Variáveis de mérito de topologias de redes ópticas de ... · rito para topologias de redes...

UNIVERSIDADE FEDERAL DA FRONTEIRA SULCAMPUS CHAPECÓ

CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO

MARINA GIROLIMETTO

VARIÁVEIS DE MÉRITO DE TOPOLOGIAS DE REDES ÓPTICAS DETRANSPORTE DE TELECOMUNICAÇÕES

CHAPECÓ2014

MARINA GIROLIMETTO

VARIÁVEIS DE MÉRITO DE TOPOLOGIAS DE REDES ÓPTICAS DE

TRANSPORTE DE TELECOMUNICAÇÕES

Trabalho de conclusão de curso de graduaçãoapresentado como requisito para obtenção dograu de Bacharel em Ciência da Computação daUniversidade Federal da Fronteira Sul.

Orientador: Prof. Dr. Claunir Pavan

CHAPECÓ

2014

Girolimetto, Marina

Variáveis de mérito de topologias de redes ópticas de transporte detelecomunicações / Marina Girolimetto. – 2014.

52 f.: il.

Orientador: Claunir PavanTrabalho de conclusão de curso (graduação) - Universidade Fede-

ral da Fronteira Sul, Curso de Ciência da Computação, Chapecó, SC,2014.

1. Redes de telecomunicações. 2. Dimensionamento de redes.3. Redes ópticas. I. Pavan, Claunir, orient. II. Universidade Federalda Fronteira Sul. III. Título.

c© 2014Todos os direitos autorais reservados a Marina Girolimetto. A reprodução de partes ou do tododeste trabalho só poderá ser feita mediante a citação da fonte.E-mail: [email protected]

AGRADECIMENTOS

Agradeço aos meus pais, principalmente minha mãe Lindamar Costa, que me deu apoio

e incentivo nas horas difíceis.

Ao meu orientador, pelo empenho dedicado à elaboração deste trabalho.

A Universidade Federal da Fronteira Sul, pela oportunidade de fazer o curso.

A todos que direta ou indiretamente fizeram parte da minha formação.

RESUMO

Este trabalho de conclusão de curso identifica e propõe expressões para novas variáveis de mé-rito para topologias de redes ópticas de transporte de telecomunicações, de forma a avançar oestado da arte relativo à caracterização deste tipo de redes. Foram identificadas como variáveisde mérito: o grau nodal, o número de saltos, a conectividade por ligações disjuntas, a conecti-vidade por nodos disjuntos, o coeficiente de agrupamento e a centralidade de intermediação. Afim de estender o estado da arte, são propostas duas novas variáveis: número médio de saltosdo caminho de trabalho e número médio de saltos do caminho de backup, considerando umroteamento alternativo àquele considerado em expressões propostas na literatura. Ainda, sãopropostas duas expressões semi empíricas para estimar o valor destas variáveis, apenas consi-derando o número de nodos e o número de ligações das topologias. Os resultados mostram queas expressões apresentam em média erros menores que 12% quando comparadas aos valoresexatos de redes reais de telecomunicações.

Palavras-chave: Redes de telecomunicações. Dimensionamento de redes. Redes ópticas.

ABSTRACT

This term paper identifies and proposes semi empirical expressions of new key vari-ables for optical transport telecommunications topologies in order to advance the state of the artrelating to the characterization of this type of networks. The following key variables were iden-tified: the nodal degree, the number of hops, link-disjoint pairwise connectivity, node-disjointpairwise connectivity, clustering coefficient and betweenness centrality. In order to extend thestate of the art, two new variables are proposed: average number of hops for working path andaverage number of hops for backup path, considering an alternative routing strategy from thatseen in previous proposed expressions in the literature. Additionally, two semi empirical ex-pressions are proposed to estimate the value of these variables, which requires only the numberof nodes and the number of links. Results show that the expressions estimate the values aver-age error less than 12% when compared to the exact values obtained from telecommunicationnetworks.

Keywords: Telecommunication networks. Networks dimensioning. Optical networks.

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 – (a) Exemplo de topologia; (b) Matriz de adjacência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Figura 2.2 – Matriz do número de saltos do caminho de trabalho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Figura 2.3 – Matriz do número de saltos do caminho de backup. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Figura 2.4 – Exemplo do processo de obtenção de dois caminhos disjuntos. . . . . . . . . . . . . . 22Figura 2.5 – Exemplo de topologia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Figura 2.6 – Caminho de trabalho com o algoritmo de Dijkstra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Figura 2.7 – Caminho de trabalho e de backup com o algoritmo de Suurballe. . . . . . . . . . . . 23Figura 2.8 – (a) Exemplo de topologia; (b) Matriz da conectividade por ligações disjuntas. 24Figura 2.9 – Matriz da conectividade por nodos disjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Figura 3.1 – Diagrama de fluxo do algoritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Figura 3.2 – Interface do software NTT Gen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Figura 3.3 – Exemplo de saída do NTT Gen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Figura 4.1 – Ajuste de curva do 〈δ〉 = 2,5: (a) 〈hs

w〉; (b) 〈hsb〉. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Figura 4.2 – Ajuste de curva do 〈δ〉 = 3: (a) 〈hsw〉; (b) 〈hs

b〉. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Figura 4.3 – Ajuste de curva do 〈δ〉 = 3,5: (a) 〈hs

w〉; (b) 〈hsb〉. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Figura 4.4 – Ajuste de curva do 〈δ〉 = 4: (a) 〈hsw〉; (b) 〈hs

b〉. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Figura 4.5 – (a) 1os parâmetros do ajuste de curva logarítmico do 〈hs

w〉; (b) 2os parâme-tros do ajuste de curva logarítmico do 〈hs

w〉. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Figura 4.6 – (a) 1os parâmetros do ajuste de curva logarítmico do 〈hs

b〉; (b) 2os parâme-tros do ajuste de curva logarítmico do 〈hs

b〉. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Figura 4.7 – Comparativo 〈hs

w〉: Topologias simuladas × Expressão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Figura 4.8 – Comparativo 〈hs

b〉: Topologias simuladas × Expressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Figura 4.9 – Comparativo 〈hs

w〉: Topologias reais × Expressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Figura 4.10 – Comparativo 〈hs

b〉: Topologias reais × Expressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1 – Variáveis de entrada do NTT Gen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Tabela 4.1 – Modelos definidos do SPSS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Tabela 4.2 – Coeficiente de determinação (R2) do 〈hs

w〉 do 〈δ〉 = 2,5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Tabela 4.3 – Coeficiente de determinação (R2) do 〈hs

b〉 do 〈δ〉 = 2,5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Tabela 4.4 – Coeficiente de determinação (R2) do 〈hs

w〉 do 〈δ〉 = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Tabela 4.5 – Coeficiente de determinação (R2) do 〈hs

b〉 do 〈δ〉 = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Tabela 4.6 – Coeficiente de determinação (R2) do 〈hs

w〉 do 〈δ〉 = 3,5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Tabela 4.7 – Coeficiente de determinação (R2) do 〈hs

b〉 do 〈δ〉 = 3,5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Tabela 4.8 – Coeficiente de determinação (R2) do 〈hs

w〉 do 〈δ〉 = 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Tabela 4.9 – Coeficiente de determinação (R2) do 〈hs

b〉 do 〈δ〉 = 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Tabela 4.10 – Parâmetros do 〈hs

w〉 e do 〈hsb〉 da função logarítmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Tabela 4.11 – 1o Coeficiente de determinação (R2) do ajuste logarítmico do 〈hsw〉. . . . . . . . . . 39

