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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica THIAGO ANTONIO DA LUZ ANÁLISE DE SENSIBILIDADE PARA ALOCAÇÃO DE BANCO DE CAPACITORES CURITIBA 2011
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
Setor de Tecnologia
Departamento de Engenharia Elétrica
THIAGO ANTONIO DA LUZ
ANÁLISE DE SENSIBILIDADE PARA ALOCAÇÃO DE BANCO DE CAPACITORES
CURITIBA
2011
THIAGO ANTONIO DA LUZ
ANÁLISE DE SENSIBILIDADE PARA ALOCAÇÃO DE BANCO DE CAPACITORES
Trabalho de conclusão de curso apresentado à disciplina Trabalho Final de Curso como requisito parcial à conclusão do Curso de Engenharia Elétrica, Setor de Tecnologia, Exatas, Universidade Federal do Paraná.
Orientação: Profa. Dra. Thelma Solange Piazza Fernandes.
CURITIBA
2011
“Eu, enquanto homem, não existo somente como criatura individual, mas me descubro membro
de uma grande comunidade humana. Ela me dirige, corpo e alma, desde o nascimento até a
morte.
Meu valor consiste em reconhecê-lo. Sou realmente um homem quando meus sentimentos,
pensamentos e atos têm uma única finalidade: a comunidade e seu progresso. Minha atitude
social portanto determinará o juízo que têm sobre mim, bom ou mau.”
(Albert Einstein)
AGRADECIMENTOS
Meus sinceros agradecimentos à Professora Doutora Thelma Solange Piazza
Fernandes, que me guiou e me ensinou muito ao longo do desenvolvimento deste trabalho,
sendo ela a principal responsável pela realização do mesmo.
Deixo também o meu muito obrigado aos meus pais, Jackson e Geneci e ao meu
irmão, Lucas, também à minha namorada Priscilla, por todo o apoio e compreensão ao longo
do desenvolvimento não somente deste trabalho, mas de todo o meu processo de graduação.
Agradeço aos Professores Doutores Odilon Luís Tortelli e Clodomiro Unsihuay Vila por
aceitarem o convite de participação da banca e demonstrarem interesse pelo desenvolvimento
do trabalho.
Muito obrigado a todos que ajudaram, direta ou indiretamente no desenvolvimento
deste trabalho.
RESUMO
Com o aumento da demanda dos sistemas elétricos de potência, o gerenciamento da potência
reativa tem se tornado cada vez mais importante para as empresas concessionárias de energia
que necessitam manter as tensões dentro dos limites pré-estabelecidos, garantindo assim bons
níveis de qualidade e confiabilidade. Nesse trabalho, a fim de se controlar o perfil de tensão,
fator de potência e perdas de uma rede elétrica, será analisada a questão de se alocar banco
de capacitores de uma forma eficiente e econômica. Para tanto, propõe-se estudar e
implementar técnicas de sensibilidade que orientem na localização de bancos a serem
instalados na rede básica a fim de melhorar o desempenho do sistema e diminuir o campo de
busca de problemas de otimização, já consagrados na literatura, que alocam banco de
capacitores. As técnicas foram testadas em um sistema elétrico de 70 barras.
Palavras-chave: Análise de sensibilidade, Alocação Ótima de Banco de Capacitores,
Matriz Sensibilidade, Fator de Potência.
ABSTRACT
With the increase of the demand of electric power systems, the management of the reactive
power has become so important for energy supplier companies that require keeping voltage
within pre-established limits, ensuring thus good quality and reliability levels. In this task, in
order to handle the voltage profile, power factor and reduce the losses, it will be analyzed the
introduction of capacitor bank connected in shunt in an efficient and economical way. Thus, this
work analyses and proposes sensitivities techniques to guide the location of banks of capacitors
trying to improve the system performance and diminish the search field of usual optimization
problems. The techniques were tested at a 70 bus system.
Key-words: Sensitivity Analyze, Capacitor Allocation, Sensitivity Matrix, Power Factor
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ............................................................................................. 1
1.1 Contexto ................................................................................................... 1
1.2 Objetivo ..................................................................................................... 2
1.3 Estrutura do Trabalho ............................................................................... 3
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ........................................................................ 4
2.1 Sensibilidade baseada em controle de energia reativa para melhoria do
perfil de tensão ............................................................................................... 4
2.2 Sensibilidade baseada em algoritmos evolucionários para despacho de
potência reativa .............................................................................................. 5
2.3 Alocação de capacitores utilizando Algoritmos Genéticos ........................ 5
2.4 Considerações finais do capítulo .............................................................. 5
3. MATERIAIS E MÉTODOS ........................................................................... 7
3.1 Fluxo de Potência Ótimo ........................................................................... 7
3.2 Multiplicadores de Lagrange ................................................................... 10
3.3 Relação de Sensibilidade ....................................................................... 12
3.4 Análise do Fator de Potência .................................................................. 13
3.5 Análise de Barras Violada ....................................................................... 14
3.6 Alocação de Banco de Capacitores via Algoritmo Genéticos ................. 14
4. RESULTADOS .......................................................................................... 16
4.1 Obtenção dos resultados via AG ............................................................ 16
4.1 Análise dos Multiplicadores de Lagrange ............................................... 18
4.2 Análise do perfil de tensão com relação a reativos ................................. 21
4.3 Análise do Fator de Potência .................................................................. 26
4.4 Análise da violação dos limites de tensão .............................................. 26
4.5 Conjunto de barras candidatas à alocação de BC .................................. 28
4.6 Metodologia proposta ............................................................................. 31
5. conclusões ................................................................................................. 33
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................. 34
ANEXO A ......................................................................................................... 37
SISTEMA DE 70 BARRAS DE BARAN E WU (1989) .................................. 37
ANEXO B ......................................................................................................... 39
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Sistema de 70 barras usado ......................................................... 16
Figura 2 - Perfil de tensão sem inserção de BC ........................................... 21
Figura 3 - Perfil de tensão com inserção de BC nas barras 54 e 62 ............. 22
Figura 4 - Perfil de tensão com inserção de BC nas barras 27, 54, 62 e 65 . 23
Figura 5 - Comparação entre os perfis de tensão nas três situações
apresentadas ................................................................................................ 24
Figura 6 - Comparativo de sensibilidade entre as barras 62 e 65 ................. 25
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Resultados apresentados pelo método dos AG para 1000
gerações ....................................................................................................... 17
Tabela 2 - Resultados apresentados pelo método dos AG para 5000
gerações ....................................................................................................... 17
Tabela 3 - Valores de λq para os cálculos sem correção de reativos ........... 19
Tabela 4 - Valores de λq para os cálculos com correção de reativos ........... 20
Tabela 5 - Comparação dos resultados do cálculo de FPO com e sem
bancos de capacitores .................................................................................. 21
Tabela 6 - Menores valores de sensibilidade................................................ 25
Tabela 7 - Fator de Potência para barras de carga ...................................... 26
Tabela 8 - Barras selecionadas por violação dos limites de tensão a 0,93 pu
...................................................................................................................... 27
Tabela 9 - Barras selecionadas por violação dos limites de tensão a 0,95 pu
...................................................................................................................... 27
Tabela 10 - Comparação entre os grupos de barras candidatas .................. 28
Tabela 11 - Comparação entre os resultados para os diferentes grupos
resultantes .................................................................................................... 30
1
1. INTRODUÇÃO
1.1 Contexto
Com o aumento da demanda dos sistemas elétricos de potência, o gerenciamento da
potência reativa tem se tornado cada vez mais importante para as empresas concessionárias
de energia que necessitam manter as tensões dentro dos limites pré-estabelecidos, garantindo
assim bons níveis de qualidade e confiabilidade. Alterações no sistema podem resultar em
variações de tensão nos barramentos, e assim comprometer a qualidade da energia elétrica
fornecida. As causas destas variações indesejadas de tensão são:
- Crescimento das cargas;
- Distância das unidades geradoras;
- Linhas de transmissão longas e operando em carga leve;
- Crescimento dos sistemas e transmissão e subtransmissão com a adição de mais
linhas;
Normalmente, são adotadas medidas que visam resolver o problema de suporte de
reativo e perfil de tensão. Essas medidas são: remanejamento de carga, desligamentos de
circuitos, abertura de barramentos, chaveamentos de capacitores e/ou reatores e controle de
tensão via ajuste de taps dos transformadores. Estas medidas procuram levar o sistema a
atender aos critérios pré-estabelecidos pela operação.
Nesse trabalho, será abordado a medida que se refere ao uso de capacitores ligados
em shunt no sistema de transmissão. Mais especificamente, a questão de se alocar
otimamente banco de capacitores de uma forma eficiente e econômica de modo a melhorar o
perfil de tensão e fator de potência (FP).
Existem poucas referências para alocação de bancos de capacitores em sistemas de
transmissão e muitas em sistemas de distribuição que propõem as mais diferentes técnicas de
solução. Segundo ElHawary(2002), elas se dividem em quatro categorias de metodologias:
- Métodos analíticos: os pioneiros Neagle&Samson(1956), melhorados por Grainger&
Lee (1981), Grainger&Civanlar (1985);
- Métodos de programação numérica: Duran (1968) que foi o primeiro e destaque para
Mamandur&Chenoweth (1981) e Iyeret al. (1984), além de muitos outros que utilizaram e
utilizam esses métodos;
- Métodos heurísticos: Abdel Salamet al. (1994) cujo método não garante bons
resultados;
- Métodos baseados em inteligência artificial: os pioneiros foram
Sundhararajan&Pahwa (1994); Lee&Yang (1998) que utilizaram modos iterativos; e Bêe (2007)
que otimizou a função objetivo clássica e minimizou as correntes inrush provocadas pela
energização dos bancos com o propósito de otimizar as distâncias entre os bancos de
capacitores;
2
A função objetivo clássica para alocar bancos de capacitores é:
- Minimizar perdas;
- Minimizar custo dos capacitores;
- Controlar limites de tensão;
Na linha de apenas se otimizar o tamanho do banco, pré-selecionando as barras
segundo a experiência do operador, têm-se o trabalho da Chiamulera (2006) que utilizando o
FLUPOT conseguiu obter valores dos bancos de capacitores menores aos obtidos através de
forma heurística, ou seja, baseado na experiência do analista.
