Vamos jogar sinuca? - vencermatematico.files.wordpress.com · CEDERJ 31 O MDC GEOMÉTRICO Você...

Vamos jogar sinuca?

Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de:

• Discutir o ensino de múltiplos e divisores.

• Aplicar diferentes atividades para o ensino de múltiplos e divisores.

• Utilizar o método investigativo nas formulações das atividades.

Pré-requisitos

Para o bom acompanhamento desta aula, é necessário que você retome alguns conteúdos trabalhados no Ensino Fundamental

e na disciplina Álgebra I. Como: múltiplos e divisores, números primos, regras de divisibilidade, algoritmo de Euclides e propriedades

relacionadas ao MDC e MMC.

objetivos

Meta da aula

Instrumentalizar o ensino de múltiplos e divisores.

12AU

LA

Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Vamos jogar sinuca?

C E D E R J30

No ensino tradicional, o trabalho com múltiplos e divisores é usualmente feito na

5ª série do Ensino Fundamental. O enfoque dado ao assunto segue geralmente

a seqüência: conceito de múltiplos e divisores, números primos, regras de

divisibilidade, Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e Máximo Divisor Comum (MDC).

Encontramos nos livros didáticos esses tópicos, mais ou menos nessa ordem,

sempre com problemas ao fi m, cujo objetivo é a fi xação do que foi estudado.

Nessa perspectiva, o ensino de MDC e MMC se resume a técnicas, os conteúdos

não são apresentados de forma problematizada. Além disso, ao longo

do Ensino Fundamental e Médio, o MDC não é praticamente utilizado, e o MMC

se limita à aplicação da técnica para reduzir frações ao mesmo denominador.

Alguns professores questionam o ensino do MDC ou o justifi cam para que mais

tarde, na 7ª série, possam ensinar MDC com expressões algébricas.

INTRODUÇÃO

Lembre-se de acessar a disciplina na Plataforma. Lá, você encontrará diferentes animações e recursos que auxiliarão sua aprendizagem na aula.

!

A INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA é uma metodologia atual que vem sendo difundida em Portugal, na Universidade de Lisboa. Atividades de investigação são atividades nas quais a ênfase é dada a processos matemáticos como a busca de regularidades, formulação, teste, justifi cativa e demonstração de conjecturas. Algumas das características de uma situação investigativa são a motivação e o desafi o, o que vem provocando nos alunos grande entusiasmo pela Matemática.

Pense no assunto

E você, o que acha? Que signifi cado que o estudo de MDC, MMC e regras de divisibilidade tiveram em sua formação? Com o assunto trabalhado novamente na disciplina Álgebra I, que mudanças ocorreram na formação desses conceitos?

Nesta aula, vamos apresentar o estudo de múltiplos e divisores

com base na INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA.

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O MDC GEOMÉTRICO

Você deve conhecer alguns métodos para o cálculo do MDC.

Nosso objetivo aqui é oferecer uma outra maneira de ensinar o

MDC, com um enfoque geométrico.

Vamos descobrir o MDC entre 5 e 7 geometricamente. Para isso,

considere um retângulo de dimensões 5x7, formado por 35 quadrados

de área 1.

Qual o maior quadrado que podemos formar neste retângulo?

É um quadrado cuja medida do lado é 5, observe:

Retirando esse quadrado, obtemos um retângulo de dimensões 5x2.


C E D E R J32

Repetimos a mesma pergunta, agora para o retângulo de dimensões

5x2.

Qual o maior quadrado que podemos formar neste retângulo?

Agora, é um quadrado cuja medida do lado é 2.

Retirando esse quadrado, obtemos um retângulo de dimensões 3x2.

O maior quadrado que podemos formar nesse novo retângulo é

novamente um quadrado de lado 2.

Enfi m, retirando mais uma vez o quadrado formado, encontramos

um retângulo de dimensões 1x2. O maior quadrado que podemos formar

nesse novo retângulo tem a medida do lado 1.

Quando retiramos esse último quadrado, temos na medida do

lado do menor quadrado, o MDC entre 5 e 7.

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Assim, como você sabe, o MDC entre 5 e 7 é 1.

Podemos representar esse MDC em um mesmo retângulo, onde

os quadrados “retirados” estão destacados. Veja:

A medida do lado do menor quadrado obtido no processo é o MDC entre 5 e 7.

Vamos ver outro exemplo, em que o MDC não é 1. Vamos

encontrar por esse processo o MDC entre 4 e 6, isto é, MDC (4, 6).

O maior quadrado formado no retângulo é um quadrado

de lado 4.


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Considerando agora o retângulo 4x2 que “sobrou” quando

“retiramos” o quadrado de lado 4, o maior quadrado que podemos

retirar agora tem lado de medida 2.

Agora, na medida do lado do quadrado que “sobrou”, temos

o MDC (4, 6).

A medida do lado do menor quadrado obtido é 2. Assim, o MDC (6, 4) = 2.

ATIVIDADES

1. Você sabe que o MDC (12, 18) = 6. Faça o processo geometricamente e confi ra:

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2. Faça geometricamente cada MDC indicado.

