Vetores Auto Regressivos

Series de Tempo

Jose Fajardo

Fundacao Getulio Vargas-EBAPE

Setemebro 2011

Jose Fajardo (FGV-EBAPE) Vetor Auto-regressivo Setemebro 2011 1 / 70

INTRODUCAO

O uso de modelos univariados e limitado para expressar relacoesimportantes em negocios.

O vetor auto-regressivo permite que se expressem modelos completose se estimem os parametros desse modelo.

Os modelos em VAR definem restricoes entre as equacoes do modelo.Estudar essas restricoes e usa-las para identificar os parametrosestruturais do VAR constitui um objetivo fundamental dametodologia.


FORMA ESTRUTURAL

Pode-se expressar um modelo auto-regressivo de ordem p por umvetor com n variaveis endogenas, Xt , conectadas entre si por meio deuma matriz A:

AXt = B0 +p

∑i=1

BiXt−i + Bεt , (1)

em queA e uma matriz n× n que define as restricoes contemporaneas entre asvariaveis que constituem o vetor n× 1, Xt ;B0 e um vetor de constantes n× 1;Bi sao matrizes n× n;B e uma matriz diagonal n× n de desvios padrao;εt e um vetor n× 1 de perturbacoes aleatorias nao correlacionadas entre sicontemporanea ou temporalmente, isto e:

εt ∼ i .i .d . (0; In) .


FORMA REDUZIDA

A equacao (1) expressa as relacoes entre as variaveis endogenas, apartir de um modelo economico teoricamente estruturado: formaestrutural.

Os choques εt sao os choques estruturais porque afetamindividualmente cada uma das variaveis endogenas.

Os choques estruturais sao considerados independentes entre si.

Esse modelo e normalmente estimado em sua forma reduzida:

Xt = A−1B0 +p

∑i=1

A−1BiXt−i + A−1Bεt =

= Φ0 +p

∑i=1

ΦiXt−i + et ,

em queΦi ≡ A−1Bi , i = 0, 1, . . . , pBεt ≡ Aet .


EXEMPLO

Seja um modelo bivariado de ordem 1:

yt = b10 − a12zt + b11yt−1 + b12zt−1 + σy εyt ;

zt = b20 − a21yt + b21yt−1 + b22zt−1 + σz εzt .

Nao pode ser estimado diretamente, ja que as variaveiscontemporaneas zt e yt sao individualmente correlacionadas com oserros εyt ou εzt .

O objetivo do VAR e desenvolver tecnicas para evitar esse problema,visando-se a encontrar a trajetoria da variavel de interesse ante umchoque estrutural.

Hipoteses:

a ) yt e zt sao ambos estacionarios;

b ) εyt ∼ RB (0, 1) e εzt ∼ RB (0, 1) ;c ) εyt ⊥ εzt =⇒ Cov (εyt , εzt) = 0.


EXEMPLO

Em matrizes: [1 a12

a21 1

]︸︷︷︸

≡A

[ytzt

]︸︷︷︸≡Xt

=

[b10

b20

]︸︷︷︸≡B0

+

[b11 b12

b21 b22

]︸︷︷︸

≡B1

[yt−1

zt−1

]+

[σy 00 σz

]︸︷︷︸

≡B

[εytεzt

]︸︷︷︸≡εt

=⇒

AXt = B0 + B1Xt−1 + Bεt .

A forma reduzida desse modelo simplificado e:

Xt = Φ0 + Φ1Xt−1 + et ; (2)

Φ0 ≡ A−1B0;

Φ1 ≡ A−1B1;

Aet ≡ Bεt .


EXEMPLO

Condicao de estabilidade: os autovalores de (I −Φ1L) fora do cırculounitario.Observe que: [

e1t

e2t

]≡ A−1Bεt =

[σy εyt−a12σz εzt

1−a12a21σz εzt−a21σy εyt

1−a12a21

].

Logo:

E (et) = 0;

Cov (et) ≡ Σ =

[σ2

1 σ12

σ21 σ22

]=

σ2y+a2

12σ2z

(1−a12a21)2 − a21σ2

y+a12σ2z

(1−a12a21)2

− a21σ2y+a12σ2

z

(1−a12a21)2

σ2z+a2

21σ2y

(1−a12a21)2

.

Os erros nao sao autocorrelacionados, pois:

Cov(eit , ei(t−j)

)= E

[(σi εit − aσ∼i ε∼it

1− a12a21

)(σi εi(t−j) − aσ∼i ε∼i(t−j)

1− a12a21

)]= 0,

i = y , z ; j 6= 0; a = a12, a21;∼ representam negacao.


SIMULACAO

Figura: VAR (1): series superiores - eixo a direita: Φ0 = 0; φ11 = φ22 = 0, 6 eφ12 = φ21 = 0, 2; series inferiores: φ12 = φ21 = −0, 2. A serie pontilhada: zt .


SIMULACAO

Figura: VAR (1): series inferiores - eixo a esquerda: Φ = 0; φ11 = φ22 = 0, 7 eφ12 = φ21 = 0, 3; series superiores: φ10 = 0, 5. A serie pontilhada: zt .

Note que basta uma das constantes ser diferente de zero para que ambasas series tenham um drift.


VAR(P)

As series yt e zt movimentam-se conjuntamente, mesmo na presencade raiz unitaria.

Concentramo-nos na discussao sobre o caso de variaveis estacionarias,porem que Sims (1980) e Sims, Stock e Watson (1990) admitem amistura de variaveis estacionarias e nao estacionarias num modeloVAR. O VAR e uma metodologia interessada nas inter-relacoes entreas variaveis.

Generalizacao:

Xt = Φ0 +p

∑i=1

ΦiXt−i + GZt + et ,

em queXt e um vetor n× 1 de variaveis endogenas, como anteriormente;G e uma matriz de coeficientes n× g ;Zt e um vetor g × 1 de variaveis exogenas que pode incluir variaveisdeterminısticas.


