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7/25/2019 VARIEDADES DIFERENCIAVEIS_JOSINEY_SEMINARIOS.pdf

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Orientacao em Variedades Diferenciaveis

Andre Guerino Castoldi

Prof. Dr. Josiney Alves de Souza

Universidade Estadual de Maringa

29 de marco de 2012

Resumo

Neste trabalho abordamos o conceito de orientacao em variedades diferenciaveis, que ge-

neraliza o conceito de orientacao em superfcies mergulhadas em R3. Exemplos de variedades

orientaveis sao apresentados e relacionamos o conceito de orientacao entre variedades difeomorfas

e localmente difeomorfas.

1 Orientacao de Superfcies em R3

Inicialmente, iremos apresentar o conceito global de orientacao em superfcies mergulhadas em

R3. Conforme [1] temos a seguinte definicao.

Definicao 1. Uma superfcie regular S R3 e orientavel quando existe uma famlia de parame-

trizacoes de S, digamos {x: U R2 S : A}, tal que:

(a) S=A

x(U);

(b) Se W =x(U) x(U) =, a aplicacao de mudancas de coordenadas

x1

x: x1

(W)x1

(W)

tem jacobiano positivo em todo ponto q x1 (W).

A escolha de uma tal famlia e chamada uma orientacao de S, e a superfcie S, neste caso, e

dita orientada. Se nao existir uma famlia de parametrizacoes de S satisfazendo as condicoes da

Definicao 1, dizemos que S e uma superfcie nao-orientavel. Dizemos que duas famlias determinam

a mesma orientacao de S se a uniao delas ainda satisfaz as condicoes da Definicao 1.

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Um exemplo de superfcie orientavel e uma superfcie que e um grafico de uma funcao difereciavel.

Isto segue do fato que todas as superfcies que podem ser cobertas por uma unica vizinhanca

coordenada sao orientaveis. Em contraste, uma superfcie que nao e orientavel e a chamada faixa

de Mobius.

2 Orientacao em Variedades

O objetivo, nesta secao, e apresentar uma generalizacao do conceito global de orientacao em

superfcies para as variedades difenciavies. Exemplos de variedades orientaveis e nao orientavies

serao dados e relacionamos o conceito de orientacao entre variedades difeomorfas e localmente

difeomorfas.

Iniciamos com a definicao de variedade orientavel, conforme [2].

Definicao 2. Seja Muma variedade diferenciavel de dimensao m. Dizemos que M e orientavel se

M admite uma estrutura diferenciavel{(U, x)}tal que:

(i) para todo par e , comW=x(U)x(U) =, a diferencial da mudancas de coordenadas

x1 x: x1 (W)x

1 (W)

tem determinante positivo em todo ponto q x1 (W).

Caso contrario, diz-se que M e nao orientavel. Se M e orientavel, a escolha de uma estrutura

diferenciavel satisfazendo (i) e chamada uma orientacao de M, e a variedade M, neste caso, e

dita orientada. Duas estruturas diferenciaveis que satisfazem a condicao (i) determinam a mesma

orientacao se a uniao delas ainda satisfaz (i).

Exemplo 3. SeM e uma variedade orientavel, entao todo aberto deM e uma variedade orientavel.

Sejam U M aberto e {(U, x)} uma orientacao de M. Entao x(U) U e aberto de U

e V = x1 (x(U) U) e aberto em Rn. Assim {(V, x)} e uma estrutura diferenciavel em U.

Ademais,

det[d(x|1V

x|V)q] =det[d(x1 x)]> 0

para todo q V, ou seja, a estrutura diferenciavel {(V, x)} e uma orientacao para U.

O seguinte resultado sera util neste trabalho.

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Lema 4. SejamM uma variedade ep M. Dadas parametrizacoesx : U M ey : V M

emp tais queW=x(U) y(V) e conexo, ent ao o determinante Jacobiano dey1 x nao muda de

sinal no aberto x1(W).

Demonstracao: De fato, considere a funcao

g : x1(W) R

q g(q) =det[d(y1 x)q].

Como g e uma funcao contnua e x1(W) e conexo (pois W e conexo), entao g(x1(W)) e co-

nexo. Logo g(x1(W)) (0,+) ou g(x1(W)) (, 0), pois det[d(y1 x)q] = 0 para todo

q x1(W), o que prova o desejado.

Veremos que sob certas hipoteses em uma variedade podemos garantir que ela e orientavel.

Proposicao 5. SejaMuma variedade que admite uma estrutura diferenciavel com duas parame-

trizacoes, digamos{(U1, x), (U2, y)}. Sex(U1) y(U2) e conexa, ent ao M e orient avel.

Demonstracao: Seja W = x(U1) y(U2), como a aplicacao y1 x : x1(W) y1(W) e um

difeomorfismo, tem-se que det[d(y1 x)q] = 0 para todo q x1(W). Mais ainda, pelo Lema 4 o

determinante Jacobiano de y1 x nao muda de sinal no aberto x1(W).

Sedet([d(y1

x)q])> 0 para todo q x1

(W), entao a estrutura diferenciavel{(U1, x), (U2, y)}satisfaz a condicao (i), donde M e orientavel. Caso contrario, considere a aplicacao z : Rn Rn

definida por z(x1, . . . , xn) = (x1, x2, . . . , xn). Notemos que z e um difeomorfismo de Rn. Assim a

aplicacao x z: z1(U1) Rn M e uma parametrizacao de Mtal que x z(z1(U1)) =x(U1).

Mais ainda, {(z1(U1), x z), (U2, y)} e uma estrutura diferenciavel em Me pela regra da cadeia

tem-se

d(y1 x z)a= d(y1 x)z(a) d(z)a.

Como det[d(y1 x)z(a)] < 0 e det[d(z)a] < 0, entao det[d(y1 x z)a] > 0. Assim a estrutura

diferenciavel {(z1(U1), x z), (U2, y)}satisfaz a condicao (i), donde M e orientavel.

Como uma aplicacao da proposicao anterior apresentamos o seguinte exemplo.

Exemplo 6. Vamos mostrar que a esfera

Sn ={(x1, . . . , xn+1) Rn+1 :

n+1i=1

x2i = 1} Rn+1

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e orientavel. Com efeito, sejaN = (0, . . . , 0, 1) o polo norte e S= (0, . . . , 0,1) o polo sul de Sn.

Consideremos a projecao estereografica a partir do polo norte 1: Sn {N} Rn dada por

1(x1, . . . , xn+1) = ( x1

1 xn+1

, . . . , xn

1 xn+1

)

e a projecao estereografica a partir do polo sul 2: Sn {S} Rn dada por

2(x1, . . . , xn+1) = ( x1

1 + xn+1, . . . ,

xn

1 + xn+1).

Como as aplicacoes1e 2sao difeomorfismos, segue que11 e

12 sao parametrizacoes que cobrem

Sn.

Vamos determinar a aplicacao mudanca de coordenadas. Seja (x1, . . . , xn+1) Sn {N, S} e

considere (y1, . . . , yn) = ( x1

1 xn+1, . . . ,

xn

1 xn+1) Rn. Entao

2 11 (y1, . . . , yn) = (

x1

1 + xn+1, . . . ,

xn

1 + xn+1).

Mas, para todo j {1, . . . , n}tem-se

xj

1 + xn+1=

yjni=1 y

2i

.

Logo, a mudanca de coordenadas 2 11 : R

n Rn dada por

2 11 (y1, . . . , yn) =

1ni=1 y

2i

(y1, . . . , yn)

e diferenciavel. Assim, a famlia {(Rn, 11 ), (Rn, 12 )} e uma estrutura diferenciavel emS

n. Como

a intersecao11 (Rn)12 (R

n) =Sn{N, S} e conexa, pela Proposicao 5 segue queSn e orientavel.

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A matriz da diferencial da aplicacao mudanca de coordenas em y = (y1, . . . , yn) do exemplo

anterior e dada por

[d(2 11 )y] =

1

(ni=1

y2i)2

n

i=1

y2i 2y21 2y1y2 . . . 2y1yn

2y1y2

ni=1

y2i 2y22 . . . 2y2yn

... ...

. . . ...

2y1yn 2y2yn . . .ni=1

y2i 2y2n

Tomando y= (1, 0, . . . , 0) Rn, obtemos que

[d(2 11 )y] =

1 0 . . . 0

0 1 . . . 0...

... . . .

...

0 0 . . . 1

e o determinante da matriz acima e negativo. Logo a estrutura diferenciavel dada no exemplo

anterior nao e uma orientacao para a esfera Sn. Agora, vamos construir uma orientacao para a

esferaSn a partir da estrutura diferenciavel dada no exemplo anterior. Com efeito, defina a funcao

f : Rn Rn

y= (y1, . . . , yn) f(y) = (y1, y2, . . . , yn).

Claramente a funcao f e um difeomorfismo do Rn. Afirmamos que a famlia {(Rn, 11 ), (Rn, 12 f)}

e uma orientacao para a esfera Sn. Basta mostrar que essa famlia satisfaz a condicao (i). Temos

que

1 12 f(y1, . . . , yn) =

1ni=1 y

2i

(y1, y2, . . . , yn)

e assim o determinante da diferencial desta aplicacao no ponto (1, 0, . . . , 0) Rn e positivo. Portanto

provamos o desejado.

Sob certas hipoteses em uma variedade orientavel M podemos determinar quantas orientacoes

distintas existem em M.

Proposicao 7. SeM e uma variedade orientavel e conexa, entao existem exatamente duas ori-

entacoes distintas emM.

Demonstracao: Sendo M orientavel, entao existe uma estrutura diferenciavel = {(U, x)}

que e uma orientacao em M. Vamos construir outra orientacao em M a partir da orientacao

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={(U, x)}. Consideremos a funcao

f : Rm Rm

y= (y1, . . . , ym) f(y) = (y1, y2, . . . , ym).

