Universidade Federal Fluminense Integração Numérica.

Universidade Federal Fluminense

Integração NuméricaIntegração Numérica

0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( )b

n naf x dx w f x w f x w f x



O objetivo da integração numérica (também denominada quadratura numérica) é obter uma aproximação para integrais definidas (com limites de integração finito ou não), singulares e múltiplas de funções reais.

A utilização de técnicas numéricas para avaliar integrais é de grande valia quando:

não conhecemos a expressão da lei da função integrando, somente valores dessa função em pontos do domínio de integração;

o cálculo da função primitiva é trabalhoso e complexo.



1 Integração Numérica sobre um Intervalo Finito

1.1 Integração de Função de uma Variável

As fórmulas de integração numérica são construídas a partir do seguinte problema: encontrar n+1 pesos wi e n+1 pontos de integração xi tais que o erro de truncamento En( f ) se anule se f por um polinômio de grau menor ou igual a um certo número natural m

0

( ) ( ) ( )nb

i i nai

f x dx w f x E f

peso ponto de integração

erro de truncamentoaproximação



1.1.1 Fórmulas de Newton-Cotes

As formulas de Newton-Cotes são obtidas escolhendo-se os pontos de integração eqüidistantes no intervalo de integração, [a,b], ou seja

(h denota a distância entre os pontos), e determinando-se os pesos da integração, wi, pela integração do polinômio de interpolação de f nos pontos

0 [ , ] com 0, 1, 2, ,ix x ih a b i n

, ( ) 0,1,2, . com i ix f x i n

Formulas de Newton-Cotes fechadas: 0 e nx a x b

Formulas de Newton-Cotes abertas: 0 0 ou ou e n nx a x b x a x b

limite inferior de integração limite superior de integração



Fórmulas de Newton-Cotes Fechadas

Regra do Trapézio Simples

(ou Regra Trapezoidal Simples) 0 11 e n x a x b

Qual o valor de w0 e de w1 ?

1

0 1

( )

1 1 1

1 1

: :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

na forma de Lagrange

p xb

b b

o oa aa

b b

o oa a

w w

f x dx p x dx f x L x f x L x dx

f x L x dx f x L x dx

na qual01

0 10 1 1 0

( ) ( ) e x xx x x b x a

L x L xx x a b x x b a

Verificar que: 0 1 2

b aw w



Regra do Trapézio Simples: ( ) ( ) ( )2

b

a

b af x dx f a f b

Exemplo 1:

Estimar o valor da integral

usando a regra do trapézio simples.

1

0

xe dx

1 0 1

0

11,8591

2xe dx e e

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5

xy

1( )y p x

xy e



Teorema 1: Erro da regra do trapézio simples

Se f é 2 vezes diferenciável em [a,b] e f ’’ é contínua em [a,b], então

na qual ( , ).a b

3

:

( )( ) ( ) ( ) ''( )

2 12

T

b

a

E

b a b af x dx f a f b f

derivada de ordem

2 de f

Corolário 1:

Sob as hipóteses do teorema anterior3

2

( )

12T

b aE M

na qual

''2

[ , ]: max ( )

z a bM f z

derivada de ordem

2 de f



Exemplo 2:

Estimar o erro cometido no Exemplo 1.

11( ) ''( ) 0,2265

12Corolário 1: x x

Tf x e f x e E e

OBS:

1 1 0

0

1

0

1,718281,7183 1,8591 0,14080

1,8591

(com 5 casas decimais)

Exemplo 1:

x

Tx

e dx e eE

e dx



Regra do Trapézio Repetida

2

2

( ) ( ) ( )a b

b b

a ba a

f x dx f x dx f x dx

Usando a propriedade da aditividade com respeito ao intervalo de integração da integral definida obtém-se:

Utilizando a regra do trapézio simples obtém-se:

2 ( ) ( ) ( )4 2

a b

a

b a a bf x dx f a f

2

( ) ( ) ( )4 2

b

a b

b a a bf x dx f f b

e

e portanto

( ) ( ) 2 ( ) ( )4 2

b

a

b a a bf x dx f a f f b



ou seja,

2

a ba bh h

0x 1x 2x

x

0 0: : , 1, 2,2

e para com i

b ah x x ih i x a

0 1 2( ) ( ) 2 ( ) ( )2

b

a

hf x dx f x f x f x

Regra do trapézio repetida 2 vezes !!



