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27 a 30/09/05, Gramado, RSPesquisa Operacional e o Desenvolvimento Sustentável

USO DE HIPERGRAFOS PARA A REPRESENTAÇÃO DA FRONTEIRA EFICIENTE EM ANÁLISE ENVOLTÓRIA DE DADOS

Andréa Soares Bonifácio

Universidade Federal do Rio de Janeiro Rio de Janeiro, RJ, Brasil

[email protected]

Marcos Pereira Estellita Lins Universidade Federal do Rio de Janeiro

Rio de Janeiro, RJ, Brasil [email protected]

Resumo: Apresentamos uma representação da fronteira eficiente obtida por métodos de análise envoltória de dados, através de hipergrafos e propomos o uso de coberturas com o objetivo de simplificar a sua representação.

Palavras-chaves: DEA, FEDCs, FEMDs, grafos, hipergrafos Abstract: We present a representation of the efficient frontier obtained for methods of data

envelopment analysis, through hypergraphs and we propose the use of cover to simplify this representation.

Keywords: DEA, FEDCs, FEMDs, graphs, hypergraphs

1. Introdução

A Análise Envoltória de Dados (Data Envelopment Analysis - DEA) foi introduzida por Charnes et. al. (1978) e Banker et al (1984) como um método não-paramétrico de programação linear para estimar fronteiras eficientes e para medir a eficiência relativa de unidades produtivas chamadas de DMUs (abreviação do inglês Decision Making Units).

A fronteira de produção eficiente construída pelo método DEA é uma fronteira linear por partes, que apresenta regiões chamadas de Pareto-Koopmans eficientes e não Pareto-Koopmans eficientes. As regiões da fronteira Pareto-Koopmans eficiente são compostas por faces onde não é possível alterar algum input ou output sem afetar o desempenho dos demais inputs e outputs. As regiões da fronteira não Pareto-Koopmans eficiente são compostas por faces que possuem ao menos um parâmetro (multiplicador) nulo.

Os modelos DEA clássicos projetam as DMUs ineficientes na fronteira eficiente, de maneira radial, ou seja, segundo a projeção radial de cada DMU na fronteira, determinando-se a proporção em que devem ser reduzidos todos os inputs ou aumentados todos os outputs, para alcançar a fronteira. Este tipo de projeção nem sempre projeta uma DMU numa região Pareto-Koopmans eficiente, como seria desejável, pois a interseção do raio com a fronteira ocorre em regiões Pareto-ineficientes com muita freqüência. Em suma, o fato é que o conceito de eficiência em DEA é equivalente ao conceito de eficiência de Pareto, e nos interessa em muito descrever as características da fronteira eficiente.

Como a fronteira eficiente é quase sempre multidimensional, buscamos neste artigo desenvolver uma ferramenta mais adequada para representar as relações entre as faces da fronteira eficiente. Isto pode ser particularmente importante se utilizarmos modelos DEA mais flexíveis, onde admitimos que o decisor e o analista possam interagir na busca do ponto ideal de operação. Esta linha de pesquisa tem sido desenvolvida por Golany (1988), Joro, T., Korhonen, P., & Wallenius, J., (1998) e Estellita Lins, M.P. Angulo-Meza, L. e Moreira da Silva, A.C. (2004),


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entre outros. A ferramenta aqui proposta foi desenvolvida com base na interpretação da fronteira eficiente como um hipergrafo, e utilizando seu grafo representativo. Adicionalmente, propõe-se o uso de coberturas deste último, com o objetivo de simplificar sua representação. 2. Importância das FEDCs

Segundo Charnes e Cooper (1985), uma DMU é Pareto-Koopmans eficiente se e somente

se não é possível melhorar qualquer input ou output sem piorar algum outro input ou output. Se a DMU não obedece essas condições, ela é classificada como não Pareto-Koopmans eficiente.

