Costa, S.C. 1

Universidade Estadual de LondrinaDepartamento de Estatıstica

Variaveis Aleatorias Discretas

Silvano Cesar da Costa

Londrina - Parana

Costa, S.C. 2

Variaveis Aleatorias Discretas

Exemplo:

Um pesquisador desenvolveu uma nova tecnica de inseminacao artificial que,segundo ele, garante 60% de sucesso. Um fazendeiro resolveu aplicar estanova tecnica em seus animais. Para isso ele selecionou 3 animais de seurebanho.

Considere inicialmente, o experimento: “aplicar a nova tecnica de inse-minacao e observar o resultado”. Sejam os eventos:E “o animal emprenhar” e E o evento “o animal nao emprenhar”.

a) Construir o espaco amostral associado a esse experimento;

b) Calcular as probabilidades associadas a cada um dos elementos do espacoamostral;

c) Considerar Y o numero de animais prenhes e associar um valor y acada um dos elementos do espaco amostral.

Costa, S.C. 3

Resultados Possıveis Probabilidades y

E // EEE 0,216 3

E

::uuuuuu

$$III

III

E // EEE 0,144 2

E

CC

666

6666

666

E // EEE 0,144 2

E

::uuuuuu

$$III

III

E // EEE 0,096 1

•

II

Costa, S.C. 4

Resultados Possıveis Probabilidades y

•

*******************

E // EEE 0,144 2

E

::uuuuuu

$$III

III

E // EEE 0,096 1

E

CC

666

6666

666

E // EEE 0,096 1

E

::uuuuuu

$$III

III

E // EEE 0,064 0

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Variavel Aleatoria Discreta

Uma funcao definida sobre o espaco amostral Ω e assumindo valores num con-junto enumeravel de pontos do conjunto real e dita uma variavel aleatoriadiscreta.

Distribuicao de uma Variavel Aleatoria

O conjunto dos valores da variavel e as respectivas probabilidades, ou seja,yi e P (yi), i = 1, . . . , n e chamado distribuicao da variavel aleatoria Y .

Observacao:

n∑i=1

P (yi) = 1.

Costuma-se adotar, tambem, a notacao P (Y = yi) para designar a probabi-lidade de a variavel aleatoria Y assumir o valor yi.

Portanto, a distribuicao da variavel aleatoria (v.a.) Y e dada por:

Costa, S.C. 6

Tabela 1: Distribuicao da variavel aleatoria Y = Numero de animaisprenhe.

y P(Y=y)

0 0,064

1 0,288

2 0,432

3 0,216

cuja representacao grafica e apresentada na Figura 1.

Costa, S.C. 7

Número de Sucessos

Pro

babi

lidad

es

0 1 2 3

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

Figura 1: Grafico das probabilidades de prenhez dos animais.

Costa, S.C. 8

Qual e a porcentagem esperada de :

i) tres animais emprenharem?

ii) nenhum animal emprenhar?

iii) pelo menos um animal emprenhar?

Costa, S.C. 9

Para elaborar a Tabela 1 e construir o grafico usando o R, bastam os coman-dos:

vacas = 0:3

prob_suc = 0.6

prenhe = data.frame(Pr = dbinom(vacas, 3, prob_suc))

rownames(prenhe) = 0:3

cbind(prenhe)

plot(vacas, dbinom(vacas, size=3, prob=prob_suc),

xlab="Numero de Sucessos", ylab="Probabilidades",

main=’’, axes=F, type="h", col=’blue’)

points(vacas, dbinom(vacas, size=3, prob=prob_suc),

pch=16, , col=’blue’)

axis(1, vacas)

axis(2, seq(0, 0.45, .05), las=1)

abline(h=0, col="gray", cex=2.5, lwd=2)

box(bty=’l’)

Costa, S.C. 10

Funcao de Probabilidade

A funcao que fornece as probabilidades de ocorrencias dos valores que avariavel aleatoria pode assumir e chamada funcao de probabilidades.