Notemos que f e um difeomerfismo em Rm e det[d(f)y] < 0 para todo y Rm. Logo =

{(f1(U), x f)} e uma estrutura diferenciavel em M. Mais ainda, e uma orientacao em M

pois a regra da cadeia fornece

d((x f)1 x f)q =d(f)x1

xf(q)

d(x1 x)f(q) d(f)q

e assim

det[d((x f)

1

x f)q] =det[d(f)x1

xf(q)] det[d(x

1

x)f(q)] det[d(f)q]> 0.

As orientacoes e sao distintas. De fato, tomemosp Mex , xf parametrizacoes

em p. Seja q = (x f)1(p), pela regra da cadeia

d(x1 x f)q =d(x1 x)f(q) d(f)q

donde

det[d(x1 x f)q ] =det[d(x1 x)f(q)] det[d(f)q ]< 0.

Logo as orientacoes e sao distintas.

Resta mostrar que nao existe outra orientacao em M distinta de e . Seja = {(V, y)}

outra orientacao em M. Vamos provar que ou e ainda uma orientacao em M. Seja

p Me consideremos x , x f e y parametrizacoes em p e q= (x f)1(p) Rm.

Sem perda de generalidade podemos assumir que W e conexo. Pela regra da cadeia

d(y1 (x f))q =d(y1 x)x1 (p) d(x

1 x f)q

e assim

det[d(y1 (x f))q] =det[d(y1 x)x1 (p)] det[d(x

1 x f)q]. ()

Sabemos que det[d(x1 x f)q ]< 0, logo

1. se det[d(y1 x)x1 (p)]> 0, entao det[d(y1 (x f))q]< 0.

2. se det[d(y1 x)x1 (p)]< 0, entao det[d(y1 (x f))q]> 0.

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Assuma que (1) vale. SendoW conexo, pelo Lema 4 temos que det[d(y1 x)b] >0 para todo

b x1 (W).

Afirmacao: Dado p1 M e x , y parametrizacoes em p1 com W conexo, entao

det[d(y1 x)a]> 0 para todo a x1 (W).

De fato, suponha que det[d(y1 x)a]< 0 para todo a x1 (W). Entao WW = . Se

p2 W W, pela regra da cadeia

d(y1 x)x1 (p2)

= d(y1 y)y1 (p2)

d(y1 x)x1 (p2)

.

e assim

det[d(y1 x)x1 (p2)

] =det[d(y1 y)y1 (p2)

] det[d(y1 x)x1 (p2)

]< 0

o que contradiz det[d(y1 x)x1 (p)] > 0. Logo vale WW = . Agora, consideremos os

conjuntos

M1= {p1 M :det[d(y1 x)x1 (p1)]> 0}

M2= {p2 M :det[d(y1 x)x1

(p2)

]< 0},

entao M1 e M2 sao abertos em M tais que M = M1 M2 e M = M1 M2 = . Assim M e

desconexa, contradizendo a hipotese.

Assim, assumindo que (1) vale, pela afirmacao e a relacao () temos que e uma orientacao

em M e nao e uma orientacao em M. Portanto se M e uma variedade orientavel e conexa,

entao existem exatamente duas orientacoes distintas de M.

Como consequencia da proposicao anterior, a esfera Sn admite exatamente duas orientacoes

distintas. Tambem se uma variedade M tem k componentes conexas, entao ela admite exatamente

2k orientacoes distintas.

O proximo resultado relaciona orientacao em variedades com o conceito de variedades difeomor-

fas.

Proposicao 8. SejamM eN variedades diferenciaveis e: M N um difeomorfismo. Entao

M e orient avel se, e somente, seN e orient avel.

Demonstracao: Suponha queM e orientavel, por definicaoMadmite uma estrutura diferenciavel

{(U, x)} que satisfaz a condicao (i). Como e difeomorfismo, segue que {(U, x)} e uma

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estrutura diferenciavel para N. Sejam e um par de ndices tais que:

x(U) x(U) =W =.

Dado q ( x)

1(W), tem-se

d(( x)1 x)q =d(x

1 x)q.

Como a estrutura diferenciavel{(U, x)}satisfaz a condicao (i), temos que o determinante Jacobi-

ano ded(( x)1 x)q e sempre positivo. Portanto N e orientavel. Analogamente mostra-se

a recproca.

Sejam M e N variedades conexas e orientadas e : M Num difeomorfismo. Como vimos

na Proposicao 7 as variedades M e Nadmitem exatamente duas orientacoes, logo induz uma

orientacao em Nque pode ou nao coincidir com a orientacao inicial. No primeiro caso, diz-se que

preserva a orientacao e no segundo caso, que reverte a orientacao.

Exemplo 9. Considere a aplicacao antpoda A: Sn Sn dada por A(p) =p, com p Rn+1.

Vale que A2 =IdSn e A e diferenciavel. De fato, dado p= (x1, . . . , xn+1) Sn, tome

y= ( x1

1 xn+1, . . . ,

xn

1 xn+1) Rn,

entao 2 A 11 (y) = y, ou seja, 2 A

11 = IdRn que e diferenciavel. Portanto A e

um difeomorfismo. Mais ainda, quando n e par, o difeomorfismo A reverte a orientacao de Sn e

quando n e mpar, o difeomorfismo A preserva a orientacao de Sn. Com efeito, consideremos a

orientacao ={(Rn, 11 ), (Rn, 12 f)} para a esfera S

n construida anteriormente. Como vimos

na proposicao anterior, a estrutura diferenciavel = {(Rn, A 11 ), (Rn, A 12 f)} e uma

orientacao para a esfera Sn. Assim, devemos mostrar que se n e par, nao e uma orientacao

para a esfera Sn, e se n e mpar, e uma orientacao para esfera Sn. Notemos que e uma

estrutura diferenciavel paraSn

e o determinante da diferencial da aplicacao obtida pela composicaode uma funcao da estrutura com uma da estrutura e negativo sen e par e positivo se n e mpar.

Como ilustracao, consideremos 1 (A 11 ) : R

n Rn dada por

1 (A 11 )(y1, . . . , yn) =

1ni=1 y

2i

(y1, . . . , yn).

Notemos que [d(1 (A 11 ))y] = [d(2

11 )y] e tomando y = (1, 0, . . . , 0) temos que o

determinante dessa matriz satisfaz o desejado.

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Atraves do exemplo anterior e de uma acao propriamente descontnua de um grupo G na varie-

dadeSn e possvel mostrar que o plano projetivo Pn e orientavel se, e somente se, n e mpar. Logo,

se n e par o plano projetivo Pn nao e orientavel.

Proposicao 10. Seja : M N uma aplicacao diferenciavel entre variedades que e um difeo-

morfismo local. SeN e orientavel, entao M e orient avel.

Demonstracao: Sendo : M Num difeomorfismo local temos que para todo p M existe

Up M aberto e Vp N aberto com (p) Vp tais que |Up : Up Vp e um difeomor-

fismo. Agora, sendo Norientavel, existe uma estrutura diferenciavel {(V, x)}em N que satisfaz

a condicao (i). Seja x : U N uma parametrizacao em (p). Entao Wp = x(U) Vp =

e aberto em N. Considere a aplicacao 1 x : x1 (Wp) R

n M, logo 1 x e uma

parametrizacao em p. Entao{(x1 (Wp), 1 x)} e uma estrutura diferenciavel em M. De fato,

claramente1(Wp) =Me vale que

(1 x)1 (1 x) =x

1 x,

ou seja, (1 x)1 (1 x) e diferenciavel. Mais ainda,

det[d((1 x)1 (1 x))q] =det[d(x

1 x)q]> 0.

Portanto M e orientavel.

A recproca da proposicao anterior nao e valida. Com efeito, consideremos o difeomeorfismo local

: S2 P2 dado por (p) = [p]. Como S2 e orientavel e P2 nao e orientavel, entao a recproca

nao e valida.

Exemplo 11. Seja Mm uma variedade (orientavel ou nao), vamos mostrar que o fibrado tangente

TM de M e orientavel. De fato, considere{(U, x)} uma estrutura diferenciavel maxima de M.

Logo{(U Rn, y)} e uma estrutura diferenciavel de TM, onde

y(x1 , . . . , x

n, y1, . . . , yn) = (x(x

1 , . . . , x

n),

ni=1

yi

xi).

Dados e tais que W=y(U Rn) y(U R

n) = e (q, u) y1 (W) sabemos que

y1 y(q, u) = (x1 x(q), d(x

1 x)q(u)).

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Logo,

[d(y1 y)(q,u)] =

[d(x

1 x)q ] 0

C [d(x1 x)q ]

donde, det[d(y1 y)(q,u)] = (det[d(x1 x)q ])2 > 0. Assim a estrutura diferenciavel

{(U Rn, y)} de TMsatisfaz a condicao (i) e portanto TM e uma variedade orientavel.

Exemplo 12. Sejam M e N variedades diferenciaveis e considere a variedade produto MN.

Entao M N e orientavel se, e somente, se M e N sao orientaveis.

Sejam {(U, x)} e {(V, y)} estruturas diferenciaveis de M e N, respectivamente, que satis-

fazem a condicao (i). Logo {(U V, z)} e uma estrutura diferenciavel para M N, onde

z(p, q) = (x(p), y(q)), p U eq V. Vamos mostrar que esta estrutura diferenciavel satisfaz

a condicao (i). De fato, vale que

z1 z(p, q) = (x1 x(p), y

1 y(q)),

logo

[d(z1 z)(p,q)] =

[d(x

1 x)p] 0

0 [d(y1 y)q]

.