Tabela 4.12 – 2o Coeficiente de determinação (R2) do ajuste logarítmico do 〈hsw〉. . . . . . . . . . 40

Tabela 4.13 – 1o Coeficiente de determinação (R2) do ajuste logarítmico do 〈hsb〉. . . . . . . . . . 42

Tabela 4.14 – 2o Coeficiente de determinação (R2) do ajuste logarítmico do 〈hsb〉. . . . . . . . . . 42

Tabela 4.15 – Topologias de redes reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

NTT Gen Network Transport Topology Generator

SPSS Statistical Package for the Social Sciences

LISTA DE SÍMBOLOS

δ Grau nodal

δi Grau do nodo i

δmin Grau nodal mínimo

δmax Grau nodal máximo

h Número de saltos do caminho de trabalho

h′ Número de saltos do caminho de backup

ωi,j Conectividade por ligações disjuntas entre os nodos i e j

θi,j Conectividade por nodos disjuntos entre os nodos i e j

ci Coeficiente de agrupamento do nodo i

〈δ〉 Grau nodal médio

〈δ〉min Grau nodal mínimo médio

〈δ〉max Grau nodal máximo médio

〈h〉 Número médio de saltos do caminho de trabalho

〈h′〉 Número médio de saltos do caminho de backup

〈hsw〉 Número médio de saltos do caminho de trabalho com o algoritmo de Suurballe

〈hsb〉 Número médio de saltos do caminho de backup com o algoritmo de Suurballe

〈ω〉 Conectividade média por ligações disjuntas

〈θ〉 Conectividade média por nodos disjuntos

〈c〉 Coeficiente de agrupamento médio

ni Conjunto de nodos que estão diretamente ligados ao nodo i

ti Número de triângulos existentes envolvendo o nodo i

N Número de nodos

L Número de ligações

T Topologia

[g] Matriz de adjacências

[h] Matriz de número de saltos do caminho de trabalho

[h′] Matriz de número de saltos do caminho de backup

[ω] Matriz da conectividade por ligações disjuntas

[θ] Matriz da conectividade por nodos disjuntos

P (i, j)Probabilidade de uma ligação existir entre os nodos i e j

d(i, j) Distância Euclidiana entre os nodos i e j

v Distância máxima entre um par de nodos

α Parâmetro de probabilidade de ligação Waxman

β Parâmetro de probabilidade de ligação Waxman

A Raiz quadrada do plano

R Número de regiões

l Distância mínima entre nodos

S Distribuição dos nodos

ϕ Número de simulações

bcmed Centralidade de intermediação média

bcmin Centralidade de intermediação mínima

bcmax Centralidade de intermediação máxima

bc(i) Centralidade de intermediação do nodo i

σjk(i) Número de caminhos mais curtos do nodo origem (j) ao nodo destino (k), (σjk), quepassam pelo nodo i

M1 Primeiro caminho encontrado pelo algoritmo de Dijkstra

M2 Segundo caminho encontrado pelo algoritmo de Dijkstra

R2 Coeficiente de Determinação

i Nodo origem

j Nodo destino

Q Conjunto de nodos no algoritmo de Dijkstra

z Distância de um nodo no algoritmo de Dijkstra

p Nodo precedente de um nodo no algoritmo de Dijkstra

w(i, j)Peso da ligação entre os nodos i e j no algoritmo de Dijkstra

VT,〈δ〉 Valor exato de uma variável de mérito para uma topologia com grau 〈δ〉

V〈δ〉 Valor estimado de uma variável de mérito para uma topologia com grau 〈δ〉

ǫT,〈δ〉 Erro relativo de uma expressão

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 CARACTERÍSTICAS DE REDES ÓPTICAS DE TRANSPORTE . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1 Grau nodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Número de saltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Conectividade por ligações disjuntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Conectividade por nodos disjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5 Coeficiente de agrupamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.6 Centralidade de intermediação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 ESTUDOS RELACIONADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 EXPERIMENTOS E RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.1 Expressões de aproximações para o número de saltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.1.1 Regressões - Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.1.1.1 Regressões Grau 2,5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.1.1.2 Regressões Grau 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1.1.3 Regressões Grau 3,5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.1.1.4 Regressões Grau 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.1.2 Regressões - Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2 Validação das expressões do número de saltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2.1 Comparativo: Topologias simuladas × Expressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2.2 Comparativo: Topologias reais × Expressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

14

1 INTRODUÇÃO

A busca por informações empíricas em sistemas que podem ser representados por grafos,

como a Internet, redes de computadores e telecomunicações, redes sociais e biológicas têm

despertado grande interesse devido à sua complexidade estrutural. Em geral, estes sistemas

não possuem propriedades topológicas triviais. Em redes de telecomunicações, por exemplo, o

projeto topológico deve garantir uma rede confiável, que seja tolerante a alguns tipos de falhas,

como a ruptura de uma ligação ou falta de energia em um nodo [16, 21]. A interconexão entre

os nodos deve obedecer restrições quanto a capacidade e distância física entre os elementos de

rede e também deve ser estabelecida de modo a minimizar o custo de transmissão e consumo

energético para a demanda de tráfego.

O processo de dimensionamento de uma rede desta categoria requer conhecimentos so-

bre redes complexas e é uma tarefa que consome tempo e esforço computacional. Na prática,

ao dimensionar uma rede de telecomunicações, as operadoras definem um conjunto de soluções

alternativas a fim de escolher, com o auxílio de uma ferramenta de dimensionamento, aquela

que apresente melhor desempenho com o menor custo de instalação. Contudo, esta tarefa de-

pende de informações detalhadas sobre a rede, incluindo as topologias de rede, os volumes

de tráfego a serem suportados, as arquiteturas dos nodos e ligações e as distâncias entre nodos.

Além disso, a competitividade imposta pelas transformações da economia mundial também têm

aumentado a relevância do estudo do problema do dimensionamento de redes. As operadoras

buscando otimizar seus processos e acelerar as tomadas de decisão, principalmente durante a

definição de novas redes e serviços, procuram desenvolver métodos inovadores. Neste sentido,

este trabalho buscou produzir recursos para novos métodos de apoio ao dimensionamento de

redes de telecomunicações que permitam prover, rapidamente, resultados aproximados sobre

custos de capital e operação.

O artigo de Pavan et al. [22] apresenta uma caracterização das topologias de redes óp-

ticas de transporte de telecomunicações. Os autores identificaram cinco variáveis chave para

estas redes: o grau nodal, o número de saltos (hops) necessários para interconexão dos nodos,

a conectividade por ligações disjuntas, a conectividade por nodos disjuntos e o coeficiente de

agrupamento.

A falta de variáveis de mérito, como as citadas em Pavan et al. [22], pode resultar na

geração de topologias que não apresentam as propriedades topológicas das redes ópticas de

15

transporte de telecomunicações e portanto, acarretar decisões incorretas, tal como subestimação

do impacto de falhas nas ligações ou nodos e erros de análise de desempenho em algoritmos de

engenharia de tráfego.

Neste trabalho, duas invariantes foram estendidas, o número médio de saltos por ca-

minho de trabalho e o número médio de saltos por caminho de backup, de modo a suportar

métodos de roteamento para redes sobreviventes que consideram o menor ciclo entre cada par

de nodos para o estabelecimento de caminhos, diferentemente dos estudos já publicados, que

consideram o roteamento por geodésias.