Exemplo: A funcao de probabilidades da variavel Y = Numero de animaisprenhe e dada por:

P (Y = y) =

(3

y

)0, 3y (1− 0, 3)3−y, y = 0, . . . , 3.

em que (3

y

)=

3!

y!(3− y)!

Costa, S.C. 11

Exercıcios: Calcular P (Y = 0), P (Y = 1), P (Y = 2) e P (Y = 3), atravesda funcao de probabilidades e interpretar o resultado.

Valor medio ou Esperanca Matematica de Y

Para responder sobre “qual o numero medio esperado de animais emprenha-dos?” e necessario calcular o valor medio definido por:

Dada a variavel aleatoria Y , assumindo os valores y1, y2, . . . , yn comas respectivas probabilidades P (y1), P (y2), . . . , P (yn), chamamos va-lor medio ou esperanca matematica de Y ao valor:

µY = E(Y ) =

n∑i=1

yi P (yi) (1)

Costa, S.C. 12

Exemplo: Para os dados da Tabela 1, calcula-se a esperanca de Y como:

y P (Y = y) y × P (Y = y)

0 0,064

1 0,288

2 0,432

3 0,216

Total 1,000

Portanto, E(Y ) = animais emprenhados.

Interpretacao: Espera-se obter um numero medio de animais em-prenhados.

Costa, S.C. 13

Propriedades da Esperanca Matematica

Supondo k uma constante e X e Y variaveis aleatorias, podemos definir asseguintes propriedades da esperanca matematica:

a) E(k) = k

b) E(kX) = kE(X)

c) E(X ± Y ) = E(X)± E(Y )

d) E(X ± k) = E(X)± k

e) Se X e Y sao variaveis aleatorias independentes, entao:

E(XY ) = E(X)E(Y )

Costa, S.C. 14

Variancia de Y

Dada a variavel aleatoria Y , chamamos de variancia de Y , ao valor:

σ2Y = V (Y ) =

n∑i=1

[yi − E(Y )

]2P (yi). (2)

Logo, para o exemplo dado:

y P (Y = y)[yi − E(Y )

]2 [yi − E(Y )

]2P (Y = y)

0 0,064 3,24 0,20736

1 0,288 0,64 0,18432

2 0,432 0,04 0,01728

3 0,216 1,44 0,31104

Total 1,000 0,72

Costa, S.C. 15

Portanto, V (Y ) = 0, 72. Assim, o Desvio Padrao e o Coeficiente de Variacaosao dados, respectivamente, por:

σY = 0, 8485281 e CV =σY

µY100 = 47, 14%.

Uma maneira mais pratica para o calculo da variancia de Y e:

σ2Y = V (Y ) = E(Y 2)−

[E(Y )

]2em que

E(Y ) =

n∑i=1

yi × P (Y = yi)

E(Y 2) =n∑

i=1

y2i × P (Y = yi)

Costa, S.C. 16

Logo,

y P (Y = y) y2i y2i P (Y = y)

0 0,064 0 0,000

1 0,288 1 0,288

2 0,432 4 1,728

3 0,216 9 1,944

Total 1,000 3,960

Assim,

V (Y ) = E(Y 2)−[E(Y )

]2V (Y ) = 3, 96−

(1, 8

)2

V (Y ) = 0, 72.

Costa, S.C. 17

Propriedades da Variancia

Supondo k uma constante e X e Y variaveis aleatorias, pode-se definir asseguintes propriedades para a variancia:

a) V (k) = 0

b) V (kX) = k2 V (X)

c) V (X ± Y ) = V (X)± V (Y ) + 2 COV (X,Y )

d) V (X ± Y ) = V (X)± V (Y ), se X e Y sao independentes.

e) V (X ± k) = V (X)

f) Se X e Y sao variaveis aleatorias independentes, entao: COV (XY ) =E(XY )− E(X) E(Y ) = 0.

