V Seminário da Pós-graduação em Engenharia Mecânica

MODELAGEM DE INTERFACES EM PROBLEMAS BIDIMENSIONAIS COM ELEMENTOS FINITOS SÓLIDOS DEGENERADOS

José Aparecido Lopes Júnior

Aluno do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica – Unesp – Bauru

Prof. Dr. Osvaldo Luis Manzoli Orientador – Depto de Engenharia Civil– Unesp – Bauru

RESUMO

Propõem-se o emprego de elementos finitos sólidos degenerados, com relação de aspecto elevada, para modelar o comportamento da fina região de interface entre diferentes componentes de elementos estruturais compostos. Esses elementos apresentam a mesma cinemática da Aproximação Contínua de Descontinuidades Fortes (ACDF), podendo ser empregados para estabelecer a interação entre os componentes através de tensões limitadas, mesmo quando a espessura da região de interface tende a zero e as deformações deixam de ser limitadas. A técnica unifica as aproximações contínuas e discretas (via elementos de contato), comumente utilizadas para modelar interfaces, já que a segunda pode ser considerada como um caso limite da primeira. Apresenta-se um modelo de dano escalar compatível com a ACDF para representar o processo de degradação da aderência. A técnica será aplicada para representar o processo de perda de aderência em distintas interfaces presentes em próteses dentárias. PALAVRAS-CHAVE: Interfaces, Biomecânica, Engenharia Mecânica, Prótese Dentária 1 INTRODUÇÃO

Atualmente na odontologia dentes vem sendo substituídos por implantes dentários, após a sua perda por razões diversas. Estes implantes recebem as cargas mastigatórias e esta forca é distribuída ao osso circundante e a outras estruturas.

A necessidade de modelos biomecânicos é cada vez mais freqüente no meio acadêmico, científico e industrial. O desenvolvimento desses modelos permite simulações biomecânicas de dispositivos que podem ajudar a restauração de funções de vários membros do corpo, entre eles as próteses dentarias.

Como os aspectos biomecânicos de implantes são fundamentalmente diferentes daqueles de um dente natural, circundado por um ligamento periodontal, a possibilidade de se transferir sobrecarga ao implante e deste ao osso circundante, pode acabar ultrapassando o limite fisiológico e provocar falha nas reabilitações ou, até mesmo, a perda da osseointegração.

A restauração unitária torna-se biomecanicamente complexa, quando se trata da substituição de elementos dentários nas áreas de pré-molares e molares. Isso ocorre, porque, nestas áreas, as forças oclusais são maiores, podendo levar as tensões elevadas nos componentes e osso, tornando a união mais susceptível à falha. Durante a transmissão das forças pela prótese ao implante, o componente lateral da força é responsável pela criação de

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momentos de torque, os quais têm efeito destrutivo sobre o osso cortical circundante ao implante. A idéia foi aplicar este modelo com a finalidade de reproduzir o real comportamento existente entre o contato do implante unto a região óssea. Utilizando do método de elementos finitos com desenvolvimento de modelos matemáticos, para que quando estiver em condições compressão ele não aceite uma penetração mutua, comparando-se este à modelos experimentais. 2 CONTEÚDO A correta adaptação do conjunto coroa/implante/parafuso de retenção é extremamente relevante sob o ponto de vista biomecânico das próteses sobre implantes, uma vez que a osseointegração não é feita de forma resiliente no osso alveolar (Weinberg 1993). Assim, almeja-se a passividade entre prótese e implante, a fim de prevenir que inadequadas concentrações de tensões sejam geradas entre os componentes desse sistema (Millington & Leung 1995, Duyck et al. 2001, Kunavisarut et al. 2002), bem como sua transmissão para o tecido ósseo adjacente (Skalak 1983).

