UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

DETERMINAÇÃO COMPUTACIONAL DO FACTOR DE INTENSIDADE DE TENSÕES EM

FENDAS NA VIZINHANÇA DE ENTALHES

Cleidy Correia de Castro Monteiro (Licenciado)

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Mecânica

Júri

Presidente: Prof. Nuno Manuel Mendes Maia

Orientador: Prof.ª Virgínia Isabel Monteiro Nabais Infante

Co-orientador: Professor Doutor Carlos Augusto Gomes de Moura Branco

Vogais: Prof. Ricardo António Lamberto Duarte Cláudio

SETEMBRO 2007

à Adalgisa, aos meus Pais e aos meus irmãos

i

Resumo As superligas de níquel são largamente utilizadas em equipamentos que trabalham a alta

temperatura (turbina a gás, etc). Pelo que é importante conhecer o seu comportamento em condições

de fadiga a alta temperatura. O principal objectivo do presente estudo é determinar numericamente o

factor de intensidade de tensões (K) e o integral J de fendas de canto e de geometria rectilínea que

se propagam a partir de entalhes em provete double-U, em condições da Mecânica da Fractura

Linear Elástica, utilizando como ferramenta o código comercial de análise por elementos finitos,

Zencrack. Este estudo de carácter computacional foi implementado com base em resultados

experimentais previamente obtidos em ensaios de fadiga a alta temperatura (650ºC) envolvendo

provetes com dois entalhes semi-circulares (do tipo double-U) de uma superliga de níquel

recentemente desenvolvida.

Para que se conheça o comportamento à fadiga de um determinado material torna–se

necessário conhecer a variação de alguns parâmetros da Mecânica da Fractura tais como: o integral

J e K. Assim, foram obtidas as distribuições de tensões no provete double-U, soluções numéricas de

K para o provete com fenda elípticas de canto e rectilíneas, pois são estas as formas geométricas da

frente de fenda normalmente obtidas em condições de fadiga a alta temperatura nos provetes

ensaiados em laboratório. São apresentadas três soluções para o factor de intensidade de tensão:

K45º e K90º para fendas de canto com geometria elíptica e K para fendas rectilíneas.

Os resultados aqui obtidos foram comparados com as soluções teóricas existentes na

literatura, nomeadamente as soluções de Pickard (1986) e de Newman e Raju (1986), havendo uma

diferença aceitável dado as condições da malha impostas pelo Zencrack (ferramenta utilizada) e a

geometria do provete double-U.

Palavras – Chave: provete double – U; método dos elementos finitos; mecânica da fractura, factor de intensidade de tensões; entalhes

ii

Abstract

Nickel base superalloy are widely used in equipments that work under high temperatures

(such as gas turbines). Therefore, it is important to know how this material behaves under high

stresses and high temperatures. The main objective of this study is to determine numerically the

stress intensity factor (K), and J integral related with corner cracks and rectilinear crack fronts that

propagate from notches in double-U specimens, within the domain of Linear elastic Fracture

Mechanics (LEFM), by using the finite element analysis software Zencrack. This study is based on

previous high temperature fatigue tests (650ºC) done in double-U notch specimens made of a recent

nickel base superalloy.

In order to evaluate the fatigue behaviour of this kind of material, it is really necessary to know

the variation of some common Fracture Mechanics parameters, such as J integral and stress intensity

factor K. Thus, stress distribution has been obtained in the double U notch specimen, as well as

numeric solutions of K for the crack front geometries with rectilinear and corner crack shapes, since

these are those normally obtained under fatigue conditions at high temperature. Three solutions are

herein presented: K45º, K90º for corner cracks with elliptic geometry, and K for rectilinear cracks.

The obtained results have been compared with some classic solutions existing in literature,

namely those related with Pickard (1986) and Newman and Raju (1986), showing some acceptable

differences due to the mesh conditions imposed by both Zencrack (used tool) and the specific

specimen geometry.

Keywords: double U notch specimen; finite element method; fracture mechanics; stress intensity factor; notch

iii

Agradecimentos

Desejo expressar aqui os meus agradecimentos a todas as pessoas e entidades que

contribuíram para a realização deste trabalho, em especial:

o Aos meus orientadores, Prof. Dr.ª Virgínia Infante e Prof. Dr. Carlos Moura Branco, por me

terem dado a oportunidade de realizar este estudo, pelo trabalho de revisão efectuado e pela

preocupação que mostraram desde o inicio do estudo;

o Ao Prof. José Miguel Silva, pela sua dedicação, atenção e apoio prestado a todos os níveis;

o Ao Instituto Superior Técnico, aos Docentes em geral e aos meus colegas por me apoiarem

ao longo da dissertação;

o À Total E&P Angola, Luanda – Angola, pelo apoio financeiro concedido através do contrato

de bolsa de estudos que me atribuiu em Agosto de 2003;

o Ao Sr. Samões pela dedicação, material e apoio dado ao longo da dissertação;

o À Zentech, Reino Unido, pelo elevado número de dúvidas que responderam relacionados

com o software Zencrack;

o Aos meus pais, que muito lhes devo por me educarem e pelo número de oportunidade que

me dão sempre que erro;

o Aos meus irmãos, por entenderem o motivo da minha ausência ao longo deste estudo e da

minha formação;

o Ao Eng.ºDaniel Vaz, pela ajuda prestada durante a realização do trabalho;

o À Adalgisa Costa e aos meus amigos pelo apoio moral e força, durante a realização do

estudo e pela compreensão do tempo dedicado a este.

iv

Índice Analítico Resumo .....................................................................................................................................................i

Abstract.....................................................................................................................................................ii

Agradecimentos....................................................................................................................................... iii

Índice Analítico ........................................................................................................................................iv

Índice de tabelas ....................................................................................................................................vii

Índice de figuras .................................................................................................................................... viii

Nomenclatura ..........................................................................................................................................xi

Símbolos gregos......................................................................................................................................xi

Abreviaturas ...........................................................................................................................................xii

Capítulo 1: Introdução e Objectivos ........................................................................................................ 1

1.1 Introdução .............................................................................................................................. 1

1.2 Objectivos............................................................................................................................... 2

1.3 Estrutura da Dissertação........................................................................................................ 3

Capítulo 2: Revisão bibliográfica............................................................................................................. 5

2.1 Superligas de níquel .................................................................................................................... 5

2.2 Propagação de fendas por fadiga a altas temperaturas.............................................................. 7

2.3 Introdução à Mecânica da Fractura ........................................................................................... 11

2.3.1 Alguns conceitos relativos à Mecânica da Fractura Linear Elástica .................................. 12

2.3.2 Factor de Concentração de Tensões ................................................................................. 23

2.3.3 Cálculo energético baseado no integral J ........................................................................... 24

2.4 Efeito dos entalhes na fadiga..................................................................................................... 26

2.4.1 Efeito da espessura ............................................................................................................ 26

2.4.2 Modelos para prever o efeito dos entalhes ........................................................................ 29

2.4.2.1 Modelo da mecânica da fractura................................................................................. 29

2.4.3 Comportamento de fendas pequenas ................................................................................. 30

Capitulo 3: Modelação computacional do provete double – U para obtenção do Integral J e o Factor

de intensidade de tensões..................................................................................................................... 34

3.1 Método dos elementos finitos .................................................................................................... 34

3.2 Criação de um modelo de elementos finitos.............................................................................. 34

3.3 Tipos de análises ....................................................................................................................... 35

3.3.1 Análise Dinâmica/Estática ................................................................................................... 35

3.3.2 Análise Linear/não linear .................................................................................................... 35

3.4 Descrição do software ABAQUS ............................................................................................... 36

3.4.1 Componentes de um modelo da análise de ABAQUS....................................................... 37

3.4.2 Geometria ........................................................................................................................... 37

3.4.3 Propriedades do elemento da secção ................................................................................ 38

3.4.4 Dados dos materiais ........................................................................................................... 38

3.4.5 Cargas e condições fronteira.............................................................................................. 38

v

3.4.6 Tipo de dados a serem obtidos como output ..................................................................... 38

3.5 Introdução ao ABAQUS/CAE..................................................................................................... 38

3.5.1 Componentes da janela principal ....................................................................................... 39

3.5.2 Módulos do ABAQUS ......................................................................................................... 39

3.5.2.1 Peça (Part) .................................................................................................................. 40

3.5.2.2 Propriedades (Property) .............................................................................................. 40

3.5.2.3 Montagem (Assembly) ................................................................................................ 40

3.5.2.4 Etapa (Step) ................................................................................................................ 40

3.5.2.5 Interacção (Interaction) ............................................................................................... 41

3.5.2.6 Cargas (Load).............................................................................................................. 41

3.5.2.7 Malha (Mesh)............................................................................................................... 41

3.5.2.8 Trabalho (Job) ............................................................................................................. 44

3.5.2.9 Visualização (Visualization)......................................................................................... 44

3.5.2.15 Esboço (Sketch) ........................................................................................................ 44

3.5.3 Módulo específico da mecânica da fractura no ABAQUS.................................................. 44

3.5.3.1 Criação da frente de fenda.......................................................................................... 44

3.5.3.2 Definição da ponta de fenda ou linha de fenda........................................................... 45

3.5.3.3 Singularidade............................................................................................................... 46

3.6 Considerações sobre o software Zencrack................................................................................ 47

3.6.1 Como trabalhar com o Zencrack ........................................................................................ 48

3.6.2 Interface com o software de EF ABAQUS ..................................................................... 50

3.6.3 Livraria de blocos de fendas do tipo “Crack–Blocks” ..................................................... 51

3.6.4 Exemplo de Aplicação ........................................................................................................ 57

Capitulo 4: Apresentação e análise dos resultados .............................................................................. 60

4.1 Provete double – U .................................................................................................................... 60

4.1.1 Material “Superliga de níquel RR1000” .............................................................................. 61

4.1.2 Carregamento..................................................................................................................... 62

4.1.3 Condições de Fronteira ...................................................................................................... 62

4.2 Cálculo numérico de K e do Integral J ....................................................................................... 63

4.2.1 Simplificações na análise do provete pelo MEF................................................................. 63

4.2.2 Malha de Elementos finitos................................................................................................. 63

4.2.3 Distribuição de tensões ...................................................................................................... 64

4.2.4 Resultados de K e Integral J............................................................................................... 66

4.2.4.1 Resultados de K e integral J para Fendas circulares......................................... 67

4.2.4.2 Resultados de K e integral J para Fendas elípticas ........................................... 68

4.2.4.3 Resultados de K e integral J para fendas rectilíneas.................................................. 70

4.2.4.3 Solução adimensional para fendas elípticas ...................................................... 73

4.24.5 Solução adimensional para fendas rectilíneas ....................................................... 74

Capítulo 5: Discussão dos Resultados.................................................................................................. 76

i) Influências do Zencrack nos resultados........................................................................................ 76

vi

ii) Geometria do provete e simplificação...................................................................................... 76

Capítulo 6: Conclusões e Propostas para trabalhos futuros................................................................. 78

6.1 Conclusões ................................................................................................................................ 78

6.2 Propostas para trabalhos futuros............................................................................................... 79

Bibliografia............................................................................................................................................. 80

Anexos 1: Listagem dos ficheiros de “output” do ZENCRACK ............................................................. 84

vii

Índice de tabelas Tabela 3.1 – Comparação dos softwares de interface (Zencrack, 20006) ........................................... 49

Tabela 3.2 - Crack – block s01_q103x4................................................................................................ 53

Tabela 3.3 – Crack – blocks s01_q158x6 ............................................................................................. 53

Tabela 3.4 - Crack – block s01_t88x5................................................................................................... 53



Tabela 4.1 – Dados técnicos da superliga de níquel RR1000 (Cláudio, 2005) .................................... 61

Tabela 4.2 – Composição química da superliga de níquel RR1000 (Cláudio, 2005) ........................... 61

Tabela 5.1 – Comparação dos resultados de K45º e K90º com as soluções de Pickard e Newman para

uma fenda elíptica (a=c=2mm e a=c=1mm).......................................................................................... 77

Tabela 5.2 – Comparação dos resultados de K para fendas rectilíneas (a=0.5mm, a=1.0mm e

a=3.0mm) com a solução de Pickard.................................................................................................... 77

viii

Índice de figuras

Figura 2.1 – Esquema de uma turbina a gás (Fecht, 2000).................................................................... 5

Figura 2.2 – Esquema dos períodos de iniciação e propagação inerentes ao processo de fadiga

(Castro e Meggiolaro, 2000).................................................................................................................... 8

Figura 2.3 – Superfície de fractura de um provete ensaiado em laboratório (Carvalho, 2005).............. 9

Figura 2.4 – Esquema de características microestruturais em materiais metálicos (Carvalho, 2005) . 10

Figura 2.5 – Imagem da superfície de fractura de um provete da superliga Udimet720Li, observada ao

microscópio electrónico de varrimento (MEV): (a) – Propagação intergranular; (b) propagação

transgranular (Silva, 2004). ................................................................................................................... 11

Figura 2.6 – Modos básicos de deslocamentos das superfícies das fendas (Tada, Paris e tal, 1985) 13

Figura 2.7 – Sistema de coordenadas tridimensional para o campo de tensões numa região em torno

da fenda (Durán, 2001) ......................................................................................................................... 13

Figura 2.8 – Fenda de canto de forma elíptica. .................................................................................... 14

Figura 2.9 – Variação da relação entre as tensões locais obtidas da solução de Irwin e da tensão

nominal aplicada para o estado de tensão plana (Material com 3,0=ν ) (Durán, 2001) .................... 15


nominal aplicada para o estado de deformação plana (Material com 3,0=ν ) (Durán, 2001)............ 16

Figura 2.11 – Sistema de coordenadas para o campo de tensão não singulares proposto por Creager

e Paris (1967) ........................................................................................................................................ 17

Figura 2.12 –Fenda com correspondente zona plástica, indicando a região de domínio de K que deve

existir para poder aplicar a teoria da MFLE (Dowling 1993) ................................................................. 18

Figura 2.13 – Zona plástica pequena, comparada com as dimensões da peça (a), e situações onde

não é possível aplicar a MFLE, visto que a zona plástica é muito grande quando comparada com: (b)

o comprimento da fenda, (c) o ligamento residual e (d) a altura da peça (Durán, 2001) ..................... 19

Figura 2.14 – Zonas e mecanismos de escoamento na frente de fenda numa chapa: a) grossa, b) fina

(Hellan, 1984) ........................................................................................................................................ 19

Figura 2.15 – Dimensões normalizadas das zonas plásticas em tensão plana e deformação plana

(Durán, 2001) ........................................................................................................................................ 20

Figura 2.16 – Estimativa do tamanho da zona plástica para tensão plana em θ = 0, mostrando o efeito

aproximado da redistribuição das tensões (Durán, 2001) .................................................................... 21

Figura 2.17 – Comportamento das tensões principais e de Von Mises (normalizadas) para tensão e

deformação plana, de acordo com o ângulo θ (Durán, 2001)............................................................... 22

Figura 2.18 – Placa com orifício elíptico produzindo uma concentração de tensões (Strohaecker, 2005)

............................................................................................................................................................... 23

Figura 2.19 – Nomenclatura para determinar o integral J (Cláudio, 2005)........................................... 26

Figura 2.20 – Estado de tensões com relação a posição dos elementos ao longo da espessura do

material (Strohaecker, 2005)................................................................................................................. 27

Figura 2.21 – Variação da tenacidade com a espessura de uma liga 7075 – T6 (Al, Zn, Mg) e perfis de

fractura correspondentes (Strohaecker, 2005)...................................................................................... 29

ix

Figura 2.22 – Três regiões da taxa de propagação de fendas (Strohaecker, 2005) ............................ 30

Figura 2.23 – Zona de plastificação na raiz do entalhe (Hammouda, 1979) ........................................ 31

Figura 3.1 – Estágio de processamento (ABAQUS, 2001) ................................................................... 36

Figura 3.2 – Componentes da janela principal (ABAQUS, 2001) ......................................................... 39

Figura 3.3 – Módulos do ABAQUS (ABAQUS, 2001) ........................................................................... 40

Figura 3.4 – Malha estruturada (ABAQUS, 2001)................................................................................. 42

Figura 3.5 – Exemplo de uma ............................................................................................................... 42

Figura 3.6 – Exemplo de malha livre (ABAQUS, 2001) ........................................................................ 43

Figura 3.7 – Tipos de elementos finitos (ABAQUS, 2001).................................................................... 43

Figura 3.8 – Definição dos contornos em torno da fenda no caso bidimensional (ABAQUS, 2001).... 45

Figura 3.9 – Criação da frente de fenda no caso tridimensional (ABAQUS, 2001) .............................. 45

Figura 3.10 – Elementos quadrilaterais colapsados (ABAQUS, 2001)................................................. 46

Figura 3.11 – Elemento de 20 nós colapsado C3D20 (RH) (ABAQUS, 2001) ..................................... 47

Figura 3.12 – Fendas em disco de turbinas e fendas de canto introduzidas com o Zencrack (Zencrack,

2006)...................................................................................................................................................... 48

Figura 3.13 – Estágio de Processamento (Zencrack, 2006)................................................................. 49

Figura 3.14 – Blocos com fendas de canto elípticas e passantes (Zencrack, 2006)............................ 52

Figura 3.15 – Crack – Block s01_103x4 (Zencrack, 2006) ................................................................... 54

Figura 3.16 – Crack – Block s01_158x6 (Zencrack, 2006) ................................................................... 55

Figura 3.17 – Crack – block s01_t88x5 (Zencrack, 2006) .................................................................... 55



Figura 3.20 – Ficheiro de entrada dos comandos do software Zencrack v74a ................................... 58

Figura 3.21 – Variação de K ao longo da frente de fenda para diferentes comprimentos de fendas

(a=c=2mm, a=c=3mm e a=c=4mm) ...................................................................................................... 59

Figura 4.1 – Geometria do provete de duplo entalhe (Teles, 2005) ..................................................... 60

Figura 4.2 – Imagem de um provete de duplo entalhe (Carvalho, 2005) ............................................. 61

Figura 4.3 – Modelo físico do provete double – U com as condições de fronteira ............................... 62

Figura 4.4 – Malha de elementos finitos do provete double – U........................................................... 64

Figura 4.5 – Distribuição de tensões equivalentes de Von Mises (tensões em MPa).......................... 65

Figura 4.6 – Distribuição de tensões ao longo da espessura do Provete double–U ............................ 65

Figura 4.7a – Distribuição de tensões ao longo da zona critica (estado de tensão plana) .................. 66

Figura 4.7b – Distribuição de tensões ao longo da zona critica (estado de deformação plana) .......... 66

Figura 4.8 – Geometria da fenda de canto no provete double-U.......................................................... 67

Figura 4.9 – Variação de K ao longo da frente de fendas circulares com comprimentos 0,5mm,1mm,

1,5mm e 2mm com blocos s01_103x4 e s01_158x6............................................................................ 67

Figura 4.10 – Variação do integral J ao longo da frente de fendas circulares com comprimentos

0,5mm,1mm, 1,5mm e 2mm com bloco s01_q103x4 ........................................................................... 68

Figura 4.11 - Variação de K ao longo da frente de fendas elípticas com relações c/a=1,2 e c/a=2 com

blocos s01_103x4.................................................................................................................................. 68

x

Figura 4.12 - Variação do integral J ao longo da frente de fendas elípticas com relações c/a=1,2 e

c/a=2 com s01_q103x4 ......................................................................................................................... 69


blocos s01_q158x6................................................................................................................................ 69

Figura 4.14 - Variação do Integral J ao longo da frente de fendas elípticas com relações c/a=1,2 e

c/a=2 com blocos s01_158x6................................................................................................................ 70

Figura 4.15 – Variação de K ao longo da frente de fendas rectilíneas com profundidades de 3mm,

4mm e 5mm usando blocos s03_t23x1................................................................................................. 70

Figura 4.16 – Variação do Integral J ao longo da frente de fendas rectilíneas com profundidades de

3mm, 4mm e 5mm usando blocos s03_t23x1....................................................................................... 71

Figura 4.17 – Provete double – U com uma fenda circular de 1,00mm................................................ 71

Figura 4.18 – Distribuição de tensão de Von Mises do provete double – U com uma fenda circular de

1,00mm (tensões em MPa) ................................................................................................................... 72

Figura 4.19 – Provete double – U com uma fenda passante com uma profundidade 1,00mm............ 72

Figura 4.20 – Distribuição de tensões de Von Mises de uma fenda passante de 3,0mm de

profundidade (tensões em MPa) ........................................................................................................... 72

Figura 4.21 – Variação de K45º com o comprimento de fenda (fenda elíptica) ..................................... 73

Figura 4.22 – Variação de K90º com o comprimento de fenda (fenda elíptica) ..................................... 74

Figura 4.23 – Variação de K com o comprimento de fenda (fenda rectilínea)...................................... 74

xi

Nomenclatura a largura da fenda

a,b,h dimensões geométricas

b,c profundidade da fenda

B espessura

C constante da lei de Paris

D profundidade do entalhe

da/dN velocidade de crescimento de fendas por fadiga

E módulo de Young

f(a/W) factor geométrico

G taxa de libertação de energia

H largura do provete

J integral de contorno J

kt factor de concentração de tensões

K factor de intensidade de tensões

KI , KII ,KIII factor de intensidade de tensões em modos I,II e III, respectivamente

K45º factor de intensidade de tensões para θ = 45º

K90º factor de intensidade de tensões para θ = 90º

Kc factor de intensidade de tensões crítico

KIC factor de intensidade de tensões crítico para o modo I

l comprimento

m constante da lei de Paris

rE raio da zona plástica

Y parâmetro geometrico

W espessura do provete

Símbolos gregos ∆K amplitude do factor de intensidade de tensão

∆Klf limiar de propagação de fadiga do factor de intensidade de tensão

∆σ∞ gama de tensão aplicada

Ε deformação percentual na fractura

ν coeficiente de Poisson

π constante Pi

ρ raio do entalhe

σced tensão de cedência

σlocal tensão aplicada ∞σ tensão aplicada

Mσ tensão equivalente de Von Mises

xii

MTPσ tensão equivalente de Von Mises para tensão plana

MDPσ tensão equivalente de MISES em deformação plana

σn tensão remota

Tσ tensão equivalente de Tresca

θ ângulo

τ tensão de corte

Abreviaturas MF mecânica da fractura

MFLE mecânica da fractura linear elástica

MFEP mecânica da fractura elastoplástica

MEF método dos elementos finitos

MEV microscopia electrónica de varrimento

1

Capítulo 1: Introdução e Objectivos

1.1 Introdução

A maior parte dos componentes estruturais de engenharia falha sob a acção de carregamento

não estático. As tensões cíclicas resultantes deste tipo de carregamento provocam a degradação

física dos materiais envolvidos. Com o tempo, o dano acumulado pode provocar o aparecimento e o

crescimento de fendas que acabam por tornar inutilizáveis as estruturas ou componentes. Este

processo recebe o nome de “fadiga”, visto que as tensões alternadas vão diminuindo aos poucos a

resistência mecânica do material.

A industria aeronáutica é distinguida das demais pela sua extrema exigência, rigor e precisão.

As turbinas a gás têm sido o meio de propulsão da maioria dos aviões. Os motores actuais do tipo

turbina a gás são dispositivos muito complexos e avançados, envolvendo um grande número de

componentes e materiais. Deste modo, torna-se extremamente complexo prever quais são as

condições exactas de funcionamento a que esses componentes estão sujeitos, uma vez que os

mesmos são influenciados por um elevado número de variáveis, começando por diferentes condições

atmosféricas, velocidades de voo, combustíveis, partículas estranhas, bruscas acelerações e

desacelerações, resultando em milhares de combinações possíveis de condições de trabalho. Para

melhorar as características dos motores têm sido feitos alguns avanços, os principais no sentido da

procura e desenvolvimento de melhores materiais e técnicas de melhoramento de propriedades

mecânicas, tendo atraído a atenção de muitos investigadores na procura de melhores soluções

(Saravanamutto, 2001).

Os discos das turbinas são componentes extremamente importantes no motor de um avião a

jacto uma vez que trabalham numa zona quente, de difícil acesso, estando sujeitos a diversos

esforços e gradientes de temperatura elevadíssimos. Assim, estes componentes são responsáveis

por enormes custos de inspecção e troca dos mesmos. Por outro lado, e juntamente com os discos

de compressor e os veios, as turbinas são classificadas como componentes críticos devido às

consequências desastrosas que uma eventual falha possa trazer para a segurança do avião e seus

passageiros e tripulação (Harrison, 2000).