Assimdet[d(z1 z)(p,q)] =det[d(x1 x)p]det[d(y

1 y)q]> 0. PortantoMN e uma variedade

orientavel.

Reciprocamente, suponha que M N e orientavel. Entao existem estruturas diferenciaveis

{(U, x)} e {(V, y)} em M e N, respectivamente, tais que a estrutura diferenciavel

= {(U V, z)} e uma orientacao em MN, onde z(p, q) = (x(p), y(q)) com p U

e q V. Vamos mostrar que a estrutura = {(U, x)} e uma orientacao em M. Fixe

y : V Rn Numa parametrizacao em q N. Sejam x : U Rm e x : U R

m

na estrutura tais que W=x(U) y(U) =. Entao x y, x y e notemos que

(x y)1

(x y) = (x1

x) IdV

Assim, temos que

det[d(x1 x)a] =det[d((x1 x) IdV)(a,b)] =det[d((x y)

1 (x y))(a,b)]> 0

pois M N e orientavel. Portanto M e uma variedade orientavel. Analogamente{(V, y)} e uma

orientacao em N.

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Referencias

[1] CARMO, M. P. do, Geometria diferencial de curvas e superfcies. Sociedade Brasileira de

Matematica, 2008.

[2] CARMO, M. P. do, Geometria riemanniana. Projeto Euclides IMPA, 2005.

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CONSTRUCAO DO ESPACOPROJETIVO Pn (R) PELARELACAO ANTIPODAL NA

ESFERA Sn

Sabemos que o espaco projetivo realPn (R) e identificado com o conjunto de todasas retas contidas em Rn+1 que passam pela origem.

Cada uma dessas retas, intersecta a esfera

Sn =

(x1, . . . , xn+1) R

n+1;n+1i=1

x2i = 1

em, precisamente, dois pontos. Alem disso, sep e um dos pontos de intersecao desta retacomSn, entao o outro ponto ep. Neste caso, dizemos quepe psao pontos antpodas.

Reciprocamente, cada par {p,p} de pontos antpodas determina uma unica reta que

passa pelos pontos 0,p e p. Essa identificacao sugere a seguinte relacao de equivalencia

emSn:

x y x= y.

Deste modo, temos uma bijecao entre os espacos Pn (R) e Sn/ . Utilizando estabijecao, construiremos uma estrutura diferenciavel em Pn (R) a partir de uma estrutura

diferenciavel em Sn. Comecaremos entao definindo em Sn uma estrutura diferenciavel

(provando queSn e uma superfcie regular) para que esta estrutura induza sobre o conjunto

Sn/ uma estrutura diferenciavel e utilizando a bijecao mencionada acima, contruiremos

a estrutura diferenciavel de Pn (R).

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2 Seminario - Variedades Diferenciaveis

A VARIEDADE DIFERENCIAVEL Sn

Foi visto que superfcies regulares sao exemplos de variedades diferenciaveis. Vamos

definir entao parametrizacoes sobre a esferaSn de modo a provar que esta e uma superfcie

regular. Recordemos que um subconjuntoM

k

R

n

e umasuperfcie regular de dimens ao

k, se para cada p Mk, existem uma vizinhancaV de p em Rn e uma aplicacao

x: U Rk M V

de um aberto U Rk sobreM V tais que

(a) x e um homeomorfismo diferenciavel;

(b) (dx)q

: Rk Rn e injetiva para todo q U.

Considere os conjuntos

Ui=

(x1, . . . , xn+1) R

n+1; xi= 0,j=i

x2j 0. Entao, x

+i (p1, . . . , pi1, pi+1, . . . , pn+1) =p (caso fosse

p


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3

(b) Seja agora q Ui. Entao,

d(x+i )q =

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0...

... ...

... ...

... ...

...0 0 1 0 0 0

Dix1

(q) Di

x2(q) D

i

xi1(q) D

i

xi+1(q) D

i

xn(q) D

i

xn+1(q)

0 0 0 1 0 0...

... ...

... ...

... ...

...0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

(n+1)n

.

Esta matriz tem posto maximon, portanto a diferenciald(x+i )q e injetora. Isto prova que

Ui, x

i

e uma estrutura diferenciavel em Sn.

A VARIEDADE DIFERENCIAVEL Pn (R)

Seguiremos agora com algumas consideracoes no intuito de definir a estrutura diferenciavel

de Pn (R). Considere a projecao canonica

: Sn Sn/ (p) = {p,p}

Observe que

Ui =

(x1, . . . , xn+1) Rn; xi = 0 e

j=i

x2j


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4 Seminario - Variedades Diferenciaveis

Mais ainda, esta estrutura diferenciavel gera o mesmo atlas maximal que a estrutura

diferenciavel da famlia A = {(Rn, zi)} em Pn (R), onde

zi: Rn Vi

e dada por zi(x1, . . . , xn) = [x1, . . . , xi, 1, xi+1, . . . , xn], sendoVi= {[(x1, . . . , xn+1)] ; xi = 0}.

Com efeito, considere as projecoes canonicas (que sao obviamente sobrejetivas)

A: Sn (Pn (R) ;A) e B :S

n (Pn (R) ;B) .

Para mostrar que as estruturas A e B sao as mesmas, basta provar que as aplicacoes

acima sao submersoes.

Tome p Sn. Vamos provar que

d (A)p: TpSn T[p](P

n (R) ;A) , ,

e sobrejetora.

Nao ha perda de generalidade supor que p = (p1, . . . , pi1, Di, pi+1, . . . , pn+1) (analogo

para p = (p1, . . . , pi1,Di, pi+1, . . . , pn+1)), visto que as parametrizacoes xi cobrem a

esfera Sn, isto e, p x+i (Ui) para algum 1 i n+ 1. Seja zi : Rn Vi uma

parametrizacao em [p] (que pode ser tomada com o mesmo ndice pois Di = 0). Entao a

expressao de A nas parametrizacoes x+i e zi, z

1i A x

+i :Ui R

n, e dada por

A

(x+i )1(p)

= z1i A x

+i (p1, . . . , pi1, pi+1, . . . , pn+1)

=z1i (A (p1, . . . , pi1, Di, pi+1, . . . , pn+1))

=z1i

p1Di

, . . . ,pi1

Di, 1,

pi+1Di

, . . . ,pn+1

Di

= 1

Di(p1, . . . , pi1, pi+1, . . . , pn+1) ,

e diferenciavel e sua diferencial no ponto p = (p1, . . . , pi1, pi+1, . . . , pn+1) e dada pela

matriz simetrica n n

(aij)nn= d( A)p =

1

D3i, se i= j ;

pipjD3i

, se i =j.


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5

Se {ei} e a base canonica do Rn, entaod( A)p {ei} =

1

D3iei

, que e tambem um conjunto

comn vetores linearmente independentes. Assim, A e submersao.

Provemos agora que B :Sn (Pn (R) ;B) e tambem uma submersao. Para tanto,

tomemosq Sn e, sem perda de generalidade, suponha quex+j e uma parametrizacao em

q. Pela forma como foi construda a estrutura B= Uj, yj sobre Pn (R), a aplicacaoyj = x

+j e uma parametrizacao em [p] = {p,p}.

Conforme fora mencionado anteriormente, a aplicacao B e uma aplicacao bijetora

quando restrita ao conjunto x+j (Uj) Sn. Portanto, a expressao de B nas parame-

trizacoes x+j e yj e dada por

B (x+j)1(q)= y1j B x+j (q1, . . . , q j1, qj+1, . . . , q n+1)= B x+j 1 B x+j (q1, . . . , q j1, qj+1, . . . , q n+1)= (x+j)

1(q),

que e tambem uma aplicacao diferenciavel, cuja diferencial e a matriz identidade. Por-

tanto, B e uma submersao.

Desta forma, conclumos que o atlas maximal gerado pelas estruturas A e B sobre

Pn (R) sao coincidentes.


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SEMIN ARIO DE VARIEDADES DIFERENCIAVEIS EGRUPOS DE LI

Acoes Descontnuas de GruposUma maneira de se construir variedades diferenciaveis a partir de uma variedade inicial

e atraves da acao de um grupo sobre a mesma.Para as definicoes a seguir consideremosG um grupo e M uma variedade diferenciavel.

Definicao 1: Dizemos queGage sobreMse existe uma aplicacao : GMMtal que

(i) Para cadag G, a aplicacao g : MM, definida porg(p) =(g, p), p M, e umdifeomorfismo.

(ii) Seg1, g2 G, entao g1g2 =g1 g2.

Quando estamos lidando com uma unica acao geralmente usamos a notacao(g, p) =gp.

Definicao 2: Dizemos que uma acao deG sobreM e livre se a identidadee G e o unicoelemento que satisfazep= p, para todo pM.

Definicao 3: Dizemos que uma acao deG sobre M e descontnua se todo p M possuiuma vizinhancaVM tal queV g(V) =, para todo g=e.

Quando G age sobre M, a acao determina uma relacao de equivalencia em M:

p1 p2 p2 = gp1.

Indicaremos o espaco quociente de M por esta relacao de equivalencia por M/G e aaplicacao : MM/G, definida por

(p) = [p],

sera chamada de projecao de M sobre M /G.Veremos agora que M/G possui uma estrutura diferenciavel.

Proposicao: Se Mn e uma variedade diferenciavel de dimensao n e : GM M euma acao livre e descontnua de um grupo G sobre M, entao M/G possui uma estrutura

diferenciavel de modo que a projecao : MM/G e um difeomorfismo local.

PROVA: Para cada p M, escolhamos uma parametrizacao

Xp: Up Rn M em p

de modo que Xp(Up) VP, onde Vp Mseja uma vizinhanca de ptal que

Vp g(Vp) =.