Pela análise de alguns dos artigos apresentados na literatura, fica claro que a alocação
de bancos em sistema de transmissão é um problema não completamente abordado e que
exige estudos apurados para resolvê-lo. Assim, esse projeto propõe estudar e implementar
técnicas que orientem na localização e tamanho de bancos a serem instalados na rede básica
a fim de melhorar o desempenho do sistema.
A principal técnica a ser implementada são técnicas de sensibilidade para inicializar o
problema e diminuir o universo de busca.
1.2 Objetivo
A alocação de bancos é um problema de otimização onde se pretende minimizar o
custo de instalação de banco de capacitores e minimizar as violações no perfil de tensão.
Como o problema tem grandes proporções, assume-se que apenas algumas barras da
rede serão candidatas à alocação de banco de capacitores. Assim, preliminarmente, pretende-
se diagnosticar diversos conjuntos de barras candidatas à alocação de bancos das seguintes
formas:
- Através das barras com os maiores multiplicadores de Lagrange (SOUSA, 2003);
- Através das barras calculadas a partir da relação de sensibilidade:
i
ii
Qd
VS
i=1,...,nb (1)
obtido como subproduto de um Fluxo de Potência Ótimo convergido;
- Através das barras com fatores de potência mais baixos;
- Através das barras previamente diagnosticadas utilizando um Fluxo de potência ótimo
(FPO) com limites de tensão violados Lenzi (2007);
Com estes critérios, será realizada uma análise e proposta uma metodologia para
determinação de um conjunto de barras candidatas a inserção de bancos de capacitores na
rede elétrica.
3
1.3 Estrutura do Trabalho
No próximo capítulo, é apresentada uma breve revisão bibliográfica a cerca do assunto
tratado neste trabalho, visando contextualizar o mesmo em relação a outras publicações
semelhantes e que seguem a mesma linha de estudo.
No terceiro capítulo, está descrita toda a metodologia e a formulação matemática
utilizada ao longo deste trabalho, como a interpretação do operador lambda (λ), o qual
representa os multiplicadores de Lagrange associados às restrições de igualdade de um
problema de otimização. Será apresentada também a formulação matemática da relação de
sensibilidade representada pela equação (1).
Ao longo do capítulo quatro é apresentada uma validação realizada através da
ferramenta de Algoritmos Genéticos proposta por Szuvovivski (2008), apresentando assim uma
solução que é referenciada como solução ótima para o presente trabalho, servindo com
parâmetro de comparação e aferição dos demais resultados obtidos. No capítulo em questão,
ainda serão apresentados os conjuntos de barras com os maiores multiplicadores de Lagrange,
as barras com a melhor relação de sensibilidade, um conjunto de barras com fatores de
potência problemáticos e o conjunto selecionado a partir de um FPO com relaxamento de
restrições de tensão. No referido capítulo será realizada também a comparação entre os
conjuntos de barras candidatas obtidos e será apresentado o conjunto de barras resultante,
que engloba os aspectos tratados por todas as metodologias propostas.
Por fim, são listados os resultados positivos e negativos obtidos, as dificuldades
encontradas e propostas para trabalhos posteriores.
4
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Os dois primeiros trabalhos selecionados para melhor detalhamento o foram por
salientarem a questão da análise de sensibilidade para se encontrar as melhores barras para
instalação de banco de capacitores.
Já o terceiro trabalho é descrito, pois sua metodologia foi utilizada como algoritmo
padrão para alocação e validação dos resultados obtidos pelos critérios propostos neste
trabalho.
2.1 Sensibilidade baseada em controle de energia reativa para melhoria
do perfil de tensão
O trabalho apresentado por Expósito, Ramos, Macias e Salinas (1993) é parte de um
projeto que visa desenvolver um sistema híbrido, utilizando técnicas heurísticas e algoritmos
para o controle de reativos e de tensão. O foco principal é minimizar as violações nos limites de
tensão utilizando sistemas especialistas, deixando o FPO somente para a minimização de
perdas. O trabalho apresenta um procedimento para realizar o despacho de potência reativa
quando os desvios de tensão não estão dentro dos limites aceitáveis.
O referido trabalho se restringe a questões de algoritmos que devem compor o sistema
especialista em si, visando melhorar as suas capacidades e reduzir limitações.
O método proposto, que é controlado por sistemas especialistas, consiste basicamente
em uma sequência de passos que será descrito a seguir:
Passo a: determinar o nó com a maior violação nos limites de tensão;
Passo b: computar a sensibilidade desta tensão para as variáveis de controle;
Passo c: para cada tipo de controle, selecionar as variáveis de controle com a maior
sensibilidade;
Passo d: computar as sensibilidades para as outras barras a fim de controlar as
variáveis selecionadas no passo “c”;
Passo e: baseado no chamado “coeficiente de eficiência”, selecionar a variável de
controle mais eficiente dentre as pré-selecionadas no passo “c”;
Passo f: determinar até que ponto essas variáveis de controle
devem ser recalculadas a fim de corrigir as violações de tensão;
Passo g: por meio de um “Fast Decoupled Load Flow” (FDLF), atualizar o estado da
rede e retornar ao passo “a” até que as violações de tensão sejam extintas. Alternativamente, o
FDLF poderia ser executado apenas uma vez, quando as violações estejam supostamente
corrigidas. Neste último caso, as tensões devem ser linearmente atualizadas antes de retornar
ao passo “a”, gerando um maior erro acumulado.
5
Para a escolha de qual é a barra com a maior violação dos limites de tensão, o artigo
defende a utilização da experiência do operador, o qual deve indicar a barra mais problemática
não só do ponto de vista de violação de limites de tensão, mas também levar em consideração
as demais variáveis do sistema.
2.2 Sensibilidade baseada em algoritmos evolucionários para despacho
de potência reativa
O trabalho de Bhattacharyya e Goswami (2009) apresenta um estudo de variação de
perda de potência ativa com relação à tensão em cada barra do sistema elétrico (Sensibilidade
de perdas), utilizado juntamente com técnicas de algoritmos evolucionários (Algoritmos
Genéticos, Evolução Diferencial e Enxame de Partículas).
A metodologia abordada no trabalho de Bhattacharyya e Goswami (2009) é
apresentada a seguir. A sensibilidade de perdas em cada barra é definida e dependendo
destes valores, as injeções de reativos são controladas através dos “taps” de transformadores
e de inserção de bancos de capacitores. Na sequência, os algoritmos evolucionários são
acionados realizando apenas uma interação. Esta sequência de técnicas combinadas continua
por um número pré-definido de interações, obtendo-se assim uma solução otimizada.
2.3 Alocação de capacitores utilizando Algoritmos Genéticos
Szuvovisvki (2008) propõe uma metodologia de alocação de Banco de Capacitores
(BC) e Reguladores de Tensão (RT) através da utilização de Algoritmos Genéticos (AG),
juntamente com um FPO resolvido pelo método Primal-Dual de Pontos Interiores.
Os AGs são utilizados para a alocação de BC, levando em consideração o tipo do
banco (fixo ou automático) e sua potência em kvar e também a alocação de RT, ajustando a
sua tensão de saída. O FPO fica encarregado de solucionar o fluxo de carga e ajustar os taps
do RT.
A função objetivo a ser minimizada leva em consideração a minimização de custos de
perda de potência ativa, as penalizações por violação dos limites de tensão e queda de tensão
e também os custos dos equipamentos alocados.
2.4 Considerações finais do capítulo
Em geral, os trabalhos estudados apresentam formas híbridas de otimização de
determinados problemas, utilizando um FPO para cálculos de fluxo de carga e algum algoritmo
para realizar outras funções como minimizar as violações nos limites de tensão, alocação de
BC e outras.
6
O trabalho apresentado por Expósito, Ramos, Macias e Salinas (1993) defende a
utilização da experiência do operador para indicar qual é a barra mais problemática do sistema
elétrico de potência, mas desta forma o resultado final de todo o processo pode ser
condicionado a esta escolha, que se for mal feita pelo operador pode não ser a melhor
possível. Assim, uma metodologia que oriente a definição das barras problemáticas pode ser
uma ferramenta interessante para o operador realizar a escolha de uma forma mais assertiva.
A proposta de Szuvovivski (2008) utiliza como campo de busca todas as barras de um
sistema elétrico de potência, ou apenas as barras que formam o tronco principal do mesmo,
dependendo da escolha do operador. Esta estratégia pode ser extremamente demorada e
incerta, uma vez que o algoritmo pode estagnar em um ponto de mínimo local e não global.
Assim, utilizar como campo de busca um conjunto de barras pré-selecionadas pode reduzir o
tempo de busca do algoritmo e até tornar a busca mais assertiva.
Assim, o presente trabalho propõe uma metodologia para definir um conjunto inicial de
barras candidatas à alocação de BC, tornando o processo de busca utilizado por outros
métodos, como os propostos por Szuvovivski (2008) e Expósito, Ramos, Macias e Salinas
(1993), menos desgastante e até mais precisos.
7
3. MATERIAIS E MÉTODOS
Como colocado na introdução, pretende-se diagnosticar diversos conjunto de barras
candidatas à alocação de banco das seguintes formas:
Critério 1: Pela análise dos multiplicadores de Lagrange (SOUSA, 2003);
Critério 2: Pela análise das relações de sensibilidade:
i
ii
Qd
VS
i=1,...,nb (1)
obtidas como subproduto de um Fluxo de Potência Ótimo convergido;
Critério 3: Pela análise dos fatores de potência;
Critério 4: Pela análise dos limites de tensão violados (LENZI, 2007);
Através destes critérios, será investigada uma proposta para determinação de um
conjunto de barras candidatas a inserção de bancos de capacitores na rede elétrica.