Obs.: O fato de COV (X,Y ) = 0 nao implica que X e Y sejam independen-tes.

Costa, S.C. 18

Distribuicao acumulada de uma variavel aleatoria

O conjunto dos valores da variavel e as probabilidades acumuladas ate os res-pectivos valores, ou seja, yi e F (yi) = P (Y ≤ yi) i = 1, 2, . . . , n e chamadadistribuicao acumulada da variavel aleatoria Y .

Obter a tabela de distribuicao acumulada de probabilidades da variavelaleatoria Y ou distribuicao acumulada de Y relativos a inseminacao artificialdos apresentados na Tabela 1.

y P (Y = y) F (y) = P (Y ≤ y)

0 0,064

1 0,288

2 0,432

3 0,216

Costa, S.C. 19

Distribuicao acumulada de uma variavel aleatoria

O conjunto dos valores da variavel e as probabilidades acumuladas ate os res-pectivos valores, ou seja, yi e F (yi) = P (Y ≤ yi) i = 1, 2, . . . , n e chamadadistribuicao acumulada da variavel aleatoria Y .

Obter a tabela de distribuicao acumulada de probabilidades da variavelaleatoria Y ou distribuicao acumulada de Y relativos a inseminacao artificialdos apresentados na Tabela 1.

y P (Y = y) F (y) = P (Y ≤ y)

0 0,064 0,064

1 0,288 0,352

2 0,432 0,784

3 0,216 1,000

Costa, S.C. 20

Os valores completos da funcao de distribuicao sao os seguintes:

F (y) =

0 se y < 0;

0, 064 se 0 ≤ y < 1

0, 352 se 1 ≤ y < 2

0, 784 se 2 ≤ y < 3

1 se y > 3

cujo grafico e apresentado na Figura 2

Costa, S.C. 21

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Número de Sucessos

Probab

ilidade

s

Figura 2: Distribuicao acumulada da prenhez dos animais.

Interpretar o valor F (1) = P (Y ≤ 1) = P (Y = 0) + P (Y = 1).

Costa, S.C. 22

Exercıcio 1: Uma moeda viciada tem probabilidade de cara igual a 0, 4.Para dois lancamentos independentes dessa moeda, estude o comportamentoda variavel numero de caras e faca um grafico de sua funcao de probabili-dade.

Exercıcio 2: Considere um pasto com 3 vacas da raca Holandesa e 5 vacasda raca Gir. Serao retirados do pasto 3 animais, atraves de sorteio e semreposicao. Defina a variavel Y como sendo o numero de animais da racaGir. Pede-se:

a) obter uma tabela contendo todos os possıveis resultados desse experimentoe as probabilidades associadas a cada um deles;

b) obter a distribuicao da variavel aleatoria Y e um grafico que a represente.

Exercıcio 3: Seja Y a variavel aleatoria discreta numero de obitos observa-dos mensalmente no Hospital Veterinario, cuja distribuicao de probabilidadese dada por:

y 0 1 2 3 4 5

P (y) 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,1

Costa, S.C. 23

Pede-se:

a) obter a funcao de distribuicao acumulada F (y) para a variavel aleatoriaY e um grafico que a represente;

b) calcular o numero medio de ovos;

c) calcular: E(4Y ), E(Y + 1), E(Y 2) e a variancia de Y;

d) calcular V ar(2Y ) e V ar(Y + 1).

Exercıcio 4: Em um experimento com chocadeira automatica sao colocados5 ovos e observado o numero de ovos eclodidos. Sabendo-se que teoricamente,90% dos ovos eclodem, obter:

a) a distribuicao de probabilidades da variavel aleatoria Y = numero deovos eclodidos e um grafico que a represente;

b) a probabilidade de pelo menos 3 ovos eclodirem;

c) a esperanca e a variancia de Y .

