Variaveis aleatorias discretas

7/21/2019 Variaveis aleatorias discretas

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Estatística II

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICAD

FACULDADE DE ECONOMIA

Prof. Dr. Ricardo Bruno Nascimento dos Santos



I – Variáveis Aleatrias e Distri!"i#$es %ePr&!a!ili%a%e

*) Definição: Seja E um experimento e S o espaço associado ao

experimento. Uma função X, que associe a cada elemento s ∈ S umnúmero real X(s) é denominada variável aleatória.

s •

S

X(s) •

R'

Variável Aleatória



Um empresário pretende estaelecer uma firma para monta!emde um produto composto de uma esfera e um cilindro. "s partes sãoadquiridas em fáricas diferentes #" e $%, e a monta!em consistiráem juntar as duas partes e pintá&las. ' produto acaado deve ser ocomprimento #definido pelo cilindro% e a espessura #definida pelaesfera% dentro de certos limites e isso só poderá ser verificado após a

monta!em. (ara estudar a viailidade de seu empreendimento, oempresário quer ter uma ideia da distriuição do lucro por peçamontada.

Sae&se que cada componente pode ser classificado como om,

lon!o ou curto, conforme sua medida esteja dentro da especificação,maior ou menor que a especificada, respectivamente. "lém disso,foram otidos dos faricantes o preço de cada componente #)* +,%e as proailidades de produção de cada componente com ascaracter-sticas om, lon!o e curto. ais valores podem serverificados na taela a se!uir

I() – Variáveis Aleatrias Discretas



Pr&%"t& Fá!rica

ACili*%r

&

Fá!rica

+Es,era

Dentro das especifcações..............

Bom(B)

0,80 0,0

!aior "#e as especifcações..........$on%o($)

0,&0 0,'0

!enor "#e as especifcações.........

#rto ()

0,&0 0,&0

osso primeiro o*+etivo e constr#ir as pro*a*ilidadesassociadas a com*inaço do prod#to a ser criado,primeiramente temos "#e constr#ir o espaço amostral (-),

como so constr#dos em /á*ricas di/erentes, consideramos"#e a constr#ço das peças se dá de /orma independente,

-e o prod#to fnal apresentar al%#m componente com de/eitocom a caracterstica c#rto (), ele será irrec"-erável, e ocon+#nto será ve*%i%& c&.& s"cata a R/ 0122. adacomponente lon%o poderá ser rec"-era%& a #m c"st&

a%ici&*al %e R/ 0122. Se & -re#& %e ve*%a %e ca%a"*i%a%e ,&r R/ 30122, como seria a distri*#iço de/re"#1ncias da variável X $#cro por con+#nto montado2

Ta!ela I)




/ntão como ficaria a taela

0om os valores de custo1

Cili*%r& Es,era

BB0,0

0,'00,&0

0,0

0,'00,&0

0,0

0,'0

0,&0

0,80

0,&0

0,&0

$

B

$

B

$

0,34

0,&4

0,08

0,0

0,0'

0,0&

0,0

0,0'

0,0&

Pr&%"t&

Pr&!a!ili%a%e

L"cr& -&r

M&*ta4e.5'6

BB 0,34 &3B$ 0,&4 &0B 0,08 53$B 0,0 &0$$ 0,0' 3$ 0,0& 53B 0,0 53

$ 0,0' 53 0,0& 53

Ta!ela I3

$




/ntão, pode&se notar que existem quatro possiilidades associadas asocorr2ncias de faricação do produto e de lucro, as quais seriam3

4+, se ocorrer o evento "4 5 6$$784, se ocorrer o evento "9 5 6$:, :$78

+, se ocorrer o evento "; 5 6::78

&+, se ocorrer o evento "< 5 6$0, 0$, 0:, :0, 0078

0ada um desses eventos possui uma proailidade associada, onde3(#"4%5 ,+=8 (#"9%5 ,9;8 (#";%5 ,98 (#"<%5,4>

?sso nos permitirá construir a função @ x, p# x%A, que é um modelo teórico

para a distriuição da variável X, que o empresário poderá usar para jul!ara viailidade econBmica do projeto que ele pretende realiCar. "qui o x é ovalor da D.". X e p# x% é a proailidade de X tomar o valor x.




x p(x)

4+ ,+=4 ,9;