A restricao|Vp e injetiva, pois sep1, p2 Vpe (p1) =(p2), entaop2 = gp1, para algum

g G.Dessa maneira, gp1 pertence a Vp, implicando em g= e, ou seja, p1=p2. Logo

1


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Yp= Xp:Up Rn M/G

tambem e injetiva.Afirmamos que a famlia {(Up, Yp) : p M} e uma estrutura diferenciavel em M/G.

Verifiquemos as duas condicoes que definem estrutura diferenciavel.

(1)Se [q] M/G, entao [q] =(q), q M.Assim basta escolher uma parametrizacao Xq :Uq Rn M em q como anteriormente

e obtemos

[q] =(q) = ( Xq)(X1q (q)) =Yq(X

1q (q))

pM

Yp(Up).

Logo,

pM

Yp(Up) =M/G.

(2)A partir daqui indexaremos as parametrizacoes usando numeros para facilitar a notacao.

Sejam entao duas parametrizacoes

Y1= X1:U1 Rn M/G e Y2 = X2 : U2 R

n M/G,

com W=Y1(U1) Y2(U2)=.Escrevamos

W = ( X1)(U1) ( X2)(U2) =(X1(U1)) (X2(U2)).

Consideremos p 1(W). Entao (p) W. Mais ainda,

(p) (Xi(Ui)), i= 1, 2,

o que leva a

p 1((Xi(Ui))), i= 1, 2.

Porem, uma vez que |Vi , onde Vi e a vizinhanca descrita como anteriormente, |Xi(Ui) einjetiva para i= 1, 2. Assim,

p X1(U1) X2(U2).

Suponhamos agora que pX1(U1) X2(U2). Deste modo

(p) (X1(U1)) (X2(U2)) =W.

Ou seja, p1

(W). Assim1(W) =X1(U1) X2(U2),

que e aberto em M.Logo

Y1i (W) = (X1i

1)(W) =X1i (1(W))

e aberto em Rn para i= 1, 2.

Consideremos agora a restricao i de a Xi(Ui), i = 1, 2. Sejamq Y1(U1)Y2(U2),r= (X12 2

1)(q) e W2 U2 uma vizinhanca de r tal que

(2 X2)(W2) Y1(U1) Y2(U2).

2


19/47

Temos o seguinte

(Y11 Y12 )|W2 =X

11

11 2 X2.

E suficiente mostrar entao que 11 2 e diferenciavel emp2=12 (q) X2(W2).

Seja p1 = (11 2)(p2). Entao p1 e p2 sao equivalentes em M, ou seja, existe g G tal

que gp2

= p1.

Consideremos agorap X2(W2), entao

(11 2)(p) =p,

onde p e o unico ponto de X1(U1) tal que (p) =(p).

Por outro lado, gp X1(U1), pois como g e um difeomorfismo, se p esta numavizinhanca dep2, entao gp

esta numa vizinhanca degp2. Consideramos essa tal vizinhancacontida em X1(U1).

Alem disso, (gp) =(p) =(p). Logo

gp

=p

= (11 2)(p

).

3


20/47

Isto e, a restricao (Y11 Y12 )|W2 coincide com o difeomorfismo g|X2(W2).

Pela maneira como foi construda, esta estrutura diferenciavel e tal que : MM/Ge um difeomorfismo local.

Observacao: A construcao anterior do plano projetivo se reduz a presente se tomarmosM = Sn e G o grupo dos difeomorfismos de Sn constitudo pela aplicacao antpoda A e aidentidadeI=A2 de Sn.

Exemplos:

(1) Consideremos o grupo G das translacoes atraves de coordenadas inteiras de Rk onde aacao de G e dada por

(x1,...,xk)(x1+n1,...,xk+nk),

onde n1,...,nkZ

e (x1,...,xk)R

k

.A aplicacao acima define uma acao livre e descontnua deGsobre Rk. O espaco quocienteRk/G, com a estrutura diferenciavel descrita anteriormente e chamado de k-toro Tk.

Quando k = 2, o 2-toro T2 e difeomorfo ao toro de revolucao de R3 obtido como imageminversa do zero da funcao f : R3 Rdada por

f(x,y,z) =x2 + (

x2 +y2 a)2 r2.

(2) Seja S R3 uma superfcie regular de R3 simetrica em relacao a origem 0 R3.O grupo dos difeomorfismos de S constitudo por {A,Id} age sobre S de maneira livre edescontnua. Introduzimos em S/G a estrutura diferenciavel descrita acima. Quando S e o

toro de revolucao T2

, S/G= Ke chamada de garrafa de Klein (figura a seguir).

Quando S e a faixa do cilindro circular reto dada por

C={(x,y,z) R3 :x2 +y2 = 1,1< z


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Transversalidade em Variedades

DiferenciveisVictor Hugo Loureno da Rocha

Universidade Estadual de Maring - Doutorado em Matemtica

Disciplina: Variedades Diferenciveis e Grupos de Lie

Professor: Josiney Alves de Souza

Resumo: Neste trabalho, estudamos a teoria de transversalidade em variedades diferenciveis.

Inicialmente, apresentamos alguns resultados sobre subvariedades para fundamentar nosso estudo. Pos-

teriormente, apresentamos o conceito de transversalidade e mostramos que ele generaliza o conceito de

valor regular.

1. Introduo

SejamMm e Nn variedades diferenciveis de classeCk e : M Numa aplicao de

classe Ck. Um ponto a N chamado valor regularde se, para todo p 1 (a),

a diferencial dp : TpM T(p)N sobrejetiva. Sabemos que, se a N um valor

regular de e 1 (a)= , ento 1 (a) uma subvariedade deMde dimenso m n

e de classe Ck.

Qualquer ponto de Npode ver visto como uma subvariedade de dimenso 0de N.Dessa forma, surge o seguinte questionamento: se S uma subvariedade arbitrria de

N, em que condies 1 (S) uma subvariedade de M? A teoria de transversalidade

responde a essa pergunta.

Neste trabalho, apresentamos a teoria de transversalidade em variedades diferen-

civeis. Mostramos que esse conceito uma generalizao do conceito de valor regular

e que, de certa forma, ele nos permite entender o que significa duas subvariedades se

intersectarem transversalmente. Na Seo 2, apresentamos alguns resultados sobre sub-variedades que fundamentam o estudo de transversalidade que feito na Seo 3.


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2. Subvariedades

Nesta seo, apresentamos alguns resultados e observaes sobre subvariedades visando

fundamentar o estudo de transversalidade que feito na Seo 3. Lembramos que uma

subvariedade de dimenso s e de classe Ck de uma variedade diferencivel Nn de

dimenson e de classe Ck um subconjunto SdeN, munido da topologia induzida de

Ne que possui uma estrutura de variedade diferencivel de dimenso s (s n) e de

classe Ck, tal que a incluso i : SN um mergulho de classe Ck.

A menos de meno explcita em contrrio, ao longo dessa seo, Nn denota uma

variedade diferencivel de dimenso n e de classe Ck.

Proposio 2.1. SejaS Num subconjunto deN. Suponha que, para cadap S,

existe uma parametrizaoy: V Rn N emp e existe uma bijeox: U Rs

S y (V), ondeU um aberto deRs, tais que y1 x : U V um mergulho de

classeCk. Ento, existe uma nica estrutura de variedade diferencivel que tornaSuma

subvariedade de dimensos e de classeCk deN.

Demonstrao: Dado p S, sejam yp :Vp Rn Ne xp : Up Rs S yp(Vp)

como no enunciado. Mostremos que{(Up, xp)}pStorna Suma subvariedade de dimenso

se de classe Ck deN.

Por construo,

S=pS

xp(Up) .

Agora, sejam p, qStais que

Wpq= xp(Up) xq(Uq)= .

Como yp,yq,y1p xpe y1q xqso homeomorfismos, segue que

xp= yp y1p xp

e xq= yq

y1q xq

so homeomorfismos (estamos considerando Scom a topologia induzida de N). Assim,

os conjuntos xp(Up)e xq(Uq)so abertos em Se, consequentemente,

x1p (Wpq) R

s e x1q (Wpq) Rs

2


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so abertos em Rs. Alm disso, da Forma Local das Imerses, segue que y1q xq um

difeomorfismo de classe Ck

(considerando o domnio de maneira adequada), donde

x1q xp =

yq

y1q xq

1yp

y1p xp

=

y1q xq

1 y1q yp

y1p xp

uma aplicao de classe Ck.

Conclumos, assim, que, munido de {(Up, xp)}pS, S uma variedade diferencivel

de dimenso s e de classe Ck.

Agora, mostremos que S, com essa estrutura diferencivel, uma subvariedade de

N. Seja i: S Na incluso. Para mostrar que i um homeomorfismo, suficiente

mostrar que = N, onde a topologia em S induzida pela estrutura diferencivel

{(Up, xp)}pSe N a topologia induzida de NemS.

SejaA S. Segue, da Forma Local das Imerses, que y1p xp um difeomorfismo de

classeCk (restrito a um aberto que contmp), para todop S. Alm disso, a aplicao

yp: y1p (S yp(Vp))S yp(Vp)

um difeomorfismo de classe Ck, para todo p S. Logo, a afirmao

x1p (A xp(Up)) aberto em R

s, para todo p S,

equivalente afirmao

y1p xp

1 y1p (A yp(Vp)) aberto em R

s, para todo p S,

que, por sua vez, equivalente a dizer que

y1p (A yp(Vp)) aberto em y

1p (S yp(Vp)) , para todo p S.