VAR(P)

Diferentemente dos modelos univariados, o VAR busca responder quala trajetoria da serie, dado um choque estrutural.

Por trajetoria, deseja-SE conhecer o tempo que um choque afeta umaserie, se ela muda de patamar ou nao, para que patamar vai, entreoutras informacoes.

O VAR resulta na estimacao de uma infinidade de coeficientes. UmVAR (p) , por exemplo, com n variaveis endogenas teria n+ n2pcoeficientes a estimar, ja que as matrizes Φi tem dimensao n× n e asn primeiras variaveis referem-se a constante, sem contar ainda oscoeficientes de possıveis variaveis exogenas.

Muitas vezes os coeficientes estimados serao estatisticamenteinsignificantes, ate porque algumas variaveis sao normalmentecolineares, entretanto deve-se evitar impor restricoes sobre oscoeficientes, sob pena de perder informacoes relevantes, a menos quesejam restricoes economicas bem fundamentadas.


IDENTIFICACAO

Como selecionar a ordem p de um modelo VAR? Que criterios podemser utilizados nessa tarefa?

Usar tantas defasagens quantas forem necessarias para obter”resıduos brancos”em todas as variaveis endogenas.

Criterio de informacao: considere um VAR (m), em quem = 0, 1, 2, . . . , pmax . O problema e escolher a ordem p que minimizaa seguinte formula geral do criterio de informacao:

Cr (m) = ln∣∣∣Γ0

∣∣∣+ cT ϕ (m) ,

em que

Γ0 = ∑Tt=1 et e

′t

T ;cT e uma sequencia que depende do tamanho da amostra;ϕ (m) e uma funcao que penaliza VAR de grandes ordens.


IDENTIFICACAO

O tamanho amostral tem de ser mantido constante para tornar ocriterio de informacao comparavel. Logo, o tamanho da amostra,comum a todas as ordens, sera T − pmax.

A versao multivariada dos criterios AIC ,BIC e HQ e:

AIC (m) = ln∣∣∣Γ0 (m)

∣∣∣+ 2

Tmn2;

BIC (m) = ln∣∣∣Γ0 (m)

∣∣∣+ lnT

Tmn2;

HQ (m) = ln∣∣∣Γ0 (m)

∣∣∣+ ln lnT

T2mn2,

em que mn2 e o numero total de parametros estimados em todas asequacoes.


IDENTIFICACAO

Outra maneira de escolher a ordem de defasagem, e aplicar testessequenciais para definir a ordem p do modelo VAR. Estabeleca opmax e considere H0 : Φpmax = 0×H1 : Φpmax 6= 0. Se o teste nao forrejeitado, repete-se o procedimento considerando pmax − 1. Quando anula for rejeitada, ter-se-a encontrada a ordem de defasagem domodelo.

Problema: estabelecer pmax. Se pmax e muito pequeno, os resıduosestimados nao serao um ruıdo branco. Contudo, se pmax e muitogrande, o impacto sobre a probabilidade de erros como um todopodera ser severamente afetado, de modo que e difıcil confiar nosintervalos de confianca gerados.


EXEMPLO

Seja Zt = [yt , et , πt , it ], em que yt representa o hiato do produto, et avariacao cambial, πt a taxa de inflacao e it a taxa de juros (Selic), todasas variaveis em base mensal. Os criterios de Akaike e Schwarz sao:

Defasagens Akaike Schwarz

1 −22, 088 −21, 4512 −22, 498 −21, 3423 −22, 026 −20, 3434 −21, 366 −19, 1465 −20, 943 −18, 1796 −20, 788 −17, 470


EXEMPLO

Considere o exemplo de endogeneidade estudado no capıtulo sobre GMM.Por conveniencia, lembre-se de que o modelo foi simulado da seguinteforma:

yt = φyt−1 + εt ;

xt = δyt + νt ,

em que εt e νt sao ambos ruıdos brancos independentes.Pode-se reescrever esse modelo na forma matricial:[

1 0−δ 1

] [ytxt

]=

[φ 00 0

] [yt−1

xt−1

]+

[εtνt

].

Reescrevendo o modelo na forma reduzida, tem-se:[ytxt

]=

[φ 0δφ 0

] [yt−1

xt−1

]+

[eytext

].


EXEMPLO

Ao estimar o modelo, a matriz Φ1 contera quatro coeficientes estimados.Espera-se que os coeficientes da coluna 2 sejam insignificantes e que oscoeficientes da 1 satisfacam aproximadamente a seguinte restricao:

φ11,1 = φ;

φ21,1 = δφ,

em que δ e φ sao valores usados na simulacao. No caso da simulacao,definiram-se δ = 0, 1 e φ = 0, 8.Estimando-se o VAR (1), obtem-se:

[ytxt

]=

0, 794(0,035)

0, 097(0,063)

0, 077(0,032)

−0, 002(0,058)

[ yt−1

xt−1

]+

[eytext

].

φ11,1 ' 0, 8;

φ21,1 ' 0, 1× 0, 8 = 0, 08.


TESTANDO HIPOTESES

Testar hipoteses em modelos multivariados e semelhante ao casounivariado.

Diferenca: em vez de calcular a soma dos quadrados dos resıduos,calcula-se o determinante da matriz de covariancia dos resıduos domodelo restrito e do nao restrito.

Seja

Xt = Φ0 +p

∑i=1

ΦiXt−i + GZt + et .

Definition

O modelo anterior e estacionario se os autovalores da polinomial

∑pi=1 ΦiL

i estiverem dentro do cırculo unitario.


TESTANDO HIPOTESES

1 Estima-se o modelo sem restricao e calcula-se a matriz de covarianciados resıduos, Σu;

2 Estima-se o modelo com restricao, excluindo k ≤ g variaveisexogenas e/ou m defasagens, e calcula-se Σr ;

3 Calcula-se a razao de verossimilhanca da seguinte forma:

LR = (T − c)(

log∣∣∣Σr

∣∣∣− log∣∣∣Σu

∣∣∣)→ χ2r ,

em queT e o numero de observacoes utilizadas na regressao;c = 1 + g + np e o numero de parametros estimados em cadaequacao do sistema nao restrito, incluindo a constante e as variaveisexogenas ;r = mn2 + kn e o numero de restricoes no sistema.


INFERENCIA

A inferencia sobre os coeficientes estimados em modelos multivariadostem algumas particularidades bastante diferentes dos modelosunivariados.

Pode-se proceder a inferencias estatısticas sobre os coeficientesindividual ou coletivamente, mesmo ante a existencia de variaveisendogenas nao estacionarias de ordem 1, sempre que o modelo puderser reescrito de maneira que os coeficientes sob inspecao passem amultiplicar variaveis estacionarias (veja Sims, Stock e Watson, 1990).


EXEMPLO

Sejam yt ∼ I (1) e zt ∼ I (1) da primeira linha de um VAR (2) bivariado:

yt = φ11,1yt−1 + φ12,1zt−1 + φ11,2yt−2 + φ12,2zt−2 + εyt .

E possıvel fazer inferencias sobre os coeficientes φ11,2 e φ12,2 dessemodelo. Para isso, adicione e subtraia φ11,2yt−1 e φ12,2zt−1:

yt = φ11,1yt−1 + φ11,2yt−1 + φ12,1zt−1 + φ12,2zt−1+

+φ11,2yt−2 − φ11,2yt−1 + φ12,2zt−2 − φ12,2zt−1 + εzt =

=(φ11,1 + φ11,2

)yt−1 +

(φ12,1 + φ12,2

)zt−1+

−φ11,2∆yt−1 − φ12,2∆zt−1 + εyt .

Como ∆yt−1 e ∆zt−1 sao variaveis estacionarias, pode-se testarconjuntamente por F − Snedecor a hipotese φ11,2 = φ12,2 = 0.Pouco se pode dizer a respeito dos coeficientes que multiplicam asvariaveis nao estacionarias yt−1 e zt−1 depois da transformacao.


EXEMPLO

Sob condicoes convencionais, a matriz de coeficientes estimados

Φ =[Φ1 : Φ2 : · · · : Φp

]satisfaz:

√Tvec

(Φ−Φ

)d→ N

(0, ΣΦ

).

Por que se podem testar normalmente os coeficientes individuais deum modelo multivariado nao estacionario?

A nao-estacionaridade emerge quando um dos autovalores da matrizde coeficientes esta sobre ou fora do cırculo unitario.

Exemplo: Considere o seguinte VAR (1)

Xt =

[0, 7 0, 30, 3 0, 7

]Xt−1 + εt .

Os autovalores de Φ1 sao 1 e 0, 4. Trata-se de um modelo naoestacionario. Esses autovalores estao associados aos coeficientes damatriz Φ1 indiretamente. Logo, a estatıstica t permanece valida paraa inferencia individual dos coeficientes.


VERIFICACAO:TESTE DE LJUNG-BOX

Generalizacao dos testes de resıduos dos modelos univariados

H0 : E(ete′t−j)= 0, para todo j = 1, 2, . . . , J > p.

versus

H1 : E(ete′t−j)6= 0, para algum j .

A estatıstica do teste e parecida com a de Ljung-Box:

Q = TJ

∑j=1

tr(

Γ′j Γ−10 Γ′j Γ

−10

)d→ χ2

n2(J−p),

em que Γj =∑T

t=j+1 et e′t−j

T e a autocovariancia na defasagem j .Alternativamente, usa-se a estatıstica de Ljung-Box ajustada:

Q = T 2J

∑j=1

1

T − jtr(

Γ′j Γ−10 Γj Γ−1

0

)d→ χ2

n2(J−p).


EXEMPLO:TESTE DE LJUNG-BOX

Considere o modelo nao estacionario sem drift ja simulado. O Eviewspermite calcular os valores do testes automaticamente:

Defasagens Q-Stat Prob. Adj Q-Stat Prob. df

1 0, 196 NA 0, 197 NA NA3 7, 057 0, 531 7, 121 0, 524 89 22, 362 0, 897 22, 751 0, 886 32

12 32, 360 0, 903 33, 139 0, 884 44

df representa o numero de graus de liberdade para a distribuicao χ2.

Embora o modelo seja nao estacionario, as autocorrelacoes caemrapidamente.

Se J e muito pequeno, a aproximacao a distribuicao sera bastantepobre, ao passo que um valor alto para J pode resultar em perda depoder.


VERIFICACAO:TESTE DE BREUSCH-GODFREY

O objetivo e testar se existe autocorrelacao de resıduos no modelo:

et = Θ1et−1 + Θ2et−2 + · · ·+ Θhet−h + ut

e verificar se:

H0 : Θ1 = Θ2 = · · · = Θh = 0×H1 : Θ1 6= 0∨Θ2 6= 0∨ · · · ∨Θh 6= 0.

Utiliza-se a regressao auxiliar:

et = Φ1Xt−1 + Φ2Xt−2 + · · ·+ ΦpXt−p +

+Θ1et−1 + Θ2et−2 + · · ·+ Θhet−h + ut .

Trata-se de um teste LM. Para executa-lo, e necessario estimar etcontra o gradiente da funcao de verossimilhanca. Aqui, esse gradientee dado pela matriz [Xt−1 Xt−2 · · · Xt−p et−1 et−2 · · · et−h].Johnston e Dinardo comentam que uma importante caracterısticadesse teste e funcionar simultaneamente contra a hipotese alternativade um processo MA (q) para os resıduos.


