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Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Curitiba
Departamento Acadêmico de Matemática Prof. Luciane
NOTA DE AULA
Tópicos em Matemática
Fonte: http://ecalculo.if.usp.br/
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS:
1.1 Números Naturais (Símbolo N )
...} 3, 2, 1, {0,N
Nota: ...} 3, 2, ,1{}0{* NN , conhecido como conjunto dos números inteiros
positivos.
1.2 Números Inteiros (Símbolo Z )
...} 3, 2, 1, {0, ...} 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...,{ Z
#A escolha da letra Z para representar o conjunto dos números inteiros, deve-se ao fato
da palavra Zahl em alemão, significar número.
## N (todo número natural é um número inteiro)
1.3 Números Racionais (Símbolo Q)
0b ,,/
bab
aQ
# A utilização da letra Q deriva da palavra inglesa quotient, que significa
quociente, já que a forma geral de um número racional é um
quociente de dois números inteiros.
## (i) Z Q (todo número inteiro é um número racional).
(ii) Toda dízima periódica é um número racional.
(iii) Ao fazer medições notaram que nem sempre as medidas são exatas.
Exemplos: 3
130,0,33333... ;
2
55,2
1.4 Números Irracionais (Símbolo CQ )
São os números que não podem ser escritos na forma: *Zb e Za ,
b
a
Exemplos:
1) Determinação da hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos iguais a 1.
Aplicando o teorema de Pitágoras,
temos:
2Hip , onde: ...4142136,12
2) O número pi ...)1415927,3( : Geometricamente:
nciacircunferê da da diâmetro
nciacircunferê da ocomprimentπ
D
C
onde: rD 2 , com r : raio da circunferência.
r
C
D
C
2 rC 2
3) Diagonal de um cubo de aresta a
Aplicando duas vezes o teorema de
Pitágoras, temos:
3aD , onde: ...7320508,13
4) O número de Euler ...)7182818,2( e , usado, por exemplo, no sistema de
capitalização composta contínua (usado em juros compostos, por exemplo).
ATENÇÃO! Os números irracionais possuem infinitos algarismos decimais não-
periódicos. Exemplos de alguns números irracionais especiais:
Radicias ( 3,2 ): a raiz quadrada de um número natural, se não é
inteira, é irracional.
O número : 3,141592653...
O número e: 2,718... (muito importante em matemática avançada).
O número de ouro ( ):
2
511,61803...
Números reais: (Símbolo IR )
IR = Q Q’
Existe uma correspondência biunívoca entre todos os números reais e os pontos de uma
reta, conforme Figura 1.
Fig 1: Reta Real
1. SUBCONJUNTOS DE NÚMEROS REAIS
1.1 Desigualdades
A representação geométrica dos números reais sugere que estes podem ser ordenados.
Usando os símbolos usuais para maior (>), maior ou igual (≥), menor (<), menor ou igual
(≤), podemos ver, por exemplo, que se a, b ∈ R e a < b, então b − a > 0; no eixo
coordenado temos que a está à esquerda de b. Para todo a, b ∈ R temos: ou a > b, ou a <
b, ou a = b.
Muitos subconjuntos de R são definidos através de desigualdades. Os mais importantes
são os intervalos.
1.2 Intervalos
Um subconjunto I, de números reais, é dito um intervalo se dados dois pontos
quaisquer a e bI, todos os pontos de R entre a e b também pertencem a I (a grosso modo,
um intervalo não deve ter "falhas". Logo, Intervalos são conjuntos de números reais, que
correspondem a segmentos de reta sobre um eixo coordenado.
1.2.1 Intervalos Finitos Se ba e se ba então:
a) Intervalo aberto de a a b, denotado por b,a ou b,a ou bxa/x é o
segmento de reta que se estende de a até b, excluindo-se os extremos. A Figura 2
ilustra este tipo de intervalo.
Fig 2: Intervalo Aberto
b) Intervalo fechado de a a b, denotado por b,a ou bxa/x é o segmento de
reta que se estende de a até b, incluindo-se os extremos. A Figura 3 ilustra este tipo
de intervalo.