Costa, S.C. 24

Principais Distribuicoes de Probabilidades

# Distribuicao de Bernoulli;

# Distribuicao Binomial;

# Distribuicao de Poisson;

# Distribuicao Geometrica;

# Distribuicao Hipergeometrica;

# Distribuicao Uniforme;

# Distribuicao Binomial Negativa.

Serao estudadas apenas as 5 primeiras.

Costa, S.C. 25

Distribuicao de Bernoulli

Nos experimentos de Bernoullia o espaco amostral e composto por apenasdois resultados possıveis: “sucesso” (resultado de interesse) ou “fracasso”(resultado pelo qual nao estamos interessados).

Exemplos:

a) Lancar uma moeda. Pode sair cara ou coroa;

b) Inseminar um animal. Pode emprenhar ou nao;

c) Colocar uma estaca em um vaso com terra. Pode enraizar ou nao;

d) Plantar uma semente. Pode germinar ou nao;

aJakob Bernoulli (Nascido em 27/12/1654 em Basel, Suıca e falecido em 16/08/1705),tambem conhecido como Jacob, Jacques ou James Bernoulli.

Costa, S.C. 26

Seja Y a variavel aleatoria numero de sucessos e p a probabilidade deocorrer sucesso. Assim,

Resultados Possıveis Probabilidades y

S (Sucesso) p 1

•

;;wwwwww

##GGG

GGGG

F (Fracasso) 1− p 0

A distribuicao de probabilidade de Y com distribuicao de Bernoulli, comparametro p e dada por:

Costa, S.C. 27

Tabela 2: Distribuicao da v.a. Y de Bernoulli.

y P(Y=y)

0 1− p

1 p

Total 1

Pode-se calcular a media desta distribuicao utilizando-se a Equacao (1). As-sim:

µY = E(Y ) =n∑

i=1

yi P (Y = yi)

µY = E(Y ) = 0 (1− p) + 1 p

µY = E(Y ) = p

Costa, S.C. 28

Da Equacao (1), pode-se calcular a variancia que e:

V (Y ) =n∑

i=1

[yi − E(Y )

]2P (Y = yi)

V (Y ) = (0− p)2 (1− p) + (1− p)2 p

V (Y ) = p2(1− p) + p(1− p)2

V (Y ) = p(1− p)

Portanto,

E(Y ) = pe

V (Y ) = p(1− p)

Notacao: Y ∼ Be(p).

Funcao de Probabilidades: A funcao de probabilidades de uma distri-buicao de Bernoulli e dada por:

P (Y = y) = py(1− p)1−y, y = 0, 1.

Costa, S.C. 29

Distribuicao Binomial

a) Supor uma serie de n experimentos independentes (o resultado de umexperimento nao e afetado pelo resultado dos outros) de Bernoulli;

b) A probabilidade de sucesso em cada experimento e sempre igual a p;

c) O numero de sucessos observado e um numero inteiro entre 0 e n.

Entao diz-se que a variavel aleatoria Y = numero de sucessos nos n ensaiostem distribuicao binomial com parametros n e p.

Notacao: Y ∼ Bin(n, p).

Costa, S.C. 30

Funcao de Probabilidades: A funcao de probabilidades de uma variavelY com distribuicao binomial Bin(n, p) e dada por:

P (Y = y) =

(n

y

)py(1− p)n−y, y = 0, 1, . . . , n.

em que

(n

y

)=

n!

y!(n− y)!.

Costa, S.C. 31

E a mais importante das distribuicoes de probabilidades discretas. Temesse nome devido ao calculo das probabilidades ser feito usando termos daexpansao do binomio de Newton. O teorema do binomio de Newton e dadopor:

(x+ y)n

=n∑

k=0

(n

k

)xn−k yk

=

(n

0

)xn−0 y0 +

(n

1

)xn−1 y1 +

(n

2

)xn−2 y2 + . . .+

(n

n

)xn−n yn

(x+ y)n

= xn + nxn−1 y1 +

(n

2

)xn−2 y2 +

(n

3

)xn−3 y3 + . . .+ yn

em que

(n

k

)=

n!

k!(n− k)!.

