Resultados do Bolsa Família e o Cadastro. Curvas de Lorenz e de Concentração LorenzConcentração PBF.
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VII
Exemplos de
Atratores Estranhos
VII – C
Sistema de Lorenz
Primeira Parte
Convecção de
Rayleigh-Bernard
ρ µdv
dtF p v
rr r r= − ∇ + ∇2
Equação da continuidade
Equação de Navier-Stokes
Equação de Condução do CalordT
dtT= ∇κ 2
∂ρ∂
ρt
v+ ∇ ⋅ =r r
( ) 0
Equações de Lorenz
dX
dtX Y= − −σ ( )
dY
dtrX Y XZ= − −
dZ
dtXY bZ= −
X é proporcional à intensidade da convecção. X=0 implica que não hámovimento convectivo, ou seja, o calor é transportado apenas por condução. X>0 implica circulação horária e X<0 circulação anti-horária.
Y é proporcional à diferença de temperatura entre as correntes de fluido ascendente e descendente.
Z é proporcional à distorção do perfil de temperatura vertical, relativamente a um perfil linear. Para Z=0, a temperatura decresce linearmente.
σ = 10 b = 8/3 r = 28
r=165
r=166
r=166,1
r=166,2
r=166,4
r=166,6
r=166,8
r=165
r=166,2
r=166,8
Sistema de Lorenz
Segunda Parte
• E. N. Lorenz, Deterministic Nonperiodic Flow.
Journal of Atmosferic Science 20, 130 (1963)
• Primeiro atrator caótico
• Sensibilidade às condições iniciais em um
fluido (modêlo meteorológico simplificado)
b r, , : controle de Parâmetros
sional tridimenfase de espaço z y, x,:Variáveis
z b -y x
y -r x y x -
y x -
Lorenz de Sistema
σ
σσ
→
=
+=
+=
•
•
•
z
y
x
ChaosAlligood et al.
Atrator CaóticoSistema de Lorenz
Ampliação do Atrator de Lorenz
Ampliação do Atrator de Lorenz
Atratores do Sistema de Lorenz
ChaosAlligood et al.
ChaosAlligood et al.
Mapa de Retorno do Atrator de Lorenz
ChaosAlligood et al.
Diagrama de Bifurcação para o Sistema de Lorenz
ChaosAlligood et al.
Transiente Caótico no Sistema de Lorenz
c b, ,a : controle de Parâmetros
sional tridimenfase de espaço z y, x,:Variáveis
z ) c - x ( b z
y a x y
z -y - x
Roessler de Sistema
→
+=
+=
=
•
•
•
ChaosAlligood et al.
Atrator Caóticode Roessler
Atratores doSistema de Rösslerpara diferentes valoresdo parâmetro c
ChaosAlligood et al.
a = b = 0.1
Diagrama de BifurcaçãoSistema de Roessler
ChaosAlligood et al.
a = b = 0.1
Máximos locais da variável x
Caos no Circuito Elétrico de Chua
Parâmetros de Controle
Controle das Oscilações
Atratores
• M. S. Baptista e I. L. Caldas - Physica D (1999).
• R. O. Medrano-T., M. S. Batista e I. L. Caldas, Physica D (2003).
Circuito de Chua
• .
R elemento linear por partes
• Variáveis dinâmicas:
Vc1 tensão
Vc2 tensão
iL corrente
Circuito de Chua
Curva Característica
Linear por partes
Periodic Attractor
Vc1 voltage across C1
Vc2 voltage across C2
iL current trough iL
Experiment
Experiment
• Double Scroll Atrator
O Circuito de Chua
)(1CR Vi
C 2 2CV
C 1CV 1
g
R L
Li
Fig.1. Circuito de Chua. R Fig.1. Circuito de Chua. R Fig.1. Circuito de Chua. R Fig.1. Circuito de Chua. R éééé a resistência não a resistência não a resistência não a resistência não linear.linear.linear.linear.