Tendo essas equivalncias em mente, suponha que A e tome a A. Seja ya a

parametrizao associada ae bijeo xa. Como A , temos que x1a (A xa(Ua))

um aberto de Rs, donde y1a (A ya(Va)) um aberto de y1a (S ya(Va)). Dessa

forma, A ya(Va) um aberto de S ya(Va) e, portanto, de S, j que S ya(Va) um aberto de Sna topologia induzida de N. Em outras palavras, A ya(Va) N,

3


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com a A ya(Va) A. Isso mostra que A N. Reciprocamente, suponha que

A N. Ento, A = S B, onde B um aberto em N. Dada uma parametrizaoy: V Rn NdeN, comoB aberto emN, segue que y1 (B y (V)) um aberto

de Rn. Assim,

y1 (A y (V)) = y1 (S B y (V))

= y1 (S) y1 (B y (V))

= y1 (S y (V)) y1 (B y (V)) ,

de modo que y1 (A y (V)) aberto em y1 (S y (V)). Em particular, y1p (A yp(Vp))

aberto em y1p (S yp(Vp)), para todo p S, de modo que x1p (A xp(Up)) aberto

em Rs, para todo p S. Portanto, A e = N.

Logo, i um homeomorfismo quando restrito a sua imagem. Alm disso, i uma

aplicao de classe Ck emS, pois, dado p S, a aplicao y1p xp de classe Ck e

y1p i xp= y

1p xp,

edip injetiva, j que

dip= dy1p i xp

x1p (p)

= dy1p xp

x1p (p)

edy1p xp

x1p (p)

injetiva.

Portanto, i : SN um mergulho de classe Ck e, assim, S uma subvariedade

de dimenso s e de classe Ck deN. A unicidade segue do Corolrio da Proposio 2 da

aula do dia 12 de maro.

Proposio 2.2. Um subconjuntoSdeN uma subvariedade de dimensose de classe

Ck deNse e somente se, para cadap S, existe um abertoV deN que contm p e

existe um difeomorfismo de classeCk y: A Rn V, ondeA um aberto deRn, tal

quey1 (S V) Rs {0} aberto em Rs {0}.

Demonstrao: Suponha que S uma subvariedade de dimenso s e de classe Ck deN. Logo, a incluso i : S N um mergulho de classe Ck. Pela Forma Local das

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Imerses, dadop S, existe um aberto Wde Nque contmp, existe uma parametrizao

x : U Rs

Sem p e existe um difeomorfismo y : UW0 Rs

Rns

W,onde W0 um aberto de Rns, tais que x (U) =i (x (U)) W e y1 i x (u) = (u, 0),

para todo u U. Em outras palavras, y1 (x (U) W) = U {0} Rs {0} e

y1 (x (U) W) aberto em Rs {0}. Agora, note que x (U) aberto em S. Uma vez

que a topologia emS a induzida deN, existe um aberto Bde Ntal que x (U) =SB.

Logo, V = B W um aberto de N que contm p e y: y1 (V) Rn V

um difeomorfismo de classe Ck, com y1 (V) aberto em Rn, tal que y1 (S V) =

y

1 (S B W) = y

1 (x (U) W) =U {0} Rs {0} aberto em Rs {0}.Reciprocamente, suponha que, para cada p S, existe um aberto V de N que

contmp e existe um difeomorfismo de classe Ck y:A Rn V, ondeA um aberto

de Rn, tal que y1 (S V) Rs {0} aberto em Rs {0}. Observe que y uma

parametrizao de N em p, j que y um difeomorfismo de classe Ck, que a mesma

classe deN. Logo, V = y (A) uma vizinhana coordenada de Nemp. Por outro lado,

denote por 1a projeo na primeira coordenada dada por

1 : Rs Rns Rs

(x, y) 1(x, y) =x .

Restrita a Rs {0}, 1 um difeomorfismo de classe Ck. Sejam p S e y o

difeomorfismo associado a pda hiptese. Denote por

x= y1|y1(Sy(A))

1

: 1y1 (S y (A))

S y (A) .

claro que x

uma bijeo de 1(y1

(Sy

(A))) em Sy

(A). Alm disso,1(y

1 (S y (A))) aberto em Rs, posto que, por hiptese, y1 (S y (A)) aberto

em Rs {0}, e a aplicao

y1 x = y1

y1|y1(Sy(A))

1

=1|y1(Sy(A))

1

um mergulho de classe Ck. Da Proposio 2.1, segue que S uma subvariedade de

dimensos e de classe Ck deN.

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O resultado a seguir, que uma consequncia da Proposio 2.2, nos d uma impor-

tante ferramenta para verificar se um determinado subconjunto ou no uma subvarie-dade.

Corolrio 2.1. SeS um subconjunto deNcom a propriedade que, para cadap S,

existe um aberto V de N que contm p de modo que SV uma subvariedade de

dimensos e de classeCk deN, entoS uma subvariedade de dimensos e de classe

Ck deN.

Demonstrao: Seja Sum subconjunto de Nque satisfaz a propriedade do enunciado.

Considere p Se um aberto V de N que contm p tal que SV uma subvarie-

dade de dimenso s e de classe Ck de N. Ento, a incluso i : SV N um

mergulho de classe Ck. Pela Forma Local das Imerses, existe um aberto W deNque

contm p, existe uma parametrizao x : U Rs S V em p e existe um difeo-

morfismo y : UW0 Rs Rns W, onde W0 um aberto de Rns, tais que

x (U) =i (x (U)) We y1 i x (u) = (u, 0), para todo u U. Sem perda de genera-

lidade, podemos supor que x (U)W= (S V)W(j que x (U) aberto emSV).

Dessa forma, y: y1 (W V)WV um difeomorfismo de classeCk, y1 (W V)

um aberto de Rn e y1 ((S V) W) = y1 (x (U) W) =U {0} um aberto de

Rs {0}. Observe que, para o ponto arbitrriop S, encontramos um difeomorfismo

y nas condies da Proposio 2.2. Portanto, S uma subvariedade de dimenso s e de

classe Ck deN.

Suponha que R uma subvariedade de Se que S, por sua vez, uma subvariedade

deN. Ser queR, sendo uma subvariedade deS, uma subvariedade de N? A resposta

dada no prximo resultado.

Proposio 2.3. Sejam Ss uma subvariedade de dimensos e de classeCk deN eRr

uma subvariedade de dimensor e de classeCk deS. Ento, R uma subvariedade de

dimensor e de classeCk deN.

Demonstrao: Denote por i : R Sa incluso de R em S e por i : S N a

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incluso de SemN. Como Sest munida com a topologia induzida de N, no difcil

mostrar que as topologias induzidas de Ne deSemR coincidem.Dessa forma, a incluso de R em N

I :i i: R N,

quando restrita a sua imagem, um homeomorfismo.

Alm disso, dado p R e dadas parametrizaes x: U Rr R em pe y:V

Rn NemI(p) =p, a aplicao y1 I x de classe Ck, pois y1,x, ie io so e

y1 I x= y1 i i x,

edIp injetiva, pois dipedipo so e

dIp= d

i ip

= dii(p) dip= dip dip.

Portanto,I um mergulho de classe Ck, o que, por definio, significa que R uma

subvariedade de dimenso r e de classe Ck deN.

Para encerrar, falemos um pouco sobre a relao que existe entre os espaos tangentes

s subvariedades e o espao tangente variedade.

SejaSs uma subvariedade de dimensose de classeCk deN. Dadosp Se v TpS,

existe uma curva diferencivel : (, ) S tal que (0) = p e (0) = v. Ora,

podemos considerar como uma curva em N atravs da composio = i , onde

i: SN a incluso de SemN. Com isso, v TpNe

TpSTpN. (2.1)

A rigor, TpS identificado com um subespao de TpNatravs da diferencial dip.

3. Transversalidade

Apresentamos agora um estudo da teoria de transversalidade em variedades diferenciveis

tendo como referncia [2]. O conceito de transversalidade generaliza o conceito de valorregular e permite entender o que significa variedades se intersectarem transversalmente.

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Ao longo dessa seo, Mm eNn denotam duas variedades diferenciveis de classe Ck

e : MN uma aplicao de classe Ck

.

Definio 3.1. SejaSs uma subvariedade de dimensos e de classeCk deN. Dizemos

que transversal a S emp 1 (S) se

dp(TpM) + T(p)S=T(p)N.

Se transversal aS emp, para todop 1 (S), dizemos que transversala

S.

Eventualmente, podem existir subvariedades em Nque so disjuntas da imagem de

. Em outras palavras, pode acontecer (M) S= , para alguma subvariedade Sde

N. Neste caso, por vacuidade, transversal a S. Por outro lado, se transversal

a uma subvariedade Ss deN e (M) S= , ento m + s n(lembre-se que me n

so as dimenses de M e N, respectivamente). Logo, se m +s < ne transversal a

S, ento (M) S= .

Vejamos, agora, um caso particular. Seja S = {a}, onde a N. O conjunto{a}

pode ser visto como uma subvariedade de dimenso 0 de N. Neste caso, transversal

a{a}se e somente sea um valor regular de . De fato, se transversal a{a}, ento,

dado p 1 (a), dp(TpM) + Ta{a} = TaN. Como Ta{a} o espao vetorial trivial

{0}, temos que

dim(TaN) = dim

dp(TpM)

+ dim (Ta{a}) dim

dp(TpM) Ta{a}

= dim

dp(TpM)

+ dim ({0}) dim

dp(TpM) {0}

= dim

dp(TpM)

.

Logo,dp(TpM) =TaN e a valor regular de . Reciprocamente, se a um valor

regular de , entodp(TpM) =TaN, para todo p 1 (a). Assim,

TaN= dp(TpM) = dp(TpM) +{0}= dp(TpM) + Ta{a} ,

para todo p

1 (a), mostrando que transversal a{a}. Isso mostra que o conceitode valor regular um caso particular do conceito de transversalidade.