Os critérios 1, 2 e 4 baseiam-se em resultados obtidos a partir da simulação de um
Fluxo de Potência Ótimo, sendo a seguir descrita sua formulação.
3.1 Fluxo de Potência Ótimo
O problema do Fluxo de Potência consiste na obtenção das condições de operação, ou
seja, magnitude e ângulo das tensões nodais, a partir dos quais podem ser determinados os
fluxos de potência ativa e reativa em regime permanente de uma rede de energia elétrica com
topologia, níveis de geração e consumo conhecidos.
Esta ferramenta, proposta inicialmente por Carpentier (1962) como uma extensão do
problema de despacho econômico (DE), tem sido largamente resolvida por inúmeras técnicas
de otimização, que diferem entre si basicamente pelas direções de busca ao ponto ótimo,
salientando-se o Método Primal-Dual de Pontos Interiores (MPI) utilizado por Granville (1994)
no problema de despacho ótimo de reativos com minimização de perdas, o qual demonstra
robustez numérica quando aplicado a sistemas de grande porte e redes mal-acondicionadas.
A partir daí a aplicação do MPI para a solução do FPO passou a ser intensiva e formulada
tanto na versão linear quanto não linear.
Este histórico positivo motivou o uso do MPI na solução do FPO utilizado neste
trabalho.
Caracterizado como um problema de programação não-linear com restrições, o
problema de FPO pode ser formulado genericamente como:
)u(min f (2)
Sujeito a:
0)u(g (3)
8
maxmin )u( hhh (4)
onde
u : vetor de variáveis do sistema;
f(u): função objetivo a ser otimizada;
g(u): vetor de restrições de igualdade;
h(u): vetor de restrições de desigualdade.
As restrições de igualdade correspondem à modelagem da rede, ou seja, às equações
de balanço de potência ativa e reativa; enquanto que as restrições de desigualdade
representam os limites das variáveis do sistema, ou seja, as restrições funcionais dos
equipamentos e operacionais do sistema.
As restrições de igualdade básicas do FPO correspondem às equações de um fluxo de
carga com nb barras, ou seja:
])VY(V[PdPg * real (5)
])VY(V[QdQg * imag (6)
onde
Pg : vetor com geração de potência ativa com dimensão (nb x 1);
Pd : vetor de demanda de potência ativa com dimensão (nb x 1);
Qg : vetor com geração de potência reativa com dimensão (nb x 1);
Qd : vetor de demanda de potência reativa com dimensão (nb x 1);
V : vetor com tensão fasorial com dimensão (nb x 1);
Y : matriz de admitância de barra com dimensão (nb x nb).
nb: número de barras do sistema.
As restrições de desigualdade correspondem às restrições de canalização nas
variáveis e refletem limites de operação dos equipamentos ou alguma política operativa
específica. Desta forma, as principais restrições de desigualdades utilizadas em problemas
de FPO são apresentadas a seguir em sua forma geral:
maxmin PgPgPg (7)
maxmin QgQgQg (8)
maxmin
VVV (9)
maxbb (10)
onde
9
minPg , max
Pg : limites mínimo e máximo de geração de potência ativa;
minQg ,
maxQg : limites mínimo e máximo de geração de potência reativa;
min
V , max
V : limites mínimo e máximo de magnitude de tensão;
maxb : limite máximo de susceptância capacitiva do banco de capacitores tensão;
V vetor de magnbitude de tensão.
Neste trabalho a função objetivo engloba a minimização das perdas elétricas (Perdas):
ng
i
iPg1
LO (11)
onde
ng: número de geradores;
Pgi: geração de potência ativa na barra i.
Assim o problema de otimização completo é:
min
nb
i
iPg1
s.a
])VY(V[PdPg * real
])([)(( *2
VYVQdbVQg imagdiag (12)
maxmin PgPgPg
maxmin QgQgQg
maxmin
VVV
maxbb 0
Para solução do FPO representado pelo conjunto de equações (12) utiliza-se o Método
dos Pontos Interiores versão Primal-Dual. Este método se baseia nos seguintes tópicos
fundamentais:
i. formulação da Função Lagrangeana para a manipulação das restrições de
igualdade;
ii. transformação de todas as restrições de desigualdade em restrições de
igualdade, através das variáveis de folga;
10
iii. relaxação no processo iterativo da equação de complementaridade estrita,
por um parâmetro barreira logarítmica μ > 0;
iv. utilização do Método de Newton para a solução de um conjunto de
equações não lineares.
Para formação da Função Lagrangeana, dentro os vários multiplicadores de Lagrange
utilizados, salientam-se: , qp λλ que são multiplicadores de Lagrange associados às restrições
de igualdade ativa e reativa.
Uma vez apresentado o FPO básico utilizado neste trabalho, passa-se à descrição dos
critérios de sensibilidade para busca das melhores barras a terem bancos de capacitores
instalados.
3.2 Multiplicadores de Lagrange
Ao se resolver um Fluxo de Potência Ótimo cuja função objetivo é a minimização das
perdas de transmissão (f(x)), obtém-se também os multiplicadores de Lagrange que podem ser
utilizados para se determinar as barras que são candidatas a terem alocação de reativos. A
interpretação dos multiplicadores de Lagrange ( iq ) relacionadas às equações de balanço de
potência reativa fornecem uma relação de sensibilidade entre a função objetivo (f(x)) e a
variação de carga reativa iQd :
i
iQd
xfq
)( i=1,...,nb (13)
Ou seja, as barras com os maiores multiplicadores de Lagrange indicam aquelas barras
cuja variação de carga reativa mais influenciam as perdas totais, sendo essas candidatas
naturais a terem alocação de reativo. Essas barras formam o conjunto 1 de barras candidatas
à alocação de capacitores.
A fim de melhor compreender este critério, passa-se à interpretação dos
multiplicadores de Lagrange, utilizando um problema de otimização simplificado tal como:
Min f(x)
Sujeito a
(14)
onde .
Este problema de otimização genérico consiste em minimizar uma função f(x) sujeito à
restrição de igualdade g(x).
0=)(g xnRx
11
O problema pode ser re-apresentado de acordo com a Função Lagrangeana:
Min (15)
Onde lambda (λ) representa o multiplicador de Lagrange associado à restrição de
igualdade.
Se f(x) é contínua e tem primeira e segunda derivada para qualquer valor assumido por
x, então a sua derivada primeira tem que ser igual a zero para que este ponto seja um ponto de
mínimo, local ou global.
a) Condições Necessárias (Condição de Otimalidade de Primeira Ordem) para um
ótimo são:
(16)
b) Condições Suficientes para um ótimo global são:
(17)
Assim, se 2Rx , a aplicação da condição de Otimalidade de Primeira Ordem resulta
em:
0
0
)()(
)()(
,
22
11
x
g
x
f
x
g
x
f
=)(L
xx
xx
x
x
(18)
2
1
2
1
x
)x(g
x
)x(g
x
)x(f
x
)x(f
(19)
)(
)x(
xg
f
(20)
Desta forma é possível concluir que λ indica a variação da função objetivo decorrente
de uma variação na restrição de igualdade.
)g(λ)f(=λ),L( T xxx
.)x(
,...,)x(
*
*
positivadefinidaSemiéx
fmatrizA
nix
f
i
i
2
2
210
.)x(
*
positivaDefinidaéx
fmatrizA
i
2
2
12
Assim, já que para o problema (12), f(x) representa as perdas totais, os multiplicadores
de Lagrandevinculados às restrições de balanço de potência reativa, iq , relacionam perdas
totais com variações de carga reativa por barra, tal como colocada em (13).
3.3 Relação de Sensibilidade
É possível determinar como o perfil de tensão do sistema responde às variações de
carga obtendo: ][Qd
V
Pd
V
através da linearização das equações pertencentes às
condições de Otimalidade de Primeira Ordem (Condições de KKT).
Primeiramente, chama-se as equações de KKT relacionadas ao problema de
otimização representado em (12) como )(zρ , onde
y
Vz , sendo que V representa o vetor
das magnitudes de tensão nas barras e y o vetor que engloba todas as variáveis de otimização,
com exceção de V, do problema de otimização (12).
Explicita-se o vetor de cargas reativas :)Qd,y,Vz(ρ
0)Qd,y,V(ρ (21)
Após um incremento Qd , define-se um novo ponto de operação:
0QdQd
QdyVρ
y
V
y
QdyVρ
V
QdyVρ
QdyVρQdQdyyVVρ
),,(),,(),,(
),,(),,(
(22)
Esta relação implica que:
QdQd
)Qd,y,V(ρ
y
V
y
)Qd,y,V(ρ
V
)Qd,y,V(ρ
(23)
dd
dyVρ
y
VW Q
Q
Q
),,( (24)
onde y
)Qd,y,V(ρ
V
)Qd,y,V(ρW
,
13
Qd
QdyVρ
Qd
y
Qd
V
W
),,(
(25)
SQd
QdyVρW
Qd
y
Qd
V
),,(1 (26)
Desta forma, pode-se concluir que o impacto na barra i por variação na carga reativa
na barra j pode ser calculado da seguinte forma:
j
iji
Qd
VS
,
(27)
jjii QdSV , (28)
jji
inicial
i
final
i QdSVV , (29)
A equação (27) representa a relação de sensibilidade da tensão na barra i, para uma
variação na potência reativo na barra j. A expressão em questão é de extrema importância na
confecção e interpretação da matriz de sensibilidade.
Assim, as barras, cujos valores de sensibilidade iS são elevados, indicam que nelas há
maior impacto nas magnitudes de tensão para variações de carga. Ou seja, em carga pesada,
são as barras mais susceptíveis de terem tensões abaixo do mínimo. Essas barras formam o
conjunto 2 de barras candidatas à alocação de capacitores.
3.4 Análise do Fator de Potência
As barras com fatores de potência menores que 0,95 formam o conjunto 3 de barras
candidatas à alocação de capacitores, pois segundo os Procedimentos de Rede do ONS, todas
as barras de fronteira não devem ter fator de potência abaixo de 0,95.