Vamos generalizar este procedimento. Suponha que pretendemos aplicar a regra do trapézio repetida m vezes para calcular uma aproximação da integral da função f no intervalo [a,b].

Primeiro passo: segmentar o intervalo [a,b] em m subintervalos [xi, xi+1], com

i=0, 1,..., m-1, com comprimentos iguais a h, sendo

0 0: : , 1, 2, , para com i

b ah x x ih i m x a

m

Segundo passo: utilizar a propriedade da aditividade com respeito ao intervalo de integração da integral definida para decompor a integral original na seguinte soma:

11

0

( ) ( )i

i

mb x

a xi

f x dx f x dx



Terceiro passo: usar a regra do trapézio simples para aproximar a integral da função f no intervalo [xi, xi+1], ou seja,

1

1( ) ( ) ( )2

i

i

x

i ix

hf x dx f x f x

Quarto passo: substituir a integral do somatório apresentado no segunda passo pela aproximação obtida no terceiro passo, isto é,

1

10

( ) ( ) ( )2

mb

i iai

hf x dx f x f x

ou seja,

0 1 2 1( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )2

b

m ma

hf x dx f x f x f x f x f x



Exemplo 3:


usando a regra do trapézio repetida 10 vezes.

1

0

xe dx

1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0

0,12 2 2 2 2 2 2 2 2 1,7197

2xe dx e e e e e e e e e e e

1( )y p x

xy e

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5

x

y

1 0: 0,1

10: 0 0,1 , 1,2, ,10

e

para i

h

x i i





Teorema 2: Erro da regra do trapézio repetida

Se f é 2 vezes diferenciável em [a,b] e f ’’ é contínua em [a,b], então

31

1 20

:

( )( ) ( ) ( ) ''( )

2 12

TR

mb

i iai

E

b a b af x dx f x f x f

m m

derivada de ordem

2 de f

Corolário 2:


22

( )

12TR

b aE M

m

na qual

''2

[ , ]: max ( )

z a bM f z

derivada de ordem

2 de f

na qual m é o número de vezes que a regra é repetida, e ( , )a b

0 0: , 1, 2, , , ( ) . para com sendo ix x ih i m x a h b a m



Exemplo 4:


12

1( ) ''( ) 0,0023

12 10Corolário 2: x x

TRf x e f x e E e

OBS:

1 1 0

0

1

0

1,718281,7183 1,7197 0,0014

1,7197


Exemplo 3:

x

TRx

e dx e eE

e dx



Regra 1/3 de Simpson Simples 0 1 22 ,2

e a b

n x a x x b

Qual o valor de w0, de w1 e de w2 ?

2

0 1

( )

2 1 1 2 2

1 1 2 2

: :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

na forma de Lagrange

p xb

b b

o oa aa

b b b

o oa a a

w w

f x dx p x dx f x L x f x L x f x L x dx

f x L x dx f x L x dx f x L x dx

2:w

Verificar quer: 0 1 2

1 4 1,

3 2 3 2 3 2 e

b a b a b aw w w



Regra 1/3 de Simpson Simples: ( ) ( ) 4 ( )6 2

b

a

b a a bf x dx f a f f b

Exemplo 5:


usando a regra 1/3 de Simpson simples.

