UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARAN

DEPARTAMENTO ACADMICO DE ELETROTCNICA

CURSO DE ENGENHARIA INDUSTRIAL ELTRICA/ELETROTCNICA

LAURA MARIA FRAZO SCHUARA

MRIAM RAFAELA BENINCA

METODOLOGIA DE SISTEMA DE CONTROLE ROBUSTO A FALHAS

VIA LMI COM REALIMENTAO DOS ESTADOS

TRABALHO DE CONCLUSO DE CURSO

CURITIBA

2011

LAURA MARIA FRAZO SCHUARA

MRIAM RAFAELA BENINCA

METODOLOGIA DE SISTEMA DE CONTROLE ROBUSTO A FALHAS

VIA LMI COM REALIMENTAO DOS ESTADOS

Trabalho de Concluso de Curso de graduao,

apresentado na disciplina de Projeto Final II do

curso superior de Engenharia Industrial Eltrica

com nfase em Eletrotcnica.

Orientador: Prof. Cristiano Quevedo Andrea, Dr.

Eng.

CURITIBA

2011

RESUMO

SCHUARA, Laura M. F.; BENINCA, Mriam R. Metodologia de sistema de

controle robusto a falhas via LMI com realimentao dos estados. 2011. Trabalho de

Concluso de Curso (Engenharia Industrial Eltrica nfase em Eletrotcnica).

Departamento Acadmico de Eletrotcnica, Universidade Tecnolgica Federal do

Paran. Curitiba, 2011.

A teoria de controle robusto teve seu incio atravs da constatao de que, em observaes prticas, o comportamento da planta pode se alterar ao longo do tempo. Estes erros de modelagem, ora mencionados como perturbaes surgem em funo de variveis ignoradas, variaes construtivas ou mesmo por falhas de sensores e atuadores. A alterao da planta faz o sistema perder suas caractersticas, tornando-se, at mesmo, instvel. Neste trabalho proposta uma metodologia de controle robusto a falhas e, nas aplicaes computacionais, considerado falha no atuador da planta. O mtodo proposto baseado na teoria de inequaes matriciais lineares, LMI (do ingls, Linear Matrix Inequalities) e na utilizao do custo garantido da norma H como critrio de desempenho. O sistema de controle estudado composto de um controlador de realimentao dos estados e um controlador de malha direta , que garantem estabilidade e rastreamento mesmo sob presena de falhas na planta. Para ilustrar a viabilidade do sistema de controle desenvolvido, utilizado um conversor CC-CC Boost considerando-se falhas no atuador. Na prxima etapa da pesquisa, uma planta instvel ser utilizada para verificao do desempenho da metodologia proposta. Neste contexto, a planta instvel interessante, pois o desempenho de sistemas de controle para esta classe de planta mais afetado na ocorrncia de falha.

Palavras Chaves: Controle Robusto. Inequaes Matriciais Lineares. Norma .

.

ABSTRACT

SCHUARA, Laura M. F.; BENINCA, Mriam R.. Robust state feedback

control system design by LMI. 2011. Trabalho de Concluso de Curso (Engenharia

Industrial Eltrica nfase em Eletrotcnica). Departamento Acadmico de

Eletrotcnica, Universidade Tecnolgica Federal do Paran. Curitiba, 2011.

The theory of robust control system started through the finding that, in

practical conditions, the plant behavior may change over time. These modeling errors, mentioned as disturbances, appear due to ignored variables, constructive variations or even due to sensors and actuators failures. The plant variation causes the system to lose its characteristics, becoming unstable. This paper proposes a failure robust control methodology and, in computer applications, an actuator failure is considered. The methodology applied is the theorem of LMIs (Linear Matrix Inequalities) and the guarantee cost of -norm, as performance criteria. The analyzed control system has a states feedback controller and a direct net controller , in order to ensure the stability and tracking, even when failures are present in the plant. To illustrate the feasibility and the potential of the developed robust control system, a DC-DC Boost converter is used, considering actuator failure. In the next stage of this research, an instable plant will be also used, to verify the performance of the proposed methodology. In this case, the unstable plant its interesting because the performance of that kind of plant is most affected by failures.

Key words: Robust Control. Linear Matrix Inequalities. control.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Sistema de Controle com Realimentao dos Estados, Sendo a Planta

Descrita em Espao de Estado. ......................................................................... 10

Figura 2 Sistema de Controle Aplicado ao Ritmo Cardaco. .................................. 11

Figura 3 - Resposta Para Degrau Unitrio - Controlador Cardaco Sem Falha. ........ 12

Figura 4 - Resposta Para Degrau Unitrio - Controlador Cardaco Com 40% de Falha

no Atuador. ......................................................................................................... 12

Figura 5 - Representao Simplificada do Conversor Boost. .................................... 19

Figura 6 - Estrutura do Conversor Boost ................................................................... 19

Figura 7 - Modo de Conduo Contnua do Conversor Boost. Condio 1. .............. 20

Figura 8 - Conversor CC-CC Operando no Modo 1. ................................................. 21

Figura 9 - Conversor CC-CC Operando no Modo 2 .................................................. 21

Figura 10 Sistema Robusto a Falha Com Matrizes em Funo de . .................... 24 Figura 11 Regio do Plo s Limitado Por Uma Circunferncia de Raio e Centro , 0. ............................................................................................................... 31 Figura 12 Sistema de Controle Robusto................................................................. 33

Figura 13 Conversor Boost Utilizado no Projeto do Controlador ............................ 40

Figura 14 - Sada do Conversor Boost. ............................................................ 41 Figura 15 - Sada do Conversor Boost Com Falha De 15% em B. .................. 42 Figura 16 - Resposta em Freqncia de E(s)/R(s) Para o Vrtice 1. ........................ 43

Figura 17 - Resposta em Freqncia do Sistema Para Dois Vrtices do Politopo. ... 44

Figura 18 - Sada do Conversor Boost. ............................................................ 44 Figura 19 - Sada do Conversor Boost Com Falha De 15% em . .................. 45 Figura 20 Projeto de Controle Robusto Com Aplicao do Teorema I. .................. 47

Figura 21 Modelamento do Filtro . ....................................................................... 48 Figura 22 Magnitude / ao Longo da Freqncia. ..................................... 51 Figura 23 Planta de Simulao. Modelo Mdio do Conversor Boost. .................... 51

Figura 24 Sada do Conversor Boost Sem Falha. Modelo Mdio. .......................... 52

Figura 25 Sada do Conversor Boost Com Falha De 15%. Modelo Mdio. ............ 52

Figura 26 Diagrama Utilizado Para Simulao. Modelo Real. ................................ 53

Figura 27 Sada Do Conversor Boost. Modelo Real. .............................................. 53

Figura 28 Sada Do Conversor Boost Com Falha de 20% no Indutor. ................... 54

SUMRIO

1 INTRODUO GERAL ...................................................................................... 8

1.1 INTRODUO .................................................................................. 8

1.2 PROBLEMA ...................................................................................... 9

1.3 JUSTIFICATIVA .............................................................................. 13

1.4 OBJETIVOS .................................................................................... 13

1.4.1 Objetivo Geral ............................................................................ 13

1.4.2 Objetivos Especficos ................................................................. 14

1.5 MTODO DE PESQUISA ............................................................... 14

1.6 CONSIDERAES ADOTADAS .................................................... 15

1.7 ESTRUTURA DO TRABALHO ........................................................ 15

2 REVISO BIBLIOGRFICA ............................................................................ 16

2.1 MODELAMENTO EM ESPAO-ESTADO ...................................... 16

2.2 O CONVERSOR CC-CC ................................................................. 19

2.3 O CONVERSOR CC-CC BOOST ................................................... 19

2.4 MODELAMENTO EM ESPAO ESTADO ..................................... 20

2.5 ANLISE DE SISTEMAS COM FALHAS ........................................ 24

2.6 FUNO POSITIVA E NEGATIVA DEFINIDA ............................... 25

2.7 A ESTABILIDADE SEGUNDO LyAPUNOV .................................... 25

2.8 ESTABILIDADE QUADRTICA ...................................................... 26

2.9 A NORMA ................................................................................. 27 2.10 CUSTO GARANTIDO DA NORMA ........................................... 29 2.11 RESTRIO ALOCAO DE PLOS VIA LMI RELATIVA