14
3.5 Análise de Barras Violada
O conjunto 4 de barras candidatas à alocação de capacitores é formado pelas barras
previamente diagnosticadas com tensões violadas. Para tanto, utiliza-se um FPO com
Relaxamento de Restrições de Tensão, ou seja, sem considerar os limites de magnitude de
tensão:
Assim o problema de otimização passa a ser:
min
nb
i
ip Pgw1
s.a
])VY(V[PdPg * real
])VY(V[QdQg * imag (30)
maxmin PgPgPg
maxmin QgQgQg
maxmin
bbb
3.6 Alocação de Banco de Capacitores via Algoritmo Genéticos
A fim de avaliar cada um dos conjuntos i de barras candidatas à alocação de
capacitores, resolve-se um problema de otimização para alocação de capacitores, conforme
Szuvovivski (2008), resolvido pela técnica de Algoritmos Genéticos, a fim de avaliar os
conjuntos de barras candidatas à alocação de capacitores.
Os AG são programas evolutivos inspirados na Teoria de Seleção Natural. Eles atuam
sobre uma população de indivíduos baseados no fato de que os indivíduos com boas
características genéticas têm maiores chances de sobrevivência e de produzirem indivíduos
cada vez mais aptos, enquanto os indivíduos menos aptos tendem a desaparecer. Nos AG,
normalmente, cada indivíduo da população corresponde a uma solução para um dado
problema.
Os AG baseiam-se inicialmente na geração de uma população formada por um
conjunto de indivíduos que podem ser vistos como possíveis soluções do problema. Durante o
processo evolutivo, esta população é avaliada. Para cada indivíduo é dado um índice (fitness),
refletindo sua habilidade de adaptação a determinado ambiente. Uma porcentagem dos mais
adaptados é mantida, enquanto os outros são descartados. Os membros mantidos pela
seleção podem sofrer modificações em suas características, através da recombinação e das
mutações, gerando descendentes para a próxima geração que, de alguma forma, mantenham
15
as características da geração anterior e possibilitando a variabilidade dos indivíduos na
população.
Este problema da alocação de BCs em redes de distribuição de energia é um problema
de otimização que inclui variáveis inteira-mista. Neste problema, busca-se a localização e o
tamanho dos equipamentos de regulação, além do tipo, fixo ou automático, para os BCs a
serem instalados.
Estas respostas devem ser obtidas de modo a se satisfazer os limites de tensão
impostos pela Resolução N° 505/2001 da ANEEL e quedas de tensão pré-estabelecidas, ou
seja, visando melhorar níveis indesejáveis de tensão nas barras de distribuição, verificados
antes da instalação dos equipamentos e, ainda, de modo a se obter o menor custo de
instalação dos equipamentos de regulação e o menor custo de perdas de potência ativa.
Desta forma, a fitness, a ser minimizada durante o processo de alocação,
especificação, dimensionamento e ajustes do BCs que contempla todos os critérios citados
anteriormente é, de acordo com Szuvovivski (2008):
54321 ffffffitness min (31)
onde
fitness: função objetivo a ser minimizada;
f1 : custo das perdas de potência ativa;
f2 : custo das violações dos limites de tensão;
f3 : custo das violações das quedas de tensão;
f4 : custo dos BCs;
f5 : custo dos RTs.
Os indivíduos são codificados em sequência binária de forma a definir as barras que
terão banco de capacitores instalados, bem como seu tamanho e tipo.
A avaliação, fitness, de cada indivíduo é calculada a partir de resultados obtidos do
FPO convergido para cada configuração de banco de capacitor selecionada pela codificação
dos indivíduos.
16
4. RESULTADOS
A Figura 1 presenta o sistema de 70 barras usado nas simulações onde a barra 1
representa a barra da SE.
Figura 1 - Sistema de 70 barras usado
Os dados deste sistema encontram-se no ANEXO A.
4.1 Obtenção dos resultados via AG
Primeiramente, utilizando o programa desenvolvido em Szuvovivski (2008) foram
realizadas algumas simulações de alocação de banco de capacitores utilizando AG, a fim de
verificar quais são as melhores barras a terem seus reativos compensados. O sistema
simulado foi com carga constante e pesada, utilizando alocação de três bancos em todas as
barras do sistema. As respostas obtidas pelo AG estão representadas na Tabela 1.
É importante lembrar que o programa permite a alocação de mais de um banco na
mesma barra, esta situação pode ser observada nos resultados da simulação número quatro
da Tabela 1, onde apenas duas barras têm capacitores alocados, porém a potência do banco
instalado na barra 62 é superior a 1500 kvar, o que indica que existem dois bancos nesta
mesma barra, um de 1500 kvar e um de 900 kvar.
17
Tabela 1 - Resultados apresentados pelo método dos AG para 1000 gerações
Simulação Barra com banco Potência do banco (kvar) Valor do fitness
1
22 150
3,50E+01 60 1500
65 1500
2
57 900
3,35E+01 62 900
65 1500
3
56 900
3,35E+01 62 900
65 1500
4 54 1500
3,21E+01 62 2400
Verificando a Tabela 1, é possível concluir que os resultados não foram sempre os
mesmos, por se tratar de um problema probabilístico e de grande porte. A fim de encontrar
uma solução que esteja mais próxima o possível da solução ótima, o número de gerações
simuladas pelo AG foi aumentada de 1000 para 5000. Os resultados destas simulações estão
apresentados na Tabela 2.
Tabela 2 - Resultados apresentados pelo método dos AG para 5000 gerações
Simulação Barra com banco Potência do banco (kvar) Valor do fitness
1
10 1500
3,24E+01 62 1500
65 900
2
10 1500
3,22E+01 62 2400
3
54 1500
3,21E+01 62 2400
Fazendo uma rápida comparação entre os resultados apresentados nasTabelas 1 e 2,
é possível concluir que as simulações com 5000 gerações foram melhores, e apresentaram
um valor de função objetivo em geral mais baixo se comparados às simulações de 1000
gerações. O resultado da simulação quatro da Tabela 1 apresenta um resultado idêntico ao da
simulação três da Tabela 2, o que nos leva a concluir que este resultado é o que mais se
aproxima do resultado ótimo. Porém, é importante observar que barras como a 10 (simulações
um e dois da Tabela 2) aparecem com certa frequência e apresentam um bom resultado no
valor da função objetivo.
18
4.1 Análise dos Multiplicadores de Lagrange
Primeiramente, o FPO (equação 12) foi utilizado para realizar os cálculos do sistema de
70 barras estudado. Desta forma foi possível conhecer o comportamento do sistema sem a
correção de reativos e os lambdas (λq) foram anotados na Tabela 3.
Os λq representam o comportamento da variação da função objetivo de acordo com
variações na potência reativa em cada barra do sistema, ou seja, a sensibilidade de
determinada barra à variação de reativos. Teoricamente, as barras com maiores λq são mais
sensíveis a alocação de BC, implicando em uma variação de reativo na barra na qual está
sendo alocado.
O resultado do FPO em questão sem alocação de capacitores apresenta perda ativa
total de 0,2142 pu.
Verificando os λq apresentados na Tabela 3 é possível concluir que os valores
aumentam da barra 7 até a barra 28, o que nos leva a concluir de forma grosseira que esta
poderia ser uma região relativamente sensível à alocação de reativos. Os valores de λq
chegam novamente a níveis interessantes a partir da barra 52 até a 70.
O primeiro resultado significativo surge da comparação entre o conjunto de barras com
λq relativamente altos com os resultados apresentados pela alocação de bancos de
capacitores realizada pelos AG. Verificando as barras apresentadas nas Tabelas 1 e 2
observa-se que todas estão dentro do intervalo de barras que apresentaram λq relativamente
altos, barras 7 a 28 e 52 a 70.
Utilizando as respostas da simulação três da Tabela 2, foram inseridos os dois bancos
propostos nas barras 54 e 62, com potências de 1500 kvar e 2400 kvar respectivamente, e os
valores de lambda para os novos cálculos são apresentados na Tabela 4.
Para os cálculos com alocação de capacitores a perda ativa total do sistema foi de
0,1968 pu. A melhora dos resultados com relação à perdas quando não foram utilizados
bancos de capacitores pode ser observada na Tabela 5. Os valores de λq foram
significativamente reduzidos quando os bancos foram inseridos nos cálculos, conclusão esta
realizada através na comparação entre as Tabelas 3 e 4.
