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Universidade Federal do Piauí Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Prof. Marcos Zurita [email protected] Teresina - 2011 Mecanismos de Condução em Condutores 2 Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita 1. Introdução 2. Condutividade Elétrica 3. Lei de Ohm 4. Velocidade de Deriva, Mobilidade e Condutividade 5. Tempo Médio Entre Colisões e Livre Caminho Médio 6. Resistividade dos Metais e Ligas Metálicas 7. Condutividade Térmica dos Metais 8. Efeito Seebeck 9. Efeito Peltier 10. Efeito da CA em Condutores Elétricos 11. Efeito Pelicular

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Universidade Federal do PiauíCentro de TecnologiaDepartamento de Engenharia Elétrica

Prof. Marcos [email protected]

Teresina - 2011

Mecanismos de Condução em Condutores

2Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

1. Introdução 2. Condutividade Elétrica 3. Lei de Ohm 4. Velocidade de Deriva, Mobilidade e Condutividade 5. Tempo Médio Entre Colisões e Livre Caminho Médio 6. Resistividade dos Metais e Ligas Metálicas 7. Condutividade Térmica dos Metais 8. Efeito Seebeck 9. Efeito Peltier 10. Efeito da CA em Condutores Elétricos 11. Efeito Pelicular

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3Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Materiais Condutores Materiais que conduzem corrente elétrica com facilidade

Características desejáveis para os materiais condutores: Condutividade elétrica elevada; Baixo custo; Boa resistividade mecânica; Boa resistência à oxidação; Tolerância a altas temperaturas.

Materiais condutores sólidos mais utilizados na Engenharia Elétrica: Metais e ligas metálicas

4Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Condutividade Elétrica () grandeza que expressa a facilidade com que um

material é capaz de conduzir a corrente elétrica. Nos metais, a condutividade está associada a

elétrons livres ou de condução deslocando-se no reticulado cristalino.

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5Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Condução Eletrônica vs Iônica A corrente elétrica se origina do movimento de partículas

eletricamente carregadas em resposta a um campo elétrico externo aplicado.

As partículas de carga positiva são aceleradas na direção do campo elétrico e as de carga negativa na direção oposta.

Na maior parte dos sólidos a corrente surge do fluxo de elétrons, o que se denomina de Condução Eletrônica.

Em materiais iônicos a corrente pode resultar de um movimento líquido de iôns carregados, ao que se denomina Condução Iônica.

6Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Isolantes: < 10-7 (.m)-1

Semicondutores: 10-7 ≤ ≤ 103 (.m)-1

Condutores: > 103 (.m)-1

Melhores condutores elétricos: Ag: = 1,6x10-8 .m Cu: = 1,8x10-8 .m Au: = 2,4x10-8 .m Al: = 2,8x10-8 .m

Isolantes CondutoresSemicondutores

Silício dopado

GeQuartzo

Madeira seca

NaCl

Borracha

SiO2

Porcelana

Mica

VidroGaAs Si Mn

Fe

AgCuAlAu

10-20 10-18 10-16 10-14 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 1 102 104 106

σ (Ω.cm)-1

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7Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Lei de Ohm Matematicamente definida por:

= 1/, sendo a resistividade (.m) A densidade de corrente permanece constante desde que o

campo elétrico seja constante.

(Eq. 3.1)J E

(Eq. 3.2)EV

l

8Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Fontes de variação da resistividade entre diferentes materiais: Estrutura eletrônica (isolante, metal ou semicondutor) Fontes de interferência (caracterizadas por µ)

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9Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Nos materiais condutores a resistência à passagem da corrente elétrica se deve as colisões entre os elétrons e a estrutura cristalina do material.

Ao aplicarmos um campo elétrico em um condutor observamos que os elétrons tendem a se deslocar na direção da força imposta por esse campo com velocidade média proporcional a sua intensidade. Essa velocidade é chamada velocidade de

deriva (vd):

A constante de proporcionalidade (µe) indica (inversamente) a frequência com que as colisões ocorrem no material e é chamada mobilidade do elétron. É expressa em m2/V.s.

