VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

2015

2

Variável aleatória

é o espaço amostral de um experimento aleatório. Uma variável aleatória, X, é uma função que atribui um número real a cada resultado em .

Exemplo. Retira-se, ao acaso, um item produzido de um lote de seis unidades. Variáveis:

X: Número de defeitos no item selecionado.

Y: Tempo de vida do item (em h).

3

O espaço amostral associado a este experimento aleatório é

.,,, 621 aaa

Os possíveis valores da variável X são 0,1,2,..., e os possíveis valores da variável Y são os números reais não negativos.

Classificação:• Variáveis aleatórias discretas. O conjunto de possíveis valores é finito

ou infinito enumerável.

• Variáveis aleatórias contínuas. O conjunto de possíveis valores é infinito não enumerável (um intervalo, por exemplo).

No exemplo acima, X é discreta e Y é contínua.

4

Variáveis aleatórias discretas (VAD)

Exemplo. Um lote de um certo produto é formado por 35 itens, sendo 21 itens do tipo H e 14 do tipo M. Uma amostra de 3 itens será formada sorteando-se, sem reposição, três itens do lote. Qual a probabilidade de encontrarmos na amostra pelo menos dois itens do tipo M?

X é uma VAD com possíveis valores no conjunto RX. Uma função f(x) é uma função de probabilidade se

Xi Rxi

iii

i

xf

xxfxXxf

.1)( (iii)

e R ),()(P (ii),1)(0 (i)

X

Definimos X como o número de itens do tipo M na amostra.

5

E s p a ç o a m o s t r a l P r o b a b i l i d a d e X H H H 203,0

3319

3420

3521

0

H H M 150,03314

3420

3521

1

H M H 150,03320

3414

3521

1

M H H 150,03320

3421

3514

1

H M M 097,03313

3414

3521

2

M H M 097,03320

3421

3514

2

M M H 097,03321

3413

3514

2

M M M 056,03312

3413

3514

3

x 0 1 2 3 P ( X = x ) 0 , 2 0 3 0 , 4 5 0 0 , 2 9 1 0 , 0 5 6

0,347.0,0560,2913P2P2)P(X Assim, )(X)(X

6

Exemplo. A demanda diária de um item é uma variável aleatória discreta com a função de probabilidade

.4 ,3 ,2 ,1;!

2)(P ddCdD

d

(a) Determinar a constante C.

(b) Calcular P(D 2).

Solução. (a) Para que P(D = d) seja uma função de probabilidade, devemos ter (i) C > 0 e (ii) P(D = 1) + P(D = 2) + P(D = 3) + P(D = 4) = 1. Ou seja,

.611

!42

!32

!22

121)(P

432

CCdDDRd

.32

64

621)1(P1)2(P1)2(P)(

.4,3,2,1;!6

2)(P Logo,

DDDb

dd

dDd

7

Função de distribuição acumulada de uma VAD

F u n ç ã o d e d i s t r i b u i ç ã o a c u m u l a d a ( F D A ) X é u m a V A D c o m v a l o r e s e m R X = { x 1 , x 2 , . . . } e f u n ç ã o d e p r o b a b i l i d a d e f ( x ) = P ( X = x ) . P a r a q u a l q u e r x , a F D A d e X , d e n o t a d a p o r F ( x ) , é d e f i n i d a c o m o

.que em ,)(P)()(P)( Xixx

ixx

i RxxXxfxXxFii

Exemplo. Uma variável aleatória X tem função de probabilidade

,c.c.,0

3,2se,15/7,1se,15/1

)(P)(

xx

xXxf

Determinar F(x).