MDC (2,4) MDC (2,8) MDC (4,8)

MDC (2,6) MDC (3,6) MDC (5,15)

a. O que você observa na formação dos quadrados para o processo do MDC? Por que isso ocorre?

COMENTÁRIO

O cálculo do MDC nos casos apresentados é imediato, e você, com certeza,

o fará de cabeça. O objetivo da atividade é que você analise as formas

geométricas formadas no processo e relacione-as com o MDC.

Atividades como essas podem ser desenvolvidas com alunospara que percebam propri-edades do cálculo do MDC, como a propriedade:Sendo m, n dois números inteiros não-nulos, se m divide n, então, MDC (m, n) = n. Uma outra exploração de propriedade é com o cálculo do MDC (m, 1) no qual m é um número inteiro não-nulo.

!

O Algoritmo de Euclides, que você estudou na Aula 5 do curso de

Álgebra I, é um dos métodos de cálculo do MDC entre dois números inteiros

positivos. Caso você não se lembre, volte à aula e dê uma olhadinha.

No caso, no cálculo do MDC entre 5 e 7, temos, pelo Algoritmo

de Euclides:


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7 = 1 x 5 + 2

5 = 2 x 2 + 1

2 = 2 x 1 + 0

O Algoritmo de Euclides possui um dispositivo prático conhecido

como jogo da velha, em que efetuamos diretamente as divisões sucessivas.

quocientes 1 2 2

7 5 2 1

restos 2 1 0

Muitos autores utilizam a disposição dos restos colocando-os a partir do primeiro número a ser dividido, no nosso exemplo, o 7. O processo é o mesmo, apenas o tipo de visualização dos “novos” divisores é modifi cado.

1 2 2

7 5 2 1

2 1 0

!

Será que há alguma relação entre o Algoritmo de Euclides e o

MDC geométrico? Observe:

7= 1 x 5 + 2

Retângulo de dimensão 7x5


5= 2 x 2+ 1

2= 2 x 2+ 0


Do lado de medida 7, retiramos 5 unidades e sobraram 2 unidades.

Do lado de medida 5, retiramos 2 unidades 2 vezes e sobrou 1 unidade.

Do lado de medida 2, retiramos 2 vezes 1 unidade e não sobrou nada.

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O MMC GEOMÉTRICO

Da mesma maneira que fi zemos com o MDC, faremos com o MMC.

Nosso objetivo, nesta aula, não é discutir os métodos que você conhece,

mas apresentar uma outra maneira de apresentar esse conteúdo.

Para encontrar geometricamente o MMC entre dois números

positivos, vamos considerar novamente o retângulo cujas dimensões

são os números em questão.

Vamos calcular o MMC entre 4 e 6. Para isso, considere um

retângulo 4x6 subdividido em quadrados cuja medida do lado é 1.

D C

A B

Pense nesse retângulo como uma mesa de sinuca, não como

uma qualquer, mas como uma sinuca matemática, claro. Nessa

sinuca matemática, os vértices (A, B, C e D) são as quatro caçapas

da mesa. A “bola” se move sempre da mesma forma. Ela sai de uma

das caçapas e se “movimenta” pela diagonal dos quadradinhos indicados

no retângulo. Veja:

A B

D C

Saída da bola

A B

D C

Percursoda bola


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Quando essa bola chega a um dos lados dessa sinuca matemática,

ela faz uma rotação “perfeita”, dá um giro de 900 no sentido anti-horário

e continua seu caminho com a mesma regra.

O fato de a rotação ser no sentido anti-horário depende do vértice de onde sai a bola, mas a idéia é que a rotação seja feita de forma que a bola sempre continue no retângulo (na sinuca).

!

Então, a bolinha roda 90º no sentido anti-horário, continua seu

caminho e ops! Esbarra em outro lado da mesa de sinuca.

D C

A B

Novamente, a bola roda 90º no sentido anti-horário e continua.

Esbarra mais uma vez no lado da sinuca, faz uma rotação de 90º no

sentido anti-horário e...

D C

A B

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Encontra a caçapa indicada pelo vértice D. Fim de jogo!

Quantos quadradinhos a bolinha percorreu saindo da caçapa

indicada pelo vértice A até chegar à caçapa indicada pelo vértice D?

– Até encontrar a parte superior da mesa, ela percorreu 4

quadradinhos.

– Andou por mais 2 quadradinhos e encontrou a lateral direita

da mesa.

– Mais 2 quadradinhos e encontrou a parte inferior da mesa.

– Mais 4 quadradinhos e encontrou a caçapa indicada pelo vértice D.

Percorreu, então, um total de 4 + 2 + 2 + 4 = 12, que é o MMC

entre 4 e 6.

O resultado do MMC geométrico independe do vértice escolhido para a “saída da bola”.

!

Quer outro exemplo? Então vamos fazer o MMC entre 5 e 7.

Para isso, partiremos de um retângulo de dimensões 5x7.

A bola sai da caçapa indicada pelo vértice A.

D C

A B

Bate na parte superior, na lateral direita, na parte inferior e na

lateral esquerda, mas ainda não encontra a caçapa.