+ ,9

&+ ,4>

Total 4,

Assim, teramos a se%#inte ta*ela

Ta!ela I7




Damos introduCir o conceito de valor médio por meio do exemploanterior3

" principal per!unta a ser feita pelo empresário diante da suadistriuição de :ucro seria em procurar saer qual seria o seu lucro médio

por conjunto montado. " partir da taela ?;,, oservamos que +=E das

monta!ens devem produCir um lucro de )* 4+, 9;E um lucro de )*4 eassim por diante. :o!o, o lucro esperado por monta!em será dado por

:ucro médio 5 #,+=%#4+% F #,9;%#4% F #,9%#+% F #,4>%#&+% 5 )*>,G+

HH Iefinição3 dada a v.a. X discreta, assumindo os valorescJamamos valor médio ou ESPERN! matemática de X ao valor3

I() – Variáveis Aleatrias DiscretasI()()6 Val&r M8%i& %e ".a VA

4,..., n x x

4 4

# % # %n n

i i i i

i i

E X x P X x x p

= =

= = =∑ ∑



" variKncia da D.". X pode ser otida pela clássica expressão de

variKncia, onde corresponde ao valor oservado menos a média elevado aoquadrado3

Lá o desvio padrão é a raiC da Dar#X%, vamos verificar em um exemplo prático como calcular a variKncia e o desvio padrão no /xcel3

( –I()(36 A vari9*cia e %esvi& %e ".a

variável aleatria

9

4

var# % @ # %An

i i

i

X x E X p

=

= −∑



(ara melJor retratar as propriedades do valor médio podemos

partir da se!uinte dúvida do empresário3SuponJa que todos os preços determinados pelo empresário

estivessem errados. Ma realidade, todos os valores deveriam serduplicados, isto é, custos e preços de venda. ?sso corresponde N

transformação O59X. "s proailidades associadas N D.". O serão asmesmas da D.". X, pois cada valor de X irá corresponder a um únicovalor de O. "ssim, o valor médio da distriuição de O será dado por3

I() – Variáveis Aleatrias Discretas I()(76 Pr&-rie%a%es %& val&r .8%i&

4# % # %

n

i i

i E Z z p z

== ∑4

#9 % 4>,Pn

i i

i

x p=

= =∑

á



(odemos visualiCar em uma taela esse comportamento3


x z=2x p(z)=p(x) z*p(z)

4+ ; ,+= 4=,G4 9 ,9; <,=

+ 4 ,9 ,9

&+ &4 ,4> &4,>

Total & 4, 4>,P

Ta!ela I:

á



"ssim, dada a D.". discreta X e a respectiva função de proailidade p(x), a esperança matemática da função h# X % é dada por

"s se!uintes propriedades podem ser facilmente demonstradas3

a% Se h# X %5aX + b, onde a e b são constantes, então

%


4

@ # %A # % # %n

i i

i

E h X h x p x

=

= ∑

9

@ %A # %

var# % var# %

E aX b aE X b

aX b a X + = +

+ =

9

9 9 9var# % # % @ # %A # % # %i i i i X E X E X x p x x p x = − = − ∑ ∑

á



Damos construir então a Dar#X%, para tanto vamos mostrar isso

em na taela ?+3

"ssim3 var#X%54+<,9+ Q #>,G+%9 5 +P,9;Simolicamente podemos representar média e variKncia por3


w p(w) w*p(w)

4+9599+ ,+= 49=,

49

54 ,9; 9;,#+ ou &+%95 9+ ,94 +,9+

Total 4, 4+<,9+

ela I0; *esse cas& s"-&*%& <"e =>'3

9

# % # %

var# % # %

E X X

X X

µ

σ

=

=



Definição: dada a variável aleatória X, cJamaremos de função dedistriuição acumulada #fda%, ou simplesmente função de distriuição#fd% F # x% N função

'serve que o dom-nio de R é todo o conjunto dos números reais,ao passo que o contradom-nio é o intervalo @,4A.

/xemplo3 Doltando a taela ?.< podemos definir a fd de X como3

, se x &+

,4>8 se &+ ≤ x + F # x%5 ,948 se + ≤ x 4

,<<8 se 4 ≤ x 4+

4,8 se x ≥ 4+

( –I()(:6 F"*#?& %e %istri!"i#?&

ac"."la%a



0onstruindo um !ráfico podemos demonstrar que3

( –I()(:6 F"*#?& %e %istri!"i#?&

ac"."la%a

Ievemos oservar que é i!ual ao S"T# que a função F(x) dá no ponto porexemplo, .Ie modo !eral,,onde lemramos que3

# % lim # %. x a F a F x→ −− =



$.%.&.%) Distri'uição uniforme discreta3 /ste é o caso mais

simples de v.a. discreta, em que cada valor poss-vel ocorre com amesma proailidade.