16

2 CARACTERÍSTICAS DE REDES ÓPTICAS DE TRANSPORTE

A caracterização de redes de telecomunicações é um processo importante para compre-

ender as propriedades destas redes complexas. As variáveis caracterizadas podem ser empre-

gadas em softwares que simulam topologias físicas de redes para diferentes funções: análise de

algoritmos de roteamento, balanceamento de carga, recuperação de falhas, qualidade de servi-

ços, eficiência energética, análise tecno-econômica e análise estatística do comportamento de

serviços de rede.

Uma propriedade das redes de telecomunicações, é a proteção a falhas de diferentes

tipos, como falha em uma única ligação, múltiplas ligações ou de nodos, para evitar que se

interrompa o serviço oferecido pela rede e a perda significativa de dados. Por estas razões,

as topologias físicas devem ser sobreviventes. Isto significa que a topologia de rede deve ter

estratégias que mantenham seu serviço disponível mesmo com falhas. Para as redes de tele-

comunicações deste trabalho, as topologias de redes são sobreviventes quando em cada par de

nodos (nodo origem e nodo destino) existe pelo menos dois caminhos disjuntos por ligação. Ou

seja, a topologia deve ser, pelo menos 2-ligação-conexa.

Nas redes de telecomunicações, as variáveis de mérito são propriedades topológicas

úteis para a sua caracterização. A partir do conhecimento destas variáveis é possível, por exem-

plo, realizar estudos para obter expressões exatas e aproximadas, mesmo com informações in-

completas sobre novas topologias.

Na caracterização de redes ópticas de transporte apresentada por Pavan [21] foram iden-

tificadas as seguintes características das topologias de redes reais:

• O número de nodos está entre ≈10 e ≈100;

• Os nodos são distribuídos de acordo com a demanda de tráfego esperado em cada área

geográfica;

• Um conjunto de nodos forma um ciclo quando a região abriga um conjunto de pelo menos

três nodos (ciclos permitem sobrevivência à quebra/falha de uma ligação);

• Quando um nodo é único dentro de uma região, a sobrevivência tende a ser fornecida

através da ligação do nodo para, pelo menos, dois nodos em regiões vizinhas. No caso

das regiões com dois nodos, os nodos tendem a ser diretamente ligados e também cada

um tende a ser ligado a, pelo menos, um nodo de uma região vizinha. Desta forma uma

17

rede de transporte pode também ser vista como um conjunto de redes menores (uma para

cada região).

Além desta visão holística, o autor Pavan [21] encontrou algumas variáveis relevantes: o grau

nodal, δ, o número de saltos, h, a conectividade por ligações disjuntas, ωi,j , a conectividade por

nodos disjuntos, θi,j , e o coeficiente de agrupamento, ci. Nas seções seguintes, estas variáveis e

adicionalmente a centralidade de intermediação, bc(i), são descritas com mais detalhes.

2.1 Grau nodal

O grau nodal, δ, representa o número de ligações, L, incidentes a um nodo de uma to-

pologia de rede. Ou seja, sendo T uma topologia, o grau nodal i, δi, é o número de ligações

adjacentes a i. Os nodos podem ter dois graus diferentes se as ligações são consideradas uni-

direcionais (graus de entrada e de saída) [15]. Porém para este trabalho, considera-se que as

ligações são bidirecionais.

Nas topologias sobreviventes, o grau nodal mínimo deve ser dois, δmin = 2. Contudo,

essa condição é necessária mas não suficiente, para fins de sobrevivência. Existem algoritmos

que auxiliam a definição de topologias que suportam uma ou mais falhas em suas ligações ou

nodos [18, 19].

As topologias de redes podem ser representadas como uma matriz N ×N adjacente [g]

(onde N é o número de nodos), na qual os elementos gi,j possuem valor 1 ou 0 para indicar se

os pares de nodos origem-destino (i, j) são adjacentes ou não.

(a) (b)

Figura 2.1: (a) Exemplo de topologia de rede 2-conexa N=6 e L=7; (b) Matriz de adjacência,[g], da topologia de rede da Figura 2.1(a).

Na topologia da Figura 2.1(a) o grau nodal 1 é 2, pois existe uma ligação com o nodo 2 e

uma com o nodo 3. O grau nodal 2 será 2 também, devido a ligação com os nodos 1 e 4. O grau

nodal 3 será 3, porque ele se liga com os nodos 1, 4 e 5, e assim é determinado o grau nodal

18

de cada nodo da topologia de rede. Este número pode ser obtido através da equação do grau

nodal i (equação 2.1) com a construção da matriz de adjacência [g] e soma dos valores da linha

do número do nodo na matriz. A matriz de adjacência [g] da topologia de rede da Figura 2.1(a)

pode ser visualizada na Figura 2.1(b).

δi =N∑

j=1

gi,j (2.1)

Para encontrar o grau nodal médio da rede, 〈δ〉, deve-se seguir a equação 2.2, onde

todos os graus nodais de T são somados e o resultado é dividido por N . O grau nodal médio da

topologia de rede da Figura 2.1(a) é 〈δ〉 = 2, 33.

〈δ〉 =1

N

N∑

i=1

δi (2.2)

O grau nodal se relaciona com a densidade da rede, pois ela é uma propriedade que

define a fração de ligações que uma topologia possui ( 2LN(N−1)

). Então, outra maneira de calcular

o grau nodal médio é através da equação 2.3.

〈δ〉 =2L

N(2.3)

A densidade da rede também se relaciona a outras variáveis de mérito, como o número

de saltos do caminho de trabalho 〈h〉 e o número de saltos do caminho de backup 〈h′〉. Nas

redes de transporte de telecomunicações a densidade é um fator de grande importância já que

as redes dependem do nível de desenvolvimento econômico e social de uma região para definir

limites de custos na implantação da rede, manutenções e modernizações futuras [34].

Na tese do autor Pavan [21], 29 redes reais foram identificadas e caracterizadas (Ar-

nes, Arpanet, Austria, Bren, Canarie, Cesnet, Cox, Eon, Geant2, Germany, Internet 2, Italy,

Lambdarail, Loni, Memorex, Metrona, Mzima, Newnet, NSFNET, Omnicom, Pionier, Portugal,

Renater, RNP, Sanet, Spain, USA 100, vBNS e Via Network). Para estas redes, o grau nodal, δi,

varia entre 2 e 10 e o grau nodal médio, 〈δ〉, varia de 〈δ〉 = 2,18 a 〈δ〉 = 4,14, com desvio padrão

entre 0,4 a 2. Considerando todas as redes, se tem 〈δ〉* = 2,8.

2.2 Número de saltos

O número de saltos é a distância entre um par de nodos i, j. Neste trabalho, o valor

da distância é a soma do número de ligações deste par de nodos. O conjunto de ligações que

19

interligam um par de nodos é chamado de caminho. Em redes reais, caminhos de trabalho car-

regam o tráfego normal e caminhos de backup providenciam uma rota alternativa para carregar

o tráfego em caso de falhas (ou manutenção da rede).

Para identificar o número médio de saltos de uma rede, 〈h〉, se obtêm a matriz de número

de saltos [h]. Para a construção dessa matriz, deve-se considerar um algoritmo de roteamento.

A matriz de saltos da topologia de rede da Figura 2.1(a) é mostrada na Figura 2.2. Ela

foi construída com o algoritmo de roteamento pelo caminho mais curto em número de ligações

(geodésicas), o algoritmo de Dijkstra [2]. Como a topologia é bidirecional, é necessário apenas

preencher a matriz triangular superior ou a inferior, pois os valores serão os mesmos.

