos e número de momentos LI para
a rede D2Q17 20
9
LISTA DE SÍMBOLOS
mb número de direções não-nulas da rede
icr velocidade das partículas em unidades de rede na direção i
αic velocidade projetada na direção α
jer autovetor de Λ relacionado a linha j
i indica uma direção na rede
I matriz identidade
αj quantidade de movimento (momentum) na direção α
iN densidade de partículas na direção i
Nr
vetor representando ),,,,( 210 mbNNNN K
)0()(i
eqi NN = distribuição de equilíbrio
iN̂ momento i
Nrˆ vetor representando )ˆ,,ˆ,ˆ,ˆ( 210 mbNNNN K
M matriz dos autovetores de Λ
10
αS ),...,,,,( 3210 ααααα mbcccccdiag
αu velocidade de um sítio (coordenada α )
xr posição na rede (discreto)
jyr um vetor
{ yr } conjunto de vetores { mbyyyy rK
rrr ,,,, 210 }
Símbolos gregos
Λ matriz de colisão
ρ densidade de um sítio
ε número de Knudsen
11
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO
1.1 – LOCAL DE TRABALHO
O trabalho foi realizado no Laboratório de Meios Porosos e Propriedades
Termofísicas (LMPT), do Departamento de Engenharia Mecânica da UFSC.
A área de conhecimento do laboratório são as Ciências Térmicas.
A área específica de atuação deste trabalho é a pesquisa da solução por
métodos de lattice Boltzmann da equação de Navier-Stokes-Fourier, para posterior
aplicação na resolução de problemas que ocorrem em meios de geometria complexa,
tais como meios porosos.
O LMPT apresenta uma excelente infra-estrutura tanto em recursos
humanos, com pesquisadores e doutorandos, quanto recursos físicos, com computadores
e mesas individuais, sendo um local adequado para o objetivo a que propõe-se cumprir.
1.2 – OBJETIVO GERAL
Resgatar as equações de Navier-Stokes-Fourier bidimensionais utilizando
o Método dos Momentos, proposto por d’Humières [1].
1.3 – OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Entender exatamente como funciona o Método dos Momentos,
procurando obter e deduzir informações sobre partes do método que em um primeiro
12
momento podem não ficar claras, mas que com estudo e reflexão devem ser justificadas
e compreendidas.
Este interesse pelo Método dos Momentos justifica-se pela maior
estabilidade deste em comparação com os métodos de lattice Boltzmann atuais, o que
configura um possível ganho computacional sem a necessidade de otimizar os códigos,
mas sim trabalhando teoricamente.
Além do ganho computacional, este método poderá ser facilmente
estendido para modelos bifásicos, área em que o LMPT tem feito significativos esforços
nos últimos anos, principalmente com relação a modelagem de escoamentos bifásicos
em rochas-reservatório de petróleo.
13
CAPÍTULO 2 – MODELOS DE LATTICE BOLTZMANN (MLB)
Os modelos de lattice Boltzmann [2,3,4,5] surgiram como uma evolução
do lattice gas (LG) [6,7,8,9,10] , uma classe de autômatos celulares criada com a
intenção de mimetizar substâncias do mundo real a quais chamamos de fluidos.
Os modelos de lattice Boltzmann buscam reproduzir as equações da
hidrodinâmica, as equações de Navier-Stokes (N-S), através de simulações de escala
mesoscópica. Comumente falando, observando as moléculas de um gás real utilizando-
se de uma “lupa”, ver-se-ia algo parecido com o resultado da simulação deste modelo.
Recupera-se as equações de N-S através de um método de perturbação, a
análise de Chapman-Enskog [11], que pode ser comparada a um efeito de zoom out nas
partículas que constituem o “fluido”: seria como tirar a “lupa” e voltar a enxergar o
fluido real a olho nu. De uma maneira analítica, o resultado final são as equações de
Navier-Stokes.
Equações de Navier-Stokes (macroscópica)
Equação de Evolução (mesoscópica)
Análise de Chapman-Enskog
Figura 2.1 – Da escala mesoscópica para escala macroscópica
2.1 – EQUAÇÃO GENERALIZADA DE LATTICE BOLTZMANN (EGLB)
Também conhecida como Método dos Momentos, a equação
generalizada de lattice-Boltzmann foi proposta por d’Humières em 1992 [1]. Até então,
utilizava-se para os MLB a distribuição de equilíbrio derivada da distribuição de
Maxwell-Boltzmann [12,13]. D’Humières adicionou graus de liberdade à distribuição
de equilíbrio, retirando assim o vínculo de existir apenas um tempo de relaxação para o
equilíbrio. A equação de evolução para o modelo proposto por d’Humières é a seguinte:
14
∑ −Λ−=++j
eqjjijiii txNtxNtxNtcxN )],(),([),()1,( rrrrr , (2.1)
a qual nos diz que as partículas de fluido da direção i do sítio xr no tempo t da rede,
, foram relaxadas para um equilíbrio previamente definido ),( txNir )(eqN
r em um
processo no qual atua a matriz de colisão Λ, e que estas partículas (já relaxadas) se
encontrarão no próximo passo de tempo no sítio icx rr + . O índice i varre todas as
direções da rede: velocidades não-nulas, mais uma direção alocada para as partículas
com velocidade nula, totalizando direções. O conjunto de vetores , i=0,..., ,
é o que representa as velocidades da rede, e a cada velocidade
mb
1+mb icr mb
icr está associado uma
determinada densidade de partículas . iN
Analisando a eq. (2.1), pode-se dividir a evolução do modelo em duas
etapas principais: i) a colisão, na qual as partículas são relaxadas em direção a um
equilíbrio prescrito, ou seja, na qual o estado do sítio é alterado, conforme regras
especiais; ii) e a propagação, na qual a informação do sítio é passada aos sítios
vizinhos.
Para recobrar as equações de N-S, deve-se conservar a densidade e a
quantidade de movimento durante a fase de colisão [5,14], de modo que:
∑∑ ==i
eqi
ii NN ,ρ (2.2)
∑∑ ==i
ieqi
iii ucNcN ,ααα ρ (2.3)
onde ρ é a densidade e é a componente αu α da velocidade.
