vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos
-
Upload
rafa-benitez -
Category
Documents
-
view
7.256 -
download
50
Transcript of vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos
Elementos e Mecânica dos Fluídos
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
Exemplo – No tubo da figura, determinar a vazão em volume e a velocidade na seção ( 2 ), sabendo – se que o fluído é água. Nota: Como o fluido é incompressível, (líquido) então a Equação da Continuidade nos dá: A vazão será:
1 1 1 121 10mQ v A Q
scm= × ⇒ = ×
2
4 2
110
mcm
× 3 31
22 2 2 2
10
2 5
Q m s
ou
mQ v A Qs
cm
−⇒ =
= × ⇒ = ×2
4 2
110
mcm
× 3 32 10Q m s−⇒ =
Portanto:
33
10Q m−=3
10001
Ls m
× 1Q L s⇒ =
1 2
1 1 2 2
1 12 2
2
21 10
Q Q Q v A
v A v A
v A m sv v cmA
= = ×
× = ×
× ×= ⇒ =
25 cm2 2v m s⇒ =
Elementos e Mecânica dos Fluídos
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
Exemplo resolvido 4.1 – Ar escoa num tubo convergente. A área de maior seção do tubo é 220cm e a menor 210cm . A massa específica do ar na seção (1) é 30,12utm m , enquanto na seção (2) é
30,09utm m . Sendo a velocidade na seção (1) 10m s , determinar a velocidade na seção (2) e a vazão em massa. Nota: Trata-se de fluído compressível, 1 2ρ ≠ ρ e a Equação da Continuidade nos dá 1 2m mQ Q= .
1 2
1 1 1 2 2 2
1 1 12 2
2 2
0,12
m m m
ut
Q Q Q v A
v A v A
v Av vA
m
= = ρ× ×
ρ × × = ρ × ×
ρ × ×= ⇒ =
ρ ×
3m210 20m
scm× ×
0,09 utm3m
210 cm×2
1 1 31
26,67
0,12m m
v m s
utmQ v Am
Q
⇒ =
= ρ × × ⇒ = 10 m× 220
scm×
21m×
4 210 cm
2 2 3
3
2
2,4 10
0,09
m
m m
Q utm s
ou
utmQ Am
v Q
−⇒ = ×
= ρ × × ⇒ = 26,67 m× 210
scm×
21m×
4 210 cm32,4 10mQ utm s−⇒ = ×
Elementos e Mecânica dos Fluídos
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
Exemplo resolvido 4.2 – Um tubo admite água ( )3100utm mρ = , num reservatório com uma vazão de
20L s . No mesmo reservatório é trazido óleo ( )380utm mρ = por outro tubo com a vazão de 10L s .
A mistura homogênea formada é descarregada por um tubo cuja seção tem uma área de 230cm . Determinar a massa específica da mistura no tubo de descarga e a velocidade da mesma. Pela Equação da Continuidade:
1 2 3
1 1 2 2 3 3
m m m mQ Q Q Q Q
Q Q Q
+ = = ρ×
ρ × + ρ × = ρ ×
Como os fluídos admitidos são incompressíveis, além de ser válida a Equação da Continuidade, vale a relação:
3 1 2 3 320 10 30L LQ Q Q Q Q L ss s
= + ⇒ = + ⇒ =
Logo:
3 31 1 2 2
1 1 2 2 3 3 3 33
33 3
3 3
100 20 80 10
30
28002000 800
30
utm L utm LQ Q m s m sQ Q Q LQ
sutmutm L utm Lmm s m
Ls
Ls
× + ×ρ × + ρ ×ρ × + ρ × = ρ × ⇒ ρ = ⇒ ρ = ⇒
×× + ×ρ = ⇒ ρ = s
30 Ls
33
33 3
3
93,3
30
utm m
Qv v
L
A
⇒ ρ =
= ⇒ =
31s
m×
1
1000 L230 cm
21m×
4 210 cm
3 10v m s⇒ =
Elementos e Mecânica dos Fluídos
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
Exemplo resolvido 4.5 – No dispositivo da figura, o pistão desloca-se 0,5m e o trabalho realizado nesse deslocamento é 50kgf m× . Supõe-se que não haja perda de pressão entre a saída da bomba e a face do pistão. Determinar:
a) A potência fornecida ao fluído pela bomba; b) A vazão em L s ; c) A pressão na face do pistão.
500,5
0,5
W kgf mS mt s
= ×==
???
NQP
===
2
50 1000,5
50pd
W kgf mN N N kg
c
f m st s
A SVQ Q Qt t
m
×= ⇒ = ⇒ = ×
×= ⇒ = ⇒ =
2
4 2
110
mcm
× 0,5×
0,5
m3 35 10
100
Q m ss
N kgfN P Q P P mQ
−⇒ = ×
×= × ⇒ = ⇒ =
s3 35 10 m−×
1s
2 220.000 2kgf kgfP ou Pm cm
⇒ = =
Elementos e Mecânica dos Fluídos
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
4.1 – Ar escoa por um tubo de seção constante de diâmetro 5cm . Numa seção (1) a massa específica é 30,12utm m e a sua velocidade é de 20m s . Sabendo-se que o regime é permanente e que o
escoamento é isotérmico, determinar:
a) A velocidade do gás na seção (2), sabendo que a pressão na seção (1) é 21kgf cm (abs) e na
seção (2) é 20,8kgf cm (abs); b) A vazão em massa; c) A vazão em volume em (1) e (2).
Nota: O fluído é gás, portanto, não pode ser caculada a vazão em volume.
31
1
0,1220
utm mv m sρ =
=
( )( )
22
1
22
) v ?
1
0,8
a
P kgf cm abs
P kgf cm abs
=
=
=
1 12 2
2
1P vv vg
Pk f×
= ⇒ =2cm 20
0,8
m s
kgf
×2cm
2 25v m s⇒ =
1 1 1 1 1
3
)
0,12
m
m
b Q Q v A
utQm
m
= ρ × = ρ × ×
= 20 m×
0,05 m
s
π××
( )2
34,71 104 mQ utm s−⇒ = ×
( )
( )
12
3 31 1 1 1 1
23 3
2 2 2 1 1
) ?
0,0520 39,27 10
40,05
25 49,09 104
c Q
mmQ v A Q Q m ss
mmQ v A Q Q m ss
−
−
=
π×= × ⇒ = × ⇒ = ×
π×= × ⇒ = × ⇒ = ×
1 2
1 2
A At t
⇒ = ⇒
=1 1 2 2
1 12
2
P v P vP vv
P
× = ×
×=
1 1 2 2
Escoamento isotérmico Pv ctep v p v
⇒ =∴ =
2
1 11
) ?d
Av
ρ =
ρ × × 2 22 v A= ρ × ×3
1 12 2
2
0,12 20utmv m
v
m×
ρ ×⇒ ρ = ⇒ ρ = s
25 m s3
2
3
2 2 2 2 22 2
0,096
4,71 10mm
utm m
ou
Q utmQ v Av A
s−
⇒ ρ =
×= ρ × × ⇒ ρ = ⇒ ρ =
×25 m
s( )
322 0,096
0,054
utm mm
⇒ ρ =π×
×
Elementos e Mecânica dos Fluídos
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
4.2 – Os reservatórios I e II da figura são cúbicos e enchidos pelos tubos respectivamente em 100 e 500 s. Determinar a velocidade da água na seção “A” indicada, sabendo – se que o diâmetro é 1 m.
3
10 10 10
1000II
II
V m m m
V m
= × ×
=
3
5 5 5
125I
I
V m m m
V m
= × ×
=
entrada saída
3 3
3 3
3
125 1000100 500
1,25 2
3,25
A I II
I IIA
I II
A
A
A
Q Q
Q Q QV VQt t
m mQs sm mQ
s sQ m s
=
= +
= +Δ Δ
= +
= +
=
33,25A
A
Qv vA
m= ⇒ =
20,7853 ms
4,13v m s=
( )22
2
14 4
0,7853
A A
A
mDA A
A m
π×π×= ⇒ =
=
Elementos e Mecânica dos Fluídos
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
4.4 – Um propulsor a jato queima 0,1utm s de combustível quando o avião voa a velocidade de 200m s . Sendo dados:
30,12ar utm mρ = ; 30,05m utm mρ = , na seção (2); 2
1 0,3A m= e 22 0,2A m= .
Determinar a velocidade dos gases queimados ( )mv na seção de saída.
( ) ( )
1 3 2
1 1 3 3 2 2
1 1 1 2 2 20,1
200
m m mQ Q QQ Q Q
utmv A v A
m
s
+ =
×ρ + ×ρ = ×ρ
× ×ρ + = × ×ρ
20,3s
m× 23 20,12 0,1 0,2 mutm v
smutm⎛ ⎞
× + = ×⎜ ⎟⎝ ⎠ 3
0,05 utm
m× 1
2
2
7,2 0,1 0,01
7,3
utm utm utmvs s m
v utm
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
+ = ×
=0,01
sutm
2 730
m
v m s=
Elementos e Mecânica dos Fluídos
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
4.7 – O tanque da figura pode ser enchido pela água que entra pela válvula A em 5h., pela que entra por B em 3h. e pode ser esvaziado (quando totalmente cheio) pela válvula C em 4h. (supondo vazão constante). Abrindo todas as válvulas (A,B,C,D) ao mesmo tempo o tanque matem-se totalmente cheio. Determinar a área da seção de D se o jato de água deve atingir o ponto O da figura. Dado: 210g m s= .
0 0 0
3 3 3
3
Lembrar:
Pela equação da continuidade:
30 30 305 3 4
8,5
A B C D
D
D
Q v A
Q Q Q Q
m m m Qh h h
Q m h
= ×
+ + = +
+ = +
=
}0
0
0
0
movimento da gota: na horizantal: MRU
na vertical: MRUV (queda livre)=
⇒= + ×
⇒
= + ×
D
t
D
X x v t
Y y v t 2
2
0
12
10 5 0 10 12
em "X":
10 0 1
10
− ×
= + − × ⇒ =
= + ×
= + ×
=
D f
D
D
g t
t t s
X x v t
v
v m s
3
Assim:
8,5
D D D
DD
D
D
Q v AQA
A
m
v
= ×
=
=
2
h1h
×3600 s
10 ms
4 2
2
2,361 10
2,361
D
D
A m
ou
A cm
−= ×
=
Elementos e Mecânica dos Fluídos
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
4.8 – Sabendo-se que num conduto de seção circular o diagrama de velocidade é parabólico dado pela
equação 2
máx 1 rv vR
⎡ ⎤⎛ ⎞= = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
, onde v é uma velocidade genérica, máxv é a velocidade no eixo do
conduto, r é um raio genérico e R é o raio do conduto. Calcular a velocidade média na seção
(escoamento laminar). Sabe-se que: m1v v dAA
= × ∫ .
( )
2
máx2
máx
1 1 1 2
2
rA A
rv v dA v v r drA R R
vv
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞= × ⇒ = × − × π× × ⇒⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟π× ⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣
=π
⎦⎩ ⎭
×
∫ ∫
π
( )
2 2máx22
0
33máx máx
2 2 2 20 0 0
2 4máx2 2
0 0
21 1
2 2 1
22 4
R
A
R R R
R R
vr rr dr v r drR R RR
v vr drv r dr v r dr r drR R R R
v r rvR R
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞× − × × ⇒ = × − × ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟× ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞×= × × − ⇒ = × × − × × ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= × −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫ ∫
2 2má
á2
x2
m x
22 4
2
RR
vR
v Rv
v
⎛ ⎞⇒ = × − ⇒⎜ ⎟
⎝ ⎠
=2R
× máx
4 2vv⇒ =
Elementos e Mecânica dos Fluídos
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
4.9 – Sabe-se que num conduto de seção circular o diagrama de velocidade é exponencial dado pela
equação: 1 7
max 1 rv vR
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
, onde v é a velocidade genérica, maxv é a velocidade no eixo do conduto, r é
um raio genérico, R é o raio do conduto. Calcular a velocidade média na seção (escoamento turbulento).
Sabe-se que: 1
mv v dAA
= ×∫ .
2
2 (ver exercício 4.8) (ver exercício 4.8)
dA r drA R
= π× ×
= π×
1 7
max20
21 1 1 2R rv v dA v v r dr v
A R R⎛ ⎞= × ⇒ = − × π× × ⇒ =⎜⎝ ⎠
π⎟π×∫ ∫ maxv×
π
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 7
20
1 7 1 7max max2 1 7 15 7
0 0
1 7max max15 7 15 7
0
1 7 8 7 8 7 1 7 8 7 1 7
0 0 0 0
1
2 2
note:
2 2
7
R
R R
R
R R R R
R r r drRR
v vv R r r dr v R r r drR R R
R r tr R tdr dt
v vv t R t dt v IR R
I Rt t dt I t Rt dt I t dt R t dt
tI
−⎛ ⎞× × × ⇒⎜ ⎟× ⎝ ⎠
= × − × × ⇒ = × − × ××
− == −= −
= × × − × − ⇒ = ×
= − × − ⇒ = − × ⇒ = − ⇒
=
∫
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )15 7 8 75 7 8 7
0 0 0 0
15 7 8 7 15 7 15 7 15 7 15 7
15 7 15 7
7 715 8 15 8
8 157 0 0 7 715 8 15 8 120
7 497120
R RR R R r R rtR I R
R R R R R RI R I I
R RI I
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⇒ = × − ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− += × − − − ⇒ = × − + ⇒ = × ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤
= × ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦
max15 7
1
2
20
2vv I vR
⇒
= × ⇒ =1
max15 7
vR
15 749 R×
120max
60
4960vv⇒ =
Elementos e Mecânica dos Fluídos
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
4.10 – No sistema da figura, sabe-se que na seção (1) de área 30 cm2 (circular), o escoamento é laminar. As velocidades dos pistões são indicadas na figura. Qual a vazão em kg/s no retorno, se 310.000 N mγ = ?
Dado: 210g m s= .
max1 1 1 1
12
26 30
2
vQ v A A
cm sQ m
= × ⇒ ×
= ×2
4 2
110
mcm
×
3 31
1
9 10
9
Q m souQ l s
−= ×
=
2 2 2
223 10
Q v A
Q m s cm
= ×
= ×2
4 2
110
mcm
×
3 32
2
3 10
3
Q m souQ l s
−= ×
=
3 3 3
322 20
Q v A
Q m s cm
= ×
= ×2
4 2
110
mcm
×
3 33
3
4 10
4
Q m souQ l s
−= ×
=
4 4 4
421 30
Q v A
Q m s cm
= ×
= ×2
4 2
110
mcm
×
3 34
4
3 10
3
Q m souQ l s
−= ×
=
310.000
MR R
MR R
MR
Q Q
Q Q
NQ m
g
= ρ×γ
= ×
=210m s
1
335 10 m−× ×
s
5 5MR MRN s kgQ Q
mm× ×
= ⇒ =2s
1s
×m
5MRQ kg s=
entrada saída
1 2 3 4
3 3
9 3 4 3
5
5 10
R
Q Q
R
R
R
Q Q Q Q Q
Q
Q l souQ m s−
+ = + +
∑ ∑+ = + +
=
= ×
123 1442443
entrada saída
1 2 3 4 R
Q Q
Q Q Q Q Q+ = + +
∑ ∑123 1442443
Elementos e Mecânica dos Fluídos
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
4.11 – No circuito hidráulico abaixo, que opera com óleo de peso específico 38000N m , há um vazamento. Determinar a despesa diária do óleo vazado, sabendo – se que seu custo é US$ 0,10/ kg. Dados: 2,5Av m s= ; 240AA cm= ; 2,1Bv m s= ; 245BA cm= ; 210g m s= .
( )1 .
1
1
49 turbulento6049 6604,9
máxv v
v m s
v m s
= ×
= ×
=
3
2
800010
8000
Nm
m
mgg s
kg
γγ = ρ× ⇒ ρ = ⇒ ρ =
×
ρ =23m s×
10 m 2s3800kg m⇒ ρ =
( ) ( ) ( )
1 .
1 1 .
1 1 1 .
4 2 4 2 4 2.3 3 3
.
4,9 40 10 800 2,5 40 10 800 2,1 45 10 800
15,68 8 7,56
m mA mB m vaz
A A B B m vaz
A A A B B B m vaz
m vaz
m vaz
Q Q Q Q
Q Q Q Q
v A v A v A Q
m kg m kg m kgm m m Qs m s m s mkg kg kg Qs s s
Q
− − −
= + +
×ρ = ×ρ + ×ρ +
× ×ρ = × ×ρ + × ×ρ +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞× × × = × × × + × × × +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= + +
. 0,12
Despesa 0,12
m vaz kg
g
s
k
=
=s
$0,10USkg
×3600 s
×1h
24 h×
dia
Despesa 1036,8 $ diaUS=
Elementos e Mecânica dos Fluídos
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
4.12 – Determinar o tipo de escoamento na seção (3). Dados:
1Re 5714= ; 2Re 8929= ; 5 28,4 10 m sυ −= × .
Obs: Re HD vυ×
= e 4 4H HAD Rp
= × = .
Onde:
raio hidráulico seção transversal molhada perímetro da seção em
contato com o fluído
HRAp
=
==
( )( )
1 11
11
1
1
SEÇÃO RETANGULAR
0,2 0
2
,3
1 0,2 0,3
1
Re
4 42
2
2 200 300
200 300
0,12
H
H
H
m m
H m m
H
v D
A a bDp a b
abD
a b
mm mm
D
mm m
D m
m
υ×
=
×= × = ×
× +
×=
+
⎛ ⎞⎜ ⎟× ×⎜ ⎟⎝ ⎠=
+
=
1442443
64748 64748
64748 64748
1
0,5 m
1
1 1 11 1
2
1
5
1
0,24
ReRe
5714 8,4 10
H
H
H
D m
v D vD
v m
υυ
−
=
× ×= ⇒ =
× ×=
1
0,24s
m
1 1
1 1 1
0,2 0,3
1
1 31
1 31
1,99 2,0
1,99 200 300
1,19 10
1,2 10
m m
v m s v m s
Q v A
mQ mm mms
Q m s
Q m s
−
−
= ⇒ ≅
= ×
⎛ ⎞⎜ ⎟= × ×⎜ ⎟⎝ ⎠
= ×
≅ ×
64748 64748
( )
22
221
21 2
2
Re
44
4
4
H
H
H
v D
DADp D
D
υ×
=
π×= × = ×
π×
= ×π 2D× ( )2
41
×π 2D×
2 2
SEÇÃO CIRCULAR
2
2
22
22
2
5 2
2
250
0,25
Re
Re
8929 8,4 10
H
H
H
H
H
D D
D mm
D m
v D
vD
v m
υυ
−
=
=
=
×=
×=
× ×=
14243
1
0,25s
m
( )
( )
2
2 2 22
22
2
2
1 32
3,00
3,0040,25
3,004
1,47 10
v m s
Q v A
DmQs
mmQs
Q m s−
=
= ×
π×= ×
π×= ×
≅ ×
( )
3 1 23
13
1 33
3
3 33
1 33
33
0,55 0,55
1 3
3
Equação da continuidade(fluído incompressível)
1,2 1,47 10
2,67 10
Re ?
Re
2,67 10550 550
2,67 10
H
m m
Q Q Q
mQs
Q m s
D v
Q m svA mm
m
mm
v
υ
−
−
−
−
= +
= + ×
= ×
=
×=
×= =
×
×=
14243 14243
1
20,3025 ms
3
33
3
0,883
44H
v m s
ADp
=
= × =x
×l l
4 × l
3
SEÇÃO QUADRADA
3
3 33
3
0,55
Re
0,55Re
H
H
H
D
D m
D v
mυ
=
=
×=
=
l14243
0,883 m× s5 28,4 10 m−× s
3Re 5781,6
turbulento
= ∴
Elementos e Mecânica dos Fluídos
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
4.13 – Com o registro “R” inicialmente fechado, o nível do reservatório apresenta uma variação 10h cmΔ = num intervalo de tempo de 10s . A partir deste instante, o registro é aberto, permanecendo
constante o nível do reservatório. Pede-se: a) O diâmetro da seção
transversal do tubo que abastece o tanque, sabendo-se que na mesma a velocidade máxima é 4m s e o escoamento é turbulento;
b) Após o nível constante, qual o alcance “X” do jato;
c) Regime de escoamento no tubo de saída dado 6 210 m sυ −= ;
d) Diâmetro do tubo se o regime for laminar.
2
2
) ?
44
4
t
t
t
a DtQ v A
DQ v
Q v D
QDv
== ×
π×= ×
= × π×
=× π
( )
1
2
3
7
3
1
49 turbulento6049 4603,267
0,10 0,64110
0,00641
4
4 0,00641
m máx
m máx
m
m
tq
t
t
rv vR
v v
v m s
m s
h AVQt t
m mQs
Q m
m
s
QDv
D
ν
⎛ ⎞= − ∴⎜ ⎟⎝ ⎠
= ×
= ×
=
Δ ×= =
×=
=
=× π
×=
2s
3,267 m s
0,05 5t tD m ou D cm
× π
≅ ≅
( )
2
3 3
2
) ?4
0,00641 0,006410,025
4
Q Qb X Q v A v vA D
m sv v mm
= = × ⇒ = ⇒ =π×
= ⇒ =π×
1
4 24,909 10 ms
−×
20
13,058
na vertical:12
0 1,25
v m s
Y y t g t
m t
ν
ν
⇒ =
= + × − ×
= + ×{0
22
0
2
1 102
0 1,25 5
1,25
t
m ts
t
mt
=
− × ×
= −
=5 m 2 0,5t s
s⇒ =
0
na horizontal:
0 13,058
X x tmXs
ν= + ×
= + 0,5 s×
6,529X m=
6 2
) Regime ?0,025 13,06Re
10
Re 32.6500 Re 4000 regime turbulento
cD D m m s
m sν ν
υ −
=× ×ρ × ×
= = =μ
= ∴ > ⇒
( )
( )2
2
2
2
2
) Regime laminar Re 2000ReRe .1
Laminar Re 20004 .2
4Substituindo 2 em 1:
Re Re Re44 4
dD v D eq
v
D QQ v A Q
D
v v eqD
DD D QQ QD
υυ
υ υ υ
≤× ×
= ⇒ =
≤
π×= × ⇒ = × ⇒ =
π×
× × × π× × × π×= ⇒ = ⇒ =
π×
1
D
34 4 0,00641Re
mQDυ
×= =
× π×
1s
262000 10 m−× π× s4,08D m⇒ =
Elementos e Mecânica dos Fluídos
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
4.14 – Dados: fluídos ideais. Seção (1): 2
1 10A cm= ; 31 10kN mγ =
Seção (2): 22 20A cm= ; 2 0,25v m s= ; 2 ? (S.I.)ρ =
Seção (3): 23 30A cm= ; 3
3 9,5kN mγ = ; 3 ? (S.I.)mQ = .
( )
1 2 3
1 1 1
1
1 1
1 1 1
4 21
3 31
2 2 2
4 22
3 32
3 1 2
33
3
Equação da continuidade(fluído ideal)Q
escoamento laminar2
2 12
1 10 10
1,0 10
0,25 20 10
0,5 10
1 10 0,5 10
máx
Q QQ v A
vv
m sv v m s
Q v AmQ ms
Q m s
Q v AmQ ms
Q m s
Q Q Q
mQs
−
−
−
−
−
+ =
= ×
=
= ⇒ =
= ×
= × ×
= ×
= ×
= × ×
= ×
= +
= × + ×3
3
3 33 1,5 10
ms
Q m s
−
−= ×
3 3
33
3
3 2
3
3 2
33
3 3 3
33
3
9,510
950010
950
1,5 10
m
m
g
gkN mm s
N mm s
kg
Q Q
m
m
Q −
γ = ρ ×
γρ =
ρ =
ρ =
ρ =
= ×ρ
= ×3
950 kgs m
×
3
1 1
31
3
1 2
3
1 2
31
1,425
1010
10.00010
1000
mQ kg s
g
gkN mm s
N mm s
kg m
=
γ = ρ ×
γρ =
ρ =
ρ =
ρ =
1 2 3
1 1
33
1
1 1,0 10
m m m
m
m
Q Q QQ Q
mQ −
+ =
= ×ρ
= ×3
1000 kgs m
×
1
33
2 2
3
2 3 13
32
2
1,0
0,5 10
1,425
0,5 10 1,425 1,0
0,425
m
m
m
m m m
Q kg s
mQs
Q kg s
Q Q Q
m kg kgs s s
k sg
−
−
=
= × ×ρ
=
= −
× ×ρ = −
ρ = 3 30,5 10 sm−×3
2 850kg mρ =
Elementos e Mecânica dos Fluídos
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
4.15 – O tanque maior da figura abaixo permanece a nível constante. O escoamento na calha tem uma seção constante transversal quadrada e é bidimensional obedecendo a equação 23v y= . Sabendo que o
tanque “B” tem 31m e é totalmente preenchido em 5 segundos e o conduto circular tem 30 cm de diâmetro, pede-se:
a) Qual a velocidade média na calha quadrada? b) Qual a vazão no conduto circular de 30 cm de diâmetro? c) Qual a velocidade máxima na seção do conduto circular de 30 cm de diâmetro? d) Qual o tipo de escoamento no conduto circular de 30 cm de diâmetro?
( ) ( )
2
2
13
0
3 3
) da calha quadrada1
1 3 11 1
3 1
33
3 1 3 03 3
1
média
calha
calha
calha
calha
calha
calha
a v
v v dAA
v y dy
v y dy
yv
v
v m s
= ×
= ××
= ×
=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=
∫
∫∫
30
30
3
3
2
3
30
30
3 3
30
30
) ?