CIRCUNFERNCIA .......................................................................................... 30

3 PROJETO DE CONTROLE ROBUSTO ........................................................... 33

3.1 PROJETO DE CONTROLADOR ROBUSTO I ................................ 33

3.2 PROJETO DE CONTROLADOR ROBUSTO II ............................... 37

4 RESULTADOS PARCIAIS ............................................................................... 40

4.1 RESULTADOS DE SIMULAO .................................................... 40

4.1.1 Simulao Da Falha Do Atuador Da Planta ............................... 40

4.1.2 Simulao Do Teorema I ............................................................ 42

4.1.3 Simulao Do Teorema II ........................................................... 43

5 RESULTADOS FINAIS .................................................................................... 46

5.1 A FALHA APLICADA AO INDUTOR DE UM CONVERSOR........... 46

5.2 APLICAO DO FILTRO REALIZAO DO TEOREMA I.......... 47

5.3 RESULTADOS OBTIDOS COM FILTRO SOB O TEOREMA I ....... 50

5.4 SIMULAO DO CONVERSOR BOOST NO MODELO MDIO .... 51

5.5 SIMULAO DO CONVERSOR BOOST NO MODELO REAL ...... 53

6 CONCLUSO ................................................................................................... 55

8

1 INTRODUO GERAL

1.1 INTRODUO

No desenvolvimento de projetos de sistemas de controle aplicados a

qualquer sistema fsico de segunda ordem usualmente so abordados alguns

ndices de desempenho para a resposta em malha fechada. Neste contexto

podemos citar: tempo de estabelecimento, porcentagem de ultrapassagem, tempo

de subida, tempo de pico e erro de regime.

As especificaes de projeto para esses parmetros so inseridas na etapa

de determinao do controlador. O sistema em malha fechada dever apresentar

uma resposta estvel e que atenda os requisitos transitrios e de regime

permanente. Geralmente, os sistemas de controle utilizados no procedimento de

estabilizao da planta so: controlador com realimentao dinmica da sada,

controlador com realimentao dos estados, controlador com realimentao dos

estados estimados ou, ainda, controlador com atuao dinmica no erro, sendo o

erro a diferena entre o sinal de referncia e a sada.

Ao longo da ultima dcada cresceu a quantidade de estudos, tais como os

de (ASSUNO, et al., 2008), (FARIA; ASSUNO; TEIXEIRA, 2010) e

(GEROMEL; BERNUSOU, 1999), que aprimoram as metodologias de sistema de

controle e promovem maior robustez a falhas, garantindo estabilidade e nveis de

desempenho durante regime transitrio.

Podemos verificar em (ASSUNO, et al., 2008) e (FARIA, et al., 2010) uma

metodologia de sistema de controle robusto a falhas, no qual foi utilizada a

realimentao dinmica da derivada. A metodologia proposta foi descrita na forma

de LMIs e apresentou bons resultados.

(ASSUNO, et al., 2008) prope um mtodo de rastreamento e rejeio a

distrbio aplicado a sistemas incertos. Se considerarmos a incerteza politpica de

uma planta com perturbao, tal mtodo pode ser aplicado em projeto de

controladores robustos a falhas. Tambm podemos observar uma metodologia de

controle robusto a falhas em (GEROMEL, et al., 1999), no qual o mtodo descrito

na forma de LMIs e utilizada a norma H2 como critrio de desempenho.

9

As LMIs tem recentemente emergido como uma importante ferramenta para

resolver um grande nmero de problemas em sistema de controle (ASSUNO,

2007a), (ASSUO 2007b). Sua principal vantagem o fato de existir a

possibilidade da incluso de diversas especificaes de projeto e restries no

desenvolvimento do controlador. Uma vez formulado via LMI, o problema, quando

existir soluo, pode ser solucionado por algoritmos de otimizao convexa

(GAHINET, 1995).

Neste trabalho, prope-se uma metodologia de controle robusto a falhas,

utilizando como critrio de desempenho a norma de custo garantido. O sistema de controle robusto proposto composto por um controlador de realimentao dos estados aliado a um controlador de malha direta . Simulaes computacionais da metodologia de controle robusto a falha, abordando-se o conversor CC-CC Boost,

ilustram a viabilidade e potencialidade do mtodo desenvolvido.

No processo de projeto e simulao computacional do sistema de controle

robusto, utiliza-se o software MATLAB e o SIMULINK respectivamente. Por fim,

so apresentadas consideraes finais sobre o trabalho realizado, onde o software

MATLAB utilizado para soluo do algoritmo elaborado, permitindo visualizao

dos resultados obtidos.

1.2 PROBLEMA

Considere o seguinte sistema linear invariante no tempo descrito na forma

de espao de estado:

; , (1)

sendo , , e matrizes de ordem adequada que representam a dinmica de uma planta. Em (1), o vetor de estados, o vetor de entrada de controle e o vetor de sada do sistema.

A planta dada em (1) pode ser estabilizada em malha fechada por meio da

realimentao dos estados, segundo a lei de controle .

10

Neste projeto podem-se inserir requisitos de desempenho tais como a

porcentagem de ultrapassagem e o tempo de estabelecimento. importante

ressaltar que todo o processo do projeto do sistema de controle descrito

anteriormente s poder ser utilizado se (1) for controlvel. Para encontrar maiores

detalhes sobre controlabilidade, vide (OGATA, 1985)

O diagrama de blocos que implementa a lei de controle de realimentao

dos estados mostrado na Figura 1.

Figura 1 - Sistema de controle com realimentao dos estados, sendo a planta

descrita em espao de estado.

Fonte: Autoria Prpria.

Adicionalmente esse controlador da realimentao, ser utilizado um

controlador na alimentao direta, visando limitar o erro de regime. Caso o sistema (planta, sensoriamento e atuador) opere adequadamente, a

sada apresentar resposta transitria segundo as especificaes do projeto.

Entretanto, podem-se ocorrer as seguintes falhas que comprometem seu

desempenho:

Falha na estrutura da planta - Matriz de (1). Falha no sensoriamento - Matriz de (1). Falha no atuador - Matriz de (1).

Objetivando ilustrar os efeitos causados pelas falhas, vamos considerar o

sistema de controle aplicado ao ritmo cardaco de uma pessoa proposto em (DORF,

et al., 2002), ilustrado na Figura 2 onde representa o ritmo cardaco de referncia e ! o ritmo cardaco real.

PLANTA

11

Figura 2 Sistema de controle aplicado ao ritmo cardaco. Fonte: Autoria Prpria.

As matrizes de espao estado desta planta so:

"12 01 0% , "10% & '0 12(.

Para exemplificar o desempenho de um sistema com falha, considere a

matriz , descrita na equao acima, como sendo a situao em ausncia de falha. Supondo que ocorra um problema no atuador (matriz ), podemos obter a

seguinte situao: "0,60 %. Neste caso houve uma falha de 40% em que prejudicar o desempenho

do sistema e controle, podendo levar a resposta instabilidade.

Considere por exemplo um projeto do sistema de controle que proporcione o

erro de regime prximo de zero, tempo de estabelecimento de 4 segundos e

potencial de ultrapassagem de 4%, neste caso, adotando a estrutura de controle

ilustrado na Figura 2, tem-se os seguintes controladores:

'8 8 ( & '0,869(;

Para maiores detalhes sobre o projeto de e , vide Captulo 3. A Figura 3 ilustra a resposta do sistema a um degrau unitrio sem falha na

matriz . Entretanto, se ocorre uma falha de 40% em , tem-se a curva obtida na Figura 4.

Dinmica de um marca-passo e corao de uma pessoa.

+

+

!

12

Figura 3 - Resposta para degrau unitrio - Controlador Cardaco sem falha.

