UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE UFRN CENTRO DE ... · “A menos que modifiquemos a...
59
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTANCIA – SEDIS CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO FRANCISCO RAFAEL DE PAIVA JOGOS DIDÁTICOS EM MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO: UMA PROPOSTA PARA A APRENDIZAGEM MARCELINO VIEIRA - RN 2016
Transcript of UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE UFRN CENTRO DE ... · “A menos que modifiquemos a...
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTANCIA – SEDIS
CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO
MÉDIO
FRANCISCO RAFAEL DE PAIVA
JOGOS DIDÁTICOS EM MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO: UMA PROPOSTA
PARA A APRENDIZAGEM
MARCELINO VIEIRA - RN
2016
FRANCISCO RAFAEL DE PAIVA
JOGOS DIDÁTICOS EM MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO: UMA PROPOSTA
PARA A APRENDIZAGEM
Trabalho apresentado ao Curso de
Especialização em Ensino de Matemática para
o Ensino Médio da Universidade Federal do
Rio Grande do Norte - UFRN, em
cumprimento as exigências legais para
obtenção do título de Especialista.
Orientador: Profº. Mestre Odilon Júlio dos
Santos
MARCELINO VIEIRA - RN
2016
TERMO DE APROVAÇÃO
JOGOS DIDÁTICOS EM MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO: UMA PROPOSTA
PARA A APRENDIZAGEM
Monografia: Jogos Didáticos em Matemática no Ensino Médio: Uma Proposta para a
Aprendizagem, elaborada por Francisco Rafael de Paiva, aprovada como requisito final para
conclusão do curso de Especialização em Ensino de Matemática no Ensino Médio.
Aprovada em ____/____/_____.
BANCA EXAMINADORA
_________________________________________________
Profº. Mestre Odilon Júlio dos Santos
Orientador
_________________________________________________
Profª. Esp. Danielle de Oliveira N. Vicente
Examinador
_________________________________________________
Profº. Dr. Iesus Carvalho Diniz
Examinador
MARCELINO VIEIRA - RN
2016
À Deus, pela dádiva da vida, que demonstra o
quão grandioso é o seu amor por nós.
À minha mãe, pelo carinho que tem me dado
desde o primeiro dia de minha existência.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente ao Deus Todo Poderoso, que gratuitamente tem me preenchido de força
e coragem para lutar e conquistar os desafios impostos pela vida.
A minha mãe, que sempre me apoiou e incentivou para que eu nunca desistisse mesmo
nos momentos difíceis.
Ao meu irmão Rogério, por sempre está disposto em me ajudar nesta caminhada.
Ao meu ex-colega de graduação e tutor dessa especialização o Mestre Francisco
Pereira Andrade, pela força, incentivo, apoio e dedicação durante esse período de estudo no
curso de Pós-graduação.
Ao meu orientador, o Mestre Professor Odilon Júlio do Santos, pela paciência e
orientação durante a construção deste trabalho.
Ao meu amigo José Serivan, pelo incentivo ao crescimento intelectual e moral,
levando-me a refletir a necessidade de verdadeiros profissionais que contribuem para uma
melhor educação brasileira.
A todos meus colegas de curso em especial a Umberlina, Lillian, Cesar, Marcelo,
Fábio pelas palavras de incentivo durante os momentos de dificuldades.
A Dayane Ribeiro, por ser um dos maiores exemplos de força, coragem e
determinação na luta pela vida.
A todos os professores da Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN, que
tive durante essa caminhada, em especial a todos os membros da Sedis.
A todos os funcionários do Polo Universitário de Marcelino Vieira - RN, que de forma
silenciosa tem contribuído para meu crescimento, em particular ao coordenador Romualdo
Carneiro, que articulou para que esse curso tenha chegado a mim.
A Escola Estadual Demócrito de Sousa, nas pessoas da profª. Edna Belo e do profº.
Donizete, na qual iniciei meus primeiros passos da docência e sempre fui bem recebido para a
realização dos trabalhos acadêmicos. Aos ex-colegas de trabalho da Escola Municipal Profª.
Francisca Maria da Silveira Santos, na pessoa da professora Berenice, pelos momentos
inesquecíveis. Aos colegas de trabalho da Escola Estadual Acadêmico Mauro Abrantes, na
pessoa da professora Keylha Luciana, que tem incentivado e apoiado o meu crescimento
profissional.
Enfim, a todos que de forma direta e indireta vem contribuindo para o meu
crescimento acadêmico, como também a conclusão desse curso.
“A menos que modifiquemos a nossa maneira de
pensar, não seremos capazes de resolver os
problemas causados pela forma como nos
acostumamos a ver o mundo”.
(Albert Einstein)
RESUMO
A utilização de Jogos Didáticos no Ensino de Matemática vem se intensificando na busca de
melhorias na aprendizagem dos educandos do Ensino Básico, são estratégias que buscam
aproximar as emendas curriculares das escolas brasileiras com a realidade vivida pelo aluno
em meio aos problemas sociais, oportunizando a esses a possibilidade de aprendizagem e
potencialização do seu conhecimento de maneira prazerosa. E é, através desse brincar que
essas atividades despertam nos alunos a dedicação aos estudos, assim fluindo desses a
criatividade, o raciocínio lógico e a capacidade de resolver situações-problemas. Deste modo,
esse trabalho objetiva contribuir para uma educação de qualidade, demonstrando que os jogos
em sala de aula podem somar positivamente ao processo de ensino e aprendizagem da
Matemática, de forma diferenciada, dinâmica e atrativa. O professor, por meio desse método
pode cooperar com a elaboração de conceitos, reforçar e esclarecer conteúdos, promover a
sociabilidade, estimular a criatividade, instigar o espírito de competição e a cooperação.
Agregado a isto, a contribuição de vários estudiosos que fundamentam a escrita como Alves
(2001), Grando (2004), Moura (1994) e Rocha (1999), que nos levando a compreender a
relevante utilização dos jogos nas aulas de Matemática, por se tratar de um excelente
instrumento facilitador desse processo de ensino-aprendizagem. Para o encerramento deste
estudo, registra-se experiência com jogos, de forma lúdica e prazerosa, no intuito de despertar
no aluno o interesse e o gosto pela Matemática por meio do incentivo e da própria prática das
atividades, mostrando algumas estratégias de resolução e proporcionando a edificação do
saber.
Palavra-chave: Jogo. Ensino de Matemática. Metodologia de ensino. Aluno. Processo de
ensino-aprendizagem.
ABSTRACT
The use of games in the teaching of mathematics has intensified the search for improvements
in students' learning of the schools of basic education, are strategies that seek to approximate
the curriculum amendments of Brazilian schools with the reality experienced by the student
among the social problems, providing opportunities to such the possibility of learning and
enhancement of their knowledge in a pleasant way. And it is through this play that these
activities arouse students' dedication to studies, and these flowing creativity, logical reasoning
and the ability to solve problem situations. Thus, this study aims to contribute to quality
education, demonstrating that the games in the classroom can add positively to the process of
teaching and learning mathematics, differentiated, dynamic and attractive way. The teacher,
through this method can cooperate with the development of concepts, reinforce and clarify
content, promote sociability, stimulate creativity, instill the spirit of competition and
cooperation. Added to this, the contribution of various scholars that support the writing, as
Alves (2001), Grando (2004) and Moura (1994), leading us to understand the relevant use of
games in math classes, for it is a excellent tool facilitator of this teaching-learning process. To
the end of this study, records up experience with games, fun and pleasurable way, in the wake
of order on student interest and liking for mathematics by encouraging and own practice
activities, showing some solving strategies and providing the building of knowledge.
Keyword: Game .Mathematics Teaching. Teaching methodology. Student. Teaching-learning
process.
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Vantagem e desvantagem dos jogos ........................................................................ 29
Tabela 2 – Características e descrição dos jogos considerada por Huizinga............................ 32
Tabela 3 - Soma dos ângulos internos de um polígono convexo ............................................. 45
Tabela 4 - Ângulos internos dos Polígonos regulares para padrões bem-comportados ........... 46
Tabela 5 - Lados e ângulos para ladrilhamento bem-comportado............................................ 46
Tabela 6 - Sólidos Platônicos e suas propriedades ................................................................... 50
Tabela 7 - Aplicação da formula de Euler com os Sólidos Platônicos ..................................... 51
Tabela 8 - Justificativa da Natureza dos Poliedros Regulares .................................................. 52
Tabela 9 - Demonstração Matemática do modelo de despoluição ........................................... 55
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 - Esquema de definição de situação-Dilemática ........................................................ 19
Figura 2 - Lançamento dos discos (moedas) na malha ............................................................. 40
Figura 3 - Registro dos lançamentos ........................................................................................ 41
Figura 4 - Calculo da probabilidade e discussão dos resultados .............................................. 41
Figura 5 - Folha de atividade dos alunos com anotações ......................................................... 41
Figura 6 - Disco de diâmetro d conflitando com quadrado de lado L ...................................... 42
Figura 7 - Construção de uma nova malha ............................................................................... 43
Figura 8 - Analisando o piso da sala como malha .................................................................... 43
Figura 9 - Confeccionando novos discos .................................................................................. 43
Figura 10 - Analisando a influência do diâmetro do disco e o tamanho do quadriculado ....... 43
Figura 11 - Descobrindo a soma dos ângulos internos de um polígono convexo através de
triângulos .................................................................................................................................. 44
Figura 12 - Confecção de Peças – Formas Geométricas .......................................................... 47
Figura 13 - Formação do Ladrilho – Padrões ........................................................................... 47
Figura 14 - Sólidos de Platão .................................................................................................... 48
Figura 15 - Polígonos convexo e não convexo ......................................................................... 49
Figura 16 - Confecção dos Sólidos de Platão com palitos de dente e jujubas .......................... 51
Figura 17 - Início – Identificação dos dados ............................................................................ 56
Figura 18 - Poluição do lago..................................................................................................... 56
Figura 19 - Processo de despoluição ........................................................................................ 57
Figura 20 - Registrando o processo de despoluição ................................................................. 57
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 11
1.1 Objetivos ......................................................................................................................... 15
1.2 Justificativa ..................................................................................................................... 16
2. REFERENCIAL TEÓRICO ............................................................................................. 18
3. JOGOS DIDÁTICOS E O ENSINO-APRENDIZAGEM ............................................. 24
3.1 A relação entre o Jogo e o Ensino ................................................................................... 25
3.2 O jogo e a resolução de problemas ................................................................................. 27
3.3 Fatos relevantes na aplicação de Jogos Didáticos no Ensino da Matemática ................. 28
3.4 Análises das experiências ............................................................................................... 32
4. CONCLUSÕES ................................................................................................................... 35
BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................... 37
ANEXO 1 – Jogando com Análise Combinatória e Probabilidade: Jogo dos discos ....... 39
ANEXO 2 – Geometria: Aprendendo a ladrilhar ............................................................... 44
ANEXO 3 – Estudando Geometria Espacial: Sólidos de Platão ........................................ 48
ANEXO 4 – Atividade Lúdica de funções: Simulação da despoluição de um lago .......... 53
11
1. INTRODUÇÃO
A Matemática como disciplina curricular vem sendo temida pela maioria dos
estudantes ano após anos, apesar dos esforços de professores, a maneira como vem sendo
aplicada em sala de aula pode ser um dos problemas geradores dessa dificuldade de
aprendizagem. Geralmente, nas escolas ainda prevalece o Ensino Tradicional da Matemática,
onde os conteúdos são selecionados pelo professor sem nenhum critério ou consulta aos
alunos, isto é, não existe um planejamento em que o estudante possa dar sugestões.
Tais fatos tornam a disciplina cada vez mais densa, provocando no estudante desanimo
pelo Ensino da Matemática, e muitas vezes o conteúdo estudado em sala dificilmente está
relacionado com a sua realidade. No entanto, a aprendizagem deve ser direcionada ao aluno e
para que esta escolarização aconteça é preciso despertar o seu interesse. Por isso, excitar o
interesse pelo conhecimento ganhou posição de destaque e o professor passou a ser aquele
que gera situações para que se estimule este conhecimento.
O professor deve ser um mediador no processo de ensino aprendizagem, sua postura
frente ao lúdico é de instigar no momento certo, desafiar, debater, interferir e quando
necessário promovendo a satisfação na realização da atividade. E de tal maneira que ao fluir
da aula o aluno perceba a segurança e satisfação no professor, sentindo-se também seguro,
pois sabe que tem um apoio por perto, caso necessite. Assim, para que a proposta atinja o seu
objetivo, é preciso que o docente interiorize esse método e passe a acreditar no sucesso da
aprendizagem por meio dos Jogos Didáticos em Matemática, como também no aluno e em sua
capacidade de gerenciar sua aprendizagem através do mesmo.
Como afirma Smole, Diniz e Cândido (2007, p. 11):
Em se tratando de aulas de Matemática, o uso de jogos implica uma mudança
significativa nos processos de ensino e aprendizagem, que permite alterar o modelo
tradicional de ensino, o qual muitas vezes tem no livro e em exercícios padronizados
seu principal recurso didático. O trabalho com jogos nas aulas de Matemática,
quando bem planejado e orientado, auxilia o desenvolvimento de habilidades como
observação, análise, levantamento de hipóteses, busca de suposições, reflexão,
tomada de decisão, argumentação e organização, que estão estreitamente
relacionadas ao chamado raciocínio lógico.
Os autores nos levam a refletir que a utilização dos Jogos Didáticos no Ensino de
Matemática pode proporcionar mudanças no Ensino Tradicional, deforma que possibilite ao
aluno, um clima racional de aprendizagem e ainda proporcionando a tornar-se independente e
crítico na busca de soluções de diversas situações problemas.
12
São evidentes as mudanças significativas que nas últimas décadas a Matemática, assim
como outras disciplinas vem sofrendo. Desde o Ensino Tradicional, que se caracterizava pela
memorização e mecanização, impondo aos estudantes decorar inúmeros conteúdos através de
repetição de enormes exercícios sem chegar a bons resultados (Ponte, 2004), passando pelos
reflexos adquiridos pela Matemática Moderna, introduzindo novas características como os
símbolos da lógica e a Teoria dos Conjuntos.
Apesar de tanto investimento na valorização e compreensão do Ensino da Matemática,
aos quais são relevantes nos aspectos sociais, antropológicos e linguísticos, ainda houve
grande fracasso na aprendizagem dessa Ciência. E na década de 90 surgi, o que chamamos de
“Ensino Renovado”, em virtude de que não era nas tarefas de cálculos que os estudantes
apresentavam piores desempenho, mas nas tarefas de ordem mais complexa, que exigiam
raciocínio, flexibilidade e espírito crítico (Ponte, 2004).
Mesmo com a evolução desse Ensino no decorrer dos últimos anos e seus métodos que
propõem facilitar a aprendizagem da Matemática, essa disciplina continua apontando altos
índices de reprovação nos gráficos de desempenho escolar. Permitindo ainda que suas
metodologias de ensino continuem sendo alvos de grandes mudanças para que nela venha ser
incorporada a maneira de se aprender Matemática na qual a atenção dos alunos esteja focada
no conteúdo, mas visando sempre demonstrar a sua utilização em meio a sociedade.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) trazem em seu texto estratégias que
viabilizem o trabalho com a disciplina de matemática como forma de possibilitar aos
educandos: (Brasil, 1999):
Compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que permitam a
ele desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação científica geral;
Aplicar seus conhecimentos matemáticos a situações diversas, utilizando-os na
interpretação da ciência, na atividade tecnológica e nas atividades cotidianas;
Analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes, utilizando
ferramentas matemáticas para formar uma opinião própria que lhe permita expressar-
se criticamente sobre problemas da Matemática, das outras áreas do conhecimento e
da atualidade;
Desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de comunicação,
bem como o espírito crítico e criativo;
Utilizar com confiança procedimentos de resolução de problemas.
Desenvolver a compreensão dos conceitos matemáticos;
13
Expressar-se oral, escrita e graficamente em situações matemáticas e valorizar a
precisão da linguagem e as demonstrações em Matemática;
Estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e o
conhecimento de outras áreas do currículo;
Reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito, relacionando
procedimentos associados às diferentes representações;
Promover a realização pessoal mediante o sentimento de segurança em relação às suas
capacidades matemáticas, o desenvolvimento de atitudes de autonomia e cooperação.
Para cumprir esses objetivos, a Matemática busca uma linguagem que torne possível a
compreensão dos conteúdos e aspectos concretos do cotidiano dos educandos, isso sem deixar
de ser um instrumento formal de expressão e comunicação para diversas ciências. E os
principais objetivos para desenvolver são: o raciocínio lógico de resolver problemas, a
capacidade de abstrair e projetar entre outros. Em meio a isso, as escolas necessitam
conscientizar os seus alunos acerca do valor da matemática na sociedade, em especial como
elemento selecionador para escolas e concursos públicos.
Diante dessa situação, em que parte dos estudantes do Brasil, senão a maioria, visam a
Matemática como um disciplina difícil e complexa de se aprender, propõe-se inevitavelmente
uma constante revitalização no Ensino da Matemática, na qual torna-se prioridade para o
educador buscar métodos que facilitem o ensino e a aprendizagem da Matemática e que este
estejam relacionado com o seu cotidiano.
Segundo Silveira (2002), é uma situação bastante conflitante, quando se procura
culpado pela falta de aprendizagem da Matemática, e muitos professores do Ensino Médio
apontam essa responsabilidade aos professores dos anos iniciais por estarem despreparado
para esse ensino. Mas, expor essa culpa não traz soluções ao ensino, e sim, expele o sentido
de ensinar Matemática que é uma virtude para poucos.
Por outro lado, os alunos perdem o sentido do ensino e desistem de aprender a
disciplina por considerarem que ela apresenta-se complexa e distante de seu convívio, criando
um bloqueio mental de adquirir conhecimento da matemática escolar.
Aprender Matemática requer atitudes especiais e disciplina. Ao professor também, não
basta ser um exímio conhecedor da matéria. É necessário que ele seja altamente criativo e
cooperador. O educador necessita reunir habilidades para incentivar o aluno, ensinando-o a
pensar e a se tornar autônomo em seu próprio aprendizado.
Outra causa de desânimo dos estudantes, é a persistência das práticas tradicionais que
se arrasta ao longo dos anos, apesar de várias transformações do Ensino de Matemática
14
durante as últimas décadas, que segundo Carvalho (2005), o Ensino da Matemática está
divido em três situações: a primeira delas é a Conceituação, em que o professor apresenta as
definições, proposições, fórmulas. A segunda a Manipulação, na qual os alunos são
bombardeados com enormes exercícios de fixação que sugerem aos alunos aplicar os
conceitos das aulas teóricas. E a última, a Aplicação, onde é constatada a maior dificuldade
apresentada pelo estudante, em que deve existir a relação do conhecimento teórico com as
soluções de situações concretas.
Neste modelo de ensino, o educando transforma-se em um agente passivo, limitando-
se em apenas ouvir o professor, abandonando habilidade de análise crítica de determinadas
situações. Tornando um problema para o Ensino da Matemática e resultando na prevalência
de ideia pela qual se toma como prioridade os cálculos e os procedimentos rotineiros.
Evidentemente os cálculos fazem parte da área de conhecimento, mas é preciso também
aprender o que fazer com eles, e para isso é necessário estimular o raciocínio lógico, a
capacidade de resolver problemas e usar esse saber para explorar diversas situações.
Outro item que tem cooperado com o baixo índice de aprendizagem matemática é a
baixa frequência de textos de Matemática oferecidos aos alunos. Existem bastante material à
disposição, como livros paradidáticos, artigos de jornal, revistas especializadas que trazem
material sobre os grandes desafios matemáticos. Estes recursos proporcionam ao professor
métodos que permitem que o aluno adquira um campo de visão mais abrangente da
Matemática, afastando-se um pouco do Ensino Tradicional apresentado em sala de aula.
O educador deve deixar de lado o método expositivo tradicional, no qual o papel de
estudante tem sido quase passivo, e procurar métodos renováveis que tragam grandes
participações dos alunos durante as aulas, de maneira a estimular o raciocínio lógico, a
capacidade de analise crítica, entre outros que possam estabelecer diálogo com o educando e
estimulando a imaginação destes, de modo a conduzi-los, sempre que possível, à redescoberta
(Correa, 1999).
Objetivando o delineamento desse trabalho e para uma melhor compreensão e
transparência do direcionamento dos objetivos, propõe-se estruturá-lo em capítulos assim
definidos:
Inicia-se no capitulo 1, com a introdução, fazendo uma abordagem geral sobre o tema
em estudo, coloca-se aqui os objetivos desse estudo. Ainda neste capítulo tem-se a
justificativa, que dar sequência a discursão da inserção do jogo no cenário do processo de
ensino-aprendizagem do Ensino da Matemática, relevando os Jogos Didáticos como
instrumento facilitador para a aprendizagem desse componente curricular.
15
No capítulo 2, apresentamos o embasamento desse estudo, com a reflexão de grandes
estudiosos que torna o alicerce do tema central. Analisam-se os diversos aspectos a serem
abordados na reflexão teórica sobre o Jogo na Educação e, mais especificamente, na Educação
Matemática.
No capítulo 3, faz-se o levantamento dos estudos e experiências dos jogos, discutem-
se os conceitos e as noções matemáticas contidas em atividades com jogos. Analisa-se o
processo de raciocínio utilizado na conceitualização matemática, assim como também,
apresenta-se uma análise de autores que abordam características positivas e negativas,
mostrando as falhas que podem ocorrem na aplicação do jogo.
No capítulo 4, o fechamento desse trabalho, abordando através das considerações
finais uma análise conclusiva dos resultados desse estudo, visando os aspectos relevantes para
o uso dos Jogos Didáticos nas aulas de Matemática, e assim prevendo que possam auxiliar
educadores no repensar sobre suas teorizações, práticas pedagógicas e de pesquisa a cerca do
tema, visando a um possível redimensionamento no processo de ensino-aprendizagem do
Ensino de Matemática.
1.1 Objetivos
Proporcionar ao indivíduo que está jogando, conhecimento de maneira gratificante,
espontânea e criativa, não deixando de ser significativa independente de quem o joga,
abandonando os sistemas educacionais extremamente rígidos.
Dentre esses podemos possibilitar ao aluno:
Desenvolver a criatividade, a sociabilidade e as inteligências múltiplas;
Dar oportunidade para que aprenda a jogar e a participar ativamente;
Enriquecer o relacionamento entre os alunos;
Reforçar os conteúdos já aprendidos;
Desenvolver e enriquecer sua personalidade tornando-o mais participativo espontâneo
perante os colegas de classe;
Aumentar a interação e integração entre os participantes;
Proporcionar a autoconfiança e a concentração.
16
1.2 Justificativa
Há muito tempo se discute o Ensino de Matemática na Educação Básica na busca de
respostas para os problemas que tem interrompido a aprendizagem e deixado alunos a
margem do ensino dessa disciplina. E essa não é uma situação isolada de apenas uma ou duas
escolas do Estado do Rio Grande de Norte, mas um quadro que se repete no país, no Brasil
como um todo, e são muitos professores presenciando essa triste realidade.
Tendo em vista que os educadores podem criar em sala de aula um ambiente de
interesse e motivação, propiciando ao estudante uma participação autônoma no processo de
construção do conhecimento, dessa forma esse estudo tem como proposta metodológica a
utilização dos jogos como facilitador desse processo de Ensino de Matemática. Servindo não
apenas para conhecer essa dificuldade que traz transtornos para os estudantes, mas como
forma de despertar neles o interesse e gosto pela disciplina e ao mesmo tempo em que os
professores possam refletir e planejar de forma diferente, incorporando os jogos às suas aulas,
tornando-as mais produtivas, motivadoras e prazerosas.
Essa é uma das ideias principais dessa grafia que busca aperfeiçoar uma metodologia
que auxilie os professores na recuperação de alunos que apresentem dificuldades de
aprendizagem em Matemática e em específico aos alunos do Ensino Médio que expressam
carência nesta área de atuação.
Segundo Alves (2001), os jogos como método de ensino tem sido alvo de inúmeras
pesquisas, no entanto, a maioria delas está voltada aos primeiros anos do Ensino
Fundamental, enquanto nos demais anos de nível fundamental e médio são pouquíssimas.
As brincadeiras já estão fundamentadas no ser humano, pois nos primeiros períodos da
vida o jovem enquanto criança vem aprendendo brincando e incrementando este aprendizado
dia a dia. “O jogo pode fixar conceitos, motivar os alunos, propiciar a solidariedade entre
colegas, desenvolver o senso crítico e criativo, estimular o raciocínio, descobrir novos
conceitos” (ALVES, 2001, p. 25). Através da motivação ao trabalho e ao pensamento por
meio de materiais concretos, redescobrindo e reinventando, o estudante deixa de ser o
indivíduo passivo, que só recebe e acumula informações, e passa a ser um indivíduo ativo
atuando no processo de construção do seu próprio conhecimento.
Caberá a escola por meio de seus profissionais de Ensino da Matemática, favorecer
climas desafiadores, agradáveis e significativos em sala de aula, para isso deverá estimular os
estudantes ao aprendizado da Matemática e procurar aperfeiçoar cada vez mais a didática
17
trabalhada durante as aulas, assim oportunizar a qualidade do ensino na metodologia e
melhorar a receptividade por parte dos estudantes.
Souza (2002, p. 132) relata a importância de se usar os jogos em sala de aula ao
expressar:
A proposta de se trabalhar com jogos no processo ensino-aprendizagem da
Matemática implica numa opção didático-metodológica por parte do professor,
vinculada às suas concepções de Educação, de Matemática, de mundo, pois é a partir
de tais concepções que se definem normas, maneiras e objetivos a serem
trabalhados, coerentes com a metodologia de ensino adotada pelo professor.
Nesta perspectiva de ensino-aprendizagem, o professor por meio de suas concepções
de ensino e de mundo estabelecerá o jogo como método facilitador para adquirir o
conhecimento adaptando-o a sua realidade, cabendo ao jogo se identificar como meio pelo
qual o educando expresse suas afinidades expondo qualidades de forma espontânea e
satisfatória, permitindo ainda ao educador compreender suas habilidade e superações.
18
2. REFERENCIAL TEÓRICO
A literatura desse trabalho está baseada em leituras observadas de vários estudiosos da
área de educação. Sendo assim, cita-se aqui o embasamento teórico para fundamentar a
realização dessa monografia.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) – PCNs, em seu texto afirma que o jogo
é uma atividade natural no desenvolvimento dos processos psicológicos básicos. É uma
atividade na qual não há obrigação e por ser representado por um desafio, desperta interesse e
prazer. Esse mesmo documento cita que as atividades lúdicas desenvolvem no aluno certas
capacidades cognitivas e também o jogar é um processo natural encarado como um desafio.
Outro aspecto apontado pelos Parâmetros Curriculares Nacionais (1997), é que não
existe um único caminho para o ensino das disciplinas curriculares. Porém, é importante o
professor conhecer as diversas possibilidades de trabalho para construir a sua prática. Neste
sentido, o jogo está dentre as estratégias metodológicas que o professor pode utilizar nas aulas
de Matemática.
De acordo com Parra (1996), os jogos representam um papel importante: por um lado,
os alunos trabalham mais independente nas aulas, pois aprendem a respeitar regras, a exercer
papéis diferenciados e controles recíprocos, a discutir, a chegar a acordos. Por outro lado, os
professores têm maiores oportunidades de observação, de variar as propostas de acordo com
os níveis de trabalho dos alunos e também trabalhar mais intensamente com os alunos que
mais necessitam.
Nesse sentido, para Moura (1992), jogo e resolução de problema são abordados como
produtores de conhecimento e possibilitadores da aquisição de conhecimentos matemáticos.
Para essa elaboração, o aluno é “forçado” a criar processos pessoais para que possa jogar e
resolver os problemas que inesperadamente irão surgir, elaborando assim novos pensamentos
e conhecimentos, deixando de seguir sempre a mesma “receita”. Segundo o autor, o aluno
torna-se o protagonista do cenário escolar, participativo e dinâmico, aprendendo a contornar
certas situações-problemas.
A autora Marco (2004), em seu trabalho faz um esquema conceitual ou mapa,
explicitando a concepção de situação-dilemática.
19
FIGURA 1 - ESQUEMA DE DEFINIÇÃO DE SITUAÇÃO-DILEMÁTICA
Esse é o momento de turbilhão, onde várias informações despertam em seus
pensamentos focando no jogar e ganhar esse jogo, fluindo as ideias na busca e organização
das informações, e atribuindo o sentido aos seus objetivos.
Marco (2004, p.6) cita ainda que:
Diante das várias abordagens sobre o conceito de dilema, nesta pesquisa,
utilizaremos a expressão situação-dilemática, para a qual não daremos o mesmo
enfoque que a lógica tradicional, mas sim a conotação de uma manifestação de
hesitação e dúvida, momento espontâneo do aluno que tem suas bases nas formas
sensitivas do pensamento e surge da sua relação imediata do sujeito com o meio
quando esse precisa resolver o problema e se encontra diante da escolha de
possibilidades de solução.
Muitas vezes a linguagem matemática se torna uma barreira para o aluno, pois a
compreensão do problema torna-se complexa, no entanto a atividade com lúdico tem
estreitado a relação de compreensão dessa linguagem pelo aluno.
Moura (1994) justifica o uso de jogo como facilitador para ingressar uma linguagem
formal:
20
O jogo na Educação Matemática parece justificar-se ao introduzir uma linguagem
matemática que pouco a pouco será incorporada aos conceitos matemáticos formais,
ao desenvolver a capacidade de lidar com informações e ao criar significados
culturais para os conceitos matemáticos e o estudo de novos conteúdos (Moura,
1994, p. 24).
Grando (2004), em sua grafia, faz menção ao jogo como um contribuinte para a
compreensão de muitas estruturas existentes e algumas de difícil assimilação, ainda na
concepção da autora:
A linguagem Matemática, de difícil acesso e compreensão do aluno, pode ser
simplificada por meio da ação no jogo. A construção, pelo aluno, de uma linguagem
auxiliar, coerente com a situação do jogo, propicia estabelecer uma “ponte” para
compreensão da linguagem Matemática, enquanto forma de expressão de um
conceito, e não como algo abstrato, distante e incompreensível, que se possa
manipular independentemente da compreensão dos conceitos envolvidos nesta
exploração. O registro no jogo, gerado por uma necessidade, pode representar um 52
dos caminhos à construção desta linguagem matemática. (GRANDO, 2004. p. 37-
38).
Por sua vez essa situação exige do professor, principal mediador de ensino-
aprendizagem da Educação Matemática, realizar profunda reflexão na aplicabilidade dos
jogos como recurso didático. Cabendo a ele à elaboração de um planejamento detalhado que
exprima de maneira clara, todos os passos a serem dados durante o uso dos jogos no decorrer
da aula.
Segundo Chaves (2009, pag. 5), para trabalhar o lúdico, caberá ao professor:
Problematizar sempre, desafiando os alunos a encontrar soluções para seus
questionamentos;
Discutir e analisar com os alunos o porquê e os efeitos do jogo, bem como as
reações e as atitudes dos participantes;
Ter consciência do que faz e saber por que faz;
Motivar-se com os alunos, trabalhar com eles, mostrando-se sempre firme e
seguro, passando-lhes a confiança necessária;
Possibilitar aos alunos assumir lideranças, dando-lhes espaços para conduzir os
jogos;
Preparar e conscientizar os alunos para os jogos em grupo, vivenciando os
princípios da dinâmica de grupo;
Relatar e publicar experiências para que outros possam conhecê-las e enriquecê-
las.
Almeida (1990) nos lembra da importância de utilizar o jogo como ponte para que o
aluno possibilite a descoberta de novos caminhos, que lhe permitam o prazer ao encontrá-las:
Para um trabalho pedagógico com jogos, além de buscar resgatar o gosto dos alunos
pela descoberta pelo novo, o trabalho com o lúdico proporciona também o
21
desenvolvimento das habilidades operatórias característica desta faixa etária
(ALMEIDA, 1990, p.41).
Assim as aulas com jogos, bem planejadas, de acordo com a turma, viabilizam
horizontes ainda não visto pelo educando, tornando possível através desse processo de ensino
a desenvoltura na aprendizagem, ou seja, permite ao aluno desenvolver as atividades
operatórias de acordo com o conteúdo abordado.
Nesta transmissão, emitida pela educação entre o professor e o aluno, (Borin, 2004)
afirma que o jogo possibilita a capacidade de montar e desmontar o quebra-cabeça muitas
vezes imposto pela a linguagem matemática, fazendo não só a tradução, mas como também a
compreensão dessa linguagem.
Os jogos auxiliam também a descentralização, que consiste em desenvolver a
capacidade de ver algo a partir de um ponto de vista que difere do seu, bem como
potencializa a linguagem, a criatividade, o raciocínio dedutivo exigidos na escolha
de uma jogada e na argumentação necessária durante a troca de informações.
(BORIN, 2004, vol.06).
Tendo esse campo de visão, o aluno começa a compreender aquilo que o jogo de
forma educativo requer dele, a compreensão do problema trabalho através das regras
estabelecidas no jogo, como também a concentração na ação de jogar. Essa compreensão e
concentração adquirida pelo educando, é de fundamenta importância para o aprendizado,
principalmente para as disciplinas que expressam cálculos.
Borin (1995), afirma sobre a prática de aplicar jogos, que segundo ele quando bem
orientada, adquiri função relevante no desenvolver das habilidades de raciocínio como
organização, atenção e a concentração, que são qualidades importantes no decorrer do ensino
e do aprendizado, especialmente da Matemática, e para resolução de problemas em geral.
Em suas regras os PCNs (1998) estabelecem:
Os jogos constituem uma forma interessante de propor problemas, pois permitem
que estes sejam apresentados de modo atrativo e favorecem a criatividade na
elaboração de estratégias de resolução e busca de soluções. Propiciam a simulação
de situações-problema que exigem soluções vivas e imediatas, o que estimula o
planejamento das ações; possibilitam a construção de uma atitude positiva perante
os erros, uma vez que as situações sucedem-se rapidamente e podem ser corrigidas
de forma natural, no decorrer da ação, sem deixar marcas negativas. (BRASIL,
1998, p. 46).
Os PCNs propõem o jogo como campo de estratégia que possa ser utilizado no
desenvolver das atividades de forma criativa, exigindo atitudes vivas e imediatas, permitindo
22
ações positivas e naturais sobre a correção dos erros. Assim o professor motivado por essas
características sintetiza o Ensino da Matemática por meio dos Jogos Didáticos.
Diante disso, o estudante se identificará com o ambiente próprio, e passará a se sentir
confortável, a ponto que sua criatividade flua durante a resolução de problemas e nas
situações desafiadoras que requeiram soluções, esse favorecimento através dos jogos
possibilitará a construção do conhecimento nas atitudes adquiridas.
Isto ocorre, devido à familiaridade que o jogador vai construindo no decorrer do
conhecimento do jogo. Por isso, o jogo proporciona um ambiente livre de preocupações e traz
prazer ao jogador, levando-o a considerar como uma ferramenta de entretenimento, que se
encaixa na utilização de recursos pedagógicos, desde que o mediador conheça e planeje bem
esse brincar para que seja não apenas a ação do jogar, mas o jogar esteja totalmente envolvido
com os conteúdos do currículo escolar e que flua de forma natural.
Huizinga (1971) relata em seu trabalho que o jogo é algo natural, livre:
Ser uma atividade livre; não ser vida "corrente" nem vida "real", mas antes
possibilitar uma evasão para uma esfera temporária de atividade com orientação
própria; ser "jogado até o fim" dentro de certos limites de tempo e espaço, possuindo
um caminho e um sentido próprio; criar ordem e ser a ordem, uma vez que quando
há a menor desobediência a esta, o jogo acaba. Todo jogador deve respeitar e
observar as regras, caso contrário ele é excluído do jogo (apreensão das noções de
limites); permitir repetir tantas vezes quantas forem necessárias, dando assim
oportunidade, em qualquer instante, de análise de resultados; ser permanentemente
dinâmico. (Huizinga, 1971, p. 10)
Guzmán (1990) defende a ideia de que a própria Matemática é um jogo, mesmo que
possam ser muitas outras coisas. O jogo, por sua vez, tem aspectos similares às ideias do
desenvolvimento matemático. Daí Guzmán (1990, p. 4) nos dizer que:
Não é de estranhar que muitos dos grandes matemáticos de todos os tempos tenham
sido argutos observadores de jogos, participando ativamente neles, e que muito do
seu estudo intensivo, devido precisamente a essa mistura peculiar de jogo e
Matemática que às vezes os faz indiscerníveis, tenham dado lugar a novos campos e
novas formas de pensar, aquilo que hoje considerarmos Matemática a sério.
Há muito tempo, o jogo em si já está bem relacionado com a sociedade e vários
estudiosos analisavam sutilmente a proposta de visualizar a Matemática dentro dos jogos e o
aprendizado através do lúdico, tornando possível assim o desencadeamento dos conceitos
matemáticos. O que podemos constatar nas palavras de Grando (1995, p. 141):
23
Assim o jogo se apresenta como um problema que “dispara” para a construção do
conceito, mas que transcende a isso, na medida em que desencadeia esse processo de
forma lúdica, dinâmica, desafiadora e, portanto, mais motivante ao aluno.
Grando (1995) em seu texto faz menção à aplicabilidade de atividade lúdica como
uma ferramenta desafiadora que proporcione um ambiente favorável de aprendizagem. Os
jogos agem de maneira prazerosa tornando aquilo que está obsolete em um cenário
transformador, capaz de seduz seus participantes a permanecerem no jogo para obter
conquista, tornando uma atividade enriquecedora para conhecimento.
Nesse sentido Rocha afirma:
Jogar nas aulas de Matemática é entendido assim como uma atividade
potencialmente enriquecedora, em que o aluno assume um papel ativo na procura do
conhecimento. Cabe ao aluno analisar as situações que se lhe vão colocando ao
longo do jogo, refletindo sobre as suas jogadas e a dos seus adversários, numa
tentativa de melhorar a sua estratégia de atuação. Este tipo de atividades pode, pois
dar um forte contributo para o desenvolvimento de aspectos tão importantes como
uma atitude positiva face à disciplina, a confiança em si próprio, o raciocínio e o
conhecimento de conteúdos específicos envolvidos no jogo. (Rocha, 1999, p. 65)
Os jogos favorecem a aprendizagem e a aplicação de métodos pedagógicos na
resolução de problema, potenciando a utilização de estratégias diversificadas e a aferição das
possibilidades. Desenvolvem-se deste modo capacidade importantes como a memorização, o
raciocínio, a estimação e o cálculo mental. O seu objetivo centra-se no despertar o gosto pela
Matemática, mudando as rotinas de aprendizagem. Este ensino através do jogo, permite que o
aluno aprenda num processo interessante e divertido.
24
3. JOGOS DIDÁTICOS E O ENSINO-APRENDIZAGEM
Os jogos são ferramentas de entretenimentos que trazem distração e prazer aos
desafios imposto por eles, por isso, surgem como uma excelente ferramenta didático-
pedagógica que favorecer ao ensino-aprendizagem, tornando-se uma forma prazerosa de
educar, facilitando ao aluno a aquisição cognitiva do conhecimento frente aos desafios da
Matemática escolar, posto por (Grando, 1995 apud Alves 2001, p. 22):
Notamos que, para o Ensino da Matemática, que se apresenta como uma das áreas
mais caóticas em termos da compreensão dos conceitos nela envolvidos, pelos
alunos, o elemento jogo se apresenta com formas específicas e características
próprias, propícias a dar compreensão para muitas das estruturas Matemáticas
existentes e de difícil assimilação.
O jogo possui aspectos que favorecem a aprendizagem que pode ser usado como
ferramenta de trabalho, para isso, o professor através de seus métodos deve abraçar essa causa
assumindo um importante papel de incentivador, facilitador, mediador das ideias dispostas
pelos estudantes durante a ação do ensino-aprendizagem, tendo em mente sempre o
crescimento do estudante enquanto indivíduo social, como afirma Alves (2001).
Em consonância com essa proposta, no referencial de trabalho exprime o conceito dos
PCNs (1998), no qual descreve o jogo como uma atividade natural no desenvolvimento dos
processos psicológicos básicos. E nesta proposta de aprendizagem o peso das
responsabilidades dos estudantes não é percebido por eles e por ser representado por um
desafio, desperta interesse e prazer gerando uma aprendizagem natural.
Grando (2004, p.8) define o jogo como um desafio.
Existe uma variedade de concepções e definições sobre o que seja jogo e as
perspectivas diversas de análise filosófica, histórica, pedagógica, psicanalista e
psicológica, na busca da compreensão do significado do jogo na vida humana.
Partindo desse processo histórico na busca pela compreensão da definição de jogos,
revela alvo de difícil interpretação pela infinidade de jogos que existe e que constantemente
vão nascendo jogos de acordo com o tipo de cultura e comunidade, e nelas os jogos
silenciosamente se infiltram criando forte laço com na sociedade.
Para Grando (2004), o jogo além de ser atividade lúdica que envolve o desejo e o
interesse do jogador, desenvolve espírito de competição e geram grandes desafios internos
fazendo com que seus jogadores permaneçam mais motivados e teste seus limites e suas
possibilidades de superação na busca da vitória, adquirindo confiança e coragem para se
25
arriscar. Segundo a autora, tais características do jogo justificam seu uso nas aulas de
Matemática.
3.1 A relação entre o Jogo e o Ensino
Atualmente podemos constatar a necessidade de novos métodos ou métodos renovados
que facilitem o aprendizado e gere a curiosidade de investigar a Matemática. Os Jogos
Didáticos revelam-se instrumentos pedagógicos que possibilitam aos professores elaborarem
aulas diferenciadas na busca de despertar nos alunos o desejo pela aprendizagem da
Matemática, oportunizando a esse adquirir conhecimento, tomar atitudes rápidas e reais,
enfrentar desafios, desenvolver o raciocínio lógico e o espírito crítico. Para isso, é
fundamental que o professor conheça e estruture bem os jogos para poder mediá-los e
desenvolver estratégias que possibilite através do lúdico, de forma direta ou indireta,
concretizar o ensino-aprendizagem.
Nesta perspectiva de ensino faz-se necessário que o professor analise sua prática em
sala, se seus planos e métodos estão surtindo os efeitos esperados, e assim, analisando sua
própria prática conseguirá melhorar suas estratégias de ensino. É relevante ainda ao professor
realizar reciclagem através da participação das formações continuada, possibilitando assumir
o conteúdo a ser ensinado com dinâmico, em que pode ser criado, transformado e apreendido,
dependendo da ação metodológica transformadora a ser desencadeada na sala de aula.
D'Ambrosio (1996) propõe aos docentes que estejam atentos na relação aluno e
sociedade, discutindo a ideia em que o Ensino da Matemática deve dar importância a
preparação do aluno para a sociedade e no mundo em que vive, propondo abandonar o ensino
que se encontra obsolete. “O grande desafio para a educação é pôr em prática hoje o que vai
servir para o amanhã." (D'Ambrosio,1996, p.80).
Em observação ao processo metodológico analisado por esse trabalho, identificamos
que o professor deverá se preocupar para que não ocorra o jogo sem que possa ser
estabelecido algum tipo de reflexão, registro ou sistematização de estruturas da Matemática,
para que dessa forma não haja apenas o cumprimento de regra de um jogo, mas também, a
contribuição para o processo ensino-aprendizagem da Matemática.
Moura (1994) classifica a atividade de ensino a ser desenvolvida pelo professor como
uma solução construída a partir de uma situação-problema, procurando estabelecer soluções a
um plano de vida, e justifica:
26
Tomar a ação educativa como uma situação-problema é assumir que formar-se é
uma ação constante já que na dinâmica das relações humanas os problemas
produzidos exigem a cada momento novas soluções onde o ato educativo se faz
necessário. (Moura,M.,1994a:p.2)
Visando esse processo de ensino-aprendizagem, o professor adota em sua ação
educativa como uma situação-problema, indagando-se: o que ensinar?, como ensinar?, para
quê ensinar?, por quê ensinar?, e a quem ensinar?, dessa forma o professor assumi um
trabalho consciente em relação ao conhecimento matemático, e a constante transformação do
ensino nesta disciplina. Em detrimento as essas ações, o Jogos Didáticos oferecer espaços
para a criação de simulação de situações-problemas, na busca novas soluções.
Os jogos ao estabelecer vínculos entre o teórico e o social possibilitam ao ensino
fundir os conceitos impostos pela disciplina com as práticas exigida pela sociedade, trazendo
uma aprendizagem significativa. E aprender significativamente é quando as informações se
estabelecem em proposições importantes já existentes na estrutura cognitiva do aprendiz.
Grando (2000, p. 87), relata a importância do aprender significativo:
A busca por um ensino que considere o aluno como sujeito do processo, que seja
significativo para o aluno, que lhe proporcione um ambiente favorável à imaginação,
à criação, à reflexão, enfim, à construção e que lhe possibilite um prazer em
aprender, não pelo utilitarismo, mas pela investigação, ação e participação coletiva
de um "todo" que constitui uma sociedade crítica e atuante, leva-nos a propor a
inserção do jogo no ambiente educacional, de forma a conferir a esse ensino espaços
lúdicos de aprendizagem.
Segundo a autora, o jogo propõe a criação de espaço que possam fluir o ensino-
aprendizagem, permitindo ao professor estreitar essa relação ao estabelecer um ambiente
favorável de aprendizagem significativa, de forma que o estudante torne-se um cidadão crítico
e atuante enfrente aos desafios da sociedade.
Ela afirma ainda que:
A atividade de jogo, no contexto do processo ensino-aprendizagem da Matemática,
apresenta-se, ao aluno, como séria, de real compromisso, envolvimento e
responsabilidade, sendo que tais evidências podem vir a prepará-lo para se adaptar
ao mundo do trabalho, desde que o caráter lúdico do jogo não seja comprometido.
(GRANDO, 2000, pag. 33)
Diante dessa perspectiva de ensino e aprendizagem, os jogos passam a serem
importantes aliados para a concretização do Ensino de Matemática nas escolas do século XXI,
pois se encontram entranhados no ambiente sociocultural dos alunos e proporcionam facilitar
a ligação do teórico com as práticas sociais. Essa ponte criada pelos jogos enriquece o
27
currículo escolar, estabelecendo maiores vínculos de aprendizagem e no desenvolver de suas
atividades lúdicas propiciariam um importante meio para a compreensão, apreensão,
desenvolvimento, explicitação, aplicação e generalização de conceitos.
3.2 O jogo e a resolução de problemas
Grando (2004) estabelece que a relação entre o jogo e a resolução de problemas
comprovando as vantagens no processo da construção de conceitos por meio da discussão no
Ensino da Matemática entre os alunos e entre o professor e os alunos. Identifica o jogo como
um problema, que é construído o conceito de forma lúdica, dinâmica, desafiadora e tornando-
se cada vez mais interessante aos olhos do estudante.
Nesta concepção a autora ressalta que:
Defendemos a inserção dos jogos no contexto educacional numa perspectiva de
resolução de problemas, garantindo ao processo educativo os aspectos que envolvem
a exploração, explicitação, aplicação e transposição para novas situações problema
do conceito vivenciado. (GRANDO, 2004, p. 29)
O jogo tem um caráter competitivo e mostra-se como uma atividade capaz de gerar
situações-problemas, nas quais o aluno necessita coordenar diferentes pontos de vista,
constituir relações, resolver conflitos e estabelecer uma ordem.
Moura (1996, p.53) afirma que:
O jogo tem fortes componentes da resolução de problemas na medida em que jogar
desenvolve uma atitude psicológica do sujeito que, ao se predispor para isso, coloca
em movimento estruturas do pensamento que lhe permitem participar do jogo. O
jogo, no sentido psicológico, desestrutura o sujeito que parte em busca de estratégias
que o levam a participar deles. Podemos definir jogo como um problema em
movimento, problema que envolve atitude pessoal de querer jogar tal que o
resolvedor de problema que só os tem quando estes lhes exigem busca de
instrumentos novos de pensamento.
É importante salientar que para poder ter êxito na resolução de problemas olímpicos,
inicialmente deve-se rever vários teoremas, postulados, axiomas. Não intimidar o aluno com
Matemática, caso contrário, isso pode ferir sua mente tornando indisposto para lhe dar com
Matemática a vida inteira, o professor tem um papel fundamental nesse processo: o de
despertar nele o gosto pela Matemática, desenvolver hábitos de lidar com problemas
matemáticos, ampliando assim suas habilidades e estratégias, Polya (1995, p. 65), destaca:
28
Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de
descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas
se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas quem o
resolver por seus próprios meios experimentará a tensão e gozará o triunfo da
descoberta. Experiências tais, numa idade susceptível, poderão gerar o gosto pelo
trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca na mente e no caráter.
O autor destaca que por meio da resolução de problemas o aluno aprende, aprofunda e
pode criar novas situações de resolução de outros problemas, desenvolve novas estratégias,
faz o caminho inverso, rever teoremas e aplica de maneira precisa e sistemática.
Dante (2000, p. 15) mostra o quanto a Matemática está presente em nosso cotidiano
através de exercícios práticos. O autor assinala o trabalho com resolução de problemas
matemáticos como a principal forma de se alcançar os objetivos da Matemática em sala de
aula, entre eles, o de “fazer o aluno pensar produtivamente”. O autor destaca ainda:
Mais do que nunca precisamos de pessoas ativas e participantes, que deverão tomar
decisões rápidas e, tanto quanto possível, precisas. Assim, é necessário formar
cidadãos matematicamente alfabetizados, que saibam como resolver, de modo
inteligente, seus problemas de comércio, economia, administração, engenharia,
medicina, previsão do tempo e outros da vida diária. E, para isso, é preciso que a
criança tenha, em seu currículo de Matemática elementar, a resolução de problemas
como parte substancial, para que desenvolva desde cedo sua capacidade de enfrentar
situações-problema.
É de fundamental importância que a criança seja bem instruída em seu ensino
curricular, para que o jovem do futuro tenha um bom desempenho em sua atividade sem que
haja dificuldade de aprendizagem em lições que requeiram o conhecimento e o
desenvolvimento intelectual de níveis anteriores. Só dessa maneira pode-se acreditar que
quem faz essa prática inova as metodologias pedagógicas da Educação e vislumbra novas
conjecturas para o Ensino da Matemática. Assim, esse processo metodológico de Jogos
Didáticos e resoluções de problemas, permite construir conceitos, estabelecer relações entre
os saberes na aula e em situações rotineiras, criar novas estratégias, desenvolver habilidade,
em suma, aprender a Matemática de maneira prazerosa e eficaz .
3.3 Fatores relevantes na aplicação de Jogos Didáticos no Ensino da Matemática
Nem tudo são “flores” ao se trabalhar com o lúdico, assim como o jogo tem suas
vantagens surgem também algumas desvantagens no contexto de ensino-aprendizagem, fato
relatado por estudiosos e destacado por Grando (1995), em que professores como precursores
29
do ensino devem refletir e assumir falhas ao se proporem desenvolver esse tipo de trabalho
pedagógico, destacam-se as seguintes contribuições:
TABELA 1 - VANTAGEM E DESVANTAGEM DOS JOGOS
VANTAGENS DESVANTAGENS
- fixação de conceitos já aprendidos de uma forma
motivadora para o aluno;
- introdução e desenvolvimento de conceitos de
difícil compreensão;
- desenvolvimento de estratégias de resolução de
problemas (desafio dos jogos);
- aprender a tomar decisões e saber avaliá-las;
- significação para conceitos aparentemente
incompreensíveis;
- propicia o relacionamento das diferentes disciplinas
(interdisciplinaridade);
- o jogo requer a participação ativa do aluno na
construção do seu próprio conhecimento;
- o jogo favorece a socialização entre os alunos e a
conscientização do trabalho em equipe;
- a utilização dos jogos é um fator de motivação para
os alunos;
- dentre outras coisas, o jogo favorece o
desenvolvimento da criatividade, de senso crítico, da
participação, da competição "sadia", da observação,
das várias formas de uso da linguagem e do resgate do
prazer em aprender;
- as atividades com jogos podem ser utilizadas para
reforçar ou recuperar habilidades de que os alunos
necessitem. Útil no trabalho com alunos de diferentes
níveis;
- as atividades com jogos permitem ao professor
identificar, diagnosticar alguns erros de
aprendizagem, as atitudes e as dificuldades dos alunos.
- quando os jogos são mal utilizados, existe o
perigo de dar ao jogo um caráter puramente
aleatório, tornando-se um "apêndice" em
sala de aula. Os alunos jogam e se sentem
motivados apenas pelo jogo, sem saber
porque jogam;
- o tempo gasto com as atividades de jogo em
sala de aula é maior e, se o professor não
estiver preparado, pode existir um sacrifício de
outros conteúdos pela falta de tempo;
- as falsas concepções de que se devem
ensinar todos os conceitos através de jogos.
Então as aulas, em geral, transformam-se em
verdadeiros cassinos, também sem sentido
algum para o aluno;
- a perda da "ludicidade" do jogo pela
interferência constante do professor, destruindo
a essência do jogo;
- a coerção do professor, exigindo que o aluno
jogue, mesmo que ele não queira, destruindo a
voluntariedade pertencente à natureza do
jogo;
- a dificuldade de acesso e disponibilidade de
material sobre o uso de jogos no ensino, que
possam vir a subsidiar o trabalho docente.
30
Grando (2004) registra sete momentos de jogo que juga relevante no uso de jogos em
sala com o objetivo de aproveitar todas as possibilidades e potencialidades proporcionadas:
1º Momento: Familiarização dos alunos com o material do jogo – É o momento em que
os alunos entram em contato com o material do jogo, identificando objetos já conhecidos,
por exemplo, dados, peões, tabuleiros, etc. e realiza simulações de possíveis jogadas.
2º Momento: Reconhecimento das regras – No segundo momento, os alunos devem
reconhecer as regras do jogo e estas podem ser expostas de diferentes maneiras, dentre
elas: explicadas pelo professor, lidas pelos alunos, ao serem realizadas simulações de
partidas pelo professor e alguns alunos para compreensão dos demais.
3º Momento: O “jogo pelo jogo” – jogar para garantir regras – Por ser o momento
espontâneo do jogo, possibilita ao aluno jogar para garantir a assimilação das regras. É o
momento de exploração de algumas noções matemáticas presentes no jogo. Neste
momento é fundamental a compreensão e o cumprimento das regras do jogo.
4º Momento: Intervenção pedagógica verbal – Este é o momento das intervenções verbais
do professor e tem como características os questionamentos e observações realizados por
ele para que os alunos analisem suas jogadas. Neste momento é importante analisar os
procedimentos que os alunos utilizam na resolução de problemas, para garantir que haja a
relação deste processo com a conceitualização matemática.
5º Momento: Registro do jogo – Registrar os pontos, os procedimentos e os cálculos
utilizados é uma maneira para sistematizar e formalizar por meio da linguagem
matemática. Através do registro o professor conhece melhor seus alunos. Assim, é
importante que o professor estabeleça estratégias de intervenções em que haja necessidade
do registro escrito do jogo. Através do registro podem ser analisadas as jogadas “erradas”
e construções de estratégias. Sistematizar um raciocínio por escrito contribui para a
melhor compreensão do aluno em relação a suas próprias formas de raciocínio e também
para o aperfeiçoamento de como explicitá-lo.
6º Momento: Intervenção escrita – Este é o momento da problematização das situações de
jogo. É importante que o professor ou mesmo os alunos proponham novas situações
problema. Com a resolução dos problemas ocorre uma analise mais específica sobre o
jogo e aspectos não ocorridos do jogo podem ser abordados. Neste momento os limites e
possibilidades são registrados pelo professor e este direciona os alunos para os conceitos
matemáticos trabalhados no jogo.
7º Momento: Jogar com competência – Neste momento, o aluno retoma à situações de
jogo e executa estratégias definidas e analisadas durante a resolução de problemas. O
31
processo de análise do jogo e as intervenções obtidas nos momentos anteriores farão
sentido no contexto do próprio jogo.
A autora através desses sete passos monta a estrutura básica do plano pedagógico com
jogos nas aulas de Matemática. No entanto, faz-se preciso que o professor realize as
intervenções pedagógicas no decorrer do jogo para garantir a aprendizagem matemática.
Os jogos sempre se assemelham a um sistema mais ou menos complexo de regras,
definindo o que pode e não pode ser permitido nas jogadas. Huizinga (1980) identifica no
jogo algumas características que consideram fundamentais e as descreve:
CARACTERÍSTICA DESCRIÇÃO
Livre Preza a própria liberdade do indivíduo de jogar ou não
Desligado da vida
quotidiana
O jogo chega a ser tão absorvente que quem o joga abstrai-se por
completo de tudo o que se passa à sua volta.
Isolamento/limitação
(espacial e/ou temporal)
O jogo tem sempre um momento de início e outro de fim ao longo
de uma sequencia temporal é jogado sempre num determinado
espaço (tabuleiro, campo de jogo, peças, etc).
Fenômeno cultural Mesmo depois do jogo ter terminado ele pode influenciar uma
determinada cultura, mantendo-se na nossa memória individual ou
coletiva, tornando-se em muitos casos tradição de um determinado
grupo cultural ou social.
Capacidade de repetição Deve ser replicável.
Cria ordem e ordem O jogo introduz uma ordem perfeita e absoluta na confusão do
mundo real, qualquer desobediência a essa ordem quebra o jogo,
privando-o do seu caráter e do seu valor próprio. Todo o jogo existe
dentro de um determinado limite, quer seja imposto, quer seja
espontâneo.
Tensão Esta tensão aliada à procura da solução vitoriosa domina todos os
jogos, conferindo-lhes valor ético, na medida em que são postas à
prova as qualidades do indivíduo, pois apesar do seu natural desejo
de vencer, ele deve sempre obedecer às regras.
Regras Estas determinam o que vale e o que não vale dentro deste mundo
temporário e imaginário. Em qualquer jogo as regras são absolutas e
indiscutíveis.
32
TABELA 2 – CARACTERÍSTICAS E DESCRIÇÃO DOS JOGOS CONSIDERADA POR HUIZINGA
Groenwald (2002, p.2) sintetiza os cuidados que o professor deve ter aos realizar a
escolha do jogo a ser trabalho em sala:
Não tornar o jogo algo obrigatório;
Escolher jogos em que o fator sorte não interfira nas jogadas, permitindo que
vença aquele que descobrir as melhores estratégias;
Utilizar atividades que envolvam dois ou mais alunos, para oportunizar a
interação social;
Estabelecer regras, que podem ou não ser modificadas no decorrer de uma
rodada;
Trabalhar a frustração pela derrota na criança, no sentido de minimizá-la;
Estudar o jogo antes de aplicá-lo, o que só é possível, jogando.
3.4 Análises das experiências
O curso de especialização em Ensino de Matemática no Ensino Médio solicitou de
seus estudantes a aplicabilidade de suas práticas teóricas em sala de aula mediante atividade
do curso. Durante o primeiro e segundo período desse curso foram planejadas várias aulas
com a utilização de Jogos Didáticos adaptados de acordo com o conteúdo lecionado.
Atividades que trouxeram a atração pela aplicabilidade do lúdico e a participação coletiva,
reforçando os conteúdos de aprendizagem.
Dentre estas atividades foram desenvolvidas as seguintes práticas nas turmas do
Ensino Médio em que cada atividade refere-se a uma disciplina do curso, como está
especificado a seguir:
Jogo dos Discos: Probabilidade – O Jogo dos Discos
Desafio Geométrico: Geometria Plana – Aprendendo a Ladrilhar
Geometria Espacial: Poliedros Regulares – Sólidos de Platão
Modelo de Despoluição: Funções – Simulação da despoluição de um lago
Em meio a essa aplicabilidade, como mostra os anexos deste estudo, percebemos
nitidamente as características em que o lúdico favorece tanto de forma abstrata, quanto de
forma concreta a aprendizagem do aluno e seu fortalecimento, tornando as aulas mais
participativas e afastando o que já deixava a prática do ensino obsoleto.
As aulas de Probabilidade proporcionaram inicialmente questionamentos de
resultados simples que vieram mais tarde a ser objeto de estudo da referida aula, esse ponto
demonstrado pelo estudante, certifica que através dessa abordagem de jogos que reconhece o
33
problema matemático e através de orientações do professor utiliza técnica para resolvê-lo, ao
fazerem lançamento, registro e cálculos, conforme demostrado no Anexo1.
Com isso, as percepções dos alunos ficaram mais aguçadas ao identificarem e
utilizarem a função que manipula o jogo dos discos fazendo previsões de seus resultados,
assim como a construção de gráfico e tabelas demonstrando que quanto maior o diâmetro
menor a chance de casos favoráveis e vice-versa.
As atividades registradas nos anexos 1, 2 e 3 exibem de forma clara o quanto é
interessante propor em aula a confecção do próprio material a ser utilizado no decorrer do
estudo, propiciando um ambiente favorável de aprendizagem, despertando o espírito de
participação na confecção, no jogar, no conteúdo e consequentemente em sua aprendizagem.
No primeiro anexo, a forma perceptível de entender a relação da área do quadrado pela
tamanha de seu lado e a área do círculo tanto pelo comprimento do raio quanto pelo seu
diâmetro.
De maneira mais concreta e bastante visual, as atividades de geometria trazem maiores
segurança para a compreensão dos polígonos regulares e os sólidos geométricos, pois por
meio de suas formas os alunos conseguem facilmente alcançar os objetivos estabelecidos na
aula. O lúdico da geometria consegue captura os alunos através de uma visão horizontal, que
atrativamente desperta interesse em sua participação, e em sequencia a isso um crescimento
no desenvolvimento intelectual do estudante.
Assim, por esse caminho de atividades lúdicas, os alunos podem perceber as
interações do meio geométrico como a arte e a arquitetura, levando ao nível mais elevado de
seu intelecto, assim como na fabricação simples de peças artesanais ou de construção de
móveis e imóveis, segundo as observações dos anexos 2 e 3.
Na quarta e a última experiência, conforme o anexo 4, temos não só um atividade
lúdica que desperte o olhar dos estudantes, como também um contribuição da Matemática
para se entendo um processo de despoluição da água de um lago. O que chama a atenção no
aluno é o lúdico, pela demonstração clara como Os Jogos Didático no Ensino da Matemática
pode buscar um assunto complexo e torná-lo de fácil compreensão através da simulação da
despoluição de um lado-modelo.
Este processo de despoluição através da demonstração da modelagem matemática
auxilia o aluno a determinar os cálculos em porcentagem da água suja que sai do reservatório
e a água limpa que permanece nele, na construção gráfica e no conhecimento de uma função
exponencial decrescente, dessa forma proporcionando o entendimento a esses que com o
34
passar do tempo e pela diluição da água a concentração do poluente no lago modelo tenderá a
zero.
De forma geral, esse tipo de atividade abre um legue de informações que possibilitam
a inovação do ensino-aprendizagem, tornando-se uma ferramenta de vários recursos pra
educação, auxiliando os professores numa perspectiva de renovação de suas metodologias de
ensino, e principalmente ao estudante, a quem os jogos possibilitam uma visão ampliadora e
prazerosa na participação de atividade e chegando ao objetivo principal que é o seu
desenvolvimento e crescimento intelectual.
35
4. CONCLUSÕES
Após todo o estudo teórico, constatamos que vários autores da Educação afirmam a
relevância do uso dos Jogos Didáticos no Ensino da Matemática, permitindo o
desenvolvimento cognitivo e de raciocínio lógico.
Os Jogos Didáticos abrem horizontes ainda não visualizados, tornando possível aos
estudantes a construção do conhecimento, deixando o velho, o Ensino Tradicional, onde a
maioria das vezes o aluno não passava de um agente passivo, e agora nesta nova perspectiva
de ensino, dentro desse ambiente dos Jogos Didáticos e o Ensino da Matemática, torna-se
mais crítico e confiante, expressando o que pensa e tirando suas próprias conclusões, assim
passando a ser um agente de transformação, de forma crítica e participativa no mundo em que
vive.
Este estudo pode apreciar alguns aspectos do cenário da aplicabilidade dos jogos como
proposta pedagógica, com o intuito de facilitar o entendimento da Matemática escolar para o
aluno, de orientar esse aluno na busca de soluções de problema. Mostrando que os Jogos
Didáticos podem ser uma ótima ferramenta para o ensino-aprendizagem, desde que esteja bem
planejada e orientada pelo professor para que a atividade não tenha um caráter de “jogar por
jogar” e sim que possa auxiliar os alunos no desenvolvimento de habilidades como
observação, análise, levantamento de hipóteses, busca de suposições, reflexão, tomada de
decisão, argumentação, que estão relacionadas ao raciocínio lógico.
Neste contexto, para o professor, os Jogos Didáticos em Matemática além de serem
ótimos métodos que possibilite o desenvolvimento cognitivo e o raciocínio lógico, também
sãos atividades que leva-o a reflexão de suas práticas pedagógicas, direcionando-o a reanalisar
seus planos na busca do aperfeiçoamento do Ensino da Matemática em sala, dessa forma
permitindo que suas aulas sejam mais produtivas, motivadoras e prazerosas.
Para o estudante, esses jogos são brincadeiras que descentralizam a tensão provocada
pelos conteúdos complexos e “chatos” da Matemática. Dessa forma, o jogo desmistificando
esse olhar “cruel” do aluno para com a disciplina, e sem se preocupar com o peso da
responsabilidade do aprender vai se familiarizando com os jogos que através do lúdico
passam a enxergar diferente o que antes nem conseguia vê.
Este trabalho contempla alguns aspectos dos jogos, assim como aponta características
positivas e negativas deste cenário, mesmo como facilitador do processo de ensino-
aprendizagem para o Ensino de Matemática no Ensino Médio. Tendo como proposta,
oportunizar aos estudantes a construção do conhecimento através de uma aprendizagem
36
significativa, em que se libertaria do ensino tradicional e passava a ser um agente crítico e
participativo em meio a situações desafiadoras impostas pela sociedade.