Equação da continuidade(fluído incompressível)Q
15
0,2
1 1
1
Q
Q
Q 1 0,2
Q 0,8
cm
calha cm B
BB
B
B
calha calha calha
calha
calha
calha cm B
cm calha B
cm
cm
b Q
Q Q
V mQt s
Q m s
Q v AmQ ms
Q m s
Q Q
Q Q
m ms s
m
φ
φ
φ
φ
φ
φ
=
= +
= =
=
= ×
= ×
=
= +
= −
= −
= 3 s
( )
30 30 30
3030
30
3
30 2
2
30
3
3
30
) no conduto30 0,315 0,15
Q
Q
0,8
0,80,15
0,8
média
cm cm cm
cmcm
cm
cm
cm
cm
c vcm m
r cm m
v A
vA
m svr
m
m svm
v
φ φ φ
φφ
φ
φ
φ
φ
φ = == =
= ×
=
=π×
=π×
=1
20,0225smπ×
30 11,32cmv m sφ =
) Tipo de escoamento
0,30Re
d
Dm
vυ×
= =11,32 m
×s
2610 m− s
63,396Re Re 3.396.00010
Re 4000 turbulento
−= ⇒ =
∴ > ⇒
Elementos e Mecânica dos Fluídos
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
4.16 – No sistema da figura a água é descarregada do cilindro e percorre uma distância 19,8a m= ,
caindo de uma altura 20,5b m= . Durante o processo que dura 6,0min. , no tanque A que tem 20,5m
de base, o nível de água sofre um desvio de ( )27cm hΔ . Calcular:
a) Velocidade da água na saída do cilindro 3v ; b) Velocidade do pistão vp e o sentido do seu movimento.
Dados: 330 ; 1Dp cm D cm= = .
24 30,27 0,5 3,75 10
360baseh AV m mQ Q m s
t t s−Δ × ×
= = = ⇒ = ×
3
20
) ?Queda Livre
na vertical:12
0 20,5
a v
b b v t g t
v t
=
= + × − ×
= + ×{0
2
0
2
1 102
0 20,5 5
20,5 2,0245
t
t
t
t t s
=
− × ×
= −
= ⇒ =
2
27 0,270,5
h cm mbase mΔ = =
= 3
30 0,31 0,01
Dp cm mD cm m
= == =
6,0min 360s=
0
3
na horizontal
19,8 0 2,0219,82,024
9,78
a a v tv
v
v v m s
= + ×
= + ×
=
= =
( )2
3 3 3 3
4 33
3 3
3
3 34 4
4 3
4 3
) ?
0,019,78
47,681 10
:
3,75 10 7,681 10
3,931 10 pistão descendo
vp
3,931 10
p p
p
p
p
pp p
p
b vp
mmQ v A Qs
Q m s
Logo Q Q Q Q Q Q
Q Q Q
m mQs s
Q m s
QQ A vp
m
A
vp
−
− −
−
−
=
π×= × ⇒ = ×
= ×
= + ⇒ = −
= −
= × − ×
= − × ⇒
= × ⇒ =
− ×=
1
0,3
s
mπ× ( )2 0,00556
4
vp m s⇒ = −
Elementos e Mecânica dos Fluídos
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
4.17 – Dois gases de massas específicas diferentes 31,2A kg mρ = e 30,95B kg mρ = encontram-se
em um cilindro onde formam uma mistura homogênea. O pistão de diâmetro 18,5PD cm= se movimenta
para baixo com velocidade de 1,6cm s e a mistura resultante sai do cilindro com velocidade
12,5Cv m s= . Calcular:
a) Velocidade Bv ; b) Massa específica da mistura de gases.
Dados: 25Av m s= ; 1,5AD cm= ; 16,5mBQ kg h= ; 2,5BD cm= ; 2,0CD cm=
( ) ( ) ( )( )2
3
Equação da continuidade(fluído compresível)
1,2 25 16,54
mA mB mP mC
A A A mB P P P C C C
A
Q Q Q Qv A Q v A v A
Dk mh
g kgm s
+ + =
ρ × × + + ρ × × = ρ × ×
⎛ ⎞π×⎜ ⎟× × +⎜ ⎟⎝ ⎠
1h×
( ) ( )
2
2 2
0,016 12,53600 4 4
30
P CC C
D Dm ms s s
kgm
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ π× π×⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ρ × × = ρ × ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0,015
s
mπ××
×
( ) ( ) ( )2 2 2
3
3 33 3 4 3
33
0,185 0,024,58 10 0,016 12,5
4 4 4
5,30 10 4,58 10 4,30 10 3,93 10
3,93 10 4,30
C C
C C
C C
m mkg m ms s s
kg kg m ms s s s
ms
−
− − − −
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞π× π×⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ × + ρ × × = ρ × ×⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞× + × + ρ × × = ρ × ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ρ × × − ρ × ×⎜ ⎟⎝ ⎠
34 3
33 3
3
10 9,88 10
3,5 10 9,88 10
9,88 10
C
C
m kgs s
m kgs skg s
− −
− −
−
⎛ ⎞= ×⎜ ⎟
⎝ ⎠
ρ × × = ×
×ρ = 3 33,5 10 sm−×
32,82C kg m⇒ ρ =
) ?
16,5
B
B B B
mB B B
mBB
B
B
a v
Q v AQ Q
kQ
g
=
= ×
= ×ρ
=ρ
=0,95
hkg 3
3
3 3
17,37
4,82 10
B
B
m
Q m hou
Q m s−
=
= ×
( )
( )
3 3
2
3 3
2
4,82 10
44,82 10
0,0254
9,82
BB
B
B
m svD
m svm
v m s
−
−
×=
π×
×=
π×
=
Elementos e Mecânica dos Fluídos
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
4.18 – Sabendo –se que a seção transversal (I) é quadrada e que 20Iv m s= , determinar o valor do lado
dessa seção, assim como o tipo de escoamento na mesma, considerando 210g m s= e 6 210 m sυ −= . O jato que sai da seção circular (II), de diâmetro 10cm , chega ao ponto “O” marcado na figura e o jato que sai da tubulação (III) enche o reservatório de dimensões conhecidas em 100 segundos. Dados: 0 45y m= ; ( )0 6x m= π ; 20,15BaseA m= ; 2H m= .
( )
( )
2
3
3
3
2
2
0
0,15 2
0,3
0,31000,003
4
0,14
na horizontal
6 0
6
IIIIII
III
III Base
III
III
III
III
II II II
IIII
II
II
II
II
VQt
V A H
V m m
V m
mQs
Q m s
Q v A
DA
mA
x x v tv t
vt
=
= ×
= ×
=
=
=
= ×
π×=
π×=
= + ×
π = + ×
π=
20 0
0
na vertical12
45 0
II
II
y y v t gt
m v t
= + × +
= + ×
0 0
2
2
12
1 2 45452
9 36 6
32
2
t
II
II
II
gt
mgt m tg
t t s
vt s
v m s
Q
=
+
×= ⇒ =
= ⇒ =π π
= =
=π
π=
678
m s ×π ( )2
3
3
0,14
0,005
Equação da continuidade(fluído incompressível)
0,005 0,003
0,008
II
I II III
I
I
m
Q m s
Q Q QQ
Q m s
×
=
= +
= +
=
30,008
I I I
II
I
Q v A
QAv
m
= ×
= =2
s20 m s
2
2
2
3
3
0,0004
0,0004
0,
4
02
Re
4
I
I I
H I
H
H
A m
A A
m
m
D v
ADp
D
υ
=
= ⇒ =
=
=
×=
= ×
=
l l
l
l
x×l l
4 × l
seção quadrada
0,02Re
H
m
D =
=
l123
20 m× s2610 m− s
Re 400.000
escoamento turbulento
= ∴
Elementos e Mecânica dos Fluídos
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
4.19 – O escoamento na seção A é turbulento. Após a seção A o fluído abastece 3 reservatórios como é mostrado na figura. A velocidade no eixo da seção A é conhecida. Os reservatórios I, II, e III são abastecidos respectivamente pelos tubos B, C e D. O reservatório I é abastecido em 100 segundos. O reservatório II é abastecido em 500 segundos, sendo o escoamento no tubo C laminar. O reservatório II é cúbico de aresta 4m. Determinar:
a) A vazão em volume na seção A; b) A vazão em massa no tubo C; c) A velocidade do fluxo no eixo do tubo C; d) A vazão em volume no tubo D
Dados: 39000N mγ = ; 210g m s= ; A 30 4,9eixov m s= ; ( )100 2AD cm= π ;
800CD cm= π .
)4960
49
A A A
A máx
A
a Q v A
v v
v
= ×
= ×
=10
602
30×
1
4,9
( )
( )( )
1
2
2
5
4
100 2
4
A
AA
A
A
m s
v m s
DA
cmA
A
=
π×=
π× π=
=π 410 2× × π( ) 2
2
4
5000A
cm
A cm=2
4 2
110
mcm
×
2
2
3
0,5
5 0,5
2,5
A
A A A
A
A
A m
Q v A
Q m s m
Q m s
=
= ×
= ×
=
3
1,6
mC C
mC C
mC
Q Q
Q Qg
Q m
= ×ρ
γ= ×
=39000
sN m
×210m s
( )
( )2
2
1440
) ?
laminar22
4800
4
mC
máx
máxc
máx C
CC
C
CC
C
C
N s KgQm s
c vvv
v vQvA
DA
cmA
A
× ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
=
=
= ×
=
π×=
⎛ ⎞π× ⎜ ⎟π⎝ ⎠=
=π
464 10××
π
4 2
2
4
16 10C
cm
mA c= ×2
4 2
110
mcm
×
216CA m=3
) ?
4 8 25500
1,6
mC
mC C
CC
C
C
C
b QQ Q
VQtm m mQ
sQ m s
=
= ×ρ
=
× ×=
=
31,6
CC
C
C
QvA
v m
=
=1
216s
m
3
3
0,1
22 0,1
0,2
) ?
4 4 5100
0,8
2,5 0,8 1,6
0,1
C
máx C
máx
máx
D
BB
B
B
B
A B C D
D A B C
D
D
v m s
v vv m s
v m s
d QVQtm m mQ
sQ m s
Q Q Q QQ Q Q QQ
Q m s
=
= ×
= ×
=
=
=
× ×=
=
= + +
= − −
= − −
=
Elementos e Mecânica dos Fluídos
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
4.20 – No tanque 2 que fica cheio em 60min. , será feita uma diluição de suco concentrado, com água. Considerando que o tanque 1 tem nível constante, calcule a vazão de água no vazamento indicado na figura. Dados: tanque 2 12.000V litros= ; Suco: 1,5mSQ kg s= ; 31.200S kg mρ =
Água: 38Q m h= ; 310BQ m h= ; 2
31.000H O kg mρ =
1,5
mS S mS
mSS
mS
S
Q QQ
kg
Q
Q
= ×ρ
=ρ
= s3600 s
×1
1.200h
kg 3
3
22
2
2
4,5
12.000
S
TqTq
Tq
Tq
m
Q m h
VQ
t
QL
=
=
=
311000
mL
×
60min.60 n
1mi .h
×
32 12TqQ m h=
2
2
2
2
Tq2
2
3 3
3
A
A3 3
3
Equação da continuidade(fluído incompressível)Q
12 4,5
7,5
para nível constanteQ
Q
10 8
2
H O S
H O Tq S
H O
H O
reciclo Bomba
reciclo Bomba
reciclo
reciclo
Q Q
Q Q Q
m mQh h
Q m h
Q QQ Q
m mQh h
Q m h
= +
= −
= −
=
+ =
= −
= −
=
2
2
3
3
3
3
3
3
Se 2
e 10 ,então concluímos que:
8
se 8e 7,5
concluímos que:vazamento
vazamento 0,5
reciclo
Bomba
Bomba reciclo
H O
H O
Q m h
Q m h
Q Q Q
Q m h
Q m hQ m h
Q Q
m h
=
=
= −
=
=
=
= −
=
Elementos e Mecânica dos Fluídos
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
4.21 – A figura apresenta dois tubos concêntricos de raios 1 3R cm= e 2 4R cm= , dentro dos quais passa
óleo em sentidos contrários. O fluxo do tubo interno obedece a equação: 2
0 1 rv vR
⎡ ⎤⎛ ⎞= × −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
. Esse fluxo
divide-se em 2Q , 3Q e no fluxo de retorno RQ , no tubo maior. O peso específico do óleo é 3800kgf m e
a leitura da balança é 14,4kgf em 60 segundos. O pistão desloca-se com uma velocidade de 3,8cm s e
tem uma área de 278,5cm . A velocidade no eixo do tubo de entrada é 0 2,3v m s= . Pede-se determinar:
a) A vazão 1Q em litros por segundo, no tubo interno;
b) A vazão RQ de retorno; c) A velocidade média no tubo de retorno.
( )
( )
1
21 1 1 1
1
31
3
1
2
Vazão em litros por segundo1,15
1,15 0,03
3,25 10
a QmQ v A Q R
s
sm
mQ m
Q −
⎡ ⎤= × ⇒ = × π×⎣ ⎦
⎡ ⎤= × π×⎣ ⎦
= ×3
10001
Ls m
× 1 3,25 LQs
⇒ =
Velocidade de retorno
2,65R
R R R R RR
c
QQ v A v v
L
A= × ⇒ = ⇒ =
31s
m×
1
1000 L3 22,199 10 m−×
1,205Rv m s⇒ ≅
20
0
1
Escoamento Laminar
12
3
vrv v
cR m
vR
⎡ ⎤⎛ ⎞= × − ⇒ ∴ ⇒ =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
=1
100 mmc
× 1
2
0,03
4
R m
R cm
⇒ =
=1
100 mmc
× 2 0,04
3,8p
R m
mv c
⇒ =
=1
100 mm
s c×
( ) ( )
( ) ( )
1
30 óleo
1 1
2 222 1
2 2 3 2
0,038
2,3 800
2,3 1,152
0,04 0,03 2,199 10
R
p
R R
R R
v m s
v m s kgf m
m sv v m s
A R A R R
A A m−
⇒ =
= γ =
= ⇒ =
⎡ ⎤= π×Δ ⇒ = π× −⎣ ⎦⎡ ⎤= π× − ⇒ = ×⎣ ⎦
2 2
2
2 2 2 2
Vazão de retorno
14,4 0,2460
0,24
R
G G
GG
b Q
G kgfQ Q kgf st s
QQ Q Q Q
kgf
= = ⇒ =
= γ × ⇒ = ⇒ =γ
skgf800 3
2
3
0,0003
m
Q m=
3
10001
Ls m
×
3
3
2
23
3
0,3
0,038 0,00785
0,0003
p p
Q L s
mQ v A Q ms
Q m
⇒ =
= × ⇒ = ×
≅3
10001
Ls m
× 3
1 2 3
0,3
3,25 0,3 0,3 2,65R
R R
Q L s
Q Q Q Q
Q Q L s
⇒ ≅
= + +
= + + ⇒ =
Elementos e Mecânica dos Fluídos
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
4.22 – Na figura abaixo, determinar se o pistão sobe ou desce e com que velocidade? Dados:
1 8D cm= ; 1 3v m s=
2 20Q L s= ; 3 5v m s= 2
3 20A cm= ; 2. 50pistA cm= .
entrada
Equação da continuidade(fluído incompressível)
Q saídaQ∑ = ∑
3 3 3
3 23
2 33
5 2 10
1 10
Q v AmQ ms
Q m s
−
−
= ×
= × ×
= ×
2 20Q L=
311000
mLs
×
2 32 2 10Q m s−= ×
( )
( )
1 1 12
11
2
1
2 31
34
0,083
41,51 10
Q v A
DmQs
mmQs
Q m s−
= ×
π×=
π×= ×
= ×
entrada2 3
2 3
2 32 4
Note que Q ,
logo se a saída (1) + saída (3) 2,51 10 ,e a entrada (2) 2 10 ,então conclui-se que:
,obrigatoriamente têm que ser 2,51 10 ,portanto, o pistão está subindo
saídaQ
m sm s
Q Q m s
−
−
−
∑ = ∑
= ×
= ×
+ = ×
.
2 4 1 3
4 1 3 23 3 3
2 2 24
2 34
1,51 10 1 10 2 10
0,51 10
Q Q Q QQ Q Q Q
m m mQs s s
Q m s
− − −
−
+ = +
= + −
= × + × − ×
= ×
4 4
3
4
44
.
2
40,51 10
pist
Q v AQv
m
A
v−
= ×
=
×=
1
2450 10 ms
−×
4 1,02v m s=
Elementos e Mecânica dos Fluídos
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
Extra 1 – De acordo com a figura são dados: 1 2 150 ; 25 ; 1 ;mD mm D mm V m s= = =
2
3 2 6 21000 ; 10 ; 10H O kgf m g m s m sυ −γ = = = . Determinar: 2 ; ; ;m Gv Q Q
mQ e qual o tipo de escoamento entre (1) e (2).
1 1 1 11 6 2
1
) Regime ?0,05 1Re
10Re 50.000 Re 4000
Re regime turbulento
m m
eD D m m s
m sν ν
υ −
=× ×ρ × ×
= = =μ
= ∴ >
=
1 2
2
11 1
1 1 2 2 2 22
Equação da Continuidade (fluído incompressível)
) ?m
mm
m m m m
Q Q Q Q v A
a v
vv Av A v A v v
A
⇒ = = = ×
=
××
× = × ⇒ = ⇒ =
π ( )21
4D×
π ( )22
4D×
( )( )
( )( )
21 1
2 22
2
2
2
2 2
1 50 1 250025
mm
m m
v Dv
D
m s mm m sv vmm
mm
×⇒ =
× ×= ⇒ =
2625 mm2 4mv m s⇒ =
( ) ( )2 21 3 3
1 1 1
) ?
0,051 1,96 10
4 41,96
m m
b Q
D mQ v A Q v Q m s Q m s
ou Q L s
−
=
π× π×= × ⇒ = × ⇒ = × ⇒ = ×
=
3
) ?G
G G
c Q
kgfQm
Q Q
=
= γ × ⇒ =1000 33
1,96 10 m−× × 1,96GQ kgf ss
⇒ =
) ?
1,96m
GG m m m
d Q
Q kgfQ Q g Q Q sg
=
= × ⇒ = ⇒ =210m s
1 0,196mQ kgf s m⇒ = ×
2 2 2 22 6 2
2
2
0,025 4Re10
Re 100.000 Re 4000
Re regime turbulento
m mD D m m sm s
ν νυ −
× ×ρ × ×= = =
μ= ∴ >
=
Elementos e Mecânica dos Fluídos
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
Extra 2 - De acordo com a figura são dados: 2 21 2 120 ; 10 ; 75 ;mA cm A cm V m s= = =
3 31 21,2 ; 0,9kg m kg mρ = ρ = . Determinar: 2 1 2; ;mv Q Q e mQ .
1 2
1 1 2 2 1 1 1 2 2 2
2
1 1 12 2
2 2
Equação da Continuidade (fluído compressível)
) ?
1,2
m m m m
m m
m
mm m
Q Q Q Q Q
Q Q v A v A
a v
v Av vA
kg
⇒ = = = ρ×
ρ × = ρ × ⇒ ρ × × = ρ × ×
=
ρ × ×= ⇒ =
ρ ×
3m275 20m
scm× ×
0,9kg
3m210 cm×
2 200mv m s⇒ =
1
4 2 31 1 1 1 1
2
4 2 32 2 2 2 2
1 1 1 31
) ?
75 20 10 0,15
) ?
200 10 10 0,20
) ?
1,2
m
m m
b Q
mQ v A Q m Q m ss
c Q
mQ v A Q m Q m ss
d Q
kgQ Q Qm
−
−
=
= × ⇒ = × × ⇒ =
=
= × ⇒ = × × ⇒ =
=
= ρ × ⇒ =3
0,15 m× 1
2 2 2 32
0,18
0,9
m
m m
Q kg ss
ou
kgQ Q Qm
⇒ =
= ρ × ⇒ =3
0,20 m× 2
1 2
0,18
0,18
m
m m m
Q kg ss
Q Q Q kg s
⇒ =
= = =
Capítulo 7
ESCOAMENTO PERMANENTE DE FLUIDO INCOMPRESSÍVEL EM CONDUTOS FORÇADOS
No Capítulo 4 apresentou-se a equação da energia com essas hipóteses, resultando: :
2,1p2M1 HHHH +=+
Essa equação permite determinar ao longo do escoamento alguma das variáveis que contém, isto é: HM, v, p ou z. Entretanto, esta tarefa somente será viável se for conhecida a perda de carga
2,1pH ao longo do escoamento.
Este capítulo dedica-se, fundamentalmente, ao estudo desse termo para condutos forçados, estabelecendo as bases do cálculo de instalações hidráulicas. A definição das linhas da energia e piezométrica estabelece uma maneira interessante de visualização do andamento da energia e da pressão ao longo do escoamento, que pode facilitar a solução de problemas voltados à solução de instalações. Exercício 7.1
1,0
1,0
f11
211
00
200
p10
hzp
g2v
zp
g2v
HHH
++γ
+α
=+γ
+α
+=
Como se trata de um gás, a diferença de cotas pode ser desprezada desde que esta não seja muito grande. Considerando a mina como um reservatório de grandes dimensões, v0 ≅ 0 e, na escala efetiva p1 = 0, obtêm-se:
H1
H1
p22
H
2110
DLf
pg2v
DLfg2
vg2
vDLf
g2vp
+α
γ=
+α=→+
α=
γγ
Como f = f(Re) e Re = f(v), o problema deverá ser resolvido por tentativas.
.dianteporassimefeRvfseadotaffse,resolvidoestáffSe
fRevfseAdota′′→′→′→′−→′≠=′
′→→→−
Uma forma de obter rapidamente o resultado, consiste em adotar o f correspondente à parte
horizontal da curva de k
DH calculado para o problema. Observa-se que se o Re for
relativamente grande, o f estará nessa parte da curva, o que evitará novas tentativas.
m6,06,04
6,06,04A4D
Pa000.22,0000.10hp
H
OHOH0 22
=×××
=σ
=
=×=γ=
Logo:f3,8331
150.3
6,0500f1
7,12000.220
v+
=+
×=
023,0fseadotaRouseMoodydo60010
6,0k
D:Como
3H =−−→==
−
55
H 105,710
6,04,12vDReseverificae
sm4,12
023,03,8331150.3v ×=
×=
ν=−=
×+=
−
Ao observar o Moody-Rouse nota-se que o Re é suficientemente alto para que se possa adotar o f correspondente à parte horizontal da curva de DH/k (escoamento hidraulicamente rugoso). Nesse caso, confirma-se o f e, conseqüentemente, o valor da velocidade. Assim:
sm5,46,06,04,12vAQ
3=××==
Exercício 7.2
m32024,41
03,0202,01
g2v
DL
DL
f1h
g2vk
g2v
DL
fg2
vhzHHH
m105,1000.203,0
000.2D
k000.2k
D:RouseMoody
02,0f
1027,110
03,024,4vDRe
m3,137,1125hm7,112024,45
03,01202,0H
sm24,4
03,01034
DQ4v
g2vk
DLfH
m2510310
1075,0QNHQHN
HHhzz
HHHH
22
H
2,1
H
2,10
2
1s
2
H
2,12
002,0p20
5HH5
6
2
7,0p
2
3
2
2
sH
7,0p
34
3
BB
7,0pB01
7,0p7B0
=×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+×+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
++==⇒+=
×===⇒=−⎪⎭
⎪⎬⎫
=
×=×
=ν
=
=−=Δ⇒=×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+×=
=×π××
=π
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
=×××
=γ
=⇒γ=
−=Δ=−
+=+
−−
−
−
∑
Exercício 7.3
a) Obviamente a máquina é uma bomba, pois .pp entradasaída >
γ−
=→=+ esBsBe
ppHHHH
( )m2,25
000.101052,2H
Pa1052,2101036,12ppp22p5
B
545essO2HHge
=×
=
×=−××=−→=×γ−×γ+
( )
04,02238
2,191,020
Lv
hgD2f
g2v
DLfh
m2,1962,25hHh
m62025,35,132102h
sm2
1,0
10164
D
Q4v
g2vkhehhH
HHHHHH)b
22fH
2
Hf
spf
2s
2
3
2
2sssfp
pBp8B0
8,0
8,0
8,08,0
=×
××==→=
=−=−=
=+×++×=
=×π
××=
π=
=+=
=→+=+
∑∑
∑∑∑−
Exercício 7.4
kPa5,15Pa1055,1pm55,12045,15,1
06,02054,015,05,2
p
g2vk
DL
f1zzp
g2vk
g2v
DL
fzp
g2v
zHHH)b
sL1,4
sm101,4
406,045,1
4DvQ
fdevaloroconfirmaqueo107,810
06,045,1vDRe:oVerificaçã
sm45,1
5,1506,04054,0
220v
054,0f:seadotaRouseMoodydo4015,06
kDCom
kDLf
gH2v
g2vk
DLfH
m2HH5,05,2HHH)a
4A
2A
2A
1s
A,1A0
A
A
1
2
s
2A,1
AA
2A
0A,0pA0
33
22
46
s
8,0p2
s8,0p
8,0p8,0p8,0p80
=×=⇒=×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+×+−−=
γ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−−=
γ
+++γ
+=⇒+=
=×=×π
×=π
=
×=×
=ν
=
=+×
×=
=−−→==
+=⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
=⇒+=⇒+=
∑
∑
∑∑
−
−
Exercício 7.5
4,0
4,0
p44
B
p4B0
Hzp
H
HHHH)a
++γ
=
+=+
m6,17410
102424zp
HH
m24101010
1038,0QN
HQH
N
4
34
4Bp
34
3BB
BB
BB
4,0=−
×−=−
γ−=
=××
××=
γη
=→η
γ=
−
( )
01,01,510
6,205,0102
vL
gDh2f
g2v
DL
fh
m6,2156,17h
m15201,55,11
g2vkkkh
sm1,5
05,0
10104
D
Q4v
g2vkh
hHhhh2,1H)b
223,1
f23,1f
f
22ssss
2
3
2
2ss
spf3
1s3,1fp
3,13,1
3,1
321
4,04,0
=×
×××==→=
=−=
=×=++=
=×π
××=
π=
=
−=→+=
∑
∑∑
∑∑
−
c) Como os dois tubos têm o mesmo diâmetro e material e o fluido é o mesmo, tem-se o mesmo f.
m9,29201,53
05,010001,0H
g2vk
DL
fhhH
2p
29
5s
9,59
5sfp
10,4
9,510,4
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+×=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+= ∑∑
kW1,51000
19,05,56101010QHN
m5,569,298410
1024H
HHzp
HHHH)d
34TTT
4
3T
pT44
p10T4
10,4
10,4
=×××××=ηγ=
=−+×
=
=−+γ
+=−
−
A vazão é considerada a mesma, pois para p4 = cte, é necessário que o nível se mantenha constante.