Fig 3: Intervalo Fechado
c) Intervalo semi-aberto à esquerda, denotado por b,a ou b,a ou bxa/x
é o segmento de reta que se estende de a até b, excluindo-se a e incluindo-se b. A
Figura 4 ilustra este tipo de intervalo.
Fig 4: Intervalo Semi-Aberto à Esquerda
d) Intervalo semi-aberto à direita, denotado por b,a ou b,a ou bxa/x é
o segmento de reta que se estende de a até b, incluindo-se a e excluindo-se b. A Figura
5 ilustra este tipo de intervalo.
Fig 5: Intervalo Semi-Aberto à Direita
1.2.2 Intervalos Infinitos
Usaremos o símbolo (infinito positivo) e o símbolo (infinito negativo).
Sendo a um número real, tem-se:
a) A notação ,a ou ,a ou ax/x , representa todos os números reais
maiores que a. A Figura 6 (a) ilustra este tipo de intervalo.
b) A notação ,a ou ,a ou ax/x , representa todos os números reais
maiores ou igual a a. A Figura 6 (b) ilustra este tipo de intervalo.
c) A notação a, ou a, ou ax/x , representa todos os números reais
menores que a. A Figura 6 (c) ilustra este tipo de intervalo.
d) A notação a, ou a, ou ax/x , representa todos os números reais
menores ou igual a a. A Figura 6 (d) ilustra este tipo de intervalo.
e) A notação , ou , ou simplesmente , indica o conjunto de todos os
números reais. A Figura 6 (e) ilustra este intervalo.
a b
a b
a b
a b
Fig 6: Intervalos Infinitos
2. OPERAÇÕES COM COJUNTOS
Um conjunto pode ser interpretado como uma coleção de objetos de qualquer
natureza. Estes objetos são os elementos do conjunto. Se S é um conjunto, então Sa
significa que a é elemento de S. Se Sa significa que a não é elemento de S. Se todo
elemento de um conjunto S é também elemento de um conjunto T, diz-se que S é
subconjunto de T. Dois conjuntos S e T dizem-se iguais e escreve-se TS se S e T
contém precisamente os mesmos elementos. TS indica que S e T não são iguais.
Se S e T são conjuntos, sua união TS consiste dos elementos que estão em S,
ou em T, ou em ambos.
A intersecção TS consiste dos elementos comuns aos dois conjuntos S e T.
A diferença S T consiste dos elementos que estão em S e não pertencem a T.
VALOR ABSOLUTO
O módulo ou o valor absoluto de um número x está associado ao conceito de distância desse
número até a origem do sistema e é representado por |x|. Sabendo que a distância é uma
medida não negativa, o módulo de um número é sempre maior ou igual a zero, sendo que
é igual a zero somente no caso desse número ser o próprio zero. Observe a representação
abaixo:
Formalmente, escrevemos |x|=-x, se x<0 e |x|=x, se x>0. Essa expressão significa que o módulo de qualquer número negativo será o seu oposto e para qualquer número positivo, ou para o zero, o valor absoluto é igual ao próprio número.
Identidade importante
(e)
(c)
a
(d)
a
a
a
(a)
(b)
Vejamos um exemplo:
?????????????????????
Sabemos que
|x|=36 que é uma equação modular. De uma forma geral, se k é um número real positivo, temos: | x| = k → x = k ou x = - k Daí, | x | = 36 → x = 36 ou x = -36 Portanto, S = {-36, 36}
FUNÇÕES
Sejam P um conjunto de pessoas e I o conjunto de suas impressões digitais (10
para cada uma delas). Como a relação impressão digital e pessoa tem interesse prático,
consideremos os pares ordenados (impressão digital, pessoa) . Esses pares são elementos
do produto cartesiano IxP. Chamamos a esse subconjunto uma relação; porém, esta
possui uma propriedade especial: cada impressão digital, x, está associada exatamente a
uma única pessoa, y. Assim, dada uma impressão digital podemos identificar exatamente
uma pessoa. A esta relação especial damos o nome de função. O termo função significa
que há uma correspondência única e exprime uma relação de dependência entre as
grandezas
Deste modo, podemos dizer que: “uma função é um conjunto de pares ordenados
(x, y), de modo que a cada x, chamada variável independente, corresponde um único
valor de y, designado por variável dependente. “
De um modo geral, podemos dizer que as funções são dadas por: uma lei da
função, uma tabela, um gráfico e ainda por Diagrama
Definição: Uma função f é uma lei (uma relação) para a qual cada elemento x de um
conjunto A faz corresponder exatamente um elemento chamado f(x), em um conjunto B.
