Usando a Lei de Coulomb
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Electrostática03/04
Universidade de Aveiro
Enquadramento Teórico da ElectrostáticaProblema Seleccionado Conclusão
Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e TelecomunicaçõesElectrostática
Estrutura OrganizacionalEstrutura Organizacional
Cálculo VectorialExtra:
Enquadramento Teórico da Electrostática
Conclusão
A Electrostática dedica-se ao estudo dos fenómenos associados às cargas eléctricas em repouso.
Desde há milhares de anos que fenómenos electrostáticos têm vindo a ser documentados. O acontecimento mais antigo que se conhece provém da Grécia Antiga, mais propriamente, do século VI A.C., pelo filósofo Táles de Mileto. Verificou que um pedaço de âmbar obtinha a propriedade de atrair pequenos objectos quando friccionado por um pano de lã (exemplo).
No entanto, tudo o que se sabia sobre a electrostática e força eléctrica era qualitativo, apenas era possível descrever o que se observava nas experiências. Não era possível medir as forças intervenientes nem quantidade de cargas.
Mas o grande avanço quantitativo foi dado pelo francês Charles Coulomb (1736-1806). Foi este cientista que desenvolveu um método e um aparelho para medir a força entre duas cargas eléctricas. O aparelho chama-se balança de torção.
Problema Seleccionado
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A Balança de Torção de Coulomb
Sugestão: Tente construir uma Balança de Torção, substituindo, é claro, os materiais mais caros e difíceis de obter por outros mais baratos.
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A balança de Coulomb tem 1 metro de altura e é constituída por um tubo cilíndrico assente noutro cilindro mais largo, ambos em vidro e ocos.
No topo existe um micrómetro e um sistema de fixação do fio de prata. O fio passa pelo interior do tubo mais estreito e sustenta na extremidade um peso e um braço horizontal. Numa das extremidades deste braço está uma bola de medula de sabugueiro com 5 mm de diâmetro e na outra um disco de papel com funções de equilíbrio do braço e de redução de oscilações. Outro fio suportando outra bola idêntica está introduzido no cilindro inferior (esta bola ficará “fixa”).
No interior e a meio da parede do cilindro inferior existe um papel com uma escala graduada. O “zero” do aparelho obtém-se alinhando visualmente o primeiro fio com o zero da escala graduada, rodando o micrómetro. As duas esferas devem ficar em contato.
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Enquadramento Teórico da ElectrostáticaProblema SeleccionadoConclusão
(a) Força de Coulomb
(d) Potencial
(e) Equação de Laplace e de Poisson
(c) Lei de Gauss
(b) Campo Eléctrico
Electrostática
Acetato 21
Força de Coulomb:
Charles Coulomb (1736-1806), foi o físico francês que elaborou experiências que lhe permitiram chegar à seguinte conclusão:“Quando se consideram dois corpos carregados (supostamente pontuais), a intensidade das forças atractivas ou repulsivas que se exercem entre si, são directamente proporcionais ao produto das cargas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância entre elas, a intensidade dessas forças também depende do meio em que as cargas se encontram.”
Sendo assim a expressão matemática que representa o enunciado anterior é:
(eq. 1-1)NrqqKFe 2
21. .
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Nesta expressão as variáveis presentes representam:
_q1 e q2: valor das cargas (em coulomb) que interagem, tomando estas, o seu sinal negativo ou positivo;
_r: valor da distância (em metros) que separa as cargas q1 e q2, supostamente pontuais;
_ : (←LINK) constante de proporcionalidade correspondente ao meio onde se encontram as cargas, no vazio, esta constante toma o valor de 8.9874*109 N*m2/C2.
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K
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As forças aplicadas em cada uma das cargas representam a força eléctrica que uma carga exerce sobre a outra, ou seja:
é a força eléctrica exercida pela carga q1 na carga q2, o vector que representa essa força é desenhado em q2.
21F
+ +q 1 q 2
12F
21F
- +q 1 q 2
12F
21F
12r̂
21r̂
Obtenção da Constante de Coulomb:
Recordando a expressão que traduz a Lei de Coulomb:
(eq. 1-2)
Vemos que existe uma constante k, que se chama Constante de Coulomb. O seu valor pode ser obtido da seguinte forma através de outras três constantes. Essas constantes são: c – velocidade da luz, 0 – permitividade eléctrica do espaço livre e 0 – permitividade magnética do espaço livre.