VERIFICACAO:TESTE DE BREUSCH-GODFREY

No primeiro estagio, estima-se o modelo completo por MQO, deforma que os ets em que t < 0 sao substituıdos por zero. E calcula-se:

Σu =∑T

t=1 ut u′t

T.

Em seguida, estima-se o modelo impondo a hipotese nula para obteros resıduos restritos, urt , e calcula-se:

Σr =∑T

t=1 urt u

r ′t

T.

O teste LM e definido como:

LMh = T[n− tr

(ΣuΣ−1

r

)]d→ χ2

hn2 .


EXEMPLO:TESTE DE BREUSCH-GODFREY

Continuando com o exemplo anterior. Estimado o modelo,verificam-se os resıduos usando o teste LM:

Defasagens Q-Stat Prob. df

1 1, 678 0, 795 43 6, 523 0, 887 129 4, 208 1, 000 36

12 4, 282 1, 000 48

O Eviews reporta o resultado das probabilidades com n2 graus deliberdade. Por isso, e preciso olhar a tabela correta. A tabela anteriorcontem as probabilidades corretas, mas, se fossem usados n2, ahipotese nula nao seria rejeitada. No caso do exemplo, como nao serejeita a nula com menos graus de liberdade do que seria correto, commais razao nao se rejeitaria se o numero de graus de liberdade fosseainda maior.


VERIFICACAO:TESTE DE NORMALIDADE

A assimetria e a curtose tem distribuicao normal. Defina osmomentos 3 e 4 conforme segue:

m3 = (m31,m32, . . . ,m3n)′ , com m3i =

∑Tt=1 ε3

it

T;

m4 = (m41,m42, . . . ,m4n)′ , com m4i =

∑Tt=1 ε4

it

T.

Essas medidas tem a seguinte distribuicao:

√T

(m3

m4 − 3n

)∼ N

[0;

(6In 00 24In

)],

em que 3n = (3, 3, . . . , 3)′ e um vetor n× 1 de 3s.



Na pratica, primeiro deve-se obter a matriz de covariancia dosresıduos estimados:

Σe =∑T

t=1

(et − et

) (et − et

)′T

.

Calcule a matriz raiz quadrada: Σ12e , para padronizar os resıduos:

est = Σ−12

e

(et − et

).

Calcule a assimetria, m3, e a curtose, m4, dos n resıduos:

m3 = (m31, m32, . . . , m3n)′ , com m3i =

∑Tt=1 (e

sit)

3

T;

m4 = (m41, m42, . . . , m4n)′ , com m4i =

∑Tt=1 (e

sit)

4

T.



As estatısticas sao dadas por:

s23 = T

m′3m3

6; s2

4 = T(m4 − 3n)

′ (m4 − 3n)

24.

Ambas as estatısticas tem distribuicao χ2n sob a nula: s2

3 = s24 = 0.

Alternativamente, pode-se usar a distribuicao conjunta de ambos ostestes, JB2n = s2

3 + s24 :

JB2n = s23 + s2

4d→ χ2

2n.


PREVISAO

Analoga aos processos univariados.

Quando se conhece o processo gerador de dados, a previsao h passosa frente e dada por:

E (Xt+h|It) ≡ Xt+h|t = Φ1Xt+h−1|t +Φ2Xt+h−2|t + · · ·+ΦpXt+h−p|t ,

em que Xt+j |t = Xt+j para j ≤ 0 .

Transformando Xt num modelo de medias moveis infinito:

Xt+h =

(I −

p

∑j=1

ΦjLj

)−1

et+h = et+h+Ψ1et+h−1 +Ψpet+h−2 + · · ·

Consequentemente, a previsao correspondente e dada por:

Xt+h|t =∞

∑j=h

Ψjet+h−j .


PREVISAO

Desse modo, o erro de previsao sera obtido extraindo-se de Xt+h otermo Xt+h|t :

Xt+h − Xt+h|t =h−1

∑j=0

Ψjet+h−j ,

em que Ψ0 = In.A expectativa de previsao dos erros e zero. O EQM e dado por:

Σx (h) = E(Xt+h − Xt+h|t

) (Xt+h − Xt+h|t

)′=

h−1

∑j=0

ΨjΣΨ′j .

No processo e estacionario, a incerteza da previsao e limitada. Osprocessos integrados tem erro de previsao indeterminado emhorizontes longos, mas isso nao exclui a possibilidade de que aprevisao de alguns componentes de variaveis integradas tenha o errode previsao limitado tambem.Na presenca de variaveis exogenas, entre as quais algumasdeterminısticas, pode-se estender a formula anterior facilmente.


PREVISAO

Considere o VAR (1) estimado a partir do modelo simulado sem drift:

Xt =

[0, 694 0, 3320, 298 0, 676

]Xt−1.

Prevendo 20 passos a frente na Figura 3:

Figura: Previsao de y e z 20 passos a frente.

As variaveis sao nao estacionarias e convergem para a previsaomultivariada do ultimo valor.


PREVISAO

Em contraposicao, considere o seguinte modelo VAR (1), estimado apartir do modelo simulado estacionario:

Xt =

[0, 578 0, 1860, 284 0, 611

]Xt−1.

Prevendo 20 passos a frente, a Figura 4 mostra que a convergencia para amedia de longo prazo.

Figura: Previsao de y e z 20 passos a frente.


FUNCAO RESPOSTA AO IMPULSO

O modelo VAR nao permite identificar todos os parametros da formaestrutural, a menos que se imponham restricoes adicionais.

Para ver isso, observe que no sistema restrito dado pela equacao (2)conseguem-se estimar os seis parametros na equacao da media,Var (e1) ,Var (e2) e Cov (e1, e2). No sistema primitivo ha dezparametros a calcular: alem dos oito coeficientes estruturais, ha aindaas variancias de cada um dos choques.