A figura 2.1, ilustra como funciona o modelo DEA, com um input e um output. Assumindo orientação a input, o modelo DEA projetará radialmente a DMU A, no ponto A’, ou seja, numa região não Pareto-Koopmans eficiente da fronteira. Observe que a quantidade de output poderia ser de 6 unidades, utilizando-se as mesmas 3 unidades de input. O mesmo não ocorre com a DMU E, que é projetada numa região Pareto-Koopmans eficiente.

3 5 97

4

6

9

AA'

B

C

E'

D

E

Figura 2.1

input

output

Podemos obter trade-offs através do coeficiente entre os valores dos multiplicadores dos

inputs e outputs obtidos com o modelo DEA. De acordo com Charnes et. al. (1985), nas regiões Pareto-Koopmans eficientes, existem trade-offs únicos e constantes entre todos os pares de input e output. Por outro lado, nas regiões não Pareto-Koopmans eficientes, não é possível estabelecer trade-offs entre todos os pares de output e input, pois o conjunto de multiplicadores possui ao menos uma componente nula. Excluem-se tambem as faces eficientes que não possuem dimensão máxima, pois os trade-offs não são únicos, alguns conjuntos possuem valores nulos .

Sendo assim, seria interessante obter uma fronteira de produção com o maior número possível de faces Pareto-Koopmans eficientes. González-Araya e Estellita Lins(2002a) observaram que para obter uma região Pareto-Koopmans eficiente, segundo a definição acima, é necessário ter um número de DMUs maior que quatro a cinco vezes o número total de inputs e outputs, contrariando o senso comum nas aplicações em DEA, que previam um número da ordem de três vezes.

Olesen e Petersen (1996), introduziram o conceito de “facets eficientes de dimensão completa” (FEDCs), que são as faces eficientes maximais de um poliedro, que possui número de DMUs extremo-eficientes (dimensão) igual a máxima possível, ou seja, apresentam dimensão igual a m + s, de acordo com o modelo BCC, ou dimensão igual a m + s – 1, pelo modelo CCR, onde m é o número de inputs e s é o número de output.

Olesen e Petersen (1996), mostraram que o conjunto de multiplicadores associado ao interior de um FEDC permite calcular trade-offs únicos e constantes entre todos os pares de input


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e output, o que corresponde às características que devem ter as regiões Pareto-Koopmans eficientes da fronteira. Assim, os termos FEDCs e regiões Pareto-Koopmans eficientes serão usados indistintamente.

3. Conceitos básicos de teoria dos grafos Esta seção apresenta uma revisão dos conceitos que serão utilizados nos modelos

propostos. Um grafo é um par ordenado G = (V, E), onde V é um conjunto finito, não vazio, de

elementos chamados vértices, e E é um conjunto de pares (não repetidos) não ordenados de elementos distintos de V, chamados de arestas.

Seja V um conjunto finito de elementos, não vazio, e S = (E1, E2, ..., Ek) uma família de subconjuntos de V, tal que Ei ≠ ∅ e ∪Ei = V. A dupla H = (V, S) é chamada de hipergrafo. Os elementos de V são chamados de vértices do hipergrafo e os subconjuntos Ei são chamados de arestas do hipergrafo.

Em um hipergrafo, dois vértices são adjacentes se existe uma aresta Ei que contém ambos os vértices.

Um hipergrafo H’(V’, S’) é um subgrafo de um hipergrafo H se V´ ⊆ V e E´ ⊆ E. Seja H = (E; X1, X2, ..., Xn) um hipergrafo com n arestas. O grafo representativo de H é

definido como um grafo L(H) com n vértices, cujos vértices x1, x2, ..., xn representam as arestas X1, X2, ..., Xn , respectivamente de H e com vértices unidos por uma aresta se e somente se Xi ∩ Xj ≠ ∅.