A passividade entre a prótese e o implante é conseguida quando o parafuso de retenção está unindo as estruturas apenas por uma força de travamento, implicando numa mínima tensão óssea na ausência de carga oclusal (Mulcahy et al. 2000). Para isso, é necessária uma perfeita adaptação entre componentes e implante, uma vez que a presença de desadaptações pode impedir o adequado assentamento entre as partes durante a aplicação da précarga, devido à dureza típica das próteses e parafuso de retenção (Patterson & Johns 1992), levando a um contato assimétrico entre os vários componentes do sistema (Isa & Hobkirk 1995, Isa & Hobkirk 1996). Muitas vezes, a falta de adequada adaptação entre o conjunto prótese/implante não é detectada pela inspeção visual (Skalak 1983), pois o aperto do parafuso de retenção da prótese e a intensidade da carga aplicada sobre os implantes influenciam na diminuição da discrepância vertical de adaptação formada entre o conjunto (Cheshire & Hobkirk 1996, Isa & Hobkirk 1996), sendo que em longo prazo a desadaptação pode acarretar no afrouxamento e fratura dos parafusos de ouro e do intermediário, defeitos e mobilidade das supra-estruturas e até fratura ou perda de osseointegração do implante (Jorneus et al. 1992, Dellinges & Tebrock 1993, Carlson & Carlsson 1994, Geng et al. 2001), além de infiltração microbiana e colonização bacteriana, levando a reações inflamatórias nos tecidos moles peri-implantares (Jansen et al.1997).

Assim, a necessidade de obter a passividade das próteses aos implantes é salientada por muitos autores (Rangert et al. 1989, Lie & Jemt 1994). Porém, mesmo para a moderna tecnologia, muitos fabricantes de sistemas de implantes não apresentam um nível de exata adaptação entre os componentes (Binon 1995). Conseqüentemente, a desadaptação das próteses é uma realidade clínica, porém, o nível de desadaptação que pode ser tolerado sem causar complicações mecânicas (Kallus & Bessig 1994, Ma et al. 1997) e biológicas (Goodacre et al. 1999, Jemt et al. 2000) ainda não foi totalmente determinado. É possível avaliar as propriedades mecânicas do sistema de implantes dentais com a utilização do método dos elementos finitos (MEF), que é bastante preciso para tal finalidade (Baiamonte et al. 1996). Dentre os diversos fatores estudados pelo MEF, tem sido enfatizado as condições de tensões ao longo das superfícies do implante e tecido ósseo adjacente (Rieger et al. 1990, Stegaroiu et al. 1998, O’Mahony et al. 2000, Kunavisarut et al. 2002, Bozkaya et al. 2004, Sutpideler et al. 2004), além dos problemas ocorridos entre a conexão prótese/implante principalmente em relação às falhas no parafuso de retenção da prótese e tecido ósseo adjacente (Patterson & Johns 1992, Sakaguchi & Borgersen 1995, Haack et al. 1995, Byrne et

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al. 1998, Watanabe et al. 2000, Alkan et al. 2004, Kitagawa et al. 2005, Huang et al. 2005, Kano et al. 2006). Como visto, a desadaptação entre prótese e implante é uma realidade clínica difícil de ser eliminada devido aos inúmeros fatores envolvidos na construção da prótese, podendo implicar num prognóstico duvidoso no que se refere à longevidade dos implantes osseointegrados. Assim, o objetivo deste estudo foi empregar o MEF-2D e 3D, aplicando o modelo constitutivo desenvolvido, para avaliar o deslocamento e a distribuição interna de tensões no conjunto coroa/implante/ parafuso de retenção e tecido ósseo adjacente, utilizando coroa total metálica totalmente adaptada (controle) e com diferentes níveis de desadaptação angular unilateral de 50µm, 100µm e 200µm, conforme a figura1.