1

0

xe dx

1 0 0,5 1

0

14 1,7189

6xe dx e e e

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5

xy

2 ( )y p x

xy e




Teorema 3: Erro da regra 1/3 de Simpson simples

Se f é 4 vezes diferenciável em [a,b] e f iv é contínua em [a,b], então

na qual ( , ).a b

5

:

( )( ) ( ) 4 ( ) ( )

6 2 2880

S

b iv

a

E

b a a b b af x dx f a f f b f

derivada de ordem

4 de f

Corolário 3:


4

( )

2880S

b aE M

na qual

4[ , ]

: max ( )iv

z a bM f z

derivada de ordem

4 de f



Exemplo 6:


11( ) ( ) 0,00094

2880Corolário 3: x iv x

Sf x e f x e E e

OBS:

1 1 0

0

1

0

1,718281,7183 1,7189 0,0006

1,7189


Exemplo 5:

x

Sx

e dx e eE

e dx



Regra 1/3 de Simpson Repetida

2

2

( ) ( ) ( )a b

b b

a ba a

f x dx f x dx f x dx

Usando a propriedade da aditividade com respeito ao intervalo de integração da integral definida obtém-se:

Utilizando a regra 1/3 de Simpson simples obtém-se:

2

2 3( ) ( ) 4 ( ) ( )

6 4 2

a b

a

b a a b a bf x dx f a f f

2

2 3( ) ( ) 4 ( ) ( )

6 2 4

b

a b

b a a b a bf x dx f f f b

e

e portanto

3 3( ) ( ) 4 ( ) 2 ( ) 4 ( ) ( )

12 4 2 4

b

a

b a a b a b a bf x dx f a f f f f b



ou seja,

0 0: : , 1, 2,3,4,4

e para com i

b ah x x ih i x a

0 1 2 3 4( ) ( ) 4 ( ) 2 ( ) 4 ( ) ( )3

b

a


Regra 1/3 de Simpson repetida 2 vezes !!

2

a ba bh h

0x 2x 4x

x

1x 3x

3

4

a b3

4

a b

h h



Vamos generalizar este procedimento. Suponha que pretendemos aplicar a regra 1/3 de Simpson repetida m vezes para calcular uma aproximação da integral da função f no intervalo [a,b].

Primeiro passo: segmentar o intervalo [a,b] em 2m subintervalos [xi, xi+1], com

i=0, 1,..., 2m-1, com comprimentos iguais a h, sendo

0 0: : , 1, 2, , 22

para com i

b ah x x ih i m x a

m

Segundo passo: utilizar a propriedade da aditividade com respeito ao intervalo de integração da integral definida para decompor a integral original na seguinte soma:

2

2 21

( ) ( )i

i

mb x

a xi

f x dx f x dx



Terceiro passo: usar a regra 1/3 de Simpson simples para aproximar a integral da função f no intervalo [x2k-2, x2k], ou seja,

2

2 22 2 2 1 2( ) ( ) 4 ( ) ( )

3

i

i

x

i i ix

hf x dx f x f x f x

Quarto passo: substituir a integral do somatório apresentado no segunda passo pela aproximação obtida no terceiro passo, isto é,

2 2 2 1 21

( ) ( ) 4 ( ) ( )3

mb

i i iai

hf x dx f x f x f x

ou seja,

0 1 2 2 1 2( ) ( ) 4 ( ) 2 ( ) 4 ( ) ( )3

b

m ma




Exemplo 7:

Estimar o valor da integral usando a regra 1/3 de Simpson repetida 3 vezes.

1

0

xe dx

3 4 5

6 6 61 2

1 0 16 6

0

14 2 4 2 4

18xe dx e e e e e e e

1 0 1:

6 6

1: 0 , 1,2, ,6

6

e

para i

h

x i i



Teorema 4: Erro da regra 1/3 de Simpson repetida

Se f é 4 vezes diferenciável em [a,b] e f iv é contínua em [a,b], então

5

2 2 2 1 2 41

:

( )( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( )

6 2880

SR

mb ivi i ia

i

E

b a b af x dx f x f x f x f

m m

derivada de ordem

4 de fCorolário 4:


44

( )

2880SR

b aE M

m

na qual

4[ , ]