4. Representação da fronteira DEA por hipergrafos González-Araya e Estellita Lins (2002b) desenvolveram um algoritmo denominado

Busca-FEMDs, que encontra todas as facets eficientes de dimensão completa (FEDCs). No caso de não existirem FEDCs, o algoritmo encontra todas as facets eficientes de maior dimensão da fronteira (FEMDs). Um dos experimentos computacionais foi realizado com o algoritmo Busca-FEMDs, utilizando dados do Provão de 2000, que mediam a eficiência dos cursos de engenharia civil das universidades brasileiras. Os conjunto de dados foram obtidos de GUEDES (2002), contendo 111 cursos de engenharia civil (DMU), 4 inputs e 2 outputs.

Os inputs considerados foram: a proporção de professores com tempo integral (40 h) no curso de engenharia, a proporção de professores com grau de doutor, o coeficiente entre o número de professores do curso de engenharia e o número de alunos matriculados no curso e o índice de pré-qualificação do aluno, que corresponde à probabilidade do aluno de uma dada universidade atingir uma nota acima da mediana do Provão.

Os outputs considerados foram: a média dos resultados obtidos no Provão pelos alunos matriculados em um dado curso de engenharia e a proporção de alunos matriculados em um dado curso de engenharia com notas do Provão no quarto quartil da distribuição, isto é, a proporção de alunos com rendimento superior a 75% no Provão.

Para identificar as FEMDs, foi assumido que a fronteira eficiente apresenta rendimentos de escala variáveis (fronteira dos modelos BCC).

Um resumo dos resultados dos 10 conjuntos analisados são apresentados na tabela 4.1. Pelos resultados ilustrados na tabela 4.1, onde são mostradas apenas duas das 5 FEMDs,

podemos observar que a partir do conjunto de dados 2, que possui 30 DMUs obtemos FEDCs. Isto equivale a 5 vezes o número de fatores (inputs e outputs) utilizados. Acredita-se que seja necessário obter um número de DMUs 4 ou 5 vezes maiores que o número de fatores empregados para que se tenha FEDCs na fronteira estimada por DEA.


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González-Araya e Estellita Lins (2002b) observaram que para todos os conjuntos analisados, as FEMDs obtidas são conexas. Apresentaremos aqui apenas a modelagem para o conjunto de dados A.

TABELA 4.1

RESUMO DOS RESULTADOS OBTIDOS PELO ALGORITMO BUSCA-FEMDS USANDO OS DADOS DO PROVÃO

Nº do conjunto de

dados

Nº de DMUs

Nº de DMUs extremo-

efic.

Nº de DMUs ext.-efic.∈

FEMD

Nº de FEDCs

A 20 9 8 0 B 30 15 7 2 C 40 18 10 5 D 50 21 13 7 E 60 24 14 14 F 70 27 14 22 G 80 32 17 24 H 90 34 19 31 I 100 35 20 33 J 111 35 25 60

A tabela 4.2 apresenta os conjuntos de DMUs extremo-eficientes que formam as FEMDs e

os conjuntos de multiplicadores obtidos para o conjunto de dados A, da tabela 4.1.

TABELA 4.2 FEMDs OBTIDAS PARA O CONJUNTO DE DADOS 1 PARA O CASO DO

PROVÃO

FEMD DMUs extremo-eficiente que formam a FEMD

I

7,14, 15, 16, 20

II 7, 10, 14, 15, 20 III 7, 10, 14, 15, 16 IV 4, 14, 15, 16, 20 V 4,8, 15, 16, 20

Observe pela tabela 4.2 que no hipergrafo representando as FEMDs deste exemplo, todas

as FEMDs se interceptam, pelo fato da DMU 15 estar presente em cada uma das FEMDs. Observe que na figura 4.1 temos um subgrafo do hipergrafo que representam as FEMDs I e II do conjunto de dados A. Na figura 4.2 apresentamos o grafo representativo desse hipergrafo. Note que se trata de um grafo completo (todos os vértices são adjacentes entre si), por causa da DMU 15.

Figura 4.1: Subgrafo do hipergrafo resultante do conjunto de dados 1

FI

FII

16

207 14 15

10

FI

FII

16

207 14 15

10


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Para ilustrar nossos resultados, apresentaremos também a modelagem feita para um estudo sobre a saúde dentária dos bairros do município do Rio de Janeiro (Estellita Lins et al, 2004), onde foram considerados como inputs o número de dentistas de cada bairro e a população alvo, e como output o número total de ações (produção básica em odontologia) preventivas e conclusivas.