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No que segue, vamos mostrar que a condio de transversalidade pode ser, de certa

forma, reduzida a de valor regular. Seja Ss

uma subvariedade de dimenso s e de classeCk deN. Segue, da Proposio 2.2, que, para cada p 1 (S), existe um aberto V de

Nque contm (p)e existe um difeomorfismo de classe Ck y: V A Rn, onde A

um aberto de Rn, tal quey (S V) Rs {0} aberto em Rs {0}(basta considerary

como sendo o difeomorfismo y1 da Proposio 2.2). Considere um aberto UdeMque

contmp tal que (U) V. Considere a projeo na segunda coordenada dada por

2 : Rs Rns Rns

(x, y) 2(x, y) =y .

Proposio 3.1. A aplicao: M N transversal aSnos pontos deU1 (S)

se e somente se0 Rns um valor regular da aplicao2 y |U :U Rns.

Demonstrao: Inicialmente, note que

2 y |U U 1 (S) = 2 y (U) 1 (S) 2 y (S V)

2(Rs {0})

= {0} ,

de modo que 2 y |U(U 1 (S)) ={0}(lembre-se que 2 y |U(p) = 0). Alm

disso, note que, para todo r U 1 (S),

dr:TrMT(r)N,

dy(r):T(r)NTy((r))Rs Rns

Rs Rns e

d (y )r:TrM Rs Rns.

Dado rU1 (S), denote por E= d (y )r(TrM) = dy(r)dr(TrM). Observe

que podemos identificarEcom um subespao de Rs Rns atravs ded (y )r.

9


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Agora, suponha que transversal a Sem

rU 1 (S) = (2 y |U)1 (0) .

Ento,

dr(TrM) + T(r)S=T(r)N.

Logo,

d (y )r(TrM) + dy(r) T(r)S

= dy(r)

T(r)N

.

Identificando dy(r)

T(r)S

com Rs {0}, podemos concluir que

E+ (Rs {0}) = Rs Rns.

Segue da igualdade anterior que E um subespao de Rs Rns da formaG Rns,

para algumG Rs. Dessa forma, podemos concluir que 2(E) = Rns.

Da,

d (2 y |U)r(TrM) = d (2)y((r)) d (y )r(TrM)

= d (2)y((r))(E)

= 2(E)

= Rns,

onde, na terceira igualdade, usamos que a aplicao 2 linear e, portanto, coincide com

a diferencial d (2)y((r)). Com isso, mostramos que d (2 y |U)r sobrejetiva. A

arbitrariedade na escolha de rnos permite concluir que 0 Rns

um valor regular de2 y |U.

A recproca anloga. Mais precisamente, como dy(r) um isomorfismo, para todo

r U 1 (S), basta seguir a ordem contrria do raciocnio anterior para provar a

recproca.

A caracterizao de transversalidade em termos de valores regulares obtida na proposio

anterior permite demonstrar o resultado a seguir, que o mais importante desse trabalho,uma vez que responde ao nosso questionamento inicial.

10


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Teorema 3.1. Seja: M Numa aplicao de classeCk transversal a uma subva-

riedadeSs

de dimensos e de classeCk

deN. Ento, 1

(S) = ou 1

(S) umasubvariedade de classeCk deMcuja codimenso em M igual a codimenso deS em

N. Neste caso,

Tp1 (S) =

dp

1

T(p)S

,

para todop 1 (S).

Demonstrao: Suponha que 1 (S)= e tome p 1 (S). Seja y : V A, onde

A um aberto de Rn e V um aberto de Nque contm (p), um difeomorfismo de

classe Ck tal que y (S V) Rs {0} aberto em Rs {0}. Seja Uum aberto de M

que contm ptal que (U) V. Como transversal a Sem r U 1 (S), para

todo r U 1 (S), temos, da Proposio 3.1, que 0 Rns um valor regular da

aplicao 2 y |U. Da Proposio 2 da aula do dia 15 de maro, segue que

U 1 (S) = (2 y |U)1 (0) (3.1)

uma subvariedade de Mde dimenso m (n s)e de classe Ck e que

Tr

U 1 (S)

= ker

d (2 y |U)r

=

d (2 y |U)r1

(0)

=

d (2)y((r)) dy(r) dr

1(0)

= (dr)1

dy(r)

1

d (2)y((r))

1

(0)

= (dr)1

dy(r)1 (Rs {0})

= (dr)1

T(r)S

,

para todo rU 1 (S).

Agora, observe a expresso em (3.1). Note que, para o p 1 (S)escolhido de forma

arbitrria, existe um aberto Ude Mque contmptal que U1 (S) uma subvariedade

de dimenso m(n s)e de classe Ck. Do Corolrio 2.1, podemos concluir que 1 (S)

uma subvariedade de dimensom(n s)e de classe Ck deM. Note que a codimensode 1 (S)em M m (m (n s)) =n s, que a codimenso de SemN.

11


32/47

Alm disso, dado p 1 (S), o conjunto U 1 (S) uma subvariedade aberta de

1

(S), j que U1

(S) um aberto de 1

(S). Da observao em (2.1), segue queTp(U 1 (S)) um subespao de Tp1 (S)com a mesma dimenso de Tp1 (S), ou

seja,

Tp1 (S) =Tp

U 1 (S)

.

Portanto,

Tp1 (S) = dp

1

T(p)S .

Os prximos dois resultados so consequncias do Teorema 3.1.

Corolrio 3.1. Se : M N uma submerso de classe Ck, ento dada uma

subvariedade Ss de dimenso s e de classe Ck de N, 1 (S) = ou 1 (S) uma

subvariedade de classeCk deM.

Demonstrao: SejaSs uma subvariedade de dimenso s e de classe Ck deNe suponha

que 1 (S) = . Note que, dado p 1 (S), dp(TpM) = T(p)N, pois uma

submerso. Assim, dp(TpM) + T(p)S=T(p)N. Isso significa que transversal a S

em p, para todo p 1 (S). Pelo Teorema 3.1, 1 (S) uma subvariedade de classe

Ck deM.

Corolrio 3.2. Sejam Rr eSs duas subvariedades de classeCk deN. SeR S= e

se, para cadap RS,TpR + TpS=TpN, entoRS uma subvariedade de dimenso

r + sne de classeCk deN. Alm disso, Tp(R S) =TpRTpS, para todop RS.

Demonstrao: Seja i : R Na incluso de Rem N. Note que

R S=i1 (S) .

Dado p i1 (S), temos quedip(TpR) =TpR, pois i um mergulho. Logo,

dip(TpR) + TpS=TpR + TpS=TpN.

12


33/47

Dessa forma, i transversal a Sem p, para todo p i1 (S). Como p arbitrrio,

segue que i transversal a S. Do Teorema 3.1, resulta que i1

(S) = R S umasubvariedade de classe Ck de R e, consequentemente, de N (Proposio 2.3). Com

relao dimenso de R S, note que a codimenso de R Sem R n s. Ento,

denotando por ka dimenso de R S, temos que r k= n s, ou seja, k = r+ s n.

Agora, dado p R S, mostremos que Tp(R S) = TpR TpS. Lembrando da

observao em (2.1), temos que

Tp(R S) = (dip)1 (TpS)

= {v TpR: dip(v) TpS}

= {v TpR: v TpS}

= TpR TpS.

Em particular, se R2 eS2 so duas superfcies regulares de classe Ck em R3 tais que,

para cada p R S, TpRe TpSso distintos, ento R S uma curva de classe Ck em

R3 (Exerccio 17, pgina 107, de [1]).

Outro caso particular ocorre quando Rr e Ss so duas subvariedades de Nr+s tais

que TpR TpS = TpN, para todo p R S. Neste caso, R S uma variedade de

dimenso0, ou seja, um conjunto discreto de pontos de M.

A condio TpR+TpS=TpN do Corolrio 3.2 estudada nos casos anteriores motiva

a defi

nio a seguir.

Definio 3.2. Se duas subvariedadesR eS deNsatisfazem a propriedade que, para

todop R S,

TpR + TpS=TpN,

dizemos queR eSesto emposio geral, ou que seintersectam transversalmente.

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Referncias

[1] Carmo, M. P.: Geometria diferencial de curvas e superfcies. Coleo textos

universitrios, SBM (2008).

[2] Lima, E. L.: Variedades diferenciveis. Publicaes Matemticas, IMPA (2010).

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Aplicaes de Posto Constante

Djeison Benetti

Universidade Estadual de Maring

Programa de Ps-Graduao em Matemtica (doutorado)

Abril de 2012

Resumo

O ob jetivo deste breve trabalho apresentar o conceito de aplicaes de posto cons-

tante e a demonstrao do teorema do posto para variedades diferenciveis. As notaes

e principais definies, tais como a de variedade diferencivel e a de aplicao diferen-

civel entre variedades, seguem conforme [1] e os resultados abaixo mencionados esto

baseados sobretudo conforme [2].

1 Aplicaes de Posto Constante e o Teorema do Posto

para Variedades diferenciveis

Sejam Muma variedade diferencivel de dimenso m e N uma variedade diferencivel

de dimenso n. O posto de uma aplicao diferencivel : M N, em um ponto p M,

a dimenso da imagem da diferencial dp : TpM T(p)N. Dizemos que tem posto

constantequando o posto de em todo pontop M o mesmo.

A seguir enunciamos o teorema do posto para o caso euclidiano. A demonstrao

omitida, mas pode ser encontrada em [2] (p. 25).