Figura 2.2: Matriz do número de saltos do caminho de trabalho, [h], da topologia de rede daFigura 2.1(a).

Após obter a matriz de saltos [h], o número médio de saltos de uma topologia de rede,

〈h〉, pode ser calculado através da equação 2.4. Onde todos os elementos da matriz triangular

superior são somados e o resultado é dividido pelo número de elementos que fazem parte da

matriz (o N(N−1)2

retorna a quantidade de elementos da matriz triangular superior). A topologia

da Figura 2.1(a) tem o número médio de saltos de 〈h〉 = 1,67.

〈h〉 =2

N(N − 1)

N−1∑

i=1

N∑

j=i+1

hi,j (2.4)

O número médio de saltos pode ser calculado (utilizando a mesma equação) para o

caminho de trabalho e para o caminho de backup. O caminho de trabalho trará o resultado

descrito anteriormente, em que o caminho mais curto em ligações é o escolhido. Já o caminho

de backup, geralmente é o segundo caminho mais curto disjunto por ligação. O número de

saltos do caminho de backup é conhecido como h′ e na tese de Pavan [21] procede da mesma

maneira que o número de saltos do caminho de trabalho para encontrar o número médio de

saltos do caminho de backup, o que muda é sua matriz de saltos que terá valores maiores ou

iguais da matriz de saltos do caminho de trabalho. Na topologia da Figura 2.1(a) o 〈h′〉 = 3,13.

É possível visualizar a matriz do número de saltos do caminho de backup, [h′], na Figura 2.3.

20

Figura 2.3: Matriz do número de saltos do caminho de backup, [h′], da topologia de rede daFigura 2.1(a).

A variável do número de saltos pode ser usada para descobrir o número de transponders

e outras variáveis de mérito, como a excentricidade da rede.

Nas redes reais do estudo do autor Pavan [21], o número de saltos do caminho de traba-

lho, h, varia entre 1 e 21 e o número médio de saltos, 〈h〉, varia entre 2 a 8,5 com desvio padrão

entre 0,7 e 4,6. Considerando todas as redes se tem 〈h〉* = 3,4. O algoritmo de roteamento

utilizado para encontrar o caminho mais curto do mesmo estudo foi o Dijkstra.

O algoritmo de Dijkstra, criado por Edsger Dijkstra, tem o objetivo de encontrar o ca-

minho mais curto por ligação de um nodo origem a um nodo destino em uma topologia. Por

exemplo na topologia da Figura 2.1(a), o caminho mais curto saindo do nodo 2 para chegar no

nodo 6, considerando que o peso das ligações é 1, é o caminho " 2 − 4 − 6 ". Este algoritmo

tem tempo computacional de O([L + N ] ln N) e seu pseudocódigo pode ser visualizado no

algoritmo abaixo.

Algoritmo 1: Pseudocódigo do algoritmo de Dijkstra

1 enquanto Q 6= φ faça2 i ← extrair −min(Q);3 para cada j adjacente a i faça4 se z[j] > z[i] + w(i, j) então5 z[j] ← z[i] + w(i, j);6 p[j] ← i;

7 Q ← Q ∪ {j};

8 fim9 fim

10 fim

Onde Q é o conjunto de nodos, z é a distância de um nodo, p identifica o nodo precedente

do nodo analisado, w(i, j) é o peso (weight) da ligação entre os nodos i e j e em "extrair −

min(Q)" se extrai o elemento i com menor valor z[i].

Além deste algoritmo de roteamento, existem outros que também podem ser utilizados

21

para definir o número de saltos, como o algoritmo de Suurballe [19]. Contudo, os valores

poderão ser diferentes.

O algoritmo de Suurballe, criado por J. W. Suurballe tem o objetivo de encontrar dois

caminhos mais curtos e disjuntos por ligação, ou seja, sem nenhuma ligação compartilhada

entre os dois caminhos.

Este algoritmo segue os seguintes passos:

1. Utiliza o algoritmo de Dijkstra para encontrar o primeiro caminho mais curto;

2. O pesos das ligações do caminho mais curto encontrado são alterados e recebem um peso

maior. Esta parte é conhecida como "transformação de custos". A troca de custos ocorre

desta forma:

ci,j =

ci,j = N e cj,i = 0, se (i, j) ∈ M1

ci,j = ci − cj e cj,i = ci − cj se (i, j) 6∈ M1 e (j, i) 6∈ M1

ci,j = 0 e cj,i = N se (j, i) ∈ M1

Em que ci,j é o custo do nodo origem i e do nodo destino j, N é o número de nodos e

M1 é o caminho encontrado pelo algoritmo de Dijkstra.

3. O algoritmo de Dijkstra é usado novamente. Como os pesos das ligações do caminho

mais curto foram alterados, nessa nova busca outro caminho mais curto será encontrado;

4. Os dois caminhos encontrados passam por uma verificação para descobrir se comparti-

lham alguma ligação. Se compartilham, os dois caminhos são redefinidos de forma a

evitar a ligação compartilhada, conforme ilustra a Figura 2.4, em que as ligações iguais

são as circuladas, M1 é o primeiro caminho do algoritmo de Dijkstra e M2 é o segundo

caminho do algoritmo de Dijkstra. Ao realizar isto, a ligação em comum entre os dois

caminhos é excluída. Se os caminhos não compartilham ligações, os caminhos encon-

trados anteriormente são sobreviventes e disjuntos por ligação e serão os utilizados para

caminho de trabalho e de backup.

Portanto, o algoritmo de Suurballe retorna dois caminhos disjuntos por ligações. Nas

redes de telecomunicações, o primeiro caminho retornado é o caminho de trabalho e o segundo

caminho é o caminho de backup. Caso o algoritmo de Suurballe não encontre dois caminhos

disjuntos, então a topologia de rede não é sobrevivente a uma falha em uma ligação. Ou seja, a

topologia não é 2-ligação-conexa.

24

disjuntas, 〈ω〉, é calculada a partir da equação 2.5.

〈ω〉 =2

N(N − 1)

N−1∑

i=1

N∑

j=i+1

ωi,j (2.5)

A título de exemplo, apresenta-se uma topologia com N=8 e L=13 (Figura 2.8(a)) para

o cálculo do 〈ω〉, onde na matriz da conectividade por ligações disjuntas, [ω], (Figura 2.8(b)) o

número de caminhos disjuntos de cada par de nodos são inseridos. O resultado para a conectivi-

dade média por ligações disjuntas da rede, 〈ω〉, será a soma dos elementos da matriz triangular

superior multiplicada por N(N−1)2

. A conectividade média por ligações disjuntas desta topologia

é 〈ω〉 = 2, 46.

(a) (b)

Figura 2.8: (a) Exemplo de topologia de rede 2-ligação-conexa N=8 e L=13; (b) Matriz daconectividade por ligações disjuntas, [ω].

Nas redes reais do estudo de Pavan [21], a conectividade por ligações disjuntas é

ωi,j ≤ 7. O desvio padrão varia entre 0 a 0,9. As médias de conectividade por ligações dis-

juntas, 〈ω〉, aumentam com 〈δ〉. Considerando todas as redes se tem 〈ω〉* = 2,25.