Deste modo, a matriz de colisão Λ é escolhida para ter os seus
autovalores nulos associados aos autovetores das quantidades conservadas durante a
colisão, ditas hidrodinâmicas, e os demais autovalores, que são os diversos tempos de
relaxação, devem estar associados aos autovetores das quantidades não conservadas,
ditas cinéticas [15].
Os modos cinéticos, no entanto, são relaxados no espaço de momentos, e
não no espaço de velocidades, ou seja, não se faz a colisão com as informações contidas
15
no vetor , mas sim com estas informações transformadas
para o espaço de momentos, cuja relação é
),,,,( 210 mbNNNNN Kr
=
=Nrˆ M N
r, (2.4)
onde é o vetor de momentos e M é a matriz formada pelos autovetores da matriz de
colisão, que deverão formar um conjunto ortogonal para o conjunto . O porquê
dos autovetores da matriz de colisão necessariamente formarem um conjunto ortogonal
será explicado mais adiante.
Nrˆ
1+ℜ mb
Para tornar mais clara esta transformação de espaços, toma-se como
exemplo o autovetor da matriz de colisão associado à densidade )1,,1,1(0 Kr =e , definido
como sendo a primeira linha da matriz M. Aplicando a eq. (2.4) e tomando apenas o
primeiro elemento de , , tem-se Nrˆ 0N̂
∑ ∑ ∑ ====⋅=i i i
iiii NNNeNeN ρ1ˆ 000rr ,
que é a densidade.
Aplicando-se o procedimento anterior para o autovetor da matriz de
colisão associado à quantidade de movimento em x, obtêm-se o momento xuρ ; para o
autovetor da matriz de colisão associado à energia, obter-se-á a energia; e assim por
diante, até recuperar-se todas as com os momentos necessários para a completa
descrição do estado de um sítio qualquer da rede.
1+mb
Para obter a equação generalizada de lattice-Boltzmann em sua forma
mais simples, multiplica-se a eq. (2.1) por M e aplica-se as definições dos parágrafos
anteriores, e vem que (em notação vetorial)
M ='Nr
M −Nr
M Λ )( eqNNrr
− ,
onde 'Nr
é o estado pós-colisional. A matriz identidade I pode ser escrita como
I = M-1M,
onde M-1 é a inversa da matriz M, e faz-se
M ='Nr
M −Nr
M Λ M-1M )( eqNNrr
− ,
e substituindo de uma maneira genérica M '' N̂Nrr
= , tem-se
16
−= NN ˆˆ ' rr M Λ M-1 ( eqNN ˆˆ rr
− ).
A matriz =Λ M Λ Mˆ -1 é uma transformação da matriz Λ pela matriz
ortogonal M, e a matriz resultante é uma matriz diagonal formada pelos autovalores
da matriz Λ [16], que foram justamente definidos como sendo os tempos de relaxação
do modelo. Este é motivo pelo qual a matriz M é formada por um conjunto ortogonal de
vetores: ela possui a propriedade de diagonalizar a matriz de colisão!
Λ̂
Então, a equação generalizada de lattice-Boltzmann pode ser escrita em
sua forma resumida como:
−= NN ˆˆ ' rrΛ̂ ( eqNN ˆˆ rr
− ), (2.5)
onde , e são os tempos de relaxação associados aos
autovetores de Λ e seus valores estão no intervalo ]0,2[. Se os tempos não nulos de
relaxação (referentes às quantidades cinéticas) forem iguais, a Equação Generalizada de
lattice-Boltzmann se reduz ao modelo BGK [4,5].
),,,,(ˆ 210 mbssssdiag K=Λ is
2.1.1 – CONJUNTO ORTOGONAL DE VETORES
Para se formar um conjunto ortogonal de vetores, que viu-se necessário
para a descrição do modelo, busca-se primeiro formar um conjunto linearmente
independente de vetores gerados pela classe
niy
mix
nmi cce ≡),( . (2.6)
A ordem de um determinado vetor (que dará origem a um momento) é
definida como sendo a maior soma dos expoentes m e n. Momentos com ordens até três
possuem significado físico de fácil compreensão, como a densidade, que é o momento
de ordem 0; o momentum x, que pode ser representado por , que é um
momento de ordem 1; ou o momentum y, que pode ser representado como ∑ e
também é um momento de ordem 1.
∑i
iieN )0,1(
iiieN )1,0(
17
A energia total, soma das energias cinética e de flutuação, pode ser
representada como )(21 )2,0()0,2(∑ +
iiii eeN , ou 2
21
ii
icN∑ , e é um momento de ordem 2,
sendo formado por uma combinação linear de momentos mais simples.
Parte-se, então, de um conjunto de vetores LI para gerar um
conjunto ortogonal através do procedimento de Gram-Schmidt.
1+mb
Com um conjunto ortogonal estabelecido, é feita a análise assintótica de
Chapman-Enskog, que será vista no capítulo 3.
18
CAPÍTULO 3 – MODELO ATÉRMICO (D2Q9)
A rede D2Q9 fica caracterizada pelo conjunto de velocidades { cr },
representado analiticamente por: )0,0(0 =cr , )0,1(1 =cr , )1,0(2 =cr , ,
, , ,
)0,1(3 −=cr
)1,0(4 −=cr )1,1(5 =cr )1,1(6 −=cr )1,1(7 −−=cr e )1,1(8 −=cr ; e graficamente segundo
a fig. 3.1 [14]:
Fig. 3.1 – Rede D2Q9, retirado de [14].
