Utilização da solução de navegação do GPS para...

sid.inpe.br/mtc-m19/2010/11.10.12.50-TDI

UTILIZACAO DA SOLUCAO DE NAVEGACAO DO GPS

PARA DETERMINACAO DE ORBITA DE SATELITES

Jorge Martins do Nascimento

Dissertacao de Mestrado do Curso de Pos-Graduacao em Engenharia e Tecnologia

Espaciais/Mecanica Espacial e Controle, orientada pelos Drs. Helio Koiti Kuga, e

Antonio Fernando Bertachini de Almeida Prado, aprovada em 06 de junho de 1997.

URL do documento original:

<http://urlib.net/ 8JMKD3MGP7W/38J96M5 >

INPE

Sao Jose dos Campos

2010

http://urlib.net/ 8JMKD3MGP7W/38J96M5

PUBLICADO POR:

Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais - INPE

Gabinete do Diretor (GB)

Servico de Informacao e Documentacao (SID)

Caixa Postal 515 - CEP 12.245-970

Sao Jose dos Campos - SP - Brasil

Tel.:(012) 3208-6923/6921

Fax: (012) 3208-6919

E-mail: [email protected]

CONSELHO DE EDITORACAO E PRESERVACAO DA PRODUCAO

INTELECTUAL DO INPE (RE/DIR-204):

Presidente:

Dr. Gerald Jean Francis Banon - Coordenacao Observacao da Terra (OBT)

Membros:

Dra Inez Staciarini Batista - Coordenacao Ciencias Espaciais e Atmosfericas (CEA)

Dra Maria do Carmo de Andrade Nono - Conselho de Pos-Graduacao

Dra Regina Celia dos Santos Alvala - Centro de Ciencia do Sistema Terrestre (CST)

Marciana Leite Ribeiro - Servico de Informacao e Documentacao (SID)

Dr. Ralf Gielow - Centro de Previsao de Tempo e Estudos Climaticos (CPT)

Dr. Wilson Yamaguti - Coordenacao Engenharia e Tecnologia Espacial (ETE)

Dr. Horacio Hideki Yanasse - Centro de Tecnologias Especiais (CTE)

BIBLIOTECA DIGITAL:

Dr. Gerald Jean Francis Banon - Coordenacao de Observacao da Terra (OBT)


Deicy Farabello - Centro de Previsao de Tempo e Estudos Climaticos (CPT)

REVISAO E NORMALIZACAO DOCUMENTARIA:


Yolanda Ribeiro da Silva Souza - Servico de Informacao e Documentacao (SID)

EDITORACAO ELETRONICA:

Viveca Sant´Ana Lemos - Servico de Informacao e Documentacao (SID)

sid.inpe.br/mtc-m19/2010/11.10.12.50-TDI

UTILIZACAO DA SOLUCAO DE NAVEGACAO DO GPS

PARA DETERMINACAO DE ORBITA DE SATELITES

Jorge Martins do Nascimento

Dissertacao de Mestrado do Curso de Pos-Graduacao em Engenharia e Tecnologia

Espaciais/Mecanica Espacial e Controle, orientada pelos Drs. Helio Koiti Kuga, e

Antonio Fernando Bertachini de Almeida Prado, aprovada em 06 de junho de 1997.

URL do documento original:

<http://urlib.net/ 8JMKD3MGP7W/38J96M5 >

INPE

Sao Jose dos Campos

2010

http://urlib.net/ 8JMKD3MGP7W/38J96M5

Dados Internacionais de Catalogacao na Publicacao (CIP)

Nascimento, Jorge Martins do.N17u Utilizacao da solucao de navegacao do GPS para determinacao

de orbita de satelites / Jorge Martins do Nascimento. – Sao Josedos Campos : INPE, 2010.

xxiv + 70 p. ; (sid.inpe.br/mtc-m19/2010/11.10.12.50-TDI)

Dissertacao (Mestrado em Engenharia e Tecnologia Espaci-ais/Mecanica Espacial e Controle) – Instituto Nacional de Pes-quisas Espaciais, Sao Jose dos Campos, 1997.

Orientadores : Drs. Helio Koiti Kuga, e Antonio Fernando Ber-tachini de Almeida Prado.

1. Determinacao de orbita. 2. Sistema de Navegacao por Sa-telites (GPS). 3. Metodo dos mınimos quadrados. 4. Navegacao.5. Satelites . I.Tıtulo.

CDU 629.783

Copyright c© 2010 do MCT/INPE. Nenhuma parte desta publicacao pode ser reproduzida, arma-zenada em um sistema de recuperacao, ou transmitida sob qualquer forma ou por qualquer meio,eletronico, mecanico, fotografico, reprografico, de microfilmagem ou outros, sem a permissao es-crita do INPE, com excecao de qualquer material fornecido especificamente com o proposito de serentrado e executado num sistema computacional, para o uso exclusivo do leitor da obra.

Copyright c© 2010 by MCT/INPE. No part of this publication may be reproduced, stored in aretrieval system, or transmitted in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying,recording, microfilming, or otherwise, without written permission from INPE, with the exceptionof any material supplied specifically for the purpose of being entered and executed on a computersystem, for exclusive use of the reader of the work.

ii

v

Longe é um lugar que não existe

Richard Bach

vii

À memória de meu pai Arthur Chrisóstomo do Nascimento que sempre me

incentivou aos estudos.

À minha mãe Elizabeth Martins Costa que com seu apoio e sua fé muito me

subsidiou em mais esta jornada.

ix

AGRADECIMENTOS

Primeiramente a Deus por permitir minha existência, nesta

pequena partícula do Universo, denominada Planeta Terra.

À Empresa Brasileira de Telecomunicações (EMBRATEL), que

na pessoa do seu então presidente Renato Archer, com seu programa de

valorização técnico-profissional, me permitiu a participação nestes estudos.

À CAPES que também financiou este trabalho.

Ao Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE), que me

acolheu em suas dependências, particularmente na Divisão de Mecânica

Espacial e Controle (DMC), onde adquiri os conhecimentos necessários à

elaboração deste trabalho.

Ao engenheiro Rodolpho Knorr (EMBRATEL), que recomendou,

incentivou, e apoiou o ingresso neste Instituto, com vistas à realização deste

estudo.

Ao Dr. Antonio Fernando Bertachini de Almeida Prado, meu

orientador, que me despertou para o tema deste trabalho e me deu as

diretrizes de como conduzi-lo, sempre com seu bom humor, atenção e

motivação.

Ao Dr. Hélio Koiti Kuga, meu orientador, que com sua vasta

experiência, didática, calma, tranquilidade e boa vontade, me instruiu e apoiou

nos momentos mais difíceis da elaboração deste trabalho.

x

Ao doutorando Ernesto Vieira Neto, meu particular grande amigo,

sem o qual, com sua vivência em programação computacional além dos

conhecimentos profissionais aliados a um grande senso de presteza, não teria

sido possível a execução deste trabalho. Muito obrigado, Ernesto.

Aos membros da banca examinadora, pelas relevantes

contribuições ao enriquecimento deste trabalho.

Aos meus amigos e colegas não somente da EMBRATEL como

também aos conquistados no INPE, pelo apoio, carinho e prazer da

convivência.

Aos meus companheiros, colegas e amigos.

Enfim, a todos aqueles que se fizeram presente.

xi

RESUMO

Neste trabalho, é analisado o problema da determinação de órbita de

um satélite artificial terrestre, posicionado a baixa altitude. Esse tipo de tarefa pode ser efetuado de várias maneiras, dependendo do hardware disponível no satélite e em terra. Neste trabalho, essa tarefa será feita com o uso de medidas obtidas a partir dos satélites da constelação do GPS (Sistema de Posicionamento Global). Esse sistema é constituído por satélites em órbita da Terra, cuja função é enviar sinais capazes de serem captados por receptores, no espaço ou em terra. Essas informações permitem o cálculo da posição desse receptor. Assim sendo, é assumido que o satélite alvo, cuja órbita se deseja determinar, estará portando um receptor deste tipo, especialmente projetado para funcionar no espaço. Para a realização dessa tarefa, são necessários os seguintes passos: i) Simulação do movimento dos satélites GPS e do satélite usuário; ii) Cálculo de todas as distâncias entre os satélites GPS e o satélite usuário; iii) Estudo de quais satélites GPS são visíveis a partir do satélite usuário; iv) Corrompimento, através da adição de uma variável aleatória, de todas essas medidas; v) Desenvolvimento de um procedimento computacional capaz de, com o uso da teoria dos mínimos quadrados, obter a solução de navegação (x,y,z) em cada ponto da órbita; vi) Elaboração de um outro procedimento também baseado na teoria dos mínimos quadrados, que obtém o vetor de estado (posição e velocidade) do satélite usuário a cada instante, a partir da solução de navegação. Esse trabalho foi motivado pelo planejamento do INPE de executar uma missão desse tipo num futuro próximo, dado que é um sistema barato e preciso de determinação de órbita. Deve-se também salientar que o objetivo aqui proposto não é o de obter a máxima precisão que o sistema pode oferecer, mas sim obter uma precisão suficiente para se manter o acompanhamento e permitir o controle do satélite.

xiii

USING THE GPS NAVIGATION SOLUTION FOR SATELLITE ORB IT DETERMINATION

ABASTRACT

In this work the orbit determination problem of a low orbit earth artificial satellite is analyzed. This kind of problem can be solved by several ways, and the choice depends on the hardware available in the spacecraft and in the ground station. In this work this problem is solved using the GPS (Global Positioning System) constellation satellites data. This system is composed of an Earth orbiting satellites group with the purpose of sending signals to be received by receivers that can be located in the space or in the ground. These information allow the receiver to calculate its own position. It's assumed that the target satellite (which orbit has to be determined) will carry a receptor of this kind, specially designed to work in the space environment. To perform this work, one needs the following steps: i) To simulate the motion of the GPS and the target satellite; ii) To calculate ali the distances between the GPS satellites and the target satellite; iii) To determine which GPS satellites are visible by the target satellite; iv) To corrupt those data by adding a random variable; v) To develop a software, that is able to get a navigation solution on each point of the orbit, using least squares theory; vi) To develop a new software to get the target satellite state vector (position and velocity) from the navigation solution, also using least squares theory. This work was motivated by the INPE's plans of performing this kind of mission in a near future, since this is a cheap and accurate orbit determination system. It must be emphasized that the goal of this work is not to provide the system maximum accuracy, but a sufficient accuracy to track and control the satellite

xv

LISTA DE FIGURAS Pág

2.1 - Constelação do GPS ................................................................................. 8 2.2 - Satélite TOPEX/POSEIDON....................................................................... 12 2.3 - Sistema de rastreio do TOPEXlPOSEIDON ........................................... 12 2.4 - Região visível e utilizável em órbita baixa ................................................. 14 2.5 - Satélites visíveis em órbita baixa ............................................................... 14 2.6 - Satélites utilizáveis em órbita aixa.............................................................. 15 3.1 - Órbita observada e órbita modelada .......................................................... 21 3.2 - Determinação de posição utilizando GPS .............................................. 25 3.3 - Comparação qualitativa entre os métodos dinâmico, reduzido e geométrico..............................................................................................

27

3.4 - Comparação quantitativa entre os métodos dinâmico, reduzido e geométrico.................................................................................................

