Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia · • Análise de Variância (ANOVA) é um...

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15/09/2016 13:11 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

Estatística Aplicada I

Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes

Universidade Federal do Pará

Instituto de Tecnologia

Campus de Belém

Curso de Engenharia Mecânica

15/09/2016 13:11 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses

Capítulo VIII

Universidade Federal do Pará

Instituto de Tecnologia

Análise de Variância

Campus de Belém

Curso de Engenharia Mecânica

9/15/2016

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Introdução

Planejamento aleatorizado por níveis

VIII – Análise de Variância


Introdução

Planejamento aleatorizado por níveis

VIII – Análise de Variância

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8.1 Introdução

• Análise de Variância (ANOVA) é um método

estatístico, desenvolvido por Fisher, que por meio de

testes de igualdade de médias, verifica se fatores

propostos produzem mudanças sistemáticas em

alguma variável de interesse (varável dependente).

• Os fatores considerados podem ser variáveis

quantitativas ou qualitativas; entretanto, a variável

dependente deve ser quantitativa (intervalar) e é

observada dentro das classes dos fatores, denominados

tratamentos.

Considerações inicias


8.1 Introdução

• EXEMPLO: No caso de consumo de combustível dos

veículos, pode-se admitir como fatores de influência a

marca, a idade e a potência. A análise de variância

permite verificar se tais fatores, ou uma combinação

deles, produzem efeitos apreciáveis sobre o consumo, ou

se concluir que não têm influência alguma.

• Se for considerado somente a marca do veículo, com

interesse em apenas duas delas, esse experimento

poderia ser planejado e analisado usando os testes t de

hipóteses para duas amostras. Nesse caso, tem-se um

único fator de interesse – marca do veículo – e há

somente dois níveis do fator – duas marcas.

Considerações iniciais

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8.1 Introdução

• Muitos experimentos com um único fator, no entanto,

requerem que mais de dois níveis do fator sejam

considerados.

• Neste caso, a análise de variância poderá ser usada para

comparar médias, quando houver mais de dois níveis de

um único fator.

• As diversas técnicas de planejamento e análise de

experimentos com vários fatores deverão ser estudadas

em cursos de pós-graduação.

Considerações iniciais


• Um experimento completamente aleatorizado com um

único fator e quatro níveis (níveis = tratamentos), e

cada tratamento com seis observações (ou réplicas)

vão gerar 24 corridas.

• Fazendo a aleatoriedade da ordem das 24 corridas, o

efeito de qualquer variável perturbadora, que possa

influenciar a variável de estudo (variável dependente),

é aproximadamente balanceado.

Aleatoriedade das corridas experimentais

8.1 Introdução

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Aleatoriedade das corridas experimentais

• EXEMPLO: Se deseja verificar a influência de uma

certa condição em uma propriedade do material.

Supondo que o aquecimento da máquina de teste possa

influenciar nos resultados, quanto mais tempo a

máquina ficar ligada, maior será a sua temperatura.

Dessa forma, se os testes foram realizadas por níveis

do fator, a temperatura da máquina irá aumentar do

primeiro ao último nível do fator, e as diferenças

observadas nos resultados para cada nível poderão ser

também devidas ao efeito de aquecimento.

8.1 Introdução


Análise gráfica dos dados de um experimento planejado

• Os diagramas de

caixa, por exemplo,

permitirão visualizar a

variabilidade das

observações dentro

(within) de um

tratamento (nível do

fator) e a variabilidade

entre (between) os

tratamentos.

8.1 Introdução

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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis

Seja um procedimento experimental onde se realizou

ensaios com a diferentes níveis (ou tratamentos) de uma

única variável de influência (fator simples), com n réplicas

para cada nível, como mostrado a seguir:

Nível (Tratamento)

Observações Totais Médias

1

2

.

.

.

a

y11 y12 ... y1n

y21 y22 ... y2n

. . .

. . .

. . .

ya1 ya2 ... yan

y1.

y2.

.

.

.

ya.

.

.

.

Σ y..

