VIBRAÇÕES FORÇADAS

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ESTUDOS DE VIBRAÇÕES MECÂNICAS

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  • DinmicaVibraes Foradas sob Excitao Harmnica

    Prof. Clodoaldo

  • Vibrao forada aquela que ocorre quando o sistema sofre a ao de forasexternas durante o movimento:

    As foras harmnicas so as que representam a maioria dos fenmenosresponsveis por vibraes em sistemas fsicos. A excitao harmnica representada por uma funo senoidal:

    )cos()( 0 = tFtF Fo a amplitude da fora, a frequncia com que a fora aplicada e o ngulo de fase.

    Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaIntroduo

  • Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaIntroduo

    Este tipo de fora produzir uma resposta harmnica que tambm ter a forma funcional senoidal.

    Quando a frequncia com que a fora aplicada coincide com a frequncia natural do sistema ocorre o fenmeno da ressonncia. Este fenmeno amplamente conhecido e pode produzir graves consequncias a integridade estrutural do sistema.

  • Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaEquao do Movimento

    A figura abaixo mostra o modelo de um sistema de um grau de liberdade, amortecido, e seu respectivo diagrama de corpo livre:

    Aplicando a 2 lei de Newton, aequao diferencial domovimento obtida como:

    ( )mx cx kx F t+ + =&& &

  • Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaEquao do Movimento

    Esta equao diferencial possui soluo geral constituda de uma soluohomognea associada a uma soluo particular:

    A soluo homognea obtida fazendo F(t)=0, resultando na vibrao livre que foiestudada anteriormente. A soluo particular representa a vibrao de regimepermanente do sistema, persistindo enquanto a fora externa atuar.

    A prxima figura ilustra a composio da soluo da equao diferencial. A parcelado movimento que diminui com o tempo, devido ao amortecimento chamadatransiente e a rapidez com que ocorre esta diminuio depende dos parmetros dosistema, m, c e k.

    ( ) ( ) ( )h px t x t x t= +

  • Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaEquao do Movimento

  • Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica

    Por simplicidade, vamos inicialmente estudar o sistema sem amortecimento (c=0) eF(t)=Focos(t). A equao do movimento assume a forma:

    A soluo homognea desta equao, como j estudado, tem a forma:

    A soluo particular por sua vez :

  • Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica

    Substituindo na equao do movimento, pode-se encontrar a amplitude X do movimento:

    Onde:

    a deflexo esttica, que ocorre quando a fora constante.

  • Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica

    A soluo geral ento fica:

    E as constantes so encontradas por:

    Assim:

  • Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica

    A amplitude mxima X pode ser escrita como :

    A quantidade X/st chamado de fator de amplificao e definindo r como a relao de frequncias:

    A variao do fator de amplificao em funo da relao de frequncias mostrada na prxima figura:

  • Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica

    A anlise da figura, sugere trs casos para a resposta do sistema:

    Ressonncia:

  • Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica

    Caso 1:

    Denominador positivo. A resposta de regime permanentedo sistema dada pela equao:

    A resposta harmnica xp(t) est em coincidncia de fase com a fora externa,conforme mostra a figura:

  • Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica

    Caso 2:

    Denominador negativo. A resposta de regime permanentedo sistema dada pela equao:

    A amplitude do movimento X redefinida para ser uma quantidade positiva:

  • Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica

    A resposta harmnica xp(t) est em oposio de fase (defasada em 180 graus)com a fora externa, conforme mostra a figura:

  • Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica

    Denominador nulo. A amplitude infinita, neste caso,temos a condio de ressonncia

    Como o ltimo termo da equao possui uma forma indefinida, aplica-se a regrade L'Hospital para avaliar o limite deste termo:

  • Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica

    Assim, a resposta do sistema na ressonncia se torna:

    ltimo

  • Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaSistema No Amortecido Sob Fora Harmnica

    Exemplo: Um motor de 200 kg est montado sobre 4 molas, cada uma com k =500 kN/m. Durante a operao o motor est sujeito a uma fora harmnica F(t) =700cos(50t) N.a) Determine a rotao do motor na qual ocorrer a ressonncia.b) Qual a amplitude do movimento ? O movimento est em fase com a foraexterna ?

  • Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaResposta de um sistema amortecido sob Excitao Harmnica

    Sob a atuao de uma fora harmnica a equao do movimento amortecido se torna:

    A soluo particular tambm da forma harmnica, onde o ngulo de fase:

    Substituindo:

    Utilizando as relaes trigonomtricas:

  • Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaResposta de um sistema amortecido sob Excitao Harmnica

    Igualando os coeficientes do seno e cosseno de ambos os lados da equao:

    Resolvendo a equao acima para a soluo no trivial ( X =0):

    Dividindo por k o numerador e denominador da equao de X, mostrada acima e lembrando que:

  • Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaResposta de um sistema amortecido sob Excitao Harmnica

    Obtemos

  • Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaResposta de um sistema amortecido sob Excitao Harmnica

  • Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaResposta de um sistema amortecido sob Excitao Harmnica

    Representao

  • Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaResposta de um sistema amortecido sob Excitao Harmnica

    Do grfico, algumas observaes podem ser levantadas:

  • Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaResposta Total

    A resposta total a soluo geral da equao:

    onde xh(t) a soluo do caso de vibrao livre subamortecida. Assim:

    X0 e 0 so obtidos a partir das condies iniciais:

  • Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaResposta Total

    Exemplo: Determine a resposta total de um sistema de um grau de liberdade commassa equivalente igual a 10 kg, coeficiente de amortecimento e rigidezequivalentes iguais a 20 N.s/m e 4 kN/m, respectivamente e deslocamento inicialigual a 0,01 m. A velocidade inicial nula e a fora externa que age sobre osistema Ft) = 100cos(10t).

  • Vibraes Foradas sob Excitao HarmnicaResposta Total