Universidade Federal do Rio de Janeiro Circuitos Elétricos I – EEL ...

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Circuitos Elétricos I – EEL 420

Módulo 10

Drawing of Michael Faraday's 1831 experiment showing electromagnetic induction

between coils of wire, using 19th century apparatus, from an 1892 textbook on

electricity.

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Induction_experiment.png

Conteúdo

10 - Elementos de Acoplamento Magnético...............................................................................1

10.1 - Indutores acoplados......................................................................................................1

10.1.1 - Caracterização da indutância mútua.....................................................................2

10.1.2 - Energia armazenada..............................................................................................2

10.1.3 - Coeficiente de acoplamento.................................................................................4

10.1.4 - Enrolamentos múltiplos e matriz de indutância...................................................4

10.1.5 - Ligações série e paralela de indutores acoplados.................................................6

10.2 - Transformadores ideais................................................................................................9

10.2.1 - Transformador de impedância............................................................................11

10.3 - Acoplamento magnético e fontes controladas............................................................12

10.4 - Exercícios...................................................................................................................12

10.5 - Soluções.....................................................................................................................18

Circuitos Elétricos – EEL420 – UFRJ 2

10 Elementos de Acoplamento Magnético

10.1 Indutores acoplados

Quando mais de uma bobina são colocadas próximas o campo magnético de uma

interage com o campo magnético da outra criando um acoplamento entre elas. Assim, cria-se

indutores acoplados que podem ser descritos como

1= f 1i1, i 2

2= f 2i1, i2

v1=∂1

∂ t=

∂ f 1

∂ i1

⋅∂ i1

∂ t

∂ f 1

∂ i2

⋅∂ i 2

∂ t

v2=∂2

∂ t=

∂ f 2

∂ i 1

⋅∂ i1

∂ t

∂ f 2

∂ i 2

⋅∂ i2

∂ t

assim, se os indutores forem lineares e invariantes

v1t =L11⋅di1t

dtM 12⋅

di2t

dt

v2(t )=M 21⋅di1(t)

dt+L22⋅

di2(t )

dt

ou

1t =L11⋅i1t M 12⋅i2t


1t =M 21⋅i 1t L22⋅i 2t

onde L11 e L22 são as auto indutâncias de cada indutor separadamente e M12 e M21 são as

chamadas indutâncias mútuas dos indutores acoplados e medidas em Henrys.

Estas relações também são válidas para o regime permanente senoidal

V 1= j⋅ω⋅L11⋅I 1+ j⋅ω⋅M 12⋅I 2

V 2= j⋅ω⋅M 21⋅I 1+ j⋅ω⋅L22⋅I 2

10.1.1 Caracterização da indutância mútua

Embora os sinais de L11 e L22 sejam sempre positivos, o sinal de M12 e M21 podem ser

negativos porém sempre são iguais e será chamado simplesmente M. O sinal de M depende da

forma como se dá o acoplamento entre os indutores e pode ser determinado

experimentalmente, por exemplo, se L2 for mantido em aberto e uma corrente positiva i1

circular pelo indutor L1, a tensão v2 terá o mesmo sinal de M pois

v2(t )=M 21⋅di1(t )

dt+L22⋅

di2(t )

dt

Quando o sinal de M é importante utiliza-se uma notação de ponto junto aos indutores

de forma que, se os sentidos de referência das correntes entram nos terminais marcados com

pontos, o acoplamento M é positivo.