Sims (1980) sugere um sistema recursivo para identificar o modelo.Trata-se de impor que alguns coeficientes sejam iguais a zero.Geralmente, usam-se argumentos economicos para definir quais delessao iguais a zero.

Sims impoe que o efeito feedback seja limitado. No caso mais simples,de um modelo bivariado, impor-se-ia, por exemplo, que a12 = 0:

yt = b10 + b11yt−1 + b12zt−1 + εyt ;

zt = b20 − a21yt + b21yt−1 + b22zt−1 + εzt .



Essa restricao e importante porque torna os parametros estruturaisrestantes identificaveis, conforme se observa no exemplo bivariado:

A−1 =

[1 0−a21 1

]=⇒

[ytzt

]=

[1 0−a21 1

] [b10

b20

]+[

1 0−a21 1

] [b11 b12

b21 b22

] [yt−1

zt−1

]+

+

[1 0−a21 1

] [σy 00 σz

] [εytεzt

].

Sabendo-se ainda que a12 = 0, entao os erros reduzidos ficam[e1t

e2t

]=

[σy εyt

σz εzt − a21σy εyt

],

de modo que

var (e1) = σ2y ;

cov (e1, e2) = −a21σ2y ; e var (e2) = σ2

z + a221σ2

y .



Essas tres equacoes combinam-se com as demais estimativas paraidentificar o modelo:

φ10 = b10; φ20 = b20 − b10a21;φ11 = b11; φ12 = b12;

φ21 = −a21b11 + b21; φ22 = −a21b12 + b22.

A metodologia proposta por Sims pode ser generalizada para umvetor com n variaveis endogenas. Trata-se de uma maneira triangularde decompor os resıduos, chamada de decomposicao de Choleski.

No caso de n variaveis endogenas, a matriz de covariancia e dedimensao n× n. As condicoes de identificacao requerem a imposicaode n2−n

2 restricoes. O problema dessa imposicao e definir a ordenacaodas variaveis, que e arbitraria, ainda que atribuıda a razoeseconomicas. A ordenacao das variaveis define a forma das restricoes,de modo que diferentes ordenacoes geram diferentes restricoes.



Se os autovalores da polinomial(I −∑p

i=1 ΦiLi)

estiverem fora docırculo unitario, pode-se escrever um VAR (p) como um vetor demedias moveis infinito VMA (∞):

Xt = X +∞

∑i=0

Φi1et−i = X +

∞

∑i=0

Φi1

1− a12a21

[1 −a12

−a21 1

] [σy εyt−iσz εzt−i

],

em que X ≡ (I −Φ1)−1 Φ0 e a media de longo prazo.

Seja:

Ψi =Φi

1

1− a12a21

[1 −a12

−a21 1

].

Desse modo:

Xt = X +∞

∑i=0

ΨiBεt−i =

= X +∞

∑i=0

[ψi ,11 ψi ,12

ψi ,21 ψi ,22

] [σy εyt−iσz εzt−i

].



Os elementos da matriz Ψi sao os multiplicadores de impacto de umchoque sobre as variaveis endogenas. Assim, o impacto total de umchoque de εyt sobre yt+h e dado pela soma dos coeficientes ψi ,11,i = 0, 1, 2, . . . , h.

Veja os graficos da funcao resposta ao impulso. Inicialmente,impoe-se a simulacao que a12 = 0 e a21 = 0, 8. Em seguida,estima-se o modelo simulado e gera-se a funcao resposta ao impulsousando a decomposicao de Choleski que assume a12 = 0.


INTERVALO DE CONFIANCA

A funcao resposta ao impulso e calculada mediante coeficientesestimados. Logo, e claro que ha um intervalo de confianca a serconsiderado nessas estimativas. Esse intervalo pode ser calculado deforma analıtica ou por metodos de experimentos de Monte Carlo.

O metodo analıtico torna-se bem complicado quando se imagina umproblema multivariado, em razao das covariancias cruzadas.


INTERVALO DE CONFIANCA

1 Estime o modelo multivariado e armazene os resıduos estimados,{et};

2 Sorteie os resıduos armazenados com reposicao e simule uma novaserie usando as matrizes Φ estimadas no passo anterior. Por exemplo,no caso de um VAR (1):

Xt = Φ0 + Φ1Xt−1 + et ;

3 Reestime o modelo e a nova funcao resposta ao impulso;

4 Repita o processo milhares de vezes;

5 Para construir um intervalo com 95% de confianca, exclua 2, 5% dasmenores e maiores respostas.


DECOMPOSICAO DA VARIANCIA

Considere o exemplo das secoes anteriores, VAR (1) com duas variaveisendogenas, y e z :

Xt+h = X +∞

∑i=0

Ψi εt+h−i .

Calcule o erro de previsao:

Xt+h − Et (Xt+h) =h−1

∑i=0

Ψi εt+h−i .

Esmiucando apenas yt+h:

yt+h − Et (yt+h) = ψ0,11εyt+h + ψ1,11εyt+h−1 + · · ·+ ψh−1,11εyt+1 +

+ψ0,12εzt+h + ψ1,12εzt+h−1 + · · ·+ ψh−1,12εzt+1.

Logo:

σ2y (h) = σ2

y

(ψ2

0,11 + ψ21,11 + · · ·+ ψ2

h−1,11

)+

+σ2z

(ψ2

0,12 + ψ21,12 + · · ·+ ψ2

h−1,12

).



Agora, pode-se decompor a variancia do erro de previsao em seus diversoselementos. Dividindo-se ambos os lados por σ2

y (h):

1 =σ2y

(ψ2

0,11 + ψ21,11 + · · ·+ ψ2

h−1,11

)σ2y (h)

+

+σ2z

(ψ2

0,12 + ψ21,12 + · · ·+ ψ2

h−1,12

)σ2y (h)

.

Decomposicao da variancia de yt+h − Et (yt+h)

h σy (h)σ2y(ψ2

0,11+ψ21,11+···+ψ2

h−1,11)σ2y (h)

σ2z(ψ2

0,12+ψ21,12+···+ψ2

h−1,12)σ2y (h)

1 0, 956 100, 00 0, 002 1, 063 94, 53 5, 473 1, 116 88, 09 11, 914 1, 152 83, 24 16, 765 1, 176 80, 03 19, 97



O mesmo e feito com a variavel zt+h:

Decomposicao da variancia de zt+h − Et (zt+h)

h σz (h)σ2y(ψ2

0,21+ψ21,21+···+ψ2

h−1,21)σ2z (h)

σ2z(ψ2

0,22+ψ21,22+···+ψ2

h−1,22)σ2z (h)

1 1, 244 32, 96 67, 042 1, 404 25, 51 74, 493 1, 462 29, 04 70, 964 1, 490 27, 07 72, 935 1, 506 26, 06 73, 94


TESTE DE GRANGER-CAUSALIDADE

uma variavel e capaz de prever outra? em que condicoes? Em outraspalavras, a questao fundamental e saber se o escalar y ajuda a prevero escalar z . Se isso nao acontece, entao diz-se quey nao-Granger-causa z .

O teste tem o sentido de previsao, nao de causalidade economica,apesar do nome.

A forma de responder a essa pergunta e usando um teste Fconvencional, valido quando os coeficientes de interesse puderem serescritos de modo a multiplicar variaveis estacionarias.



O teste e feito da seguinte maneira:

1 Estime zt = φ20 + ∑pi=1 φi ,21yt−i + ∑p

i=1 φi ,22zt−i + e2t ;2 Teste se y nao-Granger-causa z usando o teste de F , sob:

H0 : φ1,21 = φ2,21 = · · · = φp,21 = 0×H1 : φi ,21 6= 0, i = 1, 2, . . . , p,

em que a estatıstica do teste e dada por:

S1 =

(e2r −e2

u)p

e2u

T−2p−1

d→ F (p,T − 2p − 1) ,

em que r representa restrito e u, nao restrito. Se S1 > F 5%, rejeita-sea hipotese nula de que y nao-Granger-causa z .

3 Um teste equivalente e:

S2 =T(e2r − e2

u

)e2u

d→ χ2p.

Rejeita-se a nula se S2 > χ2p (5%).



Teste de causalidade de Granger nao e a mesma coisa que teste deexogeneidade. Para que zt seja exogeno a yt , e preciso que zt naoseja afetado contemporaneamente por yt . A forma reduzida do VARnao permite que se faca esse tipo de teste. O teste de causalidade deGranger inclui, pois, valores correntes e passados de yt sobre zt .

Pode-se fazer o mesmo teste em contextos de mais variaveis, cujonome e teste de bloco-exogeneidade. Estima-se o modelo com e semrestricao e utiliza-se o teste F , como visto anteriormente.

E importante observar que, em sistemas com n > 2 , o teste decausalidade e mais complicado de ser feito, e a interpretacao necessitade maiores cuidados. O problema que pode ocorrer ao nao rejeitar anula e nao perceber a dinamica mais complicada do modelo em queuma variavel, apesar de nao causar diretamente outra (por exemplo,y2t nao Granger-causa y1t), pode causa-la indiretamente. Issoocorrera quando y2t causar y3t , que, por sua vez, causa y1t . O testede Granger-causalidade nao foi desenvolvido para esse tipo de caso.


EXEMPLO

Se o Banco Central, de fato, determina a taxa Selic, entao alteracoes nataxa efetiva praticada no mercado financeiro deveriam responder asalteracoes na meta definida pelo Banco Central. Por outro lado, nao harazoes para acreditar que alteracoes nas taxas de mercado afetem a metadefinida pelo Banco Central.

Teste Ng-PerronMZa MZt MSB MPT

Meta - Nıvel −5, 706 −1, 440 0, 252 5, 030Meta - Primeira Diferenca −943, 032 −21, 714 0, 023 0, 025

Efetiva - Nıvel −5, 153 −1, 345 0, 261 5, 420Efetiva - Primeira Diferenca −14, 426 −2, 685 0, 186 1, 698

1% −13, 800 −2, 580 0, 174 1, 7805% −8, 100 −1, 980 0, 233 3, 170

10% −5, 700 −1, 620 0, 275 4, 450


EXEMPLO

Como os dados sao diarios e apenas os para dias uteis, utilizam-se 20defasagens de cada variavel. As variaveis estao em primeira diferenca,entao os resultados informam se a variacao de uma variavel ajuda aexplicar a variacao da outra defasagem.

Teste de Causalidade de Granger

Hipotese Nula Obs Estatıstica F ProbabilidadeMETA nao-Granger-causa EFETIVA 1858 4, 503 0, 000EFETIVA nao-Granger-causa META 0, 395 0, 992


VAR ESTRUTURAL

Existem outras formas de definir restricoes sobre a matriz A, de modoa identificar os parametros estruturais. Usa-se a teoria economicapara definir as restricoes da matriz A completamente, com risco desobreidentificacao.

Para entender o procedimento, considere um VAR (1) com n variaveis:

AXt = B0 + B1Xt−1 + Bεt .

Quando se estima a forma reduzida, obtem-se os resıduos et , tal que:

B εt = Aet .

O problema e restringir o sistema, de forma a recuperar εt conforme ahipotese de que cada resıduo do sistema estrutural e independente umdo outro.


VAR ESTRUTURAL

Considere a matriz de covariancia dos erros da forma reduzida:

Σ =

σ11 σ12 · · · σ1n

σ21 σ22 · · · σ2n...

.... . .

...σn1 σn2 · · · σnn

,

σij =1

T

T

∑t=1

eit ejt .