Definição3 " v.a. discreta X , assumindo os valores tem distriuiçãouniforme se, e somente se,

(ara todo i5 4, 9, ..., T.

"ssim, pelo conceito de esperança, é fácil verificar que3

( I()(06 Al4"*s .&%el&s-r&!a!ilístic&s -ara V(A(D(

/ que a função acumulada é dada por

'nde n# x% é o número de

# %

4 # %# %

i x x

n x F x

k k ≤

= =∑



raficamente ter-amos

I() – Variáveis Aleatrias Discretas I()(06 Al4"*s .&%el&s -r&!a!ilístic&s -ara V(A(D.

&7

9

&,0

'7

&7

(a) 9#nço de :ro*a*ilidade (*) 9#nço de distri*#iço



?.4.+.9% Distri'uição de Bernoulli3 Vuitos experimentos são tais

que os resultados apresentam ou não uma determinada caracter-stica.(or exemplo3

#4% Uma moeda é lançada3 o resultado ou é cara ou não #ocorrendo,então, coroa%8

#9% Um dado é lançado3 ou ocorre face + ou não #ocorrendo, então,uma das faces 4, 9, ;, < ou =%8

#;% Uma peça é escolJida ao acaso de um lote contendo + peças3essa peça é defeituosa ou não8

#<% Uma pessoa escolJida ao acaso dentre 4. é ou não do sexomasculino8

#+% Uma pessoa é escolJida ao acaso entre os moradores de umacidade e verifica&se se ela é favorável ou não a um projeto municipal.

( I()(06 Al4"*s .&%el&s -r&!a!ilístic&s-ara V(A(D(



/m todos os casos anteriormente citados, estamos interessados na

ocorr2ncia de um sucesso ou fracasso. /ssa terminolo!ia #sucesso oufracasso% será usada frequentemente.

(ara cada experimento acima podemos definir uma v.a. X , queassume apenas dois valores3 4, se ocorrer sucesso e , se ocorrerfracasso. ?ndicaremos por p a proailidade de sucesso, isto é,

P #sucesso% 5 P #S %5 p, p 4.

Definição: " variável aleatória X , que assume apenas os valores 4 e8 com função de proailidade # x, p(x)% tal que3

Wue é conJecida como a variável aleatória de $ernoulli


#% # % 4

#4% # 4% ,

p P X p

p P X p

= = = −

= = =



0om isso pode&se demonstrar que

F # x% 5

raficamente podemos representar a f.p. e a f.d.a de X




Eemlo3 vamos supor o caso do experimento #9%. Supondo o dado

perfeito, teremos P # X=0%5+=, P # X 54%54=, E # X %54=, Dar# X %5#4=%#+=%5 +;=


I ) V iá i Al t i Di t



?ma!ine, a!ora, que repetimos um ensaio de $ernoulli n veCes, ou,de maneira alternativa, otemos uma amostra de tamanJo n de umadistriuição de $ernoulli. SuponJa ainda que as repetiçYes sejamindependentes, isto é, o resultado de um ensaio não tem influ2ncianenJuma no resultado de qualquer outro ensaio. Uma amostraparticular será constitu-da de uma sequ2ncia de sucessos e fracassos,

ou, alternativamente, de uns e Ceros. (or exemplo, repetindo um ensaiode $ernoulli cinco veCes #n5+%, um particular resultado pode serFSSFS ou a qu-ntupla ordenada #, 4, 4, , 4%.

"ssim, (#S%5 p a proailidade da amostra será

.' número de sucessos da amostra é ;, enquanto que o número de

fracassos é 9.

I() – Variáveis Aleatrias Discretas I()(@6 Distri!"i#?& +i*&.ial

I ) V iá i Al t i Di t



Damos então considerar as se!uintes situaçYes, otidas de #4% a #+% no

exemplo de $ernoulli3#4Z% uma moeda é lançada tr2s veCes8 qual é a proailidade de se oter

duas caras1

#9Z% um dado é lançado cinco veCes8 qual a proailidade de se oter face+ no máximo tr2s veCes1

#;Z% deC peças são extra-das, ao acaso, com reposição, de um lotecontendo + peças8 qual é a proailidade de que todas sejam defeituosas,saendo&se que 4E das peças do lote são defeituosas1