Através da análise da Tabela 5, por motivos já mencionados, selecionaram-se as
barras de 7 a 28 e 52 a 70 para formarem o primeiro conjunto de barras candidatas a receber
um banco de capacitores:
}.7052,287{1
19
Tabela 3 - Valores de λq para os cálculos sem correção de reativos
Barra Lambdaq
(λq) Barra Lambdaq
(λq)
1 0 36 0.0007
2 0 37 0.0001
3 0 38 0.0001
4 0 39 0.0003
5 0.0001 40 0.0003
6 0.0009 41 0.0003
7 0.0112 42 0.0008
8 0.0221 43 0.0011
9 0.0247 44 0.0011
10 0.0261 45 0.0011
11 0.0322 46 0.0011
12 0.0333 47 0.0011
13 0.0362 48 0.0001
14 0.0398 49 0.0007
15 0.0433 50 0.0018
16 0.047 51 0.0018
17 0.0476 52 0.0248
18 0.0485 53 0.0248
19 0.0485 54 0.0295
20 0.0491 55 0.0334
21 0.0495 56 0.0388
22 0.0498 57 0.0443
23 0.0498 58 0.0757
24 0.0499 59 0.092
25 0.05 60 0.0981
26 0.0502 61 0.1059
27 0.0503 62 0.1081
28 0.0503 63 0.1085
29 0 64 0.109
30 0.0001 65 0.1096
31 0.0002 66 0.1096
32 0.0002 67 0.0334
33 0.0004 68 0.0334
34 0.0006 69 0.0366
35 0.0007 70 0.0366
20
Tabela 4 - Valores de λq para os cálculos com correção de reativos
Barra Lambdaq
(λq) Barra Lambdaq
(λq)
1 0 36 0.0006
2 0 37 0
3 0 38 0.0001
4 0 39 0.0002
5 0 40 0.0002
6 -0.0005 41 0.0002
7 -0.0078 42 0.0008
8 -0.0158 43 0.001
9 -0.0179 44 0.001
10 -0.019 45 0.001
11 -0.0132 46 0.0011
12 -0.0121 47 0.0011
13 -0.0093 48 0
14 -0.0059 49 0.0006
15 -0.0025 50 0.0017
16 0.001 51 0.0017
17 0.0016 52 -0.0178
18 0.0024 53 -0.0178
19 0.0024 54 -0.0244
20 0.0031 55 -0.0269
21 0.0034 56 -0.0305
22 0.0037 57 -0.0342
23 0.0037 58 -0.0555
24 0.0038 59 -0.0668
25 0.0039 60 -0.0716
26 0.0041 61 -0.0778
27 0.0041 62 -0.0932
28 0.0041 63 -0.0929
29 0 64 -0.0924
30 0 65 -0.092
31 0.0002 66 -0.092
32 0.0002 67 -0.0121
33 0.0003 68 -0.0121
34 0.0005 69 -0.0089
35 0.0006 70 -0.0089
21
Tabela 5 - Comparação dos resultados do cálculo de FPO com e sem bancos de capacitores
Barras com bancos
Perdas [pu]
- 0,2142
54,62 0,1968
4.2 Análise do perfil de tensão com relação a reativos
A Tabela B.1 do Anexo B apresenta os resultados do FPO para o sistema de 70 barras
quando não estão ligados bancos de capacitores.
Para a análise do perfil de tensão, o importante é o valor absoluto da tensão em cada
barra do sistema. Para uma melhor visualização deste perfil foi gerado um gráfico que
representa este nível em cada barra, conforme a Figura 2.
Figura 2 - Perfil de tensão sem inserção de BC
Através do gráfico da Figura 2, observa-se que existem dois grandes afundamentos no
nível de tensão no sistema, o primeiro acontece entre as barras 10 e 30 e o segundo entre as
barras 50 e 70. Para uma maior segurança, foram selecionadas todas as barras cujos valores
absolutos da tensão estão abaixo de 0,95 pu. Desta forma, os dois grandes afundamentos no
nível de tensão acontecem entre as barras 13 e 28 e entre as 56 e 70. Os valores mais baixos
22
de tensão são observados nas barras 26, 27 e 28 para o primeiro afundamento e nas barras 65
e 66 para o segundo, com valores absolutos de respectivamente 0,9374 pu e 0,8960 pu.
Utilizando a alocação de BC nas barras indicadas pelos Algoritmos Genéticos, barras
54 e 62 com potências 1500 kvar e 2400 kvar respectivamente, foram obtidos o perfil de tensão
apresentado na Figura 3 e perda ativa total de 0,1968 pu. Os valores de tensão para cada uma
dessas barras é apresentado na Tabela B.1 do Anexo B.
Figura 3 - Perfil de tensão com inserção de BC nas barras 54 e 62
Com base no gráfico da Figura 3, verifica-se que o perfil de tensão teve uma melhora
significativa com relação ao perfil de tensão apresentado, quando não foi realizada a inserção
de banco de capacitores. Apesar da melhora, verifica-se que os níveis de tensão ainda estão
baixos.
A fim de se melhorar mais o perfil de tensão do sistema, foi calculada a matriz de
sensibilidade, S, e da análise da mesma é possível concluir quais são as barras que implicam
em uma melhora de tensão quando adicionados reativos e aonde estes devem ser
adicionados.
Da matriz de sensibilidade, as barras que apresentaram maiores valores em módulo
são as barras 27 e 65. A barra 27 apresenta valores de sensibilidade iguais para as barras 27 e
28, este valor é representado por -0,0213. A barra 65 apresenta o valor de -0,0211 para a
sensibilidade nas barras 65 e 66.
23
Da análise da matriz de sensibilidade, nota-se que as barras com maiores valores
absolutos são as mesmas já notificadas quando realizada a análise do perfil de tensão, porém
existe uma precisão maior, tendo em vista que o perfil de tensão informa mais de uma barra
com o mesmo valor de tensão.
Foi realizado um teste com bancos de capacitores nas barras indicadas pela matriz de
sensibilidade, barras 27 e 65 com BCs de 300 kvar e 1500 kvar respectivamente, a fim de
melhorar o perfil de tensão sem penalizar muito as demais variáveis de otimização abordadas
no problema. Estes capacitores foram alocados em adição aos já existentes nas barras 54 e
62. Os dados para esta simulação são apresentados na Tabela B.3 do Anexo B o perfil de
tensão na Figura 4.
Analisando os valores de tensão apresentados na Figura 4, é possível concluir que
houve uma melhora no perfil de tensão do sistema, adequando-o ao valor estabelecido de 0,95
pu em todas as barras com exceção da barra 61, que ficou com um valor de 0,9478 pu. Apesar
desta melhora significativa, os bancos nas barras 27 e 65 implicaram em um aumento nas
perdas do sistema. As perdas passaram de 0,1968 pu, para a situação com os bancos nas
barras 54 e 62, para 0,4191 pu com a adição dos bancos nas barras 27 e 65.
Figura 4 - Perfil de tensão com inserção de BC nas barras 27, 54, 62 e 65
24
Figura 5 - Comparação entre os perfis de tensão nas três situações apresentadas
Do ponto de vista de tensão, as barras 27 e 65 são as que melhor influenciam o
sistema quando nelas são inseridos reativos. Porém, os demais aspectos devem ser
analisados, como as perdas e custos dos capacitores. O gráfico da Figura 6 apresenta um
comparativo entre as barras 62 e 65, do ponto de vista de como reativos nestas barras
influenciam no perfil de tensão do sistema.
25
Figura 6 - Comparativo de sensibilidade entre as barras 62 e 65
A partir do gráfico da Figura 6, verifica-se que a barra 65 apresenta melhores valores
de sensibilidade para as barras próximas a ela, mas a barra 62 também apresenta valores
significativos nesta região. Além disso, ambas as barras influenciam praticamente na mesma
intensidade os níveis de tensão em barras entre 7 e 28, o que justifica a melhora do perfil de
tensão nesta região quando foram feitas simulações de alocação com capacitores nas barras
54 e 62. Desta forma, a barra fornecida pela solução do AG é realmente uma boa candidata à
alocação de reativo, a fim de solucionar o problema como um todo.
A Tabela 6 apresenta as barras com os valores de sensibilidade abaixo de -0,01 e as
barras 27 e 65, que apresentam os menores valores, estão representadas em negrito.
Tabela 6 - Menores valores de sensibilidade
Bara Sensibilidade Barra Sensibilidade
16 -0,0144 27 -0,0213
17 -0,0149 45 -0,0102
18 -0,0158 46 -0,0111
20 -0,0165 59 -0,0136
21 -0,017 61 -0,0157
22 -0,0178 62 -0,0176
24 -0,0182 64 -0,0185
26 -0,0206 65 -0,0211
Desta análise, as barras apresentadas na Tabela 7 apresentam o conjunto dois de
barras candidatas à alocação de BC:
}65,64,62,61,59,46,45,27,26,24,22,21,20,18,17,16{2
-0,025
-0,02
-0,015
-0,01
-0,005
0
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70
Sen
sib
ilid
ade
Barras 62 e 65
Barra 65
Barra 62
26
4.3 Análise do Fator de Potência
O fator de potência (fp) foi calculado individualmente para cada uma das barras de
carga que compõem o sistema elétrico em questão, sendo esse realizado com base na carga
de cada uma. O fp é apresentado na Tabela 7 ordenado do menor para o maior.
Apesar de os valores de fp estarem muito baixos, selecionaram-se 30% das barras
como os menores fatores de potência como candidatas à alocação de BC, ou seja, 21 barras,
apresentadas na Tabela 7 em negrito. No caso de sistemas maiores, este mesmo percentual
pode ser utilizado para a confecção do conjunto 3 de barras candidatas a receber
capacitores:
}.69,62,59,55,54,29,48,43,41,34,33,29,27,26,24,12,11,9,8,7,6{3
Tabela 7 - Fator de Potência para barras de carga
Barra FP Barra FP
6 0.7634 61 0.8139
41 0.7682 49 0.8140
7 0.8029 50 0.8140
9 0.8064 66 0.8140
67 0.8107 37 0.8141
8 0.8115 65 0.8147
59 0.8115 21 0.8152
54 0.8117 39 0.8160
62 0.8120 40 0.8160
34 0.8123 52 0.8197
11 0.8126 13 0.8240
12 0.8126 14 0.8240
43 0.8128 10 0.8275
55 0.8128 45 0.8305
29 0.8133 46 0.8305
24 0.8137 35 0.8321
26 0.8137 22 0.8345
27 0.8137 16 0.8349
33 0.8137 20 0.8575
69 0.8137 17 0.8638
48 0.8139 18 0.8638
4.4 Análise da violação dos limites de tensão
Para se verificar quais as barras do sistema de 70 em questão foram violadas com
tensão menor que a crítica, 0,93 pu, a função objetivo foi mudada a fim de priorizar os limites
de tensão, passando a operar com uma função objetivo que procura obter valores de
27
magnitude de tensão o mais próximo de 1 pu, sem considerar a minimização das perdas e
relaxando os limites mínimos de tensão para 0,8 pu, para que o FPO possa convergir. As
barras problemáticas, do ponto de vista do relaxamento dos limites de tensão, e suas
respectivas tensões são apresentadas na Tabela 8.