Σ e simetrica → n(n+1)2 elementos diferentes. Elementos da diagonal

de A sao unitarios →(n2 − n

)elementos desconhecidos.

Desconhecem-se as n variancias de ε. Logo, ha n2 elementos

desconhecidos en(n+1)

2 conhecidos.

Restricoes a impor: n2 − n(n+1)2 = n(n−1)

2 , embora insuficiente paraidentificacao exata, pois existem nao-linearidades no sistema deequacoes.


Exemplo

Logo:BB ′ = Var (Aet) = AVar (et)A

′.

Suponha o seguinte sistema de equacoes, em que se admite conhecera matriz de covariancia de et :[

σ2ε1

00 σ2

ε2

]=

[1 a12

a21 1

] [0, 5 0, 40, 4 0, 6

] [1 a21

a12 1

]=

=

[0, 5 + 0, 4a12 0, 4 + 0, 6a12

0, 5a21 + 0, 4 0, 4a21 + 0, 6

] [1 a21

a12 1

]=

[0, 5 + 0, 8a12+0, 6a2

12 0, 5a21+0, 4a12a21+0, 4 + 0, 6a12

0, 5a21+0, 4 + 0, 4a12a21+0, 6a12 0, 5a221+0, 8a21+0, 6

]


Exemplo

Ha tres equacoes independentes com quatro incognitas(a12, a21, σ2

ε1, σ2

ε2):

σ2ε1

= 0, 5 + 0, 8a12 + 0, 6a212;

0 = 0, 5a21 + 0, 4 + 0, 4a12a21 + 0, 6a12;

σ2ε2

= 0, 5a221 + 0, 8a21 + 0, 6.

Impondo a restricao de Choleski, a12 = 0, calculam-se:

σ2ε1

= 0, 5;

0 = 0, 5a21 + 0, 4 =⇒ a21 = −0, 8

σ2ε2

= 0, 5a221 + 0, 8a21 + 0, 6 =⇒ σ2

ε2= 0, 28.

A funcao resposta ao impulso. No caso de um VAR (1) bivariado,essa funcao e:

Ψi = Φi1

[1 0−a21 1

].


Exemplo

Outra restricao: uma inovacao em ε2t pode ter um efeito unitario em y1t

→ a12 = 1:

σ2ε1

= 1, 9;

a21 = −10

9;

σ2ε2

= 0, 5100

81− 0, 8

10

9+ 0, 6 = 0, 328.


Exemplo

Ha casos em que as restricoes podem nao gerar resultados unicos. Porexemplo: a correlacao cruzada no modelo bivariado estrutural e unica,a12 = a21 = a:

0 = 1, 1a+ 0, 4 + 0, 4a2 =⇒ a =

{−0.173−0.928

;

σ2ε1

= 0, 5 + 0, 8a+ 0, 6a2 =⇒ σ2ε1=

{0.4140.460

;

σ2ε2

= 0, 5a2 + 0, 8a+ 0, 6 =⇒ σ2ε2=

{0.4770.288

.


DECOMPOSICAO DE BLANCHARD E QUAH

Forma de identificacao com base em restricoes determinadas pelateoria economica.

Imposicao de restricoes a respeito do comportamento de longo prazode uma variavel a partir do choque estrutural em uma outra variavel.

Suponha um vetor Xt = (∆yt , ut)′, em que yt representa o logaritmo

do produto, e ut , a taxa de desemprego.

As variaveis respondem a um vetor de choques dado porεt = (εt,d , εt,s).

O produto e afetado por choques de demanda, e o desemprego, porchoques de oferta.

Os choques entre oferta e demanda nao sao correlacionados.

Os choques de demanda tem efeitos temporarios; os choques deoferta tem efeitos permanentes.



Normalizando B = I , considere

AXt =p

∑j=1

BjXt−j + εt ,

em que var (εt) = I .O modelo na forma reduzida fica:

Xt =p

∑j=1

A−1BjXt−j + A−1εt =p

∑j=1

ΦjXt−j + et ,

em queA−1Bj ≡ Φj ;Aet = εt .Ha duas representacoes equivalentes de Xt , dependendo de o modelopartir da forma reduzida ou estrutural.



Partindo da forma reduzida, pode-se escreve-lo como:(I −

p

∑j=1

ΦjLj

)Xt = et =⇒ Xt =

(I −

p

∑j=1

ΦjLj

)−1

et =⇒

Xt =

(∞

∑j=0

CjLj

)et , (3)

em queC0 ≡ I ;(I −∑p

j=1 ΦjLj)−1≡ ∑∞

j=0 CjLj ;

var (et) = Σ.



Partindo da forma estrutural, obtem-se:(A−

p

∑j=1

BjLj

)Xt = εt =⇒ Xt =

(A−

p

∑j=1

BjLj

)−1

εt =⇒

Xt =

(∞

∑j=0

AjLj

)εt , (4)

em que(A−∑p

j=1 BjLj)−1≡ ∑∞

j=0 AjLj .



Dado que C0 = I , das equacoes (4) e (3) resultam as seguintes relacoes:

A0εt = et =⇒ A0εt−j = et−j ;

Aj εt−j = Cjet−j =⇒ Aj εt−j = CjA0εt−j ∴

Aj = CjA0, j > 0.



Qual a relacao entre a matriz A0 e a matriz A?

A

(I −

p

∑j=1

A−1BjLj

)Xt = εt =⇒ Xt =

(I −

p

∑j=1

A−1BjLj

)−1

A−1εt =

=

(∞

∑j=0

CjLj

)A−1εt =

∞

∑j=0

CjA−1εt−j .

Comparando essa equacao com a equacao (4), conclui-se que:

Aj = CjA−1 =⇒

CjA0 = CjA−1 ∴

A0 = A−1.

Essa relacao e importante porque vao ser impostas restricoes a matriz A0.



Do termo A0εt , verifica-se que:

A0εt = et =⇒A0A

′0 = Σ.