3.1 – CONJUNTO DE VETORES LINEARMENTE INDEPENDENTES (D2Q9)
Deve-se achar os momentos de ordem menor que irão formar o conjunto
linearmente independente. Começa-se por estes momentos por eles serem os mais
importantes. Então, chamando de k os momentos, e utilizando os vetores já definidos
para a rede D2Q9, tem-se:
icr
)1,1,1,1,1,1,1,1,1(00 == ii ck ;
)0,2,0,2,0,1,0,1,0(1 −−== ixi ck ;
)2,0,2,0,1,0,1,0,0(2 −−== iyi ck ;
19
sempre aumentando a ordem do momento, e exigindo a independência linear dos
mesmos, ou seja, o último vetor (momento) a ser acrescentado não poderá ser uma
combinação linear dos primeiros. Em se tratando de álgebra linear, basta ver se o posto
(rank) dos vetores é igual ao número de vetores existentes. Se o posto for menor, o
conjunto será linearmente dependente. Se for igual, o conjunto será linearmente
independente. Isto é muito útil pois assim pode-se usar softwares que realizem esta
tarefa automaticamente, que se torna trabalhosa ao se utilizar redes com muitas
velocidades (direções).
A determinação de momentos linearmente independentes para a rede
D2Q9 continua:
)1,1,1,1,0,1,0,1,0(23 == ixi ck ;
)1,1,1,1,0,0,0,0,0(4 == iyixi cck ;
)1,1,1,1,1,0,1,0,0(25 == iyi ck .
O momento é exatamente igual a , e genericamente falando para
a rede D2Q9 [14]:
3αic αic
ni
ni cc αα =+2 ,
onde n é um número inteiro positivo.
Então, dos quatro momentos diferentes de 3 ª ordem utiliza-se apenas
dois
)1,1,1,1,0,0,0,0,0(26 −−== iyixi cck ;
)1,1,1,1,0,0,0,0,0(27 −−== ixiyi cck .
Precisando apenas de mais um momento para completar o conjunto de
vetores, a escolha deve ser o momento de menor ordem ainda não utilizado, e tem-se:
)4,4,4,4,1,1,1,1,0(48 == ii ck .
20
Os vetores ,3kr
4kr
e 5kr
serão reordenados de forma que se configure um
vetor para a energia, e os “novos” vetores, que continuarão serem independentes
linearmente, representados por 3lr
, 4lr
e 5lr
serão:
iii kkl 533 += ;
iii kkl 534 −= ;
ii kl 45 = .
Do mesmo modo, faz-se para os momento 6kr
e , que serão
transformados em e através de:
7kr
6lr
7lr
iyiiyiyixiyiyixiyii ccccccccckl 22232366 )( =+=+=+= ;
ixiixiyixixixiyixii ccccccccckl 22232377 )( =+=+=+= ,
representando o fluxo de energia nas direções y e x, respectivamente.
O momento representa o quadrado da energia, sem um significado
físico muito claro, como prevenido anteriormente.
8kr
Os demais vetores ilr
que não foram mencionados são igualados aos
vetores correspondentes , formando o conjunto { likr r
}:
00 ii cl = ; xii cl =1 ; yii cl =2 ; 2
3 ii cl = ; 224 yixii ccl −= ;
yixii ccl =5 ; xiii ccl 26 = ; yiii ccl 2
7 = ; 48 ii cl = .
3.2 – CONJUNTO ORTOGONAL DE VETORES (D2Q9)
Com o conjunto completo de vetores LI { lr
}, gera-se então um conjunto
ortogonal { er } com o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt [16].
21
É importante falar que ordem do momento e ordem do tensor são coisas
distintas. O momentum é um momento de ordem 1 e tensor de ordem 1 (um vetor); a
energia é um momento de ordem 2 e um tensor de ordem 0 (um escalar). Por isso, a
ortogonalização deve ser feita cuidadosamente: dos tensores de ordem mais baixa para
mais alta, e dentro dessa classe, de momentos de ordem mais baixa para ordem mais
alta.
No caso da rede D2Q9, o conjunto de vetores ortogonalizados fica o
seguinte:
00 ii ce = ; ixi ce =1 ; iyi ce =2 ; 02
3 43 iii cce −= ;
224 iyixi cce −= ; iyixi cce =5 ; )53( 02
6 iiixi ccce −= ;
)53( 027 iiiyi ccce −= ;
2)8219( 024
8iii
iccc
e+−
= ;
que formam a matriz M da seguinte maneira:
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−−
−−−−−
−−−−−−−
−−−−−−
=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
111122224111120200
111102020111100000
000011110222211114111110100
111101010111111111
876543210
eeeeeeeee
M
rrrrrrrrr
A nomenclatura dos momentos, ou seja, como se chamará cada
componente do vetor , é a seguinte: Nrˆ
ρ=0N̂ , xjN =1ˆ , yjN =2ˆ , eN =3ˆ , xxxx SMN 2ˆ 4 ==
xySN =5ˆ , xqN =6ˆ , yqN =7ˆ , EN =8ˆ .
22
3.3 – EXPANSÃO DE CHAPMAN-ENSKOG (D2Q9)
A partir desta parte, utilizar-se-á a notação de Einstein para as derivadas,
o que também indica soma sobre índices repetidos.
Tomando )1,( ++ tcxN iirr , expandindo em séries de Taylor, e desprezan-
do termos de terceira ordem
itiitt
iiiitiiiii
NcN
NccNNctxNtcxN
∂∂+∂+
∂∂+∂+∂+=++
αα
βαβααα
21
21),()1,( rrr
(3.1)
O número de Knudsen ε [11] é a razão entre o livre caminho médio das
moléculas do fluido l e o comprimento característico do escoamento L. Assume-se ε
1 e faz-se a decomposição das derivadas espacial e temporal em ordens de ε , e vem
que:
22
1 ∂+∂=∂ εεt (3.2)
'αα ε∂=∂ . (3.3)
Expandindo (ou ) em torno do equilíbrio também sobre potências
de Knudsen,
iN iN̂
)2(2)1()0( )( iiieqii NNNNN εε ++== , ou (3.4)
)2(2)1()0( ˆˆ)ˆ(ˆˆiii
eqii NNNNN εε ++== , (3.5)
e substituindo as eqs. (3.2), (3.3) e (3.4) em (3.1), tem-se:
∑∑ Λ−+Λ−=∂∂+
∂∂+∂+∂+∂+∂+∂
jjij
jjij
eqi
eqiii
eqiiii
eqii
eqi
NNN
NccNNNcNcN
)()()21
21()(
)2(2)1(11
''2)1(
1)1(
'2
'1
εε
εε βαβααααα
.