10.1.2 Energia armazenada

A energia armazenada na indutância mútua pode ser calculada como

ε(i 1( t) , i2( t))=∫0

t

[v1(t ' )⋅i1(t ')+v2(t ' )⋅i2(t ' )]⋅dt '

ε(i1(t ) , i2(t))=∫0

t

[ L11⋅i1⋅di1

dt '±M⋅(i1⋅

di2

dt '+i2⋅

di1

dt ' )+L22⋅i 2⋅di2

dt ' ]⋅dt '


Para obter a energia armazenada nestes indutores acoplados é necessário integrar i1

com relação a i2 e i2 com relação a i1. O problema que aparentemente é simples, na verdade,

esconde a interação entre i1 e i2, o que impede o cálculo direto desta integral. Uma solução

alternativa consiste em levar a corrente i1 para o seu valor final enquanto i2=0 e, depois, levar

a corrente i2 para seu valor final enquanto i1 é mantida constante. Calculando a energia, assim,

por partes, obtemos como resultado

ε(i1(t ) , i2(t)=0)=12⋅L11⋅i1

2

ε(i1(t )=cte ,i 2(t))=±M⋅i1⋅i2+12⋅L22⋅i 2

2

ε(i1(t ) , i2(t))=12⋅L11⋅i1

2±M⋅i1⋅i 2+

12⋅L22⋅i2

2

ε(i1(t ) , i2(t))=ε(i 1( t) ,0)±M⋅i1⋅i2+ε(0, i2(t ))

ou seja, considerando as correntes positivas, a energia total acumulada pode ser maior

que a soma das energias de cada autoindutância, se M for positivo, mas pode ser menor caso o

M seja negativo. Se M for negativo, entretanto, a energia armazenada não pode ser negativa.

Esta situação de energia zero nos leva a um valor limite para M que pode ser calculado

resolvendo a equação da energia considerando uma corrente fixa (i2, por exemplo) e a outra

variando. Para facilitar a análise, a equação da energia

ε(i1(t ) , i2(t))=12⋅L11⋅i1

2−M⋅i1⋅i2+

12⋅L22⋅i2

2,

pode ser reescrita na forma padrão de uma parábola

ε(i1(t ) , i2(t ))=12 [(√L11⋅i1+

M

√ L11

⋅i 2)2

+(L22−M 2

L11)⋅i 2

2] ,

ε(i1(t ) , i2(t ))=12 [(√L11⋅i1+

M

√L11

⋅i 2)2

+( L22⋅L11−M 2

L11)⋅i2

2]


com vértice em i1=−(M /L11)⋅i2 e energia mínima em ε=(L11⋅L22−M 2) /(2⋅L11)⋅i 2

2 .

Assim para que a energia seja sempre maior ou igual a zero √L11⋅L22≥M .

10.1.3 Coeficiente de acoplamento

A corrente i1 que passa por um indutor produz um fluxo magnético igual a

φ=c1⋅N1⋅i1

onde c1 é uma constante que depende das propriedades magnéticas e da geometria do

núcleo e N 1 é o número de espiras do enrolamento. Assim,

v1=N1⋅d φ

dt=c1⋅N 1

2 di1

dt e L1=c1⋅N 1

2 .

Este mesmo fluxo também passa pelo segundo enrolamento induzindo uma tensão

v2=N 2⋅d φ

dt=cM⋅N1⋅N 2⋅

di1

dt

onde N 2 é o número de espiras do segundo enrolamento e cM⋅N 1⋅N 2 é a indutância

mútua. Então

L1⋅L2=(c1⋅N12)⋅(c2⋅N2

2)=c1⋅c2⋅(N 1⋅N 2)2=( cM⋅N1⋅N2

k )2

=M 2

k2

onde k=cM /√(c1⋅c2) é chamado de coeficiente de acoplamento e depende de

características geométricas e magnéticas do núcleo. O fator de acoplamento é mais

comumente expresso como

k=|M|

√ L11⋅L22

≤1


10.1.4 Enrolamentos múltiplos e matriz de indutância

Se mais de dois indutores lineares invariantes são acoplados, com sentidos de

referência passivo adotado para cada indutor, a relação entre eles é dada por um sistema de

equações lineares

1=L11⋅i1L12⋅i 2L13⋅i3

2=L21⋅i1L22⋅i2L23⋅i3

3=L31⋅i1L32⋅i 2L33⋅i 3

que pode ser reescrito utilizando uma notação matricial, tal que

=L⋅i

e

v=L⋅d idt

e a matriz de indutância L é quadrada e simétrica, de forma que L12=L21, L13=L31,.... e