Figura 4.2: Grafo representativo do hipergrafo do conjunto de dados 1

A escolha inicial destas variáveis justifica-se na medida em que apresentam uma relação causal: o número de ações depende do número de odontólogos e da população de cobertura do programa, ou seja, crianças de até 14 anos e gestantes. A fonte de dados sobre o número de odontólogos e a produção básica em odontologia é o Sistema de Informações Ambulatoriais do Sistema Único de Saúde (SIA/SUS) que contém informações que contemplam as atividades de planejamento, controle e avaliação das ações e serviços de saúde em nível ambulatorial.

Assim temos uma fronteira, com dois inputs e um output, resultando em FEDCs dessa fronteira, se existirem, com dimensão 3.

Rodando o problema DEA, modelo BCC no software IDEAL(2004), encontramos a fronteira apresentada em duas perspectivas na figura 4.3. As FEDCs estão representadas na figura pela cor mais escura. As regiões não Pareto-Koopman eficientes estão representadas pela cor mais clara da figura.

A tabela 4.3 apresenta as faces de dimensão completa obtidas para o exemplo do dental health e a figura 4.4 apresenta o hipergrafo correspondente. Na figura 4.5 temos o grafo representativo do hipergrafo que modela a fronteira do exemplo do Dental Health.

TABELA 4.3

FEDCs OBTIDAS PARA O CASO DO DENTAL HEALTH FEDC DMUs ext.-ef. que

formam a FEDC I 19,25,26 II 5, 19, 26 III 3, 5, 19 IV 3, 4, 19 V 4, 19, 20 VI 4, 9, 20 VII 3, 4, 5 VIII 5, 25, 26 IX 4, 5, 23 X 4, 21, 23 XI 5, 21, 23

Enunciamos a seguir uma definição importante: Definição 4.1: Dado um hipergrafo H(V, S), uma cobertura por vértice de H é um

subconjunto V’⊆ V, tal que toda aresta Ei ⊂ S, contém pelo menos um vértice u, tal que u ∈ V’.

xII

xIII

G

xII

xIII

G

xV

xI

xIV


440

Figura 4.3. Fronteira de Possibilidades de Produção para o exemplo do dental health segundo duas perspectivas interna e externa (Fonte: IDEAL)


441

Figura 4.4: Hipergrafo representando as FEDCs do fronteira da figura 4.3

Figura 4.5: Grafo representativo do hipergrafo da figura 4.4

Em outras palavras, um conjunto C é uma cobertura por vértice de um hipergrafo que

representa uma região Pareto-Koopman eficiente de uma fronteira de possibilidade de produção, se cada FEMD, possui pelo menos uma DMU nesse conjunto.

5. Um Algoritmo para encontrar uma cobertura por vértices de um hipergrafo. Nesta seção, apresentamos, um algoritmo que elaboramos para construir uma cobertura

por vértices de um hipergrafo. Algumas definições e notações tornam-se necessárias para o melhor entendimento do algoritmo. Denotamos por F o conjunto formado por todas as FEMDs da fronteira de possibilidade de produção. Denotamos por Fdi o conjunto formado pelas FEMDs que contém a DMU di.

O objetivo do algoritmo é construir um conjunto C, com vértices do hipergrafo dado, que formam uma cobertura por vértice do hipergrafo.