(3.6)
Igualando os termos de mesma ordem de ε , tem-se para a primeira
ordem em ε :
∑Λ−=∂+∂j
jijeqii
eqi NNcN )1(
'1 αα , (3.7)
23
e para a segunda ordem em ε :
∑Λ−=∂∂+∂∂+∂+∂+∂j
jijeqi
eqiii
eqiiii NNNccNNNc )2(
11''2)1(
1)1(
' 21
21
βαβααα . (3.8)
É interessante observar que, até esta parte da expansão de Chapman-
Enskog, não fez-se ainda nenhuma menção à rede utilizada, nem ao conjunto de vetores
ortogonais que será utilizado e nem às quantidades conservadas. Portanto, tudo o que foi
feito (para a expansão de Chapman-Enskog) até aqui é genérico e pode ser aplicado a
qualquer modelo que possua características semelhantes.
3.3.1 – PRIMEIRA ORDEM DE KNUDSEN (D2Q9)
Tomando a eq. (3.7) em sua forma vetorial,
)1('1 NNSN eqeq rrr
Λ−=∂+∂ αα , (3.7)
onde é a matriz diagonal no espaço cujos elementos são os , multiplica-se
por M, e vem que
αS iN αic
)1('1 ˆˆˆˆˆ NNSN eqeq
rrrΛ−=∂+∂ αα , (3.9)
com . 1ˆ −= MMSS αα
Sendo a equação (3.9) uma equação vetorial, pode-se abri-la para todos
os seus componentes:
)1(00'01 ˆˆˆˆˆ NNSN eqeq Λ−=∂+∂ αα , (3.10)
)1(11'11 ˆˆˆˆˆ NNSN eqeq Λ−=∂+∂ αα , (3.11)
)1(22'21 ˆˆˆˆˆ NNSN eqeq Λ−=∂+∂ αα , (3.12)
M M M M
)1(88'81 ˆˆˆˆˆ NNSN eqeq Λ−=∂+∂ αα . (3.18)
24
É preciso fazer algumas considerações: i) não existem correções de
primeira ordem de Knudsen para as grandezas conservadas (conforme definido nas eqs.
(2.2) e (2.3)), portanto o lado direito das eqs. (3.10), (3.11) e (3.12) é nulo, o que já se
esperava, pois os tempos de relaxação destas grandezas também são nulos; ii) o termo
é mais inteligível se for escrito da forma , que pode ser
colocado em função de momentos conhecidos, pois qualquer vetor no é uma
combinação linear do conjunto { e
eqiNS ˆˆ 'αα ∂ ∑∂
ijii
eqi ecN αα '
1+ℜ mb
r }. Na prática, procede-se da seguinte maneira: o
vetor é colocado em função dos vetores de base {jii ec α er }, e então faz-se o produto
interno com o vetor , restando com isso apenas momentos conhecidos que
representam e seus respectivos coeficientes.
Nr
∑i
jiieqi ecN α
Com estas considerações, as eqs. (3.10) até(3.18) reduzem-se a:
0''1 =∂+∂+∂ yyxx jjρ , (3.19)
0)4(61 )0(
')0(
')0(
'1 =∂+∂++∂+∂ xyyxxxxx SSej ρ , (3.20)
0)4(61 )0(
')0(
')0(
'1 =∂−∂++∂+∂ xxyxyxyy SSej ρ , (3.21)
)1()1(3
)0('
)0('
)0(1 )()( eesqjqje eyyyxxx λ−=−=+∂++∂+∂ , (3.22)
)1()1(4
)0('
)0('
)0(1 )(
61)(
61
xxxxyyyxxxxx SSsqjqjS νλ−=−=−∂−−∂+∂ , (3.23)
)1('
)1(5
)0('
)0('
)0(1 )2(
31)2(
31
xyxyxxyyyxxy SSsqjqjS νλ−=−=+∂++∂+∂ . (3.24)
As igualdades acima representam as equações das primeiras seis
quantidades da primeira ordem de Knudsen: e . O motivo pelo
qual as últimas três equações não aparecem ( e
)0()0( ,,,, xxyx Sejjρ )0(xyS
)0()0( , yx qq )0(E ) ficará claro a seguir,
quando procede-se com o desenvolvimento da segunda ordem de Knudsen.
25
3.3.2 – SEGUNDA ORDEM DE KNUDSEN (D2Q9)
Tomando a eq. (3.8) em sua forma vetorial e utilizando a eq. (3.7), tem-
se:
)2()1('
)1(12 )
2()
2( NNISNIN eq rrrr
Λ=∂Λ−+∂Λ−+∂ αα ,
e multiplicando esta equação por M, vem que
)2()1('
)1(12 ˆˆˆ)
2
ˆ(ˆˆ)
2
ˆ(ˆ NNISNIN eq
rrrrΛ=∂Λ−+∂Λ−+∂ αα . (3.25)
Sendo a eq. (3.25) vetorial, pode-se explicitá-la em equações (9 neste caso), mas
somente utilizar-se-ão as equações relativas aos momentos conservados. Assim, não
existirão mais termos do tipo no lado direito da equação.
1+mb
)2(ˆiN
Do mesmo modo que ocorreu na expansão da primeira ordem, o termo
)1(' ˆ)
2
ˆ(ˆ NIS
r
αα ∂Λ− também é um produto interno entre os vetores e icr )1(Nr
, ponderado
pela matriz de colisão. Explicitando, então, este termo para os três momentos
conservados, a segunda ordem de Knudsen fica:
02 =∂ ρ ,
02
22
212
2 )1('
')1('
)1('2 =∂−+∂−+∂−+∂ xyyxxxx
ex SSej νν λλλ ,
02
22
212
2 )1('
)1('
')1('2 =∂−+∂−+∂−+∂ xxyxyxy
ey SSej νν λλλ .