2.4 Conectividade por nodos disjuntos

Diferente da conectividade por ligações disjuntas, a conectividade por nodos disjuntos,

θi,j , é o número de caminhos com nodos disjuntos entre os pares de nodos i, j. O valor de

θi,j também indica a tolerância de falha de nodos. Uma vez que se tem caminhos com nodos

disjuntos implica em caminhos com ligações disjuntas, permitindo a sobrevivência contra as

falhas de nodos e de ligações [23]. A equação da conectividade média por nodos disjuntos, 〈θ〉,

25

é apresentada em 2.6.

〈θ〉 =2

N(N − 1)

N−1∑

i=1

N∑

j=i+1

θi,j (2.6)

Considerando a topologia da Figura 2.8(a), onde na matriz da conectividade por nodos

disjuntos, [θ], (Figura 2.9) o número de caminhos disjuntos de cada par de nodos são inseri-

dos. O resultado para a conectividade média por nodos disjuntos da rede, 〈θ〉, será a soma dos

elementos da matriz triangular superior multiplicada por N(N−1)2

. A conectividade média por

nodos disjuntos desta topologia é 〈θ〉 = 2, 18.

Figura 2.9: Matriz da conectividade por nodos disjuntos, [θ], da topologia de rede daFigura 2.8(a).

Para as redes de referência de Pavan [21], o valor da conectividade por nodos disjuntos

está entre 1 ≤ θi,j ≤ 7. A conectividade média por nodos disjuntos, 〈θ〉, também tende a

aumentar com 〈δ〉 e para topologias sobreviventes contra falhas únicas de nodo, a conectividade

varia entre 2 e 3. Considerando todas as redes se tem 〈θ〉* = 2,21.

2.5 Coeficiente de agrupamento

O coeficiente de agrupamento de um nodo, ci, representa a probabilidade de dois vizi-

nhos de um nodo, ni, estarem conectados [32]. Isto ocorre quando há um nodo A conectado

a um nodo B e o nodo B está conectado a um nodo C, então existem chances do nodo A se

conectar ao nodo C, ou seja, formar um triângulo na rede (conjuntos de três nodos conectados

uns aos outros) [15]. Os valores do coeficiente de agrupamento variam de ci = 0 a ci = 1, sendo

que quanto mais próximo de 1, mais perto estará de uma topologia em malha completa [28].

Para topologias bidirecionais, o coeficiente de agrupamento de um nodo é definido como:

ci =2ti

δi(δi − 1)(2.7)

26

em que ti é o número de triângulos existentes envolvendo o nodo i e seus ni vizinhos. A equação

do coeficiente de agrupamento médio, 〈c〉, pode ser visualizada em 2.8.

〈c〉 =1

N

N∑

i=1

ci (2.8)

Por exemplo, na topologia da Figura 2.8(a), verifica-se em quantos triângulos cada nodo

faz parte. Nesta topologia, o nodo 1 faz parte de 1 triângulo, portanto o coeficiente de agrupa-

mento para este nodo será, de acordo com a equação 2.7, c1 = 2×12(2−1)

= 1. Para o nodo 2

será c2 = 2×45(5−1)

= 0,4. E assim sucessivamente para os outros nodos. Após ser obtido todos

os coeficientes de cada nodo da topologia, os valores dos coeficientes dos nodos são somados e

divididos por N . O resultado para esta topologia de rede será 〈c〉 = 0,7.

Em uma rede, quando o valor do grau médio aumenta, o valor do coeficiente de agrupa-

mento também tende a aumentar [32].

O coeficiente de agrupamento médio, 〈c〉, das redes do estudo de Pavan [21] varia de 0

a 0,69, com desvio padrão entre 0 e 0,4. Considerando todas as redes se tem 〈c〉* = 0,19.

2.6 Centralidade de intermediação

A centralidade de intermediação mede quantos menores caminhos entre todos os pares

de nodos de uma topologia de rede passam através de um determinado nodo. A intermediação

de um nodo pode medir a influência deste sobre os outros nodos da topologia de rede [6]. A

centralidade de intermediação de um nodo é calculado através da fórmula 2.9

bc(i) =∑

j 6=i 6=kǫN

σjk(i)

σjk

(2.9)

onde σjk é o número total de caminhos mais curtos do nodo origem (j) ao nodo destino (k)

e σjk(i) é o número de caminhos mais curtos (σjk) que passam por i (nodo a ser analisado).

Portanto, primeiro se calcula os caminhos mais curtos entre os pares de nodos origem e destino.

Em seguida, são obtidos os caminhos mais curtos (fração) que passam através do nodo que está

sendo analisado. Este valor é somado e assim é obtida a centralidade de intermediação de um

nodo. O nodo com o maior valor será o nodo central da topologia de rede.

27

3 ESTUDOS RELACIONADOS

As variáveis de mérito de redes de telecomunicações podem ser utilizadas em ferramen-

tas de geração automática de topologias de redes.

Atualmente existem alguns geradores de topologias de redes disponíveis. Por exemplo,

no artigo de Waxman [33], o autor apresenta um modelo para gerar topologias aleatórias, onde

os nodos são distribuídos sobre um plano e ligações são adicionadas à topologia usando uma

função de probabilidade baseada na distância Euclidiana entre os nodos. Nos geradores apre-

sentados pelos autores Cheng et al. [1], Jin et al. [10], Magoni [12], Medina et al. [14], Palmer

e Steffan [20] e Tomasik [29] a distribuição do grau nodal das redes geradas segue uma lei de

potência (power-law). Contudo, esses esforços focaram em produzir topologias com as carac-

terísticas da Internet, que é uma rede livre de escala (scale-free network) [4]. As topologias de

redes livres de escala contêm poucos nodos com um grau alto enquanto a maioria dos nodos

têm grau baixo (somente algumas ligações). Para este trabalho, o foco foi em redes ópticas

de transporte de telecomunicações que possuem características invariantes diferentes das redes

com topologias livres de escala. Assim, topologias que simulem a Internet ou baseadas em lei

de potência não servem para análises em redes ópticas de transporte de telecomunicações [21].

Os autores Girolimetto et al. [8] desenvolveram a ferramenta NTT Gen (Network Trans-

port Topology Generator). A fim de tornar este trabalho de conclusão de curso autocontido,

apresenta-se a seguir o funcionamento da ferramenta, já que foi utilizada na geração de topolo-

gias para tratamento neste trabalho.

O NTT Gen gera topologias físicas de redes ópticas de transporte de telecomunicações

baseado no modelo de Waxman [33]. Topologias geradas através deste software apresentam

uma distribuição do grau nodal que tende a Poisson, a mesma distribuição identificada para

redes reais de telecomunicações [22].

A probabilidade, P (i, j), de uma ligação existir entre um par de nodos (i, j) segundo o

modelo de Waxman, é dada por:

P (i, j) = βe−d(i,j)/vα (3.1)

em que d(i, j) é a distância Euclidiana entre os nodos origem e destino (i, j), v é a distância

máxima entre dois nodos e α e β são parâmetros para calibração que tem intervalo entre 0 e

1. Valores maiores em β resultam topologias com alta densidade de ligação, enquanto valores

menores em α aumentam a densidade de ligações curtas em relação a outras mais longas.

28

O fluxograma do processo do NTT Gen pode ser visto na Figura 3.1.

Figura 3.1: Diagrama de fluxo do algoritmo.

Dado um conjunto de entradas (ver Tabela 3.1), o software simula um plano de lado A,

onde as topologias serão instaladas. Este plano será dividido em R regiões de igual tamanho

(indicação {1} na Figura 3.1).

