Vetores - lauragoulart.webnode.com fileSão vetores que possuem a mesma direção, mas não...

Vetores

Laura Goulart

21 de Julho de 2018

Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 1 / 1

Introdução

Muitas grandezas físicas como força para serem completamenteidenti�cadas precisam de comprimento, direção e sentido. Essas grandezassão chamadas de grandezas vetoriais ou simplesmente vetores.

Segmentos Equipolentes

Vamos considerar o segmento orientado como um ente primitivo.

De�nição

Dois segmentos orientados com mesmo comprimento, mesma direção e

mesmo sentido são chamados equipolentes.

Propriedade (Re�exiva)

AB ∼ AB

Propriedade (Simétrica)

AB ∼ CD ⇒ CD ∼ AB

Propriedade (Transitiva)

AB ∼ CD e CD ∼ EF ⇒ AB ∼ EF

De�nição

AB ∼ AB

De�nição

AB ∼ AB

De�nição

AB ∼ AB

De�nição

AB ∼ AB

Fixemos o segmento orientado AB e considere o conjunto de todos ossegmentos orientados equipolentes a AB. Esse conjunto é chamado devetor e será denotado por

−→AB.

De�nição de vetores

Observação

Dois vetores−→AB e

−→CD são iguais sse AB ∼ CD. Portanto, um mesmo

vetor−→AB é determinado por uma in�nidade de segmentos orientados, que

são chamados representantes desse vetor, e que são todos equipolentes

entre si.

Por um abuso de linguagem, nos referimos ao segmento orientado comosendo o vetor.

De�nição de vetores

Observação

Dois vetores−→AB e

−→CD são iguais sse AB ∼ CD. Portanto, um mesmo

vetor−→AB é determinado por uma in�nidade de segmentos orientados, que

são chamados representantes desse vetor, e que são todos equipolentes

entre si.

Por um abuso de linguagem, nos referimos ao segmento orientado comosendo o vetor.

Casos particulares de vetores

Vetores paralelos:

São vetores que possuem a mesma direção, mas não necessariamenteo mesmo sentido ou o mesmo comprimento.

Vetores ortogonais:

São vetores que formam um ângulo de 900.

Vetores coplanares:

São vetores que pertencem ao mesmo plano.

Vetores paralelos:

Vetores ortogonais:

Vetores coplanares:

Vetores paralelos:

Vetores ortogonais:

Vetores coplanares:

Notação de Grassmann

Dado o ponto A e um vetor −→v , podemos , por meio de uma translação,obter um ponto B tal que B = −→v + A⇔ −→v = B − A. Dessa forma,podemos dizer que um vetor é a diferença de dois pontos.

Representação no Espaço

Exercício de Fixação

Represente os vetores abaixo no espaço:

1 ~u = (1, 3, 2)2 ~u = (−1, 3, 2)3 ~u = (1,−3, 2)4 ~u = (1, 3,−2)5 ~u = (0, 3, 2)6 ~u = (1, 0, 2)7 ~u = (1, 3, 0)

Adição de Vetores

Sejam ~u e ~v vetores no R2.Vamos considerar um representante AB para o vetor −→u e escolhemoscomo origem para o vetor −→v a extremidade B. Pela notação deGrassmann, existe um ponto C tal que −→v =

−→BC .

−→u +−→v =−→AB +

−→BC = (B − A) + (C − B) = C − A =

−→AC .

Essa maneira de somar é dita regra da poligonal.

Adição de Vetores

Sejam ~u e ~v vetores no R2.Vamos considerar um representante AB para o vetor −→u e escolhemoscomo origem para o vetor −→v a extremidade B. Pela notação deGrassmann, existe um ponto C tal que −→v =

−→BC .

−→u +−→v =−→AB +

−→BC = (B − A) + (C − B) = C − A =

−→AC .

Essa maneira de somar é dita regra da poligonal.Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 13 / 1

Regra da poligonal para mais de 2 vetores

Observação

A adição de vetores independe dos representantes escolhidos.

Regra da poligonal para mais de 2 vetores

Observação

A adição de vetores independe dos representantes escolhidos.

Regra do Paralelogramo

Uma forma prática de calcular a soma de dois vetores é usando a regra doparalelogramo dada por:

Escolha representantes dos vetores ~u, ~v com a mesma origem, ie,~u = ~AB e ~v = ~AC .

Trace linhas paralelas aos vetores para formar um paralelogramo.Uma das diagonais do paralelograma é a soma dos vetores e a outra éa diferença dos vetores.

Escolha representantes dos vetores ~u, ~v com a mesma origem, ie,~u = ~AB e ~v = ~AC .Trace linhas paralelas aos vetores para formar um paralelogramo.

Uma das diagonais do paralelograma é a soma dos vetores e a outra éa diferença dos vetores.

Escolha representantes dos vetores ~u, ~v com a mesma origem, ie,~u = ~AB e ~v = ~AC .Trace linhas paralelas aos vetores para formar um paralelogramo.Uma das diagonais do paralelograma é a soma dos vetores e a outra éa diferença dos vetores.

Propriedades

No Rn, dados os vetores −→u = (x1, . . . , xn) e −→v = (y1, . . . , yn),de�nimos −→u +−→v = (x1 + y1, . . . , xn + yn).

Propriedade (Comutativa)

~u + ~v = ~v + ~u

Propriedade (Associativa)−→u + (−→v +−→w ) = (−→u +−→v ) +−→w .