3.3.3 – SOMA DAS DUAS ORDENS DE KNUDSEN
A derivada temporal foi decomposta em ordens de Knuden como
22
1 ∂+∂=∂ εεt ,
26
e para obter as equações de Navier-Stokes deve-se fazer as seguintes substituições:
ρερερ 22
1 ∂+∂=∂t ,
xxxt jjj 22
1 ∂+∂=∂ εε ,
yyyt jjj 22
1 ∂+∂=∂ εε .
Substitui-se os termos e já conhecidos e forma-se a derivada
temporal completa das grandezas conservadas: massa, momentum em x e momentum
em y. A observação a ser feita é que os termos em para o momentum possuem
momentos em ordem superior de Knudsen: , e . Estes termos devem ser
substituídos pelos termos contidos nas equações de primeira ordem ( ) de , e
(eqs. (3.22), (3.23) e (3.24), respectivamente), e é este o motivo pelo qual apenas
equações destes momentos aparecem no conjunto de equações na primeira ordem de
Knudsen. As outras equações existem, mas não afetam o modo hidrodinâmico do
modelo.
1∂ 2∂
t∂
2∂
)1(e )1(xxS )1(
xyS
1∂ )0(e )0(xxS
)0(xyS
3.4 – OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES MACROSCÓPICAS
Para recuperar as equações de Navier-Stokes, devemos obter os diversos
momentos de equilíbrio e )0()0()0()0()0( ,,,, yxxyxx qqSSe )0(E em função dos momentos
conservados xj,ρ e . yj
As equações atérmicas de Navier-Stokes são escritas em sua forma mais
geral como:
0=∂+∂ ααρ jt ,
[ ] )()()( γγααββαβαβαβα ρζρνρ uuupuujt ∂∂+∂+∂∂+−∂=∂+∂ ,
27
onde ν e ζ são o primeiro e o segundo coeficientes de viscosidade, respectivamente.
Para obtê-las, os momentos de equilíbrio devem ser escolhidos da seguinte maneira:
)(32 22)0(yx uue ++−= ρρ , )(
222)0(yxxx uuS −= ρ , yxxy uuS ρ=)0( ,
xx jq −=)0( , yy jq −=)0( , )(3 22)0(yx uuE +−= ρρ ,
igualando respectivos momentos de equilíbrio aos termos das equações de Navier-
Stokes [14].
A viscosidade é relacionada aos tempos de relaxação pela relação
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−==
211
31
211
31
'νν λλζν ,
o que indica que os tempos de relaxação νλ e 'νλ devem ser iguais.
A velocidade do som é dada por sc 312 =sc .
Aplicada a análise de estabilidade de von Neumann sobre a equação de
dispersão linearizada deste modelo, formalizada por Lallemand & Luo [17] e utilizada
em outros trabalhos [18,19,20,21,22], podem ser escolhidos valores “ótimos” para o
demais tempos de relaxação (relativos a e )0()0( , yx qq )0(E ) e a sua interdependência,
para aumentar a estabilidade do modelo.
A estabilidade do método dos momentos frente ao BGK pode ser vista na
figura abaixo.
Figura 3.2 - Comparação de estabilidade entre o método dos momentos e o método BGK.
28
A tendência dos modelos de lattice-Boltzmann é de que quando diminui-
se a viscosidade (ou seja, quando o tempo de relaxação está próximo de 2), deve-se
aumentar a velocidade para que o modelo mantenha a estabilidade, prática usual quando
o método BGK é aplicado. A estabilidade do método dos momentos praticamente não é
afetada pela diminuição da viscosidade.
29
CAPÍTULO 4 – MODELO TÉRMICO (D2Q17)
4.1 – ESCOLHA DA REDE
Para que um modelo de lattice-Boltzmann possa simular as equações de
Navier-Stokes-Fourier 2D, ou seja, um escoamento térmico, é necessário que ele
satisfaça a, no mínimo, treze momentos de equilíbrio [23], onde estão incluídos
quantidades conservadas, vínculos de isotropia na viscosidade, e também vínculos de
isotropia na difusividade térmica [24,27]. Precisa-se, então, de uma rede com, no
mínimo, treze direções para que se possa a elaborar um modelo que preencha alguns
requisitos mínimos.
A hipótese de se utilizar uma rede hexagonal foi abandonada, por esta
não possuir isotropia do tensor de 6 ª ordem, condição esta para a estabilidade e
inexistência de termos não-lineares nas equações macroscópicas [24,25,26].
Escolheu-se a rede quadrada com dezessete direções (incluindo a
partícula parada) D2Q17 por dois motivos principais: i) a rede possui mais graus de
liberdade do que o mínimo necessário, e eles deverão ser utilizados para o aumento da
estabilidade e/ou a garantia da isotropia; ii ) pode ter isotropia do tensor de 6 ª ordem.
A rede D2Q17 é definida pelos conjunto de vetores: ,
, , ,
)0,0(0 =cr
)0,1(1 =cr )1,0(2 =cr )0,1(3 −=cr )1,0(4 −=cr , )1,1(5 =cr , )1,1(6 −=cr , ,
, , ,
)1,1(7 −−=cr
)1,1(8 −=cr )0,2(9 =cr )2,0(10 =cr )0,2(11 −=cr , )2,0(12 −=cr , ,
, e
)2,2(13 =cr
)2,2(14 −=cr )2,2(15 −−=cr )2,2(16 −=cr .
4.2 – CONJUNTO DE VETORES LINEARMENTE INDEPENDENTES
30
Para uma rede com dezessete direções, precisa-se de dezessete momentos
para a completa representação no espaço de momentos. Procura-se, então, estes
momentos nas ordens mais baixas (por estes serem os mais importantes) para que estes
sejam linearmente independentes.