Fonte: Autoria Prpria. Obteno atravs do software MATLAB.

Figura 4 - Resposta para degrau unitrio - Controlador Cardaco com 40% de falha no

atuador.

Fonte: Autoria Prpria. Obteno atravs do software MATLAB.

13

Para esta situao, haveria a necessidade de que os controladores e mantivessem a sada do sistema com resposta conhecida mesmo sob falhas parciais

no atuador. Entretanto, verifica-se neste caso que o tempo de estabelecimento

aumentou de 4 segundos para 10 segundos, pois os controladores no mantiveram

o sistema robusto. Neste exemplo, o aumento do tempo de estabelecimento poder

prejudicar a sade do usurio, j que o controle do ritmo cardaco no funcionar

com a resposta adequada.

Deste modo, por meio da realizao da pesquisa cientfica sobre controle

robusto a falhas descrita neste trabalho, objetiva-se resolver o problema de perda de

desempenho descrita nesta seo devido a falhas no sistema.

1.3 JUSTIFICATIVA

Em um sistema controlado fundamental que a sada da planta tenha

caractersticas conhecidas e estveis. Na situao onde ocorre uma falha nos

atuadores, por exemplo, o sistema de controle no realizar suas funes segundo

as especificaes de projeto. Isto acontece porque a sada do sistema foi alterada

devido falha, e esta considerao no levada em conta no projeto usual do

sistema de controle.

Portanto, as condies de projeto do controlador dependem do desempenho

dos atuadores e sensores, e a garantia do sinal de sada de uma planta

fundamental para correto funcionamento do sistema de controle. Com o projeto de

implementao do mtodo de controle robusto, possvel obter sada controlada de

uma planta mesmo quando submetida falha.

1.4 OBJETIVOS

1.4.1 Objetivo Geral

Desenvolver e implementar uma metodologia de projeto descrita na forma de

LMIs para soluo do problema de robustez a falhas em atuadores. Para isso, obter

um controlador que garanta uma resposta satisfatria em transitrios e em regime

permanente, mesmo sob efeito de falhas no atuador.

14

A avaliao do desempenho do sistema realizada atravs de simulaes

computacionais de um conversor CC-CC Boost.

1.4.2 Objetivos Especficos

Para atingir os objetivos citados no item 1.4.1, detalham-se abaixo os

objetivos especficos necessrios finalizao do projeto:

Realizar reviso bibliogrfica sobre LMIs, estabilidade quadrtica, custo

garantido da norma , sistemas incertos, projeto de controladores aplicados a sistemas com falhas;

Estudar a implementao de LMIs atravs de simulao em ambiente

MATLAB;

Implementar o sistema de controle robusto no modelamento de uma

planta instvel (utilizao do prprio conversor Boost);

Executar testes na forma de simulaes a fim de comprovar a eficcia

do modelamento proposto;

Documentar o projeto.

1.5 MTODO DE PESQUISA

No processo de realizao da pesquisa, as atividades esto organizadas em

6 etapas. Este procedimento realizado visando-se atingir os objetivos especficos

citados no item (1.4.2). Os pontos definidos so:

Etapa 1: Consiste na elaborao de reviso bibliogrfica com base em

estudos e publicaes realizados na rea de controle robusto a falhas, mais

especificamente objetivando o conhecimento das matrizes LMI e seus mtodos de

otimizao. O objetivo deste item agregar conhecimento tcnico-terico para

posterior aplicao da Etapa 2.

Etapa 2: Desenvolver de uma metodologia de projeto de um sistema de

controle robusto a falhas no atuador, a ser utilizada em simulaes.

Etapa 3: Aplicar as teorias desenvolvidas na Etapa 2 ao conversor Boost.

15

Etapa 4: Simular as metodologias de controle propostas.

Etapa 5: Validar a metodologia de controle proposta atravs de testes sob

diferentes situaes.

Por fim, na Etapa 6, documenta-se o projeto de pesquisa com as concluses

finais obtidas.

1.6 CONSIDERAES ADOTADAS

No processo de realizao desta pesquisa cientfica foram consideradas

falhas parciais no atuador da planta de testes.

Em um primeiro momento, as simulaes do sistema de controle robusto

foram feitas matematicamente, em um conversor Boost descrito na forma de espao

de estado e, num segundo momento, sobre um modelamento ideal do circuito e

outro considerado o modelamento real deste conversor. Estas simulaes foram

feitas atravs de software SIMULINK.

1.7 ESTRUTURA DO TRABALHO

Esta monografia est dividida em seis captulos, sendo que o primeiro

aborda a introduo geral com a descrio do problema, a justificativa, os objetivos

gerais e especficos e o mtodo de pesquisa adotado.

O segundo captulo destinado reviso bibliogrfica, onde se encontra

todo o embasamento terico necessrio realizao do projeto, abordando os

assuntos relacionados implementao do controle de falhas.

O terceiro captulo contm dados de projeto com base na modelagem do

conversor Boost.

No quarto captulo encontram-se as anlises feitas sobre os resultados de

diferentes metodologias de estudo do controle robusto.

O quinto captulo conclui a modelagem do controle robusto, incluindo a

simulao dos modelos ideal e real da planta, apresenta e compara os resultados de

um conversor sob falha.

No sexto captulo encontra-se um relato das atividades desenvolvidas, seus

resultados e concluses finais do trabalho.

16

2 REVISO BIBLIOGRFICA

Para fundamentar a teoria a respeito do projeto de controladores robustos a

falhas, este captulo tem como objetivo detalhar os seguintes tpicos de estudo:

Modelagem em espao de estado;

O funcionamento do conversor CC-CC Boost utilizado nas simulaes

computacionais;

A modelagem do conversor Boost em espao-estado;

A aplicao da norma de custo garantido, bem como as manipulaes algbricas para a elaborao LMIs do projeto;

Os conceitos de estabilidade quadrtica e a teoria de controle para

sistemas com falha.

2.1 MODELAMENTO EM ESPAO-ESTADO

Na teoria convencional de controle, apenas os sinais de entrada, sada e

erro so considerados importantes. A anlise e o projeto de sistemas de controle

so feitos utilizando as funes de transferncia juntamente com uma variedade de

tcnicas grficas como o lugar das razes e os grficos de Nyquist. Porm, tal

modelamento possui a desvantagem de ser insuficiente para sistemas de mltiplas

entradas e mltiplas sadas ou sistemas variantes no tempo.

A nova abordagem do controle moderno, segundo (OGATA, 1985),

baseada nos seguintes conceitos:

Estado: O estado de um sistema dinmico o menor conjunto de variveis

(chamadas de variveis de estado) tal que o conhecimento delas determina o

comportamento do sistema para qualquer instante - .. Vetor de estado: Se / variveis de estado so necessrias para descrever

completamente o comportamento de um dado sistema, ento estas / variveis podem ser consideradas como as / componentes de um vetor .

Espao estado: O espao /-dimensional cujos eixos de coordenadas so os eixos 0, 1, 2, , 4 chamado de espao estado.

17

Ou seja, o modelamento em espao-estado baseia-se nas variveis de

estado. Estas so entes matemticos, e sero tantas quanto a ordem do sistema.

Deve-se cuidar para que no sejam confundidas com as variveis fsicas (SILVA,

2006), como melhor detalhado a seguir.

Considere a seguinte equao diferencial ordinria,

56 7 . (2)

sendo 5, 7 e valores constantes diferentes de zero. H duas variveis fsicas e

e as de estado sero chamadas 0

e 1, de tal forma que: 0 ; 1 .

Derivando cada uma das equaes acima:

0 1; 1 6 5 75 5 .

Em resumo:

0 1; 1 5 0 75 1 15 . (3)

Assim, um sistema anteriormente modelado por uma equao de grau /, agora representado por / equaes de primeira ordem, chamadas de equaes de espao estado, e que podem ser representadas na forma matricial:

8019 : 0 1 5 75; 8019 :015; . (4)

Completando o sistema, tem-se a equao de sada, aqui representada por:

18

0.