#<Z% cinco pessoas são escolJidas ao acaso entre 4.8 qual a

proailidade de que duas sejam do sexo masculino1#+Z% Sae&se que >E das pessoas de uma cidade são favoráveis a um

projeto municipal. /scolJendo&se 4 pessoas ao acaso entre os moradores,qual é a proailidade de que pelo menos G sejam favoráveis ao projeto1


I ) Variá eis Aleatrias Discretas



Mos casos #<Z% e #+Z%, o fato de estarmos extraindo indiv-duos de umconjunto muito !rande implica que podemos supor que as extraçYes sejam

praticamente independentes.Eemlo: 0onsideremos a situação #4Z%, supondo que a moeda não esteja

viciada, isto é, (#sucesso%5(#cara%549. ?ndiquemos o sucesso #cara% por S efracasso #coroa%, por R. /ntão, estamos interessados na proailidade doevento3

" 56 " 56

SSR, #4, 4, %8

SRS, #4, , 4%8

RSS7 #, 4, 4%7


/vidente que temos que oservar que3

'nde3 (#SSR%5(#SRS%5(#RSS%(ortanto8

I ) Variáveis Aleatrias Discretas



Se a proailidade de sucesso for p, p 4, e (#R% 5 4Q p=q ,então

Uma caracter-stica importante dos experimentos considerados é queestamos interessados apenas no número total de sucessos e não naordem em que eles ocorrem. (odemos construir a taela ?= para n= ;lançamentos da moeda, com P #S % 5 p, P # F % 5 4 Q p 5 q, a partir dodia!rama de árvore a se!uir3






p

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

q

S

F

S

F

S

F

S

F

; p

9 p q

9 p q

9

pq9

p q

9 pq

9

pq

;q




N+ de sucessos Pro'a'ilidades p,%-

q; 4G

4 ;pq9 ;G

9 ;p9q ;G; p; 4G


Ta'ela $/: Pro'a'ilidades 'inomiais ara n,0 e P(S) ,

Damos desi!nar por X o número total de sucessos em n ensaios de Bernoulli,

com proailidade de sucesso p, p 4. 's poss-veis valores de X são , 4, 9,..., n e os pares , onde p(x) 5 P(X=x%, constituem a cJamada distribuição

BINOMIAL.

"ssim o !ráfico da taela acima pode ser representado da se!uinte forma3

"!ora no )




' !ráfico então pode ser representado como3

'tenJamos, a!ora, P #X5T%, ou seja, numa sequ2ncia de n ensaiosde $ernoulli, a proailidade de oter T sucessos #e portanto, n&Tfracassos%, T5,4,9,...,n, com (#S%5p, (#R%54&p5q. Uma particularsequ2ncia é3





'nde temos T sucessos se!uidos por n&T fracassos. " proailidadede tal sequ2ncia é3

Ievido a independ2ncia dos ensaios. Vas qualquer sequ2ncia comT sucessos e n&T fracassos terá a mesma proailidade . (ortanto, restasaer quantas sequ2ncias com a propriedade especificada podemos

formar. [ fácil ver que existem

ais sequencias, de modo que

"s proailidades acima, tamém serão indicadas por b#T8 n,p% e,quando a v.a. X tiver distriuição inomial com parKmetros n e p,escrevemos





0onsiderando a situação #;% anterior3

deC peças são extra-das, ao acaso, com reposição, de um lotecontendo + peças8 qual é a proailidade de que todas sejamdefeituosas, saendo&se que 4E das peças do lote são defeituosas1

emos n54 ensaios de $ernoulli cada um com P #S % 5 (#peçadefeituosa% 5 p 5 ,4. Se X indicar o número de peças defeituosas na

amostra, queremos calcular P # X 54% 5 b#48 4, 44%. "ssimteremos3





"s médias e variKncias de uma v.a. inomial são dadasrespectivamente por3

(ara o exemplo acima ter-amos3





licação

0ada amostra de á!ua da 0'S"V(" tem 4E de conter umdeterminado poluente or!Knico. 0onsidere que as amostras sejamindependentes com relação N presença do poluente. /ncontre a

proailidade de que nas próximas 4G amostras analisadas exatamenteduas contenJam o poluente.

"ssim ter-amos3

Wual seria então a proailidade de que no m-nimo quatro amostrascontenJam o poluente1





er-amos então3

(orém é mais fácil utiliCar o evento complementar, pois ser nom-nimo < amostras compreende um universo de proailidade !randeaté cJe!ar as 4G amostras, assim ter-amos3

Damos para o /xcel3

)





Ietermine a proailidade de que ; \ X P.