A permitividade magnética do meio é tida como tendo o exacto valor de:
(eq. 1-3)
221
rqq
kF
270 /104 AN
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Como a expressão da velocidade da luz relaciona as três constantes referidas:
, onde c = 2.99792458 x 108 m/s 3 x 108 m/s (eq. 1-4)
Então é possível, a partir da (eq. 1-4) obter o valor da permitividade eléctrica no espaço livre:
0 = 8.854187817 x 10-12 F/m 8.85 x 10-12 F/m
A constante de Coulomb é dada pela expressão:
(eq. 1-5)
00
1
c
041
k
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Fazendo as respectivas substituições obtemos o valor de k:
N m2/C2 = Constante de Coulomb.
Ainda é importante lembrar que as constantes 0 e 0 são referentes ao espaço livre, caso o espaço a considerar seja dieléctrico ou magnético, os seus valores, bem como, os seus nomes são diferentes: permitividade relativa do Campo Eléctrico e Magnético, respectivamente.
910987552.8 k
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Campo Eléctrico de uma Carga Pontual:
Através da Lei de Coulomb, é possível calcular o Campo Eléctrico gerado por uma carga pontual num determinado ponto no espaço, aliás este é o método mais usual de o fazer.
Sabendo que a Lei de Coulomb calcula a força eléctrica exercida entre duas cargas pontuais, q1 e q2, para obter o Campo Eléctrico num determinado ponto do espaço, basta considerar uma delas como a carga fonte, seja q1. Dividindo por q2 a expressão que traduz a Lei de Coulomb obtemos o Campo Eléctrico criado pela carga pontual q1 no ponto P, como a seguir se mostra, sendo q1 a carga fonte e dividindo em ambos os lados da equação por q2:
rrqkEr
rqk
qF
rrqqk
qqFr
rqqkF
ˆˆ
ˆ1ˆ
21
121
2
21
221
22
212
2121
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Lei de Gauss:
Johann Gauss (1777-1855) estabeleceu a lei que permite calcular o fluxo de campo eléctrico através de uma superfície. No entanto, existem limitações à sua utilização. Para que o seu uso seja eficiente, é necessário que o produto escalar entre o vector campo eléctrico e o vector perpendicular à superfície seja facilmente obtido e que a superfície em causa seja fechada (superfície gaussiana).
Facilmente se conclui que se a distribuição de cargas apresentar grande simetria, estaremos numa situação privilegiada para usar a Lei de Gauss.
Definindo os vários tipos de simetria, temos:_ simetria planar;_ simetria cilíndrica ou axial;_ simetria esférica.
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E
Sd
_0 : constante de permeabilidade do vazio, o seu valor é 8,854187817*10-12 C2N-1m-2;
_ : vector de campo eléctrico;_ : vector perpendicular à superfície gaussiana;_ : fluxo de campo eléctrico através de uma superfície fechada.
Supondo que a carga q está envolvida por uma superfície fechada, a Lei de Gauss estabelece que:
Nesta equação, as variáveis são:
0
QS.dE
EsferaCarregada
Superfície deGauss
sd
sd
sd
sd
sd
sd
sd
sd
E
E
E
E
E
E
E
E
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Potencial Eléctrico:
Potencial Eléctrico é a designação mais comum para: Energia Potencial por Unidade de Carga.
(eq. 1-6)
Mas é também, uma propriedade de um ponto P qualquer, que se situe no espaço vizinho ao da carga q.
(eq. 1-7)
)(1)(1)(1CCoulombJJouleVvolt
rqV
041
.
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Nesta expressão as variáveis presentes representam:
_: constante matemática, que representa o valor 3,1415;_0: constante de permitividade do vazio, o seu valor é 8,854187817*10-12 C2N-1m-2;_q: valor da carga (em coulomb) presente no corpo;_r: distância (em metros) da carga q ao ponto P;
Ou seja, independentemente da quantidade de carga existente num determinado ponto, o seu potencial é sempre o mesmo, na medida em que se aumentarmos o número de cargas no ponto P também estaremos a aumentar a energia o mesmo número de vezes. Finalizando, se um corpo possui 100 unidades de carga, a sua energia será 100 vezes maior, logo a sua energia por unidade de carga será a mesma que um corpo que tenha apenas uma unidade de carga.
