VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE DE PILARES …americo/topicos/pilar.pdf · Curso de Especialização...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE

DE PILARES ESBELTOS DE

CONCRETO ARMADO

AMÉRICO CAMPOS FILHO

2014

SUMÁRIO

1 - FUNDAMENTOS ............................................................................................................................... 1

1.1 - Instabilidade na compressão axial – flambagem ................................................................................ 1

1.2 - Instabilidade na flexão composta ............................................................................................ ........... 2

2 - PROCEDIMENTOS PARA A VERIFICAÇÃO DE PILARES ............................................................ 4

2.1 - Recomendações da norma brasileira sobre pilares ............................................................................. 4

2.2 - Verificação da estabilidade de um pilar pelo método do equilíbrio ................................................... .. 5

2.3 - Determinação dos deslocamentos pela analogia de Mohr .................................................................. 7

2.4 - Determinação das curvaturas das seções a partir do momento fletor e do esforço normal atuante ....... 9

2.5 - Instabilidade na flexão composta oblíqua ........................................................................................ .. 14

2.5.1 - Deformações do eixo da barra ....................................................................................... ................. 14

2.5.2 – Curvaturas .................................................................................................................. .................. 15

2.5.3 - Verificação da estabilidade de um pilar pelo método do equilíbrio .................................................. 17

2.6 - Observações gerais .......................................................................................................... .................. 17

2.6.1 – Princípios básicos de cálculo ......................................................................................................... 17

2.6.2 - Consideração da fluência .................................................................................................... ........... 17

3 - PROGRAMA PARA VERIFICAÇÃO DE PILARES ESBELTOS DE CONCRETO ARMADO

SUBMETIDOS À FLEXO-COMPRESSÃO NORMAL ............................................................................

19

3.1 – Abrangência do programa ................................................................................................................ 19

3.2 - Primeiro exemplo de utilização do programa .................................................................................. .. 19

3.3 - Segundo exemplo de utilização do programa ..................................................................................... 22

3.4 - Terceiro exemplo de utilização do programa .................................................................................. ... 25

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................................................... 28

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Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 1

1 - FUNDAMENTOS

1.1 - Instabilidade na compressão axial - flambagem

Tomando-se uma barra reta, axialmente comprimida, de comportamento elástico-linear, verifica-se

experimentalmente que, sob ação de carregamentos crescentes, atinge-se um estado no qual a forma reta de

equilíbrio é instável. A carga correspondente a este estado é dita carga crítica ou carga de flambagem.

O fenômeno de instabilidade das barras retas axialmente comprimidas é caracterizado pela presença do

ponto de bifurcação do equilíbrio, no diagrama que relaciona a carga F aplicada com o máximo deslocamento a

da barra.

Figura 1.1 - Barra reta, de comportamento elástico-linear, axialmente comprimida

A carga crítica ou carga de flambagem é dada por

FEI

crit

e

2

2 (1.1)

onde e é o comprimento de flambagem da barra, que depende de sua vinculação e de seu comprimento.

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Figura 1.2 - Comprimento de flambagem das barras

Para os materiais estruturais, como o concreto e o aço, a situação de flambagem é um estado limite

último. Para cargas pouco superiores à carga crítica, a flecha já é igual a uma fração apreciável do comprimento

da barra, levando a barra a ruptura por flexão composta. Em outros materiais, a barra pode resistir a cargas

sensivelmente superiores à carga de flambagem, pelo que o estado limite de flambagem deixa de ser um estado

limite último.

Se o material analisado tem um comportamento linear apenas para tensões menores que um dado limite

de proporcionalidade, observa-se uma mudança da forma de equilíbrio, para cargas críticas superiores a este

limite. Neste caso, para cargas superiores a carga crítica, a forma reta de equilíbrio é instável e a forma fletida é

impossível.

Figura 1.3 - Barra reta, de comportamento não-linear, axialmente comprimida

1.2 - Instabilidade na flexão composta

Determinando-se a flecha de uma barra reta, de comportamento elástico-linear, submetida à flexão

composta, chega-se aos resultados apresentados na Fig. 1.4. Conclui-se, desta forma, que enquanto o material

permanecer no regime elástico, não existe problema de instabilidade na flexão composta, pois sempre haverá

uma configuração de equilíbrio estável.

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Figura 1.4 - Barra reta, de comportamento elástico-linear, submetida à flexão composta

Caso o material apresente um comportamento não-linear, a resposta da estrutura vai ser do tipo

mostrado na Fig. 1.5. Nesta situação, o equilíbrio é impossível para uma carga maior que a carga crítica. O ponto

B não corresponde a uma mudança da configuração de equilíbrio estável, mas sim a uma reversão do andamento

das deformações. Antes de se atingir este ponto, isto é, para uma carga inferior à carga crítica, a um aumento de

F corresponde um aumento da flecha a. Pelo contrário, após ser atingido o ponto B, não só é impossível

aumentar a carga, como a própria manutenção do equilíbrio somente será possível com um sistema de

deformação controlada, pois o aumento das flechas corresponde a uma diminuição das cargas.