desta forma também é possível definir a matriz indutância inversa

=L−1

OBS.: Se a matriz de indutâncias for uma matriz 2x2 a sua inversa pode ser facilmente

calculada pelas fórmulas

11=L22

det L, 22=

L11

det L, 12=21=

−L12

detL

O uso desta matriz inversa da indutância facilita cálculos quando se utiliza análise de

correntes de nó

i⋅=


ou seja

i1=11⋅112⋅2

i2=21⋅122⋅2

e

i1=11⋅∫0

t

v1t ' ⋅dt ' 12⋅∫0

t

v2t ' ⋅dt 'i10

i2=21⋅∫0

t

v1t ' ⋅dt '22⋅∫0

t

v2t ' ⋅dt ' i20

do ponto de vista de fasores

I 1=11

j⋅⋅V 1

12

j⋅⋅V 2

I 2=21

j⋅⋅V 1

22

j⋅⋅V 2

10.1.5 Ligações série e paralela de indutores acoplados

Para o circuito entre os pontos A e B.

vTOT=v1v2

logo


d

dt=

d 1

dt

d 2

dt

se as condições iniciais são nulas

tot=12

tot=L11⋅i1M⋅i 2M⋅i 1L22⋅i 2=L11L222⋅M ⋅i

logo

LEQ=L11L222⋅M

Por analogia, para o circuito entre os pontos a e b:

LEQ=L11L22−2⋅M

Ligações em paralela podem ser deduzidas de forma semelhante. Por simplicidade

utiliza-se a matriz inversa da indutância.

EQ= 11 22±2⋅∣ 12∣

Exemplo: Calcular a função de rede H j⋅ω =V 2

I s


A matriz de impedância é

L=[ L MM L ]=L⋅[1 k

k 1 ]

=L−1=

1

1−k 2 ⋅L⋅[1 k

k 1 ]

( ) ( )j ts Si t I e w× ×= Â ×

( ) ( )2 2j tv t V e w× ×=Â ×

( ) 2

s

VH j

Iw× =

1 1 2 1 2V j L I j M I j L I j L k Iw w w w= × × × + × × × = × × × + × × × ×

2 1 2 1 2V j M I j L I j L k I j L Iw w w w= × × × + × × × = × × × × + × × ×

I 1=Γ 11

j⋅ω⋅V 1

Γ 12

j⋅ω⋅V 2=

1

j⋅ω⋅L1−k 2⋅V 1−k⋅V 2

I 2=Γ 12

j⋅ω⋅V 1

Γ 22

j⋅ω⋅V 2=

1

j⋅ω⋅L 1−k 2 ⋅−k⋅V 1V 2

Equacionando as correntes do nó 1 temos

1R C SI I I I+ + =

( ) ( )1 22 2

1

1 1S

kG j C V V I

j L k j L kw

w w

é ùê ú+ × × + × - × =

× × - × × -ê úë û

Equacionando as correntes do nó 2 temos

2 0C RI I I+ + =


( ) ( )1 22 2

10

1 1

kV G j C V

j L k j L kw

w w

é ùê ú- × + + × × + × =

× × - × × -ê úë û

Somando as duas equações e trabalhando as parcelas podemos chegar a

( ) ( )1 2

1

1 2SI

G j C V Vj L k

ww

é ù+ × × + × + =ê ú× × +ë û

Subtraindo as duas equações e trabalhando as parcelas podemos chegar a

( ) ( )1 2

1

1 2SI

G j C V Vj L k

ww

é ù+ × × + × - =ê ú× × -ë û

as equações acima descrevem dois circuitos RLC paralelo, ressonantes, separados,

com indutâncias iguais a L(1+k) e L(1-k) respectivamente e com fasores de tensão (V1+V2) e

(V1-V2). A tensão de saída V2 pode ser obtida pela subtração dos dois fasores de tensão. Então

podemos resolver cada circuito separadamente e depois subtrair as tensões

( )21

1

1L C kw =

× × + , ( )22

1

1L C kw =

× × -

1 1Q C Rw= × × , 2 2Q C Rw= × ×

( )11 1 1

1 1

2 1 / /SV I Rj Q w w w w

= × × ×+ × × -

( )22 2 2

1 1

2 1 / /SV I Rj Q w w w w

= × × ×+ × × -

( ) ( )21 1 1 2 2 2

1 1 1

2 1 / / 1 / /SV I Rj Q j Qw w w w w w w w

é ù= × × × -ê ú+ × × - + × × -ë û

e a função de rede é

( ) ( ) ( )2

1 1 1 2 2 2

1 1 1

2 1 / / 1 / /S

VH j R

I j Q j Qw

w w w w w w w wé ù

× = = × × -ê ú+ × × - + × × -ë û


10.2 Transformadores ideais

Os transformadores são elementos de circuito obtidos com ao menos duas bobinas

construídas sobre um núcleo magnético de permeabilidade elevada. Nesta idealização

considera-se que a dissipação de energia é nula em cada bobina, as indutâncias próprias são

infinitas e os acoplamentos magnéticos são unitários (veja exercício resolvido no fim do

módulo). O núcleo apresenta permeabilidade infinita, não existem capacitâncias parasitas.

Uma representação mais precisa do transformador real pode ser obtida com a associação de

elementos RLC e o transformador ideal ou indutância mútua.

v1=L11⋅di1

dt+M⋅

di 2

dt e v2=M⋅

di1

dt+L22⋅

di2

dt

como k=1, M =√ L11⋅L22

v1=L11⋅di1

dt+√ L11⋅L22⋅

di2

dt

v2=√L11⋅L22⋅di1

dt+L22⋅

di 2

dt

v2=√L11⋅L22⋅di1

dt+

L22⋅v1

√L11⋅L22

−L22⋅L11

√L11⋅L22

⋅di 1

dt

v1

v2

=√ L11

L22

Como v1=n1⋅d 1

dt, v2=n2⋅

d 2

dt e 1=2= , então


1 1

2 2

v n

v n= .

Como as perdas no transformador ideal são nulas a potência de entrada é transferida

para a saída. Em outras palavras a energia não é armazenada nem dissipada no transformador.

p1=−p2

logo

v1⋅i1=−v2⋅i2

e

v1

v2

=−i2

i1

=n1

n2

.

10.2.1 Transformador de impedância

Os efeitos das impedâncias conectadas a um dos enrolamentos de um transformador

aparecem nos demais enrolamentos. Está relação é chamada de transformação de impedância.

Por exemplo, em um transformador de dois enrolamentos onde uma resistência é conectada

em paralelo com o segundo enrolamento, a impedância de entrada do circuito, vista pelo lado

do primeiro enrolamento é

RE=v1

i1

=(n1/n2)⋅v2

−(n2/ n1)⋅i2

=(n1

n2)

2

⋅( v2

−i 2)

como

v2=−RL⋅i2

então

RE=( n1

n2)

2

⋅RL


Esta relação de transformação de impedâncias vale para qualquer impedância

complexa em uma análise de regime permanente senoidal. Isto significa que um

transformador pode ser utilizado para uma função chamada casamento de impedância, para,

por exemplo, maximizar a transferência de potência entre dois sistemas de impedâncias

distintas. Por exemplo, casar a impedância de um alto falante de 8 com a impedância de

saída de um amplificador valvulado de 800. Usar um transformador com relação de espiras

de 10:1.

10.3 Acoplamento magnético e fontes controladas

Os acoplamentos magnéticos estudados neste módulo podem ser descritos por fontes

controladas associadas a indutores desacoplados. Neste caso, o acoplamento entre as

diferentes partes do circuito é deixado a cargo das fontes controladas. A figura abaixo mostra

como fazer as substituições para indutores acoplados e transformadores ideais.