8

xxi

xi

xxi

xi

xxi

xi

i

i

i

i

i

i

XXXxXxXxFx

XXXxXXFx

XXxXxXxFx

XXxXXFxSe

XxXxXxFx

fXxXXFx

xXxFx

.1)3(P)2(P)1(P)(P)(P)(,3Se

.1157

157

151

)3(P)2(P)1(P)(P)3(P)3(,3Se

.158)2(P)1(P)(P)(P)(,32Se

.158

157

151)2(P)1(P)(P)2(P)2(,2

.151)1(P)(P)(P)(,21Se

.151)1()1(P)(P)1(P)1(,1Se

.0)(P)(,1Se

3

2

1

9

.R de elementos são eque sendo )()(então ),[ se geral, Em

).2()(então),3,2[se);1()(então),2,1[ Se

x1

1

ll

lll

xxxFxFxxx

FxFxFxFx

Observação.

Logo, a FDA é dada por

.3se,1,32se,15/8,21se,15/1

,1se,0

)(

xxxx

xF

10

X é u m a V A D 1 . P a r a t o d o x , 0 F ( x ) 1 . 2 . F ( x ) é u m a f u n ç ã o m o n ó t o n a n ã o d e c r e s c e n t e .

3 . 1)(lim0)(lim

xFexFxx

4 . S e R X = { x 1 , x 2 , . . . . . . } , e m q u e x 1 < x 2 < . . . , e n t ã o f ( x i ) = P ( X = x i ) = F ( x i ) - F ( x i - 1 ) . 5 . S e a e b s ã o t a i s q u e a < b , e n t ã o

).(P)()()(P)(e )(P)()()(P)(

),()()(P)(),(P1)(P)(

),()(P)(

bXaFbFbXavaXaFbFbXaiv

aFbFbXaiiiaXaXii

aFaXi

Propriedades da função de distribuição acumulada

11

Exemplo. A variável aleatória X tem função de distribuição acumulada

.3,32

sese

,1,8/5

,21se,2/1,10se,8/1

,0se,0

)(

xxxx

x

xF

Determinar

c.c.,0,3 ,1se,8/3,2 ,0se,8/1

)(P)(

é X de adeprobabilid de função a quemostrar se-pode FDA, da 4 epropriedad Pela}.3,2,1,0{ que se-FDA tem Da (c)

1/2.1/2-1F(1)-12)P(X-12)P(X :FDA da 5(i) ePropriedad)(.2/12/11)1()3()31(P (a)

:FDA da 5(iii) epropriedad a Usando).()( e )2(P)( ),31(P)(

xx

xXxf

Rb

FFX

xfcXbXa

X

12

Exemplos

3.0 3.5 4.0 4.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

F(x)

3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

F(x)

3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

F(x)

3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

F(x)

13

Variáveis aleatórias contínuas (VAC)

Função densidade de probabilidade

Uma função f(x) é chamada função densidade de probabilidade de uma VAC X se

b

a

dxxfbXaAbxaxA

dxxf

xxf

.)()(P)(Pentão },;{ Se.3

.1)(.2

. todopara ,0)(.1

Exemplo. O tempo de produção de um componente (em minutos) é uma variável aleatória X com função densidade

contrário.caso,0

,42se,4

5)( xxxf

Verificar se f(x) é uma função densidade de probabilidade e calcular a probabilidade que o tempo de produção de um artigo escolhido ao acaso seja menor do que 3 minutos.

14

Primeiro notamos que f(x) 0, para todo x. Falta verificar a condição (2), ou seja a área sob o gráfico de f(x) deve ser igual a 1.

.1)2

5(41

450

450)(

4

2

22 4

2 4

4

2

x

xxdxxdxdxxdxdxxf

A probabilidade de que o tempo de produção de um artigo escolhido ao acaso seja menor do que 3 minutos é a probabilidade do evento A = {x; x < 3}, ou seja,

.85)

25(

41)5(

410)()3(P)(P

3

2

23 2 3

2

xxdxxdxdxxfXA

15

Observação. Se X é uma VAC, então

. todo para),(P)(P (iii), com e todospara ),(P

)(P)(P)(P (ii),todo para,0)(P (i)

aaXaXbababXa

bXabXabXaxxX

Função de distribuição acumulada. X é uma VAC com função densidade f(x). A função de distribuição acumulada (FDA) de X é

. todopara ,)()()(

x

xdttfxXPxF

Exemplo. Uma variável aleatória X tem função densidade

contrário.caso,0

,42se,4

5)( xxxf Determinar F(x).