Esse sistema de equacoes resulta, como ja foi visto, emn(n+1)

2 equacoes.No caso bivariado, sao explicitamente dadas por:

a211,0 + a2

12,0 = var (e1) ;

a11,0a21,0 + a12,0a22,0 = cov (e1, e2) ;

a221,0 + a2

22,0 = var (e2) .



Aqui introduzem-se as restricoes de longo prazo. Considere a equacao (4)no modelo bivariado:

Xt =∞

∑j=0

[a11,j a12,j

a21,j a22,j

]εt−j .

Para que o choque de demanda nao tenha efeitos de longo prazo sobre oproduto, impoe-se:

∞

∑j=0

a11,j = 0.

Tendo-se A0 e Cj , este obtido da estimacao do modelo reduzido, e valendoa relacao Aj = CjA0, pode-se obter Aj .



Para operacionalizar o procedimento:

1 Estime o modelo VAR (p) e obtenha as matrizes Φj ;

2 Obtenha as matrizes Cj resolvendo:(∞

∑j=0

CjLj

)=

(I −

p

∑j=1

ΦjLj

)−1

;

3 Sabendo que Aj = CjA0, imponha a restricao de longo prazo;

4 Resolva o sistema de equacoes e encontre os coeficientes de A0.


EXEMPLO

[a11,j a12,j

a21,j a22,j

]=

[c11,j c12,j

c21,j c22,j

] [a11,0 a12,0

a21,0 a22,0

]=

=

[a11,0c11,j + a21,0c12,j a12,0c11,j + a22,0c12,j

a11,0c21,j + a21,0c22,j a12,0c21,j + a22,0c22,j

]Impondo a restricao de longo prazo:

∞

∑j=0

a11,j = 0 = a11,0

∞

∑j=0

c11,j + a21,0

∞

∑j=0

c12,j .

Logo, as equacoes a serem resolvidas para obterr os coeficientes de A0 sao:

a211,0 + a2

12,0 = var (e1) ;

a11,0a21,0 + a12,0a22,0 = cov (e1, e2) ;

a221,0 + a2

22,0 = var (e2) ;

a11,0

∞

∑j=0

c11,j + a21,0

∞

∑j=0

c12,j = 0.



Uma vez obtida a matriz A0, podem-se recuperar os erros estruturaisda seguinte relacao:

εt = A−10 et ,

e, assim, encontrar a funcao resposta ao impulso e a decomposicao davariancia.

Nao se devem associar choques de demanda ao componentetransitorio do ciclo de negocios, e choques de oferta, ao componentepermanente de tendencia. O componente transitorio pode ocorrerdevido a uma combinacao de choques na oferta e demanda, assimcomo choques de oferta afetarao simultaneamente os componentescıclico e permanente da economia.


ESTIMACAO DO MODELO ESTRUTURAL*

Considere mais uma vez o modelo estrutural:

AXt =p

∑i=1

BiXt−i + Bεt , εt ∼ i .i .d .N (0, In) .

Empilham-se as matrizes Xi s, de modo queYt =

[X ′t−1 X ′t−2 · · · X ′t−p

]′, A = A−1 [B1,B2, . . . ,Bp ]:

Xt = AYt + A−1Bεt ,

em que B e a matriz de desvio padrao de dimensao n× n.A funcao de verossimilhanca sera dada por:

ln (A,A,B) = −n (T − p)

2ln 2π − (T − p)

2ln∣∣A−1BB ′A−1′∣∣−

−1

2

T

∑t=p+1

(Xt −AYt)′ (A−1BB ′A−1′)−1

(Xt −AYt) .



T

∑t=p+1

(Xt −AYt)′ (A−1BB ′A−1′)−1

(Xt −AYt) =

= (T − p)tr[(X −AZ )′

(A−1BB ′A−1′)−1

(X −AZ )]

em que X =[X ′p+1,X ′p+2, . . . ,X ′T

]′e Z =

[Y ′p+1,Y ′p+2, . . . ,Y ′T

]′. Logo

ln (A,A,B) = constante +(T − p)

2

(ln |A|2 − ln |B |2

)−

− (T − p)

2tr[A′B ′−1B−1A (X −AZ )′ (X −AZ )

].



Se nao houver restricoes sobre as matrizes A e B, pode-se estimar

Σ =(X−AZ)(X−AZ)

′

T , em que(X − AZ

)sao os resıduos do VAR

reduzido, A = XZ ′ (ZZ ′)−1. Daı, e possıvel concentrar a funcao anteriorpara maximizar:

lnc (A,B) = constante +(T − p)

2

(ln |A|2 − ln |B |2

)−

− (T − p)

2tr[A′B ′−1B−1AΣ

].


TESTE LR PARA SOBREIDENTIFICACAO

1 Estimada a matriz de covariancia nao restrita, Σ, e como se sabe queBB ′ = AΣA′, reescrever Σ:

Σ = A−1BB ′A′−1.

2 Imponha as restricoes sobre A e B e maximize :−T

2 ln∣∣A−1BB ′A′−1

∣∣− 12 ∑T

t=1 e′t

(A−1BB ′A′−1

)−1et .

3 Calcule a nova matriz de covariancia restrita: Σr = A−1BB ′A′−1.4 Proceda ao teste estatıstico de razao de verossimilhanca dado por:

LR = T(

ln∣∣∣Σr

∣∣∣− ln∣∣∣Σ∣∣∣) d−→ χ2

q,

em que q e o numero de restricoes acima den(n−1)

2 .5 Se ha dois conjuntos de restricoes tais que q1 > q2, pode-se testar a

hipotese de as restricoes serem equivalentes pelo teste:

LR = T(

ln∣∣∣Σr1

∣∣∣− ln∣∣∣Σr2

∣∣∣) d−→ χ2q1−q2

.


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