Diante disso e o cumprimento dos objetivos desse estudo, as experiências relatadas
com turmas de 2ª e 3ª série do Ensino Médio da Escola Estadual Demócrito de Sousa, os
resultados obtidos e a análise processada, evidenciamos que a utilização dos Jogos Didáticos
no Ensino de Matemática quando bem planejado podem oportunizar aos estudantes brasileiros
desenvolver e enriquecer suas potencialidades. Mostrando-se um instrumento eficaz como
Proposta de Aprendizagem do Ensino de Matemática no Ensino Médio.
A relevância deste estudo, assim como de toda experiência que considera a sala de
aula um ambiente de pesquisa para o ensino-aprendizagem, sem dúvida alguma é cooperar
com uma reflexão sobre a prática pedagógica e a didática da Matemática, no intuito de
transformar o Ensino da Matemática de ontem bem melhor para o hoje e permitir novas visões
para o amanhã, e principalmente aproximar mais e mais o aluno ao conhecimento da
Matemática.
Neste sentido, podemos evidenciar os artifícios desencadeados no uso de Jogos
Didáticos no Ensino da Matemática, com a finalidade que possibilite acontecer uma
aprendizagem matemática significativa, útil para o estudante no processo do “fazer
matemática” e na resolução de desafios que surgem em meio à sociedade, assim como
também, conferir ao Ensino da Matemática momentos de alegria, descontração, paixão e
envolvimento pela atividade lúdica que o jogo representa.
37
BIBLIOGRAFIA
ALMEIDA, P.N. Educação Lúdica: Técnica e Jogos Pedagógicos. SP: Loyola,1990.
ALVES, E. M. S. A ludicidade e o Ensino da Matemática: Uma prática possível. Campinas,
SP: Papirus, 2001.
ANDRADE, F. P. As olimpíadas de matemática ampliando e fortalecendo o processo de
ensino-aprendizagem. Mossoró, 2015.
BORIN, J. Jogos e Resolução de Problemas: Uma estratégia para as aulas de
Matemática. São Paulo: IME-USP, 1995
BORIN, J. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de matemática.
São Paulo: IME-USP, 2004
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática / Secretaria de Educação
Fundamental. Brasília: MEC / SEF, 1997.
_______. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática / Secretaria de Educação
Fundamental. Brasília: MEC / SEF, 1998.
_______. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares
Nacionais: Ensino Médio. Secretaria de Educação Média e Tecnológica, Brasília:
MEC/SEMT, 1999.
CARVALHO, P. C. P. Fazer Matemática e usar Matemática. Salto para o futuro. Série
Matemática não é problema. Disponível em
<http://www.tvebrasil.com.br/SALTO/boletins2005/boletins2005.htm>. Acessado em 07 de
junho de 2016.
CHAVES, E. F. S. O lúdico e a matemática, MG: Belo Horizonte, 2009.
CORREA, J. Um Estudo Intercultural da Dificuldade Atribuída à Matemática, 1999.
Disponível em: <http: //www.scielo.br/scielo.php>. Acessado em 01 de junho de 2016.
D'AMBROSIO, U. Etnomatemática: arte ou técnica de explicar e conhecer. São Paulo:
Ática,1990.
DOHNE, V. O valor educacional dos Jogos. São Paulo: Informal Editora, 2003.
DINIZ, M.I, CÂNDIDO, P. SMOLE, K.S. Cadernos do Mathema. Jogos de Matemática. De
1ª a 5ª ano. –Porto Alegre: Artmed,2007.
GRANDO, R. C. O conhecimento matemático e o uso de jogos na sala de aula / Regina
Célia Grando. Campinas, SP, 2000.
GROENWALD, C.L.O.;TIMM, U.T. Utilizando curiosidades e jogos matemáticos em sala
de aula. Disponível em: < http://WWW.somatematica.com.br/artigos/AL/>. Acessado em 01
de junho de 2016.
38
GUZMÁN, M. Juegos matematicos en la enseñanza (1ªparte). Boletim da SPM, 1990.
HUIZINGA, J. HOMO LUDENS - o jogo como elemento da cultura. 1ª Edição, São Paulo:
Perspectiva, 1971.
HUIZINGA, J. Homo ludens, o jogo como elemento da cultura. 2ª Edição, SãoPaulo:
Perspectiva, 1980.
MARCO, F. F. JOGOS: um recurso metodológico para as aulas de Matemática,
dissertação de Mestrado, São Paulo, editora Unicamp, 2004.
MOURA, M. O. A séria busca no jogo: do lúdico na Matemática. In: KISHIMOTO, T. M.
(org.). Jogo, brinquedo, brincadeira e a educação. São Paulo: Cortez, 1992.
MOURA, M. O. A séria busca no jogo: do Lúdico na Matemática. In: A Educação
Matemática em Revista. São Paulo: SBEM– SP, 1994.
MOURA, M. O. A séria busca no jogo: do lúdico na Matemática. Jogo, brincadeira e a
educação. São Paulo: Cortez, 1996.
PARRA, C. Cálculo mental na escola primária. In: PARRA, C., SAIZ, I. (org). Didática da
Matemática: reflexões psicopedagógicos. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996. 186-235 p.
PONTE, J. P. O Ensino da Matemática em Portugal: Lições do passado, desafios do
futuro. 2004. Disponível em:
<www.ufpel.tche.br/clmd/bmv/detalhe_biografia.phd?id_autor=1>. Acesso em abril de 2016.
ROCHA, H. Quando a Matemática é um Jogo. Comunicação apresentada no Encontro
Anual da Associação dos Professores de Matemática. Portimão, 1999.
SOUZA, M. F. G. Fundamentos da Educação Básica para Crianças. Volume 3, In:
Módulo 2. Curso PIE – Pedagogia para Professores em Exercício no Início de Escolarização.
Brasília, UnB, 2002.
39
ANEXO 1 – Jogando com Análise Combinatória e Probabilidade: Jogo dos discos
Esse jogo pode ser aplicado em qualquer nível do Ensino Médio, desde que seja
adaptado ao conteúdo que prede ser trabalho em sala. As informações a seguir a aplicação
dessa atividade na turma do 2º ano vespertino do Ensino Médio da Escola Estadual
Acadêmico Mauro Abrantes, sobre o conteúdo de probabilidade.
Organização da classe:
Dividir a turma em grupos que tenham a mesma proporção de alunos;
Objetivos:
Entender como decorre o processo da contabilidade;
Entender a manipular a relação entre o tamanho da malha e diâmetro do circulo;
Probabilidades favoráveis, menores e maiores chances;
Recursos:
Malha quadriculada que caiba um disco sem sobrepor as bordas – na aula foi levada a
malha de quadriculada com quadrados de lados com 3 cm;
Disco compatível com a malhar (o disco pode ser: qualquer moeda, CDs, ou fabricado
de acordo com a chance de favorecimento ou desfavorecimento desejado) – em sala foram
inicialmente utilizados moedas.
Regras:
Lançar o disco a um distancia que não favoreça ao jogador ou o jogado estando
próximo, mas de costa pra malha;
Se o disco cai inteiramente dentro do quadriculado sem sobrepor a linha da malha,
registra-se 1(um), lançamento favorável ao jogador;
Caso o disco caia fora da malha ou encima da malha, registra-se 0 (zero), lançamento
desfavorável ao jogador;
Registrar a quantidade de lançamento;
Aplicação:
Cada grupo lançará o disco 200 vezes;
Registrados todos os lançamentos;
Calcular a probabilidade dos resultados favoráveis e desfavoráveis;
Discursão dos resultados
40
Inicialmente, antes de qualquer influencia pedagógica, os grupos que realizaram os
lançamentos questionavam o porquê da quantidade de lançamentos favoráveis com a moeda
de 10 centavos (novo modelo, 20 mm) era muito maior do que a de 05 centavos (novo
modelo, 22 mm). Continuavam ainda a indagar, dentro deste contexto, por quais motivos a
frequência de acertos com a moeda de 01 real (novo modelo, diâmetro 27 mm) era menor do
que a quantidade de lançamentos realizada pela moeda de 25 centavos (modelo antigo,
diâmetro 23,5 mm). Assim, atividade leva o estudante a refletir sobre as causas que leva ao
favorecimento e desfavorecimento aos jogadores no jogo.
Através da intervenção didática pedagógica e diante dos questionamentos, foi proposta
a turma, de maneira simples, que com uma régua medissem o diâmetro de cada tipo de moeda
utilizada durante o jogo. De acordo com a medição, realizaram o confronto de tamanho do
diâmetro e os lançamentos favoráveis aos jogadores. A parti dessa investigação, chegamos a
conclusão de que quanto maior o diâmetro da moeda menor a frequência de lançamento
favoráveis. Para concluir esse conceito, foram realizado lançamento com disco de menores
diâmetros como a mesma malhar, chegando a mais uma proposição de que quanto menor o
diâmetro do disco maior a frequência de acertos no jogo.
Com os resultados apurados e frequências calculadas, foi solicitado que cada grupo
construísse o gráfico de resultados com as moedas lanças e suas probabilidades encontradas.
Após suas construções, demonstraram graficamente que quanto maior o diâmetro menor a
chance de casos favoráveis e vice-versa.
FIGURA 2 - LANÇAMENTO DOS DISCOS (MOEDAS) NA MALHA
41
FIGURA 3 - REGISTRO DOS LANÇAMENTOS
FIGURA 4 - CALCULO DA PROBABILIDADE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
FIGURA 5 - FOLHA DE ATIVIDADE DOS ALUNOS COM ANOTAÇÕES
A segunda etapa dessa atividade consiste no uso do piso da escola, mais precisamente
da malha existe nele, e a construção de uma nova malha, como também a confecção de novos
discos. Dessa maneira, expor o passo a passo das atividades direciona os alunos ao melhor
aproveitamento das aulas e realização das atividades, permitindo a manipulação da
probabilidade através da área do quadrado e do circulo. Tornando a aula ainda mais
participativa e dinâmica os estudantes constroem a nova malha com quadrados de lado de 30
cm e verifica a malha do piso com quadrados de lados com 65 cm. Esse aprendizado se dar
devido o próprio estudante se entusiasmar ao construir o seu próprio material pedagógico, em
42
outras palavras, a prática na construção dos itens levaram os mesmos a novas perspectivas de
ensino, de uma visão atrativa, despertando-lhes curiosidade.
O uso de funções polinomiais nunca tem sido de fácil assimilação, menos ainda a
construção dessas funções, porém com o uso da atividade lúdica o aluno sente-se relaxado e
despreocupado com o fato de enfrentar cálculos que para si é considerado de difícil
entendimento, e com detalhamento da atividade e participação ativa na confecção de suas
próprias ferramentas didáticas, torna-se a construção de seu conhecimento de forma prazerosa
e eficaz ao desenvolver da probabilidade geométrica entre a área do quadrado e a área do
disco e investigar a relação lado e diâmetro, onde ficam os pontos principais dessa aula.
Os estudantes identificam a importância do uso da fórmula para facilitar a obtenção de
resultados, a exemplo disso, é o caso trabalhado em sala onde era solicitada a confecção de
um disco com diâmetro que proporcione 30% de chances de acertos na malha quadriculada
com quadrados de lado de 20 cm ou de 30 cm.
Fórmula da probabilidade geométrica
Nesta fórmula, L é o parâmetro que corresponde a lado do quadrado do quadriculado,
d é a variável que corresponde ao diâmetro do disco lançado.
Na construção dos objetos de estudos, os estudantes se sentem tranquilo em estar
construindo seu próprio jogo, algo de lhes traz saciedade, gerando curiosidades no querer
saber e como fazer, ou seja, os jogos dos discos permitem aos estudantes, no desenvolvimento
de experimento prático, a interagir, explorar novas situações e obter o saber de maneiras
diversas.
FIGURA 6 - DISCO DE DIÂMETRO D CONFLITANDO COM QUADRADO DE
LADO L
43
FIGURA 7 - CONSTRUÇÃO DE UMA NOVA MALHA
FIGURA 8 - ANALISANDO O PISO DA SALA COMO MALHA
FIGURA 9 - CONFECCIONANDO NOVOS DISCOS
FIGURA 10 - ANALISANDO A INFLUÊNCIA DO DIÂMETRO DO DISCO E O TAMANHO DO
QUADRICULADO
44
ANEXO 2 – Geometria: Aprendendo a ladrilhar
As atividades com ladrilhamento deu-se a parti da visualização de forma montadas
com peças do tangram e de imagens que retratam o uso de ladrilhamento em ruas, calçada,
praças, paredes e pisos, imagens também que mostra o uso do ladrilho em obras de arte,
frisando a importante junção das peças para chega-se a uma forma desejada, seja ela bem-
comportado ou não.
Fazendo uma pequena revisão acerca de partes fundamentais do conteúdo abordado
para se compreender o que se espera da aula planejada, revisamos a peculiaridade dos
polígonos regulares. Nesta demonstração foram solicitados apenas os polígonos regulares que
no decorrer da aula servirá para construção de ladrilhamento regular, dentro dessa abordagem
foi frisado não só a igualdade de lados como também a igualdade de ângulos.