D C

A B


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Bate na parte superior, depois na inferior, na lateral direita,

na parte superior, novamente na lateral esquerda, mas ainda não encontra

a caçapa.D C

A B

Por fi m, bate na parte inferior e cai na caçapa indicada pelo

vértice C.

D C

A B

O MMC entre 5 e 7 será o número de quadradinhos que a bola

passou. Mas, observe que a bola passou por todos os quadradinhos do

retângulo. Assim, o MMC será a área desse retângulo, ou seja, 5x7 = 35.

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ATIVIDADES

3. Você sabe que o MMC (12, 18) = 36. Faça o processo geometricamente e confi ra:

D C

A B

a. Partindo do vértice A, em qual caçapa a bola cai?

4. Faça geometricamente cada MMC indicado.

a. Em cada caso, em qual caçapa a bola cairá? Observe relações entre números envolvidos no MMC e caçapa na qual a bola caiu. Registre suas conclusões.

A B

D C

MMC (2,4)

A B

D C

MMC (3,9) A B

D C

MMC (4,8)

A B

D C

MMC (2,6)

A B

D C

MMC (3,6)A B

D C

MMC (5,15)

A B

D C

MMC (2,8)

A B

D C

MMC (1,8)

A B

D C

MMC (1,7)


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COMENTÁRIO

O objetivo da atividade não é o cálculo do MMC. Busque observar as formas

geométricas criadas e relacioná-las com o MMC.

A exploração do MMC geométrico possibilita explorar a álgebra e a geometria em conjunto através das noções de área, diagonal, rotação e simetrias. Além da conjectura lançada no boxe explicativo, você pode formular outras, por exemplo, será que quando os números são primos entre si, como no exemplo do 5 e do 7, a caçapa sempre cai na caçapa correspondente ao vértice D?Use seus conhecimentos do curso de Álgebra I para demonstrações formais de suas conjecturas.

!

Você reparou que tanto no exemplo feito no cálculo do MMC geométrico entre 4 e 6 quanto naquele entre 12 e 18 a bola caiu na caçapa D? Por que isso ocorreu?

A SINUCA DE SNOOKER E A INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA

A sinuca de SNOOKER traduz a idéia de interpretar o retângulo como

uma mesa de sinuca. Além da exploração do MMC, outra observação

interessante é o número de batidas da bola nas laterais da mesa até

entrar na caçapa.

No retângulo de dimensão 4x6, se incluirmos os vértices A

(a caçapa de onde sai a bola) e D (a caçapa onde entra a bola), quantas

batidas a bola dará no total? Observe:

Visite a página da Confederação Brasileira de Bilhar e Sinuca (CBBS) na internet e conheça as regras da Sinuca SNOOKER.http://www.sinuca.com.br/sinuca/cbbs/conteudo/Regras_Ofi cial.aspNa página ilustrada a seguir http://www.sinuca.com.br/sinuca/cbbs/conteudo/ você poderá conhecer as

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D C

A B

São 3 batidas nas laterais, mais 2 nas caçapas, totalizando 5 batidas.

E no retângulo 5x7, quantas batidas são?

Por fi m, a bola bate na parte inferior e cai na caçapa indicada

pelo vértice B.

D C

A B

São 10 batidas nas laterais mais 2 nas caçapas, totalizando 12 batidas.

Você conseguiu perceber a relação existente entre 4 e 6 e o

total de batidas 5? E entre 5 e 7 e o total de batidas 12? Qual a regra?

Essa generalização não é imediata.

Agora pare um pouco a leitura da aula e investigue.

Para ajudá-lo, sugerimos que você acesse o site http://illuminations.

nctm.org/tools/tool_detail.aspx?id=28. Lá você encontra possibilidade

de modificar as dimensões do tabuleiro de sinuca. Nesse recurso, a conta-

gem do número de batidas é dado por Hits, o que acelerará sua investigação.

Na tela inicial aparecerá um retângulo de dimensão 3x5.


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Com o mouse na bolina de sinuca, você dispara a bola.

Na sinuca fi ca indicado Hit para cada batida e toda vez que a

bola cai na caçapa. Na parte inferior da tela, há a contagem Hits: 8,

isso signifi ca que o número de batidas é 8.

Figura 12.1: Tela inicial do jogo de sinuca.

Figura 12.2: Tela inicial do jogo de sinuca.

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Para modifi car as dimensões da mesa, movimente os traços verticais Length e Width. Assim, você pode investigar todas as dimensões de mesa que quiser, até o máximo de 21x21, com facilidade.

Observe que, analisando o percurso da bola, essa mesa permite explorar o MMC geométrico também.

!

Agora, jogue sinuca, formule sua conjectura, procure validar o

que pensou, ou seja, investigue!

Já fez suas descobertas? Fez anotações? Então, vamos

continuar!

Qual a diferença entre o que está sendo proposto a você

agora e um problema mais “usual”? A maioria das atividades

realizadas nas aulas de Matemática é focada em procedimentos

e se apresenta de forma estruturada. Estas são necessárias,

mas com uma metodologia concentrada apenas nesse tipo de

atividade, não proporcionamos ao aluno desenvolver algumas

atitudes importantes em relação à Matemática.