:o!o3

0Jama&se experimento inomial ao experimento que3

#a% Wue consiste em n ensaios de $ernoulli

#% 0ujos ensaios são independentes8#c% (ar ao qual a proailidade de sucesso em cada ensaio é semprei!ual a p, p 4.

"ssim podemos representa&la como3





Doc2 pode empre!ar a Iistriuição de (oisson em situaçYes nas

quais não se está interessado no número de sucessos otidos em ntentativas, como ocorre no caso da distriuição inomial, entretanto,esse número de sucessos deve estar dentro de um intervalo cont-nuo,ou seja, o n1mero de sucessos ocorridos durante um inter2alocont3nuo, que pode ser um intervalo de tempo, espaço etc.

?ma!ine que voc2 queira estudar o número de suic-dios ocorridosem uma cidade durante um ano ou o número de acidentesautomoil-sticos ocorridos em uma rodovia em um m2s ou o númerode defeitos encontrados em um rolo de arame ovalado de +m./ssas situaçYes são exemplos daquelas que se enquadram naD$STR$B4$!5# DE P#$SS#N.

I() – Variáveis Aleatrias Discretas I()(6 Distri!"i#?& %e P&iss&*




Mote que nos exemplos anteriores não Já como voc2 determinar a

proailidade de ocorr2ncia de um sucesso, mas sim a frequ2nciamédia de sua ocorr2ncia, como dois suic-dios por ano, quedenominaremos µ.

/m uma situação com essas caracter-sticas, a variável aleatória

número de sucessos em um intervalo cont-nuo, terá uma Iistriuição(oisson, com µ #frequ2ncia média de sucesso%.

Simolicamente, podemos utiliCar a notação .

"ssim3" variável aleatória tem uma Iistriuição de (oisson #% com umafrequ2ncia média de sucesso µ.


I ) – Variáveis Aleatrias Discretas



" função de proailidade da Iistriuição de (oisson será dada

por meio da se!uinte expressão3

:emrando que3

& (roailidade de ocorr2ncias em um intervalo

e 59,P4G9 #ase dos lo!aritmos neperianos%8 eµ corresponde a frequ2ncia média de sucesso no intervalo cont-nuo

que se deseja calcular a proailidade.





/xemplo3 " análise dos dados dos últimos anos de uma empresa

de ener!ia elétrica forneceu o valor médio de um lecaute por ano.(ense na proailidade de isso ocorrer no próximo ano3

a% MenJum lecaute.

% Ie 9 a < lecautes.

c% Mo máximo 9 lecautes.'serve que o exemplo afirma que a cada ano acontece em média

um lecaute, ou seja, o n1mero de sucesso ocorrido em uminter2alo cont3nuo. Derificamos que a variável tem Iistriuição

(oisson3





[ um tipo de distriuição mais adequada quando é considerado

extraçYes casuais feitas sem reposição de uma população dividida poratriutos.

0onsidere uma população com N ojetos nos quais r sãoclassificados como do tipo e # N-r % são classificados como do tipo B.(or exemplo, em um lote de 4# N % peças temos 4#r % peçasdefeituosas e ># N-r % peças conformes. omamos uma amostra aoacaso, sem reposição e não ordenada de ojetos. Seja a variávelaleatória que conta o número de ojetos classificados como do tipo naamostra. /ntão a distriuição de proailidade de é dada por3

Iiremos que uma variável aleatória X tem distriuiçãoJiper!eométrica de parKmetros r , N e n se sua função de proailidadefor dada da maneira acima. Ienotamos

I() – Variáveis Aleatrias Discretas I()(B6 Distri!"i#?& i-er4e&.8trica




/xemplo3 Uma empresa farica um tipo de adaptador que são

emalados em lote de 9+ unidades. (ara aceitar o lote enviado poressa fárica, o controle de qualidade da empresa tomou o se!uinte procedimento3 sorteia&se um lote e desse lote selecionam&se G adaptadores para teste, sem reposição. Se for constatado, nomáximo, dois adaptadores defeituosos, aceita&se o lote fornecido

pela fárica. Se o lote sorteado tiver P peças defeituosas, qual a proailidade de se aceitar o lote1

M59+

r5P

n5G

I() – Variáveis Aleatrias Discretas I()(B6 Distri!"i#?& i-er4e&.8trica



(róxima "U:"

D")?]D/?S ":/"^)?"S 0'M_MU"S

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