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Equação de Laplace:
A equação de Laplace é útil para o cálculo do Potencial Eléctrico numa região do espaço livre de cargas, e essa relação é apresentada da seguinte forma:
(eq. 1-8)
Esta operação matemática denomina-se por divergência do gradiente de uma função, mas é mais conhecida por Laplaciano. O Laplaciano pode ser expresso em vários sistemas de coordenadas para desta forma se retirar partido de uma distribuição de cargas simétrica. De seguida é apresentado o Laplaciano em coordenadas esféricas, por ser esta a forma mais simples de calculo do Potencial Eléctrico V, para o caso que estamos a tratar – Densidade de Carga esférica.
(eq. 1-9)
02 E
0cot2sin11
22
2
222
2
22
22
Vrg
rV
rV
rV
rrVV
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Equação de Poisson:
A utilidade da equação de Poisson é semelhante à anterior, também nos permite calcular o Potencial Eléctrico, mas numa região do espaço onde existem cargas. Assim, esta nova relação é apresentada da seguinte maneira:
(eq. 3)
Da mesma forma, que no caso anterior, é possível a representação da Equação de Poisson noutros sistemas de coordenadas. Aqui apenas indicaremos que basta igualar o Laplaciano (eq. 5) ao valor -4.
42 V
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CAMPO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGA UNIFORME
Como exemplo iremos calcular a intensidade campo eléctrico E , tanto dentro como fora da distribuição esférica de carga uniforme, usando os métodos (a), (b), (c) e (d). A distribuição tem um raio R e uma densidade volúmica de carga eléctrica . O nosso problema é encontrar a intensidade de campo eléctrico como função da distância r do centro O da esfera ao ponto P. Deverá ser óbvio, por simetria, que deverá ser independente das outras duas coordenadas esféricas e . Usamos o índice 0 para indicar que estamos a calcular o campo fora da distribuição de carga, e o índice i para indicar que estamos a calcular o campo no interior da distribuição de carga.
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•Cálculo de usando a Lei de Coulomb:E
•Cálculo de usando o Potencial:E
•Cálculo de usando a equação de Laplace:E
•Cálculo de usando a Lei de Gauss:E
Enquadramento Teórico da Electrostática
Problema SeleccionadoConclusão
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Enquadramento Teórico da Electrostática
Problema SeleccionadoConclusão
CAMPO E0 NUM PONTO EXTERIOR:
CAMPO Ei NUM PONTO INTERIOR:
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CAMPO NUM PONTO EXTERIOR:OE
Podemos encontrar a contribuição para E0 devido à carga dr’ no elemento de volume dr’ e depois integrar a expressão resultante por toda a esfera. É conveniente usar coordenadas esféricas, visto que a carga tem simetria esférica.
Assim, o elemento de volume é .A carga neste volume produz um campo no ponto P que se direcciona
afastando-se do elemento de volume se >0, e aproxima-se se <0. A sua magnitude, em módulo, será:
(eq. 2-33)
dsenrdrdr '''''
2
23 '''''
41
sdddrsenred
OO
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onde s é a distância do elemento de volume ao ponto P. O eixo ao longo do qual =0 pode ser assumido como a linha OP. O elemento de intensidade de campo eléctrico é escrito como d3O, visto ser uma diferencial de 3ª ordem.Deveria ser óbvio, através da simetria de distribuição de carga, que E0 tem de ser radial. Por exemplo, enquanto o elemento de carga mostrado na figura 2-5 produz um campo eléctrico de intensidade d3O que não é ao longo do raio OP, existe outro elemento de carga simetricamente colocado que produz um campo simetricamente orientado com a mesma magnitude, e o resultado é um campo ao longo de OP.Sendo assim, consideremos apenas a componente radial de O, e:
(eq. 2-34)
cos'''''4
12
23
sdddrsenred
OO
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R
O
P
'
r
s
r'
Figura 2-5. Um elemento de carga no ponto (’,) dentro de uma distribuição de carga esférica uniforme produz um elemento de intensidade de campo electrostático no ponto P fora da esfera. A projecção de no eixo que cruza P e o centro da esfera é .