.1y

.2y

.ay

..y

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Onde yij é o j-ésimo elemento obtido no tratamento (nível)

i. Esses elementos podem ser definidos pelo modelo

estatístico linear

aleatórioserrosadevidocomponente

tratamentocadadeefeitoodefinequeparâmetro

geral médiaonde

n,...,2,1j

a...,2,1iy

ij

i

ijiij

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O objetivo deste estudo é avaliar os efeitos dos

tratamentos e estimá-los através do teste de hipóteses

adequado.

Para esse teste, assume-se que os erros do modelo são

normalmente e independentemente distribuídos com

média zero e variância σ².

Esse modelo é denominado análise de variância de

um fator único e, para que a análise seja objetiva é

necessário que o procedimento experimental seja

completamente aleatorizado.

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Análise dos efeitos dos tratamentos pode ser feita de duas

maneiras:

• Análise de um modelo de efeitos fixos - Os tratamentos são

escolhidos de forma específica e, desta forma, o teste de

hipóteses refere-se às médias dos tratamentos, e as conclusões

extraídas são aplicáveis somente aos níveis considerados na

análise, não podendo ser estendidos a outros níveis não

analisados.

• Análise de um modelo de efeitos aleatórios - Os tratamentos

analisados representam uma amostra aleatória de uma

população de tratamentos, e as conclusões feitas para essa

amostra podem se estender para todos os outros tratamentos

da população.

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Análise de um modelo de efeitos fixos

• Efeitos dos tratamentos τi são definidos como

desvios a partir da média geral, de modo que:

0a

1i

i

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• Da tabela anterior, tem-se que

sobservaçõeastodasdegeralmédiay

sobservaçõedetotalnúmeronaNonde

Nyyyy

nyyyy

..

a

1i

....

n

1j

ij..

.ii

n

1j

ij.i

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• A média estimada do i-ésimo tratamento é dada por

)tratamentodoefeitodo

acrescidageralmédia(a,...,2,1i,)y(E

1

iiij

• Faz-se o teste de hipóteses para verificar se as médias dos

tratamentos são iguais

)ijparumparamenospelo(:H

...:H

ji1

a21o

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Se Ho for verdadeira (todos os tratamentos tem média igual a

μ), a mudança nos níveis do fator não tem efeito na resposta

média.

• Para essa verificação, a análise de variância é a que melhor

se aplica.

• O termo análise de variância deriva da divisão da

variabilidade total em seus componentes.

)iumparamenospelo(0:H

0...:H

i1

a21o

ou

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• A variabilidade total dos resultados é representada pela soma

corrigida dos quadrados SQT (ou soma quadrática total),

mostrada abaixo:

a

1i

n

1j

2

..ijT )yy(SQ

que pode ser reescrita como

a

1i

n

1j

2

.iij...i

a

1i

n

1j

2

..ijT )]yy()yy[()yy(SQ

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ou

a

1i

n

1j

.iij...i

a

1i

n

1j

2

.iij

2

..

a

1i

.i

a

1i

n

1j

2

..ijT

)yy)(yy(2

)yy()yy(n)yy(SQ

• O último termo da expressão é nulo, pois

0)ny(nyyny)yy( .i.i.i.i

n

1j

.iij

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EsTratamentoT

a

1i

n

1j

2

.iij

2

..

a

1i

.i

a

1i

n

1j

2

..ijT

SQSQSQ

ou

)yy()yy(n)yy(SQ

• Como se observa, a soma corrigida dos quadrados (que

representa a variabilidade dos dados) é representada pela

somatória dos quadrados das diferenças entre as médias dos

tratamentos e a média geral de todos os elementos, adicionada

à somatória dos quadrados das diferenças entre as observações

e as médias dos tratamentos.

• Assim,

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onde SQTratamentos denomina-se soma dos quadrados devidos

aos tratamentos (entre tratamentos) e SQE é denominada

soma dos quadrados devidos ao erro (dentro dos

tratamentos).

• SQT apresenta N-1 graus de liberdade, SQTratamentos apresenta

a-1, e SQE, N-a graus de liberdade.

• A razão MQTratamentos = SQTratamentos/a–1, chamada de média

quadrática dos tratamentos, é uma estimativa da variância

entre os tratamentos, e a razão MQE = SQE/N–a, denominada

média quadrática do erro, é uma estimativa da variância

dentro de cada um dos tratamentos.