Obs. Se X é um tempo de vida, utilizamos a função de confiabilidade (reliability function): R(x) = P (X > x) = 1 – F(x).

16

.1)()(

,4 Se

.8

)5(98

54

50

4,x2Se.0logo, ;0)( ,2 Se

0

x

4

1

4

2

0

2x

-

2

2

22

2

x

-

f(t)dtdttfdttff(t)dtF(x)

x

xtdttdtf(t)dtF(x)

F(x)xfx

xx

.4se,1

,42se8

)5(9,2se,0

)(2

x

xxx

xF

Logo, a FDA de X é

0 1 2 3 4 5 60.

00.

20.

40.

60.

81.

0

x

F(x)

17

Observação.

A FDA de X permite o cálculo de probabilidades de eventos da forma

E = {x; a x b}, com a b. Isto é,

P(E) = F(b) – F(a).

Exemplo. Considere a FDA abaixo. Obtenha P(X 3) e P(3 X < 5).

,

.4se,1

42se,8

)5(9,2se,0

)(2

x

xxx

xF

.83

851)3()5()53(P

e 85

8)35(9)3()3(P

2

FFX

FX

Solução.

18

Propriedades

1. 0 F(x) 1, para todo x.

2. F(x) é uma função monótona não decrescente.

3. F(x) é uma função contínua para todo x.

.1)(lim)(lime0)(lim)(lim .4

x

xx

x

xxdttfxFdttfxF

).(xFdxdf(x)

5. Do teorema fundamental do cálculo obtemos

Exemplo. Suponha que o tempo de vida de um processador é uma variável aleatória X com

.0 se,0,0 se,1)( 2

xxkexF

x

Determinar (a) o valor de k, (b) P(X 2), P(2 X 4) e P(X -1) e (c) f(x).

19

Solução. (a) Propriedade 3 de F(x): F(0) = 0.

c.c.,0,0se,1 Logo, .101 20 xeF(x)kke

x

.0)1()1(P.233,0)1()1()2()4()42(P

.368,0)1(1)2(P1)2(P)(2112

11

FXeeeeFFX

eeXXb

0 2 4 6 8

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

f(x)

0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

F(x)

e R

(x)

F(x)

R(x)

c.c.,0

,0 se,21

)()(

: de 5 ePropriedad )(

2 xexFdxdxf

F(x)cx

20

Valor esperado e variância

Valor esperado de uma variável aleatória. X é uma variável aleatória com função de probabilidade ou função densidade de probabilidade f(x). O valor esperado (ou esperança matemática ou média da variável aleatória), denotado por E(X) = X é definido como

,)()(

:contínua aleatória variáveluma é X .2

e )()(

:discreta aleatória variáveluma é X 1.

dxxxfXE

xxfXEXRx

supondo que o somatório e a integral existem.

21

Valor esperado de uma função de variável aleatória

Y = h(X), sendo h uma função de X.

O valor esperado de h(X) é dado por

.)()()(

:contínua aleatória variáveluma é X .2

e )()()(:discreta aleatória variáveluma é X 1.

dxxfxhXE

xfxhXEXRx

22

Variância de uma variável aleatória. X é uma variável aleatória com função de probabilidade ou função densidade de probabilidade f(x) e com média E(X) = X. A variância de X, denotada por 2)(

XXVar é definida como o valor

esperado de (X - X)2.

.)()()(

:contínua aleatória variáveluma é X .2

e )()()(

:discreta aleatória variáveluma é X 1.

2

2

dxxfxXVar

xfxXVarXRx

Desvio padrão. É a raiz quadrada da variância:

.)()( XVarXDP X

23

Solução. Gráfico de f(x).