As atividades investigativas se contrapõem às tarefas

procedimentais e estruturadas, sendo, portanto, mais “abertas”,

favorecendo processos de descoberta e redescoberta, numa atmosfera

de motivação e desafi o. Quanto mais experiência o aluno tem com

atividades de investigação, mais aberta deve ser a proposta. Por exemplo,

no problema do número de batidas da sinuca, poderíamos ter dado as

regras e perguntar: o que você observa?

Para o desenvolvimento de uma atividade de investigação, devem estar aliadas as crenças do professor acerca da matemática e da educação. Essas idéias infl uenciam diretamente no processo de aprendizado do aluno e em suas concepções. É necessário que o ensino não seja embasado apenas em trabalhos estruturados e que o aluno tenha oportunidade de formular e validar questões.


C E D E R J46

No desenvolvimento de uma atividade de investigação com alunos,

é necessário que o professor redimensione seu papel, provocando outras

questões. Tais intervenções são essenciais para a continuidade da tarefa.

Love (1998) afi rma que, nesse tipo de atividade, o aluno tem

oportunidade de:

• identifi car e iniciar os seus próprios problemas;

• expressar as suas próprias idéias e desenvolvê-las ao resolver

problemas;

• testar as suas idéias e hipóteses de acordo com experiências

relevantes;

• defender racionalmente as suas idéias e conclusões e submeter as

idéias dos outros à crítica ponderada.

Voltando ao problema proposto a você, vamos analisar o número

de batidas de alguns casos nos quais os números são primos entre si, ou

seja, quando o MDC entre os números é 1.

Dimensões da mesa Número de batidas

5x7 12

3x7 10

2x9 11

7x11 18

15x16 31

::

::

Analisando este caso, podemos CONJECTURAR que, quando os números

são primos entre si, o número de batidas é a soma desses números.

Será que essa primeira sensação é verdadeira? Vamos analisar

casos em que o MDC entre os números não seja 1.

CONJECTURAR

Emitir uma opinião sem fundamentos precisos.

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Dimensões da mesa Número de batidas

4x6 5

10x20 3

9x12 7

14x21 5

15x18 11

::

::

Não, o número de batidas não é a soma dos números envolvidos.

Mas existe uma relação com a soma.

Dimensões da mesa Número de batidas Soma dos números das dimensões da mesa

4x6 5 10

10x20 3 30

9x12 7 21

14x21 5 35

15x18 11 33

::

::

::

Os números da segunda coluna estão relacionados com os números

da terceira coluna através de uma divisão.

Dimensões da mesa Número de batidas Soma dos números das dimensões da mesa

4x65 =

10

2

10

10x203 =

30

10

30

9x127 =

21

3

21

14x215 =

35

7

35

15x1811 =

33

3

33

::

::

::


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E o divisor em questão é o MDC entre os números das dimensões

da mesa.

Dessa forma, podemos expressar o número de batidas por: m + n

mdc (m,n).

No livro Investigações matemáticas na sala de aula, dos autores João Pedro da Ponte, Joana Brocado e Hélia Oliveira, da Editora Autêntica, você encontrará vários registros de alunos a respeito desse problema.

!

MÚLTIPLOS, DIVISORES, MMC E MDC

Vimos dois processos, um para o cálculo de MDC e outro para

MMC. Estes dão possibilidades de várias explorações e conexões com

a Matemática. Entretanto, é importante que o professor tenha em mente

que o trabalho com múltiplos e divisores e posteriormente com MDC e

MMC não pode estar restrito à repetição de procedimentos. Para isso,

é necessário que os conceitos sejam trabalhados.

Estas são algumas crenças de alunos a respeito de múltiplos e

divisores no Ensino Fundamental e Médio:

I. 2 ÷ 0 = 2.

II. 0 ÷ 5 = 5.

III. 0 ÷ 0 = 1.

IV. –6 não é múltiplo de 3 porque é negativo.

V. –5 não é divisível por 1 porque é negativo.

VI. O MMC é sempre positivo.

VII. O MDC é sempre positivo.

VIII. 1 é primo.

Essas crenças estão todas erradas?

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O conceito de divisibilidade envolve dois números inteiros.

Como você viu na Aula 5, da disciplina Álgebra I:

Dados dois inteiros m e n, dizemos que m divide n se existe um

inteiro q tal que n = qm. Nesse caso, dizemos que m é divisor de n ou

“n é múltiplo de m”.

Assim, o conceito de divisor de um número é válido para números

positivos e negativos. Acontece que os números positivos são trabalhados

primeiro, e quando os alunos trabalham com números negativos, esses

conceitos não são retomados. Isso faz com que o aluno pense como nos

itens IV e V, uma vez que nada foi falado a ele a esse respeito.

No caso das divisões, qual o resultado de 2 ÷ 0?