10.4 Exercícios

1) Calcular as indutâncias equivalentes para as redes abaixo. Considere que a

indutância mútua de cada rede vale M.


LEQ=L11⋅L22−M 2

L11L22∓2⋅M

2) Um circuito com três indutâncias mutuas, funcionando em regime permanente, é

mostrado na figura abaixo. Determinar a tensão vo(t).

3) Encontre a expressão para Vo(jw). Considere o circuito em regime permanente

senoidal.

4) Sabendo que o circuito ao lado está em regime permanente senoidal, calcule: a) a

impedância de entrada Zin(jw); b) a potência média fornecida pela fonte de corrente; a

potência média dissipada no resistor.


5) Determine o que é necessário para que a associação de indutâncias do primeiro

circuito seja equivalente aos indutores acoplados do segundo circuito.

6) Para o circuito abaixo e para as condições de regime permanente determine: a) A

expressão de iR1(t); b) A potência média fornecida pela fonte.

7) No circuito abaixo, determine a expressão para a corrente i em função dos

elementos RLC. vo é a tensão sobre o capacitor (positivo em cima).


8) Considerando o circuito abaixo, onde os elementos são lineares e invariantes: a)

Qual a impedância Z(jw) para o circuito RLC paralelo? b) Qual o valor de R que maximiza

sua dissipação de energia? c) Nesta situação qual a potência entregue pela fonte? d) se

VC(0=2V e IL(0)=1A, qual o valor de IS(t) em regime permanente?

9) Determinar a tensão sobre L9.

10) Sabendo que V1 é uma fonte cossenoidal com ∣V 1∣=0,707V RMS e 79,577 Hz

calcule a potência média dissipada em R8.


11) Determine o que é necessário para que as duas redes sejam equivalentes.

12) O circuito abaixo está em regime permanente. Determine o valor de ZL para a

máxima transferência de energia. Qual a potência média sobre ZL.

13) Determinar V1 para que I =1∢0o


14) Calcule o equivalente Thèvenin entre os terminais A e B do circuito abaixo.

15) Calcule a corrente I. Considere que Zc é resistiva com potência de 43,9W para

220V nominais.

16) Calcular as correntes A1, A2 e as tensões V1 e V2. Considere que

V 4=60⋅√2∢−90 .


10.5 Soluções

1) Calcular as indutâncias equivalentes para as redes abaixo. Considere que a

indutância mútua de cada rede vale M.

LEQ=L11⋅L22−M 2

L11L22∓2⋅M

2) Um circuito com três indutâncias mutuas, funcionando em regime permanente, é

mostrado na figura abaixo. Determinar a tensão vo(t).


I 1⋅R1R2 j⋅⋅[L1L3 – 2⋅M 13 ]−I 2⋅R2 j⋅⋅[ L3−M 23−M 13M 12] =V 1

−I 1⋅R2 j⋅⋅[L3−M 13M 12−M 23 ]I 2⋅R2R31

j⋅⋅C1

j⋅⋅[ L2L3−2⋅M 23 ]=0

V O=1

j⋅⋅C1

⋅I 2

3) Encontre a expressão para Vo(jw). Considere o circuito em regime permanente

senoidal.

4) Sabendo que o circuito ao lado está em regime permanente senoidal, calcule: a) a

impedância de entrada Zin(jw); b) a potência média fornecida pela fonte de corrente; a

potência média dissipada no resistor.