Figura1: Vista aproximada das malhas na região de contato entre a coroa e a

plataforma do implante, dos grupos 1, 2, 3 e 4

Nos últimos anos foram desenvolvidos modelos constitutivos para simular os efeitos das alterações micro-estruturais no comportamento mecânico dos materiais. A mecânica do dano contínuo, segundo Leimatre, lida com a capacidade de carga de sólidos sem fissuras principais, mas onde o próprio material é danificado devido a presença de microdefeitos, tais como microfissuras e microvazios. Os microdefeitos contribuem para a resposta não-linear pós-pico, que se torna evidente macroscopicamente pela redução de rigidez e resistência do material. Os modelos constitutivos de dano têm sido usados como uma importante ferramenta de análise da perda de rigidez de estruturas, com a finalidade de prever a degradação do material. Seu interesse consiste na simulação da degradação mecânica de materiais quase-

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frágeis, tais como concreto, cerâmica e rochas, para os quais, depois de percorrido o regime elástico, ocorre descência tensional (abrandamento) a cada incremento de deformação, delineando o comportamento não linear do material. Para o desenvolvimento de ferramentas apropriadas, é indispensável que a propriedade não linear desses materiais seja conhecida e modelada precisamente, especialmente o seu estado de danificação. No presente trabalho aplicou-se em biomecânica, um modelo constitutivo de dano combinado, que é capaz de representar o comportamento diferenciado em tração e compressão para materiais quase-frágeis. Embora originalmente desenvolvido para representar estados de fissuração difusos, os modelos de dano têm sido empregados para representar os fenômenos degradativos que precedem a formação de fraturas, na chamada zona de processo de fratura. A representação dos efeitos da formação das fissuras pode ser modelada através de elementos finitos com fissuras incorporadas, no contexto da Aproximação Contínua de Descontinuidade Forte (ACDF), que já vem sendo aplicado com êxito para casos nos quais a não linearidade estrutural provém predominantemente de estados de tração e também representar o comportamento não linear do material sob estados tensionais de compressão, associados a diferentes mecanismos de degradação. Para o modelo de dano aplicado são consideradas duas variáveis escalares de dano como proposto por [2], que irão representar o comportamento do material em tração e compressão. O modelo de dano J2 é formulado segundo o critério de Huber-von Mises, a apartir da decomposição do tensor de tensões efetivas em parte hidrostáticas e desviadoras, tomando como critério de degradação e segundo invariante (J2) para delimitar a superfície de dano em compressão. O modelo de dano J2 à compressão é formulado segundo as condições de carga, descarga e recarga associadas ao critério de dano no campo das tensões efetivas, baseado no segundo invariante do tensor das tensões desviadoras.

O tensor das tensões efetivas, , pode ser dividido em parte volumétrica forma:

(1)

onde é o tensor de tensão desviador, é a tensão média e I é o tensor identidade de segunda ordem. O critério de dano ou critério de degradação pode ser expresso da seguinte forma:

(2) onde a variável escalar é uma função da norma do tensor de tensão desviador,

(3)

A variável estabelece o limite de dano, controlando a dimensão do domínio elástico. A superfície limite de dano no espaço de tensões efetivas é expressa por

Define-se um valor inicial ao limite de dano, em função da tensão

limite de compressão,

(4) onde o parâmetro B estabelece o nível de tensão para o qual tem início o processo de degradação.

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A evolução do limite de dano pode ser expressa de forma fechada, tomando-se sempre o máximo valor atingido por durante o processo de carregamento, ou seja,

Pode –se definir a evolução da variável de dano em termos da variável limite de dano, estabelecendo uma lei de endurecimento/abrandamento linear,

(5) ou exponencial

(6)

com os parâmetros de abrandamento linear H e exponencial Então, aplicando-se o dano somente ao tensor de tensão desviador, a expressão final do tensor de tensão fica dada por:

que também pode ser expressa como:

(7) No modelo de dano à tração decompõe-se o tensor de tensões efetivas em partes positiva e negativa (componentes positivas e componentes negativas do tensor de tensões efetivas, respectivamente),

(8)

onde são tensores de tensão efetiva contendo as tensões principais de tração e de compressão, respectivamente:

(9)

onde denota o valor i-ésima tensão principal do tensor representa o vetor unitário

associado com a respectiva direção principal e o símbolo denota o produto tensorial. O

símbolo representa a função de Macaulay ( retornando o valor da expressão quando positiva, e zero em caso contrário) A componente negativa do tensor de tensão efetiva pode ser obtida fazendo-se:

(10) Para estabelecer as condições de carga, descarga e recarga, define-se o critério de dano empregando-se o conceito de tensão efetiva para tração,