'3OEd
'3OEd
'3OEd
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A integração sobre o ângulo de rotação ’ em volta de OP é linear, e o ângulo ’ varia entre 0 e 2. Podemos levar a cabo as outras duas integrações usando r’ e s como variáveis independentes. Para o fazermos eliminamos a com a ajuda da lei do coseno.
(eq. 2-35)
De igual modo:
(eq. 2-36)
rsrrs
2
'cos222
rrsrr
'2
''cos222
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Agora desejamos eliminar sen’.d’ da expressão para d3EO. Podemos determinar sen’.d’ em função de r’, r, s por diferenciação da equação anterior. Aqui temos de nos lembrar que r é uma constante e que r’ é tomada como constante quando da integração da eq. 2-36, tomando ambas r e r’ como constantes, e assim:
(eq. 2-37)
Se substituirmos as equações 2-35 e 2-37 na equação 2-34 e integrarmos:
(eq. 2-38)
(eq. 2-39)
rr'dss'd'sen
Rr
r
rrs
rrsO
O drdssrrrE
'
0'
'
' 2
22
''1'4
1
1212
3
ˆ4
1ˆ)3/4(4
1 rrQr
rRE
OOO
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Onde Q é a carga total (4/3)R3, e onde é o versor direccionado para fora.
O vector é direccionado para fora ao longo de OP de Q>0, e para dentro ao longo de OP se Q<0.
Este resultado é o mesmo como se a carga Q estivesse concentrada no centro da esfera.
1̂r
OE
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CAMPO NUM PONTO EXTERIOR:OE
Usando o PotencialPara calcular a intensidade do campo através do potencial VO usamos
o mesmo elemento de carga anterior.Assim, pela definição de VO:
(eq. 2-40)
Agora não existe o elemento cos(), visto que VO é um escalar. Para executar a integração, integramos ’ e integramos através de ’, s e r’ como fizemos anteriormente. O resultado é:
(eq. 2-41)
OE
sdddrsenrVd
OO
'''''4
1 23
rQV
OO
41
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O potencial eléctrico VO, como EO, é o mesmo tal como se a carga Q estivesse concentrada no centro da esfera.Para calcular , calculemos . Por simetria, tem de ser radial, assim:
(eq.2-42)
Como anteriormente.
OE
OV
OE
121 ˆ4
1ˆ rrQr
rV
VEO
OOO
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CAMPO NUM PONTO EXTERIOR:OE
Usando a Equação de LaplacePor hipótese, =0 fora da esfera, e:
(eq. 2-43)
Agora por simetria, VO é independente de e .Portanto:
(eq. 2-44)
(eq. 2-45)
(eq. 2-46)Onde A é uma constante de integração. Deveremos determinar o seu
valor mais tarde, após sabermos o valor de .
02 OV
2
2
22 01
rAE
rA
rV
rV
rrr
O
O
O
iE
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CAMPO NUM PONTO EXTERIOR:OE
Usando a Lei de GaussA maneira mais simples de calcular a intensidade do campo eléctrico
neste caso é usar a Lei de Gauss.Considerando uma esfera imaginária de raio r>R concêntrica à esfera
carregada. Nós sabemos que tem de ser radial. Assim, de acordo com a Lei de Gauss:
(eq. 2-47)
(eq. 2-48)
Se a carga não fosse distribuída uniformemente e simetricamente, seria uma função de e , e não seria constante através da esfera imaginária. A Lei de Gauss só daria o valor médio da componente normal de através da esfera imaginária.
OE
12
2
ˆ4
1
4
rrQE
QEr
OO
OO
OE
OE
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CAMPO NUM PONTO INTERIOR:iE
Vamos calcular a intensidade de campo eléctrico num ponto P no interior da distribuição de carga, como na figura 2-6. Podemos prosseguir como no caso do ponto externo, primeiro escrevemos a contribuição de uma elemento de carga, tanto para como para Vi, e depois integrar para toda a distribuição de carga. No entanto, como a integração é difícil de executar, simplificaremos o problema dividindo-o em duas partes distintas.
