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Vetores
1. (Uece 2014) Duas únicas forças, uma de 3 N e outra de 4 N, atuam sobre uma massa puntiforme. Sobre o módulo da aceleração dessa massa, é correto afirmar-se que a) é o menor possível se os dois vetores força forem perpendiculares entre si. b) é o maior possível se os dois vetores força tiverem mesma direção e mesmo sentido. c) é o maior possível se os dois vetores força tiverem mesma direção e sentidos contrários. d) é o menor possível se os dois vetores força tiverem mesma direção e mesmo sentido.
2. (G1 - ifpe 2012) Qual o cosseno do ângulo formado pelos vetores A 4. i 3. j
e
B 1.i 1. j
, em que i
e j
são vetores unitários?
a) 2
10
b) 10
2
c) 2
10
d) 10
2
e) 0 3. (Mackenzie 2012) Um avião, após deslocar-se 120 km para nordeste (NE), desloca-se 160
km para sudeste (SE). Sendo um quarto de hora, o tempo total dessa viagem, o módulo da velocidade vetorial média do avião, nesse tempo, foi de a) 320 km/h b) 480 km/h c) 540 km/h d) 640 km/h e) 800 km/h
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4. (Ufpb 2007) Considere os vetores A, B e F, nos diagramas numerados de I a IV.
Os diagramas que, corretamente, representam a relação vetorial F = A - B são apenas:
a) I e III b) II e IV c) II e III d) III e IV e) I e IV 5. (Ufmg 2007) Dois barcos - I e II - movem-se, em um lago, com velocidade constante, de
mesmo módulo, como representado na figura:
Em relação à água, a direção do movimento do barco I é perpendicular à do barco II e as linhas
tracejadas indicam o sentido do deslocamento dos barcos.
Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que a velocidade do barco II,
medida por uma pessoa que está no barco I, é mais bem representada pelo vetor
a) P. b) Q. c) R. d) S.
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6. (G1 - cftce 2007) Dados os vetores "a", "b", "c", "d" e "e" a seguir representados, obtenha o
módulo do vetor soma: R = a + b + c + d + e
a) zero
b) 20 c) 1 d) 2
e) 52
7. (Pucmg 2006) ASSINALE A OPÇÃO CORRETA.
a) Um escalar pode ser negativo. b) A componente de um vetor não pode ser negativa. c) O módulo de um vetor pode ser negativo. d) A componente de um vetor é sempre diferente de zero. 8. (Ufc 2006) Analisando a disposição dos vetores BA, EA, CB, CD e DE, conforme figura a
seguir, assinale a alternativa que contém a relação vetorial correta.
a) CB + CD + DE = BA + EA b) BA + EA + CB = DE + CD c) EA - DE + CB = BA + CD d) EA - CB + DE = BA - CD e) BA - DE - CB = EA + CD 9. (Ufpb 2006) Um cidadão está à procura de uma festa. Ele parte de uma praça, com a
informação de que o endereço procurado estaria situado a 2km ao norte. Após chegar ao
referido local, ele recebe nova informação de que deveria se deslocar 4km para o leste. Não
encontrando ainda o endereço, o cidadão pede informação a outra pessoa, que diz estar a
festa acontecendo a 5km ao sul daquele ponto. Seguindo essa dica, ele finalmente chega ao
evento. Na situação descrita, o módulo do vetor deslocamento do cidadão, da praça até o
destino final, é:
a) 11km b) 7km c) 5km d) 4km e) 3km
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10. (Pucpr 2004) Um ônibus percorre em 30 minutos as ruas de um bairro, de A até B, como
mostra a figura:
Considerando a distância entre duas ruas paralelas consecutivas igual a 100 m, analise as
afirmações:
I. A velocidade vetorial média nesse percurso tem módulo 1 km/h.
II. O ônibus percorre 1500 m entre os pontos A e B.
III. O módulo do vetor deslocamento é 500 m.
IV. A velocidade vetorial média do ônibus entre A e B tem módulo 3 km/h.
Estão corretas:
a) I e III. b) I e IV. c) III e IV. d) I e II. e) II e III. 11. (G1 - cftce 2004) Uma partícula desloca-se sobre a trajetória formada pelas setas que
possuem o mesmo comprimento L. A razão entre a velocidade escalar média e a velocidade
vetorial média é:
a) 1
3
b) 2
3
c) 1
d) 3
2
e) 2
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12. (Unesp 2003) Um caminhoneiro efetuou duas entregas de mercadorias e, para isso, seguiu
o itinerário indicado pelos vetores deslocamentos d1 e d2 ilustrados na figura.