Ou, ainda,

'1 0( 8019. (5)

Na forma padro de representao, 8019 e 8019, levando forma simplificada:

4 44 4;4 44 4. (6)

Assim, para o exemplo apresentado, tem-se:

4 : 0 15 75 ; ; 4 :015; ; 4 '1 0( e 4 '0(.

O objetivo dessa representao, conforme (PHILIPS, 1996), desenvolver

uma relao que preserve entrada e sada, atravs de equaes de primeira ordem.

A vantagem em utilizar / equaes de primeira ordem que so mantidas em evidncia as caractersticas internas do sistema representado.

Finalmente, na forma genrica, tem-se o seguinte modelamento:

=01>4? =500 501 @ 504510 511 @ 514> > A >540 541 @ 544? =

01>4? =7071>74? ;

4 '0 1 @ 4( =01>4? 'B(. (7)

19

2.2 O CONVERSOR CC-CC

Segundo (ANDREA, et al., 2010) os conversores CC-CC so utilizados em

diversas aplicaes industriais como veculos hbridos, iluminao e motores

regenerativos. Grande parte da aplicao destes conversores na regulao da

tenso nestes sistemas.

Seja o sistema ilustrado na Figura 5. Este sistema representa a relao entre

duas fontes de tenso contnua, E1 e E2, interligadas atravs de um conversor CC-

CC. Perceba que este recebe energia de E1 e responsvel por fornecer para E2.

Figura 5 - Representao Simplificada do Conversor Boost.

Fonte: (BARBI, et al., 2000)

O conversor CC-CC pode, ento, ser conceituado como um sistema formado

por semicondutores de potncia, operando como interruptores, e por elementos

passivos, como os indutores e capacitores (BARBI, et al., 2000)

2.3 O CONVERSOR CC-CC BOOST

A estrutura bsica do conversor CC-CC Boost apresentada na Figura 6,

onde possvel notar que o indutor encontra-se em srie com o diodo quando a

chave q estiver aberta.

Figura 6 - Estrutura do Conversor Boost

Fonte: (CARNIATO, 2009)

20

Neste caso, temos que C a tenso de sada e D4 a tenso de entrada, para a operao do conversor em conduo contnua. A relao entre

essas grandezas dada pela equao.

C D4 11 E (8) sendo E a razo cclica aplicada ao conversor Boost.: 2.4 MODELAMENTO EM ESPAO ESTADO PARA CONVERSOR

BOOST

Considere o conversor Boost mostrado na Figura 6. Com base neste circuito,

sero utilizadas as leis de Kirchhoff para obter seu modelo instantneo, quando

estiver no modo de conduo contnua conforme aplicado por (CARNIATO, 2009):

Figura 7 - Modo de conduo contnua do conversor Boost. Condio 1.

Fonte: (CARNIATO, 2009)

Observa-se na Figura 7 dois modos de operao:

Modo 1: 0; Modo 2: 1.

Para condio 1, em que 0; tem-se o circuito equivalente da Figura 8.

21

Figura 8 - Conversor CC-CC operando no modo 1.

Fonte: (CARNIATO, 2009)

Aplicando-se, ento, na situao exemplificada pela Figura 8, as leis de

tenso e corrente, tem-se:

D4 F BB GH C 0; (9) GH GC GIEJ C BB C C . (10)

As mesmas leis sero aplicadas para o modo 2 de operao, estando agora

o circuito conforme apresentado na Figura 9:

Figura 9 - Conversor CC-CC operando no modo 2

Fonte: (CARNIATO, 2009)

D4 F BB GH 0; (11) GC GIEJ 0 L BCB C . (12)

Combinando-se as equaes (9) e (11), tem-se:

D4 F BB GH 1

C. (13)

22

Da mesma forma, tomando-se (10), e (12):

BB C C 1

GH. (14)

Considerando GH e C as variveis de estado, temos:

MGHCN = 0 1F 1

1 1

1 ? 8

GHC9 :1F0;D4. (15)

onde pode ser igual a zero ou igual a um, representando uma chave que opera apenas nos estados aberto e fechado.

Considere, agora, que o sinal varie ciclicamente, tornando-se a chamada razo cclica. Pode-se utilizar o valor mdio ao longo do perodo O:

B 1O P QBQR

JSR . (16)

Ento, considerando-se (16) em (15), temos:

M GHCN = 01F T1 BU1 T1 BU 1 ? 8

GHC9 :1F0; D4; C '0 1( 8GHC9.

(17)

Entretanto, para o projeto do sistema de controle no interessante utilizar D4 como lei de controle (ver (17)). Deste modo, utiliza-se:

D4 T1 BUC. (18)

Multiplicando e dividindo (18) por B tem-se:

23

D4 T1 BUB CB. (19)

Assim, substituindo-se (19) em (17), obtm:

M GHCN VWWWX 0 T1 BUFT1 BU 1 YZZ

Z[ 8GHC9 \CT1 BUBF0 ] B; C '0 1( 8GHC9.

(20)

Linearizando (20) para B igual a E, tem-se:

M GHCN VWWX 0 1 EF1 E 1 YZ

Z[ 8 GHC9 \C1 EF E0 ] B; C '0 1( 8GHC9.

(21)

sendo E o ponto de operao da razo cclica, e B o desvio em torno de E, variando conforme: 0,1 ^ B ^ 1.

O sistema descrito por (21) pode tambm ser reescrito considerando as

falhas em sua estrutura, da seguinte maneira:

; . (22)

Sendo _ `4 um vetor de estado, contendo a corrente no indutor e a tenso no capacitor, isto , 8GHC9. a `4b4, a `4bc, a `db4 sero descritas no prximo tpico, onde sero abordados no estudo de sistemas

com falhas.

24

2.5 ANLISE DE SISTEMAS COM FALHAS

Considerando-se o sistema linear, incerto, descrito na forma de variveis

estado em (22), as matrizes , e representam a dinmica da planta com incertezas do tipo politpica (BOYD, et al., 1994), e so dados por:

effgfh0 ; effgfh0 ; eff

gfh0 . (23)

Como as falhas ocorrem sem previso, pode-se interpretar o sistema

descrito em (22) com matrizes , e dadas em (23), como sendo um sistema com falha.

O parmetro i tal que i 24, com / igual ao nmero de parmetros incertos da planta. Ainda, devem ser obedecidas as condies:

efgfh0 1; f - 0. (24)

Assim, pode-se projetar um sistema robusto a falha baseando-se no

conceito de estabilidade quadrtica ou no custo garantido na norma , os quais so definidos na Seo 2.8 e 2.10, respectivamente. Neste contexto, utiliza-se a lei

de controle e um controlador de malha aberta , tais como ilustrado a seguir.

Figura 10 Sistema Robusto a Falha com matrizes em funo de j. Fonte: Autoria Prpria.

+

+

25

Desta forma, o controlador e o ganho estabilizaro a planta em malha fechada mesmo na presena de falha. possvel obter maiores informaes a

respeito do projeto destes controladores no Captulo 3.

2.6 FUNO POSITIVA E NEGATIVA DEFINIDA

Para que se possa realizar o estudo de estabilidade abordado no prximo

tpico, necessrio que se faam algumas definies:

Funo Escalar Positiva Definida: uma funo escalar dita positiva definida em uma regio se l 0 para todos os estados no nulos na regio e 0 0.

Funo Escalar Negativa Definida: uma funo escalar dita negativa definida se for positiva definida. 2.7 A ESTABILIDADE SEGUNDO LYAPUNOV

Para um sistema de controle, a estabilidade, segundo (OGATA, 1985) o

critrio mais importante a ser determinado. O mtodo de Lyapunov, que ser

descrito neste item, utilizado para determinao da estabilidade de sistemas no

lineares e/ou variantes no tempo, de qualquer ordem.