De acordo com a defi nição dada, se 0 fosse divisor de 2, existiria

um número inteiro q tal que 2 = 0.q. Como todo número inteiro

multiplicado por 0 é 0, 2 ÷ 0 não existe. Assim, a crença que 2 ÷ 0 = 2

(I) está errada.

A propriedade 0.q = 0 para qualquer número inteiro q é uma propriedade de anéis. Preste atenção nesse fato no estudo da estrutura de anéis.

!

O caso em que 0 ÷ 5 = 5 (II) também não se justifi ca. De acordo

com o que foi visto, se 5 divide 0, existe q tal que 0 = 5.q. O único número

inteiro que satisfaz a igualdade é q = 0, assim, o resultado de 0 ÷ 5 = 0.

Vamos analisar agora a crença (III): 0 ÷ 0 = 1. Você observou que,

de acordo com a defi nição feita na disciplina Álgebra I, não há restrição

inicial ao fato de o divisor ser 0?

Se o divisor é 0, ou seja n = 0, m também deverá ser 0. Nesse caso,

o valor de q na expressão 0 = q.0 não será único. Como uma operação

matemática tem resultado único, costuma-se excluir o caso em que o

divisor é 0. Assim, assumimos que o divisor é n (n ≠ 0). Por isso, dizemos

que 0 ÷ 0 não existe (III).

O trabalho de MDC e MMC com alunos de Ensino Fundamental

é muito focado nas técnicas. Cabe lembrar que o MDC e o MMC são

sempre positivos. Revise essas defi nições nas Aulas 5 e 6 da disciplina

Álgebra I. Assim, as crenças (VI) e (VII) estão corretas.


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Para relembrar, o conjunto dos divisores positivos de um número

é um conjunto finito. Quando falamos de MDC entre dois

números, estamos nos remetendo ao MAIOR número que divide os dois

números ao mesmo tempo.

Por exemplo, o MDC (6, 8) é o maior número positivo que divide

6 e 8 ao mesmo tempo. Os divisores positivos do 6 são 1, 2, 3 e 6,

e os divisores do 8 são 1, 2, 4, e 8. O maior número positivo que é divisor

de 6 e 8 ao mesmo tempo é o 2. Assim, MDC (6, 8) = 2.

Como falamos antes, muitos professores são contra o estudo do MDC, pois afi rmam que o assunto não tem utilização nem no Ensino Fundamental, nem no Médio. Dizem, ainda, que os problemas que envolvem o MDC são artifi ciais, o que, na maioria dos casos, é verdade. Outros defendem que o MDC é importante no estudo das relações entre números e que o Algoritmo de Euclides deve ser estudado. As duas idéias devem ser respeitadas e questionadas por você, futuro professor de matemática.

!

No estudo do MDC, as idéias de encontrar divisores comuns e

de que o MDC deve ser o maior deles não devem ser descartadas, e o

ensino do tema não pode ser restrito ao procedimento, seja por fatoração,

pelo Algoritmo de Euclides ou pelo método geométrico.

O mesmo deve ocorrer com o estudo do MMC. O conjunto dos

múltiplos de um número inteiro é um conjunto infi nito. Quando falamos

do MMC entre dois números inteiros positivos, nos remetemos à idéia do

MENOR número possível que ao mesmo tempo é múltiplo desses dois

números envolvidos.

Por exemplo, o MMC (6, 8).

M6 = {0,. ± 6, ± 12, ± 18, ± 24, ± 30, ± 36, ± 42, ± 48, ± 54, ...}

M8 = {0, ± 8, ± 16, ± 24, ± 32, ± 40, ± 48, ± 56, ...}

Os múltiplos comuns a 6 e a 8 são 0,

M6 ∩ M8 = = {0, ± 24, ± 48, ...}.

Assim, o MMC (6, 8) é o menor número positivo desse conjunto,

ou seja, 24.

Agora, só falta analisar a afi rmação VIII. Para isso, vamos recordar

o que é um número primo. Um número é dito primo quando tem

exatamente dois divisores diferentes. Caso tenha mais de dois divisores

diferentes, é chamado composto. De acordo com o que foi dito, o número

1 não é primo, tampouco composto.

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ATIVIDADES

5. Observe a situação-problema:

A Confederação Internacional dos Jogadores de Bolinhas de Gude realiza um torneio a cada cinco anos. O primeiro ocorreu em 1987, o segundo, em 1992 e assim por diante.

a. Os números 1988, 1993, 1998 e 2003 são múltiplos de 5?

b. Os números 1988, 1993, 1998 e 2003 são múltiplos de 5 somados com 3?

c. Se o campeonato continuar a ser realizado a cada cinco anos, haverá torneiro em 2068?

d. Além dos múltiplos de 5, o que está sendo abordado no problema?

6. Considere o problema a seguir.

a. Se um número inteiro é múltiplo de 3, o mesmo acontece com o seu quadrado? E com a sua décima potência?

b. Escreva uma forma de explorar esse problema com alunos de 5ª ou 6ª série.

c. Escreva agora uma forma de explorar o problema, com alunos de 7ª ou 8ª série.

