VETORES FISICA - EXERCÍCIOS RESPOSTAS 2.pdf

Fsica I Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores Prof. Dr. Cludio S. Sartori 1

Ementa

Introduo Fsica, Vetores, Movimento em uma

dimenso;Movimentos em duas e trs dimenses, Leis de

Newton, Trabalho e energia, Energia potencial e

conservao da energia, Sistema de partculas e

conservao do momento linear, Colises;Rotaes.

Bibliografia Bsica

HALLIDAY, D., RESNIK, D. e WALKER, J.; Fundamentos de Fsica 3: Mecnica. 6 Edio. Rio de

Janeiro: LTC Livros Tcnicos e Cientficos LTDA, 2002.

Bibliografia Complementar:

NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Fsica Bsica

:Mecnica. Volume 1. 3 Edio . So Paulo: Editora

Edgard Blcher LTDA, 1997.

Sears, F. W.;Zemansky, M. W.; Young. H. D. Fsica.

2ed. Rio de Janeiro: livros tcnicos e cientficos, 2000. v.1.

Tipler, P. A. Fsica. 4 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000.

V.1.

www.claudio.sartori.nom.br

Introduo: A Fsica uma cincia baseada em observaes

experimentais e quantitativamente mensurveis. Seu

objetivo encontrar um conjunto de Leis fundamentais que

governam os fenmenos naturais e utiliz-las para poder

prever resultados em futuros experimentos.

As Leis fundamentais utilizadas no desenvolvimento

de teorias so expressas em linguagem matemtica, uma

espcie de ponte que liga a teoria ao experimento. Quando ocorre uma discrepncia entre a teoria e o

experimento, novas teorias so formuladas para remover a

discrepncia. Muitas vezes as teorias so satisfatrias sob

um conjunto limitado de condies; as teorias mais gerais

devem ser satisfatrias sem limitaes. Por exemplo, as

Leis do movimento descobertas por Isaac Newton (1642-

1727) descrevem precisamente o movimento de corpos sob

velocidades normais, porm, no se aplicam a corpos com

velocidades prximas da luz. Em contraste, a Teoria

especial da relatividade desenvolvida por Albert Einstein

(1879-1955) em torno de 1900 descreve o movimento de

corpos com quaisquer velocidades, coincidindo os

resultados com a teoria de Newton para corpos com

velocidades inferiores da luz.

A fsica clssica, que consiste de toda fsica

desenvolvida antes de 1900, inclui a teoria, conceitos, leis e

experimentos em mecnica clssica, termodinmica e

eletromagnetismo.

Importante contribuio para a fsica clssica veio dos

trabalhos desenvolvidos por Newton, que desenvolveu a

mecnica clssica como uma teoria sistemtica e foi um

dos criadores do clculo e de todo um verdadeiro

ferramental matemtico.

O desenvolvimento da mecnica continuou pelo sculo

18, mas nos campos da termodinmica, eletricidade e

magnetismo no foram desenvolvidos at por volta

do sculo 19, pprincipalmente porque antes dessa

poca, havia difculdade para avaliar os aparatos

para o controle de experimentos e seus resultados.

Uma nova era da fsica, conhecida como fsica

moderna, iniciou-se por volta do incio do sculo 19,

pois foram descobertos vrios fenmenos que no

eram explicados pela fsica clssica.

Os mais importantes desenvolvimentos da fsica

moderna so as teorias da relatividade e a teoria da

mecnica quntica. A teoria de Einstein da

relatividade revolucionou os conceitos de massa,

tempo e energia; a mecncia quntica, a qual se

aplica ao mundo macro e microscpico, foi

originado por um grande nmero de distintos

cientistas que descreveram fenmenos fsicos em

nivel atmico.

Os cientistas constantemente trabalham

para improvisar experimentos qua auxiliem no

entendimento de fenmenos naturais, desenvolvem

teorias e novas descobertas sugem nas mais

diferentes reas da cincia, como na fsica, geologia,

qumica e biologia, causando um enorme impacto

na sociedade.


CAPITULO 1 UNIDADES, GRANDEZAS FSICAS E

VETORES.

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES DE MEDIDA (SI);

ERROS SISTEMTICOS E ALEATRIOS. MEDIDAS.

1971 14a conferncia geral de pesos e medidas Sistema Internacional de unidades (SI).

Quantidade

Fundamentais

Nome da

unidade

Smbolo

Comprimento metro m

Massa kilograma kg

Tempo segundo s

Prefixos para o sistema SI:

Fator Prefix Smbolo Fator Prefix Smbo

lo

1024

yotta Y 10-24

yocto y

1021

zetta Z 10-21

zepto z

1018

exa 10-18

Atto a

1015

peta P 10-15

femto f

1012

tera T 10-12

Pico p

109 giga G 10

-9 Nano n

106 mega M 10

-6 micro

103 kilo k 10

-3 Milli m

102 hecto h 10

-2 centi c

101 deka da 10

-1 Deci d

Prefixos mais usados: Fator Prefix Smbolo

106 mega M

103 kilo k

10-2

centi c

10-3

Milli m

10-6

micro

10-9

Nano n

Alguns fatores de converso:

Massa Comprimento Volume

1kg=1000g=6.02

.1023

u

1m=100cm=39.

4in=3.28ft

1m3=1000l

=35,3ft3=2

64gal

1slug=14,6kg 1mi=1.61km=5

280ft Tempo

1u=1,66.10-27

kg 1 in=2.54cm 1d=86400s

Densidade 1nm=10-9

m=100

A

1year=

41365

d=3,16.107s

1kg/m3=10

-

3g/cm

3 1 light-

year=9,46.1015

m

Medida

Angular

1rad=57,30

=0,159rev

rad=1800=

1/2 rev

Velocidade Presso Energia

1m/s=3,27ft

/s=2.24mi/h

1Pa= 1N/m2 1J=10

7erg=0,239cal=0

.738ft-lb

1km/h=0.27

8m/s

1Pa=1dyne/cm2 1kWh=3,6.10

6J

1km/h=0.62

1mi/h

1Pa=1,45.10-

4lb/in

2

1cal=4,19J

Fora 1atm=1,01.105Pa 1eV=1,60.10

-19J

1N=105dyn

e

1atm=14,7lb/pol2 Potncia

1lb=4,45N 1atm=76cm-

Hg=760mm-Hg

1

horsepower=746W=5

50 ft.lb/s

Observaes: inch: polegada

feet: p

light-year: ano-luz, distncia que a luz

percorre em um ano.

horsepower: cavalovapor

Notao Cientfica: Resultados obtidos em calculadoras ou

computadores , possuem formatos do tipo dos

exemplos abaixo:

Exemplo 1 - Visor:

126,096E+06=126,096.106

Escrito em notao cientfica:

1,26096.108

Exemplo 2- Visor:

0,0108E-08=0,0108.10-8

Escrito em notao cientfica:

1,08.10-10

Teoria dos erros: Erros aleatrios e Sistemticos

Na medio de grandezas fsicas, como

comprimentos, intervalos de tempo, voltagem entre

dois pontos, carga eltrica, etc, h fontes de erros

que a afetam. As medidas so afetadas por erros

experimentais classificados em dois grandes grupos:

Erros sistemticos Erros aleatrios

Os erros sistemticos so causados por

fontes identificveis, podendo ser eliminados ou

compensados. Prejudicam a exatido (accuracy) da medida.

Causas dos erros sistemticos:

Instrumento que foi utilizado.

Mtodo de observao utilizado.

Efeitos ambientais.

Simplificao do modelo terico utilizado.


-4 -2 0 2 4

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

68,7%

95,45%

Z

Y

Ao realizar as medidas, deve-se identificar e

eliminar o maior nmero possvel de fontes de erros

sistemticos.

Os erros aleatrios so flutuaes pacima ou para

baixo, que fazem com que aproximadamente a metade das

medidas realizadas de uma mesma grandeza numa mesma

situao experimental esteja desviada para mais e a outra

metade esteja desviada para menos, afetando portanto a

preciso.

Algumas fontes de erro tpicas:

Mtodos de observao.

Flutuaes ambientais. Os erros aleatrios podem ser tratados

quantitativamente atravs de mtodos estatsticos, de

maneira que seus efeitos na grandeza fsica medida

podem ser em geral, eliminados.

O Tratamento Estatstico Tendo N conjunto de dados xi, calculamos a mdia e

o desvio padro da forma:

N

xN

ii

1

N

xN

ii

1

2

Se os dados xi forem distribudos em frequncia fi:

N

ii

N

iii

f

fx

1

1

N

ii

N

iii

f

xf

1

1

2

A varincia definida como o quadrado do desvio

padro (2). Relaes importantes:

22 xx

Onde:

N

ii

N

iii

f

xf

x

1

1

2

2

(Mdia Quadrtica).

A distribuio Normal ou de Gauss:

Foi Gauss (&&)

quem deduziu a expresso

para a chamada distribuio Gaussiana ou Normal:

22

2

2

1

x

eY

(&&)

Carl Friedrich Gauss (1777-1855),

Brunswick, Germany Podemos trabalhar com a varivel

denominada de varivel reduzida z:

xz

Nesse caso, a distribuio Normal ou

Gaussiana fica:

2

2

2

1z

eY

Esta uma expresso mais simplificada,

cujo grfico est dado a seguir:

Veja que h uma rea sob a curva de 1.

Quando x se encontra no intervalo de ( - , + ),

a rea sob a curva de 68,7%; j quando x se

encontra no intervalo ( - 2 , + 2 ) a rea j de

95% ou 0.95.

Distribuio Normal ou Gaussiana

Mdia

Varincia 2

Desvio Padro

Coeficiente de simetria 0 Observe que a curva Gaussiana ou Normal

uma curva simtrica em relao ao eixo Oy, tendo

50% de rea esquerda e a direita do eixo Oy.


Veja como se aproxima da distribuio Normal

um resultado para N=8 para um exemplo de lanamento de

moeda ) p = 0.5 = q:

Erros na Fase de Modelagem: Necessita-se de vrias simplificaes do mundo fsico,

em geral, para se tentar representar um fenmeno natural

por um modelo matemtico. Esses erros levam em

considerao a preciso dos instrumentos de medidas.

Em geral se um instrumento possui preciso p,

definida em geral pela metade da menor diviso; faz-se um

conjunto de N medidas. Ao apresentar o resultado final

teremos que calcular a mdia x do conjunto de xi medidas

e o desvio padro :

x

N

i

i

N

x

x

x

y

N

i

i

N

y

y

y

1

1

2

N

xxN

i

i

O erro x associado mdia ser:

Nx x

N 1;

Ny

yN 1

Assim o resultado a apresentar ser dado por:

Se p

xxps xx ; yyps yy

Se < p

px

xxx pxps ; yyy pyps

Tais erros em operaes matemticas se

propagam: Assim, suponha que faz-se medidas diretas das

variveis x e y com mdias yx; , desvios x e y e erros

dados por x e y. Teremos que fazer o que se chama de

propagao de erros nas operaes matemticas:

1) Soma S = x + y e diferena D = x - y: Nesse caso o erro na soma ou na diferena dado

por:

22yxDS

2) Produto P = x.y

22

y

y

x

xyxP

3) Quociente Q = x/y

22

y

y

x

x

y

xQ

4) Potenciao: F = xnym

22

y

ym

x

xnyxF

yxF

mn

mn

Tais regras so conhecidas como regras de

propagao de erro.

Caso Geral: Se tivermos uma funo f de n variveis, o

erro na funo f dado por: 22 2

2 2 2f f ff D x y zx y z

Apresentao do resultado

O resultado deve ser apresentados em

termos dos algarismos significativos (todos os

corretos da medida mais o primeiro duvidoso, ou

seja matematicamente, todos da esquerda para a

direita) . Por exemplo:

12,345 - 5 Algarismos significativos

(digito 5:duvidoso)

0,00012 2 AS -1,234.10

-5 4 AS

Exemplo 3 Mediu-se a espessura de uma lmina e encontrou-se a seguinte tabela: (medido

com paqumetro p=0.025mm)

Espessura (mm)

2,23

2,25

2,31

2,18

2,21

2,23

01.024.2ee mm pois

0140,06

03437,0x

Como a preciso p = 0.025, ou seja, maior

que o desvio padro, a escrevemos como:

03.024.2pe


Sistemas de Unidades. Grandezas Fundamentais

O SI tambm conhecido como sistema mtrico.

As grandezas derivadas do SI so dadas em

termos das fundamentais.

As grandezas fundamentais so:

Metro: (m) O metro foi definido, em 1792 na Frana, como 1

dcimo de milionsimo da distncia do plo norte para o

equador. Atualmente definido como a distncia entre

duas linhas finas gravadas em uma barra de platina-irdio,

mantida no International Bureau of Weights and Measures

prximo Paris.

Em 1960 foi adotado um novo padro para o

metro, baseado no comprimento de onda da luz.

Especificamente, o metro foi redefinido como 1650763,73

comprimentos de onda de uma particular luz vermelho-

alaranjada emitida por tomos de Kriptnio-86.

COMPRIMENTOS TPICOS m

Distncia ao mais afastado quasar (1990) 2.1026

Distncia galxia de Andrmeda 2.1022

Distncia mais prxima estrela (Prxima

Centauri)

4.1016

Distncia ao mais afastado planeta (Pluto) 6.1012

Raio da Terra 6.106

Altura do monte Everest 9.102

Espessura dessa pgina 1.10-4

Comprimento de onda da luz 5.10-7

Comprimento de um vrus tpico 1.10-8

Raio do tomo de hidrognio 5.10-11

Raio de um prton 10-15

Tempo: (s) Para medir tempo-padro, os relgios atmicos

foram desenvolvidos em diversos pases.

A 13a conferncia geral de pesos e medidas adotou

o segundo padro baseado no relgio atmico de csio.

(NIST- Colorado USA)

Em princpio, dois relgios de Csio funcionando

por 6000 anos no atrasariam 1s em relao ao outro.

Relgio de Csio Padro, no NIST (USA)

Intervalo de Tempo (s)

Tempo de vida de um prton 1039

Idade do universo 5.1017

Idade da pirmide de Quops 1.1011

Expectativa de vida humana (EUA) 2.109

Durao de um dia 9.104

Tempo entre duas batidas do

corao humano

8.10-1

Tempo de vida de um mon 2.10-6

Menor pulso luminoso no

laboratrio (1989)

6.10-15

Tempo de vida da mais instvel

partcula 10

-23

Constante de tempo de Planck 10-43

Massa: (kg) A unidade padro para a massa um

cilindro de platina-irdio guardada no International

Bureau of Weights and Measures , prximo Paris,

Frana, como mostramos na figura

abaixo:corresponde a uma massa de 1kg, de acordo

internacional.

1kg padro internacional. Algumas massas tpicas:

Massa kg

Universo conhecido 1053

Nossa galxia 2.1041

Sol 2.1030

Lua 7.1022

Asteride Eros 5.1015

Pequena Montanha 1.1012

Periferia do Oceano 7.107

Elefante 5.103

Grampo 3.10-3

Gro de Areia 7.10-10

Molcula de

Penicilina

5.10-17

Prton 2.10-27

Eltron 9.10-31


Anlise de Equaes e variveis em Fsica. Anlise dimensional:

Muitas vezes em problemas e medidas de

extrema utilidade analisar a dimenso da grandeza a ser

medida ou da varivel em questo. Para isso representamos

as grandezas fundamentais como:

Medida Nome da

unidade

Smbolo Dimenso

Comprimento metro m [L]

Massa kilograma kg [M]

Tempo segundo s [T]

Exemplo 4 Analisar a dimenso da grandeza presso:

P=F/A

F=ma

Grandeza (unidade SI) Dimenso

Acelerao a (m/s2) [L][T]

-2

Massa (kg) [M]

Fora (1N=kgm/s2) [M][L][T]

-2

Presso (N/m2) [M][L][T]

-2/[L]2

[M][L]-1[T]-2

Assim, a anlise dimensional para a Presso nos

d: =[M][L]-1

[T]-2

.

Definies do sistema de unidades bsicas do SI:

Unidade de

comprimento

metro o comprimento atravessado pela luz no

vcuo num intervalo de

1/299 792 458 de um segundo.

Unidade de

massa

kilograma Massa de um prottipo padro internacional.

Unidade de

tempo

segundo O Segundo a durao de

9 192 631 770 perodos da radiao correspondente

para a transio de dois

nveis hiperfinos do estado fundamental do tomo de

Csio 133.

Unidade de

corrente

eltrica

ampere O ampre uma corrente a qual, mantidos dois fios

condutores de

comprimentos infinitos e paralelos e de

negligencivel rea de

seo reta circular, s

separados por 1 metro no

vcuo, produzir-se- entre esses condutores uma fora

de 2 x 10-7 newton por

metro de comprimento.

Unidade de

temperatura

termodinmica

kelvin O kelvin, unidade de temperatura termodinmica, a frao

de 1/273.16 da temperatura

do ponto triplo da gua.

Unidade da

quantidade de

uma substncia

mole 1. O mole a quantidade de uma substncia de um sistema o qual contm

quantidades elementares existentes em 0,0012 kg de

carbono 12, simbolizando

o "mol."

2. Quando n mole usado,

as entidades elementares

devem ser especificadas, podendo ser tomos ou

molculas, ons, eltrons

ou outras partculas.

Unidade de

quantidade

luminosa

candela A candela a intensidade luminosa, em uma dada direo, de uma fonte que

emite radiao

monocromtica de frequncia 540 x 1012 hertz

e que tem uma intensidade

de radiao na direo of 1/683 watt por

estereoradiano.

Unidade de comprimento (metro)

Acrnimos: CGPM,

CIPM, BIPM As origens do metro voltam para o 18 sculo. Naquele momento, havia duas aproximaes competindo definio de

uma unidade standard (padro) de durao. O astrnomo

Christian Huygens sugestionou definindo o metro como a durao de um pndulo que tem um perodo de um segundo;

outros sugestionaram definindo o metro como um dcimo de milionsimo da durao do meridiano da terra ao longo de um

quadrante (um quarto a circunferncia da terra). Em 1791, em

seguida a Revoluo francesa, a Academia francesa de Cincias escolheu a definio meridiana em cima da definio de pndulo

porque a fora de gravidade varia ligeiramente em cima da

superfcie da terra e afeta o perodo do pndulo. Assim, era pretendido que o metro igualava 10-7 ou um

dcimo de milionsimo da durao do meridiano por Paris para o

equador. Porm, o primeiro prottipo era pequeno atravs de 0.2 milmetros porque os investigadores calcularam mal o aplainando

da terra devido a sua rotao. Ainda esta durao se tornou o

padro. ( gravura certos espetculos de arremesso da liga de platina-irdio chamado a " 1874 Liga ".) Em 1889, um prottipo

internacional novo foi feito de uma liga de platina com 10 % de

irdio, para dentro de 0.0001, isso seria medido ao ponto de derretimento do gelo. Em 1927, o metro foi definido mais

justamente como a distncia, a 0, entre os machados das duas

linhas centrais marcados na barra de platina-irdio persistida no BIPM, e declarou Prottipo do metro pelo 1 CGPM, esta barra

que est sujeito a presso atmosfrica standard e apoiada em dois

cilindros de pelo menos um dimetro de centmetro, simetricamente colocadas no mesmo plano horizontal a uma

distncia de 571 mm de um ao outro.

A definio de 1889 do metro, fundamentada no prottipo

internacional de platina-irdio, foi substituda pelo CGPM em

1960 usando uma definio fundada em um comprimento de

onda de radiao kryptnio-86. Esta definio foi adotada para


reduzir a incerteza com que o metro pode ser percebido. Em 1983 o

CGPM substituiu esta definio posterior pela seguinte definio:

O metro a durao do caminho percorrido pela luz no vcuo durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 de um segundo.

Note que o efeito desta definio fixar a velocidade de luz no vcuo

a exatamente 299 792 458 ms-1. O prottipo internacional original do metro que foi sancionado pelo 1 CGPM em 1889 ainda persistido no

BIPM debaixo das condies especificadas em 1889.

Unidade de massa (kilograma)

Acrnimos: CGPM,

CIPM, BIPM Ao trmino do 18 sculo, um quilograma era a massa de um decmetro cbico de gua. Em 1889, o 1 CGPM sancionou o prottipo

internacional do quilograma, feito de platina-irdio, e declarou: Ser

considerado daqui em diante que este prottipo a unidade de massa. A figura anterior mostra o bloco de platina-irdio, um prottipo

internacional, como est na Agncia Internacional de Pesos e Medidas

debaixo de condies especificadas pelo 1 CGPM em 1889. O 3d CGPM (1901), em uma declarao pretenderam terminar a

ambigidade em uso popular relativo ao palavra " peso, " confirmou isso:

O quilograma a unidade de massa; igual massa do prottipo internacional do quilograma.

Unidade de tempo (segundo)

Acrnimos: CGPM,

CIPM, BIPM A unidade de tempo, o segundo, foi definida originalmente como a

frao 1/86 400 do dia solar mdio. A definio exata de "dia " solar mdio permaneceu sob as teorias astronmicas. Porm, a medida mostrou

que no pudessem ser levadas em conta irregularidades na rotao da

Terra pela teoria e tem o efeito que esta definio no permite alcanar a preciso exigida. Para definir a unidade de tempo mais justamente, o 11

CGPM (1960) adotou uma definio dada pela Unio Astronmica

Internacional que estava baseado no ano tropical. Porm, um trabalho experimental j tinha mostrado que um padro atmico de intervalo de

tempo, baseado numa transio entre dois nveis de energia de um tomo

ou uma molcula, poderia ser reproduzida muito mais justamente. Considerando que uma definio muito precisa da unidade de tempo

indispensvel para o Sistema Internacional, o 13 CGPM (1967) decidiu

substituir a definio do segundo pelo seguinte (afirmou pelo CIPM em 1997 que esta definio se refere a um tomo de csio em seu estado

fundamental uma temperatura de 0 K):

O segundo a durao de 9 192 631 770 perodos da

radiao que corresponde transio entre o dois nveis hiperfinos do

estado fundamental do tomo de csio 133.

Unidade de corrente eltrica (ampere)

Acrnimos: CGPM,

CIPM, BIPM Unidades de corrente eltrica, chamada " internacional, " para corrente

e resistncia foi introduzida pelo Congresso Eltrico Internacional em

Chicago em 1893, e as definies do " ampre internacional " e o " ohm internacional " eram confirmadas pela Conferncia Internacional de

Londres em 1908.

Embora j era bvio na ocasio do 8 CGPM (1933) que havia um desejo unnime para substituir essas " unidades internacionais " atravs de

unidades absolutas " denominadas ", a deciso oficial para aboli-los s foi

levada pelo 9 CGPM (1948) que adotou o ampre para a unidade de corrente eltrica e segue a definio proposta pelo CIPM em 1946:

O ampre aquela corrente de constante que, se manter

diretamente em dois condutores paralelos e infinitos, de seo circular

transversal desprezvel, colocados paralelamente a 1 metro no vcuo,

produziria entre estes condutores uma fora igual para 2 x 10-7 newton

por metro de comprimento. A expresso " unidade de MKS de fora " que acontece no texto

original foi substituda aqui atravs de " newton, " o nome adotou para

esta unidade pelo 9 CGPM (1948). Note que o efeito desta definio fixar a constante magntica (permeabilidade do vcuo) a exatamente 4 x

10-7 H m-1 .

Unidade de temperatura termodinmica (kelvin)

Acronimos: CGPM,

CIPM, BIPM A definio da unidade de temperatura termodinmica era determinada em substncia pelo 10 CGPM (1954) que

selecionou o ponto triplo de gua como o ponto fixo fundamental

e nomeou a isto a temperatura 273.16 K, definindo a unidade assim. O 13 CGPM (1967) adotou o kelvin de nome (smbolo K)

em vez de " grau Kelvin " (smbolo K) e definiu a unidade de

temperatura termodinmica como segue:

O kelvin, unidade de temperatura termodinmica, a

frao 1/273.16 da temperatura termodinmica do ponto triplo

da gua. Por causa das escalas termomtricas de temperatura,

permanece prtica comum para expressar temperatura

termodinmica, smbolo T, em termos de sua diferena da referncia temperatura T0 = 273.15 K, o ponto de gelo. Esta

diferena de temperatura chamada uma temperatura Celcius

(em graus Centgrados, smbolo t, e definido pela equao de quantidade

t = T T0 . A unidade de temperatura Celcius o grau Centgrado, smbolo C que por definio igual em magnitude para o kelvin.

Uma diferena ou intervalo de temperatura podem ser

expressados em kelvins ou em graus Centgrado (13 CGPM, 1967). O valor numrico de uma temperatura t graus Celcius

determinada por

t/C = T/K - 273.15. O kelvin e o grau Centgrado tambm so tambm unidades

de Temperatura Internacional. A Escala de 1990 (ITS-90) adotou

pelo CIPM em 1989.

Unidade de quantidade de substncia (mole)

Acrnimos: CGPM,

CIPM, BIPM Seguindo a descoberta das leis fundamentais de qumica, as

unidades foram chamadas, por exemplo, tomo-grama" e "molcula-grama, foram usadas para especificar quantias de elementos qumicos ou combinaes. Estas unidades tiveram uma

conexo direta com "pesos" atmicos e "pesos moleculares" que

eram de fato massas relativas. Referiram pesos" atmicos originalmente ao peso atmico de oxignio, por acordo geral

levado como 16. Mas considerando os istopos fsicos separados no espectrgrafo de massa, atribuiu o valor 16 a um dos istopos

de oxignio; os qumicos atriburam aquele mesmo valor para o

(ligeiramente varivel) mistura de istopos 16, 17, e 18 que eram para eles o oxignio de elemento naturalmente acontecendo.

Finalmente, um acordo entre a Unio Internacional de Puras e

Aplicadas Fsicas (IUPAP) e a Unio Internacional de Pura e Aplicada Qumica (IUPAC) trouxe esta dualidade para um fim

em 1959/60. Os Fsicos e Qumicos concordaram nomear o valor

12, exatamente, desde ento para o "peso atmico" corretamente a massa atmica relativa, do istopo de carbono com massa

nmero 12 (carbono 12, 12C). A balana unificada assim obtida

d valores de massa atmica relativa.

Permaneceu definir a unidade de quantidade de substncia

fixando a massa correspondente de carbono 12; por acordo

internacional, esta massa esteve fixa em 0.012 kg, e a unidade

da quantidade de substncia" era determinada de nome mole (mol de smbolo).

As Propostas seguintes da IUPAP, IUPAC, e a Organizao Internacional para Padronizao (ISO), o CIPM cedeu 1967, e

confirmou em 1969, a definio de mole, eventualmente adotados

pelo 14 CGPM (1971): 1. mole a quantia de substncia de um sistema que

contm tantas entidades elementares quanto h tomos em 0.012

quilograma de carbono 12; seu smbolo " mol ". 2. quando o mole usado, as entidades elementares

devem ser especificadas e podem ser tomos, molculas, ons,

eltrons, outras partculas, ou especificados grupos de tais partculas.


A sua 1980 reunio, o CIPM aprovou a proposta de 1980 pelo Comit de

Consultas em Unidades do CIPM que especifica isso nesta definio,

compreendido que tomos no ligados de carbono 12, em repouso e no estado de solo deles/delas, se refere.

Unidade de intensidade luminosa (candela)

Acrnimos: CGPM,

CIPM, BIPM Originalmente, cada pas teve seu prprio, e bastante mal

reprodutvel, unidade de intensidade luminosa; era necessrio esperar at

as 1909 para ver um comeo de unificao no nvel internacional, quando

os laboratrios nacionais dos Estados Unidos da Amrica, Frana, e Gr Bretanha decidiram adotar a vela internacional representada por

luminrias de filamento de carbono. Ao mesmo tempo, a Alemanha ficou

com a vela de Hefner, definida por um padro de chama, e igual para aproximadamente nove dcimos de uma vela internacional. Mas um

padro baseado em luminrias incandescentes, e conseqentemente

dependente na sua estabilidade, nunca teria sido completamente satisfatrio e poderia ser ento s provisional; por outro lado, as

propriedades de um corpo negro proveram uma soluo teoricamente

perfeita e, j em 1933, foi adotado o princpio que unidades de fotometria novas estariam baseado na emisso luminosa de um corpo negro na

temperatura de fuso da platina (2045 K).

As unidades de intensidade luminosa eram baseadas em chama ou padres de filamento incandescentes e foram substitudas em uso em

vrios pases antes de 1948 inicialmente pela "vela" baseado no

luminance da radiao de corpo negro (Teoria feita por Planck) temperatura de platina citada acima. Esta modificao tinha sido

preparada pela Comisso Internacional em Iluminao (CIE) e pelo CIPM

antes das 1937, e foi promulgado pelo CIPM em 1946. Foi ratificado ento em 1948 pelo 9 CGPM que adotaram um nome internacional novo

para esta unidade, candela (cd de smbolo); em 1967 o 13 CGPM deu

uma verso emendada da definio de1946. Em 1979, por causa das dificuldades experimentais que ocorriam na

radiao de corpo negro (Teoria de Planck) a temperaturas altas e as

possibilidades novas ofereceu atravs da radiometria, i.e., a medida de poder de radiao ptico, o 16 CGPM (1979) adotou uma definio nova

para o candela:

O candela a intensidade luminosa, em uma determinada

direo, de uma fonte que emite radiao monocromtica de freqncia

540 x 1012 hertz e tem uma intensidade radiante naquela direo de

1/683 watt por stereoradianos.

Apndice: Modo Estatstico das calculadoras. Casio fx-82MS

Comando Funo

on Liga

Mode 2 Entra no modo sd (statistical data)

Shift CLR 1 = Limpa memrias

Dado 1 M+ Inseri dado 1

Shift 2 Entra no s-var

Shift 2 1 = D a mdia

Shift 2 2 = D o DPP

Shift 2 3 = D o DPA

Shift CLR 3 = Limpa tudo

Mode 3 Entra no modo reg 1 (regresso

linear)

x1,y1 M+ Inseri ponto (x1,y1)

Exemplo:

1.879EXP(-

)5,2.456EXP4 M+

Insere o ponto (1.879.10-5,

2.46.104)

Shift 2 1 = D a mdia de x

Shift 2 2 = D o DPP de x

Shift 2 3 = D o DPA de x

Shift 2 1 = D a mdia de x

Shift 2 2 = D o DPP de x

Shift 2 3 = D o DPA de x

Shift 2 1 = D o coeficiente linear A

Shift 2 2 = D o coeficiente angular B

Shift 2 3 = D a correlao r

Srie HP


Recursos estatsticos: x, x2, y, y2, xy

Desvio padro de amostra, mdia

Desvio padro de populao

Regresso linear

Combinaes, permutaes

Mdia ponderada

Editar, gravar, nomear, listar

Ajuste de curva ( LIN, LOG, EXP, POW )

Plotagem de dados estatsticos

Testes de hipteses

Intervalos de confiana

Comando Funo

Single-var

Entra no modo

estatstico

Edit Entra no modo de

edio. Escolha a

coluna que inserir os

dados

population Dpp

sample Dpa

chk Marque para mostrar

o valor

Fit data

Entra no modo de

ajuste de curvas

Edit Insira os dados (x,y)

nas colunas 1 e 2, por

exemplo

GRANDEZAS FSICAS Vetoriais e escalares.

VETORES

Vetores no plano R2:

Versores: So vetores de mdulo 1 e perpendiculares entre si. No plano R

2 definimos

os versores 0,1i e 1,0j

y

1

j

i

0 1 x

Representao:

jvivv yx ou

),( yx vvv

ou

OAAOv

xv : Componente horizontal do vetor v

.

yv : Componente vertical do vetor v

.

cosvvx

senvvy

CD D C

, ,D D C CCD x y x y

,D C D CCD x x y y

D C D CCD x x i y y j

Mdulo ou magnitude do vetor:

22

yx vvv

Valeu,

carinha ?


o Importante:

v

um vetor, por tanto possui mdulo direo e

sentido.

v

o mdulo do vetor v

, sendo portanto um

nmero.

Direo do vetor: A direo de um vetor dada pelo ngulo que o

vetor forma com o eixo horizontal Ox, com o ngulo

medido no sentido anti-horrio.

Unidades angulares: Definimos o grau (em ingls: degree) como um

noventa avos do ngulo reto.

O grado definido de tal forma que a cada 100

grados corresponde a 900. Assim:

0

0( ) 100

90grados

O radiano dado pela correspondncia: a cada radianos corresponde a 180

0. Assim:

0

0

180)(rad

Modo angular na calculadora: Lembre-se que para encontrar o ngulo em graus

o modo que se deve trabalhar na calculadora deg (de

degree) e se quisermos operar em radianos, rad.

A relao entre um ngulo medido em grau 0 e um

ngulo medido em radiano dada por: 0

0180

3.14159...

Determinao do ngulo :

v

v

v

v xx arccoscos

v

v

v

v yy arcsensen

x

y

x

y

v

v

v

varctantan

Converses de quadrantes:

i) Vetor no segundo quadrante

y

x

y

v

varctg

v

000 180

vy )(rad

vx 0 x

ii) Vetor no terceiro quadrante

y

x

y

v

varctg

0x

v

000 180

vy )(rad

vx

iii) Vetor no quarto quadrante

y

x

y

v

varctg

0x

v

000 360

vy 2)(rad

vx

Operaes com vetores

Multiplicao por um escalar

Soma de vetores Regra do Polgono

v

w

u

t

twvuS


Regra do Paralelogramo

vu

u

vu

v

cos222

vuvuvu

cos222

vuvuvu

Obs.: Vide demonstrao no Apndice I

Subtrao de vetores

Vetores no espao R3:

Representao:

x

kvjvivv zyx

ou

),,( zyx vvvv

ou

OAAOv

xv : Componente x do vetor v

.

yv : Componente y do vetor v

.

zv : Componente z do vetor v

.

Determinao dos ngulos formados pelo vetor

com os eixos:

ngulo ngulo formado pelo: Cossenos

diretores

x Vetor e eixo Ox

v

vxx cos

y Vetor e eixo Oy

v

vyy cos

z Vetor e eixo Oz

v

vzz cos

Versores:

0,0,1i

0,1,0j

1,0,0k

Mdulo do vetor:

222

zyx vvvv

Normalizao de um vetor:

Dado um vetor u

qualquer, o vetor de

mdulo 1 que aponta na mesma direo e sentido de

u

dado por:

u

un

u

n

Ou:

jsenin cos

Regra do paralelogramo:

vuS

u

vuD

v

cos222

vuvuvu

Analogamente, podemos provar que:

cos222

vuvuvu


Apndice II Regra do Paralelogramo: Demonstrao:

Observe que:

uy

ux

uu

uu

cos

cos

e

vy

vx

vv

vv

cos

cos

jsenuiuu uucos

jsenvivv vvcos

Relaes trigonomtricas:

asenbbsenabasen coscos)(

senasenbbaba coscos)cos(

1cos 22 sen

sensensen 2)2(

22cos)2cos( sen

jsenvsenuivuvu vuvucoscos

22coscos vuvu senvsenuvuvu

)cos(cos2)(cos)(cos 222222

vuvuuuuu sensenvusenvsenuvu

Como:

vuvuvu sensencoscos)cos(cos

Teremos:

cos222

vuvuvu

Analogamente, podemos provar que:

cos222

vuvuvu

Fsica 1 Captulo 1 Sistemas de Unidades, Grandezas e Medies Prof. Dr. Cludio. Srgio Sartori.

13

Apndice II

Lei dos Cosenos:

cos222 babac

cos222 cacab

cos222 bcbca

a c

b

Lei dos Senos:

sen

c

sen

b

sen

a

Prova:Observe que:

1

2 a h c

m n

b

senaha

hsen {1}

senchc

hsen {2}

11 coscos aha

h

11 coscos aha

h

22 coscos chc

h

11 senama

msen

22 sencnc

nsen

122121 coscos)( sensensensen

ac

bh

ac

hnm

a

h

c

n

c

h

a

msen

)(

1

1

Portanto: senb

ach {3}; Reunindo {1},

{2} e {3}:

senb

acsencsenah

Dividindo os membros por a.c:

b

sen

a

sen

c

sen

Ou: sen

c

sen

b

sen

a

Produtos entre vetores Dados dois vetores:

x y zu u i u j u k

x y zv v i v j v k

Definimos:

Produto escalar: O produto escalar entre dois vetores tem como

u e v resultado um nmero.

Representamos por: u v

x x y y z zu v u v u v u v

Tambm podemos demonstrar que:

cosu v u v

Onde o ngulo entre os vetores u e v .

Produto vetorial: O produto escalar entre dois vetores tem como

u e v resultado um vetor.


14

Representamos por: u v

x y z

x y z

i j k

u v u u u

v v v

Tambm podemos demonstrar que:

u v u v sen

O vetor u v um vetor perpendicular ao

plano formado pelos vetores u e v .

EXERCCIOS

SEO 1.4 PADRES E UNIDADES

SEO 1.5 COERNCIA E CONVERSO DE

UNIDADES

1.1 Usando a delmio l milha = l.61 km. calcule o

nmero de quilmetros em 5 milhas.

1.2 De acordo com o rtulo de uma garrafa de

molho para salada, o volume do contedo de 0,473

litros (L). Usando a converso l L = 1000 cm3 ,

expresse este volume em milmetros cbicos.

1.3 Calcule o tempo em nanossegundos que a luz

leva para percorrer uma distncia de l.00 km no

vcuo.

1.4 A densidade do chumbo l l .3 g/cm3. Qual e

este valor em quilogramas por metro cbico?'

1.5 O cilindro de um potente automvel Chevrolet

Corvette possui um volume de 5.3 l.. Sabendo que l

decmetro (dam) igual a 10 m, expresse este volume

em decametros cbicos.

1.6 Para controlar seu consumo de bebida

alcolica, voc resolveu beber 0,04 m3 de vinho durante

um ano. Supondo que todo dia voc beba a mesma

quantidade de vinho, quantos cm3 de vinho voc

deveria beber por dia?

1.7 O Concorde o avio comercial mais veloz do

mundo. Ele pode viajar a 1450 mi/h (cerca de duas

vezes a velocidade do som ou Mach 2. Calcule esta

velocidade

(a) em km/h e (b) em m/s.

1.8 Em um pas europeu voc v o seguinte aviso:

limite mximo de velocidade = 100 mi/h. Expresse este

limite em km/h e em m/s.

1.9 O consumo de gasolina de um cairo pequeno

aproximadamente igual a 15,0 km/L. Expresse este

consumo em dam/cm3.

SEO 1.6 INCERTEZA ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS

1.10 Um modo til de saber quantos segundos

existem em um ano dizer que um ano

aproximadamente igual a 107segundos. Calcule o erro

percentual deste valor aproximado.

(Em um ano existem 365.24 dias.)

1.11 (a) Suponha que um trem tenha percorrido 890

km de Berlim ate Paris e superou em 10 m o limite final

do trilho. Qual o erro percentual na distncia total

percorrida?

(b) Seria correto dizer que ele percorreu uma

distncia total de 890.010 m? Explique.

1.12 Usando uma rgua de madeira, voc mede

o comprimento de uma placa metlica retangular e

encontra 12 mm. Usando um micrmetro para medir a

largura da placa voc encontra 5,98 mm.

Fornea as respostas dos seguintes itens com o nmero

de algarismos significativos correio,

(a) Qual a rea do retngulo?

(b) Qual a razo entre a largura do tringulo e

o seu comprimento?

(c) Qual o permetro do retngulo?

(d) Qual a diferena entre o comprimento do

retngulo e a sua largura?

(e) Qual a razo entre o comprimento do

retngulo e a sua largura?

1.13 Estime o erro percentual ao medir:

(a) a distancia de 75 cm usando uma rgua de l

m.

(b) a massa de 12 g com uma balana qumica:

(c) o intervalo de tempo de 6 min com um cronmetro.

1.14 Uma placa retangular de alumnio possui

comprimento de:

5.60 0.01 cm e largura de:

l.90 0.01 cm.

(a) Ache a rea do retngulo e a incerteza na

rea.


15

(b) Verifique se a incerteza fracionaria na rea

igual soma das incertezas fracionrias do

comprimento e da largura.

1.15 Um disco fino de chocolate possui

dimetro igual a 8,50 0,02 cm e espessura igual a

0.050 0,005 cm.

(a) Ache o volume e a incerteza no volume,

(b) Ache a razo entre o dimetro e a espessura

e a incerteza desta razo.

SEAO 1.7 ESTIMATIVAS E ORDENS DE GRANDEZA

1.16 Faa uma estimativa do volume da

gasolina consumida no Brasil durante um ano.

1.17 Uma caixa possui volume de 28 cm x 22

cm x 42 cm e est cheia de folhas de papel de 28 cm x

22 cm. Esta caixa contm aproximadamente 10 mil ou

10 milhes de folhas?

1.18 Quantas laranjas voc deve espremer para

obter 2 L de suco de laranja?

1.19 Estime a ordem de grandeza do nmero

de palavras de um livro (200 pginas).

1.20 Qual o volume de ar que uma pessoa

respira em toda sua vida? Compare este volume com o

volume de um apartamento de dois quartos. (Estime que

para cada respirao o volume de ar aspirado

aproximadamente igual a 500 cm3.)

1.21 Quantos fios de cabelo h em sua cabea?

1.22 Quantas vzes o corao de uma pessoa

bale em toda sua vida? Quantos litros de sangue ele

bombeia neste perodo?

(Estime que em cada batida do corao o volume de

sangue bombeado aproximadamente igual a 50 cm3).

1.23 Na pera de Wagner O anel dos

Niebelungos, a deusa Freia resgatada em troca de uma

pilha de ouro com largura e altura suficientes para

escond-la. Estime o valor desta pilha de ouro.

(Use o Exemplo l .4 para obter os dados necessrios

para a densidade e o preo do ouro.)

1.24 Quantas gotas de gua existem em todos

os oceanos da Terra?

1.25 Quantas pilhas so consumidas durante

um ano acadmico em sua faculdade?

1.26 Quantas notas de um dlar seriam

necessrias para fazer uma pilha de notas com uma

altura igual distncia entre a Terra e a Lua? Este total

seria maior ou menor do que o valor gasto em um

projeto para construir e lanar uma nave at a Lua?

1.27 Quantas notas de um dlar seriam

necessrias para cobrir a rea total dos Estados Unidos

(incluindo o Alasca e o Hava)?

Quanto isto custaria para cada americano?

SEO 1.8 VETORES E SOMA VETORIAL

1.28 Ouvindo o rudo de uma serpente, voc faz

dois deslocamentos rpidos com mdulos de 1.8 e 2.4

m. Usando diagramas (aproximadamente em escala),

mostre como esses deslocamentos deveriam ser

cfetuados para que a resultante tivesse mdulo igual

a:

(a) 4.2 m. (b) 0.6 m, (c) 3,0 m.

1.29 Um empregado do Correio dirige um

caminho de entrega e faz trajeto indicado na Figura l

.24. Determine o mdulo, a direo e o sentido do

deslocamento resultante usando diagramas em escala.

(Ver o Exerccio l.34 para usar um mtodo alternativo

na soluo deste problema.)

FIGURA 1 Exerccios l.29 e 1.34.

1.30 Para os vetores A e B indicados na Figura 2 use diagramas em escala para determinar:

(a) a soma vetorial A B

(b) a diferena velorial A B . Com as respostas obtidas em (a) e em (b), ache o mdulo, a

direao e o sentido de

(c) A B


16

(d) B A (Veja o Exerccio l.35 para usar um mtodo alternativo na soluo deste problema.)

FIGURA 2 Exerccios l.30. l.35, l .40 c 1.48.

1.31 Uma espeleloga est pesquisando uma

caverna. Ela percorre 180 m em linha rela de leste para

oeste, depois caminha 210 m em uma direao formando

450 com a direo anterior e em sentido do sul para o

leste: a seguir, percorre 90 m a 300 no sentido do norte

para o oeste. Depois de um quarto deslocamento no

medido, ela retorna ao ponto de partida. Use um

diagrama em escala para determinar o mdulo, a

direao c o sentido do quarto deslocamento. (Veja o

Problema l.59 para usar um mtodo alternativo na

soluo de um problema semelhante a este).

SEO 19 COMPONENTES DE VETORES

1.32 Use um diagrama em escala para

determinar os componentes A e B dos vetores seguintes. Para cada vetor, os nmeros indicam

(i) o mdulo do velor

(ii) o ngulo que ele faz com o eixo Ox medido

supondo-se uma rotao no sentido do eixo +Ox para o

eixo +Oy. Ache para

(a) mdulo 9,3 m e ngulo de 60,00;

(b) mdulo 22.0 km e ngulo 1350;

(c) mdulo 6.35 cm e ngulo de 3070.

1.33 Determine os componentes A , B eC

indicados na Figura 3.

FIGURA 3 Exerccios 1.33, 1.41. l.44 e Problema 1.58.

1.34 Um empregado do servio postal dirige

um caminho de entrega e faz o trajeto indicado na

Figura 4. Use o mtodo dos componentes para

determinar o mdulo, a direo e o sentido do

deslocamento resultante. Mediante um diagrama

vetorial (aproximadamente em escala), mostre que o

deslocamento resultante obtido com este diagrama

concorda aproximadamente com o resultado obtido pelo

mtodo dos componentes.

1.35 Para os vetores A , B indicados na

Figura 3 use o mtodo dos componentes para

determinar o mdulo, a direo e o sentido


(b) a diferena velorial A B . Com as respostas obtidas em (a) e em (b), ache o mdulo, a

direao e o sentido de

(c) A B

(d) B A

1.36 Determine o mdulo, a direo e o

sentido dos vetores representados plos seguintes

pares de componentes:

(a) Ax = -8.60 cm, Ay = 5.20 cm;

(b) Ax = -9.70 m, Ay = -2.45cm;

(c) Ax = 7.75 km, Ay = -2.70 km.

1.37 Um professor de fsica desorientado

dirige 3.25 km do sul para o norte, depois 4.75 km de

leste para oeste, a seguir l.50 km do norte para o sul.

Determine o mdulo, a direo e o sentido do

deslocamento resultante, usando o mtodo dos

componentes. Usando diagramas (aproximadamente em

escala), mostre que o deslocamento resultante

encontrado em seu diagrama concorda

aproximadamente com o resultado obtido pelo mtodo

dos componentes.

1.38 O vetor A possui componentes Ax = l.30

cm, Ay = 2,25 cm; o vetor B possui componentes Bx = 4,10 cm, By = -3.75 cm.

Ache

(a) os componentes da soma vetorial A B (b) o mdulo, a direao e o sentido da soma

vetorial A B (c) os componentes da diferena vetorial

A B (d) o mdulo, a direao e o sentido da

diferena vetorial A B


17

1.39 O vetor A possui comprimento igual a 2,80 cm e esta no primeiro quadrante a 60.0

0 acima do

eixo Ox. O vetor B possui comprimento igual a l .90 cm e est no quarto quadrante a 60,0

0 abaixo do eixo Ox

(Figura 4). Ache o mdulo, a direo e o sentido de:


(b) a diferena velorial A B .

(c) A B Em cada caso faa um diagrama da soma ou da

diferena e mostre que os resultados concordam

aproximadamente com as respostas numricas obtidas.

FIGURA 4 Exerccios

SEO 1.10 VETORES UNITRIOS

1.40 Escreva cada vetor indicado na Figura 5 em

termos dos vetores unitrios i e j .

1.41 Escreva cada vetor indicado na Figura 1.26

em termos dos vetores unitrios i e j .

1.42 (a) Escreva cada vetor indicado na Figura 6 em

termos dos vetores unitrios i e j .

(b) Use vetores unitrios para escrever o vetor C ,

onde 3 4C A B (c) Ache o mdulo, a direo e o sentido do vetor

C .

FIGURA 5 Exerccios B (2,40 m). Exerccio 1.42

e Problema 1.66.

1.43 Dados os vetores

4,00 3,00A i j e 5,00 2,00B i j

(a) ache o mdulo, a direo e o sentido de

cada vetor;

(b) escreva uma expresso para a diferena

vetorial A B usando vetores unitrios; (c) ache o mdulo, a direo e o sentido da

diferena vetorial A B

(d) faa um diagrama vetorial para A , B e

A B e mostre que os resultados queconcordam aproximadamente com a resposta do item (c).

SEO 1.1 PRODUTOS DE VETORES

1.44 Para os vetores A , B eC , indicados na Figura 6, ache os produtos escalares

(a) A B

(b) B C

(c) A C

1.45

(a) Ache o produto escalar dos dois vetores A e

B mencionados no Exerccio 1.43. (b) Ache o ngulo entre estes vetores.

1.46 Ache o ngulo entre cada par de vetores:

(a) 2,00 6,00A i j e

2,00 3,00B i j

(b) 3,00 5,00A i j e

10,00 6,00B i j

(c) 4,00 2,00A i j e

7,00 14,00B i j


18

1.47 Supondo um sistema de coordenadas com

orientao da mo direita, ache a direo e o sentido do

eixo Oz.

1.48 Para os vetores indicados na Figura 4,

(a) ache o mdulo, a direo e o sentido do

produto vetorial A B ; (b) ache o mdulo, a direo e o sentido do

produto vetorial B A

1.49 Encontre o produto vetorial A B expresso em termos dos vetores unitrios.

Qual o mdulo deste produto vetorial?

1.50 Para os vetores indicados na Figura 5,

(a) ache o mdulo, a direo e o sentido do

produto vetorial A B ; (b) ache o modulo, a direo e o sentido do

produto veional B A .

PROBLEMAS

1.51 A milha uma unidade de comprimento

muito usada nos Estados Unidos e na Europa. Sabendo

que l mi aproximadamente igual a 1,61 km, calcule:

(a) o nmero de metros quadrados existentes

em uma rnilha quadrada;

(b) decmetros cbicos existentes em uma

milha cbica.

1.52 Suponha que uma fazenda seja avaliada

em R$ 4,00 o metro quadrado. Calcule o preo desta

fazenda sabendo que sua reatotal igual a 100 milhas

quadradas.

1.53 O Maser de Hidrognio. As ondas de

rdio geradas por um maser de hidrognio podem ser

usadas como um padro de freqncia. Afreqncia

dessas ondas igual a 1420405751.786 hertz. (Um

hertz significa o mesmo que um ciclo por segundo.)

Um relgio controlado por um maser de hidrognio

pode atrasar ou adiantar apenas l s em 100.000 anos.

Para as respostas das perguntas seguintes, use apenas

trs algarismos significativos. (O grande nmero de

algarismos significativos nesta frequncia ilustra a

impressionante acurcia desta medida).

(a) Qual o intervalo de tempo de um ciclo desta

onda de rdio?

(b) Quantos ciclos ocorrem em 1h ?

(c) Quantos ciclos poderiam ter ocorrido durante a

idade da Terra, estimada em 4,6.109 anos?

(d) Quantos segundos um relgio controlado por um

maser de hidrognio poderia atrasar ou adiantar durante

a idade da Terra?

1.54 Estime o nmero de tomos existentes em seu

corpo.

(Sugesto: com base em seus conhecimentos de

biologia e de qumica; diga quais os tipos mais comuns

de tomos existem em seu corpo. Qual a massa de cada

um destes tomos? O Apndice D apresenta uma

relao das massas dos diferentes elementos, expressas

em unidades de massa atmica; voc encontrar o valor

De uma unidade de massa atmica).

1.55 (a) Estime o nmero de dentistas em sua

cidade. Voc deve considerar nesta estimativa o nmero

de habitantes, a frequncia com a qual se costuma ir a

um dentista, a durao tpica de um procedimento no

tratamento dentrio (obturaes, tratamento de canais

etc.) e quantas horas um dentista trabalha durante a

semana. Confira sua estimativa consultando uma lista

Telefnica local.

1.56 Os matemticos, os fsicos e outros

pesquisadores trabalham com nmeros grandes. Os

matemticos inventaram o nome extravagante de

googol para designar 10100

. Vamos comparar alguns

nmeros grandes existentes na fsica com o googol.

{Nota: Este problema necessita do uso de alguns

valores numricos nos apndices deste livro, com os

quais seria conveniente voc se familiarizar.}

(a) Estime o nmero aproximado de tomos

existentes em nosso planeta. Para facilitar, considere a

massa atmica dos tomos igual a 14 g/mol. O nmero

de Avogadro fornece o nmero de tomos existentes em

um mol. NA = 6.02.1023

tomos/mol.

(b) Estime o nmero aproximado de nutrons

existentes em uma estrela de nutrons. Uma estrela de

nutrons constituda quase que exclusivamente de

nutrons e possui massa igual a duas vezes a massa do

Sol.

(c) Na teoria principal acerca da origem do

universo, todo o universo observvel ocupava em em

tempos primordiais um raio igual atual distncia entre

a Terra e o Sol. Naquela poca, o universo possua

densidade (massa/volume) de 1015

g/cm3 .

Estime o nmero de partculas existentes no

universo supondo que naquela poca a composio das

partculas era: 1/3 de prtons, 1/3 de eltrnns e 1/3 de

nutrons.

1.57 Voc deseja programar o movimento do

brao de um rob em uma linha de montagem. Seu

primeiro deslocamento A A; seu segundo

deslocamento B , cujo mdulo igual a 6,40 cm,


19

orientado formando um ngulo de 63,0, medido

considerando-se uma rotao do eixo +0x para o eixo

Oy. A resultante C A B dos dois deslocamentos deve tambm possuir mdulo igual a 6,40 cm, porm

formando um ngulo de 22,0, medido considerando-

se uma rotao do eixo +Ox para o eixo +Oy.

(a) Desenhe um diagrama em escala aproximada

para estes vetores.

(b) Ache os componentes de A .

(c) Ache o mdulo, a direo e o sentido de A .

FIGURA 6 - Exerccio 1.58

37,00 12,0A m

60,00 40,0

0

6,0C m 15,0B m

1.58 (a) Ache o mdulo, a direo e o sentido do

vetor R que a soma dos vetorea ,A eB C Figura6.

Desenhe um diagrama para mostrar como R formado com a soma os trs vetores indicados na Figura 6.

(b) Ache o mdulo, a direo e o sentido do

vetor S C A B . Desenhe um diagrama para

mostrar como S formado com os trs vetores indicados na Figura 6.

1.59 Como dissemos no Exerccio 1.31. uma

espeleloga est pesquisando uma caverna. Ela percorre

180 m em linha reta de leste para oeste; depois caminha

210m em uma direo que forrna 45 com a direo

anterior e em sendito do do sul para o leste, a seguir

percorre 280 m a 30 no sentido do norte para o leste.

Depois de um quarto deslocamento, ela retorna ao

ponto de partida. Use o mtodo dos componentes para

determinar o mdulo, a direo e o sentido do quarto

deslocamento. Verifique qu a soluo obtida usando-se

um diagrama sm escala , aproximadamente igual ao

resultado obtido pelo mtodo dos componentes.

1.60 Uma velejadora encontra ventos que

impelem seu pequeno barco a vela. Ela veleja 2,00 km

de oeste para leste, a seguir 3,50 km para sudeste e

depois uma certa distncia em direo desconhecida.

No final do trajeto ela se encontra a 5,80 km

diretamente a leste de seu ponto de partida (Figura 7 ).

D o mdulo. a direo e o sentido do terceiro

deslocamento. Faa um diagrama em escala da soma

vetorial dos deslocamentos e mostres que eles

concordam aproximadamente ocorrem com o resultado

obtido mediante a soluo numrica.

1.61 Um esquiador percorre 2.80 km com

ngulo de 45,0 considerando rotao em sentido do sul

para o oeste, a seguir 7,40 km a 30,0 em sentido do

leste para o norte, e finalmente 3,30 km a 22.0 em

sentido do oeste para o sul.

(a) Mostre estes deslocamentos em um

diagrama,

(b) Qual a distncia entre o incio o fim do

trajeto?


1.62 Em um voo de treinamento, uma aprendiz

de piloto voa de Lincoln, no Estado de NeBraska: at

Clarinda, no lowa; a seguir at St. Joseph, no Missouri;

depois at Manhattan, no Kansas (Figura l .30). Os

ngulos formados plos deslocamentos so medidos em

relao ao norte: 0 significa o sentido do sul para o

norte. 90 o leste, 180 o sul e 270 o oeste. Use o

mtodo dos componentes para achar

(a) a distncia que ela ter de voar para voltar

para Lincoin; b) a direo e o sentido que ela dever

voar para voltar ao ponto de partida. Ilustre a soluo

fazendo um diagrama vetorial.

(b) Ajude-o a impedir que ele se perca na

floresta fomecendo-lhe o vetor deslocamento, calculado

pelo mtodo dos componentes, necessrio para que ele

retome para sua cabana.

1.64 Uma artista est criando um novo

logotipo para a pgina de sua companhia na Internet.

No programa grfico que ela est usando, cada pixel em

um arquivo de imagem possui coordenadas (x, y) onde a

origem (0,0) est situada no canto superior esquerdo da

imagem, o eixo +Ox aponta para a direita e o eixo +Oy

aponta para baixo. As distncias so medidas em pixels.

(a) A artista desenha uma linha ligando o local

do pixel (10,20) com o local (210,200). Ela deseja


20

desenhar uma segunda linha que comea em (10,20),

tem comprimento de 250 pixels e forma um ngulo de

300 medindo no sentido dos ponteiros do relgio a partir

da direo inicial. Qual o local do pixel no qual esta

segunda linha deve terminar?

(b) A artista agora desenha uma flecha ligando

a extremidade direita inferior da primeira linha com a

extremidade direita inferior da segunda linha.

Determine o mdulo, a direo e o sentido desta flecha.

Faa um diagrama mostrando as trs linhas.

1.64 Um explorador de uma densa floresta na

frica equatorial deixa sua cabana. Ele d 40 passos no

sentido nordeste, depois 80 passos em uma direo que

forma 600 considerando a rotao no sentido de oeste

para o norte, a seguir 50 passos diretamente para o sul.

(a) Faa um diagrama aproximadamente em

escala dos trs vetores e da resultante da soma vetorial.

(b) Ajude-o a impedir que ele se perca na

floresta fornecend-lhe o o vetor deslocamento,

calculado a partir do mtodo das componentes,

necessrio para que ele retorne a sua cabana.

1.65 Os vetores ,A e B so desenhados a

partir de um ponto. O vetor A possui mdulo A e

forma um ngulo A, medido supondo-se uma rotao no sentido do eixo +0x para o eixo +0y. As grandezas

correspondentes do vetor B so o mdulo B e o

ngulo B Logo:

cos A AA A i A sen j

cos B BB B i B sen j

(a) Deduza a Equao:

cosA B A B

B A

(b) Mostre que:

x x y yA B A B A B Observao: Para vetores em 3-D:

x x y y z zA B A B A B A B Onde:

cos cos cosx y zA A A

A A i A j A k

x y zA A i A j A k

cos cos cosx y zB B B

B B i B j B k

x y zB B i B j B k


1.66 Para os vetores A e a desenhados na

Figura 6,

(a) Ache o produto escalar A B ; (b) Determine o mdulo, a direao e o sentido

do produto vetorial A B .

1.67 A Figura 7 mostra um paralelogramo

cujos lados so os vetores A e B . (a) Mostre que o mdulo do produto vetorial

destes vetores igual rea deste paralelogramo.

(Sugesto: rea = base. altura.)

(b) Qual o ngulo entre o produto vetorial e o

plano deste paralelogramo?

1.68 O vetor A possui comprimento de 3,50

cm e aponta para o interior desta pgina. O vetor Baponta do canto direito inferior desta pgina para o

canto esquerdo superior desta pgina. Defina um

sistema apropriado de coordenadas com orientao da

mo direita e ache os trs componentes do produto

vetorial A B , medidos em cm2. Faa um diagrama

mostrando o sistema de coordenadas e os vetores A ,

B e A B .

1.69 Dados dois vetores:

2 3 4A i j k

e 3 1 3A i j k

determine:

(a) o medulo de cada vetor;

(b) uma expresso para a diferena vetorial

A B usando vetores unitrios;


21

(c) o mdulo da diferena vetorial A B (d) este valor igual ao mdulo da diferena

vetorial B A? Explique.

1.70 ngulo da ligao no metano. Na

molcula do metano, CH4, cada tomo de hidrognio

ocupa o vrtice de um tetraedro regular em cujo centro

se encontra o tomo de carbono. Usando coordenadas

de tal modo que uma das ligaes CH esteja na

direo i j k , uma ligao CH adjacente estar

na direo i j k . Calcule o ngulo entre estas duas

ligaes.

1.71 Os dois vetores A e B so desenhados a

partir de um mesmo ponto e C A B (a) Mostre que quando C

2 = A

2 + B

2 o ngulo

entre os vetores A e B 90. (b) Mostre que quando C

2 < A

2 + B

2 ,

o ngulo entre os vetores A e B maior do que 90. (c) Mostre que quando C

2 > A

2 + B

2 o ngulo

entre os vetores A e B est compreendido entre 0 e 90.

1.72 Quando dois vetores A e B so desenhados a partir de um mesmo ponto, o ngulo entre

eles . (a) Usando tcnicas vetoriais, mostre que o

mdulo da soma destes vetores dado por:

2 2

2 cosA B A B A B

(b) Se A e B possuem o mesmo mdulo, qual

deve ser valor A ou de B ?

(c) Deduza um resultado anlogo ao do item

(a) para o mdulo da diferena vetorial A B .

(d) Se A e B possuem o mesmo mdulo, qual

deve ser o valor de para que o mdulo de A B seja

igual ao mdulo de A ou de B ?

1.73 Um cubo colocado de modo que um dos

seus vrtices esteja na origem e trs arestas coincidam

com os eixos +Ox, +Oy e +Oz de um sistema de

coordenadas (Figura l .31). Use vetores para calcular

(a) O ngulo entre a aresta ao longo do eixo

+Oz (linha az) e a diagonal da origem at o vrtice

oposto (linha ad);

(b) o ngulo entre a linha ac (a diagonal de

uma das faces) e a linha ad.

FIGURA 7 - Problema 1.73 e 1.74

z

b c

d

a

y

x

1.74 Obtenha um vetor unitrio ortogonal

aos dois vetores indicados no Problema l .69.

1.75 Mais tarde em nossos estudos de fsica

encontraremos grandezas representadas por

A B C .

(a) Quaisquer que sejam os vetores A , B e

C , prove que:

A B C A B C

(b) Calcule A B C para os trs vetores

seguintes: A com modulo 5.00 e ngulo A = 26,0 medido supondo-se uma rotao no sentido do eixo +0x

para o eixo +0y, B com mdulo 4,00 e ngulo B =

63,0 e C com mdulo 6,00 e orientado ao longo do eixo +0z. Os vetores A e B esto sobre o plano xy.

PROBLEMAS DESAFIADORES

1.76 O comprimento de um retngulo dado

por L l e sua largura W w.

(a) Mostre que a incerteza na rea A dada por

a = Lw + W. Suponha que as incertezas l e w sejam

pequenas, de modo que o produto lw muito pequeno e

pode ser desprezado,

(b) Mostre que a incerteza fracionria na rea

igual soma da incerteza fracionria do comprimento

com a incerteza fracionria da largura,

(c) Um paraleleppedo possui dimenses L l,

W w e H h. Ache a incerteza fracionria do seu

volume e mostre que ela igual soma das incertezas

fracionrias do comprimento, da largura e da altura.


22

1.77 Em um jogo de futebol, a bola est

inicialmente no centro do campo. Considere um sistema

de coordenadas Oxy no plano do campo e cujo centro O

coincida com o centro do campo. Depois do primeiro

chute, a bola se encontra na posio 3 4i j onde

as unidades so em metros. Determine:

(a) o mdulo do deslocamento inicial da bola,

(b) o ngulo entre este vetor e o eixo +0x.

1.78 Navegando no Sistema Solar. A

espaonave Mars Polar Lander (explorador do plo de

Marte) foi lanada em 3 de janeiro de 1999. No dia 3 de

dezembro de 1999 ela pousou na superfcie de Marte,

ocasio em que as posies de Marte e da Terra eram

dadas pelas coordenadas:

x y z

Terra 0,3182 UA 0,9329 UA 0,0000 UA

Marte 1.3087UA -0,4423 UA -0,0414 UA

Nessas coordenadas, o Sol est na origem e o plano da

rbita da Terra o plano xy. A Terra corta o eixo +Ox

uma vez por ano no equincio de outono no Hemisfrio

Norte (ou primavera no hemisfrio Sul, o que ocorre no

dia 22 de setembro). Uma UA, ou Unidade

Astronmica, equivale a 1.496.108 km, a distncia

mdia entre a Terra e o Sol.

(a) Em um diagrama, mostre as posies da

Terra, de Marte e do Sol no dia 3 de dezembro de 1999.

(b) Calcule as seguintes distncias em UA no

dia 3 de dezembro de 1999:

(i) entre o Sol e a Terra,

(ii) entre o Sol e Marte,

(iii) entre a Terra e Marte

(c) Observando da Terra, qual era o ngulo

entre a reta que unia a Terra a Marte e a reta que unia a

Terra ao Sol no dia 3 de dezembro de 1999?

(d) Verifique e explique se Marte era visvel

meia-noite no seu local no dia 3 de dezembro de 1999.

(Quando meia noite no horrio local, o Sol est do

lado oposto da Terra relao a voc.)

1.79 Navegando na Ursa Maior. As sete

estrelas principais Ursa Maior parecem estar sempre

situadas a uma mesma distncia da Terra, embora elas

estejam muito afastadas entre si. A Figura indica a

distncia entre a Terra e cada uma dessas estrelas.

As distncias so dadas em anos-luz (al), um ano-luz

a distncia percorrida pela luz durante um ano. Um ano-

luz equivale a 9.461.1015

m.

(a) Alcaide e Mraque esto separadas de

25,6 no cu. Em um diagrama, mostre as posies do

Sol, de Alcaide e Mraque. Calcule a distncia em

anos-luz entre Alcaide e Mraque.

(b) Para um habitante de um planeta que orbita

Mraque, qual seria a separao angular entre o Sol e

Alcaide?

1.80 O vetor r x i y j z k

denomina-se vetor posio e aponta da Origem uo

Sistema de coordenadas (0,0,0) para o espao cujas

coordenadas so (x, y, z). Use seus conhecimentos sobre

vetores para provar o seguinte:

Todos os pontos (x, y, z)que satisfazem a

equao Ax + By + Cz = 0, onde A, B e C so

constantes, esto situados em um plano que passa na

origem e ortogonal ao vetor A i B j C k .

Faa um esquema deste vetor e do plano.

FIGURA 8 - Problema 1.79

: Alcaide (1.38 al)

: Mizar (73 al)

: Arioto (64 al)

: Megrez (81 al)

: Feeda (80 al)

: Dube(105 al)

: Mraque (77 al)


23

QUESTES PARA DISCUSSO

Q2.1 O velocmetro de um automvel mede a

velocidade escalar ou o vetor velocidade? Explique.

Q2.2 Maria afirma que uma velocidade com

mdulo igual a 60 km/h equivalente a uma velocidade

com mdulo igual a 17 m/s. Qual foi o erro percentual

cometido por ela nessa converso de unidades?

Q2.3 O limite de velocidade nas estradas de alguns

pases da Europa de 110 km/h. Diga qual o valor

desse limite em m/scom aproximao de trs algarismos

significativos.

Q2.4 Em que condies uma velocidade mdia

pode ser igual a uma velocidade instantnea?

02.5 Para um determinado intervalo de tempo, o

deslocamento total dado pelo produto da velocidade

media pelo intervalo de tempo. Essa afirmao continua

vlida mesmo quando a velocidade no constante.

Explique.

Q2.6 Sob quais condies o mdulo do velor

velocidade media e igual ao mdulo da velocidade

escalar.

Q2.7 Para lazer um mesmo percurso um carro de

potncia menor levou o dobro do tempo de outro carro

com maior potncia. Como esto relacionadas as

velocidades medias desses carros.

Q2.8 Um motorista em Massachusells foi

submetido a julgamento por excesso de velocidade. A

evidencia contra o motorista foi o depoimento de um

policial que notou que o carro do acusado estava

emparelhado com um secundo carro que o ultrapassou.

Segundo o policial, o segundo carro j havia

ultrapassado o limite de velocidade. O motorista

acusado se defendeu alegando que "o segundo carro me

ultrapassou, portanto eu no estava acelerando". O Juiz

deu a sentena contra o motorista, porque, pelas

palavras do Juiz, "se dois carros esto emparelhados,

ambos estavam acelerando". Se voc fosse o advogado

de defesa do motorista acusado, como contestaria?

Q2.9 possvel ter deslocamento nulo e

velocidade media diferente de zero? E uma velocidade

instantnea? Ilustre suas respostas usando um grfico

x-t.

Q2.10 Pode existir uma acelerao nula e uma

velocidade diferente de zero?' Ilustre suas respostas

usando um grfico v-t.

Q2.11 possvel ter uma velocidade nula e

uma acelerao mdia diferente de zero? Velocidade

nula e uma acelerao instantnea diferente de zero?

Ilustre suas respostas usando um grfico v-t.

Q2.12 um automvel est se deslocando de

leste para oeste. Ele pode ler uma velocidade orientada

para oeste e ao mesmo tempo uma acelerao orientada

para leste? Em que circunstncias?

Q2.13 A caminhonete oficial da Figura 2.2

est em x1 = 277 m para t1 = 16.0 s e em x2 = l9 m para

t2 = 25.0 s.

(a) Desenhe os diferentes grlicos possveis

para o movimento da caminhonete. As duas velocidades

medias vm durante os intervalos de tempo de t1 at t2

possuem o mesmo valor nos dois grficos? Explique.

Q2.14 Em movimento com acelerao

constante, a velocidade de uma partcula e igual

metade da soma da velocidade inicial com a velocidade

final. Isto verdade quando a acelerao no

constante? Explique.

Q2.15 Voc lana uma bola de beisebol

verticalmente para cima e ela atinge uma altura mxima

maior do que sua altura. O mdulo da acelerao e

maior enquanto ela est sendo lanada ou logo depois

que ela deixa a sua mo? Explique.

Q2.16 Prove as seguintes afirmaes:

(i) Desprezando os efeitos do ar, quando voc

lana qualquer objeto verticalmente para cima, ele

possui a mesma velocidade em seu ponto de lanamento

tanto durante a ascenso quanto durante a queda.

(ii) O tempo total da Irajelria e igual ao dobro

do tempo que o ohjeto leva para atingirsua altura

mxima.

Q2.17 No Exemplo 2.7 substituindo y = -18.4

m na Equao (2.13) obtemos v = 24.2 m/s. A raiz

negativa a velocidade para t = 4.00 s. Explique o

significado da raiz positiva.

Q2.18 A posio inicial e a velocidade inicial

de um veculo so conhecidas e faz-se um registro da

acelerao a cada instante. Pode a posio do veculo

depois de um certo tempo ser determinada a partir

destes dados? Caso seja possvel, explique como isto

poderia ser feito.


24

EXERCCIOS

SEO 2.2 DESLOCAMENTO. TEMPO E VELOCIDADE MDIA

2.1 Um foguete transportando um satlite e acelerado

verticalmente a partir da superfcie terrestre. Aps l.15 s

de seu lanamento, o foguete atravessa o topo de sua

plataforma de lanamento a 63 m acima do solo. Depois

de 4.75 s adicionais ele se encontra a l .00 km acima do

solo. Calcule o modulo da velocidade mdia do foguete

para

(a) o trecho do voo correspodente ao intervalo

de 4,75 s;

(b) os primeiros 5 s do seu voo.

2.2 Em uma experincia, um pomho-correio

foi retirado de seu ninho, levado para um local a 5150

km do ninho e libertado. Ele retoma ao ninho depois de

13,5 dias. Tome a origem no ninho e estenda um eixo

+Ox ate o ponto onde ele foi libertado. Qual a

velocidade media do pomho-correio em m/s

(a) para o vo de retorno ao ninho?

(b) para o trajeto todo. desde o momento em

que ele retirado do ninho ate seu retorno?

2.3 Uma viagem de carro de San Diego a Los

Angeles dura 2 h e 20 min quando voc dirige o carro

com uma velocidade media de 105 km/h. Em uma

sexta-feira na parte da tarde, contudo, o trnsito est

muito pesado e voc percorre a mesma distncia com

uma velocidade media de 70 km/h. Calcule o tempo que

voc leva nesse percurso.

2.4 De um pilar at um poste. Comeando em

um pilar, voc corre 200 m de oeste para leste (o

sentido do eixo +Ox) com uma velocidade mdia de 5.0

m/s e a seguir corre 280 m de leste para oeste com uma

velocidade mdia de 4.0 m/s at um poste. Calcule

(a) sua velocidade escalar do pilar at o poste:

(b) o mdulo do velor velocidade mdia do

pilar at o poste.

2.5 (a) Seu carro velho pode desenvolver uma

velocidade mdia de 8.0 m/s durante 60 s. a seguir

melhorar o desempenho e uma velocidade mdia de

20,0 m/s durante 60 s. Calcule sua velocidade mdia

para o intervalo total de 120 s.

(b) Suponha que a velocidade de 8.0 m/s seja

mantida durante um deslocamento de 240 m, seguido de

uma velocidade mdia de 20.0 m/s em outro

deslocamento de 240 m. Calcule a velocidade mdia

para o deslocamento total,

(c) Fim qual dos dois casos a velocidade

escalar do percurso total igual mdia das duas

velocidades escalares?

2.6 Um carro percorre um trecho retilneo ao

longo de uma estrada. Sua distncia a um sinal de

parada uma funo do tempo dada por: 2 3x t t t , onde = l.50 m/s2 e

= 0.0500 m/s3 . Calcule a velocidade mdia do carro

para os seguintes intervalos de tempo:

(a) t = 0 at t = 2.00 s;

(b) t = 0 at t = 4.00 s;

(c) t = 2 s at t = 4.00 s.

SEO 2.3 VELOCIDADE INSTANTNEA

2.7 Um carro pra em um semforo. A seguir ele

percorre um trecho retilneo de modo que sua distncia

ao sinal dada por : 2 3x t b t c t , onde b = 2.40 m/s2 e c =

0.120 m/s3;

(a) Calcule a velocidade mdia do carro para o

intervalo de tempo t = 0 at t = 10.0 s.

(b) Calcule a velocidade instantnea do carro para

(i) t = 0

(ii) t = 5.0 s

(iii) t = 10,0 s

(c) Quanto tempo aps partir do repouso o carro

retorna novamente ao repouso?

2.8 Uma professora de fsica sai de sua casa e se

dirige a p para o campus. Depois de 5 min comea a

chover e ela retorna paracasa. Sua distncia da casa em

funo do tempo indicada pelo grfico da Figura 2.25.

Em qual dos pontos indicados sua velocidade e

(a) zero? (b) constante e positiva?

(c) constante e negativa? (d) crescente em mdulo?

(e) decrescente em mdulo?

FIGURA 1 - Problema 2.8


25

SEO 24 ACELERAO INSTANTNEA ACELERAO MDIA

2.9 Em um teste de um novo modelo de automvel

da empresa Motores Incrveis, o veloemetro calibrado

para ler m/s em v de km/h. A srie de medidas a seguir

foi registrada durante o teste ao longo de uma estrada

retilnea muito longa:

Tempo (s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16

Velocidade (m/s) 0 0 2 6 10 16 19 22 22

(a) Calcule a acelerao media durante cada

intervalo de 2.0 s. A acelerao constante? Ela

constante em algum trecho do teste?

(b) Faa um grfico v-t dos dados tabelados usando

escalas de l cm = l s no eixo horizontal e de l cm = 1 s

no eixo vertical. Desenhe uma curva entre os pontos

piotados. Medindo a inclinao dessa curva, calcule a

acelerao instantnea para os tempos t = 9 s, t = 13 s e

t = 15 s.

2.10 A Figura 2.26 mostra a velocidade em funo

do tempo de um carro movido a energia solar. O

motorista acelera a partir de um sinal de parada e se

desloca durante 20 s com velocidade constante de 60

km/h, e a seguir pisa no freio e pra 40 s aps sua

partida do sinal. Calcule sua acelerao mdia para os

seguintes intervalos de tempo:

(a) t = 0 at t = 10 s;

(b) t = 30 s at t = 40 s;

(c) t = 10 s at t = 30 s;

(d) t = 0 at t = 40 s.

c (km/li)

FIGURA 2 - Exerccios 2.10 e 2.l l.

2.11 Tome como referncia o Exerccio 2. IO c

a Figura 2.26.

(a) Em qual intervalo de tempo a acelerao

instantnea a possui seu maior valor positivo?

(b) Em qual intervalo de tempo a acelerao

instantnea u possui seu maior valor negativo?

(c) Qual a acelerao instantnea a para t =

20 s?

(d) Qual a acelerao instantnea a para t =

35 s?

(e) Faa um diagrama do movimento (como o

da Figura 2.

(f) mostrando a posio, a velocidade e a

acelerao do carro para os tempos t =5 s, t = 15 s, t

=25 s t = 35 s.

2.12 Um astronauta saiu da Estao Espacial

Internacional para testar um novo veculo espacial. Seu

companheiro permanece a bordo e registra as seguintes

variaes de velocidade, cada uma ocorrendo em

intervalos de 10 s. Determine o mdulo, a direo eo

sentido da acelerao mdia cm cada intervalo.

Suponha que o sentido positivo seja da direita para a

esquerda,

(a) No incio do intervalo o astronauta se move

para a direita ao longo do eixo +Ox com velocidade de

15,0 m/s e no final do intervalo ele se move para a

direita com velocidade de 5.0 m/s.

(b) No incio do intervalo o astronauta se move

a 5.0 m/s para a esquerda e no final se move para a

esquerda com velocidade de 15.0 m/s.

(c) No incio do intervalo ele se move para a

direita com velocidade de 15.0 m/s e no final se move

para a esquerda com velocidade de 15,0 m/s.

2.13 (a) Com base em sua experincia de

dirigir um automvel, estime o mdulo da acelerao

mdia de um carro quando pisa forte no freio em uma

pista de alta velocidade at uma parada repentina,

(b) Explique por que essa acelerao mdia

poderia ser considerada positiva ou negativa.

2.14 A velocidade de um carro em funo do

tempo dada por 2v t t

Onde = 3.00 m/s e = 0.1 m/s3

(a) Calcule a acelerao mdia do carro para o

intervalo de tempo de t = 0 a t = 5,00 s.

(b) Calcule a acelerao instantnea para

(i) t = 0s; (ii) t = 5,00 s.

(c) Desenhe grficos acurados v-t e a-t para o

movimento do carro entre t = 0 e t = 5,00 s.

2.15 A Figura 3 mostra a coordenada de uma

aranha que se desloca lentamente ao longo do eixo 0x

(a) Faa um grfico de sua velocidade e

acelerao em funo do tempo,

(b) Faa um diagrama do movimento

mostrando a posio, a velocidade e a acelerao da

aranha para cinco tempos: t1 = 2,5 s, t2 = 10 s, t3 = 20 s,

t4 = 30 s e t5 = 37.5 s.


26

FIGURA 3 Exerccio 2.15.

x(t) (m)

Linha Parbola Linha

reta reta

Parbola Parbola

0 5 10 15 20 25 30 35 40 t(s)

2.16 Um microprocessador controla a posio

do pra-choque dianteiro de um carro usado em um

teste. A posio dada pela equao 2 2 6 62.17 4.80 0.1x t m m s t m s t

Determine:

(a) sua posio e acelerao para os instantes em que

o carro possui velocidade zero.

(b) Desenhe grficos x-tl, v-t e a-t para o movimento

do pra-choque entre t =0 e t = 2.00 s.

SEAO 2.5 MOVIMENTO COM ACELERAO

CONSTANTE

2.17 Um antlope que se move com acelerao

constante leva 7.00 s para percorrer uma distncia de

70.0 m entre dois pontos. Ao passar pelo segundo

ponto, sua velocidade de 15,0 m/s.

(a) Qual era sua velocidade quando passava pelo

primeiro ponto?

(b) Qual era sua acelerao?

2.18 Ao ser lanado pela catapulta da plataforma de

um porta-avies. um caa a jato atinge a velocidade de

decolagem de 270 km/h em uma distncia aproximada

de 90 m. Suponha acelerao constante,

(a) Calcule a acelerao do caa em m/s2.

(b) Calcule o tempo necessrio para o caa atingir

essa velocidade de decolagem.

2.19 Airbag de Automvel. O corpo humano pode

sobreviver a um trauma por acidente com acelerao

negativa (parada sbita) quando o mdulo de acelerao

menor do que 250 m/s2 (cerca de 25g'). Suponha que

voc sofra um acidente de automvel com velocidade

de 105 km/h e seja amortecido por um airbag que se

infla automaticamente. Qual deve ser a distncia que o

airbag se deforma para que voc consiga sobreviver?

2.20 Um avio precisa de 280 m de pista para

atingir a velocidade necessria para decolagem. Se ele

parle do repouso, se move com acelerao constante e

leva 8.0 s no percurso, qual sua velocidade no

momento da decolagem?

2.21 Um carro est parado na rampa de acesso de

uma auto-cstrada. esperando uma diminuio do

trfego. O motorista verifica que existe um espao

vazio entre um caminho com l8 rodas e uma

caminhonete e acelera seu carro para entrar na auto-

estrada. O carro parte do repouso, se move ao longo de

uma linha reta e atinge uma velocidade de 20 m/s no

final da rampa de 120 m de comprimento,

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