Figura 1.5 - Barra reta, de comportamento não-linear, submetida à flexão composta

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2 - PROCEDIMENTOS PARA A VERIFICAÇÃO DE PILARES

2.1 - Recomendações da norma brasileira sobre pilares

Conforme a NBR-6118, o tipo de verificação a ser feita em pilares depende do índice de esbeltez que o

pilar apresenta. O índice de esbeltez é definido por

e

i (2.1)

onde e é o comprimento de flambagem do pilar e i é o raio de giração mínimo da seção de concreto, calculado

por

iJc

Ac (2.2)

sendo Ac a área e Jc o momento principal central de inércia mínimo da seção transversal do pilar.

As exigências da NBR-6118, relativas aos pilares, podem ser resumidas na Tabela 2.1.

Neste trabalho, apresenta-se um procedimento “exato” para a verificação da estabilidade de pilares de

concreto armado, com índice de esbeltez até 200. O que caracteriza este procedimento “exato” é a determinação

das curvaturas das seções, a partir das solicitações, utilizando os diagramas tensão-deformação dos materiais

recomendados pela norma. O procedimento apresentado é bastante geral, abrangendo a análise de pilares de

seção transversal qualquer e variável ao longo da altura do pilar.

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Tabela 2.1 - Exigências da NBR-6118 relativas à verificação da segurança de pilares

f

Consideração

dos efeitos de

2a ordem

PROCESSO DE CÁLCULO

Consideração

da fluência

Exato

Aproximado

(diagramas

M, N, 1/r)

Simplificado

1

1,4

dispensável - - - -

90

obrigatória

dispensável permitido

permitido dispensável

140

não

permitido obrigatória

200 1,4+0,01(λ – 140) obrigatório não

permitido

NÃO É PERMITIDO EMPREGAR > 200

2.2 - Verificação da estabilidade de um pilar pelo método do equilíbrio

A idéia básica do método do equilíbrio é realizar a verificação da segurança de um pilar, frente ao

estado limite de instabilidade, sem a necessidade da determinação da carga crítica do mesmo. Ou seja, o método

do equilíbrio consiste em verificar-se que, sob a ação do carregamento de cálculo Fd, tem-se uma flecha a em

uma seção de referência do pilar, e que tal situação corresponde a uma configuração estável de equilíbrio.

Fd

aref

equlíbrio estável

F

a

Figura 2.1 - Verificação da estabilidade pelo método do equilíbrio

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Desta forma, calcula-se apenas um ponto do diagrama carga-deslocamento do pilar. Na Fig. 2.2,

apresenta-se, esquematicamente, o procedimento de verificação da estabilidade de um pilar, usando o método do

equilíbrio. Na primeira etapa, determina-se o deslocamento a1, calculando-se as solicitações considerando-se a

configuração indeformada do pilar. Qualquer que seja o tipo de carregamento ou de variação da seção

transversal, calcula-se a flecha a1 a partir das relações momento fletor-esforço normal-curvatura. Na segunda

etapa, determinam-se as solicitações, considerando-se a configuração da barra com os deslocamentos calculados

na etapa anterior e assim sucessivamente.

eiFd

eia1Fd

an-1Fd

ei

1a. etapa 2a. etapa na. etapa

a2

an

a1

. . .

Fd

a

F

curva desconhecida

único ponto calculado

Figura 2.2 - Procedimento do método do equilíbrio

As flechas calculadas a1, a2, a3, ..., an-1, an constituem-se numa seqüência que, quando convergente,

comprova a estabilidade da configuração de equilíbrio. A convergência da seqüência pode ser constatada

numericamente. Quando ela ocorre, sabe-se que a carga Fd está abaixo da carga crítica.

Desta forma, para aplicação do método do equilíbrio, precisa-se, em cada uma das etapas, do seguinte

calcular as solicitações ao longo do eixo do pilar, a partir de uma configuração deformada;

conhecidas as solicitações de uma seção, calcular a curvatura correspondente;

integrar as curvaturas das diferentes seções, ao longo do eixo do pilar, para obter os deslocamentos.

Apresentam-se, nos itens que seguem, os procedimentos para realizar estas tarefas.