O desenvolvimento de novos materiais, capazes de suportar grandes esforços a altas

temperaturas nunca antes alcançáveis, tem tido um papel muito importante no actual objectivo da

indústria aeronáutica (Liburdi, 1999). É de tal forma importante ter elevadas temperaturas e pressões

de funcionamento, que os materiais são solicitados ao ponto de ultrapassarem os limites de fluência e

resistência à fadiga, conduzindo a inevitável falha prematura. As superligas de níquel são muito

utilizadas neste tipo de componentes devido, exactamente, às suas boas propriedades a altas

temperaturas, elevada resistência mecânica, ductilidade, alta condutividade térmica, baixa expansão

térmica, estabilidade metalúrgica, alta resistência ao ataque ambiental, excelente resistência à

fluência, à fadiga térmica e mecânica (Smith, 1999).

2

É um requisito fundamental, em aviação civil, reduzir os custos ao mínimo sem

comprometimento da segurança. Este processo passa pela redução do número de inspecções e

operações de manutenção e por um aproveitamento total do potencial de vida de cada componente.

Há que garantir que a falha de um componente seja pouco provável, devido às consequências

desastrosas que pode trazer. Os métodos clássicos de previsão de vida obrigavam à retirada de

serviço de todos os discos antes de estes apresentarem fissuras mensuráveis sem que fossem

ensaiados. Actualmente, face aos elevados custos inerentes à inutilização de componentes que ainda

têm um potencial de vida de fadiga remanescente, surgiram novas técnicas de avaliação tendo por

base parâmetros da Mecânica da Fractura.

As técnicas de previsão de vida à fadiga têm tido um papel cada vez mais importante em toda

a investigação, uma vez que permitem estipular intervalos de inspecção. Hoje, uma grande parte dos

ensaios é feita em provetes, permitindo obter propriedades e parâmetros que regem o

comportamento à fadiga e fluência com um custo reduzido. No entanto, estes parâmetros não são

suficientes para caracterizar a vida de componentes complexos, sendo necessário garantir a ligação

entre o provete e o caso particular de carregamento e geometria, conseguido por obtenção de

soluções específicas do factor de intensidade de tensões (K) e pela introdução de leis de propagação.

Novos provetes têm vindo a ser desenvolvidos com vista a simular zonas criticas dos discos de

turbinas, reduzindo assim as diferenças em relação à situação real.

Actualmente tem-se desenvolvido novas técnicas com o fim de simular estas zonas críticas,

ou mesmo os próprios provetes. As mais recentes envolvem a aplicação da Mecânica da Fractura

(MF) e técnicas de cálculo com base em métodos numéricos. Os programas de métodos numéricos

ganham, no contexto actual, um papel de destaque, nomeadamente o Método dos Elementos Finitos

(MEF), métodos dos elementos de fronteira e o método das diferenças finitas. Destes, o mais usado é

o MEF, havendo no mercado um grande número de programas comerciais (ABAQUS, ANSYS, MSC.

MARC, FINAS, etc.), adaptados a muitas áreas de engenharia. Desta forma, a determinação do K,

cuja solução pode ainda não ter sido determinada para a geometria e caso particular de componentes

complexos, pode ser executada com recurso a este tipo de softwares, ultrapassando, assim, as

grandes dificuldades associadas à sua determinação pela via analítica.

Podem, igualmente, ser determinados com elevada precisão pelo MEF o estado de tensão na

frente de fenda e, assim, obter a solução para o Integral J e, consequentemente, o factor K. À medida que os programas de elementos finitos forem sendo desenvolvidos e

complementados de maneira a traduzir com sucesso as simulações ou ensaios laboratoriais, estes

vão diminuir significativamente os custos e o tempo de produção dos discos de turbinas,

compressores e veios, conforme pretendido.

1.2 Objectivos

O presente estudo visa a determinação da distribuição de tensões, factor de intensidade de

tensão (K) e o Integral J na vizinhança de frentes de fenda com propagação a partir de um canto

(“corner crack”), podendo estas assumir diferentes tipos de geometria (elíptica ou passante) ao longo

3

das diversas fases de propagação. Para tal, foi considerado um provete com dois entalhes semi-

circulares (do tipo “double U”) fabricado com a superliga de níquel RR1000, desenvolvida pela Rolls–

Royce para utilização em motores aeronáuticos na próxima geração de aeronaves.

Os principais objectivos a alcançar neste estudo, são os seguintes:

1. Obter a distribuição de tensões ao longo do provete “double U”, usando, para tal, o

software de elementos finitos ABAQUS, na versão 6.5–1;

2. Determinar o Integral J e o Factor de Intensidade de Tensões (K), em condições de

Mecânica da Fractura Linear Elástica (MFLE), para diferentes comprimentos e

geometrias de fendas com propagação a partir do entalhe do provete. Para esta

tarefa, recorreu-se ao software ZENCRACK, versão 7.4a, de modo a modelar os

diferentes tipos de fendas;

3. Comparar os valores numéricos referentes ao item anterior com soluções teóricas

existentes na literatura, de modo a validar os modelos desenvolvidos de maneira a

averiguar a eficácia do Zencrack.

A utilização do software ZENCRACK, versão 7.4a, foi considerada, à partida, como

ferramenta de apoio para a modelação de fendas de diferentes geometrias inseridas nos modelos dos

provetes simulados no programa de elementos finitos ABAQUS, uma vez que este último implica um

tempo considerável na construção de malhas de elementos finitos adequadas a situações complexas

de geometria e carregamento, como no caso em estudo.

Como parâmetros principais de saída resultantes dos cálculos efectuados, consideraram-se o:

factor de intensidade de tensões (K) e Integral J em diferentes posições ao longo da frente de fenda,

considerando-se uma carga estática remotamente aplicada de 20KN e as propriedades mecânicas da

superliga RR1000 inerentes a uma temperatura de 650ºC, uma vez que esta se aproxima dos valores

reais de operação de um disco de turbina.

1.3 Estrutura da Dissertação

A presente dissertação de mestrado está organizada em 5 capítulos, para além do presente.

No capítulo 2 é feita uma revisão bibliográfica sobre alguns assuntos de interesse para esta

investigação. Este capítulo centra-se, fundamentalmente, em conceitos básicos da Mecânica da

Fractura, descrevendo o processo de fadiga na sua generalidade e definindo o factor K e suas

limitações. Paralelamente, é feita uma descrição sumária da superliga RR1000, já que este é o

material considerado para o provete double-U utilizado nas simulações.

O capítulo 3 inclui uma descrição sobre o método dos elementos finitos, estando orientado

especificamente para alguns problemas associados à modelação de fendas (tipos de elementos,

malhagem e a singularidades matemáticas que influenciam a qualidade dos resultados). É, também,

feita uma descrição limitada dos softwares utilizados para a construção dos modelos computacionais

(ABAQUS e ZENCRACK).

4

No Capítulo 4 apresentam-se os resultados relativos à distribuição de tensões no provete

double–U considerando as condições de carregamento impostas. O conhecimento deste campo de

tensões na vizinhança da fenda é determinante para a obtenção das soluções teóricas que serão

utilizadas para validação dos modelos. As variações do factor de intensidade de tensões e do Integral

J ao longo das várias frentes de fendas com geometrias elípticas (de canto) e rectilíneas (passantes)

são, igualmente, expostas neste capítulo.

No Capítulo 5 é feita a discussão dos resultados através da comparação das soluções obtidas

dos programas de elementos finitos Abaqus/Zencrack com as soluções analíticas existentes na

literatura aplicáveis às geometrias analisadas, nomeadamente as soluções de Pickard (1986) e de

Newman (1986) para fendas elípticas com as relações c/a=1 (a=c=1mm), c/a=2 (a=0,5mm e c=1mm),

considerando uma posição no interior da fenda (a 45º) e outra posição na superfície livre do provete

(a 90º). É ainda feita uma comparação dos resultados numéricos das fendas rectilíneas de 3mm,

4mm e 5mm com a solução de Pickard (1986).

Por último, no capítulo 6, apresentam–se as principais conclusões, procurando atender aos

objectivos iniciais deste trabalho e propondo vias alternativas para futuros trabalhos.

5

Capítulo 2: Revisão bibliográfica

Os problemas devido à fadiga têm sido objecto de fortes estudos nos últimos anos, dado que

este fenómeno continua a ser uma das principais causas de inutilização e falhas de componentes e

estruturas na indústria aeronáutica (Fecht, 2000).

O presente estudo centra–se no estudo numérico de fendas que se propagaram em

superligas de níquel a uma temperatura de 650°C. De forma a se compreender a teoria que está

ligada a esta investigação, far-se-á neste capítulo uma revisão sobre tópicos importantes para este

estudo sob a forma de revisão bibliográfica com base em diversas fontes pesquisadas.

2.1 Superligas de níquel

Nos últimos anos, têm-se desenvolvido várias superligas à base de níquel usadas,

principalmente, em componentes de turbinas a gás. Estes motores são maquinarias complexas que

convertem a energia química do combustível em energia cinética dos produtos de combustão,

resultando numa força propulsora para os motores de avião ou em energia mecânica para aplicações

industriais terrestres (Fecht, 2000).

Figura 2.1 – Esquema de uma turbina a gás (Fecht, 2000)

A Figura 2.1 apresenta um esquema de um motor baseado em sistema de turbina a gás. As

elevadas pressões e temperaturas a que os componentes estão sujeitos provocam elevadas tensões

nos materiais que o constituem.

Assim, o aparecimento e consequente evolução tecnológica das turbinas a gás introduziu

novos desafios para a engenharia dos materiais e, como tal, houve a necessidade de desenvolver

materiais com capacidade para suportar elevadas temperaturas. Materiais à base de ferro deram

lugar a ligas de níquel que têm sido desenvolvidas para propriedades específicas e aplicações

especializadas (Fecht, 2000). As ligas utilizadas nas secções da turbina dos motores, onde a

temperatura é mais elevada, são muito complexas e altamente optimizadas para estas aplicações.

As superligas são uma classe de materiais metálicos cuja principal característica é terem uma

temperatura máxima de serviço próxima do ponto de fusão (trabalham a temperaturas superiores a

500º C, na maior parte das aplicações).

6

As ligas de níquel e titânio têm estado no topo das aplicações devido às suas propriedades

únicas, estando aptas a responder da melhor forma possível às condições de trabalho da maioria dos

componentes. O titânio é o mais utilizado em componentes que operam na parte fria, como é o caso

dos ventiladores e compressor, onde se pretende uma elevada resistência ao impacto, fadiga,

corrosão e oxidação, ao passo que as superligas de níquel, são mais utilizadas nas zonas quentes.

As superligas de níquel apresentam boas propriedades a alta temperatura, destacando-se:

elevada resistência mecânica, alta ductilidade, alta resistência a condições ambientes adversas,

excelente resistência à fluência e resistência à fadiga térmica e mecânica (Fecht, 2000, Smith, 1998).

Porém, estas superligas também têm desvantagens, destacando-se a sua elevada densidade, sendo

este um aspecto importante em componentes aeronáuticos, onde a redução de peso é fundamental.

Em discos de turbina é importante dispor de uma elevada resistência mecânica. É

indispensável assegurar que o disco não se desintegre mesmo em situações de “overspeed”. Exige-

se, também, que os materiais possuam boas propriedades de resistência à fadiga. Para boa

resistência à fadiga, a microestrutura deve ser de grão refinado e com uma correcta distribuição da

fase γ’ (Silva, 2006), nem sempre se conseguindo encontrar um material que reúna todas as

características requeridas para uma determinada aplicação.

As boas propriedades mecânicas e físicas das superligas de níquel são conseguidas à custa

da composição química e processo de fabrico, factores que influenciam a microestrutura e

consequentemente o seu comportamento mecânico (Cláudio, 1999).

A microestrutura das superligas de níquel consiste, fundamentalmente, em três fases (Smith,

1998):

o Uma matriz austenítica de fase gama (γ);

o Uma fase com precipitados Ni3Al e Ni3Ti, chamada fase gama-linha (γ’);

o Partículas de carbonetos (devido à adição de cerca de 0.01 % C a 0.04 % C).

A fase γ’ é responsável pela resistência mecânica a alta temperatura e pela estabilidade

destas ligas, enquanto que os carbonetos estabilizam os limites de grão a temperaturas elevadas. A

fase γ’ aumenta a resistência mecânica a alta temperatura das superligas de níquel porque se torna

difícil o movimento, sob tensão, de pares de deslocações na fase γ’. Este mecanismo de

endurecimento designa-se por endurecimento de “fronteiras de antifase”.

Quanto ao processo de fabrico, as superligas de níquel são habitualmente elaboradas

recorrendo às técnicas de fundição e forjamento, normalmente em atmosfera controlada (vácuo ou

gás inerte) para evitar inclusões de impurezas. Contudo, têm surgido problemas na fase de

solidificação de materiais mais avançados devido à ocorrência de segregação na etapa de

arrefecimento do ciclo de tratamento térmico (Ferreira, 2002). Uma forma de minimizar este problema, passa pela utilização da tecnologia da Pulverometalurgia (PM -Powder Metallurgy), obtendo-se a

forma final (ou quase) do componente através de processos de consolidação de pós metálicos de

reduzida dimensão mediante a aplicação de altas pressões.

Um dos processos mais utilizados em peças obtidas por pulverometalurgia é a sinterização,

consistindo na atomização de um fluxo de metal à temperatura de fusão, o que resulta num pó

7

metálico muito fino. O rápido arrefecimento e a pequena dimensão das partículas de pó reduzem a

segregação ao mínimo.

No âmbito de componentes utilizados em motores aeronáuticos, uma das técnicas

habitualmente utilizadas para a consolidação final é a prensagem isostática a quente, vulgarmente

conhecida como “HIP” (Hot Isostatic Pressing), sendo este um processo de solidificação sob pressão

isostática, seguido de extrusão de modo a garantir uma forma perfeitamente densa e sem vazios. A

forma final do componente é obtida à custa de outros processos complementares, tais como o

forjamento. Este método tem sido utilizado no fabrico dos discos de última geração, tendo-se

conseguido ganhos na ordem de 9 % em termos de redução de peso, em virtude do aumento de

resistência mecânica e melhores propriedades à fadiga (Ferreira, 2002).

2.2 Propagação de fendas por fadiga a altas temperaturas

A fadiga é caracterizada como um processo de dano devido à aplicação repetida de esforços

que conduzem a fendas ou a falhas (Branco, 2005). Estas fendas ou falhas ocorrem geralmente sob

a influência de cargas cíclicas cujo valor de pico é menor do que o das cargas limite do material ou de

outros critérios considerados em projectos, estimadas na base da análise da fractura estática. A falha

por fadiga pode ser expressa de diversas formas, podendo ser combinada com outros factores de

dano. Existem vários tipos de fadiga, dos quais se destacam a fadiga termo–mecânica, a fadiga com

corrosão, a fadiga por contacto de deslizamento, etc.

O processo de fadiga pode considerar-se dividido em quatro fases:

o Nucleação da fenda;

o Crescimento microscópico da fenda;

o Propagação da fenda;

o Rotura final do componente.

Para que se verifique fadiga é necessária a progressiva ocorrência das diferentes fases. As

duas primeiras fases constituem o período de iniciação da fenda, a qual assume uma direcção

paralela à tensão de corte máxima. Nas restantes fases, o plano de propagação da fenda passa a ser

praticamente perpendicular à direcção de aplicação do carregamento, tal como se pode constatar da

observação da Figura 2.2.

8

Figura 2.2 – Esquema dos períodos de iniciação e propagação inerentes ao processo de fadiga

(Castro e Meggiolaro, 2000)

O limite de resistência de uma peça à fadiga define-se geralmente pelo número de ciclos de

aplicação de carga até à rotura do componente. Assim, o número de ciclos de rotura (Nr) será a soma

do número de ciclos associados às fases de nucleação e de iniciação da fenda (Ni), com o número de

ciclos envolvidos na fase de propagação (Np):

pir NNN += (2.1) A relação entre o número de ciclos de iniciação e de propagação dependerá do tipo de defeito

inicial. Quanto menor for este, maior número de ciclos serão necessários no processo de nucleação e

iniciação da fenda. Se, porventura, o tamanho do defeito inicial for significativo, então a maior parte

do processo de fadiga estará associada à fase de propagação da fenda (Branco, 2005). Na fase de

propagação o controlo é feito pela variação do factor de intensidade de tensões, pelo que este

assume uma importância destacada na quantificação do processo de fadiga.

As filosofias de projecto actuais para a análise da fadiga podem ser divididas em duas

categorias: vida–segura e a aproximação tolerância–defeito (Branco, 2005). A diferença principal

entre estas é a forma como a fenda se inicia e como as fases da propagação são tratadas

quantitativamente. Para a primeira categoria (vida–segura), a falha por fadiga de um componente ou

estrutura não fissurada, é definida em termos de tensão ou extensão aplicada, o que inclui

aproximações tradicionais tais como a tensão–vida, extensão–vida, energia–vida, (Suresh, 1998).

A segunda categoria (aproximação tolerância–defeito) pressupõe que todos os componentes

ou estruturas estão danificados e envolve o uso da Mecânica da Fractura no projecto à fadiga. Cada

um destes métodos tem o seu campo de aplicação, às vezes com algum grau de sobreposição entre

eles. Bannantine et al. (Bannantine, 1989) apresentam e comparam as diferentes aproximações.

Tendo como referência o número de ciclos até à falha, a fadiga pode ser dividida em dois

grupos, LCF (Low Cycle Fatigue) e HCF (High Cycle Fatigue). No caso de LCF, também designada

como fadiga oligocíclica, a tensão é geralmente bastante elevada podendo causar deformações

plásticas grandes. Quando temos HCF o material deforma-se primeiramente em regime elástico. Para

as aproximações vida–segura, a abordagem tensão–vida é mais apropriada para condições HCF e a

extensão–vida para LCF (Cláudio, 2005).

9

Do ponto de vista macroscópico, as características morfológicas das superfícies de fractura

associadas à fadiga variam em função de diversos factores, tais como o nível de tensões aplicadas,

frequência, modo de solicitação, meio ambiente, entre outros. No entanto, existem características que

são comuns a todas as superfícies de fractura numa peça que falhou devido à fadiga. Neste caso, as

superfícies de fractura têm um aspecto tipo “frágil”, sem sinais significativos de deformação plástica.

O início da fadiga ocorre quase sempre nas superfícies externas do componente, existindo, no

entanto, casos em que a fadiga se origina internamente. A observação e inspecção cuidada das

zonas críticas onde se inicia a fadiga revelam, na maioria dos casos, a sua causa, por exemplo:

concentração de tensões devido a uma fenda ou à própria geometria do material, falha ou

imperfeição de maquinação ou área de corrosão. A Figura 2.3 apresenta uma superfície de fractura

de um provete do tipo double-U da superliga RR1000 (idêntico ao considerado na presente

investigação), tendo este sido sujeito a um ensaio de fadiga a alta temperatura, o que originou uma

propagação da fenda claramente visível a olho nú.

Figura 2.3 – Superfície de fractura de um provete ensaiado em laboratório (Carvalho, 2005)

Do ponto de vista microscópico, os mais importantes tipos de desenvolvimento de fracturas em

materiais metálicos podem ser agrupados em duas categorias (Strohaecker, 2005):

o Transgranular;

o Intergranular.

Estes dois tipos distinguem-se por apresentarem uma evolução da superfície de fractura através

dos grãos (transgranular), ou pelas suas fronteiras (intergranular). A Figura 2.4 ilustra algumas

características microestruturais de materiais metálicos bem como os tipos de desenvolvimento

referidos.

10

Figura 2.4 – Esquema de características microestruturais em materiais metálicos (Carvalho, 2005)

Dependendo do principal micromecanismo de dano responsável pela propagação da fenda,

podem observar-se três regimes de propagação: dependente dos ciclos, dependente do tempo ou

misto.

No regime dependente dos ciclos o principal micromecanismo de dano é a deformação

plástica cíclica, embora possam ocorrer outros mecanismos contributivos, tais como o efeito

ambiental. Neste caso, a propagação da fenda ocorre de modo transgranular, sendo proporcional ao

número de ciclos de aplicação de carga. Dependendo da extensão da zona plástica na extremidade

de fenda relativamente ao tamanho de grão, podem observar-se três modos de propagação

transgranular: clivagem, estriação ou coalescência de microvazios (Branco, 1999).

No regime dependente do tempo, os micromecanismos de dano dominantes são a fluência

e/ou o dano ambiental. Quando somente um destes micromecanismos é dominante usam-se

normalmente os termos fadiga–fluência e fadiga–corrosão. A alta temperatura podem distinguir-se,

ainda, duas classes de materiais: materiais dúcteis (os aços inoxidáveis ou os aços ferríticos) e

materiais frágeis (os alumínios de alta resistência e as superligas de níquel). Neste regime a

propagação é intergranular, sendo a superfície de fractura mais rugosa.

No regime de propagação mista, os micromecanismos de propagação dependente dos ciclos

e dependente do tempo existem simultaneamente, contribuindo ambos para o crescimento de fenda.

Quando um dos micromecanismos é atrasado localmente, o outro actua. A percentagem

relativa de cada um pode ser medida pelas regiões transgranulares e intergranulares existentes na

superfície de fractura (Figura 2.5) (Antunes, 1999).

A Figura 2.5 apresenta duas imagens de superfícies de fractura obtidas com recurso a um

microscópio electrónico de varrimento, sendo possível distinguir os modos de propagação acima

referidos: no caso intergranular (Figura 2.5a) é notória a maior rugosidade comparativamente com o

caso relativo à propagação transgranular (Figura 2.5b). Normalmente, as propagações no regime

transgranular ocorrem para maiores frequências de carregamento e menores temperaturas, enquanto

que o regime intergranular é típico de solicitações a alta temperatura e baixa frequência.

11

Figura 2.5 – Imagem da superfície de fractura de um provete da superliga Udimet720Li, observada ao

microscópio electrónico de varrimento (MEV): (a) – Propagação intergranular; (b) propagação

transgranular (Silva, 2004).

2.3 Introdução à Mecânica da Fractura O projecto convencional em engenharia baseia–se em evitar falhas por colapso plástico.

Normalmente a propriedade especificada em códigos e normas de engenharia é a tensão de

cedência ou, em componentes mecânicos, o intervalo de dureza.

Desta forma a tensão de projecto será a tensão que levaria o componente ao colapso plástico

dividido por um factor de segurança. Este factor de segurança pode ser, por exemplo, de 1,5 para

reservatórios de pressão feitos em aços laminados, de 4 para aplicação similar com aço fundido e

variando de 4 até 10 para cabos de aço (Strohaecker, 2005). Conforme este procedimento, o factor de segurança não contempla a possibilidade de

fractura por um modo alternativo como a fractura frágil. Geralmente é aceite que o factor de

segurança evita a ocorrência de fracturas frágeis. Entretanto, na prática, tem–se verificado que isto

nem sempre é verdade. Existem situações em que a falha dos componentes ocorrem a partir de

fendas com tensões aplicadas abaixo da tensão de projecto.

Em engenharia este é um tipo de fractura frágil incentivada por concentrações de tensões que

agem, normalmente, no sentido de restringir a deformação plástica. É comum a ocorrência de fendas

junto a regiões de altas tensões, tais como reduções bruscas da secção do componente e outras

descontinuidades, rasgos de chaveta, etc. Os defeitos tipo fenda mais comuns são:

o Fendas de solidificação;

o Fendas em soldas fragilizadas devido à presença de hidrogénio;

o Descoesão lamelar;

o Fendas nucleadas em serviço por fadiga ou corrosão sob tensão.

O objectivo da MF é determinar se um defeito tipo fenda irá ou não levar o componente a uma

fractura catastrófica perante a aplicação de tensões normais de serviço permitindo, ainda, determinar

o grau de segurança efectivo desse componente fissurado. O grande mérito da Mecânica da Fractura

12

é esta possibilitar ao projectista valores quantitativos de tenacidade do material permitindo projectos

que aliem segurança e viabilidade económica. A teoria inerente à MF, quando aplicada à fadiga e à

corrosão sob tensão, permite a operação segura de componentes com defeitos prévios e/ou fendas

nucleadas em serviço.

É evidente que a presença de uma fenda afecta a resistência de um componente. Desta

forma durante o crescimento da fenda a resistência estrutural vai sendo comprometida. Uma forma de

prevenir a fractura é fazer com que a resistência não diminua abaixo de determinado limite. Isto

significa que deve ser evitado que as fendas atinjam tamanhos críticos. São apresentados, assim,

dois problemas a serem resolvidos:

o Calcular o tempo de operação em segurança (definição do tempo necessário para uma

determinada fenda atingir o tamanho critico);

o Calcular o tamanho de defeitos admissíveis (deve–se determinar como o tamanho da fenda

afecta a resistência global).