Seja o sistema descrito em espao estado dado em (6), para a situao de

relaxamento, isto , 0, temos:

. (25)

Pode-se tomar uma funo de Lyapunov positiva definida:

mn l 0. (26)

Na condio acima, considera-se:

n no l 0. (27)

26

Ao derivar a equao (26) em relao ao tempo e relacionar a equao (25),

tem-se:

mn mn mn mn mmn n (28)

importante observar que deve ser definida positiva e deve ser definida negativa para que se tenha a estabilidade assinttica. Isto :

^ 0 (29)

Assim, a partir de (28), para que (25) seja assintoticamente estvel, deve-se

ter:

mn n ^ 0 (30)

Tal relao ser utilizada posteriormente no item 2.11 para se definir a LMI

para alocao dos plos do sistema de controle. O objetivo obter os critrios de

desempenho projetados.

2.8 ESTABILIDADE QUADRTICA

Se considerar que a matriz , em (30) no precisamente conhecida, mas sim pertencente a um politopo de incertezas p, ento, a matriz ser escrita como uma combinao convexa dos vrtices f onde q 1, , i do politopo, conforme (23) (BOYD, et al., 1994):

De (30), para que , seja estvel, suficiente que exista uma matriz de n nm _ `4b4 tal que as seguintes LMIs:

mn n ^ 0, n l 0. (31)

Substituindo-se (23) em (31) obtm-se:

27

reffgfh0 sm n n reffgfh0 s ^ 0. (32)

Ento, colocando o somatrio em evidncia em (32), tem-se:

efTfmn nfUgfh0 ^ 0 (33)

A condio suficiente para que (33) seja verdadeira :

fmn nf ^ 0n l 0 , q 1, , i (34)

As LMIs descritas em (34) so necessrias para que se atenda a

estabilidade quadrtica.

Observa-se que tal condio adiciona uma segunda restrio n l 0 ao Teorema de Lyapunov visto no item 2.7 que dever ser utilizada posteriormente nas

LMIs do projeto.

2.9 A NORMA Tendo em vista que os sistemas de controle visam atingir especificaes de

desempenho definidas e garantir a estabilidade da planta, necessrio definir meios

de medir e qualificar tais resultados.

Um deles o uso das normas 1 e . Estas metodologias de otimizao medem a energia em determinados sinais de interesse, permitindo a verificao da

eficincia do sistema de controle (TROFINO, 2000). O projeto contido nessa

pesquisa faz uso da norma . Para isso, tem-se a seguir um maior detalhamento deste ndice de desempenho.

A norma da funo de transferncia pode ser definida por:

tt u maxyz.|q||. (35)

28

Esta norma tambm pode ser interpretada como:

tt } ~ tt1 }t|t1 | _ 1, (36)

a qual uma norma induzida 1 L 1 (BOYD, et al., 1994). Considere um sistema dinmico prprio, invariante no tempo, ,

representado abaixo na forma de variveis de estado:

, . (37)

A realizao do sistema descrito na equao (37) dada por:

T , , , U. (38)

Como visto no item 2.8, a norma est relacionada existncia de uma matriz n l 0 (BOYD, et al., 1994) e resoluo das seguintes LMIs:

t t1 ^ ~ n nm l 0; Mm n n }S1m n }S1m mn}S1 m }S1 m G N ^ 0. (39)

Sendo }1, pode-se utilizar o complemento de Schur (APNDICE A), conforme detalhado por (BOYD, et al., 1994) para que o sistema seja reescrito

conforme:

\m n n n mmn G m G] ^ 0. (40)

Assim, a norma desse sistema ser obtida atravs da soluo do problema de otimizao na forma de LMIs:

29

1 min ;

. 5 \m n n n mmn G m G] ^ 0; n l 0. (41)

Na forma dual:

tt1 min; . 5 \ m m G mm G] ^ 0; l 0.

(42)

Neste projeto ser utilizada a forma dual, pois o parmetro de interesse o , e dessa forma sero evitadas maiores dificuldades no equacionamento do projeto (ANDREA, 2007).

2.10 CUSTO GARANTIDO DA NORMA Para sistemas incertos (ou com falhas), o custo garantido um parmetro

que pode ser utilizado para anlise de desempenho, como ser feito nesse projeto.

Suponha que os parmetros T , , , U do sistema (37), j definidos em (23) e (24), pertenam a um conjunto do tipo politopo, convexo conhecido , tal que:

T, , , U efTf , f, f, fUgfh0 ; f - 0;ef 1 (43)

onde i o nmero de vrtices de incertezas. Na anlise do custo garantido para a norma em sistemas incertos,

contnuos e com incerteza do tipo politpica, define-se:

T, , , , , U \ m m G mm G]. (44)

30

Ainda, define-se os seguintes conjuntos:

u , | l 0; m; T, , , , , U 0 T, , , U _ u , | l 0; m; Tf , f, f , f , , U 0 Tf , f, f, fU _ .

Considerando-se a linearidade das inequaes matriciais e a convexidade

do politopo de incertezas, os conjuntos e so equivalentes. O problema de otimizao,

}1 min, . 5 , _ (45) soluciona o problema para o custo garantido da norma . 2.11 RESTRIO ALOCAO DE PLOS VIA LMI RELATIVA

CIRCUNFERNCIA

conhecido que o comportamento em regime transitrio de um sistema

linear influenciado pela alocao de seus plos. O objetivo de muitos trabalhos

consiste em tcnicas para posicionar os autovalores de uma matriz de controle em

uma dada regio a fim de que o sistema assuma um determinado comportamento.

Por exemplo, o tempo de estabelecimento e o potencial de ultrapassagem podem

ser manipulados. Portanto, deseja-se definir uma regio no plano complexo na qual

tais parmetros possam ser atendidos.

A seguir descrita uma tcnica de alocao de plos em termos de LMI

aplicada a sistemas de controle que baseia-se na alocao de autovalores de uma

matriz simtrica para garantir as condies de projeto. Para isso tem-se a Definio

1.

Definio 1: Uma dada sub-regio do plano complexo chamada de Regio

LMI se existir matrizes simtricas _ `44 e F _ `44 tais que:

a : ^ 0. (46) Com :

F m 5i5 a , (47) em que denota o complexo conjugado de .

31

Seja uma sub-regio do plano esquerdo, esfrica estvel, de raio e centro , 0 conforme a Figura 11, para o sistema em espao estado descrito em (37). Se no singular, ento o nico estado de equilbrio a origem 0. Segundo (ASSUNO, et al., 2008), o sistema descrito em (37) estvel se, e

somente se, existir uma matriz simtrica que satisfaz:

m ^ 0; l 0. (48)

Neste intervalo , escolhe-se um autovalor da matriz :

Figura 11 Regio do plo s limitado por uma circunferncia de raio e centro , . Fonte: Autoria Prpria.

A regio LMI para este crculo pode ser descrita como:

| | ^ , (49) Utilizando o Complemento de Schur, define-se a condio necessria para

alocao dos plos em regio definida pelos parmetros e , 0.

32

" % ^ 0. (50)

Utilizando-se a equao dada em (48) sendo o autovalor igual matriz obtm:

8 m 9 ^ 0. (51)

Portanto, apenas alocando os plos dos autovalores da matriz na sub-regio indicada na Figura 11, projeta-se sistemas de controle com restries de uma circunferncia de raio e centro , 0.

33

3 PROJETO DE CONTROLE ROBUSTO

Nesta seo so apresentados os estudos iniciais do projeto de

controladores robustos a falhas na planta, sensores e atuadores. No entanto, na

seo de simulao, projetaram-se apenas controladores robustos a falhas no

atuador.

Neste contexto, duas topologias de sistemas de controle robusto foram

desenvolvidas, as quais so denominadas de Projeto de Controlador Robusto I, e

Projeto de Controlador Robusto II. Estas metodologias foram propostas para ilustrar

a viabilidade do sistema de controle robusto elaborado neste trabalho.

3.1 PROJETO DE CONTROLADOR ROBUSTO I

Considere o seguinte sistema de controle robusto a falhas dado por:

Figura 12 Sistema de controle robusto.

Fonte: Autoria Prpria.