( ) m5,7255121001,005,0k
fDL
g2vk
g2v
DL
fh)e
seq
2s
2eqfeq
=×+×+==
==
∑∑
Exercício 7.6
15,96,0
11,111,61
HH
HQHQ
NN
m61160HHHHH
m1,119,012HHHHH
BTT
B
B
TTTT
B
BBTB
Bj,fpjBf
Td,apdTa
=×=ηη
=⇒ηγ=η
γ⇒=
=+=⇒+=+
=−=⇒+=−
Exercício 7.7
Como no resto do circuito a perda de carga é desprezível:
sm01,0
13510
101875,0HN
QQH
N
m135HH
3
4
3
B
BB
B
BB
pB A,C
=×
××=
γη
=→η
γ=
==
A velocidade média no trecho CA será:
( ) ( )
sm44,3
1091,2
01,0v
m1091,2015,0281,04
d28D44
d284DA
AQv
3
23222222
=×
=
×=×−π
=−π
=π
−π
=
=
−
−
Imaginando um tubo equivalente de C até A:
( )
m108,225101,7
25D
k25k
DRouseMoodyDo
1044,210
101,744,3vDRe
0675,044,324
135101,720fvL
hgD2f
g2v
DLfh
m101,7015,0281,0
1091,24d28D
A4A4D
33
HH
57
3H
3
2A,C
fH2
Hf
33
H
−−
−
−
−
−−
×=×
==→=−
×=××
=ν
=
=×
×××=→=→=
×=×+π××
=π+π
=σ
=
Exercício 7.8
5,0p50 HHH +=
m1,112083,23,12
15,090024,01Hz
sm83,2
15,010504
DQ4v
sL47
sm107,4
415,07,2
4DvQ
foconfirmand108,31005,1
15,07,2vDRe:oVerificaçã
sm7,2
3,1215,0
90024,01
1020v
024,0fseadotaRouseMoodydo579109,25
15,0kD
kDLf1
gz2v
g2vk
DLf1z
g2vk
g2v
DLf
g2v
z
2
0
2
3
2
32
22
56
3
s
02
s0
2
s
225
0
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+×+==′
=×π××
=π
′=′
=×=×π
×=π
=
×=××
=ν
=
=++
×=
=−−→=×
=
++=⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=⇒++=
−
−
−
−
∑∑∑
Exercício 7.9
2,1
fH
f2
Hf
4
32
1f
f22
222
11
211
p21
fL
hgD2v
.vcasono,iávelvaroutraobterse
pararessãoexpautilizarsepodeconhecidoéhseeg2
vDLfh,mas
m2310
1050zp
h
hzp
g2v
zp
g2v
HHH
2,1
2,12,1
2,1
2,1
2,1
=
−=
=−×
=−γ
=
++γ
+α
=+γ
+α
+=
Observa-se que não se tem f , de modo que não é possível calcular v, bem como Re e, conseqüentemente, não se pode obter f do Moody-Rouse. Este exemplo é do tipo: temos hf, queremos Q. Nesse caso pode-se calcular fRe .
2,1
fHH2
2,1
fHHL
hgD2D
vL
hgD2vDfRe 2,12,1
ν=
ν=
Observa-se que fRe pode ser calculado sem que v seja conhecido, desde que se conheça fh , que é o caso do exercício.
( )RouseMoodydoobtidofundidoferrodok3861059,2
1,0k
D
1016,86
21,020
10
1,0fRe
m630sen
3
30sen
zL
4H
46
oo2
2,1
−=×
=
×=××
=
===
−
−
Com esses dois valores obtém-se do Moody-Rouse que f = 0,026
sL40
sm04,0
41,006,5
4DvQ
sm06,5
6026,021,020v
322==
×π×=
π=
=×××
=
Exercício 7.10
sm27,1
4162,1
4DvQ
sm62,1
000.8019,020120v
019,0fRouseMoodydo000.110
1kD
102,2000.8
1202010
1fL
Dgh2DfRe
fLgDh2
vg2
vDLfhm20hhzz
322
3
56
f
f2
fff21
=×π
×=π
=⇒=×××
=
=−⇒==
×=××
=ν
=
=⇒=→=⇒=−
−
−
Exercício 7.11
1,0
2,0
f11
211
V00
200
p1V0
hzp
g2v
Hzp
g2v
HHHH
++γ
+α
=++γ
+α
+=+
Desprezam-se as perdas singulares e admite-se o reservatório de grandes dimensões.
300010
3k
D
102105,1
310vDRe
g2v
DLfh
sm10
3
714
D
Q4vv
Pa20002,0000.10hp
3H
65
H
2
Hf
221
OHOH0
1,0
22
==
×=×
×=
ν=
=
=×π
×=
π==
=×=γ=
−
−016,0f =→
kW4,50000.175,0417113
000.11QH
NV
VV =
×××
=η
γ=
Exercício 7.12
kW1,181075,0
6,351082,310QHN
sm1082,3
41,087,4
4D
vQ
m6,35152087,45,0
1,0150026,0
2066,8H
026,0f386
1059,21,0
kD
109,410
1,087,4DvRe
g2v
kDLf
g2v
HzHHHH
sm87,4
105,766,8
DD
vvsm66,8
1521015v
y2gxv
vxg
21y
gt21y
vtx
324
B
BB
32
222
2
22
B
4
56
2
22
1s
2s
B0s,0psB0
22s
s2s
2
2
2
=××××
=η
γ=
×=×π
×=π
=
=−×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+×+=
=⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=×
=
×=×
=ν
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=+⇒+=+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛×=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=⇒=×
=
=⇒=⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
=
=
−−
−
−
−
Exercício 7.13
7,3p3,2p7,3p3,2p1,0p7,0p
7,0p7,0p7B
7,0p77
277
B00
200
7,0p7B0
HHHHHH
H8HzH
Hzp
g2v
Hzp
g2v
HHHH
+=++=
+=+=
++γ
+α
=++γ
+α
+=+
m411320033,150
2010H
phz
g2v
H
m33,120
103
50016,0h
2
V
01,0f1
211
V
2
2,1f
=−++=
γ−++
α=
=××=
0195,0f600.1
10508,0
kd
1091,110
08,039,2dvRe
019,0f000.2
1051,0
kD
1053,110
1,053,1DvRe
sm39,2
08,010124
dQ4v
sm53,1
1,010124
DQ4v
g2v
kkkkd
Lf
g2v
DL
fH
g2v
kg2
vk
g2v
kg2
vk
g2v
dL
fg2
vD
LfH
6,3
5
56
6,36,3
3,2
3
53
3,23,2
2
3
27,3
2
3
23,2
27,3
6s5s4s3s7,3
3,2
23,23,2
3,27,0p
27,3
6s
27,3
5s
27,3
4s
27,3
3s
27,37,3
7,3
23,23,2
3,27,0p
=→
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=×
=
×=×
=ν
=
=→
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=×
=
×=×
=ν
=
=×π
××=
π=
=×π××
=π
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++++=
+++++=
−
−
−
−
−
−
CV2CV9,182,075
73,91012000.175QH
N
m73,973,18H
m73,12039,215,05,01,0
08,0150195,0
2053,1
1,04019,0H
3
B
BB
B
22p 7,0
⇒=×
×××=
ηγ
=
=+=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+++++××=
−
Exercício 7.14
kW1,1107,0
3,12108000.8QHN)b
m3,1220188,1
1,070064,010H
064,0000.164
Re64f000.1
101,01vDRe
sm1
1,01084
DQ4v
g2vk
DLfzHHHHH)a
33
B
BB
2
B
4
2
3
2
2
s0BC,ApCBA
=××××
=η
γ=
=×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+×+=
===→=×
=ν
=
=×π××
=π
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=⇒+=+
−−
−
−
∑
Exercício 7.15
E,0pE0 HHH +=
m5,75,12
101050p
m5,1210610
000.175,01QN
H
Hpp
m4,42006,35,06,4
g2vk
pp
m6,42006,3
05,05002,014
g2v
DL
fpp
m142006,35,0
2006,32
1010127
g2vk
g2vh
pp
kPa127000.11107,12p
m7,1222006,35,05,0
05,050202,0
101050
2006,3p
sm06,3
05,01064
DQ4vv
g2vkk
DL
fp
g2v
hp
4
3F
34BB
B
BEF
22
D,CCD
22C,BBC
22
4
32
Bs
20B
40
2
4
320
2
3
2E
2
D,CsBsE,BE
2EE0
=+×−
=γ
=××××
=γ
η=
+γ
=γ
=−=−γ
=γ
=××−=−γ
=γ
=×−−+×
=−−+γ
=γ
=××=
=−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++
××+
×−+=
γ
=×π××
π==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
γ+
α=+
γ
−
−
Para obter a linha da energia , basta somar m45,0g2
v2= em cada
γp .
Exercício 7.16
026,0f
1059,21,0
kD
1055,210
1,055,2vDRe
sm27,1
255,2
2vv
sm55,2
1,010204
DQ4v
g2v
DL
4ffh0h
g24v
DLf
g2v
DLfh
g24v
DLfh
g2v
DLfz
g2v
DLfz
4
56
2
3
2
2
ss
22
s
2
s
2
2
=→
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
×=
×=×
=ν
=
===′⇒=×π××
=π
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′
−=⇒=−×
′−⇒+×
′=+′
′=Δ
=Δ
−
−
−
m6,622055,2
1,0000.1
4027,0026,0h
027,0f1027,1DveR
2
s
5
=××⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
=′⇒×=ν′
=′
Exercício 7.17
3301052,1
05,0kD
sm10
10
1010g
4
26
4
3
=×
=
=×
=γμ
=ρμ
=ν
−
−−
Para esse valor de kD o escoamento torna-se hidraulicamente rugoso para 5104Re ×≅ e nesse
caso f = 0,026.
kPa500Pa105208
05,030026,010
g2v
DLfp
sm8
05,010410
DRevvDRe
52
42
56
=×=×××=γ=Δ
=××
=ν
=→ν
=−
Exercício 7.18
sm26,3
0625,010104
DQ4v
g2v
kD
LfH
m47,02027,1
1,0300195,0H
0195,0f174.2
106,41,0
kD
1027,110
1,027,1DvRe
sm27,1
1,010104
DQ4v
g2v
DL
fH
HHzp
H
3
2cRe
cRe
2cRe
cRes
cRe
cRetotcRecRep
2
Sucp
Suc
5Suc
56
SucSucSuc
2
3
2Suc
Suc
2Suc
Suc
SuctotSucSucp
cRepSucp99
B
=×π
××=
π=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
=××=
=→
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=×
=
×=×
=ν
=
=×π××
=π
=
=
+++γ
=
−
−
−
−
∑
kW1,7107,0
50101010QHN
m50171310
102,0H
m1756,1647,0H
m56,162026,311
0625,06302,0H
02,0f1359
106,40625,0
kD
10210
0625,026,3DvRe
334
B
BB
4
6
B
9,0p
2
cRep
cRe
5cRe
56
cRecRecRe
=××××
=η
γ=
=++×
=
≅+=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+×=
=→
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=×
=
×=×
=ν
=
−−
−
−
Exercício 7.19
m45,0203
04,0202,0
g2v
D
Lfh)c
m6021880LLLL
m80302,0
1804,020L
sm3
04,0108,34
DQ4v
m183856HHHfv
gDH2L
g2v
DL
fH)b
02,018
04,09L
Dkf
g2vk
g2v
D
Lf)a
22eqs
eqeqtot4,1
2tot
2
3
2
41p
2p
tot2
totp
eq
s
2s
2eq
33
3
4,1
4,14,1
2
2
22
=××==
=−−=−−=
=×
××=
=×π
××=
π=
=−=−=
=→=
=×
==
=
−
Exercício 7.20
kPa84,912,9436,2pppsm27,1
1,010104
DQ4v
g2vk
g2v
DLf
pg2
vz0
HHH
atmabseefe
2
3
2
2
s
2e
2
3,0p30
−=−=−=
=×π××
=π
=
++γ
++=
+=
−
∑
m6,7z2027,116
2027,1
1,06z02,0
10840.91
2027,1z0
02,0f174.2
106,41,0
kD
1027,110
1,027,1vDRe
22
4
2
5
56
=⇒×+×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +×+−+=
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=×
=
×=×
=ν
=
−
−
Exercício 7.21
Pelo andamento da linha da energia o escoamento é de (B) para (A).
A,B
A,B
pAMB
pAMB
HzHz
HHHH)a
+=+
+=+
Pela diferença da linha da energia para a linha piezométrica:
sm22,020v2,0
g2v2
=×=→=
3861059,21,0
kD
10210
1,02vDRe
4
56
=×
=
×=×
=ν
=
−
−
)turbina(m8,82,515HzzH
m2,5202
1,0100026,0
g2v
DLfH
A,B
A,B
pBAM
22p
−=+−=+−=
=××==
kW04,1000.1175,08,8107,1510QHN
sL7,15
sm107,15
41,02
4DvQ)b
34TTT
33
22
=×××××=ηγ=
=×=×π
×=π
=
−
−
m135202
1,025026,0115
p
g2v
DLf1z
p
g2v
DLf
pg2
vz
HHH)c
2C
2B
C
2C
2C
B
pCB C,B
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×+−=
γ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
γ
+γ
+=
+=
Exercício 7.22
g2v
D1f
Lh
45tg)a2
fo ==
f = 0,026
kW26,11059,0
8,33102,210QHN
m8,338,2913H
m8,2912128,05H
m1245LtgH
Hm12110
103,111hpp
phhp
ppH
m8,02047,4
025,08,0025,0
g2v
DLfH
m5HHHHHH
Hg2
vzHHHHH)b
sm102,2
4025,047,4
4DvQ
sm47,4
025,01025,020
f45gDtg2v
334
B
BB
B
5,0p
o5,4p
4,3p4
5
O2H
Hg434HgO2H3
434,3p
22
3,2p
105,0p1,0p10
5,0p
25
5B5,0p5B0
33
22
o
=××××
=η
γ=
=++=
=+++=
==
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
××=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
γ
γ=
γ−
⇒=γ−γ+
γ−
=
=××==
=−=⇒+=
++=⇒+=+
×=×π
=π
=
=××
==
−−
−
Exercício 7.23
sm109,7
401,01,0
4DvQ
sm1,0
1032
0032,001,01032
tggDv
tggD
v32tgg2
vvD64
vD64
Re64farminla
tggD2
fvtgLg2
vDLf
tgLhL
htg
36
22
6
22
2
2
22
ff
−
−
×=×π
×=π
=
=×
××=
να
=
α=ν
→α=ν
ν==→
α=→α=
α=→=α
Exercício 7.24
gDv32
g2Dv
vD64
g2Dfv
Lh
tg 2
22f ν
=×
ν=
×==α
280.1125,0
120vgh2
kg2
vkh
m11002,0
125,010010322h
gDvL322
g2v
DL
Dv642
g2v
DLf2h
m2hhsm125,0v
sm25,0
1032100
202,010
32tggDv
22s
s
2
ss
2
5
s
2
22
s
fs
5
22
=×
=′
=⇒′
=
=×
×××−=
′ν−=
′′ν
−=′
′−=
=+
=′⇒=×
××=
να
=
−
−
Exercício 7.25
m8,1296,32,0H
m98,11,0
5001,0g2
vDLfh
m6,38,12g2
vkh
energiadalinhadam2,0h
hhhH)bsL1,47
sm0471,0
41,06
4DvQ
sm68,120vm8,1
g2v)a
1,0
22
1
211,0
p
2f
2ss
s
fssp
322
2
=++=
=××==
=×==
→=
++=
==×π
×=π
=
=×=→=
kW5,1000.119,06,30471,010QHN
m6,36,36,128,16,14hHg2
vpH
hHg2
vH
p)d
m6,148,128,1p
x
Hg2
vp)c
4TTT
sp2
0T
sp
21
T0
0
p
210
21,0
21,0
1,0
=××××=ηγ=
=+−−=+−−γ
=
−+=−γ
=+=γ
=
+=γ
Exercício 7.26 Sentido de (5) para(0)
m8,40000.8
103244204p
Hg2
vh
Hg2
vh
pHHH
m44204
1,0220025,0
g2v
dL
fH
025,04200
401,020fg2
vd
Lfh
sm4
1,0104,314
dQ4v
m402,0200hL
htg)a
325
3,5p
22
3,5p
225
3,5p35
22tot
3,43,5p
23,4
2tot
3,43,4f
2
3
2
3,4f3,4
3,4f
=×
−+=γ
−+=
+=+γ
⇒+=
=××==
=×××
=⇒=
=×π
××=
π=
=×=⇒=β
−
b) A máquina é uma bomba, pois precisa elevar a pressão.
( )
kW10107,0
28104,31000.8QHN
m282048,820H
HzHg2
vHHHH
m8,88,08hhH
m8,020116
g2v
kh
m8201
2,0000.1032,0
g2v
DLfh
032,0000.264
Re64f
arminla000.210
2,01DvRe
sm1
20104
Ddvv)c
33
B
BB
2
B
0,2p0M
23
0,2p0M3
1,2f1,2f0,2p
221,2
1s1s
221,2
1,21,2f
1,2
41,2
1,2
22
1,2
=××××
=η
γ=
=−+=
+=+⇒+=+
=+=+=
=×==
=××==
===
=×
=ν
=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛×=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
−−
−
Exercício 7.27
m04,0004,010tgLh
zHg2
vpHg2
vzp
HHH
4,1f
14,1p
21
4,1p
24
11
4,1p41
=×=α=
−+=γ
→+=+γ
+=
m75004,0
1,02,0tg
hhLtgLhhh
m2000004,08Lm8tgLh
m80157,010
8,01057,1H
sm0157,0
41,02
4DvQ
sm22,020v2,0
g2v
QN
HQH
N
hHHHHHH
Pa1046,1pm46,1234,02,0p
m34,01,02,004,0H
m1,02,05,0g2
vkh
m2,02,01g2
vkh
3s2seqeqeqf3s2s
6,5f
4
3
B
322
2
BBB
B
BB
6,5f6,5pB6,5p6B4
41
1
4,1p
2
3s3s
2
2s2s
=+
=α
+=→α==+
==→=α=
=×
××=
=×π
×=π
=
=×=→=
γη
=→η
γ=
==→+=+
×−=→−=−+=γ
=++=
=×==
=×==
Exercício 7.28
( ) ( )
75,0k8,02047,4k
2047,4049,08,0
g2v
kg2
v049,0
g2v
kg2
vpp8,0
ppg2
vk
pg2
vpg2
v
sm47,4120v18,02,0
g2v
2,0pp
:caPiezométriLinha
8,0pp
g2v
)1(na)2(
)2(8,0pp
oup108,0p:Manômetro
p101028,0pp8,0pp8,08,0p
)1(pp
g2v
:Pitot
v222,0vv5,41045v
AA
vvAvAv
s
2
s
221
s
21
21
s
222112
21
s2
221
21
1
2112
1221
202
40
244
02m02m0
0121
12221
2212211
=⇒=+×⇒=+
+=γ
−γ
++γ
−γ
⇒+γ
+=γ
+
=×=⇒=+=⇒=γ
−γ
+γ
−γ
=
+γ
=γ
+×=
+−×=⇒+γ−γ=⇒=×γ−×γ+
γ=
γ+
=⇒===⇒=
Elementos e Mecânica dos Fluídos
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SIU)
Grandezas Fundamentais [M] massa = kg [L] comprimento = m [T] tempo = s [C] carga elétrica = C [n] quantidade de matéria = mol [T] temperatura absoluta = K [I] intensidade luminosa = cd (candela) Grandezas Derivadas
[v] velocidade = [ ][ ]
0 1 1LM L T
Tms
−= =
[γ ou a] aceleração = [ ] 0 1 2
2 2
LM L T
Tms
−= =⎡ ⎤⎣ ⎦
[F] força = [ ] 1 1 2
2 2
LM M
Tmkgs
L T−× = × =⎡ ⎤⎣ ⎦
= Newton (N)
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
[I] impulso = F t2s
mkg×Δ = × 1 × s 1 1 1M L T−=
Informações fornecidas por:
Rocco Scavone – Físico Nuclear USP-SP [email protected]
Sistema de Unidades
Grandeza Símbolo Unidade CGS MKS MK*S
Comprimento L cm m m
Massa M g kg utm
Força F dina N kgf
Tempo T s s s
Elementos e Mecânica dos Fluídos
Resolvidos 1.1 – A massa específica de um fluido é 3117 utm m . Determinar o peso específico e o peso
específico relativo ( )29,8g m s= .
2
3 2
3117 utm9,8??
utm kgf117 9,8 117
r
mg
g
m s
mm s
ρ
γγ
γ ρ γ γ
=
===
×= × ⇒ = × ⇒ =
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
2s 9,8 m×3m m× 2s
2
3
kg
kgf1.146,6
1 f.146,6r r
H O
mγ
γγ γγ
⇒ =
= ⇒ =3m
1000 kgf 3m1,1466rγ⇒ =
Resolvidos 1.2 – A viscosidade de um óleo é 20,028m s , seu peso específico relativo é 0,9. Determinar a viscosidade dinâmica em unidades dos sistemas MK*S e CGS.
2
2
2
kgf utm
2
2
2
3 3
3
3
2
3
2
υ = 0,028m0,9?9,8
υ υ
kgf kgf0,9 1000 900
900 utm91,83679,8
utmυ 0,028 91,8367 2,5714
kgf
r
r H O
sm
H O
m s
m
s
g m s
m m
mgg m
ms m
γμ
μ μ ρρ
γγ γ γ γ γ γγ
γγ ρ ρ ρ ρ
μ ρ μ μ
×=
==
=
= ⇒ = ×
= ⇒ = × ⇒ = × ⇒ =
= × ⇒ = ⇒ = ⇒ =
= × ⇒ = × ⇒ =s
2skgf××
1
m 3m×[ ]2 2
kgf2,5714 M K*
2,571kgf
4
s Sm
μ
μ
×⇒ =
=2m
s× 2m1× 2 2
9,81100
Ncm
×510 diN
na1
× [ ]2
dina252,2543 CGSscm
μ ×⇒ =
1kgf
Elementos e Mecânica dos Fluídos
1.1- A viscosidade dinâmica de um óleo é 32
kgf10 sm
− × e o peso específico relativo é 0,82. Determinar a
viscosidade cinemática nos sistemas MK*S e CGS. Dados:
2
2 310 ; 1000kgfH Og m s mγ= = .
2
2
3 2
3
2
3 3 3
utm k
23
3 2 2 3
1 Sistema de unidades: MK*S10 kgf
0,82
1000 kgf
10υ = ?
2 Análise Física
kgf kgf0,82 0,82 1000 8201000kgf
kgf 820 kgf= 82 kg0 10 821
f0
óleo
r
H O
rH O
s m
m
g m s
m m
s
m
m mgm s m s m m
γ
γ
γ γγ γ γγ
γ ρ ρ ρ ρ
−
=
μ = ×=
=
=
= ⇒ = ⇒ = × ⇒ =
× ⇒ = × ⇒ = ⇒ = ×
2f
3
g
3
3 2
3
utm82
10μ μ 10 kgfυ= υ= υ υ82 u
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
fkgtm
sm
m
s mm
ρ
ρ ρ ρ
−−
×
⇒ =
×⇒ ⇒ = ⇒ =
=
s 2m×
gfk82ρ = 2s×1 4m
25
2
52
υ 1, 22 10
3 Acerto de Unidades: [CGS]
υ 1,22 10
m
m
−
−
⇒ = ×
= ×
s
2
2
21001
cms m
×2
υ 0,122 υ 0,122stokecms
⇒ = ⇒ =
Elementos e Mecânica dos Fluídos
1.2 – O peso de 3 de uma substancia é 2,7kgf. A viscosidade cinemática é 3dm 5 210 m s− . Se
210g m s= qual será a viscosidade dinâmica nos sistemas CGS, MK*S, S.I. e em 2
minNkm
× ?
3 3
1 Sistema de Unidades: [MK*S]
V 3 V 3dm dm= ⇒ =3
3 3dm1
10m
×
2
3
5 2
2
3 3
utm kgf
3
3 2 2 3 3
2 25 5
3
2
V 0,003
2,7 kgfυ 10
10?
2 Análise Física
2,7 kgf kgf900V 0,003
kgf 900kgf utm900 10 90 9010
utmυ 10 1
kgf
0 9090utm
sm
sm
m
Gm s
g m s
Gm m
m mgm s m s m m
m ms m s m
μ
γ γ γ
γ ρ ρ ρ ρ ρ
μ μ μρ
−
= ×
− −
⇒ =
=
=
==
= ⇒ = ⇒ =
= × ⇒ = × ⇒ = ⇒ = × ⇒ =
= ⇒ = ⇒ = ×
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
3510μ −⇒ =
2ms 3m
kgf90× 1
2s×
1
42
4
kgf9 10 [M K* ]
3 Acerto de Unidades
9 10
m
s Sm
μ
μ
−
−
⇒
×⇒ = ×
= ×kgf
2
10 N1
sm×
×fkg
( )
2NP
3 3
a
2
3
9 10 9 10 Pa [M K ] . .