Teorema 1.1 (Teorema do Posto - Caso euclidiano). SejamU um subconjunto aberto de

Rr+m e f : U Rr+n uma aplicao de classeCk (k 1). Suponha que f tem posto

1


36/47

constante r em todos os pontos deU. Ento, para todo z0 U existem difeomorfismos de

classeCk

g: V W Rr Rm Z Rr+m,

h: Z Rr+n V W Rr Rn,

comVW aberto emRr Rm, VW aberto emRr Rn eZ, Z vizinhanas dez0 ef(z0),

respectivamente, tais que a aplicao

(h f g) :V W Rr Rn

dada por(h f g)(x, y) = (x, 0) para todo (x, y) V W Rr Rm.

Abaixo temos uma representao esquemtica do teorema acima.

Figura 1: Teorema do Posto - Caso euclidiano.

Agora enunciaremos e demonstraremos o teorema do posto para variedades diferenciveis.

Teorema 1.2 (Teorema do Posto para Variedades diferenciveis). SejamMm eNn varie-

dades diferenciveis de classeCk (k 1). Considere: MNaplicao diferencivel de

classeCk tal que possui posto constante r. Ento, dado p M existem parametrizaes

x : U Rm M em p e y : V Rn N em(p), com(x(U)) y(V), tais que a

aplicao

(y1 x) :U Rm Rn

2


37/47

dada por(y1 x)(x1, . . . , xr, xr+1, . . . , xm) = (x1, . . . , xr, 0, . . . , 0).

Demonstrao: Seja p M e considere as parametrizaes x1 : U1 Rm M em p e

y1 : V1 Rn

N em (p), tais que (x1(U1)) y1(V1). Como diferencivel de classeCk, temos que

x1y1 := (y11 x1) :U1 R

m Rn

diferencivel de classe Ck. Alm disso, x1y1 possui posto constante r em todos os pontos

de U1. De fato, observe que

d(x1y1)x11 (p) = d(y

11 )(p) d()p d(x1)x1

1 (p).

Comod(y11 )(p)e d(x1)x11 (p)so isomorfismos ed()ppossui postor, segue qued(x1y1)x1

1 (p)

possui postor.

Dessa forma, vemos que a aplicao x1y1 est nas hipteses do teorema do posto (caso

euclidiano). Logo, existem difeomorfismos de classeCk

g: V W Rr Rmr ZU1,

h: Z V1 V W Rr Rnr,

comVWaberto em Rr Rmr,VW aberto em Rr Rnr eZ, Z vizinhanas dex11 (p)

e x1y1(x11 (p)) =y

1((p)), respectivamente, de modo que

(h x1y1 g) :V W Rr Rnr

dada por (h x1y1 g)(v, w) = (v, 0), para todo(v, w) V W Rr Rmr.

Agora, denoteU =V W Rr Rmr e V =V W Rr Rnr. Defina ento as

aplicaes x := (x1 g) : U

Rm

M e y := (y1 h1

) : V

Rn

N. Sendo g e hdifeomorfismos, claro quexe yso parametrizaes depe (p), respectivamente, e ainda

(x(U)) y(V). Alm disso, a aplicao xy := (y1 x) :U Rm Rn dada por

xy(v, w) = (y1 x)(v, w) = (h (y11 x1) g)(v, w) = (h x1y1 g)(v, w) = (v, 0),

para todo(v, w) U =V W Rr Rmr.

3


38/47

2 Exemplos e Aplicaes

Exemplo 2.1. Um grupoG dito um grupo de Lie se G possui uma estrutura de variedade

diferencivel tal que as operaes multiplicao e inverso do grupo so diferenciveis. Umexemplo de aplicao entre grupos de Lie e dado por Lg :G G, no qual Lg(x) =gx. Esta

aplicao um difeomorfismo e chamada de translao esquerda. SejamGe Hgrupos

de Lie e f :G Hum homomorfismo diferencivel. Ento, ftem posto constante.

De fato, sendofum homomorfismo, dadosa, p Garbitrrios, temosf(ap) =f(a)f(p).

Sejam La : G G e Lf(a) : HHtranslaes esquerda. Note ento que

f La(p) =f(a p) =f(a) f(p) =Lf(a) f(p).

Logo, f La= Lf(a) f :G H. Agora, tomando-sep, q G e pondo a= q p1, temos

d(f La)p= d(f)La(p) d(La)p= d(f)q d(La)p;

d(Lf(a) f)p= d(Lf(a))f(p) d(f)p.

Sendo La e Lf(a) difeomorfismos, temos que d(La)p e d(Lf(a))f(p) so isomorfismos. Dessa

forma, conclumos que

d(Lf(a) f)p= d(f La)p d(f)p=d(Lf(a))f(p)

1

d(f)q d(La)p,

donde segue que d(f)p e d(f)q possuem o mesmo posto.

Exemplo 2.2. As imerses e as submerses so exemplos de aplicaes de posto constante,

tambm ditas aplicaes de posto mximo.

Um fato importante que muitos dos resultados relacionados a submerses e imerses

em variedades, como a forma local das submerses e a forma local das imerses, podem ser

concludos a partir do teorema do posto para variedades. Neste sentido, outro resultado

relevante apresentado pela proposio abaixo.

Proposio 2.3. Seja : Mm Nn uma aplicao diferencivel de classeCk (k 1) e

posto constanter. Para cadaa N, com1(a)=, temos que1(a) uma subvariedade

de classeCk e dimenso m r emM.

4


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Demonstrao: Seja p 1(a). Pelo teorema do posto encontramos parametrizaesxp :

Up Rm M em pe yp : V p R

n N em (p) = a, com Up = Vp Wp Rr Rmr e

(xp(Vp Wp)) yp(V

p), tais que a aplicao

(y1p xp) :Vp Wp Rn

dada por (y1p xp)(Vp Wp) =Vp {0}, isto ,

(y1p xp)(x1, . . . , xr, xr+1, . . . , xm) = (x1, . . . , xr, 0, . . . , 0).

Seja (q, u) Vp Wp tal que xp(q, u) = p. Logo, (y1p xp)(q, u) = (q, 0) e assim

y1p (a) = (q, 0). Observe ento que

(y1p xp)1(y1p (a)) = (y

1p xp)

1((q, 0)) ={q} Wp.

Por outro lado,

(y1p xp)1(y1p (a)) = x

1p (

1(a)) = x1p (xp(Vp Wp) 1(a)).

Dessa forma, podemos ver que

(y1p xp)1(y1p (a)) = x1p (xp(Vp Wp) 1(a)) ={q} Wp. (1)

Agora, defina a aplicao

zp: Wp Rmr 1(a)

no qual zp(w) =xp(q, w)para todow Wp. Observe que por (1) temos

zp(Wp) =xp({q} Wp) =xp(Vp Wp) 1(a). (2)

De maneira anloga, considerando a aplicao incluso i : Rmr Rr Rmr, dada pori(w) = (q, w), denotamos poripa restrio desta incluso emWp. Assim, escrevemoszp(w) =

(xp ip)(w). Note tambm que, sobre a imagem,ip uma bijeo diferencivel e cuja inversa

denotamos por p, no qual p(q, w) =w para todo(q, w) {q} Wp.

Para cada p 1(a) defina zp desta forma. Ento, a famlia {(Wp, zp)} define uma

estrutura diferencivel em 1(a). De fato, como xp biunvoca, segue que zp tambm o

5


40/47

. claro que 1(a) =

p1(a) zp(Wp). Alm disso, para quaisquer p, s 1(a) com

zp(Wp) zs(Ws) =Z=, temos z1p (Z)e z1s (Z)abertos em R

mr. Com efeito,

z

1

p (Z) = (xp ip)1

(Z)= (p x

1p ) (zp(Wp) zs(Ws))

(2)= (p x

1p )

(xp(Vp Wp) xs(Vs Ws))

=W aberto em M

1(a)

= px1p (W) x

1p (xp(Vp Wp)

1(a))

(1)= p

x1p (W) ({q} Wp)

.

Agora, tomeb z1p

(Z). Ento, pela igualdade acima, temosb p x1

p

(W) ({q} Wp).Logo, ip(b) = (q, b) x1p (W) ({q} Wp). Como x

1p (W) aberto R

r Rmr, existe um

aberto bsicoB Cem Rr Rmr tal que

ip(b) = (q, b) (B C) ({q} Wp) x1p (W) ({q} Wp).

Logo, temos

b p((B C) ({q} Wp)) px1p (W) ({q} Wp)

.

Mas p((B C) ({q} Wp)) = p({q} (CWp)) = CWp um aberto em Rmr, donde

segue que z1p (Z) aberto em Rmr. De modo anlogo, conclumos que z1s (Z) um aberto

em Rmr. Continuando, vemos tambm que

z1s zp= (xs is)1 (xp ip) =s (x

1s xp) ip

uma aplicao diferencivel de classeCk.

Mostraremos agora que a aplicaoi : 1

(a) M um mergulho. Para tanto, conside-rando as parametrizaeszp e xp definidas acima, temos que

(x1p i zp) :Wp Rmr Rn

dada por (x1p i zp)(w) = (q, w)e, portanto, diferencivel. Alm disso,

d(x1p i zp)z1p (p) = d(x1p i xp ip)z1p (p)= d(ip)z1p (p)

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41/47

que uma aplicao injetiva. Assim, i uma imerso. Por outro lado, observe que A um

conjunto aberto em1(a)(enquanto variedade) se, e somente se,

z

1

p (zp(Wp) A) =z1

p (xp(Vp Wp) A) =Bp

aberto em Rmr para todo p 1(a). Da, zp(Bp) = zp(Wp) A = xp(Vp Wp) A

aberto em1(a) (enquanto variedade). Mas,

x1p (xp(Vp Wp) A) =ip(Bp) ={q} Bp.

Dessa forma,

xp(Vp Wp) A= xp({q} Bp) =xp(Vp Bp) 1(a)

tanto um aberto de 1(a) quanto um aberto na topologia induzida por M em 1(a).