Neste caso, tem-se:

'i (; ' ( i; ; & i i .

(52)

Ento se pode reescrever a equao (52) da seguinte maneira:

' ( i; (53)

+

+

!

&

+

-

34

& i .

Definindo-se:

(54) Substituindo-se (54) em (53), obtm-se:

i; & i . (55)

Portanto, de (55), a realizao que relaciona o erro do sistema i

e a entrada de referncia i dada pela seguinte expresso:

T, ,, GU. (56)

Objetivando-se rastreamento e estabilidade da planta com falha, minimiza-se

a norma de custo garantido de (56). Neste processo projetado o controlador de realimentao dos estados (implcito em ), vide (53) e (55), e o controlador de malha direta .

O Teorema I apresenta o projeto via LMI para obter os controladores e robustos a falhas, que controlam o sistema descrito em (56) contemplando os

critrios de custo garantido da norma , estabilidade e alocao de plos previamente explicados.

Teorema I: Considere o sistema incerto com (51) realimentao dos estados

dado em (52). Se existe solues para as condies do sistema dadas em (57), (58)

e (59), ento se pode obter os controladores e com alocao de plos na regio mostrada pela Figura 11 resolvendo-se:

tt1 /;

(57)

35

. 5 \f fm f! !mfm fm ff G Gmfm G G] ^ 0;

M D f!fm !mo N ^ 0; (58)

o l 0. (59)

O controlador de realimentao dos estados dado por !S0. As matrizes e ! so solues timas de (57), (58) e (59).

Prova do Teorema I: A inequao (57) obtida considerando-se as

matrizes , ,, G, descritas (56), iguais s matrizes T, , , U na inequao (37) do Captulo 2 da seguinte forma,

\ m m G Gmm G G ] ^ 0. (60)

Ento, de (60) tem-se:

VWWWWWWWWWXreffgfh0 s reff

gfh0 s

m reffgfh0 sm reffgfh0 s

reffgfh0 s Gefgfh0 Gef

gfh0

m reffgfh0 sm Gefgfh0 Gef

gfh0 YZ

ZZZZZZZZ[^ 0.

(61)

Colocando-se o somatrio de (61) em evidncia, obtm-se:

36

ef \f fm fm ff G Gmfm G G]gfh0 ^ 0. (62)

Portanto, sendo:

\f fm fm ff G Gmfm G G]. (63)

a condio para que (60) seja verdadeira ,

^ 0.

Utilizando a inequao (63), com ! , obtido a LMI descrita em (57).

Assim, a inequao indicada no item (51) permite alocar os plos de um

sistema no plano esquerdo limitados por uma circunferncia de raio em , 0. Ento, substituindo-se na inequao descrita em (58), tem-se:

M o N ^ 0. (64)

Assim, podemos reescrever a inequao (64) como:

VWWWWWX reffgfh0 s

reffgfh0 s o YZZ

ZZZ[^ 0. (65)

Objetivando-se obter a equao (58), realiza-se a seguinte manipulao

algbrica em (65):

37

VWWWWWX refgfh0 s reff

gfh0 s

reffgfh0 s o refgfh0 s YZZ

ZZZ[^ 0. (66)

pois,

ef 1gfh0 E deste modo no alteramos a inequao (65). Colocando-se os somatrios

de (66) em evidncia, obtm:

refgfh0 s M f fo N ^ 0. (67)

Ento para que (67) seja verdadeira, basta que:

M f fo N ^ 0. (68)

Por fim, da equao (71), com ! e f descrita anteriormente, obtemos (58).

3.2 PROJETO DE CONTROLADOR ROBUSTO II

Neste item considera-se a mesma estrutura de controle ilustrado na Figura

12. Entretanto apresenta-se outro mtodo para projeto de controladores e . Pode reescrever (52) como:

i; . (69)

sendo descrito em (54). O sistema (67) pode ser representado pela seguinte realizao,

38

T, , , 0U (70) Assim, para determinar rastreamento de um sistema para uma entrada

degrau, a resposta em freqncia de (69) deve apresentar magnitude igual a 1 para

baixas freqncias, visto que o degrau de freqncia zero.

Portanto, objetiva-se projetar os controladores e que minimizem o custo garantido da norma de (67), mas com limite inferior igual a 1 l 1.

O Teorema II apresenta o mtodo para tal projeto segundo as condies

acima descritas.

Teorema II: Considere o sistema incerto dado em (52) com realimentao

dos estados e um ganho de malha direta conforme ilustrado na Figura 12. Se existe

solues para as LMI dadas em (71), (72) e (73), ento se pode obter controladores e com alocao de plos resolvendo-se:

tt1 / . 5 \f fm f! !mfm fm ff G 0mfm 0 G] ^ 0

(71)

M f f!fm !mo N ^ 0 (72) l 1 (73)

Prova do Teorema II: A inequao (71) obtida considerando-se matrizes

(, , , 0), iguais s matrizes ( , , , ) na inequao (38) do Captulo 2 da seguinte forma:

\f fm fm ff G 0mfm 0 G] ^ 0. (74)

39

Neste contexto, para obter a inequao (72) aplica-se as mesmas

manipulaes do Teorema I.

No caso da LMI descrita em (72), utiliza-se a mesma prova do Teorema I

para alocao de plos em uma circunferncia de raio e centro (-q,0).

40

4 RESULTADOS PARCIAIS

Nesta seo so apresentados os resultados parciais do sistema de controle

robusto a falhas proposto neste trabalho.

4.1 RESULTADOS DE SIMULAO

4.1.1 SIMULAO DA FALHA DO ATUADOR DA PLANTA

Considera-se o conversor Boost operando em modo de conduo contnua.

Este conversor transforma a entrada de tenso nominal D4 de 12 para 24 na tenso de sada . A freqncia de chaveamento de 25 e os parmetros do Boost so: um indutor F de 600 , um capacitor de 200 e um resistor de 24 . Neste caso, a potncia do Boost de 24 .

Figura 13 Conversor Boost utilizado no projeto do controlador

Fonte: Autoria prpria

Utilizando a expresso (21) lineariza-se o modelo mdio no-linear, com E 0,5 e de operao igual a 24 . Assim, podemos descrever o conversor Boost da Figura 13 linearizado na forma de espao estado como:

M GHCN " 0 833.332500 208 % 8GHC9 "250000 % B; C '0 1( 8GHC9.

(75)

41

Para a modelagem dada em (75) no so considerados distrbios e,

inicialmente, adota-se um projeto de o sistema de controle com realimentao dos

estados ilustrado na Figura 12.

Inicialmente utiliza-se a teoria convencional, conforme descrito na Seo 1.2.

Como critrio de desempenho define-se:

Potencial de ultrapassagem: 7%

Tempo de estabelecimento: 9,6 milisegundos.

Assim, o controlador obtido dado por: '0,025 0,02863(. Ainda, para obter erro prximo de zero, utiliza-se um ganho de malha direta

conforme dado a seguir: '0,00678(.

O resultado do sistema de controle para degrau de 12 ilustrado na Figura 14:

Figura 14 - Sada do conversor Boost. Fonte: Autoria Prpria. Grfico obtido atravs de simulao no software MATLAB.

Sendo o objetivo deste trabalho um sistema de controle robusto a falhas no

atuador, matriz de (21), simula-se tal situao com a variao em 15% desse parmetro:

42

"250000 % 0,85

A resposta do sistema de controle ilustrada na Figura 15:

Figura 15 - Sada do conversor Boost com falha de 15% em B. Fonte: Autoria Prpria. Grfico obtido atravs de simulao no software MATLAB.

Na Figura 15, verifica-se que a planta perdeu a regulao da tenso de sada

do conversor Boost, a qual deveria se aproximar de 24 . Ento, para simular os Teoremas I e II, discutidos no Captulo 3 adota-se a

condio de falha de at 15% em , sob a qual temos os seguintes vrtices do politopo de incerteza:

0 A1 " 0 833.332500 208 % , B0 "250000 % , B1 "212500 % C0 C1 '0 1(. (76)

4.1.2 SIMULAO DO TEOREMA I

Utilizando o Teorema I, com regio para alocao de plos de malha fechada

em uma circunferncia de raio 10000 e centro na origem, obteve-se os seguintes controladores.