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2.3 - Determinação dos deslocamentos pela analogia de Mohr

Para a determinação dos deslocamentos dos pilares, é necessário integrar as curvaturas das diversas

seções ao longo do eixo do pilar. Isto pode ser feito através da analogia de Mohr, conforme foi empregado por

Hoffmann (1980)

Considerando-se a semelhança que existe entre as expressões

d y

dx r r

M

E J

d M

dxp

dM

dxV

2

2

2

2

1 1

;

;

(2.3)

pode-se imaginar a determinação da deformada y(x), calculando-se os momentos fletores M*(x), devido a um

carregamento imaginário p*(x)=1/r(x). O sistema equivalente de Mohr é o sistema sobre o qual se aplica o

carregamento p*(x), com condições de apoio escolhidas de acordo com as condições de deformação da barra.

y

xy(x)=?

p(x)

A B

M*(x)=y(x)

p*(x)=1/r

A B

Figura 2.3 - Sistema equivalente de Mohr para uma barra bi-rotulada

Para uma barra bi-rotulada, Fig. 2.3, tem-se

BARRA REAL SISTEMA EQUIVALENTE DE MOHR

yA = yB = 0 M*A = M*B = 0

A 0 V*A 0

B 0 V*B 0

____________________________________________________________________________________________________


y

xy(x)=?

p(x)

AB

M*(x)=y(x)A B

p*(x)=1/r

Figura 2.4 - Sistema equivalente de Mohr para uma barra engastada livre

Já para uma barra engastada-livre, Fig. 2.4, tem-se

BARRA REAL SISTEMA EQUIVALENTE DE MOHR

yA = 0 M*A = 0

A = 0 V*A = 0

yB 0 M*B 0

B 0 V*B 0

Pelo processo proposto por Hoffmann (1980), deve-se dividir a barra em n partes iguais, com um

comprimento x. Assim

xn

(2.4)

Supondo-se que as curvaturas tenham uma variação parabólica, ao longo do comprimento da barra,

determinam-se os pesos wk. Os pesos wk são forças fictícias, aplicadas nos pontos k, equivalentes ao

“carregamento” p*(x) das curvaturas. A força fictícia wk do diagrama de curvaturas é dada por

wr

dxkk x

k x

1

1( )

(2.5)

Considerando esta distribuição, os pesos w, nos pontos k valem:

- para o extremo superior da barra

wx

r r r0

0 1 2123 5

13

10 5

1

, , (2.6)

____________________________________________________________________________________________________


- para um ponto intermediário k

wx

r r rk

k k k

12

110

1 1

1 1

(2.7)

- para o extremo inferior da barra

wx

r r rn

n n n

123 5

13

10 5

1

1 2

, , (2.8)

O mesmo processo pode ser utilizado para outra vinculação da barra.

Desta forma, o roteiro do método do equilíbrio, usando a analogia de Mohr, pode ser resumido no

seguinte roteiro:

(a) Dividir o comprimento da barra em n partes iguais.

(b) Calcular os esforços solicitantes de primeira ordem em cada um dos (n+1) pontos.

(c) Escolher o sistema equivalente de Mohr.

(d) Calcular as curvaturas (1/r)k (k=0,n), verificando se nenhum estado limite foi excedido.

(e) Determinar os pesos wk.

(f) Considerar o sistema equivalente carregado pelas cargas concentradas wk, nos pontos k, e determinar os

valores de M*k, que devido a analogia de Mohr são os yk.

(g) Verificar a convergência

y

y

tolerancia

ki

n

ki

n

2

0

2

0

1

2

(2.9)

(h) Caso a condição anterior seja verdadeira, seguir para o passo (j), senão ir para o passo (i).

(i) Determinar os momentos fletores Mk no sistema deformado e voltar para (d).

(j) Final do processo, se houver convergência a configuração deformada obtida é de equilíbrio estável.

2.4 - Determinação das curvaturas das seções a partir do momento fletor e do esforço normal atuante

Na análise da estabilidade de uma estrutura de concreto armado, é necessária a obtenção da

configuração deformada de uma seção, para uma determinada combinação de esforços que a solicitam abaixo do

seu limite de resistência. Apresenta-se, neste item, um procedimento geral para a determinação desta

configuração deformada para uma seção de concreto armado, definida por uma poligonal fechada.

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O problema pode ser definido da seguinte forma:

conhecidos:

a geometria da seção de concreto armado (coordenadas dos vértices da poligonal fechada,

coordenadas das barras e suas respectivas percentagens em relação à área total de armadura;

as resistências características do aço e do concreto (fyk e fck);

a área total de armadura As.

deseja-se determinar:

a combinação única de parâmetros , b, c (inclinação da linha neutra, curvatura e deformação do

centróide da seção), que corresponda a esforços resistentes em equilíbrio com os esforços atuantes

fornecidos, desde que as deformações extremas superior e inferior da seção de concreto armado, S e

I, não ultrapassem os valores estabelecidos pela NBR-6118 (-3,5‰ na fibra mais comprimida da

seção e 10‰ na fibra mais tracionada).

