Gustavo Henrique Miron Batista - Engenharia Civil

Vetores

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2016.2

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O que é um vetor?

Um vetor é um segmento de reta orientado, que representa uma grandeza vetorial e contém três

informações : Módulo, direção e sentido.

• Módulo: Valor numérico mais unidade de medida,representada pelo comprimento do segmento;

• Direção: Dada pela inclinação da reta do segmentoem referência a uma reta vertical ou horizontal.

• Sentido: É a orientação, numa mesma direçãopodemos ter dois sentidos possíveis. Por exemplo,numa direção horizontal temos os sentidos: daesquerda para a direita e da direita para a esquerda.

Definição

Grandezas

• Grandeza Escalar: É aquela que para sua perfeitadeterminação necessitamos de um número e de umaunidade de medida. Ex: Área, Tempo, Massa,Temperatura, etc...

• Grandeza Vetorial: É aquela que só ficacompletamente determinada por um número, umaunidade de medida, uma direção e um sentido. Ex:Força, Velocidade, Deslocamento, etc...

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Situação Problema

Considere a seguinte situação: o piloto de um barco a motoratravessa um rio com correnteza mantendo a proa do barcona direção vertical no sentido de baixo para cima. Saindo doponto P ele atinge o ponto X na margem oposta, por que issoacontece ?

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Operações Vetoriais

Para descrever esse tipo de movimento, necessita-se deoperações vetoriais, que serão desenvolvidas com base nadefinição matemática de um vetor.

Operações Vetoriais :• Adição de vetores;• Subtração de vetores;• Decomposição de vetores;• Multiplicação de um vetor por um escalar.

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Adição Vetorial

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• Regra do polígono

Consiste em transportamos “a” e “b” de modo que a origemde um coincide com a extremidade do outro, sem modificarseus módulos, direção e sentidos. Ligamos a origem de “a”com a extremidade de “b”. O vetor “a + b” assim obtido é ovetor soma de “a” + “b”.

Adição Vetorial

• Regra do Paralelogramo

Nesse método transportamos “a” e “b” de modo que suasorigens coincidem, sem modificar seus módulos, direções esentidos. Pela extremidade de cada vetor traça-se uma retaparalela ao outro, obtendo-se um paralelogramo. O vetorsoma “S” corresponde à diagonal desse paralelogramo, comorigem na origem comum de “a” e “b” .

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Adição Vetorial

• Nessa regra, sendo α o ângulo formado entre asdireções de “a” e “b”, o módulo do vetor soma “S” édado por:

S² = a² + b² + 2. a. b. cosα

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Subtração Vetorial

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Para efetuar a diferença entre dois vetores “a” e“b”, pode-se usar qualquer uma das regrasdescristas anteriormente, levando-se em conta que:

S = a – b = a + (-b)

Ou seja, a diferença entre dois vetores é operada coma a soma do primeiro com o vetor oposto do segundo.

Obs: “-b” é o oposto de “b” (vetor com o mesmo módulo, mesma direção e sentido oposto ao de “b”).

Multiplicação de um vetor por um escalar

Consideramos um número real K ≠ 0 e um vetor “a” ≠0. O produto de K por “a” é um vetor “w” cujascaracterísticas são :

• I m I = I K I x I a I• A direção de “w” é a mesma de “a”.• Se K > 0, “w” tem o mesmo sentido de “a”; se K < 0, “w”tem sentido oposto ao de “a”.

Observações:

Se K = 0 ou “a” = 0, o produto deles é o vetor nulo.Se K = -1, o produto deles será o oposto de “a”.

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Vamos praticar...

Na figura, representamos dois vetores a e b demesma origem e módulo 14 u e 16urespectivamente. Qual é o modulo do vetor soma dea com b ?

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S

Decomposição Vetorial

A decomposição vetorial é o processo inverso daadição de dois vetores ortogonais, ou seja,perpendiculares entre si.