43

'447,13 760225779,25( & '0,026(.

Neste caso, a resposta em freqncia de / para o vrtice 1 0, 0, 0, 0 ilustrada na Figura 16.

Figura 16 - resposta em freqncia de E(s)/R(s) para o vrtice 1.

Fonte: Autoria Prpria. Grfico obtido atravs de simulao no software MATLAB.

Na Figura 16, observa-se que o rastreamento do sinal no est satisfatrio.

Esta condio obtida a partir da visualizao da magnitude /, o qual igual a 1. Para um bom rastreamento, esta magnitude deve ter valores muito

pequenos, prximos a zero. Ento, para o Teorema I no foram obtidos bons

resultados. Mas, este problema pode ser superado com a utilizao de filtros via

modelagem do sistema de controle. Tal etapa ser discutida no Captulo 5.

4.1.3 SIMULAO DO TEOREMA II

Por outro lado, o Teorema II apresenta resultados melhores. Por meio da

utilizao deste teorema obtivemos os seguintes controladores:

'0,3199 0.7042( & '0,805(.

Para este projeto utilizou-se tambm uma regio de alocao de plos uma

circunferncia de raio 10000 e centro na origem.

44

Observando-se a Figura 17, verifica-se que a magnitude de !/ para os dois vrtices prximo de 1. Esta a condio para que ocorra um bom

rastreamento, visto que ! ser prximo de .

Figura 17 - Resposta em freqncia do sistema para dois vrtices do politopo.

Fonte: Autoria Prpria. Grfico obtido atravs de simulao no software MATLAB.

A Figura 18 ilustra a resposta do sistema para uma entrada degrau de 12 .

Figura 18 - Sada do conversor Boost. Fonte: Autoria Prpria. Grfico obtido atravs de simulao no software MATLAB.

Na simulao computacional mostrada na Figura 18 utilizou-se o vrtice 1, ou

seja, esta a resposta do sistema sem a falha.

45

Considerando-se uma falha de 15% em , temos a resposta ao degrau de 12 ilustrado na Figura 19.

Figura 19 - Sada do conversor Boost com falha de 15% em . Fonte: Autoria Prpria. Grfico obtido atravs de simulao no software MATLAB.

Verifica-se, comparando a Figura 18 a Figura 19 que a resposta permaneceu

robusta a falha em . Entretanto, existe um erro de regime que pode ser corrigido em estudos futuros.

46

5 RESULTADOS FINAIS

No Captulo 4 observou-se que o rastreamento da planta utilizando a funo

de transferncia do erro (Teorema I, item 3.1) no ideal, pois a magnitude / aproxima-se de 1. Uma soluo para obter / prximo a zero a utilizao de filtros via modelagem do sistema de controle.

Neste captulo demonstra-se o clculo para obteno do filtro que mantm a magnitude / prximo a zero em baixas freqncias. 5.1 A FALHA APLICADA AO INDUTOR DE UM CONVERSOR

BOOST

No modelamento espao-estado do conversor Boost, detalhado no item 2.4,

a matriz ou matriz do atuador dada por:

\C1 EF E0 ] (77)

Observa-se que uma falha de 20% na indutncia F representa uma falha de 25% na matriz do atuador , pois:

\C1 EF E0 ] ; m \C1 E0.80F E0 ] 1.25 \

C1 EF E0 ]. (78)

Assim, para comprovar a eficcia do Teorema I aliado ao filtro , utiliza-se um conversor Boost com aplicao de falha de 20% sobre a indutncia F. O objetivo da falta aplicada em F exemplificar uma situao de variao paramtrica deste componente que afetaria a matriz e o desempenho da planta.

47

5.2 APLICAO DO FILTRO REALIZAO DO TEOREMA I

Considera-se o conversor Boost operando em modo de conduo contnua.

Conforme detalhado no item 2.4, de forma simplificada podemos escrever as

equaes espao-estado deste conversor da seguinte maneira:

.

(79)

Ou seja, a planta pode ser modelada conforme mostra a Figura 20:

Figura 20 Projeto de controle robusto com aplicao do Teorema I.

Fonte: Autoria Prpria.

Da Figura 20 e como j demonstrado no item 3.1, pode-se concluir que:

' ( i; & i . (80) Considerando-se:

(81) Obtm-se a equao de espao-estado:

i; & i .

(82)

Com base a equao (38), a realizao que relaciona o erro & do sistema e a entrada de referncia i, ou / dada por:

+

+

! + -

48

T, ,, GU (83) Para obter rastreamento com magnitude prxima a zero sob baixas

frequncias ser adicionado um filtro em forma de espao-estado planta j definida

anteriormente. O filtro utilizado ser:

(84)

Aplicando o filtro sob o circuito, tem-se o seguinte sistema:

Figura 21 Modelamento do Filtro . Fonte: Autoria Prpria.

Da equao (82), sendo i a entrada do sistema, considera-se o erro dado por:

& i .

(85)

A entrada do filtro dada por &, assim, substituindo-se (85) em (84), as equaes de espao-estado do filtro podem ser definidas como:

Ti U; i; . (86)

Assim, obtm-se as seguintes matrizes espao-estado da planta com filtro:

i

& n i

i i

49

8 9 8 0 9 " % 8 9 i; '0 ( " %.

(87)

Onde:

d 8 0 9 ; d 8 9 ; d '0 (. (88)

Portando, a realizao dcom o filtro ser:

d d, d, d, 0.

(89)

Das equaes definidas em (57), no Teorema I item 3.1, obtm-se as

condies necessrias para se encontrar os controladores e com alocao de plos na regio mostrada pela Figura 11, item 2.11. Assim, resolve-se:

tdt1 min ; . 5. \d dm m d G 0m 0 G] ^ 0.

(90)

a) Resolvendo " d dm" : 8 0 9 800 0000 119 ^ 0; 800 00 00 0000 00 00 119 ^ 0.

(91)

Para:

00 !. (92)

50

tem-se:

d 8 00 ! 00 !00 00 00 119 ^ 0 dm 800m !mm 00mm 00m00m !mm 00mm 11m9 ^ 0

(93)

b) Resolvendo " m": 800 0000 119 8 0 9 800o11o9 (94)

Desta forma, da equao (90) e substituindo os itens calculados em a e b,

tem-se:

tdt1 min ; . 5. (95) VWWX 00m !mm 00 ! 00 ! 00mm 00m 00o 00m !mm 00 00 00 11 00mm 11m 11o 00 11 G 0mm o 0 G YZ

Z[ ^ 0.

Desta forma, a implementao da equao (95) via LMI ter como

resultados os controladores e N que satisfazem as condies do Teorema I com magnitude / prximo a zero em baixa freqncia. 5.3 RESULTADOS OBTIDOS COM FILTRO SOB O TEOREMA I

A norma desse sistema, d, dado pela equao (95), obtida atravs da soluo do problema de otimizao na forma de LMIs. Juntamente com as

demais condies do Teorema I dadas pelas equaes (58) e (59) obtm-se os

seguintes controladores e que mantm o circuito com as condies previstas. ' 0.00012597368337 0.0207640113867004(, '0.0000740740862(.

Desta forma, o resultado obtido para a magnitude de / dado na Figura 22.

51

Figura 22 Magnitude / ao longo da freqncia. Fonte: Autoria Prpria. Grfico obtido atravs de simulao no software MATLAB.

Na Figura 22 observa-se que a magnitude de / aproxima-se de zero em baixas frequncias. Com este resultado pode-se considerar que o filtro atingiu

seu objetivo para entrada degrau.

Para validao dos resultados, o conversor Boost foi analisado em dois

modelos de simulao que sero chamados de modelo real e modelo mdio.