Propriedade (Existência do Elemento Neutro)

O vetor que tem a sua origem coincidindo com sua extremidade é chamado

vetor nulo e denotado por−→0 .

Propriedades

~u + ~v = ~v + ~u

Propriedades

~u + ~v = ~v + ~u

Propriedades

~u + ~v = ~v + ~u

Propriedade (Existência do Elemento Oposto)

Dado o vetor −→u =−→AB ∈ Rn, existe o vetor

−→BA chamado vetor oposto

de −→u e denotado por −−→u tal que −→u + (−−→u ) =−→0 .

Observação

O vetor −−→u é um vetor de mesmo comprimento, mesma direção e

sentido contrário ao vetor −→u .

Propriedade (Existência do Elemento Oposto)

Dado o vetor −→u =−→AB ∈ Rn, existe o vetor

−→BA chamado vetor oposto

de −→u e denotado por −−→u tal que −→u + (−−→u ) =−→0 .

Observação

O vetor −−→u é um vetor de mesmo comprimento, mesma direção e

sentido contrário ao vetor −→u .

Multiplicação por Escalar

É possível multiplicar um vetor por um número real. O produto de umnúmero real ou escalar diferente de zero por um vetor é um outro vetor queconserva a mesma direção do vetor original, enquanto que o sentido e ocomprimento dependem do número real.

Se α = 0 ou ~u = ~0 então α~u = ~0

Se α > 0 então α · −→v e −→v tem o mesmo sentido.

Se α < 0 então α · −→v e −→v tem sentidos opostos.

Se α = 0 ou ~u = ~0 então α~u = ~0

Propriedades

Em Rn, dados α escalar real e um vetor −→v = (x1, . . . , xn), de�nimosα−→v = (α · x1, . . . , α · xn).

Propriedade

α(β−→v ) = (αβ)−→v .

Propriedade

1 · −→v = −→v

Propriedade

α(−→u +−→v ) = α · −→u + α · −→v .

Propriedade

(α+ β) · −→u = α · −→u + β · −→u .

Propriedades

Propriedade

α(β−→v ) = (αβ)−→v .

Propriedade

1 · −→v = −→v

Propriedade

α(−→u +−→v ) = α · −→u + α · −→v .

Propriedade

(α+ β) · −→u = α · −→u + β · −→u .

Propriedades

Propriedade

α(β−→v ) = (αβ)−→v .

Propriedade

1 · −→v = −→v

Propriedade

α(−→u +−→v ) = α · −→u + α · −→v .

Propriedade

(α+ β) · −→u = α · −→u + β · −→u .

Propriedades

Propriedade

α(β−→v ) = (αβ)−→v .

Propriedade

1 · −→v = −→v

Propriedade

α(−→u +−→v ) = α · −→u + α · −→v .

Propriedade

(α+ β) · −→u = α · −→u + β · −→u .

Propriedades

Propriedade

α(β−→v ) = (αβ)−→v .

Propriedade

1 · −→v = −→v

Propriedade

α(−→u +−→v ) = α · −→u + α · −→v .

Propriedade

(α+ β) · −→u = α · −→u + β · −→u .

Módulo de um vetor

A medida do comprimento de um vetor ~v é denominado módulo ou normae denota-se por ||~v ||.

Suponhamos que ~v = (a, b) ∈ R2 conforme �gura abaixo:

Em geral, dado ~v = (x1, . . . , xn); de�nimos ||~v || =√

x21+ · · ·+ x2n .

Módulo de um vetor

A medida do comprimento de um vetor ~v é denominado módulo ou normae denota-se por ||~v ||.Suponhamos que ~v = (a, b) ∈ R2 conforme �gura abaixo:

x21+ · · ·+ x2n .

Módulo de um vetor

A medida do comprimento de um vetor ~v é denominado módulo ou normae denota-se por ||~v ||.Suponhamos que ~v = (a, b) ∈ R2 conforme �gura abaixo:

x21+ · · ·+ x2n .

Propriedades

Propriedade

||~v || > 0 quando ~v 6= ~0.

Propriedade

||α~v || = |α| · ||~v ||.

Propriedade (Desigualde Triangular)

||~u + ~v || ≤ ||~u||+ ||~v ||.

Propriedades

Propriedade

||~v || > 0 quando ~v 6= ~0.

Propriedade

||α~v || = |α| · ||~v ||.

||~u + ~v || ≤ ||~u||+ ||~v ||.

Propriedades

Propriedade

||~v || > 0 quando ~v 6= ~0.

Propriedade

||α~v || = |α| · ||~v ||.

||~u + ~v || ≤ ||~u||+ ||~v ||.

Observação

Um vetor ~v é dito versor quando ||~v || = 1.

Notação ijk

Consideremos os versores i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1).

Logo,(x , y , z) = (x , 0, 0)+(0, y , 0)+(0, 0, z) = x(1, 0, 0)+y(0, 1, 0)+z(0, 0, 1).

Portanto,

(x , y , z) = x i + y j + zk

Notação ijk

Consideremos os versores i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1).Logo,(x , y , z) = (x , 0, 0)+(0, y , 0)+(0, 0, z) = x(1, 0, 0)+y(0, 1, 0)+z(0, 0, 1).

Portanto,

(x , y , z) = x i + y j + zk

Notação ijk

Portanto,

(x , y , z) = x i + y j + zk

Notação ijk

Portanto,

(x , y , z) = x i + y j + zk

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