V 1=L1⋅j⋅⋅I 1M⋅ j⋅⋅I 2= j⋅I 1 j⋅0,5⋅I 2

V 2=M⋅j⋅⋅I 1L2⋅ j⋅⋅I 2= j⋅0,5⋅I 1 j⋅2⋅I 2

V 2=−R⋅I 2=−8⋅I 2= j⋅0,5⋅I1 j⋅2⋅I 2

I 2=−j⋅0,5

8 j⋅2⋅I 1


V 1= j⋅I 1 j⋅0,5⋅I 2= j⋅I 1 j⋅0,5⋅− j⋅0,58 j⋅2

⋅I 1= j0,25

8 j⋅2⋅I 1

V 1

I 1

=Z 1= j0,25

8 j⋅2= 1

340,99⋅ j

P Fonte=12⋅∣I 1

2∣⋅ℜ{Zin}=12⋅22⋅

134

=0,059W

PR=12⋅∣I 2

2∣⋅R=

12⋅∣2⋅− j⋅0,5

8+ j⋅2 ∣2

⋅8=0,059 W

5) Determine o que é necessário para que a associação de indutâncias do primeiro

circuito seja equivalente aos indutores acoplados do segundo circuito.

Nas indutâncias acopladas (considerando I2 saindo do ponto)

V 1=L1⋅j⋅⋅I 1−M⋅ j⋅⋅I 2

V 2=M⋅j⋅⋅I 1−L2⋅ j⋅⋅I 2

Nos indutores ligados em T:

V 1=La⋅ j⋅⋅I 1Lb⋅j⋅⋅ I 1−I2


V 2=Lb⋅ j⋅⋅ I 1− I2−Lc⋅ j⋅⋅I2

Manipulando as equações dos indutores acoplados:

V 1=L1⋅ j⋅⋅I 1−M⋅j⋅⋅I 2M⋅ j⋅⋅I 1−M⋅ j⋅⋅I 1

V 1=L1−M ⋅j⋅⋅I 1M⋅ j⋅⋅ I 1−I 2

V 2=−L2⋅ j⋅⋅I 1M⋅ j⋅⋅I 2M⋅j⋅⋅I 2−M⋅ j⋅⋅I 2

V 2=−L2−M ⋅ j⋅⋅I 2M⋅ j⋅⋅ I 1−I 2

La=L1−M , Lb=M , Lc=L2−M

6) Para o circuito abaixo e para as condições de regime permanente determine: a) A

expressão de iR1(t); b) A potência média fornecida pela fonte.

As equações de malhas são:

I 1⋅(R1+ L1⋅ j⋅ω+ L2⋅ j⋅ω+2⋅M⋅ j⋅ω) – I 2⋅( L2⋅ j⋅ω+M⋅ j⋅ω )−V 1=0

−I 1⋅L2⋅j⋅M⋅ j⋅ I 2⋅L2⋅ j⋅R2=0

7) No circuito abaixo, determine a expressão para a corrente i em função dos

elementos RLC. vo é a tensão sobre o capacitor (positivo em cima).


Equacionando as tensões de nós:

V B1 – vg1

R1 j⋅X L1

– 0,1⋅voV B1−vo

R2

=0

vo

j⋅X C3

vo – V B1

R2

12⋅

vo

2−vg2

R3 j⋅X L2

=0

8) Considerando o circuito abaixo, onde os elementos são lineares e invariantes: a)

Qual a impedância Z(jw) para o circuito RLC paralelo? b) Qual o valor de R que maximiza

sua dissipação de energia? c) Nesta situação qual a potência entregue pela fonte? d) se

VC(0=2V e IL(0)=1A, qual o valor de IS(t) em regime permanente?

9) Determinar a tensão sobre L9.


LEQ=L11⋅L10 – M 2

L11L10−2⋅M=∞

Observe que k=−1 significa que o acoplamento se dá em sentido contrário ao

indicado. Para facilitar as contas é possível inverter a marca no indutor L4 e considerar k e M

positivos.