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2

Den

2

Num

E

sTratamento

E

sTratamentoo

)aN/(SQ

)1a/(SQ

MQ

MQF

• Considere agora que cada uma da a populações possa ser

modelada como uma distribuição normal.

• Usando essa suposição, pode-se mostrar que se a hipótese

nula for verdadeira, isto é, não há diferença entre as médias

dos tratamentos, a razão

terá uma distribuição F com a–1 e N–a graus de

liberdade.

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• No caso da hipótese nula ser verdadeira, tanto o numerador

quanto o denominador da expressão são estimadores

confiáveis de σ². No entanto, se a hipótese for falsa, então o

valor esperado do numerador será maior do que σ².

• Por conseguinte, se o valor esperado para o numerador é

maior que o valor esperado para o denominador, deve-se

rejeitar Ho para valores do teste de hipóteses que sejam

muito grandes, ou seja, a hipótese nula será rejeitada se

aN,1a,o FF

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• A análise da variância pode ser feita construindo-se a

tabela a seguir:

Fonte de variação

Soma dos quadrados

Graus de liberdade

Média dos quadrados

Fo

Entre

tratamentos SQTratamentos a – 1 MQTratamentos

Erro

(dentro dos

tratamentos)

SQE N – a MQE

Total SQT N – 1

E

sTratamento

MQ

MQ

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• Quando o número de observações não pode ser mantido

constante em todos os tratamentos, tem-se nessa situação

a

1i

inN

onde ni é o tamanho da amostra para cada tratamento i,

e as expressões das somas ficam:

N

y

n

ySQe

N

yySQ

2

..a

1i i

2

.isTratamento

2

..a

1i

n

1j

2

ijT

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• Deve-se preferir o uso de tratamentos com amostras do

mesmo tamanho, pois a hipótese de que as variâncias

sejam iguais para todos os tratamentos é mais facilmente

verificada quando ni = n e também porque a capacidade

do teste é maximizada nessa situação.

COMPARAÇÃO DAS MÉDIAS INDIVIDUAIS DOS

TRATAMENTOS:

• O método anterior permite verificar se as médias de

diversos tratamentos são diferentes ou não, mas não

possibilita dizer quais delas divergem.

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• Para tanto, há necessidade de se comparar as

somatórias das observações de cada tratamento (yi.) ou

de suas médias ( ).

• Essas comparações são feitas através dos denominados

métodos de comparação múltipla.

• Muitos desses métodos usam o conceito de contraste.

Que são comparações de médias de tratamentos ou das

somatórias das observações de cada tratamento por

G.L. individuais na análise de variância.

.iy

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• Contraste é comparação, enquanto ortogonal, neste

caso, quer dizer independente. Assim, o contraste

ortogonal é uma forma de estudar os tratamentos em

uma série de comparações.

• A ortogonalidade indica que a variação de um

contraste é inteiramente independente da variação de

outro qualquer que lhe seja ortogonal.

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• O ponto chave dos contrastes é que se consegue

“juntar” todos os tratamentos em apenas dois grupos, e

com isto o teste de F já é completamente satisfatório.

• Pode-se fazer tantas comparações quanto se desejar,

até o limite de graus de liberdade dos tratamentos, já

que este é o máximo de informação que existe sobre

os tratamentos.

• A soma dos vetores deve ser nula para ser um

contraste. No entanto, para ser ortogonal, deve-se

multiplicar um pelo outro e sua soma deve ser zero.