Aplicando a lei de Kirchoff ao Aplicando a lei de Kirchoff ao Aplicando a lei de Kirchoff ao Aplicando a lei de Kirchoff ao circuito:circuito:circuito:circuito:
( ) ( )( )2
212
1121
2
1
CL
LCCC
CRCCC
ViL
iVVgVC
ViVVgVC
−=
+−=
−−=
&
&
&
Simetria Simetria Simetria Simetria íííímpar: f(x)=mpar: f(x)=mpar: f(x)=mpar: f(x)=----f(f(f(f(----x)x)x)x)
Resistência Linear por Partes
Fig. 2. Curva caracterFig. 2. Curva caracterFig. 2. Curva caracterFig. 2. Curva caracteríííística da resistência linear stica da resistência linear stica da resistência linear stica da resistência linear por partes.por partes.por partes.por partes.
FunFunFunFunçççção da curva caracterão da curva caracterão da curva caracterão da curva caracteríííística da stica da stica da stica da resistência linear por partes:resistência linear por partes:resistência linear por partes:resistência linear por partes:
( )
−≤−−
≤
≥−+
=
pCpC
pCC
pCpC
CR
BVBmmVm
BVVm
BVBmmVm
Vi
11
11
11
1
,)(
,
,)(
010
1
010
Sistema Adimensional
e
,
01
222
1
2
21
g
mb
g
ma
t,C
gτ
Lg
C ,
C
C
gB
i e z
B
V y,
B
Vx
p
L
p
C
p
C
==
===
===
βαMudança de
variáveis:
( ) ( )( )2
212
1121
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1
CL
LCCC
CRCCC
ViL
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&
&
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pCpC
pCC
pCpC
CR
BVBmmVm
BVVm
BVBmmVm
Vi
11
11
11
1
,)(
,
,)(
010
1
010
( )[ ]
βyz
zyxy
xkxyαx
−=+−=
−−=
&
&
&
( )
−≤−−≤≥−+
=1 ),(
1 ,
1 ),(
xbabx
xax
xbabx
xk
Atratores do Sistema
Legenda:Legenda:Legenda:Legenda:PerPerPerPerííííodo 1odo 1odo 1odo 1PerPerPerPerííííodo 2odo 2odo 2odo 2PerPerPerPerííííodo 3odo 3odo 3odo 3PerPerPerPerííííodo 4odo 4odo 4odo 4PerPerPerPerííííodo 5odo 5odo 5odo 5PerPerPerPerííííodo 6odo 6odo 6odo 6RosslerRosslerRosslerRosslerDouble Double Double Double ScrollScrollScrollScroll
Fig. 3. Atratores no espaFig. 3. Atratores no espaFig. 3. Atratores no espaFig. 3. Atratores no espaçççço dos parâmetros.o dos parâmetros.o dos parâmetros.o dos parâmetros.
(a) (b)
(c) (d)
Fig. 4. Fig. 4. Fig. 4. Fig. 4. AtratoresAtratoresAtratoresAtratores: (a) : (a) : (a) : (a) PerPerPerPerííííodoodoodoodo 1, (b) 1, (b) 1, (b) 1, (b) PerPerPerPerííííodoodoodoodo 2, (c) 2, (c) 2, (c) 2, (c) PerPerPerPerííííodoodoodoodo 3, (d) 3, (d) 3, (d) 3, (d) TipoTipoTipoTipo RRRRöööösslersslersslerssler....
Atratores do Circuito de Chua
ChaosAlligood et al.
Atratores do Circuito de Chua
ChuaAlligood et al.
Atratores e pontos fixosinstáveis
Atratores no Espaço dos Parâmetros
Variedades do Circuito de Chua
ÓrbitasHomoclínicas
Órbitas HomoclínicasEspaço dos Parâmetros
Família de Órbitas Hoclínicas Espaço dos Parâmetros
Circuito de Chua Perturbado
Oscilação forçada
Sincronização de dois circuitos
Perturbação Senoidal
(Tese de doutoramento, Murilo Baptista, IF-USP, 1996)
Sincronização de Dois circuitos de Chua
(tese de doutoramentoElinei dos SantosIF-USP, 2001)
ChaosAlligood et al.