UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL

DIRETORIA ACADÊMICA

CURSO DE MATEMÁTICA LICENCIATURA

TÓPICOS DE GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL

O MODELO DE DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO DE VAN

HIELE

Carmen Teresa Kaiber1

Introdução

Apresentam-se, aqui, aspectos teóricos do chamado modelo do

desenvolvimento do pensamento geométrico de Van Hiele, acompanhados, sempre

que possível, de exemplos, com o intuito de permitir um melhor entendimento do que

está sendo apresentado. Tais exemplos vão se referir a aspectos conceituais do

conhecimento geométrico que vão ser desenvolvidos ao longo dos estudos de Tópicos

de Geometria Plana e Espacial, o que indica a pertinência do presente texto ser

constantemente revisitado.

O modelo de desenvolvimento do pensamento geométrico de van Hiele foi

proposto a partir das teses de doutorado de Dina Van Hiele-Geoldof e Pierre Van Hiele

finalizadas simultaneamente na Holanda. Os trabalhos dos van HIele emergiram da

percepção das dificuldades que seus alunos do curso secundário apresentavam em

relação ao aprendizado da Geometria. De acordo com Crowley (1994) como Dina

faleceu pouco depois de apresentar sua tese, foi Pierre quem deu continuidade a

teoria, aperfeiçoando-a. Segundo a autora o modelo pode ser usado tanto para avaliar

as habilidades dos alunos no que se refere à Geometria, como também, para orientar

o trabalho dos professores. Nesse sentido, o modelo assume um caráter tanto

explicativo e descritivo, como prescritivo.

1 Doutora em Ciências da Educação pela Universidade Pontifícia de Salamanca/Espanha. Professora do Curso de Matemática e do Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Universidade Luterana do Brasil.

O modelo dos Van Hiele foi constituído baseado na valorização da

aprendizagem da Geometria considerando uma evolução gradual, global e

construtiva. A evolução é considerada gradual, no sentido de que os Van Hiele

apontam que linguagem, raciocínio e intuição geométricos são adquiridos de forma

gradativa; é considerada global uma vez que definições e propriedades se relacionam,

considerando níveis que conduzem a significados distintos; é construtiva por

apontarem o destacado papel do estudante nas aprendizagens e na apropriação dos

conhecimentos (NASSER, 1992; CROWLEY, 1994).

Lopes e Nasser (1997) indicam que a ideia preliminar do modelo indica que os

alunos progridem a partir de uma sequência de níveis de compreensão de conceitos

aos quais os estudantes vão ascendendo durante o tempo em que aprendem

Geometria, sendo que cada nível se caracteriza por relações entre objetos de estudo

e linguagem próprios.

O modelo de Van Hiele do desenvolvimento do pensamento geométrico está

articulado em torno níveis de compreensão, propriedades do modelo e fases de

aprendizado. Os níveis em número de cinco – visualização, análise, dedução informal,

dedução formal e rigor - estabelecem as especificidades do processo do pensamento

geométrico. As propriedades do modelo, também, em número de cinco – sequencial,

avanço, intrínseco e extrínseco, linguística e combinação inadequada – destacam as

generalidades do modelo. Já nas fases do aprendizado - informação, orientação

dirigida, explicação, orientação livre e integração - os Van Hiele destacam que o

progresso ao longo dos níveis depende mais do ensino recebido do que da idade ou

maturidade (CROWLEY, 1994) o que põe em destaque métodos, estratégias e

recursos ao longo do processo de ensino e aprendizagem. No que segue, são

presentados os níveis, propriedades e fases do modelo.

1 O modelo de Van Hiele – Níveis

Crowley (1994) pondera que, apoiado em experiências educativas apropriadas,

o modelo preconiza que os estudantes percorrem de modo sequencial níveis, a partir

do nível inicial (visualização), no qual o espaço é apenas observado e as propriedades

dos objetos não são postas em jogo, até o nível mais elevado (rigor), o qual se refere

a aspectos formais dedutivos envolvendo o conhecimento geométrico. Como já

destacado o modelo prevê cinco níveis de compreensão do conhecimento geométrico:

visualização ou reconhecimento, análise, dedução informal, dedução, rigor. A

caracterização e exemplificação de cada um dos níveis será aqui apresentada

tomando como referência Crowley (1994) e Nasser; Sant’Anna (2010).

Assim, no denominado Nível 12 – Visualização, os alunos percebem o espaço

como algo que existe no entorne deles, sendo que “Os conceitos da geometria são

vistos como entidades totais, e não como entidades que têm componentes ou

atributos” (CROWLEY, 1994, p.2). Assim, nesse nível os estudantes reconhecem

visualmente objetos geométricos por sua aparência física, entendendo-os de maneira

global e não por suas partes ou propriedades; reconhecem no meio físico, por

exemplo, as formas geométricas, associando-as a uma denominação que não

necessariamente é a padrão. Um aluno nesse nível consegue aprender um

vocabulário geométrico, identificar formas e, dada uma figura consegue reproduzi-la,

porém, como preconiza o modelo, não consegue perceber propriedades que permitam

distinguir os objetos. Como exemplo de atividade nesse nível, apresenta-se a

colocada em destaque na Figura 1.