: max ( )iv

z a bM f z

derivada de ordem

4 de f

na qual m é o número de vezes que a regra é repetida, e ( , )a b

0 0: , 1, 2, , 2 , ( ) 2 . para com sendo ix x ih i m x a h b a m



1.1.2 Quadratura Gaussiana

Os pontos e os pesos de integração da quadratura Gaussiana de p pontos são calculados para que

na qual é uma função polinomial arbitrária de grau 2p-1 ou menor.f̂

11

10

ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( )p

i ii

f x dx w f x

Por exemplo, os pontos e os pesos de integração da quadratura Gaussiana de 2 pontos devem verificar a seguinte igualdade

11 2 3 2 3

0 1 2 3 0 1 2 310

ˆ ˆˆ ˆ( ), ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

função polinomial de grau 3 i

i i i ii

f x f x

x x x dx w x x x

, 0,1, 2,3. com i i para todos



Colocando em evidência os obtém-se a seguinte igualdade, equivalente a anterior:

i

1 1

0 1 0 0 0 1 1 11 1

1 12 2 2 3 3 30 0 1 1 2 0 0 1 1 31 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0

w w dx w x w x x dx

w x w x x dx w x w x x dx

, 0,1, 2,3. com i i para todos Logo,

1

0 1 1

1

0 0 1 1 1

0 1 1 012 2 20 0 1 1 1

13 3 30 0 1 1 1

ˆ 2

ˆ ˆ ˆ ˆ 03

ˆ ˆ12 3ˆ ˆ ˆ ˆ3

ˆ ˆ ˆ ˆ 0

solução e

w w dx

w x w x x dxw w x x

w x w x x dx

w x w x x dx


Integração NuméricaIntegração NuméricaPontos de Integração Pesos de Integraçõ

1 ponto 0,00000 00000 00000 2,00000 00000 00000

2 pontos +/- 0,57735 02691 89626 1,00000 00000 00000

3 pontos 0,00000 00000 00000 0,88888 88888 88889 +/- 0,77459 66692 41483 0,55555 55555 55556

4 pontos +/- 0,33998 10435 84856 0,65214 51548 62546 +/- 0,86113 63115 94053 0,34785 48451 37454

5 pontos 0,00000 00000 00000 0,56888 88888 88889 +/- 0,50846 93101 05683 0,47862 86704 99366 +/- 0,90617 97459 38664 0,23692 68850 56189

6 pontos +/- 0,23861 91860 83197 0,46791 39345 72691 +/- 0,66120 93864 66265 0,36076 15730 48139 +/- 0,93246 95142 03152 0,17132 44923 79170

7 pontos 0,00000 00000 00000 0,41795 91836 73469 +/- 0,40584 51513 77397 0,38183 00505 05119 +/- 0,74153 11855 99394 0,27970 53914 89277 +/- 0,94910 79123 42759 0,12948 49661 68870

8 pontos +/- 0,18343 46424 95650 0,36268 37833 78362 +/- 0,52553 24099 16329 0,31370 66458 77887 +/- 0,79666 64774 13627 0,22238 10344 53374 +/- 0,96028 98564 97536 0,10122 85362 90376

OBS:

Os pontos e pesos de integração das quadraturas Gaussianas são determinados a partir de polinômios de Legendre, sem a necessidade de se resolver sistemas de equações não-lineares.



Como proceder quando os limites de integração não são -1 e 1 ?