(Eq. 3.3)vde E

10Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

A mobilidade do elétron é diretamente proporcional ao tempo com que ele consegue percorrer o material sem colidir com a rede cristalina. Este tempo é chamado tempo médio entre

colisões ou tempo de relaxação dos elétrons (τ). Sua relação com a mobilidade é dada por:

Onde: e = carga do elétron me = massa do elétron

(Eq. 3.4)ee

me

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11Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Na maior parte dos condutores a condutividade pode ser expressa diretamente a partir da mobilidade (µ) como sendo:

Ou seja:

Logo, a condutividade é proporcional tanto ao número de elétrons-livres por volume (n) quanto à sua mobilidade no material.

Dessa forma, podemos exprimir a condutividade em função do tempo médio entre colisões:

(Eq. 3.5)ne

(Eq. 3.6) 1

1

ne

(Eq. 3.7)ne

2me

12Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Para um e- que, impelido por um campo elétrico, percorre a estrutura cristalina de um condutor, chocando-se com ela, podemos definir duas características do seu movimento: O Tempo Médio Entre Colisões (τ ou τc);

A distância média percorrida entre duas colisões, ou Livre

Caminho Médio (λ). Assumindo que o movimento entre duas colisões seja retilíneo,

temos:

Onde vF é a velocidade de um e- com Energia de Fermi (εF):

(Eq. 3.8)vF

(Eq. 3.9)v F2 F me

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13Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

A resistividade dos metais varia conforme a temperatura:

Condutores reais, mesmo a 0 K, apresentam resistividade diferente de zero. Isto se deve a impurezas, vazios e imperfeições no reticulado cristalino.

T cai → vibração do reticulado diminui → τ aumenta → ρ diminui

ρ

ρ0

(Eq. 3.10)0aT

14Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Regra de Mathiessen

Para um material condutor, a resistividade elétrica é a soma das contribuições de três componentes:

Onde: t: relacionada às vibrações térmicas da estrutura cristalina;

i: relacionada às impurezas presentes no material;

d: relacionada às deformações (imperfeições estruturais).

(Eq. 3.11)totaltid

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15Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Resistividade do cobre e três ligas dele com Níquel

As contribuições da temperatura (t), impurezas (i) e deformações (d) são destacadas a -100°C.

Impurezas indicadas em termos de fração atômica (at%)

16Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Com base na Regra de Mathiessen podemos expressar o tempo médio de relaxação dos elétrons como sendo:

Onde: τT = tempo de relaxação devido às vibrações térmicas

τi = tempo de relaxação devido às impurezas

Desse modo, podemos exprimir a resistividade de um condutor como:

(Eq. 3.12)1

1

i

1

T

(Eq. 3.13)me

n e2 1

i

1

T

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17Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Resistividade de Ligas Metálicas Nas ligas metálicas espera-se a aplicabilidade da eq.

= t + i + d com um crescimento de i à medida em que se aumenta a concentração dos átomos do soluto (impureza).

A medida que i aumenta: aumenta o valor de observa-se uma menor variação de com a temperatura.

Tem-se na pequena variação da resistividade das ligas com a temperatura, a grande vantagem na sua utilização para confecção de componentes resistivos (seus valores tornam-se mais estáveis com a temperatura).

18Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Ao adicionar níquel ao cobre a resistividade deste cresce de acordo com o % de Ni até o limite de 50% de soluto.

Outras ligas sólidas de dois metais apresentam comporta-mento análogo ao da liga Cu-Ni. Ex.: Cu-Au, Ag-Au, Pt-Pd, Cu-Pd, ...

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19Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Equação de Nordheim A variação de i em função da adição de impurezas é dada

pela Equação de Nordheim:

Onde: A = coeficiente de Nordheim para um dado metal base e

impureza. ci = concentração da impureza ou fração do soluto no metal

base, expressa em termos de fração atômica (at.%). Para baixas concentrações de impureza (ci << 1) podemos

assumir que:

(Eq. 3.14)iA c i1ci

(Eq. 3.15)iA c i

20Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Coeficiente de Nordheim para algumas ligas metálicas à 20°C para ci < 1 at.%:

Para muitas ligas o coeficiente de Nordheim pode mudar em concentrações mais elevadas.

Liga (soluto em solvente)

Coeficiente de

Nordheim (nΩΩΩΩm)

Solubilidade Máxima à 25°C (at.%)

Au em Cu 5500 100

Cu em Au 450 100

Ni em Cu 1250 100

Ni em Au 790 100

Zn em Cu 300 30

Sn em Cu 2900 0,6

Sn em Au 3360 5

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21Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Os metais, semelhantemente à condutividade elétrica, também apresentam elevada condutividade térmica.