COMENTÁRIO

Um modo de você pensar na diferença da exploração possível em cada

item é ter em mente que, com alunos de 5ª ou 6ª série, devemos buscar

generalizações, mas a manipulação dos símbolos algébricos ainda não é o

foco principal, ao passo que, com alunos de 7ª ou 8ª série, o professor deve ter

dentre seus objetivos exatamente a manipulação de símbolos algébricos.

O trabalho com múltiplos não deve ficar restrito à exploração imediata do con-ceito e às regras de divisi-bilidade. Algumas situ-ações-problema que explo-ram seqüências de múltiplos somados com um número, ou seja, seqüências de números que deixam o mesmo resto na divisão por um número inteiro não-nulo, no caso 3, devem ser trabalhadas com alunos.

!


C E D E R J52

7. Considere os problemas a seguir.

Em uma estrada de 360km, de um lado há postes de 12 em 12 quilômetros a partir do quilômetro zero e do outro há árvores de 18 em 18 quilômetros, também a partir do quilômetro zero.

a. De quantos em quantos quilômetros haverá um poste na mesma direção de uma árvore?

Tenho 18 livros de Matemática e 12 livros de Português. Quero arrumar esses livros em prateleiras só com livros de Matemática ou só com livros de Português, de maneira que, em cada prateleira, eu tenha o maior número possível de livros.

b. Quantos livros colocarei em cada prateleira?

c. Quantas prateleiras usarei?

d. Esses problemas são usualmente apresentados em livros como problemas envolvendo MDC e problemas envolvendo MDC. Você acha necessário o estudo do MDC e do MMC para resolver esses problemas? Você acha interessante trabalhar esses problemas com alunos? Registre suas observações e discuta com seu tutor.

Ser professor exige um olhar atento sobre o que é trabalhado e a maneira como esse trabalho é feito. Procure sempre refl etir sobre o que você está ensinando!

!

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COMPREENDENDO REGRAS DE DIVISIBILIDADE

O que são regras de divisibilidade? O número 12.345.678 é

divisível por 2? O número 789.567 é divisível por 5? E o número

345.687.390 é divisível por 10? Você rapidamente deve ter respondido

que 12.345.678 é divisível por 2, que 789.567 não é divisível por 5

e que 345.687.390 é divisível por 10 sem ter feito nenhum cálculo.

Você provavelmente pensou que 2.345.678 é par, que 789.567 não termina

em 0, nem em 5, e que 345.687.390 termina em 0. Por meio das chamadas

regras de divisibilidade, podemos saber se um número é divisível ou não

por outro sem efetuar a divisão entre respectivos números.

As regras de divisibilidade são geralmente dadas aos alunos sem

que haja uma exploração dos porquês. As regras de divisibilidade mais

úteis aos alunos são as de 2, 3, 5, 6, 9 e 10.

As regras de divisibilidade dos números 2, 5 e 10 são facilmente

percebidas pelos alunos por meio da análise dos padrões formados pelos

respectivos múltiplos, representados em uma tabela.

A regra do 6, após o aluno saber as regras de divisibilidade por 2

e por 3, pode ser facilmente percebida também, pois 6 = 3x2, e a regra

de divisibilidade por 6 envolve uma conjunção, ou simultaneidade,

já que o número pode ser divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.

As regras de divisibilidade por 3 e por 9 são mais artifi ciais se

forem apenas dadas sem justifi cativa. Vale lembrar que:

Se um número é divisível por 3, então a soma de seus algarismos

é divisível por 3, e, se um número é divisível por 9, então a soma dos

seus algarismos é divisível por 9.

A difi culdade de justifi car algebricamente essa regra está na

generalização da escrita do número na base 10, pois, nesse caso, teríamos de

supor um número de n algarismos, e a escrita fi ca difícil para alunos

de 5ª ou 6ª séries.

Podemos, então, justifi car essas regras aos alunos supondo um

número de três ou quatro algarismos. Por exemplo, para saber qual a

condição necessária para que um número seja divisível por 3, supondo

um número de quatro dígitos (ABCD), vamos recorrer à sua escrita no

sistema de numeração decimal.


C E D E R J54

A escrita de (ABCD) entre parênteses foi utilizada para reforçar que A, B, C e D são algarismos e diferenciá-la da escrita de multiplicação de quatro números.

(ABCD) = 1000A + 100B + 10 C + D

Mas,

1000A = 999A + A

100B = 99B + B

10C = 9C + C

Assim, (ABCD) = 999A + A + 99B + B + 9C + C + D.

Reorganizando as parcelas, temos:

(ABCD) = 999A + 99B + 9C + A + B + C + D.

Como 999A + 99B + 9C é divisível por 3, se A + B + C + D também for, o número (ABCD) também será. A regra da divisibilidade por 9 pode ser justifi cada da mesma maneira.

Se houver difi culdade dos alunos em relação à regra com “letras”,

o professor pode trabalhar o raciocínio com exemplos, explorando o que

ocorre de diferente com a soma dos algarismos, os números, no caso de

serem ou não divisíveis por 3 ou por 9.