A ciência que possibilita a análise de defeitos permissíveis é a Mecânica da Fractura. Ela

fornece os conceitos e equações utilizadas para determinar como as fendas crescem e quanto podem

afectar a resistência de estruturas e/ou componentes.

A Mecânica da Fractura pode ser encarada segundo duas abordagens: Mecânica da Fractura

Linear–Elástica (MFLE) e Mecânica da Fractura Elasto–Plástica (MFEP).

A MFLE normalmente é utilizada em situações em que a fractura ocorre ainda no regime

linear elástico. Isto pode ocorrer para ligas de altíssima resistência mecânica ou mesmo em ligas com

resistência moderada desde que empregadas em componentes com uma espessura razoável. É a

espessura que ditará se o regime é o estado plano de deformação (estado tri-axial de tensões) em

que a MFLE é aplicável ou o estado de tensão plana (estado bi-axial de tensões) em que a MFEP é

aplicável.

Apesar da complexidade que envolve a MF, a mesma pode ser aplicada no controlo de

fracturas que envolvam desde situações muito simples até situações da alta complexidade

tecnológica como, por exemplo, numa aeronave: no desenvolvimento de ligas de alta resistência

mecânica que envolva a análise de tolerância de defeitos (tamanho crítico de fendas), avaliação do

comportamento em fadiga do material (taxa de propagação da fenda em fadiga), susceptibilidade a

meios agressivos (corrosão sob tensão), testes de protótipos e, em operação, nomeadamente no

respeitante aos planos de inspecção (reparação e troca de peças).

2.3.1 Alguns conceitos relativos à Mecânica da Fractura Linear Elástica

Toda a abordagem da Mecânica da Fractura procura considerar o campo de tensões e

deformações junto a defeitos em componentes, embora isto nem sempre seja fácil

A redistribuição das tensões devida à presença de fendas ou fissuras numa peça de um

material, linear, elástico, isotrópico e homogéneo pode ser estudada mediante as técnicas da Teoria

da Elasticidade. Os campos de tensões em torno da ponta das fendas podem ser divididos em três

tipos básicos, cada um associado com um modo de abertura das fendas, como se mostra na Figura

2.6.

13

Figura 2.6 – Modos básicos de deslocamentos das superfícies das fendas (Tada, Paris e tal, 1985)

Para a determinação dos campos de tensões e deformações associados aos três modos de

deslocamento é universalmente aceite a solução de Irwin (1957), baseada no método proposto por

Westergaard (1939). Referindo-nos à Figura 2.7 para a notação do campo de tensões linear, elástico,

isotrópico e homogéneo em torno da fenda para o modo I de deformação, podemos obter o campo de

tensões na sua vizinhança com recurso às equações 2.2. O parâmetro KI destas equações

corresponde ao factor de intensidades de tensões em modo I de carregamento (Figura 2.6a). Do

ponto de vista físico, o parâmetro KI pode ser considerado como um avaliador da intensidade do

campo de tensões linear elástico em torno da frente de fenda, tendo como unidades [FxL-3/2]. Como

se deduz das equações 2.2, KI é directamente proporcional às cargas aplicadas. Também pode ser

deduzido da análise dimensional que as expressões para a determinação deste factor deverão conter

algum parâmetro de comprimento, como a dimensão da fenda, por exemplo. Desta maneira é

possível considerar o efeito, já observado experimentalmente, da dimensão das fendas, no processo

de fractura.

Figura 2.7 – Sistema de coordenadas tridimensional para o campo de tensões numa região em torno

da fenda (Durán, 2001)

14

2θsin

r2πK

2θcos

r2πK

23θsin

2θsin1

2θcos

r2πK

23θcos

2θsin

2θcos

r2πK

2θsin

r2πK2ν

2θcos

r2πK2νσ

23θcos

2θcos

2θsin

r2πK

23θsin

2θsin1

2θcos

r2πKσ

23θcos

2θcos2

2θsin

r2πK

23θsin

2θsin1

2θcos

r2πK

IIIZX

IIIYZ

IIIXY

IIIZZ

IIIYY

IIIXX

=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

−=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

τ

τ

τ

σ

(2.2)

0plana deformação ),σ(σσ

plana tensão 0,σ

ZXYZ

YXZ

Z

==+×=

=

ττν

Na literatura podem encontrar-se várias soluções do factor de intensidade de tensão para

materiais homogéneos e isotrópicos solicitados de um modo quase estático. Newman et al. (1979,

1981, 1984, 1986) apresentam uma fórmula para fendas de canto de forma elíptica, semelhantes à

ilustrada na Figura 2.8, sujeitas a modo I de carregamento. Tada et al. (1985) apresentam uma

solução para fendas de canto de forma circular e de dimensão relativamente pequena, submetidas ao

modo I de carregamento. Pickard (1986) obteve uma solução para fendas circulares e elípticas em

blocos cúbicos e paralelepipédicos, submetidas ao modo I de carregamento, em que a sua solução

se restringia aos pontos mais profundos e superficiais da fenda, ao passo que as soluções de

Newman et al. e Tada et al. dão valores de K ao longo da frente de fenda.

Figura 2.8 – Fenda de canto de forma elíptica.

Note-se, porém, que na prática a forma das fendas é ligeiramente diferente destas formas

ideais, principalmente em condições de fadiga a alta temperatura para as quais se verifica por vezes

um efeito de túnel (Antunes, 1999).

O cálculo de K pode ser feito utilizando meios analíticos, numéricos ou experimentais. Os

métodos analíticos só são aplicáveis quando o campo de tensões na frente de fenda não é

influenciado pelas superfícies livres do corpo e a geometria de fenda é simples. Os métodos

numéricos (métodos dos elementos finitos, métodos dos elementos de fronteira, método das funções

de peso, etc.) permitem resolver todos os problemas fornecendo, porém, soluções apenas

aproximadas. Os métodos experimentais (extensometria, sistemas de queda de potencial, foto-

15

elasticidade, etc.) podem ser utilizados para verificar resultados numéricos e permitem ainda estudar

problemas difíceis de tratar com uma técnica numérica (Antunes, 1999).

Nenhum material real poderia suportar as elevadas tensões derivadas da solução de Irwin

numa região próxima à frente de fenda, ou seja quando r→0. Isto provocaria a deformação plástica

do material nessa área. As dimensões desta região de plastificação serão analisadas posteriormente.

As tensões fora da zona plástica são proporcionais ao parâmetro KI, enquanto que os demais factores

determinam as variações em função de r e θ, mas não dependem das dimensões da peça e da

magnitude da carga. Portanto, o factor de intensidade de tensões, KI, caracteriza todo o campo de

tensões na frente de fenda. A expressão geral de KI é dada por:

f(a/W)aπσK nI ×××= (2.3)

onde )/( Waf é um parâmetro adimensional que leva em conta as diferentes geometrias das peças e

das fendas. Na definição de KI considerou–se o comportamento do material como sendo linear

elástico, o que se enquadra no contexto da Mecânica da Fractura Linear Elástica, MFLE.

Substituindo a expressão (2.3) na solução de Irwin, é possível mostrar em gráficos de

superfícies, a variação da relação entre as tensões locais (que incluem as tensões principais e a

tensão equivalente de Von Mises), e a tensão nominal aplicada, para os casos extremos de tensão e

deformação plana, em função do ângulo θ e dos parâmetros adimensionais ar e )/( Waf .


nominal aplicada para o estado de tensão plana (Material com 3,0=ν ) (Durán, 2001)

16

Figura 2.10 – Variação da relação entre as tensões locais obtidas da solução de Irwin e da tensão nominal aplicada para o estado de deformação plana (Material com 3,0=ν ) (Durán, 2001)

Para carregamento em modos II e III existem equações semelhantes à equação de KI, e os

parâmetros KII e KIII podem ser definidos de maneira análoga. No entanto, neste estudo só será

analisado o modo I, por ser de longe o mais importante na prática e por ser representativo da

propagação de fendas por fadiga no caso em estudo.

O K das equações de Irwin permite descrever também o campo de tensões em torno de

entalhes profundos )( a<<ρ , (Creager e Paris, 1967). Neste caso a origem de coordenadas é

deslocada de uma magnitude 2ρ

para dentro do entalhe (Figura 2.11), evitando o problema da

singularidade r → 0. A equação 2.4 mostra a solução obtida por estes autores.

É interessante notar que a selecção da origem de coordenadas no ponto 2ρ

a partir da ponta

do entalhe permite obter um sistema de equações (equações 2.3) que é diferente da solução elástica

para fendas (equações 2.2) apenas por mais um termo. Este segundo termo passa a ser menos

significativo do que o primeiro para r> 2ρ

. É possível considerar, portanto, que no caso do

arredondamento da frente de fenda com um raio infinito de valor ρ , o campo de tensões descrito na

solução de Irwin continua dominando a região em torno do entalhe. Isto confirma a validade do

conceito de K para representar os campos de tensões ainda que na presença de alguma plasticidade

ou distúrbio da linearidade na frente das fendas, quando esta perturbação for pequena (comparada

com as dimensões da peça e da fenda).

17

θ2

3cos

2r

ρ

r2IK

2

3θcos

2

θsen

2

θcos

r2IK

XY

θ2

3cos

2r

ρ

r2IK

2

3θsen

2

θsen1

2

θcos

r2IK

Yσ

θ2

3cos

2r

ρ

r2IK

2

3θsen

2

θsen1

2

θcos

r2IK

Xσ

×−

×=

×++

×=

×−−

×=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ππτ

ππ

ππ

(2.4)

Figura 2.11 – Sistema de coordenadas para o campo de tensão não singulares proposto por Creager

e Paris (1967)

O valor de K correspondente ao início do processo de fractura é chamado de Klf, enquanto

que a rotura final ocorre para outro valor deste parâmetro, Kc. Desta forma, o crescimento estável da

fenda em carregamento remotamente aplicado inicia–se em Klf até à fractura em KC, sendo que

ambos os valores decrescem à medida que se aumenta a espessura da peça. Se a quantidade de

material elástico ao redor da zona plástica é suficiente para induzir um estado de deformação plana

dominante na frente da fenda, o crescimento estável é muito limitado, os valores de KC e Klf são bem

próximos e, neste caso, a tenacidade à fractura passa a não depender da espessura e ser função

apenas do material e a ser notada por KIC e KIlf representa então a menor tenacidade à fractura que

uma peça pode ter (sob carga estática numa dada temperatura).

Quando a zona plástica é suficientemente pequena (comparada com as dimensões da fenda

e outras dimensões da peça), o campo de tensões elásticas descrito pela equação (2.2) ainda

oferece uma boa aproximação das tensões numa região ao redor da fenda (Figura 2.12).

Esta situação é geralmente designada como escoamento em pequena escala (Hutchinson,

1979). A existência desta região sob domínio de K é necessária para a aplicação da teoria da MFLE.

Sob condições de escoamento em pequena escala, o K permite uma medida única da intensidade do

campo de tensões em torno da fenda.

18

Figura 2.12 –Fenda com correspondente zona plástica, indicando a região de domínio de K que deve

existir para poder aplicar a teoria da MFLE (Dowling 1993)

Na prática, é necessário comparar o tamanho da zona plástica rE com a distância da frente de

fenda às diferentes superfícies limites da peça, como os valores de a, (b – a), e h para uma placa

fissurada, como mostra a Figura 2.13. Geralmente considera-se suficiente um valor de 8*rE. Não é

necessário que o escoamento atinja as superfícies livres da peça, como é mostrado nesta figura,

bastando apenas que a zona plástica seja suficientemente grande para que o campo de tensões

elásticas deixe de ser governado por K. É importante, portanto, estimar o tamanho da zona plástica

para determinar os limites de aplicabilidade da MFLE.

Antes de estimar as dimensões das zonas plásticas, é conveniente ter uma noção qualitativa

do escoamento que acontece em torno da fenda para o caso de uma chapa grossa e fina, como se

mostra na Figura 2.14. No caso da chapa grossa (B grande), é possível definir uma região interna

com alto grau de restrição ( 0=Zε ), e uma região mais externa onde a condição de superfície livre

( 0=Zσ ) favorece o livre escoamento do material. Com o incremento de B, é muito provável que a

importância relativa da região externa, em relação à resistência à fractura, diminua. É razoável admitir

que internamente a deformação plástica esteja associada ao deslocamento em superfícies curvas

inclinadas um certo ângulo em relação ao plano da fenda, como é mostrado na Figura 2.14b.

Se B for muito pequeno, a condição de superfície livre ( 0=Zσ ) cumpre-se em toda a

espessura. Como 0≥≥ YX σσ , o escoamento deverá ocorrer (segundo o critério de TRESCA), pelo

deslizamento em planos inclinados a 45° em relação ao plano da fenda. O anterior limita a altura da

zona plástica a uma ordem de grandeza similar à espessura da chapa.

19

Figura 2.13 – Zona plástica pequena, comparada com as dimensões da peça (a), e situações onde

não é possível aplicar a MFLE, visto que a zona plástica é muito grande quando comparada com: (b) o comprimento da fenda, (c) o ligamento residual e (d) a altura da peça (Durán, 2001)

Figura 2.14 – Zonas e mecanismos de escoamento na frente de fenda numa chapa: a) grossa, b) fina

(Hellan, 1984)

A estimativa do tamanho da zona plástica pode ser feita a partir das equações de Irwin (1957).

A Figura 2.15 representa as dimensões normalizadas das zonas plásticas em condições de tensão e

deformação plana. As coordenadas da fronteira elasto–plástica correspondem ao valor da tensão

equivalente de Von Mises, onde o limite de escoamento do material (σced) é atingido.

20

Figura 2.15 – Dimensões normalizadas das zonas plásticas em tensão plana e deformação plana

(Durán, 2001)

A Figura 2.16 mostra o efeito da redistribuição das tensões que ocorre para satisfazer o

equilíbrio na direcção Y e no plano da fenda (θ = 0). Sob estas condições a curva 1 pode ser

aproximada pelo primeiro termo da solução elástica e as áreas A1 e A2 na Figura 2.16 deverão ser

iguais.

A equação (2.5) representa estas condições:

∫ ××=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×−

××

1

022

r

cedced rkdxkx

K σσπ

(2.5)

onde, cedk σ× representa o valor de σY necessário para produzir uma tensão equivalente σM ou σT

igual à tensão limite de escoamento do material SE. Em tensão plana e no plano da fenda (θ = 0, σX =

σY > 0), os critérios de Von Mises e Tresca prevêem o escoamento para σM = σT = σY = SE e, neste

caso, k = 1. O valor de r1 é calculado igualando as equações das curvas indicadas na Figura 2.16,

obtendo-se: 2

1 21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

×=

ced

Krσπ

(2.6)

Substituindo a equação 2.6 em 2.5 e integrando, obtem–se:

1

2

2 21 rKr

ced

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

×=

σπ (2.7)

21

Figura 2.16 – Estimativa do tamanho da zona plástica para tensão plana em θ = 0, mostrando o efeito

aproximado da redistribuição das tensões (Durán, 2001) Portanto, em tensão plana o tamanho real da zona plástica considerando o efeito da redistribuição

das tensões será: 2

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×=

cedE

Krσπσ (2.8)

Em deformação plana, σZ > 0, e nas condições deste exemplo (θ = 0), σZ constitui também uma

tensão principal. Considerando σX = σY, vem:

( ) YYXZ σνσσνσ ××=+×= 2 (2.9a)

( ) cedYTM σσνσσ =××−== 21 (2.9b)

Ou seja, o estado triaxial de tensões tem o efeito de elevar o valor do parâmetro K até 2,5,

considerando o material com 3,0=ν . Este aspecto é facilmente visualizado na Figura 2.17 que

representa o comportamento das tensões principais e das tensões equivalentes de Von Mises em

tensão e deformação plana em função de θ, para um material com 3,0=ν . Em θ=0 a tensão de Von

Mises para tensão plana ( MTPσ ) é 2.5 vezes maior do que a tensão de Von Mises em deformação

plana ( MDPσ ). O facto da tensão equivalente de Von Mises ser menor no caso de estado de

deformação plana poderia levar à falsa conclusão de que este estado é menos perigoso em relação à

fractura do material. No entanto, isto na verdade significa que as tensões locais para a formação da

zona plástica em deformação plana podem chegar a ser da ordem de cedσ×5.2 enquanto que para o

estado de tensão plana estas tensões estão limitadas a σced, para o mesmo carregamento nominal.

Consequentemente, a fronteira elastoplástica em deformação plana será menor, como se

deduz das equações de Irwin (cuja representação gráfica aparece na Figura 2.16) e também como se

mostra na Figura 2.15.

Usando um procedimento ligeiramente diferente ao mostrado acima, Irwin sugeriu 3=k e,

por isso, o tamanho real da zona plástica em deformação plástica em condições de deformação plana,

já considerando o efeito da redistribuição das tensões, é:

22

2

31

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

×=

cedE

Krσπε (2.10)

Na posse das estimativas de rE é possível definir limites da aplicabilidade da MFLE. Para o

valor de Er×8 já mencionado anteriormente, e visto que a zona plástica em tensão plana é maior que

em deformação plana, o limite geral pode ser expresso por: 2

4),(, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×≥−

ced

Khabaσπ

(2.11)

Caso não se cumpram os requisitos da equação 2.11, a zona plástica será grande demais,

como mostrado na Figura 2.13c, o que invalida o uso da MFLE.

No caso da espessura da peça ser suficientemente grande, de maneira a evitar a contracção

de Poisson na direcção Z, origina–se um estado de deformação plana na frente de fenda. Esta é uma

situação de constrição máxima. A partir de numerosos resultados experimentais, determinou–se que

o estado plano de deformação só ocorre para espessuras acima do valor especificado pela equação

2.12: 2

5,2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×≥

ced

ICKBσ

(2.12)

Figura 2.17 – Comportamento das tensões principais e de Von Mises (normalizadas) para tensão e

deformação plana, de acordo com o ângulo θ (Durán, 2001)

As distâncias desde as superfícies livres até a zona plástica nos planos X e Y devem

satisfazer também a equação 2.12, para evitar que a deformação nesses planos reduza o grau de

constrição. Finalmente, K só pode ser considerado como um parâmetro representativo da tenacidade

à fractura em deformação plana quando: 2

5,2),(,, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×≥−

ced

KhabaBσ

(2.13)

Em suma, e como vimos, a validade de K é dependente da deformação plástica existente na

frente de fenda. Assumindo um comportamento linear elástico, verifica-se que as tensões são infinitas

nos pontos da frente de fenda. Porém os materiais têm uma tensão de cedência acima da qual ocorre

deformação plástica. Assim, existe sempre uma região de deformação plástica na frente de fenda que

23

reduz as tensões aí existentes. O K só é válido se essa região for pequena. Segundo a British

Standards Institution e a American Society for Testing and Materials a aplicabilidade de K limita-se a

situações para as quais (Antunes, 1999):

50rE

a≤ (2.14)

em que rE é o raio da zona plástica e a é uma dimensão característica da fenda. No entanto, no caso

geral das superligas de níquel este critério é raramente violado.

Para fendas muito curtas com comprimentos idênticos ao tamanho de grão do material, K

deixa de ser válido. No entanto, na presente análise tal nunca se verifica.

2.3.2 Factor de Concentração de Tensões A abordagem de um projecto convencional limita–se a determinar o factor de concentração de

tensões (Kt) associado a alguma descontinuidade geométrica presente no componente. Este valor,

multiplicado pela tensão nominal, indica o nível de tensões efectivo.

Segundo esta abordagem uma tensão (σa) aplicada a uma placa contendo um orifício elíptico

(Figura 2.18) terá a sua tensão aumentada nas extremidades do eixo da elipse normal à aplicação da

carga por uma relação dada pela equação:

ba

a

máx ×+= 21σσ

(2.14)

onde:

o máxσ é a tensão máxima nas extremidades do defeito

o aσ é a tensão aplicada

o a é o semi–eixo normal ao carregamento

o b é o semi–eixo paralelo à direcção de carregamento

Figura 2.18 – Placa com orifício elíptico produzindo uma concentração de tensões (Strohaecker,

2005)

24

Considerando–se agora um defeito circular em que “a” é igual a “b” tem–se para a equação

acima:

3max =aσ

σ

Isto é, o factor multiplicativo das tensões numa placa com um orifício circular seria igual a 3.

Para um defeito planar o raio de curvatura ( ρ ) na extremidade da elipse é dado pela

equação:

ab2

=ρ (2.15)

As equações acima podem ser combinadas de forma a obter-se: 5,0

2 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡××=

ρσσ a

amáx (2.16)

Como na maioria dos casos ρ>>a , então:

∞⇒máxσ

O termo 5,0

2 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×

ρa

seria o factor de concentração de tensões (kt). Seguindo esta metodologia

pode–se estimar o efeito de concentrações de tensões em componentes mecânicos devido a

diferentes condições: rasgos de chaveta, reduções de secções, etc. É notório que, quanto maior o

comprimento do defeito e menor o raio de curvatura da ponta deste, maior será o valor multiplicativo

de tensões. Na literatura encontram–se valores de kt para muitas geometrias dependendo do tipo de

carregamento (Shigley, 2006).

Para um defeito muito agudo, como uma fenda provocada por fadiga, kt tende para um valor

infinito. Desta forma, esta abordagem só é aplicada quando os concentradores de tensão são

geométricos, não contemplando outras potenciais fontes de aumento localizado da tensão (como

fendas oriundas de fabricação ou nucleadas em serviço).

2.3.3 Cálculo energético baseado no integral J

O integral J foi proposto originalmente por Rice (Branco, 2005) para a caracterização da

resposta linear e não-linear do material. Este parâmetro relaciona-se com a libertação de energia

associada com o crescimento da fenda e é uma medida da intensidade de deformação na ponta da

fenda. Considerando a Figura 2.19, o integral J é obtido para todo o contorno que circunscreve a

ponta da fenda, resultando de:

∫Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−= dSxuTwdyJ i

i (2.17)

onde, ∫= ijijdw εσ é a densidade da energia da extensão com σij e εij como tensores da tensão e da

extensão, jiji nT σ= são os componentes do vector da tensão que actua no contorno, ui é a

25

deslocação das componentes, e dS é um incremento do comprimento ao longo do contorno (Atkins,

1985).

Admitindo que o material tem um comportamento linear, o integral J reduz-se à taxa de

libertação de energia como:

dadUGJ == (2.19)

onde G é a taxa de libertação de energia e o U a energia elástica.

Assim para uma fenda bidimensional em condições de deformação plana, solicitada à tracção,

com a fenda a avançar uniformemente ao longo da espessura e no seu plano, Jx e G são

equivalentes, pelo que K pode ser obtido de Jx utilizando a expressão:

2x

x

2

ν1JEK

JG

ν1GEK

−=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=

−=

(2.20)

onde E é o módulo de Young e ν é o coeficiente de Poisson. Esta relação é valida em condições de

deformação plana, enquanto que em tensão plana:

GEK = (2.21)

Em condições quase estáticas, e na ausência de forças de corpo, deformações térmicas e

tracções na face da fenda, J é independente do contorno definido para o seu cálculo, isto é, o seu

valor não depende de uma convergência do contorno para a extremidade da fenda.

Para este caso importante, J pode ser calculado a partir de elementos afastados da

extremidade da fenda, nos quais a exactidão dos campos de tensões e deformações é maior.

Em corpos fissurados tridimensionais, os campos bidimensionais em condições de

deformação plana só são assimptoticamente obtidos na frente de fenda, pelo que a definição

bidimensional de J (integração sobre um contorno) só pode ser utilizada muito próxima da

extremidade da fenda; porém, é precisamente nessa região que os resultados dados pelo MEF são

menos exactos. Na literatura podem encontrar-se generalizações do integral de contorno a integrais

de superfície. Em situações tridimensionais, o cálculo de valores pontuais de J na ausência de forças

de corpo consiste numa integração sobre uma superfície fechada, definida à volta de um ponto

particular da frente de fenda. Esta superfície é, em geral, difícil de definir e a integração nessa fase é

difícil de realizar numa configuração tridimensional da fenda discretizada em elementos finitos.

Podemos, assim, dizer que a forma tridimensional do integral J é mais apropriada para a

determinação de uma taxa de libertação de energia global do que para obter valores pontuais ao

longo da fenda.

O integral J é bastante aceite na avaliação de falhas sob circunstâncias elasto-plásticas. É

particularmente atractiva porque é simples de usar, adiciona pouco ao custo da análise numérica, e

fornece uma excelente exactidão, mesmo com malhas grosseiras.