Logo, temos quei : 1(a) M um mergulho. Portanto,1(a) um subvariedade deM

com dimenso m r.

Referncias

[1] M. P. do Carmo - Geometria Riemanniana, Sociedade Brasileira de Matemtica, Rio de

Janeiro, 2008.

[2] E. L. Lima - Variedades Diferenciveis, Publicaes Matemticas, IMPA, Rio de Janeiro,

2010.

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGA

CENTRO DE CIENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM MATEMATICA

Disciplina: Variedade Diferenciaveis e Grupos de Lie

Ewerton da Silva Lemes

Metricas Riemannianas

Introducao

Para definir um produto interno g em Rm basta defini-lo sobre uma base {v1, . . . , vm}

pondo g(vi, vj) = gij. Entao, dados u, v Rm com u =

mi=1

aivi e v =mi=1

bivi,

temos g(u, v) =m

i,j=1

aibjpij. O produto interno canonico em Rm e obtido definindo

gij =ei, ej= ij, delta de Kronecker, onde {e1, . . . , em} e a base canonica de Rm.

Agora seja Mm uma variedade diferenciavel. Queremos definir um produto interno

gp(, ) no espaco tangente TpM com p M. Usaremos as notacoes gp(, ) ou , p para

representar o produto interno em TpM.

Sejam x: U Rm M e y :V Rm Mduas parametrizacoes em p M. Nosso

problema agora e verificar como se relacionam os produtos internos nessas diferentes

parametrizacoes com p x(U) y(V). Mais ainda, nos interessa definir um produto

internogp(, ) em todo ponto p Me saber como varia esse produto interno em relacao

a p.

Daqui em diante, diferenciavel significara de classe C.

Definicao 1. Umametrica Riemanniana ou, estrutura Riemanniana, em uma variedade

diferenciavelM e uma correspondenciag que associa a cada ponto p M um produto

interno, p (isto e, uma forma bilinear simetrica, positiva definida) no espaco tangente

TpM, que varia diferencialvelmente no seguinte sentido:

Sex : U Rm M e um sistema de coordenadas locais em torno do pontop, com

x(x1, . . . , xm) = q x(U) e

xi(q) = dxq(0, . . . , 1, . . . , 0), entao,

xi(q),

xj(q)

q

=

gij(x1, . . . , xm) e uma funcao diferenciavel emU.

1


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As funcoes gij(=gji) sao chamadas expressao da metrica Riemanniana no sistema de

coordenadasx: U Rm M. Uma variedade diferenciavel com uma dada metrica Rie-

manniana chama-se umavariedade Riemanniana. Denotaremos por (M, g) uma variedade

riemanniana que possui a metrica Riemanniana g.

Vamos mostrar agora que a definicao de matrica Riemanniana nao depende da escolha

do sistema de coordenadas. Mas antes disso, provaremos a seguinte proposi cao:

Proposicao 2. SejamMm uma variedade diferenciavel, x : U Rm M e y : V

Rm M duas parametrizacoes de M em p. Considere W = x(U) y(V). Entao, a

matriz mudanca de base emTpMda base=

xi para a base =

yi e a matrizjacobiana da aplicacao y1 x: x1(W) y1(W), isto e,

[I] =

y1x1

y1

xm...

...ymx1

ym

xm

.

Demonstracao. Temos que y1 x: x1(W) y1(W) pode ser escrita como,

y1 x(x1, . . . , xm) = (y1(x1, . . . , xm), . . . , ym(x1, . . . , xm))

Escolha uma curva diferenciavel : (, ) M com (0) =p e (0) =v . Denote

por [v] o vetor v escrito na basee [v] o vetor v escrito na base . Expressando na

parametrizacao xtemos

x1 (t) = (x1(t), . . . , xm(t)) e [v] =mi=1

xi(0)

xi

Portanto,

y1 (t) = (y1(x1(t), . . . , xm(t)), . . . , ym(x1(t), . . . , xm(t)))

Da decorre que a expressao de(0) na base =

yi

associada a parametrizacao

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y, e dada por

vf = d

dt(f)|t=0=

d

dt(f yy1 )|t=0

= ddt

f(y1(x1(t), . . . , xm(t)), . . . , ym(x1(t), . . . , xm(t)))|t=0

=mi=1

xi(0)y1xi

f

y1+ +

mi=1

xi(0)ymxi

f

ym

=m

j=1

mi=1

xi(0)yjxi

f

yj

=

mj=1

mi=1

xi(0)yjxi

yj

f

Logo, a expressao de v na base =

yj

e

[v] =

mi=1

xi(0)y1xi

, . . . ,mi=1

xi(0)ymxi

Assim, segue que

[v] =

y1x1

y1

xm... ...

ymx1

ym

xm

x1(0)

...

xm(0)

= [I][v]

Disso segue o resultado.

Usando o resultado acima, mostraremos que a definicao de metrica Riemanniana nao

depende da parametrizacao.

Proposicao 3. Considere a variedade(Mm, g). A definicao de metrica Riemanniana nao

depende da escolha da parametrizacao.

Demonstracao. Seja x: U Rm Muma parametrizacao de M no ponto p M. Te-

mos que as funcoesgij :U R dada porgij(x1, . . . , xm) =

xi,

xj

q

sao diferenciaveis

com x(x1, . . . , xm) =q x(U). Considere agora outra parametrizacao y :V Rm M

de Mno ponto p e W =x(U)y(V). Mostraremos que hij :y1(W) R definida por

hij(y1, . . . , ym) =

yi,

yj

q

com y(y1, . . . , ym) =q W e diferenciavel.

3


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Considere a mudanca de coordenadas dada por

x1 y(y1, . . . , ym) = (x1(y1, . . . , ym), . . . , xm(y1, . . . , ym)))

Entao, dadas as bases =

xi

e =

yj

de TqMrelativas as parametrizacoes

xe y, respectivamente, temos que a matriz jacobiana

[I]

=

x1y1

x1

ym...

...xmy1

xm

ym

que e a matriz mudanca de base da base =

yj

para a base =

xi

. Logo,

escrevemos,

yk

= [I]

yk

=

x1yk

, . . . ,xmyk

Note que cada xiyj

e diferenciavel. Assim,

yk=

mi=1

xiyk

xie

hij(y1, . . . , ym) =

yi,

yjq

=

mk=1

xkyi

xk,

ml=1

xlyj

xl

q

=m

k,l=1

xkyi

xlyj

xk,

xl

q

=m

k,l=1

xkyi

xlyj

gkl

Portanto,hij e diferenciavel, e assim segue o resultado.

Definicao 4. Um difeomorfismo f : (M, g) (N, h) entre variedades e uma isometria

se

dfp(v), dfp(w)f(p) = v, wp

para todo p M ev, w TpM.

Exemplo 5. SejamM= Rn com

xiidentificado comei = (0, . . . , 1, . . . , 0). A metrica

Riemanniana e dada por gij(p) = ei, ej = ij. O R

n

e chamado espaco euclidiano dedimensao n e a geometria Riemanniana deste espaco e a geometria metrica euclidiana

gij : Rn R definida porgij(p) =ei, ej= ij para todo pM.

4


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Exemplo 6. Sejam(Nn, h)uma variedade Riemanniana,Mm uma variedade diferenciavel

ef :MNuma imersao, isto e, f e diferenci avel edfp:TpMTf(p)N e injetiva para

todo p M. Assim, finduz uma estrutura Riemanniana emM por

u, vp = dfp(u), dfp(v)f(p) para todo pM

Como dfp e injetiva, u, vp e um produto interno emTpM. Mostraremos queu, vp

varia diferenciavelmente em relacao ap. Sejay : V Rn N uma parametrizacao de

N emf(p) ex: U Rm Muma parametrizacao deM emp tal quef(x(U)) y(V).

Podemos escrever,

y

1 fx(x1, . . . , xm) = (f1(x1, . . . , xm), . . . , f n(x1, . . . , xm))

A matriz jacobiana dey1 fx e

f1x1

f1

xm...

...fnx1

fn

xm

e

dfp

xi

=

f1xi

, . . . ,fnxi

=n

j=1

fjxi

yj

Da,

gji =

xi,

xj

p

=

df

xi

, df

xj

f(p)

=

nk=1

fkxi

yk,

nl=1

flxi

yl

f(p)

=n

k,l=1

fkxi

flxj

yk,

yl

f(p)

=n

k,l=1fkxi

flxj

hkl

Portanto gij e diferenci avel para todo p M. Conclumos tambem quefuma isome-

tria.

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Teorema 7. Uma variedade diferanciavelMde Hausdorff e com base enumeravel possui

uma metrica Riemanniana.

Demonstracao. Como a variedade M e um espaco de Hausdorff com base enumeravel,

segue que, M e um espaco paracompacto de Hausdorff. Sendo M paracompacto de

Hausdorff, M admite uma particao diferenciavel da unidade. Seja {f} uma particao

diferenciavel da unidade de M subordinada a uma cobertura {V} de Mpor vizinhacas

coordenadas. Isto significa que{V}e uma cobertura localmente finita, isto e, cada ponto

de M possui uma vizinhanca U tal que UV = apenas para um numero finito de

ndices e que {f} e um conjunto de funcoes diferenciaveis em M satisfazendo:

1. f 0, f = 0 no complementar de V.

2.

f(p) = 1 para todo p M.

Podemos definir uma metrica Riemanniana , em cada {V}, a saber, a induzida

pelo sistema de coordenadas. Obtemos uma metrica Riemanniana em M fazendo

u, vp=

f(p)u, v

p

Note quef(p)u, vp = 0 sep /Ve isto define uma metrica Riemanniana em M.

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