O transporte de calor nos metais é feito pelos elétrons de valência com energias próximas ao nível de Fermi.

22Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Lei de Condução de Calor A taxa de fluxo de calor Q através

da seção de um condutor deespessura x é proporcional aogradiente de temperatura e à áreada seção (A):

Ou seja:

Onde: (Q/t) = a energia calorífica por segundo; K = condutividade térmica (W/m°C ou W/mK).

(Eq. 3.16)Q

tT

x

(Eq. 3.17)Q

tK A

T

x

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23Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Condutividade térmica na temperatura ambiente (27°C) para alguns metais: Ag: K = 427 W/m°C Cu: K = 385 W/m°C Au: K = 314 W/m°C Al: K = 209 W/m°C

24Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Lei de Wiedemann-Franz-Lorenz Estabelece uma relação matemática entre a condutividade

térmica e a condutividade elétrica nos metais:

Onde CWFL é o Número de Lorenz:

sendo: kB = constante de Boltzmann (1,3806×10-23 m2.kg.s-2.K-1) e = carga elementar do elétron (1,6022×10-19 C)

(Eq. 3.18)K

CWFLT

(Eq. 3.19)CWFL 2

3 k B

e 2

2.44108

W K2

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25Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Efeito Seebeck

É aparecimento de uma ddp entre os terminais de um condutor provocado pelo gradiente térmico entre suas extremidades.

V+ -

26Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Ao receber energia térmica no terminal quente os elétrons ganham energia cinética e se difundem para a região mais fria.

O fluxo de elétrons da extremidade quente para a extremidade fria gera uma ddp ao longo do condutor.

A tensão gerada é função da diferença de temperatura entre os terminais da amostra (da ordem de mV).

e-e-

e-

e-e-

e-

T2

T1

∆∆∆∆V

(Lado quente) (Lado frio)

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27Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

O Efeito Seebeck pode ser determinado pela equação:

Onde S é o Coeficiente de Seebeck, dado por:

Sendo: εF0 = a energia de Fermi a zero Kelvin.

kB = constante de Boltzmann.

(Eq. 3.20)V T0

T

S dT

(Eq. 3.21)SdV

dT

(Eq. 3.22)S2

k B

2T

2e F0

28Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Termopares São sensores de temperatura baseados no efeito

Seebeck. Compostos por dois condutores distintos, possuindo

portanto diferentes coeficientes de Seebeck (SA SB).

Quando a junção é submetida a uma temperatura diferente da dos terminais, surge uma ddp entre os condutores proporcional a essa diferença.

Metal 1

Metal 2

T1

T2

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29Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Termopares Referenciados São termopares que dispõem de duas junções, sendo uma

para medição e outra para referência.

A junção de referência (ou junta fria) é mantida em uma temperatura conhecida (temperatura de referência).

A junção de medição (ou junta quente) é submetida à temperatura que se deseja medir.

A tensão gerada entre as junções é proporcional a diferença entre as temperaturas medida e de referência.

JuntaQuente

JuntaFria

30Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

A ddp gerada pelo termopar pode ser calculada a partir da Eq. 3.20 como sendo:

Resolvendo a Eq. 3.23 à luz da Eq. 3.22 obtemos uma expressão sob a forma:

A Eq. 3.24 é conhecida como Equação do Termopar, sendo: a e b os coeficientes característicos do termopar; ∆T a diferença entre as temperaturas da junção quente e

da junção fria (T2-T1).

(Eq. 3.23)V ABT1

T 2

S AS B dT T1

T 2

S AB dT

(Eq. 3.24)V ABa TbT2

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31Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Termopares ComerciaisTipos: E - Cromel/Constantan J - Ferro/Constantan T - Cobre/Constantan K - Cromel/Alumel S - Platina/Ródio-Platina-10% B - Platina/Ródio-Platina-13% R - Platina/Ródio-Platina-26%

Composição das Ligas: Constantan: 55%Ni 45%Cu Alumel: 95%Ni 5%(Al+Si+Mn) Cromel: 90%Ni 10%Cr

32Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Efeito Peltier Considere a estrutura abaixo, composta de dois condutores

distintos A e B, conectados eletricamente por uma superfí-cie condutora “b”.