Costa, S.C. 32

Exemplo: Se considerarmos uma variavel aleatoria com distribuicao bino-mial Bin(10; 0, 3), ou seja, o estudo de uma variavel, cujo numero de ensaiosseja igual a 10 realizacoes e a probabilidade de sucesso e igual a 30%, o graficodesta situacao (apresentado na Figura 3) sera:

Costa, S.C. 33

Número de Sucessos

Pro

babi

lidad

es

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Figura 3: Grafico da distribuicao Binomial, para n = 10 ensaios com proba-bilidade de sucesso p = 0, 30.

Costa, S.C. 34

A esperanca e a variancia de uma variavel aleatoria Y com distribuicao bi-nomial Bin(n, p) sao dadas, respectivamente, por:

E(Y ) = npe

V (Y ) = np(1− p)

Para gerar o grafico da distribuicao no R bastam os seguintes comandos:

db <- 0:10

plot(db, dbinom(db, size=10, prob=0.3), las=1, main=’’, type="h",

xlab="Numero de Sucessos", ylab="Probabilidades", bty=’l’,

col=’blue’)

points(db, dbinom(db, size=10, prob=0.3), pch=16, , col=’blue’)

abline(h=0, col="gray")

Se o interesse for apenas nos valores das probabilidades, os mesmos podemser obtidos com:

data.frame(Pr=dbinom(0:10, size=10, prob=0.3))

Costa, S.C. 35

Exemplo 1: Uma moeda e lancada dez vezes; qual a probabilidade de seobter duas caras? Determine a esperanca e a variancia.

Exemplo 2: Uma infeccao experimental em camundongos determina mortede 30% dos animais a ela submetidos. Qual a probabilidade de obter numlote de 10 animais, uma mortalidade de, no maximo 20%?

Exemplo 3: Voce leva sua cadela ao veterinario e descobre atraves de umexame de ultrasonografia que ela esta gravida com uma ninhada de 8 filhotes.

a) Qual e a probabilidade de que exatamente 3 dos filhotes sejam femeas?

b) Qual e a probabilidade de que existam um numero igual de machos efemeas?

c) Qual e a probabilidade de que existam mais machos do femeas?

Costa, S.C. 36

Distribuicao de Poisson

A distribuicao de Poissona e largamente empregada quando se deseja contaro numero de ocorrencias de um evento de interesse, por unidade de tempo,comprimento, area ou volume. E tambem chamada de distribuicao dos even-tos raros.Exemplos:

a) Numero de insetos de uma especie coletados por armadilha por dia;

b) Numero de furos em pneus por km rodado;

c) Numero de bacterias por ml de urina;

d) Numero de pacientes que chegam a um pronto atendimento de uma pe-quena cidade durante a madrugada;

e) Numero de arvores de uma certa especie, por ha.

Note que os possıveis valores que as variaveis descritas podem assumir sao:0, 1, . . . ,.

aSimeon-Denis Poisson, matematico Frances, 1781–1840.

Costa, S.C. 37

O comportamento dessas variaveis pode ser descrito pela chamada distri-buicao de Poisson.

Funcao de Probabilidades: A funcao de probabilidades de uma variavelY com distribuicao Poisson, Y ∼ Pois(λ) e dada por:

P (Y = y) =e−λ λy

y!, y = 0, 1, . . .

em que λ e igual ao numero medio de ocorrencias do evento de interesse porunidade de tempo, distancia, area, ...

Notacao: Y ∼ Poi(λ).

O grafico gerado pela funcao de probabilidades de uma distribuicao de Pois-son, para λ = 4, e apresentado na Figura 4.

Obs.: Para valores de Y maiores que 12, com λ = 4, as probabilidadestendem a zero.