Identifique quais diagramas representam funções:
Exemplos:
a) b)
c) d)
DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
Uma função f com domínio A e imagens em B será denotada por:
f : A B (função que associa valores do conjunto A a valores do conjunto B )
x y f ( x ) (a cada elemento x A corresponde um único y B )
O conjunto A é denominado domínio da função, que indicaremos por D . O
domínio da função também chamado campo de definição ou campo de existência da
função, serve para definir em que conjunto estamos trabalhando, isto é, os valores
possíveis para a variável x .
O conjunto B é denominado contradomínio da função, que indicaremos por CD É
no contradomínio que estão os elementos que podem corresponder aos elementos do
domínio.
Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A
esse valor de y damos o nome de imagem de x pela função f . O conjunto de todos os
A B
1
3
5
1
3
5
A B
2
-3
1
5
A B
1
3
-3
1
4
9
3
-2
-3
0
-5
0
7
-1
A B
valores de y que são imagens de valores de x forma o conjunto imagem da função, que
indicaremos por Im . Note que o conjunto imagem da função é um subconjunto do
contradomínio da mesma.
f : A B
x y f ( x )
D A , CD B , Im { y CD / y é correspondente de algum valor de x }.
Graficamente temos:
CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES
As funções são classificadas em:
inversasediretasasHiperbólic
lg
inversasediretasricasTrigonomét
asLogarítmic
lExponencia
ntesTranscende
sIrracionai
asFracionári
InteirasRacionais
sPolinomiai
ébricasA
GRÁFICO DA FUNÇÃO
O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x, y) de um plano coordenado
tal que x pertence ao domínio de f e y à imagem de f. Sendo f (x) y .
A curva ao lado representa o gráfico de uma função?
Não. Porque se fx é uma função, um ponto do seu
domínio pode ter somente uma imagem.
Portanto o gráfico de uma função não pode passar acima
ou abaixo de si mesma. Assim, o domínio de uma
função é o conjunto de todas as abscissas dos pontos
sobre o gráfico, enquanto que sua imagem é o conjunto de todas as ordenadas dos pontos
do seu gráfico.
Podemos verificar pela representação cartesiana da relação f de A em B se f é ou não
função: basta verificarmos se a reta paralela ao eixo y, encontra sempre o gráfico de
f em um só ponto.
Exemplos:
1) Analise o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função y = 2x + 4.
2) Analise o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função 2
1
xy .
3) Analise o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função 42 xy .
4) Qual dos gráficos seguintes representa uma função de *
em .
5) Dê o domínio das funções:
a) 3x
1xy
2
b)
9x
x2)x(f
2
c)
x
xy
6
105
d) 62
2
4
45
x
xxy
e) 32
2
273
299
xx
xxy
f) 62
2
4
45
x
xxy
g) 5 2 65 xxy
fx
y
x x1
Q
P
Exercícios propostos
1) Verificar se cada gráfico a seguir representa função:
2) Determinar os domínios das funções reais:
a) f(x) = 4 32
53
23 x
xx Resp. D(f) = IR
b) f(x) = x
x
26
1
Resp. D(f) = IR – {3}
c) f(x) = 5 312 x Resp. D(f) = IR
d) f(x) = 4 312 x Resp. D(f) = {x IR/ x 4}
e) f(x) = 2
2
4
45
x
xx
Resp. D(f) = {x IR/-2 <x 1 ou 2 < x 4}
f) f(x) = 3 32
1
x Resp. D(f) = {x IR/x -3/2 }
g) f(x) = 3
42
7
1
5
82
35
x
x
x
x
x
x Resp. D(f) = {x IR/ x < 1 e x - 4}
3) Construa o gráfico e dê o domínio e imagem das funções:
a) f: {(x;y) IR2/ y = x2 }
b) f: {(x;y) IR2/ y = x5 }
c) f: {(x;y) IR2/
xse
xse
xse
y
24
211
13
}
d) f: {(x;y) IR2/ 3
92
x
xy }
e)f: {(x;y) IR2 / )3)(12(
)9)(43(2
22
xxx
xxxy }
f) f: {(x;y) IR2/
2 ,7
2 ,2
xse
xsexy }
4) Determine o domínio e a imagem das funções de gráficos:
PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES
Função Injetora
Uma função f de A em B é injetora se, e somente se, dois elementos distintos quaisquer
do domínio de f possuem imagens distintas em B. Sendo x1 A e x2 A, temos: x1 x2,
f(x1) f(x2).