Na adição de dois vetores ortogonais, temos:

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a

b

Decomposição Vetorial

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Vamos efetuar o processo inverso dessa adição, ou seja, dovetor soma encontraremos os vetores ortogonais:

Aplicando as relações trigonométricas do triangulo retângulo:Cos α = Sx/S → Sx = Cos α. SSen α = Sy/S → Sy = Sen α. S

S

x

y

S

x

y

α α

Sx

Sy

Decomponha a força P :

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Vamos praticar...

• Vetor velocidade média (Vm)

Considere, nas trajetórias a seguir, o ponto de partida (P1) e ode chegada (P2) de um móvel.

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Vetor Velocidade

Vetor Velocidade

Nos esquemas anteriores :

• ∆s representa o deslocamento escalar, medido com base natrajetória do móvel desde o espaço de partida até o dechegada. Assim, a velocidade escalar média é dada por:

Vm = ∆s/ ∆t

• d representa o deslocamento vetorial, medido pelo vetor que “une” o ponto de partida ao ponto de chegada. Dessa maneira:

Intensidade : Vm = IdI/ ∆t

Velocidade vetorial média Direção : a mesma de d

Sentido : o mesmo de d

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Vetor Velocidade

• Vetor velocidade instantânea (v)Em relação à velocidade vetorial instantânea (v) considere um móvel

descrevendo uma trajetória curva. Em cada ponto da trajetória a velocidadevetorial é representada por um vetor, conforme mostra o esquema a seguir:

Em cada ponto, o vetor velocidade é sempre tangente a trajetória e obedece as seguintes condições:

Intensidade: A mesma da velocidade escalar instantâneav Direção : tangente a trajetória

Sentido : o mesmo do movimento

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Vetor Acaleração

A aceleração vetorial instantânea (a), que é aaceleração vetorial em cada ponto da trajetória, érepresentada por um vetor que pode formar umângulo qualquer entre 0º e 180º com o vetorvelocidade.

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a

α

Vetor Aceleração

O vetor aceleração vetorial pode ser decompostoem dois componentes, são eles:

• Vetor aceleração tangencial (at)

• Vetor aceleração centrípeta (ac)

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Vetor Aceleração

• Aceleração Tangencial : A existência dessaaceleração significa que o módulo do vetorvelocidade é variável. Portanto, a aceleraçãotangencial existe nos movimentos variados, mas nãonos movimentos uniformes.

O vetor aceleração tangencial obedece as seguintescondições:

Intensidade : coincide com o módulo da velocidade escalar

at Direção : a mesma do vetor velocidade

Sentido : o mesmo de v nos movimentos acelerados e contrário ao de v nos movimentos retardados

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Vetor Aceleração

• Aceleração Centrípeta : A existência dessaaceleração significa que a direção do vetorvelocidade é variável. Portanto a aceleraçãocentrípeta existe nos movimentos curvilíneos, masnão existe nos movimentos retilíneos.

O vetor aceleração centrípeta obedece as seguintescondições :

Intensidade : ac = v²/r (em que r é o raio da trajetória curvilínea)

ac Direção : radial (coincide com o raio da trajetória)

Sentido : dirigida para o centro da curva

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Características dos Movimentos

• Movimento retilíneo e uniforme

v

at = 0 Módulo : constante

a = 0 v

ac = 0 Direção : constante

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Características dos Movimentos

• Movimento retilíneo uniformemente acelerado

v at

at ≠ 0 Módulo : aumenta

a = at v

ac = 0 Direção : constante

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Características dos Movimentos

• Movimento retilíneo uniformemente retardado

at v

at ≠ 0 Módulo : diminui

a = at v

ac = 0 Direção : constante

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Características dos Movimentos

• Movimento circular e uniforme

v

ac ≠ 0 Módulo : constante

a = ac v

at = 0 Direção : varia

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ac

Características dos Movimentos

• Movimento circular uniformemente acelerado

v at

a

ac ≠ 0 Módulo : aumenta

a² = ac² + at² v

at ≠ 0 Direção : varia

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ac

Características dos Movimentos

• Movimento circular uniformemente retardado

at v

a

ac ≠ 0 Módulo : diminui

a² = ac² + at² v

at ≠ 0 Direção : varia

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ac

Vamos praticar...

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Vamos praticar...

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2.

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