(11)

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onde retorna um valor escalar em função da componente positiva das tensões efetivas. Adota-se a norma energética do tensor:

(12)

onde é o tensor constitutivo elástico isotrópico de quarta ordem. A variável estabelece o limite de dano, controlando a dimensão do domínio elástico no espaço das tensões efetivas. O limite de dano é delimitado pela superfície

O valor inicial do limite de dano é expresso em termos da resistência à

tração,

(13) Define-se a evolução da variável de dano para tração em função da variável limite de dano,

(14) que estabelece uma lei de abrandamento exponencial, em termos do parâmetro de abrandamento exponencial, A. Portanto, a lei constitutiva finalmente pode ser expressa como:

ou

(15) Para o desenvolvimento deste estudo foi simulado bi e tridimensionalmente, conforme as figuras 2, 3, 4 e 5, um segmento posterior da mandíbula contendo um implante osseointegrado de hexágono externo do sistema Branemark de 3.75mm de diâmetro por 15.0mm de comprimento (SIN, Sistema de Implantes, São Paulo, SP, Brasil), sobre o qual foi conectada, com parafuso de titânio e torque de 32N/cm, uma coroa protética confeccionada com liga de cobalto-cromo (Co-Cr) (CNG soluções protéticas, São Paulo, SP, Brasil) nas dimensões de 8mm em seu maior diâmetro e 8mm de altura (Binon 1996), a partir de um pilar UCLA com cinta de Co-Cr (SIN, Sistema de Implantes, São Paulo, SP, Brasil).

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Figura 2: Vista interna da conexão coroa/implante/parafuso de retenção.

Figura 3: Modelo 2D

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Figura 4. Maior aumento interface implante/coroa ( carga oblíqua)

Figura 5. Maior aumento interface implante/coroa ( visão geral 3D)

Os materiais utilizados neste estudo foram considerados homogêneos, isotrópicos e linearmente elásticos, ou seja, apresentaram a mesma composição e as mesmas propriedades mecânicas em todas as direções em um mesmo ponto do elemento estrutural e foram caracterizados pelo módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson. Na tabela 1 encontram-se as propriedades das estruturas e dos materiais utilizados nos modelos e na figura 6 o modelo adaptado com as propriedades estruturais.

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Tabela1: Propriedades das estruturas e dos materiais utilizados no modelo

Figura 6: 2D com as propriedades estruturais

Para simular uma situação real, foram determinadas condições de restrição aos modelos, os quais foram fixados apenas no eixo X, tendo liberdade com simetria no eixo Y, permitindo movimento vertical. Considerou-se total osseointegração do implante ao osso adjacente e os materiais utilizados foram considerados homogêneos, isotrópicos e linearmente

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elásticos, sendo caracterizados pelo módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson. Aplicou-se aos modelos carga estática de 133N (Binon 1996) de sentido oblíquo (Holmgren 1998), com angulação de 30° em relação ao eixo vertical e deslocamento de 2.0 mm do ponto central na superfície oclusal, conforme podemos observar na figura 7 e as tensões geradas na figura 8, (O’Mahony et al. 2000) para o lado oposto as desadaptações, a fim de avaliar as tensões geradas no sistema coroa/implante/parafuso de retenção em função do grau de desadaptação angular unilateral entre a base de assentamento da coroa ao implante.

Figura 7: 2D com as devidas cargas aplicadas

Figura 8: tensões geradas pelas carga aplicada

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Os mapas de tensões obtidos pelo processamento do programa de elementos finitos foram analisados pela teoria das tensões de tração e compressão na região da interface osso cortical/implante e pela análise das tensões de Von Mises, sobre o sistema coroa-implante-parafuso de retenção e osso medular. A redução do contato unilateral entre a coroa e o implante levou ao deslocamento de todo conjunto e alteração na distribuição e magnitude das tensões ao longo do sistema, principalmente na região da coroa e parafuso de retenção, sendo que, de modo geral, as desadaptações angulares unilaterais de 100µm e 200µm mostraram maiores valores de tensões em relação ao controle. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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