27

4.1 - Erro édio..................................................................................................... 45 5.1 - Geometria do critério de visibilidade .......................................................... 52 5.2 - Diferença em posição entre a órbita determinada e a órbita real .............. 55 5.3 - Diferença em velocidade entre a órbita determinada e a órbita real.......... 55 5.4 . Resíduos entre a órbita determinada e a órbita estimada.......................... 56 5.5 - Diferença em posição entre a órbita determinada e a órbita real .............. 57 5.6 - Diferença em velocidade entre a órbita determinada e a órbita real ......... 58 5.7 - Resíduos entre a órbita determinada e a órbita estimada.......................... 58 5.8 - Diferença em posição entre a órbita determinada e a órbita real............... 60 5.9 - Diferença em velocidade entre a órbita determinada e a órbita real.......... 60 5.10 - Resíduos entre a órbita determinada e a órbita estimada................... 61

xvii

LISTA DE TABELAS

‘Pág

2.1 - Sinais transmitidos pela constelação GPS ........................................... 10

4.1 - Elementos Keplerianos a serem propagados ....................................... 40

xix

LISTA DE SÍMBOLOS

a semieixo maior

ã vetor aceleração

AA aceleração do arrasto aerodinâmico

AG aceleração do campo gravitacional terrestre

AL aceleração de atração da Lua

Ao aceleração devido a outras perturbações

As aceleração de atração do Sol

AML aceleração devido às marés da Lua

AMS aceleração devido às marés do Sol

ApR aceleração de pressão de radiação solar

Co coeficiente de arrasto atmosférico

J2 coeficiente de achatamento terrestre

Ja coeficiente da expansão do polinômio do potencial gravitacional

terrestre

R, raio equatorial terrestre (6380 km)

VR vetor velocidade do satélite em relação à atmosfera terrestre

5 área efetiva de contato

O força de arrasto

Q quantidade escalar

W matriz peso

H matriz ou vetor de derivadas parciais

L função custo a ser minimizada

P matriz de covarianças de erros

e excentricidade

xx

M anomalia média I inclinação k número de amostras de um evento

X vetor nx1 de estado

U potencial gravitacional terrestre

I matriz identidade

O vetor nulo

t tempo

x,y,z componentes cartesianas de posição

X, y, z componentes cartesianas de velocidade

r vetor posição (em x,y,z)

r distância do centro da Terra ao satélite

i vetor velocidade (em x,y,z)

X derivada no tempo do vetor de estado

SÍMBOLOS GREGOS

∆ variação de uma variável

ρ alcance (range)

ρ densidade local do ar

Ω ascensão reta do nodo ascendente

σ desvio padrão

ω argumento do perigeu

φ matriz de transição

ρ latitude geocêntrica do satélite

µ constante gravitacional terrestre (3980,64 Km3 /s2)

ν ruído no estado

xxi

ÍNDICES SUPERIORES Τ transição de uma matriz ou vetor ^ vetor estimado __ vetor propagado ÍNDICES INFERIORES GPSi i-ésimo satélite GPS

k instante de tempo o instante inicial

xxiii

SUMÁRIO

Pág

CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO ...........................................................................1 1.1 Motivação ...................................................... Erro! Indicador não definido.1 1.2 Metodologia ................................................................................................2 1.3 Organização do trabalho .............................. Erro! Indicador não definido.4 CAPÍTULO 2 – SISTEMA GPS............................................................................7 2.1 Introdução ................................................................................................ 7 2.2 O que é o GPS? .............................................................................................8 2.3 Antecedentes do GPS ....................................................................................11 CAPÍTULO 3 - CONCEITOS BÁSICOS ............. Erro! Indicador não definido.17 3.1 Introdução ................................................................................................17 3.2 Métodos para determinação de órbita utilizando o GPS ...............................17 3.2.1 Método Dinâmico ..................................................................................18 3.2.2 Método da dinâmica reduzida ...............................................................22 3.2.3 Método geométrico ou cinemático .........................................................24 3.3 Teorias de estimação .....................................................................................28 3.4 Teoria básica de Mínimos Quadrados ............................................................30

3.5 Mínimos Quadrados com informação a priori, incluindo o Modelo Dinâmico ..............................................................................................................

35

CAPÍTULO 4 - MÉTODO UTILIZADO ................ Erro! Indicador não definido.39 4.1 Introdução ................................................................................................39 4.2 Desenvolvimentos do Programa ................................................................39

CAPÍTULO 5 - TESTES E RESULTADOS ......... Erro! Indicador não definido.51 5.1 Introdução ................................................................................................51 5.2 Testes realizados ...........................................................................................53 5.3 Análise dos resultados ...................................................................................62

xxiv

CAPÍTULO 6 - COMENTÁRIOS FINAIS ............ Erro! Indicador não definido.65 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................... Erro! Indicador não definido.67

1

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

O objetivo principal deste trabalho é apresentar e propor uma

solução para o problema da determinação de órbita de um satélite artificial,

situado a uma altitude de aproximadamente 1000 km, que possui a bordo um

receptor capaz de receber sinais transmitidos por uma constelação de satélites

posicionados a uma altitude de aproximadamente 20000 km. Essa constelação

é constituida pelos satélites que compõem o Sistema de Posicionamento

Global (GPS). Esse trabalho também discorre sobre alguns métodos utilizados

na determinação de órbita através do GPS, faz um apanhado geral sobre a

teoria de estimação e, a partir daí, descreve o método utilizado.

1.1 Motivação

Com o avanço e a evolução dos requisitos de uma missão

espacial, torna-se necessário, com uma precisão cada vez maior, a

observação efetiva dos satélites em órbita terrestre. Atualmente os satélites

são observados através de rastreio, efetuado por estações localizadas ao

longo da superfície da Terra. Existe, porém, um limite na precisão que pode ser

obtida na determinação de órbita com o uso dessa técnica. Essa maior

demanda por precisão é a razão principal de se utilizar o sistema GPS, pois

esse recurso permite proceder à determinação da órbita de satélites a baixa

altitude com alto grau de precisão, podendo-se chegar muitas vezes a algo em

torno de centímetros. Essa precisão depende fundamentalmente do método

adotado para a determinação da órbita, envolvendo modelos dinâmicos,

processamento das medidas, e procedimentos numéricos.

2

O Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) tem como

objetivo para suas missões futuras a utilização de receptores GPS embarcados

em seus próximos satélites. O principal objetivo é analisar a viabilidade de

determinar a órbita do satélite com precisão, aliado a um baixo custo financeiro

e facilidade de projeto. Neste contexto, um dos projetos em andamento na

divisão de mecânica espacial e controle é o desenvolvimento de um software

para determinação de órbita utilizando sinais da constelação GPS. O potencial

de utilização de tal sistema para navegação, geodesia, monitoramento de

entidades móveis na superfície terrestre (pessoas, carros, ônibus, etc...) entre

outras, está sendo firmemente difundido conforme atestam vários trabalhos

sobre o assunto (BERTIE et all, 1994)

A utilização do GPS a bordo de um satélite traz diversas

vantagens tais como, baixo custo de investimento em equipamentos tanto a

bordo do satélite como em terra, uma vez que as informações recebidas pelo

satélite podem ser enviadas a um centro de controle em terra através de

telemetria, não necessitando assim de equipamentos especiais para

comunicação de dados, como por exemplo um canal de rádio. Como o GPS

fornece uma série de informações em sua mensagem de navegação, essas

não precisam ser tratadas a bordo, podendo ser diretamente enviadas ao

centro de controle, também por telemetria. Embarcado no satélite basta

apenas uma placa do receptor GPS. Enfim, tudo isso torna a missão mais leve

e de mais baixo custo.

1.2 Metodologia

De posse dos elementos orbitais conhecidos dos 24 satélites da

constelação GPS e do satélite denominado “usuário” propaga-se suas órbitas

por um período de tempo pré-fixado, que neste trabalho é de duas horas e

meia. Para efetuar essa tarefa, na maioria dos casos utiliza-se um software

3

propagador de órbita. O passo seguinte é criar uma rotina computacional em

linguagem “FORTRAN”, onde se determina os “pseudo-ranges” ou pseudo-

distâncias, também conhecida como distância teórica, que é calculada pelo

tempo que a informação gasta para "viajar" entre o satélite GPS e o satélite

alvo. Essa medida é corrompida por um erro aleatório de distribuição

Gaussiana e média nula e tem por objetivo a simulação da órbita do satélite

usuário, fornecendo um vetor posição (x, y, z), ou vetor posição atual.

Com esses dados em mãos e utilizando como ferramenta

matemática a teoria de mínimos quadrados, desenvolve-se outra rotina em

linguagem “FORTRAN” com o objetivo de obter-se a solução de navegação

( )$, $, $x y z , ou seja, a posição estimada. Com isso pode-se compará-la com a

solução simulada para verificar o desvio em posição. Em seguida, procede-se

a uma análise estatística da média e do desvio padrão desse resultado.

O passo seguinte é a determinação da órbita do satélite usuário,

ou seja, a determinação da sua trajetória inicial. Para tal é necessário a

obtenção da matriz de covariança do passo anterior e o vetor posição

estimado. Resolve-se então a equação diferencial do movimento orbital em

posição e velocidade, utilizando-se novamente a teoria de mínimos quadrados

para modelar um estimador de época, onde, a informação de entrada é a

solução de navegação. A esse estimador é acrescentado um modelo dinâmico

incluindo o coeficiente J2, no sentido de se verificar a órbita não só kepleriana

como também a órbita perturbada pela dinâmica. No intuito de tornar este

estimador robusto se utiliza dentro da solução computacional matemática a

ortogonalização de Householder.

Finalmente, procede-se aos testes de validade do método, onde

se verifica a convergência do filtro adotado com a teoria de mínimos

quadrados. Verifica-se também a precisão do determinador de órbita para o

caso de dinâmica Kepleriana pura, e da órbita com dinâmica Kepleriana mais o

4

efeito de J2, e também o caso de curtos arcos de observação dentro do período

de estimação. Também são analisados os resíduos em posição entre a órbita

determinada e a órbita real e procede-se a uma exposição gráfica e uma

análise dos resultados apresentados pelos testes acima descritos.

1.3 Organização do trabalho

Este trabalho está dividido em seis capítulos.

No Capítulo 1 realiza-se uma introdução sobre os objetivos do

trabalho. Este capítulo é subdividido em três unidades que tratam

respectivamente da motivação para o trabalho, da metodologia utilizada e,

finalmente, da divisão do trabalho.

No Capítulo 2, tem-se um histórico do GPS, objeto deste

trabalho, e são apresentadas experiências já realizadas com o GPS.

O Capítulo 3 contém os conceitos teóricos básicos de mecânica

celeste, no que se refere à determinação de órbita, um apanhado geral sobre a

teoria de estimação, uma conceituação sobre a teoria de mínimos quadrados

e, uma teoria sobre mínimos quadrados com informação a priori, considerando

ainda o modelo dinâmico adotado.

O Capítulo 4 trata espeficamente do método utilizado e

desenvolvido em nível de software para a determinação de órbita.

O Capítulo 5 apresenta os testes realizados e os resultados

obtidos com a utilização do método apresentado no capítulo 4. Ao final se faz

uma análise acerca dos resultados.

5

No Capítulo 6, descrevem-se as conclusões extraídas deste

trabalho e os comentários finais para extensões futuras do mesmo.

O trabalho é finalizado então com a bibliografia consultada e

necessária à sua realização.

7

CAPÍTULO 2

SISTEMA GPS

2.1 Introdução

A idéia da utilização de corpos celestes para navegação remonta

aos primórdios da humanidade. Embora hoje o homem consiga ter um vasto

conhecimento da disposição destes corpos celeste, a navegação astronômica

apresenta sérios inconvenientes, pois os astros têm que ser observados em

qualquer ponto e a qualquer hora para prover ao usuário informações de

posição em tempo real.