Usar a seguinte mudança de variável na integral:2( )

ˆ : ( ) : 1x a

x g xb a

na qual a e b são, respectivamente, o limite inferior e superior de integração. Logo,

1 ˆ(1 )( )ˆ ˆ( )

2 2 e

x b a b ax g x a dx dx

e portanto

1 1

1ˆ:

ˆ ˆ( ) ( )( )2

b

a

f

b af x dx f g x dx



Exemplo 8:

Estimar o valor da integral usando a quadratura Gaussiana de 2 pontos.1

0

xe dx

1 ˆ(1 )

1 2

0 ˆ ˆ(1 )( ) (1 )ˆ( )

ˆ1 2 2 ( )

( )

x

x

a x b a xx g x a

b f g x e

f x e

Temos que:

Logo,

ˆ ˆ0 1

0 1

3 31 1

3 3ˆ11 1

2 2 2

0 1

1 1ˆ 1 1 1,7179

2 2

x x

xx

w w

e dx e dx e e



Teorema 5: Erro da quadratura Gaussiana

2 1 411 (2 )

310

:

2 ( !)ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )(2 1) (2 )!

Quadratura Gaussianade pontos G

ppp

i ii

Ep

pf x dx w f x f

p p

derivada de ordem

2p

Corolário 5:

Sob as hipóteses do teorema anterior

na qual

( 2 )

2 ˆ [ 1,1]

ˆ ˆ: max ( )p

pz

M f z

derivada de ordem

2p

na qual ( 1,1).

Se é 2p vezes diferenciável em [-1,1] e é contínua em [-1,1], então f̂ (2 )ˆ pf

2 1 4

23

2 ( !)

(2 1) (2 )!

p

G p

pE M

p p



Exemplo 9:


OBS:1 1 0

0

1

0

1,718281,7183 1,7179 0,0004

1,7179


Exemplo 8:

x

Gx

e dx e eE

e dx

ˆ ˆ(1 ) (1 )

1 2 21ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) : ( ) ( )

16

x xivf x f g x e f x e

5 4

3

2 20,0013

165 4!Corolário 5: G

eE

(1 1)

24 ˆ [ 1,1]

1ˆ ˆ: max ( ) 0,1698916

iv

zM f z e



1.2 Integração de Função de mais de uma Variável

Regra do Trapézio Simples para Integral Dupla

( , ) ( , ) ( , )2

Regra do Trapézio

b d b

a c a

d cf x y dy dx f x c f x d dx

Notamos que:

Mas

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,2 2

b b b

a a a

d c d cf x c f x d dx f x c dx f x d dx

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )2 2

e b b

a a

b a b af x c dx f a c f b c f x d dx f a d f b d

Portanto

( )( )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

4

b d

a c

b a d cf x y dy dx f a c f a d f b c f b d



Regra do Trapézio Repetida para Integral Dupla

0 0: : , 0,1, , ( ) para com xx i x x m

x

b ah x x ih i m x a x b

m

0 0: : , 0,1, , ( ) para com yy i y y m

y

d ch y y ih i m y c y d

m

0 0 0 0

1 1 1 1

0 01 1 1 1

1

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )4

2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

4

y x x y

y y x x

x y

b d x ym m m ma c

m m m m

j m j i i mj j i i

m

i

h hf x y dy dx f x y f x y f x y f x y

f x y f x y f x y f x y

11

1

( , )yx

m

i jj

f x y



Regra 1/3 de Simpson Simples para Integral Dupla

( , ) ( , ) 4 , ( , )6 2

Regra 1/3 de Simpson

b d b

a c a

d c c df x y dy dx f x c f x f x d dx

Notamos que:

Mas

( , ) 4 , ( , ) ( , ) 4 ,

6 2 6 2

( , ) ,

b b b

a a a

b

a

d c c d d c c df x c f x f x d dx f x c dx f x dx

f x d dx

( , ) ( , ) 4 ( , ) ( , ) ,6 2

( , ) ( , ) 4 ( , ) ( , )6 2

( , ) ( , ) 4 ( , ) ( , )2 6 2 2 2 2

e

b

a

b

a

b

a

b a a bf x c dx f a c f c f b c

b a a bf x d dx f a d f d f b d

c d b a c d a b c d c df x dx f a f f b



Portanto

( )( )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

36

4 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )2 2 2 2

16 ( , )2 2

b d

a c

b a d cf x y dy dx f a c f a d f b c f b d

a b a b c d c df c f d f a f b

a b c df

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