F VIII

F IIIF I

F II

F IV

F VII

F V

F VI

F X

F XI

F IX

2321

5

4

26

25

19

9

203

F VIII

F IIIF I

F II

F IV

F VII

F V

F VI

F X

F XI

F IX

2321

5

4

26

25

19

9

203

I

II

III

IV

VVI

VII

VIII

X

XI

IX


442

A idéia do algoritmo é inicialmente escolher um vértice para ser o primeiro vértice da cobertura a ser construída. Escolhe-se o vértice que está presente no maior número de FEMDs do hipergrafo e retira-se do hipergrafo as FEMDs cobertas neste passo. Em seguida, procura-se por um vértice que pertença ao maior número de FEMDs deste novo hipergrafo. Este processo se repete até que o hipergrafo final não contenha nenhuma FEMD (aresta). Para isso, o algoritmo utiliza um conjunto F’i, que inicialmente é igual ao conjunto F. A cada iteração, escolhe-se um vértice que pertence ao maior número de FEMDs presentes no conjunto F’i-1 e adiciona-se este vértice num conjunto Ci. O processo continua até que F’i seja vazio. O conjunto Ci obtido é uma cobertura por vértice do hipergrafo.

Algoritmo Vertex Covering: Dado um hipergrafo H, seja d1 o vértice que pertence ao maior número de FEMDs do

conjunto F. Passo 0. Faça i = 1, C1 = {d1}, F’1 = F - Fd1. Se F’1 = ∅, C1 = {d1} é uma cobertura por

vértice de H e H é conexo. Caso contrário, vá para o passo 1. Passo 1. Faça i = i + 1. Seja di o vértice que pertence ao maior número de FEMDs

contidas em F´i-1. Passo 2. Faça Ci = Ci-1 ∪ {di} e F’i= F’i-1 - Fdi. Passo 3. Se F’i = ∅, então Ci é uma cobertura por vértices de H, caso contrário, vá para o

Passo 1. 5.1 Exemplificação do algoritmo Vamos aplicar o algoritmo nos dois conjuntos de dados estudados neste artigo. Caso 1: Provão Seja Hp o hipergrafo formado pelas FEMDs do exemplo do Provão, de acordo com a

tabela 4.2, escolhemos d1 = 15. i = 1, C1 = {15} Como Fd1 = {I, II, III, IV, V}. Temos F’1 = ∅ Portanto de acordo com o algoritmo Vertex Cover, C1 = {15} é uma cobertura por vértice

de Hp e Hp é conexo. Caso 2: Dental Health Seja Hd hipergrafo formado pelas FEDC do exemplo do Dental Health, de acordo com a

tabela 4.3, podemos escolher d1 = 4. i = 1, C1 = {4}, Fd1 = {IV, V, VI, VII, IX, X}, F´1 = {I, II, III, VIII, XI}. i= 2, escolhemos d2 = 5, C2 = {4, 5} F’d2 = {II, III, VII, VIII, IX, XI}, F’2 = {I} i = 3, escolhemos d3 = 19, C3 = {4, 5, 19}


443

F’3 = {I, II, III, IV, V}. Logo, F’3 = ∅ Logo, C3 = {4, 5, 19} é uma cobertura por vértice de Hd. Observando a Figura 4.4, temos a informação de que, a partir das DMUs 4, 5 e 19

podemos acessar todas as FMDs existentes. Estas DMUs possuem, portanto, uma importância destacada na fronteira eficiente.

Teorema 5.1: O algoritmo Vertex Cover encontra uma cobertura por vértices de um

hipergrafo. Prova: Seja H um hipergrafo, representando uma região formada por FEMDs de uma

fronteira de possibilidade de produção. Seja Ci um conjunto de vértices de H, obtido pelo algoritmo Vertex Cover, quando F’i =

∅. Suponha que Ci não é uma cobertura por vértices de H. Então, existe uma FEMD Fj ⊂ H,

tal que nenhum elemento de Ci seja também elemento de Fj. Conseqüentemente, F’i ≠ ∅ o que é um absurdo.

6. Conclusão O problema da representação multidimensional da fronteira DEA eficiente só aparece no momento em que adotamos modelos flexíveis e interativos. Neste momento, é necessária a comunicação adequada entre o analista de métodos quantitativos e o decisor. O presente artigo pretendeu apresentar uma proposta de representação da fronteira utilizando a teoria dos grafos, fazendo uso dos hipergrafos. Foram incluídas duas demonstrações através de estudos de caso. Além disto, foi proposto o uso de cobertura por vértices, com o intuito de identificar DMUs especiais, através das quais seja possível acessar todas as faces Pareto-eficientes da fronteira DEA.