Para a primeira entrega, ele deslocou-se 10 km e para a segunda entrega, percorreu uma
distância de 6 km. Ao final da segunda entrega, a distância a que o caminhoneiro se encontra
do ponto de partida é
a) 4 km. b) 8 km.
c) 2 19 km.
d) 8 3 km. e) 16 km.
13. (Unifesp 2002) Na figura, são dados os vetores a , ω e v .
Sendo u a unidade de medida do módulo desses vetores, pode-se afirmar que o vetor g = a -
ω + v tem módulo
a) 2u, e sua orientação é vertical, para cima. b) 2u, e sua orientação é vertical, para baixo. c) 4u, e sua orientação é horizontal, para a direita.
d) ( 2 )u, e sua orientação forma 45° com a horizontal, no sentido horário.
e) ( 2 )u, e sua orientação forma 45° com a horizontal, no sentido anti-horário.
14. (Ufc 1999) Na figura a seguir, onde o reticulado forma quadrados de lados ℓ=0,5cm, estão
desenhados 10 vetores contidos no plano xy. O módulo da soma de todos esses vetores é, em
centímetros:
a) 0,0. b) 0,5. c) 1,0. d) 1,5. e) 2,0.
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15. (Mackenzie 1998) Com seis vetores de módulo iguais a 8u, construiu-se o hexágono
regular a seguir. O módulo do vetor resultante desses 6 vetores é:
a) 40 u b) 32 u c) 24 u d) 16 u e) zero 16. (Puccamp 1998) Num bairro, onde todos os quarteirões são quadrados e as ruas paralelas
distam 100 m uma da outra, um transeunte faz o percurso de P a Q pela trajetória representada
no esquema a seguir.
O deslocamento vetorial desse transeunte tem módulo, em metros, igual a
a) 300 b) 350 c) 400 d) 500 e) 700 17. (Fatec 1996) Dados os vetores A, B e C, representados na figura em que cada quadrícula
apresenta lado correspondente a uma unidade de medida, é correto afirmar que a resultante
dos vetores tem módulo:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
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18. (G1 1996) Defina vetor.
19. (Uel 1994) Considere as seguintes grandezas físicas mecânicas: TEMPO, MASSA,
FORÇA, VELOCIDADE e TRABALHO. Dentre elas, têm caráter vetorial apenas
a) força e velocidade. b) massa e força. c) tempo e massa. d) velocidade e trabalho. e) tempo e trabalho. 20. (Upe 2013) Os vetores u e v, representados na figura a seguir, têm módulos,
respectivamente, iguais a 8 e 4, e o ângulo θ mede 120°.
O módulo do vetor | u v |, é:
a) 3 3
b) 4 3
c) 5 3
d) 3 5
e) 4 5 21. (Ufpr 2011) Durante um passeio, uma pessoa fez o seguinte trajeto: partindo de um certo
ponto, caminhou 3 km no sentido norte, em seguida 4 km para o oeste, depois 1 km no sentido norte novamente, e então caminhou 2 km no sentido oeste. Após esse percurso, a que distância a pessoa se encontra do ponto de onde iniciou o trajeto? 22. (Unirio 2000)
Considere os vetores a, g e anteriormente representados. O vetor v tal que v = 1
2a + g -
1
4
é:
a) 7
6, 4
b) (-2, 3) c) 7
, 6 4
d) 7
, 64
e)
76,
4
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23. (Uff 1999) Considere o retângulo ABCD de dimensões BC = 3 m e CD = 4 m.
Calcule | AB BD DC
24. (Cesgranrio 1994) ABCD é um quadrado. O vetor que indica a operação AB -BC é igual a:
a) DB
b) CA
c) BD
d) BD
e) AC
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Gabarito: Resposta da questão 1: [B] A resultante de duas forças tem módulo máximo quando elas têm mesmo sentido; e módulo mínimo quando elas têm sentidos opostos. Para esse caso.
máx máx
mín mín
R 3 4 R 7 N.