Costa, S.C. 38

x

Pro

babi

lidad

es

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Figura 4: Grafico da distribuicao de Poisson, cuja media (λ) e 4,0.

Os pressupostos basicos para a utilizacao do modelo sao:

Costa, S.C. 39

1) as condicoes permanecem estaveis no decorrer do tempo, isto e, a taxamedia de ocorrencias (λ) e constante ao longo do tempo;

2) intervalos de tempo disjuntos sao independentes, isto e, a informacaosobre o numero de ocorrencias em um intervalo nada revela sobre o numerode ocorrencias em outro intervalo.

A esperanca e a variancia de uma variavel aleatoria Y com distribuicao Pois-son Pois(λ) sao dadas, respectivamente, por:

E(Y ) = λe

V (Y ) = λ

Costa, S.C. 40

Exemplo 1: Uma vacina contra a febre aftosa tem probabilidade igual a0, 001 de nao imunizar um animal. Se forem vacinados cinco mil animais,qual a probabilidade de nao ficarem imunes:

a) tres animais

b) dois animais ou mais

Exemplo 2: Um pesquisador esta interessado no numero de ovos deposita-dos por uma especie de passaro. Na primavera, ele procura e acha 80 ninhos.O numero medio de ovos por ninho foi 3,8 e a variancia foi 3,1. Porque avariancia e aproximadamente igual a media, ele acha que pode ser razoaveldescrever o numero de ovos por ninho como tendo uma distribuicao Poissoncom media 3,8.

a) Construa o grafico dessa distribuicao de probabilidades;

b) Se esta realmente representa a distribuicao populacional, qual seria a pro-babilidade de nao encontrar ovo num ninho?

c) Qual seria a probabilidade de encontrar um ninho com mais que 5 ovos?

d) Qual a probabilidade de encontrar de 3 a 6 ovos?

Costa, S.C. 41

Exemplo 3: O numero de consultas medicas anuais (Y) de um associado deum plano de saude e, naturalmente, um numero finito. Uma aproximacao,que simplifica a especificacao de sua distribuicao, e supor queY pode assumirqualquer valor do conjunto 0, 1, 2, . . . . Em um plano de saude com 5.694filiados, ao fim de um ano, foram realizadas 13.098 consultas, de acordo coma Tabela 3.

Tabela 3: Numero de consultas realizadas pelos associados.

Numero de consultas Frequencias Numero de consultas Frequencias0 589 5 3041 1.274 6 1262 1.542 7 393 1.144 8 104 663 9 3

Pede-se:

a) Especifique o modelo de Poisson para esses dados.

b) Qual a probabilidade de se ter 7 consultas ou mais?

c) Compare os valores observados com o esperado pelo modelo.

Costa, S.C. 42

Distribuicao Geometrica

Destinada ao calculo de probabilidades de situacoes em que sao feitas suces-sivas tentativas independentes de um mesmo experimento aleatorio ate queapareca o 1o sucesso.

As principais caracterısticas da distribuicao geometrica sao:

a) experimento realizado ate que ocorra o primeiro sucesso;

b) a variavel aleatoria e o numero de falhas ate obter o primeiro sucesso.Assim, se designarmos S como sucesso e F como fracasso, e realizarmosn ensaios ate que ocorra o primeiro sucesso, o espaco amostral deste ex-perimento sera o conjunto:

Ω = S, FS, FFS, . . . , FFF · · ·S, . . .

c) as tentativas sao sucessivas e independentes, com probabilidade de sucessop;

Costa, S.C. 43

Funcao de Probabilidade

# Y e o numero de falhas ate obter o primeiro sucesso;

# as tentativas sao sucessivas e independentes, com probabilidade de sucessop;

A funcao de probabilidade e dada por:

P (Y = y) = (1− p)y × p y = 0, 1, 2, . . .

Notacao: Y ∼ G(p).

