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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANAPrograma de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
Modelagem da Histerese Magnética
Modelagem da Histerese Magnética
Jean Vianei Leite
Curitiba , abril de 2010.
Jean Vianei Leite
Curitiba , abril de 2010.
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Obtido a partir de considerações físicas;
Baseado em equações diferenciais;
Baixo esforço computacional e fácil implementação;
Conjunto de parâmetros relativamente baixo;
Pode ser diretamente empregado no MEF com formulação em potencial vetor magnético.
Não representa laços menores adequadamente
Modelo de Jiles-Atherton
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Modelo de Preisach
• Modelo matemático de implementação complexa. • Maior esforço computacional se comparado ao modelo de Jiles-
Atherton.
• A caracterização dos materiais depende da variável imposta e é mais complexa.
• O uso da função de Everett possibilita o cálculo da magnetização total sem a necessidade de integração e derivação numérica simplificando a utilização do modelo.
• Dependendo da variável independente o método de interpolação da função de Everett também é outro para evitar instabilidade numérica.
• O modelo de Preisach representa adequadamente os laços menores.
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Modelos do Tipo Play e Stop
• Modelos de histerese não baseados em equações diferenciais;
• Laços de histerese são construídos a partir da superposição de laços elementares (Histerons);
• Cada laço elementar tem a sua contribuição ponderada por uma função característica;
• A integral das contribuições de cada histeron modela o comportamento macroscópico do material.
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Modelos do Tipo Play e Stop
• Modelos de histerese do tipo Play e Stop baseiam-se no mesmo princípio do modelo de Preisach (histerons) mas são mais simples em termos de:– Formalismo matemático;– Caracterização de materiais;– Implementação numérica.
• Estas características se estendem, conseqüentemente, a sua generalização vetorial.
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Modelo Escalar do Tipo Play
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Modelo Escalar do Tipo Play
• Modelos Play são empregados quando o campo magnético H é conhecido antes da indução;
• Esses modelos foram originalmente concebidos para a modelagem de sistemas termodinâmicos;
• Conceitos de energia livre e múltiplos estados metaestáveis são utilizados na concepção dos histerons elementares em termodinâmica e podem ser encontrados na literatura;
• Enfocaremos os modelos do ponto de vista operacional, a partir do estabelecimento do conceito de histeron e como as suas interações serão computadas para formar o laço de histerese magnética macroscópico.
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Modelo Escalar do Tipo Play
• No modelo Play o comportamento do material será regido por um conjunto de partículas independentes, os histerons, os quais não são necessariamente associadas aos domínios magnéticos.
• Cada partícula possui uma magnetização mj e a energia associada a cada partícula depende somente de mj.
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Modelo Escalar do Tipo Play
• A energia total de polarização M é expressa então como a soma ponderada das contribuições de cada partícula;
• De uma forma geral, para uma distribuição contínua de partículas,
• Para uma implementação numérica a integral é aproximada pela soma
• onde os coeficientes obedecem a condição de normalização
j jj
M mj 1j
j
M m k d k
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Modelo Escalar do Tipo Play
• No caso unidimensional, o modelo apresentado pode ser comparado ao modelo escalar de Preisach, com a função de distribuição relacionada aos campos coercitivos locais.
• No modelo de Jiles-Atherton a magnetização não segue uma curva anisterética porque os domínios magnéticos são impedidos de deslocar-se devido os pinning sites.
• No modelo Play, variações na magnetização sofrem resistência, o que produz uma perda de energia proporcional a uma constante adimensional.
• As partículas diferem umas das outras por terem diferentes constantes de proporcionalidade, chamadas de kj.
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Modelo Escalar do Tipo Play
• As características de histerese de uma partícula individual, no caso unidimensional, pode ser ilustrado como mostrado a seguir
Construção de uma partícula mj; no centro o elemento intermediário Hj; a direita a curva anisterética.
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Modelo Escalar do Tipo Play
• Para o formalismo matemático do comportamento desta partícula é introduzida uma variável intermediária Hj para toda partícula j tal que H é relacionado a Hj através da equação
0
j j
j
j j
dH se H dH - H kdH
se H dH - H k
o histórico magnético do material é armazenado em Hj. A magnetização é então estabelecida como:
j an jm M H
onde Man é uma função anisterética a qual representaria a magnetização do material caso não houvesse histerese.
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Modelo Escalar do Tipo Play
Caracterização dos Materiais:
Os parâmetros do modelo podem ser divididos entre aqueles necessários para modelar a curva anisterética e os necessários para representar os campos coercitivos kj e a sua função de distribuição j.
• Em relação à curva anisterética Man a expressão analítica pode ser usada
onde Ms e h0 são os parâmetros a serem ajustados do material
02an sM H M arctan H h
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Modelo Escalar do Tipo Play
Caracterização dos Materiais:
A soma ponderada
representa a perda por histerese num ciclo completo do material.