Assim como os polígonos regulares, o estudo dos ângulos que fazem essas peças
partiu do princípio para que também houvesse uma real compreensão sobre que a soma dos
ângulos internos do triângulo qualquer equivale a 180° graus, seguindo o passo a passo:
Desenhar um ângulo de meia volta, 180° graus;
Desenhar um triângulo qualquer;
Pintar cada ângulo do triangulo;
Cortar o triângulo em três partes destacando os ângulos pintados;
Unir os ângulos pintados do triângulo inicial, sobrepondo ao desenho do
ângulo de meia volta;
Os alunos ficaram boquiabertos quando que de imediato perceberam a comprovação
visual que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer equivale a 180° graus.
Fixando esse entendimento, fica fácil encontrar a soma dos ângulos internos dos outros
polígonos. Para isso bastaram dividir os polígonos em triângulos trançando diagonais a partir
de um vértice. Como mostra as imagens a seguir:
FIGURA 11 - DESCOBRINDO A SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO
CONVEXO ATRAVÉS DE TRIÂNGULOS
45
Na figura acima podemos perceber que o polígono de quatro lados tem dois triângulos
e como soma dos ângulos internos de um triangulo é 180, temos que 2 x 180° = 360°, logo a
soma dos ângulos internos do quadrado é igual a 360°. Da mesma forma para os outros dois
polígonos, o pentágono com três triângulos, 3 x 180° = 540°, cuja soma dos ângulos
internos é 540°, do hexágono partindo três diagonais de um dos vértice divide-o em quatro
triângulos, 4 x 180° = 720°, totalizando a soma dos ângulos internos do hexágono em 720°.
Observamos ainda, relação da soma dos ângulos internos dos triângulos com a relação
da soma dos ângulos internos nos polígonos e o número de lados do polígono, pois a
diferença entre o número de lados do polígono e o numero de triângulos formado é sempre
igual a 2. Daí, podemos formular uma expressão matemática que nos levará a soma dos
ângulos internos de um polígono convexo de n lados e número de triângulo n – 2 sem a
necessidade de traçar as diagonais. Vejamos: Sn = (n – 2) • 180°
Portanto, a fórmula nos possibilita determinar a soma dos ângulos internos de qualquer
polígono convexo, de maneira mais prática e rápida, como demostra à tabela a seguir:
Número de lados –
N
Quantidade de triângulos –
n – 2
Calculo –
Sn = (n – 2) • 180°
Soma dos ângulos internos
– Sn
3 3 – 2 = 1 S3 =1 • 180° S3 = 180°
4 4 – 2 = 2 S4 = 2 • 180° S4 = 360°
5 5 – 2 = 3 S5 = 3• 180° S5 = 540°
6 6 – 2 = 4 S6 =4 • 180° S6 = 720°
7 7 – 2 = 5 S7 = 5 • 180° S7 = 900°
8 8 – 2 = 6 S8 = 6 • 180° S8 = 1080°
9 9 – 2 = 7 S9 = 7 • 180° S9 = 1260°
10 10 – 2 = 8 S10 = 8 • 180° S10 = 1440°
11 11 – 2 = 9 S11 = 9 • 180° S11 = 1620°
12 12 – 2 = 10 S12 = 10 • 180° S12 = 1800°
15 15 – 2 = 13 S15 = 13 • 180° S15 =2340°
20 20 – 2 = 18 S20 = 18 • 180° S20 =3240°
TABELA 3 - SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO
Para descobrir a medida do ângulo interno, como estamos trabalhando polígonos
regulares, como foi informado que os ângulos internos são congruentes, ou seja, tem o mesmo
valor. Para encontrar essa medida, bastando primeiro descobria a soma dos ângulos internos
do polígono, como foi aprendido e sistematizado na tabela 3, depois só é dividir pela
quantidade de ângulos. No caso do triângulo regular, como a soma dos ângulos internos
46
equivalem a 180° dividi-o por três que é quantidade de ângulos existente neste polígono,
então 180 ÷ 3 = 60°, logo a medida de qualquer um dos ângulos internos do triangulo regular
vale 60° graus. Formalizando essa expressão para encontrar a medida do ângulo interno de
qualquer polígono regular, em que a é essa medida e n é o numero de lados de um polígono
regula, temos que: an = (𝑛−2) • 180°
𝑛
Agora, repetimos esse processo apenas com os polígonos regulares, que iremos utilizá-
los para a formação de padrões de ladrilhamento bem-comportado, os quais já se encontram
confeccionados de acordo com a atividade inicial de polígono regular, que segue abaixo a
descriminação de seus ângulos internos:
Nome do Polígono Número de lados Ângulo interno
Triângulo 3 60°
Quadrado 4 90°
Hexágono 6 120°
Octógono 8 135°
Dodecágono 12 150°
TABELA 4 - ÂNGULOS INTERNOS DOS POLÍGONOS REGULARES PARA PADRÕES BEM-
COMPORTADOS
Tomando o conhecimento adquirido até o momento, para começar o ladrilhamento,
primeiro foram orientado a encontrar os padrões, e para isso responderam a seguinte pergunta:
Quais peças ao unir seus vértices os ângulos somam 360°?
A maioria dos padrões foi encontrada facilmente pelos estudantes, o restante foi
necessário reforçar as orientações para complementar todos os padrões possíveis com o
material confeccionado como mostra a tabela abaixo:
Lados Ângulos
3, 3, 3, 3, 3, 3 60°, 60°, 60°, 60°, 60°, 60°
3, 3, 3,3, 6 60°, 60°, 60°, 60°, 120°
3, 3, 3, 4, 4 60°, 60°, 60°, 90°, 90°
3, 3, 6, 6, 60°, 60°, 120°, 120°
3, 3, 4, 12 60°, 60°, 90°, 150°
4, 4, 4, 4 90°, 90°, 90°, 90°
4, 6, 12 90°, 120°, 150°
6, 6, 6 120°, 120°, 120°
TABELA 5 - LADOS E ÂNGULOS PARA LADRILHAMENTO BEM-COMPORTADO
47
Finalmente, o estudante de forma individual e coletiva pode usar todas as informações
adquiridas no decorrer das aulas para montar o ladrilhamento bem-comportado com as peças
fabricadas por eles.
Pode-se observar no desenvolver da aula e considerando essa atividade como uma
forma lúdica de se trabalhar em sala, que a abordagem do ladrilhamento realizado por
demonstração, confecção e investigação, despertou insaciavelmente o interesse na buscar do
conhecimento geométrico por meio do ladrilhamento. Isso se comprova não só pela
participação do estudante durante a aula, como também pela atitude de alunos, que ao término
da aula leva parte do material não utilizado para exercitar o saber adquirido no intuito de
construir ladrilhamentos.
FIGURA 12 - CONFECÇÃO DE PEÇAS – FORMAS GEOMÉTRICAS
FIGURA 13 - FORMAÇÃO DO LADRILHO – PADRÕES
48
ANEXO 3 – Estudando Geometria Espacial: Sólidos de Platão
A aula teve inicio com o vídeo Sintonia de Poliedros (Fonte:
https://www.youtube.com/watch?v=omRkXtYvLys ), retratando o uso desses objetos para
nosso cotidiano e abrindo discursão sobre a relação da Matemática com a arte, a cultura,
emprego e renda. Neste “bate-papo”, os estudantes enxergam em sua volta o uso da
Matemática, a exemplo disso eles citaram: construção de móveis e imóveis, o próprio uso do
sistema numérico (contar), a porcentagem e juros, e para fecha esse entendimento inicial foi
esclarecido a importância do uso do triangulo como firmação de uma construção.
Dando continuidade ao conhecimento de geometria espacial utilizamos os sólidos
Platão, objeto principal da aula. E para despertar a curiosidade aos estudantes foram exposto
as seguinte perguntas?
Quem era Platão?
Quais são esses sólidos?
E porque esses sólidos são considerados de Platão?
Em sumo, Platão foi um filósofo grego, que viveu entre os séculos V e IV a.C., e
constituiu importantes propriedades em alguns poliedros. Ele estabeleceu ainda algumas
relações entre as classes de poliedros e a construção do Universo, associando os poliedros
tetraedro, hexaedras (cubo), octaedro e icosaedro, respectivamente, aos elementos fogo, terra,
ar e água, e o dodecaedro foi associado ao Cosmo.
FIGURA 14 - SÓLIDOS DE PLATÃO
Sólidos de Platão são todos os poliedros regulares, isso quer dizer que, todas as faces
dos sólidos são polígonos regulares congruentes entre si e todos os seus ângulos poliédricos
são regulares e congruentes entre si.
49
Dentro desse contexto dos sólidos de Platão, foi imposto três condições fundamentais
para diferenciá-los:
P1 – Duas faces adjacentes do poliedro (faces com uma aresta em comum) nunca estão no
mesmo plano.
P2 – Cada aresta do poliedro (lado de uma face) é comum a exatamente a duas faces do
poliedro.
P3 – Para quaisquer duas faces de um poliedro é possível traçar um caminho poligonal,
inteiramente contido da superfície do poliedro, ligando uma face a outra sem passar por
nenhum dos vértice do poliedro.
Para entender melhor detalhamos as caraterística da superfície poliédrica:
Um poliedro tem superfície poliédrica se suas faces são polígonos convexos.
Se um poliedro tem dentre suas faces polígonos não convexos, logo, o poliedro
não tem superfície poliédrica.
FIGURA 15 - POLÍGONOS CONVEXO E NÃO CONVEXO
No decorrer da aula, foi necessário relembrar apenas o que são polígonos regulares e
entender o que era convexo e não convexo como foi mostra a figura 15, o que não foi nenhum
problema para os alunos. Somando essa revisão com as três condições fundamentais a esses
sólidos, concluímos o entendimento sobre superfície poliédrica, e reforçando esse
aprendizado com exemplos e atividades, verificando a veracidade para cada sólido de Platão.
Em seguida foram expostas as propriedades de apenas um dos sólidos de Platão
(nome; tipo de face; quantidade de faces, de arestas e de vértices; quantidade de arestas que
partem de um vértice), para servi de orientação, e em decorrência, para a construção do
entendimento e a bastante participação dos estudantes na aula, deixamos a cargo dos alunos
realizarem o detalhamento dos sólidos restantes. Que chagamos aos resultados informados na
tabela a seguir:
50
Sólidos Platônicos Propriedades Demonstrado por:
Nome: Tetraedro
Vértice: 4
Arestas:6
Faces: 4
De cada vértice partem: 3 restas
Polígono da face: triângulo
Professor
Nome: Hexaedro (cubo)
Vértice: 8
Arestas:12
Faces: 6
De cada vértice partem: 3 restas
Polígono da face: quadrados
Grupo 1 –
5 alunos
Nome: Octaedro
Vértice: 6
Arestas:12
Faces: 8
De cada vértice partem: 4 restas
Polígono da face: triângulo
Grupo 2 –
4 alunos
Nome: Icosaedro
Vértice: 12
Arestas: 30
Faces: 20
De cada vértice partem: 5 restas
Polígono da face: triângulo
Grupo 3 –
5 alunos
Nome: Dodecaedro
Vértice: 20
Arestas: 30
Faces: 12
De cada vértice partem: 3 restas
Polígono da face: pentágonos
Grupo 4 –
6 alunos
TABELA 6 - SÓLIDOS PLATÔNICOS E SUAS PROPRIEDADES
Diante dessa configuração e para concretizar a aprendizagem sobre os sólidos de
Platão, solicitamos a turma a confecção dos sólidos, com o usos de palitos de dente e jujubas,
realizado em grupo, e cada grupo montou o sólidos de referencia de acordo com a tabela 6
sobre orientação do professor.
51
FIGURA 16 - CONFECÇÃO DOS SÓLIDOS DE PLATÃO COM PALITOS DE DENTE E JUJUBAS
Ao término da construção dos sólidos, foi solicitada a analise de suas propriedades, e a
parti dessa vistoria introduzimos a fórmula de Euler, de início foi pedido aos alunos que
informasse a quantidade de vértices, arestas e faces do tetraedro, realizando os cálculos
seguindo a fórmula de Euler, sem que haja uma prévia explanação, solicitei aos mesmos para
realizar os cálculos com os outros sólidos com a mesma linha de raciocínio. O que resultou
em uma ótima estratégia de ensino e aprendizagem, vindo a explanação da fórmula de Euler
só depois dos cálculos.
Lenhard Euler afirma em sua carta que, para qualquer poliedro convexo, sendo V, A e
F os números de vértices, arestas e faces, respectivamente, valeria a relação:
V – A + F = 2
Confrontando a fórmula com os seus registros, perceberam a veracidade das
informações de forma prática sem ter a preocupação de seguir um padrão (fórmula). Esses
registros estão apontados na tabela abaixo:
Sólidos de Platão Nº. Vértice Nº. Arestas Nº. Faces V – A + F = 2
Tetraedro 4 6 4 4 – 6 + 4 = 2
Hexaedro 8 12 6 8 – 12 + 6 = 2
Octaedro 6 12 8 6 – 12 + 8 = 2
Dodecaedro 20 30 12 20 – 30 + 12 = 2
Icosaedro 12 30 20 12 – 30 + 20 = 2
TABELA 7 - APLICAÇÃO DA FORMULA DE EULER COM OS SÓLIDOS PLATÔNICOS
Finalizando essa jornada de ensino e discursões, apresentamos o estudo dos
sólidos, de maneira que desperte o espírito investigativo para a nova descoberta que
justifica a compreensão dos cinco sólidos de Platão, para isso temos que entender que:
52
Para cada vértice de um poliedro, define-se a sua valência como sendo o
número de arestas adjacente a esse vértice;
Em cada vértice de um poliedro, a valência também indica o número de faces
que lhe são adjacentes;
Dessa forma, para que o poliedro seja considerado regular é necessário que suas faces
sejam polígonos regulares congruentes e todos os vértices têm a mesma valência, ou seja, que
de cada vértice sai o mesmo número de arestas.