A independência linear falha pela primeira vez apenas no momento de
quarta ordem em que ,e utiliza-se apenas quatro momentos nesta ordem
(ao invés de cinco); e também falha nos momentos de quinta ordem, onde tem-se apenas
dois momentos LI dos demais. A relação exata entre a ordem e o número de momentos
LI que a rede D2Q17 possui pode ser verificada na tabela 1.
xiyiyixi cccc 33 =
Ordem 0 1 2 3 4 5 Total
Momentos LI 1 2 3 4 4 2 16
Tabela 4.1. – Relação de ordens dos momentos e número de momentos LI para a rede D2Q17.
Para completar dezessete momentos, escolhe-se o momento de sexta
ordem , e o conjunto LI sobre o qual será montada é apresentado abaixo: 6ic
00 ii cl = ; 2
1 ii cl = ; 42 ii cl = ; 6
3 ii cl = ; xi cl =4 ;
xiii ccl 25 = ; xiii ccl 4
6 = ; yii cl =7 ; yiii ccl 28 = ; yiii ccl 4
9 = ;
2210 yixii ccl −= ; yixii ccl =11 ; ( )222
12 yixiii cccl −= yixiii cccl 213 = ;
2214 yixii ccl = ; ( )22
15 yixixii cccl −= ; ( )2216 yixiyii cccl −= .
4.3 – CONJUNTO ORTOGONAL DE VETORES
Segue-se então o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt sobre o
conjunto de vetores { }, originando uma base para o ℜlr 17 { er } cujos vetores estão
31
representados no anexo A, bem como a matriz M formada por eles. A nomenclatura
para os referidos momentos é apresentada a seguir:
ρ=0N̂ ; )17602(ˆ 2
1 −+= ueN ρ
; EN =2ˆ ; ζ=3N̂ ; xjN =4ˆ ; xqN =5ˆ ;
xhN =6ˆ ; yjN =7ˆ ; yqN =8ˆ ; yhN =9ˆ ; xxSN =10ˆ ; xySN =11ˆ ;
xxN π=12ˆ ; xyN π=13ˆ ; wwN π=14ˆ ; xmN =15ˆ ; ymN =16ˆ .
4.4 – DETERMINAÇÃO A PRIORI DOS MOMENTOS DE EQUILÍBRIO
A função distribuição de Maxwell-Boltzmann para sistemas de partículas
em equilíbrio, em duas dimensões, é a seguinte
( )( )
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
−
eeeuf
u
2exp
2,,
2)0(
rr
r ζ
πρρ , (4.1)
onde ζr
é a velocidade microscópica das moléculas (limite do caso contínuo do
conjunto { c }) e u a velocidade macroscópica. r r
Para determinar os momentos da distribuição de Maxwell-Boltzmann,
define-se primeiramente a função peso (o momento) como sendo, por exemplo, 1, xζ ,
ou qualquer potência de ζr
, e daí integra-se no espaço de velocidade microscópica
obtendo-se o momento correspondente, que será igualado ao momento de equilíbrio do
modelo discreto, o D2Q17, que deverá ser 1, , ou qualquer potência de ixc icr ,
respectivamente. Integrando a função 1, do contínuo, por exemplo (massa), tem-se a
densidade, integrando xζ tem-se o momentum x, e assim por diante, que deverá ser
igualado ao momento equivalente no modelo discreto.
Uma outra consideração para o cálculo dos momentos de equilíbrio foi a
isotropia do tensores de 4ª e 6ª ordem. Segundo Chen et al. [24], os termos não-lineares
32
não aparecem nas equações macroscópicas se este tensor o tensor de 6ª ordem for
isotrópico. Para forçar a esta isotropia, faz-se [24]:
03216416
13
12
9
8
5
4
1=−+− ∑
=∑=
∑=
∑= i
ii
ii
ii
i NNNN , (4.2)
para o tensor de 4ª ordem, e:
051264816
13
12
9
8
5
4
1=−+− ∑
=∑=
∑=
∑= i
ii
ii
ii
i NNNN , (4.3)
para o tensor de 6ª ordem.
Os momentos de equilíbrio a serem integrados no contínuo são exatamente os
momentos ortogonalizados no modelo discreto, e o resultado desta operação se encontra
no anexo B.
4.5 – EXPANSÃO DE CHAPMAN-ESNKOG (D2Q17)
4.5.1 – PRIMEIRA ORDEM DE KNUDSEN (D2Q17)
Com o conjunto de vetores ortogonais definidos, parte-se para a primeira
ordem da expansão de Chapman-Enkog do modelo D2Q17.
Seguindo os passos executados para a rede D2Q9, mas agora para a rede
D2Q17, tem-se:
0''1 =∂+∂+∂ yyxx jjρ ;
051
10951
10917602 )0(
')0(
'2
1 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +∂+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+∂ yyyxxx qjqjueρ ;
33
021
2)0(
')0(
2'1 =∂+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+∂+∂ xyyxxxx SSuej ρ ;
021
2)0(
2'
)0('1 =
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+∂+∂+∂ xxyxyxy SueSj ρ ;
)1()0()0('
)0()0()0(2'
)0(1
51101
21
5147
21
17602
327527
xqxyxyy
xxxxxx
qS
SEueq
λπ
πρ
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+∂+∂
;
)1()0()0()0(2'
)0()0('
)0(1
21
5147
21
17602
327527
51101
yqxxxxy
xyxyxy
qSEue
Sq
λπρ
π
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +∂+∂
;
)1()0()0()0('
)0()0()0('
)0(1
31
15547
1517
31
15547
1517
xxxxSyyyyy
xxxxxxx
Smhqj
mhqjS
λ−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++−∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−∂+∂
;
)1()0()0()0('
)0()0()0('
)0(1
21
61
155101
1534
21
61
155101
1534
xyxySxxxxy
yyyyxxy
Smhqj
mhqjS
λ−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++∂+∂
;
onde se obtém a Equação de Euler simplesmente substituindo os momentos de
equilíbrio na equação de conservação de quantidade de movimento, com a pressão
termodinâmica
ep ρ= ,
com Ρ = 1. N
34
Como no caso anterior do modelo D2Q9, os outros momentos que não
tiveram suas respectivas equações de primeira ordem apresentadas não influenciarão na
modelagem hidrodinâmica do modelo D2Q17.
