VetoresDefinição e operações de vetores

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Introdução

! Até agora consideramos um par ordenado de números reais(x,y) representando um ponto em um sistema de coordenadas de um plano geométrico.

! Outra representação importante consiste em tomar os pares ordenados como vetores no plano.

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Vetores

! O conceito de vetor surgiu na Mecânica com o engenheiro flamengo Simon Stevin - o "Arquimedes holandês".

! Em 1586 apresentou , o problema da composição de forças( Estática e hidrostática) e enunciou uma regra empírica para se achar a soma de 2 forças aplicadas num mesmo ponto.

! Tal regra, a conhecemos hoje como regra do paralelogramo.

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Vetores

! A sistematização da teoria vetorial ocorreu no século XIX com os trabalhos do irlandês William Hamilton (notavelmente precoce: aos 5 anos lia grego, latim e hebraico), do alemão Hermann Grassmann e do físico norte-americano Josiah Gibbs.

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! O vetor num plano 2D é um par ordenado de números reais que são chamados de componentes do vetor

! Neste contexto os números reais são denominados de escalares

! Graficamente o vetor é representado pelo segmento orientado de O para P , denotado pelo símbolo:

! Podemos também representar o vetor por uma letra minúscula, encimada por uma seta

Vetor

OP

! "!!

O

P

!v

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Modulo! É o número não

negativo que indica o comprimento do vetor.

! Modulo também é a distancia entre suas extremidades dada pela formula:

V

|v|=4

V

AB! "!!

= (x1! x2)2+ (y1! y2)

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! A direção de um vetor é medido entre o eixo x e o segmento do vetor, no sentido anti-horário

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Vetor Nulo

! É o vetor de direção e sentido arbitrários, e módulo igual a 0

! vetor nulo tem coordenadas (0, 0, 0) e sua representação gráfica é a origem do sistema de coordenadas.

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Vetor Unitário

! É o vetor de modulo igual a 1

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Vetor Oposto

! Dado um vetor AB seu vetor oposto é o vetor BA e se indica -AB

! O vetor oposto de v é indicado por -v

V

V

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Multiplicação de um vetor por um escalar

! seja k um escalar e v um vetor, o produto do vetor pelo número escalar real k é representado por: kv

! Neste contexto podemos ter dois casos para a multiplicação do vetor pelo escalar

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Multiplicação de um vetor por um escalar

! k>0

! Nesse caso o vetor v e kv são equiversos

k=2

2!v

!v

! k<0

! Nesse caso o vetor v e kv são contraversosk= -2

2!v

!v

-

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Propriedades da multiplicação de escalares por vetores

I. Propriedade associativa

m(n!v)=n(m

!v)=(mn)

!v

II. Propriedade distributiva em relação a adição de escalares

(m+n)!v=m!v+n!v

III. Propriedade distribuitva em relação a adição de vetores

m(!v+!w)=m

!v+m!w

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Soma de vetores

! Soma de vetores v=(x1,y1) e w=(x2,y2) é um terceiro vetor chamado de vetor resultante

! O vetor resultante corresponde ao somatório das coordenadas , isto é:

! v+w=(x1+x2 , y1+y2)

W

V

V+W

Graficamente temos

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Soma de vetores

! Graficamente, o vetor soma é o segmento orientado que fecha a poligonal, tendo por origem,a origem do primeiro vetor e por extremidade, a extremidade do último vetor.

! !Então: Graficamente temos

W

V

V+W

W

V

V+W

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Subtração de vetores

! Do mesmo modo a diferença entre vetores é dada pela diferença dos pares ordenados:

! v=(x1,y1)

! w=(x2,y2)

! v-w =(x1-x2 , y1 -y2)

W

V

V-W

Graficamente temos

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Subtração de vetores! Graficamente, a diferença de dois vetores u e v é

obtida fazendo-se com que u e v tenham a mesma origem.

! A diferença de vetores não é comutativa: u - v ! v - u.

W

V

V-W

Graficamente temos

W

V

W-V

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Exercício 1

! Dados os vetores u, v e w obter graficamente

a)u+w

b)u-w

c) v+w

d)v-w

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Exercício 1a)u+w b)u-w

c)v+w d)v-w

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Exercício 2! Considere os pontos P=(22,320) , Q=(24,327) e

R=(25,319.78) indicando três diferentes quantidades de superfosfato simples aplicado a um experimento.

! A- Efetue as operações a seguir , justificando seus significados

a)!P +!Q +!R

b)!Q !!P

c)3!P e -

!P

d) |!P |,|!Q |,|

!R |

e) | PQ" !""

|19

Projeção escalar

! Dado dois vetores u e v , não nulos, a projeção escalar é dada pela formula: PrUv =| u | cosø

U

V

ø

|u| cosø

U

V

ø

|u| cosø

Note que a projeção pode ser positiva ou negativa dependendo do valor de cosø

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Exercício 3! Considerando um triângulo com coordenadas

A=(0,0) , B=(3,4) , C=(5,2) , encontre a projeção de u=AB , sobre v=AC e use o resultado para calcular a área do triângulo.

0

A

B

C

38º

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Exercício 3

! Como os ângulos entre os vetores é de 38º, tem-se:

PrUv =| AB | cos38º= (32! 0

2) + (2

2! 0

2) * cos38º

PrUv = 5cos38º= 3.94

0

A

B

C

38º

3.94! Para calcular a área precisamos determinar a altura do triângulo, usamos a seguinte formula:

sen38º=h

AB...h = sen38º*AB = 0.615 *5 = 3.075

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Exercício 3

! Pela formula a área do triângulo:

0

A

B

C

38º

3.94

At =base*altura

2=| AC | *h

2=

(52! 0

2) + (2

2! 0

2) * 3.075

2

At =7 * 3.075

2= 10.7625

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Produto escalar

! O produto escalar de w=(x1,y1) por v=(x2,y2) , é denotado por w.v define-se por:

! w.v=x1.x2+y1.y2

0

V

W

Y2

Y1

X2 X1

øß

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Produto escalar! Sendo:

! x1=|w|cosø

! x2=|v|cosß

! y1=|w|senø

! y2=|v|senß

! A partir da formula:

! w.v=x1.x2+y1.y2

! w.v=|w|cosø.|v|cosß+|w|senø.|v|senß

0

V

W

Y2

Y1

X2 X1

øß

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Produto escalar! Simplificando temos:

! w.v=|w|.|v|(cosø.cosß+senø.senß)

! w.v=|w|.|v|cos(ø-ß)

! considerando que "=(ø-ß) seja o angulo entre w e v , temos a seguinte definição0

V

W

Y2

Y1

X2 X1

øß

O produto escalar de dois vetores é o produto de seus módulos pelo coseno do ângulo que eles formam.

w.v =|w | . | v | .cos!

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Exercício 4

! sendo w=(3,4) e v=(4,1) , calcule w.v e ache o angulo que separa os dois vetoresw.v = x1.x2 + y1.y2 = 3* 4 + 4 *1 = 16

usando a formula w.v =|w | . | v | .cos! e igualando ao resultado

previamente obtido temos:

|w | . | v | .cos! =16

cos! =16

|w | . | v |

=16

(32! 0

2) + (4

2! 0

2) * (4

2! 0

2) + (1

2! 0

2)

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Exercício 4cos! =

16

|w | . | v |

=16

(32! 0

2) + (4

2! 0

2) * (4

2! 0

2) + (1

2! 0

2)

cos! =16

7 *5=16

35= 0.4571

! = arcocos0.4571 = 62.79º

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