Admita que a mobilidade dos e- nos condutores A e B sejam tais que µA > µB, e que para a superfície “b”, µb » µA.

b

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33Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Para percorrer o condutor Aa corrente I necessita de nA

elétrons com velocidade igual a vDA m/s (I=C/s).

Após atingir a superfície “b” os e- devem passar pelo condutor B cuja mobilidade é mais baixa (vDB < vDA).

Como a corrente através da estrutura é constante, será necessário um número maior de elétrons percorrendo o condutor B para manter a corrente (nB > nA).

+ -I

A B

a c

b

34Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Estes elétrons “faltantes” serão fornecidos pelo calor da superfície “b”, reduzindo sua temperatura.

Ao chegar na superfície “c” os elétrons excedentes são dissipados sob a forma de calor, aumentando sua temperatura.

→→→→ A estrutura comporta-se como máquina térmica em estado sólido, retirando calor da superfície “b” para a superfície “c”!

+ -

I

A B

a c

b

Calor retirado

Calor expulso

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35Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

O fenômeno descrito é chamado de Efeito Peltier. Efeito Peltier: é o estabelecimento de um gradiente de

temperatura a partir da passagem de corrente elétrica através de dois condutores distintos.

O calor absorvido por unidade de tempo em uma máquina de Peltier pode ser calculado pela equação:

Onde ΠA e ΠB são os coeficientes de Peltier de cada material. Eles representam a quantidade de calor que é carregada por unidade de corrente elétrica através de um dado material.

(Eq. 3.25)Q B A I AB I

36Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Algumas Pastilhas Peltier

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37Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Em aplicações de médias e altas tensões, além das características citadas, outros parâmetros devem ser levados em consideração: Peso do cabo (cálculo mecânico das estruturas); Indutância; Capacitância; Efeito pelicular (skin effect).

38Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Efeito Pelicular (Skin Effect)

Quando um fio homogêneo é percorrido por uma corrente contínua, as cargas tendem a se distribuir igualmente ao atravessar uma seção transversal do mesmo.

Em corrente alternada a densidade de corrente varia do centro do condutor para a sua superfície externa, sendo mínima no centro e máxima na periferia.

A consequência prática é o aumento da resistência elétrica aparente do condutor devido à redução de sua área efetiva.

Efeito Pelicular: é o efeito da concentração da corrente elétrica nas regiões periféricas de um condutor percorrido por corrente alternada.

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39Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

O Efeito Pelicular decorre da indução de campos magnéticos associados à passagem da corrente e aos campos elétricos induzidos, cujos sentidos tendem a opor-se ao movimento de elétrons no centro do condu-tor e reforçá-lo na periferia.

40Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

As leis que governam a propagação de um campo eletro-magnético em um meio condutor, permitem demonstrar que a densidade de corrente aumenta de intensidade do centro para a superfície do condutor.

A distribuição resultante da corrente pode ser representada matematicamente pela equação:

Onde: Js é o valor máximo da densidade de corrente (superfície do

condutor); d é a distância da superfície (profundidade); δ é um parâmetro chamado profundidade pelicular (skin depth).

(Eq. 3.26)JJ S ed

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41Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Profundidade Pelicular δδδδ (Skin Depth)

É a profundidade (distância da superfície) para qual a intensidade da corrente cai a 36,8% de seu valor na superfície.

Matematicamente, a profundidade pelicular (δ) pode ser calculada por:

Onde: ρ é a resistividade do material ω é a frequência de oscilação da corrente (2f) µ é a permeabilidade absoluta do material (µ = µrµ0)

(Eq. 3.27) 2

42Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Se f=0 então δ →∞, J=Js.e0 (não há efeito pelicular, a

densidade de corrente independe da profundidade; Quanto maior a frequência, menor o valor de δ e maior a

variação de J com a distância da superfície do condutor; Quanto maior a frequência, maior o efeito pelicular; Bons condutores (baixo ρ) possuem efeito pelicular mais

pronunciado; Quanto maior a permeabilidade magnética do material (µ),

maior será o efeito pelicular.

(Eq. 3.28)J J S e d

J S ed

2

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43Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Profundidade pelicular de alguns condutores em função da frequência de oscilação da corrente.

44Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Densidade de corrente à 60Hz, 500Hz e 100kHz em um condutor de estanho vs um condutor de cobre:

44

ESTANHO

COBRE

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45Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Alguns condutores para média e alta tensão

46Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Resistência de um condutor cilíndrico em corrente contínua:

Onde: L = comprimento do condutor (m); r = raio da secção reta do condutor (m).

Resistência aparente de um condutor cilíndrico em corrente alternada:

(Eq. 3.29)RCCL

r2

(Eq. 3.30)RCA7.1 r 20.26 7.11RCC

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47Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Dedução das Equações da

Velocidade de Deriva e da

Mobilidade

48Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Considere que um campo elétrico uniforme (E) seja aplicado na direção x

de um dado condutor. A aceleração sofrida por cada elétron desse condutor na direção do

campo pode ser expressa por:

Onde me é a massa efetiva do elétron e Vx é a velocidade do e-. Para um grupo de N elétrons, a velocidade média será dada por:

A essa velocidade denominamos velocidade de deriva (vd).

ecampo

x

ecampo

xx

m

eE

t

V

m

F

t

V

m

Fa =

∂∴=

∂∴= (Eq.

1.1)

=

==N

i

xxd tVN

tvvi

1

)(1

)( (Eq.

1.2)

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49Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Como o campo elétrico aplicado é uniforme, não devem haver variações na velocidade média de deslocamento dos elétrons enquanto o campo existir (velocidade de deriva = cte).

Se vd é constante então a aceleração ganha pelos elétrons (Eq. 1.1) devido ao campo elétrico precisa ser equilibrada por uma outra de valor oposto, de maneira que a aceleração total seja nula. Esta aceleração de sentido oposto se deve às colisões:

00 =

∂+

∂→=

colisões

x

campo

xd vt

vt

vdt

d(Eq.

1.3)

50Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Admita agora que no instante t = 0 esses elétrons tenham velocidade média vx0, e que para t > 0 o campo seja retirado.

Em t > 0 a aceleração devido ao campo cessa, restando apenas as colisões dos elétrons com a rede cristalina.

As colisões em t > 0 irão “frear” os elétrons de forma que sua velocidade decairá conforme a Eq. 1.4.

τ/0)( t

xx evtv −= (Eq.

1.4)

τ

)(

0

tvv

t

x

t

x −=

>(Eq.

1.5)

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51Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Analisando a equação temos que: τ, assim como t, deve ser expresso em unidades de tempo. A

esse parâmetro denominamos tempo de relaxação. A desaceleração dos elétrons será tanto maior quanto menor for

o valor de τ. O motivo é que τ exprime o tempo médio que um elétron se move entre duas colisões. Por essa razão, τ também é chamado tempo médio entre colisões.

Se o tempo em que o campo permaneceu aplicado no condutor antes de ser retirado foi significativamente superior a τ, a velocidade média dos elétrons em t = 0 (vx0) deve ser igual a velocidade de deriva (vd).

τ/0)( t

xx evtv −=

52Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Após retiramos o campo elétrico (t > 0), a aceleração dos elétrons devido ao campo cessa, restando apenas a aceleração devido às colisões. Em outras palavras, a desaceleração calculada na Eq. 1.5 corresponde a aceleração devido às colisões da Eq. 1.3, isto é:

Aplicando a Eq. 1.1 e 1.6 na Eq. 1.3 temos:

τ

)(0

tvv

tv

tv

t

x

colisões

x

campo

x

campo

x −=

∂+

∂→=

∂(Eq.

1.6)

(Eq.

1.7)

Em

ev

tv

m

eE

e

xx

e

−=→=−−

τ

τ0

)(

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53Materiais Elétricos – Prof. Marcos Zurita

Analisando a Eq. 1.7 notamos que: De acordo com a Eq. 1.2 a velocidade média encontrada na

Eq. 1.7 corresponde, em módulo, à velocidade de deriva vd.

O termo (eτ /me) é composto apenas por constantes, de modo que podemos substituí-lo por uma só constante, µe. Essa constante estabelece uma relação de proporcionalidade entre o campo elétrico e a velocidade de deriva e é chamada mobilidade do elétron, ou seja:

(Eq. 1.8)e

em

eτµ =