X

Y

x

y

LINHA NEUTRA

C

S

I

I

S

Figura 2.5 - Distribuição de deformações em uma seção de concreto armado

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Na situação mais geral, correspondente à flexo-compressão oblíqua, deve-se resolver um sistema de três

equações não-lineares com três incógnitas:

f b c MR b c MA

g b c MR b c MA

h b c NR b c NA

x x

y y

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

0

0

0

(2.10)

onde MRx, MRy e NR são os esforços resistentes, funções dos parâmetros , b, c, e MAx, MAy e NA são os

esforços atuantes.

Na flexo-compressão reta ou normal, bastaria resolver um sistema de duas equações não-lineares com

duas incógnitas ( = valor conhecido)

f b c MR b c MA

g b c NR b c NA

x x( , ) ( , )

( , ) ( , )

0

0 (2.11)

Para resolver o sistema formado pela Eqs. (2.10), utilizando-se o método de Newton-Raphson, deve-se

resolver uma série de sistemas de três equações lineares com três incógnitas, do tipo

K u u pi i i({ } ) { } { } (2.12)

sendo que, para i-ésima iteração, tem-se

{u}i - é o vetor com os parâmetros , b, c a serem ajustados;

{u}i - é o vetor incremental de {u}i;

{p}i - é o vetor de diferenças entre os esforços atuantes e os esforços resistentes, correspondentes aos valores de

, b, c da i-ésima iteração.

A matriz [K({u}i)] contém as derivadas parciais dos esforços resistentes em relação aos parâmetros de

ajuste. Desta forma, pode se escrever a Eq.(2.12), por extenso, do seguinte modo

MR MR

b

MR

c

MR MR

b

MR

c

NR NR

b

NR

c

b

c

MA MR

MA MR

NA NR

x x x

y y yx x

y y

(2.13)

O algoritmo para a determinação da deformada de uma seção, uma vez estabelecidas a geometria da

seção de concreto armado (coordenadas dos vértices da poligonal fechada, coordenadas das barras e suas

respectivas percentagens em relação à área total de armadura), as resistências características do aço e do concreto

(fyk e fck) e a área total de armadura As, é o seguinte:

(a) arbitram-se, inicialmente, os parâmetros , b e c a serem ajustados;

(b) por integração das tensões, obtêm-se os esforços resistentes MRx, MRy e NR e os elementos da matriz de

derivadas parciais [K], correspondentes aos valores de , b e c; da i-ésima iteração;

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(c) calcula-se o vetor de desequilíbrio pela diferença entre esforços atuantes conhecidos e os esforços resistentes

obtidos no item anterior

{ }

p

M

M

N

MA MR

MA MR

NA NR

i

x

y

x x

y y

(2.14)

(d) verifica-se a convergência por

M M N

MA MA NAtolerância

x y

x y

2 2 2

2 2 2

1

2

(2.15)

(e) caso a condição acima seja satisfeita, vai-se para o item (i), senão segue-se para (f);

(f) resolve-se o sistema de equações lineares

{ } [ ] { } u K pi i 1 (2.16)

(g) determinam-se , b e c a partir da expressão

{ }u b

c

b

c

b

c

i

i i

1

1

(2.17)

(h) retorna-se ao item (b);

(i) o processo iterativo é encerrado e a deformada da seção é obtida.

Através deste procedimento são obtidos a inclinação da linha neutra , a curvatura da seção b e a

deformação c do centróide da seção de concreto, correspondentes à área total de armadura As preestabelecida, de

tal forma que as deformações extremas superior e inferior da seção, S e I, não ultrapassem os limites prescritos

na NBR6118.

As derivadas parciais dos esforços resistentes, em relação aos parâmetros , b e c, são obtidas conforme

apresentados por Campos Filho (1996) e têm as expressões dadas a seguir

derivadas parciais dos esforços resistentes em relação à inclinação da linha neutra

MRMR

MRMR

NR

xy

yx

0

(2.18)

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derivadas parciais dos esforços resistentes em relação à curvatura da seção b

para a seção de concreto:

MR

bG G

MR

bG G

NR

bG G

cdi

n

cdi

n

cdi

n

1 02 2 031

1 11 2 121

1 01 2 021

(2.19)

onde

ba2

ca2a

22

211

(2.20)

para a seção de aço:

MR

bA E

MR

bA E

NR

bA E

j s T jj

m

j

j s T jj

m

j j

j s T j jj

m

. . ( ).

. . ( ).

. . ( ).

.