Tabela 8 - Barras selecionadas por violação dos limites de tensão a 0,93 pu
Barra Tensão
(pu)
58 0.9190
59 0.9077
60 0.9037
61 0.8986
62 0.8970
63 0.8968
64 0.8964
65 0.8960
66 0.8960 T
Para não se perder possíveis barras candidatas à inserção de BC, definiram-se como
barras violadas as que possuem a tensão abaixo de 0,95 pu, agindo desta forma com mais
rigor na violação de tensão. As barras com tensão abaixo de 0,95 pu são apresentadas na
Tabela 9.
Tabela 9 - Barras selecionadas por violação dos limites de tensão a 0,95 pu
Barra tensão Barra tensão
13 0.9486 28 0.9374
14 0.9457 56 0.9462
15 0.9428 57 0.9418
16 0.9399 58 0.9190
17 0.9394 59 0.9077
18 0.9387 60 0.9037
19 0.9387 61 0.8986
20 0.9382 62 0.8970
21 0.9379 63 0.8968
22 0.9377 64 0.8964
23 0.9377 65 0.8960
24 0.9376 66 0.8960
25 0.9376 67 0.9483
26 0.9374 68 0.9483
27 0.9374
As barras candidatas à alocação de capacitores devido a violações nos limites de
tensão são apresentadas na Tabela 10 e formam o conjunto 4 de barras candidatas:
}6856,2813{4
28
4.5 Conjunto de barras candidatas à alocação de BC
Uma vez definidos os quatro conjuntos de barras candidatas à alocação de BC, o
próximo passo é analisá-los simultaneamente, para podermos concluir sobre qual é o melhor
conjunto resultante do ponto de vista da alocação ótima de capacitores. Seguindo esta ideia, a
Tabela 10 foi confeccionada colocando lado-a-lado os quatro conjuntos trabalhados.
Tabela 10 - Comparação entre os grupos de barras candidatas
Barra Lagrange Sensibilidade FP Relaxamento
1
2
3
4
5
6 X
7 X X
8 X X
9 X X
10 X
11 X X
12 X X
13 X X
14 X X
15 X
X
16 X X X
17 X X X
18 X X X
19 X
X
20 X X X
21 X X X
22 X X X
23 X
X
24 X X X X
25 X
X
26 X X X X
27 X X X X
28 X
X
29 X
30
31
32
33 X
34 X
35
29
36
37
38
39
40
41 X
42
43 X
44
45 X
46 X
47
48 X
49
50
51
52 X
53 X
54 X X
55 X X
56 X X
57 X X
58 X
X
59 X X X X
60 X
X
61 X X X
62 X X X X
63 X
X
64 X X X
65 X X X
66 X
X
67 X X X
68 X X
69 X X
70 X
Da análise da Tabela 10, verifica-se que apenas 5 das 70 barras do sistema
apareceram em todas as análises realizadas. Estas barras são as 24, 26, 27, 59 e 62. A
primeira observação importante é que uma dessas 5 barras é apresentada na solução ótima
dos AG, a barra 62, e a barra 27 é uma das que apresentam a melhor solução do ponto de
vista da relação de sensibilidade de tensão.
30
Observando a Tabela 10, verifica-se que o grupo de barras proposto pela análise do FP
ficou disperso em relação aos demais, levando-nos a concluir que o FP restringiu muito o
conjunto de barras resultante, por este motivo o grupo proposto pela analise do FP não
participará da composição do conjunto resultante de barras candidatas.
O grupo resultante 1 foi confeccionado pela intersecção dos grupos fornecidos pelas
análises dos multiplicadores de Lagrange, relação de sensibilidade e relaxamento nos limites
mínimos de tensão, e é composto pelas seguintes barras:
}{1 421 r
}65,64,62,61,59,27,26,24,22,21,20,18,17,16{1r
O grupo resultante 1 apresenta poucas barras para que se tenha uma representação
fiel do sistema estudado, por isso um segundo grupo resultante 2 foi selecionado utilizando
como regra a união do conjunto 1 com a intersecção dos conjuntos 2 e
4 , que apresenta
39 barras candidatas:
]}[{2 421 r
}7052,287{2 r
Para se avaliar qual seria o comportamento do AG se fossem utilizados como campo
de busca os conjuntos de barras resultantes aqui apresentados ao invés de todas as 70 barras
do sistema, foram realizadas cinco simulações utilizando o AG proposto por Szuvovivski (2008)
para cada conjunto de barras resultante e outras cinco utilizando todas a 70 barras do sistema,
em todos os casos foram utilizadas 5000 gerações. A comparação dos resultados é
apresentada da Tabela 11.
Tabela 11 - Comparação entre os resultados para os diferentes grupos resultantes
Simulação
Barra com BC Potência do BC (kvar) Tempo de simulação
Valor do fitness
Todas as Barras
1 57, 62 e 65 900, 1500 e 900 21min 22s 3.23e+001
2 10, 62 e 65 1500, 1500 e 900 20min e 30s 3.24e+001
3 57 e 63 900 e 2400 20min e 50s 3.22e+001
4 57, 62 e 65 900, 1500 e 900 20min e 44s 3.23e+001
5 10, 62 e 65 1500, 1500 e 900 20min e 6 s 3.24e+001
Conjunto 1r
1 59 e 62 900 e 2100 12min e 36s 3.34e+001
2 59 e 62 900 e 2100 13min e 33s 3.34e+001
3 62 2700 9min e 4s 3.36e+001
4 59 e 64 900 e 2100 11min e 51s 3.38e+001
5 59 e 62 900 e 2100 12min e 34s 3.34e+001
Conjunto 2r
1 57 e 62 900 e 2400 19min e 58s 3.19e+001
2 57 e 62 900 e 2400 20min e 42s 3.19e+001
3 57 e 62 900 e 2400 18min e 36s 3.19e+001
4 54 e 62 1500 e 2400 20min e 8s 3.21e+001
5 57 e 62 900 e 2400 19min e 36s 3.19e+001
31
Pela análise da Tabela 11, é possível observar uma melhora significativa nos
resultados para o conjunto 2r . O tempo de simulação ficou baixo para o conjunto 1r
devido ao espaço de busca ser menor, mas os valores da função objetivo estão sempre
maiores do que os apresentados nas simulações utilizando todas as barras do sistema. Dessa
forma, fica provada a ineficiência de se trabalhar com um conjunto pequeno de barras, mesmo
que isto acarrete em uma diminuição do tempo de simulação e demanda de recursos
computacionais. O conjunto 2r apresentou tempos de simulação semelhantes aos
apresentados quando utilizado como campo de busca todas as barras do sistema, porém os
valores da função objetivo foram menores em quase todas as simulações, e na simulação que
teve um valor de função objetivo um pouco maior o resultado coincidiu com o proposto na
validação do programa. Dessa forma, os melhores resultados sempre apareceram nas
simulações utilizando o conjunto 2r de barras candidatas.
É importante lembrar que o AG é uma ferramenta de natureza estatística probabilística,
sendo dessa forma justificada a ausência do resultado proposto na validação do início dessa
sessão nas simulações utilizando todas as barras do sistema. É possível assegurar que quanto
melhor o campo de busca, mais garantias se tem de encontrar o melhor resultado possível e
menos aleatório é o processo, conclusões estas tomadas com base nos resultados da Tabela
11, em que o conjunto 2r apresenta resultados com um valor de função objetivo quase que
constante.
4.6 Metodologia proposta
Uma vez comprovada a eficiência do método proposto neste trabalho, os próximos
parágrafos propõem uma metodologia estruturada de análise preliminar do sistema elétrico, a
fim de restringir o espaço de busca de qualquer técnica computacional de alocação de Bancos
de Capacitores, diminuindo os esforços computacionais e até melhorando a resposta do
algoritmo, uma vez que desta análise todas as barras não viáveis a receber BC são eliminadas.
O primeiro passo é calcular os multiplicadores de Lagrange (λq) para todas as barras
do sistema. A definição do conjunto 1 de barras candidatas deve ser realizada verificando
quais os maiores valores de λq, estes são facilmente identificados, pois são em média de 10 a
100 vezes maiores que os demais valores.
Para a definição do 2 de barras candidatas, a matriz de sensibilidade deve ser
calculada para o sistema em questão. Os valores apresentados nesta matriz são em geral
muito pequenos, mas o que interessa são os menores (mais negativos). Assim, o menor valor
da matriz de sensibilidade deve ser encontrado e o grupo dois de barras candidatas será
formado pelas barras que apresentam valores na mesma ordem de grandeza deste.
Dependendo da carga, o fator de potência pode ser relativamente baixo e não fornece
uma boa visão do sistema, do ponto de vista de alocação de BC, mas este é um importante
parâmetro que pode ser analisado. No presente estudo, este conjunto foi desprezado, pois ele
32
restringe o problema de 70 barras para um grupo de apenas 5, o que é muito pouco para se ter
um bom conhecimento do sistema.
Por fim, o conjunto 4 de barras candidatas é determinado relaxando-se os limites
mínimos de tensão através de um FPO e determinando quais as barras com tensão abaixo de
0,95 pu.
Após determinados os conjunto de barras candidatas a receber um BC, o conjunto
resultante r deve ser selecionado. O conjunto em questão deve ser composto pela união do
conjunto 1 com a intersecção dos conjuntos 2 e 4
]})[{( 421 r . A fim
de não perder possíveis barras ótimas a receber BC, o grupo resultante pode conter barras que
não estão presentes na confecção proposta para o grupo r como, por exemplo, as barras
que contém o menor valor de relação de sensibilidade, quando se pretende dar mais ênfase na
melhoria do perfil de tensão, ou as barras que apresentam o maior λq, a fim de priorizar a
melhora da função objetivo.
33
5. CONCLUSÕES
No presente trabalho foram apresentadas metodologias de confecção e análise de
grupos de barras candidatas a receberem bancos de capacitores. Uma vez criados os grupos
com base em metodologias definidas, estes foram analisados em conjunto e desta análise,
foram propostas duas metodologias de definição de um grupo resultante de barras candidatas.
O grupo que possui poucas barras foi descartado devido ao fato de não retratar com
confiabilidade o sistema elétrico estudado.