Variável DescriçãoA Lado do planoN Número de nodosR Número de regiõesl Distância mínima entre nodosα Parâmetro de probabilidade de ligação Waxman

β Parâmetro de probabilidade de ligação Waxman

〈δ〉min Grau nodal mínimo médio〈δ〉max Grau nodal máximo médioS Posição dos nodos (variável ou uniforme)ϕ Número de simulações

Tabela 3.1: Variáveis de entrada do NTT Gen

Após a divisão do plano em regiões, um número de nodos é atribuído a cada região {2}.

Este número de nodos é aleatório, contudo, considera as restrições de distância mínima entre os

nodos e espaço dentro de cada região. A distribuição pode ser realizada de modo uniforme ou

29

de modo variável. No modo uniforme o número de nodos N é dividido pelo número de regiões

R e, portanto, cada região recebe o mesmo número de nodos (exceto quando N for um número

ímpar não divisível por R e quando R > N ). No modo variável cada região pode receber uma

quantidade diferente de nodos. Para isto acontecer, o algoritmo sorteia inicialmente um número

entre 0 e o número de nodos que caberiam na primeira região (canto superior esquerdo da área),

ou o total de nodos N (considera o que for menor) e insere os nodos. Se ainda restarem nodos

para serem distribuídos nas regiões vizinhas, o algoritmo executa o mesmo passo até inserir

todos. Caso os nodos não couberem na área, o software é finalizado.

Depois da inserção dos nodos no plano, podem existir regiões sem nodos, com um nodo,

com dois ou mais de dois nodos. Na sequência são feitas as ligações entre os nodos de uma

mesma região {3}.

Uma vez que os nodos no interior de cada região estão interconectados, é possível inter-

ligar os nodos entre as diferentes regiões {4}.

A partir de então, é verificado se a topologia alcançou o grau nodal mínimo médio,

〈δ〉min, esperado (valor definido pelo usuário). Se o grau nodal mínimo médio estipulado nos

parâmetros de entrada for maior que o grau nodal médio, 〈δ〉, atual {5}, então ligações são

adicionadas {6} até o grau nodal mínimo médio ser atingido. Estas novas ligações também

obedecem a probabilidade de Waxman.

Enquanto o grau nodal médio estiver no intervalo estipulado na entrada do software,

cada nova topologia gerada é armazenada {9}, desde que seja sobrevivente. A verificação da

sobrevivência ocorre através do algoritmo de Suurballe [19] {8}. A validação no NTT Gen

é executada repetidamente até se obter uma topologia sobrevivente e quando encontrar não é

preciso nova validação (apenas numa nova simulação) quando novas ligações são adicionadas

{6}, pois não se altera a característica de sobrevivência.

Neste ponto, caso o número de simulações, ϕ , não tenha chegado ao máximo escolhido

{10}, as variáveis serão zeradas {11} e novos posicionamentos para os nodos no plano serão

definidos para criar novas topologias. A Figura 3.2 apresenta a interface da versão descrita

anteriormente do software NTT Gen.

O software cria dois arquivos de saída. Em um dos arquivos são registradas as posições

dos nodos no plano em coordenadas (x, y), junto com a informação das ligações das topologias e

o comprimento de cada ligação. No outro arquivo são armazenadas as medidas: número médio

de saltos do caminho de trabalho, 〈h〉, número médio de saltos do caminho de backup, 〈h′〉,

31

No âmbito das variáveis de mérito de redes de telecomunicações, existem estudos relaci-

onados a este trabalho. Em um deles os autores Labourdette et al. [11] apresentaram expressões

para uma rede óptica em malha com entradas limitadas para estimar o desempenho de restaura-

ção (mecanismo para sobrevivência da rede). Os operadores e pesquisadores usam expressões

aproximadas para obter valores da rede quando não possuem toda a informação ou quando o es-

forço computacional é muito alto no processo de dimensionamento de redes. Em outro estudo,

o autor Pavan [21] identificou as seguintes variáveis: o coeficiente de proteção, o coeficiente de

restauração e o número de saltos do caminho de trabalho e do caminho de backup, e para os

quais também apresentou expressões analíticas de aproximação.

As expressões para 〈h〉 e 〈h′〉 foram obtidas a partir de um conjunto significativo de

redes realísticas e podem ser visualizadas nas equações 3.2 e 3.3.

〈h〉 ≈ exp

{

0, 14 ln(N)− 0, 22 +0, 75 ln(N) + 0, 2

〈δ〉

}

= exp

{

−0, 22 +0, 2

〈δ〉

}

N0,14+( 0,75

〈δ〉)

(3.2)

〈h′〉 ≈ exp

{

0, 09 ln(N)− 0, 12 +0, 76 ln(N) + 1, 72

〈δ〉

}

= exp

{

−0, 12 +1, 72

〈δ〉

}

N0,09+( 0,76

〈δ〉)

(3.3)

Contudo, as expressões propostas por Pavan [21] para 〈h〉 e 〈h′〉 consideram o menor

caminho usando o algoritmo de Dijkstra. Neste caso, há diversas topologias que suportam

caminhos de trabalho e backup simultaneamente mas não podem garantir sobrevivência por

proteção de caminho, já que os caminhos podem não ser disjuntos. Novas expressões podem

ser utilizadas para proteção de ligação com outra forma de roteamento onde os caminhos serão

(garantidamente) disjuntos e portanto pode-se calcular a proteção por caminho. Neste trabalho,

vamos estender o trabalho realizado por Pavan [21] propondo duas novas expressões de aproxi-

mação, considerando uma forma diferente de roteamento através do algoritmo de Suurballe.

32

4 EXPERIMENTOS E RESULTADOS

As características de um conjunto significativo de redes ópticas de transporte reais [24]

e também variáveis de grafos foram estudadas para identificar aquelas que poderiam ser impor-

tantes para a caracterização dessas redes reais. Este estudo ocorreu a partir de artigos publicados

em conferências e em periódicos especializados e livros de grafos [17]. Algumas das variáveis

identificadas foram implementadas na ferramenta NTT Gen [8] para em seguida, verificar atra-

vés de regressões e ajustes de curvas [25] se possuem um bom coeficiente de determinação 1.

Milhares de topologias com diversos dados das medidas das variáveis de mérito a serem esti-

madas foram necessárias para proceder com as regressões, portanto, várias simulações foram

realizadas com o software NTT Gen. Ao obter estes dados, o software SPSS (Statistical Pac-

kage for the Social Sciences) [5, 13] foi utilizado para desempenhar as regressões.

Este capítulo mostra expressões estimadas de duas das variáveis de mérito estudadas e

todos os passos para sua obtenção como também a sua validação. As variáveis de mérito que

foram estimadas são o número médio de saltos pelo caminho de trabalho, 〈hsw〉, e o número

médio de saltos pelo caminho de backup, 〈hsb〉, com roteamento pelo algoritmo de Suurballe.

4.1 Expressões de aproximações para o número de saltos

Para estimar uma expressão de uma variável de rede, é importante ter muitos dados de

topologias de redes com tamanhos diferentes.

Para este trabalho, com o software NTT Gen foram realizadas execuções com 19 tama-

nhos de redes (de 10 a 100 nodos, aumentando de 5 em 5) e 4 tamanhos de grau mínimo e

máximo para cada conjunto de nodos (2,5, 3,0, 3,5 e 4). Em cada execução buscava-se 1000 to-

pologias para cada conjunto de nodos e em cada conjunto de nodos o grau foi alterado 4 vezes.