26

Figura 2.19 – Nomenclatura para determinar o integral J (Cláudio, 2005)

2.4 Efeito dos entalhes na fadiga

2.4.1 Efeito da espessura A tensão Zσ que actua na direcção da espessura de um corpo deve ser nula na superfície,

por que não pode haver tensão normal a uma superfície livre, mas pode atingir um valor elevado no

centro do corpo. No caso de uma chapa fina, Zσ não pode crescer apreciavelmente e uma condição

de tensão plana irá actuar.

plana tensão em,00,

=

≠

Z

YX

σσσ

(2.22)

Quando a espessura é suficientemente grande, Zσ pode levar a um valor correspondente a

uma situação de deformação plana ( 0=Zε ) que é a seguinte:

),( YXZ σσνσ +×= em deformação plana (2.23)

Estas duas condições estão esquematizadas na Figura 2.20 que mostra uma placa com

espessura moderada e com entalhe, e nela são posicionados dois cubos elementares: um no centro

da placa, próximo à ponta do entalhe, e outro próximo à superfície livre, também junto ao entalhe.

27

Figura 2.20 – Estado de tensões com relação a posição dos elementos ao longo da espessura do

material (Strohaecker, 2005)

Uma consequência destas duas condições é a maneira como o material apresenta

deformação pois o plano de tensão de corte máxima varia. Esta diferença acarreta fractura em planos

de 45° com o eixo de tracção quando em estado de tensão plana e normal ao eixo de tracção quando

em estado de deformação plana.

À medida que o carregamento aumenta sobre a placa, cada um dos elementos romperá sob

um nível particular de solicitação mecânica, por corte (deslizamento de um plano atómico sobre o

outro), ou por clivagem (separação directa de planos atómicos).

Uma análise do critério de cedência indica que um estado de tensões hidrostático

( 321 σσσ == ) não pode produzir uma fractura dúctil. Desta forma enquanto que o elemento do

centro tende a apresentar uma fractura frágil a região lateral do corpo virá a fracturar por corte.

Devido a variação do comportamento em relação ao estado de tensões sobre o provete, uma

grande variação na tenacidade é produzida à medida que varia a espessura do provete. Para

entender a forma da curva de tenacidade é conveniente examinar as três regiões destacadas na

Figura 2.21.

*Região A: Nesta região os provetes têm espessura pequena e tendem a mostrar um

aumento da tenacidade com o aumento da espessura. A fractura é por corte pois há um estado plano

de tensões.

*Região B: O comportamento à fractura é mais complexo. A espessura do provete não é tão

pequena para dominar o mecanismo de deslizamento (da região A) nem suficientemente grande para

dominar o estado tri–axial de tensões que levaria a uma fractura predominantemente plana. No

carregamento do provete quando se atinge a carga Pp (correspondendo à tensão Pσ da Figura 2.21b)

28

pode ocorrer uma fractura do tipo plana na região central do corpo. Num provete de grande

espessura a fractura propagar-se-ia catastroficamente (região C) porque o processo ocuparia uma

região significativa da secção do corpo. Porém com a espessura da faixa B, grande parte da carga é

suportada pelos ligamentos laterais da secção que não permitem a instabilidade da fractura. À

medida que a carga é aumentada, além de Pp, a fractura central plana afunila-se (fenómeno de túnel)

para o centro do provete.

Os ligamentos laterais podem ser cortados quando for atingido um deslocamento

suficientemente grande na ponta da fenda e esta, como um todo, avança de uma forma composta:

fractura do tipo plana, no centro, afunilando-se e fractura tipo inclinada (fractura por lábios de corte)

junto às bordas. Desta forma a espessura do provete, para determinado limite de resistência do

material, é que irá ditar o modo de fractura. À medida que aumenta a espessura passa a predominar

a fractura plana em detrimento do corte das laterais do provete.

O comportamento em fractura desta região é estudado pela MFEP. Por esta metodologia a

escolha da espessura do provete deve ser baseada directamente na espessura de trabalho

procurando reproduzir as condições de fractura que poderiam ocorrer na prática.

*Região C: O comportamento à fractura de provetes de grande espessura é

predominantemente plana uma vez que a fractura é dominada por um estado de deformação plana.

Este estado tri–axial de tensões implica num alto valor da tensão de tracção máxima, 11σ . Neste

regime o comportamento à fractura do material é descrito, de forma precisa, pela MFLE. Para a liga

de Alumínio 7075 T6 da Figura 2.21, a partir da espessura de 15mm a abordagem da MFLE

apresenta uma alta precisão na previsão do comportamento à fractura do material.

29

Figura 2.21 – Variação da tenacidade com a espessura de uma liga 7075 – T6 (Al, Zn, Mg) e perfis de

fractura correspondentes (Strohaecker, 2005)

2.4.2 Modelos para prever o efeito dos entalhes

Existem uma grande variedade de modelos para prever o efeito dos entalhes na fadiga, tais

como:

1. Aproximação Tensão–Vida;

2. Aproximação Extensão–Vida;

3. Aproximação Energia–Vida;

4. Aproximação de Von Mises;

5. Aproximação da Mecânica da Fractura (MF).

Devido à sua utilidade e pertinência no presente trabalho, far-se-á de seguida uma breve

descrição sobre a aproximação da Mecânica da Fractura.

2.4.2.1 Modelo da mecânica da fractura

Smith e Miller (1978) propuseram que os entalhes “afiados” poderiam ser analisados como

fendas. Podem ser utilizadas aproximações à mecânica da fractura linear elástica (MFLE), como um

critério tradicional, para a análise da fadiga de entalhes afiados. O factor da intensidade de tensão

pode ser relacionado com a gama de valores de tensão e tamanho nominais da fenda através da

expressão:

30

aYK πσ ⋅Δ=Δ ∞ (2.24)

Onde; Y é um parâmetro geométrico e a é a dimensão da fenda.

Esta aproximação supõe que um entalhe afiado é equivalente a uma fenda definindo o limite

da fadiga do membro fissurado pelo uso do factor da intensidade de tensão do ponto inicial.

Os métodos da mecânica da fractura são apropriados para modelar a propagação de fendas

de fadiga. Paris (1963) propôs a primeira relação entre a taxa da propagação de fendas e o

parâmetro de MFLE, ΔK:

mKCdNda

Δ⋅= (2.25)

Onde; C e m são constantes que dependem do material em análise.

Figura 2.22 – Três regiões da taxa de propagação de fendas (Strohaecker, 2005)

A lei de Paris é ainda uma das mais utilizadas para descrever as taxas de propagação de

fendas quando estas estão suficientemente desenvolvidas (regime B da Figura 2.22), onde existe

uma relação linear entre a velocidade de fissuração e a variação do K.

Outras aproximações similares à lei de Paris mas baseadas na MFEP, como por exemplo o

integral J, são muitas vezes consideradas para a análise de propagação de fendas em componentes

sujeitos a carregamentos cíclicos.

2.4.3 Comportamento de fendas pequenas

Para tamanhos de fenda bastante pequenos (tipicamente menores que 0,3 mm) ou para

fendas dentro da zona plástica dos entalhes, a Mecânica da Fractura Linear Elástica não fornece

estimativas exactas da vida da fatiga, (Sansoz, 2001; Evans, 1995; Pang, 2003). Perto da raiz do

entalhe, o campo de tensões–extensões é dominado pela solução da intensidade de tensão,

enquanto fora deste, a fenda se comporta como se não existisse nenhum entalhe. Isto leva-nos à

31

teoria das fendas pequenas (“short cracks”). As fendas de pequena dimensão são caracterizadas por

exibirem valores pontuais iniciais mais baixos do que o limiar de propagação ΔKlf para fendas grandes

e uma taxa mais elevada de propagação do que a referida pela MFLE para estas últimas.

Figura 2.23 – Zona de plastificação na raiz do entalhe (Hammouda, 1979)

A Figura 2.23 é uma representação do comportamento de fendas pequenas.

El Haddad et al. (1979) propôs que se o comprimento da fenda a0 fosse adicionado ao

comprimento da fenda por fadiga, a. O resultado, tendo por base a MFLE fornece taxas de

propagação de fenda que são independentes do tamanho da fenda:

( )0aaYK +Δ=Δ ∞ πσ (2.26)

Dowling (1979) propôs que o factor da intensidade de tensão para fendas curtas seja dado

por:

( )daKK tpequena −= ∞ πσ12.1 (2.27)

Esta expressão sugere que uma fenda pequena na vizinhança de um entalhe tenha um

comportamento semelhante a partir de uma face, considerando, então, um factor de correcção de

uma face livre (igual a 1.12), sendo Kt Δσ∞ a tensão aplicada e ( )a d− o comprimento da fenda,

medido desde a raiz do entalhe.

Para fendas longas, o factor da intensidade de tensão deve ser calculado como se o entalhe

não existisse:

aYKgrande πσ ∞= (2.28)

onde Kgrande é o factor da intensidade de tensão para fendas longas e a é o tamanho da fenda,

incluindo o entalhe.

Smith, (Smith, 1977), concluiu que uma fenda de comprimento L crescendo num componente

sem entalhes pode ser relacionada com uma fenda de comprimento l que cresça a partir de um

entalhe, admitindo condições idênticas de carregamento e de velocidade de propagação. Obviamente

32

que, para taxas idênticas teremos valores de L> l, pelo que o efeito de entalhe pode ser definido

como (Atkins, 1985):

lLe −= (2.29)

A vantagem desta teoria está na simplicidade de quantificação do efeito do entalhe com

recurso a apenas um parâmetro, o comprimento da fenda.

No caso de provetes com entalhes, a extensão aproximada do campo de tensões de

influência do entalhe é dado por:

( )ρD13.0 (2.30)

onde D é a profundidade do entalhe e ρ é o raio do entalhe.

Para fendas de comprimento l com origem em entalhes, o factor de entalhe e é dado pelas

equações, 2.31 e 2.32;

( ) ( )7.69 , para 0 0.13e l l

D D Dρ ρ= < < (2.31)

( )13.0 para , >=

ρDlDe (2.32)

A equação 2.31 é válida para fendas curtas dentro da influência do campo de tensões

induzido pelo entalhe, ao passo que a equação 2.32 aplica-se a fendas longas fora da influência do

entalhe.

Smith estende esta abordagem ao K, o que se revela útil em algumas situações. Assim, para

uma fenda de comprimento l com origem num entalhe, e considerando ( )ρDl 13.0< , então o

efeito do entalhe será dado por:

7.69 De lρ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.33)

O valor de K para uma fenda de comprimento l sob influência de um entalhe pode ser obtido

aproximadamente recorrendo à equação (2.34):

( )0.5

1 7.69 DK lσ πρ

⎡ ⎤⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.34)

Hammouda, (1979) refere que o problema da compreensão do comportamento de fendas

curtas está associado ao papel da plasticidade na fase inicial de nucleação de fenda.

Durante esta fase, as zonas de plasticidade associadas ao efeito do entalhe são superiores à

extensão da fenda e, por isso, as condições na ponta da fenda não poderão ser consideradas como

estando em regime elástico.

O autor concluiu que se uma fenda tiver um comprimento suficiente de modo a gerar efeitos

de plasticidade na sua extremidade maiores do que aqueles associados ao patamar do limiar de

propagação, então o crescimento da fenda pode ser analisado como uma análise convencional no

domínio da MFLE. No entanto, para atingir este comprimento crítico de fenda é necessário que o seu

33

crescimento seja uma consequência do efeito da plasticidade associada ao entalhe. Assim, se esta

não for suficientemente elevada, então resultará uma fenda não propagante.

Por outro lado, para fendas de muito pequeno comprimento, a extensão das zonas plásticas

associadas à ponta da fenda atingirá a fronteira elasto–plástica associada à raiz do entalhe. Logo, o

comprimento desta zona plástica irá inicialmente diminuir, o que conduzirá a uma diminuição da

velocidade de fissuração nos estágios iniciais. Apenas depois de se ultrapassar o valor limite

associado a ΔKlf, obtido por análise no domínio MFLE, se assistirá a uma inversão desta tendência,

i.e., a velocidade de fissuração aumentará.

Uma vez que o factor e está associado à velocidade de fissuração, a sua contribuição para a

equação 2.29 irá inicialmente diminuir enquanto a fenda estiver sob a influência da plastificação

induzida pelo entalhe.

Prova-se, portanto, que a vida à fadiga de componentes entalhados depende do nível de

tensões aplicadas, do perfil do entalhe (parâmetros D e ρ) e das características do material.

34

Capitulo 3: Modelação computacional do provete double – U para obtenção do Integral J e o Factor de intensidade de tensões.

No presente capítulo, far-se-á uma descrição dos softwares (ABAQUS e ZENCRACK)

utilizado na realização deste trabalho, bem como uma referência ao método dos elementos finitos,

uma vez que este é a ferramenta numérica utilizada no desenvolvimento deste estudo, e os

procedimentos usados para a introdução dos diferentes comprimentos de fendas com o auxílio do

ZENCRACK no modelo do provete double – U.

3.1 Método dos elementos finitos

O Método dos Elementos Finitos (MEF) tem, no âmbito das estruturas, um papel importante

visto ser uma ferramenta muito versátil. Este método tem como objectivo a determinação do campo

das tensões obtidas a partir da deformação de um qualquer sólido com uma qualquer geometria e

das mais diversas disposições das acções exteriores. Estas acções são todas as cargas e

constrangimentos a que a estrutura está sujeita.

O aparecimento do MEF veio simplificar a análise estrutural pois, antes do seu aparecimento,

a análise era efectuada por resolução directa dos sistemas de equações de derivadas parciais que

regem os fenómenos, adequadas às condições de fronteira do problema em questão (Ottosen, 1992).

A evolução das estruturas construídas pelo homem veio acompanhada de uma crescente

complexidade na sua análise e projecto. Esta complexidade resultaria numa demora associada à

resolução de grandes sistemas de equações (Huebner, 1995). Devido à lentidão resultante desta

complexidade, tornava-se muito atractiva a substituição do problema real por um modelo em

computador de modo a poder analisá-lo e recorrer aos resultados fornecidos em tabelas ou gráficos.

O Método dos Elementos Finitos baseia-se numa subdivisão de sistemas físicos discretos ou

contínuos. O domínio físico é dividido em subdomínios a que se dão o nome de elementos finitos.

Cada elemento finito é definido por um número determinado de nós que dão forma ao elemento. Os

vários nós que constituem o elemento são ligados entre si para que o elemento seja fechado, ou seja,

que tenha uma fronteira (Ottosen, 1992).

3.2 Criação de um modelo de elementos finitos

A cada elemento finito estudado isoladamente aplica-se a teoria clássica de cálculo que tem

uma forma previamente definida (triângulos, rectângulos em 2D), estabelecendo as condições de

contorno e equilíbrio através dos nós. Esta discretização da estrutura permite a sua resolução

produzindo um sistema de equações lineares que se aplicam facilmente a qualquer outra estrutura

por mais complicadas que sejam as suas características geométricas e condições de cargas. Para

35

levar a cabo tal situação, necessita-se de um grande número de operações matemáticas que, devido

à natureza repetitiva, se adaptam perfeitamente à programação numérica e sua resolução.

Em geral, dado que o método de cálculo com elementos finitos é um procedimento

aproximado, a precisão obtida aumenta directamente com o número de elementos utilizados sendo

óptima para um número infinito de nós (Azevedo, 2003). Evidentemente, um maior número de

elementos necessita de maior tempo de cálculo, o que muitas vezes se torna não viável.

Por outro lado em alguns casos é vantajoso utilizar um maior número de elementos de modo

a conseguir um estudo mais detalhado nas zonas críticas do componente onde, por exemplo, se

prevê que possa ocorrer concentração de tensões. Esta discretização resulta numa análise eficaz e

diminui o tempo de cálculo sem perder precisão. Não é possível prever o número de elementos que

se requer para obter em cada caso a solução mais satisfatória; isto vai depender da estrutura do

objecto em estudo. A escolha da subdivisão mais conveniente realiza-se de acordo com a experiência,

ou seja, com resultados obtidos através de ensaios.

As cargas externas aplicadas à estrutura substituem-se por sistemas de forças equivalentes

concentradas nos nós. Se existirem cargas pontuais há que se distribuir a malha de maneira que os

nós coincidam com os pontos de aplicação.

3.3 Tipos de análises Perante a necessidade de analisar qualquer tipo de estrutura, a primeira questão que se coloca tem a

haver com a geometria e com o tipo de análise a efectuar. O modo como o MEF é formulado e

aplicado depende em parte das simplificações inerentes a cada tipo de problema. Estas

simplificações poderão ser feitas em certa medida no tipo de análise a efectuar. As análises podem

ser dos seguintes tipos (Azevedo, 2003):

1. Análise dinâmica;

2. Análise estática;

3. Análise linear;

4. Análise não linear;

3.3.1 Análise Dinâmica/Estática

A análise dinâmica está presente em quase todos os tipos de estruturas devido à presença

das forças de inércia associadas às acelerações a que cada componente da estrutura está sujeito.

Deste modo seria de esperar que qualquer análise estrutural teria que ter em consideração os efeitos

dinâmicos. Porém, em alguns casos, é possível considerar que estas acções são aplicadas de um

modo suficientemente lento, ou seja, considerar uma análise estática, como é o caso deste trabalho.

3.3.2 Análise Linear/não linear

Na análise de uma estrutura sólida, é habitual considerar-se que os deslocamentos

provocados pelas acções exteriores são muito pequenos quando comparados com as dimensões dos

36

componentes da estrutura. Nestas circunstâncias admite-se que não existe influência da modificação

da geometria da estrutura na distribuição dos esforços e das tensões, i.e., todo o estudo é feito com

base na geometria inicial não deformada. Se esta hipótese não for considerada, a análise é

designada não linear geométrica. É também frequente considerar que, ao nível do material que

constitui a estrutura, a relação entre tensões e deformações é linear, caso contrário ter-se-á que

recorrer a algoritmos específicos de análise não linear.

Neste trabalho é abordado o caso da análise linear, quer geométrica, quer do material.

3.4 Descrição do software ABAQUS

Antes de se iniciar a apresentação das modelações computacionais implementadas neste

trabalho, refira-se que se optou por descrever genericamente o software de elementos finitos utilizado,

ABAQUS v6.5-1. Assim, far-se-á, seguidamente, uma abordagem introdutória relativa a alguns

tópicos constantes do manual deste software (ABAQUS, 2001) que tornam mais fácil a compreensão

dos modelos implementados e referidos mais adiante.

Uma análise completa feita em ABAQUS está geralmente dividida em três estágios distintos:

pré-processamento, simulação, e pós-processamento. Estes três estágios são ligados entre si por

meio de ficheiros, como mostrado na Figura 3.1:

Figura 3.1 – Estágio de processamento (ABAQUS, 2001)

Pré-processamento (ABAQUS/CAE): Neste estágio define-se o modelo do problema físico e

cria-se um ficheiro de entrada de ABAQUS. O modelo geralmente é criado graficamente usando o

ABAQUS/CAE; porém, o ficheiro de entrada de ABAQUS, para uma análise simples, também pode

ser criado directamente usando um editor de texto.

37

Simulação (ABAQUS/Standard ou ABAQUS/Explicit): A simulação funciona normalmente

como um processo de background, correspondendo ao estágio onde o ABAQUS/Standard ou

ABAQUS/Explicit resolvem o problema numérico definido no modelo. Os ficheiros de saída de uma

análise de tensão incluem, por exemplo, os deslocamentos e as tensões que são armazenados nos

ficheiros binários prontos para o pós-processamento. Dependendo da complexidade do problema a

analisar e da capacidade do computador que se está a utilizar, uma simulação pode durar segundos

ou até mesmo dias até estar concluída.

Pós-processamento (ABAQUS/CAE): Depois da simulação ter terminado podemos avaliar os

resultados dos deslocamentos, tensões, ou outras variáveis fundamentais que foram calculadas. A

avaliação é geralmente feita interactivamente usando o módulo de visualização do ABAQUS/CAE. O

módulo de visualização, que lê o ficheiro binário da base de dados de saída, tem uma variedade de

opções para representar os resultados, incluindo gráficos de contornos a cores, animações, gráficos

da estrutura deformada, etc.

3.4.1 Componentes de um modelo da análise de ABAQUS

Um modelo ABAQUS é composto de diversos componentes diferentes que descrevem em

conjunto o problema físico a ser analisado e os resultados a ser obtidos. No mínimo, o modelo a

analisar terá que possuir a seguinte informação: geometria, propriedades do elemento da secção,

dados dos materiais, cargas e condições de fronteira, tipo de análise, e tipo de dados a serem

requeridos como “output”.

3.4.2 Geometria

Os elementos finitos e os nós definem a geometria básica da estrutura física a ser modelada

em ABAQUS. Cada elemento no modelo representa uma parcela discreta da estrutura física, que é,

por sua vez, representado por muitos elementos interligados. Os elementos são ligados a outro por

nós partilhados. As coordenadas dos nós e a conexão dos elementos compreendem a geometria do

modelo. A colecção de todos os elementos e nós de um modelo constitui uma malha de elementos.

Geralmente, a malha será somente uma aproximação da geometria real da estrutura.

O tipo, a forma, e a posição do elemento, assim como o número total dos elementos usados

na malha, afectam os resultados obtidos na simulação. Quanto maior a densidade da malha, isto é,

maior número de elementos na malha, mais exactos os resultados. À medida que a densidade da

malha aumenta, os resultados da análise convergem para uma solução única, aumentando o tempo

utilizado pelo computador para a análise. A solução obtida no modelo numérico é geralmente uma

aproximação da solução do problema físico que se está a simular.

A extensão das aproximações feitas na geometria, no comportamento do material, nas

condições fronteira, e no carregamento, determinam como a simulação numérica se aproxima do

problema físico.

38

3.4.3 Propriedades do elemento da secção

O ABAQUS tem uma vasta gama de elementos, muitos dos quais não possuem uma

geometria completamente definida pelas coordenadas dos nós. Tais dados geométricos adicionais

são definidos como propriedades físicas do elemento e são necessários para definir completamente a

geometria do modelo.

3.4.4 Dados dos materiais

As propriedades dos materiais devem ser definidas para todos os elementos. Ainda que as

propriedades de alguns materiais avançados sejam difíceis de obter, a validade dos resultados do

ABAQUS está limitada pela exactidão e pela extensão dos dados dos materiais.

3.4.5 Cargas e condições de fronteira

As cargas distorcem a estrutura física e criam, assim, tensões. As formas mais comuns de

carregamento incluem:

o Cargas pontuais;

o Cargas de pressão em superfícies;

o Forças de corpo, tais como a força da gravidade;

o Cargas térmicas.

As condições de fronteira são utilizadas para constranger parcelas do modelo de modo a

permanecerem fixas ou a terem um deslocamento específico.

Numa análise estática devem ser utilizadas condições de fronteira de modo a impedir que o

modelo se mova como um corpo rígido em todo o sentido; caso contrário, o movimento de um corpo

rígido sem constrangimentos iria originar uma matriz de rigidez singular. Ocorrerá um problema de

resolução durante o estágio da solução podendo fazer com que a simulação pare prematuramente. O

software emite uma mensagem de advertência caso detecte um problema de resolução durante uma

simulação.

3.4.6 Tipo de dados a serem obtidos como output

Uma simulação de ABAQUS pode gerar uma quantidade grande de saídas. Para evitar usar

um excesso no espaço do disco, deve ser o utilizador a definir quais são os dados de saída de modo

a obter os resultados pretendidos.

3.5 Introdução ao ABAQUS/CAE

ABAQUS/CAE é o ambiente completo do ABAQUS que fornece uma relação simples e

consistente na criação de modelos, submetendo e monitorizando interactivamente os trabalhos

realizados, e os resultados da avaliação das simulações.

39

O ABAQUS/CAE está dividido em módulos, onde cada módulo define um aspecto lógico do

processo de modelação como, por exemplo, a definição da geometria, definição das propriedades

dos materiais e geração de malhas. À medida que se vai avançando de módulo para módulo, o

modelo vai sendo criado. Quando o modelo está completo, o ABAQUS/CAE cria um ficheiro de

entrada que será submetido a análise. Então, os módulos ABAQUS/Standard ou ABAQUS/Explicit

lêem o ficheiro de entrada gerado pelo ABAQUS/CAE, executam a análise e devolvem a informação

ao ABAQUS/CAE para permitir uma monitorização do progresso de trabalho, gerando assim um

ficheiro com os dados de saída. Finalmente, usando o módulo de visualização podemos ler os

ficheiros de saída e ver graficamente os resultados da análise.

3.5.1 Componentes da janela principal A interacção com o ABAQUS/CAE é feita através da janela principal cujo aspecto global é visível na

Figura 3.2.

Figura 3.2 – Componentes da janela principal (ABAQUS, 2001)

3.5.2 Módulos do ABAQUS

Como mencionado anteriormente, o ABAQUS/CAE está dividido em unidades funcionais

conhecidas como “módulos”. Cada módulo possui somente as ferramentas que são relevantes a uma

parcela específica da tarefa a executar, como por exemplo o módulo de malha possui apenas as

ferramentas necessitadas para criar malhas com elementos finitos.