1

2

1

1

(2.21)

Finalmente, tem-se

MR

b

MR

b

MR

b

MR

b

MR

b

MR

b

x

y

cos sen

sen cos

(2.22)

derivadas parciais dos esforços resistentes em relação à deformação no centróide da seção c

para a seção de concreto:

MR

cG G

MR

cG G

NR

cG G

cdi

n

cdi

n

cdi

n

1 01 2 021

1 10 2 111

1 00 2 011

(2.23)

____________________________________________________________________________________________________


para a seção de aço:

MR

cA E

MR

cA E

NR

cA E

j s T jj

m

j

j s T jj

m

j

j s T jj

m

. . ( ).

. . ( ).

. . ( )

1

1

1

(2.24)

Finalmente, tem-se

MR

c

MR

c

MR

c

MR

c

MR

c

MR

c

x

y

cos sen

sen cos

(2.25)

2.5 - Instabilidade na flexão composta oblíqua

2.5.1 - Deformações do eixo da barra

Seja uma barra submetida a um carregamento que produz flexão composta oblíqua em suas seções

transversais (Fig. 2.6). Sob ação do carregamento aplicado, o eixo da barra sofre deformações. No caso de barras

esbeltas, os deslocamentos transversais criam as excentricidades e2 de segunda ordem, as quais não podem ser

ignoradas no estudo da peça.

Figura 2.6 - Barra reta submetida à flexo-compressão oblíqua

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O eixo deformado do pilar é uma curva reversa, já que o plano de flexão é variável, de seção para seção,

em virtude da própria deformação da barra. A deformada do pilar só vai ser uma curva plana, se a linha neutra de

todas as seções tiver sempre a mesma direção, fato este que não pode acontecer, quando o plano de flexão varia

de seção para seção.

2.5.2 - Curvaturas

Seja uma seção retangular submetida a flexo-compressão oblíqua, conforme aparece na Fig. 2.7. As

conclusões estabelecidas a seguir são válidas para seções de forma qualquer, embora determinadas a partir de

uma seção retangular.

A partir da Fig. 2.7, pode-se escrever

1 2 1 3 4

r h hx x x

(2.26)

1 2 3 1 4

r h hy y y

(2.27)

e

1 2 4

r h

(2.28)

Mas

( ) ( ) 2 3 3 4 2 4 (2.29)

e, portanto

h

r

h

r

h

r

y

y

x

x

(2.30)

Por outro lado, tem-se que

h h hx y sen cos (2.31)

Desta forma, pode-se escrever que

h

r

h

r

h h

r

y

y

x

x

x y

sen cos

(2.32)

ou

hr r

hr r

xx

yy

1 10

sen cos

(2.33)

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Para que a condição expressa pela Eq.(2.30) seja satisfeita, para quaisquer valores de hx e de hy, as

igualdades seguintes devem ser verificadas

1 1

1 1

r r

r r

x

y

sen

cos

(2.34)

x

y

12

3 4

hy

hx

2

h

4LN

Figura 2.7 - Curvaturas em uma seção submetida à flexo-compressão oblíqua

____________________________________________________________________________________________________


2.5.3 - Verificação da estabilidade de um pilar pelo método do equilíbrio

A verificação da estabilidade de um pilar, submetido a flexo-compressão oblíqua, é feita pelos mesmos

procedimentos empregados nos casos de flexo-compressão normal, com as devidas adaptações para a

consideração tanto da existência de dois momentos fletores, quanto da variação da posição da linha neutra.

O procedimento, no caso da flexo-compressão oblíqua, tem os seguintes passos

determinam-se os momentos fletores de primeira ordem;

determinam-se a distribuição de curvaturas 1/r e as diferentes inclinações das linhas neutras ao longo do

eixo do pilar;

calculam-se as curvaturas nas direções x e y (1/rx e 1/ry) a partir dos valores de 1/r e para cada seção;

integram-se as curvaturas ao longo do eixo do pilar separadamente para as direções x e y e determinam-se os

deslocamentos;

calculam-se os novos momentos fletores, considerando a configuração deformada;

reinicia-se o ciclo iterativo com o cálculo de novas curvaturas e direções das linhas neutras para as diversas

seções;

o processo iterativo se encerra quando a série de deslocamento converge (pilar estável) ou quando se chega a

ruptura de uma das seções.

2.6 - Observações gerais

2.6.1 – Princípios básicos de cálculo

Conforme a NBR6118, a análise estrutural com efeitos de 2ª ordem deve assegurar que, para as

combinações mais desfavoráveis das ações de cálculo, não ocorra perda da estabilidade nem esgotamento da

capacidade resistente de cálculo. A não-linearidade física, presente nas estruturas de concreto armado, deve ser

obrigatoriamente considerada. A deformabilidade dos elementos deve ser calculada com base nos diagramas

tensão-deformação dos materiais. A tensão de pico do concreto deve ser igual a 1,10 fcd, já incluído o efeito de

carga mantida (Rüsch), e a do aço igual a fyd, com os valores de z e c utilizados para o estado limite último. Os

valores característicos das ações devem ser majorados por um fator f / 1,10.