ATIVIDADE

8. Um número natural formado por três algarismos iguais é sempre múltiplo de 37? Por quê?

COMENTÁRIO

Você pode realizar divisões por números ou pensar dedutivamente,

orientando-se pelo boxe explicativo anterior.

AU

LA 12

MÓ

DU

LO 1

C E D E R J 55

ATIVIDADE FINAL

Crivo de Eratóstenes

Na tabela, risque o número 2 e todos os seus múltiplos com lápis de uma

determinada cor.

Depois, risque o 3 e todos os seus múltiplos com lápis de outra cor.

E assim, sucessivamente, para o 4, o 5, o 6, o 7 até o 99.

a. Que números têm apenas um risco? O que eles têm em comum?

b. Observe a cor com que você riscou o número 6 e seus múltiplos e a que você

utilizou para riscar o número 8 e seus múltiplos. Que números têm riscos nestas duas

cores ao mesmo tempo? Com base em sua resposta, qual é o MMC entre 6 e 8?

c. Observe os riscos que você fez nos múltiplos de 2 e nos múltiplos de 4. Existem

números que têm o risco da cor do 2 e não têm da cor do 4? Existem números que

têm riscos na cor do 4 e não têm na cor do 2? O que você pode concluir?

d. O número 1 não foi pintado. O que isso signifi ca?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100


C E D E R J56

COMENTÁRIO

Esta atividade é um exemplo para ser aplicado com alunos no trabalho com

múltiplos e divisores e com números primos. Não deve haver difi culdades

em fazê-la, o importante é que você refl ita sobre o que lhe está sendo pedido

nos itens e em como a atividade favorece a concretização de algumas

propriedades. A mesma atividade pode ser utilizada para reconhecer os

divisores de um número.

CONCLUSÃO

Quando falamos das atividades investigativas, vale destacar um

importante aspecto do ensino da Matemática: aliar uma metodologia

consistente ao conhecimento do professor.

A divisão por zero, por exemplo, deve ser analisada pelo professor

por meio de suas próprias difi culdades e da maneira como as esclareceu.

Isso pode gerar excelentes contextos para o trabalho de sala de aula.

Além das atividades de investigação, para o trabalho com

múltiplos e divisores, o professor dispõe de excelentes problemas

e jogos. Muitos estão presentes nos livros didáticos e outros podem ser

criados pelo próprio professor.

AU

LA 12

MÓ

DU

LO 1

C E D E R J 57

R E S U M O

A exploração do MDC e do MMC geométricos são exemplos de processos para

o cálculo dos mesmos que podem ser usados em sala de aula. Os dois consideram

inicialmente um retângulo onde os quadrados de 1 unidade de área estão

destacados, formando uma malha.

No processo do MDC, a idéia é a retirada dos maiores quadrados formados.

Nesse processo, a medida do lado do menor quadrado é o MDC entre os números

que são as medidas dos lados do retângulo inicial. No MMC, trabalhamos com

a idéia de mesa de sinuca. A “bola” parte de um dos vértices e faz “tabelas” até

chegar a outro vértice. O número de quadradinhos que percorreu é o MMC entre

os números que compõem as dimensões do retângulo.

Na sinuca de Snooker, além de manipular novamente o MMC geométrico usando

a internet, exploramos o “número de batidas”. Encontramos uma relação entre os

números da medida dos lados do retângulo e o MDC.

Algumas questões sobre o ensino de múltiplos e divisores foram enfatizadas,

como a divisão por zero e as restrições dadas aos cálculos do MDC e do MMC.

Os critérios de divisibilidade foram resgatados onde exploramos, em particular,

as justifi cativas dos critérios da divisibilidade por 3, em que a soma dos algarismos

do número deve ser divisível por 3 e por 9, e em que a soma dos algarismos do

número deve ser divisível por 9.

AUTO-AVALIAÇÃO

Os MDC e MMC geométricos foram duas maneiras apresentadas para abordar os

processos de cálculo dos mesmos, em que exploramos algumas regularidades

também. Verifique se você atingiu essa perspectiva nas Atividades 2 e 4.

Na sinuca de Snooker, você utilizou a tecnologia no ensino da matemática,

não como uma atividade à parte, mas inserida em um processo de investigação

que foi exposto a você no decorrer do tópico. Questionamos, também, aspectos

do ensino de múltiplos e divisores, regras de divisibilidade focalizando

as dificuldades encontradas por alunos nesse estudo. Na Atividade Final,

além de identifi car esses aspectos, uma boa avaliação é pensar em outras questões

que esse contexto permite explorar.


C E D E R J58

RESPOSTAS

Atividade 1

Menor quadrado formado tem

medida do lado 6

Atividade 2

Faça geometricamente cada MDC indicado.

MDC (2,4)=2 MDC (2,8)=2 MDC (4,8)=4

MDC (2,6)=2 MDC (3,6)=3 MDC (5,15)=5

a. Em cada um dos casos do processo do MDC geométrico, todos os quadrados (tanto

os “retirados” quanto o último) são congruentes. Isso ocorre porque os números

envolvidos no MDC são múltiplos. Quando pensamos no maior quadrado possível,

a medida do lado desse quadrado será o menor número envolvido no processo.