9 1
N
0
m
s s S S Im
μ μ
μ
− −
−
=
×⇒ = × ⇒ = × ×
= ×N
2
sm× 510 dina
1×
21m×
N2
2 2 2
3
dina9 10 [ ]100
N9 10
s CGS
s
cm cmμ
μ
−
−
×⇒ = ×
×= ×
21000×
2m1min60 s
× 2 2
N min1501km km
μ ×⇒ =
2m
Elementos e Mecânica dos Fluídos
1.3 – Um pistão cai dentro de um cilindro com velocidade constante no valor de 10 m sπ
. Entre o pistão e o
cilindro existe uma película de óleo com viscosidade cinemática 3 2υ 10 m s−= e 3900kgfóleo mγ = .
Sendo o diâmetro do cilindro 10,2 cm. Determinar o peso do pistão para 210g m s= . O diâmetro do pistão10 cm, seu comprimento 5 cm.
3 2
2
1 Sistema de Unidades: [MKS] (S.I.)
10
υ 1010
900kgf
óleo
v m s
m sg m s
π
γ
−
=
=
=
= 3
10 N1m
×gfk 3
N9000
10
óleo m
Di
γ⇒ =
=1
100m
×mcmc
0,1
5
Di m
L
⇒ =
=1
100m
×cmmc
0,05
10,2
L m
De
⇒ =
=
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
mc 1100
m×
mc0,102De m⇒ =
3 2
3
2 Análise Física
F 0 P Ft 0 P Ft
Ft AA
0,0020,102 2 0,1 0,0012
A A 0,1 0,05 A 5 10
υ υ υ 10
contato
contato
contato contato contato
Di LDe Di
v
De Di m m m m
Di L m m m
mg
π
μ
π π π
μ γμ ρ μ μρ
−
−
= ⇒ − = ∴ =
= τ×= × ×
= + +
τ = ×
= + + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =
= × × ⇒ = × × ⇒ = × ×
= ⇒ = × ⇒ = × ⇒ =
∑
ε ε
ε
ε ε ε ε ε
32
2m2 39000 N 1010
ms m s
μ −× ⇒ =s 3m
N9000× 1
21 s×
1
2
10
N0,9 0,9Pa
10
0,9Pa 0,9Pa0,001
m
s sm
m sv sm
μ μ
πμ μ
⇒
×⇒ = ⇒ = ×
τ = × ⇒ τ = = × × ⇒ τ = ×ε
s 10 mπ×1
0,001m×
sPa9000
PaFt A Ft 9000contato π
π⇒ τ =
= τ× ⇒ = 35 10 π−× ×2m
2 NFt 45m× ⇒ = 2m× Ft 45 N
P Ft P 45 N
⇒ =
= ⇒ =N
1kgf10
× P 4,5kgf⇒ =
Elementos e Mecânica dos Fluídos
1.4 – A placa retangular da figura escorrega sobre um plano inclinado com velocidade constante. A placa
tem 4m por 5m e se apóia sobre uma película de óleo de 32
kgf10 sm
μ − ×= e 3900 kgf mγ = . Se o peso
da placa é 10kgf, quanto tempo levará para que sua aresta dianteira alcance o fim do plano inclinado?
3 2
3
2
3
1 Sistema de Unidades
10 kgf900 kgf
10 kgf
A 4 5 A 20
1 10
placa
placa placa
s mm
G
m
mm m
μ
γ
−
−
= ×
==
= × ⇒ =
= ⇒ =ε ε
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
( )na direçãodo movimento
contato
contato
contato2
contato
2 Análise Física
F 0 velocidade constante, aceleração = 0
sen 30
Ft A Ft 0 Ft Gt
Gt G sen 30 Gt 10 0,5 Gt 5kgf
Ft A
A 4 5 Ft
A 20
Gt G
Gt
v
m
μ
μ
=
= °
= τ× ∴ − = ⇒ =
= ° ⇒ = × ⇒ =
= τ×
⎫τ = × ⎪⎪
= × ⇒ =⎬⎪⇒ = ⎪⎭
∑
εcontato
3A 5kgf 10v −× × ⇒ =ε
kgf5v⇒ =
gf20 km×
310v−
×kgf s× 2m
2m20
m× 0, 25
lei dos senos:10 10 10 20
sen 30 sen 90 0,5 1 0,5
20
mvs
SS v t tv
S S S S m
S
m
S v t tv
t
⇒ =×
= × ⇒ =
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =° °
= × ⇒ =
=
s
0, 25 m80 ou 1min. 20t t s
s⇒ = =
Elementos e Mecânica dos Fluídos
1.5 – O peso G da figura, ao descer, gira o eixo que está apoiado em dois mancais cilíndricos de dimensões conhecidas, com velocidade angular conhecida ω . Determinar o valor do peso G desprezando a rigidez e o atrito na corda e supondo que o diagrama de velocidade no lubrificante seja linear. Dados:
3 2 208 10 kgf ; 0,02 ; 0,100 ; 0,102 ; 0,1 ;i es m D m D m D m l m rd sμ ωπ
−= × × = = = = =
[ ]
( ) ( )0
1 sistema de unidades: MK*S
2 Análise FísicaM 0 dir.mov.
G Ft2 2
0,01G 0,05Ft 0
G 5Ft
D Di
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− × + × ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− + = ⇒
=
∑
0,102 2 0,100 0, 001De Di m= + + ⇒ = × + ⇒ =ε ε ε ε
0
30
20 0,100
1
12 2
8 0
v
Di rd m mv v vs s
v
μ
ω ππ
μ −
τ = ×
⎛ ⎞= × ⇒ = × ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠
τ = × ⇒ τ = ×
ε
εkgf
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]
s×2
1
m
mπ× s
31 10−× m 2
contatocontato
contato contato2duas áreas de contatoou seja dois mancais
2contato contato contato
contato
kgf8
Ft Ft AA
kgfFt 2 A Ft 8 A
A L A 0,100 0,100 A 0,01
Ft 2 A Ft 8
m
m
Di m m m
π
π
π π π
⇒ τ =
τ = ⇒ = τ×
= τ× ⇒ = ×
= × × ⇒ = × × ⇒ =
= τ× ⇒ = π2
kgfm
2 0,01× × π 2m Ft 0,16 kgf⇒ = ∴
G 5Ft G 5 0,16kgf G 8kgf= ⇒ = × ⇒ =
������������ ���������������������� �!�"���$#%��&�'%()&+*,�-� .0/21%3546�0783:9<;=����1%3<> ?8? @=#BA���,C=D @�<E�� 9F�
GIHKJ6LNMPOQ M6R:S<TVUWJ6TXS2Y[ZKR]\�S<TW\�J_^`R$acbd5e R]M dgf YhOd TXT+R]M dikjNl�m�nporq�sut�vxw6mzy{j+t=q�l�m�n}|rjNq�q�j+l�~����]�������[�u���5�[�!�[���!������������ �[�"���F�u������:�"�$���
���8�[���0���$� ��¡¢ £�¤ ¥u¦5§��$¨ ¦5©�ª�¤ «:�$�¬£�¤ 0¦:0��® �:�¯°¤ ±�²�¦u³´¤µ�h¤µ¨ ¤ ¦ ªh0��²5�0ª�¤ ¶��:��·0¸N¨ �$�k¦ ª0¹:¦º°»�¼ ½�¾�¿!À[¼ Á8Â0Á8¾PÃ0¾$Á8¾ ¿ÄÂ�Å�Á8Æ�Ç�¼ Æ�È�¿ÄÂ�»´Á8¾5Á8Æ�É�Ê8Å
ËÌ»�À�Í�¼ Í[Ê$Í�Æ�Á8¾�Ã=ÎÏ Àu¼ Ð$ÂÑPÒ]Ó�ÔÕ�Ö�× Ò�Ø�Ò Ö ÒÙÒ-ÚÜÛhÝ�Þ�ß�ÝàØ Ö�á]â Ò ã�äÜå�æ Õ�Ö Ò�çè�éÒ á�èuá�ê�ë"á:Ö æ Õ Ò�ì �����]�u� Õ[í�× çè�éÒ á-í�á�îµ×µâ Ö�áïñð å ê�í Ò:æ Õuê Ó á�ò°í8Õ ð Ôó òô׬è Ò$õ8ö�÷ÜÒ îµîµ×¬í Òuø0ö�Þ Õuòôê8׬è�ù5Õhú Ò î¬ù�Õ�Ö ã
û���ü���3���ý�ü��u���h�!þ!��ü��8�h3:�=ÿ:����ü��u� 9��ô��3Ù3:9FD���������� �� � ����� �������������������� ��!"�$#&%�%�#'�
f S�a)(XJ O* \�S+ ,.-0/21432546�7 8
.:9=�Ì. ����8;��Ì3$9����Ü3-û ;%3:�uÿ<= ÿ]þ!�8�5�-�-�Ù�-���-��� >.>9��!.��!.@?�3:����þ"1���1�3Ù35 ���3����:A� �W�-���-��� >.>9��!.�� > &X�!ý�þ"1%�8�h3$9 *,3$E��8ý=��� �-���-���
.>9��!.�� CB °��þ!�=ÿ<= E�þ!��1�3��)�ED�ý�þ!9P3$1%3�� � @.>9��!.�� @ ��þ!�GF=��� 1%3IHk������3:��ü�3 3 �
û�D�ý=��JÿA� ��1��KHk���%ü�þÌ��ý�þ"1��81%3 �-� L.>9��!.��ML �6E��!þ!ÿ$��JÿA��3$� 1��_û�D�ý=��JÿA� � 1%3Nk3$���=��ý��!�Ìþ �-���-���-���-�-�Ù�-� 9
Hk�89�3$��üO<� ��þ!�8�QP ��ýGR83$��ü:A�83$�°35û������8�$D����´78���h3:��7�þ"� �,E=����� SUTGV�W�W$VYX[Z]\&^�_�`G^$a�T�X4_�b ac WG\$X&dGV'e�f�_gdGhUi jk d�dUlnmpo�o�q$q�qn_Q\&^�_�`G^$aUT�X4_�b�aGo��rSTGV�W�WVYX K<��R8þÌ�=� .B1%3</
������������ ���������������������� �!�"���$#%��&�'%()&+*,�-� .0/21%3546�0783:9<;=����1%3<> ?8? @=#BA���,C=D @�<E�� 9F�
srt u Y * R:\�S<T
vxwnypv z t�m|{Ùq�vx} jNlBv@~��,v�tO���� ����mkl+ ,���+O��+ ���$�47>3254�G5��������'��7>7��Y6� +�,G��� ��+ � �:+G�O,O����543E�� ��Y6��û°��ÿ]����ü���3�� ��ý�9P3:��ü�� 1%3 E���3$����A��� 1%3 ý�9 �=ý�þ"1%� 3:9ý�9��I��3:��þÌ�YR8�¡D�ý=� ��1%�rý�9��r3:��� 3:��9�3$þÌ�u�r� E=�Ìþ"ÿ:�rý=9P�� ���UJÿ:� 1%3 @�>à4}� �£¢3:9<;����!� 1�� ��3$��þ!�GR���#61%3{����þÌ� .¤!.ÿ]9F�¥ B ��ý�9P3:��ü��-1%3)E���3����:A� ��<36�Ù� �8�Jÿ$�Ù��E��!þ!ÿ$��1��-1%þ!7�þ!1�þ!1��E�3:�"�¡<� ��3$�=#%þ!��ü��¦<38#O§©¨«ª¬¯®Q°@ª¬¯® c²±�³&´ j[#����=1�3 ³ <3-��u� þ!�P1���E=þ!��ü:A���P1=����3:��þ!�GR8�=�X +�8��üu� ��ü��
§©¨�ª @�>±|c ?G¤ ?�.8.>j ´ ª .¤!.¶µ{.�?·� N��¤
� +�,G�Q� ��+ � �����O,O����543E�� ��Y6���¸�� ��3$�!� 1%3�ý�9W3$��ÿ]��þ¬ü�<����þÌ� ü�3:9p1�þÌ9P3:����A�83$�Ù1%3�Y¤ @ 9E����5> ¤!.<9F�¹Hk��9P� ��3���ý��Ìü��81%� 1�32ý�9�� ü�3$9�E�3$��ü��81%3�#��E���3$����A����1%��� �N1%�Ù�"��1%��1%3k� ���u��ÿ$� þ�E=� �u�)?Y¤ ºU9)� ü�9F# 9������E���3$���:A� � 1%3K1%3:��ü�����E�3:��9P����3$ÿ:3 1%3{. �0ü�9K�¼»�ý�� ���70� �!���61��2� �8�Jÿ$�)D�ý�3�E�ýG;%�P�r¸�����3:�"��E=� �u�5� �8���$½¥ B � �-1%3�1%3:��ü����K3:9PE�ý����u� �¹¸�� ��3$�!� E=����� � ���u� ÿ:��9ý�9���� ���UJÿ:�Ù1���1=��E�����¨�¾�°<#��8�=1%3¿¨�¾K<3h�ÙE���3$����A����1%3$�8ü����1%�23$��ÿ]��þ¬ü�<����þÌ��3©°À<3)�Á<����3��-1��0¸�����3:�"���+�6�=���Ì�UR8��9�3$��ü�3�#�P� �,1%���!�81%��1�3)� �8���23:9PE�ý����u�5E=�����21%3:��ü����Pÿ]��9 ý=9P�� ���UJÿ:� 1���1�� E��8�©¨�Â�°<#°���=1�3è�ÂÄ<3 � E���3$����A���F� ���u��� �9���R8��þ¬ü�ý=1%351��2� �8�Jÿ$�2��<= D�ý�þ!1=�Á<38#%E��8��üu� ��ü���#
¬ ª c ¨�¾¯Å�¨�ÂjÆ°ª c .ÇÅ ?Y¤ ºU9Uj c .¤ ?�.�ȵ .$?U·:j c G¤ @$j c > ¤!.>jª >G¤ º�µ .$?É�4ÃÊ
����1%3-ý=��� 9P�8�Ü�����0ü��ËD8ý=3�.-� ü�9̪ .¤ ?�.$¹µ .$? · N�=�
�Í+ , ��Î �Q+G����Ï Ï �Y,��Ð��543E�� ��Y6��(69�� ÿ$� þÑ;�� 783$1��81��Fÿ]�89 ý�9��Kü���9PE=��1%3 .´> E���� ´ 1%3<� ��3$�Ò<3)E=����ÿ:þ!���Ì9P3$�8ü�3)3$7´�8ÿ]ý=�81����N��3Ùý�9��5� �8�Jÿ$�51%3�.$?8C�!þÌ;��u���Ó<3���3$ÿ:3$���Y<����þ"� E�� �u� ü�þÌ�u� � � üu� 9PE=� 1�� ÿ$� þÑ;��{3� E���3����:A� �K�0ü�9������'<3:��þ!ÿ$� 1%�K3�;�ü�3$��þ!���.<321�3K.'L �!þ!;�P´E���� ´ #D�ý=� �r<3���E���3$���:A� �P1%��� �,�=�Pÿ:��þ�;��$½
¥ � 9P�R���þÌü�ý�1%3�1��h� �8�Jÿ$�,��3�ÿ]3$���O<� ��þ!�ÜE=�����hü�þÌ�u� ���hü���92�E��Ô<3
¬]ª c ¨  Å�¨OÕ�jÆ°ÃÊ�8�=1%3|¨�ÂÒ<3��-E���3$����A����� �8���=#:¨ Õ <3)�5E���3����:A� �-þ!��ü�3$���=�=#�3r°<3-�¦<� ��3$��1���üu� 9PE=���+����ü��P� �8����3�ÿ]3:�ñ�����
¨OÕ�ªÁ¨  Š¬ ° ª .>LrÅ .$?8C.´> ª£9��Ì;�P´E���� ´ ¤
B�;���3$��783«D�ý�3 ÿ:��9P��¨  � ��þÙ1���1��B3$9_�!;�P´E���� ´ 3�°Ö<31=��1��F3$9}E���� ´ #X��A� �F� �8þ���3�ÿ]3����O<� ��þÌ��ÿ:����7�3$��ü�3:������32ý=��þ¬�1=��1%3��:�N� ��3$��E�����üu�È×=��� �ñ#Ø<3Ò<��;�7�þÌ��#�ÙnÚ#Û�3���ü�<����� ���[�
�Í+ ,G��Ü ��+ � �QÎ��Y,�����5�3��� ��G6��û�9 .:9UL @=#�B)ü�ü�� 7��8�{�Ùý�3:��þ"ÿ�Ý�3�#�;�ý��ER��89P3$��ü���3 c E���3]� 3$þ¬�ü��$j-1�3ËÞ ��R�1%3:;�ý=�pR�3�þ!��7�3:��ü����51���;���92;=��1%3 7n<�8ÿ]ý���#1�3:ý<ý=9P�Ù1%3$9��8�=��ü��u��Jÿ�A���6Er<ý�;=�Ìþ"ÿ:��E=� �u�6E=���070� �X��ý��6ü�3$��31�3KD�ý�3 1%��þ"�ÈR8��ý=E����51%3���þÌü��{ÿ:�´70� �!�8����A��� ��3$��þ"� 9`ÿ:� �E���ß:3��51%3K��3$E=� �u� �51%�8þ!�ÃF�3:9Pþ"���'<3:��þÌ���51%3 �"�0ü>A� ��ý��=þ!1%���:#1�3:��ü����61%�8��D�ý=� þ"�x��3N� 3�ßk7n<��ÿ]ý=�=�x*,3�� �!9P3:��ü�38#����xÿ$�´7´���Ì����xA� � ÿ:���=��3�R8ý�þ!����9 ��3:E=�������)���¯F�3$9Pþ!���><3:��þ!�8�$� �"�O� °��3$�����ý�E����=1���D�ý�3 ���ÈF�3$9�þ"���><3:��þÌ����ü�3$�GF=��9 E=� ��3$1%3���×=�=�8�:#1�35� ����9��KD�ý�3�à �=� &Xþ�R=�+.:9 ���@�E�������� ��3:��ÿ]�8�=��þ!1%3$��� �1���� ����þÌ��þ!��ü�3$������3<3�;�ü�3$������#=9P�8��ü���3ÈD�ý�3<�P� �8�Jÿ$�P��3]�ÿ:3$���Y<����þ"�2E=� �u�P��3$E=� �u� �h�8�ÇF�3:9Pþ"���'<3$��þ!�8�K<3Ȭ᪠± à ´ §©¨x#�8�=1%3«§¯¨â<3 �{1%þÌ� 3:��3:� Jÿ$� 3:��ü���3K���2E���3����:A��3��5þ!��ü�3:���=� 33�;�ü�3:���=� �=� 3���� 3$���=� �gã|� &=��ß$3:�=1���à þ�R�ý=���N� 8? ÿ]9 3� E���3$����A��� þ!��ü�3:���=�Fÿ]�89P�K?Y¤Ì.�? �0ü�9F#x3:��ÿ]����ü���3P� � �8�Jÿ$�D�ý�3,���Nÿ:�´70� �!�8��ü�3:��þ!��9 1%3,3�;�3$��ÿ:3:�+E=��������3:E=�������X���¿F�3]�9Pþ"���'<3:��þÌ���:� � � � +���ØD�ý�3)� �8����9 ý=���81%�8�k1%��þ"��R���ý�E����k1�3ÿ$�´70� �!�8��½ �6E�3:�=�8��ý�9ÍR���ý�E�� ��A��� E=���070� ��þ"� � ü�3$��3�1=�9P3���9��2� ����9��U½¥ û°9 ÿ:�81��ÙE��8��ü��<����;���3,�5��ý�E�3$���p<= ÿ:þÌ361%��� F�3$9�þ"���><3:��þÌ���3�;%þ!��ü�35ý=9P� � ���UJÿ:����<= D�ý�þ!1=��E=� �u� 1%3$��ü����=#�������9�� �ÜA� ��ý%�E�3:���"<= ÿ]þ!3�#h1%3:7�þ"1�� A� 1%þÌ� 3:��3:�|Jÿ:� 1%3 E=��3����:A� � 3:��ü���3 �à���1�3:��ü����P3�� ���u��1=�23���� 3$���=�° N� �u�<E��%1%3:�6��3:E�� �u� �h�8�,1%�8þ!�F=3:9Pþ!���'<3$��þ!�8��ÿ:��1=�6ÿ]�8�&¸�ý���ü���1%3hÿ:�´70� �!�8�xE���3�ÿ]þ"���63�;%3:�uÿ]3$�ý=9P� � �8�Jÿ$�äD8ý=3�ü�3$�GF=�Bý�9�� ÿ]�89PE��8��3:��ü�3�F�����þÑß$����ü����E�3:�!��9�3$���8�hþ�R�ý�� �°A�2����9���1����hÿ:��9PE��8��3:��ü�3$�ØF�����þ�ß:�����üu� þ"�+1%3Üü��%1����N�8��� ���UJÿ:���¿D�ý�3,�0ü�ý=� 9 ����;=��3Ü��F�3:9Pþ"���'<3$��þ!�D�ý�3�E�ýG;%��9F�Hk�8�=��þ!1%3$��3ký�9��6� �8�Jÿ$�¯D�ý�3h�0ü�ý=�)�=�©F�3$9Pþ!���><3:��þ!�)E�ý ;��81%�E�� �u� � 1�þÌ��3:þÌü�� 3)D�ý�32����Jÿ$� ý=9 ¢� �GR8ý��!�Kå ÿ:��9p��F�����þÌ�ß$����ü���� � �%ý=�Bÿ]��9PE�����3$��ü�3�F��8��þ�ß:�8�8üu� ��<3.§©¨)ÿ]��� åæ$°5#�8�=1%3äæU°ç<3 ý�9 3$�Ì3$9�3$��ü�� þÌ�G×=��þÌü�3$��þ!9P���51%3è<� ��3$�à�=�E�����ü��c�8�=1%3 �c� ���UJÿ:� 3$��üO<� ��E��Ìþ"ÿ:�81����p����9���9���� ü�� �<����3��{ÿ:��9P� ��3$�=1%� �é<� ��3$� 1%�à����3:�6ÿ:��9êå ÿ:���=��ü����8ü�3���K��ý�E�3:���"<= ÿ]þ!3��KB �u� þ!�K1��F����3:�)<3�à ��3$��å�#����=1%3Ëàë<3�P�u� þ!��1=�P3$��� 3:�u���°��35�P�"� �ER�ý��u�<���GR�ý��"� �61��P����3:�r<3�æUå�#
k d�dUlnmpo�o�q$q�qn_Q\&^�_�`G^$aUT�X4_�b�aGo��rSTGV�W�WVYX K<��R8þÌ�=�P> 1%3</
������������ ���������������������� �!�"���$#%��&�'%()&+*,�-� .0/21%3546�0783:9<;=����1%3<> ?8? @=#BA���,C=D @�<E�� 9F�
3:9 ���81%þ"� �����:#k3:��ü:A���B��ý=� �"� �ER�ý��u�]<3«à�æUåB3 ��ý=�è<����3��<3�æU°ìª > ± à ´ ��3$�ÓåÁæUå��¦Hk��9 þ"��ü��=#�� ÿ]�89PE��8��3:��ü�3F��8��þ�ß:�8�8üu� ����<= D�ý�þ"1��P�2� ���UJÿ:��1%� � ��<3-1��81���E��8�
¬¿í ª > ± à ´ §©¨rî[ïð ´ñ ��3:�Yå°ÿ]�8�Gå�æUåª ± à ´ §©¨ ��3$� ´ å�òòò ïð ´ñ ª ± à ´ §©¨x¤
û���ü��ó<3F� � �8�Jÿ$�B9�<= �=þÌ9��äD�ý�3 1%3:783 ��3$� 3�;%3$��ÿ:þ!1�� E����ÿ:�81��Pÿ]�8�&¸�ý���ü�� 1%3-ÿ$�´7´���Ì���ÜE=� �u�Pÿ]������3:R�ý�þ!�,��3$E=� �u� �Ü�8�F�3$9�þ"���><3:��þÌ���:��gã|� ��3$9<;��u� ��1%�rD�ý�3�.-�0ü�9̪.U¤ ?=.$nµ�.$? · N��#´ü�3:9P�8�¬ í ª ±|c ?G¤ Uj ´ c ?G¤ º�?Uj c .U¤ ?=.$¹µ{.�? · j�ª >LG¤ /8/ȵ .$?Uô�4Ȥ� � � ()9Vÿ:���&¸�ý=�8ü�� 1%3�ÿ:�´70� �!�8�Üü�3:��þ!� ��þ"1%� ��ý ×�ÿ]þ!3:��ü�3<��3ý�9 1��8��F�3:9Pþ"���'<3$��þ!�8� ü�þ!7�3�����3{��þ"1%�c��9�� �����81%�à� ý=9P�<� ��7��8��3�R8�����=1%3P��ýà�Fý�9 E��Y<3�1%þÌ����?���þ"�5ÿ]�8�&¸�ý���ü����<1%3ÿ:�´70���Ì���+� ���u� 9 E����070�´783:�!9�3$��ü�3hý=����1%���NE=� �u�-� ý=9�3$��ü�� ���3]� 3$þ¬ü���1%����9õ<�0ü�þ"ÿ]��1��P1%3$9P���=��ü��u��JÿA� �=�+ ,���+O��8 -0/21432546�7¹��öø÷��Uù�6O147:6� +�,G�:+�+ �Q+G� ��ú��Y,��>��)�<����þ!1��8�-1%�8�-ÿ$� �����-1%3�3$�pR���ü����Ù1�3�ý�9���ÿ:�����Fÿ]�8�=���ü���ýx<= 1��P3$9 ý=9P� �!�81%3:þ!����3���ü>A� � CY¤ >�9V� ;=��þ�;%� 1%� �x<= 7�3:�1��,��ý=�=����3°�6ÿ$� ���,1%3°3��"R8� ü��h��3°3$�=ÿ]�8�8ü����h�6>G¤Ì.N9 � ;=��þ¬�;%� 1%�P�x<= 7�3$��1��P��ý���#%3:��ÿ]����ü���3-��1%þÌ� 3:��3:� Jÿ$�P1%35E���3$����A���9�<= ��þÌ9��¶D�ý�3)1�3:7�36��3:�°ÿ:��þ"��1=��E�3$�!��;���92;=�-1%36��3$ÿ$� �ûD8ý=3E=������E�ý ;����Ü3��"R8� ü��P1�3�1�3:�=��þ!1=��1%3-9Ó<3�1%þ!�)º�?8?ÃÝ�R P´9 ô �¥ Hk������þ"1%3:��36�2;��89<;�3$� 9P3$�8ü��<����ÿ:�����5��ý�9 þ!�=��üu� ��ü�3D�ý=� �ûD�ý�3:���<� � ���UJÿ:� 9�<= �=þÌ9��K1��K;��89<;=�õ<3��UD�ý�3:�"��D�ý�3��3:��7�3-E=������3:D�ý�þ!�!þÌ;��u� ���P� ���UJÿ:�P1��ÐR8���´7�þ"1���1�3Ù�=��3$�pR�� �ü�� ÿ:��9 � � �8�Jÿ$�{1=� ;���92;=� ���Bÿ:�����=� �%��; ü�� �Ü� �8�Jÿ$�9�<= ��þÌ9�� � 3$�pR���ü��à��3:��<� 3:9PE�ý����u��1%�à��3:9 9<ý�1�� �K��ý=�3:�=3:�ER�þ"��ÿ:þÌ�n<3]ü�þ!ÿ$���� � ���UJÿ:�{1��.R8���´7�þ"1���1%3 ���{3��"R8� ü��Ä<3KüUý$þ�°5#°�8�=1%3�üá<3�K��ý=� 1%3:����þ"1���1�3�#�þ c ª CG¤ >¶Å >G¤Ì.êÿ9G¤!.<9Ëj«<3<�Kÿ]��9��E���þÌ9P3$�8ü�� 1%� ÿ$� ����#x3Ë°ë<3 �@<����3��F1�����3�ÿ JÿA� �F��3:ü���1%�ÿ:�����=� ��3è ñ � �8�2�FE���3$����A������� ÿ:�����=#X3:��ü>A� �˨ ñ °ë<3 �� ���UJÿ:�)D�ý�3�3:9PE�ý����u�<�P3$�pR���ü��2E=� �u�<;�� þÑ;�������ÿ:�����=�°��3¨ � �8�Ù� E���3����:A� ��3�;%3:�uÿ]þ"1���E�3:�"� ;���9<;���#�3:��ü:A��� ��� �8�Jÿ$�1��P;���92;=�����P3$�pR�� ü��Ô<3ب�°5�� � ���UJÿ:����<= D8ý=þ!1��2����3��"R8� ü��Á<3-1���1=�2E����
c ¨ËÅ�¨ ñ jÆ°¡ÅÒüý$þ�°3¿¨���3$�O<�)9�<= ��þ!9��©D�ý=���=1%��3:�"�Ù� ��ý��"� ������3��x +�8��üu� ��ü���#´7�3]���3ÈD8ý=3���1�þ¬� 3$��3$� Jÿ:�P1%3-E���3$���:A� �¹D�ý�351�3:7�3-��3:�,9�� ��ü�þ!1��E�3:�"�P;��89<;=�[<3¨ÐÅ�¨ ñ ª üý$þ0ª c º8?�?Uj c ºY¤ C$j c 9Y¤Ì.'j4ªL ¤ @�µ{.�? É N� ¤
� +�,G�:+ , ��+ � �:+ ���O,��>�Þ 3:9<;=�����k1��2ü���þ!E�ý��"��JÿA� �5ü�3:��ü���9z3$��ÿ:��E=� �h1%3�ý�9 ��ý�;%�9�����þ!����1�� ��þÑ×�ÿ$��1%��#%.$?�?�9 ��;=� þÑ;%�Ù1=�Ù��ý�E�3:���"<= ÿ]þ!3��¿»�ý=3� �8�Jÿ$��3:�!3$��ü:¢3:9p1%3P� E=�Ìþ"ÿ:���)���F� �pJÿ:��E�A� ��#�1%3K.¤ >�9WE����?Y¤ 98?B9F#,E=� �u�B3:9PE�ý�����<�0���Ì�BE=����� � �8���$½øHk���=��þ!1�3:��3 �1�3:�=��þ!1=��1%3-1��¦<��R8ý=�P1%�P�%ÿ]3$�����K.$?8>ULÈÝ�R P´9 ô �¥ � E���3$����A���Á¨ ���IE���� � ý���1%þ!1=��1%3¦æ 1�� � �pJÿ:��E�A� � <3¨ ñ � üý æ=#����=1%3�üÿ<3 �{1%3:�=��þ"1���1%3F1��ÿ<��R�ý�� 1%�{��ÿ:3$� ��=� 3r¨ ñ <32� E���3����:A� � �0ü�9P�����'<3$��þ"ÿ:�=�Ù� � ���UJÿ:� E=� �u� ;�� þÌ�;%��1��Ä<��R8ý=�K��� � �pJÿ:��E�A� �¡<3 c ¨ ñ � üý æ�jÆ°5#X����1%3аê<3��<����3��F1%� � �pJÿ:��E�A� ��� ��3 � ���5��� ��ý�;�9�� ��þÌ�=��3$��ü�þ!7�3:�-���E=��3����:A� ���0ü�9P�8���><3:��þ!ÿ$��#�3$��ü:A� ��3�;%3:�uÿ]3:��<�Pý�9��P� �8�Jÿ$�¶¨ ñ °E�� �u�Kÿ:þÌ9��=�K� � �8�Jÿ$�F9�<= ��þ!9���D�ý�3 1%3:783 ��3$�<� E=�Ìþ"ÿ:�81��E�3:�"�Ùü���þ!E�ý��"��Jÿ�A����E�� �u�Ù��;���þÌ�N�-� �pJÿ:��E�A� �Ùü�3:9 9��R���þÌü�ý=1�31=��1���E����¬ ª c ¨ ñ � üý æ�jÆ°¡Å�¨ ñ °
ª üUý�æ$°ª c .$?8>ULj c ºG¤ CUj c .�?�?Uj c .U¤ >Uj c ?Y¤ 98?Ujxª /�¤ >)µ .$?·�4ä
�Í+ ,G�:+ Ü �Q+G���>+ ���Y,��&�?���þ"�Ù70�����8�Ùÿ]þ!��<= �=1%��þ"ÿ]�8��þ"1�¢3:��ü�þ!ÿ:�8�$#�ÿ:��9p��ý=����;=�8��3��Ù���9P3���9P�<��<= 783:�ñ#8ÿ:����ü:¢3$9 ý�9 ��<= D�ý�þ"1%�21%3Ù1%3:����þ"1���1�3¯ü��°�<����3���1���;=����3�<3Ç°rE�� �u�-� 9<;��8�$#�9��8�N3:9 ý�9 1%�8�N70�8������-���¬ü�ý��u�51%�-��<= D�ý�þ"1%�Ò<3����h3)���5��ý�ü�����<3�� ´ �Nû°�=ÿ:����ü���3h�ü�����;=� ��F�����3�� �!þÑß���1%�2E�3$�!�2� �8�Jÿ$�ÃR8���´7�þÌü���ÿ:þÌ�8�=� ��� ��þ�R�ý=� ��"� �h���h�x<= 7�3:þ"�$#�D�ý=���=1%�P�8�,1���þ"�h7´�8�����,��A����ÿ:����3�ÿ[üu��1%���:�¥ »�ý=���=1%�r��� �x<= 7�3$þ!� ��A���I�8� 9�3���9P��� � ���¬ü�ý����r1����<= D�ý�þ!1��è<3��èª c ��� � � ´ jp® >�#)�8�=1%3���� 3� ´ ��A��� �8����¬ü�ý��u���Ù����þÑR8þÌ��� þ"�:� ��ý�E����YF=��D�ý�3���Ô<3�9���þÌ�8��1��.D8ý=3� ´ �2� ��þÌü�ý=��Jÿ�A� �K×=�=���XE��%1%3���3$�-�0ü�þ!�GR8þ!1�� ü��89P���=1%������3ý=9 E����UJÿ�A���51%36��<= D8ý=þ!1%�2ÿ]��9 7��8�Ìý=9�3©° c � � Å���jN3�9���������Ðü�° c � � Å��Oj]#���� E���þ!9�3$þÌ��� 70�8����#�32;=� þÑ;�� �=1%�����PE����ý=9P�F1%þ"��ü'¢� ��ÿ]þ"� ��Å�� ´ ��B ü��u� ;�� ��F��K� 3:þÌü��FE�3$�!�K� �8�Jÿ$�1=�¹R8���´7�þ"1���1�3�<3
� ª¡ü�° c ���nÅ��j�ý c ��Å�� ´ jQ¤�%ý�;=��ü�þÌü�ý�þ!�=1%������3��ÿª c ��� � � ´ jp®�> ��3���üu� 3�;%E���3$���:A� ��8ÿ�F=� 9P��������3$��ý��Ìü���1��2E�3$1%þ"1%��D
�Öª .@ üUý�° c � � Å� ´ j ´ ¤
k d�dUlnmpo�o�q$q�qn_Q\&^�_�`G^$aUT�X4_�b�aGo��rSTGV�W�WVYX K<��R8þÌ�=��c1%3</
������������ ���������������������� �!�"���$#%��&�'%()&+*,�-� .0/21%3546�0783:9<;=����1%3<> ?8? @=#BA���,C=D @�<E�� 9F�
�Í+ , ��8�+ ��+ � �:+GÎ��Y,��&�û°��ý���ÿ]þ"��1%���Ì�!�Ì�N�UD8ý=þ��D�ý�þñ�Ì�!�Ì�¥ ��3Ƹ��r¨ � ªÔ¨��:�°û°��ü:A���
ü��"ý c 9 � 8> ��� j � ü�� c�� Å � jªõü��Æý c �> ��� j � ü�� c�� Å � j�Ê1%�8�=1%3-��;�ü�3:9P���0D8ý=3
� ª 9 ü �ü��âÅÒü�� ª c 9Uj c > ¤ ºUjG¤ ©Å > ¤ º ªr@8@�Ý�9«¤
Hký�þ"1���1��Pÿ:��9 ý���þ"1���1%3��,1%3¶ü �D�ý�þñD R�P ÿ]9 ô ��Í+ , ��8O8 ��+ � �:+GÎ��Y, � �4)��&Xþ�R=�°.>90�ô�C=# ����ÿ:3$����� 3���ü�<���KE��8�8ü�� 1%3�þ!��70�81%þÌ�-�ÿ]�8��ü�þ!��3:��ü�38�-û°�=ÿ:����ü���32� E������ ý��=1%þ"1��81%3��{1%�K�%ÿ]3$�����=#ý=��� �=1����P9Ó<3:ü��%1%�P1%�2��<= 783:� 1%35ÿ:��9PE�3$�=����Jÿ�A���<9P�8��ü��u�0�1%������ ����8;��Ì3$9�� .>90��>%.��¥ ��ý�E����GF��ÈD�ý�3)�-E���3$���:A� ��<36��9P3$��9��-3:9 ü��%1%���°E����%�ü����N�Ùý�9��-1%þ!��ü'¢���=ÿ]þ"�ræ)ªI>�?rÝ�9 � ;=��þ�;%��1��-��ý=E�3$���"<= ÿ]þ!3�� N� �u��E�����ü����°���5�"��1��53$�ED�ý�3:�u1%�51���×OR�ý��u�Ùü�����E���3$�:A� �¼<31��81���E��8�
¨�ªÁ¨ ñ � ü ñ ý�� � ü��"ý æ�� � ü��¯ý�æ��ÃÊ����1%3¿¨ ñ <3Ü��E���3$����A����� ü�9P�8���><3:��þ"ÿ:��#>ü ñ <3Ü�Ù1%3:����þ"1���1�3Ü1��<��R8ý=��1%�2�%ÿ:3$� �=�23��¡<3��<E���� � ý=�=1%þ"1���1%3-1%���%ÿ]3�� ����#$ü �<35��1%3$�=��þ!1��81%351���ÿ:������üu�23Èæ � �P3$��E�3�����ý��u��1=��ÿ]���8��ü���#3�ü�� <3 � 1%3$�=��þ"1��81%3 1%�{9�� ��ü��{3�æ��ø<3 � 3$��E�3�����ý��u�1%� 9P����ü�� c �0üG<3-ý�9�� E���� � ý���1%þ!1=��1%3<1�3�> ?ËÝ�9Ëj]�) N� �u�E�����ü����h�����!�81%��1%þ!��3$þ¬ü��P1=�Ã×OR�ý��u��#'¨Ä<3-1��81��<E����
¨�ªÔ¨ ñ � ü � ý æY¤�gR�ý�� �"� �=1%�)3$��ü����x1%ý=����3�;%E���3$���:A��3$��E�� �u� ¨53kÿ$� �=ÿ:3:�"� �=1��ý �8;%ü�3$9����0D�ý�3
ü��E湪 ü ñ � � ü��Eæ�� � ü��¯æ��¹¤��ý�;���ü�þ¬ü�ý�þÌ��1%�Kæ � ª æÈÅ�ËÅÒæ � #�ü�3:9��ô��3ÈD�ý�3
ü��E湪õü ñ � � ü��Eæ�� � ü��©æÃżü�����żü��ræ��:Ê1%3-�8�=1%3Ùü�þ!����9P�8�
� ª ü � æ � ÅÒü � æ � ü � æÃżü � æ �ü��¡Å¼ü ñª c ü � ÅÒü � j c æÈÅäæ � jü��¡ÅÒü ñ
ª c Y¤ rÅ > ¤ CUj c > ?�Åc.�>UjG¤ ©Åc.¤ ? ª.U¤ /ÈÝ�9�¤
B�;���3$��783rD�ý�3-��ÿ:þÌ9��P��ý�;=��ü�þÌü�ý�þ!9P�8�0Ý�9F#%��A� �P9F�
�Í+ ,G�Q8O� �Q+G���>+�ú��Y,��&��ë<�R�ý=�K��3�3:��ÿ]����ü����K� ý=9P�KE���� � ý=�=1%þ"1���1%3! z��;=� þÑ;%�1=�6���8ÿ]3h7�3$��ü�þ!ÿ$� ��1%3hý�9 1%þûD�ý�3�#8ÿ]��9P�ÙþÌ�!ý=��ü��u���Ù&XþÑR��%.:9 �Uº����%3Ƹ���� �6�!���pR8ý����,1���1%þûD�ý�3�� �Æ�O� û°�=ÿ:����ü���3��h� �8�Jÿ$�F=����þÑß$����ü����8��3$��ý��Ìü�� ��ü�3k3�;�3$��ÿ:þ!1=�)���-1%þûD�ý�3hE�3$�!�ÙE���3$���:A� �9�������9Ó<3:ü���þ!ÿ$�51��Ó<��R�ý��53 �gã|� �2ü��8�ED�ý�3Ù��3$��ý��¬üu� ��ü�3Ù1%3]�7�þ"1%� � 3���üu� E���3$����A���B3:9 ��3$�!��Jÿ�A���B���àE�����ü��#"�� � � �û��=ÿ]�8��ü���3)�P;��u��Jÿ]��1%3-� �"�´70� �=ÿ$��#�3:9z��3:�"��JÿA� �2���2E�����ü��"�#�1��2� ���UJÿ:�)F�����þ�ß:����üu� ����3���ý=�¬üu� ��ü�3-����;���3���1%þûD�ý�3��¥+ ,x�2+���� $ ���&32� �&%' ù43�6Ò54�)(Ë�+*�1432öÔ��54��7� +�,G���x+ ��+ � �QÏ Ï �O,O�&�()9��P�!� ü���ü�3$9 78���!ý�9P351%3�.�>�?�?Pÿ]9 ô 3-9��8������1%3�.$8?R�� »�ý�� ��ü��8��R8����9P�8�°1%3Ù;=� �"���Ü1%3Ùÿ�F�ý=9<;��<3:�"�2E��%1%3$��þ"�ÿ$� ����3:R8���$#���3$9 D�ý�3-�0� ý��=1=������3Ù�=�Ó<��R�ý��U½F� 1%3:����þ"1���1�31��Pÿ�F�ý�92;��Ó<3P.8.¤ @¹R P0ÿ]9 ô �¥ ��3Ƹ��-,/.)��9P�8������1��P�!� ü���3�, � ��9P�8������1%��ÿ�F�ý=92�;��=���z� ���UJÿ:��1���R8���´7�þ"1���1�3P����;=��3�� ��þ"��ü�3:9��0 �!� ü�� �ÿ�F�ý�92;��21¿<3 c ,. � , � j�ý�3)��� ���UJÿ:�-1�363:9PE�ý ;%�<1=�Á<��R8ý=�<3�üUý�3 # ���=1�3�ü c ª ºUº�C©Ý$R P´9 ô jÈ<3h��1�3:�=��þ!1=��1%3,1��¼<��R8ý=�3�3 <3���7��8�Ìý=9�3�1%3Á<�R�ý=�P1%3����!�%ÿ:��1=���4)� 3:D�ý�þ!��<= ;=��þ!�=#�3$��ü����5� ���UJÿ:�8�-;=� �"� ��ÿ]3:þ"� 9��ô��3 1�3 9P��1��D�ý�3
c , . � , ��j�ýЪõüUý�3�¤� �!� ü��<þÌ��<�<ÿ:����ü�3$�Ü�<9P��þÌ�8��9��������51%3�ÿ�F�ý=9<;��¹D�ý=� ��1%�3���ü�þÌ783:�|D�ý=�8��3,E������ � ý��=1����°1%369P�%1%�ÈD�ý�3,�-7��8�Ìý=9�361=�<�R�ý=� 1%3����!�%ÿ:��1=� ÿ:��þ!�=ÿ]þ"1%3F3:��ü>A� � ÿ]�89�� �B78���!ý�9P3F1=��"�0üu���N +����ü�����ü��, � ª¡ü�3ÄÅ�,/. ª c ºº�C$j c .�> ?8?õ .$?�4�5�j Å ?Y¤Ì.��?
ª .U¤ ?�/¶Ý�RG¤ +3$��ÿ:3:;=�¹D�ý�3�.�>�?�?�ÿ]9 ô ª.´> ?8?õ .$? 4�5 9 ô �� +�,G���26 ��+ � �Q8��O�O,��>�()9���¢���=ÿ]�8���51�36� 3:�����=# D�ý=� �=1��5ü���ü����Ì9P3:��ü�3)þ!9�3$�����5���<�R�ý=�=#�E�� ��3$ÿ]3P> ?8? 4 9���þ!���Ì3$7�3�D�ý�3<���F� ��� �Æ�O� »�ý=���
k d�dUlnmpo�o�q$q�qn_Q\&^�_�`G^$aUT�X4_�b�aGo��rSTGV�W�WVYX K<��R8þÌ�=�2@ 1%3</
������������ ���������������������� �!�"���$#%��&�'%()&+*,�-� .0/21%3546�0783:9<;=����1%3<> ?8? @=#BA���,C=D @�<E�� 9F�
<3Ù�278���!ý�9P3Ù1=�«¢���=ÿ]�8���$½ �gã|� »�ý�� �Ç<3��PE�3$���2�=�P����½K�1%3$�=��þ"1��81%351%��� 3:�����[<3</0C�/0?¹Ý�R�P´9 ô �¥ �Æ�O� BrE�����;=�Ì3$9P�-1�þÑ߯D�ý�3��Ë¢� �=ÿ:���u��3���ü�<�Ùü���ü�� �!9P3:��ü�31%3$;=� þÑ;%� 1��]<��R8ý=���Kû°�"��� E=����3$��ü�����3:�59�� þ"�-�!3:783�E��8���D�ý�3��Ä<��R�ý�� 3:9PE�ý=���u�0�ô� E�� �u� ÿ]þ!9��Fÿ]��9 ý�9p3:9PE�ýG;��1%3�ü � ý�3�#N�8�=1%3Ëü � <3 �{1%3:�=��þ"1���1%3 1��á<�R�ý=��3�3Ö<3 �7��8�Ìý=9�3�1��«¢� �=ÿ:���u���N��3:ý E�3�����3]� 3:ü�þ!7��P1%3:��ü����P1��Ó<��R�ý��<3 870ª9 Å:,�Ârý�ª; żü � ý�3�Ê����1%3< <3)�2��3:ý E�3����27�3$��1��81%3:þ!��� c � �8�Jÿ$�51��¹R��u�´7�þ"1��81%3� ���u�P1��¦<��R8ý=�Uj]�+ +�8��üu� ��ü��3᪠Å� 7ü � ý ª > ?8?c ºº�C$j c ºG¤ CUj ªI>G¤ ?�@$L¹µ{.�?�4 ´ 9 ô ¤
�gã|� � 9���������1=�.¢� �=ÿ:���u�Á<3�, ª¡ü�3�#��8�=1%3¶üõ<3���1�3:�%���þ!1��81%3-1%�P� 3:�����=�°��3:ýKE�3$��������� �K<3 @ª=,Ký�ª üUý�3 ª c /0C�/0?$j c ºY¤ C$j c > ¤ ? @$Lȵ{.�? 4 ´ j
ª .¤ML C)µ{.�?ô�4Ȥ�Í+ , �>6�� ��+ � �������Y,��&�(69��P9��0ü���þ�ß�� ý��=1�þ!1%�8���P1%3�� 3$�����=#�ÿ:����ü�3$�=1%�Pý�9 ÿ]3:��ü���r<ý�9P3$���Ù1%3kÿ$�´7�þ"1��81%3$�$#$E�3$���Ç98?�?�?,4 �������x3k@8?�?8?,4à�=�<��R8ý=���|»�ý=����<3,�-7��8�Ìý�9P361��8�°ÿ:�´7�þ"1���1�3$�N1��Ù� ý���1%þ!1����u�U½�1%3$�=��þ"1��81%351%��� 3:�����[<3</�¤ C�/ÈR�P ÿ]9 ô �¥ B78���!ý�9P3?32��1����,ÿ$�´7�þ!1��81%3$��<35��1�þ¬� 3$��3$� Jÿ:�P3$�8ü���3-�7��8�Ìý=9�3-3&� 1���9��0ü���þ�ß�� ý��=1%þ"1%�8����ÿ:��9P��ý�9 ü��%1%��35�7��8�Ìý=9�3�32@ 1%��� 3:�����Pÿ]�8�8ü�þ!1������P9P� ü���þÑßÙ� ý���1%þ!1����u��D3 � ª;3 � Å�3 @ ¤B 78���!ý�9P3-1%��� 3:�����Ô<3-1���1��2E�����32@Ôª= ¯® c ý$ü�@|j[#=���=1%3 <3���E�3$����1���9��0ü���þ�ß�� ý��=1%þ"1%���u��3�ü�@â<3-�P1%3:�=��þ"1���1%31%� &=3:�������B E�3�����3:� 3]ü�þ!7��A 87��=�¦<��R8ý=��E��%1%3<��3:�,ý����81%�PE=� �u��3:�%�ÿ]�8��ü��u� ���27��8�Ìý�9P3)1=�59��0ü���þ�ß6� ý���1%þ!1����u���+û°�!3�<369P3$�����1%�«D�ý�3- zE��8þ!���<��R�ý�� 3:9PE�ý=���u� � 9P� ü���þÑß2� ý��=1�þ!1%�8���ÿ]�89 ý�9���� ���UJÿ:��ý�ü � 3 � #+���=1�3Kü � ��3$E���3���3$��ü���� 1�3:�%���þ!1��81%3 1��@<�R�ý=�=�K������þ!9 ü�3:9P�8�<��E�3���� 3:� 3]ü�þÌ78� 1���1%�E���� 870ª9 Å�ý�ü � 3&�)¤ +����ü�����ü��
3 � ª ÄÅ B7ý�ü � Ê
1�3Ù�8�=1%3�ü�þÌ�u� 9P�8�nD�ý�33 � ª Å� 7ý�ü � Å ý$ü�@
ª 98?�?8?©Å @8?8?�?c ºG¤ CUj c ?G¤ ºº8C¹µ .$? ô j Å 9�?�?8?c ºY¤ C$j c / ¤ C�/õ{.�? ô jª ?Y¤Ì.´>8/59 ô<û þÌ9PE���3$��ÿ]þ!�=1�<= 7�3$����� ;�3:�5���ß:3$�2ÿ]�8����3]üu� 9P3:��ü�3 ���2ÿ]�����783:�u��A�83$�Ü1%3-ý���þ"1��81%3$�$D
/ ¤ C�/¶R P0ÿ:9 ô ª / ¤ C�/õ{.�? 4 ô Ý�R.�? 4�5 9 ô ª / ¤ C�/¹µ{.�? ô Ý$R P´9 ô ¤
+ ,x�2+��C6 D�32�BE��G7�5��GFÃ6O�'�&�$��H>�Ó�Ó� � *�14���� ��Y6£54�F¹6��IH>32��143254�G5��� +�,G�Q��� ��+ � ����ú��O,��>�()9��69�� �GR8ý�3:þ!�u�,1%3x¸�����1�þÌ9F#01%3h1%þ�¢��9P3]ü����6þ!��ü�3:�����)?Y¤ /LE����ñ#.<3 ÿ]���=3$ÿ[üu��1�� �cý�9 3��"R8ý�þ!ÿ�F=�ÓD�ý�3 ÿ]�8�=��þ"��ü�3B3:9ý=9 ÿ:�����Kÿ:��9}> @ � ý=�����:#�ÿ$��1�� ý�9 ÿ:��9 ?Y¤ ?$L ? E����°1�31�þ�¢��9�3:ü����=�N��3-�¦<��R�ý��<�=�29�� �GR8ý�3:þ!�u�5ü�þÌ783:�h7�3$�Ì�%ÿ]þ"1��81%31�3Ü)EØ<3$�QP0�$#´ÿ]��9áD�ý�3Ü7�3$�Ì�%ÿ:þ!1��81%3°3$�!�Ù����þÌ��<�61%���x;=ý����8ÿ]���1���3��"R8ý�þ"ÿ�F��$½¥ ()��3�� 3>D�ý=��JÿA� �F1��Fÿ]����ü�þÌ��ý�þ"1���1�3�����3Ƹ���J � �K7�3$�Ì���ÿ:þ!1=��1%3K1��á<�R�ý=������9�� �GR8ý�3:þ!��� 3J ´ ��ý=� 7�3$�Ì�%ÿ]þ"1��81%3D�ý=���=1%� 3:�"� 1%3$þ�;�� ý=9p1%�8�)� ý����8�$����3"¸���° � �£<� ��3$� 1=���3$ÿGJÿ�A��� ��3]üu�K1=�F9P���GR�ý=3:þ!���=��Hk��9P�F3�;%þ!��ü�3$9LK � ý����8�$#E��%1%3:9P���)þ!9���R�þ!�=���Ù�£<��R�ý�� �=� 9P���GR�ý=3:þ!��� ÿ]��9P� � �����9����=1%�-K ü�ý=;����,1%3r�=ý ;%�=#%ÿ:�81��2ý�9zþ!�=1%������þÌ�,� ü��u�´7�<3$�1�3 ý�9 1%�8�5� ý������:��� <����3���1%3 ÿ$��1��Kü�ý�;�� 1%3Ð�=ýG;��@<3°���®+KN�P��3а ´ � ���5�Ä<� ��3$� 1%3Pý�9p� ý����=#�� 3>D�ý=��JÿA� � 1=�ÿ:����ü�þ!��ý�þ"1���1%3r×�ÿ$�P��3$�=1%��1���1=�2E����
J � ° �K ª9J ´ ° ´ ¤?�3$��ü���3�;�E=��3����:A� �2ü�þ!����9P�8�nD�ý�3
J ´ ª °��K�° ´ JM�Ǫ à ´K ³ ´ JM�&Ê�8�=1%3Ëà <3�������þÌ� 1=�F9P���GR�ý=3:þ!���K3 ³ <3����u� þ!� 1%3 ý�9� ý=�����+ +�8��üu� ��ü��
J ´ ª à ´K ³ ´ J � ª c ?Y¤ �/�Lj ´>0@ c ?G¤ ?8>ULj ´ c Y¤ ?$j ª >�C2En<3$�QP0�Q¤
Hk�8��7�3:��ü�3$�NE=� �u���8�°7´���Ì�8��3��|ÞON5�P1��81%�8�°�=�È9 � 3�1%þ"JÿA� �2Pk d�dUlnmpo�o�q$q�qn_Q\&^�_�`G^$aUT�X4_�b�aGo��rSTGV�W�WVYX K<��R8þÌ�=��L 1%3</
������������ ���������������������� �!�"���$#%��&�'%()&+*,�-� .0/21%3546�0783:9<;=����1%3<> ?8? @=#BA���,C=D @�<E�� 9F�
�Í+ , ���Y, ��+ � �Q6�+G�Y,��&�� <��R8ý=�«<3Ü;���92;�3���1���ÿ:����ü�þ!��ý=� 9P3:��ü�3kE=�����)� ���u�Ù1%3hý�9E����>A� �6þ!��ý��=1��81%�=#´�6ý�9��,783:�!�%ÿ]þ"1���1%3k1%3ØLh9KP �:#0�0ü����´7�<3��1%35ý=9P� 9P���GR�ý=3:þ!����ý���þÌ� ����9P351%35�u� þ!��.5ÿ]9F�h�9�� �%�R�ý=3:þ!���2E=�������<E����hý�9��©¸�� ��3$�!���9 ��ÿ:þÌ9���1%���x<= 7�3:� 1��<��R8ý=����»�ý=���©<3��PE���ü:¢3$�=ÿ]þ"�21=�2;���92;=�U½¥ ��ý�E����YF=�ÈD�ý�3)ý=9P�59P�8�����çR,V1%3.<��R8ý=�¼<36;���92;�3��0�1��B��ý�9_ü�3:9PE��[§RS[� �V;��89<;=�B��ý�9P3:��ü�� � 3:�=3:�ER�þ"�E�� ü�3$�=ÿ]þ"� �X1��¡<�R�ý=�PE����©§R,�ý��x#=�8�=1%3R�<3<��1%þ"��ü&¢� �=ÿ:þ!�7�3$��ü�þ!ÿ$� ��D�ý�3Ü��<��R8ý=��<3k3:�!3:70��1��=#03Ü��ý�9P3:��ü�����ý��63:�=3:�ER�þ"�ÿ]þ!�n<3:ü�þ"ÿ:��1%3)§?,�J ´ ®�>%#��8�=1%3�J¡<35��ý���7�3$�Ì�%ÿ]þ"1��81%3�×=�=��� �Bü��u� ;=���ÑF���D�ý�3-�P;��89<;=�2���ß�<3
§��Öª§R,Ký�� � .> §R,/J ´ Ê
35��ý=��E���ü:¢3$�=ÿ]þ"�Á<3�#�ÿ]�8�=��3:D�ý�3:��ü�3:9P3:��ü�38# @ª §-�§?S ª §?,§RS T ý�� � .