40

Figura 3.3 – Módulos do ABAQUS (ABAQUS, 2001)

A ordem dos módulos no menu corresponde a uma sequência lógica para a criação do

modelo (Figura 3.3), permitindo, porém, que se seleccione qualquer módulo em qualquer altura de

desenvolvimento do modelo. Todavia, há determinadas limitações óbvias a considerar; por exemplo:

não podemos atribuir propriedades de secção, tais como dimensões da secção transversal de uma

viga em I a uma geometria que ainda não foi criada.

A seguinte lista dos módulos disponíveis dentro do ABAQUS/CAE descreve, de um modo

resumido, as tarefas de modelação que podem ser executadas em cada módulo.

3.5.2.1 Peça (Part)

O módulo de Peça permite criar peças individuais desenhando directamente a geometria em

ABAQUS/CAE ou importando a geometria de outros programas, nomeadamente do Solidworks.

3.5.2.2 Propriedades (Property)

Uma definição de uma secção contém informação sobre as propriedades de uma peça ou de

uma região da peça, tal como a definição do material associado e a geometria da secção transversal

de uma região. No módulo de Propriedades podemos criar definições da secção e do material e

atribuí-las às regiões correspondentes.

3.5.2.3 Montagem (Assembly)

Ao criar uma peça, existe um sistema de coordenadas próprio independente das outras

partes no modelo. Usamos o módulo de Montagem para criar modelos de peças e posicioná-los

relativamente a um sistema de coordenadas global, criando, portanto, um conjunto.

3.5.2.4 Etapa (Step)

O módulo de Etapa serve para criar e configurar as etapas da análise, bem como os dados de

saída associados. A sequência da etapa fornece uma maneira conveniente de monitorizar as

mudanças efectuadas num modelo (tal como a condição do carregamento e as condições fronteira).

41

3.5.2.5 Interacção (Interaction)

Neste módulo especificam-se as interacções mecânicas e térmicas entre as várias regiões de

um modelo ou entre uma região de um modelo e seus vizinhos. Um exemplo de uma interacção é

contacto entre duas superfícies. Outras interacções que podem ser definidas incluem os

constrangimentos de um corpo rígido. O ABAQUS/CAE não reconhece o contacto mecânico entre

peças ou regiões de uma montagem, a não ser que esse contacto esteja especificado no módulo da

interacção, pois a mera proximidade física de duas superfícies numa montagem não é suficiente para

indicar algum tipo de interacção entre as superfícies. As interacções são objectos etapa-dependentes,

que significa que se deve especificar as etapas da análise em que estão activas.

3.5.2.6 Cargas (Load)

O módulo de Carga permite especificar a carga, as condições fronteira, e campos. As cargas

e as condições fronteira são, também, objectos etapa-dependentes.

3.5.2.7 Malha (Mesh)

A malha é o processo mais importante na criação de uma peça em elementos finitos, pois,

dependendo do tipo de malha, da densidade e do elemento utilizado, os resultados podem variar

bastante.

O módulo de Malha contém as ferramentas que permitem gerar malhas em elementos finitos

numa montagem criada em ABAQUS/CAE. Vários níveis da automatização e de controlo estão

disponíveis de modo a poder criar uma malha que se encontre com as necessidades da análise.

Tal como o que acontece com a criação de peças e montagem, o processo de malhagem

(definição da malha) do modelo, as técnicas de malhagem e o tipo de elemento, dependem da

geometria. Em consequência, podemos modificar os parâmetros que definem uma peça ou uma

montagem, e os atributos da malha especificados dentro do módulo de malha são regenerados

automaticamente. O módulo de malha possui as seguintes características:

o Ferramentas para definir a densidade da malha a nível local e global;

o A coloração do modelo que indica a técnica de malhagem atribuída em cada região no

modelo;

o Uma variedade de controlos de malha, como:

• Forma do elemento;

• Técnica de malhagem;

• Algoritmo da malha;

o Uma ferramenta para atribuir tipos do elemento de ABAQUS/Standard e de ABAQUS/Explicit

aos elementos da malha;

o Uma ferramenta para verificar a qualidade da malha;

o Ferramentas para refinar a malha e para melhorar a qualidade da malha;

o Uma ferramenta para conservar o conjunto malhado.

42

O ABAQUS/CAE pode usar uma variedade de técnicas de malhagem para malhar modelos

de topologias diferentes podendo, em alguns ser possível o utilizador conseguir escolher a técnica a

usar para malhar um modelo ou uma região do modelo e noutros outros casos ter apenas disponível

uma técnica. As diferentes técnicas de malhagem fornecem vários níveis de automatização e controlo

por parte do utilizador. Far-se-á, seguidamente, uma breve descrição das várias técnicas disponíveis

para a construção da malha.

o Malha estruturada

As malhas estruturadas dão maior controlo sobre a malha porque esta técnica aplica padrões

de malha pré–estabelecidos às topologias particulares do modelo. A maioria dos modelos contínuos

são demasiado complexos para se poder usar este tipo de malha. Entretanto, pode-se

frequentemente dividir modelos complexos em regiões com topologias simples para que se possa

utilizar este tipo de malha.

Figura 3.4 – Malha estruturada (ABAQUS, 2001)

o Malha por varrimento

O ABAQUS/CAE cria malhas por varrimento, gerando internamente a malha numa face ou

vértice e então varrendo essa malha ao longo de um trajecto. O resultado pode ser uma malha

bidimensional criada a partir de um vértice ou uma malha tridimensional criada a partir de uma face.

Tal como as malhas estruturadas, este tipo de malha está limitada a modelos com topologias e

geometrias específicas.

Figura 3.5 – Exemplo de uma

malha por varrimento (ABAQUS, 2001)

43

o Malha livre

A técnica de malha livre é a técnica de malhagem mais flexível, pois não utiliza nenhum

padrão de malha pré-estabelecido, podendo ser aplicada a quase todas as formas de modelo. Porém,

a malha livre possui um menor controlo sobre a malha, já que não há nenhuma estimativa inicial

relativamente ao padrão de malha.

Figura 3.6 – Exemplo de malha livre (ABAQUS, 2001)

.

Note-se que o ABAQUS/CAE usa cores diferentes para indicar que técnica de malha é

atribuída actualmente a uma região.

O módulo de Malha pode gerar malhas que contêm diversos tipos de elementos finitos,

estando os mais comuns representados na Figura 3.7:

Figura 3.7 – Tipos de elementos finitos (ABAQUS, 2001)

A maioria de elementos em ABAQUS/Standard e em ABAQUS/Explicit correspondem a uma

das formas mostradas, isto é, são topologicamente equivalentes a estas formas. Cada região da

malha pode ter um ou mais tipos de elementos disponíveis pelo ABAQUS, tendo sido atribuídos por

44

defeito. Cada tipo de elemento corresponde a uma forma que possa ser usada na região em questão,

por exemplo uma região da malha de uma casca tem tipicamente elementos quadrilaterais ou

triangulares atribuídos por defeito.

3.5.2.8 Trabalho (Job)

A partir do momento em que se terminam todas as tarefas desenvolvidas para definir um

modelo, usa-se o módulo de Trabalho para analisar o modelo. O módulo de trabalho permite

submeter interactivamente um trabalho para a análise e monitorizar o seu progresso.

3.5.2.9 Visualização (Visualization)

O módulo de Visualização fornece a exposição gráfica de modelos e de resultados dos

elementos finitos. Obtém a informação do modelo e dos resultados a partir dos ficheiros de saída.

3.5.2.10 Esboço (Sketch)

Os esboços são os perfis bidimensionais que são usados para ajudar a dar forma à geometria

que define uma peça. O módulo de Esboço é utilizado para criar um esboço que defina uma parte

plana, uma viga, ou uma divisão ou criar um esboço que possa ser extrudido, varrido, ou usado como

revolução para dar forma a uma parte tridimensional.

3.5.3 Módulo específico da mecânica da fractura no ABAQUS

Com esta nova versão do ABAQUS surgem novas formas de modelar peças e, com elas,

novos tipos de análises. Com a versão 6.5-1 do ABAQUS a principal novidade é o módulo específico

da Mecânica da Fractura, que permite o cálculo de parâmetros habituais, tais como, o factor de

intensidade de tensões (K) ou o integral J associados a fendas. Esta capacidade surge integrada no

módulo “Interacção”, onde é possível definir fendas, molas e outros objectos de estudo em áreas de

engenharia.

Com este módulo podem estudar fendas em modelos quase estáticos seleccionando no

modelo as regiões que serão usadas para calcular as estimativas do integral de contorno associado à

fenda (integral J). Durante a análise, o ABAQUS/Standard escreve os valores dos integrais de

contorno no ficheiro de dados de saída.

3.5.3.1 Criação da frente de fenda

A primeira etapa no procedimento para configurar um integral de contorno é definir a frente de

fenda (parte mais avançada da fenda) seleccionando entidades do módulo “Montagem”. O ABAQUS

usa a frente de fenda para calcular o primeiro integral de contorno usando todos os elementos dentro

da frente de fenda e uma camada de elementos fora da mesma. O utilizador pode “pedir”, como dado

de saída, mais do que um valor de um integral de contorno e, neste caso, o ABAQUS/CAE adiciona

uma única camada de elementos ao grupo dos elementos que foram usados para calcular o integral

45

de contorno precedente. A Figura 3.8 ilustra como o ABAQUS/CAE calcula integrais de contorno,

sucessivos, para um modelo bidimensional adicionando camadas de elementos.

Figura 3.8 – Definição dos contornos em torno da fenda no caso bidimensional (ABAQUS, 2001)

No caso de uma peça tridimensional, o ABAQUS calcula integrais de contorno em cada nó ao

longo da fenda, como mostrado na Figura 3.9.

Figura 3.9 – Criação da frente de fenda no caso tridimensional (ABAQUS, 2001)

3.5.3.2 Definição da ponta de fenda ou linha de fenda

Por defeito, o ABAQUS/Standard define a ponta da fenda como o primeiro nó especificado

para a frente de fenda, e a linha de fenda como a sequência dos primeiros nós especificados para a

frente de fenda. O primeiro nó é aquele com o menor número, a não ser que o conjunto de nós seja

gerado aleatoriamente. Alternativamente, pode-se especificar o nó da ponta de fenda ou o conjunto

de nós da linha de fenda directamente. O ABAQUS/CAE não pode determinar a frente de fenda ou a

linha de fenda automaticamente tendo por base uma frente de fenda específica. Porém ao

seleccionar um ponto para definir a frente de fenda, em duas dimensões, o mesmo ponto define a

ponta de fenda. Do mesmo modo, ao seleccionar a/as arestas para definir a frente de fenda em três

46

dimensões, as mesmas definem a linha de fenda. Para todos os restantes casos deve-se definir a

ponta de fenda ou a linha de fenda directamente.

Se a fenda for definida segundo um plano de simetria, apenas metade da estrutura necessita

ser modelada. A mudança na energia potencial calculada a partir do avanço virtual da frente de fenda

é duplicada de modo a obter os valores correctos do integral de contorno.

3.5.3.3 Singularidade Um outro conceito importante a ter em conta na frente de fenda é o da previsão de

singularidades matemáticas aí ocorrentes, tal como se constata pela observação da equação 2.2.

Na posição da frente de fenda, r→0, pelo que é necessário contemplar a existência de uma

singularidade ao longo desta linha, uma vez que aí as tensões tendem para um valor infinito, o que

levaria a que o ABAQUS apresentasse uma mensagem de erro. Na maioria dos casos, a

singularidade na ponta de fenda deve ser considerada na análise de pequenas tensões. Ao

incluirmos uma singularidade obtêm-se uma maior exactidão no cálculo do integral J e factores da

intensidade de tensão. Se r for a distância a partir da ponta de fenda, a tensão na singularidade é

proporcional a r

1 , no caso de se estar a trabalhar em elasticidade linear.

No caso bidimensional, a singularidader

1 pode ser obtida numa malha de elementos finitos

utilizando elementos padrão. A ponta de fenda é modelada com um anel de elementos quadrilaterais

colapsados, como mostrado na Figura 3.10.

Figura 3.10 – Elementos quadrilaterais colapsados (ABAQUS, 2001)

Para obter uma malha com singularidade, geralmente usam-se elementos de segunda ordem que

são colapsados da seguinte forma:

o Colapsa-se um lado de um elemento isoparamétrico de 8 nós (CPE8R, por exemplo) de

modo a que todos os três nós a, b e c tenham a mesma posição geométrica (na ponta da

fenda);

o Movem-se os nós centrais nos lados do elemento ligados à ponta de fenda de modo a estes

ficarem numa posição a 1/4 da distância ao nó na frente de fenda, pois deste modo

consegue-se obter uma maior precisão dos resultados numéricos (Antunes, 1999).

47

Considerando, agora, o caso tri-dimensional, podem usar-se os elementos do tipo “tijolo”

(brick) de 20 ou 27 nós de modo a criar um campo singular, devendo, para tal, colapsar-se uma face

do elemento tal como ilustrado na Figura 3.11.

Figura 3.11 – Elemento de 20 nós colapsado C3D20 (RH) (ABAQUS, 2001)

Os planos dos elementos tridimensionais perpendiculares à linha de fenda devem ser co-

planares para obter resultados mais exactos. Se isto não acontecer, o elemento Jacobiano pode

tornar-se negativo em alguns pontos da integração quando os nós do meio são movidos para 1/4 de

ponto. Para corrigir este problema, devem mover-se os nós do meio ligeiramente afastado do 1/4 de

ponto para a posição do ponto médio.

O problema da singularidade e outros cuidados a ter na modelação das fendas pode ser

ultrapassado usando o software “Zencrack”, tornando–se este software numa ferramenta bastante útil

e eficaz no contexto do presente trabalho.

3.6 Considerações sobre o software Zencrack

O software Zencrack é uma ferramenta avançada para a simulação dos parâmetros da

mecânica da fractura, incluindo situações complexas em ambiente 3D. Este programa usa a análise

por elementos finitos de modo a permitir o cálculo de diversos parâmetros da mecânica da fractura,

tais como: a taxa de liberação da energia e K. Isto é conseguido através da geração automática de

malhas fissuradas ou com fendas de elementos finitos definidas pelo utilizador. A metodologia do

crescimento da fenda é outra possibilidade deste software, fornecendo uma previsão sobre o

crescimento da fenda devido a fadiga e condições de carga dependentes do tempo através de

técnicas adaptáveis automatizadas. Estas potencialidades podem ser aplicadas a uma grande parte

dos problemas relativos a diferentes sectores da engenharia.

O Zencrack permite uma análise de fendas de superfície e de defeitos internos, sendo

sempre possível modelar os defeitos existentes nos componentes de modo a prever a sua vida

remanescente. A Figura 3.12 apresenta alguns exemplos de aplicações de malhas geradas pelo

Zencrack em torno de fendas associadas a defeitos em dois tipos de problemas.

48

Figura 3.12 – Fendas em disco de turbinas e fendas de canto introduzidas com o Zencrack (Zencrack,

2006)

Uma das principais vantagens do ZENCRACK é a enorme mais valia que este sofware

acrescenta num contexto de custo-benefício, uma vez que este fornece uma potencialidade avançada

na modelação e análise de fendas tridimensionais, prevendo o seu comportamento sob um

carregamento estático e o seu crescimento sob um carregamento dinâmico.

Das vantagens inerentes a este software especificamente dedicado à Mecânica da Fractura,

destacam-se:

o Aumento da eficiência e produtividade dos estudos dos parâmetros da mecânica da fractura 3D;

o Redução do tempo de pré e pós-processamento da análise de elementos finitos de fendas 3D;

o Possibilidade de análise de problemas que não podem ser tratados usando os métodos

convencionais da Mecânica da Fractura.

Até agora, a geração de malhas de elementos finitos para aplicações da mecânica da fractura

3D era difícil e consumia muito tempo, pelo que a avaliação do factor K foi limitada geralmente a

problemas envolvendo fendas planas e de geometrias simples, habitualmente sob o modo I de

carregamento. Com o Zencrack, estas limitações são contornadas, permitindo a obtenção de

soluções com um reduzido tempo de trabalho, o que justifica a opção de utilização deste software no

presente trabalho. No entanto, o facto deste programa ser relativamente recente, e de ainda existirem

poucas referências científicas sobre a sua validade no tratamento de problemas no âmbito da

Mecânica da Fractura, leva a que seja prudente encarar as soluções obtidas com alguma cautela,

devendo sempre estabelecer-se uma comparação com as soluções clássicas existentes e de

validade comprovada, o que também foi garantido na actual investigação, tornando – se num

objectivo implícito deste estudo.

3.6.1 Como trabalhar com o Zencrack

O Zencrack visa tratar de problemas “reais” da engenharia baseando-se no uso de modelos

de elementos 3D. Uma simulação de fenda no Zencrack requer primeiramente uma malha de

elementos finitos 3D do componente sem fissura que deverá ser gerada pelo utilizador usando as

ferramentas padrão de pré-processamento relativas ao software de MEF usado para o efeito (por

exemplo, ABAQUS). O Zencrack introduz então uma ou mais fendas num local pretendido do modelo

através de blocos específicos que são integrados na sua malha original, sendo posteriormente

49

submetido ao código de elementos finitos para a análise de resultados. Estes resultados são,

finalmente, manipulados no módulo de pós–processamento do software de elementos finitos de modo

a atender às necessidades do utilizador (por exemplo, fornecendo distribuições da taxa de libertação

de energia e K ao longo da frente de fenda). Um diagrama esquemático deste procedimento geral é

apresentado na figura 3.13.

Figura 3.13 – Estágio de Processamento (Zencrack, 2006)

Uma grande vantagem do ZENCRACK é a sua ampla flexibilidade de interface com vários

software de elementos finitos comerciais, tais como: Abaqus/Standard, Ansys/Classic, Finas,

MSC.Marc, entre outros. Dentro destes, o ABAQUS/Standard foi o utilizado neste trabalho, uma vez

que é o software que aparentemente faz a melhor relação/interface com o Zencrack e assim

apresenta mais parâmetros de análise, conforme se deduz da tabela 3.1.

Tabela 3.1 – Comparação dos softwares de interface (Zencrack, 20006)

Abaqus - Ansys Finas MSC.Marc

Taxa de libertação de energia sim Não Sim sim

“Large crack-blocks” não Sim Não Sim

Transição de elementos para “large crack-block” Sim Sim Não Não

Extracção da temperatura para analise de EF Sim Sim Não Não

Geração automática de contacto entre faces de

“Crack blocks” Sim Não Não Não

Sobreposição de cargas sim Sim sim Não

50

3.6.2 Interface com o software de EF ABAQUS

A relação ZENCRACK/ABAQUS é feita através dos ficheiros que têm a extensão “.inp” e

“.dat” (ou “.fil”), considerando-se os seguintes aspectos:

o A malha do componente sem a fenda deve ser fornecida como um ficheiro de saída do

Abaqus .inp, o que pode ser gerado com o módulo de pré-processamento do ABAQUS;

o O Zencrack combina então a malha sem a fenda com os dados relativos à mesma (geometria,

extensão, posição, etc.) introduzidos pelo utilizador sob a forma de um ficheiro com extensão

“.zcr”;

o O ficheiro “.zcr” criado no passo anterior é, então, submetido a análise pelo ZENCRACK (através

do seu interface com o ABAQUS) o qual, posteriormente, irá dar origem a ficheiros de saída com

extensão “.dat”, “.odb” e “.rep”.

o Caso o utilizador pretenda visualizar os parâmetros de saída, poderá abrir o modelo com a malha

“fissurada” recorrendo ao módulo de pós-processamento do ABAQUS, usando o ficheiro “.odb”.

Se apenas se pretenderem os valore quantitativos de K e integral J resultantes da análise

efectuada, então bastará recorrer-se ao ficheiro de saída “.rep” que poderá ser aberto através de

um qualquer editor de texto.

o Em alguns casos pode haver uma precisão inadequada nos dados constantes nos ficheiros com

extensão “.dat”, pelo que se poderá recorrer em opção aos ficheiros com extensão “.fil” através

do uso de uma sub-rotina fornecida pelo usuário do ABAQUS (“urdfil”);

Se o crescimento automático da fenda for requerido, o ZENCRACK realiza o avanço da fenda

usando os resultados da análise do AbAQUS e gera um ficheiro com uma nova extensão de “.inp”

para uma posição avançada da fenda. A nova malha fendida é submetida então para análise. Este

processo é mostrado esquematicamente na Figura 3.13. Este procedimento pode fornecer os

seguintes parâmetros da Mecânica da Fractura:

o O valor e o sentido da taxa de libertação máxima da energia, G, em cada nó ao longo da frente

de fenda (para a análise não linear este termo é J, embora seja processado da mesma maneira

pelo Zencrack);

o Os factores KI, KII e KIII de intensidade de tensões em cada nó ao longo da frente de fenda

calculados a partir dos deslocamentos nodais. O sentido do crescimento da fenda é calculado

a partir de K, o qual é convertido também num termo de energia equivalente. As equações

usadas são somente válidas para materiais isotrópicos, lineares e elásticos.

o Os factores de intensidade de tensões têm a opção *CONTOUR INTEGRAL, TYPE=K

FACTORS, (pedida explicitamente pelo utilizador), embora este comando não tenha qualquer

efeito na versão actual do software.

Os resultados da análise com recurso ao ZENCRACK podem ser manipulados usando os

tradicionais sofwares existentes em ambiente WINDOWS, sendo comum a geração de ficheiros com

51

extensão “.csv” para o uso num software de folha de cálculo (por exemplo, EXCEL), o que permite a

criação de representações do perfil da variação de K ao longo da frente de fenda.

3.6.3 Livraria de blocos de fendas do tipo “Crack–Blocks”

Os “Crack–Blocks” são grupos de elementos arranjados de tal maneira que apresentam uma

secção da frente de fenda. Cada Crack -Block é substituído num determinado elemento da malha a

fim de introduzir uma fenda na malha original do componente. Toda a extensão ocupada pela frente

de fenda pode ser definida com recurso a apenas um Crack-Block ou, então, a uma série de ligações

destes dependendo das exigências da modelação.

Estão disponíveis na livraria do ZENCRACK os seguintes tipos de Crack–Blocks:

o “Standard" crack-blocks

o “Large" crack-blocks

Os Standard Crack–Block traduzem um único elemento e a sua utilização reduz–se a

substituir um dos elementos da malha inicial por um bloco com a fenda desejada. Estão disponíveis

dois géneros deste tipo de blocos: os de fenda elíptica (corner crack) e os de fenda passante

(through–crack), conforme se pode visualizar na Figura 3.14. No entanto, existem diversas famílias

destes blocos, contemplando diferentes geometrias, refinamento de malhas e uma série de

propriedades de tal maneira a serem escolhidos para traduzirem da maneira mais perfeita o caso em

análise.

Os Large Crack–Block representam vários elementos da malha original ligados formando um

super–elemento, que é substituído por um Large–Block. Para tal é necessário recorrer a um comando

do software de elementos finitos de forma a obter o super–elemento (no caso do ABAQUS trata–se

do comando *TIE), sendo este procedimento indicado para quando se pretende analisar fendas de

grandes dimensões (Zencrack, 2006).

52

Figura 3.14 – Blocos com fendas de canto elípticas e passantes (Zencrack, 2006)

Note-se que os Crack–Blocks são agrupados em “famílias”. Qualquer Crack–Block dentro de

cada família é compatível com todos os restantes membros dessa família para o efeito de

combinações laterais. A convenção de nomeação do Crack-Block é baseada numa referência da

família em questão, o tipo topológico, o número dos elementos existentes na malha desse Crack-

Block, bem como o número dos elementos ao longo da frente de fenda. Apresentam-se,

seguidamente, alguns exemplos de blocos a fim de melhor compreensão da sua nomenclatura:

• l01_q496x8:

l01 – Família 1 Large Crack-Blocks

q – Fenda de ¼ de círculo ou elíptica

496x8 - Total de 496 elementos com 8 nós ao longo da frente de fenda

• s02_t19x1:

s02 – Família 2 Standard Crack-Blocks

t- Fenda passante

19x1 - Total de 19 elementos com 1 nós ao longo da frente de fenda

Na realização deste trabalho utilizam-se blocos do tipo Standard Crack–Blocks, por serem os

mais apropriados para o caso em estudo e por serem mais práticos e fáceis de serem utilizados. Nas

tabelas e figuras seguintes encontram–se algumas especificações relativas aos blocos usados.

53

Tabela 3.2 - Crack – block s01_q103x4

Tipo Stantard

Relação ideal entre eixos 0,33333

Número de anéis controlados por elemento 2

Número de contornos para o Abaqus e o Finas 3

Relação do defeito para o controlo do anel 0,20742

Potencialidades da fenda Não

Reversão de canto misturado através da parte dianteira da fenda Não

Posições do nó do elemento substituído que são eliminadas 9,12,17

Tabela 3.3 – Crack – blocks s01_q158x6

Tipo Stantard







Posições do nó do elemento substituído que são eliminadas 9,12,17

Tabela 3.4 - Crack – block s01_t88x5

Tipo Stantard







Posições do nó do elemento substituído que são eliminadas 9,11,12,17,20

54


Tipo Stantard Relação ideal entre eixos 0,5




Potencialidades da fenda Sim

Reversão de canto misturado através da parte dianteira da fenda Sim

Posições do nó do elemento substituído que são eliminadas 9,11


Tipo Stantard Relação ideal entre eixos 0,5




Potencialidades da fenda Sim

Reversão de canto misturado através da parte dianteira da fenda Sim

Posições do nó do elemento substituído que são eliminadas 9,11

Figura 3.15 – Crack – Block s01_103x4 (Zencrack, 2006)

55

Figura 3.16 – Crack – Block s01_158x6 (Zencrack, 2006)

Figura 3.17 – Crack – block s01_t88x5 (Zencrack, 2006)

56



57

3.6.4 Exemplo de Aplicação

De modo a melhor compreender o procedimento de utilização do ZENCRACK, far-se-á uma

explicação detalhada de uma simulação visando a obtenção de soluções numéricas de K para fendas

de canto em provetes do tipo CC, sendo este um problema clássico amplamente abordado por

diversos autores, como é o caso de Antunes (1999).

Neste exemplo vamos comparar as soluções de K ao longo da frente de fenda para três

situações: fendas com geometria de ¼ de círculo com raios de 2mm,3mm e 4mm.

Assim sendo, os dados necessários para este exemplo são;

o Provete com geometria CC, o que corresponde a um modelo com secção transversal

quadrada (neste caso com10mm de aresta);

o Carga aplicada de 60KN, o que corresponde uma tensão remotamente aplicada de 600MPa;

o Material isotrópico, homogéneo e linear elástico com as seguintes propriedades:

o Modulo de Young (E): E=1,7x1011Pa

o Coeficiente de Poisson (ν ): ν =0,3

o Temperatura de 600 °C

o Comprimento: 88mm

Com estes dados, passamos à resolução do problema. Em primeiro lugar, temos de criar o

modelo no ABAQUS com a malha original, ou seja, sem a fenda. De seguida, é necessário executar o

módulo “Job”, ainda no software de elementos finitos, de forma a obter um ficheiro com a

extensão .inp (no caso em questão o ficheiro tem o nome de “Teste_Antunes.inp”) que será utilizado

posteriormente pelo Zencrack.

Contudo, o ficheiro resultante não pode ser ainda processado pelo Zencrack, dado que este

software trabalha com malhas sem partições, o que nem sempre acontece aquando da construção da

malha do modelo original sem fenda. Este problema é ultrapassado simplesmente alterando

manualmente o ficheiro “Teste_Antunes.inp”, apagando todas as referências a “PARTS”,

“INSTANCES”, “ASSEMBLEY” e “INTERNAL” que se encontram no ficheiro e salvando todas as

alterações feitas cuidadosamente.

O Segundo passo consiste na criação do ficheiro com extensão “.zcr” (para o caso em

questão, “Fenda_pequena.zcr”). Este ficheiro é criado com linhas de comando escritas no “notepad” e

é-lhe atribuída a extensão pretendida, assumindo o aspecto da Figura 3.20.

58

Figura 3.20 – Ficheiro de entrada dos comandos do software Zencrack v74a

De notar que, nesta fase, o ficheiro “Teste_Antunes.inp” já foi criado depois de correr o “Job”

e lhe ser retirado as referências “PARTS”, “INSTANCES”, “ASSEMBLEY” e “INTERNAL”. Assim

passamos a explicar cada comando:

o *FILES, UNCRACKED=Teste_Antunes.inp – define-se qual o ficheiro correspondente à

malha original, no qual se irá introduzir um Crack–block;

o *OPTIONS,INTERFACE=ABAQUS,FE=FULL,TYPE=INITIAL – é a indicação do tipo de

software de interface e do tipo de análise;

o *CRACK FRONT,INITIAL=SIZE – define a geometria da frente de fenda e como ela deve ser

construída, ou seja, a fenda pode ser construída por pontos ou por tamanho. Neste caso em

particular, optou-se por construir uma fenda com geometria de quarto de círculo com um raio

(tamanho) de 2.0 mm;

o s01_q103x4.sup – indica o tipo de elemento que o Zencrack utilizará da sua livraria,

adicionando-se a referência “.sup” para indicar que se trata de uma fenda superficial;

o 9,10,20,2.0,2.0 – 9 indica o elemento, 10 e 20 os nós da aresta em que se pretende colocar a

fenda e, 2.0 e 2.0 a dimensão dos semi–eixos da elipse que, neste caso são iguais porque se

trata de um quarto de circulo;

o *MATERIAL (170000,0.30) – define o módulo de Young e o coeficiente de Poisson do

material;

o *END – terminar a aplicação.

Depois destes ficheiros estarem criados, deve-se criar uma directoria no disco rígido do

computador (para o caso foi a pasta “IST_fadiga”) e pôr os dois ficheiros em causa

(“Teste_Antunes.inp” e “Fenda_pequena.inp”) nesta mesma pasta. Desta forma, estar-se-á em

condições de proceder para a análise com o Zencrack através do executável “Zencrack.exe”.

Nesta janela, deve-se entrar na directoria onde se encontram os ficheiros (cd IST_fadiga) e

escrever o seguinte comando:

runzcr74 –j Fenda_pequena.zcr

59

Chama-se a atenção para o facto de ser necessário deixar um espaço antes e após a

instrução “-j”.

Depois do software correr, poderemos visualizar os novos ficheiros de saída na mesma

directoria considerada anteriormente, sendo os mais importantes: “fenda_pequenar.rep”,

“fenda_pequenar-zcr.odb”. Através destes é possível fazer a leitura e estudar os resultados relativos

aos parâmetros pretendidos, tais como o factor de intensidade de tensões, Integral J, etc.

O gráfico da Figura 3.21 representa a distribuição de K ao longo de várias posições da frente

de fenda para os quatro casos anteriormente referidos. Neste mesmo gráfico, são também

apresentadas as soluções correspondentes a estes casos mas obtidas com recurso a dados

publicados por outros autores (Pickard, 1986, e Newman e Raju, 1986).

Pickard:a=4mm; 90; 59,78193868

20

40

60

80

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Posição angular[º]

K[M

Pa*m

^(0,

5)]

Newman eRaju:a=2mmPicard:a=2mm

resultadosnuméricos:a=2mmNewman eRaju:a=3mmPickard:a=3mm

resultadosnuméricos:a=3mmNewman eRaju:a=4mmPickard:a=4mm

resultadosnuméricos:a=4mm

Figura 3.21 – Variação de K ao longo da frente de fenda para diferentes comprimentos de fendas

(a=c=2mm, a=c=3mm e a=c=4mm)

Como se pode verificar da observação da figura anterior, os resultados obtidos com recurso

ao ZENCRACK apresentam uma excelente concordância com as soluções daqueles autores, tanto

em termos quantitativos como qualitativos. De facto, em todos os casos analisados, pode observar-se

a existência de um valor mínimo de K para a posição a 45º.

Assim, o ZENCRACK mostra ser um software que apresenta resultados de elevada exactidão,

sendo fácil de utilizar e poupando tempo na construção de malhas complexas em torno de fendas.

Estes aspectos permitem fazer análises computacionais em estruturas mais complexas com um

elevado grau de confiança, evitando que tenham de ser feitos os tradicionais ensaios experimentais

que, tradicionalmente, envolvem custos elevados e uma grande morosidade.

60

Capitulo 4: Apresentação e análise dos resultados

Neste capitulo serão apresentados e analisados os resultados das simulações

computacionais obtidos para as distribuições de tensões ao longo do provete e do Integral J ao longo

da frente de fenda, apresentando-se também o procedimento para o cálculo do factor de intensidade

de tensões K em diferentes posições da frente de fenda com base no Integral J.

O estudo da determinação do Integral J e do factor de intensidade de tensões a alta

temperatura da superliga de níquel RR1000 foi feito no presente trabalho simulando numericamente o

provete “double U”. Assim, pretende–se neste capítulo:

o Apresentar a distribuição de tensões na direcção da espessura e da largura do provete;

o Apresentar soluções de K para fendas de canto de forma elíptica;

o Apresentar soluções de K para fendas rectilíneas que se propagam a partir do entalhe.

o Comparar as soluções de K obtidas para as fendas passantes e elípticas com as existentes

na literatura.

4.1 Provete double – U

Como já foi dito, o provete que foi analisado pelo método dos elementos finitos na presente

simulação computacional tem uma geometria com dois entalhes semi-circulares em forma de U

(double U). Este tipo de provete, visível nas Figuras 4.1 e 4.2, pretende simular a zona de encaixe

das pás nos discos de compressores que funcionam numa zona próxima das turbinas estando

sujeitas a altas temperaturas, uma vez que esta é uma área crítica de elevada concentração de

tensões estando, consequentemente, associada a uma grande percentagem de falhas em serviço

destes componentes.

Figura 4.1 – Geometria do provete de duplo entalhe (Teles, 2005)

61

Figura 4.2 – Imagem de um provete de duplo entalhe (Carvalho, 2005)

4.1.1 Material “Superliga de níquel RR1000” O material usado neste estudo é uma superliga de níquel de última geração desenvolvida

através de uma técnica de pulverometalurgia e cujo nome comercial é RR1000. Esta liga foi

projectada especialmente para discos de compressores, tendo como principal característica uma boa

resistência à fadiga–fluência, aliada a uma elevada resistência à corrosão e oxidação sob

circunstâncias de operação bastante severas.

As principais características desta superliga de níquel sinterizada estão registadas nas

tabelas 4.1 e 4.2;

Tabela 4.1 – Dados técnicos da superliga de níquel RR1000 (Cláudio, 2005)

Dados Técnicos RR1000 – 650ºC

Tensão de rotura 1448 MPa

Tensão de cedência 1034 MPa

Módulo de Young (E) 188,6 GPa

Coeficiente de Poisson (ν ) 0,255

Tabela 4.2 – Composição química da superliga de níquel RR1000 (Cláudio, 2005)

Composição Química de RR1000 [% mássica]

Ni Co Cr Mo Ta Ti Al B C Zr Hf O2

52,728 18,5 15,0 5,0 2,0 3,6 3,0 0,015 0,027 0,06 0,07 --

62

4.1.2 Carregamento

Considerando as condições de carregamento associadas aos ensaios experimentais que se

tentam aqui traduzir, o provete é traccionado nas roscas, pelo que as forças externas são aplicadas

longe da frente de fenda. Uma vez que a fenda é normal ao eixo do provete, ocorre o modo I (Figura

2.6a) de solicitação ao longo de toda a frente de fenda. Para o cálculo de K, integral J e da

determinação de tensões considerou–se uma carga estática de 20kN (idêntica àquelas utilizadas nos

ensaios experimentais), correspondente a uma tensão de 209.20MPa na zona mais afastada das

roscas do provete. O peso do provete e a pressão atmosférica têm pouca influência no valor de K,

comparados com a carga de 20kN, pelo que não foram considerados.

4.1.3 Condições de Fronteira

As condições de fronteira são indicadas na figura 4.3, procurando reproduzir as condições

impostas pelas amarras da máquina de ensaios. Dado que o provete é rigidamente enroscado nas

amarras, o movimento das suas cabeças é idêntico ao movimento das amarras. Uma das amarras

actua como encastramento, enquanto a outra, utilizada para aplicar a carga, impõe deslocamentos

longitudinais ao provete. A rotação e flexão das cabeças do provete são restringidas pela rigidez das

amarras. Assim é possível simular parte do provete uma vez que há simetria e numericamente é mais

fácil e menos exigente em termos de processamento.

Figura 4.3 – Modelo físico do provete double – U com as condições de fronteira

63

4.2 Cálculo numérico de K e do Integral J

O cálculo de K foi feito com base em resultados do MEF, utilizando os softwares

ABAQUS/ZENCRACK. Optou–se por estes softwares não só pela sua relativa simplicidade, mas

também por estarem especialmente dedicados a problemas envolvendo a determinação dos

parâmetros K e J, utilizando, para tal, o método das forças externas. Deste modo, os resultados do

MEF necessários para o cálculo de K não pertencem a elementos vizinhos da extremidade da fenda,

onde são menos exactos.

4.2.1 Simplificações na análise do provete pelo MEF

De modo a facilitar a análise do provete double–U pelo MEF, foram consideradas diversas

simplificações que, em principio, não afectarão significativamente os valores de K.

Essas simplificações, foram:

o Uma vez que o provete double-U é simétrico em relação ao plano de propagação da fenda

em termos de geometria, carregamento, material e condições de fronteira, só se analisou

meio provete considerando as condições de fronteira adequadas (Figura 4.3). Assim, os

pontos pertencentes à superfície da fenda não foram sujeitos a qualquer restrição, de modo a

permitir a abertura da fenda quando o provete é solicitado, como acontece realmente. Nos

restantes pontos da secção da fenda restringiu–se o movimento na direcção longitudinal do

provete (estes cuidados são obtidos automaticamente na interface ABAQUS/ZENCRACK);

o Não se considerou a geometria cilíndrica da cabeça do provete, com o objectivo de facilitar a

discretização do provete em elementos finitos;

o A carga foi aplicada uniformemente na secção indicada na figura 4.3, apesar de na realidade

ela estar aplicada nas roscas do provete. Esta distribuição uniforme produz um campo local

de tensões diferente; porém, de acordo com o princípio de S. Venant, a diferença junto à

frente de fenda é pequena.

4.2.2 Malha de Elementos finitos

A discretização do modelo físico do provete double–U (Figura 4.3) numa malha de elementos

finitos foi feita considerando elementos isoparametricos hexaédricos de 20 nós do tipo “C3D20R”

(conforme nomenclatura ABAQUS), permitindo integração reduzida de maneira a terem uma melhor

compatibilidade com os crack–blocks disponíveis na livraria de elementos do ZENCRACK (figura 3.15,

3.16, 3.17, 3.18 e 3.19) de maneira a obter-se resultados mais exactos e tempo de processamento

menores. Um dos grandes benefícios da interface ABAQUS/ZENCRACK é não haver necessidade de

garantir malhas extremamente refinadas do provete não fissurado, uma vez que os crack–blocks

introduzem, por defeito, uma grande população de elementos ao longo da frente de fenda,

melhorando a precisão dos resultados. A malha considerada para a obtenção da distribuição de

tensões é indicada na figura 4.4.

64

Figura 4.4 – Malha de elementos finitos do provete double – U

4.2.3 Distribuição de tensões A análise de tensões vai permitir definir a tensão local nos pontos do provete onde se

pretende obter o valor de K e J. Utilizando as equações de Pickard (1986) e de Newman e Raju (1986)

em conjunto com o polinómio que descreve a distribuição de tensões na região junto à fenda, vai ser

possível obter uma solução do factor de intensidade de tensões, a qual pode ser comparada com a

solução por elementos finitos. A figura 4.5 mostra a distribuição de tensões no provete double–U, de

onde podemos extrair a distribuição de tensões ao longo da espessura (figura 4.6) e ao longo da

largura, uma vez que a superfície livre do provete está em estado plano de tensões (figura 4.7a) e à

medida que se desloca no interior do provete passamos para estado plano de extensões, havendo

necessidade de determinar o distribuição de tensão a meio do provete (figura 4.7b).

65

Figura 4.5 – Distribuição de tensões equivalentes de Von Mises (tensões em MPa)

590

600

610

620

630

640

650

660

670

680

0,000 1,000 2,000 3,000 4,000 5,000

Espessura[mm]

Tens

ão[M

Pa]

Figura 4.6 – Distribuição de tensões ao longo da espessura do Provete double–U

66

210

260

310

360

410

460

510

560

610

660

0,000 2,000 4,000 6,000 8,000 10,000 12,000 14,000Largura [mm]

Tens

ão [M

Pa]

Figura 4.7a – Distribuição de tensões ao longo da zona critica (estado de tensão plana)

210

260

310

360

410

460

510

560

610

660

0,000 2,000 4,000 6,000 8,000 10,000 12,000 14,000Largura [mm]

Tens

ão[M

Pa]

Figura 4.7b – Distribuição de tensões ao longo da zona critica (estado de deformação plana)

4.2.4 Resultados de K e Integral J

Devido ao elevado volume de simulações efectuadas neste trabalho, optou–se por apresentar

apenas os resultados correspondentes às fendas de canto com a relação de a/c=1, a/c=1.2 e a/c=2 e

às fendas passantes “rectilíneas” com os seguintes comprimentos de fenda: a=3mm, a=4mm e

a=5mm.

Em condições de aplicação da MFLE (Branco, 2005) o integral J é igual a G (equação 2.19) e

uma vez que estamos no modo I de carregamento (figura 2.6a);

( ) 2222 11

IIIIII KE

KKE

J νν +++

−= (4.1)

67

Nestas condições, 0== IIIII KK ; assim, a equação 4.1 reduz–se à equação 2.20. A

aplicação dessa expressão conduz aos resultados apresentados nos gráficos correspondente ao

factor de intensidade de tensões calculado com base no integral J obtido numericamente. A

distribuição de K e do integral J seguem a notação indicada na figura 4.8, sendo esta relativa a uma

fenda de canto com forma elíptica.

Figura 4.8 – Geometria da fenda de canto no provete double-U

Nas secções seguintes, apresentam-se os gráficos relativos à variação dos parâmetros K e J

para os casos anteriormente referidos e considerando diferentes blocos para a geração da malha da

frente de fenda.

4.2.4.1 Resultados de K e integral J para Fendas circulares

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90


K[M

Pa*m

^(0,

5)]

a=c=0,5mm - Blocos01_q103x4.supa=c=1mm - Blocos01_q103x4.supa=c=1,5mm - Blocos01_q103x4.supa=c=2mm - Blocos01_q103x4.supa=c=0,5mm - Blocos01_q158x6.supa=c=1mm - Blocos01_q158x6.supa=c=1,5mm - Blocos01_q158x6.supa=c=2mm - Blocos01_q158x6.sup

Figura 4.9 – Variação de K ao longo da frente de fendas circulares com comprimentos 0,5mm,1mm,

1,5mm e 2mm com blocos s01_103x4 e s01_158x6

68

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90


Inte

gral

J[N

/mm

]a=c=0,5mm - Blocos01_q103x4.supa=c=1mm - Blocos01_q103x4.supa=c=1,5mm - Blocos01_q103x4.supa=c=2mm - Blocos01_q103x4.supa=c=0,5mm - Blocos01_q158x6.supa=c=1mm - Blocos01_q158x6.supa=c=1,5mm - Blocos01_q158x6.supa=c=2mm - Blocos01_q158x6.sup

Figura 4.10 – Variação do integral J ao longo da frente de fendas circulares com comprimentos

0,5mm,1mm, 1,5mm e 2mm com bloco s01_q103x4

4.2.4.2 Resultados de K e integral J para Fendas elípticas

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90


K[M

Pa*m

^(0,

5)]

a=0,417mm:c=0,5mm -Bloco s01_q103x4.sup

a=0,833mm:c=1mm -Bloco s01_q103x4.sup



a=0,5mm:c=1mm - Blocos01_q103x4.sup


a=1mm:c=2mm - Blocos01_q103x4.sup


blocos s01_103x4

69

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90


Inte

gral

J [N

/mm

]a=0,417mm:c=0,5mm -Bloco s01_q103x4.sup




a=0,5mm:c=1mm - Blocos01_q103x4.sup


a=1mm:c=2mm - Blocos01_q103x4.sup

Figura 4.12 - Variação do integral J ao longo da frente de fendas elípticas com relações c/a=1,2 e

c/a=2 com s01_q103x4

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90


K[M

Pa*m

^(0,

5)]

a=0,417mm:c=0,5mm- Blocos01_q158x6.supa=0,833mm:c=1mm -Bloco s01_q158x6.sup





a=1mm:c=2mm - Blocos01 q158x6.sup


blocos s01_q158x6

70

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90


Inte

gral

J [N

/mm

]a=0,417mm:c=0,5mm- Blocos01_q158x6.supa=0,833mm:1mm -Blocos01_q158x6.supa=1,25mm:c=1,5mm -Blocos01_q158x6.supa=1,667mm:c=2mm -Blocos01_q158x6.supa=0,5mm:c=1mm -Blocos01_q158x6.supa=0,75mm:c=1,5mm -Blocos01_q158x6.supa=1mm:c=2mm -Blocos01_q158x6.sup

Figura 4.14 - Variação do Integral J ao longo da frente de fendas elípticas com relações c/a=1,2 e

c/a=2 com blocos s01_158x6

4.2.4.3 Resultados de K e integral J para fendas rectilíneas

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

0,000 1,000 2,000 3,000 4,000 5,000Posição ao longo da frente de fenda[mm]

K[M

Pa*m

^(0,

5)]

a=3mm - Blocos03_t23x1.supa=4mm - Blocos03_t23x1.supa=5mm - Blocos03_t23x1.supa=3mm - Blocos04_t35x1.supa=4mm - Blocos04_t35x1.supa=5mm - Blocos04_t35x1.sup

Figura 4.15 – Variação de K ao longo da frente de fendas rectilíneas com profundidades de 3mm,

4mm e 5mm usando blocos s03_t23x1

71

5,00E+00

1,00E+01

1,50E+01

2,00E+01

2,50E+01

3,00E+01

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00Posição ao longo da frente de fenda [mm]

Inte

gral

J[N

/mm

]

a=3mm - Blocos03_t23x1.sup






Figura 4.16 – Variação do Integral J ao longo da frente de fendas rectilíneas com profundidades de

3mm, 4mm e 5mm usando blocos s03_t23x1 Nas figuras 4.9, 4.11, 4.13 e 4.15 apresentam–se os valores de K em função da posição

angular ao longo da frente de fenda, considerando diferentes comprimentos de fendas elípticas e

rectilíneas cujas malhas foram construídas com vários blocos da livraria do Zencrack. Pode observar–

se a variação de K ao longo da frente de fenda segue uma tendência idêntica para todos os casos,

sendo que o valor superior coincide com a posição a 0º (raiz do entalhe) para as fendas elípticas

(figuras 4.9, 4.11 e 4.13) e com a posição a meio do provete (figura 4.15) para as fendas de

geometria rectilínea.

Nas figuras 4.10,4.12, 4.14 e 4.16 apresentam–se os valores respectivos do integral J ao

longo da frente de fenda, os quais foram calculados o factor de intensidade de tensões com base na

equação 4.1 (sendo KII=KIII=0).

As figuras 4.17 e 4.19 apresentam, respectivamente, um pormenor das malhas usadas nas

fendas de geometria elíptica e de geometria rectilínea, sendo estas geradas automaticamente pelo

software Zencrack. A distribuição de tensões para estes casos pode observar–se nas figuras 4.18 e

4.20.

Figura 4.17 – Provete double – U com uma fenda circular de 1,00mm

72

Figura 4.18 – Distribuição de tensão de Von Mises do provete double – U com uma fenda circular de

1,00mm (tensões em MPa)

Figura 4.19 – Provete double – U com uma fenda passante com uma profundidade 1,00mm

Figura 4.20 – Distribuição de tensões de Von Mises de uma fenda passante de 3,0mm de

profundidade (tensões em MPa)

73

4.2.4.3 Solução adimensional para fendas elípticas

Para as fendas de canto de forma circular a magnitude do campo complexo de tensões junto

a um ponto a 45º, o que é traduzido pelo valor de K nessa posição angular, depende da tensão

aplicada, da dimensão e forma do provete e do comprimento de fenda. O efeito do carregamento

pode ser estudado considerando a tensão local lida na figura 4.7b, bastando para isso entrar com o

comprimento da fenda pretendido e fazer a leitura da tensão correspondente, enquanto a secção do

provete relevante para K é H*W (sem o entalhe). A dimensão da fenda pode ser caracterizada por “a”.

Assim, para fendas de forma circular num provete double-U, pode escrever-se a seguinte relação:

),,( aWfK localσθ = (4.2)

Neste estudo a tensão remotamente aplicada e a espessura do provete foram mantidos

constantes (não implica tensão local constante), pelo que se variou somente a dimensão da fenda.