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Anexo I – DADOS PARA O EXEMPLO DO PROVÃO Na tabela A.1, temos cada DMU representando uma instituição de ensino. Os inputs e outputs considerados na avaliação da eficiência do Provão estão apresentados

como: IQA representa o índice de pré-qualificação do aluno. RPA representa o coeficiente da relação professor × aluno. Doutor representa a proporção de professores com grau de doutor. Prof40 representa a proporção de professores com 40 h de aula. Médias representa a média aritmética obtida por cada curso no Provão. Nota Q4 representa a proporção de alunos com notas no Provão no quarto quartil da

distribuição do Provão. Tabela A1: DADOS DO EXEMPLO DO PROVÃO PARA O ANO 2000

Instituição DMU IQA RPA Doutor Prof40 Médias Nota Q4

Instituto de Tecnologia da Amazônia – Manaus(AM) – Estadual

1 55,81 8,896 6,9 51,7 4,087 0,0

Universidade Federal de Sergipe – São Cristóvão(SE) – Federal

2 55,83 13,916 18,6 93,0 33,426 33,3

Universidade Federal da Bahia – Salvador(BA) – Federal

3 57,88 15,395 19,7 69,2 24,723 21,2

Universidade Estadual de Campinas – Campinas(SP) – Estadual

4 57,72 20,000 88,3 74,0 46,802 76,6

Pontifica Universidade Católica do Rio de Janeiro - Rio de Janeiro (RJ) –Privada

5 60,29 3,714 83,5 79,7 36,372 40,5

Universidade Federal do Pará – Belém(PA) – Federal

6 55,84 8,814 9,6 86,5 23,007 13,4

Universidade do Estado de Minas Gerais – Passos(MG) – Estadual

7 54,23 8,772 0,0 10,0 15,464 3,6

Universidade Federal do Rio Grande do Sul – Porto Alegre(RS) – Federal

8 56,52 13,980 58,1 87,1 39,208 46,5

Universidade Federal de Minas Gerais – Belo Horizonte(MG) – Federal

9 58,70 3,741 51,2 73,2 36,354 40,5

Faculdade de Engenharia Civil de Itajubá – Itajubá(MG) - Municipal

10 54,84 21,739 0,0 6,7 16,462 0,0

Universidade de Uberaba –

11 54,35 10,891 6,1 36,4 19,229 6,9


445

Uberaba(MG) – Privada Universidade Federal de Mato Grosso – Cuiabá(MT) – Federal

12 54,89 10,280 15,2 100,0 27,664 22,2

Universidade de Taubaté – Taubaté(SP) – Municipal

13 54,53 14,691 21,1 12,3 17,583 4,9

Universidade da Região da Campanha – Santana do Livramento(RS) – Privada

14 57,83 96,000 0,0 4,2 18,938 25,0

Escola de Engenharia Mauá – São Caetano do Sul(SP) – Privada

15 58,91 1,598 21,2 15,2 37,738 39,6

Universidade de Mogi das Cruzes - Mogi das Cruzes (SP) – Privada

16 53,72 2,717 15,2 0,0 19,388 13,4

Universidade Católica de Salvador – Salvador(BA) – Privada

17 56,10 8,654 9,3 7,4 14,077 3,2

Faculdade de Engenharia de Sorocaba – Sorocaba(SP) – Privada

18 ,54,62 12,145 14,9 21,3 20,720 9,8

Universidade do Vale do Paraíba – São José dos Campos(SP) – Privada

19 54,40 12,987 42,5 42,5 21,452 15,4

Universidade Estadual de Feira de Santana – Feira de Santana(BA) – Estadual

20 53,62 14,250 8,8 94,7 27,313 25,8

Anexo II – DADOS PARA O EXEMPLO DO DENTAL HEALTH

Dental Health Number of Dentists

Targeted Population Number of Actions

1 Portuária 6 5720 22105

2 Centro 21 2053 26884

3 Rio Comprido 17 7529 66836

4 Botafogo 25 5667 83629

5 Copacabana 7 2612 22477

6 Lagoa 31 8892 44985

