Variáveis indexadas, somatórios e...
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Computação MIEC - FEUP
compilado por Ana Maria Faustino
Variáveis indexadas, somatórios e produtórios
Variáveis indexadas
Quando se pretende estudar várias características de um conjunto de indivíduos convémarmazenar a informação de forma ordenada recorrendo a variáveis indexadas com 1 ou maisíndices:
• a1, a2, · · · , an ⇔ ai, i = 1, 2, · · · , n⇔ ak, k = 1, 2, · · · , n;
• a11, a12, · · · , a1n, a21, a22, · · · , a2n, · · · , am1, am2, · · · , amn ⇔⇔ aij, i = 1, 2, · · · ,m, j = 1, 2, · · · , n
• a111, · · · , a1n1, · · · , am11, · · · , amn1, a112, · · · , a1n2, · · · , am12, · · · , amn2,
· · · , a11`, · · · , a1n`, · · · , am1`, · · · , amn`,⇔ aijk, i = 1, · · · ,m, j = 1, · · · , n, k = 1, · · · , `
Assim, por exemplo, nas variáveis uni-indexadas, ai representa a idade do indivíduo i (únicacaracterística a ser estudada).
Nas variáveis bi-indexadas, aij pode representar a característica j do indivíduo i (que podeser a idade entre outras características do mesmo indivíduo) ou o número de indivíduos que,relativamente a duas variáveis, tomam o valor i para a primeira variável e j para a segundavariável. Por exemplo, o primeiro índice representa simbolicamente o estado civil (solteiro,casado,· · · ) e o segundo índice representa simbolicamente o género (masculino, feminino).
As variáveis com mais do que dois índices servem para relacionar mais do que duas variáveis.Por exemplo, para estudar o comportamento de uma ponte submetida à passagem de váriostipos de comboios pode usar-se ∆ijk para identi�car a deformação vertical, no ponto i da ponte,provocada pela passagem do ponto j do comboio de tipo k.
As variáveis usadas para representar os índices dizem-se mudas pois podem ser representadaspor qualquer letra.
Com este processo de guardar a informação e com os símbolos de somatório e produtório épossível representar de modo bastante sucinto somas e produtos com muitos operandos.
Somatórios
Variáveis uni-indexadas
Para representar a soma de, possivelmente, muitas parcelas usa um somatório representadopelo símbolo
∑. Com o seguinte signi�cado:
a1 + a2 + · · ·+ an =n∑
i=1
ai
que se lê: somatório de ai para i de 1 até n. A variável muda i vai tomar todos os valores inteirosentre 1 e n. Estes limites inferior e superior de i podem ser quaisquer números inteiros.
As parcelas vão depender da variável muda i, isto é,
2
n∑i=m
f(i) = f(m) + f(m + 1) + · · ·+ f(m + (n−m− 1)) + f(m + (n−m)) =
= f(m) + f(m + 1) + · · ·+ f(n− 1) + f(n)
onde f(i) (termo geral) é uma função de i. As variáveis m e n são números inteiros (m ≤ n) e ivaria de um em um desde m até n.
Por convenção, se m > n não existem parcelas e o somatório vale zero (0 → elemento neutroda adição).
Muitas vezes, quando não há dúvidas quanto aos valores que i pode tomar, também se usaa forma abreviada
∑i
f(i) para representar a soma de f(i) para todos os valores possíveis de i.
Exemplos
1.5∑
i=1
i3 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 225
2.1∑
k=−1
1
2k − 1= −1
3− 1 + 1 = −1
3
3.50∑i=2
xi = x2 + x3 + · · ·+ x50
4.4∑
j=2
xjy 2j = x2y4 + x3y6 + x4y8
Pode demonstrar-se que:
1.n∑
i=1
(f(i) + g(i)) =n∑
i=1
f(i) +n∑
i=1
g(i)
2.n∑
i=1
(Kf(i)) = K
n∑i=1
f(i) onde K é constante
3.n∑
i=m
K = (n−m + 1)K onde K é constante e m ≤ n
Exercício 1
(a) Calcule5∑
i=−5
K, onde K é uma constante.
(b) Desenvolva5∑
i=0
(−1)ix 2i+1.
(c) Escreva, usando somatório, a1b2 + a2b4 + · · ·+ a5b
10.
3
(d) Escreva, usando somatório, a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anx
n.
(e) Escreva, usando somatório, a soma dos 100 primeiros números naturais pares.
(f) Dada uma sucessão xi escreva a soma das 100 primeiras componentes de índice ímpar.
(g) Simpli�que1
n
n∑k=1
30 +1
2
n∑k=1
(a k+1 − ak)
Variáveis bi-indexadas
Exemplos
1. a11 + a12 + · · ·+ a1n + a21 + a22 + · · ·+ a2n + · · ·+ am1 + am2 + · · ·+ amn =
=m∑i=1
n∑j=1
aij
2. a31 + a32 + · · ·+ a3n =n∑
j=1
a3j
3. a1` + a2` + · · ·+ am` =m∑j=1
aj`
Pode demonstrar-se que:∑i
∑j
f(i)g(j) =∑i
f(i)∑j
g(j) =∑j
g(j)∑i
f(i)
Exercício 2
Sabendo que K = 5, x = (2, 5, 4) e que A =
4 3 −1 21 3 −2 42 3 1 6
I. Calcule
(a)5∑
i=−5
K
(b)1∑
i=0
(−1)ix2i+1
(c) y tal que yi =4∑
j=1
aij i = 1, 2, 3
(d)3∑
i=1
ai2
(e)∑i
∑j
aij
(f)∑i
∑j
3aij
(g)∑i
∑j
(aij + 2)
(h)
(3∑
i=2
2∑j=1
aij
)2
(i)3∑
i=1
(2∑
j=1
aij
)2
2i
4
II. Veri�que que
(a)3∑
i=1
4∑j=1
xiaij =3∑
i=1
xi
4∑j=1
aij
(b)3∑
i=2
2∑j=1
aij =2∑
j=1
3∑i=2
aij
Produtórios
Variáveis uni-indexadas
Para representar o produto de, possivelmente, muitos factores usa-se um produtório repre-sentado pelo símbolo
∏. Com o seguinte signi�cado:
a1 × a2 × · · · × an =n∏
i=1
ai
que se lê: produtório de ai para i de 1 até n. A variável muda i vai tomar todos os valoresinteiros entre 1 e n. Estes limites inferior e superior de i podem ser quaisquer números inteiros.
As parcelas vão depender da variável muda i, isto é,
n∏i=m
f(i) = f(m)× f(m + 1)× · · · × f(n− 1)× f(n)
onde f(i) (termo geral) é uma função de i. As variáveis m e n são números inteiros (m ≤ n) e ivaria de um em um desde m até n.
Por convenção, se m > n não existem factores e o produtório vale um (1 → elemento neutroda multiplicação).
Exemplos
1.5∏
i=1
i3 = 13 × 23 × 33 × 43 × 53 = 1728000
2. 2× 4× 6× · · · × 50⇔25∏k=1
2k ⇔24∏k=0
(2k + 2)⇔26∏k=2
(2k − 2)
3.50∏i=2
xKi = xK
2 × xK3 × · · · × xK
50, K é constante
4.4∏
j=2
xy 2j
j = xy42 × xy6
3 × xy84
5
Pode demonstrar-se que:
1.n∏
i=1
(f(i)× g(i)) =
(n∏
i=1
f(i)
)×
(n∏
i=1
g(i)
)
2.n∏
i=1
(Kf(i)) = Kn
n∏i=1
f(i) onde K é constante
3.n∏
i=m
K = K(n−m+1) onde K é constante e m ≤ n
Exercício 3
(a) Calcule5∏
i=−5
K, onde K é uma constante.
(b) Desenvolva
i.5∏
i=0
xj2i+1
ii.m∏i=1
x 2i+1
yi
(c) Escreva, usando produtório,
i. 2× 4× 6× · · · × 514
ii. 1× 3× 5× · · · × 55
iii. 3× 5× 7× · · · × 33
Variáveis bi-indexadas
Exemplos
1. a11 × a12 × · · · × a1n × a21 × a22 × · · · × a2n × · · · × am1 × am2 × · · · × amn =
=m∏i=1
n∏j=1
aij.
2. a31 × a32 × · · · × a3n =n∏
j=1
a3j
3. a1` × a2` × · · · × am` =m∏j=1
aj` =m∏i=1
ai`
6
Exercício 4
Sabendo que K = 5, x = (2, 5, 4) e que A =
4 3 −1 21 3 −2 42 3 1 6
I. Calcule
(a)5∏
i=−5
K
(b)1∏
i=0
(−1)ix2i+1
(c) z tal que zj =3∏
i=1
aij j = 1, 2, 3, 4
(d) t tal que ti =4∏
j=1
aij i = 1, 2, 3
(e)3∏
i=1
a2i
(f)∏i
∏j
aij
(g)∏i
∏j
3aij
(h)3∏
j=2
∏i
(aij + 2)
(i)
(3∏
i=2
2∏j=1
aij
)2
(j)3∏
i=1
(2∏
j=1
aij
)2
2i
(k)
3∑i=1
4∏j=1
((xi − 3) aij)
(l)3∑
i=1
((xi − 3)
4∏j=1
aij
)
(m)3∑
i=1
((xi − 3)4
4∏j=1
aij
)
(n)3∏
i=1
4∑j=1
((xi − 3) aij)
(o)3∏
i=1
((xi − 3)
4∑j=1
aij
)
(p)3∏
i=1
((xi − 3)4
4∑j=1
aij
)
II. Veri�que se3∏
i=1
4∏j=1
xiaij é igual a:
(a)3∏
i=1
(xi
4∏j=1
aij
)(b)
3∏i=1
(x4i
4∏j=1
aij
)
NOTA: Não se pode permutar o∑
com o∏
pois não existe propriedade associativa nemcomutativa entre as duas operações + e ×.
Exemplo
Dada a matriz A =
[2 34 5
]∑i
∏j
aij =∏j
a1j +∏j
a2j = a11 × a12 + a21 × a22 = 2× 3 + 4× 5 = 26
∏j
∑i
aij =∑i
ai1 ×∑i
ai2 = (a11 + a21)× (a12 + a22) = (2 + 4)× (3 + 5) = 48
7
Outros casos
Quando a sequência dos índices, associados a cada parcela ou factor, não é a sequência na-tural é possível indicar os índices a eliminar ou indicar os índices através de conjuntos.
Exemplos
1. x1 + · · ·+ xk−1 + xk+1 + · · ·+ xn =n∑
i=1i6=k
xi
2. ((x2 − x1) + · · ·+ (xn − x1))× ((x1 − x2) + (x3 − x2) + · · ·+ (xn − x2))× · · ·×
((x1 − xn−1) + · · ·+ (xn−2 − xn−1) + (xn − xn−1))× ((x1 − xn) + · · ·+ (xn−1 − xn)) =
=n∏
i=1
n∑k=1k 6=i
(xk − xi)
3. a1` × a4` × a6` =∏j∈B
aj`, B = {1, 4, 6}
Exercício 5
Sabendo que K = −2, x = (2, 5, 4) e que A =
4 3 −1 21 3 −2 42 3 1 6
Calcule
(a)3∑
i=1
4∑j=1j 6=i
aij
(b)3∑
i=1
4∑j=1
j 6=i+1
aij
(c)3∑
i=1
4∑j=1
(j+i)6=5
aij
(d)3∑
i=2
4∏j=3
xi−1aij
(e)∑i
2∏j=1
Kiai,(j+1)
(f)∏i∈B
xi
4∑j=1
aij, B = {i : xi é ímpar}
(g)∏i∈B
xi
4∑j=1
aij, B = {i : i é ímpar}
(h)∑j
∏i∈Bj
xiaij, Bj = {i : aij é ímpar}
(i)∑i
∏j∈Bi
xiaij, Bi = {j : aij < 2}
8
Resultados
Exercício 2
I. (a) 55;
(b) -2;
(c) y = (8, 6, 12);
(d) 9;
(e) 26;
(f) 78;
(g) 50;
(h) 81;
(i)98
3.
II. (a) 94;
(b) 9;
Exercício 4
I. (a) 48828125;
(b) -8;
(c) z = (8, 27, 2, 48);
(d) t = (−24,−24, 36);
(e) -6;
(f) 20736;
(g) 11019960576;
(h) 0;
(i) 324;
(j) 972;
(k) -372;
(l) 12;
(m) -372;
(n) -1152;
(o) -1152;
(p) 9216.
II. É igual a (b).
(a) 829440;
(b) 53084160000.
Exercício 5
(a) 18;
(b) 19;
(c) 23;
(d) 118;
(e) 84;
(f) 30;
(g) 768;
(h) 1078;
(i) -48.