A função de distribuição e os valores de kj podem ser ajustados de diferentes maneiras desde que a relação acima seja respeitada.
j jk
k k
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Modelo Escalar do Tipo Play
Exemplo de emprego da metodologia
• construção de um laço de histerese para um material
hipotético modelado com cinco histerons
• para todas as partículas
• As constantes de proporcionalidade são:
0 2,
8 6 28 8 56 97 9 208 8k , , , ,
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Modelo Escalar do Tipo Play
• Para uma forma de onde de campo senoidal
• construção da variável intermediária Hj
0
j j
j
j j
dH se H dH - H kdH
se H dH - H k
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Modelo Escalar do Tipo Play
• Hj em função do tempo
•Aplicando a função anisterética obtém-se as mj
02an j S j jM H M arctan H h m
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Modelo Escalar do Tipo Play
• Magnetização de cada partícula, em função do campo magnético (histerons)
Complementando o modelo, as magnetizações mj são ponderadas com 0 2.
e somadas para formar a magnetização total M. Neste modelo M possui o mesmo significado da indução magnética B.
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Modelo Escalar do Tipo Play
• A magnetização ou B resultante é
• Laço de histerese resultante
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Modelo Escalar do Tipo Play
• Laços menores
-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
H [A/m]
B [T]
Laço de histerese obtido do modelo Play. -250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
H [A/m]
B [T]
Laço de histerese obtido com Jiles-Atherton.
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Modelo Escalar do Tipo PlayConsiderações sobre o modelo Play:
• Apresenta uma formulação simples com um formalismo matemático estabelecido em três equações.
• Se o número de partículas usado na modelagem do material for pequeno a velocidade computacional é alta. Na aproximação do caso contínuo o desempenho cai.
• Simulações mostram que no caso de laços estreitos a distribuição das partículas influencia significativamente a forma do laço, ou seja, para um mesmo valor de <k> a forma como os diferentes kj estarão distribuídos irá alterar o campo coercitivo e as magnetizações remanente e máxima.
• Para laços de histerese com campo coercitivo alto (> que 100 A/m ) o número de partículas e a sua distribuição têm pouca influência na forma do laço de histerese.
• O modelo Play consegue uma boa representação dos laços menores.
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Modelo Escalar do Tipo Stop
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Modelo Escalar do Tipo Stop
• Modelo dual ao modelo Play;
• A variável independente é a indução B;
• Bom para aplicações como o MEF, com formulação em potencial vetor onde a indução é conhecida à priori.
• O campo magnético H pode ser obtido, similarmente ao modelo Play, como a superposição das contribuições de um número de pseudopartículas, chamados stop histerons, onde cada pseudopartícula possui o mecanismo de histerese.
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Modelo Escalar do Tipo Stop
• O operador histeron do tipo Stop
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Modelo Escalar do Tipo Stop
• Diversas formulações podem ser empregadas na construção dos operadores Stop.
• Uma possível metodologia para formalizar o operador é
é uma variável intermediaria
k é o fator de distribuição (constante positiva).
1
1
1
1
k k k
Sk k sek k kk
W se W <
WW
W
00Wk kB t B t S
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Modelo Escalar do Tipo Stop
• O fator de distribuição pode ser assumido de variadas maneiras. Uma distribuição linear:
01N kk
1 2k , ... N
0 e é um parâmetro do material
onde N é o número de histerons,
A distribuição pode ser assumida através de equações de distribuição estatísticas clássicas como Gauss ou Lorentz.
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Modelo Escalar do Tipo Stop
• Exemplo de cálculo
Curva de histerese medida para uma forma de onda PWM a dois níveis.
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Modelo Escalar do Tipo Stop
Curva calculada com o modelo de Jiles-Atherton
Curva calculada com o modelo Stop
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Modelo Escalar do Tipo Stop
Experimental
Jiles-Atherton Stop
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Modelo Escalar do Tipo Stop
• Similarmente ao modelo Play, o modelo Stop possui formalismo matemático simples, baseado em poucas equações.
• O desempenho computacional é alto com o uso de poucas partículas diminuindo com a aproximação do caso contínuo.
• Simulações demonstraram que o modelo Stop é fortemente influenciado pela função de distribuição dos histerons.
• Assim como o seu dual Play, o modelo Stop consegue uma boa representação dos laços menores que venham ocorrer junto ao laço principal de histerese, apresentando laços menores fechados em concordância com os observados em laços medidos.
• Os modelos baseados em histerons do tipo Play e Stop são uma alternativa ao modelo de Preisach.
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Atividade
• Implementar modelo escalar Play
• Caracterizar material do arquivo Laço_BH.txt do site http://sites.google.com/site/histeresemodel/ para uso do modelo escalar Play
• Calcular laços BH com níveis de campo variando de 10 a 130 A/m.
• Calcular um laço contendo laços menores.