A nova descoberta justifica a natureza dos poliedros regulares, com a valência n igual
a 3 ( e p igual a 3, 4 ou 5) ou a valência p igual a 3 ( e n igual a 3, 4 ou 5) o que nos dar cinco
possibilidades para o par de valores n e p:
n refere-se ao número de aresta presente em cada face;
p indica o número de arestas que partem do vértice.
E considerando que:
A represente o número de arestas do poliedro;
V represente o número de vértices do poliedro;
F represente o número de faces do poliedro.
Temos que:
A=𝑛𝐹
2 V =
𝑛𝐹
𝑝 F=
4𝑝
2𝑛+2𝑝−𝑛𝑝
Como parte final dessa aula, aos alunos foi proposta a verificação do todos os sólidos de
Platão de acordo com as fórmulas da nova descoberta, e para orientá-los foi realizado um a
demonstração com um dos sólidos. À medida que descobriam o número de faces, arestas e
vértices iria confrontado com os sólidos criados por eles, e verificando em qual desses sólidos
se encaixariam as características. Assim, podemos chegar à conclusão dos cinco poliedros
regulares conhecidos como Sólidos de Platão, como mostra a tabela a seguir:
n P Tipo de faces F =4𝑝
2𝑛+2𝑝−𝑛𝑝 A=
𝑛𝐹
2 V=
𝑛𝐹
𝑝 Natureza do poliedro
3 3 Triangulares 4 6 4 Tetraedro
3 4 Triangulares 8 12 6 Octaedro
3 5 Triangulares 20 30 12 Icosaedro
4 3 Quadradas 6 12 8 Hexaedro
5 3 Pentagonais 12 30 20 Dodecaedro
TABELA 8 - JUSTIFICATIVA DA NATUREZA DOS POLIEDROS REGULARES
53
ANEXO 4 – Atividade Lúdica de funções: Simulação da despoluição de um lago
Contribuição da Matemática para a compreensão de fenômenos biológicos
Este trabalho consiste na realização da simulação da um lago-modelo utilizando as
contribuições da Matemática para uma fácil compreensão de um processo biológico de
despoluição de lago. A Matemática possibilitará seu recurso na coleta de dados, construção de
tabelas, descoberta de uma modelagem inicial para previsão de despoluição do lago-modelo
através de uma razão entre tempo e a taxa de purificação. O intuito inicial é captar a atenção
do aluno com o uso da interdisciplinaridade provocado pelo procedimento do experimento
lago-modelo buscando mostrar o elo existente entre o processo microbiológico (biologia) e a
contexto matemático empregado.
Materiais utilizados
Três garrafas pets com capacidade superior a 2 litros;
Uma garrafa (vasilha 2) – Reservatório – com água limpa;
Uma garrafa (vasilha 3) – Poluente – mistura-se um litro de água limpa acrescido
de com 200 ml de café (já pronto para beber);
Uma garrafa (vasilha 1) – Lago-modelo – com 1800 ml de água limpa acrescido
de 200 ml do poluente (vasilha 3)
Cinco copos descartáveis com capacidade de 200 ml;
Dois copos para transportar água limpa (vasilha 2) para o lago-modelo (vasilha 1)
Dois copos para retira a água poluída (vasilha 1) para o balde.
Um copo para colocar o café.
Um balde para descarte de água poluída,
Uma espátula para ajudar no processo de mistura.
Água e café – agente do processo que poluem e despoluem;
Texto impresso para a realização de leitura inicial sobre o rio Tietê;
Tabela impressa para coleta de informação durante o processo da simulação;
Calculadora – para cálculos mais complexo caso necessite;
Lousa e pincel – demonstração dos cálculos durante a simulação e esclarecimento de
dúvidas que surgirem;
54
Destino para aplicação do lago-modelo
Cidade: Tenente Ananias
Escola: Estadual Demócrito de Sousa
Componente Curricular: Matemática
Professor Colaborador: Francisco Alex Rocha
Série/Turma: 3ª “B” Turno: Vespertino
Descrição da Simulação experimental na despoluição de um lago-modelo em sala de aula
Mediante problemas ambientais provocados pela poluição e o desenrolar do processo
natural de despoluição pelos organismos vivo. Simularemos um lago-modelo onde os
organismos vivos (representados pela troca de água suja por água limpa) durante 24hs
purificam 1/5 (20%) da quantidade do poluente existente no lago. Foi realizado o passo a
passo das etapas, desde a criação do poluente até chega o quinto dias de despoluição:
1º. Período – Composição e identificação das vasilhas:
Vasilha 2 – reservatório com água limpa (2000 ml);
Vasilha 3 – poluente (mistura de 1000 ml de água limpa com 200 ml de café);
Vasilha 1 – lago-modelo (1800 ml de água limpa com 200 ml do poluente)
P(1) = 200
Nesta etapa é feita o processo de poluição do nosso lago- modelo com 200 ml de
poluente
2º. Período – primeiro momento de despoluição correspondente à 24hs. – um dia.
Na Vasilha 1 – Retirar dois copos da água poluída (400 ml) e descarta no balde.
Na Vasilha 1 – Acrescentar dois copos de água limpa (400 ml) retirado da Vasilha 2.
Aqui fazemos nosso primeiro processo de despoluição do lago-modelo e os cálculos
em relação ao poluente existente dentro do lago.
P(2) = 200 – 1
5 • 200 = 200 –
200
5 = 200 – 40 = 160
Logo restam 160 ml do poluente dentro do lago.
3º. Período – segundo momento de despoluição correspondente à 48hs – dois dias.
Na Vasilha 1 – Retirar dois copos da água poluída (400 ml) e descarta no balde.
Na Vasilha 1 – Acrescentar dois copos de água limpa (400 ml) retirado da Vasilha 2.
Repetimos o mesmo processo, só que com novo resultado do poluente:
55
P(3) = 160 – 1
5 •160 = 200 –
160
5 = 160 – 32 = 128
Logo restam 128 ml do poluente dentro do lago.
4º. Período – terceiro momento de despoluição correspondente à 72hs – três dias.
Na Vasilha 1 – Retirar dois copos da água poluída (400 ml) e descarta no balde.
Na Vasilha 1 – Acrescentar dois copos de água limpa (400 ml) retirado da Vasilha 2.
Repetimos o mesmo processo, lembrando que sempre utilizamos os dados atuais:
P(4) = 128 – 1
5 •128 = 128 –
128
5 = 128 – 25,6 = 102,4
Logo restam 102,4 ml do poluente dentro do lago.
5º. Período – quarto momento de despoluição correspondente à 96hs – quatro dias.
Na Vasilha 1 – Retirar dois copos da água poluída (400 ml) e descarta no balde.
Na Vasilha 1 – Acrescentar dois copos de água limpa (400 ml) retirado da Vasilha 2.
Mais uma vez, observando que o reservatório depois desse processo ficou apenas com
20 % em relação a sua capacidade inicial.
P(5) = 102,4 – 1
5 •102,4 = 102,4 –
102,4
5 = 102,4– 20,48 = 81,92
Logo restam 81,92 ml do poluente dentro do lago.
6º. Período – quinto momento de despoluição correspondente à 120hs – cinco dias.
Na Vasilha 1 – Retirar dois copos da água poluída (400 ml) e descarta no balde.
Na Vasilha 1 – Acrescentar dois copos de água limpa (400 ml) retirado da Vasilha 2.
Por fim, realizamos o ultimo procedimento da demonstração:
P(6) = 81,92 – 1
5 •81,92 = 81,92 –
81,92
5 = 81,92 – 16,384 = 65,536
Logo, na simulação do lago ao quinto dia apresenta 65,536 ml de poluente,
correspondendo a aproximadamente 3,3% do liquido total do lago-modelo.
Período de 24hs (n) Quantidade de poluentes existente no lago-modelo - P(n) ml
1º Período 1 P(1) = 200
2 º Período 2 P(2) = 200 – 1
5 • 200 = 200 –
200
5 = 200 – 40 = 160
3 º Período 3 P(3) = 160 – 1
5 • 160 = 200 –
160
5 = 160 – 32 = 128
4 º Período 4 P(4) = 128 – 1
5 •128 = 128 –
128
5 = 128 – 25,6 = 102,4
5 º Período 5 P(5) = 102,4 – 1
5 •102,4 = 102,4–
102,4
5 = 102,4– 20,48 = 81,92 ml
6 º Período 6 P(6) = 81,92 – 1
5 •81,92 = 81,92 –
81,92
5 = 81,92 – 16,384 = 65,536
TABELA 9 - DEMONSTRAÇÃO MATEMÁTICA DO MODELO DE DESPOLUIÇÃO
56
Através da visualização da tabela percebemos claramente a progressão geométrica
decrescente de razão 1
5 e a cada processo o total de poluente existente no lago vai diminuindo,
daí pode-se concluir que ao decorrer dos processos de purificação o poluente tenderá a zero.
É notório que a quantidade de poluente retirado do lago-modelo é diferentes em todas
as cinco etapas de despoluição , assim como também a quantidade que permanecem dentro do
lago-modelo, isso é comprovado através da cor da água, acontecendo sem que haja perca da
quantidade de líquido no recipiente.
A modelagem matemática se dar no processo de purificação da água do lago-modelo
(troca de água) em função do tempo (cada troca representa 24hs), do tempo inicial ao fim, há
ocorrência de 20 % da recuperação da água poluída. Permanecendo a seguinte maneira:
P(n + 1) = p(n) – 1
5 • p(n), onde
P(n+1) – representa o total de poluente existe dentro do lago depois do processo de
despoluição
p(n) – quantidade poluente antes do processo
n – tempo.
Registro fotográfico
FIGURA 17 - INÍCIO – IDENTIFICAÇÃO DOS DADOS
FIGURA 18 - POLUIÇÃO DO LAGO
57
FIGURA 19 - PROCESSO DE DESPOLUIÇÃO
FIGURA 20 - REGISTRANDO O PROCESSO DE DESPOLUIÇÃO
Reflexão da atividade
Como em todo experimento, sempre sentimos um pouco de insegurança (frio
na barriga) na execução da atividade, e não tem sido diferente, mas no decorrer da
atividade foi se dissipando a insegurança e obtendo bons resultados na execução do
experimento. Por ter prestado contribuições na escola e na turma onde se passa o
experimento, e entende que o nível de dificuldade em Matemática não é baixo, ou
seja, previa-se que os alunos, em sua maioria, apresentasse pouco entendimento
sofre fração (proporção), foi preparada uma breve explicação sobre proporção com
uso de figuras da página 06 do material (Frações – notas de aula) disponibilizado
pelo professor Benedito (foi de grande ajuda).
A aplicação desse experimento em sala e com a participação do aluno,
estimula o mesmo para os estudos, e essa demonstração desperta interesse e
curiosidade no estudante no intuito de conquistar maiores conhecimento na área
ambiental, conseguiram perceber e compreender através do modelo a visão de
mundo focado na poluição ambiental, e admirado por compreender que a
58
Matemática pode proporcionar o entendimento menos complexo que a própria situação
microbiológica real.
Os grupos realizaram uma boa interação, participando assiduamente das reflexões,
fazendo pergunta acerca do processo do tema, expondo dúvidas sobre a proporção (fração) e
bastantes interessados na participação direta (mão na massa) na simulação do processo de
despoluição do lago-modelo, “Professor realmente tá despoluindo, olha só como está mais
claro”, relata o aluno admirado com a simulação.
Apesar da boa execução na simulação do lago-modelo, percebemos a necessidade de
um conhecimento mais aprofundado em relação aos processos microbiológicos, para que
tivesse havido uma melhor relação do modelo com o real, possibilitando um maior campo de
compreensão para o aluno, a exemplo disso podemos citar uma vídeo-aula ou curto
documentário, em contra partida, a Matemática empregada no contexto, sem a menor dúvida
houve a cobertura para executar mais e melhor o plano proposto, porém ressaltamos sempre
com um bom planejamento, pois algumas vezes despercebemos os alunos que precisam de
melhor atenção.
A cada dia que passa pode-se conferir em jornais, revista, noticiário na TV e na
internet, ainda o crescimento da poluição dos lagos e rios e com essa problemática as
possíveis soluções para a recuperação das águas contaminadas. O experimento trás essa
realidade mundial para dentro da sala de aula e proporciona a compreensão do processo real
de purificação das águas dos rios e lagos pelos organismos vivos, através da simulação de
troca de água poluída por água limpa no lago-modelo.
Com os repetidos processos de simulação para despoluir o lago-modelo, percebemos o
desencadear de 20% do poluente existente no lago-modelo a cada processo de purificação.
Identificando que a cada 24 horas que passa, 1/5 do poluente é extraído e permanecendo 80%.
Assim podemos conferir os resultados:
200; 160; 128; 102,4; 81,92; 65,536; ...
Assim, podemos afirma que a sequência acima é uma Progressão Geométrica (PG),
que decrescente a cada etapa de maneira que tenderá a zero, ou seja, o processo tende a
purificação do lago. Portando, formulamos o modelo matemático:
P(n + 1) = p(n) – 1
5 . p(n)