Função Sobrejetora
Uma função f de A em B é sobrejetora se, e somente se, Im(f ) = B, onde B é CD(f ).
Função Bijetora
Uma função f de A em B é bijetora se, e somente se, é injetora e sobrejetora.
Reconhecimento de função injetora, sobrejetora ou bijetora através do gráfico
Devemos analisar o número de pontos de interseção das retas paralelas ao eixo x,
conduzidas por cada ponto (0, y) em que y B (contradomínio de f)
1º) Se cada uma das retas cortar o gráfico em um só ponto ou não cortar o gráfico, então
a função é injetora.
Exemplo 1)
f: R R b) f: R+ R
f(x) = x f(x) = x2
2º) Se cada uma das retas cortar o gráfico em um ou mais pontos, então a função é
sobrejetora.
Exemplo 2)
f: R R b) f: R R+
f(x) = x -1 f(x) = x2
3º) Se cada uma dessas retas cortar o gráfico em um só ponto, então a função é bijetora.
Exemplo 3)
f: R R b) f: R R
f(x) = 2x f(x) = x3
FUNÇÃO PAR E IMPAR
f é par f(x) = f(-x), x D(f)
f é ímpar f(x) = -f(-x), x D(f)
Funções Iguais:
Duas funções f: A B e g: C D são iguais se, e somente se, A = C, B = D e f(x) =
g(x) x A.
FUNÇÃO INVERSA
Dada a função f a sua inversa denotada por f –1 existe se o ponto (a , b) está no
gráfico de f e o ponto (b , a) está no gráfico de f -1.
Os pontos (a , b) e (b , a) são simétricos em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrantes,
ou seja, o gráfico de f e f –1 são simétricos em relação á reta y = x , e então o domínio de
f é a imagem de f –1 e a imagem de f é o domínio de f -1.
Obs: Para admitir inversa a função deve ser bijetora.
Para obtermos a inversa procedemos da seguinte forma:
a) trocamos x por y na função f;
b) isolamos y.
Exemplo 4) Seja y = 2x + 3. Determine a sua inversa, se existir.
x = 2y + 3
2
31 x
y
y = x f
f -1
logo 2
3)(1 x
xf
Gráficos de outras inversas
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES
Dadas duas funções f e g cujos domínios se sobreponham, define-se:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
(f . g) (x) = f(x) . g(x)
(f/g) (x) = f(x) / g(x)
Em cada caso, o domínio da função definida consiste em todos os valores de x comuns
aos domínios de f e g, exceto no quarto caso, onde os valores de x tais que g(x) = 0 serão
excluídos.
Exemplos 5) Sejam f(x) = x2 + 3 e g(x) = 2x - 1, obter:
a) (f +g)(x) =
b) (f –g)(x) =
c) (f.g)(x)=
d) (f/g)(x)=
FUNÇÃO COMPOSTA
y = x3
y = log(x)
y = 10x
DEFINIÇÃO: Sejam as funções f de A em B, e g de B em C. Função composta de f em
(g o f)(x) é a função de A em C definida por (g o f)(x) = g(f(x))
Exemplo 6) Dadas as funções f(x) = 4x – a e g(x) = 3x + 4. Calcule o valor de a para que
f(g(x)) = g(f(x)).
Exemplo 7) Seja f(x) = 3x + 2 e g(x) = 2x – 5. Calcule f -1(g(x)).