Exemplo. Suponha que a demanda diária de uma peça é uma variável aleatória discreta com função de probabilidade

.c.c,0

,4 ,3 ,2 ,1,!6

2)()( x

xxXPxfx

Determinar (a) a demanda esperada e (b) o desvio padrão da demanda.

x

P(X

= x

)

1 2 3 4

0.15

0.20

0.25

0.30

24

.99,08180)(

,8180

!462)

9194(

!362)

9193(

!262)

9192(

62)

9191(

)()()( )(

42

32

222

2

X

Rx

XDP

xfxXVarbX

Solução. (a) Pela definição de valor esperado, temos

.1,29

19!46

24!36

23!26

22621)()(

432

XRx

xxfXE

x

P(X

= x

)

1 2 3 4

0.15

0.20

0.25

0.30

Gráfico de f(x) com – , e + .

25

Moda, mediana e média (VAC)

x

f(x)

Mod

a

Med

iana

Méd

ia

x

f(x)

Méd

iaM

edia

na

Mod

a

Assimetria à direita:

Moda < Mediana < Média

Assimetria à esquerda:

Moda > Mediana > Média

Simetria: Mediana = Média (se existir).

26

Variáveis aleatórias independentes

X e Y são duas variáveis aleatórias. Dizemos que X e Y são independentes se, e somente se,

. e todospara ),(P)(P))()((P yxyYxXyYxX

Em particular, se X e Y são duas variáveis aleatórias discretas, X e Y são independentes se, e somente se,

, e todospara ),()())(P)(P))()((P

yxyFxFyYxXyYxX

YX

sendo que FX e FY são as FDA’s de X e Y.

27

).()()()(Xentão tes,independen variáveis são ,,Se.9

).()(Y)X(

então tes,independen aleatórias variáveissão e Se.8).()(.7

.0)(.6

2121

1

22

2

nn

n

XVarXVarXVarXXVarnXX

YVarbXVarabaVar

YXXVaraaXVar

aVar

Propriedades do valor esperado e da variância

X e Y são duas variáveis aleatórias e a e b dois números reais.

.)()(.5

).()(.4.)()(.3

).()(.2.)(.1

22 XXEXVar

YbEXaEbYaXEbXaEbaXE

XaEaXEaaE

28

Exemplo. O total de vendas diárias de um empresa que comercializa equipamentos eletrônicos (em dezenas de milhares de R$) é uma variável aleatória com função densidade

c.c.,0

,64se,6

6

,42se,3

2

)( xx

xx

xfX

(a) Para um certo dia, determine a probabilidade de que as vendas da empresa sejam maiores do que R$ 22.000,00, mas não ultrapassem R$ 45.000,00.

(b) A média e o desvio padrão das vendas diárias.(c) Se o lucro diário é dado pela função Y = 0,2X - 0,5, calcule a média e

o desvio padrão do lucro diário.

29

Solução. Denotamos as vendas diárias (em dezenas de milhares de R$) por X.

Gráfico de f(x):

.806,02

6612

231

66

32)()5,42,2(P)(P

5,4

4

24

2,2

2

5,4

2,2

5,4

4

4

2,2

xxxx

dxxdxxdxxfXA

(a) Definimos A = {2,2 < X 4,5} e calculamos

0 2 4 6 8

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Vendas (104 R$)

Den

sida

de

30

.89,149

1346

63

2)()( e

78,39

346

63

2)()(

6

4

24

2

222

6

4

4

2

dxxxdxxxdxxfxXE

dxxxdxxxdxxxfXE

(b) Iniciamos calculando

Logo,

.786,081/50)( e

81/50934

9134)()(

2222

XVar

XEXVar

X

XX

(c) Definimos Y = 0,2X – 0,5. Das propriedades do valor esperado e da variância obtemos E(Y) = E(0,2X – 0,5) = 0,2 E(X) – 0,5 = 0,2 34/9 –0,5 0,256,

.157,0)(

)81/50(2,0)(2,0)5,02,0()( 22

YVar

XVarXVarYVar

Y