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• Contraste C ou comparação é uma função linear dos

totais de tratamentos yi. (ou de suas médias) do tipo:

se

.aa.22.11

a

1i

.ii yc...ycycycC

diferentesncomstratamentopara0cn

iguaisncomstratamentopara0c

a

1i

ii

a

1i

i

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• Os contrastes

são ortogonais (independentes entre si) se

a

1i

.ii

a

1i

.ii ybBeycC

diferentesncomstratamentopara0cbn

iguaisncomstratamentopara0cb

a

1i

iii

a

1i

ii

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• EXEMPLOS:

.3.2.14

.3.2.1.3.2.1

3

.3.12

.2.11

yyyCcontrasteéNão

y2yyy2

yyC

yyC

yyC

contrastesSão

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• EXEMPLOS:

03)2)(1()1)(0()1)(1(pois,CeC

01)1)(0()0)(1()1)(1(pois,CeC

:ortogonaissãoNão

0)2)(1()1)(0()1)(1(pois,CeC

:ortogonaisSão

32

21

31

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a soma dos quadrados para qualquer contraste é dada por

diferentesncomstratamentopara

cn

yc

SQ

iguaisncomstratamentopara

cn

yc

SQ

a

1i

2

ii

2a

1i

.ii

C

a

1i

2

i

2a

1i

.ii

C

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• Um contraste é testado comparando-se SQC/1 com

SQE/(N–a), que deve ser distribuído como Fα,1,N-a caso

a hipótese nula seja verdadeira, ou seja, com

)aN/(SQ

1/SQF

E

Co

Ho será rejeitada se

aN,1,o FF

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• Exemplo 01: Um engenheiro está interessado em

maximizar a resistência à tração de uma nova fibra sintética

que será usada na confecção de roupas. Ele conhece de

situações anteriores que a resistência à tração é afetada pela

porcentagem de algodão na fibra. Além disso, ele suspeita

que o aumento do conteúdo de algodão eleva a resistência.

Ele também sabe que o conteúdo de algodão deve estar

entre 10% e 40% para que as roupas tenham no final uma

qualidade desejável. O engenheiro decide testar fibras com

cinco níveis de porcentagem de algodão: 15, 20, 25, 30 e

35%. Ele também decide testar cinco corpos de prova para

cada nível de conteúdo de algodão.

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• Solução: Este é um exemplo de um planejamento de um

único fator com a = 5 níveis e n = 5 réplicas. Os 25 ensaios

devem ser feitos em ordem aleatória, como por exemplo:

Porcentagem de algodão

Número de ensaios

15 20 25 30 35

1 6 11 16 21

2 7 12 17 22

3 8 13 18 23

4 9 14 19 24

5 10 15 20 25

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20

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Sequência do ensaio

Nº do ensaio

% algodão

Sequência do ensaio

Nº do ensaio

% algodão

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

8 18 10 23 17 5 14 6 15 20 9 4 12

20 30 20 35 30 15 25 20 25 30 20 15 25

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 -

7 1 24 21 11 2 13 22 16 25 19 3 -

20 15 35 35 25 15 25 35 30 35 30 15 -

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% de

algodão

Tensões de escoamento observadas

(lb/pol²) Totais

yi.

Médias

yi 1 2 3 4 5

15

20

25

30

35

7

12

14

19

7

7

17

18

25

10

15

12

18

22

11

11

18

19

19

15

9

18

19

23

11

49

77

88

108

54

9,8

15,4

17,6

21,6

10,8

y.. = 376

.iy

04,15y..

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% de

algodão

Tensões de escoamento observadas

(lb/pol²) Totais

yi.

Médias

yi. 1 2 3 4 5

15

20

25

30

35

-8

-3

-1

4

-8

-8

2

3

10

-5

0

-3

3

7

-4

-4

3

4

4

0

-6

3

4

8

-4

-26

2

13

33

-21

-5,2

0,4

2,6

6,6

-4,2

y.. = 1

.iy

04,0y..

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20,16176,47596,636

SQSQSQ

76,47525

)376(

5

)54(...)49(

25

)376(

5

y

N

y

n

ySQ

96,63625

)376()11(...)7()7(

25

)376(y

N

yySQ

sTratamentoTE

222

25

1i

2

.i

2

..a

1i

2

.isTratamento

2222

25

1i

5

1j

2

ij

2

..a

1i

n

1j

2

ijT

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22

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Fonte da

variação

Soma dos

quadrados

Graus de

liberdade

Média dos

quadrados

Fo

% de algodão

Erro

Total

475,76

161,20

636,96

4

20

24

118,94

8,06

14,76*

* Significativo ao nível de 1% (F0.01,4,20 = 4,43)

aN,1a,o FF

• Uma vez que Fo > F0,01;4;20, rejeita-se Ho, concluindo-se

que ao nível de 1% a porcentagem de algodão na fibra afeta

significativamente a sua resistência à tração.