No momento da confecção do grupo resultante de barras candidatas é importante
eliminar análises que possam inserir algum grau de aleatoriedade, como no nosso caso foi o
grupo de barras candidatas pelo fator de potência, o qual foi muito disperso com relação aos
demais e se fosse levado em consideração, inseriria barras não viáveis no grupo resultante,
assim como excluiria fortes barras candidatas. Outro fator importante a ser levado em
consideração é o número de barras candidatas do grupo resultante, que se for muito pequeno
pode não representar com coerência o comportamento do sistema elétrico estudado.
Depois de feitas estas consideração, foi verificado que o conjunto de barras resultante
proposto neste trabalho apresentou uma melhoria significativa no processo de busca feito pelos
Algoritmos Genéticos, reduzindo o espaço de busca, tornando-a menos aleatória e convergindo
a uma solução melhor que a encontrada quando todas as barras do sistema são testadas.
O caso simulado é pequeno, mas espera-se que para sistemas maiores a diminuição
do campo de busca (em torno da metade) do número de barras da rede, possa diminuir
significativamente o tempo computacional dispendido para alocar os bando de capacitores.
34
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37
ANEXO A
SISTEMA DE 70 BARRAS DE BARAN E WU (1989)
TABELA A.1: DADOS DAS CARGAS PARA O SISTEMA DE 70 BARRAS
Barra P [kW] Q [kvar] Barra P [kW] Q [kvar]
1 0 0 36 6 4
2 0 0 37 26 18,55
3 0 0 38 26 18,55
4 0 0 39 0 0
5 0 0 40 24 17
6 0 0 41 24 17
7 2,6 2,2 42 1,2 1
8 40,4 30 43 0 0
9 75 54 44 6 4,3
10 30 22 45 0 0
11 28 19 46 39,22 26,3
12 145 104 47 39,22 26,3
13 145 104 48 0 0
14 8 5,5 49 79 56,4
15 8 5,5 50 384,7 274,5
16 0 0 51 384,7 274,5
17 45,5 30 52 40,5 28,3
18 60 35 53 3,6 7,2
19 60 35 54 4,35 3,5
20 0 0 55 26,4 19
21 1 0,6 56 24 17,2
22 114 81 57 0 0
23 5,3 3,5 58 0 0
24 0 0 59 0 0
25 28 20 60 100 72
26 0 0 61 0 0
27 14 10 62 1244 888
28 14 10 63 32 23
29 26 18,6 64 0 0
30 26 18,6 65 227 162
31 0 0 66 59 42
32 0 0 67 18 13
33 0 0 68 18 13
34 14 10 69 28 20
35 19,5 14 70 28 20
38
TABELA A.2: DADOS DAS LINHAS PARA O SISTEMA DE 70 BARRAS
De Para R [Ω] X [Ω] De Para R [Ω] X [Ω]
1 2 0,0005 0,0012 4 37 0,0044 0,0108
2 3 0,0005 0,0012 37 38 0,0640 0,1565
3 4 1e-1 0
1e-1 0
38 39 0,1053 0,1230
4 5 0,0015 0,0036 39 40 0,0304 0,0355
5 6 0,0251 0,0294 40 41 0,0018 0,0021
6 7 0,3660 0,1864 41 42 0,7283 0,8509
7 8 0,3811 0,1941 42 43 0,3100 0,3623
8 9 0,0922 0,0470 43 44 0,0410 0,0478
9 10 0,0493 0,0251 44 45 0,0092 0,0116
10 11 0,8190 0,2707 45 46 0,1089 0,1373
11 12 0,1872 0,0619 46 47 0,0009 0,0012
12 13 0,7114 0,2351 5 48 0,0034 0,0084
13 14 1,0300 0,3400 48 49 0,0851 0,2083
14 15 1,0440 0,3450 49 50 0,2898 0,7091
15 16 1,0580 0,3496 50 51 0,0822 0,2011
16 17 0,1966 0,0650 9 52 0,0928 0,0473
17 18 0,3744 0,1238 52 53 0,3319 0,1114
18 19 0,0047 0,0016 10 54 0,1740 0,0886
19 20 0,3276 0,1083 54 55 0,2030 0,1034
20 21 0,2106 0,0696 55 56 0,2842 0,1447
21 22 0,3416 0,1129 56 57 0,2813 0,1433
22 23 0,0140 0,0046 57 58 1,5900 0,5337
23 24 0,1591 0,0526 58 59 0,7837 0,2630
24 25 0,3463 0,1145 59 60 0,3042 0,1006
25 26 0,7488 0,2475 60 61 0,3861 0,1172
26 27 0,3089 0,1021 61 62 0,5075 0,2585
27 28 0,1732 0,0572 62 63 0,0974 0,0496
3 29 0,0044 0,0108 63 64 0,1450 0,0738
29 30 0,0640 0,1565 64 65 0,7105 0,3619
30 31 0,3978 0,1315 65 66 1,0410 0,5302
31 32 0,0702 0,0232 12 67 0,2012 0,0611
32 33 0,3510 0,1160 67 68 0,0047 0,0014
33 34 0,8390 0,2816 13 69 0,7394 0,2444
34 35 1,7080 0,5646 69 70 0,0047 0,0016
35 36 1,4740 0,4873
39
ANEXO B
A Tabela B.1 apresenta os resultados do FPO para o sistema de 70 barras quando não
estão ligados bancos de capacitores.
Tabela B.1 - Resultados sem banco de capacitores
Dados sem capacitores
barra ângulo tensão Pd Pg Qd Qg Bsh
1 0.0000 0.9800 0 40753 0 28297 0
2 -0.0000 0.9800 0 0 0 0 0
3 -0.0000 0.9799 0 0 0 0 0
4 -0.0000 0.9799 0 0 0 0 0
5 -0.0001 0.9798 0 0 0 0 0
6 -0.0003 0.9790 0.0026 0 0.0022 0 0
7 0.0009 0.9697 0.0404 0 0.0300 0 0
8 0.0022 0.9602 0.0750 0 0.0540 0 0
9 0.0025 0.9580 0.0300 0 0.0220 0 0
10 0.0027 0.9568 0.0280 0 0.0190 0 0
11 0.0042 0.9519 0.1450 0 0.1040 0 0
12 0.0045 0.9510 0.1450 0 0.1040 0 0
13 0.0051 0.9486 0.0080 0 0.0055 0 0
14 0.0060 0.9457 0.0080 0 0.0055 0 0
15 0.0068 0.9428 0 0 0 0 0
16 0.0076 0.9399 0.0455 0 0.0300 0 0
17 0.0078 0.9394 0.0600 0 0.0350 0 0
18 0.0080 0.9387 0.0600 0 0.0350 0 0
19 0.0080 0.9387 0 0 0 0 0
20 0.0081 0.9382 0.0010 0 0.0006 0 0
21 0.0082 0.9379 0.1140 0 0.0810 0 0
22 0.0083 0.9377 0.0053 0 0.0035 0 0
23 0.0083 0.9377 0 0 0 0 0
24 0.0083 0.9376 0.0280 0 0.0200 0 0
25 0.0083 0.9376 0 0 0 0 0
26 0.0084 0.9374 0.0140 0 0.0100 0 0
27 0.0084 0.9374 0.0140 0 0.0100 0 0
28 0.0084 0.9374 0 0 0 0 0
29 -0.0000 0.9799 0.0520 0 0.0372 0 0
30 -0.0001 0.9799 0 0 0 0 0
31 -0.0000 0.9798 0 0 0 0 0
32 -0.0000 0.9797 0 0 0 0 0
33 0.0000 0.9796 0.0140 0 0.0100 0 0
34 0.0001 0.9795 0.0195 0 0.0140 0 0
35 0.0001 0.9794 0.0060 0 0.0040 0 0
40
36 0.0001 0.9794 0 0 0 0 0
37 -0.0001 0.9799 0.0520 0 0.0371 0 0
38 -0.0002 0.9798 0 0 0 0 0
39 -0.0002 0.9796 0.0240 0 0.0170 0 0
40 -0.0002 0.9796 0.0240 0 0.0170 0 0
41 -0.0002 0.9796 0.0012 0 0.0010 0 0
42 -0.0004 0.9789 0 0 0 0 0
43 -0.0005 0.9786 0.0060 0 0.0043 0 0
44 -0.0005 0.9785 0 0 0 0 0
45 -0.0005 0.9785 0.0392 0 0.0263 0 0
46 -0.0005 0.9785 0.0392 0 0.0263 0 0
47 -0.0005 0.9785 0 0 0 0 0
48 -0.0001 0.9798 0.0790 0 0.0564 0 0
49 -0.0009 0.9786 0.3847 0 0.2745 0 0
50 -0.0021 0.9767 0.3847 0 0.2745 0 0
51 -0.0021 0.9767 0 0 0 0 0
52 0.0025 0.9579 0.0810 0 0.0566 0 0
53 0.0025 0.9579 0 0 0 0 0
54 0.0031 0.9540 0.0528 0 0.0380 0 0
55 0.0036 0.9507 0.0240 0 0.0172 0 0
56 0.0042 0.9462 0 0 0 0 0
57 0.0048 0.9418 0 0 0 0 0
58 0.0120 0.9190 0 0 0 0 0
59 0.0157 0.9077 0.1000 0 0.0720 0 0
60 0.0171 0.9037 0 0 0 0 0
61 0.0190 0.8986 12440 0 0.8880 0 0
62 0.0193 0.8970 0.0320 0 0.0230 0 0
63 0.0193 0.8968 0 0 0 0 0
64 0.0194 0.8964 0.2270 0 0.1620 0 0
65 0.0194 0.8960 0.0590 0 0.0420 0 0
66 0.0194 0.8960 0 0 0 0 0
67 0.0045 0.9509 0.0360 0 0.0260 0 0
68 0.0045 0.9509 0 0 0 0 0
69 0.0053 0.9483 0.0560 0 0.0400 0 0
70 0.0053 0.9483 0 0 0 0 0
A Tabela B.2 apresenta os resultados do FPO para o sistema de 70 barras quando
estão instalados bancos de capacitores nas barras 54 e 62.