2.6.2 - Consideração da fluência

Conforme a NBR6118, na avaliação da segurança dos pilares com índice de esbeltez acima de noventa,

quando houver cargas de longa duração, deverão ser consideradas, obrigatoriamente, as deformações por fluência

do concreto.

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1,10 fcd

c

(1+f)c

c fc c2 cu (1+f)c2 (1+f)cu

c

c

f = 0 f = 2

Figura 2.8 - Diagrama tensão-deformação do concreto com a consideração da fluência

Assim

f

cc c

c total c cc

, (2.35)

onde

c - é a deformação imediata do concreto;

cc - é a deformação por fluência do concreto;

c,total - é a deformação total do concreto;

f - é o coeficiente de fluência.

Desta forma, o diagrama tensão-deformação do concreto sofre uma transformação, conforme aparece na

Fig. 2.8.

Nas análises em que coexistirem cargas de curta e longa duração, recomenda-se a utilização do método

da função equivalente de fluência. De acordo com este método aproximado, realiza-se o cálculo como se toda a

carga fosse de longa duração, adotando-se para o coeficiente de fluência o valor efetivo dado por

f fef t t ( , )0 (2.36)

onde

- é a fração do esforço normal que produz fluência;

- é a fração do momento fletor de primeira ordem que produz fluência;

f(t,t0) - é o coeficiente de fluência real do problema.

Este método é bastante geral, podendo ser aplicado inclusive nos casos de pilares muito esbeltos ou de

seção transversal variável.

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3 - PROGRAMA PARA VERIFICAÇÃO DE PILARES ESBELTOS DE CONCRETO ARMADO

SUBMETIDOS À FLEXO-COMPRESSÃO NORMAL

3.1 – Abrangência do programa

Apresenta-se, neste capítulo, a utilização de um programa, para a verificação de pilares de concreto

armado submetidos à flexo-compressão normal, através do método do equilíbrio. Este programa segue os

procedimentos apresentados no capítulo 2.

3.2 - Primeiro exemplo de utilização do programa

No primeiro exemplo, é feita a verificação do pilar bi-rotulado, apresentado na Figura 3.1.

Figura 3.1 - Pilar verificado no exemplo 1

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O arquivo de entrada de dados utilizado é o seguinte

2 15 700 0 valor indicando pilar bi-rotulado

número seções analisadas

comprimento total do pilar

coeficiente de fluência

"A" 50 21000 2.5 tipo de aço, fyk, Es, fck

5 2 seção 1:

número vértices seção de concreto

número de barras de armadura

400 -70 800 0.1500 Pv(x), Ph(x), M(x), p(x)