7 São Cristóvão 12 8604 42101

8 Tijuca 13 5705 35818

9 Vila Isabel 38 7023 91465

10 Ramos 22 50726 34340

11 Penha 19 34172 58424

12 Inhaúma 21 13320 63294

13 Méier 50 25721 103245


446

14 Irajá 20 16652 71818

15 Madureira 25 35332 92136

16 Jacarepaguá 46 42185 101144

17 Bangu 44 81238 170336

18 Campo Grande 39 56396 146758

19 Santa Cruz 46 49542 253913

20 Ilha do Governador 32 13973 122375

21 Paquetá 5 205 3507

22 Anchieta 10 19521 47231

23 Santa Tereza 6 3493 23416

24 Barra da Tijuca 21 6293 30488

25 Pavuna 8 30258 42655

26 Guaratiba 11 15181 59033


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Referências [1] Banker, R. D., Charnes, A., Cooper, W. W., (1984). Some Models for Estimating Technical and Scale Inefficiencies in Data Envelopment Analysis. Mmt Sci 30: 1078-1092. [2] Charnes, A., Cooper, W. W., Rhodes, E., (1978). Measuring Efficiency of Decision Making Unit. Eur J Opl Res 2: 429-444. [3] Charnes, A.; Cooper, W.W.; Golany, B.; Seiford, L.M.; Stutz, J. (1985). Foundations of data envelopment analysis for Pareto-Koopmans efficient empirical production functions”, Journal of Econometrics, v. 30, n. 12, p. 91-127. [4] Ecker, J.G., Hegner N.S., , Kouada, I.A.(1980), Generating All Maximal Efficient Faces for a Multiple Objective Linear Program. Journal of Optimization Theory and Applications, 2 v. 30. n.3, 353-381. [5] Estellita Lins, M. P. ; Angulo-Meza, L. A. ; Moreira da Silva A. C. (2004). A Multi-Objective Approach to Determine Alternative Targets in Data Envelopment Analysis. Journal of the Operational Research Society, v. 55, p. 1090-1101. [6] Estellita Lins, M. P. ; Gonçalves A. C., Gomes, E.G.; Moreira da Silva A. C. , 2004 . Performance Assessment of Dental Clinics through PC-oriented Data Envelopment Analysis in Acessibility and Quality of Health Services. Frankfurt, v. , p. 95-109. [7] Farrell, M.J. (1957). The measurement of productive efficiency. J of Royal Statistic Soc. Ser. A 120: 253-281. [8] Golany, B. (1988). An interactive MOLP procedure for the extension of DEA to effectiveness analysis. J Opl Re Soc 39: 725-734. [9] González-Araya,M.C. e Estellita Lins,M.P. (2002a). Proyección de las Unidades de Toma de Decisión a las Regiones Mejor Definidas de la Frontera DEA, apresentado no XI-Congreso Latino-Iberoamericano de Investigación de Operaciones, Universidad de Concepción, Chile. http://www2.udec.cl/claioxi/informacion.htm [10] González-Araya,M.C. e Estellita Lins,M.P. (2002b).Un Algoritmo para Encontrar las Facetas Eficientes de Mayor Dimensión de la Frontera DEA. XI- Congreso Latino-Iberoamericano de Investigación de Operaciones 27 y 31 de Octubre de 2002 en la Universidad de Concepción, Chile. http://www2.udec.cl/claioxi/informacion.htm [11] IDEAL – Interactive Data Envelopment Analysis Lab, desenvolvido pela COPPE/UFRJ e disponível no endereço: http://www.pepserv.pep.ufrj.br/~dea. [12] Joro, T., Korhonen, P., & Wallenius, J., (1998). Structural Comparison of Data Envelopment Analysis and Multiple Objective Linear Programming. Mgmt Sci 44: 962-970.

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