4.5.2 – SEGUNDA ORDEM DE KNUDSEN
Para a segunda ordem em Knudsen, utilizando o mesmo método aplicado
na rede D2Q9, tem-se:
02 =∂ ρ ;
( )[ ] ( ) 02
12 )1('
)1('
22 =∂+∂⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++∂ yyxx
q qqueλ
ρ ;
( ) 02
15121 )0(
')1(
'2 =∂⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−+∂−+∂ xyy
xySxxxxxSx SSj
λλ ;
( ) 05121
21 )1(
')0(
'2 =∂−−∂⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−+∂ xxyxxSxyx
xySy SSj λ
λ.
Para completar a expansão de Chapman-Enskog e obter as equações de
Navier-Stokes-Fourier, deve-se ainda juntar as várias ordens das derivadas temporais da
densidade, momentum x, momentum y e energia, o que não será feito neste trabalho.
4.6 – RESULTADOS PRELIMINARES
Como primeiro teste, compara-se a estabilidade frente ao modelo de
Chen et al, apresentado na fig. 4.1.
35
0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 0.95-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
e
N m
ínim
o
Comparação do Valor Mínimo de N[i] de Equilíbrio
GLBE Y. Chen
Para ux=uy=0.0
Figura 4.1. – Comparação entre GLBE D2Q17 e Chen et al, variando-se a energia.
Fica claro pela figura que o modelo de Chen et al., para esta
configuração, que em princípio seria a mais estável, não apresenta valores positivos para
suas populações mínimas, enquanto no método dos momentos a população mínima fica
positiva para valores de energia entre 0.38 e 0.8 unidades, aproximadamente.
Outro teste de estabilidade do modelo pode ser feito se plotarmos o
gráfico de para diversas configurações de velocidade, o que é feito
na fig. 4.2, e verifica-se que o modelo é menos estável quanto maior for a velocidade, o
que já era esperado.
},...,,{ 10 mbNNNmín
Figura 4.2. – Apuração do menor valor de Ni para vários níveis de energia e configurações
36
4.7 – CONCLUSÕES SOBRE O MODELO D2Q17 E OS MODELOS TÉRMICOS
O modelo aqui proposto possui graus de liberdade suficiente para a
simulação de escoamentos térmicos, e redes similares foram utilizadas para este tipo de
problema, inclusive garantindo isotropia do tensor de 6ª ordem [24] , o que eliminaria
termos não-lineares nas equações de conservação.
Os modelos de McNamara & Alder [27] e Chen et al. [24] utilizam os
mesmos momentos de equilíbrio que estão definidos aqui, mas neste modelo a
derivação dos momentos se faz a priori. Nos outros modelos, respeitam-se a também a
representação exata dos treze primeiros momentos da distribuição de Maxwell-
Boltzmann, derivando-se a posteriori este vínculo.
A principal limitação dos modelos anteriores é o número de Prandtl fixo:
o número de Prandtl do modelo de McNamara & Alder é fixo porque para restabelecer
as equações macroscópicas, a difusividade térmica e a viscosidade devem ser iguais; no
modelo de Chen et al. o número de Prandt é fixo porque o modelo por eles usado é do
tipo BGK, com apenas um tempo de relaxação, não existindo maneira para relaxar
separadamente a difusividade e a viscosidade.
Este vínculo não acontece no Método dos Momentos, pois existem vários
tempos de relaxação, e a viscosidade e a difusividade poderão ser ajustadas de modos
distintos, o que fará com que possam ser simulados escoamento com diferentes números
de Prandtl.
Para trabalhos futuros, para este mesmo modelo, fica a determinação
teórica dos coeficientes de transporte, através da soma das duas ordens de Knudsen; a
análise da equação de dispersão do modelo [17], e a simulação de problemas simples,
como um vórtice se deslocando a velocidade constante, ou um escoamento Coutte com
diferença de temperatura entre placas planas.
37
CAPÍTULO 5 – CONCLUSÕES
O estágio desenvolvido no LMPT foi altamente satisfatório. Aprendi
muito sobre o ato de pesquisar, provar e entender assuntos desconhecidos por mim,
de perder alguns dias em alguma coisa que acabou não dando certo, e depois ver que
este tempo, na verdade, pode ter sido ganho.
Aprender sobre um método e pesquisá-lo a fundo foi (e espero que
continue sendo) uma experiência agradabilíssima. Saber que isto pode interessar a
indústria e a outros pesquisadores é animador e desafiante ao mesmo tempo. Tem-se
muito trabalho a fazer!
38
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Astronaut., 159, 450-458 (1992).
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simulation of magnetohydrodynamics, Phys. Rev. Lett. 67(27). 3776 (1991).
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39
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[11] S. Chapman & T. G. Cowling. The Mathematical Theory of Non-uniform
Gases. Cambridge University Press, 1952.
[12] E. H. Kennard, Kinetic Theory of Gases, McGraw-hill Book Company, 1938.
[13] H. Macedo, Elementos da Teoria Cinética dos Gases, Editora Guanabara Dois,
1978.
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Erlangen-Nürbert University, March 26-28, Erlangen University, Germany
(1991).
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[19] D. d’Humières, M. Bouzidi & P. Lallemand. Thirteen-velocity three-dimensional
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40
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172, 704-717 (2001).
[21] P. Lallemand, D. d’Humières, L.-S. Luo & R. Rubinstein. Theory of the lattice
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[23] S. Succi, The Lattice Boltzmann Equation for Fluid Dynamics and Beyond.
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model without nonlinear deviations in macrodynamic equations. Phys. Rev.
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Lattice Methods, Phys. Rev. Lett., 80(18), 3960 (1998).
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difference lattice Boltzmann method with high spatial isotropy, a ser
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[27] G. McNamara & B. Alder, Analysis of the lattice Boltzmann treatment of
hydrodynamics. Physica A, 194, 218-228, (1993).
41
ANEXO A
42
Apresenta-se de forma analítica o conjunto ortogonal que forma a base
para o ℜ17.