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54321454312o

54321331o

5432125431o

54321154o

y1y1y1y4y1C4:H

y0y0y1y0y1C:H

y1y1y1y0y1C:H

y1y1y0y0y0C:H

ContrastesHipóteses

• Pode-se verificar, pela condição abaixo, que todos os pares

de contrastes são ortogonais.

5

1i

ii 0cb

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81,0)20(5

)9(SQ9)54(1)108(1)88(1)77(4)49(1C

10,152)2(5

)39(SQ39)54(0)108(0)88(1)77(0)49(1C

25,31)4(5

)25(SQ25)54(1)108(1)88(1)77(0)49(1C

60,291)2(5

)54(SQ54)54(1)108(1)88(0)77(0)49(0C

2

4C4

2

C3

2

C2

2

C1

3

2

1

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Fonte da variação Soma dos

quadrados

Graus de

liberdade

Média dos

quadrados

Fo

% de algodão

Contrastes ortogonais

C1 :μ4 = μ5

C2 :μ1 + μ3 = μ4 + μ5

C3 :μ1 = μ3

C4 :4μ2 = μ1 + μ3 + μ4 + μ5

Erro

Total

475,76

(291,60)

(31,25)

(152,10)

(0,81)

161,20

636,96

4

1

1

1

1

20

24

118,94

291,60

31,25

152,10

0,81

8,06

Fo =14,76

36,18*

3,88

18,87*

0,10

* Significativo ao nível de 1% (F0.01,4,20 = 4,43)

• Conclusão: Há uma significante diferença entre as porcentagens de

algodão 4 e 5 e 1 e 3, mas as médias de 1 e 3 não diferem das médias

de 4 e 5, e 2 não difere das médias das outras quatro porcentagens.

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• Exemplo 02: Deseja-se verificar se a modificação das condições

de tratamento térmico influem na tensão limite de escoamento de

uma liga metálica. Foram ensaiadas quatro condições distintas,

obtendo-se os resultados mostrados na tabela a seguir:

Condição de tratamento

Tensão limite de escoamento (MPa)

1 2 3 4

312,9 300,0 286,5 289,0 320,0 330,0 297,5 315,0 280,0 290,0 298,5 305,0 260,0 270,0 260,0 276,5

A modificação das condições de tratamento afeta a propriedade

mecânica da liga metálica? (use α = 0,05)

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• Quadro de análise de variâncias

Tratamentos TLE (MPa) Totais Médias

1 2 3 4

312,9 300,0 286,5 289,0 320,0 330,0 297,5 315,0 280,0 290,0 298,5 305,0 260,0 270,0 260,0 276,5

1188,4 1262,5 1173,5 1066,5

297,1 315,6 293,3 266,6

4690,6 293,2

N = n.a = 16

SQT = 6436,5 SQTrat /(a-1) = 1632,5 SQTrat = 4897,4 SQE /(N-a) = 128,3 SQE =1539,1 Fo = 12,7 F0,05;3;12 = 3,49

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• Como Fo > F0,05;3;12 tem-se que a hipótese nula é rejeitada, ou

seja, ao nível de 5% os tratamentos afetam a tensão limite de

escoamento da liga metálica

• Para comparar as médias dos diversos tratamentos serão

verificadas as seguintes hipóteses nulas:

43215312o

432144231o

4321342o

4321231o

4321121o

y0y1y2y1C2:H)5

y1y1y1y1C:H)4

y1y0y1y0C:H)3

y0y1y0y1C:H)2

y0y0y1y1C:H)1

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• Verifica-se se a condição abaixo é satisfeita para todos os

contrastes

a

1i

i 0c

00121:C

01111:C01010:C

00101:C00011:C

5

43

21

Portanto, todos os contrastes propostos satisfazem o

critério.

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• Dos cinco contrastes propostos, quatro pares são

ortogonais, ou seja, independentes entre si.