R 4 3 R 1 N.
De acordo com o Princípio Fundamental da Dinâmica:
RR m a a .
m
A aceleração tem módulo máximo quando a resultante tem intensidade máxima, portanto, quando as forças têm mesma direção e mesmo sentido. Comentário: massa é uma grandeza física e não um objeto, como sugere o enunciado. Existe um corpo puntiforme, um objeto puntiforme ou uma partícula. A massa é uma grandeza física associada à quantidade de matéria existente no corpo, no objeto ou na partícula. Resposta da questão 2:
[A] 1ª Solução:
Na figura acima:
Ax = 4; Ay = 3; Bx = -1; By = 1.
22 2 2x y
2 2 2 2x y
A A A 1 1 A 2.
B B B 4 3 B 25 B 5.
y
yx
A 1 2sen cos sen cos .
A 22
BB 4 3sen ; cos .
B 5 B 5
α α α α
β β
O ângulo entre os vetores A e B é .θ Mas:
θ α β
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3 2 4 2 3 2 4 2
cos cos cos cos sen sen 5 2 5 2 10 10
2cos .
10
θ α β α β α β
θ
2ª Solução: Aplicando a regra do Paralelogramo:
Na figura acima:
Ax = 4; Ay = 3; Bx = -1; By = 1; Rx = 3; Ry = 4.
22 2 2
x y
2 2 2 2x y
2 2 2 2x y
A A A 1 1 A 2.
B B B 4 3 B 25 B 5.
R R R 3 4 B 25 R 5.
Da lei dos cossenos:
22 2 2 2 2R A B 2 A Bcos 5 2 5 2 2 5 cos
2 2 20 2 10 2 cos cos
10 210 2
2cos .
10
θ θ
θ θ
θ
Resposta da questão 3: [E]
Dados: d1 = 120 km; d2 = 160 km; t =1/4 h. A figura ilustra os dois deslocamentos e o deslocamento resultante.
Aplicando Pitágoras:
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2 2 2 2 2 2
1 2d d d d 120 160 14.400 25.600 40.000 d 40.000
d 200 km.
O módulo da velocidade vetorial média é:
m
m
d 200v 200 4
1t4
v 800 km / h.
Resposta da questão 4:
[B]
I - B A F 0 F A B
II - F B A 0 F A B
III – igual ao I
IV - A F B 0 F A B Resposta da questão 5: [C] Resposta da questão 6: [E] Resposta da questão 7: [A] Resposta da questão 8: [D] Resposta da questão 9: [C]
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Resposta da questão 10:
[A] Resposta da questão 11:
[B]
m m
m m
6LV V 3T
4L 2V VT
Resposta da questão 12:
[C]
A figura mostra o deslocamento vetorial do caminhão.
Uma forma imediata de solucionar a questão é utilizar a Lei dos Cossenos. 2
2 2r 10 6 2 10 6 cos60 100 36 60 76
r 2 19km
Resposta da questão 13: [B] Resposta da questão 14: [E] Resposta da questão 15: [B] Resposta da questão 16:
[D] Resposta da questão 17:
[A] Resposta da questão 18:
Ente matemático que possui como elementos a direção, um sentido e um valor ou intensidade. Resposta da questão 19:
[A] Resposta da questão 20:
[B]
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Resposta da questão 21: 1ª Solução: Adotando convenientemente como ponto de partida a origem do plano cartesiano, segue que a
distância pedida é o módulo do vetor cuja extremidade é o ponto P( 6, 4), ou seja,
2 2| OP | ( 6) 4 52 2 13 km.
2ª Solução:
Considerando arbitrariamente o ponto de partida como sendo a origem O do plano cartesiano,
queremos calcular a distância entre O e P ( 6, 4). Portanto,
2 2OPd ( 6) 4 52 2 13 km.
3ª Solução:
Supondo que o ponto onde a pessoa iniciou o trajeto seja a origem do plano de Argand-Gauss,
segue que a distância pedida é o módulo do número complexo cujo afixo é o ponto ( 6, 4), isto
é, 2 2( 6) 4 52 2 13 km.
Resposta da questão 22: [C] Resposta da questão 23: |AC|= 5 m Resposta da questão 24: [A]