M =k⋅L8⋅L9=1

Restam três malhas. Supondo suas correntes em sentido horário

I M1⋅ 1j⋅⋅C1

j⋅⋅L8R8−I M2⋅ j⋅⋅L8− j⋅⋅M −I 1⋅1

j⋅⋅C1

=0

−I M1⋅ j⋅⋅L8− j⋅⋅M I M2⋅ j⋅⋅L9 j⋅⋅L8R7 – 2⋅ j⋅⋅M −I 1⋅R7=0

VL9 com o positivo para o lado esquerdo da figura, pode se determinado por

V L9=I M2⋅ j⋅⋅L9 j⋅⋅M⋅ I M1−I M2

e

=1

10) Sabendo que V1 é uma fonte cossenoidal com ∣V 1∣=0,707V RMS e 79,577 Hz

calcule a potência média dissipada em R8.


−V 1I M1

j⋅⋅C3

I M1⋅R6 I M1−I M2⋅L1⋅j⋅

I M1 –I M1

Nj⋅⋅C4

V 2=0

I M1

N– I M1

j⋅⋅C 4

−

I M1

N– I M1

2

I M1

N⋅R8N⋅V 2=0

I M2⋅j⋅⋅L1I M2

j⋅⋅C5

I M2⋅R7

I M1

N– I M1

2=0

11) Determine o que é necessário para que as duas redes sejam equivalentes.

Para as tensões apenas (vale se houver uma fonte de tensão em V 1 ou V 2 )

V 2=L3⋅ j⋅ω⋅I 2+√ L2⋅L3⋅j⋅ω⋅I 1

V 1=L2⋅ j⋅ω⋅I 1+√ L2⋅L3⋅ j⋅ω⋅I 2


I 1=V 1 – √L2⋅L3⋅ j⋅ω⋅I 2

L2⋅ j⋅ω

V 2=L3⋅ j⋅ω⋅I 2+√ L2⋅L3⋅j⋅ω⋅[V 1 – √ L2⋅L3⋅j⋅ω⋅I 2

L2⋅ j⋅ω ]

V 2=L3⋅ j⋅ω⋅I 2+√ L2⋅L3⋅ j⋅ω⋅V 1

L2⋅ j⋅ω–

L2⋅L3⋅ j⋅ω2⋅I 2

L2⋅j⋅ω

V 2=L3⋅ j⋅ω⋅I 2+√ L3

L2

⋅V 1 – L3⋅ j⋅ω⋅I 2

V 2=N⋅V 1= L3

L2

⋅V 1

N=√ L3

L2

Levando em conta a impedância

V 1=L2⋅ j⋅ω⋅I 1+√ L2⋅L3⋅ j⋅ω⋅I 2

V 2=L3⋅ j⋅ω⋅I 2+√ L2⋅L3⋅j⋅ω⋅I 1

se houver uma carga no secundário então

V 2=−I 2⋅Z x

−I 2⋅Zx=L3⋅ j⋅ω⋅I 2+√ L2⋅L3⋅j⋅ω⋅I 1

I 2=−√ L2⋅L3⋅ j⋅ω⋅I 1

L3⋅ j⋅ω+Z x

V 1=L2⋅ j⋅ω⋅I 1+(√ L2⋅L3⋅ j⋅ω)⋅(−√ L2⋅L3⋅ j⋅ω⋅I 1)

L3⋅ j⋅ω+Z x


V 1= I 1⋅( L2⋅j⋅ω⋅Z x

L3⋅j⋅ω+Z x)V 1

I 1

=1

N 2=( L2⋅ j⋅ω⋅Z x

L3⋅ j⋅ω+Z x )Se L2→∞ e L3→∞

V 1

I 1

=1

N 2=( L2⋅j⋅ω⋅Z x

L3⋅j⋅ω )= L2

L3

⋅Z x

Portanto, as condições necessárias para a igualdade são:

N= L3

L2

, L2→∞ e L3→∞ .

12) O circuito abaixo está em regime permanente. Determine o valor de ZL para a

máxima transferência de energia. Qual a potência média sobre ZL.