AU

LA 12

MÓ

DU

LO 1

C E D E R J 59

Atividade 3

A B

D C

a. A bola cai na caçapa D, percorrendo um total de 36 quadradinhos.

Atividade 4

A B

D C

MMC (2,4)=4A B

D C

MMC (3,9)=9 A B

D C

MMC (4,8)=8

A B

D C

MMC (1,8)=8

A B

D C

MMC (3,6)=6 A B

D C

MMC (5,15)=15

A B

D C

MMC (2,6)=6

A B

D C

MMC (2,8)=8

A B

D C

MMC (1,7)=7


C E D E R J60

a. Observe que, em alguns casos, a bola cai na caçapa C e, em outros, na B,

mas em todos os casos os números envolvidos são múltiplos. No MMC entre 3 e 9, 2 e 6, 5

e 15 e 1 e 7, a bola caiu na caçapa indicada pelo vértice C. Já no MMC entre 2 e 4, 4 e

8, 3 e 6, 2 e 8 e 1 e 8, a bola cai na caçapa indicada pelo vértice B. Uma possibilidade

de generalização é a seguinte:

Sejam m e n dois números inteiros positivos tais que m divide n. Se m ÷ n é ímpar,

então a bola cai na caçapa indicada pelo vértice C, entretanto, se m ÷ n é par, a bola

cai na caçapa indicada pelo vértice B.

Busque justifi car seu argumento.

Atividade 5

A resposta encontra-se no boxe de atenção.

Atividade 6

a. Esta questão não tem resposta fechada. Muitas questões devem ser levadas em

consideração pelo professor quando aborda uma situação-problema com alunos.

Veja, a seguir, uma forma de abordá-la, mas procure pensar em outras e discuta

com seu tutor.

b. Uma possibilidade de manipulação é usar uma tabela, onde exploramos as

potências dos números múltiplos de 3, em alguns casos concretos, trabalhando com

a escrita de múltiplos de 3 em forma de produto e com a propriedade de potenciação

(a.b)n = an.bn. Através da investigação, o aluno pode buscar uma argumentação.

Número divisível por 3 Elevado à 2ª potência Elevado à 3ª potência ... Elevado à 10ª potência

0=0x3 (0x3)2 = 02.32 (0x3)3 = 03.33 ... (0x3)10 = 010.310

3=1x3 (1x3)2 = 12.32 (1x3)3 = 13.33 ... (1x3)10 = 110.310

6=2x3 (2x3)2 = 22.32 (2x3)3 = 23.33 ... (2x3)10 = 210.310

9=3x3 (3x3)2 = 32.32 (3x3)3 = 33.33 ... (3x3)10 = 310.310

12=4x3 (4x3)2 = 42.32 (4x3)3 = 43.33 ... (4x3)10 = 410.310

15=5x3 (5x3)2 = 52.32 (5x3)3 = 53.33 ... (5x3)10 = 510.310

18=6x3 (6x3)2 = 62.32 (6x3)3 = 63.33 ... (6x3)10 = 610.310

::

::

::

::

33=11x3 (11x3)2 = 112.32 (11x3)3 = 113.33 ... (11x3)10 = 1110.310

::

::

::

::

AU

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LO 1

C E D E R J 61

A partir da análise da tabela, o aluno pode concluir que sempre haverá pelo

menos um fator 3 na escrita do número em forma de potência, logo, nos dois

casos, elevando-se um número ao quadrado ou à décima potência, o número será

divisível por 3.

c. A partir da 7ª série, o professor pode desenvolver com seus alunos raciocínios como

o apresentado na tabela, a diferença pode ser apenas no tipo de argumentação

dos alunos. Pode-se buscar argumentações que considerem a escrita algébrica.

Por exemplo: se um número n é divisível por 3, podemos escrevê-lo como n =

3m. Neste caso, n2 = 32m2 apresenta um fator 3 na expressão (precisamente dois

fatores 3), sendo assim, divisível por 3. A décima potência também apresenta um

fator 3 na expressão (precisamente dez fatores 3), sendo também divisível por 3.

Observe: n10 = 310m10.

Atividade 8

Sim, todos os números naturais de três algarismos iguais são múltiplos de 37.

Para justifi car, você pode efetuar a divisão por 37 dos números 111, 222, 333, 444,

555, 666, 777, 888 e 999, ou pode optar por um raciocínio dedutivo.

Nesse caso, podemos escrever um número da forma AAA como 100A + 10A + A,

mas 100A = 37A + 37A + 26A, assim, o número (AAA) = 37A + 37A + 26A + 10A

+A = 37A + 37A + 37A = 3x37A. Logo, o número (AAA) é divisível por 37.

Atividade Final

a. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,

83, 89, 93, 97. Todos possuem apenas dois divisores, 1 e ele mesmo, ou seja, são

números primos.

b. 24, 48, 72 e 96. É o 24.

c. Sim, o 6 por exemplo. Não. Todo múltiplo de 4 é múltiplo de 2, mas nem todo

múltiplo de 2 é múltiplo de 4.

d. Ele não é primo nem composto.

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