Desenhemos uma esfera imaginária de raio r, que passa pelo ponto P, figura 2-6, para dividir a distribuição de cargas em duas partes. Depois calculemos a intensidade de campo eléctrico devido à carga contida na esfera de raio r e depois devido à carga na esfera oca exterior, com raio interior r e raio exterior R. Pelo princípio da sobreposição, a intensidade de campo resultante para os dois sistemas de cargas terá de ser a soma vectorial das duas componentes da intensidade do campo.
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A separação da carga em duas partes é especialmente vantajosa neste caso porque, como veremos, o campo produzido pela esfera oca exterior num ponto da sua superfície interna, em qualquer ponto da concavidade, é zero. Isto pode ser demonstrado do seguinte modo sem integrar.
Desenhemos um pequeno cone com um ângulo sólido d, tendo o seu vértice no ponto P e estendendo-o em ambas as direcções, figura 2-6, e consideremos os volumes que estes pequenos cones interceptam, dentro da concavidade interna de raio r’ e espessura dr’, concêntrica à esfera. A distância entre estes dois volumes e P são s1 e s2.
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Enquadramento Teórico da Electrostática
Problema SeleccionadoConclusão
O
P
R
r'
r
dr'
d
s 1
s 2
Figura 2-6. Para encontrar a intensidade do campo no ponto P dentro de uma distribuição uniforme de carga esférica, dividimos a esfera numa concha e num núcleo com a ajuda de uma esfera imaginária de raio r. Assim, qualquer par de elementos de volume, tais como os mostrados na concha produzem os mesmos campos no ponto P, mas opostos. O campo no ponto P é assim devido somente às cargas do núcleo. A imagem mostra um dos elementos de volume em detalhe.
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Na esquerda o elemento de volume é:
, (eq. 2-49)
e na direita é :
. (eq. 2-50)
A carga no elemento de volume esquerdo contribui, em P, com um campo de magnitude:
, (eq. 2-51)
que é direccionado para o exterior se >0.
'cos
212 drds
d L
'cos
222 drds
d R
'cos4
21
21
2 drds
sEd
Oi
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Do mesmo modo, a carga na direita contribui com um campo idêntico, oposto em direcção, como resultado os dois campos anulam-se. Como este resultado é válido para qualquer d e qualquer dr’, o campo devido à parte oca da esfera num ponto da superfície interior, ou qualquer ponto dentro da concavidade, é zero.
Um modo mais simples de demonstrar que o campo é nulo num ponto interior de uma esfera oca é usar a Lei de Gauss. Imagine uma esfera concêntrica no interior da concavidade. De acordo com a Lei de Gauss, a média da intensidade do campo eléctrico através desta superfície é zero, visto não haver cargas no seu interior. Agora, a simetria do problema, obriga que o campo eléctrico, se existir, seja radial e o mesmo por toda a superfície da esfera. Assim a intensidade do campo eléctrico tem de ser zero em todos os pontos em qualquer superfície esférica dentro da concavidade.
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CAMPO NUM PONTO INTERIOR:iE
Com o campo eléctrico dentro da concavidade oca da esfera excluído desta forma, podemos calcular a contribuição do que é devido à esfera interna de raio r, tal como fizemos no caso do ponto externo.
. (eq. 2-52)
Assim, a intensidade do campo eléctrico cresce linearmente com r, dentro da distribuição esférica de carga.
Usando a Lei de Coulomb
iE
112
3
ˆ3
ˆ)3/4(4
1 rrrrrE
OOi
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CAMPO NUM PONTO INTERIOR:iE
Usando o PotencialPodemos chegar ao mesmo resultado começando por calcular o potencial
Vi como função de r dentro da distribuição de carga. Para o fazer poderíamos avançar por integração directa. No entanto, será de novo mais fácil e mais instrutivo dividir a distribuição de carga em duas partes como anteriormente.