A partir da década de 60, a utilização de satélites artificiais

permitiu à introdução de novos sistemas de navegação, e particularmente nas

décadas de 70 e 80, a evolução se deu mais intensamente, com os estudos

desenvolvidos pela Força Aérea dos Estados Unidos da América, o que

culminou com a adoção de um sistema de navegação por satélites

denominado GPS.

O GPS tem como objetivo o auxílio à navegação em três

dimensões com elevada precisão nos cálculos de posição mesmo que o

usuário esteja sujeito às mais variadas intensidades de dinâmica, permitindo

inclusive informações em tempo real. Apresenta ainda alta imunidade às

interferências eletromagnéticas, uma vez que as variações de relevo não têm

influência sobre suas transmissões e por operar em altas frequências, estas

são mais precisas se comparadas com as transmissões de rádio em baixas

frequências. O GPS permite ainda uma cobertura global 24 horas por dia, além

de permitir uma rápida obtenção das informações transmitidas por sua

constelação.

8

A seguir, apresentamos o que é o GPS.

2.2 O que é o GPS?

O sistema GPS foi idealizado pelo Departamento de Defesa dos

Estados Unidos da América na década de 60, inicialmente com o objetivo de

aplicações militares, para disseminação do tempo, determinação de posição, e

navegação. Posteriormente foi colocado à disposição para atividades com

propósitos civis (LEICK, 1994).

O primeiro conjunto de satélites, chamado de BLOCO I, foi

colocado em órbita a partir de fevereiro de 1978, a uma altitude de 20200 km e

com uma inclinação de 63 graus. Recentemente, em fevereiro de 1994, o

BLOCO II-A ficou também disponível para uso. O último “sobrevivente” do

BLOCO I foi desativado, sendo que nove do BLOCO II e quinze do BLOCO II-

A, num total de 24 satélites, operam regularmente em órbita circular,

distribuídos em 6 planos orbitais, inclinados de 55 graus, e com separação

nodal de 60 graus (DOW et al, 1994).

A Figura 2.1 ilustra a distribuição das órbitas dos satélites GPS.

Figura. 2.1 Constelação do GPS.

FONTE: Bertiger et al (1994)

9

Os satélites que compõem a constelação do GPS apresentam

uma estrutura de transmissão de sinais conforme se segue:

As informações transmitidas pelos satélites GPS são baseadas

no conceito de ondas eletromagnéticas. Todas as transmissões dos satélites

são coerentemente derivadas de uma frequência fundamental de 10.23 MHz, e

esta é provida a partir de um conjunto de referências de relógio, com referência

atômica, embarcados no próprio satélite. Multiplicando a frequência

fundamental por 154 e por 120, tem-se respectivamente as chamadas

frequências portadoras L1 = 1575.42 MHz e L2 = 1227.60 MHz. O objetivo

destas duas frequências é essencialmente eliminar a maior fonte de erro nas

medidas, que é a refração ionosférica (WELLENHOF et all, 1992).

Os pseudo-ranges ou pseudo-distâncias são medidos pelos

receptores de GPS, a partir do tempo de transmissão dos sinais de cada

satélite. A esses sinais são introduzidas as sequências pseudo-aleatórias em

ambas as frequências, L1 e L2, ou seja, as portadoras são moduladas com um

código.

O primeiro código, chamado de “C/A-code” do inglês

“Coarse/Acquisition-code”, que é um código de precisão inferior, é designado

pelo “Standard Positioning Service (SPS)”, ou, Serviço de Posicionamento

Padrão, para utilização em aplicações civis. Este código com um comprimento

de onda de 300 m modula a portadora L1 exclusivamente, sendo omitido na

portadora L2 (WELLENHOF et al, 1992).

O segundo código, chamado de “P-code” do inglês “Precision-

code”, ou, código preciso, é também designado pelo Serviço de

Posicionamento Padrão e é reservado ao uso exclusivo das Forças Armadas

dos Estados Unidos e instituições autorizadas. Este código modula tanto a

portadora L1 como a L2 e apresenta um comprimento de onda de 30 m. O

acesso a esse código foi permitido até que o sistema foi declarado

10

completamente operacional.

Em adição aos códigos introduzidos, as portadoras também são

moduladas com informações das efemérides, dos coeficientes do modelo

ionosférico, com informações de estado, com o sistema de tempo e com as

referências dos relógios dos satélites GPS. A essas informações dá-se o nome

de mensagem de navegação, que também é chamada de telemetria, e esta

modula ambas as portadoras a uma taxa de transmissão de 50 bits por

segundo. A tabela 2.1 resume as informações sobre os sinais transmitidos pela

constelação GPS.

Tabela 2.1 sinais transmitidos pela constelação GPS.

BANDAS DE

TRANSMISSÃO

TAXA DE MODULAÇÃO

Frequência

MHz

Código P

Código C/A

Dados

L1

1575,42

10,23 Mbs

1,023 Mbs

50 bps

L2

1227,60

10,23 Mbs

-------------

50 bps

Existem dois tipos de observações das informações do GPS: a

pseudo-distância e a fase da portadora. Para o caso de se desejar uma alta

precisão, se adota a medida a partir da fase da portadora. No entanto a

combinação dos dois tipos é comumente utilizada, uma vez que o receptor

GPS pode medir o tempo de transmissão e calcular a pseudo-distância ou

medir a fase da portadora e calcular a razão da pseudo-distância.

No sistema de navegação GPS, informações de tempo preciso e

das efemérides são oriundas dos sinais recebidos de qualquer um dos satélites

11

da constelação GPS. Esses sinais são demodulados em tempo e fase, de

forma correlacionada (WELLS, 1987), e processada de modo a fornecer

medidas de pseudo-distância e de razão de pseudo-distância. Estas medidas

estão corrompidas pelo desvio do relógio do usuário, daí a denominação de

“pseudo”. De posse da mensagem de navegação, o usuário extrai as

efemérides do satélite GPS e os termos de correção de tempo, podendo então

determinar sua posição e velocidade (NEGREIROS DE PAIVA, 1990). Caso

em determinado instante haja um número suficiente, de satélites GPS visíveis,

pode-se geometricamente determinar a posição e a deriva do relógio do

receptor com certa precisão, chamada de solução de navegação.

2.3 Antecedentes do GPS

Em 10 de agosto de 1992, foi lançado o satélite

TOPEX/POSEIDON, fruto de um projeto conjunto entre o “National Aeronautics

and Space Adminitration” (NASA) e o “Centre National d’Etudes Spatiales”

(CNES). O objetivo foi o estudo da circulação dos oceanos e de suas marés,

através das medidas da topografia de suas superfícies. Vários sistemas

sofisticados de medidas foram utilizados pelo TOPEX/POSEIDON, incluindo

um receptor GPS de duas frequências.

O projeto TOPEX/POSEIDON possui a bordo um receptor GPS,

como experimento, que é assistido por uma rede de telemetria e um sistema

de processamento de dados em terra. Os elementos que compõem o sistema

de rastreio do GPS são: a constelação de GPS, o receptor GPS a bordo do

TOPEX/POSEIDON, uma rede global de receptores do GPS para prover uma

referência terrestre e um centro de monitoramento, controle e processamento.

As Figuras 2.2 e 2.3 mostram respectivamente o satélite TOPEX/POSEIDON e

o seu sistema de rastreio.

12

Figura. 2.2 Satélite TOPEX/POSEIDON.


Figura. 2.3. Sistema de rastreio do TOPEX/POSEIDON.


A experiência de determinação de órbita utilizando o receptor

GPS, embarcado no TOPEX/POSEIDON, denominada de “PRECISION ORBIT

DETERMINATION” (POD), ou seja, determinação precisa de órbita requer um

rastreio contínuo da constelação GPS, que por sua vez é simultaneamente

observável pelos receptores de terra e de bordo.

13

Existe uma grande quantidade de artigos que discorrem sobre a

determinação de órbita através do GPS e seus vários métodos. De um modo

geral, estudos demonstraram que sua utilização permite uma precisão que

pode chegar ao nível de poucos centímetros para a determinação da posição

radial (altitude) da órbita de satélites a baixa altitude (aproximadamente 1000

km). Porém o maior problema é a escolha de um sistema de rastreio que

permita a maior cobertura possível da órbita e isso depende do compromisso

entre o objetivo da missão e as ferramentas disponíveis (CRETAUX, 1993).

A utilização do GPS permite, sob todas as condições ambientais

e durante as 24 horas do dia, obter uma alta precisão de posicionamento a

partir de um conjunto mínimo de 4 satélites.

Para o caso de Satélites de Baixa Altitude (SBA), existem

algumas considerações a fazer. A primeira diz respeito ao atraso de tempo, o

que confere ao receptor do GPS um erro de alguns quilômetros, uma vez que o

SBA se desloca com uma velocidade em torno de 7 km/s. A segunda se refere

à cobertura proporcionada pela constelação do GPS, pois na superfície

terrestre essa cobertura é conferida por um número de satélites maior do que

no espaço, conforme mostra a Figura 2.4. As Figuras 2.5 e 2.6 mostram,

respectivamente, o número de satélites visíveis e utilizáveis ao longo de um

determinado período de tempo. Cabe salientar, que essas considerações são

previstas e devem ser corrigidas pelo algorítmo utilizado no problema da

determinação de órbita (ZHANG; YANG, 1993).

14

Figura. 2.4. Região visível e utilizável em órbita terrestre baixa.

FONTE: Zhang e Yang (1993)

Figura. 2.5. Satélites visíveis em órbita baixa.


15

Figura. 2.6 Satélites utilizáveis em órbita baixa.


17

CAPÍTULO 3

CONCEITOS BÁSICOS

3.1 Introdução

Neste capítulo, faz-se uma revisão dos conceitos básicos e

teóricos, utilizados neste trabalho. Esta revisão desde os processos de

determinação de órbita, passando pelos conceitos de estimação e chega ao

método matemático que é utilizado na elaboração de um software, cuja

aplicação fim é a determinação de órbita utilizando as informações

provenientes do sistema GPS.

Os modelos matemáticos utilizados para a determinação de

órbita, devido a problemas de implementação computacional, tempo de

processamento, dentre outros, não consegue abranger todas as perturbações

que possam afetar a órbita de um satélite. Assim sendo, é necessário que se

faça a correção de certos parâmetros periodicamente. Por isso, faz-se

necessário conhecer as medidas ou se proceder às observações do satélite, e

utilizar alguma técnica de estimação para que se possa fazer as devidas

correções, a partir dos dados medidos (VIEIRA NETO, 1994).

3.2 Métodos para determinação de órbita utilizando o GPS

A determinação de órbita, de um modo geral, envolve vários

aspectos de natureza distinta. Envolvem modelagem da dinâmica e dos dados

mensurados, estabilidade numérica dos algoritmos de processamento, e o

esquema de estimação de estado, todos contribuindo em maior ou menor grau

para a precisão final.

O problema da determinação de órbita consiste basicamente no

18

processo de obtenção dos valores dos parâmetros que especificam

completamente o movimento (a trajetória) de um corpo espacial (no caso um

satélite artificial), através do espaço baseado num conjunto de observações do

corpo (RAOL; SINHA, 1985). Estas observações podem ser coletadas através

de uma rede de rastreio terrestre ou através de sensores, que no caso deste

trabalho são os receptores GPS, embarcadas no próprio satélite.