Figura 1 – Atividade identificação de figuras geométricas

Um estudante que reconhecesse as figuras planas e não planas a partir da

semelhança com figuras já vistas anteriormente, sem identificar que uma classe de

figuras é bidimensional e a outra tridimensional, estaria atuando no nível 1. A

denominação das figuras não necessariamente seria a usual, podendo ser utilizado,

por exemplo, “cano” para um cilindro, “bola” para uma esfera e mesmo “triângulo” para

2 Na literatura os níveis são enumerados de duas diferentes formas, de 0 a 4 ou de 1 a 5. Estamos,

aqui, adotando a numeração apresentada por Nasser; Sant’Anna (2010), de 1 a 5.

uma pirâmide. Porém, o estudante já tem condições de se apropriar da denominação

adequada.

Crowley (1994, p.2-3) destaca um exemplo nesse nível, que aqui é reproduzido.

a partir da Figura 2.

Figura 2 - Quadrados e retângulos

Fonte: Crowley (1994)

De acordo com a autora um aluno no nível de visualização teria condições de

reconhecer que há quadrados em (a) e retângulos em (b) porque essas figuras têm

formas similares às de quadrados e retângulos já vistos anteriormente. Porém, não

reconheceria que as figuras têm ângulos retos, que os lados opostos são paralelos ou

que nos quadrados os quatro lados são congruentes.

No Nível 2 – Análise, inicia-se uma análise dos conceitos geométricos. De

acordo com Crowley (1994) é possível, por exemplo, por meio da observação e

experimentação, diferenciar as características das figuras geométrica, surgindo as

propriedades que são utilizadas para reconhecer classes de figuras. Assim, as figuras

não são mais vistas por sua aparência global, mas há o reconhecimento de que as

figuras têm partes, sendo reconhecidas por estas.

Como exemplo, destaca-se, na Figura 3, uma atividade a partir da qual se

busca identificar a propriedade de que ângulos opostos pelo vértice são congruentes,

considerando a construção, recorte e sobreposição de ângulos opostos pelo vértice.

Figura 3 – Atividade ângulos opostos pelo vértice

Um outro exemplo referente a esse nível é apresentado por Crowley (1994). A

autora destaca que, dada uma rede de paralelogramos os estudantes, ao identificar

ângulos congruentes, poderiam chegar ao entendimento que ângulos opostos de um

paralelogramo são congruentes, conforme apresentado na Figura 4.

Figura 4 – Rede de paralelogramos

Fonte: Crowley (1994)

De acordo com a autora, após um trabalho com vários desses exemplos, seria

possível fazer generalizações para a classe dos paralelogramos. Porém, destaca que

“alunos deste nível ainda não são capazes de explicar relações entre propriedades,

não veem inter-relações entre figuras e não entendem definições” (CROWLEY, 1994,

p.3)

O Nível 3 – Dedução Informal, se caracteriza pela possiblidade de se

estabelecer as relações que não ocorriam no nível anterior. Os alunos já conseguem

estabelecer relações dentro de uma figura como, por exemplo, estabelecer que se em

um quadrilátero os lados opostos são paralelos, os ângulos opostos são congruentes,

necessariamente. Conseguem, também, estabelecer relações entre figuras como, por

exemplo, um quadrado é um retângulo porque tem todas as propriedades do retângulo

(CROWLEY, 1994). Desse modo é possível deduzir propriedades de uma figura e

reconhecer classes de figuras, sendo que a inclusão de classes é compreendida.

Ainda, as definições adquirem significado e os alunos são capazes de acompanhar e

formular argumentos informais.

Atividades e situações de domínio nesse nível, referem-se, por exemplo, ao

estudante ser capaz de estabelecer a inclusão de classes entre quadriláteros

convexos tal como apresentado na Figura 5.

Figura 5 – Relação de inclusão entre quadriláteros convexos

Fonte: Nasser e Sant’Anna (2010)

Porém, tais relações só podem ser construídas pelos estudantes, de acordo

com o que o que preconiza o próprio modelo, a partir de atividades estruturadas e

organizadas para tal como, por exemplo, atividade apresentada na Figura 6.

Figura 6 –Exemplo de atividade

Fonte: adaptado de Nasser e Sant’Anna (2010)

Porém, de acordo com Crowley (1994, p.3) neste nível os estudantes ainda

“não compreendem o significado da dedução como um todo ou o papel dos axiomas”.

Ainda, de acordo com a autora, os estudantes são capazes de acompanhar

demonstrações formais, mas não são capazes de realizar uma prova formal partindo

de “premissas diferentes ou não familiares.” (p.4).

Um exemplo de prova que os estudantes, em princípio, são capazes de

acompanhar é apresentada na Figura 7 e refere-se a justificar que a soma da medida

dos ângulos internos de um triângulo é 180º.

Figura 7 – Atividade envolvendo a soma dos ângulos de um triângulo

Entende-se que ao acompanhar essa prova, que já de início indicava o que

poderia ser usado como argumentação (as proposições que envolvem paralelas

cortadas por transversal), bem como a indicação do traçado da paralela a um dos

lados do triângulo, o estudante possa, a partir de uma análise da argumentação

construída, não só acompanhar a demonstração, mas também, ir se apropriando de

como se constrói uma argumentação tomando como referência proposições e

axiomas.

Ainda, no caso da atividade apresentada na Figura 7, uma maneira de

possibilitar ao estudante participar da construção da demonstração é omitir passos,

como destacado na Figura 8.

Figura 8 – Atividade envolvendo demonstração

No Nível 4 – Dedução, o significado da dedução como uma maneira de

estabelecer uma teoria geométrica é compreendido dentro de um sistema axiomático.

São percebidos os papeis de axiomas, definições, teoremas e demonstrações.

Demonstrações formais são construídas, e não apenas memorizadas, sendo admitida

a possibilidade de desenvolvê-las de mais de uma maneira; distinção entre uma

afirmação e sua recíproca; são compreendidas condições necessárias e suficientes.

Como exemplo de atividade desse nível destaca-se, por exemplo, a utilização

da congruência de triângulos para demonstrar que em um triângulo isósceles a

mediana relativa à base é, também, a bissetriz do ângulo oposto a ela.

Por fim, o Nível 5 – Rigor, refere-se a compreensão e comparação de sistemas

baseados em diferentes sistemas geométricos ou axiomas, sendo a Geometria vista

em um plano abstrato. Neste nível as Geometrias não Euclidianas não só são

compreendidas como também seus teoremas são demonstrados e comparados.

Crowley (1994) destaca que poucos estudantes alcançam esse último nível

pois, via de regra, os cursos de Geometria não chegam a ele. Particularmente, é

possível conjecturar que na Educação Básica o trabalho com a Geometria avance, no

máximo, ao Nível 3 - DeduçãoIinformal, sendo que a dedução formal (Nível 4) não se

constitui em objeto de estudo nos Ensinos Fundamental e Médio.

O estudo em Tópicos de Geometria Plana e Espacial, pretende avançar apenas

até o Nível 3 - Dedução Informal, avançando, eventualmente, para a dedução formal

apenas para o entendimento de como a mesma se estrutura. Aspectos de Geometrias

não Euclidianas vão ser estudados (o que, em princípio indicaria um estudo no nível

do rigor), porém limitados a uma apresentação do contexto em que começaram a se

constituir e, em particular, algumas das suas proposições o que, de modo nenhum

permite que se enquadre o estudo no nível do rigor, sequer do nível de dedução

formal.

Ainda no que se refere aos níveis do modelo de Van Hiele, Nasser (1992)

aponta que um aluno pode mostrar estratégias características de dois níveis diferentes

em tópicos distintos da Geometria, sendo possível transitar entre um nível e outro

imediatamente anterior ou posterior durante a resolução de uma mesma atividade. De

acordo com Nasser e Sant’Anna (2010) pesquisas indicam que o estudante pode,

também, apresentar raciocínio de um nível ainda que não tenha atingido

completamente o nível imediatamente anterior, embora o modelo preconize que o

aluno só avança para o próximo nível se tiver domínio dos níveis anteriores.

Importante chamar a atenção que não é a natureza da atividade que estabelece

o nível de desenvolvimento do pensamento geométrico. O que caracteriza o nível da

resposta é o modo de pensar do aluno que o leva a produzir determinadas respostas.

Nasser e Sant’Anna (2010) para ilustrar essa questão apresentam um exemplo que

aqui é reproduzido na Figura 9.

Figura 9 – Níveis de Van Hiele - exemplo de atividade

Fonte: Nasser e Sant’Anna (2010)

Em sua análise as autoras destacam que o aluno X tem a imagem conceitual

do retângulo apenas em uma posição e não identifica que a figura C também é um

retângulo, não atingindo o ní2 vel básico. O aluno Y consegue reconhecer as duas

figuras que representam um retângulo mas, de acordo com as autoras, não fica claro

se baseou-se apenas na aparência global (nível de visualização), ou se reconheceu

os quatro ângulos retos e os lados opostos paralelos, que seriam características de

raciocínio do nível de análise. Já o aluno Z, além de reconhecer como retângulos as

figuras C e E, percebeu que o quadrado B também é um retângulo, o que é

característica do nível de dedução informal.