A equação 4.2 pode ser adimensionalizada utilizando o teorema de Buckingham da análise

adimensional. Considerando “ localσ ” e “a” como as variáveis primárias, pode obter-se a seguinte

equação de parâmetros adimensionais:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Waf

aK

local πσπ

2º45 (4.3)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Waf

aK

local πσπ

2º90 (4.4)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Waf

a

K

local πσ (4.5)

Nas figuras 4.21, 4.22 e 4.23 apresentam–se os resultados numéricos obtidos para K45º, K90º

e K para diferentes comprimentos de fendas (a/W) com geometrias elípticas e rectilíneas. O

ajustamento das curvas polinomiais por regressão aos resultados numéricos permitiu obter as

soluções para o factor de intensidade de tensões expressas pelas equações 4.6, 4.7 e 4.8.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000

Figura 4.21 – Variação de K45º com o comprimento de fenda (fenda elíptica)

432

º45 0288,77242,90447,45128,09926,02

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Wa

Wa

Wa

Wa

aK

local πσπ

(4.6)

74

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000

Numerical results

Pickard

New man and Raju

Figura 4.22 – Variação de K90º com o comprimento de fenda (fenda elíptica)

432

º90 5577,61485,64352,17197,01516,12

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Wa

Wa

Wa

Wa

aK

local πσπ

(4.7)

4.24.5 Solução adimensional para fendas rectilíneas

0

1

2

3

4

5

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

Numerical results

Pickard

Figura 4.23 – Variação de K com o comprimento de fenda (fenda rectilínea)

5432

462,5606,25246,34698,16166,4912,0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Wa

Wa

Wa

Wa

Wa

aK

local πσ (4.8)

O factor de correlação correspondente às curvas anteriores é de, respectivamente, 0.987,

0,977 e 0,986, sendo a diferença máxima entre os valores numéricos e a curva de regressão de

0.013%, 0.023% e 0.014%. A exactidão desta expressão é, em média, de 7% sendo o maior erro de

18%, considerando os erros numéricos de K e os ajustamento polinomiais. Os erros numéricos de K

são principalmente devido a erros do MEF e de uma malha imposta pelo software de apoio que, por

vezes, não é tão regular quanto o desejável, não podendo ser ajustada pelo utilizador.

75

Nas figuras 4.21, 4.22 e 4.23 apresentam–se, também, soluções propostas por Pickard (1986)

e Newman e Raju (1986). Pode observar–se que os valores aqui obtidos são ligeiramente superiores

aos apresentados por estes autores. A primeira ideia foi atribuir a diferença à geometria do provete,

que é cúbica no caso do modelo de Pickard. A diferença pode ser explicada pelas condições de

fronteira distintas impostas ao provete double-U (uma vez que Pickard considerou que a cabeça do

provete era livre de rodar) e pela irregularidade da malha inerente ao Zencrack. Para o exemplo

anteriormente apresentado na secção 3.6.4, estes erros não são tão evidentes, pois este trata-se de

um caso muito semelhante à situação estudada por Pickard; este facto pode constatar-se através da

observação da figura 4.24, relativa aos pontos a 45º, e da figura 4.25 para os pontos a 90º. Estes

gráficos permitem ver que as soluções numéricas aqui apresentadas se aproximam mais das

soluções de Pickard, havendo uma maior divergência para as soluções de Newman. Para os pontos

superficiais os erros são menores em qualquer dos casos aqui estudados, revelando-se esta uma

zona difícil de analisar, o que já tinha sido referido por vários autores.

Note-se que as soluções apresentadas nas equações 4.6, 4.7 e 4.8 são válidas para comprimentos

de fenda situados entre 8.01.0 ≤≤Wa

.

76

Capítulo 5: Discussão dos Resultados Neste capítulo faz–se uma discussão dos resultados obtidos com o software usado neste

estudo, “Zencrack”. No caso das fendas elípticas, será feita uma comparação dos valores de K para

as posições a 45º e 90º com as soluções propostas por Pickard (1986) e Newman e Raju (1986). A

opção por estas posições angulares prendeu-se com o facto de ambas traduzirem diferentes

condições de estado de tensão, uma vez que dizem respeito a um ponto à superfície (90º) e outro no

interior da fenda (45º). Para o caso das fendas rectilíneas, consideraram-se os pontos situados a

meio da frente de fenda para os diferentes comprimentos de fenda (a=0.5mm, a=1.0mm e 3.0mm),

comparando os resultados com a solução de Pickard (1986).

i) Influências do Zencrack nos resultados

O software “Zencrack” foi muito útil na realização deste estudo. No entanto, trata-se de um

software que nos limita em alguns aspectos, como por exemplo na falta de flexibilidade de geração de

malhas, uma vez que estas são impostas ao modelo previamente criado. De facto, a rotina de criação

de uma fenda com o seu auxílio é extremamente fácil, mas torna-nos meros espectadores na

concepção da malha em torno da frente de fenda no respeitante ao seu refinamento e regularidade,

condições essenciais para a obtenção de melhores resultados. Ao longo da frente de fenda nota–se

uma certa irregularidade nos valores de K, embora estes sigam uma tendência qualitativa descrita por

vários autores, apresentando uma variação situada entre 3 a 5%. Esta variação atribui–se às

características da malha que, para o caso de fendas superiores a 1.25mm, apresenta um padrão

maior, tirando alguma precisão aos resultados. A segunda causa pode–se atribuir ao tipo de blocos

usados para construção da malha, esperando–se que os “Large–blocks” eliminem ou diminuam este

problema. Deve haver, igualmente, uma certa cautela no modo de apresentação dos resultados

relativos ao integral J e factor K ao longo da frente de fenda, uma vez que o software só nos fornece

resultados para três contornos (no caso dos blocos do tipo s01_q103x4, s01_q158x6, s01_t88x4 e

s03_t23x1), o que constitui uma limitação do software em caso de não convergência de valores.

Assim todos os resultados aqui apresentados foram calculados fazendo uma média entre os valores

correspondentes ao segundo e o terceiro contorno (conforme indicação da Zentech), o que implica

que estes resultados de K e do integral J apresentem uma superior magnitude ao longo da frente de

fenda, razão que pode explicar a superioridade dos valores de K para o caso em estudo

relativamente aos obtidos por Pickard (1986) e Newman e Raju (1986). Esta situação é notória no

caso estudado por Antunes (1999) uma vez que a malha foi mais refinada e a geometria do provete é

mais simples.

ii) Geometria do provete e simplificação

O provete double-U tem dois entalhes que induzem um campo de tensões bastante complexo

na sua vizinhança, implicando uma grande dificuldade na determinação da tensão local exacta num

determinado ponto próximo a esta zona. No presente estudo as tensões foram calculadas com base

77

nas distribuições de tensão obtidas na secção 4.2.3. A simplificação descrita na secção 4.2.1,

correspondente à simulação de apenas meio provete, pode ter uma influência negativa nos

resultados uma vez que os relatórios (ficheiros de output) gerados pelo Zencrack indicam um

procedimento do cálculo do integral J e K que nos conduz a valores máximos destes parâmetros

(anexo 1), o que pode levar a uma diminuição dos erros no caso dos valores de K serem menores.

Esta simplificação transporta o presente estudo para um contexto comparativo com o problema

analisado por Irwin (Branco, 1999), que ao referir-se a fendas superficiais apresenta um erro menor

relativamente às soluções aqui apresentadas.

Nas tabelas 5.1 e 5.2 faz–se uma comparação entre, respectivamente, os resultados obtidos

para as fendas elípticas e para as fendas passantes (geometria rectilínea) atendendo às várias

soluções .

Tabela 5.1 – Comparação dos resultados de K45º e K90º com as soluções de Pickard e Newman para

uma fenda circular (a=c=2mm e a=c=1mm)

Resultados numéricos [MPa*m^(0.5)]

Solução de Pickard [MPa*m^(0.5)]

Solução de Newman e Raju[MPa*m^(0.5)]

Erros/ Pickard [%]

Erros/ Newman e Raju[%]

a [mm]

c [mm]

K45º K90º K45º K90º K45º K90º K45 K90º K45º K90º

1.00 1.00 15.14 14.79 14.91 13.60 14.02 13.54 1,54 8.75 7.98 9.23 2.00 2.00 19.95 18.87 18.90 17.73 16.76 17.09 5,56 6.43 19.03 10.42

Tabela 5.2 – Comparação dos resultados de K para fendas rectilíneas (a=0.5mm, a=1.0mm e

a=3.0mm) com a solução de Pickard

a [mm]

Resultados numéricos [MPa*m^(0.5)]

Solução de Pickard [MPa*m^(0.5)]

Erros/ Pickard [%]

0.50 22.21 21.43 3.64 1.00 27.91 27.50 1.49 3.00 46.38 39.27 18.11

Pode observar–se nas tabelas 5.1 e 5.2 que os resultados numéricos obtidos têm erros

aceitáveis, tanto para fendas elípticas como para fendas rectilíneas, principalmente quando

comparados com as soluções analíticas de Pickard (1986). Estes erros têm uma forte contribuição

das causas apontadas no ponto anterior, particularmente o modo de cálculo do integral J para uma

determinada posição ao longo da frente de fenda (ou seja, os resultados numéricos são calculados de

modo a obter–se o Integral J máximo e, consequentemente, o máximo valor de K). Prevê–se que o

uso dos “Large–blocks” possam contribuir para eliminar estes erros, resultando numa variação mais

regular dos valores de K e do integral J ao longo da frente de fenda para as várias posições

analisadas.

78

Capítulo 6: Conclusões e Propostas para trabalhos futuros

6.1 Conclusões No presente trabalho podem distinguir–se duas vias fundamentais: a determinação da

distribuição de tensões no provete double-U quando sujeito a uma carga estática, seguido da

determinação das soluções de integral J e do factor de intensidade de tensões K para fendas de

canto com geometria elípticas e fendas passantes com geometria rectilínea, tarefas que envolveram a

utilização da ferramenta computacional “Zencrack”, a qual constitui um apoio ao interface com o

software de elementos finitos “Abaqus”.

As principais conclusões do estudo realizado são as seguintes:

o As tensões mais elevadas no provete double-U situam-se na direcção da espessura do

mesmo. O valor mais elevado ocorre na zona do entalhe, mais concretamente a meio do

provete. Estando as superfícies laterais livres do provete em estado plano de tensão, e à

medida que se percorre a espessura, as tensões vão aumentando, atingindo o seu valor

máximo a meio do provete. Na direcção da largura do provete, o perfil de distribuição de

tensões é simétrico e em forma de “U”, isto porque na superfície do entalhe a tensão é

máxima (nesta direcção) e vai diminuído à medida que nos deslocamos na direcção do

entalhe oposto, atingindo o seu valor mínimo a meio da largura do provete. Este valor mínimo

é, no entanto, maior do que a tensão remotamente aplicada em cerca de 10%, voltando a

aumentar à medida que se segue em direcção ao entalhe oposto até se atingir novamente o

valor máximo de tensão.

o O campo de tensões determinado não excedeu, em qualquer região do provete, o limite

elástico. Este é um bom indicador da viabilidade de utilização do parâmetro K (factor de

intensidade de tensões) apropriado para descrever o campo de tensões na frente de fenda

admitindo que não ocorre deformação plástica significativa.

o O cálculo dos parâmetros principais da Mecânica da Fractura, baseados na determinação de

K a partir do integral J, recorrendo ao método dos elementos finitos, mostrou ser muito

eficiente, tendo validade no domínio linear elástico e elastoplástico. O cálculo destes valores

é relativamente simples, estando acessível no contexto da maioria dos actuais códigos de

elementos finitos. O integral J é comprovadamente um bom indicador da convergência da

malha, dando segurança em casos onde não se conheça uma solução de referência.

o Algumas dificuldades de modelação da frente de fenda em condições de geometria complexa

(envolvendo, por exemplo, intersecções com superfícies curvas) inerentes aos códigos de

elementos finitos convencionais (como o Abaqus) foram ultrapassadas através da utilização

do software de apoio Zencrack v7.4a, tendo este evidenciado níveis de eficiência e eficácia

dependentes do conhecimento profundo do utilizador.

o Os resultados aqui apresentados permitem um grande nível de confiança, uma vez que têm

erros baixos quando comparadas com as soluções clássicas disponíveis na literatura. No

79

entanto, estes erros são menores para fendas de pequenas dimensões e, sobretudo, quando

relacionados com as soluções de Pickard, variando entre 1.54% para K45º, no caso da

geometria elíptica de canto, e 3.64% para a posição a meio da fenda com geometria rectilínea

passante. Na situação mais desfavorável, correspondente ao caso de uma fenda rectilínea

com 3mm de comprimento, o erro não ultrapassou os 18.11%.

o O uso de “standards blocks” limitou a modelação de fendas de maiores dimensões, uma vez

que estas foram simuladas com uma malha mais espaçada para permitir a substituição do

bloco com uma fenda maior, de onde resulta uma perda de exactidão nos valores de K e do

integral J.

6.2 Propostas para trabalhos futuros Na sequência das conclusões inerentes ao presente trabalho, seria interessante estudar,

numa perspectiva futura, os seguintes aspectos:

o Estender o presente estudo à Mecânica da Fractura elastoplástica, envolvendo condições de

variação de temperatura e de frequências de carregamento, para as quais a fluência tem um

papel determinante no processo de fissuração, utilizando como ferramenta o Zencrack;

o Analisar a distribuição de tensões em provetes double-U com gradiente térmico;

o Estudar o crescimento de fendas em modelos mais complexos com geometria real (por

exemplo discos de turbina) com carregamentos dinâmicos utilizando o Zencrack;

o Utilizar o Zencrack no desenvolvimento de modelos para a previsão do crescimento

automático de fendas recorrendo aos dados obtidos nos ensaios experimentais.

80

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Portugal L.da, 3ª edição;

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83

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Mechanics, Series A, vol.61, pp. A – 49 – A -53.

Zencrack/ User’s Manual (2006) Version 7.4a, Zentech International Limited, U.K.

84

Anexos 1: Listagem dos ficheiros de “output” do ZENCRACK ****************************************************************************************************

* *

* ZENCRACK is proprietary software of: *

* *

* ZENTECH INTERNATIONAL LTD. Tel. (+44) 1252 376388 *

* 103 Mytchett Road Fax. (+44) 1252 376389 *

* Camberley E-mail [email protected] *

* Surrey Web http://www.zentech.co.uk *

* GU16 6ES *

* GREAT BRITAIN *

* *

****************************************************************************************************

* *

* The following system is licensed: *

* *

* Program : ZENCRACK Professional *

* Version : 7.4a *

* Release date : 28-JUL-2006 *

* License type : Non-commercial v7.4a *

* Interface to : ABAQUS *

* *

* This system is licensed to: *

* *

* Company : Instituto Superior Técnico (IST) *

* Address : Av. Rovisco Pais *

* 1096-001 Lisbon *

* Portugal *

* *

* Phone : +351218417643 *

* Fax : +351218474045 *

* Computer : PC Windows ( GFADIGA4 ) *

* *

****************************************************************************************************

* *

* Zencrack installation directory : *

* c:\zencrack74a\ *

* *

85

* Zencrack user subroutine for this analysis : *

* - *

* *

* Zencrack executable for this analysis : *

* c:\zencrack74a\bin\compaq\zcr74_cvf.exe *

* *

* Executable details : *

* 28-07-2006 17:19 8.822.784 zcr74_cvf.exe *

* *

****************************************************************************************************

* *

* .zcr input file for analysis : *

* c:\ist_fatigue_msc_cleidy\fenda_elipticas.zcr *

* *

* Date of analysis (D-M-Y) : 12-08-2007 *

* Start time (H-M-S) : 17:10:53 *

* *

****************************************************************************************************

----------------------------------------------------------------------------------------------------

PROCESSING SELECTED KEYWORDS FOR DATA INITIALISATION

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Processing keyword: files

*************************

Parameter: uncracked Value: Prov_d_U_6.inp

Processing keyword: crackfront

******************************

Parameter: initial Value: size

Total of 1 crack-block processed in this keyword data block.

Total of 1 crack-block processed so far.

----------------------------------------------------------------------------------------------------

PROCESSING DATA FOR ALL KEYWORDS

----------------------------------------------------------------------------------------------------

86

Processing keyword: files

*************************

Parameter: uncracked Value: Prov_d_U_6.inp

Processing keyword: options

***************************

Parameter: type Value: initial

Parameter: fe Value: full

Parameter: interface Value: abaqus

Processing keyword: crackfront

******************************

Parameter: initial Value: size

Total of 1 crack-block processed in this keyword data block.

Total of 1 crack-block processed so far.

Processing keyword: material

****************************

Number of temperature sets is 1

Processing keyword: end

***********************

----------------------------------------------------------------------------------------------------

SUMMARY REPORT OF PROCESSED DATA

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Reporting keyword : files

*************************

The uncracked finite element mesh file name is:

Prov_d_U_6.inp

The output file root name is:

c:\ist_fatigue_msc_cleidy\fenda_elipticasr

87

Reporting keyword : output

**************************

The following reports are deactivated:

"Raw" displacement results from f.e. analysis

Local opening displacements and open / closed status for crack face nodes

Spectrum input file details

Spectrum output: summary (f.e. positions) in .bk1 file

Spectrum output: detail (f.e., block positions) in .bk1 file

Spectrum output: start of block details in .bk2 file

Spectrum output: end of block details in .bk2 file

Time history input file details

Temperature history input file details

Integration progress report

The following reports are activated:

Echo of user input

Processing of user input

Final summary of user input

***INFORMATION messages

Distortion check detail

Distortion check summary

"Raw" energy release rate results from f.e. analysis

Local energy release rates

Maximum energy release rates

Local opening displacements and open / closed status at crack front

Stress intensity factors

Stress state constraint factors

Growth prediction detail

Growth prediction summary

Reporting keyword : memory

**************************

Number of load levels held in memory for each cyclic spectrum is 10000.

Number of load levels held in memory for each load time history is 10000.

Number of temperatures held in memory for each temperature time history is 10000.

Number of edge sets is 200.

Number of nodes per edge set is 10000.

88

Reporting keyword : options

***************************

Interface to ABAQUS.

Setup indicates analysis with Abaqus version 6.5.

Full finite element analysis requested.

No crack growth - analysis of initial crack only.

Reporting keyword : mapping

***************************

Two stage mapping.

Biasing for crack front element rings is off.

There will be "local" fix-up of collapsed crack front elements after mapping.

Element edges will be forced to be normal to the crack front for quarter circular crack-blocks.

If crack-block midside nodes need to be adjusted after mapping, they will be positioned on

straightened element edges.

Reporting keyword : tipmodel

****************************

Collapsed crack front elements have midside nodes positioned at the

quarter-point position.

Each crack front node position has a single node.

This combination is suitable for LEFM.

Reporting keyword : crackfront

******************************

Summary for 1 crack blocks:

cb# ele node 1 node 2 edge 1 edge 2 edge 1 edge 2 reverse transition crack front cb

name

ratio ratio ring ring 0=n 1=y elements number

89

1 341 23 202 0.5000 0.5000 -1.0000 -1.0000 0 0 1 s01_q158x6.sup

(edge ratios are true sizes for this CB)

Reporting keyword : split

*************************

No split sets defined.

Reporting keyword : contact

***************************

Crack face contact definitions are not generated.

Reporting keyword : distortion

******************************

Distortion parameters are not calculated.

Distortion parameters limits are:

conskw = 0.6000

conasp = 0.0500

conmid = 0.9000

conjac = 1.0000

conedg = 0.8500

Reporting keyword : elementsets

*******************************

No additional crack related element sets will be created in the cracked mesh.

Reporting keyword : nodesets

****************************

No additional crack related node sets will be created in the cracked mesh.

Reporting keyword : energyreleaserate

*************************************

Abaqus *CONTOUR INTEGRAL option specifies j-integral calculations.

90

The *NORMAL option will be used for surface nodes in the contour region.

The number of contours to be evaluated is 3.

Processing of contour integral data will use the mean of contours 2 and 3 to calculate Gmax.

Directions on the *CONTOUR INTEGRAL are given explicitly as crack extension direction.

Contour integral and displacement results will be extracted from the ABAQUS .dat file.

Use "raw" Gmax magnitude values along each crack front without averaging.

The contour integral data will be inserted into 1 analysis step:

Step 1 with FREQUENCY parameter set to 99999.

Energy based results will be used for growth magnitude predictions.

Energy based results will be used for growth direction predictions.

The angle reported for SIF-based growth directions will be calculated using the

maximum tangential stress criterion.

Conversion of displacement based SIFs to Gequiv will use Ki, Kii and Kiii.

***INPUT WARNING

Contour integral and displacement values will be extracted

from the Abaqus .dat file. Although this is the program

default it is recommended that values are extracted from

the .fil file due to potential lack of precision of data

in the .dat file. This can have a particularly adverse effect

on calculation of crack opening displacements when both sides

of the crack are modelled. You are advised to consider using

the RESULTS=FIL-USER option on *ENERGY RELEASE RATE together

with *USER to define a user subroutine containing the code

necessary to extract the required data from the .fil file.

The subroutine file "zcr-jint" is supplied in the "fe_abaqus"

directory of the Zencrack installation for this purpose.

Reporting keyword : boundaryshift

*********************************

91

The original element boundaries of crack-block elements in the uncracked mesh

will not be shifted.

Reporting keyword : relax

*************************

Relaxation algorithm is not requested.

Reporting keyword : relaxdata

*****************************

Relaxation algorithm is not requested using *RELAX

so the *RELAX DATA keyword is ignored.

Reporting keyword : loadsystem

******************************

No load system defined.

Reporting keyword : spectrum

****************************

No load spectrum defined.

Reporting keyword : crackgrowthdata

***********************************

No fatigue crack growth data input.

No time dependent crack growth data input.

Reporting keyword : threshold

*****************************

Fatigue threshold data is not required for this analysis but the following is defined in the input:

Fatigue threshold behaviour has not been set using *THRESHOLD.

92

For the selected form of fatigue crack growth

data there is no threshold limit unless explicitly

defined using *THRESHOLD.

Hence the fatigue crack growth data has no threshold limit.

Reporting keyword : temperature

*******************************

The temperature at crack front nodes is extracted

from the f.e. analysis. If no temperature data is

available the value will be reported as zero.

Reporting keyword : material

****************************

Basic material data is provided at 1 temperatures:

Temperature E nu Yield Kic Kc deltaKth at R=0

0.00000E+00 1.88600E+05 0.25500 1.00000E+20 1.00000E+20 1.00000E+20

0.00000E+00

Reporting keyword : surfaceconstraint

*************************************

Plane stress is assumed at all crack front positions.

Reporting keyword : integrationscheme

*************************************

Not relevant as crack growth is not requested.

Reporting keyword : tolerance

*****************************


Reporting keyword : growthcontrols

**********************************

93


Reporting keyword : exe

***********************

Not relevant for this f.e. interface.

Reporting keyword : user

************************

No Abaqus user subroutine specified.