Os métodos ou processos utilizados na determinação de órbita

através dos receptores GPS são basicamente os seguintes:

MÉTODO DINÂMICO

MÉTODO DA DINÂMICA REDUZIDA

MÉTODO GEOMÉTRICO ou CINEMÁTICO

3.2.1 Método Dinâmico

Os satélites artificiais terrestres são influenciados constantemente

por forças perturbadoras (KONDAPALLI, 1986), tais como:

* atração gravitacional devido a imperfeições do corpo central

(não esfericidade, densidade variável, etc.);

* atração gravitacional devido ao Sol e a Lua;

* força de arrasto aerodinâmico;

* força de marés devido ao Sol e a Lua;

* força de pressão de radiação solar.

19

Na prática uma órbita verdadeira nunca segue uma órbita

Kepleriana. Não obstante, os elementos orbitais da órbita Kepleriana são

determinados a partir de uma análise convenientemente aproximada da órbita

real (CHOBOTOV, 1991).

Devido à forma complexa da dinâmica de órbita, uma solução

analítica não é disponível para uma órbita real, onde atuam múltiplas forças

como as mencionadas. Um corpo tem sempre sua órbita determinada a partir

de um modelo matemático e dos dados observados.

A equação geral das forças que atuam em um satélite e definem

o seu movimento é dada por:

&&r A A A A A A A AG A L S PR ML MS O= + + + + + + + (3.1)

onde:

AG: aceleração do campo gravitacional terrestre

AA: aceleração de arrasto aerodinâmico

AL: aceleração de atração da Lua

AS: aceleração de atração do Sol

APR: aceleração de pressão de radiação solar

AML: aceleração devido às marés da Lua

AMS: aceleração devido às marés do Sol

AO: aceleração devido a outras perturbações não

mencionadas acima

O conceito do método dinâmico para a determinação de órbita

leva em conta todas as parcelas da equação de movimento. Obviamente que

parcelas como, por exemplo, a atração do campo gravitacional terrestre são

20

expandidas em série até o harmônico onde se deseja truncar a série, de

acordo com a precisão necessária em função do modelo para geopotencial

adotado.

As forças perturbadoras são incluídas no modelo conforme a

situação física apresentada e com a precisão que se pretende para a

determinação da órbita. Por exemplo, para satélites de baixa altitude é

fundamental a inclusão do arrasto aerodinâmico, além obviamente do

geopotencial (BROWN, 1992), enquanto que para satélites de grande altitude,

torna-se necessário levar em conta a pressão de radiação solar, e a

perturbação lunissolar, ficando o truncamento do geopotencial a critério do

grau de refinamento que se deseja do modelo.

Um exemplo de expressão para o potencial gravitacional terrestre

(WERTZ, 1978) até o terceiro harmônico, considerando apenas os harmônicos

zonais, é dado por:

Ur

JR

rsen J

R

rsen sene e= +

−

−

−

µφ φ φ1

1

2

3

2

5

2

3

22

22

3

33 (3.2)

No caso da força de arrasto, ela é devido ao atrito causado pelo

movimento do satélite na atmosfera terrestre. Esta força tende a “freiar” o

satélite, atuando no sentido contrário ao seu movimento.

A expressão para a força de arrasto é dada por:

D = -1

2ρ CDSvR (3.3)

:

onde:

21

ρ : densidade local do ar

CD : coeficiente de arrasto atmosférico

S : área efetiva de contato

VR : vetor velocidade do satélite em relação à atmosfera

terrestre

Convém lembrar que, na modelagem do método dinâmico, todos

os parâmetros necessários ao cálculo do arrasto são modelados para a

situação em que se deseja determinar a órbita.

Conforme a Figura 3.1, pode-se notar que a idéia é tentar “tornar”

a órbita observada o mais próximo possível da órbita modelada. Isto é

conseguido reduzindo-se o erro residual entre a órbita observada e a órbita

dada pelo modelo dinâmico utilizado.

Figura. 3.1 Órbita observada e órbita modelada.

FONTE: Adaptada de Bertiger et al (1994).

Fliegel et al (1992), para o caso particular do satélite

TOPEX/POSEIDON, utilizou o modelo dinâmico “JOINT GRAVITY MODEL-2”

(JGM-2), enquanto que o modelo usado pelos satélites GPS, neste

experimento, continha somente duas componentes: o modelo do campo

22

gravitacional JGM-2 de ordem 12 e o modelo da força de radiação solar

conhecido como T10 e T20.

Quando se utiliza um modelo dinâmico com um grande número

de parâmetros, o movimento orbital do satélite é restringido pelo modelo

dinâmico. As deficiências daquele modelo podem resultar em grandes erros na

determinação da órbita, uma vez que as componentes do vetor de estado são

fracamente observadas porque o processo dos mínimos quadrados conduz os

erros do modelo àquelas componentes (MELBOURNE et al, 1994).

O modelo completo necessita de um maior número de satélites

observáveis da constelação GPS e, para um satélite posicionado a baixa

altitude, este número é reduzido sobremaneira, tornando difícil a modelagem

da força de atração gravitacional terrestre e o arrasto aerodinâmico. Tudo isso

diminui a precisão da determinação da órbita. Esses dados foram observados

por Willian G. Melbourne e outros, do “Jet Propulsion Laboratory” (JPL), na

Califórnia, em suas experiências com o TOPEX/POSEIDON.

Uma alternativa que vem sendo bastante utilizada, no sentido de

minimizar os erros na determinação de órbita com o receptor GPS, é a adoção

de um método denominado de DINÂMICA REDUZIDA, cuja descrição será

mostrada a seguir.

3.2.2 Método da dinâmica reduzida

Esta técnica permite combinar o método de determinação

dinâmico com o não dinâmico (geométrico), onde se utiliza apenas as

informações de posição obtidas através do receptor GPS.

No caso da dinâmica reduzida, pode-se ou não subtrair alguns

elementos perturbadores do modelo dinâmico, dependendo da experiência a

23

ser realizada e do que se pretende depreender dela. Esta redução se deve

também ao fato de que os coeficientes das expansões em série, passam a ter

certa ponderação ou peso em relação aos demais.

O principal atrativo da dinâmica reduzida está na combinação

entre o método dinâmico e o não dinâmico, uma vez que este descarta as

informações associadas ao modelo dinâmico, o que torna possível a redução

dos erros na determinação de órbita e também reduz a complexidade do

processo da solução. Embora ambos os métodos tenham o seu valor

independentemente, uma combinação entre eles pode ser bastante proveitosa.

Existem situações onde o método geométrico é bom e o dinâmico

não. Então um acréscimo de informações dinâmicas não justifica a pequena

melhoria de precisão, devido à sua complexidade. Por outro lado, em situações

onde o geométrico é ruim e o dinâmico bom, um acréscimo de informações

dinâmicas pode conduzir a uma substancial melhora de precisão (WU et all,

1991).

Portanto, a técnica da dinâmica reduzida contempla a utilização

dos dois métodos, dinâmico e não dinâmico, onde cada um tem o seu peso

apropriado.

A ponderação sobre as informações dinâmicas é controlada

através do ajuste dos parâmetros de ruído representados por uma força fictícia

em 3 dimensões, ou seja: a = aG + aD +aO + aF , onde a aceleração total (a) é

dada pelo somatório do geopotencial (aG), arrasto aerodinâmico (aD), outras

perturbações (aO) e uma força em três dimensões (aF).

A solução dinâmica baseia-se no ajuste de um conjunto mínimo

de parâmetros, preservando-se ao máximo o peso dos dados e produzindo o

mínimo de erros formais gerados pelos ruídos. Porém, esse método pode

24

sofrer grandes erros provenientes da má modelagem de alguns parâmetros

dinâmicos. Já o modelo geométrico ou cinemático, elimina completamente o

erro de modelagem, uma vez que é baseado apenas nos dados de observação

da órbita. Portanto, seus erros podem crescer imensamente (WU et all,1991).

O que se faz para conseguir uma modelagem de dinâmica

reduzida é utilizar um filtro sequencial de Kalman aliado a uma análise de

covariança. Desta forma, permite-se a combinação das duas técnicas,

dinâmica e geométrica, tendo como produto final a redução do erro global,

aumentando assim a precisão na determinação da órbita para algo em torno

de alguns centímetros em esquemas mais sofisticados (WU et all, 1991).

3.2.3 Método geométrico ou cinemático

Este é o método mais simplificado para a determinação da órbita

de um satélite. É uma técnica que não requer nenhuma modelagem dinâmica,

ou seja, não leva em conta informações sobre o geopotencial, arrasto

aerodinâmico ou qualquer outro tipo de perturbação. Baseia-se apenas nas

informações instantâneas de posição e, por conseguinte não necessita de

implementações computacionais complexas.

O método geométrico pode ser usado onde não se demande

precisão da ordem de centímetros. Em geral, ele permite um posicionamento

com uma precisão que vai de dezenas a centenas de metros.

O erro introduzido por este método deve-se basicamente a erros

advindos do sistema GPS e erros do receptor do satélite usuário. O sistema

GPS produz duas fontes básicas de erros oriundos do SA (“Selective

Availability”), qual sejam: erros de corrupção do relógio GPS e erros nas suas

efemérides transmitidas. O receptor do usuário, por outro lado, apresenta

25

erros devido à deriva do seu oscilador.

A Figura 3.2 fornece a idéia básica de como se determina a

posição de um satélite, utilizando o método geométrico.

GPS1

GPS2

GPS3

USU

r2

r3r1(X1,Y1,Z1) (X3,Y3,Z3)

(X2,Y2,Z2)

(x,y,z)

Terra

Figura. 3.2 Determinação de posição utilizando GPS.

Numa situação ideal, sem deriva do receptor, obtém-se um

sistema de três equações a três incógnitas. Daí pode-se determinar a posição

do receptor do satélite a cada instante desejado. Essas equações são as

seguintes:

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]

r X x Y y Z z

r X x Y y Z z

r X x Y y Z z

1 1

2

1

2

1

21

2

2 2

2

2

2

2

21

2

3 3

2

3

2

3

21

2

= − + − + −

= − + − + −

= − + − + −

(3.4)

onde ri , i = 1,2,3 é a distância entre o satélite usuário, de coordenadas x,y,z; e

o i-ésimo satélite GPS, de coordenadas Xi ,Yi , Zi.

26

A partir das informações dos valores de Xi, Yi, Zi, fornecidas ou

pela mensagem transmitida, ou através das efemérides precisas do

“International GPS Geodynamics Service” - IGS (Serviço Internacional de GPS

para Geodinâmica) pode-se determinar as coordenadas de posição (x, y, z) do

satélite. Porém, para a obtenção de resultados mais precisos, são utilizados no

mínimo 4 satélites da constelação GPS para se determinar a constante de

tempo too que representa o erro de sincronização do relógio do satélite usuário.

Desta forma, usa-se o sistema formado pelas quatro equações e quatro

incógnitas mostrado abaixo:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]C t t D X x Y y Z z− = = − + − + −0 1 12

12

12

1 2 (3.5)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]C t t D X x Y y Z z− = = − + − + −0 2 22

22

22

1 2 (3.6)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]C t t D X x Y y Z z− = = − + − + −0 3 32

32

32

1 2 (3.7)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]C t t D X x Y y Z z− = = − + − + −0 4 42

42

42

1 2 (3.8)

Como se está considerando um satélite em órbita baixa, a partir

de quatro satélites GPS pode-se ter uma boa precisão na determinação de sua

posição. Como se pode notar, a álgebra envolvida é bastante simples, bem

como computacionalmente não existe qualquer complexidade. Os problemas

que surgem neste método estão relacionados à escolha dos 4 satélites GPS

melhor posicionados geometricamente que produzem a maior precisão.