Destaca-se, mais uma vez, que o modelo de Van Hiele pressupõe que o avanço

do estudante depende mais de uma aprendizagem adequada do que da idade ou da

maturidade do aluno, uma vez que a passagem para outro nível ocorre pela

experiência com atividades adequadas e ordenadas, organizadas pelo professor. No

que segue são destacadas as propriedades ou características do modelo e, em

seguida, as fases de aprendizagem.

2 Características do Modelo

O modelo apresenta propriedades ou características que auxiliam os

professores na tomada de decisões referentes ao ensino da Geometria, as quais, de

acordo com Crowley (1994) são: sequencial, avanço, intrínseco e extrínseco,

linguística e combinação inadequada.

Segundo a autora, o modelo é apresentado como sequencial pois, para chegar

a um nível mais avançado, o aluno deve passar por todos os níveis anteriores a este.

No que se refere ao avanço de um nível para outro, o modelo preconiza que o mesmo

independe da idade, pois está relacionado ao conteúdo e aos métodos de instruções

que o aluno recebeu. Tais conteúdos e métodos podem tanto intensificar o avanço

como retardá-lo e, até mesmo, impossibilitar a progressão. Já sobre o intrínseco e

extrínseco, um objeto intrínseco em um nível é extrínseco ao outro nível, ou seja, um

objeto que em um nível está sendo dominado de forma intuitiva, no nível posterior

pode se consolidar. A linguística refere-se ao fato que existem níveis distintos de

símbolos linguísticos e sistemas de relações que unem os símbolos, os quais estão

atrelados aos níveis. Por fim, a combinação inadequada, refere-se ao fato que, se o

nível das aulas estiver mais elevado do que o nível do pensamento geométrico dos

alunos, o avanço não irá ocorrer.

3 Fases de Aprendizagem

O modelo prevê, para cada nível, cinco fases sequenciais de aprendizagem,

sendo que o aluno evolui para o próximo nível quando chegar ao final da quinta fase

(CROWLEY, 1994), sendo elas: fase de informação, orientação dirigida, explicação,

orientação livre e de integração.

A primeira fase é de informação sobre os objetos de estudo, momento em que

professor e alunos conversam sobre o que será estudado; a segunda, de orientação

dirigida, os estudantes exploram o conteúdo por meio de atividades que o professor

elegeu e classificou, desenvolvendo atividades relativas aos objetos de estudo do

nível em questão; a fase de explicação é o momento em que, tomando como base as

estruturas ressaltadas, os alunos expressam seus pontos de vista e os transformam,

momento no qual o professor deve orientar os alunos quanto a utilização da linguagem

adequada; na fase de orientação livre é quando os alunos buscam saídas adequadas

para tarefas mais complexas e, pelas soluções encontradas por eles, acabam

compreendendo as relações estabelecidas acerca dos objetos de estudo; por fim, na

fase de integração, o aluno, auxiliado pelo professor, pode revisar e sintetizar o que

aprendeu tendo uma visão ampla do sistema de objetos e relações do nível atingido.

Ao término da quinta fase, os alunos passam para um novo nível de pensamento, o

antigo nível de raciocínio é substituído por um novo nível, e assim os alunos estão

aptos a refazerem as fases de aprendizado no próximo nível (CROWLEY,1994;

NASSER E SANT’ANNA, 2010)

Nasser e Sant’Anna (2010) ressaltam que as fases descritas no modelo podem

ocorrer concomitantemente e em diferentes ordens, no entanto, a última fase só deve

ocorrer, após as anteriores terem sido desenvolvidas, pois as anteriores fornecem a

estrutura necessária para que a aprendizagem ocorra.

De acordo com o modelo de Van Hiele, o professor deve ter cuidado ao

selecionar as atividades, uma vez que o método, o conteúdo, os materiais utilizados

e a organização das instruções são relevantes na prática pedagógica e o professor

tem um papel de destaque no modelo.

Referências

CROWLEY, Mary L. O modelo Van Hiele de desenvolvimento do pensamento

geométrico. In: LINDQUIST, M.M, SHULTE, A.P. (orgs.) trad. DOMINGUES, H.H. Aprendendo e Ensinando Geometria. São Paulo: Atual, 1994.

LOPES, Maria L.M. L. NASSER, Lilian. Geometria na Era da Imagem e do Movimento. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática/UFRJ, 1997.

NASSER, Lilian. Níveis de van Hiele: uma explicação definitiva para as dificuldades em geometria? Boletim GEPEM (USU), Rio de Janeiro, v. 29, p. 33-38, 1992.

NASSER, Liliam. SANT’ANNA Neide.F.P. Geometria segundo a teoria de Van Hiele. 2. ed. rev. Rio de Janeiro: IM/UFRJ, 2010.