A esperanca e a variancia de uma variavel aleatoria com distribuicao hiper-geometrica e dada por:

E(Y ) =1− p

pe

V (Y ) =1− p

p2

Costa, S.C. 44

Exemplo 1: A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de transito numaesquina e 0, 20. Qual a probabilidade de que seja necessario passar pelo local5 vezes para encontrar o sinal aberto pela primeira vez?

Exemplo 2: Um casal com problemas para engravidar, recorreu a umatecnica de inseminacao artificial no intuito de conseguir o primeiro filho. Aeficiencia da referida tecnica e de 0, 40. Qual a probabilidade de que o casalobtenha exito na terceira tentativa?

Costa, S.C. 45

Distribuicao Hipergeometrica

Exemplo: Em uma sala ha 40 alunos, dos quais 32 sao mulheres. Seraoselecionados 5 alunos para um estagio. Qual a probabilidade de que 4 sejamhomens?

Exemplo: Num canil para adocao ha 20 animais, dos quais 15 sao SRD(Sem Raca Definida). Todo final de semana sao adotados 4 animais. Quala probabilidade de, no proximo final de semana, serem adotados 3 animaisSRD? Construa a distribuicao de probabilidades para SRD.

Exemplo: Um baralho de cartas tem 4 naipes de 13 cartas: espadas, paus,ouros e copas.

a) Qual e a probabilidade de que em uma mao de 5 cartas exatamente 3sejam paus?

b) Qual e a probabilidade de que em uma mao de 5 cartas exatamente 3sejam do mesmo naipe?

Costa, S.C. 46

As principais caracterısticas da distribuicao hipergeometrica sao:

a) a distribuicao hipergeometrica nao necessita de independencia e se baseiaem amostragem feita sem reposicao;

b) Este tipo de modelo surge da contagem de objetos de certo tipo, retiradosao acaso e sem reposicao, de um conjunto contendo dois tipos de objetos.

Esquematicamente, teremos:

n elementos

m Tipo 1

n−m Tipo 2

r amostras

k Tipo 1

r − k Tipo 2

Costa, S.C. 47

Assim, ha(mk

)formas diferentes de se escolher k elementos em m do Tipo 1.

Da mesma forma, havera(n−mr−k

)formas diferentes de se escolher (r − k) ele-

mentos em (n−m) do Tipo 2.

Logo, o numero de resultados favoraveis ao evento que se quer estudar seradado por: (

m

k

)(n−m

r − k

)O numero total de resultados possıveis sera dado por:(

n

r

)

Costa, S.C. 48

Funcao de Probabilidade

Se a populacao tem n elementos, m de um tipo e (n−m) de outro e e retiradauma amostra de r elementos, sem reposicao, a funcao de probabilidade e dadapor:

P (Y = k) =

(mk

)(n−mr−k

)(nr

) , k = 0, 1, . . . ,min(r,m)

Costa, S.C. 49

A esperanca e a variancia de uma variavel aleatoria com distribuicao hiper-geometrica e dada por:

E(Y ) = r × m

ne

V (Y ) =m

n× (n−m)

n×

[1− r − 1

n− 1

]

Costa, S.C. 50

Exemplo: Em uma sala ha 40 alunos, dos quais 32 sao mulheres. Seraoselecionados 5 alunos para um estagio. Qual a probabilidade de que 4 sejamhomens?

Costa, S.C. 51

Exemplo: Num canil para adocao ha 20 animais, dos quais 15 sao SRD(Sem Raca Definida). Todo final de semana sao adotados 4 animais. Quala probabilidade de, no proximo final de semana, serem adotados 3 animaisSRD? Construa a distribuicao de probabilidades para SRD.

Costa, S.C. 52

Exemplo: Probabilidades de acerto na megasena.

Costa, S.C. 53

1. Qual a probabilidade de acertar a quina no jogo da mega-sena?

2. Qual a probabilidade de acertar a quina num jogo de 8 numeros?