As Figuras 3.3 e 3.4 fazem, respectivamente, uma ilustração

qualitativa e quantitativa entre os métodos dinâmico, reduzido e geométrico, e

os resultados alcançados por cada um deles.

27

Figura. 3.3 Comparação qualitativa entre os métodos dinâmico, reduzido e

geométrico.

FONTE: Wu et al (1991)

Figura. 3.4 Comparação quantitativa entre os métodos dinâmico, reduzido e

geométrico.

FONTE: Wu et all (1991)

Conforme se pode notar pela Figura 3.3, o método dinâmico

tende a “suavizar” a órbita verdadeira, aproximando-a da órbita estimada. Já a

Figura 3.4 mostra que os erros introduzidos pelo modelo geométrico resultam

num erro maior na determinação de órbita do que quando se utiliza o modelo

de dinâmica reduzida.

28

Em outras palavras, observando-se a amplitude do erro residual,

este é bastante reduzido pelo método dinâmico, se comparado com o método

geométrico; contudo o método da dinâmica reduzida aproxima sobremaneira a

órbita verdadeira da órbita estimada.

Deve-se ter em mente que o tipo de método a ser escolhido

depende do tipo de missão que se tem em estudo, das “ferramentas”

disponíveis, dos objetivos pretendidos, da precisão que se deseja nas

medidas, no nível de erros admissíveis. Enfim, depende de uma série de

considerações que devem ser levadas em conta quando se pretende

determinar a órbita de um satélite.

3.3 Teorias de estimação

A teoria de estimação, como a própria palavra já define, trata da

estimação de um fato a partir de dados observados ao longo de um

determinado período de tempo.

A teoria de estimação (LIEBELT, 1967) se aplica em várias áreas,

tais como: economia, física, química, engenharia em suas diversas

especialidades, biologia, enfim, em todos os campos onde se deseja ou se

pretende conhecer melhor o fenômeno.

No caso da área aeroespacial, pode-se, por exemplo, lançar uma

sonda espacial, acompanhar sua trajetória orbital, gravar ou armazenar esses

dados, estimar sua posição atual no espaço e então predizer sua posição

futura.

O problema geral de estimação pode ser formulado da maneira

descrita nos parágrafos abaixo.

29

Considera-se X como sendo o vetor cujas componentes são as

variáveis a serem estimadas. Ele é assumido como sendo uma função de um

θθθθ, que corresponde às observações realizadas. No caso de θθθθ ser uma função

contínua do tempo, suas componentes constituem vários tipos de dados

contínuos e temos o problema de estimação contínua. No caso das

observações serem realizadas em tempos discretos, temos o problema de

estimação discreta e, as m componentes de θθθθ representam diferentes tipos de

dados em um mesmo ou em diferentes instantes de tempo. Em qualquer caso,

é assumido que existe uma função conhecida que relaciona θθθθ com o vetor X,

ou seja:

θθθθ = θθθθ(X) (3.9)

Por outro lado pode-se analisar o problema da estimação

não linear, que consiste na estimação do vetor X baseado em um conjunto de

observações de θθθθ.

Um bom exemplo deste problema é a aplicação espacial,

conforme já citado anteriormente, onde o vetor X representa o estado (posição

e velocidade) de uma sonda espacial em um determinado tempo t0, podendo

incluir também mais uma constante física. O vetor de observação consiste em

um conjunto de medidas de distância, taxa de variação de distância e de

ângulos relativos a um dado radar de rastreio. Podemos então estimar o

estado (posição e velocidade) X(t0) inicial da sonda e as constantes físicas e

então prever a sua órbita futura.

Em geral, problemas de estimação como o mostrado acima são

de difícil solução, seja analítica ou numericamente. Isso ocorre porque não

existe uma única solução, uma vez que existem várias estimativas para o

problema. Qual a solução escolhida irá depender do critério de estimação

adotado.

30

Desde que a estimação geralmente implica em um erro entre o

valor verdadeiro ou nominal e os valores decorrentes do processo de

estimação, é natural tentarmos minimizá-lo (LIEBELT, 1967).

Pode-se ter um estimador que se utiliza da teoria do filtro de

Kalman ou da teoria dos mínimos quadrados. Para o caso da solução do nosso

problema de determinação de órbita utilizando a solução de navegação do

GPS, adotamos a teoria dos mínimos quadrados como método de

determinação de órbita.

Para verificar a viabilidade do procedimento, utiliza-se a teoria de

mínimos quadrados por ser um processo mais robusto. Dependendo do uso

pode-se optar pelo melhor procedimento para cada caso. Assim, no caso de

navegação autônoma, usar-se-á naturalmente, o filtro de Kalman por ser um

estimador de tempo real. Se a determinação de órbita for realizada “off-line”

em computadores em terra, pode ser preferível o método dos mínimos

quadrados, que produz um resultado estatístico mais suave.

3.4 Teoria básica de Mínimos Quadrados

Estimação de órbita é um problema de grande importância no

que tange à órbita de satélites artificiais. Ela envolve a comparação entre as

observações realizadas por estações de rastreio e a órbita predita ou

propagada, obtida a partir de um modelo matemático (KONDAPALLI, 1987).

Neste caso o método dos mínimos quadrados pode ser visto

como um procedimento numérico que trata dos dados observados da trajetória

do satélite para obter uma estimação dos parâmetros do mesmo.

Discorrem-se agora alguns conceitos sobre a teoria dos Mínimos

31

Quadrados.

Fa-se x e y dois vetores reais de forma que representem um

estado físico e um estado observável de um sistema dinâmico. Desta forma

podemos assumir que y é relacionado a x através de uma Função Vetorial do

tipo:

y f x= ( ) (3.10)

Considerando que qualquer processo de observação envolve

imperfeições que não podem ser modeladas de uma maneira determinística,

assume-se que as imperfeições observadas em y são modeladas de maneira

randômica e representadas por um vetor n . Assim sendo, a equação anterior

fica na forma:

y f x n= +( ) , (3.11)

que é denominada de equação não linear regressiva.

O objetivo é tentar estimar um valor de x que minimize a soma

ponderada do quadrado dos resíduos da observação, entre a observação atual

e a observação computada a partir da utilização de um modelo matemático.

Obviamente que está implícito se assumir que o modelo matemático apresenta

uma precisão suficiente.

Matematicamente, existe uma quantidade escalar dada por:

[ ] [ ]Q x y f x W y f xT( ) ( ) ( )= − − (3.12)

onde W é a matriz peso e Q é a função custo a ser minimizada.

32

No processo de minimização, uma informação a priori de

estimação do estado x zero é assumido ser conhecido. O desvio de x 0 a partir

do valor nominal do estado é considerado como sendo de média zero e sua

matriz de covariança é assumido também ser conhecida (NASA, 1976).

A condição necessária para minimizar Q x( ) com relação à x é a

derivada parcial em relação à x que dever ser zero, ou seja:

∂∂ Q

x= 0 (3.13)

Desta maneira, o valor de x que minimiza Q é a raiz da equação:

[ ) ]∂∂

∂∂

Q

xy f x W

f

xT= − − =2 0( (3.14)

Uma maneira de solucionar a Equação 3.14 é fazendo sua

linearização, isto é, expandindo f ( )x numa Série de Taylor em torno de x 0 e

extraindo os termos de primeira ordem. Assim procedendo, temos:

( ) ( )f x f x H x = +0 ∆ (3.15)

onde:

∆ x = −x x0 (3.16)

e

33

Hf

x x x

=

=

∂∂

0

(3.17)

onde H é uma matriz m x p das derivadas parciais de ( )f x com relação a x ,

avaliado em x x= 0.

Substituindo o valor de ( )f x da equação 3.15 na Equação 3.11,

tem-se:

( )y f x H x n= + + 0 ∆ (3.18)

ou

( )∆ ∆y y f x H x n= − = + 0 (3.19)

Consequentemente, usando a Equação 3.15 e 3.19, a forma

linearizada da equação 3.14 fica:

( )[ ] ( )( )− − − +

=2 00 0 W

y f x H x

xf x H x∆ ∆∂

∂ (3.20)

ou seja:

( )− − =2 0 ∆ ∆y H x W T

(3.21)

ou

( )− − =2 0 ∆ ∆y H x W HT

(3.22)

34

Resolvendo a Equação 3.22 para ∆x , obtém-se a melhor

estimação ∆x de ∆x , como pode ser visto a seguir:

( )∆ ∆x H H W yT T=−

W H1

(3.23)

Esta é a correção diferencial feita em x0 , no sentido de melhorar

a estimação, isto é:

x x0= + ∆x (3.24)

Convém notar que tanto x como x0 são valores de um mesmo

instante de tempo.

Agora, para a linearização ser válida, ∆x deve ser bem pequeno

em qualquer sentido. Em outras palavras, a estimação feita a priori ( )x0 , deve

ser suficientemente próxima para um valor nominal de x . Consequentemente,

se ∆x é consideravelmente “largo”, o processo é repetido iterativamente

através de um método numérico do tipo Newton Raphson para cada tempo,

para a última estimação de x , tomando como referência a estimativa a priori de

x0 . O processo de iteração tem continuidade até que a magnitude da correção

diferencial ∆x seja menor que um valor previamente especificado.

Por definição, para a matriz W, é usualmente feita a hipótese de

que as observações feitas por uma estação de rastreio num dado tempo, não

são espacialmente correlacionadas, e que as medidas de diferentes tempos

também não são correlacionadas ao tempo. Desta forma, supondo que a

covariança do vetor ruído das observações é conhecido, o peso da matriz é

equacionado para o inverso da matriz de covariança da medida dos erros, ou

seja, a matriz assume uma forma diagonal do tipo:

35

W =

1

1

1

2

2

2

σ

σ

σ

(3.25)

onde 12σ

é a variança da componente n da medida dos erros, correspondente

a medida de y (KONDAPALLI, 1987).

Em problemas de estimação de órbita, W é considerado diagonal,

uma vez que a covariança dos elementos (fora da diagonal) da medida dos

erros é raramente disponível (NASA, 1976). O inverso da matriz H WHT na

equação 3.23 é a matriz de covariança dos erros em x .

3.5 Mínimos Quadrados com informação a priori, incluindo o Modelo

Dinâmico.

Pretende-se utilizar o método dos “Mínimos Quadrados” como

ferramenta matemática, para se obter os elementos Keplerianos a, e, I, ω, Ω e

M, ou um conjunto equivalente, a partir das informações de posição (x,y,z),

chamada solução de navegação do satélite usuário.

A idéia dessa formulação é supor que uma sequência da solução

de navegação está disponível, bem como suas covarianças.

Para tanto, parte-se do modelo dado pela Equação 3.26, a seguir:

y H X Vk k k k = + (3.26)

36

onde:

yk é o vetor de medidas contendo a solução de navegação, no

instante tk .

Xk é o vetor de estado da órbita com as componentes de posição

e velocidade, que se desejar encontrar.

Vk é o vetor de erros, ou seja, a informação dada pela covariança

da solução de navegação.

Logo, Hk = [ ]I 3 x3 3 X3 O M , e as estatísticas de vk são:

[ ][ ]

E v 0

E v v R

k

k kT

k

=

= (3.27)

A dinâmica aplicada ao problema é do tipo:

( )&X f X= (3.28)

onde, f é a função não linear vetorial que descreve o modelo da propagação da

órbita.

