Vetores (cont), Matrizes e Transformações Lineares

Anderson Tavaresacmt@ecomp.poli.br

Grupo de Estudo em Ambientes Virtuaisgeav.ecomp.poli.br

Definição Matemática

• NotaçõesExemplo de Matriz Índices (linha e coluna)

Diagonal Principal Matriz Diagonal Matriz Identidade

Definição Matemática

• Vetores como Matrizes

Vetor Coluna (n x 1)Vetor Linha (1 x n)

Matriz Transposta Matriz Transposta

Definição Matemática

• Vetores como MatrizesTransposta de vetor linha Transposta de vetor coluna

Definição Matemática

• Multiplicar matriz por escalar

Definição Matemática

• Produto de Matrizes

linhas do resultado

colunas do resultadoDevem ser

iguais

Cada termo é o produto escalar do vetor linha i com o vetor coluna j

Definição Matemática

• Produto de Matrizes

Outra maneira de reescrever as matrizes

Definição Matemática

• Exemplo

Definição Matemática

• Exemplo

Definição Matemática

• Obs: Matriz M x Matriz quadrada S– I,j x j,j = l,j– l,l x l,j = l,j– M x I = I x M = M (I = Matriz Identidade)– AB ≠ BA (Não é comutativa)– (AB)C = A(BC) (É associativa)– (kA)B = k(AB) = A(kB)– (vA)B = v(AB)– (AB)T = BTAT

Definição Matemática

Indefinido

Indefinido

Definição Matemática

• Vantagens (Vetores Linhas)– Mais fácil escrever [4,5,6] do que – Leitura Natural– DirectX usa

• Vantagens (Vetores Coluna)– Equações (Ex: ABCv parece A(B(C(v))))– Livros de álgebra linear adotam– Livros de Computação Gráfica adotam– OpenGL usa

Interpretação Geométrica

• Descreve uma transformação linear• Pode “esticar”, porém não pode curvar ou

distorcer o espaço• Rotação• Escala• Projeção Ortográfica• Reflexão• Shearing (Skewing)

Interpretação Geométrica

• Como uma matriz transforma vetores

Interpretação Geométrica

• O que uma matriz parece?

Cada linha da matriz pode ser vista como vetor base após a transformação

Interpretação Geométrica

• Implicações– Podemos ver uma matriz e visualizar que

transformação ela faz.– Podemos fazer uma transformação reversa

• Um exemplo:

Interpretação Geométrica

Interpretação Geométrica

• Para facilitar

Interpretação Geométrica

• Transformação em 3D

• Exercícios– Que transformação essa matriz faz?

– Reexpresse sem os parênteses

Transformações Lineares

• Transformar um objeto é uma coisa

Transformações Lineares

• Transformar a coordenada é outra

Transformações Lineares

• Exemplo de rotação da coordenada

Transformações Lineares

• Transf. objeto = - Transf. coordenada

Rotação

• Rotação em 2D

Rotação

• Rotação em 3D sobre eixos cardinais

Rotação

• Rotação no eixo X

Rotação

• Rotação no eixo Y

Rotação

• Rotação no eixo Z

Rotação

• Rotação sobre qualquer eixo– Tomem um café e se alongue antes– Queremos girar um vetor v qualquer, θ graus,

num eixo n

– Transformar v em dois vetores• Perpendicular• Paralelo

Rotação• v|| é paralelo a n (projetado).

Então v|| é (v·n)n.• v┴ é perpendicular a n. Então

é v┴ = v – v||

• w (um vetor de referência) é perpendicular a v┴ e n (e mesmo comprimento de v┴.) Então é w = nv┴

Rotação

Rotação

• Iremos agora compor nossa matriz– Lembre-se: a matriz representa o conjunto de

vetores base após a transformação– Então iremos usar

• v = [1,0,0]• v = [0,1,0]• v = [0,0,1]

– Computar v’ de cada vetor base e juntar para fazer a matriz.

Rotação

Rotação

• Outros vetores-base– (calcula da mesma forma)

Rotação

• Tendo os 9 números, podemos compor a nossa matriz