. VETOR NULO

Vetor nulo é o vetor representado por um segmento nulo. Indica-se o vetor nulo por 0 .

No ℜ2

, 0 = (0,0) e no ℜ3

, 0 = (0,0,0).

VETORES IGUAIS

Dois vetores são iguais se tiverem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.

No ℜ2

, se u = (x1,y1) e v = (x2,y2) então u = v ⇔ x1 = x2 e y1 = y2 .

No ℜ3

, se u = (x1,y1,z1) e v = (x2,y2 ,z2 ) então u = v ⇔ x1 = x2 , y1 = y2 e z1 = z2 .

E5) Encontre x e y para que os vetores u e v sejam iguais.

a) u =( x2 , -1) e v = ( 1, y3 )

b) u = ( x –2 , 3, 5) e v = (2x + 1, y +5, 5)

VETORES OPOSTOS

Dois vetores são opostos se tiverem a mesma direção, o mesmo comprimento e sentidos opostos. Indica-se o vetor oposto de v por -v.

No ℜ2

, se v = (x,y) , -v = (-x,-y) e no ℜ3

, se v = (x,y,z) , -v = (-x,-y,-z).

OPERAÇÕES COM VETORES

1. ADIÇÃO

u v

Regra do Paralelogramo Regra da Poligonal

B D B v C

u u +v u u +v

A v C A

No ℜ2

, se u(x1,y1) e v(x2,y2) então u + v = ( x1 + x2 , y1 + y2 ).

No ℜ3

, se u(x1,y1,z1) e v(x2,y2 ,z2 ) então u +v = ( x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2)

PROPRIEDADES:

a) Comutativa : u +v = v +u

b) Associativa : u + (v +w ) = (u +v ) +w

c) Elemento neutro : u + 0 = u

d) Elementos Oposto : u + (-u ) = 0

2. SUBTRAÇÃO

A diferença dos vetores u e v é a soma do vetor u com o oposto de v, isto é u -v = u + (-v ).

No ℜ2

, se u(x1,y1) e v(x2,y2) então u – v = ( x1 – x2 , y1 – y2 ).

No ℜ3

, se u(x1,y1,z1) e v(x2,y2 ,z2 ) então u –v = ( x1 – x2 , y1 – y2 , z1 – z2)

E6) Determine o vetor x nas figuras abaixo :

a) b) x

u x u v v

w

E7)Sejam os pontos A (2,1,0) , B (2, -1, 2 ) e C (3, 4 , -2 ).

a)Determine as componentes dos vetores AB→

,AC→

e BC→

.

b) Determine o vetorv , tal que v = AB→

−BC→

.

c)Determine o ponto P, tal que AP→

=PB→

.

3. MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR .

- Se α = 0 ou v = 0 , então αv = 0 - Se α¿ 0 e v¿ 0 , então αv é tal que

a) αv e v tem a mesma direção b) αv e v tem o mesmo sentido se α >0 e sentido contrário se α <0

c) o comprimento de α v é igual ao comprimento de v multiplicado pelo módulo de α .|

Exemplo:

v 2v -3v

No ℜ2

, se u(x1,y1) e α∈ℜ então α u = (α x1 , α y1 ).

No ℜ3

, se u(x1,y1,z1) e α∈ℜ então α u = (α x1 , α y1 , α z1).

PROPRIEDADES:

a)α

(u

+v

) = αu

+ αv

b) (α

+β

)u

=αu

+β .u

c) 1.v

=v

d)α

(β . v

) = (αβ )v

=β

(αv

)

E8) Dados os vetores abaixo, obtenha :

u v w

a) u + v +w b) u - v c) u - w +v d) 2u - 2w e) 2v -w - 2u

E9) Dados os vetores u =(1,-2,3) , v =(4,-1,-5) e w =(0,2,1), calcular:

a) u + v b) u - v c) 2u + 3v - w

d) t, tal que 3u + v = 5w - 4t e)x , tal que w - v = u + 2x

VETORES COLINEARES

Vetores colineares são vetores que possuem representantes numa mesma reta.

E10) Quais vetores abaixo são colineares? y

v1 v2 v3

0 v4 x

v5

Importante:

As expressões vetores colineares, vetores múltiplos e vetores paralelos tem o mesmo significado.

2.8. PARALELISMO DE DOIS VETORES

Se dois vetores u e v são paralelos, então existe um número α , tal que u =α v .

No ℜ2

, se u = ( x1 , y1 ) ev = ( x2 , y2 ) então ( x1 , y1 ) =α ( x2 , y2 ) e portanto x1 = α x2 e y1 =αy2 .

Logo α=

x1

x2=y1

y2 , isto é u // v⇔

x1

x2=y1

y2

No ℜ3

, u // v⇔

x1

x2=y1

y2=z1

z2

Observações:

a) O vetor nulo é paralelo a qualquer vetor do espaço(convenção).

b) Se uma das componentes de um vetor v é nula, a componente correspondente de qualquer vetor paralelo a v

também é nula.

c) Três pontos são colineares se dois vetores formados por eles são paralelos.

E11) Encontre o valor de x para que os vetores v e u ,sejam paralelos :

a) u = ( x - 2 , 1,0 ), v = ( 1 , 3,0 ) b) u = ( 0 , 5, 10 ), v = ( x , 2, 4 ) c) u = ( 5 ,0 ), v = ( x , 2 )

E12) Determinar m e n de modo que os vetores u =(1,-2,m) ev =(4,n,-5) sejam paralelos.

E13) Calcular a e b de modo que os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(a ,b ,1) sejam colineares.

E14) Os pontos (1,2) , (3,4) e (5,6) são colineares ?

. RESPOSTAS

E1) (-3,-1); (0,0); (1,-2); (2,1); (3,-1)

E2) (-2,1); (1,2); (2,0); (3,3); (4,1)

E3) (1,2)

E4) (5,3); (-7,-7); (-1,-5,-7); (-1,9,-2)

E5) a) x = 1 e y = –1 b) x = –3 e y = –2

E6) a) x = u – v b) x = w – u – v

E7) a) AB→

= (0,-2,2) ,AC→

= (1,3,-2) , BC→

= (1,5,-4) b) (-1,-7,6) c) (2,0,1)

E9) a) (5,-3,-2) b) (-3,-1,8) c) (14,-9,-10) d) (−7

4,17

4, 14

) e)

(−52, 52, 32)

E10) TODOS

E11) a) x =

73 b) x = 0 c) NÃO EXISTE

E12) n = -8 e m = −5

4

E13) a =

12 e b =

−52

E14) SIM