UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva http://paginapessoal.utfpr.edu.br/ngsilva

Variáveis Aleatórias

Probabilidade e Estatística

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Variável Aleatória

Variável aleatória (VA) é uma função que associa a cada elemento

do espaço amostral de um experimento aleatório um número real.

Exemplo:

Considere o experimento aleatório E = “Lançar uma moeda não viciada duas

vezes e observar os resultados” e a variável aleatória X = “número de caras que

ocorre no experimento aleatório”

k = cara

c = coroa

Ω = (k,k), (k,c), (c,k), (c,c)

X = 0, 1, 2

Ω

(k,k)

(k,c)

(c,k)

(c,c)

0 1 2

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Tipos de Variáveis Aleatória

Variável Aleatória Discreta

Variável aleatória X é dita discreta se o conjunto de valores de X

é finito ou infinito enumerável.

Exemplos:

1) E = “Observar aviões que chegam em determinado aeroporto no período de

um mês”

X = “número de aviões que chegam atrasados”

X = 0, 1, 2, 3, ...

2) E = “Lançar uma moeda 100 vezes”

X = “número de lançamentos até ocorrer a primeira cara”

X = 1, 2, 3, 4, ... , 100

3) E = “Observar os estudantes de uma determinada escola”

X = “número de estudantes do sexo feminino”

X = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

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Variável Aleatória Contínua

Variável aleatória X é dita contínua se o conjunto de valores de

X é infinito não enumerável.

Exemplos:

1) E = “Observar um determinado carro de fórmula 1 numa corrida”

X = “distância percorrida por este carro de fórmula 1”

X = x / x ϵ R e x ≥ 0

2) E = “Observar o atendimento de funcionários de uma empresa”

X = “tempo que um funcionário leva para atender clientes num certo dia”

X = t / t ϵ R e 0 ≤ t ≤ 24

Tipos de Variáveis Aleatória

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Função de Probabilidade para Variável Aleatória Discreta

Seja X = x1, x2, ... , xn uma variável aleatória discreta.

p(x) é uma função de probabilidade da variável aleatória X se

satisfaz as seguintes condições:

(i) p(xi) ≥ 0 , i = 1, 2, ... ,n

(ii) p(xi) = 1 , i = 1, 2, ... ,n

(iii) p(xi) = P(X = xi), i = 1, 2, ... ,n

∑n

=i 1

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Distribuição de Probabilidade

É o conjunto de todos os pares ordenados ( xi , p(xi) ) e pode ser

expressa em forma de tabelas, gráficos ou fórmulas.

Exemplo 1

Seja o experimento aleatório E = “lançamento de três moedas não viciadas” e

a variável aleatória X = “número de caras que ocorre”. Montar a distribuição de

probabilidade para a variável aleatória X.

Ω = (c,c,c), (k,c,c), (c,k,c), (c,c,k),(k,k,c),(k,c,k),(c,k,k),(k,k,k)

X = 0, 1, 2, 3

X = xi P(X = xi)

0 1/8

1 3/8

2 3/8

3 1/8

∑ 1

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Exemplo 2

Utilizando o experimento aleatório e a variável aleatória do exemplo anterior

determinar a probabilidade de ocorrer:

a) Exatamente uma cara;

P(X = 1) = 3/8

P(X = 1) = 12,5%

b) No máximo uma cara;

P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1)

P(X ≤ 1) = 1/8 + 3/8

P(X ≤ 1) = 4/8 = 50%

c) Pelo menos duas caras.

P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1)]

P(X ≥ 1) = 3/8 + 1/8

P(X ≤ 2) = 4/8 = 50%

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Exemplo 3

O número de acidentes em um certo trecho de uma rodovia no período da

noite é uma variável aleatória X discreta com função de probabilidade dada

por P(X = x) = k.(3 – x).(4 – x) com x ϵ 0, 1, 2, 3 e k ϵ R. Determine a

probabilidade de ocorrer no máximo um acidente naquele trecho.