Consideremos em primeiro lugar a esfera oca. Vimos que não há campo eléctrico no interior da concavidade oca da esfera de carga. Assim todos os pontos dentro da concavidade deverão estar todos com o mesmo potencial e, em vez de calcular o potencial num ponto interior à superfície da concha, podemos calcular o potencial no centro da concha, onde a integração é mais facilmente executada. Escolhemos para este volume elementar uma concha fina de raio r’ e espessura dr’. Assim a parte de Vi devido à esfera oca é:
OE
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(eq. 2-53)
De seguida calculemos o potencial devido à esfera de raio r. Os cálculos são os memsos para o ponto exterior, e podemos usar a eq. 2-41. Este termo é:
. (eq. 2-54)
Somando estas duas contribuições, obtemos o potencial Vi num raio r dentro da distribuição esférica de carga:
(eq. 2-55)
222
2'''4
41 rR
rdrr
O
R
rO
23
3)3/4(
41 r
rr
OO
62
22 rRVO
i
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O potencial Vi, também pode ser escrito como:
(eq. 2-56)
Onde o 2º termo é o potencial na superfície da esfera, e o 1º termo é o incremento acima do valor da superfície para os pontos interiores.
Assim:
. (eq. 2-57)
R
QrRQVOO
i 424
22
11 ˆ3
ˆ rrrrV
VEo
iii
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CAMPO NUM PONTO INTERIOR:iE
Usando a Equação de PoissonAgora temos dentro da distribuição de carga,
(eq. 2-58)
(eq. 2-59)
(eq. 2-60)
(eq. 2-61)
(eq. 2-62)
Onde B é uma constante de integração.
OiV
2
O
i
rV
rrr
2
2
1
22 rrV
rr O
i
BrrV
rO
i
3
32
2_3 r
BrEO
i
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É intuitivamente óbvio que não se pode tornar infinito no centro de uma distribuição de carga uniforme e esférica, portanto B tem de ser zero, e:
. (eq. 2-63)
Encontramo-nos, agora, em posição de encontrar o valor da constante de integração A, quando calculámos com a equação de Laplace. Não deveriam os dois valores encontrados para a intensidade de campo , um válido no interior e outro válido no exterior (eq. 2-39 e eq. 2-52), serem iguais na superfície? De acordo com a Lei de Gauss, eles poderiam ser diferentes se tivéssemos uma distribuição de densidade de carga superficial como na superfície de um condutor carregado. Mas, assumimos, que a esfera carregada tem uma densidade volúmica de carga uniforme () para fora do raio R e assim não poderá haver descontinuidade em:
1̂3rrE
Oi
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na superfície. Assim os nossos dois valores de têm de ser iguais na
superfície:
(eq. 2-64)
(eq. 2_65)
e a equação 2-46 dá, de facto, o correcto valor para .
rVE
E
OO
ORr
QRA
RRAE
43
23
2
OE
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CAMPO NUM PONTO INTERIOR:iE
Usando a Lei de GaussPara calcular a intensidade de campo eléctrico num ponto interior a partir
da Lei de Gauss, desenhemos uma esfera imaginária de raio r através do ponto P.A simetria requer que a intensidade de campo eléctrico seja radial, assim:
(eq. 2-66)
(eq. 2-67)
como anteriormente.
A figura 2-7 mostra e V para a nossa distribuição de carga de raio R, como função da distância radial r.
E
1
3
ˆ3
,)3/4(4
rrE
r
Oi
Oi
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Exemplos (Matlab) :
Potencial
Campo Eléctrico
Enquadramento Teórico da Electrostática
Problema SeleccionadoConclusão
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Nota:Nota: Estes exemplos só podem ser usados com o programa Matlab.
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clear
x=[ ]y=[ ]
disp('O valor de')
E0=8.85e-12 %E0=Constante
R = input('Valor do Raio R[0-5]: ')
while (R<=0 | R>5)
if (R<=0) disp('O valor não se encontra na gama pretendida') R = input('Valor do Raio R[>0-5]: ') elseif (R>5) disp('O valor excedeu o raio pretendido') R = input('Valor do Raio R[>0-5]: ') end end
IT = input('Precisão 0 - R : ')
Q = input('Valor da carga da esfera (Q=400 ideal) : ')for r = 0:IT:R; x=[x,r]; %Imprimir valores y=[y,((1/E0)*(((R^2)/2)-((r^2)/6)))]; %no ecran end
N1 = input('Valor do Raio R1[R-30]: ')
while (N1<=R | N1>30)
if (N1<=R) disp('O valor não se encontra na gama pretendida') N1 = input('Valor do Raio R1[R-30]: ') elseif (N1>30) disp('O valor excedeu o raio pretendido') N1 = input('Valor do Raio R1[R-30]: ') end end
ITI = input('Precisão R - R1 : ')
for R = (r):ITI:N1; %Valores para o Raio [5-10] com precisao de 0.5 x=[x,R]; %Imprimir valores y=[y,((Q)/(4*pi*E0*R))]; %no ecran end
plot (x,y,'b')
xlabel('t(s)')ylabel('V')legend('linha do Potencial V')
title('Potencial Eléctrico')
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clear
x=[ ]y=[ ]
disp('O valor de')
E0=8.85e-12 %E0=Constante
N = input('Valor do Raio R[0-5]: ')
while (N<=0 | N>5)
if (N<=0) disp('O valor não se encontra na gama pretendida') N = input('Valor do Raio R[>0-5]: ') elseif (N>5) disp('O valor excedeu o raio pretendido') N = input('Valor do Raio R[>0-5]: ') end endIT = input('Precisão 0 - R : ')
for R = 0:IT:N; %Valores para o Raio x=[x,R]; %Imprimir valores y=[y,((1*R)/(3*E0))]; %no ecran end
T=(N-0.1)
N1 = input('Valor do Raio R1[R-30]: ')
while (N1<=N | N1>30)
if (N1<=N) disp('O valor não se encontra na gama pretendida') N1 = input('Valor do Raio R1[R-30]: ') elseif (N1>30) disp('O valor excedeu o raio pretendido') N1 = input('Valor do Raio R1[R-30]: ') end end
ITI = input('Precisão R - R1 : ')
for R = T:ITI:N1; %Valores para o Raio1 x=[x,R]; %Imprimir valores y=[y,((400)/(4*pi*E0*R^2))]; %no ecran end
plot (x,y,'b')
xlabel('t(s)')ylabel('E')legend('linha do campo E')
title('Campo Eléctrico')
Gráficos:V
E
RO r
O
R
2
2
O
R
3
2
O
R3
Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e TelecomunicaçõesElectrostática
Craizer, Marcos e Tavares, Geovan (2002). Cálculo Integral a Várias Variáveis. Brasil: Edições Loyola.
Mendiratta, Sushil Kumar (1995).Introdução ao Electromagnetismo 2ª Edição. Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian.
Brito, Lucília; Fiolhais, Manuel e Providência, Constança (1999). Campo Electromagnético. Portugal: McGraw-Hill de Portugal, Lda.
Ehrlich, Robert; Tuszynski, Jaroslaw; Roelofs, Lyle e Stoner, Ronald (1995). Electricity and Magnetism Simulations – CUPS. Canada: John Wiley & Sons, Inc.
BibliografiaUniversidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e TelecomunicaçõesElectrostática
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Exemplo:
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Existem vários materiais que podemos friccionar, os quais adquirem a propriedade magnética. Como foi relatado na experiência, o âmbar já é conhecido há vários séculos, mas é possível executar a mesma experiência com canetas de plástico, pedaços de vidro (cuidado com as arestas), mas será possível magnetizar metais da mesma forma, por fricção? Experimentem!!!
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Enquadramento Teórico da Electrostática
Conclusão
CAMPO E0 NUM PONTO EXTERIOR:
CAMPO Ei NUM PONTO INTERIOR:
Problema Seleccionado
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Conclusão
CAMPO E0 NUM PONTO EXTERIOR:
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Problema Seleccionado
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Conclusão
CAMPO E0 NUM PONTO EXTERIOR:
CAMPO Ei NUM PONTO INTERIOR:
Problema Seleccionado
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Conclusão
CAMPO E0 NUM PONTO EXTERIOR:
CAMPO Ei NUM PONTO INTERIOR:
Problema Seleccionado
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