-15 -12.5 uma linha para cada vértice da

15 -12.5 poligonal fechada, indicando

15 12.5 suas coordenadas

-15 12.5

-15 -12.5

0 -10.23 14.78 uma linha para cada barra,

0 10.23 14.78 indicando suas coordenadas

5 2 seção 2

0 0 0 0.1607

-18 -12.5

18 -12.5

18 12.5

-18 12.5

-18 -12.5

0 -10.23 17.73

0 10.23 17.73

5 2 seção 3

0 0 0 0.1714

-21 -12.5

21 -12.5

21 12.5

-21 12.5

-21 -12.5

0 -10.23 20.69

0 10.23 20.69

5 2 seção 4

0 0 0 0.1821

-24 -12.5

24 -12.5

24 12.5

-24 12.5

-24 -12.5

0 -10.23 23.64

0 10.23 23.64

5 2 seção 5

0 0 0 0.1929

-27 -12.5

27 -12.5

27 12.5

-27 12.5

-27 -12.5

0 -10.23 26.60

0 10.23 26.60

5 2 seção 6

0 0 0 0.2036

-30 -12.5

30 -12.5

30 12.5

-30 12.5

-30 -12.5

0 -10.23 29.55

____________________________________________________________________________________________________


0 10.23 29.55

5 2 seção 7

0 0 0 0.2143

-30 -12.5

30 -12.5

30 12.5

-30 12.5

-30 -12.5

0 -10.23 29.55

0 10.23 29.55

5 2 seção 8

0 0 0 0.2250

-30 -12.5

30 -12.5

30 12.5

-30 12.5

-30 -12.5

0 -10.23 29.55

0 10.23 29.55

5 2 seção 9

0 0 0 0.2357

-30 -12.5

30 -12.5

30 12.5

-30 12.5

-30 -12.5

0 -10.23 29.55

0 10.23 29.55

5 2 seção 10

0 0 0 0.2464

-30 -12.5

30 -12.5

30 12.5

-30 12.5

-30 -12.5

0 -10.23 29.55

0 10.23 29.55

5 2 seção 11

0 0 0 0.2571

-27 -12.5

27 -12.5

27 12.5

-27 12.5

-27 -12.5

0 -10.23 26.60

0 10.23 26.60

5 2 seção 12

0 0 0 0.2679

-24 -12.5

24 -12.5

24 12.5

-24 12.5

-24 -12.5

0 -10.23 23.64

0 10.23 23.64

5 2 seção 13

0 0 0 0.2786

-21 -12.5

21 -12.5

21 12.5

-21 12.5

-21 -12.5

____________________________________________________________________________________________________


0 -10.23 20.69

0 10.23 20.69

5 2 seção 14

0 0 0 0.2893

-18 -12.5

18 -12.5

18 12.5

-18 12.5

-18 -12.5

0 -10.23 17.73

0 10.23 17.73

5 2 seção 15

0 0 0 0.3000

-15 -12.5

15 -12.5

15 12.5

-15 12.5

-15 -12.5

0 -10.23 14.78

0 10.23 14.78

As unidades dos dados fornecidos devem ser coerentes. No exemplo. foram usados kN como unidade de

força e cm como unidade de comprimento. Os valores, em cada linha, devem ser separados por espaços em

branco. O texto em itálico, colocado ao final de cada linha, é apenas comentário e não deve aparecer no arquivo

de entrada de dados.

Ao rodar o programa, aparecerá, na tela do computador, a saída de resultados da forma seguinte

resultados da iteracao 13

x y(x) N(x) V(x) M(x) b(x)

1 0,0 0,00 -400,00 70,00 800,00 0,00000597

2 50,0 1,14 -400,00 62,23 4563,74 0,00003283

3 100,0 2,20 -400,00 53,93 7893,24 0,00005567

4 150,0 3,12 -400,00 45,09 10739,29 0,00006989

5 200,0 3,87 -400,00 35,72 13060,71 0,00007749

6 250,0 4,42 -400,00 25,81 14822,85 0,00008018

7 300,0 4,77 -400,00 15,36 15995,42 0,00008741

8 350,0 4,91 -400,00 4,38 16545,15 0,00009081

9 400,0 4,82 -400,00 -7,14 16441,91 0,00009017

10 450,0 4,50 -400,00 -19,20 15659,61 0,00008533

11 500,0 3,97 -400,00 -31,78 14175,58 0,00008512

12 550,0 3,23 -400,00 -44,91 11964,12 0,00007927

13 600,0 2,29 -400,00 -58,57 9004,35 0,00006526

14 650,0 1,20 -400,00 -72,77 5283,79 0,00003965

15 700,0 0,00 -400,00 -87,50 801,00 0,00000597

3.3 - Segundo exemplo de utilização do programa

No segundo exemplo, é feita a verificação do pilar engastado-livre, conforme apresentado na Figura 3.2.

____________________________________________________________________________________________________




1 9 800 0 valor para pilar engastado-livre

número seções analisadas

comprimento total do pilar

coeficiente de fluência

"A" 50 21000 2.5 tipo de aço, fyk, Es, fck

5 2 seção 1:

número vértices seção de concreto

número de barras de armadura

1000 -20 40000 0 Pv(x), Ph(x), M(x), p(x)