> J ´VU ¤� üu�&;���1%3Ð�=ýG;��{1%3 9��������£<3K§R,.®�§RSȪâü�°WJ�#+���=1%3üâ<3 �à1%3:����þ"1���1�3 1��é<��R8ý=�B3�°Ö<3 �â<� ��3$�B1��à��3$ÿGJÿ�A���ü��u� ����783:�u������1��P9����GR�ý�3$þÌ�u��#�þ"��ü��[<3�#
°£ª ±�³ ´ ª ±|c ?Y¤ ?=.$?$j ´ ªIY¤Ì.$@�µ{.�? 4OÉ 9 ´ ¤Hk��9 þ!��ü���#�ü�3$9����
ü�°WJ�ª c ºUº�CUj c Y¤Ì.$@)µ .$? 4OÉ j c LUj|ª.U¤ L�/¶Ý�R�P ��¤ +����ü�����ü�� ª §R,§?S T ý�� � .
> J ´ Uª c .¤ML8/�j&X c ºG¤ CUj c Y¤ ?$j � L ´
>RY ª£99-Z]¤+ ,���+O��� (Ëù¿/23 � ���� �6O��7�54� � *�14���� ��G6[5��)[)�$�'�46�1�/�/23� +�,G�Q�OÜ �Q+G� �Q6����O,O�'��Ì<��R�ý�� ��3 9P�07�3 ÿ:��9 ý�9�� 7�3:�!�%ÿ]þ"1���1�3 1%3¡Lr9KP0��0ü����´7�<3��)1%3�ý�9 ÿ$� ���Kÿ]�89Wý�9��<����3�� 1%3���3GJÿ�A��� ü������=���7�3$����� �°1�3 @ ÿ]9 ´ �K� <��R8ý=�F1%3$��ÿ]3�.�?F9ìR8���81%ý=� �!9P3:�%�ü�38#�3$�YD�ý=� ��ü��K�Ä<� ��3$�F1%��ÿ$� ����� ý=9�3$��ü��KE=� �u�KCKÿ:9 ´ ��Æ��� »�ý=� �Ò<3B�c7�3$�Ì�%ÿ]þ"1��81%3 1��c3���ÿ:�8��9�3$��ü��c��� �x<= 7�3:�9�� þ"�P;=� þÑ;%�$½ �Æã � ��3 � E���3$���:A� � ���B�x<= 7�3:�h9�� þ"��� �Ìü��� ����.¤ML�µB.$? · N�=#OD�ý=� �+��3:��<��� E���3$����A������� ��<= 783:�x9���þ!�;=��þ�;%�$½¥ �Æ�O� ()��3 �r3>D�ý=��JÿA� �r1��Iÿ:����ü�þ!��ý�þ!1=��1%38DÄ°��\JM�Ī° ´ J ´ #����=1�3¼°<�<3{�C<� ��3$�à1%�cÿ:�����à��� ü���E�� 3:JM� �
783:�!�%ÿ]þ"1���1%3,1��Ô<��R�ý����=�5�Ì�%ÿ$� �ñ#U° ´ <36�Á<� ��3$��1%�5ÿ$� ���-�=�� ý=�=1%�F3!J ´ <3P� 783:�!�%ÿ]þ"1���1%3�1��Ä<�R�ý=� ���K� ý��=1%��� +�����üu� ��ü���#
J ´ ª ° �° ´ J � ª @C c Lj�ª > ¤ML29ËP ��¤
�Æã � (���3-��3:D�ý=��Jÿ�A����1%3ÈNÜ3$�����8ý��!�ÌþñD¨ � � .
> üMJ ´�]� üý�� � ªÔ¨ ´ � .> ü�J ´´ � üUý�� ´ Ê
�8�=1%3�üõ<3-��1%3$�=��þ!1��81%3-1��õ<��R8ý=��#&� � ��ý=�P� �Ìü�ý��u��þÌ��þ"ÿ]þ"� �3�� ´ ��ý������¬ü�ý��u�Ã×��=� �ñ�N +����ü�� ��ü��=#¨ ´ ª ¨ � � .
> ü c J ´� Å�J ´´ j � üUý c � � Å� ´ jª .¤ML¹µ{.�?· � .
> c ?Y¤ ºUº�C¹µ{.�? ô j�^ÑL ´ Å c >G¤ LUj ´`_� c ?Y¤ ºUº�C¹µ{.�? ô j c ºG¤ CUj c .�?Uj
ª > ¤ 9)µ{.�? · N� ¤
� +�,G��,�Î ��+ � �Q6�ú��O,��>��%3F�B783:�!�%ÿ]þ"1���1%3F1%3�3���ÿ:�8� 9P3$�8ü��=#kE=���������=1%� E��8� 1%3]�;�� þÑ;���1%3Ùý�9��2�8���=#|<32.�.�?59KP0�$# D8ý=3�783:�!��ÿ:þ!1=��1%3Ù1%3�3$���ÿ:�8��9�3$��ü��-�=�<E=� ��ü�3)1�3Ùÿ:þÌ9��5ÿ:��þ"� ��<��ý�9��<1%þÌ� 3:��3:�|Jÿ:�<1�3E=��3����:A� ��1%3Ⱥ�?8?2 N�23:��ü���3-���,��ý�E�3:���"<= ÿ:þÌ3��,1%3-ÿ]þ!9��2351�3;�� þÑ;���½�Hk���=��þ!1�3:��3Ù��1%3:����þ"1���1�3Ù1%�P� �nü)ª .¤ ȵ .$? 4 ôR P0ÿ:9 ô � c�a 3:�)3�;%3:�uÿ<= ÿ]þ!� .>90�g99=� j¥ ()��3�� 3>D�ý=��JÿA� �F1%3ËNÜ3:������ý��!�!þ°1%3$��E���3�ß$���=1%�K�8�Ùü�3:���9P���x1%3Ü3:��3$�pR8þ!�6E���ü�3:��ÿ]þ"� �ñ#0E��8þ!���8��1%��þ"��ü�ý�;��8�+1%3|��ý ;%�3���ü>A� ��3$����3$�=ÿ]þ"� �!9P3:��ü�3��=��9P3$��9��P� �Ìü�þÌü�ý=1%38D
¨ . � .> üMJ ´. ªä¨�b � .
> ü�J ´b Ê�8�=1%3˨ . <3{� E���3$����A��� �=� ��ý�E�3:���"<= ÿ:þÌ3{1%3 ;=��þ�;%��# ¨2bc�E=��3����:A� ��3$9 ��ý�E�3:���"<= ÿ]þ!3 1%3 ÿ:þÌ9��=#cJ . ��783:�!��ÿ:þ!1=��1%3 1�����6�=� ��ý�E�3:���"<= ÿ]þ!351%35;=��þ�;%�=#2Jdb ��783:�!�%ÿ]þ"1���1%351�� � �6�����ý�E�3:���"<= ÿ]þ!3Ù1%35ÿ:þÌ9��=#%3¶ü �P1%3:�=��þ"1���1%3-1%�����$�?�3$��3Ƹ���9P�8�N3$�=ÿ]�8�8ü������eJdb�1%3)9P�%1%�ÃD�ý�3|¨ . Åè2b)ª¡º�?8? N�=#���ýF��3"¸���#
Jdb ª f > c ¨ . Å�¨2b�jü � J ´.ª g > c º�?�?$j
.U¤ � c .�.$?$j ´ ª.8.:929ËP ��¤k d�dUlnmpo�o�q$q�qn_Q\&^�_�`G^$aUT�X4_�b�aGo��rSTGV�W�WVYX K<��R8þÌ�=�)9c1%3</
������������ ���������������������� �!�"���$#%��&�'%()&+*,�-� .0/21%3546�0783:9<;=����1%3<> ?8? @=#BA���,C=D @�<E�� 9F�
B�;=��3:��7�3�D�ý�3�<3�þ!9PE���3$��ÿ]þ!�=1�<= 7�3$��ý������h�8�hý���þ"1���1�3$�,ÿ]�8�����3]ü��8�,1%3¶ü�Dü)ª.U¤ )µ .$?�4 ô R
ÿ]9 ô ª .¤ �µ{.�?�4 ô .$? 4 ô Ý�Rc .$? 4 ´ j ô 9 ôª .¤ Ý�R
9 ô ÊD�ý�3�� ��þ ���r<ý�9P3:����ý����81%�2E�� �u�2�8;%ü�3$�hJ b ��Í+ , ��ÎY� ��+ � �QÏ Ï �O,��'��)��¸�� �=3:�"��� 1�3 ý�9 E��G<3$1�þÌ� 1%3 3$��ÿ]��þ¬ü�<����þÌ���Bü:¢3$9 1�þ¬�9P3:�=�:A��3��)1%3<@�9 E��8�rLP9F�6û°9 ý�9W1%þ"�Pü�3$9PE�3���ü�ý��8���=#�5� �NE���������E�3$�!�ظ�����3:�"��1%�ÃL �iÜ� �=1����$#�E=� �u� �!3:�!�PA��¸�����3]��"��#=ÿ:��9zý�9��P783:�!��ÿ:þ!1=��1%3-1%358?29KP �:��HÜ���!ÿ:ý��Ì3-��� �8�Jÿ$���3$��ý��¬üu� ��ü�32� E��!þ!ÿ$��1��P����¸�� ��3$�!�=�6� 1%3$�=��þ!1��81%3<1%� � �«<3.¤ > )Ý�R�P09 ô �¥ H�F=��9P���=1%������3 1%3¹¨ Õ � E���3$����A����þÌ��ü�3$����� 1��{�����!��31%3�¨ i �5E���3����:A� �51�36� ���u�-1��Ǹ�� ��3$�!�=#�ü�3:9P�8��D8ý=3���� �8�Jÿ$���<= D�ý�þ"1�� �=�¶¸�����3:�"�õ<3 c ¨ Õ Å�¨ i jÆ°<# ���=1�3¹° <32�£<� ��3$� 1��¸�� �=3:�"���°� 1%þÌ� 3:��3:� Jÿ$�21%3-E=��3����:A� �2E��%1%3-��3:�h3:�=ÿ:����ü��u��1=�ý=��� �=1�� �ô��3��<3>D�ý=��JÿA� �21�3�NÜ3$�����8ý��!�ÌþñDO¨ ñ � üMJ ´ ®�>Ȫä¨�Õ�#����1%3jJ¼<3h��7�3:�!�%ÿ]þ"1���1�3k1%��� ��� ���u�63Øü�<3k�Ù1%3:����þ"1���1�3Ü1%�� ������ý�E���9P�8�¶D�ý�3P�F� �51%3$�8ü����F1��F��� �"� 3���ü�<� E=�����81%�=� +����ü�����ü��=#>¨OÕOÅ˨ i ª¡ü�J ´ ® >2��3$�=1%���<� �8�Jÿ$�ä<3Ù1���1=�<E����
¬]ª .> üMJ ´ °ª .
> c .¤ > Uj c 8?Uj ´ c @$j c $j|ª.U¤Ì.8.rµ .$? É 4Ȥ�Í+ , ��ÎY, ��+ � �QÏ Ï �O,��'�(69���E��"��ÿ$�21%3-C8?2ÿ:9 ´ 3ÈL�?�?ÈR�1%3�9��������ä<3ÙE���3$���<E����1%�8;����81%þpJÿ:����3:9Wý=9p1%3���3:ý����"��1��8�$�-�%3¹F��8ý�7�3$�Ù���Ù��� �E��u� �=1�� � E�3:�=�8�)����;���3<� ��ý=� ��ý�E�3:���"<= ÿ]þ!35��ý=E�3$��þ!����#�D�ý�37�3$�Ì�%ÿ:þ!1��81%3,1%3:783:��<��ü�3:���5� �NE=��������ý=��ü�3:��ü����°��E��"��ÿ:�Ù�=�E��8��þ"JÿA� ��F�����þ�ß:����üu� ��½¥ ûk��ü�3{3�;�3$��ÿU<= ÿ]þ!�àÿ]������þ"1%3:�u�àý=9P�c��þ¬ü�ý=��JÿA� � ���Ç<� �!�R���D�ý�3$�!�K9P�8��ü��u��1=� �=�F&XþÑR��N.:9 �ô>9�# 1��K9P��Jÿ:�K����E��u� �=1������;���3�ý�9��<� �8�ÑF���1%3�E=� E�3:�ñ�Hk��9P� �KE���3$����A��� <3�ý���þÌ� ����9�3 ����;=��3���ý�E�3$���p<= ÿ:þÌ3P�Fü��8���D�ý�3ÈD�ý�3-3:�"�P3�;%3$��ÿ:3ÙE��%1%35��3:�6ÿ:���!ÿ:ý��"��1%��ÿ]�89P�P��3-� � ��0ü�ý=������3Ù�=�Pÿ:3:��ü�����1%3-9��������=#���9�3���9P�P70� �!3:�=1���E�� �u���� ���UJÿ:��1��)R��u�´7�þ!1=��1%38�B ü��8�ED�ý�3k��<= D�ý�þ"1%�)����ý=�!� ����3�D�ý=� ��1%���6� ���UJÿ:�61%�Ù� �XþÑR8ý=�0��"� ��� �8�Jÿ$� 1���R��u�´7�þ!1��81%3�� ��3Ƹ��K¨ . � E���3$����A��� �=� ��ý%�E�3:���"<= ÿ:þÌ3Ü1%3�;�� þÑ;���#Q¨2bÙ�6E���3$���:A� �6�=����ý=E�3$���"<= ÿ]þ!3�1%3hÿ]þ!9���#
J{� 783:�!�%ÿ]þ"1���1%3�1%� ���5���8;���3P����ý�E�3:���"<= ÿ]þ!3P��ý�E�3:��þÌ�8�$#x3üF�K1%3:�=��þ"1���1%3�1%� ���$��?�3��8ÿ]���u1%� ÿ:��9p� 3:D�ý=��JÿA� � 1�3NÜ3$�����8ý��!�Ìþñ#¨ . ªä¨2b � .
> üMJ ´ Êg�8ýK��3Ƹ�� ¨ . Å�¨�b¹ª .> üMJ ´ ¤
�I9P�R���þÌü�ý�1%3)1��5� ���UJÿ:�-1%�<����<3Ǭ]ª c ¨�.�Åè b j"°5#����=1�3° <32�<� ��3$� 1�� E��"��ÿ$���-46� 3:D�ý�þ!��<= ;���þ!�=#�¬éªk,Ký�#����=1�3,Ö<3���9��������21��PE=�!�8ÿ:���N +�8��üu� ��ü��.> ü�J ´ °£ª=,�ý�Ê
1�3Ù�8�=1%3-�8;%ü�3$9����
J � ª g >+,�ýü�° ª f > c ?G¤MLj c ºY¤ C$jc .¤ > Uj c C8?¹µ .$? 4OÉ j ª 8>29KP0��¤
�Í+ ,G��Üx+ �Q+G����8O���Y,��&��)E��!þ!ÿ$� �=1%� � 3>D8ý���Jÿ�A��� 1%3«Nk3$���=��ý��!�Ìþk3K� 3:D�ý=��Jÿ�A� � 1=�ÿ:����ü�þ!��ý�þ"1���1%36���8�NE�����ü��8�6.)3�>-1��5&Xþ�R=��.:90��>�>�# 9P�8��ü���3D�ý�35�P783:�!�%ÿ]þ"1���1%351���3$��ÿ]�8��9P3:��ü��P�=��3$��ü��u��1�� c E�����ü��.'jÐ<3
J)ª f >ml ´ §©¨ü c ° ´ Ål ´ j ¤¥ �692;����+E��8�8ü��8�+3���ü>A� �Ù�=��9P3$��9P�����¬ü�þ¬ü�ý=1%3�#�1%3h9P��1��D�ý�3-��3:D�ý=��Jÿ�A����1%3ÈNÜ3$�����8ý��!�Ìþr<3
¨�� � .> ü�J ´� ªÔ¨ ´ � .
> ü�J ´´ ¤� 3$ýYD���Jÿ�A��� 1=� ÿ:����ü�þ!��ý�þ"1���1%3£<3«°WJM�¼ªLl�J ´ #Ü1%3�9P���1��)D�ý�3<J ´ ª£°WJM��®dl�¤%�%ý�;=��ü�þÌü�ý�þ!�=1%��3���üu�<3�;�E=��3����:A� �5���3>D�ý=��JÿA� �P1%3¶Nk3$���=��ý��!�Ìþ �8;%ü�3$9P�8�
¨�� � .> ü�J ´� ªÔ¨ ´ � .
> ü T ° l U ´ J ´� ¤*63$�����!7�3:��1%� �ô��#8ü�3$9����0D�ý�3
JM�0ª f > c ¨ � Å�¨ ´ jnl ´ü c ° ´ Ål ´ j ª f >dl ´ §©¨ü c ° ´ Å�l ´ j Ê�8�=1%3�ý=��� 9P�8�0§©¨/oÔ¨��ØÅ�¨ ´ �
k d�dUlnmpo�o�q$q�qn_Q\&^�_�`G^$aUT�X4_�b�aGo��rSTGV�W�WVYX K<��R8þÌ�=��/ 1%3</
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE SANTA CATARINA – UNIDADE
SÃO JOSÉ - ÁREA DE REFRIGERAÇÃO E AR CONDICIONADO
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – MECÂNICA DOS FLUIDOS
Material digitado pelo aluno Guilherme Lima - RAC
(1) Qual é a força F1 necessária para o equilíbrio?
Solução:
NFFFgmF
A
F
A
F carro 5,4905
5,2452
5
4905
5,05
81,9.500
5,055,01
111
2
2
1
1
(2) Uma caixa d’água é enchida em 30 minutos. Qual a vazão da torneira se a caixa tem
2m3 ?
Solução:
hmhtempo
mvolumevazão /4
0,5
2 33
(3) Calcule a velocidade da água no ponto 2.
Solução:
smVAVAV 4001,0
2,0.222211
(4) Qual a velocidade de saída da água no ponto 2?
Solução:
Considerando-se a equação de Bernoulli e uma linha de corrente ligando 1 e 2, tem-se:
2
2
221
2
11
22gz
Vpgz
Vp
Como a densidade ‘ ’ da água é a mesma, 1V = 0 e a pressão a qual a água está submetida é a
mesma em 1 e 2, temos a equação de Bernoulli modificada:
smzzgV 38,105,0681,9.22 212
(5) Qual o tempo para encher o tanque?
Solução:
Volume da caixa: 0,8x0,8x2 = 1,28 m3 e ainda:
Vazão na tubulação = Velocidade x Área da seção:
smDV
Q 322
0012,04
)032,0.(14,3.5,1
4
, Agora:
1 segundo ----------------------------- 0,012 3m
‘x’ segundos -------------------------- 1,28 3m
10660012,0
28,1x
Tempo = 1066 segundos = 17,7 minutos.
EXERCÍCIOS
1- Qual a pressão em um ponto submerso 35m de profundidade na água em um local cuja pressão
atmosférica é de 100 kPa?
2- Os êmbolos de uma prensa hidráulica são formados por dois cilindros com raios de 15cm e
200cm. Para equilibrar um corpo de 8000kg colocado no êmbolo maior é preciso aplicar no
êmbolo menor uma força de quantos Newtons?
Mecânica dos fluidos – Prof. Jesué Graciliano da Silva – CEFET-SC – São José
2
3- Uma esfera flutua em equilíbrio na água de modo que o volume imerso é 25% de seu volume
total. Qual a relação entre as densidades da água e da esfera?
4- Seja um tubo em “U” com dois líquidos A e B não miscíveis de densidades diferentes.
Considerando que HB=70cm e HA=40cm, e que a densidade do fluido B é de 900kg/m3, qual é
a densidade do fluido A ?
5- Uma bomba d’água tem potência de 4CV. Considerando que a mesma é utilizada durante 4h por
dia, calcule o consumo mensal de operação. Considere 31 dias no mês e o custo de 1kWh de R$
0,32. (1CV ~ 735W)
Mecânica dos fluidos – Prof. Jesué Graciliano da Silva – CEFET-SC – São José
3
7- Qual a pressão absoluta do ar dentro do tubo nas seguintes condições: Considere a densidade do
óleo como sendo 700kg/m3, a densidade do Hg (mercúrio) como sendo 13600kg/m
3. A constante de
aceleração gravitacional é 9,81m/s2 e a pressão atmosférica é a padrão 100000 pascals.
óleo
HgHg
12
2518
AR Pa
medidas em centímetros
45
Mecânica dos fluidos – Prof. Jesué Graciliano da Silva – CEFET-SC – São José
4
Mecânica dos fluidos – Prof. Jesué Graciliano da Silva – CEFET-SC – São José
5
152 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos
2.14.3 Exercícios resolvidos 2.14.3.1 Pede-se o módulo da força que deve ser aplicada na haste do pistão
esquematizado abaixo, para que o mesmo permaneça em equilíbrio. Dê o seu valor nos sistemas SI e CGS.
Solução:
-0,03.sen30.γH2O
pgás 1 patm
+ 0,065 . γH2O
patm + 0,065 . γH2O - 0,03.sen30.γH2O = Pgás 1
Considerando escala efetiva, temos: 0 + 0,065 . 103
- 0,03. 0,5 . 103 = Pgás 1
153 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos
Pgás 1 = 50 kgf / m2
F2
Ah = 4 cm2
Ap = 10 cm2
F1
F = ?
F1 = Pgás 1 . Ap = 50 . 10-3 kgf F2 = par comp. . (Ap - Ah) = 10000 . (10-3 - 4.10-4) = 6 kgf Condição de equilíbrio: F1 = F2 + F ∴ F = - 5,95 kgf O sinal negativo indica que o sentido real é contrário ao adotado. Como 1kgf = 9,8 N e 1N = 105 dina, temos: SI → F = 58,31 N CGS → F = 58,31 . 105 dina 2.14.3.2 O dispositivo esquematizado a seguir foi elaborado para ampliação de uma
força. Na situação representada pela figura, ao aplicar-se uma força F = 20 N, sustenta-se um peso Ge = 100 N.
Dados:
γ γr H O= =0 85 98102, ; N / m ; d = 5 cm ; De = 25 cm3
a) Equacione o problema e comprove o valor da força F; b) Desejando-se reduzir a intensidade da força F a metade, apresentou-se duas
alternativas: 1°) duplicar a área do pistão (Ap) 2°) reduzir a área da haste à metade (Ah/2) Mantendo-se os demais dados, analise as duas alternativas e de seu parecer sobre elas;
154 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos
c) Adicionando-se um peso G = 20 N sobre Ge e eliminando-se por alguns
instantes a força F observou-se que o êmbolo desceu z = 1 cm, alterando a cota de 0,5 m, antes de aplicarmos uma nova força F = 14,32 N que restabeleceu o equilíbrio. Equacione, mostre as alterações das cotas e comprove o valor da força F.
d) Se ao invés do pistão ter descido, houvesse subido z = 1 cm, afirma-se que
teríamos um aumento da força F. Comprove esta afirmação, calculando o valor da força F para a nova situação de equilíbrio.
Considere Gtotal = Ge + G = 120 N
Observação: Considera-se Ah = 32,22 cm² na solução, tanto no item c como
do item d..
Solução: a) p1 - p2 = γ × h par comp. - pe = γ γ × h r H× 2O
O par comp. = γ γ × h + r H× 2GA
e
e
pelo conceito clássico de pressão => p e pela estática dos
fluidos => ∑ ∴ F
FnA
= ∴ × Fn = p A
Fcorpo = 0 1 = F2 + F, onde: F1 = par comp. × Ap
155 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos
F2 = par comp. × (Ap - Ah) par comp. × Ap = par comp. × (Ap - Ah) + F F = par comp. × Ah
Par comp. = γ γ h + r H× 2 O × GA
e
e = 0,85 × 9810 × 0,5 + 100
0 254
2π × ,
par comp. = 6.206,43 N/m² F = 6.206,43 × 32,22 × 10 => F = 20 N - 4
b) 1°) duplicar a área do pistão : Como a força F não depende de Ap (F = par comp. × Ah), somente a sua duplicação
não acarreta nenhuma alteração. 2°) reduzir a área da haste à metade (Ah/2) do item a) F = par × Ah F = 6206,43 × 32,22 × 10 / 2 - 4
F = 10 N => o.k.! a proposição está correta.
c) Ge’ = Ge + 20 N = 120 N ⇒ êmbolo desceu z = 1 cm ∴ irá alterar as demais cotas
h’= h - z - z’= 0,5 - 0,01 - z’
z . π.D2e4
= z’. π. d2
4 ∴ 0,01 . π.252
4 = z’. π.52
4 ∴ z’= 0,25m
h’= 0,5 - 0,01 - 0,25 ∴ h’= 0,24 m
156 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos
p’ar =γR . γH2O . h’+ 120
.0,252π4
=0,85 . 9810 . 0,24 + 120
.0,252π4
∴ p’ar = 4445,86 N/m2
F’= par . Ah = 4445,86 . 32,22 . 10-4 ∴ F’= 14,32 N c.q.d. d) Ge = 120 N e o êmbolo subiu z = 1cm :
h’= h + z + z’= 0,50 + 0,01 + z’ z . De
2 = z’. d2 ∴ 0,01 . 252 = z’. 52 ∴ z’= 0,25 m ∴ h’= 0,76 m
par = 120
0 252
4π. ,
+ 0,85 . 9810 . 0,76 ∴ par = 8781,88 N/m2
F = par . Ah = 8781,88 . 32,22 . 10-4 ∴ F = 28,30 N ∴ comprovado que houve aumento da força. 2.14.3.3 Considerando uma linha de ar comprimido instalada em um local de altitude de 3600 m e desejando determinar a variação de pressão entre duas seções de seu escoamento, instalou-se o manômetro diferencial esquematizado a seguir.
157 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos
a) Na situação representada a variação de pressão obtida foi de 1,42 psi (psi=lbf/pol2).
Equacione e comprove este valor. b) Se a linha de ar comprimido estivesse em um local de altitude igual a 13200 m, qual
seria o valor da variação de pressão mencionada no item anterior. c) Considerando a existência de um barômetro no local descrito no item b), qual seria a
sua leitura em mm Hg. Solução: a) pA - pB = γ . h = γR . γH2O . 2 . sen 30º = 1,0 . 1000 . 2 . 0,5 ∴ pA - pB = 1000 kgf/m2 10330 kgf/m2 ⇔ 14,7 psi ∴ x = 1,42 psi , o que implica dizer que a resposta está certa. 1000 kgf / m2 ⇔ x b) Como o que foi determinado é uma variação de pressão (pA - pB) não teríamos
nenhuma variação do valor lido no item a).
c) pz = 0,235 . e-
-9,81287.218
.( )13200 10668−
∴ pz = 0,158 atm. 760 mm Hg ⇔ 1 atm. ∴ x = 120,1 mm Hg x ⇔ 0,158 atm.
158 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos
2.14.3.4 Deseja-se instalar um dispositivo que opera com uma pressão mínima de 7 mca na seção (2) do esquema abaixo. Para verificar se é viável ou não instalá-lo, pergunta-se:
a) Qual a diferença de pressão p1 - p2 ? b) Qual o valor da pressão do gás A? c) Qual é a pressão p1 ? d) Qual a pressão p2 ? Dados: γH2O = 103 kgf/m3 e γR = 0,68027.
Solução: a) p1 - 2,08 . γH2O + 1,47 . γH2O . γR + 0,61 . γH2O = p2
p1 - 2,08 . 1000 + 1,47 . 1000 . 0,68027 + 0,61 . 1000 = p2 p1 - p2 = 470 kgf/m2
b) Pgás A = FA=
−
202010 4.
Pgás A = 104 kgf/m2
c) p1 + 2. γH2O = Pgás A
p1 + 2 . 1000 = 10000 p1 = 8000 kgf/m2
d) p1 - p2 = 470
159 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos
8000 - p2 = 470 p2 = 7530 kgf/m2 = 7,53 mca ∴ pode ser instalado o dispositivo.
2.14.3.5 Sabendo-se que para o dispositivo esquematizado abaixo, os pistões encontram-se em repouso e não existe o escoamento d’água, pede-se: a) a força F1 que age na área frontal do pistão (1); b) a pressão na seção (2); c) a pressão do gás B; d) a pressão do gás A; e) a altura H. Dados: pm 1 = 30 mca; A1 = 10 cm2 ; pm 2 = 15 mca; A2 = 5 cm2 ; Ah = 2 cm2
e γH2O = 1000 kgf/m3.
160 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos
a) F1 = p1 . A1 = pm 1 . A1 = 30 . 103 . 10 .10-4
∴ F1 = 30 kgf
b) Pgás C + γH2O . 5 - γH2O . 2 = p2
15 . 1000 + 1000 . 5 - 1000 . 2 = p2 ∴ p2 = 18000 kgf / m2
c) p2 - γH2O . h = Pgás B
18000 - 1000 . 11 = Pgás B
∴ Pgás B = 7000 kgf/m2
Como o sistema encontra-se em equilíbrio, podemos escrever que: F1 + FAh 2 = FB + FAh 1 FB = Pgás B . A2 = 7000 . 5.10-4 = 3,5 kgf ∴ 30 - Pgás A . (A1 - Ah) + Pgás A . (A2 - Ah) - 3,5 = 0 30 - Pgás A . 8.10-4 + Pgás A . 3.10-4 - 3,5 = 0 5.10-4 . Pgás A = 26,5 ∴ Pgás A = 53000 kgf/m2
152 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos
2.14.3 Exercícios resolvidos 2.14.3.1 Pede-se o módulo da força que deve ser aplicada na haste do pistão
esquematizado abaixo, para que o mesmo permaneça em equilíbrio. Dê o seu valor nos sistemas SI e CGS.
Solução:
-0,03.sen30.γH2O
pgás 1 patm
+ 0,065 . γH2O
patm + 0,065 . γH2O - 0,03.sen30.γH2O = Pgás 1
Considerando escala efetiva, temos: 0 + 0,065 . 103
- 0,03. 0,5 . 103 = Pgás 1
153 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos
Pgás 1 = 50 kgf / m2
F2
Ah = 4 cm2
Ap = 10 cm2
F1
F = ?
F1 = Pgás 1 . Ap = 50 . 10-3 kgf F2 = par comp. . (Ap - Ah) = 10000 . (10-3 - 4.10-4) = 6 kgf Condição de equilíbrio: F1 = F2 + F ∴ F = - 5,95 kgf O sinal negativo indica que o sentido real é contrário ao adotado. Como 1kgf = 9,8 N e 1N = 105 dina, temos: SI → F = 58,31 N CGS → F = 58,31 . 105 dina 2.14.3.2 O dispositivo esquematizado a seguir foi elaborado para ampliação de uma
força. Na situação representada pela figura, ao aplicar-se uma força F = 20 N, sustenta-se um peso Ge = 100 N.
Dados:
γ γr H O= =0 85 98102, ; N / m ; d = 5 cm ; De = 25 cm3
a) Equacione o problema e comprove o valor da força F; b) Desejando-se reduzir a intensidade da força F a metade, apresentou-se duas
alternativas: 1°) duplicar a área do pistão (Ap) 2°) reduzir a área da haste à metade (Ah/2) Mantendo-se os demais dados, analise as duas alternativas e de seu parecer sobre elas;
154 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos
c) Adicionando-se um peso G = 20 N sobre Ge e eliminando-se por alguns
instantes a força F observou-se que o êmbolo desceu z = 1 cm, alterando a cota de 0,5 m, antes de aplicarmos uma nova força F = 14,32 N que restabeleceu o equilíbrio. Equacione, mostre as alterações das cotas e comprove o valor da força F.
d) Se ao invés do pistão ter descido, houvesse subido z = 1 cm, afirma-se que
teríamos um aumento da força F. Comprove esta afirmação, calculando o valor da força F para a nova situação de equilíbrio.
Considere Gtotal = Ge + G = 120 N
Observação: Considera-se Ah = 32,22 cm² na solução, tanto no item c como
do item d..
Solução: a) p1 - p2 = γ × h par comp. - pe = γ γ × h r H× 2O
O par comp. = γ γ × h + r H× 2GA
e
e
pelo conceito clássico de pressão => p e pela estática dos
fluidos => ∑ ∴ F
FnA
= ∴ × Fn = p A
Fcorpo = 0 1 = F2 + F, onde: F1 = par comp. × Ap
155 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos
F2 = par comp. × (Ap - Ah) par comp. × Ap = par comp. × (Ap - Ah) + F F = par comp. × Ah
Par comp. = γ γ h + r H× 2 O × GA
e
e = 0,85 × 9810 × 0,5 + 100
0 254
2π × ,
par comp. = 6.206,43 N/m² F = 6.206,43 × 32,22 × 10 => F = 20 N - 4
b) 1°) duplicar a área do pistão : Como a força F não depende de Ap (F = par comp. × Ah), somente a sua duplicação
não acarreta nenhuma alteração. 2°) reduzir a área da haste à metade (Ah/2) do item a) F = par × Ah F = 6206,43 × 32,22 × 10 / 2 - 4
F = 10 N => o.k.! a proposição está correta.
c) Ge’ = Ge + 20 N = 120 N ⇒ êmbolo desceu z = 1 cm ∴ irá alterar as demais cotas
h’= h - z - z’= 0,5 - 0,01 - z’
z . π.D2e4
= z’. π. d2
4 ∴ 0,01 . π.252
4 = z’. π.52
4 ∴ z’= 0,25m
h’= 0,5 - 0,01 - 0,25 ∴ h’= 0,24 m
156 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos
p’ar =γR . γH2O . h’+ 120
.0,252π4
=0,85 . 9810 . 0,24 + 120
.0,252π4
∴ p’ar = 4445,86 N/m2
F’= par . Ah = 4445,86 . 32,22 . 10-4 ∴ F’= 14,32 N c.q.d. d) Ge = 120 N e o êmbolo subiu z = 1cm :
h’= h + z + z’= 0,50 + 0,01 + z’ z . De
2 = z’. d2 ∴ 0,01 . 252 = z’. 52 ∴ z’= 0,25 m ∴ h’= 0,76 m
par = 120
0 252
4π. ,
+ 0,85 . 9810 . 0,76 ∴ par = 8781,88 N/m2
F = par . Ah = 8781,88 . 32,22 . 10-4 ∴ F = 28,30 N ∴ comprovado que houve aumento da força. 2.14.3.3 Considerando uma linha de ar comprimido instalada em um local de altitude de 3600 m e desejando determinar a variação de pressão entre duas seções de seu escoamento, instalou-se o manômetro diferencial esquematizado a seguir.
157 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos
a) Na situação representada a variação de pressão obtida foi de 1,42 psi (psi=lbf/pol2).
Equacione e comprove este valor. b) Se a linha de ar comprimido estivesse em um local de altitude igual a 13200 m, qual
seria o valor da variação de pressão mencionada no item anterior. c) Considerando a existência de um barômetro no local descrito no item b), qual seria a
sua leitura em mm Hg. Solução: a) pA - pB = γ . h = γR . γH2O . 2 . sen 30º = 1,0 . 1000 . 2 . 0,5 ∴ pA - pB = 1000 kgf/m2 10330 kgf/m2 ⇔ 14,7 psi ∴ x = 1,42 psi , o que implica dizer que a resposta está certa. 1000 kgf / m2 ⇔ x b) Como o que foi determinado é uma variação de pressão (pA - pB) não teríamos
nenhuma variação do valor lido no item a).
c) pz = 0,235 . e-
-9,81287.218
.( )13200 10668−
∴ pz = 0,158 atm. 760 mm Hg ⇔ 1 atm. ∴ x = 120,1 mm Hg x ⇔ 0,158 atm.
158 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos
2.14.3.4 Deseja-se instalar um dispositivo que opera com uma pressão mínima de 7 mca na seção (2) do esquema abaixo. Para verificar se é viável ou não instalá-lo, pergunta-se:
a) Qual a diferença de pressão p1 - p2 ? b) Qual o valor da pressão do gás A? c) Qual é a pressão p1 ? d) Qual a pressão p2 ? Dados: γH2O = 103 kgf/m3 e γR = 0,68027.
Solução: a) p1 - 2,08 . γH2O + 1,47 . γH2O . γR + 0,61 . γH2O = p2
p1 - 2,08 . 1000 + 1,47 . 1000 . 0,68027 + 0,61 . 1000 = p2 p1 - p2 = 470 kgf/m2
b) Pgás A = FA=
−
202010 4.
Pgás A = 104 kgf/m2
c) p1 + 2. γH2O = Pgás A
p1 + 2 . 1000 = 10000 p1 = 8000 kgf/m2
d) p1 - p2 = 470
159 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos
8000 - p2 = 470 p2 = 7530 kgf/m2 = 7,53 mca ∴ pode ser instalado o dispositivo.
2.14.3.5 Sabendo-se que para o dispositivo esquematizado abaixo, os pistões encontram-se em repouso e não existe o escoamento d’água, pede-se: a) a força F1 que age na área frontal do pistão (1); b) a pressão na seção (2); c) a pressão do gás B; d) a pressão do gás A; e) a altura H. Dados: pm 1 = 30 mca; A1 = 10 cm2 ; pm 2 = 15 mca; A2 = 5 cm2 ; Ah = 2 cm2
e γH2O = 1000 kgf/m3.
160 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos
a) F1 = p1 . A1 = pm 1 . A1 = 30 . 103 . 10 .10-4
∴ F1 = 30 kgf
b) Pgás C + γH2O . 5 - γH2O . 2 = p2
15 . 1000 + 1000 . 5 - 1000 . 2 = p2 ∴ p2 = 18000 kgf / m2
c) p2 - γH2O . h = Pgás B
18000 - 1000 . 11 = Pgás B
∴ Pgás B = 7000 kgf/m2
Como o sistema encontra-se em equilíbrio, podemos escrever que: F1 + FAh 2 = FB + FAh 1 FB = Pgás B . A2 = 7000 . 5.10-4 = 3,5 kgf ∴ 30 - Pgás A . (A1 - Ah) + Pgás A . (A2 - Ah) - 3,5 = 0 30 - Pgás A . 8.10-4 + Pgás A . 3.10-4 - 3,5 = 0 5.10-4 . Pgás A = 26,5 ∴ Pgás A = 53000 kgf/m2
Capítulo 7
ESCOAMENTO PERMANENTE DE FLUIDO INCOMPRESSÍVEL EM CONDUTOS FORÇADOS
No Capítulo 4 apresentou-se a equação da energia com essas hipóteses, resultando: :
2,1p2M1 HHHH +=+
Essa equação permite determinar ao longo do escoamento alguma das variáveis que contém, isto é: HM, v, p ou z. Entretanto, esta tarefa somente será viável se for conhecida a perda de carga
2,1pH ao longo do escoamento.
Este capítulo dedica-se, fundamentalmente, ao estudo desse termo para condutos forçados, estabelecendo as bases do cálculo de instalações hidráulicas. A definição das linhas da energia e piezométrica estabelece uma maneira interessante de visualização do andamento da energia e da pressão ao longo do escoamento, que pode facilitar a solução de problemas voltados à solução de instalações. Exercício 7.1
1,0
1,0
f11
211
00
200
p10
hzp
g2v
zp
g2v
HHH
++γ
+α
=+γ
+α
+=
Como se trata de um gás, a diferença de cotas pode ser desprezada desde que esta não seja muito grande. Considerando a mina como um reservatório de grandes dimensões, v0 ≅ 0 e, na escala efetiva p1 = 0, obtêm-se:
H1
H1
p22
H
2110
DLf
pg2v
DLfg2
vg2
vDLf
g2vp
+α
γ=
+α=→+
α=
γγ
Como f = f(Re) e Re = f(v), o problema deverá ser resolvido por tentativas.
.dianteporassimefeRvfseadotaffse,resolvidoestáffSe
fRevfseAdota′′→′→′→′−→′≠=′
′→→→−
Uma forma de obter rapidamente o resultado, consiste em adotar o f correspondente à parte
horizontal da curva de k
DH calculado para o problema. Observa-se que se o Re for
relativamente grande, o f estará nessa parte da curva, o que evitará novas tentativas.
m6,06,04
6,06,04A4D
Pa000.22,0000.10hp
H
OHOH0 22
=×××
=σ
=
=×=γ=
Logo:f3,8331
150.3
6,0500f1
7,12000.220
v+
=+
×=
023,0fseadotaRouseMoodydo60010
6,0k
D:Como
3H =−−→==
−
55
H 105,710
6,04,12vDReseverificae
sm4,12
023,03,8331150.3v ×=
×=
ν=−=
×+=
−
Ao observar o Moody-Rouse nota-se que o Re é suficientemente alto para que se possa adotar o f correspondente à parte horizontal da curva de DH/k (escoamento hidraulicamente rugoso). Nesse caso, confirma-se o f e, conseqüentemente, o valor da velocidade. Assim:
sm5,46,06,04,12vAQ
3=××==
Exercício 7.2
m32024,41
03,0202,01
g2v
DL
DL
f1h
g2vk
g2v
DL
fg2
vhzHHH
m105,1000.203,0
000.2D
k000.2k
D:RouseMoody
02,0f
1027,110
03,024,4vDRe
m3,137,1125hm7,112024,45
03,01202,0H
sm24,4
03,01034
DQ4v
g2vk
DLfH
m2510310
1075,0QNHQHN
HHhzz
HHHH
22
H
2,1
H
2,10
2
1s
2
H
2,12
002,0p20
5HH5
6
2
7,0p
2
3
2
2
sH
7,0p
34
3
BB
7,0pB01
7,0p7B0
=×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+×+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
++==⇒+=
×===⇒=−⎪⎭
⎪⎬⎫
=
×=×
=ν
=
=−=Δ⇒=×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+×=
=×π××
=π
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
=×××
=γ
=⇒γ=
−=Δ=−
+=+
−−
−
−
∑
Exercício 7.3
a) Obviamente a máquina é uma bomba, pois .pp entradasaída >
γ−
=→=+ esBsBe
ppHHHH
( )m2,25
000.101052,2H
Pa1052,2101036,12ppp22p5
B
545essO2HHge
=×
=
×=−××=−→=×γ−×γ+
( )
04,02238
2,191,020
Lv
hgD2f
g2v
DLfh
m2,1962,25hHh
m62025,35,132102h
sm2
1,0
10164
D
Q4v
g2vkhehhH
HHHHHH)b
22fH
2
Hf
spf
2s
2
3
2
2sssfp
pBp8B0
8,0
8,0
8,08,0
=×
××==→=
=−=−=
=+×++×=
=×π
××=
π=
=+=
=→+=+
∑∑
∑∑∑−
Exercício 7.4
kPa5,15Pa1055,1pm55,12045,15,1
06,02054,015,05,2
p
g2vk
DL
f1zzp
g2vk
g2v
DL
fzp
g2v
zHHH)b
sL1,4
sm101,4
406,045,1
4DvQ
fdevaloroconfirmaqueo107,810
06,045,1vDRe:oVerificaçã
sm45,1
5,1506,04054,0
220v
054,0f:seadotaRouseMoodydo4015,06
kDCom
kDLf
gH2v
g2vk
DLfH
m2HH5,05,2HHH)a
4A
2A
2A
1s
A,1A0
A
A
1
2
s
2A,1
AA
2A
0A,0pA0
33
22
46
s
8,0p2
s8,0p
8,0p8,0p8,0p80
=×=⇒=×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+×+−−=
γ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−−=
γ
+++γ
+=⇒+=
=×=×π
×=π
=
×=×
=ν
=
=+×
×=
=−−→==
+=⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
=⇒+=⇒+=
∑
∑
∑∑
−
−
Exercício 7.5
4,0
4,0
p44
B
p4B0
Hzp
H
HHHH)a
++γ
=
+=+
m6,17410
102424zp
HH
m24101010
1038,0QN
HQH
N
4
34
4Bp
34
3BB
BB
BB
4,0=−
×−=−
γ−=
=××
××=
γη
=→η
γ=
−
( )
01,01,510
6,205,0102
vL
gDh2f
g2v
DL
fh
m6,2156,17h
m15201,55,11
g2vkkkh
sm1,5
05,0
10104
D
Q4v
g2vkh
hHhhh2,1H)b
223,1
f23,1f
f
22ssss
2
3
2
2ss
spf3
1s3,1fp
3,13,1
3,1
321
4,04,0
=×
×××==→=
=−=
=×=++=
=×π
××=
π=
=
−=→+=
∑
∑∑
∑∑
−
c) Como os dois tubos têm o mesmo diâmetro e material e o fluido é o mesmo, tem-se o mesmo f.
m9,29201,53
05,010001,0H
g2vk
DL
fhhH
2p
29
5s
9,59
5sfp
10,4
9,510,4
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+×=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+= ∑∑
kW1,51000
19,05,56101010QHN
m5,569,298410
1024H
HHzp
HHHH)d
34TTT
4
3T
pT44
p10T4
10,4
10,4
=×××××=ηγ=
=−+×
=
=−+γ
+=−
−
A vazão é considerada a mesma, pois para p4 = cte, é necessário que o nível se mantenha constante.
( ) m5,7255121001,005,0k
fDL
g2vk
g2v
DL
fh)e
seq
2s
2eqfeq
=×+×+==
==
∑∑
Exercício 7.6
15,96,0
11,111,61
HH
HQHQ
NN
m61160HHHHH
m1,119,012HHHHH
BTT
B
B
TTTT
B
BBTB
Bj,fpjBf
Td,apdTa
=×=ηη
=⇒ηγ=η
γ⇒=
=+=⇒+=+
=−=⇒+=−
Exercício 7.7
Como no resto do circuito a perda de carga é desprezível:
sm01,0
13510
101875,0HN
QQH
N
m135HH
3
4
3
B
BB
B
BB
pB A,C
=×
××=
γη
=→η
γ=
==
A velocidade média no trecho CA será:
( ) ( )
sm44,3
1091,2
01,0v
m1091,2015,0281,04
d28D44
d284DA
AQv
3
23222222
=×
=
×=×−π
=−π
=π
−π
=
=
−
−
Imaginando um tubo equivalente de C até A:
( )
m108,225101,7
25D
k25k
DRouseMoodyDo
1044,210
101,744,3vDRe
0675,044,324
135101,720fvL
hgD2f
g2v
DLfh
m101,7015,0281,0
1091,24d28D
A4A4D
33
HH
57
3H
3
2A,C
fH2
Hf
33
H
−−
−
−
−
−−
×=×
==→=−
×=××
=ν
=
=×
×××=→=→=
×=×+π××
=π+π
=σ
=
Exercício 7.8
5,0p50 HHH +=
m1,112083,23,12
15,090024,01Hz
sm83,2
15,010504
DQ4v
sL47
sm107,4
415,07,2
4DvQ
foconfirmand108,31005,1
15,07,2vDRe:oVerificaçã
sm7,2
3,1215,0
90024,01
1020v
024,0fseadotaRouseMoodydo579109,25
15,0kD
kDLf1
gz2v
g2vk
DLf1z
g2vk
g2v
DLf
g2v
z
2
0
2
3
2
32
22
56
3
s
02
s0
2
s
225
0
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+×+==′
=×π××
=π
′=′
=×=×π
×=π
=
×=××
=ν
=
=++
×=
=−−→=×
=
++=⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=⇒++=
−
−
−
−
∑∑∑
Exercício 7.9
2,1
fH
f2
Hf
4
32
1f
f22
222
11
211
p21
fL
hgD2v
.vcasono,iávelvaroutraobterse
pararessãoexpautilizarsepodeconhecidoéhseeg2
vDLfh,mas
m2310
1050zp
h
hzp
g2v
zp
g2v
HHH
2,1
2,12,1
2,1
2,1
2,1
=
−=
=−×
=−γ
=
++γ
+α
=+γ
+α
+=
Observa-se que não se tem f , de modo que não é possível calcular v, bem como Re e, conseqüentemente, não se pode obter f do Moody-Rouse. Este exemplo é do tipo: temos hf, queremos Q. Nesse caso pode-se calcular fRe .
2,1
fHH2
2,1
fHHL
hgD2D
vL
hgD2vDfRe 2,12,1
ν=
ν=
Observa-se que fRe pode ser calculado sem que v seja conhecido, desde que se conheça fh , que é o caso do exercício.
( )RouseMoodydoobtidofundidoferrodok3861059,2
1,0k
D
1016,86
21,020
10
1,0fRe
m630sen
3
30sen
zL
4H
46
oo2
2,1
−=×
=
×=××
=
===
−
−
Com esses dois valores obtém-se do Moody-Rouse que f = 0,026
sL40
sm04,0
41,006,5
4DvQ
sm06,5
6026,021,020v
322==
×π×=
π=
=×××
=
Exercício 7.10
sm27,1
4162,1
4DvQ
sm62,1
000.8019,020120v
019,0fRouseMoodydo000.110
1kD
102,2000.8
1202010
1fL
Dgh2DfRe
fLgDh2
vg2
vDLfhm20hhzz
322
3
56
f
f2
fff21
=×π
×=π
=⇒=×××
=
=−⇒==
×=××
=ν
=
=⇒=→=⇒=−
−
−
Exercício 7.11
1,0
2,0
f11
211
V00
200
p1V0
hzp
g2v
Hzp
g2v
HHHH
++γ
+α
=++γ
+α
+=+
Desprezam-se as perdas singulares e admite-se o reservatório de grandes dimensões.
300010
3k
D
102105,1
310vDRe
g2v
DLfh
sm10
3
714
D
Q4vv
Pa20002,0000.10hp
3H
65
H
2
Hf
221
OHOH0
1,0
22
==
×=×
×=
ν=
=
=×π
×=
π==
=×=γ=
−
−016,0f =→
kW4,50000.175,0417113
000.11QH
NV
VV =
×××
=η
γ=
Exercício 7.12
kW1,181075,0
6,351082,310QHN
sm1082,3
41,087,4
4D
vQ
m6,35152087,45,0
1,0150026,0
2066,8H
026,0f386
1059,21,0
kD
109,410
1,087,4DvRe
g2v
kDLf
g2v
HzHHHH
sm87,4
105,766,8
DD
vvsm66,8
1521015v
y2gxv
vxg
21y
gt21y
vtx
324
B
BB
32
222
2
22
B
4
56
2
22
1s
2s
B0s,0psB0
22s
s2s
2
2
2
=××××
=η
γ=
×=×π
×=π
=
=−×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+×+=
=⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=×
=
×=×
=ν
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=+⇒+=+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛×=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=⇒=×
=
=⇒=⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
=
=
−−
−
−
−
Exercício 7.13
7,3p3,2p7,3p3,2p1,0p7,0p
7,0p7,0p7B
7,0p77
277
B00
200
7,0p7B0
HHHHHH
H8HzH
Hzp
g2v
Hzp
g2v
HHHH
+=++=
+=+=
++γ
+α
=++γ
+α
+=+
m411320033,150
2010H
phz
g2v
H
m33,120
103
50016,0h
2
V
01,0f1
211
V
2
2,1f
=−++=
γ−++
α=
=××=
0195,0f600.1
10508,0
kd
1091,110
08,039,2dvRe
019,0f000.2
1051,0
kD
1053,110
1,053,1DvRe
sm39,2
08,010124
dQ4v
sm53,1
1,010124
DQ4v
g2v
kkkkd
Lf
g2v
DL
fH
g2v
kg2
vk
g2v
kg2
vk
g2v
dL
fg2
vD
LfH
6,3
5
56
6,36,3
3,2
3
53
3,23,2
2
3
27,3
2
3
23,2
27,3
6s5s4s3s7,3
3,2
23,23,2
3,27,0p
27,3
6s
27,3
5s
27,3
4s
27,3
3s
27,37,3
7,3
23,23,2
3,27,0p
=→
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=×
=
×=×
=ν
=
=→
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=×
=
×=×
=ν
=
=×π
××=
π=
=×π××
=π
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++++=
+++++=
−
−
−
−
−
−
CV2CV9,182,075
73,91012000.175QH
N
m73,973,18H
m73,12039,215,05,01,0
08,0150195,0
2053,1
1,04019,0H
3
B
BB
B
22p 7,0
⇒=×
×××=
ηγ
=
=+=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+++++××=
−
Exercício 7.14
kW1,1107,0
3,12108000.8QHN)b
m3,1220188,1
1,070064,010H
064,0000.164
Re64f000.1
101,01vDRe
sm1
1,01084
DQ4v
g2vk
DLfzHHHHH)a
33
B
BB
2
B
4
2
3
2
2
s0BC,ApCBA
=××××
=η
γ=
=×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+×+=
===→=×
=ν
=
=×π××
=π
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=⇒+=+
−−
−
−
∑
Exercício 7.15
E,0pE0 HHH +=
m5,75,12
101050p
m5,1210610
000.175,01QN
H
Hpp
m4,42006,35,06,4
g2vk
pp
m6,42006,3
05,05002,014
g2v
DL
fpp
m142006,35,0
2006,32
1010127
g2vk
g2vh
pp
kPa127000.11107,12p
m7,1222006,35,05,0
05,050202,0
101050
2006,3p
sm06,3
05,01064
DQ4vv
g2vkk
DL
fp
g2v
hp
4
3F
34BB
B
BEF
22
D,CCD
22C,BBC
22
4
32
Bs
20B
40
2
4
320
2
3
2E
2
D,CsBsE,BE
2EE0
=+×−
=γ
=××××
=γ
η=
+γ
=γ
=−=−γ
=γ
=××−=−γ
=γ
=×−−+×
=−−+γ
=γ
=××=
=−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++
××+
×−+=
γ
=×π××
π==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
γ+
α=+
γ
−
−
Para obter a linha da energia , basta somar m45,0g2
v2= em cada
γp .
Exercício 7.16
026,0f
1059,21,0
kD
1055,210
1,055,2vDRe
sm27,1
255,2
2vv
sm55,2
1,010204
DQ4v
g2v
DL
4ffh0h
g24v
DLf
g2v
DLfh
g24v
DLfh
g2v
DLfz
g2v
DLfz
4
56
2
3
2
2
ss
22
s
2
s
2
2
=→
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
×=
×=×
=ν
=
===′⇒=×π××
=π
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′
−=⇒=−×
′−⇒+×
′=+′
′=Δ
=Δ
−
−
−
m6,622055,2
1,0000.1
4027,0026,0h
027,0f1027,1DveR
2
s
5
=××⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
=′⇒×=ν′
=′
Exercício 7.17
3301052,1
05,0kD
sm10
10
1010g
4
26
4
3
=×
=
=×
=γμ
=ρμ
=ν
−
−−
Para esse valor de kD o escoamento torna-se hidraulicamente rugoso para 5104Re ×≅ e nesse
caso f = 0,026.
kPa500Pa105208
05,030026,010
g2v
DLfp
sm8
05,010410
DRevvDRe
52
42
56
=×=×××=γ=Δ
=××
=ν
=→ν
=−
Exercício 7.18
sm26,3
0625,010104
DQ4v
g2v
kD
LfH
m47,02027,1
1,0300195,0H
0195,0f174.2
106,41,0
kD
1027,110
1,027,1DvRe
sm27,1
1,010104
DQ4v
g2v
DL
fH
HHzp
H
3
2cRe
cRe
2cRe
cRes
cRe
cRetotcRecRep
2
Sucp
Suc
5Suc
56
SucSucSuc
2
3
2Suc
Suc
2Suc
Suc
SuctotSucSucp
cRepSucp99
B
=×π
××=
π=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
=××=
=→
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=×
=
×=×
=ν
=
=×π××
=π
=
=
+++γ
=
−
−
−
−
∑
kW1,7107,0
50101010QHN
m50171310
102,0H
m1756,1647,0H
m56,162026,311
0625,06302,0H
02,0f1359
106,40625,0
kD
10210
0625,026,3DvRe
334
B
BB
4
6
B
9,0p
2
cRep
cRe
5cRe
56
cRecRecRe
=××××
=η
γ=
=++×
=
≅+=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+×=
=→
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=×
=
×=×
=ν
=
−−
−
−
Exercício 7.19
m45,0203
04,0202,0
g2v
D
Lfh)c
m6021880LLLL
m80302,0
1804,020L
sm3
04,0108,34
DQ4v
m183856HHHfv
gDH2L
g2v
DL
fH)b
02,018
04,09L
Dkf
g2vk
g2v
D
Lf)a
22eqs
eqeqtot4,1
2tot
2
3
2
41p
2p
tot2
totp
eq
s
2s
2eq
33
3
4,1
4,14,1
2
2
22
=××==
=−−=−−=
=×
××=
=×π
××=
π=
=−=−=
=→=
=×
==
=
−
Exercício 7.20
kPa84,912,9436,2pppsm27,1
1,010104
DQ4v
g2vk
g2v
DLf
pg2
vz0
HHH
atmabseefe
2
3
2
2
s
2e
2
3,0p30
−=−=−=
=×π××
=π
=
++γ
++=
+=
−
∑
m6,7z2027,116
2027,1
1,06z02,0
10840.91
2027,1z0
02,0f174.2
106,41,0
kD
1027,110
1,027,1vDRe
22
4
2
5
56
=⇒×+×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +×+−+=
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=×
=
×=×
=ν
=
−
−
Exercício 7.21
Pelo andamento da linha da energia o escoamento é de (B) para (A).
A,B
A,B
pAMB
pAMB
HzHz
HHHH)a
+=+
+=+
Pela diferença da linha da energia para a linha piezométrica:
sm22,020v2,0
g2v2
=×=→=
3861059,21,0
kD
10210
1,02vDRe
4
56
=×
=
×=×
=ν
=
−
−
)turbina(m8,82,515HzzH
m2,5202
1,0100026,0
g2v
DLfH
A,B
A,B
pBAM
22p
−=+−=+−=
=××==
kW04,1000.1175,08,8107,1510QHN
sL7,15
sm107,15
41,02
4DvQ)b
34TTT
33
22
=×××××=ηγ=
=×=×π
×=π
=
−
−
m135202
1,025026,0115
p
g2v
DLf1z
p
g2v
DLf
pg2
vz
HHH)c
2C
2B
C
2C
2C
B
pCB C,B
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×+−=
γ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
γ
+γ
+=
+=
Exercício 7.22
g2v
D1f
Lh
45tg)a2
fo ==
f = 0,026
kW26,11059,0
8,33102,210QHN
m8,338,2913H
m8,2912128,05H
m1245LtgH
Hm12110
103,111hpp
phhp
ppH
m8,02047,4
025,08,0025,0
g2v
DLfH
m5HHHHHH
Hg2
vzHHHHH)b
sm102,2
4025,047,4
4DvQ
sm47,4
025,01025,020
f45gDtg2v
334
B
BB
B
5,0p
o5,4p
4,3p4
5
O2H
Hg434HgO2H3
434,3p
22
3,2p
105,0p1,0p10
5,0p
25
5B5,0p5B0
33
22
o
=××××
=η
γ=
=++=
=+++=
==
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
××=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
γ
γ=
γ−
⇒=γ−γ+
γ−
=
=××==
=−=⇒+=
++=⇒+=+
×=×π
=π
=
=××
==
−−
−
Exercício 7.23
sm109,7
401,01,0
4DvQ
sm1,0
1032
0032,001,01032
tggDv
tggD
v32tgg2
vvD64
vD64
Re64farminla
tggD2
fvtgLg2
vDLf
tgLhL
htg
36
22
6
22
2
2
22
ff
−
−
×=×π
×=π
=
=×
××=
να
=
α=ν
→α=ν
ν==→
α=→α=
α=→=α
Exercício 7.24
gDv32
g2Dv
vD64
g2Dfv
Lh
tg 2
22f ν
=×
ν=
×==α
280.1125,0
120vgh2
kg2
vkh
m11002,0
125,010010322h
gDvL322
g2v
DL
Dv642
g2v
DLf2h
m2hhsm125,0v
sm25,0
1032100
202,010
32tggDv
22s
s
2
ss
2
5
s
2
22
s
fs
5
22
=×
=′
=⇒′
=
=×
×××−=
′ν−=
′′ν
−=′
′−=
=+
=′⇒=×
××=
να
=
−
−
Exercício 7.25
m8,1296,32,0H
m98,11,0
5001,0g2
vDLfh
m6,38,12g2
vkh
energiadalinhadam2,0h
hhhH)bsL1,47
sm0471,0
41,06
4DvQ
sm68,120vm8,1
g2v)a
1,0
22
1
211,0
p
2f
2ss
s
fssp
322
2
=++=
=××==
=×==
→=
++=
==×π
×=π
=
=×=→=
kW5,1000.119,06,30471,010QHN
m6,36,36,128,16,14hHg2
vpH
hHg2
vH
p)d
m6,148,128,1p
x
Hg2
vp)c
4TTT
sp2
0T
sp
21
T0
0
p
210
21,0
21,0
1,0
=××××=ηγ=
=+−−=+−−γ
=
−+=−γ
=+=γ
=
+=γ
Exercício 7.26 Sentido de (5) para(0)
m8,40000.8
103244204p
Hg2
vh
Hg2
vh
pHHH
m44204
1,0220025,0
g2v
dL
fH
025,04200
401,020fg2
vd
Lfh
sm4
1,0104,314
dQ4v
m402,0200hL
htg)a
325
3,5p
22
3,5p
225
3,5p35
22tot
3,43,5p
23,4
2tot
3,43,4f
2
3
2
3,4f3,4
3,4f
=×
−+=γ
−+=
+=+γ
⇒+=
=××==
=×××
=⇒=
=×π
××=
π=
=×=⇒=β
−
b) A máquina é uma bomba, pois precisa elevar a pressão.
( )
kW10107,0
28104,31000.8QHN
m282048,820H
HzHg2
vHHHH
m8,88,08hhH
m8,020116
g2v
kh
m8201
2,0000.1032,0
g2v
DLfh
032,0000.264
Re64f
arminla000.210
2,01DvRe
sm1
20104
Ddvv)c
33
B
BB
2
B
0,2p0M
23
0,2p0M3
1,2f1,2f0,2p
221,2
1s1s
221,2
1,21,2f
1,2
41,2
1,2
22
1,2
=××××
=η
γ=
=−+=
+=+⇒+=+
=+=+=
=×==
=××==
===
=×
=ν
=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛×=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
−−
−
Exercício 7.27
m04,0004,010tgLh
zHg2
vpHg2
vzp
HHH
4,1f
14,1p
21
4,1p
24
11
4,1p41
=×=α=
−+=γ
→+=+γ
+=
m75004,0
1,02,0tg
hhLtgLhhh
m2000004,08Lm8tgLh
m80157,010
8,01057,1H
sm0157,0
41,02
4DvQ
sm22,020v2,0
g2v
QN
HQH
N
hHHHHHH
Pa1046,1pm46,1234,02,0p
m34,01,02,004,0H
m1,02,05,0g2
vkh
m2,02,01g2
vkh
3s2seqeqeqf3s2s
6,5f
4
3
B
322
2
BBB
B
BB
6,5f6,5pB6,5p6B4
41
1
4,1p
2
3s3s
2
2s2s
=+
=α
+=→α==+
==→=α=
=×
××=
=×π
×=π
=
=×=→=
γη
=→η
γ=
==→+=+
×−=→−=−+=γ
=++=
=×==
=×==
Exercício 7.28
( ) ( )
75,0k8,02047,4k
2047,4049,08,0
g2v
kg2
v049,0
g2v
kg2
vpp8,0
ppg2
vk
pg2
vpg2
v
sm47,4120v18,02,0
g2v
2,0pp
:caPiezométriLinha
8,0pp
g2v
)1(na)2(
)2(8,0pp
oup108,0p:Manômetro
p101028,0pp8,0pp8,08,0p
)1(pp
g2v
:Pitot
v222,0vv5,41045v
AA
vvAvAv
s
2
s
221
s
21
21
s
222112
21
s2
221
21
1
2112
1221
202
40
244
02m02m0
0121
12221
2212211
=⇒=+×⇒=+
+=γ
−γ
++γ
−γ
⇒+γ
+=γ
+
=×=⇒=+=⇒=γ
−γ
+γ
−γ
=
+γ
=γ
+×=
+−×=⇒+γ−γ=⇒=×γ−×γ+
γ=
γ+
=⇒===⇒=
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE SANTA CATARINA – UNIDADE
SÃO JOSÉ - ÁREA DE REFRIGERAÇÃO E AR CONDICIONADO
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – MECÂNICA DOS FLUIDOS
Material digitado pelo aluno Guilherme Lima - RAC
(1) Qual é a força F1 necessária para o equilíbrio?
Solução:
NFFFgmF
A
F
A
F carro 5,4905
5,2452
5
4905
5,05
81,9.500
5,055,01
111
2
2
1
1
(2) Uma caixa d’água é enchida em 30 minutos. Qual a vazão da torneira se a caixa tem
2m3 ?
Solução:
hmhtempo
mvolumevazão /4
0,5
2 33
(3) Calcule a velocidade da água no ponto 2.
Solução:
smVAVAV 4001,0
2,0.222211
(4) Qual a velocidade de saída da água no ponto 2?
Solução:
Considerando-se a equação de Bernoulli e uma linha de corrente ligando 1 e 2, tem-se:
2
2
221
2
11
22gz
Vpgz
Vp
Como a densidade ‘ ’ da água é a mesma, 1V = 0 e a pressão a qual a água está submetida é a
mesma em 1 e 2, temos a equação de Bernoulli modificada:
smzzgV 38,105,0681,9.22 212
(5) Qual o tempo para encher o tanque?
Solução:
Volume da caixa: 0,8x0,8x2 = 1,28 m3 e ainda:
Vazão na tubulação = Velocidade x Área da seção:
smDV
Q 322
0012,04
)032,0.(14,3.5,1
4
, Agora:
1 segundo ----------------------------- 0,012 3m
‘x’ segundos -------------------------- 1,28 3m
10660012,0
28,1x
Tempo = 1066 segundos = 17,7 minutos.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 – Qual a pressão manométrica dentro de uma tubulação onde circula ar se o desnível do nível do mercúrio
observado no manômetro de coluna é de 4 mm?
Solução:
Considere: densidade do Mercúrio = ρhg = 13600 kg/m3 e aceleração gravitacional g = 9,81 m/s2
Observando o Princípio de Stevin, calculamos a pressão manométrica da tubulação através da seguinte
equação:
pman = ρhg . g . h = 13600 x 9,81 x 0,004 = 533,6 Pa
A pressão absoluta é a soma dessa pressão com a pressão atmosférica (101325 Pascals).
2 – Qual a vazão de água (em litros por segundo) circulando através de um tubo de 32 mm de diâmetro,
considerando a velocidade da água como sendo 4 m/s? Lembre-se que 1 m3 = 1000 litros
Solução:
Primeiramente, calculamos a área da secção transversal do tubo:
Agora, podemos determinar a vazão no tubo:
Vazão = V . A = 4 x 0,000803 = 0,0032 m3 /s x 1000 = 3,2 l/s
3 – Qual a velocidade da água que escoa em um duto de 25 mm se a vazão é de 2 litros/s?
Solução: Vazão = V . A
Logo: V = Vazão / A
Logo, V = 0,002/0,00049 = V = 4,08 m/s
4 – Qual a velocidade da água através de um furo na lateral de um tanque, se o desnível entre o furo e a
superfície livre é de 2 m?
Solução:
Utilizando a equação de Bernoulli simplificada e considerando z1 = 2 m e g = 9,81 m/s2, podemos calcular a
velocidade da água pela equação a seguir:
5 – Qual a perda de carga em 100 m de tubo liso de PVC de 32 mm de diâmetro por onde escoa água a
uma velocidade de 2 m/s?
Solução:
Inicialmente devemos calcular o Número de Reynolds:
Com o número de Reynolds e o Diagrama de Moody, obtemos para o tubo liso que o fator de atrito f = 0,02.
6 – Qual a potência teórica da bomba para a instalação esquematizada a seguir, considerando-se que a vazão
de água transportada é de 10 m3 /h?
Solução:
Cálculo do fluxo de massa:
10 m3 /h / 3600 s = 0,0027 m3/s x 1000 = 2,77 l/s, ou seja, 2,77 kg/s
Cálculo de perdas localizadas – Conforme tabela da apostila para o PVC e para o metal:
Lsucção = Lvalv. pé + Lcurva + Ltrecho reto
Lsucção = 18,3 + 9 + 1,2 = 28,5 m
Lrecalque = Lrg + Lvr + Ltrecho reto + 3 Lcurvas + Lsaída
Lrecalque= 0,4 + 6,4 + 33 + (3 x 0,9) + 1,5 = 44 m
Tendo a área de cada secção e a vazão (0,00277 m3/s), a velocidade de escoamento da água no ponto 2 (saída)
é determinada por:
V2= Vazão / Área 2 = 1,371 m/s
Já a velocidade da sucção é determinada pela equação:
V1= Vazão / Área 1 = 2,43 m/s
Com as velocidades podemos determinar os números de Reynolds para a sucção e para o recalque:
Re = V . D / n onde n = 1,006 x 10-6
Re sucção = 9,2 x 104
Re recalque = 6,9 x 104
Com Reynolds e sabendo que na sucção o tubo é liso e no recalque o tubo tem rugosidade estimada da forma
e/D = 0,03, encontramos os valores dos fatores de atrito f da sucção e do recalque.
Com os valores de f podemos calcular a perda de energia na sucção e no recalque:
D
VLfe
.2
.. 2
Logo temos que e 1 = 40,85 m2/s2 e que e 2 = 47,21 m2/s2
O valor da perda total de energia é de 88,06 m2/s2
Finalmente, após as devidas simplificações na equação de Bernoulli, podemos calcular a potência da bomba
da seguinte forma:
WegzV
mbW t 5,70806,881781,92
371,1.77,2
2
2
2
2
2
Agora basta acessar os sites dos fabricantes de bombas e selecionar nos catálogos qual a mais conveniente
para essa faixa de vazão e potência.
7- Qual a perda de carga no tubo?
Considere: tubo liso PVC
υágua = 1,006 x 10-6 m2/s
Vágua = 5 m/s
ρágua = 1000 kg/m3
Cálculo do número de Reynolds:
Cálculo da perda de carga:
Com o número de Reynolds, podemos agora obter o fator de atrito através do diagrama de Moody.
Obtém-se o fator de atrito f = 0,095.
8- Qual a potência da bomba?
Primeiramente, temos que determinar as perdas de carga nos trechos retos e nos acessórios da (válvulas,
curvas etc.):
Sucção Recalque
VP = 15 m Curvas 90° = 2 x 2 = 4 m
Curva 90º = 2 m VR = 20 m
Trechos retos = 12 m Trechos retos = 30 m
Total (Ls) = 29 m
Saída = 3 m
Total (Lr) = 57 m
Cálculo da velocidade de escoamento da água:
Considerando o fluxo de massa igual a 2 kg/s, podemos determinar a vazão simplesmente dividindo
esse valor por 1000, pois a vazão é dada em [m3/s]. Fazendo o cálculo, obtém-se Vazão Vz = 0,002 m3/s.
Agora, sabendo que o diâmetro da tubulação é de 50 mm, podemos calcular a área da seção transversal do
tubo:
Tendo a área e a vazão, a velocidade de escoamento da água é determinada por:
Agora nos resta calcular a perda de carga total na tubulação:
Com Re, obtemos o fator de atrito f no Diagrama de Moody.
Encontramos f = 0,021. Logo:
2
222
66,1805,0.2
02,1.86.021,0
.2
..
sm
D
VLfe total
total
Finalmente, após as devidas simplificações na equação de Bernoulli, podemos calcular a potência da
bomba da seguinte forma:
WezgV
mbW t 2,352)1,176(266,181681,92
02,1.00,2.
2
2
2
2
2
Observe que a altura z2 é igual a 15m + 1m = 16m, já que o ponto 1 é considerado na superfície livre da
água.
Agora basta acessar os sites dos fabricantes de bombas e selecionar nos catálogos qual a mais conveniente
para essa faixa de vazão e potência.