Reporting keyword : controls

****************************

TOLincx , TOLincf , TOLincc = 1.00000D-08 1.00000D-08 1.00000D+02

TOLdgda , TOLincm1 , TOLincm2 = 1.00000D-12 1.00000D-05 7.50000D-01

TOLinci1 , TOLinci2 , TOLinci3 = 1.00000D-02 1.00000D-04 1.00000D-20

TOLincp1 , TOLincr1 , TOLmapend = 1.00000D+06 1.00000D-20 1.00000D-12

TOLnocg , TOLinca1 , TOLincf1 = 1.00000D-12 1.00000D-05 1.00000D-08

TOLinch1 , TOLincp2 , TOLincp3 = 1.00000D-15 1.00000D-12 1.00000D-02

TOLincq1 , TOLfpcg , TOLinct1 = 1.00000D-06 1.00000D-01 1.00000D-03

TOLincs1 , TOLnorm , TOLtang = 1.00000D-04 1.00000D-06 1.00000D-06

TOLchk1 , TOLrot1 , TOLlor1 = 1.00000D-15 1.00000D-15 1.00000D-15

TOLlor2 , TOLincp4 , TOLasyst = 1.00000D-15 1.00000D-20 1.00000D-18

TOLzerog , TOLdazero , TOLintmet = 1.00000D-18 5.00000D-02 1.00000D-15

TOLzerorg , TOLopen , TOLplane = 1.00000D-15 1.00000D-06 1.00000D-03

TOLfacet , TOLjac , TOLrlam = 1.00000D-05 1.00000D-12 1.00000D-12

TOLsint1 , TOLsint2 , TOLsint3 = 2.00000D+00 1.00000D-01 1.00000D-15

TOLsint4 , TOLsint5 , TOLprev = 1.00000D-06 2.00000D+01 1.00000D-12

TOLfac1 , TOLfac2 , TOLfan1 = -1.00000D-04 1.00000D-07 6.00000D+01

TOLfan2 , TOLdamp1 , TOLplanar = 4.50000D+01 1.00000D-12 1.00000D-03

TOLmappoint1 , TOLmappoint2 , TOLsector1 = 1.00000D+00 1.00000D+00 1.00000D-08

TOLsector2 , TOLshiftmin1 , TOLshiftmax1 = 5.00000D-01 5.00000D-01 7.50000D-01

TOLshift1 , TOLprefer , TOLmidwarn1 = 3.00000D+00 1.00000D+00 9.00000D-01

TOLmidwarn2 , TOLdalimit , TOLradial = 9.90000D-01 9.90000D-01 1.00000D-12

TOLdnzero , TOLparis1 , TOLparis2 = 1.00000D-07 1.00000D-12 1.00000D-05

TOLtimezero , TOLtimezero1 , TOLtimepoint = 1.00000D-09 1.00000D-04 1.00000D-06

TOLblockzero , TOLerrorong , TOLringlimit = 1.00000D-05 1.00000D+04 4.00000D-01

TOLtransmerge, TOLmeanratio , TOLrotangle = 1.00000D-02 1.00000D-04 1.00000D+00

94

TOLlogzero , TOLshape , TOLudcf1 = 1.00000D-40 1.00100D+00 1.00000D-04

TOLudcf2 , TOLudcf3 , TOLudcf4 = 1.00000D-02 1.00000D-04 5.00000D-04

TOLdnnogrow , TOLdtnogrow , TOLdisttang = 1.00000D-12 1.00000D-12 1.00000D-08

TOLmap1 , TOLsamedadn , TOLinterp = 1.00000D-12 1.00000D-08 1.00000D-12

TOLsufmov , TOLsufint1 , TOLsufint2 = 1.00000D-05 1.00000D-03 1.00000D-09

TOLsufint3 , TOLsufchk1 , TOLsufchk2 = 1.00000D-04 1.00000D-03 1.00000D-04

TOLrindex , TOLdadnzero , TOLdist = 1.00000D-04 1.00000D-40 1.00000D-12

TOLangle , TOLtang1 , TOLextend = 1.00000D+00 1.00000D-02 5.00000D+00

TOLshape1 , TOLunmoved , TOLiterate = 1.00100D+00 1.00000D-06 1.00000D-06

TOLsifzero , TOLqpdist = 1.00000D-18 1.00000D-40

iTOLmean , iTOLpartcyc , iTOLsplit = 0 0 0

TOLrElLength , TOLrElHeight , iTOLNresize = 9.00000D-01 7.93800D-01 5

TOLudcf5 , TOLface , TOLtri1 = 1.00000D-04 1.00000D-12 1.00000D-06

TOLsliver1 , TOLsliver2 , TOLsliver3 = 1.00000D+00 1.20000D+02 1.20000D+02

TOLfacet1 = 1.00000D-02

Reporting keyword : save

************************


Reporting keyword : remotetransfer

**********************************

A remote f.e. run is not requested on the command line.

Any data on this keyword will be ignored.

Reporting keyword : end

***********************

----------------------------------------------------------------------------------------------------

ALL INPUT DATA PROCESSED SUCCESSFULLY - NUMBER OF INPUT WARNINGS = 1

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Full echo of .zcr file

**********************

#

# Introdução de um bloco com uma fenda eliptica

# Softwere utilizado, Zencrack, operador, Cleidy Monteiro

95

#

*FILES,UNCRACKED=Prov_d_U_6.inp

*OPTIONS,INTERFACE=ABAQUS,FE=FULL,TYPE=INITIAL

*CRACK FRONT,INITIAL=SIZE

s01_q158x6.sup

341,23,202,0.5,0.5

*MATERIAL

188600,0.255

*END

----------------------------------------------------------------------------------------------------

***INFORMATION : MATERIAL DATA FROM UNCRACKED MESH

***WARNING

Material ZCRMAT not found. This means that E and nu for the f.e. model are unknown.

***INFORMATION : INITIAL CRACK SIZE FOR CRACK-BLOCK 1

Initial size of 5.00000E-01 and element edge length 1.25625E+00 give initial ratio 3.98010E-01

Initial size of 5.00000E-01 and element edge length 1.50000E+00 give initial ratio 3.33333E-01

***INFORMATION : CRACK FRONT DEFINITION

Crack front 1 Side 1 Side 2

C.B. Element C.B. Element

1 341 - -----

***INFORMATION : CRACK FRONT ELEMENT RINGS

Crack front 1 has limits of 2 controlled mapping rings and 3 contour rings.

***INFORMATION : CRACK FRONT NODE LISTS

Crack front number 1

7829 7821 7833 7823 7827 7832 7825 7831 7826 7824

7834 7822 7830

***INFORMATION : BOUNDARY CONDITION UPDATE FOR CRACK-BLOCK 1, FACE 5, DOF

XSYMM

Fixed displacements of equal magnitude on all four corner nodes

will be updated onto all nodes on the face in the cracked mesh.

(This face contains the crack front - boundary conditions will only be

96

updated for nodes on the "closed" part of the crack-block face).

***INFORMATION : CONTOURS AND Gmax EVALUATION FOR EACH CRACK FRONT

Crack front 1 has 3 contours : Gmax evaluated using mean of contours 2,3

***INFORMATION : ANALYSIS DESCRIPTION

Analysis of initial crack only

----------------------------------------------------------------------------------------------------

ZENCRACK 7.4a : Zentech International Ltd. Date of analysis : 12-08-2007

Licensed to : Instituto Superior Técnico (IST)

License type : Non-commercial v7.4a

Input ref. : c:\ist_fatigue_msc_cleidy\fenda_elipticas.zcr

Output ref. : c:\ist_fatigue_msc_cleidy\fenda_elipticasr

----------------------------------------------------------------------------------------------------

RESULTS FOR FINITE ELEMENT ANALYSIS NUMBER 1

----------------------------------------------------------------------------------------------------

NEW MESH WRITTEN.

Current time (H-M-S) 17:10:58 Current date (D-M-Y) 12-08-2007

Elapsed time (H-M-S) 00:00:04

CURRENT COORDINATES OF CRACK FRONT NODES

****************************************

NOTES: 1. Gmax IS CALCULATED AT CORNER NODE POSITIONS ONLY.

2. FOR 8 NODED MESHES THERE WILL BE DUMMY MIDSIDE NODE

POSITIONS REPORTED ALONG EACH CRACK FRONT.

CRACK N NODE NO. COORDINATES (X,Y,Z)

1 1 7829 6.31000E+00 7.13100E+00 4.52500E+00

1 2 7821 6.31000E+00 7.08199E+00 4.52744E+00

1 3 7833 6.31000E+00 7.03345E+00 4.53461E+00

1 4 7823 6.31000E+00 6.98587E+00 4.54656E+00

1 5 7827 6.31000E+00 6.93966E+00 4.56306E+00

1 6 7832 6.31000E+00 6.85322E+00 4.60926E+00

1 7 7825 6.31000E+00 6.77745E+00 4.67145E+00

1 8 7831 6.31000E+00 6.71527E+00 4.74721E+00

97

1 9 7826 6.31000E+00 6.66906E+00 4.83366E+00

1 10 7824 6.31000E+00 6.65256E+00 4.87987E+00

1 11 7834 6.31000E+00 6.64061E+00 4.92745E+00

1 12 7822 6.31000E+00 6.63344E+00 4.97599E+00

1 13 7830 6.31000E+00 6.63100E+00 5.02500E+00

CURRENT TANGENTS AT CRACK FRONT NODES

*************************************

CRACK N NODE NO. TANGENT (X,Y,Z)

1 1 7829 -3.52244E-04 -1.00000E+00 0.00000E+00

1 3 7833 0.00000E+00 -9.80784E-01 1.95095E-01

1 5 7827 0.00000E+00 -9.04073E-01 4.27378E-01

1 7 7825 0.00000E+00 -7.07107E-01 7.07106E-01

1 9 7826 0.00000E+00 -4.27343E-01 9.04089E-01

1 11 7834 0.00000E+00 -1.95084E-01 9.80787E-01

1 13 7830 0.00000E+00 0.00000E+00 1.00000E+00

CURRENT NORMALS IN THE LOCAL CRACK PLANE AT CRACK FRONT NODES

*************************************************************

CRACK N NODE NO. NORMAL (X,Y,Z)

1 1 7829 0.00000E+00 0.00000E+00 1.00000E+00

1 3 7833 0.00000E+00 1.95095E-01 9.80784E-01

1 5 7827 0.00000E+00 4.27378E-01 9.04073E-01

1 7 7825 0.00000E+00 7.07106E-01 7.07107E-01

1 9 7826 0.00000E+00 9.04089E-01 4.27343E-01

1 11 7834 0.00000E+00 9.80787E-01 1.95084E-01

1 13 7830 0.00000E+00 1.00000E+00 0.00000E+00

CURRENT NORMALS TO THE LOCAL CRACK PLANE AT CRACK FRONT NODES

*************************************************************

CRACK N NODE NO. NORMAL (X,Y,Z)

1 1 7829 -1.00000E+00 3.52244E-04 0.00000E+00

1 3 7833 -1.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

1 5 7827 -1.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

1 7 7825 -1.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

1 9 7826 -1.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

1 11 7834 -1.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

1 13 7830 -1.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

***WARNING

98

The number of load systems (excluding superposition systems)

is different to the number of results sets.

Number of load systems = 0 (excluding superposition systems)

Number of results sets = 1

PROCESSING RESULTS SET 1 OF 1

**********************************

ANALYSIS USED ABAQUS VERSION 6.5-1

CONTOUR INTEGRAL VALUES FROM ABAQUS OUTPUT FILE, SET 1

********************************************************

RESULTS AT STEP 1 INC. 1 TOTAL/STEP/INCREMENT TIME FROM .sta FILE: 1.00 1.00

1.000

STEP TIME COMPLETED : 1.00000 OF 1.00000 : 100.000%

TOTAL TIME COMPLETED : 1.00000 OF 1.00000 : 100.000%

CRACK SET NODE CONTOUR 1 CONTOUR 2 CONTOUR 3

1 1 1 7.36100E-01 7.22300E-01 6.94900E-01

1 1 2 6.66100E-01 6.57700E-01 6.48000E-01

1 1 3 6.03700E-01 5.87000E-01 5.85200E-01

1 1 4 5.55300E-01 5.50500E-01 5.39900E-01

1 1 5 5.05100E-01 4.92600E-01 4.90300E-01

1 1 6 4.45300E-01 4.36600E-01 4.36900E-01

1 1 7 4.06900E-01 3.94600E-01 3.88900E-01

1 1 8 3.94400E-01 3.84400E-01 3.80500E-01

1 1 9 4.06100E-01 3.87700E-01 3.79600E-01

1 1 10 4.20000E-01 4.10400E-01 3.94200E-01

1 1 11 4.42600E-01 4.18000E-01 4.07700E-01

1 1 12 4.53900E-01 4.41600E-01 4.26100E-01

1 1 13 4.79900E-01 4.57800E-01 4.32100E-01

NOTE - THE ABOVE VALUES FOR CRACK FRONT 1 ARE FOR ONE SIDE OF THE CRACK

ONLY.

THE REQUIRED FACTOR OF 2 WILL BE APPLIED DURING CALCULATION OF Gmax FROM

Glocal.

TEMPERATURE AND MATERIAL DATA FOR CRACK FRONT 1

*************************************************

TEMPERATURES AND PROPERTIES AT NODES WHERE Gmax OR SIFs ARE REPORTED:

N TEMPERATURE YOUNGS MOD. POISSON YIELD

1 0.00000E+00 1.88600E+05 2.55000E-01 1.00000E+20

99

2 0.00000E+00 1.88600E+05 2.55000E-01 1.00000E+20

3 0.00000E+00 1.88600E+05 2.55000E-01 1.00000E+20

4 0.00000E+00 1.88600E+05 2.55000E-01 1.00000E+20

5 0.00000E+00 1.88600E+05 2.55000E-01 1.00000E+20

6 0.00000E+00 1.88600E+05 2.55000E-01 1.00000E+20

7 0.00000E+00 1.88600E+05 2.55000E-01 1.00000E+20

PROCESSED ENERGY RELEASE RATE DATA FOR CRACK FRONT 1

******************************************************

ENERGY RELEASE RATE SET 1 ALONG CRACK FRONT 1 - from mean of contours 2,3

N Glocal NX NY NZ

1 7.08600E-01 0.00000E+00 0.00000E+00 -1.00000E+00

2 5.86100E-01 0.00000E+00 -1.95095E-01 -9.80784E-01

3 4.91450E-01 0.00000E+00 -4.27378E-01 -9.04073E-01

4 3.91750E-01 0.00000E+00 -7.07106E-01 -7.07107E-01

5 3.83650E-01 0.00000E+00 -9.04089E-01 -4.27343E-01

6 4.12850E-01 0.00000E+00 -9.80787E-01 -1.95084E-01

7 4.44950E-01 0.00000E+00 -1.00000E+00 0.00000E+00

Gmax DISTRIBUTION FOR CRACK FRONT 1

N Gmax VALUES DIRECTION (X,Y,Z)

1 1.41720E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 -1.00000E+00

2 1.17220E+00 0.00000E+00 -1.95095E-01 -9.80784E-01

3 9.82900E-01 0.00000E+00 -4.27378E-01 -9.04073E-01

4 7.83500E-01 0.00000E+00 -7.07106E-01 -7.07107E-01

5 7.67300E-01 0.00000E+00 -9.04089E-01 -4.27343E-01

6 8.25700E-01 0.00000E+00 -9.80787E-01 -1.95084E-01

7 8.89900E-01 0.00000E+00 -1.00000E+00 0.00000E+00

CONSTRAINT VALUES AT CRACK FRONT CORNER NODES AT WHICH Gmax IS CALCULATED

*************************************************************************

CRACK N NODE NO. DIST FROM ENDS 1 & 2 OF CF CONSTRAINT, ALPHA

1 1 7829 0.00000E+00 7.85372E-01 0.00000E+00

1 2 7833 9.81719E-02 6.87200E-01 0.00000E+00

1 3 7827 1.96341E-01 5.89031E-01 0.00000E+00

1 4 7825 3.92686E-01 3.92686E-01 0.00000E+00

1 5 7826 5.89032E-01 1.96340E-01 0.00000E+00

1 6 7834 6.87201E-01 9.81702E-02 0.00000E+00

100

1 7 7830 7.85372E-01 9.69225E-14 0.00000E+00

PROCESSED DISPLACEMENT DATA FOR CRACK FRONT 1

***********************************************

NOTES: 1. THE CONVERSION OF DISPLACEMENTS TO STRESS INTENSITY FACTORS

USES EQUATIONS THAT ARE VALID ONLY FOR LINEAR ELASTIC

ISOTROPIC MATERIALS.

2. ZENCRACK DOES NOT ATTEMPT TO VERIFY THAT THE FE ANALYSIS HAS

A MATERIAL MODEL THAT IS APPROPRIATE.

3. TO TURN OFF ALL REPORTS OF STRESS INTENSITY FACTORS USE

"*OUTPUT,SIF=NO".

***INFORMATION

The entire crack face is open.

MODE I, II, III RELATIVE DISPLACEMENTS AND OPEN/CLOSED STATUS AT THE CRACK

FRONT.

NOTE - R IS THE DISTANCE FROM THE RADIAL NODE POSITION TO THE CLOSEST CRACK

FRONT POSITION.

THIS CLOSEST CRACK FRONT POSITION MAY NOT COINCIDE WITH THE RESPECTIVE

NODE POSITION.

N CF NODE RADIAL NODE(S) DISTANCE R Vi Vii Viii STATUS

1 7829 7811 0 4.46551E-03 5.99305E-04 0.00000E+00 0.00000E+00 OPEN

2 7833 7806 0 4.44870E-03 5.24080E-04 0.00000E+00 0.00000E+00 OPEN

3 7827 7810 0 4.45089E-03 4.72620E-04 0.00000E+00 0.00000E+00 OPEN

4 7825 7808 0 4.39044E-03 4.22700E-04 0.00000E+00 0.00000E+00 OPEN

5 7826 7809 0 4.39340E-03 4.23180E-04 0.00000E+00 0.00000E+00 OPEN

6 7834 7807 0 4.44713E-03 4.45120E-04 0.00000E+00 0.00000E+00 OPEN

7 7830 7812 0 4.44839E-03 4.79540E-04 0.00000E+00 0.00000E+00 OPEN

STRESS INTENSITY FACTORS FROM DISPLACEMENTS - PLANE STRAIN ASSUMPTION.

NOTE - NEGATIVE Gequiv INDICATES STATUS IS "CLOSED".

N CF NODE RADIAL NODE(S) Gequiv Ki Kii Kiii

1 7829 7811 0 1.59282E+00 5.66832E+02 0.00000E+00 0.00000E+00

2 7833 7806 0 1.22265E+00 4.96618E+02 0.00000E+00 0.00000E+00

3 7827 7810 0 9.93846E-01 4.47745E+02 0.00000E+00 0.00000E+00

4 7825 7808 0 8.05932E-01 4.03199E+02 0.00000E+00 0.00000E+00

5 7826 7809 0 8.07219E-01 4.03521E+02 0.00000E+00 0.00000E+00

6 7834 7807 0 8.82299E-01 4.21870E+02 0.00000E+00 0.00000E+00

101

7 7830 7812 0 1.02374E+00 4.54428E+02 0.00000E+00 0.00000E+00

STRESS INTENSITY FACTORS FROM DISPLACEMENTS - PLANE STRESS ASSUMPTION.



1 7829 7811 0 1.48925E+00 5.29974E+02 0.00000E+00 0.00000E+00

2 7833 7806 0 1.14315E+00 4.64326E+02 0.00000E+00 0.00000E+00

3 7827 7810 0 9.29221E-01 4.18630E+02 0.00000E+00 0.00000E+00

4 7825 7808 0 7.53526E-01 3.76981E+02 0.00000E+00 0.00000E+00

5 7826 7809 0 7.54730E-01 3.77282E+02 0.00000E+00 0.00000E+00

6 7834 7807 0 8.24927E-01 3.94438E+02 0.00000E+00 0.00000E+00

7 7830 7812 0 9.57168E-01 4.24879E+02 0.00000E+00 0.00000E+00

GROWTH DIRECTION FROM STRESS INTENSITY FACTORS.

NOTE - THE VECTOR IS WRT THE GLOBAL SYSTEM BUT THE ANGLE IS IN THE LOCAL i-ii

PLANE.

N CF NODE RADIAL NODE(S) GROWTH DIRECTION X,Y,Z ANGLE

1 7829 7811 0 0.00000E+00 0.00000E+00 -1.00000E+00 0.00000E+00

2 7833 7806 0 0.00000E+00 -1.92776E-01 -9.81243E-01 0.00000E+00

3 7827 7810 0 0.00000E+00 -4.26179E-01 -9.04639E-01 0.00000E+00

4 7825 7808 0 0.00000E+00 -7.05712E-01 -7.08498E-01 0.00000E+00

5 7826 7809 0 0.00000E+00 -9.03529E-01 -4.28526E-01 0.00000E+00

6 7834 7807 0 0.00000E+00 -9.80592E-01 -1.96062E-01 0.00000E+00

7 7830 7812 0 0.00000E+00 -1.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

STRESS INTENSITY FACTORS FROM DISPLACEMENTS - EXTRAPOLATED TO CRACK FRONT

NODES.



1 7829 7811 0 1.59282E+00 5.66832E+02 0.00000E+00 0.00000E+00

2 7833 7806 0 1.22118E+00 4.96319E+02 0.00000E+00 0.00000E+00

3 7827 7810 0 9.92454E-01 4.47431E+02 0.00000E+00 0.00000E+00

4 7825 7808 0 8.05626E-01 4.03123E+02 0.00000E+00 0.00000E+00

5 7826 7809 0 8.07460E-01 4.03581E+02 0.00000E+00 0.00000E+00

6 7834 7807 0 8.82848E-01 4.22001E+02 0.00000E+00 0.00000E+00

7 7830 7812 0 1.02374E+00 4.54428E+02 0.00000E+00 0.00000E+00

GROWTH DIRECTION FROM STRESS INTENSITY FACTORS - EXTRAPOLATED TO CRACK

FRONT NODES.

102

NOTE - THE VECTOR IS WRT THE GLOBAL SYSTEM BUT THE ANGLE IS IN THE LOCAL i-ii

PLANE.

N CF NODE QP NODE(S) GROWTH DIRECTION X,Y,Z ANGLE

1 7829 7811 0 0.00000E+00 0.00000E+00 -1.00000E+00 0.00000E+00

2 7833 7806 0 0.00000E+00 -1.95095E-01 -9.80784E-01 0.00000E+00

3 7827 7810 0 0.00000E+00 -4.27378E-01 -9.04073E-01 0.00000E+00

4 7825 7808 0 0.00000E+00 -7.07106E-01 -7.07107E-01 0.00000E+00

5 7826 7809 0 0.00000E+00 -9.04089E-01 -4.27343E-01 0.00000E+00

6 7834 7807 0 0.00000E+00 -9.80787E-01 -1.95084E-01 0.00000E+00

7 7830 7812 0 0.00000E+00 -1.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

CONVERSION OF ENERGY RESULTS TO Ki INCLUDING OPEN/CLOSED STATUS FROM

DISPLACEMENTS

**********************************************************************************

G TO Ki : MODE I CONVERSION FROM G TO K USING: K = SQRT(ExG/(1-(ALPHAxNu)**2)

NOTES: 1. THESE ARE PLANE STRESS (ALPHA=0.0), PLANE STRAIN (ALPHA=1.0) AND

AUTOMATIC K VALUES.

2. THE AUTOMATIC K IS BASED ON THE CONSTRAINT VALUE, ALPHA, CALCULATED BY

THE

SELECTED "*SURFACE CONSTRAINT" OPTION - ALPHA FOR THIS TABLE IS REPORTED

IN AN EARLIER

TABLE (UNLESS THAT TABLE WAS DE-ACTIVATED USING "*OUTPUT,

CONSTRAINT=NO".

3. THIS CONVERSION OF ENERGY TO Ki IS STRICTLY ONLY VALID FOR MODE I.

4. VALUES IN THIS TABLE ARE FOR LOAD LEVELS IN THE F.E. ANALYSIS AND DO NOT

INCLUDE

SCALE FACTORS FOR ANY SPECTRUM LOADING.

5. A NEGATIVE VALUE INDICATES A CLOSED CRACK FRONT POSITION.

6. THE CONVERSION OF ENERGY RELEASE RATE TO STRESS INTENSITY FACTORS

USES EQUATIONS THAT ARE VALID ONLY FOR LINEAR ELASTIC

ISOTROPIC MATERIALS.

7. ZENCRACK DOES NOT ATTEMPT TO VERIFY THAT THE FE ANALYSIS HAS

A MATERIAL MODEL THAT IS APPROPRIATE.

8. TO TURN OFF ALL REPORTS OF STRESS INTENSITY FACTORS USE

"*OUTPUT,SIF=NO".

N Gmax VALUES Ki, pl.stress Ki, pl.strain Ki, automatic

1 1.41720E+00 5.16995E+02 5.34671E+02 5.16995E+02

2 1.17220E+00 4.70188E+02 4.86264E+02 4.70188E+02

103

3 9.82900E-01 4.30552E+02 4.45272E+02 4.30552E+02

4 7.83500E-01 3.84406E+02 3.97549E+02 3.84406E+02

5 7.67300E-01 3.80411E+02 3.93417E+02 3.80411E+02

6 8.25700E-01 3.94623E+02 4.08114E+02 3.94623E+02

7 8.89900E-01 4.09677E+02 4.23683E+02 4.09677E+02

------------ ------------ ------------ ------------

MEAN: 9.76957E-01 4.26693E+02 4.41281E+02 4.26693E+02

------------ ------------ ------------ ------------

MIN.: 7.67300E-01 3.80411E+02 3.93417E+02 3.80411E+02 AT N = 5

MAX.: 1.41720E+00 5.16995E+02 5.34671E+02 5.16995E+02 AT N = 1

SUMMARY OF Gmax RESULTS SETS REFERENCED BY LOAD SYSTEMS

*******************************************************

NO SUMMARY TABLES ARE GENERATED AS THERE ARE NO LOAD SYSTEMS DEFINED.

Analysis of initial crack only.

***ANALYSIS COMPLETE***

----------------------------------------------------------------------------------------------------

***SUMMARY

Number of warnings reading .zcr file 1 (identified by ***INPUT WARNING)

Number of other warnings 2 (identified by ***WARNING)

----------------------------------------------------------------------------------------------------

End time (H-M-S) 17:11:28 End date (D-M-Y) 12-08-2007

Elapsed time (H-M-S) 00:00:35

UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

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