-30 -30 uma linha para cada vértice da

30 -30 poligonal fechada, indicando

30 30 suas coordenadas

-30 30

-30 -30

0 -24.55 21.24

0 24.55 21.24

5 2 seção 2

0 0 0 0

-33.75 -30

33.75 -30

33.75 30

-33.75 30

-33.75 -30

0 -24.55 23.90

0 24.55 23.90

5 2 seção 3

0 0 0 0

-37.50 -30

37.50 -30

37.50 30

-37.50 30

-37.50 -30

____________________________________________________________________________________________________


0 -24.55 26.55

0 24.55 26.55

5 2 seção 4

0 0 0 0

-41.25 -30

41.25 -30

41.25 30

-41.25 30

-41.25 -30

0 -24.55 29.21

0 24.55 29.21

5 2 seção 5

0 0 0 0

-45.00 -30

45.00 -30

45.00 30

-45.00 30

-45.00 -30

0 -24.55 31.86

0 24.55 31.86

5 2 seção 6

0 0 0 0

-48.75 -30

48.75 -30

48.75 30

-48.75 30

-48.75 -30

0 -24.55 34.52

0 24.55 34.52

5 2 seção 7

0 0 0 0

-52.50 -30

52.50 -30

52.50 30

-52.50 30

-52.50 -30

0 -24.55 37.17

0 24.55 37.17

5 2 seção 8

0 0 0 0

-56.25 -30

56.25 -30

56.25 30

-56.25 30

-56.25 -30

0 -24.55 39.83

0 24.55 39.83

5 2 seção 9

0 0 0 0

-60 -30

60 -30

60 30

-60 30

-60 -30

0 -24.55 42.48

0 24.55 42.48




____________________________________________________________________________________________________


1 0,0 -10,27 -1000,00 20,00 40000,00 0,00003148

2 100,0 -7,84 -1000,00 20,00 44425,88 0,00003243

3 200,0 -5,74 -1000,00 20,00 48527,86 0,00003292

4 300,0 -3,97 -1000,00 20,00 52300,97 0,00003305

5 400,0 -2,53 -1000,00 20,00 55743,83 0,00003291

6 500,0 -1,41 -1000,00 20,00 58857,78 0,00003255

7 600,0 -0,62 -1000,00 20,00 61646,32 0,00003204

8 700,0 -0,15 -1000,00 20,00 64114,59 0,00003139

9 800,0 0,00 -1000,00 20,00 66269,07 0,00003064

3.4 - Terceiro exemplo de utilização do programa

No terceiro exemplo, é feita a verificação de outro pilar engastado-livre, conforme apresentado na Fig.

3.3.



1 9 800 0

"A" 50 21000 3.5

5 2

160 -35 0 0

-20 -10

20 -10

20 10

-20 10

-20 -10

0 -8.18 13.55

0 8.18 13.55

5 2

0 0 0 0

-20 -10

____________________________________________________________________________________________________


20 -10

20 10

-20 10

-20 -10

0 -8.18 13.55

0 8.18 13.55

5 2

480 -3.9 3200 0

-20 -10

20 -10

20 10

-20 10

-20 -10

0 -8.18 13.55

0 8.18 13.55

5 2

0 0 0 0

-20 -20

20 -20

20 20

-20 20

-20 -20

0 -16.36 27.10

0 16.36 27.10

5 2

0 0 0 0

-20 -20

20 -20

20 20

-20 20

-20 -20

0 -16.36 27.10

0 16.36 27.10

5 2

0 0 0 0

-20 -20

20 -20

20 20

-20 20

-20 -20

0 -16.36 27.10

0 16.36 27.10

5 2

0 0 0 0

-20 -20

20 -20

20 20

-20 20

-20 -20

0 -16.36 27.10

0 16.36 27.10

5 2

0 0 0 0

-20 -20

20 -20

20 20

-20 20

-20 -20

0 -16.36 27.10

0 16.36 27.10

5 2

0 0 0 0

____________________________________________________________________________________________________


-20 -20

20 -20

20 20

-20 20

-20 -20

0 -16.36 27.10

0 16.36 27.10




1 0,0 -24,51 -160,00 35,00 0,00 0,00000000

2 100,0 -18,42 -160,00 35,00 4474,75 0,00007251

3 200,0 -13,10 -640,00 38,90 12026,18 0,00019976

4 300,0 -9,53 -640,00 38,90 18200,63 0,00003230

5 400,0 -6,44 -640,00 38,90 24071,61 0,00004627

6 500,0 -3,80 -640,00 38,90 29646,66 0,00005987

7 600,0 -1,77 -640,00 38,90 34838,94 0,00007279

8 700,0 -0,46 -640,00 38,90 39565,82 0,00008480

9 800,0 0,00 -640,00 38,90 43750,61 0,00009564

____________________________________________________________________________________________________


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto: NBR6118.

Rio de Janeiro, 2014.

CAMPOS FILHO, A. Dimensionamento e verificação de seções poligonais de concreto armado submetidas à

flexão oblíqua composta. Porto Alegre, PPGEC/UFRGS. 2014.

COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. Manual of Buckling and Instability. Paris, 1978 (Bulletin

d’Information, 123).

COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. Codes of Practice for Structures, 1978. Volume I: Common

unified rules for different types of construction and materials. Volume II: CEB-FIP Model Code for Concrete

Structures. Paris, 1978 (Bulletin d’Information, 124/125).

COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. Bending and Compression. Paris, 1981 (Bulletin


COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. Buckling and Instability. Paris, 1983 (Bulletin


COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. Model Code 1990. Lausane, 1991 (Bulletin d’Information,

203/204/205).

DUMONT, N.A. & MUSSO JR., F. Dimensionamento e verificação de seções de concreto armado e

protendido e verificações da estabilidade de vigas-colunas no estado limite último com o uso de

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FUSCO, P.B. Estruturas de concreto: solicitações normais. Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 1981.

HOFFMANN, J.R. Pilares esbeltos de concreto armado: método exato. Porto Alegre, Curso de Pós-

Graduação em Engenharia Civil, UFRGS, CT-18. 1980.

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