• Analisando-se a primeira hipótese Ho:μ1 = μ2 , tem-se:

43524232 C.C,C.C,C.C,C.C

35,686)2(4

)1,74(SQ

1,74)5,1066(0)5,1173(0)5,1262(1)4,1188(1C

2

C

1

1

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• Portanto, como SQC1 = 686,35 e SQE /(N–a) = 128,3.:

• Como F0,05;1; 12 = 4,75, tem-se que Fo > F0,05; 1; 12 ,

assim, pode-se concluir que, ao nível de 5%, existe

diferença significativa entre as médias dos tratamentos 1

e 2.

35,53,128

1/35,686

)aN/(SQ

1/SQF

E

Co

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• Exemplo 03: Um fabricante de televisores está interessado

no efeito de quatro diferentes tipos de recobrimentos para

tubos catódicos sobre a condutividade desses tubos. Após o

planejamento experimental, obtiveram-se os seguintes

resultados:

Tipo de recobrimento

Condutividade

1 2 3 4

143 152 134 129

141 149 136 127

150 137 132 132

146 143 127 129

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• a) O tipo de recobrimentos dos tubos afeta a

condutividade nos mesmos?

b) Estime a média geral e os efeitos dos tratamentos.

c) Determine o intervalo de confiança de 95% ao estimar

a média do tipo de recobrimento 4.

d) Assumindo que o tipo 4 está atualmente em uso, quais

suas recomendações para o fabricante que deseja reduzir

a condutividade?

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• Solução: Trata-se de um planejamento

aleatorizado por níveis, que apresenta níveis

completos (balanceados), modelo de efeitos

fixos. A variável de influência é o tipo de

recobrimento para tubos catódicos, e a variável

de resposta é a condutividade, não existindo

fontes de variabilidade.

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Tipo de recobrimento

Condutividade y.

ȳ.

1 2 3 4

143 152 134 129

141 149 136 127

150 137 132 132

146 143 127 129

580 581 529 517

145,00 145,25 132,25 129,25

y.. = 2207,00

ȳ.. = 137,94

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Tipo de

recobrimento Condutividade y. ȳ.

1 2 3 4

3 12 -6

-11

1 9

-4 -13

10 -3 -8 -8

6 3

-13 -11

20

21

-31

-43

5,00

5,25

-7,75

-10,75

y.. = -33 ȳ.. = -2,06

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25,23669,84494,1080

SQSQSQ

69,84416

)33(

4

)43(...)20(

N

y

n

ySQ

94,108016

)33()11(...)1()3(

N

yySQ

sTratamentoTE

222

2

..a

1i

2

.isTratamento

2222

2

..a

1i

n

1j

2

ijT

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30

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49,3FF

3,1412/25,236

3/69,844

)aN(SQ

)1a(SQF

12;3;05,0aN;1a;

E

Trato

a) Como Fo > F0,05;3;12 , rejeita-se Ho para o nível de

significância de 5%, concluindo-se que o tipo de

recobrimento dos tubos afeta a condutividade nos

mesmos.

b) ȳ.. = 137,94 SQTratamentos = 844,69

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c)

182,3t

ns

yt

3141n

062,2s

25,129y

3;025,0

95% 2,5% 2,5%

? ?

φ = 3

129,25 t

95% 2,5% 2,5%

-3,182 t α/2;φ = 3,182 t

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%95)8,1322,126(P

%95182,34

062,225,129182,3

4

062,225,129P

Ou seja, o intervalo [126,2; 132,8] contém a verdadeira

média do recobrimento 4, com 95% de confiança.

1t

n

Syt

n

SyP

1n;2

1n;2

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d)

4321141o y1y0y0y1C:H

125,496])1()1[(4

)]43.(120.1[

cn

yc

SQ22

2

a

1i

2

i

2a

1i

.ii

C

75,4FF

20,2512/25,236

1/12,496

)aN(SQ

1SQF

12;1;05,0aN;1a;

E

Co

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• Conclusão: Como Fo > F0,05;1;12 , rejeita-se Ho para o

nível de significância de 5%, concluindo-se que que

existe diferença significativa entre as médias dos

tratamentos 1 e 4.


FIM

VIII – Análise de variância

Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia · • Análise de Variância (ANOVA) é um...

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