Vibrações e Dinâmica das MáquinasAula – Vibração excitada harmonicamente- 1GL

Professor: Gustavo Si lva

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1. IntroduçãoNesta aula estudaremos sistemas amortecidos e não amortecidos sendo excitados harmonicamente. Anteriormente foi estudado a solução homogênea (transiente) de sistemas vibratórios, assim sendo, não havia força externa sendo exercida sobre o corpo.

Lembrando que a resposta homogênea é dada pela expressão:

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𝑥(𝑡) = 𝑒−ζ𝜔𝑛𝑡(𝐶1′ cosω𝑑𝑡 + 𝐶2′sinω𝑑𝑡)

1. IntroduçãoAo considerarmos uma força harmônica externa excitando o sistema, devemos considerar também a solução particular (permanente) do sistema para obtermos a solução total x(t).

A força harmônica pode ser dada por uma função do tipo:

onde F0 é a amplitude da força excitadora, ω é a frequência da mesma.

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m

x

K

CF

𝐹 𝑡 = 𝐹0 cos(𝜔𝑡)

2. Equação de movimentoComo já visto anteriormente, a equação de movimento de um sistema massa-mola-amortecedor é uma equação da seguinte forma:

Para o caso onde F não é zero, temos que a solução geral x(t) é dada pela soma de 𝒙𝒉(𝒕)(solução homogenia) e 𝒙𝒑(𝒕) (solução particular):

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m

x

K

CF

𝑚 𝑥 + c 𝑥 + 𝑘𝑥 = F

𝑥 𝑡 = 𝑥ℎ(𝑡) + 𝑥𝑝(𝑡)

2. Equação de movimento

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3. Resposta de um sistema não amortecido à força harmônica

Um sistema não amortecido possui uma equação de movimento da seguinte forma:

Sabendo que é uma força harmônica da forma:

Temos que:

A solução homogenia desta equação é dada quando a F é igual a zero:

como já visto anteriormente.

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𝐹(𝑡) = 𝐹0 cos(𝜔𝑡)

𝑚 𝑥 + kx = F(t)

𝑚 𝑥 + kx = 𝐹0 cos(𝜔𝑡)

𝑥ℎ(𝑡) = 𝐶1 cos(ω𝑛𝑡) + 𝐶2sin(ω𝑛𝑡)

3. Resposta de um sistema não amortecido à força harmônica

Como estamos trabalhando com forçar harmônicas, o sistema responderá com a mesma frequência harmônica ω. Assim a solução particular 𝒙𝒑(𝒕) pode ser dada por:

onde X é uma constante que representa a máxima amplitude para a função 𝑥𝑝(𝑡) .

Temos que o valor de X é:

onde 𝛿st é a deflexão estática dada por 𝛿st = 𝐹0 𝑘

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X =𝐹0

𝑘 −𝑚𝜔2=

𝛿𝑠𝑡

1 −𝜔𝜔𝑛

2

𝑥𝑝(𝑡) = 𝑋 cos(𝜔𝑡)

3. Resposta de um sistema não amortecido à força harmônica

Sabendo que 𝑥 𝑡 = 𝑥ℎ(𝑡) + 𝑥𝑝(𝑡) temos que:

onde C1 e C2:

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𝐶1 = 𝑥0 −𝐹0

𝑘 −𝑚𝜔2

𝑥 𝑡 = 𝐶1 cos(ω𝑛𝑡) + 𝐶2sin(ω𝑛𝑡) + 𝑋 cos(𝜔𝑡)

𝑥 𝑡 = 𝐶1 cos(ω𝑛𝑡) + 𝐶2sin(ω𝑛𝑡) +𝐹0

𝑘 −𝑚𝜔2cos(𝜔𝑡)

𝐶2 = 𝑥0

𝜔𝑛

3. Resposta de um sistema não amortecido à força harmônica

A razão de frequências r= 𝜔 𝜔𝑛 pode ser um número entre 0 e 1, 1 ou ainda maior que um, assim:

- Caso 1: 0 < r < 1

O denominador da equação de X é positivo, assim a solução particular é dada pela equação:

como já visto.

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X =𝛿𝑠𝑡

1 −𝜔𝜔𝑛

2

𝑥𝑝(𝑡) = 𝑋 cos(𝜔𝑡)

3. Resposta de um sistema não amortecido à força harmônica

-Caso 2: r > 1

Neste caso o denominador é negativo, assim a solução particular passa a ser:

e a amplitude passa a ser:

Neste caso é dito que a resposta esta defasada de

180º em relação a força externa.

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𝑥𝑝 𝑡 = −𝑋 cos(𝜔𝑡)

X =𝛿𝑠𝑡

𝜔𝜔𝑛

2

− 1

3. Resposta de um sistema não amortecido à força harmônica

-Caso 3: r = 1

Neste caso a frequência excitadora é igual a frequência natural do sistema, então temos a condição de ressonância, onde a amplitude X passa a ser infinita.