5.4 SIMULAO DO CONVERSOR BOOST NO MODELO MDIO

Para obter os resultados da planta com falhas de at 20% no indutor, neste

primeiro momento utilizou-se a planta da Figura 23 em que analisada a eficcia

dos controladores e sob a funo de transferncia do conversor Boost.

Figura 23 Planta de simulao. Modelo Mdio do conversor Boost.

Fonte: Autoria Prpria. Diagrama elaborado no software MATLAB.

Tensao

To Workspace1

Tempo

To Workspace

Step Scope

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

Modelo Espao Estado da Planta

C* u

Matriz C

K*u

K(1,2)

K*u

K(1,1)

N* u

Ganho N

23.8

Display

Clock

52

Na simulao do modelo mdio possvel observar maior tempo de

estabelecimento da planta se comparado simulao do circuito real (item 5.5).

Porm o sistema estabiliza-se com baixo erro de regime e mantm-se estvel a

falhas na matriz . As sadas do conversor sem e com falha de 20% no indutor podem ser

observadas nas Figura 24 e Figura 25, respectivamente.

Figura 24 Sada do conversor Boost sem falha. Modelo Mdio.

Fonte: Autoria Prpria. Grfico obtido atravs de simulao no software MATLAB.

Figura 25 Sada do conversor Boost com falha de 15%. Modelo Mdio.

Fonte: Autoria Prpria. Grfico obtido atravs de simulao no software MATLAB.

53

5.5 SIMULAO DO CONVERSOR BOOST NO MODELO REAL

De forma anloga ao descrito no item 5.4, a anlise do conversor Boost

tambm pode ser analisada utilizando-se um modelo de simulao mais prximo do

real. Para isto, o circuito montado como na Figura 26.

Figura 26 Diagrama utilizado para simulao. Modelo Real.

Fonte: Autoria Prpria. Grfico obtido atravs de simulao no software MATLAB.

Para circuito sem falha no indutor a sada do conversor dada na Figura 27.

Figura 27 Sada do Conversor Boost. Modelo Real.

Fonte: Autoria Prpria. Grfico obtido atravs de simulao no software MATLAB.

V_in

Continuous

pow ergui Vref

v+-

VC

Tempo

To Workspace1

Tensao

To Workspace

RepeatingSequence

54

Para falha de 20% no indutor observa-se na Figura 28 que a sada do

conversor possui maior tenso de pico. Porm o erro de regime mantm-se estvel.

Figura 28 Sada do Conversor Boost com falha de 20% no indutor. Modelo Real.

Fonte: Autoria Prpria. Grfico obtido atravs de simulao no software MATLAB.

Ou seja, os resultados obtidos com os controladores robustos sobre a planta

evidenciaram que o sistema se manteve sob as condies de projeto mesmo com

falha de 20% sobre o valor do indutor. Como j explanado no item 2.5, esta

alterao da indutncia caracteriza falha na matriz ou atuador da planta.

55

6 CONCLUSO

Neste trabalho buscou-se uma soluo para garantir robustez em plantas

com falha e, desta forma, obter ndices de desempenho projetados para resposta em

malha fechada. Para definio de estabilidade utilizou-se o mtodo de Lyapunov e,

juntamente com a restrio de estabilidade quadrtica e alocao de plos, se

definiu a regio no plano complexo que possui as condies de contorno

necessrias robustez da planta.

No desenvolvimento da teoria de controle robusto, algumas ferramentas

numricas foram utilizadas, como as restries de projeto em forma de LMI (Linear

Matrix Inequalities) e os algoritmos de otimizao como o custo garantido da norma (item 2.10). Para a simulao de uma falha sob o atuador da planta, o conversor Boost foi modelado em espao-estado, conforme detalha o item 2.4. Este

modelamento permitiu que se mantivessem em evidncia as caractersticas internas

do sistema como, por exemplo, quais componentes do circuito do conversor

influenciam na possvel falha da matriz . Para aprofundamento do estudo, elaboraram-se duas metodologias de

estudo observando a funo de transferncia sob a perspectiva do erro e da planta.

Tais projetos foram detalhados nos Teoremas I e II (itens 3.1 e 3.2). O objetivo de

ambos os teoremas foi obter dois controladores, e , o primeiro de malha direta e o segundo de realimentao dos estados.

Os resultados do Teorema II foram positivos e obteve-se bons valores de

magnitude !/ . No Teorema I, porm, houve falha no resultado de otimizao convexa elaborado via software MATLAB. Neste caso, a magnitude / obtida foi de um, quando deveria ser prxima a zero. Para melhorar o rastreamento

dos controladores e foi necessrio acrescentar um filtro (chamado de filtro ) modelagem do sistema de controle.

Assim, no Captulo 5 detalham-se as mudanas aplicadas sob o Teorema I.

Como o objetivo inicial do projeto foi estudar a resposta da planta sob entrada

degrau, suficiente a obteno de bons resultados em baixa freqncia. Desta

forma tornou-se possvel o rastreamento atravs da funo de transferncia do erro

e da planta conforme previsto nos Teoremas I e II.

56

Analisando as equaes espao-estado do Boost percebe-se que a matriz

do atuador possui como varivel a indutncia F deste conversor. Desta forma, a falha foi aplicada sob o indutor, o que exemplificaria uma variao paramtrica do

componente. Como correlao imediata das matrizes espao-estado desta planta,

15% de falha no indutor corresponde a aproximadamente 17% de falha na matriz . Com o critrio de falha definido anteriormente, a metodologia proposta foi

avaliada em dois mtodos de simulao: O primeiro refere-se a simulao da planta

com matrizes espao-estado elaboradas com base no modelo ideal do conversor

(item 5.4). O segundo envolveu a simulao do circuito do Boost (item 5.5). Os

resultados do ltimo mtodo apresentaram maior oscilao sob a entrada degrau o

que refletiu com maior preciso as condies reais de placa, visto que, neste

momento consideram-se parmetros internos dos componentes do circuito.

Por fim, em todas as simulaes os resultados obtidos foram os mesmos: O

circuito manteve-se estvel a falhas de 20% no indutor. No foram observadas

mudanas significativas de erro de regime, tempo de estabelecimento ou potencial

de ultrapassagem do circuito sob condio de falha.

Nota-se, portanto, que tais resultados ilustraram a viabilidade da

metodologia de controle robusto em sistemas instveis e ratifica a necessidade de

utilizao do mtodo de modelamento em espao-estado para melhor soluo de

restries atravs das matrizes de inequaes lineares (do ingls, LMI).

57

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TROFINO Alexandre Controle Robusto [Livro]. - Florianpolis : [s.n.], 2000.

59

APNDICE

APNDICE A O COMPLEMENTO DE SCHUR

Considere-se o sistema matricial dado da seguinte forma: (ANDREA, 2007):

\ 0 1 21o 2o o ] l 0; (96)

sendo 0 0o, o e o. Desta maneira, desde que l 0, pode-se aplicar o complemento de

Schur de maneira reversa na inequao (96) e ento se obtm:

8 0 1S01o 2 1S0o 2 oS01o S0o 9 l 0. (97)

Ento, realiza-se uma escolha adequada da matriz . Seja descrito da seguinte maneira:

3 2S05.

(98)

Substituindo as equaes (97) em (98), tem-se:

80 1S01o 00 oS09 l 0. (99)

Assim, aplica-se o complemento de Schur de maneira reversa na inequao

(99). Assim obtm-se:

80 11o 9 l 0 e 8 o 9 l 0. (100)

60

A LMI (96) pode ser descrita pelas LMIs dadas em (100). Entretanto, sendo

(ANDREA, 2007) pode-se aplicar este mtodo apenas em sistemas onde a varivel

livre localiza-se em uma das extremidades de um dado conjunto de inequaes. Todavia, podem-se encontrar problemas descritos em termos de LMIs, onde

a varivel livre no se encontra nos termos da extremidade, e neste caso deve ser utilizados processos de permutaes das linhas e colunas da matriz (77) de tal

forma que permita reformular o conjunto de LMIs para que se possa eliminar.