13) Determinar V1 para que I =1∢0o


j⋅X EQ1= j⋅X C1 j⋅X L7= j⋅3

j⋅X EQ2= j⋅X L3 // j⋅X L4

j⋅X M2=k⋅ j⋅X L3⋅ j⋅X L4= j⋅1

j⋅X EQ2=j⋅X L3⋅ j⋅X L4 – j⋅X M2

2

j⋅X L3 j⋅X L4−2⋅ j⋅X M2

=j⋅2⋅ j⋅2− j⋅1j⋅2 j⋅2− j⋅2

= j⋅32

j⋅X EQ4= j⋅X L5 // j⋅X L6

j⋅X EQ4=j⋅X L5⋅j⋅X L6 – j⋅X M4

2

j⋅X L5 j⋅X L6−2⋅j⋅X M4

=j⋅1⋅j⋅3− j⋅4j⋅1 j⋅3− j⋅4

=∞

j⋅X EQ3= j⋅X L8 j⋅X L9 j⋅X M3= j⋅2 j⋅5 j⋅2= j⋅9

Para simplificar podemos fazer o equivalente Thèvenin de V1, L1 e L2

j⋅X M= j⋅X L1⋅ j⋅X L2

I 1=V 1− j⋅X M⋅I 2

j⋅X L1

=V 1

j⋅X L1

− j⋅X L2

j⋅X L1

⋅I 2

V 2= j⋅X M⋅I 1 j⋅X L2⋅I 2= j⋅X L2

j⋅X L1

⋅V 1 – j⋅X L2⋅I 2 j⋅X L2⋅I 2= j⋅X L2

j⋅X L1

⋅V 1=V 1

2

V th=V 2 , Z th=0


14) Calcule o equivalente Thèvenin entre os terminais A e B do circuito abaixo.

Para simplificar podemos calcular a indutância equivalente entre os pontos P e Q. Por

simetria observa-se que a corrente por L10, é zero e, portanto, ele pode ser retirado do circuito.

Assim, o equivalente entre os pontos P e Q pode ser calculado como sendo

j⋅X EQ= j⋅XL11 j⋅X L12 // j⋅X L13 j⋅X L14= j⋅20

Um dos lados do transformador esta conectado em paralelo com uma fonte de tensão,

então seu equivalente será: no primário a fonte V 2 e no secundário uma fonte de valor 2⋅V 2 .

15) Calcule a corrente I. Considere que Zc é resistiva com potência de 43,9W para

220V nominais.


Refletindo a impedância Zc e X C2 para o primário do transformador.

Z P1=(n11

n12)

2

⋅Z S1=4⋅Z C – j⋅45

Refletindo a impedância do secundário do outro transformador.

Z P2=(n21

n22)

2

⋅Z S2= j⋅5+5+94⋅Z C – j⋅5

ZC=V 2

P=

2202

43,9=1102,5

Z EQ1= j⋅X L16 // Z P2=247,5 j⋅247,5

I =V 3

Z TOT

=V 3

Z EQ1Z 4R5 j⋅X L15

=600

300 j⋅300=1− j

16) Calcular as correntes A1, A2 e as tensões V1 e V2. Considere que

V 4=60⋅√2∢−90 .


Fazendo as correntes de malha em sentido anti-horário

j⋅X M=k⋅ j⋅X L23⋅ j⋅X L24= j⋅5

−60√2⋅ j+5⋅j⋅I 1+15⋅ j⋅( I 1 – I 2)+5⋅j⋅( I 1 – I 3)+5⋅j⋅( I 3 – I 2)=0

60⋅ j⋅I 3+5⋅ j⋅( I 3 – I 1)+5⋅ j⋅( I 3 – I 2)+5⋅j⋅( I−3 – I 1)+5⋅ j⋅(I 3 – I 2)=0

15⋅j⋅I 2+15⋅j⋅( I 2 – I 1)+5⋅ j⋅( I −2−I 3)– 5⋅j⋅( I 3 – I 1)=0

I 1=−3⋅√2

I 2=−√2

I 3=−√2

2

V 1=−75⋅√2⋅ j

V 2=30⋅√2⋅ j


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