Assim a resposta total do sistema é dada por:

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𝑥 𝑡 = 𝑥𝑜 cos(ω𝑛𝑡) + 𝑥0

𝜔𝑛sin(ω𝑛𝑡) +

𝛿𝑠𝑡𝜔𝑛𝑡

2sin(𝜔𝑛𝑡)

3. Resposta de um sistema não amortecido à força harmônica

Outras formas de escrever a resposta total nos casos 1 e 2 são:

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𝑥 𝑡 𝐴 cos(ω𝑛𝑡 − 𝜑)+𝛿𝑠𝑡

1 −𝜔𝜔𝑛

2 cos(ω𝑛𝑡) 𝑃𝐴𝑅𝐴 𝑟 < 1

𝑥 𝑡 𝐴 cos(ω𝑛𝑡 − 𝜑) −𝛿𝑠𝑡

1 −𝜔𝜔𝑛

2 cos(ω𝑛𝑡) 𝑃𝐴𝑅𝐴 𝑟 > 1

3. Resposta de um sistema não amortecido à força harmônica

Batimento: O fenômeno do Batimento ocorre quando o sistema é excitado com uma frequência próxima, mas não igual a sua frequência natural. Neste caso o sistema vibra em uma frequência mais alta modulada por uma frequência mais baixa. O período de batimento é dado por:

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𝜏𝑏 =2𝜋

𝜔𝑛 − 𝜔

3. Resposta de um sistema amortecido à força harmônica

Um sistema amortecido possui uma equação de movimento da seguinte forma:

Sabendo que é uma força harmônica da forma:

Temos que:

A solução particular desta equação é dada por:

onde φ representa o atraso temporal de 𝑥𝑝 em relação à força excitadora

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𝐹(𝑡) = 𝐹0 cos(𝜔𝑡)

𝑚 𝑥 + c 𝑥 + 𝑘𝑥 = F

𝑚 𝑥 + c 𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝐹0 cos(𝜔𝑡)

𝑥𝑝(𝑡) = 𝑋 cos(𝜔𝑡 − φ)

3. Resposta de um sistemaamortecido à força harmônica

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𝑋 =𝐹0

𝑘 −𝑚𝜔2 2 + 𝑐2𝜔212

𝜑 = 𝑡𝑔−1𝑐𝜔

𝑘 −𝑚𝜔2

𝑋 =𝐹0/𝑘

1 − 𝑟2 2 + (2ζ𝑟)212

𝜑 = 𝑡𝑔−12ζ𝑟

1 − 𝑟2

ou

3. Resposta de um sistema amortecido à força harmônica

Por fim, a resposta total pode ser dada por:

Os valores de 𝑋0 e𝜑0podem ser determinados pelas condições iniciais:

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𝑥(𝑡) = 𝑋0𝑒−ζ𝜔𝑛𝑡 cos ω𝑑𝑡 − 𝜑0 + 𝑋 cos(𝜔𝑡 − 𝜑)

𝑥0 = 𝑋0 cos𝜑0 +𝑋 cos𝜑

𝑥0 = −ζ𝜔𝑛𝑋0 cos𝜑0 + 𝜔𝑑𝑋0 sin𝜑0 + 𝜔𝑋 sin𝜑

4. Excitação pela baseÀs vezes, a base de um sistema sofre movimento harmônico, neste caso temos que além do sistema possuir uma amplitude de vibração, o mesmo ocorre com base do sistema .

Se X é a amplitude da resposta particular do sistema e Y é a amplitude do movimento da base, temos:

onde X/Y é denominada transmissibilidade de deslocamento (Td).

FT é a amplitude máxima da força transmitida à base e é dada por:

onde FT/kY é a transmissibilidade de força.

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𝑋

𝑌=

𝑘2 + 𝑐𝜔 2

𝑘 − 𝑚𝜔2 2 + 𝑐𝜔 2

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=1 + 2ζ𝑟 2

1 − 𝑟2 2 + 2ζ𝑟 2

12

𝐹𝑇𝑘𝑌

= 𝑟²1 + 2ζ𝑟 2

1 − 𝑟2 2 + 2ζ𝑟 2

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4. Excitação pela base

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4. Excitação pela base

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5. Resposta de um sistema amortecido ao desbalanceamento rotativo

Uma das principais causas de vibração é o desbalanceamento rotativo.

Na figura temos um sistema cujo a massa total é M e duas massas excêntricas m/2 giram com velocidade angular constante, uma no sentido horário e outra anti-horário.

A força centrífuga de cada massa é dada por 𝐹 =𝑚

2∙ 𝑎𝑛 =

𝑚

2∙ 𝑒 ∙ 𝜔2. Estas forças causarão

excitação na massa total M.

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5. Resposta de um sistema amortecido ao desbalanceamento rotativo

Note que as forças horizontais se cancelam, enquanto as forças verticais se somam. Assim a força vertical total é dada por 𝐹 𝑡 = 𝑚 ∙ 𝑒 ∙ 𝜔2 ∙ sin𝜔𝑡 .

A equação de movimento é dada por:

A solução particular é dada por:

Onde:

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𝑚 𝑥 + c 𝑥 + 𝑘𝑥 = F(t)

𝑚 𝑥 + c 𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝑚 ∙ 𝑒 ∙ 𝜔2 ∙ sin𝜔𝑡

𝑥𝑝(𝑡) = 𝑋 sin(𝜔𝑡 − 𝜑)

𝑋 =𝑚𝑒𝜔²

𝑘 −𝑀𝜔2 2 + 𝑐2𝜔212

𝜑 = 𝑡𝑔−1𝑐𝜔

𝑘 −𝑀𝜔2

5. Resposta de um sistema amortecido ao desbalanceamento rotativo

Ou ainda podemos trabalhar com as equações:

O máximo valor de 𝑀𝑋

𝑚𝑒para sistemas com 0 < ζ <

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2pode ser encontrado com a equação:

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𝑀𝑋

𝑚𝑒=

𝑟²

1 − 𝑟2 2 + 2ζ𝑟 212

𝜑 = 𝑡𝑔−12ζ𝑟

1 − 𝑟2

𝑀𝑋

𝑚𝑒 𝑚á𝑥=

1

2ζ 1 − ζ2

5. Resposta de um sistema amortecido ao desbalanceamento rotativo

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Exercício

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Exercício

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Exercício

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Exercício

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Exercício

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Exercício

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Exercício

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Bibliografia•RAO, S. S. Vibrações Mecânicas. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 4 ed., 2009.

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