Deseja-se estimar a órbita $X0 no instante “t0”, de forma a ajustar

a solução de navegação y0, yk, yf com o menor erro possível. Uma das

soluções mais usuais pode ser obtida utilizando-se o método dos mínimos

quadrados, através da minimização da função custo “L”, expressa pelo

quadrado dos resíduos e levando-se em conta a qualidade da informação a

priori (estimativa inicial).

Essa condição é dada por (Kuga, 1992):

37

( ) ( )( ) ( )L y Hx W y H x x x P x xT= − − − −− −$ $01

01

0 (3.29)

cuja solução é dada por:

( ) ( ) ( )( )$ $ $x H W H P H W y Hx P x xT T= + − + −− − −0

1 1

01

0 (3.30)

que pode ser convenientemente adaptada para o problema não linear.

A matriz H é dada por:

H

H

H

H

h

K K

F F

=

0

1 1 0

0

0

Φ

Φ

Φ

,

,

,

M

M

(3.31)

onde:

H0 = H1 = Hk = Hf = [ ]I x x3 3 3 30 M (3.32)

e φK,0 é a matriz de transição entre os instantes t0 e tK, correspondente ao

modelo dinâmico adotado na Equação 3.28.

W = R-1

P0 = Covariança inicial

x0 = Estimativa inicial

x = Estado estimado

38

Esse método possui várias vantagens tais como, simplicidade,

facilidade de implementação, etc. Porém uma das maiores vantagens é que

ele permite uma determinação de órbita a bordo do satélite, utilizando-se da

seguinte estratégia:

1) Implementa-se o modelo adotado no computador de bordo, até um

grau que seja compatível com a precisão desejada para a determinação

da órbita e com a capacidade do hardware disponível;

2) Obtêm-se os dados recebidos pelo receptor GPS que está embarcado

no satélite e passa-se esses valores para a estação terrestre;

3) Com esses dados, é realizada a carga de computação mais pesada do

experimento, que é a determinação dos coeficientes do modelo adotado;

4) A seguir, esses coeficientes são enviados ao satélite, que pode então

conhecer a sua própria órbita. Esses coeficientes devem ser atualizados

periodicamente ou em tempo real, para se manter um nível de precisão

satisfatório na determinação de órbita.

39

CAPÍTULO 4

MÉTODO UTILIZADO

4.1 Introdução

Conforme já descrito anteriormente, o método desenvolvido neste

trabalho é simplificado e de baixa precisão, porém adequado às necessidades

do INPE. Dentre os vários métodos existentes para a determinação de órbita,

escolheu-se o mais simples, ou seja, utilizar o método geométrico ou

cinemático para gerar uma sequência de soluções de navegação, e então usar

estas soluções para determinar completamente a órbita.

Para o desenvolvimento deste método, utiliza-se como base a

teoria dos mínimos quadrados, apresentada no Capítulo 3, Seções 3.4 e 3.5.

4.2 Desenvolvimentos do Programa

A primeira parte deste problema consiste na propagação das

órbitas dos satélites GPS e do satélite denominado “usuário”, para a qual

utiliza-se um software propagador de órbita existente no INPE. Os dados de

entrada do propagador são mostrados na Tabela 4.1. Esses dados são os

elementos Keplerianos conhecidos dos 24 satélites que compõem a

constelação do GPS e do satélite usuário. Esses dados não são

necessariamente os exatos, porém respeitam as especificações da

constelação GPS e para o caso do satélite usuário, estes dados correspondem

à órbita nominal e o valor correto é obtido a partir da solução do problema

proposto.

40

Tabela 4.1 elementos keplerianos a serrem propagados.

SAT a

(Km)

e

(graus)

I

(graus)

ΩΩΩΩ

(graus)

ωωωω

(graus)

ΜΜΜΜ

(graus)

GPS1 26000 0 55 0 0 0

GPS2 26000 0 55 60 0 0

GPS3 26000 0 55 120 0 0

GPS4 26000 0 55 180 0 0

GPS5 26000 0 55 240 0 0

GPS6 26000 0 55 300 0 0

GPS7 26000 0 55 0 0 90

GPS8 26000 0 55 60 0 90

GPS9 26000 0 55 120 0 90

GPS10 26000 0 55 180 0 90

GPS11 26000 0 55 240 0 90

GPS12 26000 0 55 300 0 90

GPS13 26000 0 55 0 0 180

GPS14 26000 0 55 60 0 180

GPS15 26000 0 55 120 0 180

GPS16 26000 0 55 180 0 180

GPS17 26000 0 55 240 0 180

GPS18 26000 0 55 300 0 180

GPS19 26000 0 55 0 0 270

GPS20 26000 0 55 60 0 270

GPS21 26000 0 55 120 0 270

GPS22 26000 0 55 180 0 270

GPS23 26000 0 55 240 0 270

GPS24 26000 0 55 300 0 270

USU 7378 0 65 0 0 0

41

Este método é baseado na obtenção da distância (pseudo-

range) entre o satélite usuário e os satélites GPS, através de um algorítmo

computacional. Esses dados são “corrompidos” por uma sequência numérica

aleatória, criando uma medida de distância com um erro aleatório de

distribuição Gaussiana com desvio-padrão 100 m e média nula. A partir de

então elabora-se um algorítmo baseado na teoria de estimação, que nos dará

os parâmetros que definem o modelo da órbita do satélite, dando origem a um

software capaz de permitir uma série de simulações, provendo resultados

numéricos que, comparados com os dados iniciais de órbita, possam validar o

método e determinar a acuidade da solução do problema.

A Figura 3.2 do Capítulo 3.1.3, bem como as três equações a três

incógnitas que a seguem, mostram a idéia básica de como se determina a

posição ou solução de navegação de um satélite, a cada instante, pelo método

geométrico.

A partir dos dados fornecidos pelo software propagador, foi criada

uma rotina em linguagem “FORTRAN”, denominada “PROGRAMA SIMULA”

que, com a introdução de um erro aleatório com distribuição Gaussiana, torna

possível conhecer a distância entre o satélite usuário e cada satélite GPS em

cada instante de tempo fornecido pelo propagador, em relação ao sistema

inercial. Essas distâncias são dadas pela equação:

ρρρ

ρ

υυυ

υ

1

2

3

1

2

3

1

2

3

M M M

n n n

h x y z

h x y zh x y z

h x y z

=

+

( , , )

( , , )( , , )

( , , )

(4.1)

42

ou, em notação vetorial:

y = h + νννν (4.2)

onde:

y = [ρ1, ρ2, ρ3,..., ρn] é o vetor de observação, h é o vetor relativo

às observações da solução de navegação e νννν é o vetor das medidas dos

erros Gaussiano.

De posse desses dados, elabora-se outra rotina em linguagem

“FORTRAN”, denominada “PROGRAMA ESTIMA”, onde a ferramenta

matemática utilizada foi a teoria dos mínimos quadrados, cujo objetivo é

encontrar a solução de navegação (x, y, z) do satélite usuário para cada

instante de tempo “t” da propagação, também referenciado ao sistema inercial.

Este passo simula a obtenção da solução de navegação do receptor GPS. A

solução computacional matemática é encontrada através da expansão da série

de Taylor de primeira ordem, ou seja:

y hx x x

x= +

+

−0

0

∂∂

υ h

∆ (4.3)

ou

∆ ∆y xH = + υ (4.4)

cuja solução é dada por:

43

( )∆ ∆xT T

yH H=−

W H W 1

(4.5)

onde “W” é o inverso da matriz de covariança das medidas dos erros, que é

dada por:

W =

1

1

1

2

2

2

σ

σ

σ

(4.6)

Uma vez obtida a solução de navegação, dada pelo programa

estima, esta é comparada com a solução dada pelo programa simula, ou seja,

compara-se a solução estimada com a solução simulada (que é assumida

como sendo a solução verdadeira). Essa comparação é feita através do erro

de posição, a saber:

( ) ( ) ( )[ ]∆r x x y y z z= − + − + −$ $ $2 2 2

1

2 (4.7)

onde:

(x, y, z) são as componentes da posição atual ou posição

simulada e ( )ˆ,ˆ,ˆ zyx são as componentes da solução de navegação.

Procede-se ainda a uma análise estatística da raiz média

quadrática, ou seja, “Root Mean Square” (RMS), do tipo:

média =1

k∆ r

i

k

=∑

1, (4.8)

44

onde:

“k” é o número de instantes amostrados na propagação e

σ( )

=−∑

−

= ∆r media

k

ii

k

1

21

2

1 (4.9)

é o desvio padrão em função da média das medidas.

Em função da análise estatística acima, pode-se verificar na

Figura 4.1 que, para o caso do método adotado para o problema, o erro médio

está em torno de 89 m, para uma distribuição Gaussiana com desvio-padrão

de 100 m para as medidas de pseudo-range. Portanto a solução de navegação

apresenta erros compatíveis com os do receptor GPS. Porém, nota-se ser a

média um valor um tanto alto, caracterizando certa tendência (média não nula).

Esta tendência deverá ser retirada com a introdução de um modelo dinâmico

que possibilitará melhorar a estatística da solução de navegação (Capítulo 5).

45

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50t(hours)

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

r(K

m)

Figura. 4.1 - Erro médio

A partir do vetor posição ( )$r fornecido pelo estimador e usando a

matriz de covariânça dada por ( )H W HT −1, estabelece-se a “cov ( )r ”, ou seja:

cov ( )rx

y

z

=

σσ

σ

2

2

2

(4.10)

que será da maior importância para o próximo passo do problema.

A parte final desse problema é a determinação de órbita do

satélite usuário, a partir da solução de navegação. Esta fase é implementada

primeiramente modelando-se o movimento orbital através das equações

diferenciais (Goldstein, 1980) para posição e velocidade, conforme mostrado a

seguir:

46

&r v = (4.11)

&vr

rP= − + µ

3 , (4.12)

onde “P” é a perturbação dinâmica a ser introduzida. Essa perturbação inclui o

termo de achatamento terrestre referente à “J2” e vale:

e a aceleração segundo os três eixos é dada por (Bates, 1971):

&& &&y =

y

yx

x δ φδ

=

Usando agora uma matriz de transição do tipo:

47

&φ φ= F (4.13)

onde:

F = ∂∂ f

x (4.14)

e, “f “ sendo o segundo membro das equações diferenciais de movimento,

pode-se computar “φ” através de rotina “FORTRAN” existente no INPE (Kuga,

1986).

Finalmente, como a ferramenta matemática usada na estimação

foi a teoria dos mínimos quadrados, esta é novamente utilizada, no sentido de

completar a determinação da órbita.

No passo anterior, usaram-se os pseudo-ranges como dado de

entrada para o estimador, para encontrar a solução de navegação ( )$ , $ . $x y z .

Agora, a partir de uma nova rotina em linguagem “FORTRAN” denominada

“PROGRAMA GPSORDET” e, utilizando a solução de navegação, alimenta-se

o estimador, conforme algorítmo matemático abaixo:

y H x= + υ (4.15)

y

x

y

z

=

$

$

$

, e (4.16)

xr

v=

(4.17)

então:

48

yI O r

vx x=

3 3 3 3 . + υ (4.18)

A solução matemática computacional do “GPSORDET” é similar

à forma:

( )∆ ∆x H W H H W yT T=−1

, · (4.19)

onde “W” é o inverso da covariança da solução de navegação, ou cov ( )r e “H”

é computado por:

H H t t t= ( ) ( , ) φ 0 (4.20)

Para realizar a carga computacional do programa “GPSORDET”

nessa fase final, foram necessários alguns recursos extras conforme descritos

abaixo:

1. Como esse estimador é um estimador de época, uma vez que

ele leva em conta as informações de posição a cada instante de tempo

fornecidas pelo propagador, para a solução da equação diferencial do

movimento orbital era necessária a informação da velocidade. Dividiu-se pelo

“∆t” entre o instante inicial e o instante seguinte a diferença entre os dois

vetores de posição correspondentes para se obter a estimativa inicial de

velocidade.

2. Para que se tenha uma referência da convergência do filtro

que utilizamos, usamos como “estimativa inicial”, os valores de posição exatos,

fornecidos pela solução de navegação.

49

3. Como se trata de um filtro que utiliza a teoria dos mínimos

quadrados e, no nosso problema partiu-se de um informação inicial para

verificar a convergência do mesmo e validar o método como aplicativo para

determinação de órbita, utiliza-se a solução com informação a priori conforme

mostrado a seguir:

( )∆ ∆ ∆X O XTP P H y

O= +−1 (4.21)

sendo “P” dado pela covariança, ou seja:

( )P P HOT= +− −1 1 W H (4.22)

Com esses dados em mãos, comparam-se os mesmos com a

órbita simulada e encontra-se uma precisão satisfatória, ou seja, um resíduo

pequeno, ou uma sugestão de correção pequena na órbita do satélite usuário.

Uma outra solução para o problema da determinação de órbita,

que é um problema não linear, seria a adoção de um filtro estendido de

Kalman, uma vez que o filtro de Kalman propriamente dito só é utilizado para

problemas lineares. Porém esse trabalho se propõe à utilização de um filtro

que utiliza a teoria dos mínimos quadrados para a determinação de órbita de

um satélite.

Os testes e resultados obtidos com a utilização do método aqui

apresentado, são mostrados no Capítulo 5, a seguir.

51

CAPÍTULO 5

TESTES E RESULTADOS

5.1 Introdução

Neste capítulo faz-se uma breve abordagem sobre a sequência

do modelo desenvolvido, sobre os testes realizados, e a motivação para os

mesmos. No final apresentam-se os resultados obtidos.

Considerando-se que a constelação dos satélites GPS é

constituida por 24 satélites, e que também se tem o satélite denominado

usuário (USU), tem-se então um conjunto de 25 grupos de elementos orbitais,

que são mostrados na Tabela 5.1. Utilizando então um software propagador de

órbita, que nada mais é que um integrador numérico, existente no INPE,

procede-se à propagação de todas essas órbitas para obter-se a chamada

órbita de “referência” ou, órbita “real”. Através dessa mesma pode-se obter a

posição de todos os satélites, e com isso calcular a pseudo-distância entre o

satélite USU e os satélites GPS visíveis em cada instante de tempo. Foi

utilizado um período de propagação de duas horas e meia, tendo como

referência o sistema inercial.

Para que as observações acima possam ser geradas, procede-se

inicialmente a um teste de visibilidade. Este teste é feito da seguinte maneira:

considera-se o raio da Terra (6378 km), mais 1000 km altitude, ou seja, como o

satélite USU está a aproximadamente 1000 km de altitude, ele orbita em uma

52

circunferência de raio igual a 7378 km. Utilizando-se a Lei dos cossenos, na

Figura 6.1, que mostra a geometria do critério de visibilidade, temos:

c2 = a2 + b2 - 2abcosC, (5.1)

o que implica em:

r2USU = r2

GPS + r2GPS - USU - 2rGPSrUSUcosα (5.2)

Portanto se “cos α“ for maior ou igual a 0, o satélite é visível. A

Figura 5.1 ilustra a geometria utilizada para o critério de visibilidade adotado.

Este critério de visibilidade adotado, não é um caso genérico, sendo válido

apenas para o objeto deste trabalho.

a

αGPS

USU

c

b

Figura. 5.1 - Geometria do critério de visibilidade.

Esta órbita real, ou simulada é a que se deseja estimar.

Inicialmente, ela é corrompida com uma distribuição de erro aleatório de forma

Gaussiana, de média zero e desvio-padrão 100 m. Portanto, uma vez

estimada, através da utilização da teoria dos mínimos quadrados, conforme

53

mostra o Capítulo 4, tem-se a solução de navegação (x, y, z) do satélite USU,

fornecida pelos satélites GPS.

5.2 Testes realizados

Para verificar a validade do método adotado, considera-se três

diferentes casos como situações de teste. Os critérios de avaliação, ou seja,

magnitude de convergência menor ou igual a 10-3 e comparação estatística

entre a órbita determinada e a órbita real em posição e velocidade são os

mesmos para todos os casos, e são dados pelas expressões:

∆ r = rr r− $ (5.3)

∆ v = rv v− $ (5.4)

A órbita nominal para fins de comparação e válida para todos os

testes realizados é dada por:

x = 8380909.596747757000000 m

y = 0 m

z = 0 m

&x = 0 m/s

&y = 2914.044234420885000 m/s

&z = 6252.130578948022000 m/s

Para todos os testes realizados, foi considerado o seguinte chute

inicial (initial guess) para o estimador de época:

54

x = 8380996.232700340 m

y = -19.8629494000000 m

z = 42.5419369000000 m

&x = -170.904721981660 m/s

&y = 2913.27694700833 m/s

&z = 6250.11272529667 m/s

Faz-se também uma avaliação dos resíduos entre a órbita

determinada e a órbita estimada.

CASO 1:

Para a verificação deste caso, considera-se o modelo completo

que abrange a dinâmica kepleriana e a influência da perturbação dada pelo

acréscimo do coeficiente J2.

Os valores das condições iniciais (x) para os quais o filtro

converge são:

x = 8380917.31014205 +/- 3.086977041199168 m

y = -2.58044569073820 +/- 5.167577768713008 m

z = 25.5608669353269 +/- 6.804185119768414 m

&x = -0.0150251147556692 +/- 5.250553338134865e-03 m/s

&y = 2914.04055433012 +/- 4.41497490745541534e-03 m/s

&z = 6252.12454662966 +/- 2.899491633038913e-03 m/s

De posse das condições iniciais acima e, utilizando o propagador

usado inicialmente, propaga- se a órbita do satélite USU pelo mesmo período

inicial (duas horas e meia). As Figuras 5.2 e 5.3 mostram graficamente uma

estatística comparativa entre a órbita determinada, e a órbita real, em posiição

e velocidade, respectivamente.··.

55

A Figura 5.4 representa os resíduos nas três componentes, em

posição.

0 2000 4000 6000 8000 10000tempo (s)

5

10

15

20

25

30

r (m

)

Dinâmica com J2

Média 13.25857 mDesvio Padrão 4.587671 mMínimo 5.497247 mMáximo 27.04231 m

∆

Figura. 5.2 - Diferença em posição entre a órbita determinada e a órbita real.

56

0 2000 4000 6000 8000 10000tempo (s)

0.000

0.004

0.008

0.012

0.016

0.020

v (m

/s)

Dinâmica com J2

Média 9.959522E-3 m/sDesvia Padrão 3.718844E-3 m/sMínimo 1.968384E-3 m/sMáximo 1.750275E-2 m/s

∆

Figura. 5.3 - Diferença em velocidade entre a órbita determinada e a órbita

real.

0 2000 4000 6000 8000 10000tempo (s)

-200

-100

0

100

200

300

resí

duos

(m

)

eixo x

eixo y

eixo z

Média em x:-5.78715 m Desvio em x: 57.15906 m

Média em y: -0.1605117 m Desvio em y: 47.75606 m

Média em z: -3.129506 m Desvio em z: 62.78432 m

Figura. 5.4 - Resíduos entre a órbita determinada e a solução de navegação.

57

CASO 2:

Para a verificação deste caso, considera-se apenas o modelo

com dinâmica Kepleriana, sem a influência da perturbação dada pelo

acréscimo do coeficiente J2.


converge são

x = 8380449.73085706 +/- 3.084339526579548 m

y = -8117.62119312084 +/- 5.168785361962915 m

z = 3927.77913607858 +/- 6.803153472125756 m

&x = -0.104143520215715 +/- 5.250255899927160e-03 m/s

&y = 2915.57661429720 +/- 4.419144021742756e-03 m/s

&z = 6250.00177260593 +/- 2.900603806359740e-03 m/s


usado inicialmente, propaga-se a órbita do satélite USU pelo mesmo período


estatística comparativa entre a órbita determinada, e a órbita real.


posição.

58

0 2000 4000 6000 8000 10000tempo (s)

0

4000

8000

12000

r (m

)

Dinâmica Kepleriana

Média 4289.138 mDesvio Padrão 3280.034 mMínimo 467.5336 mMáximo 10337.25 m

∆


0 2000 4000 6000 8000 10000

tempo (s)

0

2

4

6

8

10

v (m

/s)

Dinâmica Kepleriana

Média 4.060729 m/sDesvio Padrão 1.658836 m/sMínimo 1.489677 m/sMáximo 8.802444 m/s∆


real.

59

0 2000 4000 6000 8000 10000tempo (s)

-200

-100

0

100

200

300

resí

duos

(m

)

eixo x

eixo y

eixo z

Média em x: -5.695573 m Desvio em x: 57.19154 m

Média em y: -0.1141727 m Desvio em y: 47.76615 m



CASO 3:

Para a verificação deste caso, considera-se o modelo completo

que abrange a dinâmica Kepleriana e a influência da perturbação dada pelo

coeficiente J2. Porém, como este caso tem uma aplicação prática e,

considerando que o satélite USU órbita a Terra a uma altitude de

aproximadamente 1000 km, tem-se então um período orbital de

aproximadamente 90 minutos. Para esta condição, ele é observável por uma

estação durante aproximadamente 15 minutos em cada órbita. Como propaga-

se as órbitas por duas horas e meia, tem-se ai compreendido dois períodos de

observação ou, pequenos arcos de observação ou arcos truncados. No

problema, considera-se como período de observação o instante inicial mais 15

minutos e o instante 90 minutos mais 15 minutos.

60


converge são:

x = 8380952.61700537 +/- 8.093735598830849 m

y = -11.1163865832691 +/- 7.918399800549943 m

z = 35.5822997122667 +/- 8.044964078278619 m

&x = -0.0290088581042734 +/- 1.293691148613574e-02 m/s

&y = 2914.03492808872 +/- 1.002703039715079e-02 m/s

&z = 6252.09997353338 +/- 7.029105542643909e-03 m/s


usado inicialmente, propaga-se a órbita do satélite USU pelo mesmo período


estatística comparativa entre a órbita determinada e a órbita real, em posição e

velocidade, respectivamente.


posição.

0 2000 4000 6000 8000tempo (s)

20

30

40

50

60

r (m

)

Dinâmica com J2 e arcos truncados

Média 36.4002 mDesvio Padrão 9.736613 m Mínimo 21.59861 mMáximo 56.53251 m

∆

61


0 2000 4000 6000 8000

tempo (s)

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

v (m

/s)

Dinâmica com J2 e arcos truncados

Médias 2.546085E-2 m/sDesvio Padrão 5.776629E-3 m/sMínimo 1.786903E-2 m/sMáximo 4.292712E-2 m/s

∆


real.

62

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000tempo (s)

-200

-100

0

100

200

300re

sídu

os (

m)

eixo x

eixo y

eixo z

Média em x: -11.85917 mDesvio em x: 48.79135 m

Média em y: 8.162998 m Desvio em y: 48.73573 m



5.3 Análise dos resultados

Conforme o critério de convergência adotado na Seção 5.2, os

três tipos de testes realizados convergem no terceiro passo de iteração do

integrador. Isso demonstra a robustez do filtro utilizado, ou seja, a teoria de

mínimos quadrados aplicada à solução de um problema não linear, como é o

caso da determinação de órbita, se mostra altamente eficiente e estável se

comparado, por exemplo, ao filtro de Kalman que, embora também eficiente, é

bastante sensível em estabilidade.

Para o teste do caso 1 (Figura 5.2), observa-se que a média do

erro em posição da diferença entre a órbita determinada e a órbita real é da

ordem de 13 m, ficando o desvio padrão em torno de 4,5 m. Já com relação à

velocidade (Figura 5.3), comparando-se as duas órbitas, a média do erro é da

ordem de 10 mm/s, enquanto o desvio padrão está em aproximadamente 4

mm/s.

63

A curva dos resíduos em posição, entre a órbita determinada e a

solução de navegação, nos três eixos (X, Y, Z) está praticamente dentro de

mais ou menos 50 m, apresentando pouquíssimos pontos fora, o que pode ser

perfeitamente desconsiderado.

Para o teste realizado no caso 2, onde se retirou do modelo a

influência da perturbação causada pelo coeficiente de J2 , a média do erro da

diferença entre a duas órbitas, pula para a casa dos 4000 m (Figura 5.5), em

posição, enquanto o desvio padrão é da ordem de 3300 m. Em velocidade

(Figura 5.6), a média do erro é de aproximadamente 4 m/s e o desvio é de 1.6

m/s. São valores bastante ruins, se comparados com os do caso 1. Isto mostra

o quanto é significativa a introdução no modelo da perturbação devido a J2,

tornando a órbita determinada mais próxima da órbita real. O comportamento

dos resíduos (Figura 5.7), em posição está dentro da faixa de mais ou menos

50 m, significando que mesmo com o modelo Kepleriano puro o estimador

consegue resíduos compatíveis.

Os testes realizados no caso 3 simulam uma situação prática,

uma vez que os arcos de observação correspondem aos períodos em que o

satélite usuário é visível por uma estação em terra. Pode-se notar que, para o

caso do erro em posição (Figura 5.8), este é da ordem de 36 m, ao passo que

em velocidade (Figura 5.9), sua média está em torno de 2.5 cm/s. São valores

excelentes, se for considerado que existem apenas dois períodos de

observação dentro do período de propagação, que é de duas horas e meia.

Convém lembrar que este caso adota o modelo completo, ou seja, existe a

influência de J2 no modelo. Obviamente que com um número maior de arcos

de observação, esses valores são reduzidos, pois o estimador passa a ter um

maior número de informações. A curva de resíduos (Figura 5.10), nos

intervalos de observação, apresenta valores semelhantes aos casos

anteriores, indicando consistência estatística.

64

Pode-se concluir que os testes realizados são suficientes para

verificar a funcionalidade do método, não obstante que outras situações podem

ser verificadas, uma vez que seu comportamento supera as expectativas

quanto a minimização dos erros entre a órbita determinada e a órbita real.

65

CAPÍTULO 6

COMENTÁRIOS FINAIS

Em face dos resultados apresentados, conclui-se que a adoção

do software desenvolvido neste trabalho é bastante eficiente, atinge os

objetivos pretendidos e confirma a aplicação da teoria dos mínimos quadrados,

como ferramenta matemática, na solução de problemas não lineares como o

aqui apresentado. Certamente que, o uso de um modelo mais preciso, vai

depender dos objetivos da missão e de quanto se deseja em termos de

acuidade na precisão das medidas relativas ao acompanhamento da órbita do

satélite. Uma vez que ponderações dinâmicas adicionais (perturbações) podem

ser introduzidas no modelo objeto deste trabalho, podendo-se refinar mais as

medidas obtidas e minimizar as diferenças entre a órbita determinada e a

órbita real.

Como esse trabalho é uma linha de pesquisa, fruto de um dos

projetos do INPE, acredita-se ser possível sua implementação a bordo de

futuras missões, conforme anunciado na introdução. Obviamente que deve-se

levar em conta o que foi exposto no parágrafo anterior. De qualquer forma, o

objetivo de se propor uma solução para o problema da determinação de órbita

foi alcançado e, de maneira bastante satisfatória, uma vez que o propósito era

lançar mão de um método simples, de baixa precisão, baixo custo e de fácil

implementação, que seja no que diz respeito a hardware ou a software.

Uma proposta para futuras explorações deste trabalho, seria a

sua implementação utilizando-se, por exemplo, o filtro estendido de Kalman, a

teoria hodográfica, o oscilador harmônico regularizado ou uma modelagem que

incluísse outras perturbações. Também deve ser considerada a possibilidade

66

de se fazer um controle de altitude, ou ainda, a partir do método aqui

desenvolvido, provê-lo de recursos computacionais a fim de torná-lo capaz de,

uma vez embarcado em um satélite, proceder a uma auto correção da órbita

desse satélite.

Todas as rotinas computacionais aplicadas a esse trabalho foram

desenvolvidas em linguagem FORTRAN 77 (Ellis, 1990), utilizando-se para tal

o FORTRAN Power Station, versão 1.00, da Microsoft. Essas rotinas foram

implementadas em computadores pessoais (tipo PC 486/1OO MHz e Pentium

100 Mhz) e encontram-se disponíveis no Departamento de Mecânica Espacial

e Controle - DMC/INPE.

67

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BATE, R. R. Fundamentals of astrodynamics . New York: Dover Publications,

Inc., 1971.

BERTIGER,-W.I.; BAR-SERVER, Y.E.; CHRISTENSEN, E.J.; DAVIS, E.S.;

GUINN , J.R.; HAINES, B.J.; IBANEZ-MEIER, R.W.; JEE, J.R.; LICHTEN, S.M.;

MELBOURNE, W.G.; MUELLERSCHOEN, R.J.; MUNSON, T.N.; VIGUE, Y.;

WU, S.C.; YUNCK, T.P.; SCHUFTZ, B.E.; ABUSAII, P.A.M.; RIM, H.J.;

WATKINS, M.M.; WILLIS, P. GPS precise tracking or TOPEX/POSEIDON:

Results and implications. Journal of Geophysical Research, v. C12, n.99,

p.24449-24464, Dec. 1994.

BROWN, CHARLES D. Spacecraft mission design . AIAA Education Series.

1992.

CHOBOTOV, V. A. Orbital mechanics . AIAA Education Series, 1991.

CHRISTENSEN, E.J.; HAINES, B.J.; MCCOLL, K.C. Observations of

geographically correlated orbit errors for TOPEX/POSEIDON using the global

positioning system. Geophysical Research Letters, v.19, n.21, p. 2175-2178,

Sept. 1994.

CRETAUX, J.F. Investigation or orbit determination using the GPS

constellation. American Astronautical Society . v. AAS 93, n. 271, p. 309-

323, 1993. ISSN 0065-3438).

DOW, J.M.; MARTIN-MUR, T.; CASOFTO, S.; FELTENS, J.; GARCIA-

MARTINEZ, C. BAYONA-PEREZ, M.A. Determination of satellite orbits with

68

GPS. In: INTERNATIONAL SYMPOSIUM ON SPACE FLIGHT DYNAMICS,

1994, St. Petersburg – Moscow. Proceedings… St. Petersburg: [s.n], 1994.

ELLIS, T. M. R. Fortran 77 programming with an introduction do the

Fortran 90 standard . New York: Addison-Wesley Publishing Company, 1990.

FLIEGEL, H.F.; GALLINI, T.E.; SWIFT, E.R. Global positioning system

radiation force models for geodetic applications. Journal of Geophysical

Research , v. 97, p.559-568, 1992.

GELB, A. Applied optimal estimation . Cambridge, MA: MIT Press, 1974.

GOLDSTEIN, H. Classical Mechanics . New York, NY: Addison-Wesley, 1980.

KONDAPALLi, R.R. Um estudo dos métodos de perturbação na

determinação de órbitas de satélites artificiais de baixa altitude . São José

dos Campos: INPE, jan. 1986. (INPE-3781-RPI/151).

KONDAPALLI, R. R.; KUGA, H.K. On the least squars correction method

for orbit estimation problem . São José dos Campos: INPE,jul 1987. (INPE-

4222-NTI/250).

KUGA, H. K. Matriz de transição do movimento Kepleriano elíptic o. São

José dos Campos,: INPE, jan 1986 (INPE - 3779 - NTE/250).

KUGA, H.K. Noções práticas sobre a utilização do filtro de Kal man . UFPR,

1992.

LEICK, A. GPS satellite surveying. A Wiley-interscience publication. New

York: John Wiley & Sons, Inc. , 1994.

69

LIEBELT, P. B. An Introduction to optimal estimation . New York: Addison-

Wesley Publishing Company, 1967.

MELBOURNE, W.G.; DAVIS, E.S.; YUNCK, T.P. The GPS flight experiment on

TOPEX/POSEIDON. Geophysical Research Letters , v.19, n. 21, p. 2171-

2174, Sept. 1994.

NASA. Mathematical theory of the Goddard trajectory deter mination

system . Greenbelt, Maryland, GSFC, April 1976 (NASA-TX-X-7106).

NEGREIROS DE PAIVA, R. Determinação autônoma de órbita usando o

GPS. São José dos Campos: INPE,, fev 1990. (INPE-4815-TDL/361).

RAOL, J.R.; SINHA, N.K. On the orbit determination problem. IEEE

Transactions on Aerospace and Eletronic Systems . v. 21, n. 3, p. 274-291,

1985.

SCHULTZ, B.E.; TAPLEY, B.D.; ABUSALI, P.A.M.; RIM, H.J. Dynamic orbit

determination using GPS measurements from TOPEX/POSEIDON.

Geophysical Research Letters , v.19, n. 21, p. 2179-2182, Sept. 1994.

SPIEGEL, M. R. Manual de fórmulas e tabelas matemáticas . New York:

Coleção Shaum - McGrawHil, 1973.

VIEIRA NETO, E. Estimação sequencial de órbita utilizando o modelo

unificado de estados . São José dos Campos: INPE,, fev 1994. (INPE-5545-

TDI/531).

WELLENHOF B. H.; LICHTENEGGER, H.; COLLINS, J. GPS Theory and

Practice . New York: Springer-Verlag Wien, 1992.

70

WELLS, D. E. Guide to GPS positioning. Otawa: Canadian GPS Association,

Canadá, 1987.

WERTZ, J. R. Spacecraft attitude determination and control . London: Ridel,

1978.

WU, S.C.; YUNCK, T.P.; THORNTON, C.L. Reduced-dynamic techinique for

precise orbit determination of low orbit satellites. Journal of Guidance

Control and Dynamics, v. 14, n. 1, p. 24-30, Jan-Feb, 1991.

YUNCK, T.P.; BERTIGER, W.I.-, WU, S.C.; BAR-SEVER, E.Y.;

CHRISTENSEN, E.J.; HAINES, B.J.; LICHTEN, S.M.; MUELLERSCHOEN,

R.J.; VIGUE, Y.; WILLIS, P. FIRST Assessment of GPS-based reduced

dynamic orbit determination on TOPEX/POSEIDON. Geophysical Research

Letters , v. 7, n. 21, p.541-544, Apr.1994.

ZHANG, Z.; YANG, X. A new method to determine low Earth orbit using GPS.

American Astronautical Society , v. AAS 93, n. 273, p. 359-365, 1993.

Utilização da solução de navegação do GPS para...

Documents

Transcript of Utilização da solução de navegação do GPS para...