41
Tabela B.2 - Resultados com bancos de capacitores nas barras 54 e 62
Dados com capacitores nas barras 54 e 62
barra ângulo tensão Pd Pg Qd Qg Bsh
1 -0.0000 0.9800 0 40579 0 -0.6755 0
2 -0.0000 0.9800 0 0 0 0 0
3 -0.0001 0.9800 0 0 0 0 0
4 -0.0001 0.9800 0 0 0 0 0
5 -0.0002 0.9800 0 0 0 0 0
6 -0.0010 0.9798 0.0026 0 0.0022 0 0
7 -0.0081 0.9747 0.0404 0 0.0300 0 0
8 -0.0156 0.9697 0.0750 0 0.0540 0 0
9 -0.0174 0.9685 0.0300 0 0.0220 0 0
10 -0.0184 0.9680 0.0280 0 0.0190 0 0
11 -0.0169 0.9631 0.1450 0 0.1040 0 0
12 -0.0167 0.9622 0.1450 0 0.1040 0 0
13 -0.0160 0.9599 0.0080 0 0.0055 0 0
14 -0.0152 0.9570 0.0080 0 0.0055 0 0
15 -0.0144 0.9541 0 0 0 0 0
16 -0.0136 0.9512 0.0455 0 0.0300 0 0
17 -0.0135 0.9508 0.0600 0 0.0350 0 0
18 -0.0133 0.9500 0.0600 0 0.0350 0 0
19 -0.0132 0.9500 0 0 0 0 0
20 -0.0131 0.9496 0.0010 0 0.0006 0 0
21 -0.0130 0.9493 0.1140 0 0.0810 0 0
22 -0.0129 0.9491 0.0053 0 0.0035 0 0
23 -0.0129 0.9491 0 0 0 0 0
24 -0.0129 0.9490 0.0280 0 0.0200 0 0
25 -0.0129 0.9489 0 0 0 0 0
26 -0.0128 0.9488 0.0140 0 0.0100 0 0
27 -0.0128 0.9487 0.0140 0 0.0100 0 0
28 -0.0128 0.9487 0 0 0 0 0
29 -0.0001 0.9800 0.0520 0 0.0372 0 0
30 -0.0001 0.9799 0 0 0 0 0
31 -0.0001 0.9798 0 0 0 0 0
32 -0.0001 0.9798 0 0 0 0 0
33 -0.0000 0.9797 0.0140 0 0.0100 0 0
34 0.0000 0.9795 0.0195 0 0.0140 0 0
35 0.0001 0.9794 0.0060 0 0.0040 0 0
36 0.0001 0.9794 0 0 0 0 0
37 -0.0001 0.9800 0.0520 0 0.0371 0 0
38 -0.0002 0.9798 0 0 0 0 0
39 -0.0002 0.9797 0.0240 0 0.0170 0 0
40 -0.0002 0.9796 0.0240 0 0.0170 0 0
41 -0.0002 0.9796 0.0012 0 0.0010 0 0
42
42 -0.0004 0.9789 0 0 0 0 0
43 -0.0005 0.9786 0.0060 0 0.0043 0 0
44 -0.0005 0.9786 0 0 0 0 0
45 -0.0005 0.9786 0.0392 0 0.0263 0 0
46 -0.0005 0.9785 0.0392 0 0.0263 0 0
47 -0.0005 0.9785 0 0 0 0 0
48 -0.0002 0.9799 0.0790 0 0.0564 0 0
49 -0.0009 0.9788 0.3847 0 0.2745 0 0
50 -0.0022 0.9768 0.3847 0 0.2745 0 0
51 -0.0022 0.9768 0 0 0 0 0
52 -0.0174 0.9685 0.0810 0 0.0566 0 0
53 -0.0174 0.9685 0 0 0 0 0
54 -0.0221 0.9671 0.0528 0 0.0380 0 1.500
55 -0.0245 0.9654 0.0240 0 0.0172 0 0
56 -0.0278 0.9629 0 0 0 0 0
57 -0.0312 0.9605 0 0 0 0 0
58 -0.0472 0.9456 0 0 0 0 0
59 -0.0553 0.9383 0.1000 0 0.0720 0 0
60 -0.0585 0.9357 0 0 0 0 0
61 -0.0625 0.9324 12440 0 0.8880 0 0
62 -0.0699 0.9345 0.0320 0 0.0230 0 2.400
63 -0.0699 0.9343 0 0 0 0 0
64 -0.0698 0.9339 0.2270 0 0.1620 0 0
65 -0.0697 0.9335 0.0590 0 0.0420 0 0
66 -0.0697 0.9335 0 0 0 0 0
67 -0.0167 0.9622 0.0360 0 0.0260 0 0
68 -0.0167 0.9622 0 0 0 0 0
69 -0.0159 0.9595 0.0560 0 0.0400 0 0
70 -0.0159 0.9595 0 0 0 0 0
43
A Tabela B.3 apresenta os resultados do FPO para o sistema de 70 barras quando
estão instalados bancos de capacitores nas barras 27, 54, 62 e 65.
Tabela B.3 - Resultados com bancos de capacitores nas barras 27, 54, 62 e 65
Dados com capacitores nas barras 27, 54, 62 e 65
barra ângulo tensão Pd Pg Qd Qg Bsh
1 0.0000 0.9800 0 42802 0 -23173 0
2 -0.0000 0.9800 0 0 0 0 0
3 -0.0001 0.9800 0 0 0 0 0
4 -0.0001 0.9800 0 0 0 0 0
5 -0.0002 0.9800 0 0 0 0 0
6 -0.0013 0.9801 0.0026 0 0.0022 0 0
7 -0.0126 0.9765 0.0404 0 0.0300 0 0
8 -0.0245 0.9731 0.0750 0 0.0540 0 0
9 -0.0273 0.9724 0.0300 0 0.0220 0 0
10 -0.0289 0.9720 0.0280 0 0.0190 0 0
11 -0.0289 0.9677 0.1450 0 0.1040 0 0
12 -0.0290 0.9669 0.1450 0 0.1040 0 0
13 -0.0297 0.9650 0.0080 0 0.0055 0 0
14 -0.0308 0.9627 0.0080 0 0.0055 0 0
15 -0.0319 0.9605 0 0 0 0 0
16 -0.0331 0.9582 0.0455 0 0.0300 0 0
17 -0.0333 0.9579 0.0600 0 0.0350 0 0
18 -0.0338 0.9574 0.0600 0 0.0350 0 0
19 -0.0338 0.9574 0 0 0 0 0
20 -0.0343 0.9571 0.0010 0 0.0006 0 0
21 -0.0346 0.9569 0.1140 0 0.0810 0 0
22 -0.0352 0.9570 0.0053 0 0.0035 0 0
23 -0.0352 0.9570 0 0 0 0 0
24 -0.0355 0.9570 0.0280 0 0.0200 0 0
25 -0.0361 0.9571 0 0 0 0 0
26 -0.0375 0.9574 0.0140 0 0.0100 0 0
27 -0.0380 0.9575 0.0140 0 0.0100 0 0.300
28 -0.0380 0.9575 0 0 0 0 0
29 -0.0001 0.9800 0.0520 0 0.0372 0 0
30 -0.0001 0.9800 0 0 0 0 0
31 -0.0001 0.9798 0 0 0 0 0
32 -0.0001 0.9798 0 0 0 0 0
33 -0.0000 0.9797 0.0140 0 0.0100 0 0
34 0.0000 0.9795 0.0195 0 0.0140 0 0
35 0.0000 0.9795 0.0060 0 0.0040 0 0
36 0.0000 0.9795 0 0 0 0 0
37 -0.0001 0.9800 0.0520 0 0.0371 0 0
38 -0.0002 0.9798 0 0 0 0 0
44
39 -0.0002 0.9797 0.0240 0 0.0170 0 0
40 -0.0002 0.9796 0.0240 0 0.0170 0 0
41 -0.0002 0.9796 0.0012 0 0.0010 0 0
42 -0.0004 0.9789 0 0 0 0 0
43 -0.0005 0.9786 0.0060 0 0.0043 0 0
44 -0.0005 0.9786 0 0 0 0 0
45 -0.0005 0.9786 0.0392 0 0.0263 0 0
46 -0.0006 0.9786 0.0392 0 0.0263 0 0
47 -0.0006 0.9786 0 0 0 0 0
48 -0.0002 0.9800 0.0790 0 0.0564 0 0
49 -0.0010 0.9788 0.3847 0 0.2745 0 0
50 -0.0022 0.9769 0.3847 0 0.2745 0 0
51 -0.0022 0.9769 0 0 0 0 0
52 -0.0273 0.9723 0.0810 0 0.0566 0 0
53 -0.0273 0.9723 0 0 0 0 0
54 -0.0342 0.9718 0.0528 0 0.0380 0 1.500
55 -0.0386 0.9707 0.0240 0 0.0172 0 0
56 -0.0447 0.9693 0 0 0 0 0
57 -0.0507 0.9680 0 0 0 0 0
58 -0.0819 0.9569 0 0 0 0 0
59 -0.0975 0.9518 0.1000 0 0.0720 0 0
60 -0.1037 0.9501 0 0 0 0 0
61 -0.1114 0.9478 12440 0 0.8880 0 0
62 -0.1236 0.9523 0.0320 0 0.0230 0 2.400
63 -0.1245 0.9525 0 0 0 0 0
64 -0.1258 0.9528 0.2270 0 0.1620 0 0
65 -0.1324 0.9556 0.0590 0 0.0420 0 1.500
66 -0.1324 0.9556 0 0 0 0 0
67 -0.0290 0.9668 0.0360 0 0.0260 0 0
68 -0.0290 0.9668 0 0 0 0 0
69 -0.0296 0.9646 0.0560 0 0.0400 0 0
70 -0.0296 0.9646 0 0 0 0 0