10 =ie
17602
1 −= ii ce
1091240
109969 24
2 +−= iii cce
1192592
108538866
368944691 246
3 −+−= iiii ccce
xii ce =4
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
17602
5 ixii cce
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
594
551 24
6 iixii ccce
yii ce =7
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
17602
8 iyii cce
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
594
551 24
9 iiyii ccce
2210 yixii cce −=
yixii cce =11
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
1765222
12 iyixii ccce
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
171302
13 iyixii ccce
91936048
919317795
3677232731
367724175 24622
14 +−+−= iiiyixii ccccce
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−+−=465
15883196
31 2422
15 iiyixixii ccccce
43
( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−−=
4651588
3196
31 2422
16 iiyixiyii ccccce
A matriz M, gerada por estes vetores, é apresentada a seguir.
44
i
k
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
- 6017
- 4317
- 4317
- 4317
- 4317
- 2617
- 2617
- 2617
- 2617
817
817
817
817
7617
7617
7617
7617
1240109
380109
380109
380109
380109
- 262109
- 262109
- 262109
- 262109
- 892109
- 892109
- 892109
- 892109
464109
464109
464109
464109
- 2592119
5395218445
5395218445
5395218445
5395218445
17342418445
17342418445
17342418445
17342418445
- 15367218445
- 15367218445
- 15367218445
- 15367218445
2673618445
2673618445
2673618445
2673618445
0 1 0 - 1 0 1 - 1 - 1 1 2 0 - 2 0 2 - 2 - 2 2
0 - 143
0 143
0 - 113
113
113
- 113
- 103
0 103
0 143
- 143
- 143
143
0 485
0 - 485
0 125
- 125
- 125
125
- 12 0 12 0 125
- 125
- 125
125
0 0 1 0 - 1 1 1 - 1 - 1 0 2 0 - 2 2 2 - 2 - 20 0 - 14
30 14
3- 11
3- 11
3113
113
0 - 103
0 103
143
143
- 143
- 143
0 0 485
0 - 485
125
125
- 125
- 125
0 - 12 0 12 125
125
- 125
- 125
0 1 - 1 1 - 1 0 0 0 0 4 - 4 4 - 4 0 0 0 00 0 0 0 0 1 - 1 1 - 1 0 0 0 0 4 - 4 4 - 40 - 48
174817
- 4817
4817
0 0 0 0 1217
- 1217
1217
- 1217
0 0 0 0
0 0 0 0 0 - 9617
9617
- 9617
9617
0 0 0 0 2417
- 2417
2417
- 2417
60489193
- 46089193
- 46089193
- 46089193
- 46089193
40329193
40329193
40329193
40329193
- 10089193
- 10089193
- 10089193
- 10089193
729193
729193
729193
729193
0 256155
0 - 256155
0 - 224155
224155
224155
- 224155
112155
0 - 112155
0 - 8155
8155
8155
- 8155
0 0 - 256155
0 256155
224155
224155
- 224155
- 224155
0 - 112155
0 112155
8155
8155
- 8155
- 8155
y
{
Matriz M
45
ANEXO B
46
Momentos de equilíbrio para o D2Q17.
ρ=)(0
ˆ eqN ,
)17602(ˆ 2)(
1 −+= ueN eq ρ
( ) ρρρρρ10912402
10996988ˆ 2422)()(
2 ++−++== ueueueEN eqeq
( ) ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
+−+
+−+−==
2
422)()(
3570.225337.2714
785.112674.542280.902760.401
445.18ˆ
ue
uueN eqeq ρζ
xeq jN =)(
4ˆ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
3174ˆ 22)(
5 eujN xeq
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−++=
594
5204
5512412ˆ 2224)(
6 eueeuujN xeq
yeq jN =)(
7ˆ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
3174ˆ 22)(
8 eujN yeq
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−++=
594
5204
5512412ˆ 2224)(
9 eueeuujN yeq
( )22)(10
ˆ yxeq uuN −= ρ
yxeq uuN ρ=)(
11ˆ
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−=
17656ˆ 222)(
12 ueuuN yxeq ρ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
171306ˆ 2)(
13 ueuuN yxeq ρ
( )[ ]2422)(14 1637482.140185.8640.29480.65128.16
544.733ˆ ueuueN eq +−++−+= ρ
( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−−+++= 222224)(
15 3196
31322
465588.12412
31ˆ yxx
eq uuueeeuujN
47
( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−−+++−= 222224)(
16 3196
31322
465588.12412
31ˆ xyy
eq uuueeeuujN
48
ANEXO C
49
Resumo submetido ao VIII Workshop on Partial Differential
Equations, a ser realizado no IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada), Rio de
Janeiro, de 21 a 25 de julho de 2003.
Generalized lattice-Boltzmann equation for
thermo-hydrodynamics partial differential equations
The statement that lattice-Boltzmann (LB) methods can approximate the
solutions of hydrodynamic partial differential equations is, presently, well accepted for
athermal, incompressible flow. Thermodynamically consistent LB models have been
proposed in the last ten years, presenting, nevertheless, some important difficulties:
fixed Prandtl number, failure of Galilean invariance, anisotropy of 6th rank tensors
and/or numerical instability. In 1992, d'Humières proposed to model the collision
operator in the space spanned by the b-macroscopic moments of a b-directions lattice,
instead of using the velocity space (D. d'Humières, Prog.Aeronaut. Astronaut., 159,
450-458). D'Humières idea was not pursued until about 2000, when it was rescued for
the description of two and three-dimensional athermal flows, with marked advantages
when compared to BGK-based models. Present work is based on this idea, trying to
describe thermo-hydrodynamics macroscopic equations, which main problems remain,
still, unsolved. A two-dimensional square lattice, with 17 degrees of freedom, is
employed. A Gram-Schmidt procedure is used to find an orthogonal set of eigenvectors
for the collision matrix. Finally, a Chapman-Enskog analysis is performed and it is
shown that the correct partial differential equations describing compressible, non-
isothermal flow are retrieved. Some, preliminary, numerical results from LB simulation
are also presented.
