Velocidade de Fase e de Grupo Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre ENGC34 – ELETROMAGNETISMO...
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Velocidade de Fase e de Grupo
Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre
ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO
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Uma onda eletromagnética só tem informação se alguma das suas propriedades é alterada através do processo denominado modulação, que consiste em alterar a amplitude, frequencia ou fase da onda. Veja por exemplo a modulação por amplitude devido a um sinal digital
0
0 0
portadora
informação
sinal modulado
2
t
t
tempo frequência
0cos t
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0 0
Analisando o espectro de frequências do sinal modulado, vemos que a maior parte da energia se encontra distribuída entre os primeiros cruzamentos por zero.Dessa forma podemos simplificar nossa análise considerando um sinal mais simples, com a mesma largura de banda
tempo
0cos t
cos t informação
sinal modulado
portadora
0
0 0
2
t
frequência
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Observando o espectro do sinal modulado, que corresponde a onda enviada desde o tranmissor para o receptor pode-se escrever de forma geral,
na saída do transmissor (z=0) pode ser escrita como,
0 0 0 0( , ) Re j t jk z j t jk zf z t e e e e
0 0( 0, ) Re j t j tf z t e e
0( 0, ) 2cos cosf z t t t
0 0( 0, ) cos cosf z t t t
0 0
0 0
0, cos cos sin sin
cos cos sin sin
f z t t t t t
t t t t
Utilizando a identidade
Obtem-se
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Considerando que <<Dw w0, o vetor de onda k na vizinhança de w0, será aproximado usando expansão de series de Taylor de primeira ordem,
resultando em um sinal que pode ser descrito pela seguinte expressão para qualquer instante de tempo e emqualquer posição z,
0( 0, ) 2cos cosf z t t t
0
0 0
dkk k
d
0 0
0 00 0( , ) Re
dk dkj k z j k z
d dj t j tf z t e e e e
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0 0
0 00 0( , ) Re
dk dkj k z j k z
d dj t j tf z t e e e e
0
0
0 0
0 0
( , ) cos
cos
dkf z t t k z
d
dkt k z
d
0
0
0 0
0 0
( , ) cos
cos
dkf z t t k z t t z
d
dkt k z t t z
d
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0
0
0
0
0 0
0 0
0 0
0 0
( , ) cos cos
sin sin
cos cos
sin sin
dkf z t t k z t z
d
dkt k z t z
d
dkt k z t z
d
dkt k z t z
d
Utilizando a identidade
Obtem-se então
0
0 0( , ) 2cos cosdk
f z t t k z t zd
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Analisando a expressão final, percebe-se que cada coseno, que corresponde à portadora e à informação, sofre um atraso denominado de atraso de fase e de grupo, respectivamente,
Onde,
Desta forma, definimos as velocidades de fase e de grupo da seguinte maneira,
00
p
kz
0( , ) 2cos cosp gf z t t t
0
0 0( , ) 2cos cosdk
f z t t k z t zd
0
g
dkz
d
0
0pv k
0
g
dv
dk
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k()
vg = d
0 / dk(
0)
vp =
0 / k(
0)
0
k(0)
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http://newton.ex.ac.uk/teaching/au/phy1106/animationpages/wavepacket_no_dispersion.html
O ponto preto se desloca comvelocidade de fase (acompanha a fase)O ponto vermelho se desloca com velocidade de grupo (acompanha a envoltoria)
Velocidade de fase = velocidade de grupo
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http://newton.ex.ac.uk/teaching/resources/au/phy1106/animationpages/animations/normal_dispersion.gif
O ponto preto se desloca comvelocidade de fase (acompanha a fase)O ponto vermelho se desloca com velocidade de grupo (acompanha a envoltoria)
Velocidade de fase > velocidade de grupo
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http://newton.ex.ac.uk/teaching/au/phy1106/animationpages/wavepacket_anomalous_dispersion.html
O ponto vermelho se desloca com velocidade de fase (acompanha a fase)O ponto preto se desloca com velocidade de grupo (acompanha a envoltoria)
Velocidade de fase < velocidade de grupo