a + b = c

ab

Prof. Cesário

(2)(2)

6 – COMPONENTES DE UM VETOR

a

b

c

A figura mostra a adição dos vetores a e b.

a + b = c

Os vetores a e b são chamados de componentes do vetor c.

Na prática são usadas as componentes perpendiculares de um vetor.

(i) Vetores no plano

x

y A fim de evitar as indicações N, S, L, O nosentido do vetor, costuma-se usar doisvetores unitários indicados por i e j.

i

j i - lê-se: 1 unidade para a direita

j - lê-se: 1 unidade para a cima

Os vetores serão, então, indicados por xi + yjQue será lido na forma: x unidades para a direita mais y unidades para cima,podendo, x e y serem positivos ou negativos de acordo com o sentido da componente e os eixos cartesianos..

x

y

x = 300.cos 30º = 300 . 0,866 = 259,8

y = 300.cos 60º = 300 . 0,5 = 150,0

Como x está para a esquerda:

v = -259,8i + 150,0j

Se fosse usado o ângulo com o eixo positivo dos x, no sentido do círculo trigonométrico, os sinais de x e y seriam obtidos automaticamente.Nesse caso, x = v.cos e y = v.sen .

X = 300.cos 150º = 300.(-0,866) = -259,8Y = 300.sen 150º = 300.(0,5) = 150,0

60º30º

Para obter as componentes, projetamos o vetor sobre os eixos.

Tomando, por exemplo, o vetor v = 300,0 km, N60ºO.

(ii) – No espaço tridimensional

x

y

z

i

j

k

i - 1 unidade para a direita

j - 1 unidade para a cima

k - 1 unidade para fora

vv = xi + yj + zk

x

x = v.cos x

v v

y

y = v.cos

z

v

z = v.cos

Cos , cos , cos são denominados cossenos diretores.

, , são os ângulos do vetor v com cada um dos eixos.

A ordem dos eixos segue a mão direita.

x

y

z

(polegar)

(indicador)

Demais dedos ou palma da mão

12

3

-4

x

yy

z

z

Note que v = x + y + z

EXEMPLO

v = 12i – 4j + 3k

7 – MÓDULO DE UM VETOR

Das coordenadas x e z, tira-se a diagonal da face da base do paralelepípedo.

d2 = x2 + z2

Usando a diagonal da base e a componente y

v2 = d2 + y2 ou v2 = x2 + z2 + y2

Portanto, o módulo do vetor v é:

v = | v | = x2 + y2 + z2

Formas de indicar o módulo de v

EXERCÍCIOS

1 – Dado o vetor v = 10i – 14j + 18k, determine:(a)O módulo de v;(b) Os ângulos que o vetor v forma com os eixos cartesianos.

2 – Um vetor de módulo 1000 m, forma os ângulos 60º, 135º e 215º com os eixos cartesianos x, y, e z, respectivamente. Escreva o vetor na forma xi + yj + zk

z

x

y

v

5 m

6m

8m

3 – Dado o vetor da figura, escreva-o na forma xi + yj + zk e determine o seu módulo.