Como resultado, foram obtidos 19,000 registros para cada grau, totalizando 76,000 registros de

topologias de redes.

4.1.1 Regressões - Parte 1

A partir dos registros das simulações foi possível executar regressões através do soft-

ware SPSS. A definição de cada modelo utilizado em todas as regressões está na Tabela 4.1.

1 Demonstra o quanto um modelo estatístico pode explicar os dados observados variando de 0 a 1, onde 0 querdizer que não é possível explicar e 1 que a variável é 100% explicada pelo modelo.

33

Modelo EquaçãoLinear y = b0 + b1 · xLogarítmico y = b0 + b1 · ln xInversa y = b0 +

b1x

Quadrática y = b0 + b1 · x+ b2 · x2

Potência y = b0 · xb1

S (Sigmoidal) y = eb0+b1x

Exponencial y = b0 · eb1·x

Tabela 4.1: Modelos definidos do SPSS.

As regressões realizadas nesta parte, tinham como objetivo encontrar a função com o

melhor ajuste de curva dependente do valor do número de nodos N . Portanto, em cada conjunto

de nodos pertencente a um grau, foi realizado uma regressão. Então, uma regressão foi feita

para o conjunto de redes com grau 2,5, uma regressão para as redes com grau 3, uma regressão

para as redes com grau 3,5 e uma regressão para as redes com grau 4. O modelo de ajuste de

curva que obtivesse o melhor coeficiente de determinação na maioria dos casos dos conjuntos de

graus seria o determinado para o trabalho nesta etapa. Isso foi realizado para as duas variáveis.

Nas regressões, para o 〈hsw〉, a variável dependente foi o 〈hs

w〉 e a variável independente

foi o número de nodos N . Para o 〈hsb〉, a regressão teve como variável dependente o 〈hs

b〉 e como

variável independente o número de nodos N .

4.1.1.1 Regressões Grau 2,5

Na regressão do conjunto de dados do grau 2,5 na variável 〈hsw〉, a curva de potência

teve o melhor coeficiente de determinação (0,963) (Tabela 4.2).

Modelo Parâmetros estimadosEquação R2 b0 b1 b2Linear 0,901 2,417 0,045Logarítmico 0,957 -2,729 1,990Inversa 0,825 6,348 -52,673Quadrática 0,953 1,401 0,094 0,000Potência 0,963 0,741 0,481S 0,925 1,914 -13,444Exponencial 0,825 2,645 0,010

Tabela 4.2: Coeficiente de determinação (R2) do 〈hsw〉 do 〈δ〉 = 2,5.

O número médio de saltos do caminho de trabalho, 〈hsw〉, para o grau 2,5 variou de 1,93

a 8,35. Na Figura 4.1(a) é mostrado o gráfico do ajuste de curva dos dados do grau 2,5. Os

37


Tabela 4.6: Coeficiente de determinação (R2) do 〈hsw〉 do 〈δ〉 = 3,5.


Tabela 4.7: Coeficiente de determinação (R2) do 〈hsb〉 do 〈δ〉 = 3,5.

4.1.1.4 Regressões Grau 4

Na regressão do conjunto de dados do grau 4 na variável 〈hsw〉, a curva logarítmica mais

uma vez obteve o melhor coeficiente de determinação (0,985) (Tabela 4.8).


Tabela 4.8: Coeficiente de determinação (R2) do 〈hsw〉 do 〈δ〉 = 4.

O número médio de saltos do caminho de trabalho, 〈hsw〉, para o grau 4 variou de 1,56 a

3,96. Na Figura 4.4(a) é mostrado o gráfico do ajuste de curva dos dados do grau 4.

Na regressão do conjunto de dados do grau 4 na variável 〈hsb〉, a curva logarítmica tam-

bém obteve o melhor coeficiente de determinação (Tabela 4.9).

39

Em cada regressão anterior, o ajuste retornava os valores dos parâmetros. Estes parâ-

metros podem ser visualizados na Tabela 4.10. Desta forma a expressão resultante dependeria

apenas de N . Para tornar a expressão dependente de N e L novas regressões foram necessárias.

Grau 1os 〈hsw〉 2os 〈hs

w〉 1os 〈hsb〉 2os 〈hs

b〉2,5 -2,729 1,990 -2,746 2,8103 -1,050 1,249 -0,488 1,574

3,5 -0,575 0,998 -0,148 1,2264 -0,322 0,854 0,120 1,011

Tabela 4.10: Parâmetros do 〈hsw〉 e do 〈hs

b〉 da função logarítmica.

Nas novas regressões, uma regressão teria como variável dependente os primeiros parâ-

metros do grau e como variável independente o grau nodal médio, 〈δ〉. E uma outra regressão

para os segundos parâmetros do grau como variável dependente e o grau nodal médio, 〈δ〉,

como variável independente. Verificando assim, qual seria a melhor função do ajuste de curva

de cada parâmetro.

Para as regressões do 〈hsw〉, nos primeiros parâmetros, o resultado obtido foi a função

quadrática com o melhor coeficiente de determinação (Tabela 4.11). A função quadrática é

definida pela equação 4.2 em que b0, b1 e b2 são parâmetros e o x é a variável dependente.

y = b0 + b1 · x+ b2 · x2 (4.2)

Modelo Parâmetros estimadosEquação R2 b0 b1 b2Linear 0,842 -6,171 1,539Logarítmico 0,888 -7,034 5,041Inversa 0,927 3,930 -16,071Quadrática 0,986 -20,788 10,808 -1,426

Tabela 4.11: Coeficiente de determinação (R2) da regressão dos primeiros parâmetros do 〈hsw〉.

Considerando os parâmetros das Tabelas 4.2, 4.4, 4.6 e 4.8.

Os parâmetros desta função obtidas com o software SPSS são: -20,788 (b0), 10,808 (b1),

-1,426 (b2). Na Figura 4.5(a) é possível ver o gráfico dos primeiros parâmetros. O eixo X

representa o grau nodal, 〈δ〉, e o eixo Y representa os primeiros parâmetros.

Ainda nas regressões do 〈hsw〉, nos segundos parâmetros, o resultado obtido também foi

a função quadrática com o melhor coeficiente de determinação (Tabela 4.12). Os parâmetros

desta função são: 9,770 (b0), -4,612 (b1), 0,597 (b2). Na Figura 4.5(b) é possível ver o gráfico

42

Modelo Parâmetros estimadosEquação R2 b0 b1 b2Linear 0,775 -6,625 1,778Logarítmico 0,827 -7,668 5,890Inversa 0,874 5,177 -18,889Quadrática 0,967 -27,023 14,723 -1,990

Tabela 4.13: Coeficiente de determinação (R2) da regressão dos primeiros parâmetros do 〈hsb〉.


Modelo Parâmetros estimadosEquação R2 b0 b1 b2Linear 0,851 5,390 -1,149Logarítmico 0,895 6,028 -3,759Inversa 0,933 -2,143 11,971Quadrática 0,985 15,855 -7,786 1,021Potência 0,961 18,653 -2,149S 0,982 -1,726 6,782Exponencial 0,930 13,213 -0,663

Tabela 4.14: Coeficiente de determinação (R2) da regressão dos segundos parâmetros do 〈hsb〉.


Com isso, foi obtido a expressão para o número de saltos do caminho de backup com o

algoritmo de Suurballe (equação 4.6), onde N e L são os valores requisitados.

〈hsb〉 ≈

{

−27, 023 + 14, 723 ·2L

N+ (−1, 99) ·

(

2L

N

)2}

+

{

15, 855 + (−7, 786) ·2L

N+ 1, 021 ·

(

2L

N

)2}

· ln(N)

(4.6)

Para tornar a expressão mais simples, os ln(N) foram distribuídos:

〈hsb〉 ≈

{

−27, 023 + 14, 723 ·2L

N+ (−1, 99) ·

(

2L

N

)2}

+

15, 855 · ln(N) + (−7, 786) · ln(N) ·2L

N+ 1, 021 · ln(N) ·

(

2L

N

)2(4.7)

E o 2LN

e (2LN)2 foram fatorados de modo que os termos comuns foram juntados. Por fim

43

se obteve a expressão da equação 4.8 para o número de saltos do caminho de backup 〈hsb〉.

〈hsb〉 ≈ (−27, 023 + 15, 855 · ln(N) )

+(14, 723− 7, 786 · ln(N)) ·2L

N

+(−1, 99 + 1, 021 · ln(N)) ·

(

2L

N

)2

(4.8)

As expressões: 4.5 e 4.8 podem ser utilizadas para estimar valores que extrapolam o

intervalo definido (por exemplo para um N=110).

4.2 Validação das expressões do número de saltos

Para validar as expressões propostas em 4.5 e 4.8, foi calculado o erro das variáveis

de mérito. O cálculo foi realizado através da equação 4.9 comparando os valores do número

de saltos das topologias simuladas com os das topologias das expressões aproximadas e tam-

bém o número de saltos das topologias das redes reais com os das topologias das expressões

aproximadas.

ǫT,〈δ〉 = |VT,〈δ〉 − V〈δ〉

VT,〈δ〉

| · 100 (4.9)

Onde VT,〈δ〉 é o valor exato para uma topologia com grau 〈δ〉 e V〈δ〉 é a estimativa obtida

com as expressões.

4.2.1 Comparativo: Topologias simuladas × Expressão

Para comparar o valor do número de saltos das topologias simuladas com o valor do

número de saltos da expressão foi verificado o erro em cada conjunto de grau 〈δ〉. Para obter

o valor do número de saltos a partir da expressão, foi dado o N e o L de acordo com o N e

L das topologias simuladas. Então, 19,000 valores do número de saltos foram obtidos com a

expressão para um determinado grau. Isso foi realizado para cada conjunto de grau, ou seja,

ao final, obteve-se 76,000 valores do número de saltos com a expressão: 76,000 para o 〈hsw〉

e 76,000 para o 〈hsb〉. Em seguida, o erro foi calculado com a equação 4.9 para cada conjunto

de grau. Com isso, foi alcançado 19,000 medidas de erros em cada conjunto. Para encontrar o

erro médio, estes valores foram somados e o resultado foi dividido por 19,000. Então, haviam

4 erros médio (um para cada conjunto de grau) para o 〈hsw〉 e 4 para o 〈hs

b〉.

O erro relativo para o grau 2,5 da variável 〈hsw〉 foi: 4,22%, para o 3: 3,05%, para o 3,5:

2,96% e para o 4: 2,05%. Ao visualizar estes valores é possível perceber que o erro diminuía

47

Rede N L 〈δ〉〈hsw〉 Real 〈hs

b〉 Real 〈hsw〉 Exp. 〈hs

b〉 Exp.Abilenecore 10 13 2,60 2,27 3,67 1,85 3,59Aconet 15 22 2,93 2,17 3,17 2,38 3,92Arnes 17 20 2,35 3,06 6,67 3,05 5,63Arpanet 20 32 3,20 2,77 4,11 2,57 3,89Bren 10 11 2,20 2,33 4,87 1,87 4,18Bulgaria 23 24 2,09 5,65 11,44 4,16 7,74Canarie 19 26 2,74 3,04 5,34 2,88 4,82Cernet 29 45 3,10 2,90 4,81 3,08 4,64Cesnet 12 19 3,17 2,03 3,20 2,00 3,22Compuserv 11 14 2,55 2,25 3,75 2,04 3,92Coronet 75 97 2,59 6,98 9,84 5,55 8,74Cost37 37 57 3,08 3,79 5,56 3,41 5,07Cox 24 40 3,33 2,72 4,44 2,67 3,90Eon 19 37 3,89 2,33 3,23 2,22 3,13Garr-b-changed 16 27 3,38 2,36 3,61 2,23 3,35Geant2 30 48 3,20 3,23 4,80 3,02 4,46Germany 17 26 3,06 2,74 4,10 2,47 3,90Hibernia 15 23 3,07 2,67 4,04 2,31 3,69Ibn31 31 47 3,03 4,48 5,49 3,25 4,93Internet2 56 61 2,18 8,94 14,79 6,28 10,66Italy 14 29 4,14 1,87 2,80 1,91 2,78Learn 10 11 2,20 2,33 4,87 1,87 4,18Loni 33 37 2,24 5,82 12,94 4,77 8,33Memorex 19 24 2,53 3,30 6,54 3,09 5,43Metrona 33 41 2,48 5,40 8,70 4,24 7,11Mzima 15 19 2,53 2,77 5,19 2,63 4,77Newnet 26 31 2,38 4,45 7,07 3,94 6,85Nlr 19 23 2,42 3,52 7,02 3,21 5,76Nsfnet 14 21 3,00 2,14 3,62 2,25 3,69Omi1 38 54 2,84 4,66 7,16 3,81 5,93Omnicom 38 54 2,84 4,64 7,18 3,81 5,93Pionier 21 25 2,38 3,65 6,56 3,48 6,20Portugal 26 36 2,77 3,69 5,67 3,34 5,41Renater 27 35 2,59 3,41 5,91 3,67 6,12Rnp 10 12 2,40 2,38 4,02 1,86 3,87Sanet 25 28 2,24 4,63 9,52 4,10 7,36Spain (Redirisnet) 17 28 3,29 2,22 3,41 2,33 3,53Sweden 20 24 2,40 3,98 7,14 3,35 5,99USA 100 171 3,42 6,72 8,51 4,01 5,44Vbns 12 17 2,83 2,42 3,92 2,10 3,66Vianet 9 12 2,67 1,97 3,64 1,66 3,26

Tabela 4.15: Topologias de redes reais

48

4.3 Considerações Finais

Este trabalho de conclusão de curso apresentou um conjunto de variáveis chaves para a

caracterização de topologias de redes ópticas de telecomunicações. Adicionalmente, duas novas

variáveis de mérito foram propostas, uma é relativa ao número médio de saltos para o caminho

de trabalho e outra para o número médio de saltos para o caminho de backup. A novidade nestas

variáveis é a utilização de uma estratégia de roteamento diferente daquela utilizada em variáveis

já definidas na literatura. Ainda foram propostas as respectivas expressões semi empíricas para

estimar os valores destas variáveis, dependentes somente do número de nodos e de ligações.

As expressões foram validadas a partir da comparação com os valores das topologias

de redes reais. Os resultados dos experimentos demonstraram que o erro relativo é em média

menor que 12%. Estas expressões aproximadas serão úteis na busca do número de saltos de

trabalho e de backup em topologias de redes ópticas de transporte de telecomunicações que

consideram a sobrevivência por falha em uma ligação, quando não há a informação completa

da rede.

Sugere-se, como trabalhos futuros, o estudo e proposição de novas expressões de apro-

ximação para variáveis de mérito que dependem do esquema de roteamento.

49

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