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Função de Probabilidade para Variável Aleatória Contínua

A f(x) é uma função densidade de probabilidade (fdp) para a

variável aleatória contínua X, para todo x ϵ R, se satisfaz as

seguintes condições:

(i) f(x) ≥ 0

(ii)

(iii) P(a < X < b) =

∫+∞

∞

=dxxf

-

1)(

∫b

dxxf

a

)(

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Observações:

1) f(x) ≥ 0, para todo x real, significa que o gráfico da função não pode estar

abaixo do eixo das abscissas;

∫a

=dxxf

a

0)(

∫+∞

∞

=dxxf

-

1)(

∫b

dxxf

a

)(

2) significa que a área abaixo da função f(x) é igual a 1;

3) P(a < X < b) significa que a probabilidade da variável aleatória X estar

compreendido entre a e b é a área abaixo da função f(x) no intervalo [ a , b ];

4) Como P(X = a) =

Então P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) =

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Exemplos

1) A função densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X é

dada por:

a) Determine o valor de k sabendo que é um número real;

b) Determine P(1 < X ≤ 3).

2) As necessidades de matéria prima por dia (em toneladas) de um

supermercado é uma variável aleatória contínua X com função densidade de

probabilidade dada por:

Determine a probabilidade de num determinado dia o supermercado

necessitar mais de uma tonelada de matéria prima.

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Função de Distribuição Acumulada

Chama-se função de distribuição acumulada de uma variável

aleatória X, para qualquer número real k, indica-se FX(k), a soma

das probabilidades de X = xi que são menores ou iguais a k, ou

seja:

• FX(k) = P(X ≤ k) se X é variável aleatória discreta

• FX(k) = se X é variável aleatória contínua

Exemplos

1) Considerando a variável aleatória X sendo o número de caras que ocorre

no lançamento de três moedas não viciadas determine FX(2).

2) Determine a função de distribuição acumulada para a fdp do exemplo 2 do

slide anterior.

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Esperança Matemática, Expectância ou Média

A esperança matemática E(X) de uma variável aleatória X é uma

medida que posiciona o centro de uma distribuição de

probabilidade definida por:

• se X é uma variável aleatória discreta

• se X é uma variável aleatória contínua

∑n

=iii xpx=XE

1

)(.)(

∫

+∞

∞

dxxfx=XE

-

)(.)(

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Propriedades da Esperança Matemática

P1) Se a ϵ R então E(a) = a

P2) E(X ± Y) = E(X) ± E(Y)

P3) Se a ϵ R e b ϵ R então E(aX + b) = a.E(X) + b

P4) E(X.Y) = E(X).E(Y) se X e Y são variáveis aleatórias

independentes

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Exemplo 1:

Considere um jogo no qual três moedas não viciadas são

lançadas e o jogador recebe R$ 2,00 por cada cara que ocorrer.

Quanto o jogador espera ganhar após uma jogada?

Número de caras xi = valor a ser recebido p(xi )

0 0

1 2

2 4

3 6

Total -

p(xi )

1/8

3/8

3/8

1/8

1

E(X) = 0.1/8 + 2.3/8 + 4.3/8 + 6.1/8

∑=i

ii xpx=XE4

1

)(.)(

= R$ 3,00

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Exemplo 2:

Determinar a esperança matemática da variável aleatória

contínua X com função densidade de probabilidade dada por:

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Variância

Variância V(X) de uma variável aleatória X é definida por:

• se X é uma VA discreta

• se X é uma VA contínua

∑n

=iii xpXEx=XV

1

2 )(.)](-[)(

∫

+∞

∞

dxxfxEx=XV

-

2 )(.)](-[)(

Observação:

Raiz quadrada da variância é o desvio-padrão

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Propriedades da Variância

P1) Se a ϵ R então V(a) = 0

P2) Se a ϵ R então V(X + a) = V(X)

P3) Se a ϵ R então V(aX) = a²V(X)

P4) V(X) = E(X²) – [E(X)]²

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Exemplo 1

Uma urna tem 6 bolas brancas e duas verdes. Três bolas são

retiradas sem reposição. Considere a variável aleatória X sendo

o número de bolas verdes retiradas. Determine o desvio-padrão

da variável aleatória X.

Exemplo 2

Determine a variância da variável aleatória contínua X dada pela

função densidade de probabilidade: